Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials
On concentric circles $T_{ϱ} = {z ∈ ℂ: ∣z∣ = ϱ},\; 0 ≤ ϱ < 1$, we determine the exact values of the quantities of the best approximation of holomorphic functions of the Bergman class $A_p, 2 ≤ p ≤ ∞$, in the uniform metric by algebraic polynomials generated by linear methods of summation of T...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3563 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509678846345216 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:46Z |
| description | On concentric circles $T_{ϱ} = {z ∈ ℂ: ∣z∣ = ϱ},\; 0 ≤ ϱ < 1$, we determine the exact values of the quantities of the best approximation of holomorphic functions of the Bergman class $A_p, 2 ≤ p ≤ ∞$, in the uniform metric by algebraic polynomials generated by linear methods of summation of Taylor series. For $1 ≤ p < 2$, we establish exact order estimates for these quantities. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА
АЛГЕБРАЇЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
On concentric circles T% = {z ∈ C : |z| = %}, 0 ≤ % < 1, in the uniform metric, we determine exact
values of the best approximation of holomorphic functions of the Bergman classes Ap, 2 ≤ p ≤ ∞,
by algebraic polynomials which are generated by linear methods of summation of the Taylor series. For
1 ≤ p < 2, we determine exact order estimates of such approximations.
Знайдено точнi значення величин найкращого наближення на концентричних колах T% = {z ∈
∈ C : |z| = %}, 0 ≤ % < 1, у рiвномiрнiй метрицi голоморфних функцiй класу Бергмана Ap, 2 ≤
≤ p ≤ ∞, алгебраїчними многочленами, якi породжуються лiнiйними методами пiдсумовування
рядiв Тейлора. Для випадку, коли 1 ≤ p < 2, знайдено точнi порядковi оцiнки таких величин.
1. Вступ. Основний результат. Нехай D :=
{
z ∈ C : |z| < 1
}
— одиничний круг
у комплекснiй площинi C , ν — нормована мiра Лебега в D i Hol(D) — множина
всiх функцiй, голоморфних у D.
Нехай, далi, Lp := Lp(D), 1 ≤ p < ∞, — множина всiх функцiй f : D −→ C,
для яких
‖f‖p :=
∫
D
|f |pdν
1/p
< ∞.
Через L∞ := L∞(D) будемо позначати простiр обмежених функцiй f : D −→ C
з нормою
‖f‖∞ := sup
z∈D
∣∣f(z)
∣∣.
Пiдмножину всiх голоморфних функцiй з Lp будемо позначати через HLp,
тобто
HLp := Lp ∩Hol(D).
Множини HLp при 1 ≤ p < ∞ — це вiдомi простори Бергмана в D, надiленi
нормою ‖ · ‖p.
Одиничну кулю у просторi HLp, 1 ≤ p ≤ ∞, будемо позначати через Ap i
називатимемо її класом Бергмана.
Означення та основнi вiдомостi про простори Бергмана, якi використовуються
при викладi результатiв цiєї роботи, можна знайти в монографiях [1] (гл. 3), [2].
Нехай функцiя f ∈ HLp, ϕ := {ϕk}∞k=0 — ортонормована по площi круга D
система обмежених голоморфних функцiй, тобто∫
D
ϕkϕldν =
{
1, k = l,
0, k 6= l,
c© В. В. САВЧУК, 2006
1674 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1675
i
∞∑
k=0
f̂ϕ,kϕk (1)
— ряд Фур’є функцiї f по системi ϕ, в якому
f̂ϕ,k =
∫
D
fϕ̄kdν.
Вiдомо, що при ϕk(z) =
√
k + 1zk ряд (1) рiвномiрно збiгається в крузi D до
функцiї f i є її рядом Тейлора, тобто
f(z) =
∞∑
k=0
f̂k√
k + 1
ϕk(z) =
∞∑
k=0
f̂kzk ∀ z ∈ D,
де
f̂k := f̂ϕ,k
√
k + 1 =
f (k)(0)
k!
, k ∈ Z+,
Z+ — множина цiлих невiд’ємних чисел.
Розглянемо послiдовнiсть лiнiйних операторiв {Un}∞0 , заданих на Hol(D) таким
чином:
Un(f)(z) = Un,Λ(f)(z) =
0, n = 0,∑n−1
k=0
λn
k f̂kzk, n ∈ N,
(2)
де λn
k — елементи нескiнченної нижньотрикутної матрицi Λ := {λn
k} , n ∈ Z+,
k = 0, n, над полем комплексних чисел.
Таким чином, будь-яка нижньотрикутна числова матриця Λ породжує за форму-
лою (2) певний лiнiйний полiномiальний метод наближення голоморфних функцiй.
Нехай K — деякий компакт у крузi D, µ — додатна мiра, носiй якої зосереджений
на K, Lq(K, µ), 1 ≤ q < ∞, — простiр функцiй, визначених на K та сумовних у
степенi q вiдносно мiри µ з вiдповiдною нормою ‖ · ‖Lq(K,µ) i C(K) — простiр
функцiй f, неперервних на K, надiлений нормою
‖f‖C(K) := max
z∈K
∣∣f(z)
∣∣.
Через X будемо позначати один iз просторiв Lq(K, µ) або C(K), а через A —
деякий клас функцiй iз Hol(D).
Величина
Ln(A;X) := inf
Λ
sup
f∈A
‖f − Un,Λ(f)‖X , n ∈ Z+, (3)
де iнфiмум береться по всiляких нижньотрикутних числових матрицях Λ, назива-
ється найкращим лiнiйним наближенням класу A в просторi X. Якщо iснує матриця
Λ∗, яка породжує послiдовнiсть операторiв {Un,Λ∗}∞0 таких, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1676 В. В. САВЧУК
sup
f∈A
‖f − Un,Λ∗(f)‖X = Ln(A;X), n ∈ Z+,
то матрицю Λ∗ називають найкращим лiнiйним методом наближення класу A в
просторi X. Якщо ж для найкращого методу Λ∗ i даного n ∈ Z+ iснує функцiя
f∗ ∈ A така, що ∥∥f∗ − Un,Λ∗(f∗)
∥∥
X
= Ln(A;X),
то функцiю f∗ називають екстремальною для методу Λ∗ на класi A при даному
n ∈ Z+.
Нашою метою є знаходження точного значення величини (3) для класiв Берг-
мана в метрицi простору C(T%), тобто коли A = Ap, 1 ≤ p ≤ ∞, i X = C(T%) ,
де
T% := {z ∈ C : |z| = %}, % > 0.
Задача про вiдшукання точного значення величини (3) та найкращого лiнiйного
методу Λ є однiєю з важливих екстремальних задач теорiї наближення. На цей час є
порiвняно мала кiлькiсть робiт, в яких знайдено точнi значення величини (3). Серед
цих робiт згадаємо, насамперед, роботи [3 – 13] i задля зручностi в коментуваннi
результатiв нашого дослiдження наведемо лише тi результати iз цих робiт, якi
стосуються наближення класiв Гардi та Бергмана.
Розпочнемо з класiв Гардi. Так називатимемо одиничну кулю Bp простору
Гардi
Hp :=
f ∈ Hol(D) : ‖f‖Hp := sup
0<%<1
∫
T
|f(%w)|pdσ(w)
1/p
< ∞
,
де σ — нормована мiра Лебега на колi T.
Зрозумiло, що Hp ⊂ HLp, 1 ≤ p < ∞.
Якщо K = T%, 0 ≤ % < 1, µ = σ, то [3, 4]
Ln(Bp;Lp(T%, µ)) = %n, 1 ≤ p ≤ ∞,
i (див. [9, 13])
Ln(Bp;C(T%)) =
%n
(1− %2)1/p
, 1 ≤ p ≤ ∞. (4)
Для класiв Бергмана вiдомо таке: якщо K = D% :=
{
z ∈ C : |z| ≤ %
}
, 0 ≤ % < 1,
µ = ν, то [8, с. 256]
Ln
(
Ap;Lp(D%, ν)
)
= %n+2/p, 1 ≤ p ≤ ∞,
якщо ж K = T%, 0 ≤ % < 1, то [10, 11]
Ln
(
A2;C(T%)
)
= %n
√
1 + n(1− %2)
1− %2
. (5)
Основним результатом даної статтi є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1677
Теорема 1. Нехай 0 ≤ % < 1. Тодi:
1) якщо 2 ≤ p ≤ ∞, то для кожного n ∈ Z+
Ln
(
Ap;C(T%)
)
= %nγn,p, γn,p :=
(
1 + n(1− %2)
(1− %2)2
)1/p
; (6)
2) якщо 1 ≤ p < 2, то для кожного n ∈ N
(p
2
)1/p
%nγn,p ≤ Ln(Ap;C(T%)) ≤ %nγn,p.
Зауваження 1. Найкращий лiнiйний метод Λ∗ = {λn
k} у першому випадку
теореми 1 можна побудувати за формулою (23). Екстремальними функцiями для
цього методу будуть функцiї f∗, означенi формулою (16).
Результати, викладенi в наступному пунктi, є етапами доведення теореми 1,
проте вони не позбавленi й самостiйного iнтересу.
2. Екстремальнi властивостi та найкраще наближення ядра Бергмана.
Ядром Бергмана для круга D називають функцiю K, визначену в D2 := D × D
таким чином:
K(z, w) =
1
(1− zw)2
.
Нехай n ∈ Z+, p−1 + q−1 = 1,
HLp,n :=
{
f ∈ HLp : f̂k = 0, k = 0, n− 1
}
i
L⊥p,n :=
g ∈ Lq :
∫
D
fg dν = 0 ∀f ∈ HLp,n
.
Надалi HLp,0 — це теж саме, що й HLp.
Вiдомо, що функцiя K є твiрним ядром простору HLp, 1 ≤ p ≤ ∞, тобто в
будь-якiй точцi z ∈ D
f(z) =
∫
D
f(w)K(z, w)dν(w) ∀f ∈ HLp, (7)
зокрема
K(z, z) =
∫
D
|K(z, w)|2dν(w) =
∥∥K(z, ·)
∥∥2
2
.
Легко бачити, що таку саму властивiсть вiдтворення по вiдношенню до функцiй
простору HLp,n має i ядро
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1678 В. В. САВЧУК
Kn(z, w) := K(z, w)−
n−1∑
k=0
(k + 1)zkwk = znwn 1 + n(1− zw)
(1− zw)2
=
= znwn(1 + n(1− zw))K(z, w), n ∈ Z+, (8)
тобто
f(z) =
∫
D
f(w)Kn(z, w)dν(w) ∀f ∈ HLp,n, ∀z ∈ D (9)
i, зокрема,
∥∥Kn(z, ·)
∥∥2
2
=
∫
D
|Kn(z, w)|2dν(w) =
= Kn(z, z) = |z|2n 1 + n(1− |z|2)
(1− |z|2)2
.
Зауважимо, що функцiї K i Kn у вказаному сенсi не єдинi твiрнi ядра для
просторiв HLp i HLp,n вiдповiдно.
Нашою найближчою метою є побудова iнших твiрних ядер для зазначених
просторiв так, щоб цi ядра мали певнi екстремальнi властивостi.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞ i n ∈ Z+. Означимо в D2 функцiю Kp,n таким чином:
Kp,n(z, w) :=
Kp(z, w) := K(z, z)2/p−1 |K(z, w)|2
(K(w, z))2/p
, n = 0,
( z
w
)n(1−2/p)
Kn(z, z)2/p−1 |Kn(z, w)|2
(Kn(w, z))2/p
, n ∈ N.
