One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces
We investigate the existence of a separately continuous function $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ with a one-point set of points of discontinuity in the case where the topological spaces $X$ and $Y$ satisfy conditions of compactness type. In particular, for the compact spaces $X$ and $Y$ a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3576 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509690389069824 |
|---|---|
| author | Mykhailyuk, V. V. Михайлюк, В. В. |
| author_facet | Mykhailyuk, V. V. Михайлюк, В. В. |
| author_sort | Mykhailyuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:02Z |
| description | We investigate the existence of a separately continuous function $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ with a one-point set of points of discontinuity in the case where the topological spaces $X$ and $Y$ satisfy conditions of compactness type.
In particular, for the compact spaces $X$ and $Y$ and the nonizolated points $x_0 \in X$ and $y_0 \in Y$, we show that the separately continuous function $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ with the set of points of discontinuity $\{(x_0, y_0)\}$ exists if and only if sequences of nonempty functionally open set exist in $X$ and $Y$ and converge to $x_0$ and $y_0$, respectively. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51, 515.12
V. V. Myxajlgk (Çernivec. nac. un-t)
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY
NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ
NA DOBUTKU DVOX KOMPAKTNYX PROSTORIV
We investigate the existence of a separately continuous function f : X × Y → R with a one-point set of
points of discontinuity in the case where the topological spaces X and Y satisfy conditions of
compactness type. In particular, for the compact spaces X and Y and the nonizolated points x0 ∈ X
and y0 ∈ Y, we show that the separately continuous function f : X × Y → R with the set of points of
discontinuity { ( x0 , y0 ) } exists if and only if sequences of nonempty functionally open set exist in X
and Y and converge to x0 and y0 , respectively.
DoslidΩu[t\sq isnuvannq narizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z odnotoçkovog mnoΩy-
nog toçok rozryvu, koly X i Y zadovol\nqgt\ umovy typu kompaktnosti. Zokrema, pokazano,
wo dlq kompaktnyx prostoriv X i Y i neizol\ovanyx toçok x0 ∈ X i y0 ∈ Y isnu[ narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R z mnoΩynog { ( x0 , y0 ) } toçok rozryvu todi i til\ky todi, koly v
X i Y isnugt\ poslidovnosti neporoΩnix funkcional\no vidkrytyx mnoΩyn, qki zbihagt\sq do
x0 i y0 vidpovidno.
1. Iz teoremy Namioky [1] vyplyva[, wo mnoΩyna toçok rozryvu narizno nepe-
rervno] funkci], tobto funkci], neperervno] vidnosno koΩno] zminno], zokrema,
na dobutku dvox kompaktiv mistyt\sq v dobutku mnoΩyn perßo] katehori]. Pry-
rodno vynyka[ pytannq pro opys mnoΩyn toçok rozryvu narizno neperervnyx
funkcij na dobutkax kompaktiv (dyv. [2]), zokrema: çy koΩna odnotoçkova mno-
Ωyna z neizol\ovanymy proekciqmy v dobutku dvox kompaktiv [ mnoΩynog toçok
rozryvu deqko] narizno neperervno] funkci]? V [3] (teorema 9) pokazano, wo vid-
povid\ na ce pytannq [ nehatyvnog. A same, na dobutku dvox tyxonovs\kyx ku-
biv, xoça b odyn z qkyx ma[ nezliçennu vahu, ne isnu[ narizno neperervno] funkci]
z odnotoçkovym rozryvom. Cej rezul\tat bulo uzahal\neno v [4].
Umovy na topolohiçni prostory X i Y i toçky a ∈ X i b ∈ Y, qki zabez-
peçugt\ isnuvannq narizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z mnoΩynog { ( a,
b ) } toçok rozryvu, vyvçalysq v [5] (dyv. takoΩ [6]). Tam bulo pokazano, wo dlq
c\oho dostatn\o, wob X i Y buly tyxonovs\kymy, a i b — neizol\ovanymy Gδ-
toçkamy u vidpovidnyx prostorax, pryçomu prostir Y ma[ zliçennu bazu okoliv
toçky b abo [ lokal\no zv’qznym u toçci b. Krim toho, z rezul\tativ roboty [7],
de rozv’qzu[t\sq zadaça pro pobudovu narizno neperervno] funkci] na dobutku
kompaktiv Eberlejna z danog mnoΩynog toçok rozryvu, vyplyva[, wo sformu-
l\ovane vywe tverdΩennq ma[ misce takoΩ, koly X i Y — kompakty Eberlejna
ta a ∈ X i b ∈ Y — neizol\ovani toçky. ZauvaΩymo, wo osnovnym instrumentom
pry dovedenni rezul\tativ iz [7] [ vlastyvist\ typu Prejssa – Symona kompaktiv
Eberlejna (dyv. [8, s. 170]), tobto naqvnist\ u kompakti Eberlejna poslidovnosti
vidkrytyx mnoΩyn, qka zbiha[t\sq do dano] toçky. Oskil\ky tyxonovs\kyj kub
nezliçenno] vahy ne ma[ tako] vlastyvosti, to na pidstavi teoremy 9 iz [3]
pryrodno vstanovyty, naskil\ky isnuvannq zbiΩnyx poslidovnostej vidkrytyx
mnoΩyn u kompaktnyx prostorax X i Y [ neobxidnog umovog dlq isnuvannq na-
rizno neperervno] funkci] f : X × Y → R z odnotoçkovog mnoΩynog rozryviv.
Vyvçenng c\oho pytannq i prysvqçeno danu robotu. A same, dlq pevnyx kla-
siv topolohiçnyx prostoriv my vstanovymo rivnosyl\nist\ nastupnyx tverdΩen\:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no vid-
krytyx mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y, qki zbihagt\sq do toçok x0 ∈ X i y0 ∈ Y vid-
povidno, pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn dlq koΩnoho n ∈ N;
© V. V. MYXAJLGK, 2005
94 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 95
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R, mnoΩyna toçok rozryvu
qko] dorivng[ { ( x0 , y0 ) }.
Spoçatku, vykorystavßy ponqttq zaleΩnosti funkcij vid pevnoho çysla ko-
ordynat, vstanovymo cej fakt, koly X — separabel\nyj psevdokompakt i Y —
kompakt abo X — psevdokompakt zi zliçennym çyslom Suslina i Y — kompakt
Valdivia. A potim, perejßovßy do asocijovanyx vidobraΩen\, otryma[mo analo-
hiçnyj rezul\tat dlq kompaktnyx prostoriv X i Y.
2. Nahada[mo deqki oznaçennq, vvedemo poznaçennq i dovedemo dopomiΩni
tverdΩennq.
MnoΩynu toçok rozryvu vidobraΩennq f : X → Y , de X , Y — topolohiçni
prostory, poznaçatymemo çerez D ( f ). Qkwo, krim toho, Y — metryçnyj pros-
tir iz metrykog d i A ⊆ X — neporoΩnq mnoΩyna, to çyslo ω f ( A ) =
= sup
,′ ′′∈x x A
d ( f ( x′ ), f ( x′′ ) ) nazyva[t\sq kolyvannqm vidobraΩennq f na mnoΩyni
A, a çyslo ωf ( x0 ) =
inf
U∈U
ωf ( U ), de U — systema vsix okoliv toçky x0 ∈ X, —
kolyvannqm vidobraΩennq f u toçci x0 .
Dlq funkci] f : X → R çerez supp f poznaçatymemo nosij { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0 }
funkci] f.
MnoΩyna A v topolohiçnomu prostori X nazyva[t\sq funkcional\no
vidkrytog, qkwo isnu[ neperervna funkciq f : X → [ 0, 1 ], dlq qko] A =
= f –
1
( ( 0, 1 ] ).
Budemo hovoryty, wo poslidovnist\ ( ) =
∞An n 1 neporoΩnix pidmnoΩyn An to-
polohiçnoho prostoru X zbiha[t\sq do toçky x0 ∈ X (poznaçatymemo An →
→ x0 ), qkwo dlq dovil\noho okolu U toçky x0 v X isnu[ nomer n0 takyj, wo
An ⊆ U dlq vsix n ≥ n0 .
Sim’g ( Ai : i ∈ I ) pidmnoΩyn Ai topolohiçnoho prostoru X nazyvatymemo
lokal\no skinçennog, qkwo dlq dovil\no] toçky x ∈ X isnu[ okil U toçky x u
X takyj, wo mnoΩyna { i ∈ I : U ∩ Ai ≠ ∅ } [ skinçennog, i toçkovo-skinçennog,
qkwo dlq dovil\no] toçky x ∈ X mnoΩyna { i ∈ I : x ∈ Ai } [ skinçennog.
Tyxonovs\kyj prostir X nazyva[t\sq psevdokompaktnym, qkwo dovil\na ne-
perervna funkciq f : X → R [ obmeΩenog, i lindel\ofovym, qkwo z dovil\noho
vidkrytoho pokryttq prostoru X moΩna vydilyty ne bil\ß niΩ zliçenne pid-
pokryttq.
U vypadku neskinçennoho kardynalu ℵ budemo hovoryty, wo topolohiçnyj
prostir X ma[ vlastyvist\ ( )ℵII , qkwo dlq dovil\no] toçkovo-skinçenno] sim’]
( Ai : i ∈ I ) vidkrytyx u X neporoΩnix mnoΩyn Ai ma[mo | I | ≤ ℵ. Cq vlasty-
vist\ tak poznaçalasq v [9], de vona vykorystovuvalas\ pry doslidΩenni zaleΩ-
nosti vid pevno] kil\kosti koordynat narizno neperervnyx funkcij na dobutku
dvox prostoriv-dobutkiv.
Topolohiçnyj prostir X ma[ zliçenne çyslo Suslina, qkwo dovil\na systema
neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn v X ma[ ne bil\ß niΩ zliçennu potuΩnist\.
TverdΩennq 1. Berivs\kyj prostir X ma[ vlastyvist\ ( )ℵII
0
todi i
til\ky todi, koly X ma[ zliçenne çyslo Suslina.
Dovedennq. Neobxidnist\ [ oçevydnog. Dovedemo dostatnist\. Nexaj X
ma[ zliçenne çyslo Suslina i ( Ui : i ∈ I ) — toçkovo-skinçenna sim’q vidkrytyx u
X neporoΩnix mnoΩyn Ui , pryçomu mnoΩyna I [ neskinçennog. Vykorystovu-
gçy berovist\ prostoru X, dlq koΩnoho i ∈ I znajdemo vidkrytu v X nepo-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
96 V. V. MYXAJLGK
roΩng mnoΩynu Vi ⊆ U i taku, wo mnoΩyna { j ∈ I : U j ∩ V i ≠ ∅ } [
skinçennog. Todi mnoΩyna { j ∈ I : Vj ∩ V i ≠ ∅ } takoΩ [ skinçennog dlq
koΩnoho i ∈ I. Vybravßy maksymal\nu mnoΩynu J ⊆ I tak, wob sim’q ( Vj :
j ∈ J ) bula poparno neperetynnog, oderΩymo | I | ≤ ℵ0 | J | ≤ ℵ0
2 = ℵ0. OtΩe, X
ma[ vlastyvist\ ( )ℵII
0
.
Neperervne vidobraΩennq f : X → Y topolohiçnoho prostoru X u topolohiç-
nyj prostir Y nazyva[t\sq doskonalym, qkwo f [ zamknenym, tobto dlq do-
vil\no] zamkneno] v X mnoΩyny A ]] obraz B = f ( A ) = { f ( a ) : a ∈ A } [ zam-
knenym v Y, i mnoΩyna f –
1
( y ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } [ kompaktnog v X dlq
koΩnoho y ∈ Y.
TverdΩennq 2. Nexaj X, Y — topolohiçni prostory, ϕ : Y → Y 0 — do-
skonale sgr’[ktyvne vidobraΩennq, f0 : X × Y0 → R i f : X × Y → R take, wo
f ( x, y ) = f0 ( x, ϕ ( y ) ) dlq dovil\nyx x ∈ X i y ∈ Y. Todi D ( f0 ) = D, de D =
= { ( x, ϕ ( y ) ) : ( x, y ) ∈ D ( f ) }.
Dovedennq. Nexaj ( x, y ) ∈ D ( f ) i y0 = ϕ ( y ). Z teoremy pro neperervnist\
skladeno] funkci] vyplyva[, wo ( x, y0 ) ∈ D ( f0 ). OtΩe, D ⊆ D ( f0 ).
Nexaj ( x0 , y0 ) ∉ D. Poklademo K = ϕ–
1
( y0 ). Oskil\ky ϕ [ doskonalym, to
K — kompaktna mnoΩyna v Y. ZauvaΩymo, wo funkciq f neperervna v koΩnij
toçci ( x0 , y ), de y ∈ K, pryçomu f ( x0 , y ) = f0 ( x0 , y0 ). Tomu dlq koΩnoho ε > 0
isnugt\ vidkrytyj okil U toçky x0 v X i vidkryta mnoΩyna G v Y taki, wo
K ⊆ G i | f ( x, y ) – f0 ( x0 , y0 ) | < ε dlq dovil\nyx x ∈ U i y ∈ G. MnoΩyna Y \ G
[ zamknenog v Y, a ϕ — doskonale vidobraΩennq, tomu mnoΩyna F = ϕ ( Y \ G )
takoΩ [ zamknenog v Y0 , pryçomu y0 ∉ F. Poklademo V0 = Y0 \ F. Zrozumilo,
wo V0 — okil toçky y0 i ϕ–
1
( V0 ) ⊆ G. Nexaj x ∈ U i y′ ∈ V0 . Vyberemo y′′ ∈
∈ G tak, wob ϕ ( y′′ ) = y′. Todi | f0 ( x, y′ ) – f0 ( x0 , y0 ) | = | f ( x, y′′ ) – f ( x0 , y0 ) | < ε.
OtΩe, funkciq f0 [ neperervnog v toçci ( x0 , y0 ). Takym çynom, D ( f0 ) ⊆ D.
Nastupne tverdΩennq dovodyt\ implikacig i) ⇒ ii).
TverdΩennq 3. Nexaj X , Y — dovil\ni topolohiçni prostory, x 0 ∈ X,
y0 ∈ Y i poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no vidkry-
tyx v X i Y vidpovidno mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y taki, wo U n → x0 i V n →
→ y0
, pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn dlq koΩnoho n ∈ N. Todi isnu[ narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R taka, wo D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Nexaj ϕn : X → [ 0, 1 ] i ψn : Y → [ 0, 1 ] — taki neperervni funk-
ci], wo Un = ϕn
− ( )(1 0 1, ] , Vn = ψn
− ( )(1 0 1, ] i sup
x X
n x
∈
( )ϕ = sup
y Y
n y
∈
( )ψ = 1 dlq koΩno-
ho n ∈ N. Lehko baçyty, wo funkciq f : X × Y → R, f ( x, y ) = ϕ ψn nn
x y( )⋅ ( )=
∞∑ 1
,
[ ßukanog.
3. Perejdemo do vyvçennq pytan\ zaleΩnosti narizno neperervnyx funkcij
na dobutkax vid pevno] kil\kosti koordynat.
Nexaj Z, T — dovil\ni mnoΩyny, Y ⊆ RT
i f : Y → Z. Budemo hovoryty, wo
f zoseredΩene na mnoΩyni S, de S ⊆ T , qkwo dlq dovil\nyx y′, y′′ ∈ Y iz riv-
nosti zvuΩen\ y′ | S = y′′ | S vyplyva[ rivnist\ f ( y′ ) = f ( y′′ ). Qkwo pry c\omu po-
tuΩnist\ | S | mnoΩyny S ne perevywu[ ℵ0, to budemo hovoryty, wo f zale-
Ωyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat.
Nexaj, krim toho, X — dovil\na mnoΩyna i g : X × Y → Z . Todi g zosered-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 97
Ωene na mnoΩyni S ⊆ T vidnosno druho] zminno], qkwo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq
dovil\nyx x ∈ X i y′, y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S , i g zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti
koordynat vidnosno druho] zminno], qkwo | S | ≤ ℵ0 dlq deqko] tako] mnoΩynyLLS.
Teorema 1. Nexaj X — separabel\nyj topolohiçnyj prostir i Y ⊆ RT
—
lindel\ofovyj prostir. Todi koΩna narizno neperervna funkciq f : X × Y → R
zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnosno druho] zminno].
Dovedennq. Oskil\ky Y [ lindel\ofovym, to koΩna neperervna funkciq
g : Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat. Tomu dlq koΩnoho x ∈
∈ X isnu[ ne bil\ß niΩ zliçenna mnoΩyna Tx ⊆ T taka, wo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ )
dlq dovil\nyx y′, y′′ ∈ Y z y′ | Tx
= y′′ | Tx
. Nexaj A — zliçenna skriz\ wil\na v X
mnoΩyna. Poklademo S =
Taa A∈∪ . Zrozumilo, wo | S | ≤ ℵ0. Dlq dovil\nyx y′,
y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S ma[mo y′ | Ta
= y′′ | Ta
, tomu f ( a, y′ ) = f ( a, y′′ ) dlq koΩnoho
a ∈ A. Vraxuvavßy, wo funkciq f neperervna vidnosno zminno] x i zamykannq
A mnoΩyny A zbiha[t\sq z X, oderΩymo f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq vsix x ∈ X.
Teorema 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir z vlastyvistg ( )ℵII
0
i Y ⊆
⊆ RT
— kompakt, pryçomu Y = B , de B = { y ∈ Y : | supp y | ≤ ℵ0}. Todi dovil\-
na narizno neperervna funkciq f : X × Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti
koordynat vidnosno druho] zminno].
Dovedennq. Dovedemo spoçatku, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ ne bil\ß
niΩ zliçenna mnoΩyna Sε ⊆ T taka, wo dlq dovil\nyx b′, b′′ ∈ B z rivnosti
b′ | S
ε
= b′′ | S
ε
vyplyva[, wo | f ( x, b′ ) – f ( x, b′′ ) | ≤ ε dlq koΩnoho x ∈ X.
Prypustymo, wo ce ne tak. Tobto isnu[ ε > 0 take, wo dlq dovil\no] ne
bil\ß niΩ zliçenno] mnoΩyny S ⊆ T isnugt\ x ∈ X i b′, b′′ ∈ B taki, wo b′ | S =
= b′′ | S i | f ( x, b′ ) – f ( x, b′′ ) | > ε. Za dopomohog transfinitno] indukci] pobudu[mo
sim’] ( Sα : α < ω1 ) ne bil\ß niΩ zliçennyx mnoΩyn Sα ⊆ T , ( bα : α < ω1 ), ( cα :
α < ω1 ) i ( xα : α < ω1 ) toçok bα
, cα ∈ B i xα ∈ X taki, wo:
a) bα | Sα = cα | S
α
dlq koΩnoho α < ω1 ;
b) Sα ⊆ Sβ dlq dovil\nyx α < β < ω1 ;
v) supp bα ⊆ Sα + 1 , supp cα ⊆ Sα + 1 dlq koΩnoho α < ω1 ;
h) | f ( xα , bα ) – f ( xα , cα ) | > ε dlq koΩnoho α < ω1 .
Vyberemo dovil\nu ne bil\ß niΩ zliçennu mnoΩynu S1 ⊆ T . Zhidno z naßym
prypuwennqm isnugt\ toçky x1 ∈ X i b1
, c1 ∈ B taki, wo b1 | S1
= c1 | S1
i | f ( x1 ,
b1 ) – f ( x1 , c1 ) | > ε. Poklademo S2 = S1 ∪ supp b1 ∪ supp c1
. Zrozumilo, wo
| S2 | ≤ ℵ0. Vyberemo toçky x2 ∈ X i b2
, c2 ∈ B taki, wo b2 | S2
= c2 | S2
i | f ( x2 ,
b2 ) – f ( x2 , c2 ) | > ε.
Prypustymo, wo dlq deqkoho β < ω1 sim’] ( Sα : α < β ), ( bα : α < β ), ( cα : α <
< β ) i ( xα : α < β ) vΩe pobudovano. Poklademo Sβ = α β<∪ ( Sα ∪ supp bα ∪
∪ supp cα ). Oskil\ky pry α < β vsi mnoΩyny Sα
, supp bα i supp cα ne bil\ß
niΩ zliçenni, to | Sβ | ≤ ℵ0. Teper, vykorystavßy naße prypuwennq, vyberemo
toçky xβ i bβ
, cβ ∈ B tak, wob bβ | Sβ = cβ | Sβ i | f ( xβ , bβ ) – f ( xβ , cβ ) | > ε.
Dali, vykorystavßy neperervnist\ funkci] f vidnosno zminno] x i umovu h),
dlq koΩnoho α < ω1 znajdemo vidkrytyj okil Uα toçky xα v X takyj, wo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
98 V. V. MYXAJLGK
| f ( x, bα ) – f ( x, cα ) | > ε dlq koΩnoho x ∈ Uα
. Oskil\ky prostir X ma[ vlasty-
vist\ ( )ℵII
0
, to sim’q ( Uα : α < ω1 ) ne [ toçkovo-skinçennog. OtΩe, isnu[ toç-
ka x0 ∈ X i stroho zrostagça poslidovnist\ ( ) =
∞αn n 1 ne bil\ß niΩ zliçennyx
ordynaliv αn taki, wo | f ( x0 , bαn
) – f ( x0 , cαn
) | > ε dlq koΩnoho n ∈ N.
Poklademo Tn = Sαn
, vn = bαn
i w n = cαn
pry n ∈ N. Vykorystavßy kom-
paktnist\ prostoru Y i neperervnist\ funkci] f x 0 : Y → R, f x0 ( y ) = f ( x0 , y ), vy-
beremo skinçennu mnoΩynu T0 ⊆ T tak, wob | f ( x0 , y′ ) – f ( x0 , y′′ ) | < ε, qk til\ky
y′, y′′ ∈ Y z y′ | T0
= y′′ | T0
. Oskil\ky | f ( x0 , vn ) – f ( x0 , wn ) | > ε, to vn | T0
≠ wn | T0
.
Ale zhidno z umovog a) vn | Tn
= wn | Tn
, a zhidno z umovamy b) i v) funkci] vn | T \ Tn
+
1
i wn | T \ Tn
+
1
[ nul\ovymy, tomu vn | T \ Tn
+
1
= wn | T \ Tn
+
1
. OtΩe, T0 ∩ ( Tn + 1 \ Tn ) ≠ ∅
dlq koΩnoho n ∈ N. Vraxuvavßy, wo poslidovnist\ ( ) =
∞Tn n 1 zrosta[, oder-
Ωymo, wo mnoΩyna T0 [ neskinçennog, a ce supereçyt\ ]] vyboru. Takym çy-
nom, isnuvannq mnoΩyny Sε dovedeno.
Poklademo S0 = S nn 11 /=
∞∪ . Zrozumilo, wo f ( x, b′ ) = f ( x, b′′ ) dlq dovil\nyx
x ∈ X i b′, b′′ ∈ B z b′ | S
0
= b′′ | S
0
. Zafiksu[mo dovil\ni toçky x ∈ X, y′, y′′ ∈ Y
taki, wo y′ | S
0
= y′′ | S
0
. Vykorystavßy neperervnist\ funkci] f x : Y → R, f x ( y ) =
= f ( x, y ), na kompaktnomu prostori Y ⊆ RT
znajdemo ne bil\ß niΩ zliçennu
mnoΩynu T0 ⊆ T taku, wo f ( x, y1 ) = f ( x, y2 ) dlq dovil\nyx y1 , y2 ∈ Y z y1 | T0
=
= y2 | T0
. Oskil\ky B [ zliçenno kompaktnog mnoΩynog, Y = B i funkciq f x :
Y → R , f x ( y ) = f ( x, y ), neperervna, to isnugt\ toçky b′, b ′ ′ ∈ B taki, wo
b′ | T0
∪ S
0
= y′ | T0
∪ S
0
, f ( x, y′ ) = f ( x, b′ ), b′′ | T0
∪ S
0
= y′′ | T0
∪ S
0
i f ( x, y′′ ) = f ( x, b′′ ).
Todi f ( x, y′ ) = f ( x, b′ ) = f ( x, b′′ ) = f ( x, y′′ ). OtΩe, f zoseredΩene na mnoΩyni S0
,
tomu f zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnosno druho] zminno].
4. Vyvçennq narizno neperervnyx funkcij dvox zminnyx z odnotoçkovym roz-
ryvom rozpoçnemo z dopomiΩnoho tverdΩennq.
TverdΩennq 4. Nexaj X — psevdokompaktnyj prostir, Y — topolohiç-
nyj prostir, x0 ∈ X, y0 ∈ Y, f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }, δ > 0 i U 0 —
zamknenyj okil toçky x0 v X taki, wo | f ( x, y0 ) – f ( x0 , y0 ) | < δ dlq koΩnoho
x ∈ U0
, poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 vidkrytyx neporoΩnix mnoΩyn U n ⊆
⊆ U0 i V n v X i Y vidpovidno taki, wo | f ( x, y ) – f ( x0 , y0 ) | > δ dlq vsix ( x,
y ) ∈ Un × Vn pry n ∈ N. Todi qkwo ( ) =
∞Vn n 1 zbiha[t\sq do y0 , t o ( ) =
∞Un n 1
zbiha[t\sq do x0 .
Dovedennq. Nexaj U — dovil\nyj zamknenyj okil toçky x0 v X. Prypus-
tymo, wo mnoΩyna N = { n ∈ N : Un \ U ≠ ∅ } [ neskinçennog. Bez obmeΩen\ za-
hal\nosti moΩemo vvaΩaty, wo N = N. Poklademo Ũn = Un \ U dlq koΩnoho
n ∈ N. Oskil\ky X [ psevdokompaktnym, to zhidno z [10, s. 311] sim’q (Ũn : n ∈
∈ N ) vidkrytyx neporoΩnix mnoΩyn Ũn ne [ lokal\no skinçennog v X. Tomu
isnu[ toçka x̃ ∈ U0 taka, wo dovil\nyj okil Ũ toçky x̃ v X peretyna[t\sq z
neskinçennog kil\kistg elementiv sim’] (Ũn : n ∈ N ). Oskil\ky Vn → y0 , to do-
vil\nyj okil W toçky ( )˜,x y0 v X × Y peretyna[t\sq z neskinçennog kil\-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 99
kistg elementiv sim’] ( Wn : n ∈ N ), de Wn = Ũn × Vn
. ZauvaΩymo, wo x̃ ≠ x0 ,
tomu funkciq f [ neperervnog v toçci ( )˜,x y0 . Vraxuvavßy, wo | f ( x, y ) – f ( x0 ,
y0 ) | > δ dlq dovil\no] toçky ( x, y ) ∈ Wn pry n ∈ N, oderΩymo | f ( )˜,x y0 –
– f ( x0 , y0 ) | ≥ δ, a ce supereçyt\ tomu, wo x̃ ∈ U0
. OtΩe, N [ skinçennog i
Un → x0 .
Nahada[mo, wo kompaktnyj prostir Y [ kompaktom Valdivia, qkwo Y ho-
meomorfnyj deqkomu kompaktnomu prostoru Z ⊆ R T
takomu, wo mnoΩyna
{ z ∈ Z : | supp z | ≤ ℵ0} [ wil\nog v Z.
Osnovnym rezul\tatom danoho punktu [ nastupna teorema.
Teorema 3. Nexaj X — separabel\nyj psevdokompaktnyj prostir i Y —
kompakt abo X — psevdokompaktnyj prostir zi zliçennym çyslom Suslina i Y
— kompakt Valdivia, x0 ∈ X, y0 ∈ Y — neizol\ovani toçky u vidpovidnyx pros-
torax. Todi nastupni tverdΩennq [ rivnosyl\nymy:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn
Un ⊆ X i Vn ⊆ Y, qki zbihagt\sq do x0 i y0 vidpovidno;
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Oskil\ky X i Y — tyxonovs\ki prostory, to implikaciq i) ⇒ ii)
vyplyva[ z tverdΩennq 3.
ii) ⇒ i). Nexaj X — separabel\nyj psevdokompaktnyj prostir, Y — kom-
pakt i f : X × Y → R — narizno neperervna funkciq z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }. Bez ob-
meΩen\ zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo Y ⊆ RT
, de T — deqka mnoΩyna. Zhid-
no z teoremog 1 funkciq f zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vidnos-
no druho] zminno], tobto isnu[ ne bil\ß niΩ zliçenna mnoΩyna S ⊆ T taka, wo
f ( x, y′ ) = f ( x, y′′ ) dlq dovil\nyx x ∈ X i y′, y′′ ∈ Y z y′ | S = y′′ | S
.
Poklademo ϕ : Y → RS
, ϕ ( y ) = y | S
, Z = ϕ ( Y ), f0 : X × Z → R, f0 ( x, ϕ ( y ) ) =
= f ( x, y ), de y ∈ Y. Zrozumilo, wo vidobraΩennq ϕ : Y → Z [ doskonalym, tomu
zhidno z tverdΩennqm 2 D ( f0 ) = { ( x0 , z0 ) }, de z0 = ϕ ( y0 ). Krim toho, funkciq
f0 [ narizno neperervnog (neperervnist\ vidnosno perßo] zminno] vyplyva[ bez-
poseredn\o z neperervnosti f vidnosno perßo] zminno], a neperervnist\ vidnosno
druho] zminno] moΩna oderΩaty z dopomohog tverdΩennq 2, de qk perßyj
mnoΩnyk vykorystovu[t\sq odnotoçkovyj prostir { x } ). Vyberemo δ > 0 tak,
wob ωf0
( x0 , z0 ) > 3δ, i zamkneni okoly U0 i W0 toçok x0 i z0 v X i Z vidpo-
vidno tak, wob | f0 ( x, z0 ) – f0 ( x0 , z0 ) | < δ i | f0 ( x0 , z ) – f0 ( x0 , z0 ) | < δ dlq do-
vil\nyx x ∈ U0 i z ∈ W0
.
ZauvaΩymo, wo Z — metryzovnyj kompakt. Zafiksu[mo dovil\nu bazu
( ) =
∞Gn n 1 vidkrytyx okoliv Gn ⊆ W0 toçky z0 v Z i viz\memo dovil\nyj vidkry-
tyj okil Ũ toçky x0 v X. Oskil\ky ωf0
(Ũ × Gn ) > 3δ i funkciq f0 [ nepe-
rervnog u vsix toçkax, krim ( x0 , z0 ), to isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i
( ) =
∞Wn n 1 neporoΩnix vidkrytyx mnoΩyn Un ⊆ Ũ i Wn ⊆ W0 v X i Z vidpovidno
taki, wo | f0 ( x, z ) – f0 ( x0 , z0 ) | > δ dlq vsix ( x, z ) ∈ Un × Wn pry n ∈ N. Zrozu-
milo, wo Wn → z0
. Tomu zhidno z tverdΩennqm 4 Un → x0
.
Poklademo Vn = ϕ–
1
( Wn ) pry n = 0, 1, 2, … . ZauvaΩymo, wo | f ( x0 , y ) – f ( x0 ,
y0 ) | < δ dlq koΩnoho y ∈ V0 i | f ( x , y ) – f ( x0 , y0 ) | > δ dlq vsix ( x, y ) ∈ Un × Vn
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
100 V. V. MYXAJLGK
pry n ∈ N. Znovu vykorystavßy tverdΩennq 4 i pominqvßy miscqmy zminni,
oderΩymo, wo Vn → y0
.
Teper nexaj X — psevdokompaktnyj prostir zi zliçennym çyslom Suslina i
Y — kompakt Valdivia. MoΩna vvaΩaty, wo Y ⊆ RT
, pryçomu mnoΩyna { y ∈
∈ Y : | supp y | ≤ ℵ0} [ wil\nog v Y. Z [10, s. 311] vyplyva[, wo X [ berivs\kym
prostorom. Tomu z tverdΩennq 1 i teoremy 2 vyplyva[, wo koΩna narizno nepe-
rervna funkciq f : X × Y → R zaleΩyt\ vid zliçenno] kil\kosti koordynat vid-
nosno druho] zminno]. Dali mirku[mo tak samo, qk i v poperedn\omu vypadku.
5. U c\omu punkti my vstanovymo analohiçnyj rezul\tat dlq dobutku kom-
paktnyx prostoriv.
Teorema 4. Nexaj X, Y — kompaktni prostory i x0 ∈ X , y0 ∈ Y — neizo-
l\ovani toçky u vidpovidnyx prostorax. Todi nastupni tverdΩennq [ rivnosyl\-
nymy:
i) isnugt\ poslidovnosti ( ) =
∞Un n 1 i ( ) =
∞Vn n 1 neporoΩnix funkcional\no
vidkrytyx mnoΩyn Un ⊆ X i Vn ⊆ Y , qki zbihagt\sq do x0 i y0 vidpovidno,
pryçomu x0 ∉ Un i y0 ∉ Vn pry n ∈ N;
ii) isnu[ narizno neperervna funkciq f : X × Y → R z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Dovedennq. Qk i pry dovedenni teoremy 3, dosyt\ pereviryty implikacig
ii)L⇒ i). Nexaj f : X × Y → R — narizno neperervna funkciq z D ( f ) = { ( x0 , y0 ) }.
Rozhlqnemo neperervne asocijovane vidobraΩennq ϕ : X → Cp ( Y ), ϕ ( x ) ( y ) = f ( x,
y ). Poklademo X̃ = ϕ ( X ), g : X̃ × Y → R, g x y( )˜, = x̃ y( ) = f ( x, y ), de x̃ = ϕ ( x ).
Zrozumilo, wo g — narizno neperervna funkciq. Oskil\ky X — kompaktnyj
prostir, to ϕ — doskonale vidobraΩennq i zhidno z tverdΩennqm 2 D ( g ) =
= { }( ˜ , )x y0 0 , de x̃0 = ϕ ( x0 ). Nexaj x̃ ∈ A = ˜ ˜\X x{ }0 . Vraxuvavßy, wo Y —
kompaktnyj prostir i funkciq g [ neperervnog v koΩnij toçci mnoΩyny { }x̃ ×
× Y, oderΩymo, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ okil Ũ toçky x̃ v X̃ takyj,
wo ˜ ˜x y u y( ) − ( ) < ε dlq dovil\nyx y ∈ Y i ũ ∈ Ũ . OtΩe, na mnoΩyni A topo-
lohiq potoçkovo] zbiΩnosti i normovana topolohiq, porodΩena maksymum-nor-
mog z banaxovoho prostoru C ( X ), zbihagt\sq. Tomu, zokrema, mnoΩyna A [
metryzovnym pidprostorom prostoru X̃ .
Teper rozhlqnemo asocijovane vidobraΩennq ψ : Y → C Xp( )˜ , ϕ ( y ) ( )x̃ =
= g x y( )˜, . Poklademo Ỹ = ψ ( Y ), h : X̃ × Ỹ → R, h x y( )˜, ˜ = g x y( )˜, , de ỹ = ϕ ( y ).
Qk i v poperedn\omu vypadku, ma[mo D ( h ) = { }( ˜ , ˜ )x y0 0 , de ỹ0 = ψ ( y0 ), i mno-
Ωyna B = ˜ ˜\Y y{ }0 [ metryzovnym pidprostorom prostoru Ỹ .
Viz\memo δ > 0 tak, wob ωh x y( ˜ , ˜ )0 0 > 4δ, i vyberemo zamkneni okoly Ũ0 i
Ṽ0 toçok x̃0 i ỹ0 v X̃ i Ỹ vidpovidno tak, wob h x y h x y( − (˜, ˜ ) ˜ , ˜ )0 0 0 < δ i
h x y h x y( − (˜ , ˜) ˜ , ˜ )0 0 0 < δ dlq dovil\nyx x̃ ∈ Ũ0 i ỹ ∈ Ṽ0. Poklademo Z =
= ˜ ˜X Y× , z0 = ( ˜ , ˜ )x y0 0 i W0 = int ˜ int ˜( ) × ( )U V0 0 , de çerez int ( C ) poznaçeno
vnutrißnist\ mnoΩyny C u vidpovidnomu topolohiçnomu prostori. Dlq koΩno]
toçky z ∈ A × B vyberemo vidkrytyj okil Gz toçky z v Z takyj, wo z0 ∉ Gz i
ωh ( Gz ) < δ. Oskil\ky A × B — metryzovnyj pidprostir prostoru Z , to zhidno z
teoremog Stouna pro parakompaktnist\ metryzovnoho prostoru [10, s. 414] u
vidkryte pokryttq ( Gz : z ∈ A × B ) prostoru A × B moΩna vpysaty deqke lo-
kal\no skinçenne vidkryte pokryttq ( Wi : i ∈ I ). Poklademo J = { i ∈ I : Wi ∩
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ODNOTOÇKOVI ROZRYVY NARIZNO NEPERERVNYX FUNKCIJ … 101
∩ W0 ≠ ∅ i | h ( z ) – h ( z0 ) | > 2δ dlq deqkoho z ∈ Wi }. Oskil\ky ωh ( z0 ) > 4δ, to
dlq bud\-qkoho okolu W ⊆ W0 toçky z0 isnu[ toçka z ∈ W taka, wo | h ( z ) –
– h ( z0 ) | > 2δ, pryçomu zhidno z vyborom Ũ0 i Ṽ0 toçka z obov’qzkovo vxodyt\
do mnoΩyny A × B. Tomu z0 ∈
Wii J∈∪ . Vraxuvavßy, wo z0 ∉ Wi dlq koΩnoho
i ∈ I, oderΩymo, wo mnoΩyna J [ neskinçennog. Krim c\oho, zauvaΩymo, wo
oskil\ky ωh ( Wi ) < δ pry i ∈ I, to dlq dovil\nyx j ∈ J i z ∈ Wj vykonu[t\sq
nerivnist\ | h ( z ) – h ( z0 ) | > δ. Oskil\ky | h ( z ) – h ( z0 ) | < δ dlq koΩnoho z ∈
∈ (( )){ } × ) ( × { } { }˜ ˜ ˜ ˜ \x V U y z0 0 0 0 0∪ = C i funkciq h [ neperervnog v koΩnij
toçci mnoΩyny C, to
Wii J∈∪ ∩ C = ∅.
Vyberemo dovil\nu zliçennu mnoΩynu { j1 , j2 , … } ⊆ J i poklademo W̃n =
= Wjn
∩ W0 pry n ∈ N. Z oznaçennq mnoΩyny J vyplyva[, wo vsi mnoΩyny W̃n
[ neporoΩnimy. ZauvaΩymo, wo sim’q ( W̃n : n ∈ N ) [ lokal\no skinçennog v
koΩnij toçci mnoΩyny ( A × B ) ∪ ( Z \ ( × )˜ ˜U V0 0 ) ∪ C = Z \ { z0 }. Nexaj W —
dovil\nyj zamknenyj okil toçky z0 u Z. Todi sim’q (W̃n \ W : n ∈ N ) [ lokal\no
skinçennog sim’[g vidkrytyx mnoΩyn u kompakti Z. Tomu W̃n \ W ≠ 0 lyße
dlq skinçenno] kil\kosti nomeriv n, tobto isnu[ n0 ∈ N take, wo W̃n ⊆ W dlq
vsix n ≥ n0
. OtΩe, W̃n → z0
.
Dlq koΩnoho n ∈ N vyberemo vidkryti neporoΩni mnoΩyny Ũn i Ṽn v X̃ i
Ỹ vidpovidno taki, wo Ũn × Ṽn ⊆ W̃n . Zrozumilo, wo Ũn → x̃0 i Ṽn → ỹ0 .
Dlq n = 0, 1, 2, … poklademo Un = ϕ− ( )1 Ũn i Vn = ψ− ( )1 Ṽn . MnoΩyny U0 i V0
[ zamknenymy, a Un i Vn pry n ∈ N — funkcional\no vidkryti v X i Y vidpo-
vidno, qk proobrazy takyx samyx mnoΩyn pry neperervnyx vidobraΩennqx. Te-
per, zastosuvavßy tverdΩennq 4 do funkci] g, oderΩymo, wo iz zbiΩnosti
Ũn → x̃0 vyplyva[ zbiΩnist\ Vn → y0
. Dali, mirkugçy analohiçno, dlq funkci]
f otrymu[mo, wo Un → x0
.
1. Namioka I. Separate contimuity and joint continuity // Pacif. J. Math. – 1974. – 51, # 2. – P. 515 –
531.
2. Piotrowski Z. Separate and joint continuity // Real. Anal. Exch. – 1985 – 1986. – 11, # 2. – P. 283
– 322.
3. Maslgçenko V. K., Myxajlgk V. V., Sobçuk O. V. Oberneni zadaçi teori] narizno neperervnyx
vidobraΩen\ // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 9. – S. 1209 – 1220.
4. Myxajlgk V. V. Do pytannq pro mnoΩynu toçok rozryvu narizno neperervnoho vidobra-
Ωennq // Mat. studi]. – 1994. – # 3. – S. 91 – 94.
5. Maslgçenko V. K. Zv’qzky miΩ riznymy xarakterystykamy velyçyny mnoΩyn toçok sukup-
no] neperervnosti narizno neperervnyx vidobraΩen\. – Çernivci, 1994. – 17 s. – Dep. v DNTB
Ukra]ny, # 70-Uk94.
6. Maslgçenko O. V. Kolyvannq narizno neperervnyx funkcij na dobutku kompaktiv Eber-
lejna // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Vyp. 76. Matematyka. – Çernivci: Ruta, 2000. – S. 67 – 70.
7. Arxanhel\skyj A. V. Topolohyçeskye prostranstva funkcyj. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta,
1989. – 222 s.
8. Maslyuchenko V. K., Maslyuchenko O. V., Mykhaylyuk V. V., Sobchuk O. V. Paracompactness and
separately continuous mappings // Gen. Topol. Banach Spaces. – New York: Nova Publ., 2000. –
P. 147 – 169.
9. Myxajlgk V. V. ZaleΩnist\ vid n koordynat narizno neperervnyx funkcij na dobutkax
kompaktiv // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 6. – S. 822 – 829.
10. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 751 s.
OderΩano 23.10.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3576 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:07Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/af/ddd2dd8b2a8ed6028b8bddf2138c29af.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35762020-03-18T19:59:02Z One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів Mykhailyuk, V. V. Михайлюк, В. В. We investigate the existence of a separately continuous function $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ with a one-point set of points of discontinuity in the case where the topological spaces $X$ and $Y$ satisfy conditions of compactness type. In particular, for the compact spaces $X$ and $Y$ and the nonizolated points $x_0 \in X$ and $y_0 \in Y$, we show that the separately continuous function $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ with the set of points of discontinuity $\{(x_0, y_0)\}$ exists if and only if sequences of nonempty functionally open set exist in $X$ and $Y$ and converge to $x_0$ and $y_0$, respectively. Досліджується існування нарізно неперервної функції $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ з одноточковою множиною точок розриву, коли $X$ і $Y$ задовольняють умови типу компактності. Зокрема, показано, що для компактних просторів $X$ і $Y$ і неізольованих точок $x_0 \in X$ і $y_0 \in Y$ існує нарізно неперервна функція $f :\; X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ з множиною $\{(x_0, y_0)\}$ точок розриву тоді і тільки тоді, коли в $X$ і $Y$ існують послідовності непорожніх функціонально відкритих множин, які збігаються до $x_0$ і $y_0$ відповідно. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3576 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 94–101 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 94–101 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3576/3885 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3576/3886 Copyright (c) 2005 Mykhailyuk V. V. |
| spellingShingle | Mykhailyuk, V. V. Михайлюк, В. В. One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title | One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title_alt | Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів |
| title_full | One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title_fullStr | One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title_full_unstemmed | One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title_short | One-Point Discontinuities of Separately Continuous Functions on the Product of Two Compact Spaces |
| title_sort | one-point discontinuities of separately continuous functions on the product of two compact spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3576 |
| work_keys_str_mv | AT mykhailyukvv onepointdiscontinuitiesofseparatelycontinuousfunctionsontheproductoftwocompactspaces AT mihajlûkvv onepointdiscontinuitiesofseparatelycontinuousfunctionsontheproductoftwocompactspaces AT mykhailyukvv odnotočkovírozrivinaríznoneperervnihfunkcíjnadobutkudvohkompaktnihprostorív AT mihajlûkvv odnotočkovírozrivinaríznoneperervnihfunkcíjnadobutkudvohkompaktnihprostorív |