Properties of entire solutions of differential equations
We investigate the close-to-convexity and l-index boundedness of entire solutions of the differential equations $z^2w'' + \beta zw' + (\gamma z^2 — \beta)w = 0$ і$ zw'' + \beta w' + \gamma zw = 0$.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3565 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509679327641600 |
|---|---|
| author | Sheremeta, Z. M. Sheremeta, M. M. Шеремета, З. М. Шеремета, М. М. |
| author_facet | Sheremeta, Z. M. Sheremeta, M. M. Шеремета, З. М. Шеремета, М. М. |
| author_sort | Sheremeta, Z. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:46Z |
| description | We investigate the close-to-convexity and l-index boundedness of entire solutions of the differential equations $z^2w'' + \beta zw' + (\gamma z^2 — \beta)w = 0$ і$ zw'' + \beta w' + \gamma zw = 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.4
З. М. Шеремета (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв),
М. М. Шеремета (Львiв. нац. ун-т)
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
The close-to-convexity and l-index boundedness of entire solutions of the differential equations z2w′′ +
+ βzw′ + (γz2 − β)w = 0 and zw′′ + βw′ + γzw = 0 are investigated.
Дослiджено близькiсть до опуклостi та обмеженiсть l-iндексу цiлих розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь z2w′′ + βzw′ + (γz2 − β)w = 0 i zw′′ + βw′ + γzw = 0.
1. Вступ. Однолиста аналiтична в D =
{
z : |z| < 1
}
функцiя f називається
опуклою, якщо f(D) — опукла область. Вiдомо [1, c. 203], що умова Re
{
1 +
+ zf ′′(z)/f ′(z)
}
> 0, z ∈ D, є необхiдною i достатньою для опуклостi f. Функ-
цiя f називається [1, c. 583] близькою до опуклої в D, якщо iснує опукла в D
функцiя Φ така, що Re
(
f ′(z)/Φ′(z)
)
> 0, z ∈ D. Близька до опуклої функцiя f
характеризується тим, що зовнiшнiсть G областi f(D) можна заповнити променями
L, що виходять з ∂G i повнiстю лежать в G. Кожна близька до опуклої функцiя є
однолистою в D, i тому f ′(0) 6= 0.
Для додатної неперервної на [0,+∞) функцiї l цiла функцiя f називається
функцiєю обмеженого l-iндексу [2, c. 5], якщо iснує N ∈ Z+ таке, що для всiх
n ∈ Z+ i z ∈ C ∣∣f (n)(z)
∣∣
n!ln(|z|)
≤ max
{
|f (k)(z)|
k!lk
(
|z|
) : 0 ≤ k ≤ N
}
. (1)
Найменше з таких чисел N називають l-iндексом i позначають через N(f, l). Якщо
G ⊂ C та iснує N ∈ Z+ таке, що нерiвнiсть (1) виконується для всiх n ∈ Z+
i z ∈ G, то f називатимемо функцiєю обмеженого l-iндексу на (або в) G, а l-
iндекс позначатимемо через N(f, l; G). Зауважимо, що якщо l(x) ≡ 1, то з (1)
отримуємо означення цiлої функцiї обмеженого iндексу, введене Б. Лепсоном [3]
для вивчення властивостей цiлих розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь зi
сталими коефiцiєнтами i використане У. Хейманом [4] для дослiдження розподiлу
значень таких розв’язкiв.
Ще у 1940 р. Р. Боас [5] довiв, що якщо щонайбiльше скiнченна кiлькiсть
похiдних цiлої функцiї f експоненцiального типу ≤ ln 2 є однолистими в D, то f —
многочлен. С. Шах i С. Трiмбле [5 – 8] розповсюдили цей результат на цiлi функцiї
з усiма однолистими похiдними в D або з деякою послiдовнiстю похiдних, що є
однолистими в D. Їх дослiдження продовжено в працях [9 – 12].
Близькостi до опуклостi всiх похiдних цiлої функцiї присвячено значно менше
праць, а вiдомою є лише стаття С. Шаха [13], в якiй вказано умови на дiйснi
коефiцiєнти β0, β1, γ0, γ1, γ2 диференцiального рiвняння
z2ω′′ + (β0z
2 + β1z)ω′ + (γ0z
2 + γ1z + γ2)ω = 0, (2)
c© З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1693
1694 З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА
за яких iснує цiлий розв’язок f такий, що або всi його похiднi, або парнi похiднi,
або непарнi похiднi є функцiями, близькими до опуклих в D. Неважко показати,
що цiла функцiя f(z) =
∑∞
n=0
fnzn є розв’язком диференцiального рiвняння (2)
тодi i тiльки тодi, коли γ2f0 = 0, (β1 + γ2)f1 + γ1f0 = 0 i(
n(n + β1 − 1) + γ2
)
fn +
(
β0(n− 1) + γ1
)
fn−1 + γ0fn−2 = 0, n ≥ 2. (3)
С. Шах [13] розглядав лише тi випадки, коли двочленна рекурентна формула (3) для
коефiцiєнтiв fn зводиться до одночленної рекурентної формули, i використовував
критерiй Александера, який стверджує, що аналiтична в D функцiя a(z) = z +
+
∑∞
n=0
anzn є близькою до опуклої, якщо 1 ≥ 2an ≥ 3a3 ≥ . . . . Зокрема, вiн
довiв такi теореми.
Теорема А. Якщо β ≥ 0 i −2 < γ < 0, то диференцiальне рiвняння
zw′′ + βw′ + γzw = 0 (4)
має цiлий розв’язок
f(z) = 1 +
∞∑
k=1
f2kz2k (5)
такий, що всi непарнi похiднi f ′, f ′′′, . . . є функцiями, близькими до опуклих в D, i
ln Mf (r) =
(
1 + o(1)
)√
|γ| r, r →∞. (6)
Теорема Б. Якщо ж β ≥ 0 i −2 < γ < 0, то диференцiальне рiвняння
z2w′′ + βzw′ + (γz2 − β)w = 0 (7)
має цiлий розв’язок
f(z) = z +
∞∑
k=1
f2k+1z
2k+1 (8)
такий, що всi парнi похiднi f, f ′′, . . . є функцiями, близькими до опуклих в D, i
справджується асимптотична рiвнiсть (6).
Близкiсть до опуклостi цiлого розв’язку рiвняння (2) у випадку двочленної
рекурентної формули дослiджено в [14] за умови, що параметри β0, β1, γ0, γ1, γ2
є дiйсними, i в [15] за умови, що вони є комплексними. Нарештi, зауважимо, що у
всiх наведених працях обмеженiсть l-iндексу цiлого розв’язку не дослiджувалась.
Тут ми розглянемо випадок, коли коефiцiєнти β i γ можуть бути комплексними,
i доведемо двi наступнi теореми.
Теорема 1. Якщо |β| < 1 i 0 < |γ| ≤ 1, то диференцiальне рiвняння (4) має
цiлий розв’язок (5) такий, що має мiсце асимптотична рiвнiсть (6), всi непарнi
похiднi f ′, f ′′′, . . . є функцiями, близькими до опуклих в D, i кожна похiдна f (ν),
ν ≥ 0, є обмеженого lν-iндексу з lν(x) ≡ ν + 2 i N(f (ν), lν) ≤ 11, причому
N(f (ν), 2; D1/2) ≤ 11 i N(f (ν), ν + 2; C \ D1/2) ≤ 2, ν ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1695
Теорема 2. Якщо |β| < 1 i 0 < |γ| ≤ 1, то диференцiальне рiвняння (7)
має цiлий розв’язок (8) такий, що має мiсце асимптотична рiвнiсть (6), всi парнi
похiднi f, f ′′, . . . є функцiями, близькими до опуклих в D, i кожна похiдна f (ν),
ν ≥ 0, є обмеженого lν-iндексу з lν(x) ≡ ν + 3 i N(f (ν), lν) ≤ 11, причому
N(f (ν), 3; D1/2) ≤ 11 i N(f (ν), ν + 3; C \ D1/2) ≤ 2, ν ≥ 0.
2. Допомiжнi твердження. Наступну лему доведено в [15].
Лема 1. Якщо
∑∞
n=2
n|an| < 1, то функцiя a(z) = z +
∑∞
n=2
anzn є близь-
кою до опуклої.
Лема 2. Якщо
∑∞
n=2
n|an| ≤ α < 1, то функцiя a(z) = z +
∑∞
n=2
anzn є
обмеженого l-iндексу в D1/2 з l(x) ≡ 2 i N(a, 2; D1/2) ≤ [2α/(1− α)] + 1.
Справдi, для |z| ≤ 1
|a′(z)| =
∣∣∣∣∣1 +
∞∑
n=2
nanzn−1
∣∣∣∣∣ ≥ 1−
∞∑
n=2
n|an| = 1− α > 0 (9)
i
|a′(z)| ≤ 1 +
∞∑
n=2
n|an| = 1 + α. (10)
З iншого боку, за формулою Кошi для |z| ≤ 1/2 i m ≥ 1 маємо
∣∣a(m+1)(z)
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
m!
