A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes
We prove a theorem on the convergence of integral functionals of an extremum of independent stochastic processes to a degenerate law of distributions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509705802088448 |
|---|---|
| author | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_facet | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_sort | Matsak, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:22Z |
| description | We prove a theorem on the convergence of integral functionals of an extremum of independent stochastic processes to a degenerate law of distributions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
I. K. Macak (Ky]v. nac. un-t texnolohij ta dyzajnu)
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX
FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU
NEZALEÛNYX�VYPADKOVYX PROCESIV
We prove a theorem on the convergence of integral functionals of the extremum of independent
stochastic processes to the degenerate law of distributions.
Dovodyt\sq teorema pro zbiΩnist\ do vyrodΩenoho zakonu rozpodiliv intehral\nyx funkciona-
liv vid ekstremumu nezaleΩnyx vypadkovyx procesiv.
Rozhlqnemo vypadkovi procesy (v.)p.) Y = Y t( ){ , t T∈ } ta Yn = Y tn( ){ , t T∈ } , n ≥
≥ 1, vyznaçeni na jmovirnisnomu prostori ( Ω , A, P ), T — vymirna mnoΩyna
dijsno] prqmo] R.
Vyznaçymo intehral\nyj funkcional vid vymirno] funkci] x t( ) formulog
f x h t x t dth
T
( ) , ( ) ( )= ( )∫ µ , (1)
de h t s( , ) — neperervna funkciq na T × R, µ — mira Lebeha. Nexaj H (s) —
deqka fiksovana neperervna funkciq, H s( ) > 0. Poznaçymo çerez �H klas
intehral\nyx funkcionaliv vyhlqdu (1), dlq qkyx
sup ( , ) ( )
t T
h t s O H s
∈
= ( ) pry s → ∞ .
Prypustymo, wo skinçennovymirni rozpodily v.)p. Y tn( ) zbihagt\sq do skin-
çennovymirnyx rozpodiliv v. p. Y t( ). Pryrodno posta[ pytannq pro umovy
zbiΩnosti rozpodiliv vypadkovyx velyçyn (v.)v.) f Yh n( ) do rozpodilu f Yh( ) dlq
funkcionaliv fh H∈� .
U takij zahal\nij postanovci zadaça pro zbiΩnist\ intehral\nyx funkcio-
naliv vid vypadkovyx procesiv vyvçalasq dosyt\ dokladno (dyv. [1 – 3]). Slid
zaznaçyty, wo isnugt\ vaΩlyvi pryklady intehral\nyx funkcionaliv, qki ne
oxoplggt\sq navedenog vywe sxemog. Takymy [, napryklad, intehral\ni funk-
cionaly vid ekstremumu nezaleΩnyx vypadkovyx funkcij za umovy (6). Specy-
fika danoho vypadku polqha[ v tomu, wo hranyçnyj proces ma[ nezaleΩni v
koΩnij toçci znaçennq i ne [ vymirnym u vidpovidnomu prostori. Cq obstavyna
ne dozvolq[ skorystatysq tradycijnym pidxodom — doslidΩennqm umov slabko]
zbiΩnosti mir u funkcional\nyx prostorax [1].
Vidomo, wo teoriq ekstremal\nyx znaçen\ v odnovymirnomu vypadku — ce
systematyçno rozroblenyj rozdil teori] jmovirnostej (dyv., napryklad, [4 – 6]).
Vodnoças çyslo publikacij, pov’qzanyx z bahatovymirnymy ekstremumamy, [
nezrivnqnno menßym [5], a neskinçennovymirnyj vypadok systematyçno vzahali
ne rozhlqdavsq.
Vraxovugçy vaΩlyvist\ maksymum-sxemy, zda[t\sq aktual\nym doslidΩennq
hranyçnyx teorem dlq ekstremal\nyx znaçen\ poslidovnosti nezaleΩnyx
vypadkovyx funkcij.
Odna z perßyx nebahat\ox vidomyx avtorovi robit, v qkyx rozhlqdagt\sq
ekstremumy v neskinçennovymirnomu vypadku, — ce robota [7]. U cij roboti
vstanovleno slabku zbiΩnist\ u prostori C[ , ]0 1 maksymumu special\nym çynom
normovanyx procesiv brounivs\koho ruxu do ekstremal\noho procesu.
Zda[t\sq, vperße intehral\ni funkcionaly vid ekstremumu nezaleΩnyx vy-
padkovyx funkcij doslidΩuvalys\ u roboti [8]. Pry vykonanni umovy (6), qka
zabezpeçu[ asymptotyçnu nezaleΩnist\ ekstremal\nyx znaçen\ komponent pro-
cesu, hranyçnymy tut vyqvylysq vyrodΩeni zakony. Pry c\omu v [8] zastoso-
© I. K. MACAK, 2005
214 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 215
vuvavsq metod momentiv, qkyj pryviv do neobxidnosti isnuvannq usix momentiv u
vypadkovyx funkcij.
U roboti avtora [9] znaçno poslablggt\sq momentni umovy z roboty [8].
Okrim toho, doslidΩu[t\sq zahal\na zadaça pro umovy zbiΩnosti v.)v. f Yh n( ) u
vypadku, koly skinçennovymirni rozpodily v.)p. Y tn( ) zbihagt\sq do skinçenno-
vymirnyx rozpodiliv v.)p. Y t( ), qkyj ma[ nezaleΩni v koΩnij toçci znaçennq.
Pry dovedenni osnovno] teoremy pro intehral\ni funkcionaly vid ekstre-
mumu nezaleΩnyx vypadkovyx funkcij v [9] sered inßyx vykorystovuvalas\
nastupna umova na ßvydkist\ spadannq funkcij rozpodilu na vid’[mnij pivosi:
isnu[ δ > 0 take, wo
F s O s( ) = ( )−δ
pry s → −∞ . (2)
Na vidminu vid inßyx umov roboty [9] cq umova ma[ texniçnyj xarakter.
U danij statti bude pokazano, wo umovog (2) moΩna znextuvaty. Wopravda,
pry c\omu my otryma[mo lyße zbiΩnist\ za jmovirnistg, v toj ças qk u [9] bulo
vstanovleno zbiΩnist\ u seredn\omu stepenq k.
MoΩna prypustyty, wo umova asymptotyçno] nezaleΩnosti ekstremal\nyx
znaçen\ (6) u bahat\ox vypadkax vykonu[t\sq (dlq normal\noho rozpodilu vona
zapysu[t\sq u vyhlqdi umovy na korelqcijnu funkcig, qka dlq vsix osnovnyx
prykladiv normal\nyx vypadkovyx funkcij [ virnog, dyv. [8, 9]).
Vvedemo rqd neobxidnyx poznaçen\ ta umov. Rozhlqnemo poslidovnist\ ( )ξi
nezaleΩnyx odnakovo rozpodilenyx vypadkovyx velyçyn (n.)o.)r.)v.)v.) z funk-
ci[g rozpodilu F x( ) = P ξi x<( ), zn
i n
i=
≤ ≤
max
1
ξ . Prypustymo, wo dlq deqkyx
çyslovyx poslidovnostej an, bn > 0 pry n → ∞
b z an n n
D−( ) → ζ, (3)
i ζ ma[ nevyrodΩenu funkcig rozpodilu G x( ) = P ζ <( )x .
Tut i dali poznaçennq ξ ξn
D→ , ξ ξn →P
oznaçagt\ vidpovidno zbiΩnist\ za
rozpodilom ta zbiΩnist\ za jmovirnistg.
Qkwo spivvidnoßennq (3) vykonu[t\sq, to budemo hovoryty, wo funkciq roz-
podilu F naleΩyt\ oblasti prytqhannq zakonu G, i pysaty F D G∈ ( ). Zhidno z
vidomog teoremog pro ekstremal\ni typy [4 – 6] moΩna vvaΩaty, wo F nale-
Ωyt\ oblasti prytqhannq odnoho z nastupnyx tr\ox typiv rozpodiliv:
I: G x1( ) = exp −( )−e x pry – ∞ < x < ∞,
II: G x2( ) =
0 0
0 0
pry
pry
x
x x
≤
−( ) > >
−
,
exp , ,α α
(4)
III: G x3( ) =
exp ( ) , ,
.
− −( ) > ≤
>
x x
x
α αpry
pry
0 0
1 0
Nexaj X = X t t T( ), ∈{ } — vypadkovyj proces, qkyj zobraΩu[t\sq u vyhlqdi
X t( ) = σ( ) ˜ ( )t X t , t T∈ , (5)
∀ ∈t T P ˜ ( )X t x<( ) = F x( ) ,
funkci] X t( ) ,
˜ ( )X t ta σ( )t vvaΩa[mo vymirnymy. Dlq poslidovnosti Xk =
= X tk{ ( ) , t T∈ } , k ≥ 1, nezaleΩnyx kopij X poklademo
Z Z t X t t Tn n k n k= = ∈{ }≤ ≤
( ) max ( ),
1
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
216 I. K. MACAK
U U t b Z t a t t Tn n n n n= = −( ) ∈{ }( ) ( ) ( ) ,σ .
Budemo prypuskaty, wo F D G∈ ( ), G x( ) zada[t\sq rivnistg (4), a poslidovnosti
( )bn ta ( )an zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq (3).
Nas cikavytymut\ umovy zbiΩnosti intehral\nyx funkcionaliv f Uh n( ) u vy-
padku asymptotyçno] nezaleΩnosti komponent ekstremal\nyx vypadkovyx fun-
kcij U tn( ) . Dlq c\oho na komponenty vypadkovoho vektora X ti
k( )( )1 bude na-
kladatysq umova
lim
,
( ), ( )t x F s x F
t s
t s∈ →
> >( )
>( ) + >( )
=
1 2
1 2
1 2
0
P
P P
ξ ξ
ξ ξ
, (6)
de x F( ) = sup ( s : F s( ) < 1) , F si( ) — funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny
ξi , i = 1, 2 (umova (6) [ dobre vidomog, dyv. [9] ta navedenu v nij bibliohrafig).
Okrim toho, dlq dodatno] skriz\ skinçenno] funkci] g s( ), s > 0, vvedemo
umovu
sup
( )
( )s
g s
g s>
< ∞
0
2
. (7)
Umovu (7) u teori] prostoriv Orliça nazyvagt\ ∆ 2-umovog (u toçci 0 i na ∞ ,
dyv. [10, s. 120]).
Osnovnym rezul\tatom roboty [ nastupna teorema.
Teorema 1. Nexaj dlq vymirnoho vypadkovoho procesu X = X t{ ( ) , t T∈ } ,
qkyj zobraΩu[t\sq u vyhlqdi (5), vykonugt\sq umovy:
a) F D Gi∈ ( ), i = 1, 3;
b) dlq majΩe vsix (t, s) ∈ T × T v. 'v . X t( ) , X s( ) zadovol\nqgt\ riv-
nist\)(6);
c)
T
H t dt∫ ( ) < ∞σ µ( ) ( ) ;
d)
T
H X t dt∫ ( ) < ∞( ) ( )µ majΩe napevno.
Qkwo, krim toho, parna nespadna pry t > 0 funkciq H t( ) zadovol\nq[ umo-
vu (7), to dlq koΩnoho intehral\noho funkcionala fh H∈�
f U t dth n
T
h( ) ( ) ( )→ < ∞∫P χ µ , (8)
de χh t( ) = E h t t, ( )ζσ( ), ζ ma[ funkcig rozpodilu G xi( ).
ZauvaΩennq 1. Typova funkciq, qka zadovol\nq[ umovu (7), — ce funkciq
H s( ) = s p
dlq 0 < p < ∞.
Dovedennq teoremy 1. Spoçatku navedemo dva dopomiΩnyx rezul\taty.
Nexaj g s( ), s > 0, — dodatna skriz\ skinçenna funkciq. Vvedemo funkcig
M s
g st
g tg
t
( ) sup
( )
( )
=
>0
, 0 < s < ∞.
M sg( ) nazyvagt\ funkci[g roztqhu funkci] g s( ) [11]. Oçevydno, wo dlq
bud\-qkyx t > 0, s > 0
g st M s g tg( ) ( ) ( )≤ . (9)
Lema 1. Qkwo dodatna nespadna funkciq g s( ), s > 0, zadovol\nq[ umovu
(7), to
β = < ∞
>
inf
ln ( )
ln( )t
gM t
t1
, (10)
pry dosyt\ velykyx s
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 217
s M s sg
β β ε≤ ≤ +( ) ∀ >ε 0 . (11)
Okrim toho, dlq x ≥ 0, y ≥ 0
g x y M g x g yg( ) ( ) ( ) ( )+ ≤ +( )2 . (12)
Dovedennq. Ocinky (10), (11) navedeno v [9, 11].
Nerivnist\ (12) bezposeredn\o vyplyva[ z (7). Dijsno, pry 0 ≤ x ≤ y
g x y g y M g y M g x g yg g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ≤ ≤ ≤ +( )2 2 2 .
Lema 2. Nexaj ( )bn — poslidovnist\ dodatnyx çysel, qka zadovol\nq[ riv-
nist\ (3). Todi isnugt\ taki stali C i p, wo dlq n ≥ 1
b C nn
p≤ .
Lema 2 vyplyva[ z teoremy 2.2.1 [5] ta ocinok rostu funkcij, qki pravyl\no
zminggt\sq na neskinçennosti (dyv. [12]).
Teoremu 1 my vyvedemo iz lem 1, 2 ta naslidku 1 roboty [9]. Pry c\omu obme-
Ωymosq lyße vypadkom, koly F naleΩyt\ oblasti prytqhannq rozpodilu eks-
tremal\nyx znaçen\ I typu, F D G∈ ( )1 . Vypadok F D G∈ ( )3 rozhlqda[t\sq tak
samo.
Nexaj ζ( )t — v.)p. z nezaleΩnymy v koΩnij toçci znaçennqmy, dlq qkoho
P ζ( )t s<( ) = G s1( ) pry t T∈ . Poklademo
Y t t t( ) ( ) ( )= σ ζ , Y t U tn n( ) ( )= , m t h t Y t th( ) , ( ) ( )= ( ) =E χ . (13)
Zhidno z naslidkom 1 iz [9] dlq dovedennq teoremy 1 dostatn\o vstanovyty, wo
dlq Y t( ), Y tn( ) , m t( ), zadanyx rivnostqmy (13), vykonugt\sq umovy:
i) isnu[ vymirna j intehrovna na T funkciq c t( ) > 0 taka, wo dlq bud\-
qkoho ε > 0
lim sup ( ) ( ) ( ) ( )
λ
λ µ ε
→∞ ≥ ∫ ( ) ( ) >( ) >
=
n T
n nH Y t I H Y t c t dt
1
0P ; (14)
ii) majΩe dlq vsix par ( , )t s ∈) T T×( ) vykonu[t\sq umova:
Y t Y s Y t Y sn n
D( ), ( ) ( ), ( )( ) → ( ) pry n → ∞;
iii) dlq λ > 0 funkci]
m t h t Y t I H Y t c t( )( ) , ( ) ( ) ( )λ λ= ( ) ( ) ≤( )E ,
m t h t Y t( ) , ( )= ( )E , ˜ ( ) , ( )m t h t Y t= ( )E
vymirni ta intehrovni na T.
Osnovna trudnist\ tut pov’qzana z umovog i), tobto z dovedennqm rivnos-
ti)(14). Perevirka umov ii), iii) faktyçno mistyt\sq v [9], i my ]] tut ne navodymo.
PokaΩemo, wo isnu[ vymirna j intehrovna na T funkciq c t( ) > 0 taka, wo
dlq bud\-qkoho ε > 0 vykonu[t\sq rivnist\
lim sup ( ) ( ) ( ) ( )
λ
λ µ ε
→∞ ≥ ∫ ( ) ( ) >( ) >
=
n T
n nH U t I H U t c t dt
1
0P . (15)
Poznaçymo
˜ ( )Z tn = max ˜ ( )
1≤ ≤k n kX t . Todi z (9) ta lemy 1 ma[mo
J n( , )λ =
T
n nH U t I H U t c t dt∫ ( ) ( ) >( )( ) ( ) ( ) ( )λ µ ≤
≤
T
n H n n nH U t I M b Z t a H t c t dt∫ ( ) −( )( ) ( ) >( )( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( )σ λ µ ≤
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
218 I. K. MACAK
≤
T
n n n nH U t I C b Z t a H t c t dt∫ ( ) −( ) ( ) >
+
( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( )
β ε
σ λ µ , (16)
de ε > 0, C = C β ε,( ), β vyznaça[t\sq rivnistg (10). Poklademo
J n1( , )λ =
T
n n n n n nH b Z t a t I b Z t a C dt∫ ( ) −( )( ) −( ) >
+
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1 ,
J n2( , )λ =
T
n n n n nH b Z t t I b Z t a C dt∫ ( ) ×( ) −( ) >
−
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1
.
Pidstavlqgçy v (16) c t( ) = H tσ( )( ) i vraxovugçy nerivnist\
b Z t a b Z t a b Z tn n n n n n n n
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )−( ) ≤ ( ) −( ) + ( )+ −
ta ostanng nerivnist\ lemy 1, oderΩu[mo
J n( , )λ ≤ C J n J n1 1 2( , ) ( , )λ λ+( ).
Takym çynom, dostatn\o pokazaty, wo dlq bud\-qkoho ε > 0
lim sup ( , )
λ
λ ε
→∞ ≥
>( ) =
n
J n
1
1 0P , (17)
lim sup ( , )
λ
λ ε
→∞ ≥
>( ) =
n
J n
1
2 0P . (18)
Poçnemo z rivnosti (17). Zastosovugçy lemu 1 ta (9), ma[mo
J n1( , )λ ≤
≤
T
H n n n n n nM b Z t a H t I b Z t a C dt∫ ( ) −( )( ) ( ) −( ) >
+
+ −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )σ λ µ
β ε 1 ≤
≤ C b Z t a H t I b Z t a C dt
T
n n n n n n∫ ( ) −( ) ( ) −( ) >
+
+ + −˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )
β ε β ε
σ λ µ1
.
Zvidsy
E J n1( , )λ ≤ C b Z t an n nE ˜ ( )
( ) /
( ) −( )
+
+2 1 2β ε
×
× P b Z t a Cn n n
˜ ( )
/
−( ) >
+ −β ε
λ1
1 2
T
H t dt∫ ( )σ µ( ) ( ) . (19)
Ne obmeΩugçy zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo
x F( ) > 0, F D G+ ∈ ( )1 , de F s X t s+ +
= ( ) <( )( ) ˜ ( )P
(u protyvnomu razi slid perejty do v.)p. vyhlqdu X t( ) = σ( )t ( ˜ ( ) )X t C+ ). Vidomo,
wo v rivnosti (3) pry F D G∈ ( )1 , x F( ) > 0
lim ( )
n
n n n
m mb z a
→ +∞
+ −( ) = < ∞E E ζ ∀ >m 0
(dyv. [9]). Zvidsy ma[mo
sup ˜ ( )
( )
n
n n nb Z t a
≥ +
+( ) −( ) < ∞
1
2
E
β ε
. (20)
Zaznaçymo, wo za cyx umov
P b Z t a x G xn n n
˜ ( ) ( )−( ) <( ) → 1 , n → ∞,
pryçomu zbiΩnist\ [ rivnomirnog po x (G xk ( ) — neperervna funkciq rozpodilu,
dyv. [5, s. 101]). Tomu dlq bud\-qkoho t T∈
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 219
lim sup ˜ ( )
λ
β ε
λ
→∞ ≥
+ −−( ) >
n
n n nb Z t a C
1
1P = 0. (21)
Z nerivnostej (19), (20) ta rivnosti (21) ma[mo
lim sup ( , )
λ
λ
→∞ ≥
=
n
J n
1
1 0E ,
zvidky i vyplyva[ (17).
Zalyßylosq pereviryty rivnist\ (18). Poklademo
I tn( ) =
1 0
0
2
pry
— u protyvnomu razi
min ˜ ( ) ,
≤ ≤ −( ) >
k n k tX
.
Beruçy do uvahy rivnist\
−( ) = −( )( )− ≤ ≤ −
˜ ( ) max ˜ ( )Z t tn k n k1
X ,
moΩna zapysaty
˜ ( ) ( ) ˜ ( )Z t I t tn n( ) ≤ ( )−
X1 m. n. (22)
Pry c\omu dlq r > 0
E I t pn
r n( ) = −1
, (23)
de p F= ( )0 (oskil\ky vvaΩa[mo, wo x F( ) > 0, to 0 ≤ p < 1).
Za dopomohog nerivnostej (9), (22) (a takoΩ lemy 1) ocinymo zverxu intehral
J n2( , )λ :
J n2( , )λ ≤
T
n n n n nH b I t t t I b Z t a C dt∫ ( ) −( ) >
+ −( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )X1 σ λ µ
β ε 1 ≤
≤
T
H n n n n nM b I t H t t I b Z t a C dt∫ ( ) ( ) −( ) >
+ −( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) ( )X1 σ λ µ
β ε 1 ≤
≤ C b I t H X t I b Z t a C dt
T
n n n n n∫ + + −( ) −( ) >
( ) ( ) ˜ ( ) ( )β ε β ε
λ µ1
1
. (24)
Oskil\ky dlq bud\-qkoho fiksovanoho n, t T∈ pry λ → ∞
I b Z t a Cn n n
˜ ( ) −( ) >
+ −β ε
λ1 → 0 m. n.,
a
T
H X t dt∫ ( )1( ) ( )µ < ∞, to za teoremog Lebeha m. n. pry λ → ∞
T
n n nH X t I b Z t a C dt∫ ( ) −( ) >
+ −
1( ) ˜ ( ) ( )
β ε
λ µ1 → 0.
Tomu dlq 1 < n0 < ∞ iz (24) otrymu[mo
sup ( , )
1
2
0≤ ≤n n
J n λ ≤
≤ C b H X t I b Z t a C dt
n n
n
T
n n n2
1
1
0
sup ( ) ˜ ( ) ( )
≤ ≤
+ + −∫ ( ) −( ) >
β ε β ε
λ µ1 → 0, (25)
λ → ∞, m. n.
Rozhlqnemo vypadok velykyx n u (18). Nexaj δ > 0 — dovil\ne male çyslo.
Todi, vraxovugçy spivvidnoßennq (23), (24) i nezaleΩnist\ procesiv I tn( ) ta
X t1( ), ma[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
220 I. K. MACAK
P J n2( , )λ ε>( ) ≤ P 1
T
n nb I t H X t dt C∫ + −( ) >
( ) ( ) ( )β ε µ ε1 ≤
≤ P 1 1
T
n n n
n
T
b I t H X t dt b p H X t dt∫ ∫+ − + −( ) > ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )β ε β εµ δ µ1 1 +
+ P 1δ µ εβ ε− + − −∫ ( ) >
1 1 1b p H X t dt Cn
n
T
( ) ( ) ≤
≤ δ µ εδ
β ε+ ( ) >
∫ + −P 1
T n
nH X t dt
C b p
( ) ( ) 1 . (26)
Za lemog 2 b pn
nβ ε+ −1 → 0 pry n → ∞ . Tomu isnu[ çyslo n0 = n0( , )δ ε take,
wo pry n > n0
P 1
T n
nH X t dt
C b p∫ ( ) >
≤+ −( ) ( )µ εδ δβ ε 1 .
Zvidsy ta z (26) oderΩu[mo
sup P
n n
J n
≥
>( )
0
2( , )λ ε ≤ 2δ.
Oskil\ky δ > 0 — dovil\ne çyslo, to z uraxuvannqm (25) ma[mo rivnist\ (18).
Takym çynom, rivnist\ (15), a razom z neg i (14), vstanovleno.
U nastupnomu tverdΩenni rozhlqda[t\sq vypadok, koly funkciq rozpodilu
F naleΩyt\ oblasti prytqhannq rozpodilu ekstremal\nyx znaçen\ II typu.
TverdΩennq 1. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 1, ale umovu a) zamine-
no na
ã) F D G∈ ( )2 .
Qkwo M sH ( ) — funkciq roztqhu funkci] H s( ), β obçyslg[t\sq za for-
mulog (10) i β < α, to dlq koΩnoho intehral\noho funkcionala fh H∈� vy-
konu[t\sq spivvidnoßennq (8) iz vypadkovog velyçynog ζ , qka ma[ rozpodil
G s2( ) .
Dovedennq tverdΩennq 1 v osnovnomu povtorg[ dovedennq teoremy 1.
MoΩe vynyknuty zapytannq: çy isnu[ vypadkovyj proces, qkyj zadovol\nq[
umovy teoremy 1 i ne zadovol\nq[ umovu (2)?
Pozytyvnu vidpovid\ na ce pytannq da[ nastupnyj pryklad.
Pryklad. Nexaj γ1, γ 2 — nezaleΩni standartni normal\no rozpodileni
v.)v. Rozhlqnemo na vidrizku T = [ ]0 1, vypadkovyj proces
ξ γ γ( ) cos sint t t= +1 2 .
Proces ξ( )t [ neperervnym, normal\no rozpodilenym i moΩe buty zapysanyj
u)tak zvanij kosynus-formi: ξ( )t = A tcos −( )ϕ , A, ϕ — vypadkovi velyçyny
[6,)s.)190]. Bezposeredn\o obçyslg[t\sq joho kovariacijna funkciq r t( ) = cos t.
Zvidsy zrozumilo, wo pry t, s ∈[ ]0 1, , t ≠ s, vykonu[t\sq umova
r t sξ ξ( ), ( )( ) < 1,
de r — koefici[nt korelqci] Pirsona.
Vidomo (dyv. [9] ta navedenu v nij bibliohrafig), wo z ostann\o] nerivnosti
vyplyva[ (6).
Nexaj Φ( )x — standartna funkciq normal\noho rozpodilu. Poklademo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
HRANYÇNA TEOREMA DLQ INTEHRAL|NYX FUNKCIONALIV VID EKSTREMUMU … 221
F x
x x e
e
x
x e
( )
( ) ,
ln
.
=
> −
− ≤ −
Φ
Φ
pry
( )
pry
Todi F x( ) — neperervna stroho monotonna funkciq rozpodilu. Vvedemo vypad-
kovyj proces X t( ) = F t− ( )( )1 Φ ξ( ) , qkyj u koΩnij toçci t ∈[ ]0 1, ma[ funkcig
rozpodilu F x( ).
Perevirymo, wo proces X t( ) zadovol\nq[ umovy teoremy 1 pry T = [ ]0 1, ,
σ( )t ≡ 1, H x( ) = x . Dijsno, oskil\ky pry x > – e F x( ) = Φ( )x , to F D G∈ ( )1 .
Umova s) teoremy 1 tak samo, qk i (7), vykonu[t\sq oçevydno.
Za pobudovog
X t F A( ) ≤ ( )( )−1 Φ m. n.
i, takym çynom, umova d) teoremy 1 takoΩ vykonu[t\sq.
Iz oznaçennq procesu X t( ) pry s1 → ∞, s2 → ∞ ma[mo
P
P P
X t s X t s
X t s X t s
( ) , ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
> >( )
>( ) + >( )
=
=
P
P P
ξ ξ
ξ ξ
( ) ( ) , ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t F s t F s
t F s t F s
1
1
1 2
1
2
1
1
1 2
1
2
> ( ) > ( )( )
> ( )( ) + > ( )( )
− −
− −
Φ Φ
Φ Φ
→ 0
(ce tak, tomu wo, qk bulo zaznaçeno vywe, proces ξ( )t zadovol\nq[ umovu (6)).
Takym çynom, dlq procesu X t( ) umova (6) takoΩ vykonu[t\sq, a otΩe, vin
zadovol\nq[ usi umovy teoremy 1.
Oçevydno, wo umova (2) dlq X t( ) ne vykonu[t\sq.
ZauvaΩennq 2. Avtor naviv cej pryklad u zv’qzku z zauvaΩennqmy recen-
zenta. Zvyçajno, navedenyj pryklad ma[ ßtuçnyj xarakter, ale cikavi prykla-
dy takoho typu, mabut\, i ne isnugt\.
1. Borovkov A. A., Peçerskyj E. A. Sxodymost\ raspredelenyj yntehral\n¥x funkcyonalov //
Syb. mat. Ωurn. – 1975. – 16, # 5. – S. 899 – 915.
2. Yvanov A. V. O sxodymosty raspredelenyj funkcyonalov ot yzmerym¥x sluçajn¥x polej
// Ukr. mat. Ωurn. – 1980. – 32, # 1. – S. 27 – 34.
3. Grinblat L. S. A limit theorem for measurable random processes and its applications // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1976. – 61, # 2. – P. 371 – 376.
4. Gnedenko B. V. Sur la distribution limit de terme maximum d’une serie aleatoire // Ann. Math. –
1943. – 44. – P. 423 – 453.
5. Halamboß Q. Asymptotyçeskaq teoryq πkstremal\n¥x porqdkov¥x statystyk. – M.:
Nauka, 1984. – 303 s.
6. Lydbetter M., Lyndhren H., Rotsen X. ∏kstremum¥ sluçajn¥x posledovatel\nostej y
processov. – M.: Myr, 1989. – 391 s.
7. Brown M. M., Resnick S. I. Extreme values of independent stochastic processes // J. Appl. Probab.
– 1977. – 14. – P. 732 – 739.
8. Macak I. K. ZbiΩnist\ rozpodiliv intehral\nyx funkcionaliv vid ekstremal\nyx vypadko-
vyx funkcij // Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 51, # 9. – S. 1201 – 1209.
9. Macak I. K. Pro intehral\ni funkcionaly vid ekstremal\nyx vypadkovyx funkcij // Teoriq
jmovirnostej ta mat. statystyka. – 2001. – Vyp. 65. – S. 110 – 120.
10. Lindenstraus J., Tzafriri L. Classical Banach spaces: In 2 vol. – Berlin: Springer, 19 79. – Vol. 2. –
243 p.
11. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.:
Nauka, 1978. – 400 s.
12. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 144 s.
OderΩano 18.09.2002,
pislq doopracgvannq — 20.10.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3588 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:21Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f5/9134c0bcde12d3d4ff3513b02efcf5f5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35882020-03-18T19:59:22Z A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів Matsak, I. K. Мацак, І. К. We prove a theorem on the convergence of integral functionals of an extremum of independent stochastic processes to a degenerate law of distributions. Доводиться теорема про збіжність до виродженого закону розподілів інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3588 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 2 (2005); 214–221 Український математичний журнал; Том 57 № 2 (2005); 214–221 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3588/3908 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3588/3909 Copyright (c) 2005 Matsak I. K. |
| spellingShingle | Matsak, I. K. Мацак, І. К. A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title | A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title_alt | Гранична теорема для інтегральних функціоналів від екстремуму незалежних випадкових процесів |
| title_full | A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title_fullStr | A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title_full_unstemmed | A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title_short | A Limit Theorem for Integral Functionals of an Extremum of Independent Random Processes |
| title_sort | limit theorem for integral functionals of an extremum of independent random processes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3588 |
| work_keys_str_mv | AT matsakik alimittheoremforintegralfunctionalsofanextremumofindependentrandomprocesses AT macakík alimittheoremforintegralfunctionalsofanextremumofindependentrandomprocesses AT matsakik graničnateoremadlâíntegralʹnihfunkcíonalívvídekstremumunezaležnihvipadkovihprocesív AT macakík graničnateoremadlâíntegralʹnihfunkcíonalívvídekstremumunezaležnihvipadkovihprocesív AT matsakik limittheoremforintegralfunctionalsofanextremumofindependentrandomprocesses AT macakík limittheoremforintegralfunctionalsofanextremumofindependentrandomprocesses |