Twist Functors and D-Branes
We discuss a categorical approach to the investigation of topological D-branes. Twist functors and their induced action on the cohomology ring of a manifold are studied. A nontrivial spherical object of the derived category of coherent sheaves of a reduced plane singular curve of degree 3 is constru...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3571 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509683622608896 |
|---|---|
| author | Burban, I. I. Burban, I. M. Бурбан, І. І. Бурбан, І. М. |
| author_facet | Burban, I. I. Burban, I. M. Бурбан, І. І. Бурбан, І. М. |
| author_sort | Burban, I. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:02Z |
| description | We discuss a categorical approach to the investigation of topological D-branes. Twist functors and their induced action on the cohomology ring of a manifold are studied. A nontrivial spherical object of the derived category of coherent sheaves of a reduced plane singular curve of degree 3 is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.723
I. I. Burban (Un-t P’[ra ta Mari] Kgri, ParyΩ, ta Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka),
I. M. Burban (In-t teoret. fizyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY
We discuss the categorical approach to the study of topological D-branes. We investigate twist functors
and their induced action on the cohomology ring of a manifold. We construct a nontrivial spherical
object of a derived category of coherent sheaves of reduced plane singular curve of degree three.
Obhovorg[t\sq katehornyj pidxid do vyvçennq topolohiçnyx D-bran. Vyvçagt\sq funktory
skrutu ta ]x indukovana diq na kohomolohiçnomu kil\ci mnohovydu. Pobudovano netryvial\nyj
sferyçnyj ob’[kt poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv zvidno] plosko] osoblyvo] kryvo]
tret\oho stepenq.
1. Vstup. Vidomo, wo bahato pytan\, pov’qzanyx iz vyvçennqm mnohovydiv, vyma-
hagt\ doslidΩennq vlastyvostej katehori] koherentnyx puçkiv na cyx mnohovy-
dax. Vyqvlq[t\sq, wo movog homolohiçno] alhebry zruçno takoΩ formulgvaty
i rozv’qzuvaty bahato zadaç teoretyçno] fizyky. Protqhom ostann\oho desqty-
riççq sposteriha[t\sq intensyvne pronyknennq alhebra]çnyx metodiv, zokrema,
teori] poxidnyx katehorij, u teorig superstrun.
Odni[g z perßyx, qkwo ne perßog, robotog u c\omu naprqmku bula stattq
E. Zaslova [1], u qkij bulo zvernuto uvahu na ßyrokyj spektr zv’qzkiv najnovi-
ßyx rezul\tativ alhebra]çno] heometri] i homolohiçno] alhebry z rezul\tatamy,
oderΩanymy v N = 2 superkonformnij teori] polq (teoriq perebudov vynqtko-
vyx naboriv na mnohovydax Fano). A vtim, spravΩnij rezonans vyklykala robota
M. Koncevyça [2], v qkij proponuvalosq formulgvaty dzerkal\nu symetrig su-
perstrunnyx teorij typu IIA ta IIV qk ekvivalentnist\ dvox tryanhul\ovanyx
katehorij. A same, strunna teoriq typu IIV povnistg xarakteryzu[t\sq poxid-
nog katehori[g koherentnyx puçkiv na hladkomu kompleksnomu mnohovydi Ka-
labi – Qu X. Dzerkal\na do ne] teoriq typu IIA opysu[t\sq, v svog çerhu, po-
xidnog katehori[g Fuka] na dzerkal\nomu mnohovydi Kalabi – Qu X̂ . Kil\koma
rokamy pizniße Û. Pol\çyns\kyj [3] vidkryv isnuvannq D-bran u strunnyx teo-
riqx, wo spryçynylo vybux novyx doslidΩen\ u teori] superstrun.
Z toho çasu vidbulasq kardynal\na zmina pohlqdiv na sami strunni teori] qk z
teoretyçno], tak i z fenomenolohiçno] toçok zoru. Robota Û. Pol\çyns\koho
[3] stala poçatkom druho] superstrunno] revolgci].
Koncepciq D-bran harmonijno dopovnyla teorig homolohiçno] dzerkal\no]
symetri] M. Koncevyça. Dva pidxody do vyvçennq D-bran, superhravitacijnyj ta
vidkrytosuperstrunnyj, vyqvylys\ ekvivalentnymy. V ramkax ostann\oho pidxo-
du teoriq D-bran formulg[t\sq movog poxidnyx katehorij. Buduçy syntezom
dvox kul\tur, fizyçno] ta matematyçno], teoriq D-bran, u svog çerhu, vkazala
na al\ternatyvnyj ßlqx vyvçennq heometryçnyx katehorij.
Na pidtverdΩennq efektyvnosti ide] katehornoho pidxodu vyvçennq D-bran
moΩna navesty taki arhumenty:
1. D -brany typu IIV doslidΩuvalysq na rivni ]x topolohiçnyx zarqdiv [4].
Topolohiçnyj zarqd [ elementom kil\cq parnyx kohomolohij H X2*( , )C . Qkwo
F
• ∈ D
b ( Coh
X
) — topolohiçna brana, to ]] topolohiçnyj zarqd vyznaça[t\sq za
formulog
Q ( F
• ) : = ch ( F
• ) tdX ∈ H X2*( , )C .
Cej topolohiçnyj invariant (vektor Muka]) bulo vperße znajdeno u roboti [5]
nezaleΩno vid homolohiçno] teori] D-bran.
© I. I. BURBAN, I. M. BURBAN, 2005
18 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 19
2. Formalizm poxidnyx katehorij dozvolq[ opysaty zv’qzni stany, marhinal\-
nu stabil\nist\, rozsiqnnq i anihilqcig D-bran. Qkwo F
•
i G
•
— brana j anty-
brana, qki za dopomohog struny f : F
• → G
•
utvorggt\ zv’qznyj stan, to cej
zv’qznyj stan opysu[t\sq qk konus Cone ( f ) morfizmu f u poxidnij katehori]
koherentnyx puçkiv. ZauvaΩymo, wo my oderΩu[mo korektnu formulu dlq to-
polohiçnoho zarqdu zv’qznoho stanu:
Q ( Cone ( f ) ) = Q ( F
• ) – Q ( G
• ).
3. Dlq teori] D-bran u strunnij teori] typu IIV vaΩlyvu rol\ vidihra[
strunnyj prostir moduliv kelerovyx struktur Käh ( X ) mnohovydu X. U vypad-
ku, koly X [ povnym peretynom dyvizoriv u toryçnomu mnohovydi, Käh ( X )
moΩna vyznaçyty za dopomohog sklejky kelerovyx konusiv pevnyx biracional\-
nyx perebudov (flopiv) mnohovydu X [6] (rozdil 6.2). Za teoremamy O. Bondala
i D. Orlova [7] (teorema 3.6) ta T. BridΩelanda [8] (teorema 1.1) flopy ne zmi-
nggt\ poxidnu katehorig. Ce oznaça[, wo strunnyj prostir moduliv kelerovyx
struktur vyznaça[t\sq poxidnog katehori[g mnohovydu.
U cij roboti my rozhlqdatymemo topolohiçni BPZ (Bohomol\noho – Prasada
– Zommerfel\da) D-brany v superstrunnyx teoriqx typu IIV. Matematyçno vo-
ny ototoΩnggt\sq z ob’[ktamy poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
D
b ( CohX
) na kompaktyfikugçomu mnohovydi Kalabi – Qu X. Vyvçennq topolo-
hiçnyx D-bran za dopomohog poxidnyx katehorij moΩna rozhlqdaty qk uzahal\-
nennq K-teornoho opysu topolohiçnyx zarqdiv D-bran u heometryçnij fazi.
Metody poxidnyx katehorij dozvolqgt\ vyvçaty taki fizyçni xarakterystyky
D-bran, qk stabil\nist\ ta monodromig pry obxodi kontura navkolo osoblyvo]
toçky strunnoho prostoru moduliv kelerovyx struktur mnohovydu X. Peretvo-
rennq monodromi] na ob’[ktax poxidno] katehori] vyznaça[t\sq deqkym funkto-
rom skrutu Zajdelq – Tomasa [9]. Meta roboty — bil\ß detal\ne vyvçennq
struktury poxidnyx katehorij koherentnyx puçkiv na deqkyx proektyvnyx mno-
hovydax, zokrema, pobudova ]x avtoekvivalentnostej ta sferyçnyx ob’[ktiv. U
roboti takoΩ pobudovano novyj typ avtoekvivalentnostej poxidnyx katehorij,
qki uzahal\nggt\ funktory skrutu Zajdelq – Tomasa [9] ta teleskopni funk-
tory Lencinha – Mel\tcera [10]. My takoΩ da[mo stverdnu vidpovid\ na zapy-
tannq roboty O.IPoliwuka [11] pro isnuvannq vidminnyx vid strukturnyx puçkiv
hladkyx toçok kryvo] ta prostyx rozßaruvan\ sferyçnyx ob’[ktiv u katehori]
D
b ( CohX
) , de X — ploska kubiçna kryva, qka [ transversal\nym peretynom
koniky ta prqmo].
Poxidnym katehoriqm ta peretvorenng Fur’[ – Muka] prysvqçeno ohlqdovu
robotu [12]. U danij roboti my akcentu[mo uvahu na aspektax poxidnyx katehorij
koherentnyx puçkiv, qki ne rozhlqnuti u roboti D. Orlova, ta deqkyx pytannqx
homolohiçno] teori] D-bran.
2. Poxidni katehori]. Nahada[mo deqki vlastyvosti poxidnyx katehorij ko-
herentnyx puçkiv na proektyvnyx mnohovydax. Za vyznaçennqm ta osnovnymy
vlastyvostqmy poxidnyx ta tryanhul\ovanyx katehorij moΩna zvernutysq do
monohrafi] [3].
Skladnist\ poxidno] katehori] D
b ( A ) abelevo] katehori] A xarakteryzu[t\-
sq ]] homolohiçnog rozmirnistg gl. dim ( A ). U najprostißomu vypadku, koly
gl. dim ( A ) = 0, katehoriq A [ napivprostog, bud\-qkyj ob’[kt A [ proektyv-
nym i poxidna katehoriq D
b ( A ) ekvivalentna prqmij sumi katehorij ⊕ ∈i iZ A ,
de Ai = A dlq i ∈
Z. U vypadku gl. dim ( A ) = 1 klasyfikaciq nerozkladnyx
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
20 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
ob’[ktiv poxidno] katehori] D
b ( A ) takoΩ zvodyt\sq do klasyfikaci] neroz-
kladnyx ob’[ktiv samo] katehori] A
.
Nahada[mo, wo symvol [ n ], n = 0, 1, 2, 3, …
, [ standartnym poznaçennqm
zsuvu danoho kompleksu na n pozycij livoruç.
Teorema 1. Nexaj X — hladka proektyvna kryva. U poxidnij katehori] kohe-
rentnyx puçkiv D
b ( CohX
) isnugt\ dva typy nerozkladnyx ob’[ktiv:
1) zsuvy xmaroçosiv 0 → Ox
/ � x
k → 0, x ∈ X, k ∈
N;
2) zsuvy nerozkladnyx rozßaruvan\ 0 → E → 0.
Dovedennq. Vnaslidok toho, wo Ext
2 ( –, – ) = 0, katehoriq koherentnyx
puçkiv CohX ma[ homolohiçnu rozmirnist\ 1 i za teoremog A. Dol\da [12] F
• �
� ( H
• ( F
• ), 0 ) dlq vsix F
• ∈ Ob ( D
b ( Coh
X
) ). Ce oznaça[, wo
F
• �
⊕ → ( ) →( ) −[ ]
∈
•
i
iH i
Z
0 0F .
Takym çynom, bud\-qkyj ob’[kt poxidno] katehori] [ izomorfnym prqmij sumi
zsuviv koherentnyx puçkiv. Tomu klasyfikaciq nerozkladnyx kompleksiv zvo-
dyt\sq do klasyfikaci] koherentnyx puçkiv.
Nexaj F — koherentnyj puçok na X. Ma[mo korotku toçnu poslidovnist\
0 → tor ( F ) → F → F / tor ( F ) → 0,
de tor ( F ) — skrut puçka F. Puçok F / tor ( F ) [ puçkom bez skrutu. Oskil\ky
kryva [ hladkog, to vin [ lokal\no vil\nym. Tomu Ext tor tor1 F F F/ ( ) ( )( ), = 0.
Funktory E xt
1
i Ext
1
pov’qzani spektral\nog poslidovnistg Û. Lere. A sa-
me, Hom ( –, – ) = Γ ° Hom ( –, – ), tomu H p qE F Gxt ,( )( ) ⇒ Ext p q+ ( )F G, . Iz ci[]
lokal\no hlobal\no] spektral\no] poslidovnosti oderΩu[mo toçnu poslidov-
nist\
0 → E2
1 0, → H
1 → E2
0 1, → E2
0 2, → H
2 → …
,
abo bil\ß konkretno,
0 → H
1 ( Hom ) → Ext
1 → H
0 ( E xt
1 ) → 0.
Ale nosij puçka H F F Fom tor tor/ ( ) ( )( ), [ pidmnoΩynog nosiq puçka tor ( F ).
Tomu funktor tor ( F ) takoΩ [ xmaroçosom i
H
1 H F Fom tor/ ( )(( , tor F( ))) = 0.
Zvidsy oderΩu[mo
Ext tor tor1 F F F/ ( ) ( )( ), =
H0 1E F F Fxt tor tor/ ( ) ( )( )( ), = 0.
Takym çynom, F = tor ( F ) ⊕ F / tor ( F ) [ koherentnym puçkom na hladkij kryvij,
izomorfnym prqmij sumi xmaroçosiv ta rozßaruvan\. Zalyßylosq zauvaΩyty,
wo nerozkladni xmaroçosy — ce Ox
/
� x
k
. Ce vyplyva[ iz faktu, wo katehoriq
koherentnyx puçkiv iz nosi[m u toçci x ekvivalentna katehori] skinçennovymir-
nyx moduliv nad lokal\nym kil\cem Ox
, qke u vypadku hladko] kryvo] [ kil\cem
dyskretnoho normuvannq dlq bud\-qko] toçky x ∈ X.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 21
Pryklad 1. Nerozkladnymy ob’[ktamy Db( )Coh
P
1 [ zsuvy xmaroçosiv
0 → Ox
/
� x
k → 0,
de x ∈
P
1
, k ∈
N, ta zsuvy linijnyx rozßaruvan\
0 → O ( n ) → 0, n ∈
Z.
Lema 1 (dyv. [13], hl. III.5). Nexaj A — abeleva katehoriq. Rozhlqnemo
funktor A → D b ( A ), qkyj vidobraΩa[ ob’[kt F u kompleks 0 →
→
F
0-ve misce
� → 0.
1. Cej funktor [ povnym i strohym.
2. Qkwo kompleks F
• ∈ D
b ( CohX
) ma[ lyße odnu netryvial\nu
kohomolohig H
0 ( F
• ), to
F
• � 0 00→ ( ) →( )•H F .
3. Nexaj F, G ∈ CohX . Ma[ misce izomorfizm
Hom F G, i[ ]( ) = Ext
i ( F, G ).
Ce oznaça[, wo katehoriq koherentnyx puçkiv [ ekvivalentnog povnij pidkateho-
ri] poxidno] katehori], qka sklada[t\sq z kompleksiv, u qkyx lyße nul\ova homo-
lohiq ne dorivng[ nulg.
Pryklad 2. Nexaj X = P 1
. Todi Ext1 2O O( ),( ) = H1 2O( )−( ) = k. Prointer-
pretu[mo cej izomorfizm movog poxidnyx katehorij. Ma[ misce korotka toçna
poslidovnist\ Ejlera
0 → O → O ( 1 ) ⊕ 2 → O ( 2 ) → 0.
Tomu oderΩu[mo morfizm iz O ( 2 ) [ – 1 ] v O
:
0 0 2 0
0 1 0
0 0 0
2
→ → →
↑ ↑
→ → →
↓ ↓
→ → →
⊕
O
O O
O
( )
( )
.
id
Cej morfizm [ kompozyci[g morfizmu, obernenoho do kvaziizomorfizmu, ta zvy-
çajnoho morfizmu kompleksiv.
Iz teoremy 1 ta lemy 1 otrymu[mo takyj naslidok.
Naslidok 1. Nexaj X — hladka proektyvna kryva. Poxidna katehoriq kohe-
rentnyx puçkiv D
b ( CohX
) ma[ vnutrißnij opys u terminax katehori] koherent-
nyx puçkiv:
1) nerozkladnymy ob’[ktamy [ zsuvy koherentnyx puçkiv F [ i ];
2) ma[ misce izomorfizm Hom F Gi j[ ] [ ]( ), = Ext j i− ( )F G, ;
3) kompozyciq morfizmiv zada[t\sq dobutkom Jonedy.
U vypadku osoblyvyx kryvyx ta mnohovydiv vywo] rozmirnosti cq teorema ne
ma[ miscq. Dlq mnohovydiv vywo] rozmirnosti v poxidnij katehori] isnugt\
kompleksy, qki ne izomorfni sumi svo]x kohomolohij. Vnaslidok c\oho poxidna
katehoriq koherentnyx puçkiv [ skladnym alhebro-heometryçnym ob’[ktom.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
22 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
3. Funktory skrutu. Pry vyvçenni dzerkal\no] symetri] pryrodno vynyklo
pytannq vstanovlennq ekvivalentnosti poxidnyx katehorij koherentnyx puçkiv
[2]. Qk vidomo [4], taka ekvivalentnist\ dlq hladkyx proektyvnyx mnohovydiv X
ta Y vstanovlg[t\sq peretvorennqm Fur’[ – Muka]
ΦX Y→ ( )P F =
R
L
π πY X*
* F P( ) ⊗
,
de P ∈ D ( X × Y ), πX , πY — zadani proekci] X π X← X × Y πY → Y , RπY*( – )
— pravyj poxidnyj funktor prqmoho obrazu vidobraΩennq πY . U vypadku, ko-
ly mnohovydy X ta Y zbihagt\sq, a qdro peretvorennq Fur’[ – Muka] ma[
vyhlqd
P =
Cone E E O∨ →{ }� j X*
,
j : X → X × X — diahonal\ne vkladennq, E ∈ D ( CohX
) , funktor Fur’[ – Muka]
zvodyt\sq do funktora skrutu TE
( F ) [9].
Cej klas funktoriv [ zruçnym dlq doslidΩennq zv’qzku miΩ poqvog bezma-
sovyx B-typu D-bran dlq deqkyx toçok kelerovoho prostoru moduliv mnohovy-
du ta monodromi[g navkolo cyx toçok, a takoΩ dlq obçyslennq v dovil\nij toç-
ci prostoru moduliv kompleksyfikovanyx kelerovyx form spektra BPZ solito-
niv deqkyx supersymetryçnyx teorij Qnha – Milsa.
Nexaj X — proektyvnyj alhebra]çnyj mnohovyd iz wonajbil\ß horenßtej-
novymy osoblyvostqmy. Nexaj � — povna pidkatehoriq homotopiçno] katehori]
in’[ktyvnyx kvazikoherentnyx puçkiv K Q XI Coh+ ( ), qka sklada[t\sq iz komp-
leksiv iz skinçennog kil\kistg netryvial\nyx homolohij, qki [ koherentnymy
puçkamy. Todi � ekvivalentna poxidnij katehori] D
b ( CohX
).
Nexaj E ∈ � — ob’[kt, izomorfnyj obmeΩenomu kompleksu in’[ktyvnyx
moduliv. Oskil\ky mnohovyd X horenßtejnovyj, ce ekvivalentno tomu, wo E [
perfektnym kompleksom.
Oznaçennq 1 [9] (oznaçennq 2.5). Vyznaçymo funktor skrutu T E
: � → �
za pravylom
TE
( F ) =
hom ,E F E F( ) ⊗ →{ }ev
.
Take oznaçennq dozvolq[ korektno vyznaçyty TE na morfizmax. Bil\ß konk-
retno, na ob’[ktax TE vyznaça[t\sq takym çynom:
TE
( F ) : = Cone Hom
End( ) ev⊕ [ ]( ) ⊗ [ ] →
∈i
i i
Z
E F E F
E
, ,
de ev — morfizm evalgaci].
Lema 2 [9] (lema 2.8). Funktor skrutu TE ma[ livyj sprqΩenyj funktor
′TE , qkyj vyznaça[t\sq za pravylom
′ ( )TE F = ev : lin hom′ → ( )( ){ }F F E E, , .
Na ob’[ktax katehori] funktor ′TE vyznaça[t\sq takym çynom:
′TE ( F ) : =
Cone Homev End( )
F F E E
E′
∈
∨ → ⊕ [ ]( ) ⊗ [ ]
i
i i
Z
, .
Poznaçymo çerez τ : Db
Xperf Coh( ) → Db
Xperf Coh( ) funktor Serra poxidno]
katehori] perfektnyx kompleksiv Db
Xperf Coh( ).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 23
Teorema 2. Prypustymo, wo E 1
, E2
, … , E
m — nabir ob’[ktiv Db
Xperf Coh( )
takyj, wo:
1) τ ( E
i
) = E
i
+
1
[ N ], de N = dim ( X ), E
m
+
1 = E1
;
2) Hom E Ei j s, [ ]( ) =
k, , ,
.
qkwo ta abo ta
u reßti vypadkiv
i j s i j s N= = = + =
−
0 1
0
N e x a j E =
⊕
=i
m
i
1
E . Todi funktor TE [ ekvivalentnistg katehori]
Db
Xperf Coh( ) i ′TE [ kvaziobernenym do TE
.
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo koly nabir E
1
, E
2
, … , E
m iz navedenymy
vlastyvostqmy sklada[t\sq z odnoho elementa E
, to E bude sferyçnym [9].
Dovedennq ci[] teoremy [ analohiçnym dovedenng teoremy 2.10 z [9] . Ma[ misce
taka komutatyvna diahrama:
hom , hom , hom , , hom ,
hom ,
.
E F E E F E E E E F E
F F E F
F
E
E
E E
( ) ⊗ → ( )( )( ) ⊗ → ′ ( )( ) ⊗
↓ ↓ ↓
→ ( )( ) → ′ ( )
↓
′ ( )
δ
α
β
γ
lin
lin
T
T
T T
Oskil\ky konus morfizmu kompleksiv
f : K → T [ total\nym kompleksom vid-
povidnoho bikompleksu, to T TE E F′ ( ) [ total\nym kompleksom 3-vymirnoho
kompleksu
hom lin
lin
E F E E F E E E
F F E E
, hom , hom , ,
hom , , .
( ) ⊗ → ( )( )( ) ⊗
↓ ↓
→ ( )( )
δ
α
β
γ
Monomorfizm kompleksiv
hom , hom , ,E F E E Elin ( )( )( ) ⊗ ⊂→ lin hom , , hom ,F E E E E( ) ( ) ⊗( )
[ kvaziizomorfizmom. Bil\ß toho, ma[ misce komutatyvna diahrama
hom , hom , , hom , , hom ,
hom , , hom , , ,
E F E E E F E E E E
F E E F E E
lin lin
lin lin
( )( )( ) ⊗ → ( ) ( ) ⊗( )
↓ ↓
( )( ) → ( )( )=
γ γ
de morfizm γ indukovanyj morfizmom hom ,E E( ) ⊗ E → E. Tomu T TE E F′ ( ) [
total\nym kompleksom 3-vymirnoho kompleksu
hom lin
lin
E F E F E E E E
F F E E
, hom , , hom ,
hom , , .
( ) ⊗ → ( ) ( ) ⊗( )
↓ ↓
→ ( )( )
δ
α γ
β
Teper zauvaΩymo, wo morfizm kompleksiv γ : lin hom F E,( )( , hom E E E,( ) ⊗ ) →
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
24 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
→ lin hom F E E, ,( )( ) rozweplg[t\sq, tomu T TE E F′ ( ) [ total\nym kompleksom
3-vymirnoho kompleksu
hom linE F E F E E E
E E
E
F
, hom , ,
hom ,
hom ,
.
( ) ⊗ → ( ) ( )
( )
⊗
↓ ↓
→
′δ
α
0
0
Zalyßylosq zauvaΩyty, wo vidobraΩennq
δ ′ : hom ,E F( ) ⊗ E →
lin hom , ,
hom ,
hom ,
F E E E
E E
E( ) ( )
( )
⊗
0
[ kvaziizomorfizmom, tomu wo
H*( )′δ : Hom*
� E F,( ) ⊗ H
* E( ) →
→ Hom*
� F E,( )∨ ⊗
End( )E
Hom
Hom
*
0
�
�
E E
E E
,
,
( )
( )
⊗ H* E( )
[ izomorfizmom.
VidobraΩennq Hi ( )′δ [ izomorfizmom dlq vsix i ∈
Z, oskil\ky zhidno iz
dvo]stistg Serra vidobraΩennq
Homi E F,( ) × HomN i− ( )F E, → HomN E E,( )
[ izomorfizmom i usi endomorfizmy E magt\ stepin\ 0 abo N.
Rozhlqnemo deqki pryklady.
Pryklad 3. Nexaj X — hladka proektyvna K 3-poverxnq. Za oznaçennqm
dualizugçyj puçok X [ tryvial\nym: ωX = O i, krim toho, H 1 ( O ) = 0. Todi
strukturnyj puçok O [ sferyçnym: O = τ ( O ) [ – 2 ] i Hom O O, s[ ]( ) = k dlq
s = 0 i 0 dlq s ≠ 0. Vidpovidnyj funktor
TO : D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
)
vperße rozhlqnuto u roboti S. Muka] [16] pid nazvog „funktor vidbyttq”.
Pryklad 4. Nexaj X — poverxnq Enrikvesa. Za oznaçennqm kvadrat kano-
niçnoho puçka [ tryvial\nym: ω X
⊗2 = O, i, krim toho, vykonugt\sq taki umovy
dlq kohomolohij ci[] poverxni:
H 0 H 1 H 2
O k 0 0
ω 0 0 k
Oskil\ky funktor Serra τ poxidno] katehori] D
b ( CohX
) dorivng[ – ⊗ ωX
[ 2 ],
to para ( O, ωX
) zadovol\nq[ umovy teoremy 2. Funktor T
XO ⊕ω u neqvnomu
vyhlqdi bulo rozhlqnuto u roboti S. Zube [17]. ZauvaΩymo, wo bud\-qka poverx-
nq Enrikvesa [ orbifoldnym faktorom pevno] K 3-poverxni vidnosno di] hru-
pyIIZ
2
.
Pryklad 5. Nexaj X — zvaΩena proektyvna prqma virtual\noho rodu 1
[10]. Kolçan Auslendera – Rajten poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 25
D
b ( CohX
) sklada[t\sq lyße iz trub, i tomu orbita bud\-qkoho nerozkladnoho
koherentnoho puçka vidnosno translqci] Auslendera – Rajten [ skinçennog.
Nexaj A1 = O, A1
, … , Am — orbita Auslendera – Rajten strukturnoho puçka
prqmo] X. Todi nabir Ai i m1 ≤ ≤{ } zadovol\nq[ umovy teoremy 2. Funktory
TA
, de A = = A1 ⊕ A2 ⊕ … ⊕ A
m
, rozhlqdalys\ u roboti X. Mel\tcera i
X.ILencinha pid nazvog „teleskopni funktory” [10], qki daly zmohu klasyfiku-
vaty vsi nerozkladni ob’[kty katehori] D
b ( CohX
).
4. Topolohiçnyj zarqd D-bran typu IIV. Vidomo, wo katehoriq topolo-
hiçnyx D-bran typu IIV zbiha[t\sq z poxidnog katehori[g koherentnyx puçkiv na
mnohovydi Kalabi – Qu X. U c\omu rozdili my rozhlqnemo ponqttq topolohiçno-
ho zarqdu topolohiçno] B-brany ta proilgstru[mo joho na prykladi kvintyky —
hiperpoverxni 5-ho stepenq v P
4
.
Rozhlqnemo rozßaruvannq E na mnohovydi Kalabi – Qu X. Vono xaraktery-
zu[t\sq joho topolohiçnymy invariantamy, klasamy ÇΩenq ci
( E ) ∈ H
2 i ( X ; C ).
Nahada[mo ]xni osnovni vlastyvosti:
a) ci
( E
∨ ) = ( –1 ) i ci
( E );
b)
c fi
* E( )( ) = f ci
* E( )( ) dlq bud\-qkoho morfizmu f : X → Y kompleksnyx
mnohovydiv X, Y;
c) povnyj klas ÇΩenq linijnoho rozßaruvannq E = L ( D ), asocijovanoho iz
dyvizorom Vejlq D, obçyslg[t\sq za formulog c ( E ) = 1 + [ D ].
ZauvaΩymo, wo D [ pidmnohovydom dijsno] korozmirnosti 2, tomu dvo]styj
za Puankare kocykl naleΩyt\ H
2 ( X; C ). Iz mnohovydom X asocig[t\sq kil\ce
Hrotendyka K ( X ).
Oznaçennq 2. Qk abeleva hrupa, K ( X ) porodΩu[t\sq klasamy izomorfizmu
vektornyx rozßaruvan\ E[ ] ta spivvidnoßennqmy
E[ ] = ′[ ]E + ′′[ ]E ,
de 0 → E ′ → E → E ′′ → 0 — korotka toçna poslidovnist\ rozßaruvan\. Do-
butok v K ( X ) induku[t\sq tenzornym dobutkom vektornyx rozßaruvan\ E[ ] ⋅
⋅ ′[ ]E = E E⊗ ′[ ].
Xarakter ÇΩenq ch ( E ) rozßaruvannq E ranhu r ta klasamy ÇΩenq
ci
= ci
( E ) vyznaça[t\sq za formulog
ch ( E ) = r + c1 +
1
2
21
2
2c c−( ) +
1
6
3 31
3
1 2 3c c c c− +( ) +
+
1
24
4 4 2 41
4
1
2
2 1 3 2
2
4c c c c c c c− + + −( ) + … .
Teorema 3 (dyv. [18], dodatok A). Xarakter ÇΩenq vyznaça[ homomorfizm
kilec\
ch : K ( X ) → H
2 * ( X; C ), ch ( E ⊗ F ) = ch ( E ) ∧ ch ( F ),
de ∧ poznaça[ zovnißnij dobutok dyferencial\nyx form.
Nahada[mo formulgvannq teoremy Rimana – Roxa – Xircebruxa.
Teorema 4 (dyv. [18], dodatok A). Nexaj E — lokal\no vil\nyj puçok na X,
F — dovil\nyj koherentnyj puçok. Vyznaçymo ejlerovu xarakterystyku puçkiv
(„formu peretynu”) E i F
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
26 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
χ ( E , F ) : =
i
i i
X
∈
∑ − ( )
Z
C
( ) dim ,1 ExtO E F .
Todi ma[ misce spivvidnoßennq
χ ( E , F ) =
X
X∫ ∨( ) ∧ ( ) ∧ch ch tdE F .
Nahada[mo, wo klas Toda vektornoho rozßaruvannq E vyznaça[t\sq za for-
mulog
td ( E ) = 1 +
1
2 1c +
1
12 1
2
2c c+( ) +
1
24 1 2c c –
–
1
720
4 31
4
1
2
2 2
2
2 3 4c c c c c c c− − − +( ) + … .
Symvol tdX poznaça[ td ( TX
), de TX — dotyçne rozßaruvannq mnohovydu X. U
vypadku mnohovydu Kalabi – Qu X perßyj klas ÇΩenq zanulq[t\sq c1
( X ) =
= 0. Tomu formula dla klasu Toda mnohovydu Kalabi – Qu X rozmirnosti 3 i
menße nabyra[ prostißoho vyhlqdu
tdX = 1 +
1
12 2c X( ) .
Zokrema, klas Toda eliptyçno] kryvo] [ tryvial\nym, tdX = 1.
ZauvaΩennq 1. Hrupu K ( X ) moΩna ekvivalentnym çynom vyznaçyty qk
hrupu, porodΩenu klasamy izomorfizmiv kompleksiv katehori] D
b ( CohX
). Qkwo
E ′ • → E • → E ′′ • → E ′ • [ 1 ]
— vydilenyj trykutnyk, to
[ E • ] = [ E
′• ] + [ E ′′• ]. Dobutok u kil\ci induku-
[t\sq poxidnym tenzornym dobutkom u poxidnij katehori] • ⊗
L
•.
Teorema Rimana – Roxa – Xircebruxa uzahal\ng[t\sq na poxidnu katehorig
koherentnyx puçkiv D
b ( CohX
). Qk i dlq koherentnyx puçkiv, my moΩemo vyzna-
çyty ejlerovu xarakterystyku („formu peretynu”) dvox kompleksiv (topolohiç-
nyx D-bran) E •
i F •
:
χ ( E •, F • ) =
i
i i
∈
• •∑ − [ ]( )
Z
C
( ) dim ,1 Hom E F .
Ejlerova xarakterystyka [ adytyvnog po vidnoßenng do vydilenyx trykutny-
kiv. Zastosuvavßy funktor
Hom −( )•, F do vydilenoho trykutnyka
E ′ • → E • → E ′′ • → E ′ • [ 1 ],
oderΩu[mo acykliçnyj kompleks skinçennovymirnyx vektornyx prostoriv
… → Hom ( E ′ •, F • ) → Hom ( E •, F • ) →
→ Hom ( E ′′ •, F • ) → Hom ( E ′ •, F • [ 1 ] ) → … .
Zvidsy vyplyva[, wo ejlerova xarakterystyka acykliçnoho kompleksu dorivng[
nulg, tomu vykonu[t\sq spivvidnoßennq
χ ( E •, F • ) = χ ( E ′ •, F • ) + χ ( E ′′ •, F •).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 27
Oznaçennq 3. Vyznaçymo xarakter ÇΩenq kompleksu E • za formulog
ch ( E • ) =
i
i i
∈
∑ − ( )
Z
( )1 ch E .
Standartni arhumenty pokazugt\, wo cq formula ne zaleΩyt\ vid vyboru
lokal\no vil\noho predstavnyka E •
i zaleΩyt\ lyße vid klasu kohomolohij
kompleksu.
Tomu moΩna sformulgvaty teoremu Rimana – Roxa – Xircebruxa dlq poxid-
nyx katehorij, qka [ bezposerednim naslidkom standartno] teoremy Rimana – Ro-
xa – Xircebruxa.
Teorema 5. Nexaj ejlerova xarakterystyka („forma peretynu”) dvox
kompleksiv E • i F • katehori] D
b ( CohX
) vyznaça[t\sq za formulog
χ ( E •, F • ) =
i
i i
∈
• •∑ − [ ]( )
Z
( ) dim ,1 Hom E F .
Todi
χ ( E •, F • ) =
X
X∫ •∨ •( ) ∧ ( ) ∧ch ch tdE F .
Oznaçennq 4. Nexaj E • — deqkyj kompleks (D-brana) iz D
b ( CohX
). Todi
v ( E • ) : = ch ( E • ) ∧ tdX
nazyva[t\sq vektorom Muka] ( topolohiçnym zarqdom) kompleksu E • ( D-
brany).
Nexaj X — mnohovyd Kalabi – Qu. Na pidstavi vykladenoho vywe z koΩnym
sferyçnym ob’[ktom E poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv asocig[t\sq pev-
nyj funktor skrutu TE
: D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
) . Skrut Zajdelq – Tomasa [
dzerkal\nym dvijnykom symplektomorfizmu Dena. Zrozumilo, wo diq TE na K-
hrupi poxidno] katehori] ma[ vyhlqd
[ F ] � TE F( )[ ] = F[ ] – χ ( E •, F • ) [ E ].
Na rivni topolohiçnyx zarqdiv my ma[mo peretvorennq H
2 • ( X; C ) → H
2 • ( X; C ):
γ � γ –
X
X∫ ∨( ) ∧ ∧
( )ch td chE Eγ .
Zokrema, u vypadku E = O otrymu[mo
γ � γ –
X
X∫ ∧
⋅γ td 1.
Provedemo konkretni pidraxunky dlq kvintyky v P
4
. Nasampered my povynni
pidraxuvaty ]] kohomolohiçne kil\ce.
Lema 3. Kil\ce parnyx kohomolohij kvintyky X dorivng[ C [ t ] / t
3
.
Dovedennq. Iz korotko] toçno] poslidovnosti
0 →
O
P4 5( )− →
O
P4 → OX → 0
vyplyva[, wo H
1 ( OX
) = H
2 ( OX
) = 0. Tomu h1, 0 ( X ) = h2, 0 = 0. Vykorystovugçy
spivvidnoßennq h
p, q
= h
q, p
(teorema XodΩa pro izomorfizm) ta h
p, q
= h
3 – p, 3 – q
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
28 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
(teorema dvo]stosti Koda]ry – Serra, dyv. [19, c. 116]), znaxodymo vyhlqd romba
XodΩa
b
b
b h
b h h
b h
b
b
0
1
2
1 1
3
2 1 2 1
4
1 1
5
6
1
0 0
0 0
1 1
0 0
0 0
1
,
, ,
,
.
Tut h1, 1
[ rozmirnistg prostoru moduliv kelerovyx struktur mnohovydu X. Vi-
domo, wo cej prostir moduliv u vypadku kvintyky [ odnovymirnym. Tomu b0 =
= b2 = b4 = b6 = 1. Nexaj i : X → P
4
— morfizm vkladennq. Vin induku[ mor-
fizm kilec\ kohomolohij H
* ( i ) : H
* ( P
4; C ) → H * ( X; C ). Kohomolohiçne kil\ce
proektyvnoho prostoru P
4
zoseredΩene lyße u parnyx rozmirnostqx ta doriv-
ng[ C [ t ] / t
4
. MoΩna dovesty, wo indukovane vidobraΩennq kohomolohiçnyx ki-
lec\ u vypadku kvintyky, vkladeno] v P
4
, [ epimorfizmom. Tomu iz pidraxunkiv
rozmirnostej hrup kohomolohij vyplyva[, wo H
2 * ( X; C ) = C [ t ] / t
3
, de klas t [
dvo]stym do klasu hiperploskoho peretynu t =
c X1 1 1O
P
( )( ) mnohovydu X.
Takym çynom, diq TO na kil\ci H
2 * ( X; C ) zada[t\sq pevnog (4 × 4)-mat-
ryceg. Dlq obçyslennq ]] qvnoho vyhlqdu nam neobxidno pidraxuvaty klas Toda
mnohovydu X. Rozhlqnemo korotku toçnu poslidovnist\
0 → TX →
T
P4 X → N
X |P4 → 0,
de
N
X |P4 — konormal\ne rozßaruvannq do X. Ci[] poslidovnosti vyqvlq[t\sq
dosyt\ dlq pidraxunku klasiv ÇΩenq mnohovydu X.
1. Dotyçne rozßaruvannq
T
P4 vyznaça[t\sq korotkog toçnog poslidovnis-
tg Ejlera
0 →
O
P4 →
O
P4 1 5( )⊕ →
T
P4 → 0.
2. Poznaçymo çerez I puçok idealiv dlq kvintyky X. Todi I � O
P4 5( )− i
N
X |P4 =
I I/( )∨2 = O OO( )− ⊗( )∨X X . Inßymy slovamy, N
X |P4 = O( )5 X .
Nexaj H ⊂ P
4
— hiperplowyna, D = H M . Oskil\ky N = OX
( 5 D ), to
ct
( N ) = 1 + 5 D ⋅ t.
Ma[mo
ct T
P4( ) = ( 1 + H t )
5 = 1 + 5 H ⋅ t + 10 H
2 ⋅ t
2 + 10 H
3 ⋅ t
3 + 5 H
4 ⋅ t
4
. To-
mu
ct XT
P4( ) = 1 + 5 D ⋅ t + 10 D
2 ⋅ t
2 + 10 D
3 ⋅ t
3
. Nareßti, my moΩemo pidraxu-
vaty povnyj klas ÇΩenq dotyçnoho rozßaruvannq TX :
ct
( TX
) =
1 5 10 10
1 5
2 2 3 3+ ⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅
D t D t D t
D t
= 1 + 10 D
2 ⋅ t
2 – 40 D
3 ⋅ t
3
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 29
Iz formuly dlq klasu Toda vyplyva[, wo tdX = 1 + c2 / 12+ 5 D
2
/ 6. Nahada[mo,
wo funktor skrutu TO di[ na H
2 * ( X; C ) za pravylom
γ � γ –
X
X∫ ∧( )⋅γ td 1.
ZauvaΩymo, wo
X
D∫ 3 = 5. Tomu u bazysi 1, D, D
2
, D
3
skrut TO induku[ li-
nijne peretvorennq, qke zada[t\sq matryceg
T =
1
25
6
0 5
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
− −
.
U vypadku, koly avtoekvivalentnist\ poxidno] katehori] D
b ( CohX
) zada[t\sq:
⋅ ⊗ O ( D ) : D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
),
indukovane vidobraΩennq v kohomolohiqx ma[ vyhlqd
γ � γ ∧ ch O( )D( ).
Oskil\ky ch O( )D( ) = 1 + D + D
2
/ 2 + D
3
/ 6, to u bazysi 1, D, D 2
, D 3
vono za-
da[t\sq matryceg
S =
1 0 0 0
1 1 0 0
1
2
1 1 0
1
6
1
2
1 1
.
ZauvaΩymo, wo ( T S )5 = 1
. Vyqvlq[t\sq, wo ce ne vypadkovist\: ma[ misce riv-
nist\ T OO � ( )D( )5 = [ 2 ]. Ce tverdΩennq bulo sformul\ovane qk hipoteza
M.IKoncevyçem ta dovedeno pizniße P. Xor’q ta P. Zajdelem (neopublikovano).
Lema 4. Hrupa Pikara kvintyky dorivng[ Z. Zokrema, linijni rozßaruvannq
vyznaçagt\sq ]x stepenqmy.
Dovedennq. Rozhlqnemo korotku toçnu poslidovnist\
0 → Z → O exp → O * → 0.
Oskil\ky H
1( O ) = H
2( O ) = 0, to iz dovho] toçno] poslidovnosti vyplyva[, wo
poslidovnist\
0 → H
1( O * ) deg → H
2 ( M; Z ) → 0
[ toçnog. Ale H
1( O * ) = Pic ( M ), a H
2 ( M; Z ) = Z.
Pryklad 6. Pidraxu[mo topolohiçnyj zarqd linijnoho rozßaruvannq O ( 1 ):
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
30 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
Q O( )1( ) = ch tdO D
X5
∧ = 1
5 50 750
1
5
6
2 3
2+ + +
+
D D D
D =
= 1 +
D
5
+
64
75
2⋅D
+
21
125
3⋅D
.
5. Topolohiçni brany na vyrodΩenyx eliptyçnyx kryvyx. VaΩlyvym
aspektom homolohiçno] teori] D-bran [ doslidΩennq poxidno] katehori] kohe-
rentnyx puçkiv pry vyrodΩenni kompleksno] struktury mnohovydu, zokrema,
doslidΩennq poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv na osoblyvyx mnohovydax
Kalabi – Qu.
Klasyfikacig nerozkladnyx ob’[ktiv poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
na cyklax proektyvnyx prqmyx (qki [ odnovymirnymy osoblyvymy mnohovydamy
Kalabi – Qu) oderΩano u roboti [20] , opys prostyx rozßaruvan\ na cyklax pro-
ektyvnyx prqmyx — v [21, 22]. Nexaj X — cykl proektyvnyx prqmyx. U roboti
O. Poliwuka [11] postavleno take zapytannq: çy isnugt\ sferyçni ob’[kty v
D
b ( CohX
), vidminni vid strukturnyx puçkiv hladkyx toçok ta prostyx rozßaru-
van\? Ce zapytannq [ vaΩlyvym z toçky zoru fizyky D-bran. U c\omu rozdili
my pobudu[mo netryvial\nyj sferyçnyj ob’[kt na cykli dvox proektyvnyx
prqmyx.
Nexaj X ⊂ P
2
— kryva tret\oho stepenq, qka [ peretynom koniky ta prqmo].
Kryva X [ ploskym vyrodΩennqm hladko] kubiçno] kryvo].
Lema 5 (dyv. [18], vprava II. 6. 9). Ma[ misce izomorfizm
Pic ( X ) = Z
2 × C
*
.
Tomu my poznaçatymemo linijne rozßaruvannq L ∈ Pic ( X ) çerez L ( ( a, b ),
λ), de a, b ∈ Z, λ ∈ C
*
.
Rozhlqnemo rozßaruvannq L1 = L ( ( 2, 0 ), 1 ) i L 2 = L ( ( 0, 3 ), 1 ). Obydva
rozßaruvannq [ sferyçnymy ob’[ktamy, tomu my moΩemo rozhlqnuty kompleks
T LL1 2( ) ∈ Db
Xperf Coh( ). Magt\ misce rivnosti Hom ( L
1, L
2
) = C
2
, Hom ( L
2,
L
1
) = Ext
1 ( L
1, L
2
) = C. Zhidno z oznaçennqm
T LL1 2( ) =
= Cone Hom Hom evL L L L L L L1 2 1 1 2 1 21 1, ,( ) ⊗ ⊕ −[ ]( ) ⊗ −[ ] →( ) .
Rozpyßemo cej kompleks u qvnomu vyhlqdi. Ma[mo korotku toçnu poslidov-
nist\
0 → L ( ( 0, 0 ), – 1 ) i → L ( ( 1, 0 ), 1 ) ⊕ L ( ( 1, 0 ), – 1 ) j → L ( ( 2, 0 ), 1 ) → 0,
de
i =
y x
x y
−
+
1
1
ta
j =
x y x y+ −
−
1 1
.
Tomu my ma[mo rozhlqnuty konus takoho vidobraΩennq kompleksiv:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 31
0 0 0
0 0
0 0 0
1
2
2
→ → →
⊕
→ ′ → ′ →
↓
→ → →
⊕
′
L
L L
L
i
,
de L ′ = L ( ( 0, 0 ), – 1 ), L ′′ = L ( ( 1, 0 ), 1 ) ⊕ L ( ( 1, 0 ), – 1 ). Konusom morfizmu
c\oho vidobraΩennq [ kompleks
0 → L1
2⊕ ⊕ L ′
ev ev0 1
0 i
→ L
2 ⊕ L ′′ → 0.
Oçevydno, wo:
1) morfizm ev0 :
L1
2⊕ → L2 ma[ qdro;
2) morfizm i :
L ′ → L ′′ ma[ koqdro.
Tomu kompleks
T LL1 2( ) ma[ dvi netryvial\ni kohomolohi]. Oskil\ky skrut
TL1
[ avtoekvivalentnistg poxidno] katehori] D
b ( CohX
), to
TL L
1 2( ) [ sferyç-
nym ob’[ktom.
1. Zaslow E. Soliton and helics: search for a mathematical physics bridge // Communs Math. Phys. –
1996. – 175. – P. 337
–
347.
2. Kontsevich M. Homological algebra of mirror symmetry // Proc. Int. Congress Math. (Zürich,
1994). – 1995. – P. 120
–
139.
3. Polchinski J. Dirichlet branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett. – 1995. – 75. –
P. 4724
–
4727. (Preprint / arxiv: hep-th N 9510017.)
4. Witten E. D-branes and K-theory // J. High Energy Phys. – 1998. – 9812. – P. 19.
5. Minasian R., Moore G. K-theory and Ramond-Ramond charges, D-branes and K-theory // Ibid. –
1997. – 11. – P. 102. (arxiv: hep-th N 9710230.)
6. Cox D. A., Kaz S. Mirror symmetry and algebraic geometry // Math. Surveys and Monographs. –
Amer. Math. Soc., 1999. – 68. – P. 203.
7. Bondal A., Orlov D. Semiorthogonal decompositions for algebraic varieties. – 1995. – 10 p.
(Preprint / arxiv: math AG N 9506006.)
8. Bridgeland T. Flops and derived categories // Invent. math. – 2002. – 147, # 3. – P. 613
–
632.
9. Seidel P., Thomas R. Braid group actions on derived categories of coherent sheaves // Duke Math.
J. – 2001. – 108, # 1. – P. 37
–
108.
10. Lenzing H., Meltzer H. Sheaves on a weighted projective line of genus one and representations of a
tubular algebra // Can. Math. Soc. Conf. Proc. – 1993. – 14. – P. 313
–
337.
11. Polishchuk A. Yang – Baxter equation and A∞-constrains // Adv. Math. – 2002. – 168. – P. 56
–
95.
12. Orlov D. Proyzvodn¥e katehoryy koherentn¥x puçkov y πkvyvalentnosty meΩdu nymy //
Uspexy mat. nauk. – 2003. – 58, # 3. – P. 89
–
172.
13. Hel\fand S. Y., Manyn G. Y. Metod¥ homolohyçeskoj alhebr¥. – M.: Nauka, 1988.
14. Orlov D. Equivalences of derived categories and K3 surfaces // J. Math. Sci. (New York). – 1997.
– 84, # 5. – P. 1361–1381.
15. Dold A. Zur Homotopietheorie der Kettenkomplexe // Math. Ann. – 1960. – 140. – S. 278
–
298.
16. Mukai S. On the moduli spaces of bundles on K3 surfaces I // Vector Bundles on Algebraic
Varieties. Stud. Math. Tata Inst. Fundam. Res. – 1987. – 11. – P. 341
–
413.
17. Zube S. Exceptional sheaves on Enriques surfaces // Math. Notes. – 1994. – 61, # 6. –
P. 693
–
699.
18. Xartsxorn R. Alhebrayçeskaq heometryq. – M.: Myr, 1981. – 599 s.
19. Hryffyts F., Xarrys DΩ. Pryncyp¥ alhebrayçeskoj heometryy. – M.: Myr, 1982. – 862 s.
20. Burban I. I., Drozd Yu. A. Coherent sheaves on singular curves with nodal singularities // Duke
Math. J. – 2004. – 121, # 2. – P. 189
–
229. (Preprint / axiv: math. AG N 0101140.)
21. Burban I. I. Stabil\ni rozßaruvannq na racional\nij kryvij iz odni[g prostog podvijnog
toçkog // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 7. – P. 867
–
875.
22. Burban I. I., Drozd Yu. A., Greuel G.-M. Vector bundles on singular projective curves // Appl.
Geometry to Coding Theory, Physics, Computation. – New York: Kluwer, 2001. – P. 1 – 15.
OderΩano 17.02.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3571 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:00Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e0/88cd638340819120a147102ce58a68e0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35712020-03-18T19:59:02Z Twist Functors and D-Branes Функтори скруту та D-брани Burban, I. I. Burban, I. M. Бурбан, І. І. Бурбан, І. М. We discuss a categorical approach to the investigation of topological D-branes. Twist functors and their induced action on the cohomology ring of a manifold are studied. A nontrivial spherical object of the derived category of coherent sheaves of a reduced plane singular curve of degree 3 is constructed. Обговорюється категорний підхід до вивчення топологічних D-бран. Вивчаються функтори скруту та їх індукована дія на когомологічному кільці многовиду. Побудовано нетривіальний сферичний об'єкт похідної категорії когерентних пучків звідної плоскої особливої кривої третього степеня. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3571 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 18–31 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 18–31 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3571/3875 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3571/3876 Copyright (c) 2005 Burban I. I.; Burban I. M. |
| spellingShingle | Burban, I. I. Burban, I. M. Бурбан, І. І. Бурбан, І. М. Twist Functors and D-Branes |
| title | Twist Functors and D-Branes |
| title_alt | Функтори скруту та D-брани |
| title_full | Twist Functors and D-Branes |
| title_fullStr | Twist Functors and D-Branes |
| title_full_unstemmed | Twist Functors and D-Branes |
| title_short | Twist Functors and D-Branes |
| title_sort | twist functors and d-branes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3571 |
| work_keys_str_mv | AT burbanii twistfunctorsanddbranes AT burbanim twistfunctorsanddbranes AT burbaníí twistfunctorsanddbranes AT burbaním twistfunctorsanddbranes AT burbanii funktoriskrututadbrani AT burbanim funktoriskrututadbrani AT burbaníí funktoriskrututadbrani AT burbaním funktoriskrututadbrani |