(10)
Теорема 2. Нехай n ∈ Z+ i 1 ≤ p ≤ ∞. Якщо f ∈ HLp,n, то для кожного
z ∈ D
f(z) =
∫
D
f(w)Kp,n(z, w)dν(w). (11)
Зауваження 2. Iнтеграл у правiй частинi формули (11) можна трактувати як
лiнiйний оператор, визначений на Lp. Зокрема, при p = ∞ i n = 0 такий оператор
вiдомий як перетворення Березiна [2, c. 29], а при p = 2, n = 0 — це ортогональний
проектор L2 в HL2.
Доведення. Нехай n ∈ Z+. Зафiксуємо довiльне z ∈ D i розглянемо функцiю
g, означену в D так:
g(w) :=
(
znKn(w, z)
wnKn(z, z)
)1−2/p
f(w) =
=
(
(1 + n(1− wz))K(w, z)
(1 + n(1− zz))K(z, z)
)1−2/p
f(w), w ∈ D.
Оскiльки для кожного фiксованого z ∈ D
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1679
sup
w∈D
∣∣∣∣znKn(w, z)
wnKn(z, z)
∣∣∣∣ < ∞
i, згiдно з (8), для будь-якого w ∈ D(
znKn(w, z)
wnKn(z, z)
)1−2/p
=
∞∑
k=0
akwk,
де ak = ak(z) — певнi коефiцiєнти, причому ak 6= 0, k ∈ Z+, то функцiя g ∈ HLp,n,
i до того ж g(z) = f(z). Таким чином, згiдно з (9)
f(z) =
∫
D
g(w)Kn(z, w)dν(w) =
=
∫
D
f(w)Kp,n(z, w)dν(w) ∀ z ∈ D.
Теорему доведено.
Продемонструємо тепер екстремальнi властивостi ядер Kp,n.
Нехай n ∈ Z+ i 1 ≤ p ≤ ∞. Позначимо
An,p :=
f ∈ HLp,n :
∫
D
|f(w)|p|w|n(2−p)dν(w) ≤ 1
i розглянемо задачi про знаходження точних значень величин
A(ζ, p, n) := sup
{
|f(ζ)| : f ∈ Ap,n
}
, (12)
B(ζ, q, n) := inf
{∥∥K(ζ, ·)− g(·)
∥∥
q
: g ∈ L⊥p,n
}
, (13)
C(ζ, p) := inf
{∥∥Kp(ζ, ·)− h(·)
∥∥
q
: h ∈ L⊥p
}
, (14)
де ζ ∈ D, p−1+q−1 = 1, та екстремальних функцiй, на яких реалiзуються величини
A(ζ, p, n), B(ζ, q, n) i C(ζ, p).
Ми покажемо, що розв’язки цих задач виражаються в термiнах функцiй Kn i
Kp,n.
У наступному твердженнi йдеться про розв’язок задач (12) i (14) та двоїстiсть
задач (12) та (13), коли 2 ≤ p ≤ ∞ i n ∈ Z+.
Теорема 3. Нехай ζ ∈ D. Тодi:
1) якщо 1 ≤ p ≤ ∞, то для будь-якого n ∈ Z+
A(ζ, p, n) = |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p, (15)
а екстремальною функцiєю в задачi (12) є функцiя
f∗(z) = zn(1−2/p)
(
Kn(z, ζ)
‖Kn(ζ, ·)‖2
)2/p
= zn
(
ζ
n
(1 + n(1− zζ))K(z, ζ)
‖Kn(ζ, ·)‖2
)2/p
; (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1680 В. В. САВЧУК
2) якщо 1 ≤ p ≤ ∞ i q = p/(p− 1), то
B(ζ, q, 0) = A(ζ, p, 0) = K(ζ, ζ)1/p; (17)
якщо ж 2 ≤ p ≤ ∞ i q = p/(p− 1), то для будь-якого n ∈ Z+
B(ζ, q, n) = A(ζ, p, n) = |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p, (18)
а екстремальною функцiєю в задачi (13) є функцiя
g∗(·, ζ) = K(ζ, ·)−Kp,n(ζ, ·); (19)
3) якщо 1 ≤ p ≤ ∞ i q = p/(p− 1), то
C(ζ, p) = ‖Kp(ζ, ·)‖q = K(ζ, ζ)1/p,
а екстремальною функцiєю в задачi (14) є функцiя h∗ ≡ 0.
