Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I
We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3602 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509719857201152 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.925
V. M. Evtuxov, V. A. Kas\qnova (Odes. nac. un-t)
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE
NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ SUWESTVENNO
NELYNEJNÁX DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
VTOROHO PORQDKA. I
We establish asymptotic representations for a class of unbounded solutions of second order differential
equations whose right-hand sides contain the sum of terms with nonlinearities of more general form than
nonlinearities of Emden – Fowler type.
Vstanovlggt\sq asymptotyçni zobraΩennq dlq odnoho klasu neobmeΩenyx rozv’qzkiv dyfe-
rencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku, wo mistqt\ u pravij çastyni sumu dodankiv iz nelinijnos-
tqmy bil\ß zahal\noho vyhlqdu, niΩ nelinijnosti typu Emdena – Faulera.
Yssledovanyq asymptotyçeskoho povedenyq reßenyj obobwennoho uravnenyq
∏mdena – Faulera (sm. [1, c. 326 – 402] (hl. V) y [2 – 8]), a takΩe dyfferency-
al\n¥x uravnenyj pervoho porqdka, soderΩawyx v pravoj çasty summu slahae-
m¥x so stepenn¥my nelynejnostqmy (sm. [9, c. 113 – 127] (hl. 5) y [10, 11]), qvy-
lys\ vaΩnoj predpos¥lkoj dlq razrabotky v [1, 12 – 15] metodov ustanovlenyq
asymptotyky pravyl\n¥x nekoleblgwyxsq reßenyj ob¥knovenn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj v¥sßyx porqdkov s nelynejnostqmy typa ∏mdena – Fau-
lera vyda
y
(
n
) =
k
m
k
np t y y yk k n k
=
−∑ ′ … −
1
10 1 1( ) ( )σ σ σ
,
hde m ≥ 1, σm k ∈ R, m = 0, … , n – 1; k = 1, … , m, pk : [ a, ω [ → R \ { 0 }, k =
= 1, … , m, — neprer¥vn¥e funkcyy, – ∞ < a < ω ≤ + ∞.
Vopros ob asymptotyke reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj s nelynej-
nostqmy bolee obweho vyda v celom ostaetsq otkr¥t¥m daΩe dlq dvuçlenn¥x
uravnenyj
y
(
n
) = p ( t ) ϕ ( y ).
Pry n = 2 takye uravnenyq yssledovalys\ v rabotax [16, 17] y nekotor¥x
druhyx.
V nastoqwej stat\e rassmatryvaetsq dyfferencyal\noe uravnenye
y ′′ =
k
m
k k k kp t r t y
=
∑ +[ ]
1
1α ϕ( ) ( ) ( ) , (0.1)
hde αk ∈ { – 1; 1 }, k = 1, … , m, pk : [ a, ω [ → ] 0, + ∞ [, k = 1, … , m, — neprer¥vno
dyfferencyruem¥e funkcyy, r k : [ a, ω [ → R , k = 1, … , m, — neprer¥vn¥e
funkcyy, udovletvorqgwye uslovyqm
lim ( )
t
kr t
↑ω
= 0, k = 1, … , m, (0.2)
– ∞ < a < ω ≤ + ∞, a ϕk : [ y0, ω [ → ] 0, + ∞ [, k = 1, … , m, 0 < y0 < + ∞, — dvaΩd¥
neprer¥vno dyfferencyruem¥e funkcyy takye, çto
lim ( )
y
k y
→+ ∞
ϕ = ϕk
0 = const ≠ 0 pry k = 1, … , m1 , (0.3)
© V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA, 2005
338 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 339
lim ( )
y
k y
→+ ∞
ϕ =
lybo
lybo
0,
+ ∞
pry k = m1 + 1, … , m
1
, (0.4)
pryçem
′ϕk y( ) ≠ 0 pry y ≥ y0 y lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′′
′
ϕ
ϕ
= σk = const, (0.5)
esly k ∈ { 1, … , m } y otlyçno ot tex k ∈ { 1, … , m1 }, dlq kotor¥x ϕk
( y ) ≡
≡ ϕk
0
.
PoloΩym
πω ( t ) =
t
t
, ,
, ,
esly
esly
ω
ω ω
= + ∞
− < + ∞
y vvedem sledugwee opredelenye.
Reßenye y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [, t0 ∈ [ a, ω [, uravnenyq (0.1) budem naz¥vat\
Πω ( µ 0 )-reßenyem, hde – ∞ ≤ µ 0 ≤ + ∞ , esly ono udovletvorqet sledugwym
uslovyqm:
1) lim ( )
t
y t
↑ω
= + ∞;
2) ′y t( ) > 0 pry t ∈ [ t0 , ω [, lim ( )
t
y t
↑
′
ω
=
lybo
lybo
0,
;+ ∞
3) lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′′
′ω
ωπ
= µ 0 , pryçem lim
( ) ( )
( )t
y t y t
y t↑
′′
′[ ]ω 2 = 1, esly µ 0 = ± ∞.
Zameçanye 0.1. Netrudno ubedyt\sq v tom, çto esly µ 0 = ± ∞ y suwestvuet
koneçn¥j yly ravn¥j ± ∞ lim
( ) ( )
( )t
y t y t
y t↑
′′
′[ ]ω 2 , to znaçenyem πtoho predela moΩet
b¥t\ tol\ko 1.
1. Apryorn¥e asymptotyçeskye svojstva ΠΠΠΠωωωω ( µµµµ 0 )-reßenyj.
Lemma 1.1. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — Πω ( µ 0 )-reßenye uravnenyq
(0.1). Tohda
lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′
ω
ωπ
= µ 0 + 1 pry | µ 0 | < + ∞ (1.1)
y
lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′
ω
ωπ
= ± ∞ pry µ 0 = ± ∞. (1.2)
Bolee toho, esly | µ 0 | < + ∞, to v¥polnqetsq neravenstvo ( µ 0 + 1 ) πω ( t ) ≥ 0
pry t ∈ [ a, ω [
2
, a esly µ 0 = + ∞ ( µ 0 = – ∞ ), to ω = + ∞ ( ω < + ∞ ).
Dokazatel\stvo. V sylu pravyla Lopytalq v forme Ítol\ca (sm. [18,
c. 115]) y opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq
lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′
ω
ωπ
= lim
( ) ( ) ( )
( )t
t y t y t
y t↑
′′ + ′
′ω
ωπ
=
= lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′′
′ω
ωπ
+ 1 =
µ µ
µ
0 0
0
1+ < + ∞
± ∞ = ± ∞
, ,
, .
esly
esly
1
Zdes\ y nyΩe sçytaem, çto m1 = 0 (
m1 = m
), esly v¥polnqetsq tol\ko uslovye (0.4) (tol\ko
uslovye (0.3)).
2
Pry ω = +
∞ sçytaem, çto a > 0.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
340 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Spravedlyvost\ vtoroho utverΩdenyq lemm¥ neposredstvenno sleduet yz (1.1) y
(1.2), esly dopolnytel\no uçest\ znakov¥e uslovyq yz opredelenyq Πω ( µ 0 )-re-
ßenyq y vyd funkcyy πω ( t ).
Dlq ustanovlenyq naybolee vaΩn¥x dlq dal\nejßeho asymptotyçeskyx
svojstv Πω ( µ 0 )-reßenyj uravnenyq (0.1) nam potrebuetsq sledugwaq lemma.
Lemma 1.2. Esly m1 < m y k ∈ { m1 + 1, … , m }, to
lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′ϕ
ϕ
= 1 + σk
. (1.3)
Esly Ωe m 1 ≥ 1, k ∈ {1, … , m1} y otlyçno ot tex, dlq kotor¥x ϕk
( y ) ≡ ϕk
0,
to
σk ≤ – 1 y lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′ϕ
ϕ
= 0. (1.4)
Dokazatel\stvo. Pust\ k ∈ { 1, … , m } y otlyçno ot tex k ∈ { 1, … , m1 },
dlq kotor¥x ϕk
( y ) ≡ ϕk
0
. V πtom sluçae v¥polnqgtsq uslovyq (0.5).
Polahaq
zk
( y ) =
y y
y
k
k
′ϕ
ϕ
( )
( )
,
zameçaem, çto
′z yk ( ) =
1
1
y
z y
y y
y
z yk
k
k
k( )
( )
( )
( )+
′′
−
ϕ
ϕ
. (1.5)
V sylu (0.5) sootvetstvugwaq (1.5) funkcyq f ( y, c ) =
1
1
y
c
y y
y
ck
k
+
′′
−
ϕ
ϕ
( )
( )
pry
lgbom znaçenyy c, otlyçnom ot 0 y 1 + σk
, soxranqet znak v nekotoroj ok-
restnosty + ∞. Poπtomu dlq funkcyy z k suwestvuet koneçn¥j yly ravn¥j
± ∞ predel pry y → + ∞. Esly b¥ πtot predel b¥l raven ± ∞, to yz (1.5) sledo-
valo b¥, çto
′z y
z y
k
k
( )
( )2 = –
1
1 1
y
o+[ ]( ) pry y → + ∞.
Otsgda v rezul\tate yntehryrovanyq poluçyly b¥ asymptotyçeskoe sootno-
ßenye
1
z yk ( )
∼ ln y pry y → + ∞,
v kotorom v¥raΩenye, stoqwee sleva, stremytsq k nulg, a stoqwee sprava — k
+ ∞ pry y → + ∞, çto nevozmoΩno. Sledovatel\no, lim ( )
y
kz y
→+ ∞
= c = const.
Dalee, pokaΩem, çto vozmoΩn¥my znaçenyqmy c mohut b¥t\ lyß\ lybo 0 ,
lybo 1 + σk
. Dejstvytel\no, esly b¥ πto b¥lo ne tak, to yz (1.5) s uçetom (0.5)
ymely b¥
′z yk ( ) =
c
y
c ok1 1+ − +[ ]σ ( ) pry y → + ∞,
otkuda sledovalo b¥ asymptotyçeskoe sootnoßenye
zk
( y ) = c c o yk1 1+ − +[ ]σ ( ) ln pry y → + ∞,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 341
kotoroe protyvoreçyt uslovyg lim ( )
y
kz y
→+ ∞
= const. Znaçyt,
lim ( )
y
kz y
→+ ∞
=
lybo
lybo
0
1
,
.+
σk
(1.6)
Otsgda, v çastnosty, qsno, çto pry σk = – 1 utverΩdenyq lemm¥ spravedlyv¥.
Pust\ σk ≠ – 1. Tohda esly k ∈ { m1 + 1, … , m } (sluçaj m1 < m ), to v sylu
uslovyj (0.4), (0.5) y (1.6) dlq v¥çyslenyq lim ( )
y
kz y
→+ ∞
prymenymo pravylo Lo-
pytalq v forme Ítol\ca. Poπtomu poluçym
lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′ϕ
ϕ
= lim
( ) ( )
( )y
k k
k
y y y
y→+ ∞
′ + ′′
′
ϕ ϕ
ϕ
= 1 + lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′′
′
ϕ
ϕ
= 1 + σk
.
Tem sam¥m ustanovlena spravedlyvost\ pervoho utverΩdenyq lemm¥.
Esly Ωe k ∈ { 1, … , m1 } (sluçaj m1 ≥ 1 ) y otlyçno ot tex znaçenyj, dlq
kotor¥x ϕk
( y ) ≡ ϕk
0
, to lim ( )
y
kz y
→+ ∞
= 0, poskol\ku v protyvnom sluçae v sylu
(1.6) y (0.3) poluçyly b¥ asymptotyçeskoe sootnoßenye
y ′ϕk y( ) ∼ ( 1 + σk
)ϕk
0 ≠ 0 pry y → + ∞,
otkuda sledovalo b¥, çto lim ( )
y
k y
→+ ∞
ϕ = ± ∞, no πto protyvoreçyt (0.3). Takym
obrazom, v¥polnqetsq vtoroe yz uslovyj (1.4). S uçetom πtoho uslovyq yz (1.5)
ymeem
′z y
z y
k
k
( )
( )
∼
1 + σk
y
pry y → + ∞.
Otsgda poluçaem asymptotyçeskoe sootnoßenye
ln ( )z yk ∼ ( 1 + σk
) ln y pry y → + ∞,
kotoroe ne protyvoreçyt uslovyg lim ( )
y
kz y
→+ ∞
= 0 lyß\ v sluçae, kohda v¥pol-
nqetsq neravenstvo σk < – 1.
Lemma dokazana.
Lemma 1.3. Pust\ | µ 0 | < + ∞, m1 ≥ 1 y dlq nekotoroho i ∈ { 1, … , m1 }
v¥polnqgtsq uslovyq
lim
( )
( )t
j
i
p t
p t↑ω
= 0 pry j = 1, … , m1 ( j ≠ i ), (1.7)
limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ < – | 1 + µ 0 | ( 1 + σj
) pry j = m1 + 1, … , m,
(1.8)
esly m1 < m. Tohda dlq kaΩdoho Πω ( µ 0 )-reßenyq uravnenyq (0.1)
lim
( ) ( )
( ) ( )t
j j
i i
p t y t
p t y t↑
( )
( )ω
ϕ
ϕ
= 0 pry lgbom j ∈ { 1, … , m }, otlyçnom ot i. (1.9)
Dokazatel\stvo. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyzvol\noe Πω ( µ 0 )-
reßenye uravnenyq (0.1). Tohda v sylu uslovyq 1 opredelenyq πtoho reßenyq,
(0.3) y (1.7) oçevydno, çto (1.9) v¥polnqetsq dlq lgboho j ∈ { 1, … , m1 }, ot-
lyçnoho ot i.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
342 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Dopustym teper\, çto j ∈ { m1 + 1, … , m } (esly m1 < m ), y poloΩym
zj
( t ) =
p t y t
p t
j j
i
( ) ( )
( )
ϕ ( )
.
V¥çyslqq proyzvodnug πtoj funkcyy, poluçaem
′z tj ( ) =
p t y t
p t
p t
p t
p t
p t
y t y t
y t
j j
i
j
j
i
i
j
j
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
ϕ ϕ
ϕ
( ) ′
− ′ +
′ ( ) ′
( )
,
yly
′z tj ( ) =
z t
t
t p t
p t
t p t
p t
t y t
y t
y t y t
y t
j j
j
i
i
j
j
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )π
π π π ϕ
ϕω
ω ω ω′
− ′ + ′ ′ ( )
( )
. (1.10)
Zdes\ sohlasno lemmam 1.1 y 1.2
lim
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )t
j
j
t y t
y t
y t y t
y t↑
′ ′ ( )
( )ω
ωπ ϕ
ϕ
= | 1 + µ 0 | ( 1 + σj
).
Poπtomu v sylu uslovyj (1.8) suwestvugt çysla γj < 0 y tj ∈ [ t0 , ω [ takye, çto
πω ( ) ( )
( )
t p t
p t
j
j
′
–
πω ( ) ( )
( )
t p t
p t
i
i
′
+
π ϕ
ϕ
ω ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
t y t
y t
y t y t
y t
j
j
′ ′ ( )
( )
< γj pry t ∈ [ tj , ω [.
Vvydu πtoho neravenstva yz (1.10) poluçaem
′z tj ( ) ≤
γ
πω
j jz t
t
( )
( )
pry t ∈ [ tj , ω [. (1.11)
Otsgda sleduet, çto
ln zj
( t ) ≤ C + ( γj sign π ω ( t ) ) ln | π ω ( t ) |
pry t ∈ [ tj , ω [,
hde C — nekotoraq vewestvennaq postoqnnaq. V¥raΩenye, stoqwee v pravoj
çasty πtoho neravenstva, v sylu uslovyq γj < 0 y vyda funkcyy π ω ( t ) stremyt-
sq k – ∞ pry t ↑ ω. Poπtomu lim ( )
t
jz t
↑ω
= 0. Esly Ωe v dopolnenye k πtomu
uçest\ (0.3) pry k = i, to poluçym (1.9).
Lemma 1.4. Pust\ | µ 0 | < + ∞, m1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 + 1, …
… , m } v¥polnqgtsq uslovyq
limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ <
< | 1 + µ 0 | ( 1 + σi
) pry j = 1, … , m1 (esly m1 ≥ 1 ), (1.12)
limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ <
< | 1 + µ 0 | ( σi – σj
) pry j = m1 + 1, … , m ( j ≠ i ). (1.13)
Tohda dlq kaΩdoho Πω ( µ 0 )-reßenyq uravnenyq (0.1) ymegt mesto predel\n¥e
sootnoßenyq (1.9).
Dokazatel\stvo. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyzvol\noe Πω ( µ 0 )-
reßenye uravnenyq (0.1). V¥brav proyzvol\n¥m obrazom j ∈ { 1, … , m1 } (esly
m1 ≥ 1), rassmotrym funkcyg
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 343
zj
( t ) =
p t
p t y t
j
i i
( )
( ) ( )ϕ ( )
.
Dlq nee ymeem
′z tj ( ) =
z t
t
t p t
p t
t p t
p t
t y t
y t
y t y t
y t
j j
j
i
i
j
j
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )π
π π π ϕ
ϕω
ω ω ω′
− ′ − ′ ′ ( )
( )
. (1.14)
V sylu opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq, lemm 1.1, 1.2 y uslovyq (1.12) suwestvu-
gt çysla γj < 0 y tj ∈ [ t0 , ω [ takye, çto
πω ( ) ( )
( )
t p t
p t
j
j
′
–
πω ( ) ( )
( )
t p t
p t
i
i
′
–
π ϕ
ϕ
ω ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
t y t
y t
y t y t
y t
j
j
′ ′ ( )
( )
< γj pry t ∈ [ tj , ω [.
Poπtomu yz (1.14) poluçaem neravenstvo (1.11). Yz πtoho neravenstva, kak b¥lo
pokazano pry dokazatel\stve lemm¥ 1.3, sleduet, çto lim ( )
t
jz t
↑ω
= 0. Uçyt¥vaq
πtot fakt y uslovyq (0.3), pryxodym k v¥vodu o spravedlyvosty predel\noho
sootnoßenyq (1.9) pry j ∈ { 1, … , m1 }.
Teper\ v¥berem proyzvol\n¥m obrazom çyslo j ∈ { m1 + 1, … , m }, otlyçnoe
ot i (esly takoe suwestvuet), y vvedem funkcyg
zj
( t ) =
p t y t
p t y t
j j
i i
( ) ( )
( ) ( )
ϕ
ϕ
( )
( )
.
Dlq πtoj funkcyy
′z tj ( ) =
=
z t
t
t p t
p t
t p t
p t
t y t
y t
y t y t
y t
y t y t
y t
j j
j
i
i
j
j
i
i
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )π
π π π ϕ
ϕ
ϕ
ϕω
ω ω ω′
− ′ + ′ ′ ( )
( )
− ′( )
( )
.
Otsgda s uçetom opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq, lemm 1.1, 1.2 y uslovyq (1.13)
sleduet suwestvovanye çysel γj < 0 y tj ∈ [ t0 , ω [ takyx, çto v¥polnqetsq ne-
ravenstvo (1.11), kotoroe, v svog oçered\, vleçet, kak b¥lo pokazano pry doka-
zatel\stve lemm¥ 1.3, v¥polnenye uslovyq lim ( )
t
jz t
↑ω
= 0. Sledovatel\no, pry
j ∈ { m1 + 1, … , m } predel\noe sootnoßenye (1.9) takΩe spravedlyvo.
Lemma dokazana.
Analohyçn¥m obrazom s yspol\zovanyem lemm 1.1 y 1.2 ustanavlyvagtsq
sledugwye utverΩdenyq.
Lemma 1.5. Pust\ m1 ≥ 1 y dlq nekotoroho i ∈ { 1, … , m1 } v¥polnqgtsq
uslovyq (1.7),
σj < – 1 y limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ < + ∞
pry j = m1 + 1, … , m, (1.15)
esly m1 < m . Tohda dlq kaΩdoho Πω ( ± ∞ )-reßenyq uravnenyq (0.1) ymegt
mesto predel\n¥e sootnoßenyq (1.9).
Lemma 1.6. Pust\ m1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 + 1, … , m } v¥pol-
nqgtsq neravenstva σi > – 1,
σj < σi pry j = m1 + 1, … , m, (1.16)
a takΩe uslovyq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
344 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ < + ∞ pry j = 1, … , m ( j ≠ i ). (1.17)
Tohda dlq kaΩdoho Πω ( ± ∞ )-reßenyq uravnenyq (0.1) ymegt mesto predel\n¥e
sootnoßenyq (1.9).
2. Osnovn¥e rezul\tat¥. Dlq kaΩdoho i ∈ { 1, … , m } poloΩym
Ii1 ( t ) =
A
t
i
i
p s ds
1
∫ ( ) , Qi1 ( t ) =
a
t
iI s ds∫ 1( ) , Ii2 ( t ) =
A
t
i
i
s p s ds
2
∫ πω ( ) ( ) ,
hde
Ai1 =
a p s ds
p s ds
a
i
a
i
, ( ) ,
, ( ) ,
esly
esly
ω
ω
ω
∫
∫
= + ∞
< + ∞
Ai2 =
a s p s ds
s p s ds
a
i
a
i
, ( ) ( ) ,
, ( ) ( ) .
esly
esly
ω
ω
ω
ω
π
ω π
∫
∫
= + ∞
< + ∞
Krome toho, pry m1 < m vvedem dlq kaΩdoho i ∈ { m1 + 1, … , m } funkcyg
Φi
( y ) =
B
y
i
i
dz
z∫ ϕ ( )
, hde Bi =
y
dz
z
dz
z
y i
y i
0
0
0
,
( )
,
,
( )
.
esly
esly
+ ∞
+ ∞
∫
∫
= + ∞
+ ∞ < + ∞
ϕ
ϕ
Pry πtom s uçetom lemm¥ 1.2 zametym, çto pry σi > 0 predel yntehryrovanyq
Bi = + ∞, a pry σi < 0 — Bi = y0
. Krome toho, dlq funkcyy Φi suwestvuet
obratnaq funkcyq Φi
−1
, zadannaq na promeΩutke [ 0, + ∞ [, esly Bi = y0
, yly
na promeΩutke [ bi
, 0 [, hde bi = −
+ ∞
∫y i
dz
z0 ϕ ( )
, esly Bi = + ∞, pryçem dlq nyx
lim ( )
y
i y
→+ ∞
Φ = + ∞, lim ( )
z
i z
→+ ∞
−Φ 1 = + ∞ pry Bi = y0
,
(2.1)
lim ( )
y
i y
→+ ∞
Φ = 0, lim ( )
z
i z
↑
−
0
1Φ = + ∞ pry Bi = + ∞.
Teorema 2.1. Pust\ | µ 0 | < + ∞, m1 ≥ 1 y dlq nekotoroho i ∈ { 1, … , m1 }
v¥polnqgtsq uslovyq (1.7), (1.8). Tohda dlq suwestvovanyq u uravnenyq (0.1)
Πω ( µ 0 )-reßenyj neobxodymo y dostatoçno, çtob¥
( µ 0 + 1 ) πω ( t ) ≥ 0, αi
Ii1 ( t ) > 0 pry t ∈ ] a, ω [ (2.2)
y
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t I t
I t↑
′
ω
ωπ 1
1
= µ 0
, lim ( )
t
iQ t
↑ω
1 = ± ∞, (2.3)
pryçem dlq kaΩdoho yz nyx ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 345
y ( t ) = α ϕ0
0
1 1 1i iQ t o( ) ( )+[ ], y ′ ( t ) = α ϕi i iI t o0
1 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω.
(2.4)
Bolee toho, pry v¥polnenyy uslovyj (2.2), (2.3) uravnenye (0.1) ymeet odnopa-
rametryçeskoe semejstvo takyx reßenyj v sluçae Ai
1 = ω y dvuparametry-
çeskoe — v sluçae Ai
1 = a.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyz-
vol\noe Πω ( µ 0 )-reßenye uravnenyq (0.1). Tohda sohlasno lemme 1.1 v¥polnq-
etsq pervoe yz neravenstv (2.2). Krome toho, v sylu uslovyj (1.7) y (1.8) yz lem-
m¥ 1.3 sleduet, çto dlq dannoho reßenyq ymegt mesto predel\n¥e sootnoße-
nyq (1.9). S uçetom πtyx sootnoßenyj yz (0.1) poluçaem
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t y t o( ) ( ) ( )( ) +[ ]1 1 pry t ↑ ω.
Poskol\ku zdes\ i ∈ { 1, … , m1 }, vvydu (0.3) ymeem
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t o0 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (2.5)
Otsgda s uçetom uslovyj 1 y 2 opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq sleduet, çto
y ′ ( t ) ∼ α ϕ0
0
1
i
A
t
i
i
p s ds∫ ( ) , y ( t ) ∼ α ϕ τ
τ
0
0
1
i
a
t
A
i
i
p s ds d∫ ∫ ( ) pry t ↑ ω
(t. e. ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq (2.4)), v¥polnqgtsq vtoroe
yz neravenstv (2.2) y vtoroe yz predel\n¥x sootnoßenyj (2.3). Spravedlyvost\
pervoho yz predel\n¥x sootnoßenyj (2.3) sleduet yz (2.5) y pervoho yz poluçen-
n¥x v¥ße asymptotyçeskyx predstavlenyj, esly prynqt\ vo vnymanye uslovye 3
opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq.
Dostatoçnost\. Prymenqq k uravnenyg (0.1) preobrazovanye
y ( t ) = α ϕi i iQ t t0
1 11( ) ( )+[ ]v , y ′ ( t ) = α ϕi i iI t t0
1 21( ) ( )+[ ]v , (2.6)
poluçaem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj
′v1 =
′
−[ ]Q t
Q t
i
i
1
1
2 1
( )
( )
v v ,
(2.7)
′v2 =
′
− − + +[ ] +[ ]( )
=
∑I t
I t
p t r t
p t
Q ti
i k
m
k k k
i i i
k i i i
1
1
2
1
0
0
1 11
1
1
( )
( )
( ) ( )
( )
( )v v
α
α ϕ
ϕ α ϕ .
∏tu systemu rassmotrym na mnoΩestve Ω = [ t1 , ω [ × D, hde
D =
( , ) : , ,v v v1 2
2 1
2
1 2∈ ≤ ={ }R k k ,
a çyslo t1 ∈ [ a, ω [ v¥brano s uçetom vtor¥x uslovyj yz (2.2) y (2.3) tak, çtob¥
pry t ∈ [ t1 , ω [ v¥polnqlos\ neravenstvo α ϕi i iQ t0
1( ) > 2 y0 .
Poskol\ku dlq kaΩdoho k ∈ { 1, … , m }
∂ +[ ]( )ϕ α ϕ
∂
k i i iQ t0
1 1
1
1( ) v
v
= α ϕ ϕ α ϕi i i k i i iQ t Q t0
1
0
1 11( ) ( )′ +[ ]( )v ,
∂ +[ ]( )2 0
1 1
1
2
1ϕ α ϕ
∂
k i i iQ t( ) v
v
=
α ϕ ϕ α ϕi i i k i i iQ t Q t0
1
2 0
1 11( ) ( )[ ] ′′ +[ ]( )v ,
s yspol\zovanyem formul¥ Tejlora s ostatoçn¥m çlenom v forme LahranΩa
poluçaem razloΩenye
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
346 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
ϕ α ϕk i i iQ t0
1 11( ) +[ ]( )v = ϕ α ϕk i i iQ t0
1( )( ) +
+
α ϕ ϕ α ϕi i i k i i iQ t Q t0
1
0
1 1( ) ( )′ ( )v +
α ϕ ϕ α ϕ ξi i i k i i i kQ t Q t0
1
2 0
1 1
21( ) ( )[ ] ′′ +[ ]( )v ,
hde ξk = ξk
( t, v1 ) takova, çto | ξk
( t, v1 ) | < | v1 | ≤ 1 / 2 pry lgbom t ∈ [ t1 , ω [. Za-
metym, çto πto razloΩenye prynymaet vyd
ϕ α ϕk i i iQ t0
1 11( ) +[ ]( )v ≡ ϕk
0
dlq tex
k ∈ { 1, … , m1 }, pry kotor¥x funkcyq ϕk toΩdestvenno ravna postoqnnoj.
Uçyt¥vaq poluçennoe razloΩenye, zapys¥vaem systemu uravnenyj (2.7)
vRvyde
′v1 =
′
−[ ]Q t
Q t
i
i
1
1
2 1
( )
( )
v v ,
(2.8)
′v2 =
′
+ − +[ ]I t
I t
f t c t V ti
i
1
1
1 1 2 1
( )
( )
( ) ( ) ( , )v v v ,
hde
f ( t ) = – 1 +
ϕ
ϕ
i i i
i
q t r t( ) ( )( ) +[ ]1
0 +
k
k i
m
k k k k i
i i i
p t r t q t
p t=
≠
∑ +[ ] ( )
1
0
1α ϕ
α ϕ
( ) ( ) ( )
( )
,
qi
( t ) = α ϕi i iQ t0
1( ),
c1 ( t ) =
1
0
+[ ] ′( )r t q t q ti i i i
i
( ) ( ) ( )ϕ
ϕ
+
k
k i
m
k k k i k i
i i i
p t r t q t q t
p t=
≠
∑ +[ ] ′ ( )
1
0
1α ϕ
α ϕ
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
V ( t, v1 ) =
k
m
k k k i i k
i i i
p t r t q t q t t
p t=
∑ +[ ] ( ) +[ ]
1
2
1
0 1
21 1α ξ
α ϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
( )
v
v .
V sylu (2.2) y (2.3)
lim ( )
t
iq t
↑ω
= + ∞, qi
( t ) > 0 pry t ∈ ] a , ω [,
lim ( )
t
iq t
↑
′
ω
=
lybo
lybo
0,
,± ∞
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t q t
q t↑
′′
′ω
ωπ
= µ 0
.
Sledovatel\no, funkcyq qi ymeet te Ωe asymptotyçeskye svojstva, çto y lg-
boe Πω ( µ 0 )-reßenye uravnenyq (0.1). Poπtomu vvydu lemm 1.2, 1.3 y uslovyj
(0.3), (0.4)
lim
( ) ( )
( )t
k k i
i i
p t q t
p t↑
( )
ω
ϕ
ϕ0 = 0 pry k = 1, … , m (
k ≠ i
),
lim ( )
t
k iq t
↑
( )
ω
ϕ = ϕk
0 > 0, lim ( ) ( )
t
i k iq t q t
↑
′ ( )
ω
ϕ = 0 pry k = 1, … , m1
,
lim
( ) ( )
( )t
i k i
k i
q t q t
q t↑
′ ( )
( )ω
ϕ
ϕ
= 1 + σk pry k = m1 + 1, … , m.
Esly Ωe uçest\, çto | ξk
( t, v1 ) | < 1 / 2 pry t ∈ [ t1 , ω [ y | v1 | ≤ 1 / 2, a takΩe
lemmu 1.2 y uslovyq (0.5), to pry vsex k ∈ { 1, … , m }, otlyçn¥x ot tex, dlq ko-
tor¥x ϕk
( y ) ≡ 0, budem ymet\
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 347
lim
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( , )t
i k k i k
k i k
q t t q t t
q t t↑
+[ ] ′′ +[ ]( )
+[ ]( )ω
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
2
1
2
1
1
1 1
1
v v
v
=
= σk
( 1 + σk
) ravnomerno po v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
V sylu (0.3) – (0.5) kaΩdaq yz funkcyj ϕk
, k ∈ { 1, … , m }, qvlqetsq (sm. [19,
c. 15], hl. 1) pravyl\no menqgwejsq na beskoneçnosty. Poπtomu dlq kaΩdoho
k ∈ { 1, … , m } najdutsq postoqnn¥e lk , Lk > 0 takye, çto
l q tk k iϕ ( )( ) ≤ ϕ ξk i kq t t( ) ( , )1 1+[ ]( )v ≤
≤ L q tk k iϕ ( )( ) pry t ∈ [ t1 , ω [ y | v1 | ≤
1
2
.
Uçyt¥vaq teper\ pryvedenn¥e v¥ße uslovyq, poluçaem
lim ( )
t
f t
↑ω
= 0, lim ( )
t
c t
↑ω
1 = 0
y
lim
( , )
v
v
v1 0
1
1→
V t
= 0 ravnomerno po t ∈ [ t1 , ω [.
Tem sam¥m ustanovleno, çto dlq system¥ uravnenyj (2.8) v¥polnen¥ vse uslo-
vyq lemm¥ 2.1 rabot¥ [20]. Sohlasno πtoj lemme systema dyfferencyal\n¥x
uravnenyj (2.8) ymeet po krajnej mere odno reßenye ( )vk k=1
2
: [ t2 , ω [ → R
2
( t2R∈
∈ [ t1 , ω [ ), stremqweesq k nulg pry t ↑ ω. Esly Ωe uçest\, çto
lim ln ( )
t
iQ t
↑ω
1 = + ∞, lim ln ( )
t
iI t
↑ω
1 =
+ ∞ =
− ∞ =
pry
pry
A a
A
i
i
1
1
,
,ω
y prynqt\ vo vnymanye zameçanye 1.1 yz rabot¥ [21], to netrudno ponqt\, çto ys-
çezagwyx pry t ↑ ω reßenyj u system¥ (2.8) budet odnoparametryçeskoe se-
mejstvo v sluçae Ai 1 = ω y dvuparametryçeskoe — v sluçae Ai 1 = a. V sylu za-
men (2.6) kaΩdomu takomu reßenyg system¥ (2.8) sootvetstvuet reßenye y : [ t2 ,
ω [ → [ y0, + ∞ [ uravnenyq (0.1), dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye pred-
stavlenyq (2.4). Yspol\zuq πty predstavlenyq y uslovyq (2.2), (2.3), lehko
ubeΩdaemsq v tom, çto dannoe reßenye udovletvorqet vsem uslovyqm opredele-
nyq Πω ( µ 0 )-reßenyq uravnenyq (0.1).
Teorema dokazana.
Teorema 2.2. Pust\ m1 ≥ 1 y dlq nekotoroho i ∈ { 1, … , m1 } v¥polnq-
gtsq uslovyq (1.7) y (1.15), esly m 1 < m. Tohda dlq suwestvovanyq u uravne-
nyq (0.1) Πω ( + ∞ )-reßenyj ( Πω ( – ∞ )-reßenyj) neobxodymo y dostatoçno,
çtob¥ ω = + ∞ ( ω < + ∞ ),
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t I t
I t↑
′
ω
ωπ 1
1
= + ∞ ( – ∞ ) (2.9)
y v¥polnqlys\ uslovyq
lim ( )
t
iQ t
↑ω
1 = ± ∞, αi Ii1 ( t ) > 0 pry t ∈ ] a, ω [. (2.10)
Bolee toho, pry ukazann¥x uslovyqx uravnenye (0.1) ymeet dvuparametryçeskoe
semejstvo takyx reßenyj, pryçem kaΩdoe yz nyx dopuskaet asymptotyçeskye
predstavlenyq vyda (2.4).
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyz-
vol\noe Πω ( + ∞ )-reßenye ( Πω ( – ∞ )-reßenye) uravnenyq (0.1). Tohda sohlasno
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
348 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
lemme 1.1 ω = + ∞ ( ω < + ∞ ). Krome toho, v sylu uslovyj (1.7) y (1.15) dlq dan-
noho reßenyq na osnovanyy lemm¥ 1.5 ymegt mesto predel\n¥e sootnoßenyq
(1.9). S uçetom πtyx sootnoßenyj yz (0.1) poluçaem
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t y t o( ) ( ) ( )( ) +[ ]1 1 pry t ↑ ω.
Otsgda s uçetom opredelenyq Πω ( + ∞ )-reßenyq ( Πω ( – ∞ )-reßenyq) uravnenyq
(0.1) sledugt asymptotyçeskye predstavlenyq (2.4) y uslovyq (2.9), (2.10).
Dostatoçnost\. Predpolahaq v¥polnenn¥my uslovyq ω = + ∞ ( ω < + ∞ ),
(2.9) y (2.10), uravnenye (0.1) s pomow\g preobrazovanyq (2.6) svodym k systeme
uravnenyj vyda (2.7). Posle πtoho takym Ωe obrazom, kak pry dokazatel\stve
dostatoçnosty teorem¥ 2.1, ustanavlyvaem, çto πta systema ymeet po krajnej
mere odno reßenye ( )vk k=1
2
: [ t2 , ω [ → R
2 ( t2R∈ [ t1 , ω [ ), stremqweesq k nulg
pry t ↑ ω. A poskol\ku sohlasno uslovyqm (2.9), (2.10)
lim ln ( )
t
iQ t
↑ω
1 = + ∞, lim ln ( )
t
iI t
↑ω
1 = + ∞,
na osnovanyy zameçanyq 1.1 yz rabot¥ [20] pryxodym k v¥vodu o suwestvovanyy
u system¥ (2.7) dvuparametryçeskoho semejstva takyx reßenyj. KaΩdomu yz
nyx v sylu preobrazovanyq (2.6) sootvetstvuet Πω ( + ∞ )-reßenye ( Πω ( – ∞ )-re-
ßenye) y : [ t2 , ω [ → [ y0, + ∞ [ uravnenyq (0.1), dopuskagwee asymptotyçeskye
predstavlenyq (2.4).
Teorema 2.3. Pust\ µ 0 ∈ R \ { 0, – 1 }, m 1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 +
+ 1, … , m } v¥polnqgtsq uslovyq σ i ≠ 0, (1.12) y (1.13). Tohda dlq
suwestvovanyq u uravnenyq (0.1) Π ω ( µ 0 )-reßenyj neobxodymo, a esly
v¥polnqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj:
µ 0 ≠ –
1
2
; µ 0 = –
1
2
y σi < 0, (2.11)
to y dostatoçno, çtob¥
( 1 + µ 0 ) πω ( t ) > 0, αi
µ 0 πω ( t ) > 0 pry t ∈ [ a, ω [, (2.12)
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t I t
I t↑
′
ω
ωπ 2
2
= – ( 1 + µ 0 ) σi
. (2.13)
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asymptotyçeskye
predstavlenyq
y t
y ti
( )
( )ϕ ( )
= –
α σ
µ
i i
iI t o
0
2 1 1( ) ( )+[ ],
y ′ ( t ) =
1
1 10+ +[ ]µ
πω ( )
( ) ( )
t
y t o pry t ↑ ω. (2.14)
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyz-
vol\noe Πω ( µ 0 )-reßenye uravnenyq (0.1). Tohda sohlasno lemme 1.1 v¥polnq-
etsq pervoe yz neravenstv (2.12), a sohlasno lemme 1.4 ymegt mesto predel\n¥e
sootnoßenyq (1.9). Uçyt¥vaq (1.9), yz (0.1) poluçaem
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t y t o( ) ( ) ( )( ) +[ ]1 1 pry t ↑ ω.
Poskol\ku µ 0 ≠ 0 y v sylu opredelenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′′
′ω
ωπ
= µ 0
,
otsgda sleduet
′
( )
y t
y ti
( )
( )ϕ
=
α
µ
πω
i
ip t t o
0
1 1( ) ( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (2.15)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 349
Yz πtoho asymptotyçeskoho predstavlenyq s uçetom perv¥x dvux uslovyj opre-
delenyq Πω ( µ 0 )-reßenyq pryxodym k v¥vodu o spravedlyvosty vtoroho yz ne-
ravenstv (2.12).
Dalee, prymenqq pravylo Lopytalq (v forme Ítol\ca), v sylu (2.15), nera-
venstva σi ≠ 0 y lemm¥ 1.2 naxodym
lim
( )
( ) ( )t i i
y t
I t y t↑ ( )ω ϕ2
= lim
( ) ( )
( )t
i
i
y t y t
I t↑
/ ( )( )
ω
ϕ
2
=
= lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )t
i i i
i
y t y t y t y t y t
t p t↑
′ ( )( ) − ′( ) ( )[ ]/ /
ω ω
ϕ ϕ ϕ
π
1
=
= lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )t
i i i
i
t p t
t p t↑
− +[ ]/
ω
ω
ω
α π σ µ
π
1 1 0 = –
α σ
µ
i i
0
.
Znaçyt, ymeet mesto pervoe yz asymptotyçeskyx predstavlenyj (2.14). Spraved-
lyvost\ vtoroho yz nyx v¥tekaet yz lemm¥ 1.1.
Yspol\zuq teper\ (2.15) y pervoe yz asymptotyçeskyx predstavlenyj (2.14),
poluçaem
πω ( ) ( )
( )
t y t
y t
′
= –
π
σ
ω
2
2
1 1
( ) ( )
( )
( )
t y t
I t
o
i i
′ +[ ] pry t ↑ ω .
Otsgda s uçetom lemm¥ 1.1 y vyda funkcyy I ti2( ) sleduet, çto v¥polnqetsq
uslovye (2.13).
Dostatoçnost\. Prymenqq k uravnenyg (0.1) preobrazovanye
Φi y t( )( ) =
α
µ
i
iI t x
0
2 11( ) ( )+[ ]v ,
′y t
y t
( )
( )
=
1
10
2
+ +[ ]µ
πω ( )
( )
t
xv ,
(2.16)
x = β ln ( )πω t , hde β =
1
1
, ,
, ,
esly
esly
ω
ω
= + ∞
− < + ∞
poluçaem systemu uravnenyj
′v1 =
β π α µ µ
ϕ
ω−
′
+( ) + +
( )
+
( ) ( )
( )
( )
( )
( , )
( , )
( )
t I t
I t I t
Y t
Y t
i
i
i
i
i
i i
2
2
1
0 0
2
1
1
21
1
1v
v
v
v ,
(2.17)
′v2 =
β µ π
µ
α ϕω1 1 1
1
12 0 2
2
2
0 1 1
1+ − + + +
+
+[ ] ( )
=
∑v v
v
v( )( )
( )
( ) ( , )
( ) ( ) ( , )
t
Y t
p t r t Y t
i k
m
k k k k i ,
hde
Yi
( t, v1 ) =
Φi
i
iI t− +
1
0
2 11
α
µ
( )( )v , t =
e
e
x
x
pry
pry
ω
ω ω
= + ∞
− < + ∞
−
,
.
V sylu neravenstv σi ≠ 0, µ0 ≠ 0, – 1 y uslovyj (2.12), (2.13)
α µ σi i iI t0 2( ) < 0 pry t ∈ ] a, ω [,
(2.18)
lim ( )
t
iI t
↑ω
2 =
± ∞ <
>
pry
pry
σ
σ
i
i
0
0 0
,
.
Uçyt¥vaq (2.18), v¥byraem v sluçae σi > 0 çyslo t1 ∈ ] a, ω [ tak, çtob¥ pry
tR∈ [ t1 , ω [ v¥polnqlos\ neravenstvo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
350 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
bi <
3
2
0
2
α µi
iI t( ) < 0 v sluçae, kohda σi > 0,
hde bi opredeleno v naçale nastoqweho punkta pry opysanyy svojstv funkcyj
Φi , Φi
−1
. Esly Ωe σ i < 0, to v kaçestve t1 v¥byraem lgboe çyslo yz
promeΩutka ] a, ω [.
Polahaq x0 = β ln ( )πω t1 , rassmatryvaem systemu uravnenyj (2.17) na mno-
Ωestve
Ω = [ x0, + ∞ [ × D, D =
( , ) : , ,v v v1 2
2 1
2
1 2∈ ≤ ={ }R k k .
V sylu v¥bora çysla t1 , vyda funkcyy Φi y uslovyj (2.1), (2.18) Y t xi ( ), v1( ) ≥
≥ y0 pry x ≥ x0 y | v1 | ≤ 1 / 2,
lim ( ),
x
iY t x
→+ ∞
( )v1 = lim ( ),
t
iY t x
↑
( )
ω
v1 = + ∞ ravnomerno po v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
(2.19)
Krome toho,
∂
∂ ϕv
v
v1
1
1
Y t
Y t
i
i i
,
,
( )
( )( )
=
α
µ
ϕ
ϕ
i
i
i i i
i i
I t
Y t Y t
Y t0
2
1 1
1
1( )
, ,
,
− ( ) ′ ( )( )
( )( )
v v
v
,
∂
∂ ϕ
2
1
2
1
1v
v
v
Y t
Y t
i
i i
,
,
( )
( )( )
= –
α
µ
ϕ ϕ
ϕ
i
i
i i
i
i i i
i i
I t
Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2
2
1
1
1 1
1
( )
,
,
, ,
,
( )( )
( )
( ) ′ ( )( )
( )( )
v
v
v v
v
+
+
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i i i
i i
i i i
i i
2
1 1
1
1 1
1
2
, ,
,
, ,
,
v v
v
v v
v
( ) ′′ ( )( )
( )( )
− ( ) ′ ( )( )
( )( )
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
∂
∂
ϕ
v
v
v1
1
1
k i
i
Y t
Y t
,
,
( )( )
( )
=
α
µ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
i i i i k i
i
i k i
k i
I t Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2 1 1
2
1
1 1
1
1
( ) , ,
,
, ,
,
v v
v
v v
v
( )( ) ( )( )
( )
( ) ′ ( )( )
( )( )
−
,
∂
∂
ϕ2
1
2
1
1v
v
v
k i
i
Y t
Y t
,
,
( )( )
( )
=
α
µ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
i
i
i i k i
i
i k i
k i
I t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2
2 2
1 1
3
1
2
1 1
1
( )
, ,
,
, ,
,
( )( ) ( )( )
( )
( ) ′′ ( )( )
( )( )
v v
v
v v
v
+
+
Y t Y t Y t
Y t Y t
i i i k i
i i k i
2
1 1 1
1 1
, , ,
, ,
v v v
v v
( ) ′ ( )( ) ′ ( )( )
( )( ) ( )( )
ϕ ϕ
ϕ ϕ
–
–
2 21 1
1
1 1
1
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i k i
k i
i i i
i i
, ,
,
, ,
,
v v
v
v v
v
( ) ′ ( )( )
( )( )
− ( ) ′ ( )( )
( )( )
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Tohda sohlasno formule Tejlora s ostatoçn¥m çlenom v forme LahranΩa pry
kaΩdom fyksyrovannom tR∈ [ t1 , ω [ ymegt mesto razloΩenyq
Y t
Y t
i
i i
,
,
v
v
1
1
( )
( )( )ϕ
=
Y t
Y t
i
i i
,
,
0
0
( )
( )( )ϕ
+
α
µ
ϕ
ϕ
i
i
i i i
i i
I t
Y t Y t
Y t0
2 11
0 0
0
( )
, ,
,
− ( ) ′ ( )( )
( )( )
v –
–
α
µ
ϕ ξ
ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
i
i
i i
i
i i i
i i
I t
Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2
2
0
0
0 0
0
( )
,
( , )
, ,
,
( )( ) ( ) ′ ( )( )
( )( )
+
Y t Y t
Y t
i i i
i i
2
0 0
0
, ,
,
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
( ) ′′ ( )( )
( )( )
–
–
Y t Y t
Y t
i i i
i i
, ,
,
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
0 0
0
2
1
2( ) ′ ( )( )
( )( )
v ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 351
ϕk i
i
Y t
Y t
,
,
v
v
1
1
( )( )
( )
=
=
ϕk i
i
Y t
Y t
,
,
0
0
( )( )
( )
+
α
µ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
i i i i k i
i
i k i
k i
I t Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2
2 1
0 0
0
0 0
0
1
( ) , ,
,
, ,
,
( )( ) ( )( )
( )
( ) ′ ( )( )
( )( )
−
v +
+
α
µ
ϕ ξ ϕ ξ
ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
i
i
i i k k i k
i k
i k k i k
k i k
I t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t0
2
2 2
3
2
( )
, ,
,
, ,
,
( )( ) ( )( )
( )
( ) ′′ ( )( )
( )( )
+
+
Y t Y t Y t
Y t Y t
i k i i k k i k
i i k k i k
2 , , ,
, ,
ξ ϕ ξ ϕ ξ
ϕ ξ ϕ ξ
( ) ′ ( )( ) ′ ( )( )
( )( ) ( )( )
–
–
2 2 1
2Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i k k i k
k i k
i k i i k
k i k
, ,
,
, ,
,
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
( ) ′ ( )( )
( )( )
− ( ) ′ ( )( )
( )( )
+
v ,
hde ξk = ξk
( t, v1 ), k = 0, 1, … , m, takov¥, çto
| ξk
( t, v1 ) | < | v1 |, k = 0, 1, … , m,
(2.20)
pry tR∈ [ t1 , ω [ y v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
Uçyt¥vaq πty razloΩenyq, systemu (2.17) zapys¥vaem v vyde
′v1 = β f x c x c x V x1 11 1 12 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( , , )+ + +[ ]v v v v ,
(2.21)
′v2 = β f x c x c x V x2 21 1 22 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( , , )+ + +[ ]v v v v ,
hde
f x t1 ( )( ) = –
πω ( ) ( )
( )
t I t
I t
i
i
′2
2
+
µ µ
α ϕ
0 0
2
1 0
0
( )
( )
( , )
( , )
+
( )i i
i
i iI t
Y t
Y t
,
f x t2 ( )( ) = – µ 0 +
π
µ
ϕ α ϕ
ϕ
ω ( ) ( ) ( , )
( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
( )
t I t Y t
Y t
p t Y t
p t Y t
r ti i i
i k
m
k k k i
i i i
k
′
+
( ) ( )
( )
+[ ]
=
∑2
0 11
0
0
0
0
1 ,
c x t11 ( )( ) = –
πω ( ) ( )
( )
t I t
I t
i
i
2
2
+ ( )
, ,
,
1 1
0 0
00+ − ( ) ′ ( )( )
( )( )
µ ϕ
ϕ
Y t Y t
Y t
i i i
i i
,
c x t12 ( )( ) =
µ µ
α ϕ
0 0
2
1 0
0
( )
( )
( , )
( , )
+
( )i i
i
i iI t
Y t
Y t
,
c x t21 ( )( ) =
π
µ µ
ϕω ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( , )
( , )
t I t
I t
I t Y t
Y t
i
i
i i i
i
′
+
( )
2
0 0 2
2
1
0
0
×
×
k
m
k k k k i
i i i i
i k i
k i
p t r t Y t
p t Y t
Y t Y t
Y t=
∑ +[ ] ( )
( )
( ) ′ ( )( )
( )( )
−
1
1 0
0
0 0
0
1
α ϕ
α ϕ
ϕ
ϕ
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
, ,
,
,
c x t22 ( )( ) = – 1 – 2 µ 0 ,
V x t1 1 2( ), ,v v( ) =
( )
, ,
,
1 1
0 0
00 1 2+ − ( ) ′ ( )( )
( )( )
µ ϕ
ϕ
Y t Y t
Y t
i i i
i i
v v +
+
µ µ
α
∂
∂ ϕ ξ
0 0
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1 0 1
( )
( )
( )
,
( , ) ( , )
+ + ( )
( )
=i i
i
i i tI t
Y t
Y t
v v
v
v
v
v v
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
352 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
V x t2 1 2( ), ,v v( ) = – ( )1 0 2
2+ µ v +
+
v
v
v
v
v v
1
2
0
2
1
2
1
2
1
11
1
1 1
+
′ +[ ] ( )
= =
∑µ
π α ∂
∂
ϕ
ω
ξ
( ) ( )
( ) ( )
( )
( , )
( , ) ( , )
t I t
p t r t
p t
Y t
Y ti
k
m
k k k
i
i i
i tk
.
Dalee, ustanovym svojstva funkcyj, stoqwyx v pravoj çasty system¥ (2.21).
V sylu uslovyj (0.3) – (0.5), lemm¥ 1.2 y uslovyq (2.19) ravnomerno po v1R∈
∈ −
1
2
1
2
, ymegt mesto predel¥
lim
, ,
,t
i k i
k i
Y t Y t
Y t↑
( ) ′ ( )( )
( )( )ω
ϕ
ϕ
v v
v
1 1
1
=
0 1
1 1
1
1
pry
pry
k m
k m mk
= …
+ = + …
, , ,
, ,σ
(2.22)
y
lim
, ,
,t
i k i
k i
Y t Y t
Y t↑
( ) ′′ ( )( )
′ ( )( )ω
ϕ
ϕ
v v
v
1 1
1
= σk (2.23)
pry vsex k ∈ { 1, … , m }, otlyçn¥x ot tex, dlq kotor¥x ϕk ( y ) ≡ ϕk
0
.
Uçyt¥vaq, çto i ∈ { m1 + 1, … , m }, s yspol\zovanyem pravyla Lopytalq v
forme Ítol\ca y (2.22) naxodym
lim
( , )
( , ) ( )t
i
i i i
Y t
Y t I t↑ ( )ω ϕ
0
0 2
= lim
( , )
( , )
( )t
i
i i
i
Y t
Y t
I t↑
( )
′
′ω
ϕ
0
0
2
=
=
α
µ
ϕ
ϕω
i
t
i i i
i i
Y t Y t
Y t0
1
0 0
0
lim
( , ) ( , )
( , )↑
− ′( )
( )
= − α σ
µ
i i
0
.
Otsgda sleduet
Y t
Y t
i
i i
( , )
( , )
0
0ϕ ( )
= − +[ ]α σ
µ
i i
iI t o
0
2 1 1( ) ( ) pry t ↑ ω . (2.24)
Poskol\ku ′Y ti( , )0 =
α
µ
ϕi
i i iI t Y t
0
2 0′ ( )( ) ( , ) , to vvydu (2.24) y (2.13)
lim
( ) ( , )
( , )t
i
i
t Y t
Y t↑
′
ω
ωπ 0
0
= 1 + µ0,
t. e. Y ti( , )0 ymeet svojstva lgboho Πω µ( )0 -reßenyq uravnenyq (0.1), kotor¥e
yspol\zovalys\ pry ustanovlenyy lemm¥ 1.4. Vsledstvye πtoho fakta y v¥pol-
nenyq uslovyj (1.12) y (1.13) ymeem
lim
( ) ( , )
( ) ( , )t
k k i
i i i
p t Y t
p t Y t↑
( )
( )ω
ϕ
ϕ
0
0
= 0
(2.25)
pry lgbom k ∈ { 1, … , m }, otlyçnom ot i.
Nakonec, zametym, çto vse funkcyy ϕk , hde k otlyçno ot tex znaçenyj, pry
kotor¥x ϕk ( y ) ≡ ϕk
0
, qvlqgtsq stroho monotonn¥my na promeΩutke [ , [y0 +∞
y pravyl\no menqgwymysq na beskoneçnosty (sm. [19]). Poπtomu dlq kaΩdoho
k ∈ { 1, … , m } suwestvugt postoqnn¥e lk , Lk > 0 takye, çto
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 353
lk ≤
ϕ ξ
ϕ
k i
k i
Y t
Y t
( , )
( , )
( )
( )0
≤ Lk pry lgb¥x t ∈ [ , [t1 ω y ξ ∈ −
1
2
1
2
, . (2.26)
Teper\, prynymaq vo vnymanye uslovyq (2.19), (2.20), (2.22) – (2.26) y (2.13), a
takΩe zamenu nezavysymoj peremennoj x = β πωln ( )t , lehko ubeΩdaemsq v
tom, çto v systeme (2.21)
lim ( )
x
kf x
→ + ∞
= 0, k = 1, 2, lim ( )
x
c x
→ + ∞
11 = 0, lim ( )
x
c x
→ + ∞
12 = − +σ µi( )1 0 ,
lim ( )
x
c x
→ + ∞
21 = – µ0 , lim ( )
x
c x
→ + ∞
22 = − −1 2 0µ ,
a funkcyy V1, V2 takov¥, çto
lim
( , )
| | + | | → | | + | |v v
v v
v v1 2 0
1 2
1 2
V xk = 0, k = 1, 2, ravnomerno po x ∈ [ , [x0 + ∞ .
Znaçyt, systema (2.21) qvlqetsq kvazylynejnoj systemoj dyfferencyal\n¥x
uravnenyj s poçty postoqnn¥my koπffycyentamy.
Zapysav xarakterystyçeskoe uravnenye dlq predel\noj matryc¥ koπffy-
cyentov lynejnoj çasty πtoj system¥ v vyde
− − +
− − + −
βλ βσ µ
βµ β µ βλ
i( )
( )
1
1 2
0
0 0
= 0,
poluçym
λ µ λ σ µ µ2
0 0 01 2 1+ + − +( ) ( )i = 0.
V sylu (2.11) πto uravnenye ne ymeet kornej s nulevoj dejstvytel\noj çast\g.
Takym obrazom, dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2.21) v¥polne-
n¥ vse uslovyq teorem¥ 2.1 rabot¥ [21]. Sohlasno πtoj teoreme systema (2.21)
ymeet po krajnej mere odno reßenye ( )vk k = 1
2
: [ , [x1 + ∞ → R 2
, hde x1 ≥ x0
,
stremqweesq k nulg pry x → + ∞. Dannomu reßenyg v sylu zamen (2.16) soot-
vetstvuet reßenye y: [ , [t2 ω → [ , [y0 +∞ , dopuskagwee asymptotyçeskye
predstavlenyq
Φi y t( )( ) =
α
µ
i
iI t o
0
2 1 1( ) ( )+[ ],
y t
y t
′( )
( )
=
1
1 10+ +[ ]µ
πω( )
( )
t
o pry t ↑ ω .
Esly Ωe uçest\, çto dlq πtoho reßenyq
lim
( )
( )
( )
t
i
i
y t
y t
y t
↑
( )
( )
ω
ϕ
Φ
= lim
( )
( )
( )
t
i
i
y t
y t
y t
↑
′( )
( )
′ω
ϕ
Φ
= lim
( ) ( )
( )
t i
i
y t y t
y t
↑ − ′( )
( )
ω ϕ
ϕ
1
1
= –
1
σi
,
to yz poslednyx predstavlenyj poluçym predstavlenyq (2.14).
Teorema dokazana.
3. V¥vod¥. V dannoj rabote dlq nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj vtoroho porqdka v¥delen nov¥j klass tak naz¥vaem¥x Πω µ( )0 -reßenyj,
v nekotorom sm¥sle blyzkyj k klassu Pω-reßenyj, vvedennomu v [14]. V sluçae
dyfferencyal\noho uravnenyq vyda (0.1) predloΩen podxod, pozvolqgwyj po-
luçyt\ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq reßenyj yz dannoho
klassa, a takΩe ustanovyt\ dlq nyx asymptotyçeskye predstavlenyq pry t ↑ ω ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
354 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
hde ω lybo koneçno, lybo ravno ± ∞. VaΩnoj osobennost\g πtoho podxoda
qvlqetsq to, çto sytuacyy, otnosqwyesq k ω < + ∞ y ω = ± ∞, ne razdelqgtsq
pry yssledovanyy, kak πto ob¥çno b¥vaet, a yzuçagtsq v ramkax edynoho
metoda. Poluçenn¥e zdes\ rezul\tat¥ pozvolqgt neposredstvenno dat\ opy-
sanye asymptotyçeskoho povedenyq kak pravyl\n¥x, tak y razlyçnoho typa syn-
hulqrn¥x reßenyj.
Poskol\ku otdel\n¥e slahaem¥e v pravoj çasty uravnenyq (0.1) soderΩat
nelynejnosty, neçetko zadann¥e klassom pravyl\no menqgwyxsq v levoj ok-
restnosty ω funkcyj, asymptotyku ne vsehda moΩno zapysat\ v qvnom vyde
(sm. teoremu 2.3). Odnako esly v πtoj teoreme konkretno opredelyt\ vyd
funkcyy ϕi , to asymptotyçeskye predstavlenyq pry t ↑ ω mohut b¥t\ pred-
stavlen¥ qvn¥my formulamy. Naprymer, esly v dopolnenye k uslovyqm teore-
m¥ 2.3 predpoloΩyt\, çto funkcyq ψ i y( ) = y yi
i
− −σ ϕ1 ( ) takova, çto
ψ πω
µ
i
ot( ) ( )1 10+ +( ) = C o t( ) ( ) ( )µ ψ πω0 1+[ ] ( ) pry t ↑ ω ,
hde C( )µ0 — otlyçnaq ot nulq vewestvennaq postoqnnaq, to asymptotyçeskye
predstavlenyq (2.14) moΩno zapysat\ v qvnom vyde
y ( t ) = C
I t t oi
i i
i( )
( ) ( ) ( )
µ σ
µ
ψ πω
σ0
0
2
1
1 1( ) +[ ]
−
pry t ↑ ω ,
y′ ( t ) = 1 1 10 0
0
2
1
+ ( ) +[ ]
−µ
π
µ σ
µ
ψ π
ω
ω
σ
( )
( )
( ) ( ) ( )
t
C
I t t oi
i i
i
pry t ↑ ω .
Ukazannomu v¥ße uslovyg udovletvorqgt funkcyy ϕi y( ) = y
P y
Q y
i n
n
1+σ ( )
( )
, hde
Pn , Qn — polynom¥ stepeny n, ϕi y( ) = y yi1+σ γln , ϕi y( ) = y y yi1+σ γ γln ln ln y
mnohye druhye.
1. Kyhuradze Y. T., Çanturyq T. A. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj neavtonomn¥x ob¥k-
novenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1991.
2. Kyhuradze Y. T. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj odnoho nelynejnoho dyfferencyal\-
noho uravnenyq typa ∏mdena – Faulera // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1965. – 29, # 5. –
S.R965 – 986.
3. Kostyn A. V. Ob asymptotyke prodolΩaem¥x reßenyj uravnenyq typa ∏mdena – Faulera //
Dokl. AN SSSR. – 1971. – 200, # 1. – S. 28 – 31.
4. Çanturyq T. A. Ob asymptotyçeskom predstavlenyy reßenyj uravnenyq ′′u =
= a t u un( ) sign // Dyfferenc. uravnenyq. – 1972. – 8, # 7. – S. 1195 – 1206.
5. Kostyn A. V., Evtuxov V. M. Asymptotyka reßenyj odnoho nelynejnoho dyfferencyal\-
noho uravnenyq // Dokl. AN SSSR. – 1976. – 231, # 5. – S. 1059 – 1062.
6. Evtuxov V. M. Ob odnom nelynejnom dyfferencyal\nom uravnenyy vtoroho porqdka //
Dokl. AN SSSR. – 1977. – 233, # 4. – S. 531 – 534.
7. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq reßenyj odnoho klassa nelynejn¥x
dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Soobw. AN HSSR. – 1982. – 106, # 3. –
S.R473 – 476.
8. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj odnoho klassa dyfferencyal\n¥x
uravnenyj vtoroho porqdka // Math. Nachr. – 1984. – 115. – P. 215 – 236.
9. Bellman R. Teoryq ustojçyvosty reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Yzd-vo
ynostr. lyt., 1954. – 216 s.
10. Kostyn A. V. O povedenyy pry x → + ∞ reßenyj ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj y alhebrayçeskyx uravnenyj s monotonn¥my koπffycyentamy // Dyfferenc. uravne-
nyq. – 1967. – 3, # 2. – S. 206 – 218.
11. Kostyn A. V. Ob asymptotyçeskyx svojstvax reßenyj ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj pervoho porqdka // Tam Ωe. – 1968. – 4, # 7. – S. 1184 – 1195.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 355
12. Kostyn A. V. Asymptotyka pravyl\n¥x reßenyj nelynejn¥x ob¥knovenn¥x dyfferency-
al\n¥x uravnenyj // Tam Ωe. – 1987. – 23, # 3. – S. 524 – 526.
13. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye svojstva monotonn¥x reßenyj odnoho klassa nelynejn¥x
dyfferencyal\n¥x uravnenyj n-ho porqdka // Dokl. rasßyr. zas. Yn-ta prykl. matematyky
ym.RY.RN.RVekua Tbylys. un-ta. – 1988. – 3, # 3. – S. 62 – 65.
14. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq monotonn¥x reßenyj nelynejnoho dyf-
ferencyal\noho uravnenyq typa ∏mdena – Faulera n-ho porqdka // Dokl. AN Rossyy. –
1992. – 324, # 2. – S. 258 – 260.
15. Evtuxov V. M. Ob odnom klasse monotonn¥x reßenyj nelynejnoho dyfferencyal\noho
uravnenyq n-ho porqdka typa ∏mdena – Faulera // Soobw. AN Hruzyy. – 1992. – 145, # 2. –
S. 269 – 273.
16. Maric′ V., Tomic′ M. Asymptotic properties of solutions of the equation y ′′ = f ( x ) Φ ( y ) // Math.
Z. – 1976. – 149. – P. 261 – 266.
17. Wong P. K. Existence and asymptotic behavior of proper solutions of a class of second-order
nonlinear differential equations // Pacif. J. Math. – 1963. – 13. – P. 737 – 760.
18. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472Rs.
19. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 144 s.
20. Evtukhov V. M., Shinkarenko V. N. On the solutions with degree asymptotics of the differential
equations with exponential nonlinearity // Nelinijni kolyvannq. – 2002. – 5, # 3. – S. 324 – 341.
21. Evtuxov V. M. Ob ysçezagwyx na beskoneçnosty reßenyqx vewestvenn¥x neavtonomn¥x
system kvazylynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. –
39, # 4. – S. 433 – 444.
Poluçeno 02.04.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3602 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:35Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fa/28365fe3bbb8abb07dab496b67a68bfa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36022020-03-18T19:59:42Z Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type. Встановлюються асимптотичні зображення для одного класу необмежених розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку, що містять у правій частині суму доданків із нелінійностями більш загального вигляду, ніж нелінійності типу Емдена - Фаулера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3602 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 338–355 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 338–355 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3602/3935 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3602/3936 Copyright (c) 2005 Evtukhov V. M.; Kas'yanova V. A. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title | Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title_alt | Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I |
| title_full | Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title_fullStr | Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title_full_unstemmed | Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title_short | Asymptotic Behavior of Unbounded Solutions of Essentially Nonlinear Second-Order Differential Equations. I |
| title_sort | asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3602 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT kas039yanovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT kasʹânovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT kasʹânovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsi AT evtukhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai AT kas039yanovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai AT kasʹânovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai AT kasʹânovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkai |