Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations
We investigate the well-known Gauss variational problem considered over classes of Radon measures associated with a system of sets in a locally compact space. Under fairly general assumptions, we obtain necessary and sufficient conditions for its solvability. As an auxiliary result, we describe po...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3575 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509689252413440 |
|---|---|
| author | Kulik, V. L. Kulyk, H. M. Кулик, В. Л. Кулик, Г. М |
| author_facet | Kulik, V. L. Kulyk, H. M. Кулик, В. Л. Кулик, Г. М |
| author_sort | Kulik, V. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:02Z |
| description | We investigate the well-known Gauss variational problem considered over classes of Radon measures associated with a system of sets in a locally compact space.
Under fairly general assumptions, we obtain necessary and sufficient conditions for its solvability.
As an auxiliary result, we describe potentials of vague and (or) strong limit points of minimizing sequences of measures.
The results obtained are also specified for the Newton kernel in $\mathbb{R}^n$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.938
H. M. Kulyk (Nac. texn. un-t Ukra]ny „KPI”, Ky]v),
V. L. Kulyk (Silez. texn. un-t, Hlivice, Pol\wa)
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV
DEQKYX SYSTEM DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
We propose an integral form of the Green function for homogeneous linear expansions of dynamical
systems in the case of existence of solutions bounded with respect to normal coordinates of their
solutions.
Zaproponovano intehral\nyj vyhlqd funkci] Hrina odnoridnyx linijnyx rozßyren\ dynamiçnyx
system pry isnuvanni obmeΩenyx za normal\nymy koordynatamy ]xnix rozv’qzkiv.
Rozhlqnemo systemu dyferencial\nyx rivnqn\
˙ ( )x A x= ψ , ˙ ( )ψ ω ψ= (1)
z neperervnog i obmeΩenog na R
m
( n × n )-matryceg koefici[ntiv A ( ψ ) ,
x ∈ R
n
, ẋ
dx
dt
= , ψ ∈ R
m
, ψ̇ ψ= d
dt
. Prypustymo, wo vektor-funkciq ω ( ψ )
vyznaçena pry vsix ψ ∈ R
m
i v koΩnij kuli
Kd = {ψ ∈ R
m
: || ψ || ≤ d}
zadovol\nq[ umovu Lipßycq
ω ψ ω ψ ψ ψ( ) ( )− ≤ ⋅ −Ld ,
de dodatna Ld , vzahali kaΩuçy, zaleΩyt\ vid radiusa d kuli Kd . Krim c\oho
prypuska[mo vykonannq ocinky
ω ψ α ψ α( ) ≤ +1 2 (2)
z deqkymy nevid’[mnymy stalymy α1 , α2 . Ci prypuwennq dagt\ moΩlyvist\
stverdΩuvaty isnuvannq, [dynist\ i vyznaçenist\ pry vsix t ∈ R rozv’qzku ψ t ( ψ )
zadaçi Koßi:
˙ ( )ψ ω ψ= , ψ ψt = =0
dlq koΩnoho fiksovanoho znaçennq ψ ∈ R
m
. Ci rozv’qzky neperervno zaleΩat\
vid poçatkovyx danyx ψ.
Nexaj isnu[ kvadratyçna forma
V S y y= ( ) ,ψ , y ∈ R
n
, (3)
z neperervno dyferencijovnog, obmeΩenog na R
m
symetryçnog matryceg koe-
fici[ntiv S ( ψ ) , poxidna qko] v sylu sprqΩeno] do (1) systemy
˙ ,y A yT= − ( )ψ ˙ ( )ψ ω ψ= (4)
[ dodatno vyznaçenog, tobto vykonu[t\sq umova
˙( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,S S A A S y y yTψ ψ ψ ψ ψ− −[ ] ≥ 2
, (5)
de
˙( )
( )
( )
( )
( )S
S S
jj
m
jψ ∂ ψ
∂ψ
ω ψ ∂ ψ
∂ψ
ω ψ= =
=
∑
1
.
© H. M. KULYK, V. L. KULYK, 2005
84 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV … 85
Vidomo [1], wo neodnoridna systema
˙ ( ) ( ),x A x f= +ψ ψ ˙ ( )ψ ω ψ= (6)
bude maty obmeΩenyj na R
m
invariantnyj mnohovyd x = u ( ψ ) pry koΩnij ne-
perervnij i obmeΩenij vektor-funkci] f ( ψ ) i cej mnohovyd moΩna zapysaty v
intehral\nomu vyhlqdi
x u G f d= = ( )
−∞
+∞
∫( ) ( , ) ( )ψ τ ψ ψ ψ ττ0 , (7)
de G0( τ, ψ ) — funkciq Hrina. U vypadku, koly matrycq A ( ψ ) i vektor-fun-
kciq ω ( ψ ) [ 2π-periodyçnymy po koΩnij zminnij ψ j , j m= 1, , funkcig G0( τ,
ψ ) pryjnqto nazyvaty funkci[g Hrina – Samojlenka. Funkcig G0( τ, ψ ) zav-
Ωdy moΩna zapysaty u vyhlqdi
G
C
C In
0
0
0
0
0
( , )
( ) ( ) , ,
( ) ( ) , ,
τ ψ
ψ ψ ψ τ
ψ ψ ψ τ
τ τ
τ τ
=
( ) ≤
( ) −[ ] >
Ω
Ω
(8)
de Ωτ ψt ( ) — fundamental\na matrycq rozv’qzkiv systemy
˙ ( )x A xt= ( )ψ ψ , (9)
normovana pry t = τ, Ωτ τ
ψt
t nI( )
=
= , I n — odynyçna matrycq, C ( ψ ) — deqka
neperervna ( n × n )-matrycq, pidibrana takym çynom, wo dlq funkci] (8) vyko-
nu[t\sq ocinka
|| G0( τ, ψ ) || ≤ K exp {– γ | τ |} (10)
z deqkymy dodatnymy stalymy K, γ, ne zaleΩnymy ni vid τ ∈ R, ni vid ψ ∈ R
m
.
U vypadku, koly matrycq S ( ψ ) u kvadratyçnij formi (3) [ nevyrodΩenog pry
vsix ψ ∈ R
m
, funkciq Hrina (8) [dyna, matrycq C ( ψ ) [ matryceg proektuvan-
nq:
C2
( ψ ) ≡ C ( ψ ) (11)
i, krim toho, vykonu[t\sq totoΩnist\
C Cψ ψ ψ ψ ψτ
τ
τ( ) ( ) ( ) ( )( ) ≡ Ω Ω0
0
∀ τ ∈ R, ψ ∈ R
m
. (12)
Qkwo Ω matrycq koefici[ntiv S ( ψ ) u kvadratyçnij formi (3) vyrodΩu[t\sq v
deqkij toçci ψ = ψ0 , to isnu[ bezliç riznyx funkcij Hrina (8) i Ωodna z mat-
ryc\ C ( ψ ) ne bude zadovol\nqty ni totoΩnist\ (11), ni totoΩnist\ (12). Slid
vidmityty, wo, nezvaΩagçy na hlyboki doslidΩennq problemy isnuvannq fun-
kci] Hrina (8) u vypadku, koly ψ = ϕ ∈ Tm , Tm — m-vymirnyj tor (dyv. [2, 3]),
pytannq pro konkretnyj zapys funkci] Hrina dlq bahat\ox prykladiv zalyßa-
[t\sq vidkrytym. Deqkym rekomendaciqm wodo pobudovy funkci] Hrina i pry-
svqçeno zaproponovanu stattg.
Poznaçymo çerez
�
M mnoΩynu takyx znaçen\ ψ ψ= ∈�
Rm
, wo matrycq
koefici[ntiv C tψ ψ( )
�( ) u kvadratyçnij formi (3) pry dostatn\o velykyx
znaçennqx t, t T∈ +∞[ )( ),
�ψ , [ dodatno vyznaçenog, a pry dostatn\o velykyx
vid’[mnyx znaçennqx t, t T∈ −∞( ], – ( )
�ψ , — vid’[mno vyznaçenog. Napryklad,
qkwo sprqΩena systemaQ(4) ma[ vyhlqd
˙ ( )y n y= thψ , ψ̇ = 1, (13)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
86 H. M. KULYK, V. L. KULYK
de n = const > 0, to mnoΩyna
�
M zbiha[t\sq z R, oskil\ky koΩna neperervno
dyferencijovna j obmeΩena na R funkciq s ( ψ ) , qka zadovol\nq[ nerivnist\
˙( ) ( )s nsψ ψ ψ+ ≥2 1th ,
obov’qzkovo bude dodatnog pry dostatn\o velykyx znaçennqx ψ i vid’[mnog
naQ– ∞.
Qkwo teper rozhlqnuty pryklad
˙ (cos )y a y= − ψ , ˙ sinψ ψ= , (14)
z dodatnog stalog a, to mnoΩyna
�
M R n= { }\ π , de n = 0, ± 1, ± 2, … .
Vidmitymo, wo qkwo v systemi (9) znaçennq parametriv ψ ψ= ∈� �
M , to vsi
rozv’qzky ci[] systemy eksponencial\no zatuxagt\ na + ∞ i na – ∞; bil\ß
detal\no ce oznaça[, wo dlq matrycanta Ωτ ψt ( )
�
systemy (9) pry ψ ψ= ∈� �
M
vykonu[t\sq ocinka
Ωτ ψ
γ τ τ
γ τ τ
t N
t t
t t
( )
exp ( ) , ,
exp ( ) , ,
�
≤
− −{ } ≤ ≤
−{ } ≤ ≤
0
0
(15)
z deqkymy dodatnymy stalymy N, γ, qki moΩut\ zaleΩaty til\ky vid
� �
ψ ∈M .
Slid zauvaΩyty, wo mnoΩyna
�
M ne zaleΩyt\ vid vyboru neperervno dyferen-
cijovno] j obmeΩeno] matryci S ( ψ ) , qka zadovol\nq[ umovu (5).
Spravedlyvog [ taka teorema.
Teorema. Nexaj isnu[ neperervno dyferencijovna j obmeΩena na R
m
sy-
metryçna matrycq S ( ψ ) , dlq qko] vykonu[t\sq umova (5). Todi isnu[
neperervna j obmeΩena na R
m
matrycq C ( ψ ) taka, wo dlq funkci] (8)
vykonu[t\sq ocinka (10) i dlq koΩnoho ψ ψ= ∈� �
M znaçennq matryci
C ψ ψτ( )
�( ) vyznaça[t\sq rivnistg
C ψ ψτ( )
�( ) =
Ω Ω Ω Ω Ω Ω0 0 0
1
0 0
0τ
τ
τψ ψ ψ ψ ψ ψ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� � � � � �⋅ ( )
( ) ⋅
−∞
+∞ −
−∞
∫ ∫z T z z T zdz dz .
(16)
Dovedennq. Dopovnymo systemu (1) do rehulqrno]:
˙ ( )x A x= ψ , ˙ ( )ψ ω ψ= ,
(17)
˙ ( )y x A yT= − ψ , y ∈ R
n
,
tobto tako], qka ma[ [dynu ( 2n × 2n )-vymirnu funkcig Hrina:
G0( , )τ ψ =
=
Ω
Ω
Ω
Ω
τ
τ
τ τ
τ τ
τ
τ
τ
ψ
ω τ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
τ
ψ
ω τ ψ ψ
ψ
0
0
11 12
21 22
0
0
11
0
0
0
0
( )
( , , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, ,
( )
( , , ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
≤
( )
T
T
C C
C C
t
C (( ) ( )
( ) ( )
, ,
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
τ
τ
τ τ
( ) − ( )
( ) ( ) −
>
I C
C C I
t
n
n
12
21 22
(18)
de
ω τ ψ ψ ψτ
τ
( , , ) ( ) ( )t dzt
z T z
t
= ( )∫ Ω Ω .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV … 87
Dlq bud\-qkyx znaçen\ ψ , ψ̃ ∈Rn
ma[ misce rivnist\
G G0 0( , ) ( , ˜ )τ ψ τ ψ− = G z P P G dzz z z0( , ) ( ) ( ˜ ) ( , ˜ )ψ ψ ψ ψ ψ τ ψ
−∞
+∞
∫ ( ) − ( )[ ] ,
de
P
A
I An
T
( )
( )
( )
ψ
ψ
ψ
=
−
0
,
z qko] vyplyva[ ocinka
G G0 0( , ) ( , ˜ )τ ψ τ ψ− ≤ L P P e dzz z
zψ ψ ψ ψ γ( ) ( ˜ )( ) − ( )
−∞
+∞
−∫ .
Oskil\ky v pravij çastyni intehral zbiha[t\sq rivnomirno po ψ , ψ̃ ∈Rm
, to vin
[ neperervnog funkci[g, zaleΩnog vid zminnyx ψ , ψ̃ i pry ψ ψ= ˜ nabuva[
nul\ovoho znaçennq. Vraxovugçy te, wo G Cij i j0 1
2
0( , ) ( )
,
− = { } =
ψ ψ , na pidstavi
navedeno] vywe ocinky stverdΩu[mo neperervnu zaleΩnist\ za zminnymy ψ ∈ R
m
matryc\ Cij ( ψ ) u strukturi funkci] Hrina (18). Blok C11( ψ ) = C ( ψ ) [ ti[g
funkci[g, z qkog funkciq Hrina (8) zadovol\nq[ ocinku (10).
Znajdemo rivnqnnq vza[mno dopovngval\nyx pidprostoriv E
+( )
�
ψ , E
−( )
�
ψ iz
R
2n
takyx, wo vsi rozv’qzky systemy
̇ ( )x A xt= ( )ψ ψ
�
,
� �
ψ ∈M ,
(19)
˙ ( )y x A yT
t= − ( )ψ ψ
�
, y ∈ R
n
,
qki poçynagt\sq pry t = 0 z E+( )
�
ψ , zatuxagt\ do nulq na + ∞, a rozv’qzky,
qki poçynagt\sq pry t = 0 z E
−( )
�
ψ , zatuxagt\ pry t → – ∞. Z ci[g metog za-
hal\nyj rozv’qzok perßo] systemy x t xt( ) ( )= Ω0 0
�
ψ pidstavymo v druhu pidsys-
temu (19)
̇ ( ) ( )y A y xT
t
t= − ( ) +ψ ψ ψ
� �
Ω0 0
i zapyßemo ]] zahal\nyj rozv’qzok
y t y dz xt
T z T z
t
( ) ( ) ( ) ( )= ( ) + ( ) ⋅
∫Ω Ω Ω0
0 0 0 0
0
� � �
ψ ψ ψ . (20)
Oskil\ky Ωt
T0( )
�
ψ( ) [ matrycantom sprqΩeno] do (9) systemy, to na pidstavi
ocinky (15) vin zrosta[ na + ∞ i na – ∞. Z inßoho boku, qkwo poçatkovi znaçen-
nq x0 , y0 znaxodqt\sq v pidprostori E
+( )
�
ψ , to funkciq (20) povynna zatuxaty
do nulq na + ∞, a otΩe, neobxidno vykonannq rivnosti
y dz xz T z
0 0 0 0
0
0+ ( ) ⋅ =
+∞
∫ Ω Ω( ) ( )
� �
ψ ψ . (21)
Analohiçno, qkwo poçatkovi znaçennq x0 , y0 znaxodqt\sq v pidprostori E
–
,
to z rivnosti (20) vyplyva[
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
88 H. M. KULYK, V. L. KULYK
y dz xz T z
0 0 0 0
0
0− ( ) ⋅ =
−∞
∫ Ω Ω . (22)
Oçevydno, (21) [ rivnqnnqm pidprostoru E
+ ( )
�ψ , a rivnqnnq (22) vyznaça[ pid-
prostir E
− ( )
�ψ . Vvedemo nastupni poznaçennq:
Φ Ω Ω+
+∞
= ( )∫ 0 0
0
z T z dz( ) ( )
� �ψ ψ ,
(23)
Φ Ω Ω−
−∞
= ( )∫ 0 0
0
z T z dz( ) ( )
� �ψ ψ , Φ = Φ+ + Φ– .
Takym çynom, rivnqnnq pidprostoriv E
+ ( )
�ψ i E
− ( )
�ψ magt\ vyhlqd
E
+
: y + Φ+
x = 0,
E
–
: y – Φ–
x = 0.
Teper znajdemo ( 2n × 2n )-matrycg proektuvannq P na pidprostir E
+
vzdovΩ
pidprostoru E
–
. Dlq c\oho dosyt\ znajty znaçennq di] matryci P na odynyçni
vektory, tobto znajty P
In⋅
0
i P
In
⋅
0
. Çerez X i Y poznaçymo zminni ( n ×
× n )-matryci, zapyßemo vidpovidni systemy rivnqn\
Y + Φ+X = 0, Y + Φ+X = 0,
Y – Φ–( X – In ) = 0, Y – In – Φ–X = 0
i z ]x rozv’qzkiv sklademo matrycg P:
P =
−
−
− −
+
−
− +
−
Φ Φ Φ
Φ Φ Φ Φ Φ
1 1
1 1
–
. (24)
Oskil\ky funkciq Hrina (18) [ [dynog dlq rozßyreno] systemy (17), to dlq
matryci proektuvannq Cij ij
( )ψ{ } = 1
2
vykonu[t\sq totoΩnist\ (12), zvidky pry
znaçennqx ψ ψ= ∈� �
M v rozhlqduvanomu vypadku otrymu[mo
C C
C C
11 12
21 22
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
τ τ
τ τ
( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
( ) ( )
( ) ( )
≡
≡
Ω
Ω
Φ Φ Φ
Φ Φ Φ Φ Φ
Ω
Ω
0
0
1 1
1 1
0
0
0
0
0
0
τ
τ
τ
τ
ψ
ω τ ψ ψ
ψ
ω τ ψ ψ
( )
( , , ) ( )
( )
( , , ) ( )
–
�
� �
�
� �( )
−
−
( )
− −
+
−
− +
−T T
.
Blok C11( )
�ψ zapysano] matryci i [ matryceg C( )
�ψ v strukturi funkci] Hrina
(8) pry znaçennqx ψ ψ= ∈� �
M , otΩe,
C Cψ ψ ψ ψτ τ( ) ( )
� �( ) = ( )11 = Ω Φ Φ Ω Ω Ω0
1
0 0
0
0τ
τ
τψ ψ ψ ψ( ) ( ) ( ) ( )
� � � �−
− − ( ) ( )
∫ z T z dz .
Zvidsy, vraxovugçy poznaçennq (23), otrymu[mo rivnist\ (16), wo i slid bulo do-
vesty.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV … 89
ZauvaΩennq. 1. U vypadku, koly mnoΩyna
�
M [ skriz\ wil\nog v R
n
,
matrycg C( )
�ψ , vyznaçenu za formulog (16), moΩna dovyznaçyty za neperer-
vnistg pry vsix ψ ∈ R
n
.
2. Rozhlqdagçy zamist\ systemy (17) bil\ß zahal\nu
˙ ( )x A x= ψ , ˙ ( )ψ ω ψ= ,
(25)
˙ ( ) ( )y B x A yT= −ψ ψ , y ∈ R
n
,
z deqkog matryceg B ( ψ ) , neperervnog i obmeΩenog v R
m
, dlq qko] vykonu-
[t\sq umova dodatno] vyznaçenosti
〈B ( ψ ) x, x〉 ≥ β|| x ||2, β = const > 0, (26)
zobraΩennq (16) matryci C ψ ψτ( )
�( ) moΩna zapysaty u vyhlqdi
C ψ ψτ( )
�( ) =
Ω Ω Ω0 0 0
1
τ ψ ψ ψ ψ ψ( ) ( ) ( ) ( )
� � � �z T
z
zB dz( ) ( )
−∞
+∞ −
∫ ×
×
Ω Ω Ω0 0
0z T
z
zB dz( ) ( ) ( ) ( )
� � � �ψ ψ ψ ψ ψτ
τ
( ) ( ) ⋅
−∞
∫ ,
de B ( ψ ) — dovil\na ( n × n )-matrycq, neperervna j obmeΩena na R
m
, dlq qko]
vykonu[t\sq umova (26).
3. Qkwo umovu (26) zaminyty bil\ß slabkog:
〈B ( ψ ) x, x〉 > 0 ∀ x ∈ R
n
, x ≠ 0, (27)
to pry vykonanni nerivnosti (5) linijna systema
˙ ( )x A xt= ( )ψ ψ , ψ ∈ R
m
,
˙ ( ) ( )y B x A yt
T
t= ( ) − ( )ψ ψ ψ ψ , y ∈ R
n
,
bude eksponencial\no dyxotomiçnog na osi pry koΩnomu fiksovanomu znaçenni
parametriv ψ ∈ R
m
, a funkci] Hrina dlq systemy (25) moΩe i ne isnuvaty. Ce
moΩna proilgstruvaty na prykladi systemy
ẋ x= − +( )2 1 2th thψ ψ , ψ̇ i = 1, i = 1, 2,
ẏ x y=
+ −( )1
22
2
1 2ch
th th
ψ
ψ ψ .
Metod pobudovy matryci proektuvannq (24) dozvolq[ stverdΩuvaty na-
stupne.
ZauvaΩennq 4. Qkwo deqkyj pidprostir E
+
vyznaça[t\sq systemog riv-
nqn\ A11x1 + A12x2 = 0, a pidprostir E
–
— inßog systemog rivnqn\ A21x1 +
+ A22x2 = 0 i ci pidprostory vza[mno dopovngval\ni v R
n
: R
n = E
+
� E
–
, a ce
oznaça[, wo
det
A A
A A
11 12
21 22
0
≠ ,
to matrycq proektuvannq na pidprostir E
+
vzdovΩ pidprostoru E
–
ma[ vyhlqd
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
90 H. M. KULYK, V. L. KULYK
P
A A
A A A A
=
−
11 12
21 22
1
21 22
0 0
.
Teper rozhlqnemo, z metog porivnqnnq, odnoçasno dva pryklady
ẋ n x= − ( )thψ , ψ̇ = 1, (28)
i
˙ cosx n x= ( )ψ , ˙ sinψ ψ= , (29)
de n — natural\ne çyslo. Dlq systemy (28) ma[mo
ψ ψ ψt t( ) = + , Ωτ
τ ψ τ ψ
ψ ψψt
t t
n
e e
e e
( ) = +
+
+ − −
+ − − ,
a dlq systemy (29) otrymu[mo
Ωτ
τ τ
ψ
ψ ψ
ψ ψ
t
t t
n
e e
e e
( )
cos sin
cos sin
=
+
+
−
−
2 2
2 2
2 2
2 2
.
Dlq znaxodΩennq funkcij C ( ψ ) , qki vxodqt\ u strukturu funkci] Hrina (8),
vidpovidno dlq system (28) i (29) otrymu[mo systemy nerivnostej
C K
e
e e
n
( )ψ
ψ
ψ ψ≤
+
− ,
(30)
C K
e
e e
n
( )ψ
ψ
ψ ψ− ≤
+
−
−1 ,
i
C K
n
( ) sinψ ψ≤
2
2
,
(31)
C K
n
( ) cosψ ψ− ≤
1
2
2
.
Dlq toho wob bezposeredn\o zapysaty funkci] C ( ψ ) systemy nerivnostej (30) i
systemy (31), zastosu[mo formulu (16) pry znaçenni τ = 0. V rezul\tati otry-
ma[mo
C
e e
e e
dt
e e
e e
dtt t
n
t t
n
( )ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ= +
+
+
+
−
+ − −
−∞
+∞ −
−
+ − −
−∞
∫ ∫
2 1 20
(32)
i vidpovidno dlq systemy (31)
C
e e
dt
t t
n
( )
cos sin
ψ ψ ψ=
+
−
−∞
+∞
−
∫ 1
2 2
2 2
2 1
1
2 2
2 2
2
0
e e
dt
t t
n
cos sin
ψ ψ+
−
−∞
∫ .
(33)
Pidraxovugçy intehraly (32), (33) pry n = 2, vidpovidno ma[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV … 91
C
e
e e
e
e e
( )ψ
ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ= −
+
+
+
−
−
−
−1 3 2
2 3
, (34)
C( ) cos cosψ ψ ψ= −
+
1 3
2
2
2
2
2
2
3
. (35)
Pry n = 3 oderΩymo
C
e
e e
e
e e
e
e e
( )ψ
ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ
ψ
ψ ψ= −
+
+
+
−
+
−
−
−
−
−
−1 10 15 6
3 4 5
(36)
i
C( ) cos cos cosψ ψ ψ ψ= −
+
−
1 10
2
15
2
6
2
2
3
2
4
2
5
. (37)
Vykonugçy v intehralax (32) zaminu zminnyx x e t= +2( )ψ
, otrymu[mo
C
x
x
dx
x
x
dx
n
n
n
n
e
( )
( ) ( )
ψ
ψ
=
+
+
−+∞ − −
∫ ∫
1
2
0
1 1
2
0
1 1
2
. (38)
Vykorystavßy rozklad
x
x
A
x
A
x
A
x
n
n
n
n
n
n n
−
−
− ++
=
+
+
+
+ +
+
1
2 2
1
2 1
1
11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
… ,
znajdemo koefici[nty
A
n
n j j
Cj
j
n
j j= −
− −
− = −−
−
− −( )!
( )!( )!
( ) ( )
1
1
1 11
1
1 1
(39)
i pidraxu[mo intehraly v rivnosti (35). Otryma[mo
C
A
n j
e
e e
A
n j
j
n j
j
n
j
j
n( )ψ
ψ
ψ ψ
= −
+ − +
+ −
−
−
+ −
=
=
∑
∑
1
1
1
1
1
1
. (40)
Oskil\ky u formulax (34) i (35), (36) i (37) sposteriha[t\sq rivnist\ koefici[n-
tiv, to pryrodno prypustyty, wo funkcig C ( ψ ) , zapysanu u vyhlqdi intehraliv
(33), moΩna zapysaty u vyhlqdi sumy
C
A
n j
A
n j
j
n j
j
n
j
j
n( )
cos
ψ
ψ
= −
+ −
+ −
+ −
=
=
∑
∑
1
1 2
1
2
1
1
1
. (41)
Poznaçymo x = sin ( / )2 2ψ i rozhlqnemo funkcig
Φ( )x
A
n j
x
A
n j
j n j
j
n
j
j
n= −
+ −
−( )
+ −
+ −
=
=
∑
∑
1
1
1
1
1
1
1
. (42)
Dlq vykonannq perßo] z ocinok (21) dlq funkci] (41) potribno, wob mnohoçlen
(42) moΩna bulo podaty u vyhlqdi Φ( x ) = x nΦ1( x ) z deqkym mnohoçlenom
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
92 H. M. KULYK, V. L. KULYK
Φ1( x ) . Ce vse odno, wo znaçennq pry x = 0 vsix poxidnyx funkci] Φ( x ) do po-
rqdku n – 1 vklgçno dorivnggt\ nulg. Z (42) vydno, wo Φ(0) = 0, Φ′(0) = 0.
Qkwo teper pidraxuvaty znaçennq reßty poxidnyx, to baΩano bulo b dovesty
vykonannq nastupnyx rivnostej:
′′ = − + − =
′′′ = − + − + − =
= −
−
=
−
−
−
=
−
−
−
∑
∑
Φ
Φ
Φ
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )( ) ,
( ) ( )( )
0 1 2 0
0 1 2 3 0
0 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
j
j
n
n
j
j
j
n
n
j
n
C n j
C n j n j
………………………………………………………………
jj
j
n
n
jC n j n j j−
=
−
−∑ + − + − + =1
1
1
1 2 3 1 0( )( ) ( ) .…
(43)
Povernemos\ do intehraliv (38) i vykona[mo v nyx zaminu zminnyx σ = 1 / ( x + 1 ) .
Todi
C
d
d
n n
e
n n
( )
( )
( )
/( )
ψ
σ σ σ
σ σ σ
ψ
=
−
−
− −
+
− −
∫
∫
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
0
2
.
Rozhlqnemo vidpovidnu funkcig vid zminno] z:
Θ( )
( )
( )
z
d
d
n n
z
n n
=
−
−
− −
− −
∫
∫
1
1
1 1
1
1 1
0
1
σ σ σ
σ σ σ
. (44)
Takym çynom, funkcig (40) moΩna zapysaty tak:
C
e
e e
( )ψ
ψ
ψ ψ=
+
−
−Θ ,
a funkcig (41) zapysu[mo u vyhlqdi
C( ) cosψ ψ=
Θ 2
2
,
pry c\omu mnohoçlen (42) zbiha[t\sq z mnohoçlenom Θ(1 – x ) , dlq qkoho lehko
vstanovyty rivnist\
Θ( )
( )
( )
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
0− =
−
−
− −
−
− −
∫
∫
x
d
d
n n
x
n n
σ σ σ
σ σ σ
=
=
( )
( )
1
1
1 1
0
1 1
0
1
−
−
− −
− −
∫
∫
σ σ σ
σ σ σ
n n
x
n n
d
d
= x
C
x
n j
C
n j
n
n
j
j
n
j
j
n
j
j
n
j
−
−
=
−
−
−
−
=
−
∑
∑
−
+ −
−
+ −
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
INTEHRAL|NYJ VYHLQD OBMEÛENYX ROZV’QZKIV … 93
a takoΩ
1
1 1
1
1 1
1
0
1 1
1
1 1
1
0− =
− − −
−
− − − −
− −
∫ ∫
∫
Θ( )
( ) ( )
( )
x
d d
d
n n n n
x
n n
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
=
=
( )
( )
1
1
1 1
0
1 1
0
1
−
−
− −
− −
∫
∫
σ σ σ
σ σ σ
n n
x
n n
d
d
= x
C
x
n j
C
n j
n
n
j
j
n
j
j
n
j
j
n
j
−
−
=
−
−
−
−
=
−
∑
∑
−
+ −
−
+ −
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
.
ZauvaΩennq. 5. Proponu[t\sq odnu z funkcij f ( x ) , qka zadovol\nq[ od-
noçasno dvi nerivnosti:
| f ( x ) | ≤ K( sin2x )λ, | f ( x ) – 1 | ≤ K( cos2x )λ
z deqkog dodatnog stalog K, ne zaleΩnog vid x, x ∈ R, λ — fiksovane dijsne
çyslo, λ ≥ 2, zapysuvaty u vyhlqdi tryhonometryçnoho mnohoçlena
f ( x ) = Θ( cos2x ) , Θ( ) ( ) ( )z d dm m
z
m m= − ⋅ −
∫ ∫
−
σ σ σ σ σ σ1 1
1
0
1 1
,
de m = λ – 1, koly λ — cile çyslo, i m = [λ] pry m < λ < m + 1. U
vypadku, koly, napryklad, λ = π, funkciq f ( x ) nabyra[ vyhlqdu
f x x x x x( ) cos cos cos cos= − + − +20 70 84 35 114 12 10 8
.
6. Dlq mnohoçlena (44) vykonu[t\sq totoΩnist\ Θ( x ) + Θ( 1 – x ) ≡ 1.
7. Qkwo rozhlqnuty funkcional\ne rivnqnnq Θ( x ) + Θ( 1 – x ) = 1, to lehko
moΩna zapysaty joho zahal\nyj rozv’qzok, a vΩe znaxodΩennq sered cyx roz-
v’qzkiv mnohoçleniv Θ( x ) , dlq qkyx odnoçasno vykonugt\sq dvi umovy: Θ( 1 –
– x ) = xn
Θ1( x ) i 1 – Θ( x ) = xn
Θ2( x ) , vyklyka[ pevni trudnowi.
1. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Kulyk V. L. Yssledovanye dyxotomyy lynejn¥x
system dyfferencyal\n¥x uravnenyj s pomow\g funkcyj Lqpunova. – Kyev: Nauk. dumka,
1990. – 270 s.
2. Samojlenko A. M. K voprosu suwestvovanyq edynstvennoj funkcyy Hryna lynejnoho ras-
ßyrenyq dynamyçeskoj system¥ na tore // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 4. – S.Q513 – 521.
3. Bojçuk A. A. Uslovye suwestvovanyq edynstvennoj funkcyy Hryna – Samojlenko zadaçy
obQynvaryantnom tore // Tam Ωe. – S. 556 – 559.
OderΩano 15.08.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3575 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:05Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/f9d80ccae9ab6c35fba5b1d306c56e8c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35752020-03-18T19:59:02Z Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations Інтегральний вигляд обмежених розв'язків деяких систем диференціальних рівнянь Kulik, V. L. Kulyk, H. M. Кулик, В. Л. Кулик, Г. М We investigate the well-known Gauss variational problem considered over classes of Radon measures associated with a system of sets in a locally compact space. Under fairly general assumptions, we obtain necessary and sufficient conditions for its solvability. As an auxiliary result, we describe potentials of vague and (or) strong limit points of minimizing sequences of measures. The results obtained are also specified for the Newton kernel in $\mathbb{R}^n$. Досліджується добре відома варіаційна задача Гаусса над класами мір Радона, асоційованих із системою множин у локально компактному просторі. При досить загальних припущеннях отримано необхідні та достатні умови її розв'язності. Як допоміжний результат, знайдено описи потенціалів широких та (або) сильних граничних точок мінімізуючих послідовностей мір. Отримані результати конкретизовано на випадок ядра Ньютона в $\mathbb{R}^n$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3575 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 84–93 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 84–93 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3575/3883 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3575/3884 Copyright (c) 2005 Kulik V. L.; Kulyk H. M. |
| spellingShingle | Kulik, V. L. Kulyk, H. M. Кулик, В. Л. Кулик, Г. М Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title | Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title_alt | Інтегральний вигляд обмежених розв'язків деяких систем диференціальних рівнянь |
| title_full | Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title_fullStr | Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title_full_unstemmed | Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title_short | Integral Form of Bounded Solutions of Some Systems of Differential Equations |
| title_sort | integral form of bounded solutions of some systems of differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3575 |
| work_keys_str_mv | AT kulikvl integralformofboundedsolutionsofsomesystemsofdifferentialequations AT kulykhm integralformofboundedsolutionsofsomesystemsofdifferentialequations AT kulikvl integralformofboundedsolutionsofsomesystemsofdifferentialequations AT kulikgm integralformofboundedsolutionsofsomesystemsofdifferentialequations AT kulikvl íntegralʹnijviglâdobmeženihrozv039âzkívdeâkihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT kulykhm íntegralʹnijviglâdobmeženihrozv039âzkívdeâkihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT kulikvl íntegralʹnijviglâdobmeženihrozv039âzkívdeâkihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ AT kulikgm íntegralʹnijviglâdobmeženihrozv039âzkívdeâkihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ |