Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$
In the criterion for polynomial denseness in the space $C_w^0$ established by de Brange in 1959, we replace the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a polynomial sequence. We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3599 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509719045603328 |
|---|---|
| author | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. |
| author_facet | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. |
| author_sort | Bakan, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | In the criterion for polynomial denseness in the space $C_w^0$ established by de Brange in 1959, we replace the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a polynomial sequence.
We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets and establish sufficient conditions for a polynomial family to possess this property. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. H. Bakan (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA
PLOTNOSTY ALHEBRAYÇESKYX MNOHOÇLENOV
V PROSTRANSTVE Cw
0
In the criterion for polynomial denseness in the space Cw
0 established by de Brange in 1959, we replace
the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a
polynomial sequence. We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets and establish
sufficient conditions for a polynomial family to possess this property.
U vstanovlenomu Lu] de BranΩem u 1959 r. kryteri] polinomial\no] wil\nosti u prostori Cw
0
vymohu isnuvannq cilo] funkci] zamineno ekvivalentnog vymohog isnuvannq poslidovnosti mno-
hoçleniv. Uvedeno ponqttq stroho] kompaktnosti polinomial\nyx mnoΩyn ta vstanovleno
dostatni umovy isnuvannq ci[] vlastyvosti.
1. Predvarytel\n¥e svedenyq y osnovnoj rezul\tat. Pust\ C ( R ) obozna-
çaet lynejnoe prostranstvo vsex dejstvytel\noznaçn¥x y neprer¥vn¥x na R
funkcyj, Pn ( R ) — mnoΩestvo vsex alhebrayçeskyx mnohoçlenov s dejstvy-
tel\n¥my koπffycyentamy stepeny ne v¥ße n, hde n ∈ Z+ : = { 0, 1, 2, … } , y
P ( R ) : =
Pnn
( )R≥0∪ . Nosytelem proyzvol\noj funkcyy F : R R→ budem
naz¥vat\ mnoΩestvo SF : = { }( )x F x∈ ≠R 0 , a mnoΩestvo vsex nulej nekoto-
roj celoj funkcyy B budem oboznaçat\ ΛB . Napomnym, çto funkcyq MF ( x ) : =
: = limδ↓0 sup ( , )y x x∈ − +δ δ F ( y ) naz¥vaetsq verxnej funkcyej Bπra dlq funkcyy
F (sm. [1, c. 185; 2, c. 122]). Nakonec, pust\ N : = { 1, 2, … } , Z : = { … , – 2, – 1,
0, 1, 2, … } y χA ( x ) — yndykatornaq funkcyq mnoΩestva A ⊆ R, ravnaq71, es-
ly x ∈ A, y 0 — v protyvnom sluçae.
Dlq proyzvol\noj funkcyy w : [ , ]R → 0 1 rassmotrym polunormyrovannoe
prostranstvo
Cw
0 : = f C w x f x
x w∈ =
⋅
→∞
( ) lim ( ) ( ) ,R 0 ,
hde f w : = sup ( ) ( )x w x f x∈R .
V 1958 h. S. N. Merhelqn [3, c. 121] zametyl, çto vesov¥e svojstva proyzvol\-
noj funkcyy w : [ , ]R → 0 1 ne yzmenqtsq, esly ee zamenyt\ na verxngg funk-
cyg Bπra M xw( ) . Druhymy slovamy [4, c. 611], polunormyrovann¥e prostranst-
va Cw
0
y CMw
0
toΩdestvenno sovpadagt. Sledovatel\no, bez ohranyçenyq obw-
nosty moΩno rassmatryvat\ tol\ko poluneprer¥vn¥e sverxu (pn.7sv.) vesov¥e
funkcyy w, t. e. te, dlq kotor¥x ymeet mesto sootnoßenye w ( x ) = M xw( )
∀ x ∈ R.
V 1924 h. S. N. Bernßtejn [5] sformulyroval problemu o naxoΩdenyy
uslovyj na ves w, pry kotor¥x alhebrayçeskye mnohoçlen¥ plotn¥ v prost-
ranstve Cw
0 . S toho vremeny πta problema y ee razlyçn¥e obobwenyq yssledo-
valys\ vo mnohyx rabotax, hde b¥la v¥qvlena ee vaΩnost\ y ustanovlena ee tes-
naq svqz\ s rqdom hlubokyx voprosov obwej teoryy funkcyj (sm. [3, 6 – 9]).
Oboznaçym çerez W ∗( )R mnoΩestvo pn. sv. funkcyj w : [ , )R → + ∞0 ,
udovletvorqgwyx uslovyg xn
w
< ∞ dlq vsex n ∈ Z+
. Yz yzloΩennoho v¥-
© A. H. BAKAN, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 305
306 A. H. BAKAN
ße qsno, çto v probleme S. N. Bernßtejna bez ohranyçenyq obwnosty moΩno
predpolahat\, çto vesovaq funkcyq w prynadleΩyt klassu W
∗( )R . V na-
stoqwee vremq yzvestno neskol\ko reßenyj πtoj problem¥: N. Y. Axyezera y
S. N. Bernßtejna (1947 h.) [10], S. N. Merhelqna (1958 h.) [3] y Luy de BranΩa
(1959 h.) [11]. V 1996 h. teorema Luy de BranΩa [11] b¥la uluçßena
M.7Sodyn¥m y P. Gdytskym [12] y formulyruetsq teper\ tak.
Teorema.A. Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0
qvlqetsq neohranyçenn¥m. Alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw
0
tohda y tol\ko tohda, kohda suwestvuet takaq celaq funkcyq B ne v¥ße per-
voho porqdka y nulevoho typa, çto vse ee nuly ΛB prost¥e y vewestvenn¥e,
ΛB ⊆ Sw y
λ λ λ∈
∑ ′ΛB
w B
1
( ) ( )
< ∞ . (1)
Cel\g nastoqwej stat\y qvlqetsq poluçenye πkvyvalentnoho (1) uslovyq,
kotoroe b¥ vmesto celoj funkcyy B soderΩalo mnohoçlen¥. Dlq πtoho samo
uslovye (1) neobxodymo vnaçale nemnoho modyfycyrovat\.
Napomnym (sm. [13, c. 113]), çto celaq funkcyq ne v¥ße pervoho porqdka y
normal\noho typa naz¥vaetsq celoj funkcyej koneçnoj stepeny, a celaq funk-
cyq porqdka men\ßeho edynyc¥ yly pervoho porqdka, no mynymal\noho typa —
celoj funkcyej nulevoj stepeny. V 1944 h. H. Hamburher [14] vvel klass H ce-
l¥x funkcyj f, kotor¥e ymegt tol\ko prost¥e y dejstvytel\n¥e nuly y udov-
letvorqgt sledugwym dvum uslovyqm: a) çysla ′f ( )λ , λ ∈Λ f , stremqtsq k
beskoneçnosty pry λ → ∞ b¥stree, çem lgbaq stepennaq funkcyq ot λ ;
b) pry kaΩdom z f∈C \ Λ ymeet mesto absolgtno sxodqweesq razloΩenye
1
f z( )
=
λ λ λ∈
∑ ′ −Λ f f z
1
( )( )
.
Esly celaq funkcyq B udovletvorqet uslovyqm teorem¥7A, to, prymenqq
teoremu Frahmen – Lyndelefa (sm. [15, c. 208, 12, c. 221, (3)]), ubeΩdaemsq, çto
B prynadleΩyt H. Esly Ωe celaq funkcyq B prynadleΩyt H y dlq neko-
toroho w ∈ ∗W ( )R udovletvorqet uslovyg (1), to sohlasno teoreme M.7H. Krej-
na (sm. [13, c. 333]) B — celaq funkcyq koneçnoj stepeny, a sohlasno lemme71 v
[15, c. 202] ymegt mesto ravenstva
λ
λ
λ∈
∑ ′ΛB
n
B ( )
= 0 ∀ n ∈ Z+
.
Poπtomu zarqd µ (sm. opredelenye 16.1 v [1, c. 51])
d µ ( x ) : =
λ
λδ
λ∈
∑ ′ΛB
x
B
( )
( )
, x ∈ R
,
hde δλ oboznaçaet obobwennug funkcyg Dyraka v toçke λ, opredelqet na
prostranstve Cw
0
lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal f x d x( ) ( )µ
R
∫ , f Cw∈ 0 , s
normoj (sm. [4, c. 612])
w x d x( ) ( )−∫ 1
R
µ =
λ λ λ∈
∑ ′ΛB
w B
1
( ) ( )
< ∞ ,
y πtot funkcyonal raven nulg na vsex stepenn¥x funkcyqx xn, n ∈ Z+
.
Poπtomu v πtom sluçae alhebrayçeskye polynom¥ ne plotn¥ v Cw
0 . Takym obra-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 307
zom, dostatoçnoe uslovye v teoreme7A moΩno oslabyt\, trebuq suwestvovanye
takoj funkcyy B ∈ H, çto ΛB wS⊆ y v¥polnqetsq neravenstvo (1).
PredpoloΩym teper\, çto v¥polnqgtsq dostatoçn¥e uslovyq teorem¥7A.
Esly 0 ∈Sw , to moΩno sçytat\, çto 0 ∈ΛB , tak kak v sluçae 0 ∉ΛB neraven-
stvu (1) budet udovletvorqt\ takΩe y funkcyq z B ( z )
. V¥delyv mnoΩytel\ z
yz funkcyy B ( z )
, neravenstvo (1) posle pereoboznaçenyj zamenym πkvyvalent-
n¥m
λ λ λ λ∈
∑ ′ΛB
w B
1
( ) ( )
< ∞ ,
hde moΩno sçytat\ B ( 0 ) = 1. Esly Ωe 0 ∉Sw , to nul\ ne moΩet b¥t\ nulem
funkcyy B, y poπtomu uslovye B ( 0 ) = 1 moΩno predpolahat\ v¥polnenn¥m
neposredstvenno v neravenstve (1).
Takym obrazom, vvodq çyslo σ χ: ( ) { , }= ∈Sw
0 0 1 , m¥ moΩem v teoreme7A do-
bavyt\ uslovye B ( 0 ) = 1, a osnovnoe neravenstvo (1) perepysat\ sledugwym
obrazom:
λ
σλ λ λ∈
∑ ′ΛB w B
1
( ) ( )
< ∞ . (2)
Y, nakonec, tak kak celaq funkcyq B v neravenstve (2) ymeet koneçnug ste-
pen\, to pokazatel\ sxodymosty ee nulej ne bol\ße edynyc¥ y, znaçyt,
λ λ∈
∑
ΛB
1
2 < + ∞ .
Poπtomu πto neravenstvo moΩet b¥t\ prybavleno k (2) s soxranenyem utverΩde-
nyq teorem¥7A. V rezul\tate m¥ pryxodym k sledugwej modyfycyrovannoj
formulyrovke teorem¥7A.
Teorema.A*
. Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0
qvlqetsq neohranyçenn¥m. Oboznaçym σ χ: ( ) { , }= ∈Sw
0 0 1 .
1. Esly alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw
0 , to suwestvuet
celaq funkcyq B nulevoj stepeny, kotoraq ravna edynyce v nule: B( )0 1= ,
ymeet vse prost¥e y vewestvenn¥e korny ΛB ⊆ Sw y udovletvorqet neraven-
stvu
λ λ∈
∑
ΛB
1
2 +
λ
σλ λ λ∈
∑ ′ΛB w B
1
( ) ( )
< ∞ . (3)
2. Esly suwestvuet celaq funkcyq B ∈H , dlq kotoroj B( )0 1= , Λ B ⊆
⊆ Sw
, y ymeet mesto neravenstvo (3), to alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne
plotn¥ v Cw
0 .
Pust\ P
∗( )R oboznaçaet mnoΩestvo mnohoçlenov P ∈P( )R , vse nuly koto-
r¥x prost¥e y vewestvenn¥e y dlq kotor¥x P( )0 1= . Zametym, çto dlq lgboho
P ∈ ∗P ( )R :
′ − ′′P P( ) ( )0 02 =
λ λ∈
∑
ΛP
1
2 .
Osnovn¥m rezul\tatom rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema.
Teorema.1. Pust\ dlq w ∈ ∗W ( )R mnoΩestvo Sw : = { }( )x w x∈ >R 0
qvlqetsq neohranyçenn¥m. Oboznaçym σ χ: ( ) { , }= ∈Sw
0 0 1 .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
308 A. H. BAKAN
Alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw
0
tohda y tol\ko tohda,
kohda
lim inf ( ) ( )
( ) ( )( ) , degn P P n
SP w
P
P P
w P→∞ = =
⊂
∈
′ − ′′ +
′
∑
0 1
20 0
1
Λ
Λλ
σλ λ λ
< ∞ . (4)
V p.72 dokazano, çto celaq funkcyq B, udovletvorqgwaq neravenstvu (3),
ymeet posledovatel\nost\ polynomyal\n¥x delytelej, na kotor¥x realyzuetsq
nyΩnyj predel v neravenstve (4). Obratno, esly neravenstvo (4) v¥polnqetsq,
to v pp.73.3 pokazano, çto yz lgboj posledovatel\nosty mnohoçlenov, dlq koto-
r¥x v¥raΩenye v kvadratn¥x skobkax levoj çasty neravenstva (4) ravnomerno
ohranyçeno y stepeny kotor¥x stremqtsq k beskoneçnosty, moΩno yzvleç\ pod-
posledovatel\nost\, kotoraq na kaΩdom kompaktnom podmnoΩestve C budet
ravnomerno sxodyt\sq k celoj funkcyy B ∈H , udovletvorqgwej neravenstvu
(3) y B( )0 1= , ΛB ⊆ Sw
. Takym obrazom, uslovye (4) predstavlqet soboj ynug,
polynomyal\nug formu uslovyq de BranΩa (3). Razlyçye meΩdu πtymy dvumq
uslovyqmy sostoyt v tom, çto trebovanye suwestvovanyq celoj funkcyy, udov-
letvorqgwej neravenstvu (3), zamenqetsq uslovyem koneçnosty nyΩneho prede-
la pry n → ∞ znaçenyj koneçnomern¥x πkstremal\n¥x zadaç vyda
inf
( ) /−∞< < <…< < +∞ = =
−
=
≠
∑ ∑ ∏
+
−
x x x
kk
n
k
n
k k m
m k
n
k mn x w x x x x1 2
1 1
1
2
1 1
1
1
σ , n ≥ 1, (5)
hde predpolahaetsq 1 0/ := + ∞ . Poπtomu vvydu uΩe ukazannoho rezul\tata
pp.73.3 uslovye (4) moΩet rassmatryvat\sq kak odyn yz konstruktyvn¥x putej
naxoΩdenyq celoj funkcyy B v teoreme7A*
.
Dlq system¥ uzlov¥x toçek x : x x xn1 2< <…< oboznaçym çerez l xk ( ), x ∈
∈ R
, 1 ≤ k ≤ n, fundamental\n¥e mnohoçlen¥ LahranΩa
l xk ( ) : =
ω
ω
n
n k k
x
x x x
( )
( )( )′ −
, ωn x( ) : =
k
n
kx x
=
∏ −
1
( ).
Napomnym, çto tohda funkcyq
λx x( ) : = l xk
k
n
( )
=
∑
1
naz¥vaetsq funkcyej Lebeha, sootvetstvugwej systeme uzlov x (sm. [2,
c. 512]). Netrudno ubedyt\sq, çto pry kaΩdom natural\nom n ≥ 2 πkstremal\-
nug zadaçu (5) moΩno predstavyt\ v sledugwem vyde:
inf
( )
( )
x
kk
n
k
n
k k
k
x w x x
l
1 1
02
1 1= =
∑ ∑+
σ . (6)
Esly uzl¥ x raspoloΩen¥ na koneçnom yntervale [ , ]a b , to zadaça yzuçenyq
sootvetstvugwej x konstant¥ Lebeha
λn x a b, [ , ]( ) : = max ( )
[ , ]x a b k
n
kl x
∈ =
∑
1
tak Ωe, kak y zadaça opredelenyq optymal\noj system¥ uzlov x∗
na [ , ]a b :
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 309
λn x a b∗( ), [ , ] = inf max ( )
[ , ]x x a b k
n
kl x
∈ =
∑
1
,
davno yzvestna y b¥la predmetom yzuçenyq v rabotax H. Fabera, S. N. Bern-
ßtejna, P. ∏rdeßa, H. ∏xlyça, K. Cellera, T. Ryvlyna, E. Çejny, K. de Bura,
A.7Pynkusa, T. Kylhora, V. K. Dzqd¥ka, V. V. Yvanova y V. K. Zadyraky (sm. [16]).
Po sravnenyg s πtymy zadaçamy, hde uΩe razrabotan¥ dostatoçno πffektyvn¥e
metod¥ yssledovanyq, v πkstremal\noj zadaçe (6) vmesto maksymuma funkcyy
Lebeha fyhuryruet znaçenye v nule „vzveßennoj” funkcyy Lebeha, a koneçn¥j
ynterval zamenen na vsg prqmug za sçet dobavlenyq kvadrata l2-norm¥ ve-
lyçyn, obratn¥x znaçenyqm uzlov. Takaq zadaça, po-vydymomu, qvlqetsq novoj,
y poluçenye ee reßenyq xotq b¥ dlq odnoho vesa w ∈ ∗W ( )R predstavlqet so-
boj otkr¥tug problemu.
2. Dokazatel\stvo neobxodymosty utverΩdenyq teorem¥.1. Pust\ alheb-
rayçeskye mnohoçlen¥ P( )R ne plotn¥ v Cw
0 . Tohda prymenyma teorema7A*
,
sohlasno kotoroj suwestvuet celaq funkcyq B nulevoj stepeny, udovletvo-
rqgwaq vsem uslovyqm p.71 teorem¥7A*
.
2.1. PredpoloΩym, çto mnoΩestvo nulej ΛB funkcyy B ohranyçeno lybo
snyzu, lybo sverxu. Zamena v (3) w ( x ) na w ( – x ) y B ( z ) na B ( – z ) pozvolqet
sçytat\ bez ohranyçenyq obwnosty, çto mnoΩestvo ΛB ohranyçeno snyzu.
Pust\ { }λn n N≥ − , N ∈ Z+
, — vse πlement¥ ΛB , zanumerovann¥e v porqdke voz-
rastanyq, pryçem λ0 0> . Poskol\ku B qvlqetsq celoj funkcyej nulevoj
stepeny, sohlasno teoremam Adamara [13, c. 38] y Lyndelefa [13, c. 42]
λnn N≥ −
−∑ < ∞1
y mnohoçlen¥
P zn( ) : =
k N
n
k
z
= −
∏ −
1
λ
, n ∈ Z+
,
sxodqtsq k B ( z ) ravnomerno na kaΩdom kompakte v C.
Najdem çyslo N∗ +∈Z tak, çtob¥ λ λ− ≥
−∑ <N kk m
1
1 dlq proyzvol\no-
ho m N≥ ∗, esly N ≥ 1, y poloΩym N∗ = 0 , esly N = 0 . Zafyksyruem proyz-
vol\noe n N≥ ∗ y pust\ x n∈ +[ , )λ λ0 1 . Poskol\ku
B ( x ) = P x
x
n
k n k
( )
≥ +
∏ −
1
1
λ
y 0 < x / λk < 1 dlq vsex k ≥ n + 1, to
B x( ) ≤ P xn( ) ∀ ∈ +x n[ , )λ λ0 1 .
Teper\ dlq proyzvol\noho çysla 0 ≤ m ≤ n voz\mem nekotor¥j x ∈
∈ [ , ) { }\λ λ λ0 1n m+ y razdelym poslednee neravenstvo na poloΩytel\noe çyslo
x m− λ :
B x
x m
( )
− λ
≤
P x
x
n
m
( )
− λ
∀ ∈ +x n m[ , ) { }\λ λ λ0 1 , 0 ≤ m ≤ n .
Perexodq k predelu pry x m→ λ , x m≠ λ , poluçaem
′B m( )λ ≤ ′Pn m( )λ , 0 ≤ m ≤ n . (7)
Esly N ≥ 1, to pry 1 ≤ m ≤ N y x m∈ −( , )λ 0
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
310 A. H. BAKAN
B x( ) = P x
x
n
k n k
( )
≥ +
∏ +
1
1
λ
≤ P x en
N kk n( )
( )λ λ−
−
≥ +∑ 1
1 ≤ e P xn( ) ,
otkuda posle delenyq na poloΩytel\noe çyslo x m− −λ y perexoda k predelu
pry x m→ −λ ymeem
′ −B m( )λ ≤ e Pn m′ −( )λ , 1 ≤ m < N . (8)
Neravenstva (7) y (8) dagt vozmoΩnost\ sdelat\ v¥vod o tom, çto dlq kaΩdoho
n N≥ ∗
′ − ′′ +
′∈
∑P P
w P
n n
nP
( ) ( )
( ) ( )
0 0
12
λ
σλ λ λΛ
≤
λ λ
σλ λ λ λ∈ ∈
∑ ∑+
′Λ ΛB B
e e
w B2 ( ) ( )
< ∞
,
y, znaçyt, neravenstvo (4) v¥polnqetsq.
2.2. Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda mnoΩestvo ΛB neohranyçeno y sver-
xu y snyzu. Pust\ Λ B : = { } { }λ λk k l l≥ − ≥−0 1∪ , hde 0 1< < +λ λk k ,
0 1 2< <− − − −λ λk k ∀ ∈ +k Z .
Poskol\ku B ( z ) qvlqetsq celoj funkcyej koneçnoj stepeny, sohlasno teo-
reme Adamara [13, c. 38] λλ
−
∈∑ < ∞2
ΛB
y dlq z ∈ C, R , a ∈ R, R ≥
≥ max{ , }λ λ0 1−
B ( z ) = e
z
ea z z
Bλ
λ
λ∈
∏ −
Λ
1 / = e Q z B z
a z
R R
B R R+∑( )−
∈ − λλ
1
Λ ∩[ , ] ( ) ( ), (9)
hde
Q zR( ) : =
λ λ∈ −
∏ −
ΛB R R
z
∩[ , ]
1 , B zR( ) : =
λ
λ
λ∈ −
∏ −
ΛB R R
zz
e
\ [ , ]
/1 ,
y funkcyq B zR( ) sxodytsq pry R → + ∞ k 1 ravnomerno na lgbom kompakte
C. Pry πtom esly porqdok funkcyy B ( z ) men\ße edynyc¥, sohlasno teoreme
Adamara [13, c. 38] λλ
−
∈∑ < ∞1
ΛB
y
a +
λ λ∈
∑
ΛB
1
= 0.
Esly Ωe porqdok funkcyy B ( z ) raven edynyce, to sohlasno teoreme Lyndele-
fa [13, c. 42]
a
R R RB
+
→ +∞ ∈ −
∑lim
[ , ]λ λΛ ∩
1
= 0.
V oboyx sluçaqx verno poslednee ravenstvo y, znaçyt, suwestvuet takaq vozras-
tagwaq k beskoneçnosty posledovatel\nost\ poloΩytel\n¥x çysel { }Rp p∈N,
çto
a
p R RB p p
+
→∞ ∈ −
∑lim
[ , ]λ λΛ ∩
1
= 0. (10)
Vvydu (9) πto oznaçaet, çto posledovatel\nost\ mnohoçlenov { }QR pp ∈N pry
p → ∞ sxodytsq k B ( z ) ravnomerno na lgbom kompaktnom podmnoΩestve C.
Dlq proyzvol\noho natural\noho p vvedem sledugwye oboznaçenyq:
n p+( ) : = max k Rk p≥ ≤{ }0 λ , n p−( ) : = max l Rl p≥ ≤{ }−1 λ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 311
Lehko vydet\, çto
ΛB p pR R∩ [ , ]− = { } { }( ) ( )λ λk k n p l l n p0 1≤ ≤ − ≤ ≤+ −
−∪ , (11)
lim ( )
p
n p
→∞ + = lim ( )
p
n p
→∞ − = ∞
,
y mnohoçlen Q zRp
( ) moΩno zapysat\ v vyde
Q zRp
( ) : =
k
n p
k l
n p
l
z z
= = −
+ −
∏ ∏−
+
0 1
1 1
( ) ( )
λ λ
, p ≥ 1.
Poπtomu dlq proyzvol\n¥x n ∈ Z+
, m ∈ N y dostatoçno bol\ßyx p ≥ 1 budem
ymet\
Q zRp
( ) : =
k
n
k l
m
l k n
n p
k l m
n p
l
z z z z
= = − = + = + −
∏ ∏ ∏ ∏−
+
−
+
+ −
0 1 1 1
1 1 1 1
λ λ λ λ
( ) ( )
,
otkuda s pomow\g predel\noho perexoda pry p → ∞ dlq proyzvol\noho z ∈ C
poluçym
B ( z ) =
k
n
k l
m
l
n m
z z
z
= = −
∏ ∏−
+
0 1
1 1
λ λ
R , ( ), (12)
hde
R n m z, ( ) : = lim
( ) ( )
p k n
n p
k l m
n p
l
z z
→∞ = + = + −
+ −
∏ ∏−
+
1 1
1 1
λ λ
.
Yspol\zovav yzvestnoe neravenstvo log( )1+ x ≤ x ∀ x > – 1, lehko polu-
çyt\
0 < R n m x, ( ) ≤ e xS n m− ( , ) ∀ x ∈ ( ),− − − +λ λm n1 1 , n ∈ Z0
, m ∈ N
, (13)
hde v sylu (10)
S ( n, m ) : = lim
( ) ( )
p k n
n p
k l m
n p
l→∞ = + = + −
+ −
∏ ∏−
1 1
1 1
λ λ
=
l
m
l k
n
k
a
= − =
∑ ∑− −
1 0
1 1
λ λ
. (14)
Poπtomu
B x( ) ≤
�n m
xS n mx e,
( , )( ) − ∀ x ∈ ( ),− − − +λ λm n1 1 , n ∈ Z0
, m ∈ N
, (15)
hde
�n m z, ( ) : =
k
n
k l
m
l
z z
= = −
∏ ∏−
+
0 1
1 1
λ λ
.
Razdelyv (15) na poloΩytel\noe çyslo x − λ pry nekotor¥x λ ∈
∈ ΛB m n∩ ( , )− − − +λ λ1 1 y x ∈ ( , ) { }\− − − +λ λ λm n1 1 y perejdq zatem k predelu pry
x → λ
, budem ymet\
′B ( )λ ≤
′ −�n m
S n me,
( , )( )λ λ
(16)
∀ λ ∈ ΛB m n∩ [ , ]− −λ λ =
Λ� n m,
, n ∈ Z0
, m ∈ N
.
2.2.1. Teper\ po proyzvol\nomu natural\nomu çyslu p opredelym paru çy-
sel np ∈ +Z y mp ∈N sledugwym obrazom. Vvedem oboznaçenyq
S rp
+( ) : = S n p r n p+ −+( )( ) , ( ) ; S rp
−( ) : = S n p n p r+ − +( )( ), ( ) , p ∈ N , r ∈ +Z ,
y dlq proyzvol\noho p ∈ N rassmotrym try vozmoΩn¥x sluçaq.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
312 A. H. BAKAN
2.2.1a. Pust\ Sp
+( )0 = 0. PoloΩym np : = n p+( ) , m p : = n p−( ). Tohda yz
neravenstva (16) ymeem
′B ( )λ ≤
′� n mp p, ( )λ ∀ λ ∈
ΛB m np p
∩ [ , ]− −λ λ =
Λ� n mp p,
. (17)
2.2.1b. PredpoloΩym, çto Sp
+( )0 > 0. Poskol\ku v sylu (14)
S rp
+( ) =
1 1
1 0λ λ−= =
+− +
∑ ∑− −
ll
n p
kk
n p r
a
( ) ( )
, r ∈ +Z ,
posledovatel\nost\ S rp r
+
∈{ }
+
( )
Z
stroho ub¥vaet ot Sp
+( )0 > 0 do
lim ( )
r pS r
→∞
+ = lim
( ) ( )
q ll
n p
kk
n q
a
→∞ −= =
− +
∑ ∑− −
1 1
1 0λ λ
=
= lim
( )
( ) ( ) ( )
q ll n p
n q
ll
n q
kk
n q
a
→∞ −= + −= =
− + − −
−
+ − +
∑ ∑ ∑1 1 1
1 1 0λ λ λ
=
( )10
–
1
1 λ−≥ +−
∑
ll n p( )
∈ [ – ∞ , 0 )
.
Poπtomu suwestvuet takoj rp
+
+∈Z , çto
S rp p
+ ++( )1 ≤ 0 < S rp p
+ +( ), (18)
pryçem S rp p
+ ++( )1 = S rp p r n pp
+ +
+ +− +
+
( ) / ( )
1
1
λ . PoloΩym v πtom sluçae np : =
: = 1+ ++
+r n pp ( ) , m p : = n p−( ). S uçetom ravenstv S n mp p( , ) = S rp p
+ ++( )1 y
S n mp p( , ) = S rp p r n pp
+ +
+ +− +
+
( ) / ( )
1
1
λ poluçaem
e
xS n mp p− ( , )
≤
1 0
0
1
1
∀ ≤
− +
≤ ∀ ∈
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
x
xS r
x
e xp p
r n p
r n p
p
p
,
exp ( ) , ,
( )
( )
[ ]
λ
λ
y, znaçyt, neravenstvo (16) v πtom sluçae moΩno perepysat\ v vyde
′B ( )λ ≤
e n mp p
′� , ( )λ ∀ λ ∈
ΛB m np p
∩ [ , ]− −λ λ = Λ� n mp p,
. (19)
2.2.1v. PredpoloΩym teper\, çto Sp
+( )0 < 0. Poskol\ku Sp
+( )0 = Sp
−( )0 ,
to Sp
−( )0 < 0 y poπtomu posledovatel\nost\
S rp
−( ) =
1 1
1 0λ λ−=
+
=
− +
∑ ∑− −
ll
n p r
kk
n p
a
( ) ( )
, r ≥ 0,
stroho vozrastaet ot Sp
−( )0 < 0 do
lim ( )
r pS r
→∞
− = lim
( ) ( )
q ll
n q
kk
n p
a
→∞ −= =
− +
∑ ∑− −
1 1
1 0λ λ
=
= lim
( )
( ) ( ) ( )
q kk n p
n q
ll
n q
kk
n q
a
→∞ = + −= =+
+ − +
∑ ∑ ∑+ − −
1 1 1
1 1 0λ λ λ
=
( )10
1
1 λkk n p≥ ++
∑
( )
∈ ( 0, + ∞ ]
.
Poπtomu suwestvuet takoj rp
−
+∈Z , çto
S rp p
− −( ) < 0 ≤ S rp p
− −+( )1 , (20)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 313
pryçem S rp p
− −+( )1 = S rp p r n pp
− −
− + ++ −
−
( ) / ( ( ))
1
1
λ . PoloΩym v πtom sluçae np : =
: = n p+( ) , m p : = 1+ +−
−r n pp ( ). S uçetom ravenstv S n mp p( , ) = S rp p
− −+( )1 y
S n mp p( , ) = S rp p r n pp
− −
− + ++ −
−
( ) / ( ( ))
1
1
λ poluçaem
e
xS n mp p− ( , )
≤
exp ( ) , ,
,
( ( ))
( ( ))
[ ]− −
≤ ∀ ∈ −
∀ ≥
− −
− + +
− + +
−
−
−
−
xS r
x
e x
x
p p
r n p
r n p
p
pλ
λ
1
1
0
1 0
y poπtomu neravenstvo (16) v dannom sluçae moΩet b¥t\ zapysano v vyde (19).
2.2.2. Takym obrazom, dlq postroennoj posledovatel\nosty mnohoçlenov
�p z( ) : = �n mp p
z, ( ) =
k
n
k l
m
l
p p
z z
= = −
∏ ∏−
+
0 1
1 1
λ λ
, p ∈ N
,
v¥polnqgtsq neravenstva
′B ( )λ ≤ e p′� ( )λ ∀ λ ∈
ΛB m np p
∩ [ , ]− −λ λ =
Λ�p
, p ∈ N
. (21)
Teper\ zametym, çto vo vsex sluçaqx 2.2.1a, 2.2.1b y 2.2.1v np ≥ n+ ( p ) , mp ≥
≥ n– ( p ) , y poπtomu vvydu (11) çysla np , mp tak Ωe, kak y deg �p = 1 + np + mp ,
stremqtsq k beskoneçnosty pry p → ∞
. Krome toho, dlq lgboho p ∈ N
′ − ′′ +
′∈
∑� �
��
p p
pw
p
( ) ( )
( ) ( )
0 0
12
λ λ λσ
λ Λ
≤
λ λ
σλ λ λ λ∈ ∈
∑ ∑+
′Λ ΛB B
e e
w B2 ( ) ( )
< ∞
,
y, sledovatel\no, neravenstvo (4) v¥polnqetsq. Neobxodymost\ utverΩdenyq
teorem¥71 dokazana.
3. Stroho kompaktn¥e mnoΩestva mnohoçlenov y dokazatel\stvo dos-
tatoçnosty utverΩdenyq teorem¥.1. Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty ut-
verΩdenyq teorem¥71 nam ponadobytsq rqd vspomohatel\n¥x, no ymegwyx sa-
mostoqtel\noe znaçenye rezul\tatov o svojstvax podmnoΩestv polynomyal\no-
ho semejstva P
∗( )R .
3.1. Opredelenye strohoj kompaktnosty. DokaΩem vnaçale sledugwyj
kryteryj kompaktnosty, kotor¥j utoçnqet lemmu71 v [13, c. 423] (hl.8, §1) dlq
sluçaq, kohda rassmatryvaemoe polynomyal\noe mnoΩestvo soderΩytsq v
P ∗( )R .
Lemma.1. Polynomyal\noe mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R qvlqetsq kompaktn¥m
1
tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
a) λ1( )G : = sup
P G
P
∈ ∈
∑
λ λΛ
1
< ∞
;
b) λ2( )G : = sup
P G
P
∈ ∈
∑
λ λΛ
1
2 < ∞
.
Zdes\ predpolahaetsq, çto λ ∈∅∑ : = 0.
Dokazatel\stvo. Esly mnoΩestvo G kompaktno, to sohlasno teoreme
Montelq (sm. [18, c. 368], hl. 4, §1) ono qvlqetsq ravnomerno ohranyçenn¥m v C,
1 MnoΩestvo cel¥x funkcyj naz¥vaetsq kompaktn¥m (sm. [17, c. 228], hl. 4, §12), esly yz kaΩ-
doj posledovatel\nosty funkcyj πtoho mnoΩestva moΩno yzvleç\ podposledovatel\nost\,
sxodqwugsq ravnomerno na lgbom kompaktnom podmnoΩestve C. Dlq uprowenyq formulyro-
vok pust¥e mnoΩestva budem sçytat\ kompaktamy.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
314 A. H. BAKAN
t. e. dlq lgboho kompaktnoho mnoΩestva K ⊂ C: sup ( ),P G z K P z∈ ∈ < ∞ . Tohda
yz neravenstv Koßy dlq edynyçnoj okruΩnosty s centrom v nule (sm. [17,
c. 111], hl. 2, § 6) poluçym sup ( ) ( )P G P P∈ ′ + ′′( )0 0 < ∞
, çto vmeste s oçevyd-
n¥my ravenstvamy λ 1 ( G ) = sup ( )P G P∈ ′ 0 , λ 2 ( G ) = sup ( ) ( )P G P P∈ ′ − ′′0 02
dokaz¥vaet v¥polnenye neravenstv a) y b). Obratno, neravenstva a), b) y
oçevydnoe sootnoßenye ( )1− z ez ≤ e z4 2
∀ z ∈ C (sm. [19], hl. 3, § 3, p. 3.3)
pozvolqgt zaklgçyt\, çto pry proyzvol\n¥x P ∈ G y z ∈ C
P z e
z
P( )
/1 λλ∈∑ Λ =
λ
λ
λ∈
∏ −
ΛP
z
ez1 / ≤ e G z4 2
2λ ( ) ,
otkuda P z( ) ≤ exp ( ) ( )( )λ λ1 2
24G z G z+ . Takym obrazom, semejstvo G qv-
lqetsq ravnomerno ohranyçenn¥m v C y sohlasno teoreme Montelq (sm. [17,
c. 228], hl. 4, § 12) kompaktn¥m.
Lemma71 dokazana.
Pust\ � oboznaçaet lynejnoe prostranstvo vsex cel¥x funkcyj y dlq A ⊂
⊂ � çerez Close� A oboznaçym zam¥kanye mnoΩestva A v topolohyy τ� , po-
roΩdaemoj posledovatel\nost\g norm na � vyda ⋅ N , N ≥ 1, hde f N : =
: = max ( )z N f z≤ , f ∈ �
. Sleduet zametyt\, çto rassuΩdenyqmy ot protyvnoho
vmeste s prymenenyem formul¥ Koßy dlq proyzvodn¥x (sm. [17, c. 119], hl.72,
§ 6) k ravnomerno sxodqwejsq v topolohyy τ� posledovatel\nosty mnohoçlenov
{ }Pn n≥1 lehko poluçaem suwestvovanye koneçnoho yly beskoneçnoho predela
limn nP→∞ deg . Druhymy slovamy, lybo suwestvuet limn nP→∞ deg = ∞ , lybo,
naçynaq s nekotoroho nomera vse stepeny mnohoçlenov Pn odynakov¥ y ravn¥
nekotoromu neotrycatel\nomu celomu çyslu. Napomnym takΩe, çto celaq
funkcyq, ne qvlqgwaqsq mnohoçlenom, naz¥vaetsq transcendentnoj.
Opredelenye.1. Budem naz¥vat\ mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R stroho kompakt-
n¥m, esly G kompaktno y lybo suwestvuet takoe natural\noe n, çto
G n⊂ P ( )R , lybo v sluçae, kohda G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N
, dlq lgboj
sxodqwejsq v topolohyy τ� posledovatel\nosty { }P Gn n≥ ⊂1 , kotoraq
udovletvorqet uslovyg limn nP→∞ deg = ∞ , predel\naq celaq funkcyq
lim ( )n nP z→∞ qvlqetsq transcendentnoj.
Lehko ubedyt\sq, çto kompaktnoe mnoΩestvo G ⊂ ∗P ( )R qvlqetsq stroho
kompaktn¥m v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
G G
n
n∩ ∩
≥
1
Close� ( \ )( )P R = ∅.
Hlavnoj cel\g dannoho punkta qvlqetsq poluçenye naybolee slab¥x dostatoç-
n¥x uslovyj strohoj kompaktnosty podmnoΩestv P
∗( )R .
3.2. Dostatoçn¥e uslovyq strohoj kompaktnosty. Ymegt mesto sle-
dugwye dostatoçn¥e uslovyq kompaktnosty podmnoΩestv P ∗( )R .
Lemma.2. Dlq lgb¥x koneçn¥x postoqnn¥x α, β ≥ 0 y A > 0 mnoΩestvo
P
e
A P
e
A
P
P∈ ≤ ′ ≥ ∀ ∈
∗
∈
− −
∑P ( ) ; ( )R
λ
α λ β λ
λ
λ λ
Λ
Λ2 (22)
qvlqetsq kompaktn¥m.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 315
Dokazatel\stvo. Pust\ M = + +2 1α β , α πn M n: ( )/= −−1 1 2 , n ∈ Z
, y P
— proyzvol\n¥j polynom yz mnoΩestva (22) stepeny ne nyΩe71. Poskol\ku
dlq lgboho z n n∈ ≥C \ { }α 1 ymeet mesto razloΩenye
1
ch( )M z
= 1
1
1
+ −
+
+
−
≥
∑
n
n
n n nM
z
z i
z
z i
( )
α α α
,
oboznaçyv ΛP k k
N: { }= =λ 1, 0 1 2< ≤ ≤…≤λ λ λN , dlq proyzvol\noho z ∈
∈ C \ ( ){ }ΛP n n∪ α ≥1 poluçym
Φ ( z ) : =
1
P z Mz( ) ( )ch
=
k
N
k k k n
n
z P M
i
M= ≥
∑ ∑− ′ + −
1 1
1
1
( ) ( ) ( )
( )
λ λ λch
×
×
1 1
( ) ( )( ) ( )z i P i z i P in n n n−
+
+ −
α α α α
. (23)
Dyfferencyruq ravenstvo (23) y polahaq z = 0, ymeem ′ = − ′Φ ( ) ( )0 0P ,
′′ = ′ − ′′ −Φ ( ) ( ) ( )0 2 0 02 2P P M y
′P ( )0 =
k
N
k k k n
n
n n nP M
i
M P i P i= ≥
∑ ∑′ + −
−
−
1
2
1
2
1 1 1 1
λ λ λ α α α( ) ( )
( )
( ) ( )ch
,
′′ + − ′P M P( ) ( )0 2 02 2 =
k
N
k k kP M=
∑ ′1
3
1
λ λ λ( ) ( )ch
+
+
1 1 1 1
1
3M P i P in
n
n n n≥
∑ − +
−
( )
( ) ( )α α α
.
Poslednye dva ravenstva s uçetom toho, çto P i( )λ ≥ 1 ∀ λ ∈ R y
( , )n
n
− −
≥∑ 0 5 2
1
= π2
/ 2, ( , )n
n
− −
≥∑ 0 5 3
1
≤ π3
/ 2 (sm. [20], hl. 5, p. 5.1.4), ozna-
çagt, çto
′P ( )0 ≤ M
P Mk
N
k k k
+ ′=
∑
1
2
1
λ λ λ( ) ( )ch
, (24)
2 0 02′ − ′′P P( ) ( ) ≤ 2
12
1
3M
P Mk
N
k k k
+
′=
∑
λ λ λ( ) ( )ch
. (25)
Yspol\zovav (22) dlq mnohoçlena P v neravenstvax (24) y (25), m¥ smoΩem
poluçyt\ sledugwye ocenky velyçyn 1
1 /λkk
N
=∑ = ′P ( )0 y 1 2
1 /λkk
N
=∑ =
= ′ − ′′P P( ) ( )0 02
:
k
N
k=
∑
1
1
λ
≤ M A
e
k
N M
k
k
+
=
− −
∑2
1
2
( )β λ
λ
≤ M A
e
k
N
k
k
+
=
−
∑2
1
2
α λ
λ
≤ M A+ 2 2,
k
N
k=
∑
1
2
1
λ
≤ 2 22
1
3M A
e
k
N M
k
k
+
=
− −
∑
( )β λ
λ
≤ 2 22 15
1
0 5
2M A
e
k
N M
k
k
+
=
− − −
∑,
( , )β α λ
λ
≤
≤ 2 22 15
1
2M A
e
k
N
k
k
+
=
−
∑,
α λ
λ
≤ 2 22 2 5M A+ , .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
316 A. H. BAKAN
Poluçenn¥e neravenstva dokaz¥vagt, çto v¥polnqgtsq uslovyq a) y b) lemm¥71
y, znaçyt, mnoΩestvo (22) qvlqetsq kompaktn¥m.
Lemma72 dokazana.
Sledugwaq teorema qvlqetsq osnovn¥m rezul\tatom dannoho punkta.
Teorema.2. Dlq lgboj funkcyy γ ∈ ∗W ( )R y lgb¥x koneçn¥x postoqnn¥x
α ≥ 0, C > 0 mnoΩestvo
P
e
C P
C
P
P∈ ≤ ′ ≥ ∀ ∈
∗
∈
−
∑P ( ) ; ( )
( )
R
λ
α λ
λ
λ
γ λ
λ
Λ
Λ2
1
(26)
qvlqetsq stroho kompaktn¥m. Zdes\ predpolahaetsq, çto 1 / 0 : = + ∞
.
Dokazatel\stvo. Poskol\ku funkcyq γ ravnomerno ohranyçena na
vewestvennoj osy, to lgboj mnohoçlen yz mnoΩestva (26) udovletvorqet
uslovyqm (22) pry β = 0 y A = C ⋅ 1 γ . Poπtomu mnoΩestvo (26) qvlqetsq
kompaktn¥m.
Oboznaçym polynomyal\noe semejstvo (26) çerez G. Dlq dokazatel\stva
strohoj kompaktnosty G sohlasno opredelenyg71 sleduet rassmotret\ tol\ko
sluçaj, kohda G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N
. Rassmotrym proyzvol\nug ravno-
merno sxodqwugsq na lgbom kompakte C k celoj funkcyy f posledovatel\-
nost\ mnohoçlenov { }Pn n≥1 ⊆ G, udovletvorqgwyx uslovyg limn nP→∞ deg =
= + ∞ , y dokaΩem, çto f ne qvlqetsq mnohoçlenom.
Pust\ ΛPn
= { }( )λk
n
k
rn
=1, hde 0 1 2< ≤ ≤… ≤λ λ λ( ) ( ) ( )n n
r
n
n
< ∞ ∀ n ≥ 1 y v
sylu uslovyq (26) vse çysla yz mnoΩestva ΛPn
qvlqgtsq razlyçn¥my. Krome
toho,
λ λ∈
∑
ΛPn
1
2 ≤ M ∀ n ≥ 1, (27)
hde v sootvetstvyy s oboznaçenyqmy lemm¥71 M : = max ( ), ( )λ λ1 2G G{ } .
Po proyzvol\nomu natural\nomu çyslu p ≥ 1 najdem takoe natural\noe
çyslo np
, çto rn ≥ p dlq vsex n ≥ np
, y dlq kaΩdoho n ≥ np opredelym mno-
hoçlen ∆n p x, ( ) sledugwym obrazom: ∆n x, ( )1 ≡ 1 y
∆n p x, ( ) : = 1 1 1
1 2 1
−
−
… −
−
x x x
n n
p
nλ λ λ( ) ( ) ( ) , p ≥ 2.
Dlq ukazann¥x znaçenyj n y p poloΩym P xn p, ( ) : = P x xn n p( ) ( )/ ,∆ . Tohda dlq
proyzvol\noho p ≤ k ≤ rn
′Pn k
n( )( )λ = ∆ p n k
n
n p k
nP,
( )
,
( )( ) ( )λ λ′ ≤
( )27
1
1
+( ) ′−
λ λk
n p
n p k
nM P( )
,
( )( ) ,
y, znaçyt, ′Pn p k
n
,
( )( )λ ≥ ′ +( ) −
P Mn k
n
k
n p
( )( ) ( )λ λ1
1
. Prymenqq πto neravenstvo k
razloΩenyg na prost¥e droby funkcyy P zn p, ( )−1
pry z = 0 s uçetom Pn p, ( )0 =
= 1 y svojstv (26), ymeem
1 ≤
k p
r
n p k
n
k
n
n
P=
∑ ′
1 1
,
( ) ( )( )λ λ
≤
k p
r
k
n p
k
n
n k
n
n M
P=
−
∑
+( )
′
1
1
λ
λ λ
( )
( ) ( )( )
≤
1 1
1
λ
λ
λp
n
k p
r
k
n p
n k
n
n M
P( )
( )
( )( )=
−
∑
+( )
′ ≤
≤
C
M
p
n
k p
r
k
n
k
n pn
λ
γ λ λ( )
( ) ( )( )
=
−∑ +( )1
1
≤
MC
x x M
p
n
p
λ γ( )
2 11 +( ) − ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 317
otkuda
λm
n( ) ≤ Rp : = MC x x M
p2 11 +( ) −
γ
∀ n ≥ np
, 1 ≤ m ≤ p, p ∈ N
. (28)
Zafyksyruem teper\ proyzvol\noe, skol\ uhodno bol\ßoe natural\noe çys-
lo N. V sylu (28) vnutry kruha s centrom v nule y radyusa 1 + RN kaΩd¥j
mnohoçlen Pn ymeet ne menee N nulej, esly tol\ko n ≥ nN
. Poπtomu sohlas-
no teoreme Hurvyca (sm. [18, c. 426], hl. 4, § 3) v πtom Ωe kruhe predel\naq funk-
cyq f takΩe ymeet ne menee N nulej. Proyzvol\nost\ çysla N dokaz¥vaet
trebuemug transcendentnost\ funkcyy f .
Teorema72 dokazana.
Sledstvye. P u s t \ G oboznaçaet polynomyal\noe semejstvo (26) y
G n\ ( )P R ≠ ∅ dlq vsex n ∈ N
. Tohda esly f G G∈( ) \Close� , to f qvlqet-
sq transcendentnoj celoj funkcyej yz klassa H y f ( 0 ) = 1.
Dokazatel\stvo. Sohlasno uslovyg sledstvyq suwestvuet posledova-
tel\nost\ mnohoçlenov { }Pn n≥1 ⊆ G, kotoraq na lgbom kompakte v C ravno-
merno sxodytsq k f . Sohlasno teoreme Polya – Lahhera (sm. [21, 22], [19], hl. 3,
§ 3) funkcyq f , buduçy ravnomern¥m predelom mnohoçlenov yz mnoΩestva
P
∗( )R , ymeet vyd
e
x
a
ea x bx
k k
x ak− +
≥
∏ −
2 2
1
1 / , (29)
hde a , b , a k, k ∈ N
, — vewestvenn¥, 0 1 2< ≤ ≤…≤ ≤…≤ + ∞a a ak y
akk
−
≥∑ 2
1
< ∞ , pryçem predpolahaetsq vozmoΩn¥m, çto naçynaq s nekotoroho
nomera vse ak ravn¥ beskoneçnosty. Poπtomu f qvlqetsq celoj funkcyej,
ymegwej tol\ko dejstvytel\n¥e nuly, y f ( 0 ) = 1.
Sohlasno teoreme Hurvyca dlq proyzvol\noho k ≥ 1 suwestvuet takaq po-
sledovatel\nost\ ζn Pn
∈Λ , n ≥ 1, çto limn n→∞ ζ = ak . Tohda po formule
Koßy dlq pervoj proyzvodnoj (sm. [17, c. 119], hl. 2, § 6) po okruΩnosty s cent-
rom v ak y nekotor¥m, ne zavysqwym ot n, poloΩytel\n¥m radyusom s uçetom
ravnomernoj sxodymosty Pn k f na πtoj okruΩnosty y poluneprer¥vnosty
sverxu funkcyy γ poluçaem
′f ak( ) = lim ( )
n n nP
→∞
′ ζ ≥
( )26
lim
( )n nC→∞
1
γ ζ
=
1
C
n nlim ( )
→∞
γ ζ
≥
1
C akγ ( )
, k ≥ 1. (30)
Neravenstva (30) dokaz¥vagt, çto vse korny funkcyy f qvlqgtsq prost¥my.
V sootvetstvyy s zameçanyem, sdelann¥m pered opredelenyem71, predpolo-
Ωym, çto naçynaq s nekotoroho nomera vse stepeny mnohoçlenov Pn odynakov¥
y ravn¥ m ≥ 1. Tohda f qvlqetsq mnohoçlenom toj Ωe stepeny so vsemy dejst-
vytel\n¥my y razlyçn¥my kornqmy ak , 1 ≤ k ≤ m. Prymenqq teoremu Hurvyca,
poluçaem suwestvovanye takoj perenumeracyy kornej { }( )λ p
n
p
m
=1 mnohoçlena
Pn , çto lim ( )
n p
n
→ ∞ λ = ap . ∏to pozvolqet perejty k predelu pry n → ∞ v per-
vom neravenstve (26) y v sylu (30) sdelat\ v¥vod o tom, çto f ∈ G. Poluçennoe
protyvoreçye s uslovyem sledstvyq dokaz¥vaet, çto limn nP→∞ deg = + ∞
. Po-
πtomu sohlasno teoreme72 funkcyq f qvlqetsq transcendentnoj, pryçem
sohlasno neravenstvam (30) çysla ′f ( )λ , λ ∈Λ f , stremqtsq k beskoneçnosty
pry λ → ∞ b¥stree, çem lgbaq stepennaq funkcyq ot λ .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
318 A. H. BAKAN
Dlq proyzvol\noho k ≥ 1 poloΩym a0 0:= , R a ak n n k k n: inf ,= −−
≥ ≠3 1
0 y
Ik : = [ , ]a R a Rk k k k− + . Oçevydno, çto otrezky Ik, k ≥ 1, ne peresekagtsq y su-
westvugt takye dve stremqwyesq k + ∞ posledovatel\nosty poloΩytel\n¥x
çysel BN
+ , BN
− , N ≥ 1, çto BN
+ , – BN
− ∈ R \ Ikk≥1∪ dlq vsex N ≥ 1. Sohlasno
teoreme Hurvyca dlq lgboho N ≥ 1 moΩno najty takoe natural\noe çyslo mN,
çto dlq proyzvol\noho n ≥ mN otrezok ∆N : = [ , ]− − +B BN N soderΩyt odynako-
voe çyslo nulej funkcyy f y mnohoçlena Pn , pryçem kaΩd¥j otrezok Ik ⊂
⊂ ∆N soderΩyt rovno odyn πlement λk
n( )
mnoΩestva ΛPn
, stremqwyjsq k ak
pry n → ∞
. Po formule Koßy dlq perv¥x proyzvodn¥x, vzqtoj po okruΩno-
sty z z a Rk k∈ − ={ }C , s uçetom ravnomernoj sxodymosty Pn k f na πtoj ok-
ruΩnosty poluçaem lim ( )( )
n n k
nP→∞ ′ λ = ′f ak( ). Poπtomu dlq lgb¥x N ≥ 1, n ≥
≥ mN y z ∈ C, Im z ≠ 0, ymeem
1 1
P z z Pn nN Pn
( ) ( ) ( )
−
− ′∈
∑
λ λ λ∆ Λ∩
=
λ λ λ∈
∑ − ′Λ ∆P Nn
z Pn\ ( ) ( )
1
≤
( )26
≤
( )26
λ
γ λ
λ∈
∑ −Λ ∆P Nn
C
z\
( )
≤
( )27
MC
z
x x
P N N N
n
x B Binf
sup ( )
\ min{ , }λ
λ
γ
∈ ≥− + −
Λ ∆
2
,
otkuda, perexodq k predelu pry n → ∞
, poluçaem neravenstvo
1 1
f z z f
N f
( ) ( ) ( )
−
− ′∈
∑
λ λ λ∆ Λ∩
≤
MC
z
x x
f N N Nx B Binf
sup ( )
\ min{ , }λ
λ
γ
∈ ≥− + −
Λ ∆
2 ,
perexod k predelu v kotorom pry N → ∞ dokaz¥vaet spravedlyvost\ absolgt-
no sxodqwehosq razloΩenyq
1
f z( )
=
λ λ λ∈
∑ ′ −Λ f f z
1
( )( )
pry kaΩdom z f∈C \ Λ . Takym obrazom, f ∈H , y dokazatel\stvo sledstvyq71
zaverßeno.
3.3. Dokazatel\stvo dostatoçnosty utverΩdenyq teorem¥.1. Nera-
venstvo (4) oznaçaet suwestvovanye takyx posledovatel\nosty Pn ⊂ ∗P ( )R , n ≥
≥ 1, y koneçnoj poloΩytel\noj postoqnnoj D, çto
λ λ∈
∑
ΛPn
1
2 +
λ
σλ λ λ∈
∑ ′ΛPn
w Pn
1
( ) ( )
≤ D ∀ n ≥ 1, (31)
y limn nP→∞ deg = + ∞ . Oçevydno, çto vse mnohoçlen¥ Pn prynadleΩat mno-
Ωestvu (26) s C = D, α = 0 y γ ( x ) = x w xσ ( ), x ∈R. Poπtomu sohlasno teo-
reme72 yz posledovatel\nosty { }Pn n≥1 moΩno v¥delyt\ podposledovatel\-
nost\ { }Pn kk ≥1, sxodqwugsq k celoj transcendentnoj funkcyy f v topolohyy
τ�
, kotoraq po sledstvyg71 budet prynadleΩat\ klassu H y f ( 0 ) = 1. Pere-
oboznaçaq posledovatel\nost\ { }Pn kk ≥1 snova çerez { }Pn n≥1 y yspol\zuq obo-
znaçenyq yz dokazatel\stva sledstvyq71, dlq lgb¥x N ≥ 1 y n ≥ mN ymeem
λ
λ∈
∑
∆ ΛN Pn
∩
1
2 +
λ
σλ λ λ∈
∑ ′∆ ΛN Pn
w Pn∩
1
( ) ( )
≤
( )31
D ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
POLYNOMYAL|NÁJ VYD USLOVYJ LUY DE BRANÛA … 319
otkuda posle perexoda k predelu pry n → ∞ poluçaem
λ
λ∈
∑
∆ ΛN f∩
1
2 +
λ
σλ λ λ∈
∑ ′∆ ΛN f w f∩
1
( ) ( )
≤ D ,
çto v sylu proyzvol\nosty N oznaçaet v¥polnenye neravenstva (3). Sohlasno
teoreme7A*
alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ne plotn¥ v Cw
0 .
Teorema717dokazana.
1. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: V¥wa ßk.,
1990. – 600 s.
2. Natanson Y. P. Teoryq funkcyj vewestvennoj peremennoj. – M.: Nauka, 1974. – 480 s.
3. Merhelqn S. N. Vesov¥e pryblyΩenyq mnohoçlenamy // Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11, # 5.
– S.7107 – 152.
4. Bakan A. H. Kryteryj polynomyal\noj plotnosty y obwyj vyd lynejnoho neprer¥vnoho
funkcyonala na prostranstve Cw
0
// Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 5. – S. 610 – 622.
5. Bernstein S. Le probleme de l’approximation des fonctions continues sur tout l’axe reel at l’une de
ses applications // Bull. Math. France. – 1924. – 52. – P. 399 – 410.
6. Koosis P. The logarithmic integral. I. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. – 350 p.
7. Berg Ch. Moment problems and polynomial approximation // Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse.
Stieltjes spec. issue. – 1996. – P. 9 – 32.
8. Borichev A., Sodin M. The Hamburger moment problem and weighted polynomial approximation
on discrete subsets of the real line // J. Anal. Math. – 1998. – 71. – P. 219 – 264.
9. Bakan A. G. Polynomial density in L R dp( , )1 µ and representation of all measures which generate
a determinate Hamburger moment problem // Approximation, Optimization and Math. Economics
(Pointe-aa-Pitre, 1999) / Ed. M. Lassonde. – Heidelberg: Physica-Verlag, 2001. – P. 37 – 46.
10. Axyezer N. Y. O vzveßennom pryblyΩenyy neprer¥vn¥x funkcyj na vsej çyslovoj osy //
Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11, # 4. – S.73 – 43.
11. Branges L. Rhe Bernstein problem // Proc. Amer. Math. Soc. – 1959. – 10. – P. 825 – 832.
12. Sodin M., Yuditskii P. Another approach to de Branges’ theorem on weighted polynomial
approximation // Proc. Ashkelon Workshop Complex Function Theory, Isr. Math. Conf. Proc. (May
1996) / Ed. L. Zalcman. – Providence, RI: Amer. Math Soc., 1997. – 11. – P. 221 – 227.
13. Levyn B. Q. Raspredelenye kornej cel¥x funkcyj. – M.: Hostexteoretyzdat, 1956. – 632 s.
14. Hamburger H. Hermitian transformations of deficiency index (1, 1), Jacobi matrices and
undetermined moment problems // Amer. J. Math. – 1944. – 66. – P. 489 – 522.
15. Axyezer N. Y. Klassyçeskaq problema momentov. – M.: Fyzmathyz, 1961. – 310 s.
16. Dzjadyk V. K., Ivanov V. V. On asymptotics and estimates for the uniform norms of the Lagrange
interpolation polynomials corresponding to the Chebyshev nodal points // Anal. Math. – 1983. – 9. –
P. 85 – 97.
17. Íabat B. V. Vvedenye v kompleksn¥j analyz. – M.: Nauka, 1985. – Ç.1. – 336 s.
18. Markußevyç A. Y. Teoryq analytyçeskyx funkcyj: V 2 t. – M.: Nauka, 1967. – T.1. – 486 s.
19. Hirschman I. I., Widder D. V. The convolution transform. – Princeton, New York: Princeton Univ.
Press, 1955. – 312 p.
20. Prudnykov A. P., Br¥çkov G. A., Maryçev O. Y. Yntehral¥ y rqd¥. – M.: Nauka, 1981. –
8007s.
21. Laguerre E. Sur les fonctions du genre zero et du genre un // C. r. Acad. sci. Paris. – 1982. – 98. –
P. 828 – 831.
22. Polya G. Uber annaherung durch polylome mit lauter reelen wurzein // Rend. Circ. math. Palermo.
– 1913. – 36. – P. 279 – 295.
Poluçeno 27.07.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3599 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:34Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/276ef1a91aa60cc4b47db8890f3b93cd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35992020-03-18T19:59:42Z Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве $C_w^0$ Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. In the criterion for polynomial denseness in the space $C_w^0$ established by de Brange in 1959, we replace the requirement of the existence of an entire function by an equivalent requirement of the existence of a polynomial sequence. We introduce the notion of strict compactness of polynomial sets and establish sufficient conditions for a polynomial family to possess this property. У встановленому Луї де Бранжем у 1959 р. критерії поліноміальної щільності у просторі $C_w^0$ вимогу існування цілої функції замінено еквівалентною вимогою існування послідовності многочленів. Уведено поняття строгої компактності поліноміальних множин та встановлено достатні умови існування цієї властивості. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3599 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 305–319 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 305–319 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3599/3929 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3599/3930 Copyright (c) 2005 Bakan A. G. |
| spellingShingle | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title | Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_alt | Полиномиальный вид условий Луи де Бранжа плотности алгебраических многочленов в пространстве $C_w^0$ |
| title_full | Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_fullStr | Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_full_unstemmed | Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_short | Polynomial Form of de Branges Conditions for the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_sort | polynomial form of de branges conditions for the denseness of algebraic polynomials in the space $c_w^0$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3599 |
| work_keys_str_mv | AT bakanag polynomialformofdebrangesconditionsforthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag polynomialformofdebrangesconditionsforthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag polynomialformofdebrangesconditionsforthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag polinomialʹnyjviduslovijluidebranžaplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 AT bakanag polinomialʹnyjviduslovijluidebranžaplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 AT bakanag polinomialʹnyjviduslovijluidebranžaplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 |