Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems
We consider the problem of solvability and optimization for a pseudohyperbolic operator of the general form. We prove theorems on existence and uniqueness for various right-hand sides of the equation. The results obtained are applied to the problem of trajectory-final controllability.
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3604 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509721626148864 |
|---|---|
| author | Nomirovs'kii, D. A. Номировский, Д. А. Номировский, Д. А. |
| author_facet | Nomirovs'kii, D. A. Номировский, Д. А. Номировский, Д. А. |
| author_sort | Nomirovs'kii, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | We consider the problem of solvability and optimization for a pseudohyperbolic operator of the general form. We prove theorems on existence and uniqueness for various right-hand sides of the equation. The results obtained are applied to the problem of trajectory-final controllability. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.977.56
D. A. Nomyrovskyj (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ
UPRAVLQEMOST| PSEVDOHYPERBOLYÇESKYX SYSTEM
We investigate problems of the solvability and optimization for pseudo-hyperbolic operator of the
general form. For different classes of right-hand side of an equation, we prove theorems on the existence
and uniqueness. We apply the results obtained to the problem of trajectory-final controllability.
Rozhlqdagt\sq problemy rozv’qznosti ta optymizaci] dlq psevdohiperboliçnoho operatora za-
hal\noho vyhlqdu. Dlq riznyx klasiv pravyx çastyn rivnqnnq dovedeno teoremy isnuvannq ta
[dynosti. OderΩani rezul\taty zastosovano do zadaçi tra[ktorno-final\no] kerovanosti.
V nastoqwej stat\e yzuçaetsq zadaça optymyzacyy psevdohyperbolyçeskoj
system¥
L u u A u B u f t x htt t≡ + + =( ) ( ) ( , ; ) , (1)
�( ) ( ), minh u h h
h
= ( ) →Φ , (2)
hde u t x h( , ; ) — reßenye uravnenyq (1), ( , )t x ∈ ( , )0 T × Ω ⊂ Rn+1, A, B — ope-
rator¥ vtoroho porqdka po prostranstvenn¥m peremenn¥m, h — upravlenye
systemoj, � — funkcyonal kaçestva. Zadaçy, pryvodqwye k operatoram L, y
klassyçeskye naçal\no-kraev¥e zadaçy dlq takyx system v cylyndryçeskoj ob-
lasty ( , )0 T × Ω yssledovan¥ dostatoçno xoroßo [1 – 5]. Kraev¥e zadaçy s
kosoj proyzvodnoj dlq psevdohyperbolyçeskoho operatora rassmatryvalys\ v
[6], nelokal\n¥e zadaçy — v [7]. V sluçae, kohda pravaq çast\ f qvlqetsq obob-
wennoj funkcyej nekotoroho koneçnoho porqdka, psevdohyperbolyçeskye
uravnenyq yzuçalys\ v [7 – 10]. Zadaçy optymal\noho upravlenyq takymy syste-
mamy rassmatryvalys\ v [9 – 14].
Odnako vse yzvestn¥e rezul\tat¥ otnosytel\no psevdohyperbolyçeskyx
uravnenyj s obobwenn¥my funkcyqmy v pravoj çasty soderΩat rqd suwest-
venn¥x ohranyçenyj na operator¥ A, B (ravnomernaq πllyptyçnost\, Ωestkye
uslovyq na mladßye çlen¥ yly otsutstvye πtyx slahaem¥x, uslovyq na hlad-
kost\ koπffycyentov). Krome toho, v ukazann¥x rabotax teorem¥ razreßymos-
ty ustanavlyvagt tol\ko odno sootnoßenye meΩdu hladkostqmy pravoj çasty y
reßenyq uravnenyq, çto daet vozmoΩnost\ πffektyvno prymenqt\ takye teore-
m¥ tol\ko v sluçae, kohda dyfferencyal\n¥e svojstva konkretnoj pravoj
çasty sovpadagt s trebovanyqmy hladkosty v prostranstve prav¥x çastej.
V dannoj rabote rassmotrena zadaça optymyzacyy dlq osnovn¥x kraev¥x za-
daç psevdohyperbolyçeskyx system. Otnosytel\no operatorov A, B snqto
bol\ßynstvo ohranyçenyj (suwestvenn¥m ostaetsq tol\ko ravnomernaq πllyp-
tyçnost\ operatora A ) . Dlq korrektnoho yzuçenyq optymyzacyonnoj zadaçy
ustanovlen¥ razlyçn¥e teorem¥ edynstvennoj razreßymosty psevdohyperboly-
çeskoho uravnenyq v zavysymosty ot porqdka synhulqrnosty pravoj çasty f.
Poluçenn¥e rezul\tat¥ dagt vozmoΩnost\ πffektyvno yzuçat\ vopros¥ fy-
nal\noj upravlqemosty takymy systemamy.
1. Osnovn¥e oboznaçenyq. V oblasty Q = ( , )0 T × Ω ( Ω ⊂ R
n
— ohra-
nyçennaq odnosvqznaq oblast\ s rehulqrnoj hranycej ∂Ω ) rassmotrym psevdo-
hyperbolyçeskoe uravnenye (1), hde A — πllyptyçeskyj operator vtoroho po-
rqdka, ne zavysqwyj ot peremennoj t,
A u( ) = − ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
+
= =
∑ ∑
i j
n
j
ij
i i
n
i
ix
a x u
x
a x u
x
a x u
,
( ) ( ) ( )
1 1
. (3)
© D. A. NOMYROVSKYJ, 2005
366 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ UPRAVLQEMOST| … 367
Operator B zadaetsq analohyçno. Budem predpolahat\, çto aij = aji , bij = bji .
Krome toho, operator A qvlqetsq ravnomerno πllyptyçn¥m v oblasty Ω , t. e.
i j
n
ij i j
i
n
ia x
,
( )
= =
∑ ∑≥
1 1
2λ λ α λ (4)
dlq proyzvol\n¥x dejstvytel\n¥x λi , hde α — poloΩytel\naq postoqnnaq,
ne zavysqwaq ot x ∈Ω y λi .
Hranyca ∂Ω sostoyt yz trex rehulqrn¥x çastej: γ1, γ 2 , γ 3 . PoloΩym Γi =
= ( , )0 T × γ i , Γ = ( , )0 T × ∂Ω . Yskomaq funkcyq u t x( , ) udovletvorqet na-
çal\n¥m
u u
tt
t
=
=
= ∂
∂
=0
0
0 (5)
y kraev¥m
u u u a x u
u u
A B
t
A B
Γ
Γ Γ
1
2 3
0 0= ∂
∂
+ ∂
∂
= + ∂
∂
+ ∂
∂
=� � � �
µ µ µ µ
( ) (6)
uslovyqm, hde
�
µA = A
�
n ,
�
µB = B
�
n — vektor¥ konormaly, A = aij{ } , B = bij{ },
�
n — vektor vneßnej normaly k poverxnosty ∂Ω , a x0( ) — neprer¥vnaq na γ 3
funkcyq.
Oboznaçym çerez L0 mnoΩestvo funkcyj u t x( , ) ∈ C Q∞( ), udovletvorqg-
wyx uslovyqm (6) y
u u
tt
t
=
=
= ∂
∂
=…=0
0
0 .
Pust\ W k
0
1,
, Hk
0
1,
, V k
0
1,
, k ∈N ∪ {0}, — popolnenyq mnoΩestva L0 po nor-
mam
u u u dQ
W
Q
k
i
n
x
k
k i0
1
2 2
1
2
,
( ) ( )= ( ) + ( )∫ ∑
=
,
u u u d dQ
H
Q
k
i
n t
x
k
k i
0
1
2 2
1 0
2
,
( )
( )
= ( ) +
∫ ∑ ∫
=
τ , (7)
u u u d
V W
k
t T
k k
0
1
0
1
2 2 2
, ,
( )= + ( )∫ =Ω
Ω
sootvetstvenno. Zdes\ y dalee verxnyj yndeks v u k( )
oboznaçaet k-g proyz-
vodnug funkcyy u t x( , ) po peremennoj t.
Pust\ WT
k,1
, HT
k,1
, VT
k,1
, k ∈N ∪ {0}, — popolnenyq mnoΩestva LT funk-
cyj v( , )t x ∈ C Q∞( ), udovletvorqgwyx uslovyqm
v Γ1
0= ,
v
v
t T
t Tt=
=
= ∂
∂
=…= 0 , (8)
po normam (7) y
v v v
H
Q
k
i
n
T
t
x
k
T
k i
d dQ,
( )
( )
1
2 2
1
2
= ( ) +
∫ ∑ ∫
=
τ ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
368 D. A. NOMYROVSKYJ
v v v
V W
k
tT
k
T
k d, ,
( )
1 1
2 2 2
0
= + ( )∫ =Ω
Ω
sootvetstvenno.
Traktuq proyzvodnug otrycatel\noho porqdka kak yntehral, lehko raspro-
stranyt\ opredelenyq prostranstv W k,1
, Hk,1
, V k,1
dlq cel¥x otrycatel\n¥x
k. Naprymer, W0
1 1− ,
— popolnenye L0 po norme
u u d u d dQ
W
Q
t
i
n t
xi
0
1 1
2
0
2
1 0
2
− =
+
∫ ∫ ∑ ∫
=
, τ τ .
Nesmotrq na v¥polnenye neravenstva u W k
0
1, ≤ u V k
0
1, dlq vsex u L∈ 0 ,
vloΩenye V k
0
1, ⊂ W k
0
1,
otsutstvuet (sluçaj podoben rassmotrennomu v [12, 15]),
poskol\ku dlq πtoj par¥ prostranstv ne v¥polnqetsq uslovye π ) [16]. Pro-
stranstvo V k
0
1,
sleduet rassmatryvat\ (s toçnost\g do yzometryy) kak mno-
Ωestvo funkcyj u t x( , ) prostranstva W k
0
1,
, u kaΩdoj yz kotor¥x ymeet
sm¥sl sled u T xk( )( , ) ∈ L2( )Ω . Analohyçnoe zameçanye ymeet mesto y otnosy-
tel\no prostranstva VT
k,1
.
Lemma 1. Dlq proyzvol\noho k ∈Z ymegt mesto plotn¥e neprer¥vn¥e
vloΩenyq:
1) H W H Vk k k k
0
1 1
0
1
0
1
0
1 1+ −⊂ ⊂ ⊂, , , ,
;
2) H W H VT
k
T
k
T
k
T
k+ −⊂ ⊂ ⊂1 1 1 1 1 1, , , ,
.
Krome toho, H L Q0
0 1
2
, ( )⊂ , H L QT
0 1
2
, ( )⊂ .
Dlq ustanovlenyq kaΩdoho yz vloΩenyj neobxodymo dokazat\ sravnymost\
norm na L0 (yly sootvetstvenno LT ) y proveryt\ uslovye π ).
Oboznaçym çerez W k− −, 1
, H k− −, 1
, V k− −, 1
sootvetstvugwye soprqΩenn¥e
prostranstva.
Prymenqq formulu yntehryrovanyq po çastqm y perexodq k poverxnostn¥m
yntehralam, nesloΩno ubedyt\sq, çto dlq proyzvol\n¥x hladkyx v Q funk-
cyj u t x( , ) , v( , )t x , f t x h( , ; ) , udovletvorqgwyx sootvetstvenno uslovyqm (1),
(5), (6), (8), ymeet mesto ravenstvo
−( )ut t L Q, ( )v
2
–
i j
n
ij x t x L Q
a u
i j
, ( )
,
=
∑ ( )
1 2
v –
i
n
i x t L Q
a u
i
=
∑ ( )
1 2
,
( )
v –
–
au t L Q, ( )v( )
2
+
i j
n
ij x x L Q
b u
i j
, ( )
,
=
∑ ( )
1 2
v +
i
n
i x L Q
b u
i
=
∑ ( )
1 2
,
( )
v +
+
bu L Q, ( )v( )
2
+
a u L0 2 3
, ( )v( ) Γ =
f L Q, ( )v( )
2
. (9)
Budem sçytat\, çto koπffycyent¥ aij , bij , ai , bi , a, b neprer¥vn¥ v Ω , a
a0 — v γ 3 . Levaq çast\ ravenstva (9) opredelena dlq proyzvol\n¥x u H∈ 0
1 1,
,
v ∈WT
1 1,
. ∏to daet vozmoΩnost\ rassmatryvat\ levug çast\ ravenstva (9) kak
operator L : H0
1 1,
→ WT
− −1 1,
, opredelenn¥j dlq vsex funkcyj u H∈ 0
1 1,
. Lehko
ubedyt\sq, çto L — lynejn¥j operator. Ta Ωe levaq çast\ ravenstva (9) opre-
delqet y lynejn¥j soprqΩenn¥j operator L *
: WT
1 1,
→ H0
1 1− −,
.
2. Apryorn¥e neravenstva. Dlq yzuçenyq optymyzacyonnoj zadaçy (1), (2)
nuΩno obespeçyt\ opredelenn¥e svojstva L . Dejstvytel\no, dlq opredele-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ UPRAVLQEMOST| … 369
nyq Φ u h h( ),( ) neobxodymo harantyrovat\ suwestvovanye y edynstvennost\ re-
ßenyq (1) dlq vsex upravlqgwyx funkcyj f h( ), kohda h probehaet mnoΩest-
vo dopustym¥x upravlenyj U∂. Krome toho, dlq dokazatel\stva skol\-nybud\
soderΩatel\n¥x utverΩdenyj otnosytel\no zadaçy mynymyzacyy (2) neobxody-
mo znat\ xaraktern¥e svojstva operatora L .
Teorema 1. Dlq proyzvol\noj funkcyy u H∈ 0
1 1,
v¥polnqetsq neravenstvo
Lu c u
W H
T
− − ≤1 1
0
1 1, , .
Zdes\ y dalee c — nekotoraq poloΩytel\naq postoqnnaq, ne zavysqwaq ot
funkcyy u t x( , ) .
Dokazatel\stvo. Esly k ravenstvu (9) prymenyt\ neravenstvo Koßy –
Bunqkovskoho v yntehral\noj forme y neravenstvo Frydryxsa, to poluçym do-
kazatel\stvo neobxodymoho neravenstva.
Sledstvye 1. Operator L : H0
1 1,
→ WT
− −1 1,
slabo neprer¥vn¥j (t.+e. ne-
prer¥vn¥j v prostranstvax H0
1 1,
, WT
− −1 1,
, nadelenn¥x slab¥my topolohyqmy).
Teorema 2. Dlq proyzvol\noj funkcyy u H∈ 0
1 1,
v¥polnqetsq neravenstvo
c u uV WT
− ≤ − −
1
0
0 1 1 1, ,L . (10)
Dokazatel\stvo. Dlq ustanovlenyq neravenstva (10) rassmotrym znaçenye
funkcyonala Lu WT∈ − −1 1,
na πlemente v( , )t x , hde v( , )t x — reßenye zadaçy
Koßy
e u t xMt
t− +( ) =v v ( , ) ,
v t T= = 0 .
Znaçenye poloΩytel\noj postoqnnoj M ukaΩem pozdnee. Otmetym, çto funk-
cyq v( , )t x prynadleΩyt prostranstvu WT
1 1,
.
Preobrazuem y ocenym
Lu( )( )v . Dlq πtoho v opredelenye operatora L
(ravenstvo (9)) podstavym u t x( , ) = e
Mt
t− +( )v v y rassmotrym kaΩdoe yz slaha-
em¥x otdel\no.
Yspol\zuq formulu yntehryrovanyq po çastqm, poluçaem
J1 = −( )ut t L Q, ( )v
2
=
−( )−u e ut
Mt
L Q
,
( )
v -
2
= −( )ut L Q, ( )v
2
+ u e ut
Mt
L Q
,
( )
−( )
2
=
=
u t L Q, ( )v( )
2
+ 1
2
2
Ω
Ω∫ −
=
e u dMT
t T
+ M e u dQ
Q
Mt
2
2∫ −
.
Dalee ymeem
u t L Q, ( )v( )
2
=
u e uMt
L Q
,
( )
v - −( )
2
=
eMt
t L Q
− +( )( )v v v,
( )2
–
Q
Mte u dQ∫ − 2 =
=
1
2
2
0
Ω
Ω∫ =
v
t
d +
M e dQ
Q
Mt
2
2∫ v +
Q
Mte dQ∫ v2 –
Q
Mte u dQ∫ − 2
.
Takym obrazom, dokazano neravenstvo
J1 ≥ 1
2
2
Ω
Ω∫ −
=
e u dMT
t T
+
M
e u dQ
Q
Mt− ∫ −2
2
2 +
M e dQ
Q
Mt
2
2∫ v .
Rassmotrym vtoroe slahaemoe. Prynymaq vo vnymanye symmetryçnost\ mat-
ryc¥ aij i j
n{ } =, 1
, poluçaem
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
370 D. A. NOMYROVSKYJ
J2 =
− − +( )
=
∑ ∫
i j
n
Q
ij
Mt
t x x t xa e dQ
i i j
, 1
v v v =
=
i j
n
Q
ij
Mt
t x t xa e dQ
i j
, =
∑ ∫
1
v v +
1
2 1 0i j
n
ij x x t
a d
i j
, = =∑ ∫
Ω
Ωv v +
+
M a e dQ
i j
n
Q
ij
Mt
x xi j2 1, =
∑ ∫ v v ≥
≥
α
i
n
Q
Mt
t xe dQ
i
=
∑ ∫
1
2v +
αM e dQ
i
n
Q
Mt
xi2 1
2
=
∑ ∫ v .
Pust\ c*
— poloΩytel\naq postoqnnaq, maΩoryrugwaq v oblasty Ω vse
koπffycyent¥ aij , bij , ai , bi , a, b, a a0 — v γ 3 . Ocenym ostal\n¥e slahae-
m¥e. Prymenqq neravenstvo Koßy, poluçaem
J3 =
− − +( )
=
∑ ∫
i
n
Q
i
Mt
t x x ta e dQ
i i
1
v v v ≥
≥
− +
=
∑ ∫c
e
c
c e
dQ
i
n
Q
Mt
t x
Mt
ti*
*
*
1
2 2
4
α
α
v v
– c e
i
n
Q
Mt
xi
*
2 1
2
=
∑ ∫ v + e dQMt
tv2 ,
J4 =
−∫
Q
tau dQv ≥
− +∫ −c e u e dQ
Q
Mt Mt
t
*
2
2 2v .
Rassmotrym sledugwee slahaemoe:
J5 =
i j
n
Q
ij
Mt
t x x xb e dQ
i i j
, =
∑ ∫ − +( )
1
v v v ≥
≥ −
=
∑ ∫c n
e
nci
n
Q
Mt
t xi*
*
1
2
4
α v
+
nc e
dQ
Mt
xi
* v2
α
– c n e dQ
i
n
Q
Mt
xi
*
=
∑ ∫
1
2v .
Analohyçno ymeem
J6 =
i
n
Q
i
Mt
t x xb e dQ
i i
=
∑ ∫ − +( )
1
v v v ≥
≥
−
=
∑ ∫c
e
ci
n
Q
Mt
t xi*
*
1
2
4
α v
+
c e
dQ
Mt* v2
α
–
c e dQ
i
n
Q
Mt
xi
*
2 1
2 2
=
∑ ∫ +( )v v ,
J7 =
Q
bu dQ∫ v ≥ − ∫ −c e u
Q
Mt*
2
2 + e dQMt v2
.
Rassmotrym poslednee slahaemoe
J8 =
Γ
Γ
3
0 3∫ a u dv ≥ − ∫ −c e uMt*
Γ3
2ε + 1
4
2
3ε
e dMt v Γ ,
hde znaçenye poloΩytel\noj postoqnnoj ε > 0 ukaΩem pozdnee. Prynymaq vo
vnymanye neravenstva Frydryxsa
Γ
Γ∫ −e u dMt 2 ≤ c e uf
Q
Mt∫ − 2 +
i
n
Mt
xe u dQ
i
=
−∑
1
2 ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ UPRAVLQEMOST| … 371
Γ
Γ∫ e dMt v2 ≤
c ef
Q
Mt∫ v2 +
i
n
Mt
xe dQ
i
=
∑
1
2v ,
hde c f > 0 — postoqnnaq Frydryxsa, poluçaem
J8 ≥ − ∫ −c c e uf
Q
Mt*ε 2 +
i
n
Mt
xe u dQ
i
=
−∑
1
2 –
c c
ef
Q
Mt
*
4
2
ε ∫ v +
i
n
Mt
xe dQ
i
=
∑
1
2v .
Takym obrazom, dokazano, çto
Lu( )( )v ≥ 1
2
2
Ω
Ω∫ −
=
e u dMT
t T
– c c e u dQf
i
n
Q
Mt
xi
*ε
=
−∑ ∫
1
2 +
+ M c c c e u dQf
Q
Mt
2
1 2− − −
∫ −* *ε +
+
M c n c n c c
e dQf
Q
Mt+ − − + −
∫
2
2
1
2 4
2
2( ) ( )* * *
α ε
v –
–
c c n n
e dQ
Q
Mt
t
*
*
α
+ +
∫
1
2
2v +
α
4 1
2
i
n
Q
Mt
t xe dQ
i
=
∑ ∫ v +
+ α
α ε
M c n c c n
c c
e dQf
i
n
Q
Mt
xi2 4
2 2
1
2− − − −
=
∑ ∫*
*
*
*( )
v .
PoloΩym
ε α=
20c c f
*
.
S uçetom neravenstv
Q
Mt
te dQ∫ v2 =
Q
Mt Mte e u dQ∫ −( )−v
2
≤ 2 2
Q
Mte∫ v + e u dQMt− 2
,
Q
Mt
xe u dQ
i∫ − 2 =
Q
Mt
x t xe dQ
i i∫ −( )v v
2
≤
2 2
Q
Mt
xe
i∫ v +
e dQMt
t xi
v2
nesloΩno podobrat\ takoe dostatoçno bol\ßoe M > 0, çtob¥
Lu( )( )v ≥
c
Q
t
− ∫1 2v +
i
n
t xi
dQ
=
∑
1
2v +
+ c u
Q
− ∫1 2 +
i
n
xu dQ
i
=
∑
1
2 + c u d
t T
−
=∫1 2
Ω
Ω.
Prymenqq k pravoj çasty neravenstvo Koßy, poluçaem
L Lu u c u
W W W V
T T T
− − ≥ ( ) ≥ −
1 1 1 1 1 1
0
0 12 1
, , , ,( )v v v ,
otkuda y sleduet utverΩdenye teorem¥.
Zameçanye 1. Teorema 2 spravedlyva y v sluçae, kohda koπffycy-
ent¥PPPuravnenyq aij , bij , ai , bi , a, b prynadleΩat prostranstvu L∞( )Ω , a
a L0 3∈ ∞( )γ .
Esly k slahaemomu
a uij x t x L Qi j
,
( )
v( )∑
2
v ravenstve (9) prymenyt\ formulu
yntehryrovanyq po çastqm, to poluçym
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
372 D. A. NOMYROVSKYJ
i j
n
ij x t x L Q i j
n
ij t x x L Q
a u a u
i j i j
, ( ) , ( )
, ,
= =
∑ ∑( ) = − ( )
1 12 2
v v ,
y levaq çast\ (9) budet opredelqt\ rasßyrenye soprqΩennoho operatora L *
do otobraΩenyq yz HT
1 1,
v W0
1 1− −,
. Soxranym za πtym operatorom preΩnee obo-
znaçenye L *
y dokaΩem apryornug ocenku.
Teorema 3. Dlq vsex v ∈HT
1 1,
v¥polnqgtsq neravenstva
c cV W HT T
− ≤ ≤− −
1
0 1
0
1 1 1 1v v v, , ,
*L . (11)
Dokazatel\stvo. Kak y v sluçae teorem¥ 2, dlq dokazatel\stva ocenky
snyzu sleduet rassmotret\ znaçenye funkcyonala L
*v ∈ W0
1 1− −,
na πlemente
u t x( , ) , hde u t x( , ) — reßenye zadaçy Koßy
e u u t xMt
t
− +( ) = v( , ) , u t= =0 0 .
Sledstvye 2. Operator¥ L : H0
1 1,
→ WT
− −1 1,
, L *
: HT
1 1,
→ W0
1 1− −,
ynæek-
tyvn¥e.
Teorema 4. Dlq vsex f VT∈ −0 1,
P⊂P WT
− −1 1,
suwestvuet edynstvennoe reße-
nye u W∈ 0
1 1,
uravnenyq Lu f= .
Dokazatel\stvo. V sylu (11) dlq vsex v ∈ ⊂W HT T
1 1 1 1, ,
v¥polnqgtsq nera-
venstva
f f c fV V V WT T T
( ) , , , ,
*v v v≤ ≤− − − −0 1 0 1 0 1
0
1 1L .
V sylu ynæektyvnosty operatora L *
v¥raΩenye f ( )v moΩno rassmatryvat\
kak lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal l ot L
*v v prostranstve W0
1 1− −,
,
opredelenn¥j na L * ,WT
1 1( ). Sohlasno teoreme Xana – Banaxa πtot funkcyonal
moΩno rasßyryt\ po neprer¥vnosty na vse W0
1 1− −,
. V sylu refleksyvnosty
prostranstva W0
1 1,
suwestvuet takoe u W∈ 0
1 1,
, çto
l L *v( ) =
L * ( )v( ) u yly
f ( )v =
L u( )( )v . Otsgda v sylu proyzvol\nosty v ymeem L u f= .
Edynstvennost\ sleduet yz ynæektyvnosty L .
Zameçanye 2. Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto dlq vsex f WT∈ −0 1,
suwe-
stvuet edynstvennoe reßenye u W∈ 0
1 1,
uravnenyq L u f= , otkuda sleduet
plotnost\ R L( ) v WT
− −1 1,
.
Opredelenye 1. Obobwenn¥m reßenyem uravnenyq L u f= budem naz¥-
vat\ πlement u V∈ 0
0 1,
, dlq kotoroho suwestvuet takaq posledovatel\nost\
u Hi ∈ 0
1 1,
, çto
u ui V− →
0
0 1 0, ,
L u fi WT
− →− −1 1 0,
pry i → ∞.
Teorema 5. Dlq vsex f WT∈ − −1 1,
suwestvuet edynstvennoe obobwennoe re-
ßenye u V∈ 0
0 1,
uravnenyq L u f= .
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye teorem¥ sleduet yz plotnosty mnoΩestva
R L( ) v WT
− −1 1,
y neravenstva (10).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ UPRAVLQEMOST| … 373
Sledstvye 3. Dlq vsex f WT∈ − −1 1,
v¥polnqetsq neravenstvo u V0
0 1, ≤
≤ c f WT
− −1 1, , hde u V∈ 0
0 1,
— obobwennoe reßenye uravnenyq L u f= .
Zameçanye 3. Pust\ HT
2 1,
— popolnenye mnoΩestva funkcyj v ∈ ( )∞C Q ,
udovletvorqgwyx uslovyqm
v Γ1
= 0,
v t T= = 0 po norme prostranstva HT
2 1,
.
Qsno, çto ymeet mesto neprer¥vnoe plotnoe vloΩenye HT
2 1, ⊂ WT
1 1,
.
Prynymaq vo vnymanye ravenstvo (9) y formulu yntehryrovanyq po çastqm
−( ) = −( ) +u u T x T x ut t L Q t L tt L Q, ( , ), ( , ) ( , )( ) ( ) ( )v v v
2 2 2Ω ∀ ∈u H0
1 1, , v ∈HT
2 1,
,
operator L moΩno rasßyryt\ po neprer¥vnosty do L1: V0
0 1,
→ HT
− −2 1,
. Ne-
sloΩno ponqt\, çto obobwennoe reßenye u V∈ 0
0 1,
udovletvorqet ravenstvu
L1u f= , t. e. v teoreme 5 ustanovleno, çto WT
− −1 1, ⊂ R L1( ) y dlq vsex
u V∈ 0
0 1,
, L1u ∈ WT
− −1 1,
v¥polnqetsq neravenstvo u V0
0 1, ≤ c u
WT
L1 1 1− −, .
Lemma 2. Operator L1 ynæektyvn¥j.
Dokazatel\stvo. Prymenqq formulu yntehryrovanyq po çastqm k (9), po-
luçaem, çto dlq proyzvol\n¥x u H∈ 0
1 1,
, v ∈WT
2 1,
levaq çast\ prynymaet vyd
u tt L Q, ( )v( )
2
+
i j
n
ij
t
x tt x
L Q
a u d
i j
, ( )
,
=
∑ ∫
1 0 2
τ v +
i
n
i
t
x tt
L Q
a u d
i
=
∑ ∫
1 0 2
τ,
( )
v –
–
au t L Q, ( )v( )
2
–
i j
n
ij
t
x t x
L Q
b u d
i j
, ( )
,
=
∑ ∫
1 0 2
τ v –
i
n
i
t
x t
L Q
b u d
i
=
∑ ∫
1 0 2
τ,
( )
v +
+ bu L Q, ( )v( )
2
+ a u L0 2 3
, ( )v( ) Γ .
∏to v¥raΩenye zadaet rasßyrenye L do lynejnoho neprer¥vnoho operatora
L 2 : H0
0 1,
→ WT
− −2 1,
. Rassmotrym znaçenye L 2u na πlemente v( , )t x ∈ WT
2 1,
, hde
v( , )t x — reßenye zadaçy Koßy
e u dMt
tt t
t
− +( ) = − ∫v v
0
τ , v vt T t t T= == = 0, (12)
y, provedq ocenky, analohyçn¥e takov¥m pry dokazatel\stve teorem¥ 2, ustano-
vym neravenstvo
c ud dQ u
Q
t
WT
− ∫ ∫
≤ − −
1
0
2
2
2
2 1τ L , ∀ ∈u H0
0 1,
. (13)
Yspol\zuq poluçennoe neravenstvo y rassuΩdaq, kak y pry dokazatel\stve teo-
rem¥ 4, poluçaem, çto uravnenye L 2
* v = g ymeet reßenye v ∈WT
2 1,
dlq vsex
g WT∈ 1 1,
. Otsgda sleduet plotnost\ R L 2
*( ) v prostranstve H0
0 1,−
, a znaçyt, y
v W0
0 1,−
.
S druhoj storon¥, qsno, çto na πlementax v ∈WT
2 1,
ymegt mesto ravenstva
L L L L1 1 1 2 1 2 1u u u u( ) = ( ) = ( ) = ( )( ) ( ) ( ) ( )*v v v v ∀ = ∈u u u V( , ) ,
1 2 0
0 1
,
hde para funkcyj u t x1( , ) ∈ W0
0 1, , u x2( ) ∈ L2( )Ω zadaet u V∈ 0
0 1,
( u2 — sled
u t x( , ) pry t = T ) . Esly teper\ dlq nekotoroj funkcyy u = ( , )u u1 2 ∈ V0
0 1,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
374 D. A. NOMYROVSKYJ
ymeet mesto L1 0u = , to v sylu plotnosty R L 2
*( ) poluçym u1 0= . S uçetom
πtoho ravenstvo L1 0u = moΩno perepysat\ v vyde
−( ) =u T xt L2 2
0, ( , ) ( )v Ω ∀ ∈v HT
2 1,
.
Otsgda v sylu teorem¥ o sledax poluçaem u2 0= , çto y trebovalos\ dokazat\.
3. Optymyzacyq psevdohyperbolyçeskoj system¥. Pust\ v optymyzacy-
onnoj zadaçe (1), (2) upravlenye h v¥byraetsq yz dopustymoho mnoΩestva U∂
topolohyçeskoho prostranstva upravlenyj C. Funkcyonal Φ u h h( ),( ) oprede-
len v prostranstve V0
0 1, × C. Pod u h V( ) ,∈ 0
0 1
budem ponymat\ obobwennoe re-
ßenye uravnenyq (1) v sm¥sle opredelenyq 1.
Podobno [12, 15] dokaΩem optymyzacyonn¥e teorem¥.
Teorema 6. Pust\ sostoqnye system¥ opredelqetsq yz uravnenyq (1).
Esly v prostranstve C suwestvuet takaq topolohyq τC , çto:
1) funkcyonal Φ sekvencyal\no poluneprer¥vn¥j snyzu v prostranstve
V0
0 1, × C s topolohyej, poroΩdennoj slaboj topolohyej prostranstva V0
0 1,
yPP τC ;
2) mnoΩestvo U∂ sekvencyal\no kompaktnoe v topolohyçeskom prostran-
stve upravlenyj C C, τ( );
3) otobraΩenye f : C → WT
− −1 1,
sekvencyal\no slabo neprer¥vnoe (h hk →
v C C, τ( ) ⇒ f hk( ) → f h( ) v slaboj topolohyy prostranstva WT
− −1 1, ),
to funkcyonal �( )h ohranyçen snyzu y optymal\noe upravlenye suwestvuet.
Dokazatel\stvo. V sylu uslovyq 2 moΩno v¥brat\ sxodqwugsq k h U* ∈ ∂
v prostranstve C C, τ( ) posledovatel\nost\ upravlenyj h Uk ∈ ∂ , mynymyzyru-
gwug funkcyonal �. Yz uslovyq 3 sleduet, çto posledovatel\nost\ f hk( )
slabo sxodytsq (v çastnosty, ohranyçena) k f h( )*
v prostranstve WT
− −1 1,
, a
sledovatel\no, y v HT
− −2 1,
. Pust\ u hk( ) ∈ V0
0 1,
— obobwennoe reßenye urav-
nenyq Lu = f hk( ) (teorema 5). Sohlasno sledstvyg 3 ymeet mesto ocenka
u hk V( ) ,
0
0 1 ≤ c f hk WT
( ) ,− −1 1 . Takym obrazom, posledovatel\nost\ u hk( ) ohrany-
çena v V0
0 1,
. V sylu hyl\bertovosty prostranstva V0
0 1,
suwestvuet takaq pod-
posledovatel\nost\ hkm
, çto u hkm
( ) slabo sxodytsq k u*
v V0
0 1,
. Sohlasno
zameçanyg 3 ymeet mesto ravenstvo L1u hkm
( ) = f hkm
( ). Poskol\ku operator
L1: V0
0 1,
→ HT
− −2 1,
slabo neprer¥vn¥j (analohyçno sledstvyg 1), to
f h( )* = lim ( )
m kf h
m→∞
= lim ( )
m ku h
m→∞
L1 = L1u
*
,
hde predel¥ ponymagtsq v sm¥sle slaboj topolohyy prostranstva HT
− −2 1,
.
Poskol\ku operator L1 ynæektyvn¥j (lemmaP2), to u*
— obobwennoe re-
ßenye uravnenyq Lu = f h( )*
.
Teper\ yz uslovyq 1 sleduet, çto h*
— optymal\noe upravlenye.
Zameçanye 4. Pust\ C — lynejnoe normyrovannoe prostranstvo, C *
—
syl\no soprqΩennoe prostranstvo. Topolohyg τC v¥byragt nastol\ko sla-
boj, çtob¥ mnoΩestvo U∂ okazalos\ sekvencyal\no kompaktn¥m, no otobraΩe-
nyq Φ, f soxranqly trebuem¥e svojstva hladkosty.
Naprymer, esly topolohyq τC sohlasuetsq s dvojstvennost\g C C, *( ), to
funkcyonal
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
RAZREÍYMOST| Y TRAEKTORNO-FYNAL|NAQ UPRAVLQEMOST| … 375
Φ
Ω
( , ) , ,,
( )
u h w u u hW t T L
=
=0
0 1
2
C
udovletvorqet uslovyqm teorem¥, hde w : R+
3 → R — neprer¥vnaq vozrastag-
waq na R+
3
funkcyq (esly 0 ≤ xi ≤ yi , i ∈{ }1 2 3, , , to w x x x1 2 3, ,( ) ≤
≤ w y y y1 2 3, ,( )). Naprymer,
Φ
Ω
( , ) ,
( )
u h u u hW t T L
= + +=3 2
0
0 1
2
2 3
C .
Dejstvytel\no, v lynejnom normyrovannom prostranstve norma u qvlq-
etsq sekvencyal\no slabo poluneprer¥vn¥m snyzu funkcyonalom, topolohyq
τC syl\nee topolohyy σ C C, *( ), a vozrastagwaq neprer¥vnaq funkcyq ymeet
svojstvo
lim
n
nw x
→∞
( )�
≥
w x
n
nlim
→∞
(
�
.
Upravlqgwye funkcyy f : C → WT
− −1 1,
, zadagwye ympul\sn¥e ∑ −δ ( )t ti ×
× ϕi x( ), toçeçn¥e ∑ −δ ( )x xi
1 1 ϕi t x( , , )2 … , podvyΩn¥e ∑ −( )δ x s ti1 ( ) ×
× ϕi t x( , , )2 … y tomu podobn¥e synhulqrn¥e vozdejstvyq, takΩe udovletvo-
rqgt trebovanyqm slaboj neprer¥vnosty (analohyçn¥e fakt¥ ustanovlen¥
v [9, 10]).
Esly τC = σ C C, *( ), to za dopustym¥e mnoΩestva U∂ ⊂ C moΩno brat\
proyzvol\n¥e v¥pukl¥e zamknut¥e (po norme) ohranyçenn¥e mnoΩestva.
Zameçanye 5. V sylu nelynejnosty otobraΩenyj f, Φ funkcyonal ka-
çestva � moΩet okazat\sq ne v¥pukl¥m, a optymal\noe upravlenye ne edynst-
venn¥m.
Nalyçye apryorn¥x ocenok (teorem¥ 1, 2) daet vozmoΩnost\ yzuçat\ dyf-
ferencyal\n¥e svojstva funkcyonala � (pry nalyçyy sootvetstvugwyx
svojstv hladkosty u funkcyonala Φ : V0
0 1, × C → R y otobraΩenyq f : C →
→ WT
− −1 1,
) y stroyt\ çyslenn¥e metod¥ optymyzacyy hradyentnoho typa [10].
Opredelenye 2. Systema (1) naz¥vaetsq asymptotyçesky upravlqemoj v
banaxovom prostranstve V0
0 1,
mnoΩestvom upravlqgwyx vozdejstvyj U∂,
esly dlq lgboho πlementa u V* ,∈ 0
0 1
suwestvuet posledovatel\nost\ uprav-
lenyj h Ui ∈ ∂ takaq, çto u h ui V
( ) *
,−
0
0 1 → 0 pry i → ∞ , h d e u hi( ) —
obobwennoe reßenye uravnenyq Lu f hi= ( ) .
Teorema 7. Esly mnoΩestvo f U( )∂ plotno v prostranstve WT
− −1 1,
, t o
systema (1) asymptotyçesky upravlqemaq v V0
0 1,
mnoΩestvom upravlqgwyx
vozdejstvyj U∂.
Dokazatel\stvo. Pust\ u*
— proyzvol\n¥j πlement prostranstva V0
0 1,
.
Poskol\ku H0
1 1,
plotno v V0
0 1,
, suwestvuet posledovatel\nost\ u Hi ∈ 0
1 1,
,
sxodqwaqsq k u*
v prostranstve V0
0 1,
, a tak kak mnoΩestvo f U( )∂ plotno v
WT
− −1 1,
, pry fyksyrovannom i ∈ N suwestvuet takaq posledovatel\nost\
h Ui k, ∈ ∂ , çto
L u f hi i k WT
− − −( ), ,1 1 ≤ εk εk o=( )( )1 . V sylu sledstvyq 3 ymeem
u u hi k V
*
,( ) ,−
0
0 1 ≤ u ui V
*
,−
0
0 1 + c u f hi i k WT
L − − −( ), ,1 1 ≤ u ui V
*
,−
0
0 1 + c kε → 0
pry k → ∞, i → ∞.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
376 D. A. NOMYROVSKYJ
Zameçanye 6. Yz dokazannoj teorem¥ sleduet fynal\naq (pry t = T )
asymptotyçeskaq upravlqemost\ psevdohyperbolyçeskoj system¥.
Zameçanye 7. Yzvestno, çto mnoΩestvo funkcyj
i
s
i i i it t x t T L
=
∑ − ∈[ ] ∈
1
20δ ϕ ϕ( ) ( ), , , ( )Ω
plotno v prostranstve WT
− −1 1,
. Analohyçno plotn¥my qvlqgtsq y mnoΩestva,
zadagwye toçeçn¥e, podvyΩn¥e y tomu podobn¥e synhulqrn¥e obobwenn¥e
vozdejstvyq.
Analohyçno dokazatel\stvu neravenstva (13) moΩno osuwestvyt\ „sdvyh”
apryorn¥x ocenok na operator
d
dt
k
k y poluçyt\ „ßkalu” dvustoronnyx nera-
venstv. Naprymer, prymenqq vspomohatel\n¥j operator (12), dlq vsex u H∈ 0
0 1,
ustanavlyvaem neravenstva
c u u c uV W H
T
−
− − − −≤ ≤1
20
1 1 2 1
0
0 1, , ,L ,
a takΩe dvojstvenn¥e ocenky.
Apryorn¥e neravenstva dagt vozmoΩnost\ poluçyt\ analohyçn¥e rezul\ta-
t¥ razreßymosty, optymal\noho upravlenyq y upravlqemosty dlq druhyx par
prostranstv prav¥x çastej y funkcyj sostoqnyq.
1. Vojt S. S. Rasprostranenye naçal\n¥x uplotnenyj v vqzkom haze // Uç. zap. Mosk. un-ta.
Mexanyka. – 1954. – # 5. – S. 125 – 142.
2. Suvejka Y. Y. Smeßann¥e zadaçy dlq uravnenyq rasprostranenyq vozmuwenyj v vqzkyx
sredax // Dyfferenc. uravnenyq. – 1983. – 19, # 2. – S. 337 – 347.
3. Huz\ A. N. Dynamyka sΩymaemoj vqzkoj Ωydkosty. – Kyev: A. S. K., 1998. – 350 s.
4. Bulavackyj V. M., Gryk Y. Y. Matematyçeskoe modelyrovanye processa teploperenosa v
relaksyrugwej srede // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1996. – # 7. – S. 42 – 45.
5. Ponomarev S. M. K voprosu o povedenyy vqzkoj sΩymaemoj Ωydkosty pod dejstvyem za-
dannoho hranyçnoho reΩyma // Dyfferenc. uravnenyq. – 1986. – 22, # 4. – S. 719 – 722.
6. KoΩanov A. Y. Zadaça s kosoj proyzvodnoj dlq nekotor¥x psevdoparabolyçeskyx y blyz-
kyx k nym uravnenyj // Syb mat. Ωurn. – 1996. – 37, # 6. – S. 1335 – 1346.
7. Malovyçko V. A. O kraev¥x zadaçax dlq v¥roΩdagwyxsq psevdoparabolyçeskyx y psevdo-
hyperbolyçeskyx system // Dyfferenc. uravnenyq. – 1991. – 27, # 12. – S. 2120 – 2124.
8. Lqßko Y. Y., Lqßko S. Y., Klgßyn D. A., Spyvak A. G. Çyslennoe reßenye psedohyperbo-
lyçeskyx uravnenyj // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1998. – # 5. – S. 29 – 34.
9. Nomirovs\kyj D. A. Çysel\ni metody optymizaci] ta modelgvannq v psevdohiperboliçnyx
systemax: Dys. ... kand. fiz.-mat. nauk. – Ky]v, 1999. – 157 s.
10. Lyashko S. I. Generalized optimal control of linear systems with distribution parameters. –
Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 2002. – 453 p.
11. Nomyrovskyj D. A. Upravlenye v psevdoparabolyçeskyx systemax // V¥çyslyt. y prykl. ma-
tematyka. – 1996. – V¥p. 80. – S. 68 – 77.
12. Lqßko Y. Y., Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A. Upravlqemost\ hyperbolyçeskyx y psevdohy-
perbolyçeskyx system v klasse synhulqrn¥x vozdejstvyj // Dopov. NAN Ukra]ny. – 2000. –
# 11. – S. 131 – 134.
13. Lqßko S. Y., Semenov V. V. Ob upravlqemosty lynejn¥x raspredelenn¥x system v klassax
obobwenn¥x vozdejstvyj // Kybernetyka y system. analyz. – 2001. – # 1. – S. 18 – 41.
14. Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Optymal\noe upravlenye neodnorodn¥my raspredelenn¥my
systemamy. – Kyev: Nauk. dumka, 2003. – 505 s.
15. Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A. Obobwennoe reßenye y optymal\noe upravlenye v syste-
max, opys¥vagwyx dynamyku vqzkoj stratyfycyrovannoj Ωydkosty // Dyfferenc. uravne-
nyq. – 2003. – 39, # 1. – S. 84 – 91.
16. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.: Na-
uka, 1978. – 400 s.
Poluçeno 16.02.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3604 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:36Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/91/85f3161427c7baae8090a78a55245691.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36042020-03-18T19:59:42Z Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems Разрешимость и траекторно-финальная управляемость псевдогиперболических систем Nomirovs'kii, D. A. Номировский, Д. А. Номировский, Д. А. We consider the problem of solvability and optimization for a pseudohyperbolic operator of the general form. We prove theorems on existence and uniqueness for various right-hand sides of the equation. The results obtained are applied to the problem of trajectory-final controllability. Розглядаються проблеми розв'язності та оптимізації для псевдогіперболічного оператора загального вигляду. Для різних класів правих частин рівняння доведено теореми існування та єдиності. Одержані результати застосовано до задачі траєкторно-фінальної керованості. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3604 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 366–376 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 366–376 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3604/3939 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3604/3940 Copyright (c) 2005 Nomirovs'kii D. A. |
| spellingShingle | Nomirovs'kii, D. A. Номировский, Д. А. Номировский, Д. А. Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title | Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title_alt | Разрешимость и траекторно-финальная управляемость псевдогиперболических систем |
| title_full | Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title_fullStr | Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title_full_unstemmed | Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title_short | Solvability and Trajectory-Final Controllability of Pseudohyperbolic Systems |
| title_sort | solvability and trajectory-final controllability of pseudohyperbolic systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3604 |
| work_keys_str_mv | AT nomirovs039kiida solvabilityandtrajectoryfinalcontrollabilityofpseudohyperbolicsystems AT nomirovskijda solvabilityandtrajectoryfinalcontrollabilityofpseudohyperbolicsystems AT nomirovskijda solvabilityandtrajectoryfinalcontrollabilityofpseudohyperbolicsystems AT nomirovs039kiida razrešimostʹitraektornofinalʹnaâupravlâemostʹpsevdogiperboličeskihsistem AT nomirovskijda razrešimostʹitraektornofinalʹnaâupravlâemostʹpsevdogiperboličeskihsistem AT nomirovskijda razrešimostʹitraektornofinalʹnaâupravlâemostʹpsevdogiperboličeskihsistem |