Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries
We study the problem of conjugation of solutions of the Lame wave equation in domains containing singular lines (sets of angular points) and conic points. We show that solutions of the Lame wave equation have power-type singularities near nonsmoothnesses of boundary surfaces and determine their asym...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3572 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509685435596800 |
|---|---|
| author | Denysyuk, I. T. Денисюк, І. Т. |
| author_facet | Denysyuk, I. T. Денисюк, І. Т. |
| author_sort | Denysyuk, I. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:02Z |
| description | We study the problem of conjugation of solutions of the Lame wave equation in domains containing singular lines (sets of angular points) and conic points. We show that solutions of the Lame wave equation have power-type singularities near nonsmoothnesses of boundary surfaces and determine their asymptotics. Taking these asymptotics into account and using the introduced simple-layer, double-layer, and volume elastic retarded potentials, we reduce the problem to a system of functional equations and formulate conditions for its solvability. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.544
I. T. Denysgk (Luc\k. texn. un-t)
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV
XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME
V OBLASTQX Z KUSKOVO-HLADKYMY MEÛAMY
We study the problem of the conjugation of solutions of the Lamé wave equation in domains containing
special lines (sets of angular points) and conic points. We show that the solutions of the Lamé wave
equation near nonsmoothnesses of boundary surfaces gain power singularities and establish their
asymptotics. Taking into account this asymptotics and using introduced elastic retarded potentials of
simple and double layer and volume, we reduce the problem to a system of functional equations and
formulate conditions of solvability.
Vyvça[t\sq zadaça sprqΩennq rozv’qzkiv xvyl\ovoho rivnqnnq Lame v oblastqx, wo mistqt\
osoblyvi lini] (mnoΩyny kutovyx toçok) i koniçni toçky. Pokazano, wo rozv’qzky xvyl\ovoho
rivnqnnq Lame poblyzu nehladkostej meΩovyx poverxon\ nabuvagt\ osoblyvostej stepenevoho
xarakteru, i znajdeno ]x asymptotyku. Vraxovugçy ]] ta zastosovugçy vvedeni do rozhlqdu
pruΩni zahagval\ni potencialy prostoho i podvijnoho ßaru ta ob’[mu, zadaçu zvedeno do sys-
temy funkcional\nyx rivnqn\ i sformul\ovano umovy ]] rozv’qznosti.
Zastosuvannq do prykladnyx stacionarnyx zadaç mexaniky sucil\noho seredovy-
wa zadaç sprqΩennq analityçnyx funkcij u zadanyx [1, 2] i afinno peretvo-
renyx dvovymirnyx oblastqx, a takoΩ harmoniçnyx funkcij u tryvymirnyx ob-
lastqx z nehladkymy meΩamy [3] navedeno v robotax [4 – 9]. Dlq rozv’qzuvannq
dynamiçnyx zadaç mexaniky sucil\noho seredovywa v tryvymirnyx oblastqx iz
nehladkymy meΩamy, wo [ vaΩlyvymy qk z teoretyçno], tak i z prykladno] toç-
ky zoru [10, s.412], neobxidno pobuduvaty rozv’qzok xvyl\ovoho rivnqnnq Lame v
oblastqx zaznaçenoho typu. Rozv’qzok tryvymirnyx dynamiçnyx zadaç v oblas-
tqx iz hladkymy meΩamy v roboti [11] znaxodyt\sq za dopomohog intehral\noho
peretvorennq Laplasa.
Postanovka zadaçi. Nexaj V1 — skinçenna odnozv’qzna oblast\, obmeΩena
poverxneg S, wo mistyt\ hladki zamkneni osoblyvi lini] (mnoΩyny kutovyx
toçok), qki ne peretynagt\sq, ta koniçni toçky, V R V0 3 1= \ , R3 — tryvymirnyj
prostir. Pobudu[mo rozv’qzok xvyl\ovoho rivnqnnq Lame [12]
c u x t c u x t
u x t
t
f x ti i i i
i
i1
2
2
2
2
2grad div rot rot( , ) ( , )
( , )
( , )− − ∂
∂
= (1)
u vidpovidnyx oblastqx Vi , i = 0 1, , pry poçatkovyx umovax
u x ti t( , ) = =0 0 ,
∂
∂
=
=
u x t
t
i
t
( , )
0
0 (2)
i hranyçnyx umovax na poverxni S:
v toçkax hladkosti
u x t u x t0 1 0− +− =( , ) ( , ) , N u x t N u x tx x0 0 1 1 0− +[ ] − [ ] =( , ) ( , ) , x S∈ , (3)
v osoblyvyx toçkax x0 poverxni S
lim ( , ) ( , )
x x
u x t u x t
→
− +−[ ] =
0
0 1 0 , lim ( , ) ( , )
x x
x xN u x t N u x t
→
− +[ ] − [ ]{ } =
0
0 0 1 1 0, (4)
de c i
i i
i
1
2 2= +λ µ
ρ
, c i
i
i
2
2 = µ
ρ
, λ ν µ
νi
i i
i
=
−
2
1 2
, 0 0 5< <νi , , µi ≠ ∞ , normal\nyj ope-
rator Nxi …[ ] di[ zhidno z pravylom
© I. T. DENYSGK, 2005
32 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 33
N u x t
u x t
n
n u x t n u x txi i i
i
i i i i( , )
( , )
, ( , ) , ( , )[ ] = ∂
∂
+ [ ] + [ ]2µ λ µdiv rot ,
znaçennq indeksu i = 1 vidpovida[ velyçynam oblasti V1, a znaçennq i = 0 —
velyçynam oblasti V0, n — normal\ do poverxni S, zovnißnq do oblasti V1;
u x t1
±( , ), N u x txi i
±[ ]( , ) — hranyçni znaçennq vektornyx funkcij u x ti( , ) ,
N u x txi i( , )[ ] pry pidxodi do poverxni S zi storony oblasti V1 (znak „+”) abo V0
(znak „–”).
Pry x → ∞ funkciq u x t0( , ) nabuva[ zadanoho znaçennq, wo zadovol\nq[
odnoridne xvyl\ove rivnqnnq (1), z toçnistg do dvoçlena C t C1 0+ ( C0 , C1 —
stali).
Umovy (4) ne [ tryvial\nym naslidkom umov (3); vony vyznaçagt\ klas roz-
v’qzku analohiçno tomu, qk ce ma[ misce v dvovymirnomu vypadku v zadaçi Rimana
[13, s.4444].
Korektnyj rozv’qzok rivnqnnq Lame v osoblyvyx toçkax x0 vyznaça[t\sq
rivnqnnqm [10, 12]
lim ( , ) ( , )
( , )
( , )
∆
∆
V x
V
i i i i
i
ic u x t c u x t
u x t
t
f x t d
→ ∫∫∫ − − ∂
∂
−
=
0
1
2
2
2
2
2 0grad div rot rot ν ,
(5)
wo fizyçno oznaça[ vykonannq umov rivnovahy seredovywa v osoblyvyx toçkax,
tobto pry stqhuvanni oblasti ∆V v toçku x0 .
PruΩni zahagval\ni potencialy. Vvedemo do rozhlqdu pruΩni zahagval\-
ni potencialy na osnovi rozv’qzku zadaçi (1), (2) dlq mytt[vo] zoseredΩeno] syly,
wo di[ v prostori R3, navedenoho v roboti [12, s.4651], a takoΩ [14]. Zaznaçymo,
wo v roboti [14] zahagval\ni potencialy qk taki ne rozhlqdalysq.
Oznaçennq 1. PruΩnym zahagval\nym potencialom prostoho ßaru nazyva-
[t\sq intehral
V x t d x y t y ds
t
S
y( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫
0
1 1τ τ ϕ τΓ , (6)
de
Γ Γ1 1( , , ) ( , , )x y t x y tkj− = −τ τ ,
Γ1kj x y t( , , ) = δ t r
c
U y xkj−
2
1( )( , ) +
+ δ t r
c
U y xkj−
2
2( )( , ) + t H t r
c
H t r
c r
U y xkj−
− −
1 2
2
31 ( )( , ) ,
U y x
c
r
y
r
y rkj
k j
( )( , )1
1
2
1
4
1= ∂
∂
∂
∂πρ
,
U y x
c r
r
y
r
y rkj
kj
k j
( )( , )2
2
2
1
4
1= − ∂
∂
∂
∂
πρ
δ
,
U y x
r
r
y
r
y rkj
kj
k j
( )( , )3 1
4
3 1= − − ∂
∂
∂
∂
πρ
δ
,
δ( )t — del\ta-funkciq Diraka, H t( ) — odynyçna funkciq Xevisajda, δkj —
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
34 I. T. DENYSGK
symvol Kronekera, ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ1 11 12 13( , ) ( , ), ( , ), ( , )y y y y= { } — hustyna, r =
= x y− , y y y y= ( , , )1 2 3 .
Oznaçennq 2. PruΩnym zahagval\nym potencialom podvijnoho ßaru nazy-
va[t\sq intehral
W x y t d x y t y ds
t
S
y( , , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫
0
2 2τ τ ϕ τΓ , (7)
de
Γ Γ2 2( , , ) ( , , )x y t x y tkj− = −τ τ ,
Γ2kj x y t( , , ) = ′ −
δ t r
c
T y xkj
1
4( )( , ) +
+ ′ −
δ t r
c
T y xkj
2
5( )( , ) + δ t r
c
T y xkj−
1
1( )( , ) + δ t r
c
T y xkj−
2
2( )( , ) +
+ t H t r
c
H t r
c
T
r
y xkj−
− −
1 2
3
2
1( ) ( , ) ,
T y x
c
n r
y
r
n y
r
y rkj j
j k
( ) ( , )
( )
4
1
2
1
4
2 1= − + ∂
∂
∂
∂
∂
∂πρ
λ µ ,
T y x
c
r
n y
r
y
n r
y
r
y
r
n y rkj kj
j
k
k j
( ) ( , )
( ) ( )
5
2
24
2 1= − ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂
µ
πρ
δ ,
T y xkj
( )( , )1 =
= − − ∂
∂
− ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
4
2 2 2 12 1
1
2 2πρ
λ µ µ µδ
c
r
y
n y r
y
n y r
n y
r
y
r
y
r
n y rk
j
j
k kj
k j
( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
T y x
c
r
n y
r
y
n y r
y
n y r
y
r
y
r
n y rkj kj
k
j
j
k
k j
( )( , )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 24
3 2 3 12 1= − ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂
µ
πρ
δ ,
T y x r
n y
r
y
n y r
y
n y r
y
r
y
r
n y rkj kj
k
j
j
k
k j
( )( , )
( )
( ) ( )
( )
3
2
6
4
5 1= ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂
µ
πρ
δ ,
′ =δ δ( ) ( )t d
dt
t , ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ2 21 22 23( , ) ( , ), ( , ), ( , )y y y y= { } — hustyna.
Oznaçennq 3. PruΩnym zahagval\nym potencialom ob’[mu nazyva[t\sq in-
tehral
U x t d y x t y d
t
V
( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫∫
0
1 3τ τ ϕ τ νΓ , (8)
de ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ3 31 32 33( , ) ( , ), ( , ), ( , )y y y y= { } — hustyna.
Vstanovymo umovy isnuvannq tak uvedenyx potencialiv i vyvçymo ]xni vlasty-
vosti u vypadku oblasti, obmeΩeno] kuskovo-hladkog poverxneg S.
Teorema 1. Qkwo vektor hustyny ϕ2( , )x t pruΩnoho zahagval\noho poten-
cialu podvijnoho ßaru (7) zadovol\nq[ umovu Lipßycq – Hel\dera v toçkax
hladkosti poverxni S , ma[ neperervni obmeΩeni poxidni ∂ ∂ϕ2( , )/x t t i
∂ ∂2
2
2ϕ ( , )/x t t , a v osoblyvyx toçkax x S0 ∈ dorivng[ nulg ta ma[ vyhlqd
ϕ α
2 0( , )x t O x x= −( ), α ∈( )0 1, , (9)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 35
to pruΩnyj zahagval\nyj potencial podvijnoho ßaru (7) isnu[, zadovol\nq[
odnoridne xvyl\ove rivnqnnq Lame, wo vidpovida[ (1), z poçatkovymy umovamy
(2) i v toçkax hladkosti poverxni hranyçni znaçennq potencialu vyznaçagt\sq
rivnistg
W x t x t W x t± = ± +( , ) ( , ) ( , )ϕ2 , (10)
d e W x t( , ) — prqme znaçennq potencialu v toçci x , W x t±( , ) — hranyçni
znaçennq potencialu pry pidxodi do toçky x S∈ zi storony oblasti V1 (znak
„+”) abo V0 (znak „–”).
Dovedennq. Nexaj poverxnq S mistyt\ odnu osoblyvu hladku linig L i
toçka x1 ( x S1 ∈ , x L1 ∉ ) [ toçkog hladkosti poverxni S. Otoçymo osoblyvu
linig trubçastog poverxneg radiusa R R0 1< , de R1 — vidstan\ vid x1 do
osoblyvo] lini].
Podamo intehral (7) u vyhlqdi sumy
W x t W x t W x t( , ) ( , ) ( , )= +1 2 , (11)
W x t d x y t y ds
t
S
y1
0
2 2
1
( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫τ τ ϕ τΓ ,
W x t d x y t y ds
t
S
y2
0
2 2
2
( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫τ τ ϕ τΓ ,
de S1 — çastyna poverxni S, wo leΩyt\ poza trubçastog poverxneg, a S2 —
vseredyni ne].
Perßyj intehral formuly (11) [ vektorom z komponentamy k =( )1 3, , qki v
rezul\tati intehruvannq za zminnog τ zhidno z [15] nabyragt\ vyhlqdu
S j
kj jT y x
t
y t r
c∫∫ ∑
=
− ∂
∂
−
1
3
4
2
1
( )( , ) ,ϕ – T y x
t
y t r
ckj j
( )( , ) ,5
2
2
∂
∂
−
ϕ +
+ T y x y t r
ckj j
( )( , ) ,1
2
1
ϕ −
+ T y x y t r
ckj j
( )( , ) ,2
2
2
ϕ −
+
+ T y x y t r d dskj
c
c
j y
( )
/
/
( , ) ( , )3
1
1
2
1
2
∫ −
θϕ θ θ (12)
pry umovi, wo t r
c
r
c
≥
max ,
1 2
, a druhyj intehral ma[ komponenty takoho
samoho vyhlqdu, neobxidno lyße poverxng intehruvannq S1 zaminyty na S2 .
Zhidno z formulog LahranΩa [16, s.4226] ma[mo
ϕ ϕ ϕ ε2
1
2 2 1
1 1
1j j j jy t r
c
y t y t r
c
r
c
, ( , ) , ( )−
= − ′ + −
,
de 0 11< <ε j .
Zapysugçy analohiçni zobraΩennq dlq inßyx funkcij i ]xnix poxidnyx ta
vraxovugçy totoΩnist\
− − + + + −
≡T y x T y x T y x r
c
T y x r
c
T y x r
c ckj kj kj kj kj
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )4 5 1
1
2
2
3
2
3
1
33
1 1 0 ,
otrymu[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
36 I. T. DENYSGK
W x t1( , ) =
S
kj kj kj yT y x T y x T y x
c c
y t ds
1
1 2 3
2
2
1
2 2
1
2
1 1∫∫ + + −
( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )ϕ –
_
S
kjT y x
t
y t r
c c
1
4
2 21
1 1
1 1∫∫ ∂
∂
+ −
( )( , ) , ( )ϕ ε +
+ T y x
t
y t r
c c
rkj
( )( , ) , ( )5
2 22
2 2
1 1∂
∂
+ −
ϕ ε +
+ T y x
c t
y t r
ckj
( )( , ) ( ) , ( )( )1
1
2 21
2
2 2 221 21
1
1 1 1 1− ∂
∂
+ − −
ε ϕ ε ε +
+ T y x
c t
y t r
ckj
( )( , ) ( ) , ( )( )2
2
2 22
2
2 2 222 22
2
1 1 1 1− ∂
∂
+ − −
ε ϕ ε ε +
+ T y x
t
y t r d r dskj
c
c
y
( )
/
/
( , ) ( ) , ( )( )3
25
1
1
3
2
2 2 25 225
21 1 1
1
2
− ∂
∂
+ − −[ ]
∫ε θ ϕ ε ε θ θ , (13)
de
ε
ε
ε
ε
2
2 1
2 2
2 3
1
2
3
g
g
g
g
j
j
j
=
=
=
=
, ,
, ,
, ,
g = 1, 2, 5,
ε
ε
ε
ε
22
22 1
22 2
22 3
1
2
3
g
g
g
g
j
j
j
=
=
=
=
, ,
, ,
, ,
0 1< <εgj , 0 122< <ε g .
Perßyj intehral u (13) [ vidomym uzahal\nenym pruΩnym potencialom
podvijnoho ßaru [17, s.4549] W x t x y y t ds
S
y0 20 2
1
( , ) ( , ) ( , )= ∫∫ Γ ϕ i ma[ hranyçni zna-
çennq pry prqmuvanni toçky x do poverxni S1
W x t x t W x t0 2 0
± = +( , ) ( , ) ( , )∓ ϕ . (14)
Druhyj intehral zobraΩennq (13) ma[ neperervnu pidintehral\nu funkcig i
[4neperervnog funkci[g pry perexodi toçky x çerez toçku hladkosti poverxni
S44[17].
Intehral W x t2( , ) formuly (11) obçyslg[t\sq dlq x S∈ 1 ßlqxom perexodu
do zminnyx ρ, s, θ, wo [ kryvolinijnymy koordynatamy v okoli kryvo] L [3 ],
pry vraxuvanni umovy (9) qk nevlasnyj intehral.
Takym çynom, intehral (7) isnu[, a vraxovugçy zobraΩennq (11), (13), (14) i
hrupugçy dodanky, otrymu[mo formulu (10).
Nexaj poverxnq S mistyt\ koniçnu toçku, wo [ verßynog koniçno] poverxni
z prqmolinijnymy tvirnymy i hladkog kryvolinijnog naprqmnog. Todi trub-
çastu poverxng neobxidno zaminyty sferyçnog z centrom v osoblyvij toçci pry
opysanij vywe sxemi dovedennq z vykorystannqm lokal\nyx koordynat, pov’qza-
nyx iz koniçnog toçkog [3].
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 37
Analohiçne dovedennq vykorystovu[t\sq pry naqvnosti skinçennoho çysla
osoblyvyx linij Lj , j N= 1, , qki ne peretynagt\sq, i skinçennoho çysla koniç-
nyx toçok Ok , k m= 1, , O Lk j∉ .
Bezposerednq pidstanovka (7) v odnoridne xvyl\ove rivnqnnq Lame i umovy (2)
pokazu[, wo vony zadovol\nqgt\sq.
Teoremu dovedeno.
Teorema 2. Qkwo v toçkax hladkosti poverxni S hustyna ϕ1( , )x t pruΩno-
ho zahagval\noho potencialu prostoho ßaru V x t( , ) (6) zadovol\nq[ umovu
Lipßycq – Hel\dera, ma[ neperervni obmeΩeni poxidni
∂
∂
ϕ1( , )x t
t
i
∂
∂
2
1
2
ϕ ( , )x t
t
, a
v osoblyvyx toçkax x0 prqmu[ do neskinçennosti i nabuva[ asymptotyçnoho
zobraΩennq
ϕ α1
0
1( , )x t O
x x
=
−
, α ∈( )0 1, , (15)
to potencial isnu[, [ neperervnog funkci[g pry perexodi toçky x çerez toçku
hladkosti poverxni, zadovol\nq[ odnoridne xvyl\ove rivnqnnq Lame (1) i umovy
(2) i v toçkax hladkosti poverxni S hranyçni znaçennq normal\noho operatora
vid pruΩnoho zahagval\noho potencialu prostoho ßaru taki:
N V x t x t N V x tx x
±[ ] = ± + [ ]( , ) ( , ) ( , )ϕ1 , (16)
de N V x tx ( , )[ ] — prqme znaçennq normal\noho operatora vid potencialu na po-
verxni.
Dovedennq. Nexaj poverxnq S mistyt\ odnu osoblyvu hladku linig. Qk i
pry dovedenni teoremy 1, vvedemo trubçastu poverxng, wo oxoplg[ osoblyvu li-
nig. Todi
V x t V x t V x t( , ) ( , ) ( , )= +1 2 , (17)
V x t d x y t y ds
t
S
y1
0
1 1
1
( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫τ τ ϕ τΓ ,
V x t d x y t y ds
t
S
y2
0
1 1
2
( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫τ τ ϕ τΓ .
Vektor V x t1( , ) pislq intehruvannq po τ zhidno z [15] i zastosuvannq formuly
LahranΩa, qk i pry dovedenni teoremy 1, nabyra[ vyhlqdu
V x t1( , ) =
S
kj kj kj yU y x U y x U y x
c c
y ds
1
1 2 3
2
2
1
2 1
1
2
1 1∫∫ + + −
( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )ϕ τ +
+
S
kjU y x
t
y t r
c c
1
1
1 11
1 1
1 1∫∫ ∂
∂
+ −
( )( , ) , ( )ϕ ε +
+ U y x
t
y t r
c ckj
( )( , ) , ( )2
1 12
2 2
1 1∂
∂
+ −
ϕ ε +
+ U y x
t
y t r d r dskj
c
c
y
( )
/
/
( , ) , ( )3
1
1
1 15
1
2
1∫ ∂
∂
+ −[ ]
ϕ ε θ θ , (18)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
38 I. T. DENYSGK
de
ε
ε
ε
ε
1
1 1
1 2
1 3
1
2
3
h
h
h
h
j
j
j
=
=
=
=
, ,
, ,
, ,
h = 1, 2, 5, 0 11< <ε hj .
Perßyj dodanok u pravij çastyni (18) [ vidomym uzahal\nenym pruΩnym po-
tencialom prostoho ßaru [17, s.4547], wo zberiha[ neperervnist\ pry perexodi
çerez toçku hladkosti poverxni S1. Druhyj intehral (18), wo ma[ neperervnu
pidintehral\nu funkcig, [ neperervnog funkci[g pry x S∈ 1.
Intehral V x t2( , ) obçyslg[t\sq za dopomohog zv’qzanyx iz kryvog kryvoli-
nijnyx koordynat ρ, s, θ [3] pry vraxuvanni umovy (15) qk nevlasnyj.
Digçy operatorom Nx[ ] na rivnosti (17), (18) i vraxovugçy vidomi hranyçni
znaçennq normal\noho operatora vid uzahal\nenoho potencialu prostoho ßaru
[17, s.4554], neperervnist\ normal\noho operatora vid druhoho intehrala zobra-
Ωennq (17), perekonu[mosq, wo spivvidnoßennq (16) vykonu[t\sq.
U vypadku koniçno] toçky takoΩ zamist\ trubçasto] poverxni beremo sferu
pry zaznaçenij sxemi dovedennq. Analohiçno provodyt\sq dovedennq dlq skin-
çennoho çysla osoblyvyx linij, wo ne peretynagt\sq, i koniçnyx toçok.
Pry bezposerednij pidstanovci (6) u (1) i (2) baçymo, wo vony zadovol\nq-
gt\sq.
Teoremu dovedeno.
Teorema 3. Ob’[mnyj pruΩnyj zahagval\nyj potencial (8) iz hustynog
ϕ3( , )x t = − 1
2
f x t( , ) [ rozv’qzkom neodnoridnoho xvyl\ovoho rivnqnnq Lame (1) z
umovamy (2).
Dovedennq. Vykona[mo v (8) intehruvannq po τ zhidno z [15] i podamo po-
tencial, qk i v roboti [18], u vyhlqdi
U x tk ( , ) = − −
∫∫∫1
2
1
1V E
kjU y x f y t r
c\
( )( , ) , +
+ U y x f y t r
ckj
( )( , ) ,2
2
−
+ U y x f y t r r dkj
c
c
y
( )
/
/
( , ) ,3
1
1
1
2
∫ −( )
θ θ θ ν –
– 1
2
1
1E
kjU y x f y t r
c
f y t∫∫∫ −
−
( )( , ) , ( , ) +
+ U y x f y t r
c
f y tkj
( )( , ) , ( , )2
2
−
−
+
+ U y x f y t r f y t d dkj
c
c
y
( )
/
/
( , ) , ( , )3
1
1
1
2
∫ −( ) −[ ]θ θ θ ν –
– 1
2
1
2
1 11 2 3
2
2
1
2
E
kj kj kj yU y x U y x U y x
c c
f y t d∫∫∫ + + −
( )
( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) , ν , (19)
de E E x= ( , )ε — kulq z centrom u toçci x radiusa ε.
Perßyj dodanok ma[ neperervni çastynni poxidni druhoho porqdku i zado-
vol\nq[ odnoridne xvyl\ove rivnqnnq Lame, druhyj intehral [ dviçi dyferenci-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 39
jovnog funkci[g, a tretij zadovol\nq[ neodnoridne rivnqnnq Lame z pravog
çastynog f x t( , ) [17, s.4554].
Pidstavlqgçy potencial (8) u formi (19) u rivnqnnq (1) i hranyçni umovy (2) i
sprqmovugçy radius ε do 0, oderΩu[mo tverdΩennq teoremy.
Teoremu dovedeno.
Teorema 4 (Lqpunova – Taubera). Qkwo hustyna ϕ2( , )x t pruΩnoho zahag-
val\noho potencialu podvijnoho ßaru zadovol\nq[ umovy teoremy 1 i isnugt\
hranyçni znaçennq normal\noho operatora vid pruΩnoho zahagval\noho potenci-
alu podvijnoho ßaru z odni[] storony poverxni S v ]] toçci hladkosti, to vony
isnugt\ i z inßo] storony i vykonu[t\sq rivnist\
N W x t N W x tx x0 1
– ( , ) ( , )[ ] = [ ]+
. (20)
Dovedennq. Rozhlqnemo, qk i pry dovedenni teoremy 1, spoçatku vypadok
naqvnosti na poverxni S osoblyvo] lini]. Todi normal\nyj operator vid pruΩ-
noho zahagval\noho potencialu podvijnoho ßaru zobraΩu[t\sq zhidno z formu-
log (11) sumog velyçyn N W x tx 1( , )[ ] i N W x tx 2( , )[ ].
Perßyj dodanok na osnovi formuly (13) ma[ vyhlqd sumy normal\noho ope-
ratora vid uzahal\nenoho pruΩnoho potencialu podvijnoho ßaru N W x tx 0( , )[ ]
[17] i normal\noho operatora vid intehrala z neperervnog pidintehral\nog
funkci[g. Zhidno z [17, s.4554], qkwo isnu[ hranyçne znaçennq velyçyny
N W x tx 0( , )[ ] na odnij storoni poverxni S1, to isnu[ hranyçne znaçennq na inßij
storoni, wo zbiha[t\sq z perßym,
N W x t N W x tx x0 0 1 0
– ( , ) ( , )[ ] = [ ]+
, (21)
a normal\nyj operator vid druhoho intehrala pry x S∈ 1 [ neperervnog funk-
ci[g pry perexodi çerez toçku hladkosti tako] poverxni.
Druhyj dodanok N W x tx 2( , )[ ] obçyslg[t\sq ßlqxom perexodu do zminnyx ρ,
s, zv’qzanyx z osoblyvog lini[g [3], pry x S∈ 1 qk synhulqrnyj intehral, i,
takym çynom, z ohlqdu na (21) oderΩu[mo tverdΩennq teoremy. Sxema doveden-
nq u vypadku naqvnosti na poverxni podilu koniçno] toçky, a takoΩ dlq skin-
çennoho çysla osoblyvyx linij, qki ne peretynagt\sq, i koniçnyx toçok, [ ana-
lohiçnog.
Teoremu dovedeno.
Rozv’qznist\ zadaçi. Znajdemo asymptotyku rozv’qzkiv xvyl\ovoho rivnqnnq
Lame poblyzu osoblyvyx toçok poverxni S.
Lema 1. Asymptotyçni zobraΩennq rozv’qzku odnoridnoho xvyl\ovoho rivnqn-
nq Lame (1) i normal\noho operatora vid n\oho poblyzu osoblyvo] lini] poverxni
S zbihagt\sq z asymptotykog rozv’qzku stacionarnoho rivnqnnq Lame i nor-
mal\noho operatora vid n\oho vidpovidno i magt\ vyhlqd
u x t u u us( , ) , ,= { }ρ θ ,
u A o
q
m
q
mq
ρ ρ ρ= ( ) + ( )
=
∑
1
4
0
, u B o
q
m
q
mq
θ ρ ρ= ( ) + ( )
=
∑
1
4
0
, u C os
m m= + ( )ρ ρ5 5
,
N u x tx s( , ) , ,[ ] = { }τ σ τρθ θ θ , τ µ ρ
θρθ = −( ) +
∂
∂
+
=
−∑
q
m
q q
qq m B
A
O
1
4
1
1 1( ) ,(22)
σ µ ρ β β
θθ = +( ) +[ ] + +
∂
∂
+
=
−∑2 1 1 1 1
1
4 1
q
m
q q
qq m A
B
O( ) ( ) ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
40 I. T. DENYSGK
τ µρ
θθs
m C O= ∂
∂
+−5 1 1( ),
de
Aq = m a s mq q q−( ) −( )κ θ1 1( ) sin + κ θ−( ) −( )m b s mq q q1 1( ) cos +
+ c s mq q1 1( ) sin +( )θ – d s mq q1 1( ) cos +( )θ,
Bq = m a s mq q q+( ) −( )κ θ1 1( ) cos +
+ m b s mq q q+( ) −( )κ θ1 1( ) sin + c s mq q1 1( ) cos +( )θ + d s mq q1 1( ) sin +( )θ,
C g s m h s m= +1 5 1 5( ) cos ( ) sinθ θ , β ν
ν
=
−1 2
, m5 2
=
−
π
π ω
,
µ κ γ κ
γ
* = −
−
1 0
1
, κ νi i= −3 4 , i = 0 1, , γ µ
µ
= 0
1
, ω θ θ( ) ( ) ( )s s s= −1 2
— kut rozxylu poverxni S v toçci z duhovog koordynatog s osoblyvo] lini]
L; mq ∈( )0 1, , q = 1 4, , i [ korenqmy xarakterystyçnyx rivnqn\
sin sinm mq qω ω= ± , µ ω ω* sin sinm mq q= ± , q = 1 4, , (23)
m m m m m0 1 2 3 4= { }max ; ; ; ; formuly (22) ne magt\ identyfikugçoho indeksu
i = 0 1, .
Dovedennq. Odnoridne xvyl\ove rivnqnnq Lame (1) [ invariantnym vidnosno
peretvorennq
′ =x B x1 1
*
, ′ =x B x2 2
*
, ′ =x B x3 3
*
, ′ =t B t*
.
Vraxovugçy linijnist\ hranyçnyx umov (3), otrymu[mo
u x x x t A u B x B x B x B tj j1 2 3 1 2 3, , , , , ,* * * * *( ) = ( ) , A A B* * *= ( ) , j = 1 3, . (24)
Dyferenciggçy (24) po B*
, oderΩu[mo systemu rivnqn\
gradu r
u
t
B
A
A
B
uj
j
j,
*
*
*
*( ) +
∂
∂
= − ∂
∂
,
rozv’qzok qko]
u x
x
x
x
x
x
tj
m
j
j=
1
1
2
1
3
1ϕ , , . (25)
Pidstavlqgçy zobraΩennq dekartovyx koordynat v okoli osoblyvo] lini] za
dopomohog kryvolinijnyx koordynat ρ, θ, s [3] u (25), oderΩu[mo formuly dlq
komponent vektora u rozv’qzku xvyl\ovoho rivnqnnq Lame:
u A s
t
m
ρ ρ θ ρ=
1 , , , u B s
t
m
θ ρ θ ρ=
2 , , , u C s
ts
m=
ρ θ ρ3 , , , m m s tj j= ( , ).
(26)
Z rivnqnnq (5) na osnovi (26) znaxodymo systemy dyferencial\nyx rivnqn\,
wo vyznaçagt\ nevidomi velyçyny i zbihagt\sq z navedenymy v robotax [6, 19].
Koreni xarakterystyçnyx rivnqn\ (23) detal\no doslidΩeno v [20].
Lemu dovedeno.
Lema 2. Asymptotyky rozv’qzkiv odnoridnyx xvyl\ovoho i stacionarnoho
rivnqn\ Lame, a takoΩ normal\noho operatora vid nyx poblyzu koniçno] toçky
poverxni S zbihagt\sq i magt\ takyj vyhlqd u lokal\nyx koordynatax ρ1, θ1,
s1 , pov’qzanyx z koniçnog toçkog [3]:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 41
u x t u u us( , ) , ,= { }ρ θ1 1 1
,
u A o
g
l m
kg
mkg k
ρ ρ ρ
1
0
1
1 1= ( ) + ( )
=
∑ , u B o
g
l m
kg
mkg k
θ ρ ρ
1
0
1
1 1= ( ) + ( )
=
∑ ,
u C os
g
l m
kg
mkg k
1
0
1
1 1= ( ) + ( )
=
∑ ρ ρ , N u x tx s( , ) , ,[ ] = { }τ σ τρ θ θ θ1 1 1 1 1
,
τ µ ρ
θρ θ1 1
1
1
1
1
1 1= −( ) +
∂
∂
+
=
−∑
g
l m
kg kg
kgkg m B
A
O( ) , (27)
σ µ ρ β β
θθ1
2 2 1 1
1
1
1
1
= +( ) +[ ] + +
∂
∂
=
−∑
g
l m
kg kg
kgkg m A
B
( ) +
+ β β
θ
H
C
s
B H
H
Okg
kg0
1
1
0
1 0
1
1− −∂
∂
+ ∂
∂
+ ( ) , β ν
ν
=
−1 2
,
τ µ ρ
θ θθ1 1
1
1
1
0
1 0
1 1
0
1
1
1s
g
l
m
kg
kg kgkg H
H
C
C
H
B
s
O= − ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
− − −∑ ( ),
de l — çyslo koreniv mkg ∈( , )0 1 vidpovidnyx xarakterystyçnyx rivnqn\ [7],
m mk
g l
kg0
1
=
=
max
,
, H0 , Akg , Bkg , Ckg navedeno v roboti [7].
Dovedennq provodyt\sq na osnovi formul (25) i podannq dekartovyx koordy-
nat kryvolinijnymy koordynatamy ρ1, θ1, s1 [3], wo detal\no navedeno v [7] i
vykorystano dlq konkretnyx fizyçnyx zadaç u robotax [19, 21].
Dlq podal\ßoho neobxidnymy [ velyçyny
A U y x U y x U y x U y x dsk
S j p
jk
p
jk
p
jk jk y1
1
3
1
2
0 1 1 0
3
1
30 5= − + −
∫∫ ∑ ∑
= =
, ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )δ ,
A k2 = 0 5
1
3
1 2 4 5
0 1, ( , ) ( , )
, , ,
( ) ( )
S j p
kj
p
kj
pT y x T y x∫∫ ∑ ∑
= =
−
+
+ r T y x T y x dsjk kj y
2
1 0
3
1
3δ ( ) ( )( , ) ( , )−
,
α δ δ δ1
1
3
1
2
1 1 1
3
4 5
20 5k
S j s
kj
s
s kj yT y x r U y x r ds= [ ] + +( )
∫∫ ∑ ∑
= =
+, ( , ) ( , )( ) ( )
,
α2k = 0 5
1
3
1
2
1 1, ( , )( )
S j g
kj
g
gT y x r∫∫ ∑ ∑
= =
+[ ]
δ +
+
g
kj
g
g kj yT y x T y x r ds
=
−∑ [ ] + +( )
4
5
1 2 1
3
4 5
2( ) ( )( , ) ( , )δ δ δ ,
(28)
B P y x P y x P y x P y x r dsk
S g
kj
g
kj
g
kj kj y1
1 2 4 5
0 1 0
3
1
3
1
20 5= − + −
∫∫ ∑
=
, ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) δ ,
B G y x G y x G y x G y x r dsk
S j g
kj
g
kj
g
kj kj y2
1
3
1
6
0 1 0
7
1
3
1
20 5= − + −
∫∫ ∑ ∑
= =
, ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( ) δ ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
42 I. T. DENYSGK
α3k = 0 5
1
3
1
2
1 1, ( , )( )
S j s
kj
s
sP y x∫∫ ∑ ∑
= =
+[ ]
δ +
+
s
kj
s
s kj yP y x P y x r ds
=
−∑ [ ] + +( )
4
5
1 7 1
3
4 5
2( ) ( )( , ) ( , )δ δ δ ,
α4k = 0 5
1
3
1
2
1 1, ( , )( )
S j p
kj
p
pG y x r∫∫ ∑ ∑
= =
+[ ]
δ +
g
kj
gG y x r
=
∑ [ ]
4 6
1 2
,
( )( , ) δ +
+
g
kj
g
kj yG y x r G y x r ds
=
∑ [ ] + +( )
3 5
1 3 1
7
4 5
2
,
( ) ( )( , ) ( , )δ δ δ , k = 1 3, ,
de G y xkj
g
1
( )( , ) , g = 1 7, , — vyrazy, wo vyznaçagt\ elementy matryci
N x y txi iΓ2 ( , , )[ ] = δn
i
ikjt r
c
G y x−
1
6( )( , ) + δn
i
i kjt r
c
G y x−
2
5( )( , ) +
+ ′ −
δ t r
c
G y x
i
i kj
1
4( )( , ) + ′ −
δ t r
c
G y x
i
i kj
2
3( )( , ) + δ t r
c
G y x
i
i kj−
1
1( )( , ) +
+ δ t r
c
G y x
i
i kj−
2
2( )( , ) + t H t r
c
H t r
c
G y x
i i
i kj−
− −
1 2
7( )( , ) , i = 0 1, ,
Γ2i x y t( , , ) — matrycq zahagval\noho potencialu podvijnoho ßaru, vidnesena do
oblasti Vi i oznaçena v eksplikaci] formuly (7),
G
c
n r
x
T y x
c
r
x
T y x r
x
T y x nikj
i
i j
q q
ikj
i
i q q
ikj
j
ikq q
( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )6
1 1
3
4
1 1
3
4 41= − ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
= =
∑ ∑λ µ
,
G y xikj
( )( , )5 = − ∂
∂
=
∑1
2 1
3
5
c
n r
x
T y x
i
i j
q q
ikjλ ( )( , ) +
+ µi
q q
ikj
j
ikq q
r
x
T y x r
x
T y x n
=
∑ ∂
∂
+ ∂
∂
1
3
5 5( ) ( )( , ) ( , ) ,
G y xikj
( )( , )4 = λi j
q k
ikq
i q q
ikqn
x
T y x
c
r
x
T y x
= =
∑ ∑∂
∂
− ∂
∂
1
3
4
1 1
3
11( ) ( )( , ) ( , ) +
+ µi
q q
ikj
i q
ikj
j
ikj
i j
ikj qx
T y x
c
r
x
T y x
x
T y x
c
r
x
T y x n
=
∑ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
1
3
4
1
4 4
1
11 1( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
G y xikj
( )( , )3 = λi j
q q
ikj
i q q
ikqn
x
T y x
c
r
x
T y x
= =
∑ ∑∂
∂
− ∂
∂
1
3
5
2 1
3
21( ) ( )( , ) ( , ) +
+ µi
q q
ikj
i j
ikq
j
ikq
i j
ikq qx
T y x
c
r
x
T y x
x
T y x
c
r
x
T y x n
=
∑ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
1
3
5
2
2 5
2
21 1( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
G y xikj
( )( , )2 = λi j
q q
ikq
i q q
ikqn
x
T y x
c r
r
x
T y x
= =
∑ ∑∂
∂
− ∂
∂
1
3
2
2
2
1
3
31( ) ( )( , ) ( , ) +
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 43
+ µi
q q
ikj
i q
ikj
j
ikq
i j
ikq qx
T y x
c r
r
x
T y x
x
T y x
c r
r
x
T y x n
=
∑ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
1
3
2
2
2
3 2
2
2
31 1( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
G y xikj
( )( , )1 = λi j
q q
ikq
i q q
ikqn
x
T y x
c r
r
x
T y x
= =
∑ ∑∂
∂
− ∂
∂
1
3
1
1
2
1
3
31( ) ( )( , ) ( , ) +
+ µi
q q
ikj
i q
ikj
j
ikq
i j
ikq qx
T y x
c r
r
x
T y x
x
T y x
c r
r
x
T y x n
=
∑ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
1
3
1
1
2
3 1
1
2
31 1( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
G y xikj
( )( , )7 = λi j
q q
ikqn
x r
T y x
=
∑ ∂
∂
1
3
2
31 ( )( , ) +
+ µi
q q
ikj
j
ikq qx r
T y x
x r
T y x n
=
∑ ∂
∂
+ ∂
∂
1
3
2
3
2
31 1( ) ( )( , ) ( , ) ,
P y xikj
h( )( , ) , h = 1 5, , vyplyva[ z vidpovidnyx vyraziv −T y xikj
h( )( , ) pry zamini
n y( )444na n x( ) ; δ1 20
2
10
20 5= −− −, c c , δ2 10
1
11
1= −− −c c , δ3 20
1
21
1= −− −c c , δ4 =
= 0 5 20
2
21
2, c c− −− , δ5 = 0 5 10
2
11
2, c c− −− .
Teorema 5. Qkwo isnugt\ koreni xarakterystyçnyx rivnqn\ lem 1 i 2, w o
naleΩat\ intervalu ( , )0 1 , çastynni poxidni po t vsix porqdkiv pravo] çasty-
ny f x ti( , ) xvyl\ovoho rivnqnnq Lame (1) za modulem obmeΩeni odnym i tym
samym çyslom
∂
∂
<
n
i
n
f x t
t
L
( , )
, n = 0, 1, 2, … , (29)
pry x S∈ i vykonugt\sq nerivnosti
q A Ak k k k k1 1 2 1 2 1= + + + <α α , q B Bk k k k k2 1 2 3 4 1= + + + <α α , (30)
de A k1 , A k2 , α1k , α2k , B k1 , B k2 , α3k , α4k vyznaçeno formulamy (28), to isnu[
[dynyj synhulqrnyj rozv’qzok zadaçi sprqΩennq (1) – (4).
Dovedennq. Podamo rozv’qzok xvyl\ovoho rivnqnnq Lame u vyhlqdi
u x t u x t u x ti i i( , ) ( , ) ( , )= +1 2 , i = 0 1, , (31)
de u x ti1( , ) realizugt\ asymptotyku rozv’qzkiv, navedenu v lemax 1 i 2, a
u x ti2( , ) [ neperervnymy funkciqmy u svo]x oblastqx vyznaçennq. Perßi dodan-
ky podagt\sq pruΩnymy zahagval\nymy potencialamy prostoho i podvijnoho
ßaru z hustynamy, wo realizugt\ asymptotyku, vstanovlenu lemamy 1, 2, zhidno
z metodykog, detal\no opysanog v roboti [3].
Funkci] u x ti2( , ) beremo, dotrymugçys\ teorem 1 – 3, u vyhlqdi sumy pruΩ-
nyx zahagval\nyx potencialiv
u x t V x t W x t U x ti i i i2( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + , (32)
de
V x t d x y t y dsi
t
S
i i y( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫
0
1 1τ τ ϕ τΓ ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
44 I. T. DENYSGK
W x t d x y t y dsi
t
S
i i y( , ) ( , , ) ( , )= −∫ ∫∫
0
2 2τ τ ϕ τΓ ,
U x t d x y t f y dv U x ti
t
V
i i y i
i
( , ) , ( , , ) ( , ) ( , )= − − +∫ ∫∫∫0 5
0
1 0τ τ τΓ ,
de ϕ τ1i y( , ) , ϕ τ2i y( , ) — nevidomi hustyny, U x t00( , ) — zadana funkciq na ne-
skinçennosti, qka zadovol\nq[ odnoridne rivnqnnq Lame, U x t10 0( , ) ≡ .
Pidstavymo (31), (32) v umovy (3) i vykona[mo di] z uzahal\nenymy funkciqmy
zhidno z [15]. Vnaslidok dovil\nosti hustyn poklademo
ϕ ϕ10 11( , ) ( , )x t x t= , ϕ ϕ20 21( , ) ( , )x t x t= . (33)
V rezul\tati otryma[mo systemu funkcional\nyx rivnqn\
ϕ ϕ ϕ20 10 20 0 5( , ) ( , ), ( , ) , ( , )x t P x t x t g x t+ [ ] = ,
(34)
ϕ ϕ ϕ10 10 20 0 5( , ) ( , ), ( , ) , ( , )x t Q x t x t h x t+ [ ] = − ,
de
P x t x tϕ ϕ10 20( , ), ( , )[ ] = 0 5
0
1
1
2
10, ( , ) ,( )
S i p
ikj
p
pi
U y x y t r
c∫∫ ∑ ∑
= =
−
ϕ +
+ U y x y t r dikj
c
c
i
i
( )
/
/
( , ) ,3
1
1
10
1
2
∫ −( )
θϕ θ θ +
i
i
q
ikj
q
qi
T y x y t r
c= =
∑ ∑− −
−
0
1
1
2
201( ) ( , ) ,( ) ϕ +
+
s
ikj
s
s i
T y x
t
y t r
c= −
∑ ∂
∂
−
4
5
20
3
( )
,
( , ) ,ϕ + T y x y t r d dsikj
c
c
y
i
i
( )
/
/
( , ) ,3
1
1
20
1
2
∫ −( )
θϕ θ θ ,
Q x t x tϕ ϕ10 20( , ), ( , )[ ] = −
−
∫∫ ∑ ∑
= =
0 5
0
1
1
2
10, ( , ) ,( )
S i q
ikj
q
qi
P y x y t r
c
ϕ –
–
s
ikj
s
s i
P y x
t
y t r
c= −
∑ ∂
∂
−
4
5
10
3
( )
,
( , ) ,ϕ + P y x y t r dikj
c
c
i
i
( )
/
/
( , ) ,3
1
1
10
1
2
∫ −( )
θϕ θ θ +
+
i
i
q
ikj
q
qi
G y x y t r
c= =
∑ ∑−
−
0
1
1
2
201( ) ( , ) ,( ) ϕ –
q
ikj
q
q i
G y x
t
y t r
c= −
∑ ∂
∂
−
3
4
20
5
( )
,
( , ) ,ϕ +
+ G y x y t r d dsikj
c
c
y
i
i
( )
/
/
( , ) ,7
1
1
20
1
2
∫ −( )
θϕ θ θ ,
g x t u x t U x t u x t U x t( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= − +[ ] + +[ ]− − + +
01 0 11 1 ,
h x t N u x t U x t N u x t U x tx x( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= − +[ ] − +[ ]+ −
1 11 1 0 01 0 .
Pravi çastyny rivnqn\ (34) [ neperervnymy funkciqmy na S, oskil\ky reali-
zugt\sq umovy (3). Rivnqnnq (34) magt\ xarakter intehro-dyferencial\nyx riv-
nqn\ za zminnog t [22, s.4105] i synhulqrnyx intehral\nyx rivnqn\ za zminnymy
x x x x= ( )1 2 3, , [23].
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ZADAÇA SPRQÛENNQ ROZV’QZKIV XVYL|OVOHO RIVNQNNQ LAME V OBLASTQX … 45
Dlq rozv’qzannq systemy (34) zastosu[mo metod poslidovnyx nablyΩen\
[11, 22]:
ϕ20
0 0 5( )( , ) , ( , )x t g x t= , ϕ10
0 0 5( )( , ) , ( , )x t h x t= − , (35)
ϕ ϕ ϕ20 10
1
20
1 0 5( ) ( ) ( )( , ) ( , ), ( , ) , ( , )n n nx t P x t x t g x t= − [ ] +− −
,
ϕ ϕ ϕ10 10
1
20
1 0 5( ) ( ) ( )( , ) ( , ), ( , ) , ( , )n n nx t Q x t x t h x t= − [ ] −− −
, (36)
ϕ ϕ20 20( , ) lim ( , )( )x t x t
n
n=
→ ∞
, ϕ ϕ10 10( , ) lim ( , )( )x t x t
n
n=
→ ∞
. (37)
ZbiΩnist\ hranyc\ (37) [ ekvivalentnog zbiΩnosti rqdiv
ϕ ϕ ϕ10
0
1
10 10
1( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )x t x t x t
n
n n+ −[ ]
=
∞
−∑ ,
(38)
ϕ ϕ ϕ20
0
1
20 20
1( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )x t x t x t
n
n n+ −[ ]
=
∞
−∑ .
Perexodqçy do skalqrnyx komponent rqdiv (38) pry vraxuvanni umov (29), (30),
otrymu[mo, wo vony maΩorugt\sq rqdamy
n k
nLq=
∞∑ 1 1 ,
n k
nLq=
∞∑ 1 2 , tobto rqdy
(38) zbihagt\sq absolgtno i rivnomirno v toçkax hladkosti poverxni S. Vykonu-
gçy hranyçnyj perexid v (36) pry n → ∞ , perekonu[mosq, wo (35) – (37) [ roz-
v’qzkom systemy rivnqn\ (34).
Nexaj systema (34) ma[ dva rozv’qzky: ϕ10
( )( , )a x t , ϕ20
( )( , )a x t i ϕ10
( )( , )b x t ,
ϕ20
( )( , )b x t . Todi pidstavlqgçy ]x v (34) ta vidnimagçy rivnosti, otrymu[mo
u x t P u x t u x t2 1 2 0( , ) ( , ), ( , )+ [ ] = ,
(39)
u x t Q u x t u x t1 1 2 0( , ) ( , ), ( , )+ [ ] = ,
de
u x t u x t u x t u x t x t x ta b
1 11 12 13 10 10( , ) ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )= { } = −ϕ ϕ ,
u x t u x t u x t u x t x t x ta b
2 21 22 23 20 20( , ) ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )= { } = −ϕ ϕ .
Rozv’qzky systemy (34) [ obmeΩenymy na S pry t ∈ ∞[ )0, i tomu u x t Lgk ( , ) < ,
g = 1 2, , k = 1 3, . Todi z (39) vyplyva[, wo L q Lgk≤ , a otΩe, qgk ≥ 1, wo su-
pereçyt\ umovi (30), qkwo u x tg( , ) ≠ 0 . Takym çynom, u x tg( , ) ≡ 0 i ϕg
a x t0
( )( , ) ≡
≡ ϕg
b x t0
( )( , ) , tobto rozv’qzok zadaçi [ [dynym.
Teoremu dovedeno.
1. Denysgk Y. T. Reßenye odnoj zadaçy soprqΩenyq dlq sostavnoj oblasty s uhlov¥my toç-
kamy na lynyqx razdela // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1996. – # 6. – S. 17 – 24.
2. Denysgk Y. T. Odna zadaça soprqΩenyq analytyçeskyx funkcyj v affynno preobrazo-
vann¥x oblastqx s kusoçno-hladkymy hranycamy // Tam Ωe. – 2000. – # 2. – S. 70 – 74.
3. Denysgk Y. T. Zadaça soprqΩenyq harmonyçeskyx funkcyj v trexmern¥x oblastqx s ne-
hladkymy hranycamy // Tam Ωe. – 2002. – # 4. – S. 29 – 35.
4. Denysgk Y. T. Termoupruhost\ yzotropnoj plastynky s uhlov¥my vklgçenyqmy // Yzv.
RAN. Mexanyka tverdoho tela. – 1999. – # 2. – S. 148 – 155.
5. Denysgk Y. T. Odna model\ tonkyx upruhyx vklgçenyj v yzotropnoj plastynke // Tam Ωe.
– 2000. – # 4. – S. 140 – 148.
6. Denysgk Y. T. NaprqΩennoe sostoqnye vblyzy osoboj lynyy poverxnosty razdela sred //
Tam Ωe. – 1995. – # 5. – S. 64 – 70.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
46 I. T. DENYSGK
7. Denysgk Y. T. NaprqΩenyq vblyzy konyçeskoj toçky poverxnosty razdela sred // Tam Ωe.
– 2001. – # 3. – S. 68 – 77.
8. Denysgk Y. T. Osobennost\ naprqΩenyj anyzotropnoj plastynky s uhlov¥m v¥rezom //
Prykl. mexanyka. – 1996. – # 1. – S. 48 – 52.
9. Denysgk Y. T. NaprqΩenyq anyzotropnoj plastynky s uhlov¥my vklgçenyqmy // Tam Ωe.
– 1999. – # 2. – S. 76 – 84.
10. Poruçykov V. B. Metod¥ dynamyçeskoj teoryy upruhosty. – M.: Nauka, 1986. – 328 s.
11. Kupradze V. D., Hehelya T. H., Baßelejßvyly M. O., Burçuladze T. V. Trexmern¥e zadaçy ma-
tematyçeskoj teoryy upruhosty y termoupruhosty. – M.: Nauka, 1976. – 662 s.
12. Novackyj V. Teoryq upruhosty. – M.: Myr, 1975. – 872 s.
13. Haxov F. D. Kraev¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1977. – 640 s.
14. Xutorqnskyj N. M. O metode obobwenn¥x zapazd¥vagwyx potencyalov y yntehral\n¥x
uravnenyj v nestacyonarn¥x dynamyçeskyx zadaçax teoryy upruhosty // Prykl. probl.
proçnosty y plastyçnosty. – 1978. – V¥p. 9. – S. 8 – 18.
15. Vladymyrov V. S. Obobwenn¥e funkcyy v matematyçeskoj fyzyke. – M.: Nauka, 1979. –
318 s.
16. Fyxtenhol\c H. M. Kurs dyfferencyal\noho y yntehral\noho ysçyslenyq: V 3 t. – M.:
Nauka, 1970. – T. 1. – 608 s.
17. Parton V. Z., Perlyn P. Y. Metod¥ matematyçeskoj teoryy upruhosty. – M.: Nauka, 1981.
– 688 s.
18. PoloΩyj H. M. Uravnenyq matematyçeskoj fyzyky. – M.: V¥sß. ßk., 1964. – 560 s.
19. Denysgk I. T. TermonapruΩennq bilq verßyny kutovoho mnohohrannoho vklgçennq // Fiz.-
xim. mexanika materialiv. – 2001. – # 3. – S. 41 – 47.
20. Denysgk I. T. Synhulqrni napruΩennq v izotropnij matryci z pruΩnym klynom // Tam Ωe. –
1992. – # 4. – S. 76 – 81.
21. Denysgk I. T. NapruΩennq bilq koniçnyx ta piramidal\nyx vklgçen\ // Tam Ωe. – 2000. –
#43. – S. 16 – 20.
22. Vol\terra V. Teoryq funkcyonalov, yntehral\n¥x y yntehro-dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj. – M.: Nauka, 1982. – 304 s.
23. Myxlyn S. H. Mnohomern¥e synhulqrn¥e yntehral¥ y yntehral\n¥e uravnenyq. – M.:
Fyzmathyz, 1962. – 252 s.
OderΩano 24.12.2002,
pislq doopracgvannq — 09.08.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3572 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:02Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/96f06da934662fa33912d7d743c9d742.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35722020-03-18T19:59:02Z Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries Задача спряження розв'язків хвильового рівняння Ламе в областях з кусково-гладкими межами Denysyuk, I. T. Денисюк, І. Т. We study the problem of conjugation of solutions of the Lame wave equation in domains containing singular lines (sets of angular points) and conic points. We show that solutions of the Lame wave equation have power-type singularities near nonsmoothnesses of boundary surfaces and determine their asymptotics. Taking these asymptotics into account and using the introduced simple-layer, double-layer, and volume elastic retarded potentials, we reduce the problem to a system of functional equations and formulate conditions for its solvability. Вивчається задача спряження розв'язків хвильового рівняння Ламе в областях, що містять особливі лінії (множини кутових точок) і конічні точки. Показано, що розв'язки хвильового рівняння Ламе поблизу негладкостей межових поверхонь набувають особливостей степеневого характеру, і знайдено їх асимптотику. Враховуючи її та застосовуючи введені до розгляду пружні загаювальні потенціали простого і подвійного шару та об'єму, задачу зведено до системи функціональних рівнянь і сформульовано умови її розв'язності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3572 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 32–46 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 32–46 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3572/3877 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3572/3878 Copyright (c) 2005 Denysyuk I. T. |
| spellingShingle | Denysyuk, I. T. Денисюк, І. Т. Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title | Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title_alt | Задача спряження розв'язків хвильового рівняння Ламе в областях з кусково-гладкими межами |
| title_full | Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title_fullStr | Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title_full_unstemmed | Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title_short | Problem of Conjugation of Solutions of the Lame Wave Equation in Domains with Piecewise-Smooth Boundaries |
| title_sort | problem of conjugation of solutions of the lame wave equation in domains with piecewise-smooth boundaries |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3572 |
| work_keys_str_mv | AT denysyukit problemofconjugationofsolutionsofthelamewaveequationindomainswithpiecewisesmoothboundaries AT denisûkít problemofconjugationofsolutionsofthelamewaveequationindomainswithpiecewisesmoothboundaries AT denysyukit zadačasprâžennârozv039âzkívhvilʹovogorívnânnâlamevoblastâhzkuskovogladkimimežami AT denisûkít zadačasprâžennârozv039âzkívhvilʹovogorívnânnâlamevoblastâhzkuskovogladkimimežami |