Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients
We construct asymptotic expansions for a one-phase soliton-type solution of the Korteweg-de Vries equation with coefficients depending on a small parameter.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3578 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509693831544832 |
|---|---|
| author | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_facet | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_sort | Samoilenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:02Z |
| description | We construct asymptotic expansions for a one-phase soliton-type solution of the Korteweg-de Vries equation with coefficients depending on a small parameter. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. Hr. Samojlenko, Gl. I. Samojlenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ
DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX ROZV’QZKIV
RIVNQNNQ KORTEVEHA – DE FRIZA
ZI ZMINNYMY KOEFICI{NTAMY
We construct asymptotic expansions for one-phase soliton-type solutions for the Korteweg – de Vries
equation with coefficients depending on a small parameter.
Pobudovano asymptotyçni rozvynennq dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku dlq
rivnqnnq Korteveha – de Friza z koefici[ntamy, wo zaleΩat\ vid maloho parametra.
1. Vstup. Odnym iz fundamental\nyx rivnqn\ suçasno] fizyky [ rivnqnnq Kor-
teveha – de Friza
ut – 6uux + uxxx = 0, (1)
qke vperße bulo zaproponovane hollands\kym vçenym D. Kortevehom ta joho
uçnem DΩ. de Frizom [1] dlq matematyçnoho opysu vidokremleno] xvyli, rux
qko] v kanali vperße sposterihav DΩ. Skott-Rassel [2] v 1834 r.
Qk vidomo, D. Korteveh i DΩ. de Friz znajßly periodyçni xvyl\ovi rozv’qzky
rivnqnnq (1), qki magt\ nesynuso]dal\nu formu i stagt\ nablyΩeno synuso-
]dal\nymy, qkwo ]x amplituda [ duΩe malog. Pry zbil\ßenni dovΩyny xvyli
vony nabyragt\ vyhlqdu daleko rozmiwenyx odyn vid odnoho pahorbiv, a v hra-
nyçnomu vypadku — pry duΩe velykij dovΩyni xvyli — zalyßa[t\sq odyn pa-
horb, qkyj i vidpovida[ vidokremlenij xvyli.
Rivnqnnq Korteveha – de Friza stalo odnym z osnovnyx dosqhnen\ D. Korte-
veha i DΩ. de Friza, xoça pry Ωytti D. Korteveha pro ce majΩe nixto ne zhadu-
vav. Pracq [1] D. Korteveha i DΩ. de Friza zalyßylasq majΩe nepomiçenog, ]]
ßvydko zabuly i lyße okremi vçeni, wo zajmalysq zadaçamy hidrodynamiky,
zridka povertalys\ do rozhlqdu rivnqnnq Korteveha – de Friza ta problemy
vidokremleno] xvyli. Zhodom bulo viddano naleΩnu ßanu c\omu rivnqnng ta
joho tvorcqm, koly v 1995 roci v Amsterdami — na bat\kivwyni D. Korteveha i
DΩ. de Friza — bulo provedeno miΩnarodnu naukovu konferencig, prysvqçenu
storiççg vid dnq vidkryttq rivnqnnq Korteveha – de Friza. Teper ce rivnqnnq
zastosovu[t\sq pry modelgvanni riznomanitnyx xvyl\ovyx procesiv.
Udruhe rivnqnnq Korteveha – de Friza opynylos\ u centri uvahy fizykiv ta
matematykiv u 1965 r., koly vidomi amerykans\ki vçeni M. Kruskal ta N. Zabuski
[3] rozv’qzaly problemu E. Fermi, DΩ. Pasta ta S. Ulama [4] i bulo vyqvleno
zv’qzok rivnqn\ lancgΩka Tody [5], wo doslidΩuvalys\ E. Fermi, DΩ. Pasta ta
S. Ulamom, iz rivnqnnqm Korteveha – de Friza.
Vyvçagçy za dopomohog çyslovyx eksperymentiv rivnqnnq Korteveha – de
Friza dlq vypadku malo] dyspersi], tobto pry naqvnosti maloho parametra pry
starßij poxidnij u rivnqnni (1), M. Kruskal ta N. Zabuski [3] matematyçno
ob©runtuvaly bahato fizyçnyx vlastyvostej vidokremleno] xvyli, vidkrytyx
eksperymental\no DΩ. Skottom-Rasselom, sformulgvaly oznaçennq solitona v
praci [3], qka sponukala burxlyvyj rozvytok matematyçno] teori] solitoniv,
osnovog qko] [ rivnqnnq Korteveha – de Friza [6].
U zv’qzku z rivnqnnqm Korteveha – de Friza potribno takoΩ zhadaty pro kla-
syçnu pracg K. S. Hardnera, DΩ. M. Hrina, M. D. Kruskala ta R. M. Miury [7], v
qkij uperße bulo zaproponovano tak zvanyj metod spektral\noho peretvorennq
dlq rozv’qzku zadaçi Koßi dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza, ta pracg
P.ELaksa [8], qkyj pokazav zahal\nyj xarakter c\oho metodu.
Qk vidomo, pry doslidΩenni riznomanitnyx zadaç kvantovo] mexaniky [9], ne-
linijno] teori] poßyrennq xvyl\ [10], fizyky plazmy [3] vynyka[ potreba vy-
© V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 111
112 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
vçennq xvyl\ovyx procesiv qk u seredovywax iz malog dyspersi[g, tak i v neod-
noridnyx seredovywax. Najbil\ß prostog modellg, wo opysu[ xvyl\ovyj pro-
ces u seredovywi z malog v’qzkistg µ, [ rivnqnnq Bgrhersa
u u ut x xx+ −1
2
2( ) µ = 0, (2)
qke, qk vidomo, za dopomohog pidstanovky Koula – Xopfa [6] zvodyt\sq do riv-
nqnnq teploprovidnosti. Ce v svog çerhu dozvolq[ pobuduvaty toçnyj rozv’q-
zok dlq rivnqnnq (2) ta doslidyty nyzku specyfiçnyx efektiv u hidrodynamici
seredovyw iz malog v’qzkistg, zokrema qvywe perekydannq xvyli ta qvywe
udarno] xvyli. Krim toho, vykorystovugçy formuly dlq toçnyx rozv’qzkiv riv-
nqnnq (2), moΩna proanalizuvaty asymptotyçni vlastyvosti (pry µ → 0 ) cyx
rozv’qzkiv ta vkazaty taki rozv’qzky rivnqnnq (2), qki prqmugt\ (potoçkovo) pry
µ → 0 do deqkoho rozryvnoho rozv’qzku. ZauvaΩymo, wo takyj xarakter
asymptotyçno] povedinky rozv’qzkiv rivnqnnq (2) prytamannyj qvywu udarno]
xvyli [6].
Dlq bil\ß skladnyx system, napryklad dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza zi
zminnymy (zaleΩnymy vid prostorovo] ta evolgcijno] zminnyx) koefici[ntamy,
systemy Nav’[ – Stoksa z malog v’qzkistg ta inßyx, ne zavΩdy vda[t\sq znajty
toçnyj rozv’qzok, a tomu dlq analizu vlastyvostej ]x rozv’qzkiv vykorystovu-
gt\sq rizni asymptotyçni metody maloho parametra, zastosuvannq qkyx çasto
bazu[t\sq na vykorystanni formul dlq toçnyx rozv’qzkiv vidpovidno] porodΩu-
gço] (nezbureno], µ = 0 ) zadaçi, qkyj pry c\omu ma[ buty hranyçnym (pry µ →
→ 0 ) dlq rozv’qzku zbureno] zadaçi. Rozv’qzok vidpovidno] porodΩugço] zadaçi
çasto [ rozryvnog funkci[g — ce vydno [11] na prykladi rivnqnnq Bgrher-
saE(2).