Зауваження 3. Як буде видно з доведення теореми, завжди можна ствер-
джувати таке: якщо 1 ≤ p ≤ ∞, q = p/(p− 1) i n ∈ Z+, то
B(ζ, q, n) ≤ |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p ∀ζ ∈ D.
Зазначимо також, що аналоги теорем 2 i 3 для просторiв Гардi Hp вiдомi, вони
мiстяться в роботi [14] (див. теореми 3 i 5).
Доведення. Доведемо рiвнiсть (15) i перший пункт теореми. Для цього ско-
ристаємося зображенням (11) для функцiї f ∈ HLp,n. Застосувавши нерiвнiсть
Гельдера для оцiнки iнтеграла в правiй частинi (11), отримаємо
|f(ζ)| ≤
∫
D
|f(w)Kp,n(ζ, w)| dν(w) =
= |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)2/p−1
∫
D
∣∣∣f(w)wn(2/p−1)
∣∣∣ |Kn(w, z)|2
|Kn(w, z)|2/p
dν(w) ≤
≤ |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)2/p−1
∫
D
|f(w)|p|wn(2−p)|dν(w)
1/p
×
×
∫
D
|Kn(w, ζ)|2dν(w)
1/q
≤
≤ |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)2/p−1Kn(ζ, ζ)1/q =
= |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p.
Останнє доводить потрiбну оцiнку величини A(ζ, p, n) зверху.
Для оцiнки знизу вiзьмемо функцiю f∗, визначену формулою (16). Легко бачи-
ти, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1681
|f∗(ζ)| = |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p,∫
D
|f∗(z)|p|z|n(2−p)dν(z) = Kn(ζ, ζ)−1
∫
D
|z|n(p−2)|z|n(2−p)|Kn(z, ζ)|2dν(z) =
= Kn(ζ, ζ)−1Kn(ζ, ζ) = 1
i, крiм цього, f∗(z) = zn
∑∞
k=0
bkzk, де bk = bk(ζ) — певнi коефiцiєнти, залежнi
вiд ζ. Тому функцiя f∗ ∈ Ap,n i є екстремальною.
Перейдемо до доведення другого пункту теореми. Покажемо, що при 2 ≤
≤ p ≤ ∞
A(ζ, p, n) ≤ B(ζ, q, n). (20)
Справдi, якщо функцiя f ∈ Ap,n, то, згiдно з (7),
f(ζ) =
∫
D
f(w)K(ζ, w)dν(w) =
=
∫
D
f(w) (K(ζ, w)− g(w)) dν(w) ∀ζ ∈ D,
де g — будь-яка функцiя з L⊥q,n. Звiдси за нерiвнiстю Гельдера
|f(ζ)| ≤
∫
D
|f(w)|pdν
1/p ∥∥K(ζ, ·)− g(·)
∥∥
q
≤
≤
∫
D
|f(w)|p|w|n(2−p)dν
1/p ∥∥K(ζ, ·)− g(·)
∥∥
q
≤
≤ ‖K(ζ, ·)− g(·)‖q ∀ζ ∈ D, (21)
оскiльки |w|n(2−p) ≥ 1 при 2 ≤ p ≤ ∞ i w ∈ D. Останнi спiввiдношення доводять
нерiвнiсть|f(ζ)| ≤ B(ζ, q, n), а вiдтак i (20), оскiльки f — довiльна функцiя з Ap,n.
Нерiвнiсть
A(ζ, p, 0) ≤ B(ζ, q, 0)
доводиться аналогiчно iз формальною замiною n на 0 i з урахуванням того, що
параметр p можна брати з промiжку [1,∞].
Для оцiнки зверху величини B(ζ, q, n) вiзьмемо функцiю g∗, визначену форму-
лою (19), i покажемо, що при кожному ζ ∈ D g∗(·, ζ) ∈ L⊥q,n.
Дiйсно, згiдно з (7) i (11), для будь-якої функцiї f ∈ HLp,n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1682 В. В. САВЧУК∫
D
f(w)g∗(w, ζ)dν(w) =
∫
D
f(w)K(ζ, w)dν(w)−
∫
D
f(w)Kp,n(ζ, w)dν(w) =
= f(ζ)− f(ζ) = 0 ∀ζ ∈ D.
Отже, g∗(·, ζ) ∈ L⊥q,n i
B(ζ, q, n) ≤ ‖K(ζ, ·)− g∗(·, ζ)‖q = ‖Kp,n(ζ, ·)‖q ≤
≤ |ζ|n(1−2/p)Kn(ζ, ζ)1/p ∀ζ ∈ D.
Але з урахуванням (20) i (15) скрiзь в останньому спiввiдношеннi виконується тiль-
ки рiвнiсть. Цим завершується доведення рiвностi (18) i екстремальностi функцiї
g∗(·, ζ).
Доведемо тепер третiй пункт теореми. З формули (11) за нерiвнiстю Гельдера
випливає
sup
f∈Ap
|f(ζ)| ≤ C(ζ, p) ≤ ‖Kp(ζ, ·)‖q = K(ζ, ζ)1/p ∀ζ ∈ D.
Але, згiдно з доведеним вище,
sup
f∈Ap
|f(ζ)| = A(ζ, p, 0) = K(ζ, ζ)1/p ∀ζ ∈ D.
Отже,
C(ζ, p) =
∥∥Kp(ζ, ·)
∥∥
q
= K(ζ, ζ)1/p ∀ζ ∈ D.
Теорему повнiстю доведено.
3. Доведення теореми 1. Рiвнiсть (6) тривiальна при % = 0. Крiм цього, (6)
при n = 0 — це в точностi рiвнiсть (17). Тому далi вважаємо, що 0 < % < 1 i n ∈ N.
Зауважимо, що
Ln(Ap;C(T%)) = inf
Λ
sup
f∈Ap
∣∣f(%)− Un,Λ(f)(%)
∣∣. (22)
Справдi, для кожної функцiї f ∈ Ap знайдеться принаймнi одна точка z0 ∈ T% така,
що ∣∣f(z0)− Un,Λ(f)(z0)
∣∣ = ∥∥f − Un,Λ(f)
∥∥
C(T%)
.
Розглядаючи оператор R, означений на Ap формулою R(f)(z) = f(e−i arg z0z),
z ∈ D, бачимо, що рiвнiсть (22) випливає з того, що R(Ap) = Ap,
Un,Λ(R(f))(z) = Un,Λ(f)(e−i arg z0z)
i ∣∣R(f)(%)− Un,Λ(R(f))(%)
∣∣ = ∥∥f − Un,Λ(f)
∥∥
C(T%)
.
Перейдемо до оцiнки зверху величини Ln
(
Ap;C(T%)
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1683
Зафiксуємо % ∈ (0, 1) i побудуємо матрицю Λ∗ = {λn
k} , n ∈ Z+, k = 0, n− 1,
елементи якої визначаються формулою
λn
k = 1− %−k
∫
D
wkKp,n(%,w)dν(w), k = 0, n− 1. (23)
Тодi для кожної функцiї f ∈ Ap
Un,Λ∗(f)(%) =
∫
D
f(w)g∗(w, %)dν(w),
де g∗(·, %) — функцiя, означена формулою (19).
Справдi, позначивши Sn(f)(z) =
∑n−1
k=0
f̂kzk, згiдно з (7) та (11) одержимо
∫
D
f(w)g∗(w, %)dν(w) =
∫
D
f(w) (K(%,w)−Kp,n(%,w)) dν(w) =
= f(%)−
∫
D
(f(w)− Sn(f)(w))Kp,n(%,w)dν(w)−
−
∫
D
Sn(f)(w)Kp,n(%,w)dν(w) =
= f(%)− (f(%)− Sn(f)(%))−
∫
D
Sn(f)(w)Kp,n(%,w)dν(w) =
= Sn(f)(%)−
∫
D
Sn(f)(w)Kp,n(%,w)dν(w) =
=
n−1∑
k=0
1− %−k
∫
D
wkKp,n(%,w)dν(w)
f̂k%k.
Отже, на основi (7) маємо рiвнiсть
f(%)− Un,Λ∗(f)(%) =
∫
D
f(w) (K(%,w)− g∗(w, %)) dν(w) =
=
∫
D
f(w)Kp,n(%,w)dν(w).
Звiдси за нерiвнiстю Гельдера маємо оцiнку
Ln(Ap;C(T%)) = sup
f∈Ap
∣∣f(%)− Un,Λ∗(f)(%)
∣∣ ≤
≤
∥∥Kp,n(%, ·)
∥∥
q
= %n(1−2/p)Kn(%, %)1/p. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1684 В. В. САВЧУК
Оскiльки Ap,n ⊂ Ap при 2 ≤ p ≤ ∞ (див. спiввiдношення (21)), то функцiя f∗,
означена формулою (16), в якiй ζ = %, належить Ap i для неї
∣∣f∗(%)− Un,Λ∗(f∗)(%)
∣∣ = |f∗(%)| = A(%, p, n) = %n(1−2/p)Kn(%, %)1/p. (25)
Нехай тепер 1 ≤ p < 2. Вiзьмемо функцiю h∗ := (p/2)1/pf∗, де f∗ — та ж сама
функцiя, що i в попередньому випадку, i покажемо, що h∗ ∈ Ap.
Дiйсно, пригадавши, що Kn(z, w) =
∑∞
k=n
(k+1)zkwk, за рiвнiстю Парсеваля
будемо мати
∫
D
|h∗(w)|pdν(w) =
p
2
Kn(%, %)−1
∫
D
|w|n(p−2)|Kn(%,w)|2dν(w) =
=
p
2
Kn(%, %)−12
1∫
0
rn(p−2) 1
2π
2π∫
0
|Kn(%, reit)|2dt rdr =
=
p
2
Kn(%, %)−1
∞∑
k=n
%2k(k + 1)22
1∫
0
rn(p−2)+2k+1dr =
=
p
2
Kn(%, %)−1
∞∑
k=n
%2k(k + 1)2
2
n(p− 2) + 2k + 2
≤
≤ p
2
sup
k≥n
2(k + 1)
n(p− 2) + 2k + 2
Kn(%, %)−1
∞∑
k=n
%2k(k + 1) =
=
p
2
sup
k≥n−1
1
1− n
k + 1
(
1− p
2
) = 1.
Отже, алгебраїчний многочлен Un,Λ∗ наближає функцiю h∗ з похибкою
∣∣h∗(%)− Un,Λ∗(h∗)(%)
∣∣ = |h∗(%)| =
(p
2
)1/p
|f∗(%)| =
=
(p
2
)1/p
%n(1−2/p)Kn(%, %)1/p.
Тому
Ln(Ap;C(T%)) ≥
(p
2
)1/p
%n(1−2/p)Kn(%, %)1/p. (26)
Для завершення доведення теореми 1 досить об’єднати спiввiдношення (24) —
(26) i врахувати те, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ КЛАСУ БЕРГМАНА ... 1685
%n(1−2/p)Kn(%, %)1/p = %n
(
1 + n(1− %2)
(1− %2)2
)1/p
.
Теорему доведено.
1. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. –
М.: Наука, 1964. – 440 с.
2. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. – New York; Berlin: Springer,
2000. – 286 p.
3. Бабенко К. И. Наилучшие приближения классов аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1958. – 22, № 5. – C. 631 – 640.
4. Тайков Л. В. О наилучших линейных методах приближения классов Br и Hr // Успехи мат.
наук. – 1963. – 18, № 4. – С. 183 – 189.
5. Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. –
1966. – 17. – P. 1238 – 1243.
6. Белый В. И., Двейрин М. З. О наилучших линейных методах приближения на классах функций,
определяемых союзными ядрами // Метрические вопросы теории функций и отображений. –
Киев: Наук. думка, 1971. – 5. – С. 37 – 54.
7. Fisher S. D., Miccelli C. A. The n-widths of sets of analytic functions // Duke Math. J. – 1980. –
47, № 4. – P. 789 – 801.
8. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin: Springer, 1985. – 291 p.
9. Осипенко К. Ю., Стесин М. И. О поперечниках класса Харди H2 в n-мерном шаре // Успехи
мат. наук. – 1990. – 45, № 5. – С. 193 – 194.
10. Fisher S. D., Stessin M. I. On n-widths of classes of holomorphic functions with reproducing kernel
// Ill. J. Math. – 1994. – 38. – P. 589 – 615.
11. Osipenko K. Yu. On n-widths of holomorphic functions of several variables // J. Approxim. Theory.
– 1995. – 82. – P. 135 – 155.
12. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналити-
ческих в круге функций // Мат. заметки. – 1995. – 57, № 1. – С. 30 – 39.
13. Савчук В. В. Найкращi лiнiйнi методи наближення функцiй класу Хардi Hp // Укр. мат журн.
– 2003. – 55, № 7. – С. 919 – 925.
14. Савчук В. В. Найкращi наближення твiрних ядер просторiв аналiтичних функцiй // Там же. –
2004. – 56, № 7. – С. 947 – 959.
Одержано 14.02.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3563 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:56Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5e/1462adf459824c772f8a0fb4f97b405e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35632020-03-18T19:57:46Z Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials Найкращі лінійні методи наближення функцій класу Бергмана алгебраїчними многочленами Savchuk, V. V. Савчук, В. В. On concentric circles $T_{ϱ} = {z ∈ ℂ: ∣z∣ = ϱ},\; 0 ≤ ϱ < 1$, we determine the exact values of the quantities of the best approximation of holomorphic functions of the Bergman class $A_p, 2 ≤ p ≤ ∞$, in the uniform metric by algebraic polynomials generated by linear methods of summation of Taylor series. For $1 ≤ p < 2$, we establish exact order estimates for these quantities. Знайдено точні значення величин найкращого наближення на концентричних колах $\mathbb{T}_{\varrho} = \{z \in \mathbb{C} :\; |z| = \varrho\},\quad 0 \leq \varrho < 1$, у рівномірній метриці голоморфних функцій класу Бергмана $A_p,\; 2 \leq p < \infty$, алгебраїчними многочленами, які породжуються лінійними методами підсумовування рядів Тейлора. Для випадку, коли $1 \leq p < 2$, знайдено точні порядкові оцінки таких величин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3563 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 12 (2006); 1674–1685 Український математичний журнал; Том 58 № 12 (2006); 1674–1685 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3563/3860 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3563/3861 Copyright (c) 2006 Savchuk V. V. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title | Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title_alt | Найкращі лінійні методи наближення функцій класу Бергмана алгебраїчними многочленами |
| title_full | Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title_fullStr | Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title_full_unstemmed | Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title_short | Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials |
| title_sort | best linear methods for the approximation of functions of the bergman class by algebraic polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3563 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv bestlinearmethodsfortheapproximationoffunctionsofthebergmanclassbyalgebraicpolynomials AT savčukvv bestlinearmethodsfortheapproximationoffunctionsofthebergmanclassbyalgebraicpolynomials AT savchukvv najkraŝílíníjnímetodinabližennâfunkcíjklasubergmanaalgebraíčnimimnogočlenami AT savčukvv najkraŝílíníjnímetodinabližennâfunkcíjklasubergmanaalgebraíčnimimnogočlenami |