Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems
We propose a general scheme for the two-sided approximation of solutions of boundary-value problems for ordinary differential equations. This scheme involves a number of known and new two-sided methods. In our investigation, we use constructions of the Samoilenko numerical-analytic method together w...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3597 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509713495490560 |
|---|---|
| author | Mentynskyi, S. M. Shuvar, B. A. Ментинський, С. М. Шувар, Б. А. |
| author_facet | Mentynskyi, S. M. Shuvar, B. A. Ментинський, С. М. Шувар, Б. А. |
| author_sort | Mentynskyi, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:22Z |
| description | We propose a general scheme for the two-sided approximation of solutions of boundary-value problems for ordinary differential equations. This scheme involves a number of known and new two-sided methods. In our investigation, we use constructions of the Samoilenko numerical-analytic method together with the procedure of the construction of two-sided methods proposed by Kurpel’ and Shuvar. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.927
B. A. Íuvar, S. M. Mentyns\kyj (Nac. un-t „L\viv. politexnika”)
DVOSTORONNQ APROKSYMACIQ
ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ
We suggest the general sheme of two-sided approximation of solutions of boundary-value problems for
ordinary differential equations, which contains a number of the well-known and new two-sided methods.
In the study, we use the constructions of the A. M. Samoilenko numerical-analytic method together with
the strategy of construction of two-sided methods developed in the works by M. S. Kurpel’ and
B. A. Shuvar.
Zaproponovano zahal\nu sxemu dvostoronn\o] aproksymaci] rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq zvy-
çajnyx dyferencial\nyx rivnqn\, qka oxoplg[ nyzku vidomyx i novyx dvostoronnix metodiv.
Pry doslidΩenni vykorystano konstrukci] çysel\no-analityçnoho metodu A. M. Samojlenka u
po[dnanni z metodykog pobudovy dvostoronnix metodiv, zaproponovanog v robotax M. S. Kurpe-
lq ta B. A. Íuvara.
U cij statti doslidΩugt\sq dvostoronni iteracijni metody v zastosuvanni do
krajovyx zadaç dlq zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\. Dvostoronni iteracij-
ni metody, teoriq qkyx zapoçatkovana S. O. Çaplyhinym, magt\ vidomi perevahy
pered inßymy iteracijnymy metodamy. Prote ]x vykorystannq obmeΩene kil\-
koma nespryqtlyvymy çynnykamy. Osnovni z nyx — neopuklist\ ta nemonoton-
nist\, a takoΩ prypuwennq pro dyferencijovnist\ vidpovidnyx operatoriv. U
robotax [1 – 3] zaproponovano novi pidxody do pobudovy dvostoronnix metodiv
dlq rivnqn\ z nemonotonnymy ta neopuklymy pravymy çastynamy. U statti [3],
zokrema, doslidΩeno novi dvostoronni metody, wo ne vymahagt\ dyferencijov-
nosti vidpovidnyx operatoriv. Pry vykorystanni cyx metodiv dlq aproksymaci]
rozv’qzkiv hranyçnyx zadaç slid vraxovuvaty ]x specyfiku, zumovlenu potrebog
pobudovy operatoriv vidpovidno] struktury v linearyzovanyx çastynax alhoryt-
miv. Dlq c\oho zruçno vykorystovuvaty, zokrema, konstrukci] çysel\no-anali-
tyçnoho metodu A. M. Samojlenka [4, 5], qkyj protqhom mynulyx tr\ox desqty-
lit\ systematyçno zastosovuvaly dlq doslidΩennq hranyçnyx zadaç dlq rivnqn\
iz zvyçajnymy i çastynnymy poxidnymy.
U danomu doslidΩenni vykorystovugt\sq zaznaçeni pidxody do pobudovy dvo-
storonnix metodiv iz metog pobudovy zahal\no] sxemy dvostoronn\o] aproksyma-
ci] rozv’qzkiv deqkyx klasiv krajovyx zadaç dlq zvyçajnyx dyferencial\nyx
rivnqn\, qka oxoplg[ vidomi [6 – 9] ta novi alhorytmy.
Rozhlqnemo dyferencial\ne rivnqnnq
L x = f ( t, x ) (1)
z krajovymy umovamy
V ( x ) = 0. (2)
Tut L — linijnyj dyferencial\nyj operator, x ∈ B, f R B B: ′ × → ( R ′ ⊆ R,
B ⊂ E, E — banaxiv prostir, napivuporqdkovanyj konusom dodatnyx elementiv ) .
Dlq vidßukannq poslidovnyx nablyΩen\ do rozv’qzku zadaçi (1), (2) vykorys-
tovu[mo dodatkove rivnqnnq
x = L f t x L f t x c+ −− +[ ( , )] [ ( , )] (3)
take, wo bud\-qkyj rozv’qzok x*
rivnqnnq (1), wo zadovol\nq[ umovy (2), [ ta-
koΩ rozv’qzkom rivnqnnq (3), pryçomu L+, L– : E → E — linijni dodatni opera-
tory, c ∈ E. MoΩlyvist\ zobraΩennq ekvivalentnoho do zadaçi (1), (2) inteh-
ral\noho rivnqnnq u formi (3) doslidΩeno v [10].
Nexaj:
a) zadano operatory F t u y zi( , , , , )v , Fi : R ′ × B × B × B × B → B, i = 1, 2, taki,
wo spravdΩugt\sq rivnosti
© B. A. ÍUVAR, S. M. MENTYNS|KYJ, 2005
284 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DVOSTORONNQ APROKSYMACIQ ROZV’QZKIV … 285
F t x x x x1( , , , , ) = f ( t, x ) = F t x x x x2( , , , , );
b) zadano linijni wodo p, q operatory li ( t, y, z , p, q ) , li : R ′ × B × B × E ×
× E → E, i = 1, 2, taki, wo pry y ≤ u ≤ v ≤ z , y ≤ y ≤ z ≤ z , y , z , y ,
z , u , v ∈ B, u , v ∈ E, spravdΩugt\sq nerivnosti
F t u y z F t u y z1 1( , , , , ) ( , , , , )v v− ≥ l t y z u u1( , , , , )− −v v ,
F t u y z F t u y z2 2( , , , , ) ( , , , , )v v− ≥ l t y z u u2( , , , , )− −v v ;
v) iz spivvidnoßen\ y ≤ z, y, z ∈ B
p ≥ L l t y z p q L l t y z p q+ −+[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]1 2 ,
q ≥ L l t y z p q L l t y z p q+ −+[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]2 1
vyplyvagt\ nerivnosti p ≥ θ, q ≥ θ ( p, q ∈ E, θ — nul\ovyj element prosto-
ruKKE ) .
Teorema. Nexaj spravdΩugt\sq umovy a) – v), rivnqnnq (3) ma[ xoça b
odyn rozv’qzok x*
i systema
yn+1 = L F t y z y z L F t y z y z cn n n n n n n n
+
+ +
−
+ ++ +[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]1 1 1 2 1 1 ,
(4)
zn+1 = L F t y z y z L F t y z y z cn n n n n n n n
+
+ +
−
+ ++ +[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]2 1 1 1 1 1
pry koΩnomu n = 0, 1, 2, … ma[ [dynyj rozv’qzok. Todi dlq poslidovnostej
{ }yn , { }zn komponent rozv’qzkiv systemy (4) z nerivnostej
y0 ≤ y1 ≤ x* ≤ z1 ≤ z0
vyplyvagt\ spivvidnoßennq
yn ≤ yn + 1 ≤ x* ≤ zn + 1 ≤ zn, n = 0, 1, 2, … . (5)
Dovedennq. Vykonannq nerivnostej (5) pry n = 0 zabezpeçugt\ umovy teo-
remy, a z prypuwennq pro ]x vykonannq pry n = k – 1 vyplyvagt\ spivvidnoßen-
nq
y yk k+ −1 = L F t y z y z L F t y z y z ck k k k k k k k
+
+ +
−
+ +− +[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]1 1 1 2 1 1 –
– L F t y z y z L F t y z y z ck k k k k k k k
+
− −
−
− −+ −[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]1 1 1 2 1 1 ≥
≥ L l t y z y y z z L l t y z y y z zk k k k k k k k k k k k
+
+ +
−
+ +− − + − −[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]1 1 1 2 1 1 ,
z zk k− +1 = L F t y z y z L F t y z y z ck k k k k k k k
+
− −
−
− −− +[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]2 1 1 1 1 1 –
– L F t y z y z L F t y z y z ck k k k k k k k
+
+ +
−
+ ++ −[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]2 1 1 1 1 1 ≥
≥ L l t y z y y z z L l t y z y y z zk k k k k k k k k k k k
+
+ +
−
+ +− − + − −[ ( , , , , )] [ ( , , , , )]2 1 1 1 1 1 ,
a takoΩ
x yk
∗
+− 1 ≥ L l t x x x y z xk k
+ ∗ ∗ ∗
+ +
∗− −[ ( , , , , )]1 1 1 +
+ L l t x x x y z xk k
− ∗ ∗ ∗
+ +
∗− −[ ( , , , , )]2 1 1 ,
z xk+
∗−1 ≥ L l t x x x y z xk k
+ ∗ ∗ ∗
+ +
∗− −[ ( , , , , )]2 1 1 +
+ L l t x x x y z xk k
− ∗ ∗ ∗
+ +
∗− −[ ( , , , , )]1 1 1 ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
286 B. A. ÍUVAR, S. M. MENTYNS|KYJ
qki za umovog v) dagt\ dvi pary nerivnostej: y yk k+ − ≥1 θ , z zk k− ≥+1 θ ta
x yk
∗
+− ≥1 θ , z xk+
∗− ≥1 θ . OtΩe, spravdΩugt\sq nerivnosti
yk ≤ yk + 1 ≤ x* ≤ zk + 1 ≤ zk,
wo na pidstavi pryncypu matematyçno] indukci] dovodyt\ teoremu.
Opyßemo odyn zahal\nyj sposib pobudovy operatoriv F1 ( u, v, y, z ) , F2 ( u, v,
y, z ) u (4). Nexaj:
1) pravu çastynu rivnqnnq (1) moΩna podaty u vyhlqdi neperervno] za
sukupnistg arhumentiv funkci] F ( t, y, z ) ( f ( t, x ) ≡ F ( t, x, x ) ) , dlq qko] zadano
neperervni za sukupnistg arhumentiv nespadni po y, nezrostagçi po z operato-
ry Gk ( t, y, z ) w , αk ( t, y, z ) w , Ak ( t, y, z ) w , k = 1, 2, qki wodo w [ linijnymy ne-
perervnymy dodatnymy operatoramy i dlq qkyx iz spivvidnoßen\ y ≤ z , t ∈
∈ [ 0;KT ] , x, y, z ∈ [ a; b ] vyplyvagt\ nerivnosti
( ( , , ) ( , , ) ( , , ))( )G t y z t y z A t z y z y1 1 1+ − −α ≤ F t z x F t y x( , , ) ( , , )− ,
(6)
F t x z F t x y( , , ) ( , , )− ≤ – ( ( , , ) ( , , ) ( , , ))( )G t y z t y z A t z y z y2 2 2+ − −α ;
2) zadani umovogK1 operatory Gk ( t, y, z ) , αk ( t, y, z ) , Ak ( t, y ( t ), z ( t ) ) taki, wo
iz spivvidnoßen\ y ≤ z, t ∈ [ 0; T ] , x, y, z ∈ [ a; b ] ,
p ≥ L G t y z p G t y z q+ +[ ( , , ) ( , , ) ]1 2 +
+ L G t y z t y z p G t y z t y z q− − + − +[ ( ( , , ) ( , , )) ( ( , , ) ( , , )) ]1 1 2 2α α ,
q ≥ L G t y z t y z q G t y z t y z p+ + + +[( ( , , ) ( , , )) ( ( , , ) ( , , )) ]1 1 2 2α α +
+ L G t y z p G t y z q− − −[ ( , , ) ( , , ) ]1 2
vyplyvagt\ nerivnosti p ≥ θ, q ≥ θ.
Todi v (4) moΩna poklasty
F t y z p q1( , , , , ) = G t y z p y G t y z q z1 2( , , )( ) ( , , )( )− − − +
+ ( ( , , ) ( , , ))( ) ( , , )A t y z A t y z y z F t y z1 2+ − + ,
(7)
F t y z p q2( , , , , ) = ( ( , , ) ( , , ))( ) ( ( , , )G t y z t y z q z G t y z1 1 2+ − −α +
+ α2 1 2( , , ))( ) ( ( , , ) ( , , ))( ) ( , , )t y z p y A t y z A t y z z y F t z y− + + − + .
Zaznaçymo, wo prypuwennq (6) v umovax navedenoho tverdΩennq spravdΩu-
gt\sq, napryklad, qkwo operatory
G t y z t y z A t z y1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , )+ −α ta G t y z t y z A t z y2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )+ −α
[ poxidnymy vid F t y z( , , ) vidpovidno wodo y ta z . U c\omu vypadku alhorytm
(4), (7) totoΩnyj zastosuvanng do rivnqnnq (3) odnoho z osnovnyx variantiv
metodu Çaplyhina. Qkwo Ω operatory A t z y1( , , ) i A t z y2( , , ) v (6) [ nul\ovymy
operatoramy, to z rezul\tativ doslidΩennq otrymugt\ çastynni rezul\taty, qki
[ blyz\kymy do rezul\tativ iz [3]. Qkwo Ω, krim toho, nul\ovymy [ operatory
α1( , , )t z y i α2( , , )t z y , to otrymani rezul\taty vpysugt\sq v abstraktnu sxemu
metodu Kurpelq iz [2]. Qkwo G t z y1( , , ) i G t z y2( , , ), α1( , , )t z y i α2( , , )t z y ta
A t z y1( , , ) i A t z y2( , , ) [ nul\ovymy operatoramy, to otryma[mo zahal\nu sxemu al-
horytmiv (dyv. [6 – 9]), wo zazvyçaj vykorystovugt\sq pry doslidΩenni krajo-
vyx zadaç dvostoronnimy metodamy.
Postulg[mo umovu:
3) zadano neperervni za sukupnistg arhumentiv nespadni po y, nezrostagçi
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DVOSTORONNQ APROKSYMACIQ ROZV’QZKIV … 287
po z operatory βk ( t, y, z ) w , k = 1, 2, qki wodo w [ linijnymy neperervnymy
dodatnymy operatoramy i dlq qkyx iz spivvidnoßen\ y ≤ z , t ∈ [ 0, T ] , x , y ,
z ∈ [ a; b ] vyplyvagt\ nerivnosti
F t z x F t y x( , , ) ( , , )− ≤ ( ( , , ) ( , , ) ( , , ))( )G t y z t y z A t z y z y1 1 1+ − −β ,
– ( ( , , ) ( , , ) ( , , ))( )G t y z t y z A t z y z y2 2 2+ − −β ≤ F t x z F t x y( , , ) ( , , )− ,
de G t y z1( , , ) , G t y z2( , , ), A t y z1( , , ), A t y z2( , , ) zadovol\nqgt\ umovu 1.
Rozhlqnemo zastosuvannq zaproponovanoho alhorytmu na prykladi linijno]
dvotoçkovo] krajovo] zadaçi
dx
dt
= f ( t, x ) , (8)
α βx x T( ) ( )0 + = γ, (9)
de x — element prostoru C TRm
1 0[ ; ] neperervno dyferencijovnyx m-vymirnyx
vektornyx funkcij skalqrnoho arhumentu, napivuporqdkovanoho konusom do-
datnyx elementiv, t T∈ [ ; ]0 , f D T a b C TRm
: [ ; ] [ ; ] [ ; ]= × →0 01 ( a, b ∈ C TRm
1 0[ ; ]) ,
γ — m-vymirnyj stalyj vektor, α i β — stali matryci porqdku m × m , v alho-
rytmi (4), (7) pryjma[mo
L f t+[ ( )] = ( ) ( )α β α+ − ∫1
0
t
f s ds , L f t−[ ( )] = ( ) ( )α β β+ − ∫1
t
T
f s ds
za umovy, wo matrycq α + β — neosoblyva, pryçomu ( )α β α+ −1 ≥ Θ i (α +
+ β β)−1 ≥ Θ. Poznaçyvßy çerez G = { }gij , A = { }aij , B = { }bij stali matryci
z elementamy
gij = max ( , , ) ( , , )
[ , ]
, [ , ]
( ) ( )
t T
y z a b
ij ijg t y z g t y z
∈
∈
+
0
1 2 ,
aij = max ( , , ) ( , , )
[ , ]
, [ , ]
( ) ( )
t T
y z a b
ij ija t y z a t y z
∈
∈
+
0
1 2 ,
bij = max ( , , ) ( , , )
[ , ]
, [ , ]
( ) ( )
t T
y z a b
ij ijt y z t y z
∈
∈
+
0
1 2β β ,
otryma[mo umovu zbiΩnosti u vyhlqdi
( )E GT− −1 > Θ, ( ) ( )E GT T A B− +−1
q < 1.
ZauvaΩennq. Qkwo v (6) poklasty G t y zk ( , , ) ≡ Θ, αk t y z( , , ) ≡ Θ , A t y zk ( , , ) ≡
≡ Θ, k = 1, 2, a za β1( , , )t y z i β2( , , )t y z pryjnqty konstanty Lipßycq funkci]
F t y z( , , ) za zminnymy y i z vidpovidno, to dlq zadaçi (8), (9) otryma[mo rezul\-
tat iz [9]. Zaznaçymo, wo dlq vypadku nenul\ovyx G t y z1( , , ) , G t y z2( , , ) u prove-
denyx doslidΩennqx vstanovleno umovy, za qkyx poslidovni nablyΩennq maty-
mut\ nadlinijnu (zokrema, i kvadratyçnu) ßvydkist\ zbiΩnosti. Krim c\oho, vy-
korystannq u strukturi proponovanoho alhorytmu operatoriv A t y z1( , , ),
A t y z2( , , ) (vidminnyx vid nulq) dozvolq[ apriori vraxovuvaty vplyv poxybok za-
okruhlennq na monotonnist\ ta dvostoronnist\ poslidovnyx nablyΩen\ pry
praktyçnij realizaci] alhorytmu. SxoΩi porivnqnnq moΩna provesty dlq zadaçi
pro vidßukannq periodyçnyx rozv’qzkiv [6, 7], bahatotoçkovo] zadaçi Valle Pus-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
288 B. A. ÍUVAR, S. M. MENTYNS|KYJ
sena ta krajovyx zadaç dlq rivnqn\ iz parametramy [8].
Perspektyvy podal\ßyx doslidΩen\ u c\omu naprqmku — rozßyrennq kla-
siv zadaç, dlq aproksymaci] rozv’qzkiv qkyx moΩna zastosovuvaty doslidΩenyj
dvostoronnij alhorytm, a takoΩ pobudova sxem dyskretyzaci], prydatnyx dlq
joho realizaci] za dopomohog suçasnyx obçyslgval\nyx zasobiv.
1. Kurpel\ M. S. Pro deqki modyfikaci] metodu S. O. Çaplyhina nablyΩenoho intehruvannq
dyferencial\nyx rivnqn\ // Dopov. AN URSR. Ser. A. – 1969. – #K4. – S.K303 – 306.
2. Kurpel\ N. S., Íuvar B. A. Dvustoronnye operatorn¥e neravenstva y yx prymenenyq. –
Kyev: Nauk. dumka, 1980. – 268 s.
3. Íuvar B. A. Dvustoronnye yteracyonn¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x uravnenyj v polu-
uporqdoçenn¥x prostranstvax // Vtoroj sympozyum po metodam reßenyq nelynejn¥x urav-
nenyj y zadaç optymyzacyy. – Tallyn: Yn-t kybernetyky AN ∏SSR, 1981. – T.1. – S. 68 – 73.
4. Samojlenko A. M., Ronto N. Y. Çyslenno-analytyçeskye metod¥ v teoryy kraev¥x zadaç
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 277 s.
5. Ronto M., Samoilenko A. M. Numerical-analytic methods in the theory of boundary-value
problems. – Singapore: World Sci., 2000. – 455 p.
6. Kurpel\ N. S. O dvustoronnyx pryblyΩenyqx k peryodyçeskym reßenyqm
dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Tr. V MeΩdunar. konf. po nelynejn¥m kolebanyqm. –
Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1970. – T.1. – S. 384 – 352.
7. Sobkovyç R. Y., Íuvar B. A. Dvustoronnye pryblyΩenyq k peryodyçeskym reßenyqm sys-
tem dyfferencyal\n¥x uravnenyj s parametramy // Nelynejn¥e dynamyçeskye process¥
fyzyky y mexanyky. – Kyev: Nauk. dumka, 1981. – S. 138 – 145.
8. Sobkovyç R. Y. Dvustoronnyj metod yssledovanyq nekotor¥x kraev¥x zadaç s parametramy.
– Kyev, 1981. – 36 s. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 81.52).
9. Nesterenko L. Y. Ob odnom dvustoronnem metode reßenyq dvuxtoçeçnoj kraevoj zadaçy
dlq system¥ ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dokl. AN URSR. – 1980. –
#K11. – S.K18 – 21.
10. Volkman P. Gowohnliche Differentialgleichungen mit quasimonoton wachsenden Funktionen in
topologischen Vektorraumen // Math. Z. – 1972. – 127, # 2. – S. 157 – 164.
OderΩano 18.03.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3597 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:29Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/36/e59d6ee018edd84c3d5e856822cdd736.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35972020-03-18T19:59:22Z Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems Двостороння апроксимація розв'язків крайових задач Mentynskyi, S. M. Shuvar, B. A. Ментинський, С. М. Шувар, Б. А. We propose a general scheme for the two-sided approximation of solutions of boundary-value problems for ordinary differential equations. This scheme involves a number of known and new two-sided methods. In our investigation, we use constructions of the Samoilenko numerical-analytic method together with the procedure of the construction of two-sided methods proposed by Kurpel’ and Shuvar. Запропоновано загальну схему двосторонньої апроксимації розв'язків крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, яка охоплює низку відомих і нових двосторонніх методів. При дослідженні використано конструкції чисельно-аналітичного методу A. M. Самойленка у поєднанні з методикою побудови двосторонніх методів, запропонованою в роботах M. С. Курпеля та B. A. Шувара. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3597 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 2 (2005); 284–288 Український математичний журнал; Том 57 № 2 (2005); 284–288 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3597/3925 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3597/3926 Copyright (c) 2005 Mentynskyi S. M.; Shuvar B. A. |
| spellingShingle | Mentynskyi, S. M. Shuvar, B. A. Ментинський, С. М. Шувар, Б. А. Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title | Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title_alt | Двостороння апроксимація розв'язків крайових задач |
| title_full | Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title_fullStr | Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title_full_unstemmed | Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title_short | Two-Sided Approximation of Solutions of Boundary-Value Problems |
| title_sort | two-sided approximation of solutions of boundary-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3597 |
| work_keys_str_mv | AT mentynskyism twosidedapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblems AT shuvarba twosidedapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblems AT mentinsʹkijsm twosidedapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblems AT šuvarba twosidedapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblems AT mentynskyism dvostoronnâaproksimacíârozv039âzkívkrajovihzadač AT shuvarba dvostoronnâaproksimacíârozv039âzkívkrajovihzadač AT mentinsʹkijsm dvostoronnâaproksimacíârozv039âzkívkrajovihzadač AT šuvarba dvostoronnâaproksimacíârozv039âzkívkrajovihzadač |