2πi
∫
|τ−z|=1/2
a′(τ)dτ
(τ − z)m+1
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ m!2m max
{
|a′(z)| : |z| ≤ 1
}
. (11)
З (9) – (11) випливає, що для z ∈ D1/2 i m ≥ 2α/(1− α)
|a(m+1)(z)|
(m + 1)!2m+1
≤ max{|a′(z)| : |z| ≤ 1}
2(m + 1)
≤ 1 + α
2(m + 1)
≤
≤ 1 + α
(m + 1)(1− α)
|a′(z)|
2
≤ |a′(z)|
2
≤ max
{
|a′(z)|
2
, |a(z)|
}
,
тобто функцiя a є обмеженого l-iндексу в D1/2 з l(x) ≡ 2 i N(a, 2; D1/2) ≤
≤
[
2α/(1− α)
]
+ 1.
Наведемо ще декiлька зауважень, якi випливають з означення обмеженостi
l-iндексу.
Зауваження 1. Якщо f — цiла функцiя обмеженого l-iндексу в G i a =
= const 6= 0, то функцiя F (z) = af(z) обмеженого l-iндексу в G i N(F, l; G) =
= N(f, l; G).
Зауваження 2. Якщо f ′ є функцiєю обмеженого l-iндексу в G, то f є функ-
цiєю обмеженого l-iндексу i N(f, l; G) ≤ N(f ′, l; G) + 1.
Справдi, для n ≥ N = N(f ′, l; G)
|f (n+1)(z)|
(n + 1)!ln+1(|z|)
=
1
(n + 1)l(|z|)
|f (n+1)(z)|
n!ln(|z|)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1696 З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА
≤ 1
(n + 1)l(|z|)
max
{
|f (k+1)(z)|
k!lk(|z|)
: 0 ≤ k ≤ N
}
=
=
1
(n + 1)l(|z|)
max
{
|f (k+1)(z)|
(k + 1)!lk+1(|z|)
(k + 1)l(|z|) : 0 ≤ k ≤ N
}
≤
≤ max
{
|f (k+1)(z)|
(k + 1)!lk+1(|z|)
: 0 ≤ k ≤ N
}
≤ max
{
|f (j)(z)|
j!lj(|z|)
: 0 ≤ j ≤ N + 1
}
.
Зауваження 3. Якщо l1(x) ≤ l2(x) i f є функцiєю обмеженого l1-iндексу N
в G, то f є функцiєю обмеженого l2-iндексу ≤ N в G.
Справдi, для n ≥ N
|f (n)(z)|
n!ln2 (|z|)
=
|f (n)(z)|
n!ln1 (|z|)
ln1 (|z|)
ln2 (|z|)
≤ ln1 (|z|)
ln2 (|z|)
max
{
|f (k)(z)|
k!lk1(|z|)
: 0 ≤ k ≤ N
}
≤
≤
(
l1(|z|)
l2(|z|)
)n−N
max
{
|f (k)(z)|
k!lk2(|z|)
: 0 ≤ k ≤ N
}
≤
≤ max
{
|f (k)(z)|
k!lk2(|z|)
: 0 ≤ k ≤ N
}
.
3. Доведення теореми 1. У роботi [13] показано, що для цiлого розв’язку (5)
рiвняння (4)
f2k = − γ
2k(2k + β − 1)
f2(k−1), k ≥ 1, (12)
звiдки
f2k =
k∏
j=1
−γ
2j(2j + β − 1)
, k ≥ 1. (13)
Неважко перевiрити (наприклад, методом математичної iндукцiї), що для функцiї
(5) i ν ≥ 0
f (2ν+1)(z) =
= (2ν + 2)!f2ν+2z +
∞∑
k=2
(2k + 2ν)(2k + 2ν − 1) . . . (2k + 1)2kf2k+2νz2k−1.
Звiдси випливає, що f (2ν+1) є близькою до опуклої тодi i тiльки тодi, коли такою є
функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1697
Fν(z) = z +
∞∑
k=2
(2k + 2ν)(2k + 2ν − 1) . . . (2k + 1)2k
(2ν + 2)!
f2k+2ν
f2ν+2
z2k−1 =
= z +
∞∑
k=2
(2k + 2ν)!
(2k − 1)!(2ν + 2)!
ν+k∏
j=ν+2
−γ
2j(2j + β − 1)
z2k−1 =
= z +
∞∑
k=2
Fν,kz2k−1.
З умови |β| < 1 випливає, що |2j + β − 1| ≥ 2(j − 1) для j ≥ 1, а методом
математичної iндукцiї неважко показати, що для всiх ν ≥ 0 i k ≥ 1
(2k + 2ν)!(ν + 1)!ν!
(2k − 1)!(2ν + 2)!(ν + k)!(ν + k − 1)!
≤ 1
((k − 1)!)2
.
Тому
∞∑
k=2
(2k − 1)|Fν,k| ≤
∞∑
k=2
(2k − 1)(2k + 2ν)!
(2k − 1)!(2ν + 2)!
(
|γ|
4
)k−1 ν+k∏
j=ν+2
1
j(j − 1)
=
=
∞∑
k=2
(2k − 1)(2k + 2ν)!(ν + 1)!ν!
(2k − 1)!(2ν + 2)!(ν + k)!(ν + k − 1)!
(
|γ|
4
)k−1
≤
≤
∞∑
k=1
2k + 1
(k!)2
(
|γ|
4
)k
≤
∞∑
k=1
2k + 1
4k(k!)2
=
3
4
+
5
64
+
7
2304
+ . . . <
≤ 3
4
+
5
64
+
8
2304
=
479
576
< 1, (14)
тобто за лемою 1 всi функцiї Fν i, отже, f (2ν+1) є близькими до опуклих.
З (14) випливає також, що для функцiї Fν виконується умова леми 2 з α =
= 479/576. Оскiльки
[
2α/(1 − α)
]
= [958/97] = 9, то за лемою 2 згiдно iз заува-
женням 1 N(f (2ν+1), 2; D1/2) = N(Fν , 2; D1/2) ≤ 10, а згiдно iз зауваженням 2
N(f (2ν), 2; D1/2) ≤ 11.
Перейдемо до оцiнок l-iндексу в C \D1/2. Пiдставляючи (5) в (4), для |z| ≥ 1/2
за умов |β| < 1 i |γ| ≤ 1 маємо
|f ′′(z)|
2!22
≤ |β|
4|z|
|f ′(z)|
1!2
+
|γ|
8
|f(z)| ≤
(
1
2
+
1
8
)
max
{
|f ′(z)|
2
, |f(z)|
}
<
< max
{
|f ′(z)|
2
, |f(z)|
}
. (15)
Пiдставимо (5) в (4) i продиференцiюємо m ≥ 1 разiв. Тодi
zf (m+2)(z) + (m + β)f (m+1)(z) + γzf (m)(z) + γmf (m−1)(z) ≡ 0, (16)
звiдки для |z| ≥ 1/2 отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1698 З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА
|f (m+2)(z)|
(m + 2)!2m+2
≤ 2(m + 1)
2(m + 2)
|f (m+1)(z)|
(m + 1)!2m+1
+
1
4(m + 2)(m + 1)
|f (m)(z)|
m!2m
+
+
2m
8(m + 2)(m + 1)m
|f (m−1)(z)|
(m− 1)!2m−1
≤
≤
(
m + 1
m + 2
+
1
2(m + 2)(m + 1)
)
max
{
|f (k)(z)|
k!lk(|z|)
: m− 1 ≤ k ≤ m + 1
}
<
< max
{
|f (k)(z)|
k!lk(|z|)
: m− 1 ≤ k ≤ m + 1
}
. (17)
Звiдси для n ≥ 3 i |z| ≥ 1/2 одержуємо
|f (n)(z)|
n!2n
≤ max
{
|f (k)(z)|
k!2k
: 0 ≤ k ≤ n− 1
}
. (18)
З (18) при n = 3 маємо
|f ′′′(z)|
3!23
≤ max
{
|f (j)(z)|
j!2j
: 0 ≤ j ≤ 2
}
,
а при n > 3
|f (n)(z)|
n!2n
≤ max
{
|f (n−1)(z)|
(n− 1)!2n−1
, max
{
|f (j)(z)|
j!2j
: 0 ≤ j ≤ n− 2
}}
=
= max
{
|f (j)(z)|
j!2j
: 0 ≤ j ≤ n− 2
}
= . . . = max
{
|f (j)(z)|
j!2j
: 0 ≤ j ≤ 2
}
.
Використавши (15), цей процес можна продовжити i отримати нерiвнiсть
|f (n)(z)|
n!2n
≤ max
{
|f ′(z)|
2
, |f(z)|
}
для всiх |z| ≥ 1/2 i n ≥ 0, тобто N(f, 2; C \ D1/2) ≤ 1.
Для ν ≥ 1 i n ≥ 0 перепишемо тотожнiсть (16) у виглядi
zf (ν+n+3)(z) + (ν + n + 1 + β)f (ν+n+2)(z)+
+γzf (ν+n+1)(z) + γ(ν + n + 1)f (ν+n)(z) ≡ 0,
звiдки для |z| ≥ 1/2 дiстанемо
|f (ν+n+3)(z)|
(n + 3)!(ν + 2)n+3
≤ 2(ν + n + 2)
(n + 3)(ν + 2)
|f (ν+n+2)(z)|
(n + 2)!(ν + 2)n+2
+
+
1
(n + 3)(n + 2)(ν + 2)2
|f (ν+n+1)(z)|
(n + 1)!(ν + 2)n+1
+
+
2(ν + n + 1)
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(ν + 2)3
|f (ν+n)(z)|
n!(ν + 2)n
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1699
≤ Q(ν, n)max
{
|f (ν+j)(z)|
j!(ν + 2)j
: n ≤ j ≤ n + 2
}
,
де, як неважко перевiрити,
Q(ν, n) =
2(ν + n + 2)
(n + 3)(ν + 2)
+
1
(n + 3)(n + 2)(ν + 2)2
+
+
2(ν + n + 1)
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(ν + 2)3
< 1
для всiх ν ≥ 1 i n ≥ 0. Тому для ν ≥ 1 i n ≥ 0 маємо∣∣f (ν+n+3)(z)
∣∣
(n + 3)!(ν + 2)n+3
≤ max
{
|f (ν+j)(z)|
j!(ν + 2)j
: n ≤ j ≤ n + 2
}
,
тобто ∣∣f (ν+n)(z)
∣∣
n!(ν + 2)n
≤ max
{
|f (ν+j)(z)|
j!(ν + 2)j
: n− 3 ≤ j ≤ n− 1
}
для всiх ν ≥ 1 i n ≥ 3. Звiдси, як i вище, випливає, що f (ν) є функцiєю обмеженого
l-iндексу в C \ D1/2 з l(x) ≡ ν + 2 i N(f (ν), ν + 2; C \ D1/2) ≤ 2.
Залишилось довести асимптотичну рiвнiсть (6). Нехай µa(r) = max{|an|rn :
n ≥ 0} — максимальний член цiлої функцiї a(z) =
∑∞
n=0
anzn, а νa(r) =
= max{n : |an|rn = µa(r)} — його центральний iндекс.
Оскiльки |β| < 1, то з (11) маємо
1
(k!)2
(
|γ|
4
)k
≤ |f2k| ≤
1
k!(k − 1)!
(
|γ|
4
)k
. (19)
Неважко переконатися, що для центральних iндексiв рядiв f1(z) =
∑∞
k=1
zk
(k!)2
i f2(z) =
∑∞
k=1
zk
k!(k − 1)!
виконуються асимптотичнi рiвностi νfj
(r) = (1 +
+ o(1))
√
r, r → +∞. Використовуючи рiвнiсть ln µa(r) = ln µa(r0) +
+
∫ r
r0
νr(x)d ln x, для максимальних членiв цих рядiв отримуємо ln µfj (r) = 2(1+
+ o(1))
√
r, x → +∞, а за теоремою Бореля ln fj(r) = 2(1 + o(1))
√
r, x → +∞.
Тому з (19) одержуємо асимптотичну рiвнiсть ln Mf (r) = 2(1 + o(1))
√
|γ|r2/42 =
= (1 + o(1))
√
|γ| r, r → +∞.
Теорему 1 доведено.
4. Доведення теореми 2. У роботi [13] показано, що
f2k+1 = − γ
2k(2k + 1 + β)
f2k−1, k ≥ 1, (20)
звiдки випливає
f2k+1 =
k∏
j=1
−γ
2j(2j + 1 + β)
, k ≥ 1. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1700 З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА
Звiдси, як i вище, отримуємо асимптотичну рiвнiсть (6).
Неважко перевiрити, що для функцiї (8) i ν ≥ 1
f (2ν)(z) = (2ν + 1)!f2ν+1z+
+
∞∑
k=1
(2k + 2ν + 1)(2k + 2ν) . . . (2k + 2)f2k+2ν+1z
2k+1.
Звiдси випливає, що f (2ν) є близькою до опуклої, якщо такою є функцiя
F ∗
ν (z) = z +
∞∑
k=1
(2k + 2ν + 1)!
(2k + 1)!(2ν + 1)!
ν+k∏
j=ν+1
−γ
2j(2j + 1 + β)
z2k+1 =
= z +
∞∑
k=1
F ∗
ν,kz2k+1.
Оскiльки для всiх ν ≥ i k ≥ 1
(2k + 2ν + 1)!(ν!)2
(2k + 1)!(2ν + 1)!((ν + k)!)2
≤ 1
(k!)2
,
то
∞∑
k=1
(2k + 1)|F ∗
ν,k| ≤
≤
∞∑
k=1
(2k + 1)(2k + 2ν + 1)!
(2k + 1)!(2ν + 1)!
ν+k∏
j=ν+1
|γ|
2j(2j + 1− |β|)
≤
≤
∞∑
k=1
(2k + 1)(2k + 2ν + 1)!
(2k + 1)!(2ν + 1)!
(
|γ|
4
)k ν+k∏
j=ν+1
1
j2
=
=
∞∑
k=1
(2k + 1)(2k + 2ν + 1)!(ν!)2
(2k + 1)!(2ν + 1)!((ν + k)!)2
(
|γ|
4
)k
≤
∞∑
k=1
2k + 1
(k!)2
(
1
4
)k
≤ 479
576
.
Тому, як i при доведеннi теореми 1, використовуючи леми 1 i 2, бачимо, що всi
парнi похiднi f, f ′′, f (iv), . . . є близькими до опуклих в D i обмеженого l-iндексу
в D1/2 з l(x) ≡ 2 i N(f (2ν), 2; D1/2) ≤ 10. Згiдно iз зауваженнями 2 i 3 всi похiднi
є обмеженого l-iндексу в D1/2 з l(x) ≡ 3 i N(f (j), 3; D1/2) ≤ 11, j = 0, 1, 2, . . . .
Дослiдимо обмеженiсть l-iндексу функцiї (8) в C \ D1/2. Безпосередньо з (7)
для |z| ≥ 1/2 маємо
|f ′′(z)|
2!32
≤ 2|β|
6
|f ′(z)|
1!3
+
|γ|+ 4|β|
18
|f(z)| ≤
(
1
3
+
5
18
)
max
{
|f ′(z)|
1!5
, |f(z)|
}
<
< max
{
|f ′(z)|
1!5
, |f(z)|
}
. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1701
Пiдставляючи (8) в (7) i диференцiюючи, отримуємо
zf ′′′(z) + (2 + β)f ′′(z) + γzf ′(z) + 2γf(z) ≡ 0, (23)
звiдки для |z| ≥ 1/2
|f ′′′(z)|
3!33
≤ 2(2 + |β|)
9
|f ′′(z)|
2!32
+
|γ|
54
|f ′(z)|
1!3
+
4|γ|
162
|f(z)| ≤
≤
(
6
9
+
1
54
+
4
162
)
max
{
|f ′′(z)|
2!32
,
|f ′(z)|
1!3
, |f(z)|
}
<
< max
{
|f ′′(z)|
2!32
,
|f ′(z)|
1!3
, |f(z)|
}
. (24)
Нарештi продиференцiюємо тотожнiсть (23) m ≥ 1 разiв. Тодi
zf (m+3)(z) + (m + 2 + β)f (m+2)(z) + γzf (m+1)(z) + γ(m + 2)f (m)(z) ≡ 0, (25)
звiдки для |z| ≥ 1/2 отримуємо
|f (m+3)(z)|
(m + 3)!3m+3
≤
≤ 2(2 + m + |β|)
3(m + 3)
|f (m+2)(z)|
(m + 2)!3m+2
+
|γ|
9(m + 3)(m + 2)
|f (m+1)(z)|
(m + 1)!3m+1
+
+
2|γ|(m + 2)
27(m + 3)(m + 2)(m + 1)
|f (m)(z)|
m!3m
≤
≤
(
2
3
+
1
9(m + 3)(m + 2)
+
2
27(m + 3)(m + 1)
)
×
×max
{
|f (k)(z)|
k!3k
: m ≤ k ≤ m + 2
}
<
< max
{
|f (k)(z)|
k!3k
: m ≤ k ≤ m + 2
}
.
Звiдси, а також з (24) i (22) випливає обмеженiсть l0-iндексу функцiї (8) в C\D1/2)
з l0(x) ≡ 3 i N(f, l0; C \ D1/2) ≤ 1.
Для ν ≥ 1 i n ≥ 0 перепишемо тотожнiсть (25) у виглядi
zf (ν+n+3)(z) + (ν + n + 2 + β)f (ν+n+2)(z) +
+ γzf (ν+n+1)(z) + γ(ν + n + 2)f (ν+n)(z) ≡ 0,
звiдки для |z| ≥ 1/2 маємо
|f (ν+n+3)(z)|
(n + 3)!(ν + 3)n+3
≤ Q(n, ν) max
{
|f (ν+j)(z)|
j!(ν + 3)j
: n ≤ j ≤ n + 2
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
1702 З. М. ШЕРЕМЕТА, М. М. ШЕРЕМЕТА
де, як неважко перевiрити,
Q(ν, n) =
2(ν + n + 3)
(n + 3)(ν + 3)
+
1
(n + 3)(n + 2)(ν + 3)2
+
+
2(ν + n + 2)
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(ν + 5)3
< 1,
тобто для всiх ν ≥ 1, n ≥ 0 i |z| ≥ 1/2
|f (ν+n+3)(z)|
(n + 3)!(ν + 3)n+3
≤
≤ max
{
|f (ν+j)(z)|
j!(ν + 3)j
: n ≤ j ≤ n + 2
}
.
Звiдси випливає, що N(f (ν), lν ; C \ D1/2) ≤ 2 з l(x) ≡ ν + 3.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 4. Умова |β| < 1 у теоремi 1 є природною, тому що у випадку
β = −1 i k = 1 формула (12) є беззмiстовною. Умову |β| < 1 у теоремi 2 накладено
для простоти викладок. Її можна замiнити умовою |β| < 3, бо у випадку β = −3 i
k = 1 формула (20) втрачає змiст. Але тодi для застосування викладеної методики
потрiбно, щоб |γ| < 4(3− |β|), i l-iндекс залежатиме вiд 1/(3− |β|). Ця обставина
збiльшить об’єм статтi. Водночас, використовуючи схему доведення теореми 2,
вiдповiдний результат отримати неважко.
Далi, якщо γ = 0, то загальний розв’язок рiвняння (4) має вигляд w = c1z
1−β +
+c2, а загальним розв’язком рiвняння (7) є w = c1z
−β + c2z, тобто i рiвняння (4),
i рiвняння (7) не мають цiлих трансцендентних розв’язкiв. Отже, умова |γ| > 0 є
iстотною в теоремах 1 i 2.
Нарештi, умова |γ| ≤ 1 виникла внаслiдок застосованого методу. Щодо близь-
костi до опуклостi всiх похiдних, то цю умову можна замiнити, наприклад, слаб-
шою умовою |γ| ≤ 16/15, але не можна замiнити умовою |γ| ≤ q2, q > π/2,
на що вказує диференцiальне рiвняння w′′ + q2w = 0 (яке є окремим випадком
як рiвняння (4), так i рiвняння (7) з β = 0 i γ = q2). Загальний розв’язок цьо-
го рiвняння має вигляд w = c1 cos qz + c2 sin qz, причому розв’язок w = cos qz
рiвняння (4) зображується рядом (5), а розв’язок w = (1/q) sin qz рiвняння (7) —
рядом (8). Всi похiднi, про якi йдеться у теоремах 1 i 2, мають вигляд w = sin qz,
є однолистими в крузi {z : |z| < π/(2q)}, але не є однолистими в замкненому крузi
{z : |z| ≤ π/(2q)}. Тому якщо q > π/2, то цi похiднi не є однолистими i, отже,
близькими до опуклих в D.
Для додатної неперервної на [0,+∞) функцiї l цiлу функцiю f називають [2,
c. 49] функцiєю обмеженого l-розподiлу значень, якщо iснує p ∈ N таке, що для
кожного z0 ∈ C i всiх w ∈ C рiвняння f(z) = w має в крузi
{
z : |z−z0| ≤ 1/l(|z0|)
}
щонайбiльше p коренiв.
Вiдомо [2, c. 49], що якщо функцiя l задовольняє умову l(x + O(1/l(x))) =
= O(l(x)), x → +∞, то цiла функцiя f є функцiєю обмеженого l-розподiлу значень
тодi i тiльки тодi, коли f ′ є похiдною обмеженого l-iндексу. Звiдси випливає, що за
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
ВЛАСТИВОСТI ЦIЛИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1703
умови теореми 1 (чи теореми 2) кожна похiдна f (ν), ν ≥ 0, функцiї (5) (вiдповiдно
функцiї (8)) є похiдною обмеженого lν-розподiлу значень з lν(x) ≡ ν+3 (вiдповiдно
lν(x) ≡ ν + 4).
1. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
– 628 c.
2. Sheremeta M. M. Analytic functions of bounded index. – Lviv: VNTL Publ., 1999. – 141 p.
3. Lepson B. Differential equations of infinite order, hyperdirichlet series and entire functions of
bounded index // Proc. Symp. Pure Math. – Providence, Phode Island: Amer. Math. Soc., 1968. – 2.
– P. 298 – 307.
4. Hayman W. K. Differential inequalities and local valency // Pacif. J. Math. – 1973. – 44. – P. 117 – 137.
5. Boas R. P. Univalent derivatives of entire functions // Duke Math. J. – 1940. – 6. – P. 719 – 721.
6. Shah S. M., Trimble S. Y. Entire functions with some derivatives univalent // Can. J. Math. – 1974.
– 24. – P. 207 – 213.
7. Shah S. M., Trimble S. Y. Univalence of derivatives of functions defined by gap power series // J.
London Math. Soc. (2). – 1975. – 9. – P. 501 – 512.
8. Shah S. M., Trimble S. Y. Univalence of derivatives of functions defined by gap power series. II //
J. Math. Anal. and Appl. – 1976. – 56. – P. 28 – 40.
9. Шеремета М. Н. О целых функциях с однолистными в круге производными // Укр. мат. журн.
– 1991. – 43, № 3. – С. 400 – 406.
10. Шеремета М. Н. Спростування однiєї гiпотези Шаха про однолистi функцiї // Мат. студ. –
1993. – Вип. 2. – С. 46 – 48.
11. Гольдберг А. А., Шеремета М. Н. Об аналитическом продолжении на всю плоскость анали-
тических в единичном круге функций // Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1993.
– Вып. 58. – С. 21 – 30.
12. Шеремета М. М. Про аналiтичнi в крузi функцiї з однолистими похiдними // Мат. методи та
фiз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 4. – С. 58 – 65.
13. Shah S. M. Univalence of a function f and its successive derivatives when f satisfies a differential
equation, II // J. Math. Anal. and Appl. – 1989. – 142. – P. 422 – 430.
14. Шеремета З. М. О свойствах целых решений одного дифференциального уравнения // Диф-
ференц. уравнения. – 2000. – 36, № 8. – С. 1 – 6.
15. Шеремета З. М., Шеремета М. Н. Близость к выпуклости целых решений одного дифферен-
циального уравнения // Дифференц. уравнения. – 2002. – 38, № 4. – C. 477 – 481.
Одержано 14.02.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3565 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:56Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/9b9a2214c2ce9443c484c7e9203428be.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35652020-03-18T19:57:46Z Properties of entire solutions of differential equations Властивості цілих розв'язків диференціальних рівнянь Sheremeta, Z. M. Sheremeta, M. M. Шеремета, З. М. Шеремета, М. М. We investigate the close-to-convexity and l-index boundedness of entire solutions of the differential equations $z^2w'' + \beta zw' + (\gamma z^2 — \beta)w = 0$ і$ zw'' + \beta w' + \gamma zw = 0$. Досліджено 6лизькість до опуклості та обмеженість $l$-індексу цілих розв'язків диференціальних Рівнянь $z^2w'' + \beta zw' + (\gamma z^2 — \beta)w = 0$ і$ zw'' + \beta w' + \gamma zw = 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3565 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 12 (2006); 1693–1703 Український математичний журнал; Том 58 № 12 (2006); 1693–1703 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3565/3864 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3565/3865 Copyright (c) 2006 Sheremeta Z. M.; Sheremeta M. M. |
| spellingShingle | Sheremeta, Z. M. Sheremeta, M. M. Шеремета, З. М. Шеремета, М. М. Properties of entire solutions of differential equations |
| title | Properties of entire solutions of differential equations |
| title_alt | Властивості цілих розв'язків диференціальних рівнянь |
| title_full | Properties of entire solutions of differential equations |
| title_fullStr | Properties of entire solutions of differential equations |
| title_full_unstemmed | Properties of entire solutions of differential equations |
| title_short | Properties of entire solutions of differential equations |
| title_sort | properties of entire solutions of differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3565 |
| work_keys_str_mv | AT sheremetazm propertiesofentiresolutionsofdifferentialequations AT sheremetamm propertiesofentiresolutionsofdifferentialequations AT šeremetazm propertiesofentiresolutionsofdifferentialequations AT šeremetamm propertiesofentiresolutionsofdifferentialequations AT sheremetazm vlastivostícílihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹ AT sheremetamm vlastivostícílihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹ AT šeremetazm vlastivostícílihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹ AT šeremetamm vlastivostícílihrozv039âzkívdiferencíalʹnihrívnânʹ |