On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems

By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Persidskii, S. K., Персидский, С. К.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3580
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509694415601664
author	Persidskii, S. K. Персидский, С. К. Персидский, С. К.
author_facet	Persidskii, S. K. Персидский, С. К. Персидский, С. К.
author_sort	Persidskii, S. K.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:59:02Z
description	By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations.
first_indexed	2026-03-24T02:45:10Z
format	Article
fulltext	UDK 517.36 S. K. Persydskyj (Tavryç. nac. un-t, Symferopol\) OB ∏KSPONENCYAL\|NOJ USTOJÇYVOSTY NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM By using Lyapunov functions, we obtain for the first time necessary and sufficient conditions of the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations. Za dopomohog funkcij Lqpunova vperße otrymano neobxidni ta dostatni umovy eksponencial\- no] stijkosti deqkyx nelinijnyx system dyferencial\nyx i riznycevyx rivnqn\. V nastoqwej rabote dlq odnoho klassa nelynejn¥x system dyfferencyal\n¥x y raznostn¥x uravnenyj poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq πkspo- nencyal\noj ustojçyvosty v celom y πksponencyal\noj neustojçyvosty. Ys- sleduetsq πksponencyal\naq ustojçyvost\ vozmuwenn¥x system s nelynejn¥m perv¥m pryblyΩenyem. Zametym, çto problema πksponencyal\noj ustojçyvosty nelynejn¥x system svqzana s rabotoj L. Hrujyça [1], v kotoroj pryveden¥ dostatoçn¥e uslovyq πksponencyal\noj ustojçyvosty v celom odnoj nelynejnoj sloΩnoj system¥ s5nelynejn¥my yzolyrovann¥my podsystemamy, kotor¥e predpolahagtsq lybo πksponencyal\no ustojçyv¥my, lybo πksponencyal\no neustojçyv¥my. 1. Ob πksponencyal\noj ustojçyvosty nelynejn¥x system dyfferen- cyal\n¥x uravnenyj. Pust\ K ( α1 , … , αn ) : xs αs ≥ 0, hde s = 1, … , n, — v¥pukl¥j konus prostranstva R n , α1 , … , αn — parametr¥ konusa [2]. Napry- mer, poloΩytel\n¥j oktant Kn + prostranstva R n ymeet parametr¥, ravn¥e edynyce. Opredelenye 1. Matrycu P razmernosty n × n budem naz¥vat\ kvazypo- zytyvnoj, esly πlement¥ Psk matryc¥ P y parametr¥ nekotoroho konusa K ( α1 , … , αn ) svqzan¥ sootnoßenyqmy psk αs αk ≥ 0 pry s ≠ k, hde s = 1, … , n, k = 1, … , n. (1) Rassmotrym nelynejnug systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj s kvazypo- zytyvnoj matrycej P x ′ = P ϕ ( x ), (2) ϕ ( x ) = col (ϕ1 ( x1 ), … , ϕn ( xn )), hde ϕs ( xs ) — neprer¥vn¥e funkcyy, udovletvorqgwye neravenstvam ϕs ( xs ) xs > 0 pry xs ≠ 0, s = 1, … , n. (3) Teorema 1. Pust\ prav¥e çasty system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2) udovletvorqgt sformulyrovann¥m v¥ße uslovyqm, a funkcyy ϕs ( xs ) — soot- noßenyg (3) y neravenstvam k1 \| xs \| ≤ \| ϕs ( xs ) \| ≤ k2 \| xs \|, s = 1, … , n, (4) hde k2 > k1 — nekotor¥e poloΩytel\n¥e çysla. Tohda dlq absolgtnoj πksponencyal\noj ustojçyvosty πtoj system¥ neob- xodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny „xarakterystyçeskoho” uravnenyq det ( P – λ E ) = 0 (5) ymely otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty. © S. K. PERSYDSKYJ, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 131 132 S. K. PERSYDSKYJ Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ systema (2) πksponencyal\no ustojçyva pry lgb¥x neprer¥vn¥x funkcyqx ϕs ( xs ), udovletvorqgwyx uslo- vyqm (1) y (3). V çastnosty, ona πksponencyal\no ustojçyva pry ϕs ( xs ) = xs , s = = 1, … , n, no tohda vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (5) dolΩn¥ ymet\ otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty. Dostatoçnost\. V rassmatryvaemom sluçae vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (5) leΩat v levoj poluploskosty. V sylu πtoho vse opredelqem¥e yz system¥ lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj k k s n ks k kp b = ≠ ∑ 1 α + pss bs = – αs , s = 1, … , n, (6) çysla b1 , … , bn budut poloΩytel\n¥e [2]. UmnoΩaq prav¥e çasty system¥ (6) na sootvetstvugwye parametr¥ α1 , … … , αn konusa K ( α1 , … , αn ), poluçaem systemu k k s n ks kp b = ≠ ∑ 1 + pss bs = – 1, s = 1, … , n. (7) PoloΩym ν ( x1 , … , xn ) = s n s sb x = ∑ 1 = s n s s sb x x = ∑ 1 sign . Tohda ν ′ v sylu system¥ (2) pryvodytsq k vydu ′ν( )2 ≤ s n k k s n ks k ss s s sp b p b x = = ≠ ∑ ∑ +       1 1 ϕ ( ) = – s n s sx = ∑ 1 ϕ ( ) . Sohlasno (4) okonçatel\no poluçaem neravenstva d1 \|\| x \|\| ≤ ν ( x ) ≤ d2 \|\| x \|\|, ′ν( )2 ≤ – k1 \|\| x \|\| ≤ – k d x1 2 ν( ) , hde d1 = mins sb{ } , d2 = maxs sb{ } y \|\| x \|\| = s n sx=∑ 1 . Sledovatel\no, na reßenyqx system¥ (2) v¥polnen¥ neravenstva \|\| x ( t ) \|\| ≤ d d x t k d t t2 1 0 1 2 0( ) exp ( )− −    , çto y dokaz¥vaet teoremu. Zametym, çto systema vyda (2) vperv¥e b¥la rassmotrena E. A. Barbaßy- n¥m5[3]. Rassmotrym dalee nelynejnug systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj s kva- zypozytyvnoj matrycej P, rassmotrennug v rabote [4]: x ′ = P ϕ ( x ) + R ( ϕ ( x ) ), (8) hde vektor-funkcyq R ( ϕ ( x ) ) udovletvorqet sootnoßenyg \|\| R ( ϕ ) \|\| = o \|\| ϕ \|\| pry \|\| ϕ \|\| → 0. Sootvetstvugwug systemu vyda (2), soderΩawugsq v (8), budem naz¥vat\ „nelynejn¥m perv¥m pryblyΩenyem” system¥ (8). ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 OB ∏KSPONENCYAL\|NOJ USTOJÇYVOSTY NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM 133 Teorema 2. Pust\ neprer¥vn¥e funkcyy ϕs ( xs ) udovletvorqgt sootno- ßenyqm (3) y neravenstvam (4). Tohda dlq πksponencyal\noj ustojçyvosty re- ßenyq system¥ (8) v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty naçala koor- dynat neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterystyçeskoho urav- nenyq (5) ymely otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty. Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pry ϕs ( xs ) = xs , s = 1, … , n, nelynej- naq vozmuwennaq systema (8) perexodyt v lynejnug vozmuwennug systemu Lq- punova vyda x ′ = P x + R ( x ), hde \|\| R ( x ) \|\| = o \|\| x \|\| pry \|\| x \|\| → 0. Otsgda sleduet v¥polnenye neobxodym¥x uslovyj teorem¥. Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty opredelym çysla b1 , … , bn yz soot- vetstvugwej system¥ (7) y poloΩym ν ( x ) = s n s sb x = ∑ 1 . ∏ta funkcyq budet udovletvorqt\ neravenstvu d1 \|\| x \|\| ≤ ν ( x ) ≤ d2 \|\| x \|\|, hde d1 > 0, d2 > 0. V sylu polnoj system¥ (8) polnaq proyzvodnaq funkcyy ν ( x ) udovletvorq- et neravenstvu ′ν( )8 ≤ − k x1 2 – k x d R1 22 −   ( )ϕ . Yz posledneho neravenstva sleduet, çto v dostatoçno maloj okrestnosty naçala koordynat \|\| x \|\| < δ, hde δ > 0 — dostatoçno maloe çyslo, reßenyq system¥ (8) budut udovletvorqt\ neravenstvu vyda \|\| x ( t ) \|\| ≤ d d x t k d t t2 1 0 1 1 02 ( ) exp ( )− −    , çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ dana systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2) s kvazypozytyvnoj matrycej P, pryçem vse funkcyy ϕs ( xs ) udovletvorqgt neravenstvam (3). Tohda netrudno vydet\ [2], çto sootvetstvugwyj konus K ( α1 , … , αn ) dlq sys- tem¥ (2) qvlqetsq zamknut¥m sektorom. Otsgda lehko poluçyt\ sledugwug teoremu ob πksponencyal\noj neustojçyvosty v konuse. Teorema 3. Pust\ systema (2) s kvazypozytyvnoj matrycej P takova, çto funkcyy ϕ s ( xs ) udovletvorqgt uslovyqm (4) y v sootvetstvugwem konuse K ( α1 , … , αn ) — neravenstvam αs ϕs ( xs ) ≥ αs xs , s = 1, … , n. (9) Tohda dlq πksponencyal\noj neustojçyvosty reßenyj πtoj system¥ v ras- smatryvaemom konuse neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterys- tyçeskoho uravnenyq (5) ymely poloΩytel\n¥e vewestvenn¥e çasty. Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ uslovyj teorem¥ oçevydna. Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty zametym, çto yz uslovyq kvazypozytyv- nosty matryc¥ P sleduet, çto sootvetstvugwyj konus K ( α1 , … , αn ) qvlqetsq zakr¥t¥m sektorom [2]. Opredelym çysla b1 , … , bn yz system¥ uravnenyj ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 134 S. K. PERSYDSKYJ k k s n ks kp b = ≠ ∑ 1 + pss bs = 1, s = 1, 2, … , n. Netrudno vydet\, çto vse bs poloΩytel\n¥e. Zatem v rassmatryvaemom konuse poloΩym ν ( x ) = s n s s sb x = ∑ 1 α = s n s sb x = ∑ 1 . V sylu system¥ (2) y uslovyq (9) v rassmatryvaemom konuse ymeem d1 \|\| x \|\| ≤ ν ( x ) ≤ d2 \|\| x \|\|, ′ν( )2 = s n s sx = ∑ 1 ϕ ( ) ≥ \|\| x \|\|. Sledovatel\no, ′ν( )2 ≥ ν ( x ) / d2 yly \|\| x ( t ) \|\| ≥ d d x t d t t1 2 0 2 0 1 ( ) exp ( )−    . Teorema dokazana. 2. ∏ksponencyal\naq ustojçyvost\ reßenyj nelynejn¥x raznostn¥x system. Pust\ P — vewestvennaq postoqnnaq nev¥roΩdennaq matryca razmer- nosty n × n y α1 , … , αn — parametr¥ nekotoroho konusa K ( α1 , … , αn ) ⊂ R n . Opredelenye 2. Budem naz¥vat\ ukazannug matrycu „kvazypoloΩytel\- noj”, esly ee πlement¥ psk y parametr¥ nekotoroho konusa K ( α1 , … , αn ) svqzan¥ sootnoßenyqmy pks αk αs ≥ 0, s, k = 1, … , n. Rassmotrym systemu raznostn¥x uravnenyj s „kvazypoloΩytel\noj” matry- cej P vyda x ( m + 1 ) = P ϕ ( x ( m ) ), (10) hde m ∈ J = { 0, 1, … , n, … }, ϕ ( x ( m ) ) = col ϕ ϕ1 1x m x mn n( ) , , ( )( )… ( )( ) . V dal\nej- ßem budem predpolahat\, çto vse funkcyy ϕs ( xs ( m ) ) qvlqgtsq odnoznaçn¥my, prynymagwymy v kaΩdoj toçke mnoΩestva J koneçn¥e znaçenyq y soxranqg- wymy znaky svoyx arhumentov ( ϕs ( 0 ) = 0 ). Teorema 4. Pust\ prav¥e çasty system¥ raznostn¥x uravnenyj (10) udov- letvorqgt sformulyrovann¥m v¥ße uslovyqm, a funkcyy ϕs ( xs ( m ) ) udov- letvorqgt, krome toho, pry lgbom m ∈ J neravenstvam vyda ϕs sx m( )( ) ≤ \| xs ( m ) \|, s = 1, … , n. Tohda dlq absolgtnoj πksponencyal\noj ustojçyvosty reßenyj system¥ urav- nenyj (10) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq det ( P – µ E ) = 0 (11) leΩaly vnutry edynyçnoho kruha. Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ oçevydna. DokaΩem dostatoçnost\ uslovyj teorem¥. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 OB ∏KSPONENCYAL\|NOJ USTOJÇYVOSTY NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM 135 Rassmotrym systemu uravnenyj k k s n ks kp b = ≠ ∑ 1 + ( pss – 1 ) bs = – 1, s = 1, … , n. (12) Netrudno vydet\ [5], çto vse opredelqem¥e yz system¥ (12) çysla b1 , … , bn bu- dut poloΩytel\n¥my. PoloΩym ν ( x ( m ) ) = s n s sb x m = ∑ 1 ( ) . Oçevydno, çto funkcyy ν ( x ) udovletvorqgt neravenstvu a \|\| x \|\| ≤ ν ( x ) ≤ ≤ b \|\| x \|\|, hde a > 0, b > 0. Ne narußaq obwnosty, budem sçytat\, çto b > 1. Ot- sgda sleduet, çto na reßenyqx system¥ (10) v¥polnqetsq neravenstvo ν ( x ( m + 1 ) ) ≤ 1 1−    ( ) b x mν ( ) = λ ν ( x ( m ) ), (13) hde 0 < λ < 1. Na osnovanyy (13) zaklgçaem, çto pry vsex m ≥ m0 ≥ 0 dolΩno v¥polnqt\sq sootnoßenye \|\| x ( m ) \|\| ≤ b a x mm mλ( ) ( )− 0 0 = Be x mm m− −β( ) ( )0 0 , hde B = b / a ≥ 1, β = – ln λ > 0. ∏to dokaz¥vaet dostatoçnost\ uslovyj teorem¥. Zameçanye. Esly prav¥e çasty system¥ (10) zadan¥ v nekotoroj ohrany- çennoj oblasty h : m ∈ I, \|\| x \|\| ≤ R, y pry πtom v¥polnen¥ vse uslovyq teore- m¥54, to reßenye system¥ (10) budet πksponencyal\no ustojçyvo v oblasty h. Spravedlyv¥ takΩe sledugwye teorem¥. Teorema 5. Esly nelynejnoe pervoe pryblyΩenye system¥ x ( m + 1 ) = P ϕ ( x ( m ) ) + R ϕ ( x ( m ) ) (14) udovletvorqet vsem uslovyqm teorem¥ 4, a \|\| R ( ϕ ) \|\| = o ϕ( ) pry \|\| ϕ \|\| → 0, to v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty naçala koordynat reßenyq system¥ (14) πksponencyal\no ustojçyv¥. Teorema 6. Pust\ koneçno-raznostnaq systema (10) s kvazypoloΩytel\noj matrycej P takova, çto v sootvetstvugwem konuse K ( α1 , … , αn ) v¥pol- nen¥ neravenstva αs ϕs ( xs ( m ) ) ≥ αs xs ( m ) , s = 1, … , n. Tohda, esly vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (11) leΩat vne kruha edynyçnoho radyusa, v ukazannom konuse reßenyq rassmatryvaemoj system¥ uravnenyj πksponencyal\no neustojçyv¥. V kaçestve prymera prymenenyq teorem¥ 4 dlq sluçaq ohranyçennoj oblasty rassmotrym v oblasty h : m ∈ I, \|\| x \|\| ≤ 1 raznostnug systemu x1 ( m + 1 ) = 0,5 sin 3 x1 ( m ) + 0,1 x m2 5( ), x2 ( m + 1 ) = 0,1 sin 3 x1 ( m ) + 0,5 x m2 5( ). Xarakterystyçeskoe uravnenye πtoj system¥ ymeet korny µ1 y µ2 , leΩawye vnutry edynyçnoho kruha, a sootvetstvugwyj konus K ( α1 , α2 ) ymeet paramet- r¥ α1 y α2 , ravn¥e edynyce, krome toho, v h \| sin 3 x1 \| ≤ \| x1 \|, x2 5 ≤ \| x2 \|. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 136 S. K. PERSYDSKYJ Najdem çysla b1 y b2 yz system¥ uravnenyj ( 0,5 – 1 ) b1 + 0,1 b2 = – 1, (15) 0,1 b1 + ( 0,5 – 1 ) b2 = – 1 y poloΩym ν ( x1 , x2 ) = b1 \| x1 \| + b2 \| x2 \|. Prymenym k funkcyy ν ( x1 , x2 ) dovol\no hrubug ocenku: 2 \|\| x \|\| ≤ ν ( x1 , x2 ) ≤ 3 \|\| x \|\|. Tohda v sylu system¥ ν ( x ( m + 1 ) ) ≤ 1 1 3 −    ( )ν x m( ) . Otsgda poluçaem ocenku reßenyj system¥ (15) \|\| x ( m ) \|\| ≤ 3 2 0 2 3 0x m e m m( ) ln ( )/( ) − , kotoraq spravedlyva dlq vsej oblasty h pry m ≥ m0 ≥ 0. V zaklgçenye zametym, çto nevozmuwenn¥e system¥ dyfferencyal\n¥x y raznostn¥x uravnenyj (2) y (10) dopuskagt suwestvovanye zakr¥toho sektora v vyde nekotoroho v¥pukloho konusa K ( α1 , … , αn ), çto, v koneçnom ytohe, y poz- volylo dokazat\ vse teorem¥, pryvedenn¥e v nastoqwej rabote. V teoryy ustojçyvosty ponqtye sektora b¥lo vvedeno K. P. Persydskym [6]. ∏to ponqtye okazalos\ oçen\ plodotvorn¥m y ßyroko prymenqetsq v metode funkcyj Lqpunova. 1. Grujic L. T. Stability analysis of large-scale systems with stable and unstable subsystems // Int. J. Contr. – 1974. – 2. – P. 453 – 463. 2. Persydskyj S. K. K yssledovanyg ustojçyvosty reßenyj nelynejn¥x system dyfferen- cyal\n¥x uravnenyj // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1970. – 34. – S. 219 – 226. 3. Barbaßyn E. A. Funkcyy Lqpunova. – M.: Nauka, 1970. – 239 s. 4. Persydskyj S. K. Prymenenye odnorodn¥x mnohoçlenov v kaçestve funkcyj Lqpunova // Dynam. system¥. – 2000. – V¥p. 16. – S. 15 – 21. 5. Persydskyj S. K. Absolgtnaq ustojçyvost\ nelynejn¥x system uravnenyj v koneçn¥x raznostqx // Dyfferenc. uravnenyq y yx prymenenyq. – Alma-Ata: Yzd-vo Kazax. un-ta, 1979. – S. 114 – 116. 6. Persydskyj K. P. Ko vtoroj metode Lqpunova // Yzv. AN Kaz SSR. Ser. mat. – 1947. – #542, v¥p. 1. – S. 48 – 53. Poluçeno 29.08.2003 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
id	umjimathkievua-article-3580
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:45:10Z
publishDate	2005
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/0c/77a243d2077944cd8a6aefee529fec0c.pdf
spelling	umjimathkievua-article-35802020-03-18T19:59:02Z On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем Persidskii, S. K. Персидский, С. К. Персидский, С. К. By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations. За допомогою функцій Ляпунова вперше отримано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості деяких нелінійних систем диференціальних і різницевих рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3580 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 1 (2005); 131–136 Український математичний журнал; Том 57 № 1 (2005); 131–136 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3580/3893 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3580/3894 Copyright (c) 2005 Persidskii S. K.
spellingShingle	Persidskii, S. K. Персидский, С. К. Персидский, С. К. On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title	On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title_alt	Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем
title_full	On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title_fullStr	On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title_full_unstemmed	On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title_short	On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems
title_sort	on the exponential stability of some nonlinear systems
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3580
work_keys_str_mv	AT persidskiisk ontheexponentialstabilityofsomenonlinearsystems AT persidskijsk ontheexponentialstabilityofsomenonlinearsystems AT persidskijsk ontheexponentialstabilityofsomenonlinearsystems AT persidskiisk obéksponencialʹnojustojčivostinekotoryhnelinejnyhsistem AT persidskijsk obéksponencialʹnojustojčivostinekotoryhnelinejnyhsistem AT persidskijsk obéksponencialʹnojustojčivostinekotoryhnelinejnyhsistem

On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems

Репозитарії

Схожі ресурси