Zaznaçymo, wo zadaçi pobudovy asymptotyçnyx rozv’qzkiv rozhlqdalys\ u
riznyx aspektax: dlq pobudovy asymptotyçnyx rozv’qzkiv iz ßvydko oscylg-
gçymy koefici[ntamy zastosovuvavsq metod userednennq [12]; dlq pobudovy
tak zvanyx asymptotyçnyx odno- ta bahatofazovyx solitonopodibnyx rozv’qzkiv
dlq synhulqrno zburenyx dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy
H.EVencel\, X. Kramer ta L. Brillgen zaproponuvaly metod, qkyj zhodom
distavEnazvu metodu VKB [13] i pizniße zastosovuvavsq H. B. Uizemom [14] ta
M.EDΩ.ELajtxilom [15] pry vyvçenni zadaç pro poßyrennq periodyçnyx xvyl\;
rosijs\ki matematyky V. P. Maslov, H. A. Omel\qnov ta S. G. Dobroxotov v [11,
16, 17] znajßly solitonopodibni rozv’qzky dlq nyzky zadaç matematyçno] fizy-
ky ta ob©runtuvaly ideg pobudovy asymptotyçnyx rozvynen\ dlq solitono-
podibnyx rozv’qzkiv dlq deqkyx klasiv dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy
poxidnymy; v [18] pobudovano asymptotyçnyj rozv’qzok typu prymeΩovoho ßaru
dlq krajovo] zadaçi dlq linijnoho eliptyçnoho rivnqnnq, qkyj [ dobre vidomym
prykladom solitonopodibnoho rozv’qzku. Podibni rozvynennq vynykagt\ takoΩ
pry pobudovi ßvydkooscylggçyx asymptotyçnyx rozv’qzkiv linijnyx ta neli-
nijnyx rivnqn\ [19] ta asymptotyky funkci] Hrina dlq paraboliçnyx rivnqn\
[20], asymptotyçnyx ßvydkospadnyx rozv’qzkiv stroho hiperboliçnyx system zi
zminnymy koefici[ntamy [21] towo.
Razom z tym pry pobudovi rozryvnyx rozv’qzkiv vidpovidnyx porodΩugçyx za-
daç vynyka[ nyzka matematyçnyx problem. U pracqx R. Kuranta [22] ta inßyx
pokazano, wo rozryvni rozv’qzky dlq linijnyx porodΩugçyx rivnqn\ moΩna ßu-
katy u vyhlqdi
u ( x, t ) = δ ( S ) ψ0 ( x, t ) + ϑ ( S ) ψ ( S, x, t ) , (3)
de ψ ( S, x, t ) = ψ1 ( x, t ) + S ψ2 ( x, t ) + S
2
ψ3 ( x, t ) + … , S = S ( x, t ) — deqka ne-
skinçenno dyferencijovna funkciq, δ ( S ) — funkciq Diraka, ϑ ( S ) — funkciq
Xevisajda, ψ0 ( x, t ), ψ1 ( x, t ), ψ2 ( x, t ), … — neskinçenno dyferencijovni funk-
ci] zminnyx x, t. Ale qkwo rozryvnyj rozv’qzok porodΩugçoho ( µ = 0 ) rivnqn-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 113
nq dlq (2) ßukaty u vyhlqdi (3), to pislq pidstanovky u ( x, t ) z (3) u vidpovidne
hranyçne rivnqnnq, qke [ kvazilinijnym, vynyka[ problema, pov’qzana z vyzna-
çennqm dobutku uzahal\nenyx funkcij ϑ ( S ) δ ( S ) , qkyj, vzahali kaΩuçy, ne
vyznaçeno, oskil\ky zaleΩyt\ vid sposobu aproksymaci] uzahal\nenyx funkcij
ϑ ( S ) i δ ( S ) .
U zv’qzku z problemog vyznaçennq dobutku uzahal\nenyx funkcij slid zha-
daty pracg V. K. Ivanova [23], v qkij zaproponovano pidxid dlq vyznaçennq do-
butku uzahal\nenyx funkcij, wo dozvolylo doslidyty nyzku zadaç, pov’qzanyx
iz znaxodΩennqm rozryvnyx rozv’qzkiv kvazilinijnyx rivnqn\, i, takym çynom, vy-
vçyty okremi porodΩugçi zadaçi dlq rivnqn\, wo mistqt\ malyj parametr pry
starßij poxidnij. U pidsumku ce dalo moΩlyvist\, zokrema, pobuduvaty uza-
hal\nennq solitonnyx rozv’qzkiv — tak zvani solitonopodibni (asymptotyçni)
rozv’qzky dlq nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy ta
zminnymy koefici[ntamy matematyçno] ta teoretyçno] fizyky, qki solitonnyx
rozv’qzkiv ne magt\.
ZauvaΩymo, wo oskil\ky matematyçni modeli, wo bazugt\sq na rivnqnni
Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy ta malym parametrom pry star-
ßij poxidnij, opysugt\ vaΩlyvi xvyl\ovi procesy v seredovywax z malog dys-
persi[g [24, 25], to, oçevydno, stanovyt\ znaçnyj interes rozv’qzannq zadaçi pro
pobudovu asymptotyçnyx rozvynen\ dlq takoho typu zadaç. Zokrema, R. Hrimßou
[26] doslidyv qvywe rezonansu, wo vynyka[ vnaslidok vza[modi] dvox xvyl\, a
E.ES. Benilov, R. Hrimßou ta {. P. Kuzn[cova [27] rozhlqnuly rivnqnnq Korte-
veha – de Friza p’qtoho porqdku z malym parametrom pry starßij poxidnij ta
doslidyly stijkist\ nelokal\no] vidokremleno] xvyli dlq takoho rivnqnnq.
U danij statti rozhlqda[t\sq zadaça pro znaxodΩennq asymptotyçnyx roz-
v’qzkiv rivnqnnq Korteveha – de Friza z koefici[ntamy, wo zaleΩat\ vid maloho
parametra, vyhlqdu
uxxx = a ( x, ε ) ut + b ( x, ε ) uux . (4)
Prypuska[t\sq, wo funkci] a ( x, ε ) , b ( x, ε ) magt\ vyhlqd
a ( x, ε ) =
1
0
0ε
εN k
k
k
a x( )
=
∞
∑ , b ( x, ε ) =
1
0
0ε
εN k
k
k
b x( )
=
∞
∑ , (5)
de N0 ∈ N, x ∈ R
1, t ∈ [ 0, T ] ; ak ( x ), bk ( x ) ∈ C R( )( )∞ 1 , k ≥ 0.
2. Vyhlqd asymptotyçnoho rozv’qzku ta umova Hghonio. Analohiçno do
[11] poznaçymo za dopomohog G = G R T Rx( )[ , ]1 10× × τ linijnyj prostir neskin-
çenno dyferencijovnyx funkcij f = ( x, t, τ ), ( x, t, τ ) ∈ R T Rx
1 10× ×( , ) τ, dlq
qkyx rivnomirno za zminnymy ( x, t ) na koΩnomu kompakti K ⊂ R Tx
1 0× ( , ) dlq
dovil\nyx nevid’[mnyx cilyx çysel n, m, q, α vykonugt\sq taki dvi umovy:
1) ma[ misce spivvidnoßennq
lim ( , , )
τ
α
ατ
τ
τ
→∞
+ +∂
∂ ∂ ∂
n
m q
m qx t
f x t = 0; (6)
2) isnu[ neskinçenno dyferencijovna funkciq f x t−( , ) taka, wo
lim ( , , ) ( , )( )
τ
α
ατ
τ
τ
→ −∞
+ +
−∂
∂ ∂ ∂
−n
m q
m qx t
f x t f x t = 0, ( x, t ) ∈ K . (7)
Poznaçymo za dopomohog G0 = G R T Rx0
1 10( )[ , ]× × τ linijnyj pidprostir u G
funkcij f x t( , , )τ takyx, wo dodatkovo do umov (6), (7) rivnomirno wodo ( x, t )
na koΩnomu kompakti K ⊂ R Tx
1 0× ( , ) spravdΩu[t\sq rivnist\
lim ( , , )
τ
τ
→ −∞
f x t = 0, ( x, t ) ∈ K .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
114 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
Oznaçennq [11]. Funkciq u = u ( x, t, ε ) nazyva[t\sq odnofazovog solito-
nopodibnog, qkwo dlq dovil\noho ciloho çysla N ≥ 0 funkciq u ( x, t, ε ) moΩe
buty zobraΩena za dopomohog rozkladu za malym parametrom ε u vyhlqdi
u ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j
Nu x t V x t O
=
+∑ +[ ] +
0
1ε τ ε( , ) ( , , ) ( ), (8)
de τ = ( x – ϕ ( t )) / ε ∈ C R Tx
( )( )[ , ]∞ ×1 0 — skalqrna dijsna funkciq, funkci]
uj ( x, t ) , j = 0, N , — neskinçenno dyferencijovni (v toçkax t = 0, t = T roz-
hlqdagt\sq vidpovidno liva ta prava poxidni); V0 ( x, t, τ ) ∈ G0, V j ( x, t, τ ) ∈ G,
j = 1, 2, … , N. Funkciq x – ϕ ( t ) nazyva[t\sq fazog odnofazovo] solitonopo-
dibno] funkci] u ( x, t, ε ) . Funkciq ϕ ( t ) vyznaça[ linig rozryvu funkci] u ( x, t, ε )
pry ε = 0.
Vyhlqd asymptotyçnyx rozvynen\ dlq odnofazovoho solitonopodibnoho roz-
v’qzku rivnqnnq Korteveha – de Friza (4) zaleΩyt\ vid znaçen\ çysla N0 u (5).
Potribno rozriznqty vypadky, koly N0 — parne ta koly N0 — neparne. A same,
dlq vypadku parnoho N0 asymptotyçnyj rozv’qzok dlq odnofazovoho solitono-
podibnoho rozv’qzku budu[t\sq u vyhlqdi
u ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j
Nu x t V x t O
=
+∑ + +
0
1ε τ ε( ) ( )( , ) ( , , ) , τ =
x t
N
− ϕ
ε
( )
/0 2 ;
dlq vypadku neparnoho N0 — u vyhlqdi
u ( x, t, ε ) = ε τj
j j
j
N
u x t V x t( )( , ) ( , , )
[ / ]
+
=
∑
0
20
+
+ ε τ( )/
[ / ]
( )( , ) ( , , )j
j j
j N
N
u x t V x t+
= +
+∑ 1 2
2 1
2
0
+ O N( )ε +1 ,
de τ =
x t
N
− ϕ
ε
( )
/0 2 .
Vypadok N0 = 1 rozhlqnuto v [28]. U podal\ßomu vvaΩa[mo, wo N0 ≥ 2.
Asymptotyçnyj rozv’qzok rivnqnnq (4) analohiçno [11] podamo u vyhlqdi
u ( x, t, ε ) = U ( x, t, ε ) + ε Gε ( S, x, t ) + ε Fε ( S, x, t ), (9)
de S = x – ϕ ( t ) ; U ( x, t, ε ) — neskinçenno dyferencijovni funkci]; Gε ( S, x, t ) ,
Fε ( S, x, t ) — neskinçenno dyferencijovni funkci] taki, wo ε εG S x t C( , , ) ≤ C1;
F S x t Cε( , , ) ≤ C2, de C1, C2 — ne zaleΩni vid ε konstanty, ⋅ C — norma
prostoru neperervnyx wodo ( x, t ) ∈ R Tx
1 0× [ , ] funkcij. U (9) funkci] U ( x, t,
ε ), Gε ( S, x, t ), Fε ( S, x, t ) zadovol\nqgt\ umovy
Gε ( S, x, t ) → g ( t ) δ ( S ) v D′ pry ε → 0,
ε Gε ( S, x, t ) → 0 v D′ pry ε → 0, (10)
Fε ( S, x, t ) → f ( x, t ) ϑ ( S ) v D′ pry ε → 0,
de D′ — prostir uzahal\nenyx funkcij, zaleΩnyx vid zminno] S, g ( t ), f ( x, t ) —
deqki neskinçenno dyferencijovni funkci].
Koefici[nty asymptotyçnyx rozvynen\ dlq funkcij U ( x, t, ε ), G ε ( S, x, t ),
Fε ( S, x, t ) i funkciq ϕ ( t ), wo vyznaça[ linig rozryvu pry ε = 0 dlq rozv’qzku
(9) i [ poky wo nevyznaçenog, znaxodqt\sq za dopomohog rekurentnyx obçys-
len\. Funkciq ϕ ( t ) pov’qzana pevnym çynom iz koefici[ntamy asymptotyçnyx
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 115
rozvynen\ v (5) za dopomohog spivvidnoßen\, wo nazyvagt\sq umovog typu Hg-
honio [29], qku moΩna otrymaty dlq rozhlqduvanoho vypadku takym çynom. Pid-
stavymo (9) i (5) u rivnqnnq (4), domnoΩymo oderΩani vyrazy na εN0
ta sprqmu-
[mo ε do nulq. Qk rezul\tat otryma[mo rivnqnnq dlq vyznaçennq funkci]
u0 ( x, t ) = U ( x, t, 0 ) :
a0 ( x ) u0t + b0 ( x ) u0 u0x = 0. (11)
Rivnist\ (11) nazyva[t\sq porodΩugçym rivnqnnqm dlq rivnqnnq Korteveha –
de Friza (4).
Pidstavymo (5) v (4) i, vraxuvavßy rivnqnnq (11), domnoΩymo otrymane spiv-
vidnoßennq na εN0 1− , N0 ≥ 2, ta sprqmu[mo ε do nulq. Vykorystovugçy umo-
vy (10) ta vraxovugçy, wo
ε ( Gε ( S, x, t ))2 → r ( t ) δ ( S ) v D′ pry ε → 0,
ε Gε ( S, x, t ) Fε ( S, x, t ) → 0 v D′ pry ε → 0,
otrymu[mo spivvidnoßennq (ne navodymo joho çerez hromizdkist\), z qkoho ßlq-
xom pryrivngvannq koefici[nta pry ′δ ( )S do nulq oderΩu[mo dlq vyznaçennq
funkci] x t= ϕ ( ) rivnqnnq vyhlqdu
– a
d
dt
b
r t
g t
b u t0 0 0 0
1
2
( ) ( )
( )
( )
( ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + = 0. (12)
Tut funkciq r t g t( ) ( )/ zaleΩyt\ vid aproksymaci] δ-funkci] j bude vyznaçena
pizniße.
Spivvidnoßennq (12) vidome qk umova typu Hghonio i vyznaça[ zv’qzok miΩ
funkci[g fazy ϕ ( )t , wo opysu[ linig rozryvu dlq odnofazovoho solitonopo-
dibnoho rozv’qzku rivnqnnq Korteveha – de Friza, ta holovnym çlenom rehulqr-
no] çastyny asymptotyky (9) i koefici[ntamy asymptotyçnyx rozkladiv (5).
3. Pobudova asymptotyçnyx rozv’qzkiv. Asymptotyçnyj rozv’qzok (8)
sklada[t\sq z dvox çastyn: rehulqrno] ta synhulqrno] çastyn asymptotyky.
Pry joho pobudovi vykorystovugt\sq standartni obçyslennq metodu maloho pa-
rametra. Pry c\omu rehulqrna çastyna asymptotyky vyznaça[t\sq qk rozv’qzok
deqko] systemy dyferencial\nyx rivnqn\, wo mistyt\ odne kvazilinijne ta reß-
tu linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy, a synhulqrna
çastyna asymptotyky spoçatku vyznaça[t\sq qk rozv’qzok deqko] (inßo], niΩ
dlq rehulqrno] çastyny, asymptotyky) systemy dyferencial\nyx rivnqn\, wo
mistyt\ takoΩ odne kvazilinijne ta reßtu linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy na kryvij rozryvu x t= ϕ ( ); potim znaxodyt\sq dyfe-
rencial\ne rivnqnnq dlq vyznaçennq funkci] ϕ ( )t , pislq çoho budu[t\sq pro-
dovΩennq synhulqrno] çastyny asymptotyky z kryvo] rozryvu x t= ϕ ( ) v de-
qkyj okil ci[] kryvo] ta provodyt\sq procedura zßyvannq otrymanyx asymp-
totyk takym çynom, wob çleny asymptotyky pobudovanoho rozv’qzku naleΩaly
vvedenomu vywe prostoru G.
Opyßemo alhorytm pobudovy asymptotyçnoho rozv’qzku rivnqnnq Korteveha
– de Friza (4). Rozhlqnemo spoçatku vypadok, koly N0 2= . Asymptotyçnyj
odnofazovyj solitonopodibnyj rozv’qzok rivnqnnq (4) ßuka[mo u vyhlqdi asym-
ptotyçnoho rqdu
u ( x, t, ε ) = uN ( x, t, τ, ε ) + O N( )ε +1 , (13)
de
uN ( x, t, τ, ε ) =
j
N
j
j ju x t V x t
=
∑ +
0
ε τ( )( , ) ( , , ) , τ =
x t− ϕ
ε
( )
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
116 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
Funkciq UN ( x, t, ε ) = ε j
jj
N
u x t( , )=∑ 0
nazyva[t\sq rehulqrnog çastynog
asymptotyky (13), a funkciq VN ( x, t, τ, ε ) = ε τj
jj
N
V x t( , , )=∑ 0
— ]] synhulqrnog
çastynog, pry c\omu, oçevydno, uN = UN + VN .
Vraxovugçy vyhlqd poxidnyx ut ( x, t, ε ), ux ( x, t, ε ), uxxx ( x, t, ε ) :
∂
∂
u
t
=
∂
∂
− ∂
∂
′u
t
u
tN N1
ε τ
ϕ ( ),
∂
∂
u
x
=
1
ε τ
∂
∂
+ ∂
∂
u u
x
N N ,
∂
∂
3
3
u
x
=
∂
∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
3
3
3
2 2
3
2 3
3
3
3 3 1u
x
u
x
u
x
uN N N N
ε τ ε τ ε τ
,
ta pidstavlqgçy ]x u rivnqnnq (4), znaxodymo
∂
∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
3
3
3
2 2
3
2 3
3
3
3 3 1u
x
u
x
u
x
uN N N N
ε τ ε τ ε τ
=
= a x
u
t
u
t b x
u
x
u
u g x tN N N N
N N( , ) ( ) ( , ) ( , , , )ε
ε τ
ϕ ε
ε τ
τ ε∂
∂
− ∂
∂
′
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+1 1
, (14)
de gN ( x, t, τ, ε ) = O N( )ε +1
— deqka neskinçenno dyferencijovna funkciq svo]x
arhumentiv, wo vyznaça[t\sq rekurentnym ( vidnosno j ) çynom za funkciqmy uj ,
j = 1, … , N – 1.
Todi znaxodymo spivvidnoßennq dlq asymptotyçnyx rozvynen\ u vyhlqdi
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
3
3
3
3
3
2 2
3
2 3
3
3
3 3 1V
x
U
x
V
x
V
x
VN N N N N
ε τ ε τ ε τ
=
= a x
V
t
U
t
V
tN N N( , ) ( )ε
ε τ
ϕ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
′
1
+
+ b x
V
x
U
x
V
V U g x tN N N
N N N( , ) ( ) ( , , , )ε
ε τ
τ ε∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ +1
. (15)
Dlq vyznaçennq rehulqrno] çastyny asymptotyky UN ( x, t, ε ) zi spivvidno-
ßennq (15) obçyslymo hranycg pry τ → + ∞ vyraziv u livij i pravij çastynax
(15) ta pryrivnq[mo koefici[nty pry odnakovyx stepenqx ε. Pry c\omu oder-
Ωymo systemu rivnqn\ dlq funkcij uj, j = 0, N , vyhlqdu
a x
u
t
b x
u
x
u0
0
0
0
0( ) ( )
∂
∂
+ ∂
∂
= 0, (16)
a x
u
t
b x u x t
u
x
b x u x t
u
x
j j
j0 0 0 0
0( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
∂
∂
+
∂
∂
+ ∂
∂
= f x t u u uj j( , , , , , )0 1 1… − , j = 1, N ,
de funkci] f t x u u uj j( , , , , , )0 1 1… − , j = 1, … , N, u pravij çastyni (16) vyznaçagt\sq
rekurentnym çynom. OtΩe, funkci] uj, j = 0, 1, … , N, moΩna znajty po-
slidovno, rozv’qzugçy kvazilinijne ta linijni dyferencial\ni rivnqnnq (16).
Nadali prypuska[mo, wo rivnqnnq (16) ma[ neskinçenno dyferencijovni roz-
v’qzky.
4. ZnaxodΩennq synhulqrno] çastyny asymptotyky (((( funkcij Vj (((( x, t,
ττττ )))), j = 0, 1, … , N )))) . Vraxovugçy (16), iz (15) standartnym çynom (pryrivnggçy
koefici[nty pry odnakovyx stepenqx maloho parametra) znaxodymo systemu
dyferencial\nyx rivnqn\ dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ , j = 0, 1, … , N. Ci
rivnqnnq spoçatku vykorystovu[mo dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ , j = 0,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 117
1, … , N, na kryvij rozryvu x t= ϕ ( ), qka vyznaça[t\sq na nastupnomu etapi qk
rozv’qzok pevnoho zvyçajnoho dyferencial\noho rivnqnnq, a potim ci rivnqnnq
vykorystovugt\sq dlq prodovΩennq cyx funkcij v oblast\
Ω Γµ( ) = ( , ) [ , ] : ( )x t R T x t∈ × − <{ }1 0 2ϕ µ ,
de µ ∈ ( 0, 1 ) — deqka stala. Zaznaçymo, wo oblast\ Ω Γµ( ), qk i funkciq
ϕ ( t ) , poky wo nevyznaçeni. Pry c\omu my korystu[mos\ tym, wo v oblasti
Ω Γµ( ) bud\-qka neskinçenno dyferencijovna funkciq g ( x, t ) dopuska[ rozvy-
nennq vyhlqdu
g ( x, t ) =
1
0 j
d
dx
g x t
j
j
j
N
x t
j j
!
( , )
( )
= =
∑
ϕ
τ ε + O x t N( )( )−( )+ϕ 1 .
Pidstavyvßy rozvynennq (13) u rivnqnnq (4) ta vraxuvavßy (16), poslidovno
dlq koΩnoho j = 0, N znajdemo, wo pry x = ϕ ( t ) funkci] vj = v j t( , )τ =
= V x tj x t
( , , )
( )
τ
ϕ=
, j = 0, 1, … , N, [ rozv’qzkamy systemy dyferencial\nyx riv-
nqn\ z çastynnymy poxidnymy
∂
∂
− ∂
∂
′ − ∂
∂
+ ∂
∂
3
0
3 0
0
0 0
0
0
0v v v
v
v
τ
ϕ
τ
ϕ ϕ ϕ
τ τ
a t b u t( ) ( ) ( ) ( , ) = 0,
∂
∂
− ∂
∂
′ − ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
3
1
3 0
1
0 0
1
1
0
0
1v v v
v
v
v
v
τ
ϕ
τ
ϕ ϕ ϕ
τ τ τ
a t b u t( ) ( ) ( ) ( , ) = �1( , )t τ , (17)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂
∂
−
∂
∂
′ −
∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
3
3 0 0 0
0
0
v v v
v
v
v
vj j j
j
ja t b u t
τ
ϕ
τ
ϕ ϕ ϕ
τ τ τ
( ) ( ) ( ) ( , ) = � j t( , )τ , j = 2, N ,
de
� j t( , )τ = F t V x t V x t u x t u x tj j j x t
( ), ( , , ), , ( , , ), ( , ), , ( , )
( )0 1 0τ τ
ϕ
… …− =
, j = 1, N .
Prointehru[mo perße rivnqnnq systemy (17) wodo τ :
d2
0
2
v
∂τ
= –
a t t b u t t b t c t0 0 0 0 0 0 0
2
1
1
2
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ τv v v′ + + + . (18)
Oskil\ky v0( , )t τ ∈ G0, to moΩna poklasty c1 ( t ) ≡ 0.
DomnoΩyvßy rivnqnnq (18) na d dv0/ τ ta prointehruvavßy wodo τ, otryma-
[mo
1
2
0
2d
d
d
dτ τ
v
= –
1
2
1
40 0 0
0
2
0 0
0
2
a t b u t
d
b
d
d
( ) ( ) ( ) ( , ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ
τ
ϕ
τ
′ −[ ]
∂
+v
v
v
,
tobto
d
d
v0
2
τ
= –
a t b c t0 0
2
0 0
3
2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕv v′ + + . (19)
Iz umovy v0( , )t τ ∈ G0 vyplyva[, wo c2 ( t ) ≡ 0. OtΩe, rozv’qzkom rivnqnnq
(19) u prostori G0 [ funkciq
v0 ( t, τ, ϕ ) = A C H[ ] ( ) [ ]( )ϕ τ ϕch− +2
0 ,
de
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
118 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
A[ ]ϕ = – 2 0 0 0
0
a t b u t
b
( ) ( ) ( ) ( , )
( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
′ −
, H [ ]ϕ =
2
0
A
b t
[ ]
( ( ))
ϕ
ϕ
,
pry umovi, wo A[ ]ϕ > 0.
Lema?1. Nexaj A[ ]ϕ > 0. Todi rozv’qzkom perßoho rivnqnnq systemy (17)
u prostori G0 [ funkciq v0 ( t, ϕ, τ ) = A C H[ ] ( ) [ ]( )ϕ τ ϕch− +2
0 .
Rozhlqnemo teper systemu (17) pry j = 1, 2, 3, … . Poznaçymo operator
L =
∂
∂
+ ′ − −( ) ∂
∂
− ∂
∂
3
3 0 0 0 0 0
0
0τ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τ τ
ϕa t b b u t b( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )v
v
.
Todi systemu rivnqn\ (17) pry j = 1, 2, 3, … moΩna zapysaty v operatornomu
vyhlqdi
L vj = F j , j = 1, 2, … . (20)
Lema?2. Nexaj Fj ( t, τ ) ∈ G0, j ≥ 1. Todi dlq rozv’qznosti operatornyx
rivnqn\ (20) u prostori G neobxidno i dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova
ortohonal\nosti
F t t dj ( , ) ( , )τ τ τv0
−∞
∞
∫ = 0, j ≥ 1. (21)
Dovedennq. Neobxidnist\. Prypustymo, wo rivnqnnq (20) ma[ rozv’qzok
vj ( t, τ ) ∈ G0, j = 1, n . PokaΩemo, wo pry c\omu vykonu[t\sq umova (21). Domno-
Ωyvßy (20) na v0 ( t, τ ) i prointehruvavßy v meΩax vid – ∞ do + ∞ , otryma[mo
F t t dj ( , ) ( , )τ τ τv0
−∞
+∞
∫ =
=
−∞
∞
∫
∂
−
∂
∂
′
3
3 0
v vj jt
d
a
t
t
( , )
( )
( , )
( )
τ
τ
ϕ
τ
τ
ϕ –
– b u t
t
t
t t
t dj
j
j
0 0
0
0 0( ) ( , )
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )ϕ ϕ
τ
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ τ
∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
v
v
v
v
v
v = 0.
Dostatnist\. Rozhlqnemo rivnqnnq, wo otrymu[t\sq z (21) intehruvannqm
wodo τ :
L1 vj = Φj ( t, τ ) , j ≥ 1,
de
L1 =
∂
∂
+ ′ − −
2
2 0 0 0 0 0τ
ϕ ϕ ϕ ϕ τ ϕa t b u t t t b( ) ( ) ( ) ( ( ), ) ( , ) ( )v ,
Φj ( t, τ ) = F t dj ( , )τ τ
τ
−∞
∫ + Ej ( t ).
Funkcig Ej ( t ) vyberemo takym çynom, wob limτ→∞ Φj ( t, τ ) = 0. Todi z umo-
vy Fj ( t, τ ) ∈ G0 vyplyva[, wo Φj ( τ, t ) ∈ G.
Operator L G G1 0 0: ′ → ′ — neteriv [27], pry c\omu Ker L t1 0= ′{ }v τ τ( , ) .
OtΩe, qkwo funkciq u G∈ ′0 zadovol\nq[ rivnqnnq L u F1 = , de F G∈ ′0 i
F t t d( , ) ( , )τ τ ττ′
−∞
∞
∫ v0 = 0, to todi u G∈ 0 [27].
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 119
Zapyßemo funkcig vj ( t, τ ), j = 1, 2, … , u vyhlqdi
vj ( t, τ ) = νj ( t, τ ) η ( t, τ ) + ψj ( t, τ ),
de η ( t, τ ) ∈ G, limτ→ −∞ η ( t, τ ) = 1,
νj ( t, τ ) = – a t b0 0
1( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ′ −( )−
lim
τ→ −∞
Φj ( t, τ ) = 0,
ψj ( t, τ ) — deqka funkciq, vlastyvosti qko] doslidymo nyΩçe.
Rozhlqnemo operatorne rivnqnnq
L1 ψj = Φj ( t, τ ) – νj L1 η .
PokaΩemo, wo funkciq ψj ∈ G0, j = 1, N . Oskil\ky limτ→ −∞ ( Φj ( t, τ ) –
– νj L1 η ) = 0 rivnomirno wodo t, to funkciq Φj ( t, τ ) – νj L1 η ∈ G0, a otΩe,
ψj ∈ G0.
Lemu dovedeno.
Qkwo umova ortohonal\nosti (21) vykonu[t\sq, to zahal\nyj rozv’qzok riv-
nqnnq (17) pry j ≥ 1 u prostori G ma[ vyhlqd
vj ( t, τ ) = zj ( t, τ ) + cj v0τ , (22)
de cj — stala intehruvannq, zj ( t, τ ) — çastynnyj rozv’qzok neodnoridnoho riv-
nqnnq (17) pry j ≥ 1, tobto
zj ( t, τ ) =
v v v0 0
2
1 2 0 2 2 1
1
τ τ τ
τ
τ τ τ τ τ
−∞
∞
−
−∞
∫ ∫( , ) ( , ) ( , )t t t d djΦ , j = 1, … , N.
Rozhlqnemo umovu ortohonal\nosti (21) pry j = 1, tobto dlq funkci]
�1 ( t, τ ) = a
t
b
u x t
x x t
0
0
0
0
0( ) ( )
( , )
( )
ϕ ϕ
ϕ
∂
∂
+ ∂
∂ =
v
v +
+
− ′ + +( ) ∂
∂
a t b u t b u1 1 0 0 1
0( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τ
v
+
+
τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τϕ
− ′ ′ + ′ + ∂
∂
∂
∂=
a t b u t b
u x t
x x t
0 0 0 0
0 0( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
( , )
( )
v
+
+ b b1
0
0 0
0
0( ) ( )ϕ
τ
τ ϕ
τ
∂
∂
+ ′ ∂
∂
v
v
v
v .
Ma[mo
−∞
∞
∫ �1 0( , ) ( , )t t dτ τ τv =
a
t
b
u x t
x
d
x t
0 0
0
0
2( ) ( )
( , )
( )
ϕ ϕ τ
ϕ
∂
∂
+ ∂
∂
= −∞
∞
∫ v +
+
1
2 1 1 0 0 1
0
2
− ′ + +( ) ∂
∂−∞
+∞
∫a t b u t b u t d( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τ
τv
+
+
1
2 0 0 0 0
0 0
2
− ′ ′ + ′ + ∂
∂
∂
∂= −∞
+∞
∫a t b u t b
u x t
x
d
x t
( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
( , )
( )
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ
τ
τ
ϕ
v
+
+
1
3
1
31
0
3
0
0
3
b d b d( ) ( )ϕ
τ
τ ϕ τ
τ
τ
−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫∂
∂
+ ′ ∂
∂
v v
, (23)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
120 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
zvidky, vraxovugçy qvnyj vyhlqd funkci] v0( , )t τ , znaxodymo
−∞
∞
∫ �1 0( , ) ( , )t t dτ τ τv = a
t
b
u x t
x
A
Hx t
0 0
0
28
3
( ) ( )
( , ) [ ]
[ ]( )
ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
∂
∂
+ ∂
∂
=
–
–
4
3 0 0 0 0
0
2
− ′ ′ + ′ + ∂
∂
=
a t b u t b
u x t
x
A
Hx t
( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
( , ) [ ]
[ ]( )
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
.
Teper z ci[] umovy ortohonal\nosti otrymu[mo zvyçajne dyferencial\ne rivnqn-
nq dlq vyznaçennq funkci] ϕ ( t ) u vyhlqdi
a
d
dt
A
H
a
d
dt
b u t b
u x t
x
A
Hx t
0
2
0 0 0 0
0
2
2 2( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( , ) ( )
( , ) [ ]
[ ]( )
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
+ ′ − ′ − ∂
∂
=
= 0. (24)
Rivnqnnq (24) ma[ vyhlqd zvyçajnoho dyferencial\noho rivnqnnq, wo ne roz-
v’qzane vidnosno poxidno]. Pytannq pro isnuvannq ta [dynist\ joho rozv’qzku
potrebu[ vyvçennq v koΩnomu konkretnomu vypadku pry zadanyx funkciqx
a0( )ϕ , b0( )ϕ . Pry c\omu my vraxovu[mo, wo funkci] u x t0( , ), A[ ]ϕ , H [ ]ϕ v
svog çerhu funkcional\no zaleΩat\ vid funkcij a0( )ϕ , b0( )ϕ . Nadali
vvaΩa[mo, wo dyferencial\ne rivnqnnq (24) zadovol\nq[ umovy teoremy pro
isnuvannq ta [dynist\ rozv’qzku zadaçi Koßi, wo, oçevydno, moΩlyvo pry dosyt\
zahal\nyx umovax wodo funkcij a0( )ϕ , b0( )ϕ .
5. Pobudova synhulqrno] çastyny asymptotyky v okoli kryvo] rozryvu.
Vyznaçymo v zamykanni oblasti Ω Γµ( ) funkci] Vj ( x, t, τ ), j ≥ 1. Vraxovugçy
(22), rozv’qzok rivnqnnq (17) pry j = 1, … , N podamo u vyhlqdi
vj ( t, τ ) = ν η τ ψ τj j jt t t( ) ( , ) ( , )+ , j = 1, … , N,
de
νj ( t ) = – a t b tj0 0
1( ) ( ) ( ) lim ( , )ϕ ϕ ϕ τ
τ
′ −( )−
→ −∞
Φ ,
ψj ( t, τ ) =
ψ τ ττj jt c t t, ,( , ) ( ) ( , )1 0+ v ,
ψ j,1 — deqka funkciq z prostoru G0 , cj ( t ) — stala intehruvannq.
Rozhlqnemo zadaçu Koßi vyhlqdu
Λu x tj
−( , ) = f x tj
−( , ),
(25)
u x tj
−( , )
Γ
= νj ( t ), j = 1, N ,
de dyferencial\nyj operator Λ zapysu[t\sq u vyhlqdi
Λ = a x
t
b x u x t
x
b x
u x t
x0 0 0 0
0( ) ( ) ( , ) ( )
( , )∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
.
Oskil\ky kryva Γ transversal\na xarakterystykam operatora Λ pry vsix t ∈
∈ [ 0, T ] , to zadaça (25) korektno postavlena i vidpovidno do teoremy Koßi –
Kovalevs\ko] pry dosyt\ malyx µ v oblasti Ω Γµ( ) ma[ rozv’qzok u x tj
−( , ) ∈
∈ C( ) ( ( ))∞ Ω Γµ .
Vyznaçymo prodovΩennq funkci] v j t( , )τ , j = 0, 1, … , N, v oblast\ Ω Γµ( )
takym çynom:
V x t0( , , )τ = v0( , )t τ ,
V x tj( , , )τ = u x t t tj j
− +( , ) ( , ) ( , )η τ ψ τ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 121
Rozhlqnemo holovnyj çlen asymptotyçnoho rozvynennq (13):
Y x t0( , ) = u x t t0 0( , ) ( , )+ v τ = u x t A
x t
C H0
2
0( , ) [ ]
( )
[ ]+ − +
−ϕ ϕ
ε
ϕch .
Oçevydno, wo Y x t0( , ) → u x t0( , ) v D ′ pry ε → 0;
Y x t u x t0 0( , ) ( , )−
ε
→ g t x t( ) ( ( ))δ ϕ−
v D ′ pry ε → 0. OtΩe, z umovy (24), qk naslidok, vyplyva[ zhadana vywe umova
typu Hghonio dlq rozryvnoho rozv’qzku porodΩugçoho rivnqnnq (11).
6. Pobudova hlobal\noho rozv’qzku. Rozhlqnemo oblasti
D
– = ( , ) [ , ] : ( )x t R T t x∈ × − ≥{ }1 0 ϕ µ ,
D
+ = ( , ) [ , ] : ( )x t R T x t∈ × − ≥{ }1 0 ϕ µ .
Pry vsix x < ϕ ( t ), t ∈ [ 0, T ] , funkcig u x tj
−( , ), j = 1, … , N, vyznaçymo qk ne-
skinçenno dyferencijovnyj rozv’qzok zadaçi (25).
Asymptotyçnyj za malym parametrom ε rozv’qzok rivnqnnq (4) otrymu[t\sq
za dopomohog procedury sklegvannq rozv’qzkiv, pobudovanyx raniße.
Teorema?1. Nexaj N0 = 2 ta vykonugt\sq umovy:
1) funkci] ak ( x ), bk ( x ) ∈ C
∞
( R
1
), k ≥ 0;
2) ma[ misce nerivnist\ A [ ϕ ] > 0, de funkciq ϕ ( t ) [ rozv’qzkom rivnqn-
nqE(24);
3) funkci] Fj ( t, τ ), j = 1, … , N, naleΩat\ prostoru G0 ;
4) umova ortohonal\nosti
F t t dj( , ) ( , )τ τ τ
−∞
∞
∫ v0 = 0 vykonu[t\sq pry j =
= 1, … , N.
Todi funkciq
uN ( x, t, ε ) =
Y x t x t D
Y x t x t
Y x t x t D
N
N
N
− −
+ +
∈
∈
∈
( , , ), ( , ) \ ( ),
( , , ), ( , ) ( ),
( , , ), ( , ) \ ( ),
ε
ε
ε
µ
µ
µ
Ω Γ
Ω Γ
Ω Γ
de
Y x tN
−( , , )ε = u x t u x t u x t
j
N
j
j j0
1
( , ) ( , ) ( , )+ +[ ]
=
−∑ ε , ( x, t ) ∈ D–,
Y x tN
+( , , )ε =
j
N
j
ju x t
=
∑
0
ε ( , ), ( x, t ) ∈ D+,
YN ( x, t, τ, ε ) =
j
N
j
j ju x t V x t
=
∑ +[ ]
0
ε τ( , ) ( , , ) , ( x, t ) ∈ Ωµ ( Γ) , τ =
x t− ϕ
ε
( )
,
[ asymptotyçnym rozvynennqm dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku
rivnqnnq Korteveha – de Friza (4), tobto dlq dovil\noho kompakta K ⊂
⊂ R Tx
1 0× ( , ) spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
max ( , , ) ( , , )
( , )x t K Nu x t u x t
∈
−ε ε = O N( )ε +1 , N ∈ N .
Rozhlqnemo teper vypadok, koly N0 ≥ 3 i [ parnym. Alhorytm pobudovy
asymptotyçnyx rozvynen\ dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku riv-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
122 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
nqnnq Korteveha – de Friza (4) u danomu vypadku v cilomu [ analohiçnym opysa-
nomu vywe. Pry c\omu asymptotyçnyj rozv’qzok rivnqnnq (4) ßuka[t\sq u vy-
hlqdi
u x t( , , )ε = ε τ εj
j j
N
j
N
u x t V x t O( , ) ( , , ) ( )+[ ] + +
=
∑ 1
0
, (26)
de τ = ( ( ))/x t k− ϕ ε ∈ C R Tx
( )( )[ , ]∞ ×1 0 — skalqrna dijsna funkciq, k = N0 2/ .
Rehulqrna çastyna asymptotyky (26) vyznaça[t\sq analohiçno opysanomu vy-
we z systemy dyferencial\nyx rivnqn\ vyhlqdu (16), a synhulqrna çastyna
asymptotyky — z systemy vyhlqdu (17).
Analohiçno vykladenomu vywe moΩna dovesty taku teoremu.
Teorema?2. Nexaj N0 = 2k, k = 2, 3, … , ta vykonugt\sq umovy:
1) funkci] ak ( x ), bk ( x ) ∈ C
∞
( R
1
), k ≥ 0;
2) ma[ misce nerivnist\ A [ ϕ ] > 0, de funkciq ϕ ( t ) [ rozv’qzkom rivnqn-
nqE(24);
3) funkci] Fj ( t, τ ), j = 1, … , N, naleΩat\ prostoru G0 ;
4) umova ortohonal\nosti F t t dj( , ) ( , )τ τ τ
−∞
∞
∫ v0 = 0 vykonu[t\sq pry j =
= 1, … , N.
Todi funkciq
uN ( x, t, ε ) =
Y x t x t D
Y x t x t
Y x t x t D
N
N
N
− −
+ +
∈
∈
∈
( , , ), ( , ) \ ( ),
( , , ), ( , ) ( ),
( , , ), ( , ) \ ( ),
ε
ε
ε
µ
µ
µ
Ω Γ
Ω Γ
Ω Γ
de
Y x tN
−( , , )ε = u x t u x t u x t
j
N
j
j j0
1
( , ) ( , ) ( , )+ +[ ]
=
−∑ ε , ( x, t ) ∈ D–,
Y x tN
+( , , )ε =
j
N
j
ju x t
=
∑
0
ε ( , ), ( x, t ) ∈ D+,
YN ( x, t, τ, ε ) =
j
N
j
j ju x t V x t
=
∑ +[ ]
0
ε τ( , ) ( , , ) , ( x, t ) ∈ Ωµ ( Γ) , τ =
x t
k
− ϕ
ε
( )
,
[ asymptotyçnym rozvynennqm dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku
rivnqnnq Korteveha – de Friza (4), tobto dlq dovil\noho kompakta K ⊂
⊂ R Tx
1 0× ( , ) spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
max ( , , ) ( , , )
( , )x t K Nu x t u x t
∈
−ε ε = O N( )ε +1 , N ∈ N .
Rozhlqnemo nareßti vypadok, koly N0 = 2k + 1, k = 1, 2, … . Asymptotyçne
rozvynennq dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku rivnqnnq Korteveha
– de Friza ßuka[t\sq u vyhlqdi
u x t( , , )ε = ε τj
j j
j
N
u x t V x t( , ) ( , , )
[ / ]
+( )
=
∑
0
20
+
+ ε τ ε( )/
[ / ]
( , ) ( , , ) ( )j
j j
j N
N
Nu x t V x t O+
= +
++( ) +∑ 1 2
2 1
2
1
0
, (27)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZVYNENNQ DLQ ODNOFAZOVYX SOLITONOPODIBNYX … 123
rehulqrna çastyna asymptotyky (27) zadovol\nq[ systemu dyferencial\nyx riv-
nqn\ z çastynnymy poxidnymy vyhlqdu (16), a synhulqrna çastyna asymptotyky
— systemu vyhlqdu (17). Qk i dlq poperedn\oho vypadku, neobxidnog ta dostat-
n\og umovog rozv’qznosti u prostori G systemy dyferencial\nyx rivnqn\ vy-
hlqdu (17) [ umova ortohonal\nosti (21). Pry c\omu dlq vyznaçennq funkci] x =
= ϕ ( t ) otrymu[mo takoΩ zvyçajne dyferencial\ne rivnqnnq vyhlqdu (24).
Analohiçno vypadku N0 = 2 moΩna dovesty taku teoremu.
Teorema?3. Nexaj N0 = 2k + 1, k = 1, 2, … , ta vykonugt\sq umovy:
1) funkci] ak ( x ), bk ( x ) ∈ C
∞
( R
1
), k ≥ 0;
2) ma[ misce nerivnist\ A [ ϕ ] > 0, de funkciq ϕ ( t ) [ rozv’qzkom rivnqn-
nqE(24);
3) funkci] Fj ( t, τ ), j = 1, … , N, naleΩat\ prostoru G0 ;
4) umova ortohonal\nosti
F t t dj( , ) ( , )τ τ τ
−∞
∞
∫ v0 = 0 vykonu[t\sq pry j =
= 1, … , N.
Todi funkciq
uN ( x, t, ε ) =
Y x t x t D
Y x t x t
Y x t x t D
N
N
N
− −
+ +
∈
∈
∈
( , , ), ( , ) \ ( ),
( , , ), ( , ) ( ),
( , , ), ( , ) \ ( ),
ε
ε
ε
µ
µ
µ
Ω Γ
Ω Γ
Ω Γ
de
Y x tN
−( , , )ε =
j
N
j
j ju x t u x t
=
−∑ +[ ]
0
20[ / ]
( , ) ( , )ε +
j N
N
j
j ju x t u x t
= +
+ −∑ +[ ]
[ / ]
( )/ ( , ) ( , )
0 2 1
2
1 2ε ,
( x, t ) ∈ D–,
Y x tN
+( , , )ε =
j
N
j
ju x t
=
∑
0
20[ / ]
( , )ε +
j N
N
j
ju x t
= +
+∑
[ / ]
( )/ ( , )
0 2 1
2
1 2ε , ( x, t ) ∈ D+,
YN ( x, t, τ, ε ) =
j
N
j
j ju x t V x t
=
∑ +[ ]
0
20[ / ]
( , ) ( , , )ε τ +
+
j N
N
j
j ju x t V x t
= +
+∑ +[ ]
[ / ]
( )/ ( , ) ( , , )
0 2 1
2
1 2ε τ , ( x, t ) ∈ Ωµ ( Γ) ,
τ = ( ( )) /x t N− /ϕ ε 0 2
, [ asymptotyçnym rozvynennqm dlq odnofazovoho solito-
nopodibnoho rozv’qzku rivnqnnq Korteveha – de Friza (4), tobto dlq dovil\noho
kompakta K ⊂ R Tx
1 0× ( , ) spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
max ( , , ) ( , , )
( , )x t K Nu x t u x t
∈
−ε ε = O N( )ε +1 , N ∈ N .
7. Vysnovky. V danij roboti rozv’qzano zadaçu pro pobudovu asymptotyçnyx
rozv’qzkiv rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy, wo zale-
Ωat\ vid maloho parametra, ta znajdeno umovy isnuvannq asymptotyçnyx rozvy-
nen\ dlq joho odnofazovyx solitonopodibnyx rozv’qzkiv iz zadanog toçnistg.
1. Korteweg D. J., de Vries G. On the change in form of long waves advancing in a rectangular canal
and a new type of long stationary waves // Phil. Mag. – 1895. – # 39. – P. 422 – 433.
2. Scott-Russel J. Report on waves // Rept fourteenth meeting of the British Association Adv. Sci. –
London: John Murray, 1845. – P. 311.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
124 V. Hr. SAMOJLENKO, Gl. I. SAMOJLENKO
3. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of “solutions” in a collisionless plasma and the recurrence
of initial states // Phys. Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240.
4. Fermy ∏., Pasta DΩ., Ulam S. Yzuçenye nelynejn¥x zadaç // Nauçn¥e trud¥ / ∏. Fermy:
VE2 t. – M.: Nauka, 1972. – T.2. – 256 s.
5. Toda M. Waves in nonlinear lattice // Suppl. Theory Phys. – 1970. – # 45. – P. 174 – 200.
6. Zaslavskyj H. M., Sahdeev R. Z. Vvedenye v nelynejnug fyzyku. Ot maqtnyka do turbu-
lentnosty y xaosa. – M.: Nauka, 1988. – 368 s.
7. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg –
de Vries equation // Phys. Rev. Lett. – 1967. – 19. – P. 1095.
8. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure and
Appl. Math. – 1968. – 21, # 15. – P. 467 – 490.
9. Maslov V. P., Fedorgk M. V. Kvazyklassyçeskoe pryblyΩenye dlq uravnenyj kvantovoj
mexanyky. – M.: Nauka, 1976. – 296 s.
10. Nelynejnaq teoryq rasprostranenyq voln / Pod red. H. Y. Barenblatta. – M.: Myr, 1970. –
231 s.
11. Maslov V. P., Omel\qnov H. A. Asymptotyçeskye solytonoobrazn¥e reßenyq uravnenyj s
maloj dyspersyej // Uspexy mat. nauk. – 1981. – V¥p. 36 (219), #E2. – S.E63 – 124.
12. Marçenko V. A., Xruslov E. Q. Kraev¥e zadaçy v oblastqx s melkozernystoj strukturoj. –
Kyev: Nauk. dumka, 1974. – 279 s.
13. Lomov S. A. Vvedenye v obwug teoryg synhulqrn¥x vozmuwenyj. – M.: Nauka, 1981. –
400Es.
14. Whitham G. B. Non-linear dispersive waves // Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1965. – # 283. –
P. 238 – 261.
15. Lighthill M. J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly
valid // Phil. Mag. – 1949. – 40. – P. 1179 – 1201.
16. Dobroxotov S. G., Maslov V. P. Koneçnozonn¥e poçtyperyodyçeskye reßenyq v VKB-
pryblyΩenyqx // Sovremenn¥e problem¥ matematyky. – M.: VYNYTY, 1980. – V¥p.E5. –
S.E3 – 94.
17. Maslov V. P. Kompleksn¥j metod VKB v nelynejn¥x uravnenyqx. – M.: Nauka, 1977. –
384Es.
18. Vyßyk M. Y., Lgsternyk L. A. Asymptotyçeskoe povedenye reßenyj lynejn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj s bol\ßymy yly b¥stro menqgwymysq koπffycyentamy y hranyçn¥-
my uslovyqmy // Uspexy mat. nauk. – 1960. – V¥p. 5 (121). – S.E778 – 781.
19. Maslov V. P. Operatorn¥e metod¥. – M.: Nauka, 1973. – 543 s.
20. Danylov V. H., Frolovyçev S. M. Tunnel\n¥j metod VKB postroenyq asymptotyky funk-
cyy Hryna dlq parabolyçeskyx uravnenyj // Dokl. RAN. – 2001. – 379, #E5. – S.E591 – 594.
21. Dobroxotov S. G., Ûevandrov Y. N., Maslov V. P., Íafarevyç A. N. Asymptotyçeskye
b¥stro ub¥vagwye reßenyq lynejn¥x stroho hyperbolyçeskyx system s peremenn¥my
koπffycyentamy // Mat. zametky. – 1991. – 49, #E4. – S.E31 – 46.
22. Kurant R. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1977. – 540 s.
23. Yvanov V. K. Assocyatyvnaq alhebra prostejßyx obobwenn¥x funkcyj // Syb. mat. Ωurn.
– 1979. – 20, #E4. – S.E731 – 740.
24. Omel\qnov H. A. Vzaymodejstvye voln razn¥x masßtabov v hazovoj dynamyke // Mat.
zametky. – 1993. – 53, #E1. – S.E148 – 151.
25. Dobrokhotov S. Yu. Hugoniot – Maslov chains for solitary vortices of the shallow water equations
// Rus. J. Math. Phys. – 1999. – 6, # 2. – P. 137 – 173.
26. Grimshaw R. Models for instability in inviscid fluid flows due to a resonance between two waves
// Nonlinear Instability Analysis. – 2001. – 2. – P. 1 – 14.
27. Benilov E. S., Grimshaw R. The generation of radiating waves in a singularly perturbed Korteweg
– de Vries equation // Physica D. – 1993. – 69, # 3-4. – P. 270 – 278.
28. Samoylenko Yu. Asymptotical expansions for one-phase solution-type solution to perturbed Korte-
weg – de Vries equation // Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Math. Phys.” – Kyiv: Inst.
Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2004.
29. Hrußyn V. V. Ob odnom klasse πllyptyçeskyx psevdodyfferencyal\n¥x operatorov,
v¥roΩdagwyxsq na podmnohoobrazyy // Mat. sb. – 1971. – V¥p.E84 (126), #E2. – S.E163 – 195.
OderΩano 18.11.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3578 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:10Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/31/309a8d5d5fb696c857b742a0a9815231.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35782020-03-18T19:59:02Z Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients Асимптотичні розвинення для однофазових солітоноподібних розв'язків рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. We construct asymptotic expansions for a one-phase soliton-type solution of the Korteweg-de Vries equation with coefficients depending on a small parameter. Побудовано асимптотичні розвинення для однофазового солітоноподібного розв'язку для рівняння Кортевега - де Фріза з коефіцієнтами, що залежать від малого параметра. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3578 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 111–124 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 111–124 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3578/3889 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3578/3890 Copyright (c) 2005 Samoilenko V. G.; Samoilenko Yu. I. |
| spellingShingle | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title | Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_alt | Асимптотичні розвинення для однофазових солітоноподібних розв'язків рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_fullStr | Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_full_unstemmed | Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_short | Asymptotic Expansions for One-Phase Soliton-Type Solutions of the Korteweg-De Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_sort | asymptotic expansions for one-phase soliton-type solutions of the korteweg-de vries equation with variable coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3578 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg asymptoticexpansionsforonephasesolitontypesolutionsofthekortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoyui asymptoticexpansionsforonephasesolitontypesolutionsofthekortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkovg asymptoticexpansionsforonephasesolitontypesolutionsofthekortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkoûlí asymptoticexpansionsforonephasesolitontypesolutionsofthekortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkovg asimptotičnírozvinennâdlâodnofazovihsolítonopodíbnihrozv039âzkívrívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoyui asimptotičnírozvinennâdlâodnofazovihsolítonopodíbnihrozv039âzkívrívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkovg asimptotičnírozvinennâdlâodnofazovihsolítonopodíbnihrozv039âzkívrívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkoûlí asimptotičnírozvinennâdlâodnofazovihsolítonopodíbnihrozv039âzkívrívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami |