On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere
We obtain exact estimates of the approximation in the metrics $C$ and $L_2$ of functions, that are defined on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the case where differential and difference properties of functions are defined in the space...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3598 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509715212009472 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Doronin, V. G. Ligun, A. A. Shumeiko, A. A. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Doronin, V. G. Ligun, A. A. Shumeiko, A. A. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | We obtain exact estimates of the approximation in the metrics $C$ and $L_2$ of functions, that are defined on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the case where differential and difference properties of functions are defined in the space $L_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
V. F. Babenko
(Dnepropetrov. nac. un-t, Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
V. H. Doronyn (Dnepropetrov. nac. un-t),
A. A. Lyhun
(DneprodzerΩyn. texn. un-t, Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
A. A. Íumejko (DneprodzerΩyn. texn. un-t)
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA
DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE
We obtain exact estimates of the approximation in the metrics C and L2 of functions, that are defined
on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the
case where differential and difference properties of functions are defined in the space L2 .
Otrymano toçni ocinky nablyΩennq v metrykax C i L2 funkcij, zadanyx na sferi, linijnymy
metodamy pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ za sferyçnymy harmonikamy u vypadku, koly dyferen-
cijovni i riznycevi vlastyvosti funkcij vyznaçagt\sq u prostori L2 .
1. Vvedenye. Pust\ Lp , p ∈ ∞[ )1, , y C — prostranstva 2π-peryodyçeskyx
funkcyj F : R → R s sootvetstvugwymy normamy. Esly X est\ Lp yly C,
to çerez Xr
, r ∈N , budem oboznaçat\ mnoΩestvo funkcyj f X∈ , ymegwyx
lokal\no absolgtno neprer¥vnug proyzvodnug f r( )−1
y takyx, çto f Xr( ) ∈ .
Modulem neprer¥vnosty porqdka m funkcyy f X∈ naz¥vagt funkcyg
ωm X
t h
t
m
X
f h f( , ) sup ( )= ⋅
<
∆ ,
hde
∆h
m
j
m
m jf
m
j
f jh( ) ( ) ( )⋅ = −
⋅ +
=
−∑
0
1 .
Vmesto ω1( , )f h X budem pysat\ ω( , )f h X .
Pust\ TN — mnoΩestvo vsex tryhonometryçeskyx polynomov porqdka ne v¥-
ße N. Çerez E fN X( ) oboznaçym nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f mnoΩes-
tvom TN v prostranstve X, t. e.
E f f TN X
T X
N
( ) inf= −
∈T
.
V teoryy pryblyΩenyj xoroßo yzvestn¥ vosxodqwye k DΩeksonu [1] y
S.:B.:Steçkynu [2] neravenstva dlq nayluçßyx pryblyΩenyj funkcyj f Xr∈
vyda
E f
J
N
f
NN X
r m
r m
r
X
( )
( )
,, ( )≤
+ +
1
1
1
ω (1.1)
s nezavysqwej ot f y N konstantoj Jr m, .
V 1962 h. N.:P.:Kornejçukom [3] b¥lo poluçeno pervoe toçnoe neravenstvo
typa DΩeksona, t.:e. neravenstvo (1.1) s naymen\ßej vozmoΩnoj konstantoj.
© V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 291
292 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Ym b¥lo dokazano, çto dlq lgboj funkcyy f C∈ y lgboho natural\noho N
ymegt mesto neravenstva
1 1
2 1
1
1−
+
≤
+
≤
∈
≠
( )
sup
( )
,N
E f
f
N
f C
f
N C
Cconst
ω π .
Ym Ωe pozdnee (sm. [4]) b¥lo dokazano, çto dlq lgboho k ∈N
k
N
E f
f
k N
f C
f
N C
C
+ −
+
≤
+
≤
∈
≠
1
2
1 1
2 1
1
1
( )
sup
( )
,
( )const
ω π .
Toçn¥e neravenstva typa (1.1) pry r ∈N y m = 1 b¥ly poluçen¥ V.:V.:Ûu-
kom [5] dlq r = 1 y A. A. Lyhunom [6, 7] dlq r > 1. Poluçenn¥e ocenky ymegt
vyd
E f
K
N
f
NN C
r
r
r
C
( )
( )
,( )≤
+ +
2 1 1
ω δ
,
hde K
k
r
r
r= −
+=
∞ +
+∑4 1
2 10
1
1π ν
ν( )
( )
( )
— konstant¥ Favara, δ ≥ π , esly r neçetnoe, y
δ ≥ 2π, esly r çetnoe. Dlq neçetn¥x r analohyçn¥e rezul\tat¥ poluçen¥ [6]
y v prostranstve L1.
V.:V.:Ûukom [8] (ocenka sverxu) y V.:V.:Íalaev¥m [9] (ocenka snyzu) b¥lo
dokazano neuluçßaemoe neravenstvo typa (1.1) pry r = 0 y m = 2.
Krome toho, yzvesten (sm., naprymer, kommentaryy k hl. 6 v [10]) rqd rezul\-
tatov o toçn¥x neravenstvax typa DΩeksona dlq pryblyΩenyq peryodyçeskyx
funkcyj lynejn¥my metodamy.
Perv¥e toçn¥e neravenstva typa DΩeksona dlq X = L2 b¥ly poluçen¥
N.:Y.:Çern¥x. V [11] on dokazal, çto pry vsex δ ≥ π y N = 1, 2, … v¥polnqetsq
toçnoe neravenstvo
E f f
NN
L
( ) ,2
1
2 1
2
≤
+
ω δ
. (1.2)
Poputno b¥lo poluçeno toçnoe neravenstvo
E f N f N t dtN
N
L( ) ( ) ( , ) sin( )
/( ) /
2
0
1
2
1 2
1
2
1 1
2
≤ + +
+
∫
π
ω δ , (1.3)
predstavlqgwee y samostoqtel\n¥j ynteres.
V rabote [12] poluçen analoh (1.2) dlq m-ho modulq hladkosty:
E f
m
m
f
NN m
L
( ) ,2
1
2 1
2
≤
+
ω δ
, δ ≥ 2π. (1.4)
V dal\nejßem rqd rabot b¥l posvqwen poluçenyg neuluçßaem¥x nera-
venstv typa (1.2) y (1.4) dlq men\ßyx znaçenyj δ. Tak, A. H. Babenko [13] b¥ly
toçno v¥çyslen¥ konstant¥ DΩeksona dlq δ = π
( )N m+ 1
pry m ≥
1 2 1
2
+ +( )N
.
L. V. Tajkov¥m [14] b¥ly najden¥ toçn¥e konstant¥ v neravenstve
E f f t dtN
h
r
L( ) ( , )( )
/
2
0
2
1 2
2
≤
∫X ω . (1.5)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 293
Vvydu neravenstv (1.3) y (1.5) poluçenye toçn¥x neravenstv vyda
E f f t t dtN
h
r( ) ( , ) ( )( )
/
2
0
2
1 2
≤
∫X ω θ (1.6)
s razlyçn¥my vesov¥my funkcyqmy θ pryobrelo samostoqtel\n¥j ynteres y
b¥lo prodolΩeno vo mnohyx rabotax (sm., naprymer, [15, 16]).
Otmetym ewe rabot¥ [17 – 22], takΩe posvqwenn¥e neravenstvam typa DΩek-
sona v prostranstve L2 , y rabotu N. Y. Çern¥x [23] o toçn¥x neravenstvax
typa DΩeksona v Lp , 1 ≤ p ≤ 2.
Yzvesten takΩe rqd toçn¥x rezul\tatov, otnosqwyxsq k neravenstvam typa
DΩeksona dlq funkcyj mnohyx peremenn¥x y qvlqgwyxsq mnohomern¥my ana-
lohamy opysann¥x v¥ße rezul\tatov dlq peryodyçeskyx funkcyj odnoho pere-
mennoho. V.:A.:Gdyn [24] naßel toçnug konstantu v neravenstve DΩeksona
dlq funkcyj yz L n
2 T( ), zadann¥x na tore T
n
, n ≥ 2. Dlq nayluçßyx ravno-
mern¥x pryblyΩenyj lynejn¥my metodamy funkcyj, zadann¥x na n-mernoj
sfere, toçnoe neravenstvo typa DΩeksona poluçeno V.:V.:Íalaev¥m [25].
V.:V.:Arestov y V.:G.:Popov [26] dlq n = 2, 3 y A.:H.:Babenko [27, 28] dlq n ≥ 4
poluçyly toçnoe neravenstvo typa DΩeksona dlq funkcyj yz L Sn
2( ). Otnosy-
tel\no druhyx toçn¥x rezul\tatov v πtom napravlenyy sm. [29 – 31].
Perejdem k yzloΩenyg osnovn¥x rezul\tatov dannoj rabot¥.
2. Opredelenyq, oboznaçenyq, postanovka zadaç. Pust\ R
n
— n-mernoe
prostranstvo toçek x = x xn1, ,…( ) so skalqrn¥m proyzvedenyem (x, y) =
=
k
n
k kx y=∑ 1
y normoj x : =
k
n
kx=∑( )1
2 1 2/
. Oboznaçym çerez Sn−1 = { u ∈R
n;
u = 1} edynyçnug sferu v R
n
s centrom v nule. Pust\ du — mera Xaara na
Sn−1
, ynvaryantnaq otnosytel\no hrupp¥ vrawenyj SO n( ) y normyrovannaq
tak, çtob¥
S
n
m m
m
n
d m
n m
m
n m−
∫ = = −
= −
−
=
−
−
1
1
12
2 3
2 1
2
1
2
u σ
π
π
( )!!
, ,
( )!
, ,
hde σn−1 — plowad\ poverxnosty sfer¥ Sn−1
.
Pust\ L Sn
2
1−( ) — prostranstvo vsex kompleksn¥x funkcyj f, yzmerym¥x
na Sn−1
, so skalqrn¥m proyzvedenyem
f g f g d
n Sn
, : ( ) ( )
/
=
− −
∫1
1
1 2
1σ
u u u
y normoj
f f f f d
n Sn
2
1 2
1
2
1 2
1
1
= =
− −
∫, ( )/
/
σ
u u .
Budem takΩe rassmatryvat\ prostranstvo L Sn
∞
−( )1
vsex funkcyj f, yzmery-
m¥x y suwestvenno ohranyçenn¥x na sfere Sn−1
, s normoj
f f Sn
∞
−= ∈{ }esssup ( ) :u u 1
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
294 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Funkcyg
u uα
ν
ν
αν:=
=
∏
1
n
, αν ∈ +Z ,
ν
να
=
∑ =
1
n
k ,
naz¥vagt alhebrayçeskym monomom porqdka k ot n peremenn¥x.
Lynejnaq kombynacyq monomov k-ho porqdka s kompleksn¥my koπffycy-
entamy naz¥vaetsq odnorodn¥m polynomom k-ho porqdka. Otmetym, çto dlq
lgboho odnorodnoho polynoma Pk ( )u k-ho porqdka v¥polnqetsq sootnoßenye
P Pk
k
k( ) ( )λ λu u= (2.1)
y toΩdestvo ∏jlera: esly ∇f ( )u — hradyent funkcyy f v toçke u, to
∇( ) =P kPk k( ), ( )u u u . (2.2)
Esly odnorodn¥j polynom k-ho porqdka Pk ( )u udovletvorqet uravnenyg Lap-
lasa
∆Hk ( )u = 0,
to on naz¥vaetsq n-mern¥m harmonyçeskym odnorodn¥m polynomom k-ho
porqdka.
MnoΩestvo suΩenyj na Sn−1
vsex harmonyçeskyx odnorodn¥x polynomov
Pk ( )u porqdka k (mnoΩestvo sferyçeskyx harmonyk porqdka k) obrazuet
prostranstvo Hk razmernosty
a
n k
k
n k
kk =
+ +
−
+ −
−
1 3
2
.
Çerez Hk j, ( )u , 1 ≤ j ≤ ak
, budem oboznaçat\ πlement¥ ortonormyrovannoho
bazysa v Hk . Lgbaq funkcyq f L Sn∈ ( )−
2
1
odnoznaçno predstavyma v vyde
summ¥ sxodqwehosq v L Sn
2
1−( ) rqda
f c H
k j
a
k j k j
k
( ) ( ), ,u u=
=
∞
=
∑ ∑
0 1
, (2.3)
hde
c c f f H dk j k j
S
k j
n
, , ,( ) ( ) ( )= =
−
∫
1
u u u
— koπffycyent¥ Fur\e funkcyy f ( )u . Podrobnee o sferyçeskyx harmony-
kax sm., naprymer, [32] (hl. 4).
V sluçae pryblyΩenyq funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, v L Sn
2
1−( ) sferyçes-
kymy harmonykamy estestvenn¥m apparatom pryblyΩenyq qvlqgtsq summ¥
Fur\e
S f c HN
k
N
j
a
k j k j
k
, ( ), ,u u( ) =
= =
∑ ∑
0 1
. (2.4)
Vmeste s tem, ymeq v vydu, v çastnosty, approksymacyg ne tol\ko v L Sn
2
1−( ),
no y v L Sn
∞
−( )1
, budem rassmatryvat\ takΩe lynejn¥e metod¥ pryblyΩenyq
vyda
S f c HN
M
k
N
k
j
a
k j k j
k
, ( ), ,u u( ) =
= =
∑ ∑
0 1
µ , (2.5)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 295
hde M = { }µk k =
∞
1 — nekotoraq posledovatel\nost\ kompleksn¥x çysel (nyΩe
çerez I oboznaçaetsq posledovatel\nost\ vyda {1, 1, … } ).
Dlq p = 2 yly p = ∞ poloΩym
E f f S fN
M
p N
M
p
( ) ( )= − .
Qsno, çto
E f E fN p N
I
p( ) ( )=
— nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f v L Sp
n−( )1
sferyçeskymy polynomamy
porqdka ne v¥ße N.
Dyfferencyal\n¥e svojstva funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, budem xarakte-
ryzovat\ sledugwym obrazom. Budem hovoryt\, çto f L Sr n∈ ( )−
2
1
dlq zadanno-
ho r ∈ +R , esly
k
N
j
a
k j
r
k
c k
= =
∑ ∑ < ∞
0 1
2 2
,
(zdes\ y nyΩe m¥ polahaem, çto k r2 : = 1, esly k = 0 y r = 0). Esly f ∈
∈ L Sr n
2
1−( ) , to v prostranstve L Sn
2
1−( ) rqd
k j
a
k j
r
k j
k
c k H
=
∞
=
∑ ∑
0 1
, , ( )u
sxodytsq. Summu πtoho rqda budem naz¥vat\ proyzvodnoj porqdka r ot funk-
cyy f y oboznaçat\ çerez f r( )
. Otmetym, çto esly r ∈N y v okrestnosty sfe-
r¥ funkcyq dostatoçno hladkaq, to vvydu toΩdestva ∏jlera (2.2) πtu proyz-
vodnug moΩno opredelyt\ sledugwym obrazom. Pust\ ∇f ( )u — hradyent
funkcyy f v toçke u. PoloΩym
f f( )( ) ( ),1 u u u= ∇( )
y dlq r = 2, 3, …
f fr r( ) ( ) ( )
( ) ( )u u= ( )−1 1
.
Raznostn¥e svojstva funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, budem xarakteryzovat\
sledugwym obrazom. Dlq λ ∈( , )0 1 poloΩym
f c H c H
k j
a
k j k j
k
k
j
a
k j k j
k k
( ; ) ( ) ( ), , , ,u u uλ λ λ= =
=
∞
= =
∞
=
∑ ∑ ∑ ∑
0 1 0 1
.
Dlq f L Sn∈ ( )−
2
1
opredelym raznost\ porqdka m s ßahom λ sootnoßenyem
∆λ λm
l
m
m l lf
m
l
f u( ) ( ) ( ; )u = −
=
−∑
0
1 .
V dannoj rabote nas budut ynteresovat\ pry p = 2 y p = ∞ ocenky velyçyn
E fN
M
p( ) v termynax velyçyn ∆λ
m rf ( )( )⋅
2
, toçnee, pry p = 2 neuluçßaem¥e
neravenstva vyda
E f J M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
2
2
1
2
2
≤ ⋅∫θ θ λ λλ∆
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
296 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
y
E f J M m r h fN
M
N h
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
2
2
2
2
≤ ⋅∆ ,
a pry p = ∞ neuluçßaem¥e neravenstva vyda
E f D M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
/
∞ ≤ ⋅
∫θ θ λ λλ
1
2
2
1 2
∆
y
E f D M m r h fN
M
N
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
∞ ≤ ⋅∆λ 2
.
3. Sluçaj p = 2. Dlq sokrawenyq zapysej poloΩym
J M m r h
k d
N k N
k
h
k m r
1
2
1 2 2
1
1
( , , , , ) max
( ) ( )
θ µ
λ θ λ λ
= −
−≤ ∫
,
(3.1)
J M m r h
k d
N
k N
h
k m r
2
1 2 2
1
1
( , , , , ) sup
( ) ( )
θ
λ θ λ λ
=
−> ∫
.
Qsno, çto dlq lgboj nenulevoj neotrycatel\noj na h, 1[ ] summyruemoj funk-
cyy θ( )t θ ∈ [ ]( )L h1 1,
J M m r h
N t dt
N
h
N m r
2
1 1 2 2
1
1 1
( , , , , )
( ) ( )
θ
λ θ
=
−( ) +∫ +
(3.2)
y
J M m r h J M m r h J M m r hN N N( , , , , ) max ( , , , , ), ( , , , , )θ θ θ= { }1 2
. (3.3)
Pust\ takΩe
˜ ( , , , ) max
( )
J M m r h
k h
N k N
k
r k m
1
2
2 2
1
1
= −
−≤
µ
,
˜ ( , , , )
( )
J M m r h
N h
N r N m
2
2 1 2
1
1 1
=
+ −( )+
y
˜ ( , , , ) max ˜ ( , , , ), ˜ ( , , , )J M m r h J M m r h J M m r hN N N= { }1 2
.
Teorema 1. Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty
M = { }µk , lgboho h ∈( , )0 1 y lgboj nenulevoj, neotrycatel\noj summyruemoj
funkcyy θ ∈ [ ]L h1 1, pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R v¥polnq-
etsq neravenstvo
E f J M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
2
2
1
2
2
≤ ⋅∫θ θ λ λλ∆ . (3.4)
Pry πtom
sup
( )
( ) ( )
( , , , , )
( )f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f d
J M m r h
∈ ( )
≠
− ∫ ⋅
=
2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λ
θ
λ∆
, (3.5)
t.)e. neravenstvo (3.4) neuluçßaemo.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 297
Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty M = { }µk ,
lgboho h ∈( , )0 1 pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R ymeet mesto
neravenstvo
E f J M m r h fN
M
N h
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
2
2
2
2
≤ ⋅∆ . (3.6)
Pry πtom
sup
( )
( )
˜ ( , , , , )
( )
f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f
J M m r h
∈ ( )
≠
− ⋅
=
2
1
2
2
2
2
const
∆
θ . (3.7)
Dokazatel\stvo. Otmetym, çto
∆λ
m rf ( )( )⋅
2
2
=
l
m
m l
k
r kl
j
a
k j k j
m
l
k c H
k
=
−
=
∞
=
∑ ∑ ∑−
⋅
0 0 1 2
2
1( ) ( ), ,λ =
=
k
r
l
m
m l kl
j
a
k j k jk
m
l
c H
k
=
∞
=
−
=
∑ ∑ ∑
−
⋅
0 0 1 2
2
1( ) ( ), ,λ =
=
k
r k m
j
a
k j k jk c H
k
=
∞
=
∑ ∑−( ) ⋅
0 1 2
2
1 λ , , ( ) =
k
r k m
j
a
k jk c
k
=
∞
=
∑ ∑−( )
0
2 2
1
2
2
1 λ , . (3.8)
Dlq proyzvol\noj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
ymeem
E fN
M ( )2
2 = f S fN
M− ( )
2
2
=
=
k
N
k
j
a
k j
k
c
= =
∑ ∑−
0
2
1
2
1 µ , +
k N j
a
k j
k
c
= +
∞
=
∑ ∑
1 1
2
, =
=
k
N
j
a
h k
k m r
k j
h
k m r
k k c d
k d= =
∑ ∑ ∫
∫
− −
−0 1
1 2 2 2 2
1 2 2
1 1
1
µ λ θ λ λ
λ θ λ λ
( ) ( )
( ) ( )
,
+
+
k N j
a
h
k m r
k j
h
k m r
k k c d
k d= +
∞
=
∑ ∑ ∫
∫
−
−1 1
1 2 2 2
1 2 2
1
1
( ) ( )
( ) ( )
,λ θ λ λ
λ θ λ λ
.
Uçyt¥vaq sootnoßenyq (3.1) – (3.3) y (3.8), poluçaem
E fN
M ( )2
2 ≤ J M m r h k c dN
k
N
j
a
h
k m r
k j
k
1
0 1
1
2 2 2
1( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
= =
∑ ∑ ∫ − +
+ J M m r h k c dN
k N j
a
h
k m r
k j
k
2
1 1
1
2 2 2
1( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
= +
∞
=
∑ ∑ ∫ − ≤
≤ J M m r h k c dN
k j
a
h
k m r
k j
k
( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
=
∞
=
∑ ∑ ∫ −
0 1
1
2 2 2
1 =
= J M m r h k c dN
h k
k m r
j
a
k j
k
( , , , , ) ( ) ( ) ,θ θ λ λ λ
1
0
2 2
1
2
1∫ ∑ ∑
=
∞
=
− =
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
298 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
= J M m r h f dN
h
m r( , , , , ) ( ) ( )( )θ θ λ λλ
1
2
2
∫ ⋅∆ .
Takym obrazom, neravenstvo (3.4) dokazano.
DokaΩem neuluçßaemost\ ocenky (3.4). PredpoloΩym snaçala, çto
J m r hN ( , , , )θ = max ( , , , ), ( , , , , )J m r h J M m r hN N
1 2θ θ{ } = J M m r hN
2 ( , , , , )θ .
V πtom sluçae poloΩym
f HN
*
,( ) ( )u u= +1 1 .
Pry πtom
E fN
M ( )*
2
2 1= ,
∆λ λm r N m rf N( )( ) ( )⋅ = −( ) ++
2
2 1 2 21 1 .
Poπtomu vvydu (3.2)
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥
E f
f d
N
M
h
m r
*
* ( )
( ) ( )
( )
( ) ⋅∫
2
2
1
2
2
θ λ λλ∆
=
= 1
1 1
1 1 2 2
h
N m rN t dt∫ −( ) ++λ θ( ) ( )
= J M m r hN
2 ( , , , , )θ .
Pust\ teper\
J m r hN ( , , , )θ = max ( , , , ), ( , , , , )J m r h J M m r hN N
1 2θ θ{ } = J M m r hN
1 ( , , , , )θ
y
J m r hN
1 ( , , , )θ = max
( )k N
k
h
k m rk d≤
−
−( )∫
1
1
2
1 2 2
µ
λ θ λ λ
=
1
1
0
0
2
1 2
0
2
−
−( )∫
µ
λ θ λ λ
k
h
k m rk d( )
.
PoloΩym
f Hk
*
,( ) ( )u u=
0 1 .
Budem ymet\
E fN
M
k( )*
2
2 2
1
0
= − µ
y
∆λ λm r k m rf k( )( )⋅ = −( )2
2 2
0
21 0
.
Poπtomu
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥
E f
f d
N
M
h
m r
*
* ( )
( ) ( )
( )
( ) ⋅∫
2
2
1
2
2
θ λ λλ∆
=
=
1
1
0
0
2
1 2
0
2
−
−( )∫
µ
λ θ
k
h
k m rk t dt( ) ( )
= J M m r hN
1 ( , , , , )θ .
Takym obrazom,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 299
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥ J M m r hN ( , , , , )θ
y sootnoßenye (3.5) dokazano.
Dlq dokazatel\stva sootnoßenyj (3.6) y (3.7) dostatoçno povtoryt\ s oçe-
vydn¥my yzmenenyqmy pryvedenn¥e v¥ße rassuΩdenyq. MoΩno takΩe v¥vesty
yx yz (3.4) y (3.5), polahaq dlq 0 < δ < h
θ λ δ
λ δ
δ λ
δ( )
, ,
, ,
=
≤ ≤ +
+ < ≤
1
0 1
h h
h
ustremlqq δ → 0 y uçyt¥vaq, çto dlq lgboj neprer¥vnoj na h, 1[ ] funkcyy g
lim ( ) ( ) ( )
δ δθ λ λ λ
→ ∫ =
0
1
h
g d g h .
Teorema dokazana.
Pry M = I poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye 1. V uslovyqx teorem¥ 1 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E f
f d
N d
N
h
m r
r
h
N m
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1
2
2
2 1 1 2
1 1
≤
⋅
+ −( )
∫
∫ +
θ λ λ
θ λ λ λ
λ∆
(3.9)
y
E f
f
N h
N
h
m r
r N m( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 1 2
1 1
≤
⋅
+ −( )+
∆
. (3.10)
Polahaq v neravenstvax (3.9) y (3.10) h = 2
1
1
−
+N
, poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye 2. V uslovyqx teorem¥ 1 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E fN
M ( )2
2 ≤ max max ,
( )
( )/ ( )
( )
k N
m
k
r
m
r
m r
k N
fN≤
−
+
⋅− +
2 1 2
1
2 2
2
2
2 2 2
2
1 1
µ ∆ . (3.11)
V çastnosty,
E fN ( )2
2 ≤ 2
1
2
2 2 2
2
1 1
m
r
m r
N
fN
( )
( )/ ( )
( )
+
⋅− +∆ . (3.12)
Zameçanye. Sopostavlqq neravenstva (3.11) y (3.12), vydym, çto esly ly-
nejn¥j metod pryblyΩenyq takov, çto
∀ ≤k N 1
1
− ≤
+
µk
r
k
N
,
to konstant¥ v πtyx neravenstvax sovpadagt.
4. Sluçaj p = ∞∞∞∞. PoloΩym
D M m r hN ( , , , , )θ =
=
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
y
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
300 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
˜ ( , , , )D M m r hN =
k
N
k k n
k m r k N
k n
k m r
a
h k
a
h k=
−
= +
∞ −∑ ∑
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2 2 1
1
2 2
1 2
1
1 1
µ σ σ
/
,
hde σn−1 — plowad\ poverxnosty sfer¥ Sn−1
.
Teorema 2. Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty
M = { }µk , lgboho h ∈( , )0 1 y lgboj nenulevoj, neotrycatel\noj funkcyy
θ ∈ ( )L h1 1, pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R v¥polnqetsq ne-
ravenstvo
E f D M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
/
∞ ≤ ⋅
∫θ θ λ λλ
1
2
2
1 2
∆ . (4.1)
Pry πtom
sup
( )
( ) ( )
( , , , , )
( )
/
f L S
f
N
M
h
m r
N
r n
E f
f d
D M m r h
∈ ( )
≠
∞
− ∫ ⋅( )
=
2
1 1
2
2 1 2
const
θ λ λ
θ
λ∆
, (4.2)
t.)e. neravenstvo (4.1) neuluçßaemo.
Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty M = { }µk ,
lgboho h ∈( , )0 1 pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R ymeet mesto
neravenstvo
E f D M m r h fN
M
N
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
∞ ≤ ⋅∆λ 2
. (4.3)
Pry πtom
sup
( )
( )
˜ ( , , , , )( )
f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f
D M m r h
∈ ( )
≠
∞
− ⋅
=
2
1
2
const
∆
θ . (4.4)
Dokazatel\stvo. Dlq f L Sr n∈ ( )−
2
1
, posledovatel\nosty M = { }µk y çys-
la N ymeem
f S fN
M( ) ( , )u u− =
k
N
k
j
a
k j k j
k N j
a
k j k j
k k
c H c H
= = = +
∞
=
∑ ∑ ∑ ∑− +
0 1 1 1
1( ) ( ) ( ), , , ,µ u u ≤
≤
k
N
k
j
a
k j k j
k
c H
= =
∑ ∑−
0 1
1 µ , , ( )u +
k N j
a
k j k j
k
c H
= +
∞
=
∑ ∑
1 1
, , ( )u =
=
k
N
j
a
k j
h
k m r k k j
h
k m r
k
c k d
H
k d= =
∑ ∑ ∫
∫
−
−
−( )0 1
1
2 2
1 2
1 2 2
1 21
1
1
,
/
,
/( ) ( )
( )
( ) ( )
λ θ λ λ
µ
λ θ λ λ
u
+
+
k N j
a
k j
h
k m r k j
h
k m r
k
c k d
H
k d= +
∞
=
∑ ∑ ∫
∫
−
−( )1 1
1
2 2
1 2
1 2 2
1 21
1
,
/
,
/( ) ( )
( )
( ) ( )
λ θ λ λ
λ θ λ λ
u
.
Prymenqq vnaçale neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, a zatem eho modyfy-
kacyg
a b c d a c b d+ ≤ + + , a, b, c, d ≥ 0,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 301
poluçaem
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
≤
k
N
j
a
k j
h
k m r
k
N k j
a
k j
h
k m r
k
k
c k d
H
k dt= = =
=∑ ∑ ∫ ∑
∑
∫
−
−
−( )
0 1
2
1
2 2
1 2
0
2
1
2
1 2 2
1 2
1
1
1
,
/
,
/
( ) ( )
( )
( )
λ θ λ λ
µ
λ θ λ
u
+
+
k N j
a
k j
h
k m r
k N
j
a
k j
h
k m r
k
k
c k d
H
k d= +
∞
= = +
∞ =∑ ∑ ∫ ∑
∑
∫
−
−( )
1 1
2
1
2 2
1 2
1
1
2
1 2 2
1 2
1
1
,
/
,
/
( ) ( )
( )
( )
λ θ λ λ
λ θ λ λ
u
≤
≤
k j
a
k j
h
k m r
k
c k d
=
∞
=
∑ ∑ ∫ −
0 1
2
1
2 2
1 2
1,
/
( ) ( )λ θ λ λ ×
×
k
N k j
a
k j
h
k m r k N
j
a
k j
h
k m r
k kH
k d
H
k d=
=
= +
∞ =∑
∑
∫
∑
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2
1 2 2 1
1
2
1 2 2
1 2
1
1 1
µ
λ θ λ λ λ θ λ λ
, ,
/
( )
( )
( )
( )
u u
.
Uçyt¥vaq, çto (sm., naprymer, [32])
j
a
k j k n
k
H a
=
−∑ =
1
2
1, ( )u σ ,
a takΩe sootnoßenye (3.8), poluçennoe neravenstvo moΩno zapysat\ v vyde
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ ×
×
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
.
Polahaq
D M m r hN ( , , , , )θ =
=
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
,
okonçatel\no poluçaem
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤ D M m r hN ( , , , , )θ
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ .
Otsgda sleduet neravenstvo (4.1).
Povtorqq s oçevydn¥my yzmenenyqmy pryvedenn¥e v¥kladky, netrudno
ustanovyt\ spravedlyvost\ sledugweho neravenstva:
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
≤ ∆h
m rf ( )( )⋅
2
k
N
k k n
k m r k N
k n
k m r
a
h k
a
h k=
−
= +
∞ −∑ ∑
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2 2 1
1
2 2
1 2
1
1 1
µ σ σ
/
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
302 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Otsgda sleduet neravenstvo (4.3). Vproçem, πto neravenstvo moΩno poluçyt\ y
v kaçestve sledstvyq yz neravenstva (4.1), v¥byraq takug Ωe, kak y pry dokaza-
tel\stve neravenstva (3.6), funkcyg θ λδ( ) y ustremlqq δ → 0.
DokaΩem neuluçßaemost\ neravenstva (4.1). Dlq πtoho zafyksyruem proyz-
vol\nug toçku u0
1∈ −Sn
y postroym funkcyg, kotoraq obrawaet neravenst-
vo:(4.1) v ravenstvo pry u = u0
. PoloΩym
fu u
0
( ) =
k
N
j
a
k k j k j
h
k m r
k H H
k d= =
∑ ∑
∫
−
−( )0 1
0
1 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( )
, ,µ
λ θ λ λ
u u
+
k N j
a
k j k j
h
k m r
k H H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫ −( )1 1
0
1 2 21
, ,( ) ( )
( )
u u
λ θ λ λ
.
Dlq πtoj funkcyy
f S fN
M
u uu u
0 00 0( ) ( , )− =
=
k
N k j
a
k j
h
k m r
k H
k d=
=∑
∑
∫
−
−( )0
2
1 0
2
1 2 2
1
1
µ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
+
k N
j
a
k j
h
k m r
k H
k d= +
∞ =∑
∑
∫ −( )1
1 0
2
1 2 21
, ( )
( )
u
λ θ λ λ
=
=
k
N
k k n
h
k m r
a
k d=
−∑
∫
−
−( )0
2
1
1 2 2
1
1
µ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )1
1
1 2 21
σ
λ θ λ λ( )
,
(4.5)
∆λ
m rfu u
0
( )( ) =
k
N
j
a
k
k m r
k j k j
h
k m r
k k H H
k d= =
∑ ∑
∫
− −( )
−( )0 1
0
1 2 2
1 1
1
( ) ( ) ( )
( )
, ,µ λ
λ θ λ λ
u u
+
+
k N j
a k m r
k j k j
h
k m r
k k H H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫
−( )
−( )1 1
0
1 2 2
1
1
λ
λ θ λ λ
, ,( ) ( )
( )
u u
,
∆λ
m rfu u
0 2
2( )( ) =
k
N
j
a
k
k m r
k j
h
k m r
k k H
k d= =
∑ ∑
∫
− −( )
−( )( )0 1
2 2 2
0
2
1 2 2
2
1 1
1
µ λ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
+
+
k N j
a k m r
k j
h
k m r
k k H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫
−( )
−( )( )1 1
2 2
0
2
1 2 2
2
1
1
λ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
=
=
k
N
k
k m r
k n
h
k m r
k a
k d=
−∑
∫
− −( )
−( )( )0
2 2 2
1
1 2 2
2
1 1
1
µ λ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k m r
k n
h
k m r
k a
k d= +
∞ −∑
∫
−( )
−( )( )1
2 2
1
1 2 2
2
1
1
λ σ
λ θ λ λ( )
(4.6)
y, nakonec,
h
m rf d
1
2
2
0∫ ⋅θ λ λλ( ) ( )( )∆ u =
=
k
N
k k n
h
k m r
a
k d=
−∑
∫
−
−( )0
2
1
1 2 2
1
1
µ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )1
1
1 2 21
σ
λ θ λ λ( )
. (4.7)
Uçyt¥vaq sootnoßenyq (4.5) – (4.7), vydym, çto
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 303
f S fN
M
u uu u
0 00 0( ) ( , )− =
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ ×
×
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
,
t.:e. neravenstvo (4.1) dejstvytel\no obrawaetsq v ravenstvo dlq funkcyy
fu u
0 0( ) .
Analohyçno, rassmatryvaq funkcyg
fu u
0
* ( ) =
k
N
j
a
k k j k j
k m r
k H H
h k= =
∑ ∑
−
−( )0 1
0
2 2
1
1
( ) ( ) ( ), ,µ u u
+
k N j
a
k j k j
k m r
k H H
h k= +
∞
=
∑ ∑
−( )1 1
0
2 21
, ,( ) ( )u u
,
netrudno ubedyt\sq v tom, çto dlq nee obrawaetsq v ravenstvo neravenst-
vo:(4.3).
Teorema dokazana.
Sledstvye 3. V uslovyqx teorem¥ 2 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E fN ( )∞ ≤
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )
1
1
1 2 2
1 2
1
σ
λ θ λ λ( )
/
(4.8)
y
E fN ( )∞ ≤ ∆λ
m rf ( )( )⋅
2
k N
k n
k m r
a
h k= +
∞ −∑
−( )
1
1
2 2
1 2
1
σ
/
. (4.9)
Sledstvye 4. Dlq lgboj posledovatel\nosty M ≠ I toçn¥e konstant¥
v neravenstvax (4.1) y (4.3) stroho bol\ße toçn¥x konstant v neravenstvax
(4.8) y (4.9) dlq ravnomern¥x pryblyΩenyj summamy Fur\e.
1. Jackson D. Über die Genauigkeit des Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale
Funktionen gegeben Grades und trigonometrischen Summen gegehener Ordnung: Diss. – Göttingen,
1911.
2. Steçkyn S. B. O porqdke nayluçßyx pryblyΩenyj neprer¥vn¥x funkcyj // Yzv.
AN:SSSR. Ser. mat. – 1951. – 15. – S. 219 – 242.
3. Kornejçuk N. P. Toçnaq konstanta v teoreme DΩeksona o nayluçßem ravnomernom pry-
blyΩenyy neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj // Dokl. AN SSSR. – 1962. – 145, # 3. –
S.:514:–:515.
4. Kornejçuk N. P. O toçnoj konstante v neravenstve DΩeksona dlq neprer¥vn¥x peryody-
çeskyx funkcyj // Mat. zametky. – 1982. – 32, # 6. – S. 669 – 674.
5. Ûuk V. V. Nekotor¥e toçn¥e neravenstva meΩdu ravnomern¥my pryblyΩenyqmy peryody-
çeskyx funkcyj // Dokl. AN SSSR. – 1967. – 201. – S. 263 – 266.
6. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva dlq verxnyx hranej polunorm na klassax peryodyçes-
kyx funkcyj // Mat. zametky. – 1973. – 13, # 5. – S. 647 – 654.
7. Lyhun A. A. O toçn¥x konstantax v neravenstvax typa DΩeksona // Tam Ωe. – 1985. – 39,
#:5. – S. 248 – 256.
8. Ûuk V. V. K voprosu pryblyΩenyq peryodyçeskyx funkcyj lynejn¥my metodamy summy-
rovanyq rqdov Fur\e // Syb. mat. Ωurn. – 1968. – 9, # 3. – S. 717 – 718.
9. Íalaev V. V. K voprosu o pryblyΩenyy neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj tryhono-
metryçeskymy polynomamy // Yssled. po sovr. probl. summyrovanyq y pryblyΩenyq funk-
cyj y yx pryl. – Dnepropetrovsk, 1977. – S. 39 – 43.
10. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 423 s.
11. Çern¥x N. Y. O neravenstve DΩeksona v L2 // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1967. – 88 . –
S.:71:– 74.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
304 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
12. Çern¥x N. Y. O nayluçßem pryblyΩenyy peryodyçeskyx funkcyj tryhonometryçeskymy
polynomamy v L2 // Mat. zametky. – 1967. – 2, # 5. – S. 513 – 522.
13. Babenko A. H. O toçnoj konstante v neravenstve typa DΩeksona v L2 // Tam Ωe. – 1986. –
39, # 5. – S. 651 – 664.
14. Tajkov L. V. Neravenstva, soderΩawye nayluçßye pryblyΩenyq y modul\ neprer¥vnosty
v L2 // Tam Ωe. – 1976. – 20, # 3. – S. 433 – 438.
15. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva meΩdu nayluçßymy pryblyΩenyqmy y modulqmy ne-
prer¥vnosty v prostranstve L2 // Tam Ωe. – 19, # 3. – S. 353 – 364.
16. Tajkov L. V. Nayluçßee pryblyΩenye dyfferencyruem¥x funkcyj v metryke prost-
ranstva L2 // Tam Ωe. – 1977. – 22, # 4. – S. 535 – 542.
17. Gdyn V. A. Dyofantov¥ pryblyΩenyq v πkstremal\n¥x zadaçax v L2 // Dokl. AN SSSR.
– 1980. – 251, # 1. – S. 54 – 57.
18. Lyhun A. A. Toçn¥e neravenstva typa DΩeksona dlq peryodyçeskyx funkcyj v prostran-
stve L2 // Mat. zametky. – 1988. – 43, # 6. – S. 757 – 768.
19. Ligun A. A. Jackson’s type inequalities // East J. Approxim. – 1996. – 2, # 2.
20. Lyhun A. A. Toçn¥e konstant¥ v neravenstvax typa DΩeksona // Specyal\n¥e vopros¥
teoryy pryblyΩenyj y optymal\noho upravlenyq raspredelenn¥my resursamy / A.:A.:Ly-
hun, V. E. Kapustqn, G. Y. Volkov (Ser. Novoe v nauke y texnyke). – Kyev: V¥wa ßk., 1990. –
S. 3 – 75.
21. Doronin V. G., Ligun A. A. On exact constants in Jackson’s type inequalities in the space L2 //
East J. Approxim. – 1995. – 1, # 2. – P. 189 – 197.
22. Volçkov V. V. O toçn¥x konstantax v neravenstvax typa DΩeksona v prostranstve L2 //
Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 1. – S. 108 – 110.
23. Çern¥x N. Y. Neravenstvo DΩeksona v L p ( , )0 2π 1 2≤ <( )p // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1992.
– 198. – S. 232 – 241.
24. Gdyn V. A. Mnohomernaq teorema DΩeksona v L2 // Mat. zametky. – 1981. – 29, # 2. –
S.:309 – 315.
25. Íalaev V. V. Toçn¥e ocenky pryblyΩenyq neprer¥vn¥x na sfere funkcyj lynejn¥my
operatoramy typa svertky // Ukr. mat. Ωurn. – 1991. – 43, # 4. – S. 565 – 567.
26. Arestov V. V., Popov V. G. Neravenstvo DΩeksona na sfere v L2 // Yzv. vuzov. Matematy-
ka. – 1995. – # 8. – S. 13 – 20.
27. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona v prostranstve L2 s vesom Qkoby // Mater.
meΩdunar. konf. y çeb¥ßev. çtenyj, posv. 175-letyg so dnq roΩdenyq P. L. Çeb¥ßeva. –
M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1996. – T. 1. – S. 40 – 43.
28. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona – Steçkyna v prostranstve L2
funkcyj na
mnohomernoj sfere // Mat. zametky. – 1996. – 60, # 3. – S. 333 – 355.
29. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona – Steçkyna v prostranstve L Rm2 ( ) // Tr. Yn-
ta matematyky y mexanyky UrO RAN. – 1998. – 5. – S. 183 – 198.
30. Popov V. G. Mnohomern¥e pryblyΩenyq v L Tm2 ( ) // Teoryq funkcyj y pryblyΩenyj:
Tr.:3-j Saratov. zymn. ßk. (27 qnv. – 7 fevr. 1986 h.). – Saratov: Saratov. un-t, 1998. – Ç. 3. –
S.:22:–:25.
31. Horbaçev D. V. Toçnoe neravenstvo DΩeksona v prostranstve L p na sfere // Mat. zametky.
– 1999. – 66, # 1. – S. 50 – 62.
32. Stejn Y., Vejs H. Vvedenye v harmonyçeskyj analyz na evklydov¥x prostranstvax. – M.:
Myr, 1974. – 333 s.
Poluçeno 24.05.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3598 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:30Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/2eb0ed9aa01d9c55ef0dd92b012a980c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35982020-03-18T19:59:42Z On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере Babenko, V. F. Doronin, V. G. Ligun, A. A. Shumeiko, A. A. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. We obtain exact estimates of the approximation in the metrics $C$ and $L_2$ of functions, that are defined on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the case where differential and difference properties of functions are defined in the space $L_2$. Отримано точні оцінки наближення в метриках $C$ i $L_2$ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі $L_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3598 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 291–304 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 291–304 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3598/3927 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3598/3928 Copyright (c) 2005 Babenko V. F.; Doronin V. G.; Ligun A. A.; Shumeiko A. A. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Doronin, V. G. Ligun, A. A. Shumeiko, A. A. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. Бабенко, В. Ф. Доронин, В. Г. Лигун, А. А. Шумейко, А. А. On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title | On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title_alt | О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_full | On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title_fullStr | On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title_full_unstemmed | On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title_short | On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere |
| title_sort | on jackson-type inequalities for functions defined on a sphere |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3598 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT doroninvg onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT ligunaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT shumeikoaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT babenkovf onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT doroninvg onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT ligunaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT šumejkoaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT babenkovf onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT doroninvg onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT ligunaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT šumejkoaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT babenkovf oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT doroninvg oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT ligunaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT shumeikoaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT babenkovf oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT doroninvg oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT ligunaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT šumejkoaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT babenkovf oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT doroninvg oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT ligunaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere AT šumejkoaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkcijzadannyhnasfere |