Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation
We consider a continuous function that changes its sign on an interval finitely many times and pose the problem of the approximation of this function by a polynomial that inherits its sign. For this approximation, we obtain (in the case where this is possible) Jackson-type estimates containing modif...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3608 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509727639732224 |
|---|---|
| author | Smazhenko, I. V. Смаженко, І. В. |
| author_facet | Smazhenko, I. V. Смаженко, І. В. |
| author_sort | Smazhenko, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | We consider a continuous function that changes its sign on an interval finitely many times and pose the problem of the approximation of this function by a polynomial that inherits its sign. For this approximation, we obtain (in the case where this is possible) Jackson-type estimates containing modified weighted moduli of smoothness of the Ditzian-Totik type. In some cases, constants in these estimates depend substantially on the location of points where the function changes its sign. We give examples of functions for which these constants are unimprovable. We also prove theorems that are analogous, in a certain sense, to inverse theorems of approximation without restrictions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.518.82
I. V. SmaΩenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
VAHOVI MODULI HLADKOSTI
I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ
We consider a continuous function that changes the sign finitely many times on an interval and state the
problem of the approximation of this function by a polynomial inheriting the function sign. For this
approximation, if it is possible, we obtain the Jackson-type estimates that include modified weight
modules of smoothness of Ditzian – Totik type. In some cases, constants in these estimates essentially
depend on the location of points where the function changes its sign. We present examples of functions
for which these constants principally cannot be improved. We also prove theorems similar in some
sense to inverse theorems on approximation without bounds.
Rozhlqda[t\sq neperervna funkciq, qka skinçenne çyslo raziv na vidrizku zming[ znak, i
stavyt\sq zadaça pro ]] nablyΩennq mnohoçlenom, qkyj uspadkovu[ znak funkci]. Dlq takoho
nablyΩennq otrymano, koly ce moΩlyvo, ocinky typu DΩeksona, qki vklgçagt\ modyfikovani
vahovi moduli hladkosti typu Diciana – Totika. V deqkyx vypadkax konstanty v cyx ocinkax sut-
t[vo zaleΩat\ vid roztaßuvannq toçok zminy znaku funkci]. Navedeno pryklady funkcij, dlq
qkyx ci konstanty pryncypovo ne moΩut\ buty pokraweni. Krim toho, dovodqt\sq teoremy, ana-
lohiçni v deqkomu sensi obernenym teoremam nablyΩennq bez obmeΩen\.
1. Vstup. Nexaj s ∈N i Ys — mnoΩyna vsix naboriv Y : = { }yi i
s
=1 toçok –1 <
< ys < … < y1 < 1. Dlq y s∈Y poklada[mo
Π Π( ) : ( , ) : ( )x x Y x y
i
s
i= = −
=
∏
1
i poznaça[mo çerez ∆( )( )0 Y mnoΩynu funkcij f C∈ [ ]( )– ,1 1 , qki na vidrizku
y yi i, −[ ]1 [ nevid’[mnymy pry neparnomu i i nedodatnymy pry parnomu i . Zauva-
Ωymo, wo f Y∈∆( )( )0
todi i lyße todi, koly f x( ) Π( )x ≥ 0, –1 < x < 1. Pokla-
demo
Y : =
s
s∪Y
i budemo hovoryty, wo nabir Y ∈Y [ s-prypustymym dlq f, qkwo Y s∈Y i
f Y∈∆( )( )0
. Dlq mnoΩyny s-prypustymyx naboriv vvedemo poznaçennq A fs( ) i
budemo pysaty f s∈∆( , )0
, qkwo A fs( ) ≠ ∅. Zaznaçymo, wo funkciq moΩe nale-
Ωaty odnoçasno riznym klasam ∆( , )0 1s
ta ∆( , )0 2s
( )s s1 2≠ .
Dlq Y ∈Y i f C∈ [ ]( )– ,1 1 poznaçymo ( Pn — prostir alhebra]çnyx poli-
nomiv stepenq ≤ n )
E f Y f P P Yn n n n
( ) ( )( , ) : inf : ( )0 0= − ∈{ }∆ ∩ P , (1.1)
i dlq f s∈∆( , )0
poklademo
E f E f Yn
s
Y A f
n
s
( , )
( )
( )( ) : sup ( , )0 0=
∈
. (1.2)
Pid ⋅ J my rozumi[mo sup-normu na intervali J. Poznaçymo çerez B
r
prostir
funkcij f C∈ [ ]( )– ,1 1 , qki magt\ lokal\no absolgtno neperervnu ( r – 1)-ßu
poxidnu na (–1, 1) taku, wo
ϕr rf ( ) < ∞ .
Tut i dali ϕ( )x : = 1 2− x .
© I. V. SMAÛENKO, 2005
400 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 401
Poklademo I : = – ,1 1[ ]. Nexaj dlq dano] funkci] f C I∈ ( ) i ciloho çysla
k ≥ 1
∆h
k
i
k
k if x
k
i
f x k h ih( ) : ( )= −
− +
=
−∑
0
1
2
— skinçenna riznycq porqdku k, vyznaçena dlq vsix x i h ≥ 0 takyx, wo x ±
± k h
2
∈ I.
Moduli hladkosti Z. Ditzian ta V. Totik (DT-moduli) [1] oznaçagt\sq formu-
log
ωϕ
ϕk
h t x
h x
kf t f x( , ) : sup sup ( )( )=
≤ ≤0
∆ , t ≥ 0, (1.3)
de vnutrißnij supremum beret\sq po vsix x takyx, wo
x k h x± ∈ −
2
1 1ϕ( ) ( , ). (1.4)
TakoΩ poklademo
ϕ δ ϕ δ ϕδ( ) : ( ) ( )x x x x x= − −
+ −
1
2
1
2
, x x I± ∈δ ϕ
2
( ) ,
i dlq funkci] g, vyznaçeno] na (–1, 1), i r ≥ 1 poznaçymo
ω ϕϕ
ϕk r
h t x
kh
r
h x
kg t x g x, ( )( , ) : sup sup ( ) ( )=
≤ ≤0
∆ , t ≥ 0, (1.5)
de znovu vnutrißnij supremum beret\sq po vsix x takyx, wo vykonu[t\sq (1.4).
Budemo zastosovuvaty moduli v (1.5) dlq poxidnyx funkci] f, qka bude prypus-
katysq dyferencijovnog na (–1, 1) do deqkoho porqdku. Takym çynom, dlq
toho wob nadaty oznaçenng ωϕ
k r
rf t,
( ),( ) sensu, my povynni prypustyty, wo
lim ( ) ( )( )
x
r rx f x→ ±1 ϕ isnu[, bil\ß toho, dlq toho wob ωϕ
k r
rf t,
( ),( ) → 0 pry
t → 0, budemo prypuskaty, wo
lim ( ) ( )( )
x
r rx f x
→ ±
=
1
0ϕ ,
pry c\omu klas takyx funkcij poznaçymo çerez Cϕ
r
. Zrozumilo, wo C Bϕ
r r⊂ ,
r ≥ 1. Dlq r = 0 poklademo
C C Iϕ
0 : ( )= , ω ωϕ ϕ
k kf t f t, ( , ) : ( , )0 = .
Sformulg[mo osnovni rezul\taty ci[] roboty.
Teorema 1. Nexaj f
s r∈∆( , )0 ∩ B i abo s = 2, r = 3, abo s = 1, r = 2, abo
r > 2s, abo r = 1. Todi ma[mo
E f c r s
f
n
n
s
r r
r
( , )
( )
( ) ( , )0 ≤
ϕ
, n ≥ r – 1. (1.6)
Teorema 2. Nexaj f s r∈∆( , )0 ∩ Cϕ i abo r > 2s, abo r + k = 2, s = 1, abo
r = 0, k = 1. Todi ma[mo
E f c k r s f
nn
s
k r
r( , )
,
( )( ) ( , , ) ,0 1≤
ωϕ
, n ≥ k + r – 1. (1.7)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
402 I. V. SMAÛENKO
Teorema 3. Nexaj f
s r∈∆( , )0 ∩ B , r ≥ 1, i Y A fs∈ ( ). Todi
E f Y c r Y
f
n
n
r r
r
( )
( )
( , ) ( , )0 ≤
ϕ
, n ≥ r – 1, (1.8)
E f Y c r s
f
n
n
r r
r
( )
( )
( , ) ( , )0 ≤
ϕ
, n ≥ N r Y( , ) . (1.9)
Teorema 4. Nexaj f
s r∈∆( , )0 ∩ Cϕ i abo r ≥ 1, abo r = 0, k ≤ 3, Y A fs∈ ( ).
Todi
E f Y c k r Y f
nn k r
r( )
,
( )( , ) ( , , ) ,0 1≤
ωϕ
, n ≥ k + r – 1, (1.10)
i
E f Y c k r s f
nn k r
r( )
,
( )( , ) ( , , ) ,0 1≤
ωϕ
, n ≥ N k r Y( , , ) . (1.11)
Vydno, wo do umov teorem 1 – 4 ne vxodyt\ lyße vypadok r = 0, k ≥ 4. Prote
zavdqky prykladu 3 z [2] (dlq s = 1 ce bulo dovedeno raniße S. P. Zhou [3]) dlq
koΩnoho Y s∈Y , k ≥ 4 isnu[ funkciq f Y∈∆( )( )0
taka, wo
lim sup
( , )
,
( )
n
n
k
E f Y
f n→∞ −( ) = ∞
0
1ωϕ .
Z inßoho boku, teoremy 1 – 4 dagt\ rizni stverdni rezul\taty v inßyx vypadkax.
OtΩe, my povynni lyße pokazaty, çomu v deqkyx vypadkax my ne ma[mo ocinok
zLkonstantamy, wo [ nezaleΩnymy vid Y. Z ci[g metog dovedemo dvi nastupni
teoremy.
Teorema 5. Dlq koΩnoho A > 0, s ≥ 2, 2 ≤ r ≤ 2s, za vynqtkom vypadku s =
= 2, r = 3, i koΩnoho n N∈ isnu[ funkciq f = fs r n A, , , ∈ ∆( , )0 s ∩ Br
taka, wo
E f e f A fn
s
n
s r r( , ) ( , ) ( )( ) ( )0 0 0≥ ≥ >ϕ , (1.12)
de
e f E f Yn
s
Y A f n
s
( , )
( )
( )( ) : inf ( , )0 0=
∈
.
Teorema 6. Nexaj k, s ≥ 1 i r ≤ 2s, za vynqtkom vypadkiv r = 0, k = 1 i
r + k = 2, s = 1. Todi dlq koΩnoho A > 0 i n N∈ isnu[ funkciq f = fs r k n A, , , , ∈
∈ ∆( , )0 s ∩ Cϕ
r
, dlq qko]
E f e f A fn
s
n
s
k r
r( , ) ( , )
,
( )( ) ( ) ,0 0 1≥ ≥ ( )ωϕ
. (1.13)
Dlq porivnqnnq korotko vyklademo oderΩani raniße rezul\taty. Dlq na-
blyΩennq bez obmeΩen\ analohiçni teoremy dovodylysq Z. Ditzian ta V. Totik [1]
(dyv. takoΩ [4], §L18). U znakozberihagçomu nablyΩenni perßyj rezul\tat na-
leΩyt\ D. Leviatan [5]. Vin doviv, wo dlq f Y∈∆( )( )0
vykonu[t\sq nerivnist\
E f Y c Y f nn
( )( , ) ( ) ,0 1≤ ( )−ωϕ
, n ≥ 1,
de ωϕ : = ωϕ
1 . Zhodom K.LA.LKopotun [6] doviv, wo ωϕ
moΩna zaminyty na ωϕ
3 ,
a same, pokazav, wo dlq f Y∈∆( )( )0
odnoçasno vykonugt\sq dvi nerivnosti:
E f Y c s f nn
( )( , ) ( ) ,0
3
1≤ ( )−ωϕ
, n ≥ N Y( ),
i
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 403
E f Y c Y f nn
( )( , ) ( ) ,0
3
1≤ ( )−ωϕ
, n ≥ 2 (s = 1, 2) i n ≥ 0 (s > 2).
Nareßti, Y. K. Hu, K.LA.LKopotun i X. M. Yu [7] dovely, wo dlq f ∈ C1 1 1– ,[ ]( ) ∩
∩ ∆( )( )0 Y spravdΩu[t\sq ocinka
E f Y
c k Y
n
f
nn k
( )( , )
( , )
,0 1≤ ′
ωϕ
, n ≥ N k Y( , ).
Dlq s = 0 spravedlyvist\ ocinok (1.6) ta (1.7) (i ekvivalentno] ]m u c\omu
vypadku ocinky (1.10)) tryvial\na. Rezul\tat K.LA.LKopotuna razom z deqkymy
neznaçnymy dopovnennqmy pokazu[, wo nerivnosti (1.10) i (1.11) vykonugt\sq
dlq r = 0, k ≤ 3 (z konstantamy c = c s( ) i N = N Y( ) abo c = c Y( ) i N = k – 1),
a takoΩ spravdΩugt\sq i (1.8), (1.9) dlq r ≤ 3.
Teoremy 1 – 6 dagt\ povnu v pevnomu sensi vidpovid\ na zapytannq pro spra-
vedlyvist\ ocinok
E f Y c f
nn k r
r( )
,
( )( , ) ,0 1≤
ωϕ
, n ≥ N, (1.14)
ta
E f Y c
f
n
n
r r
r
( )
( )
( , )0 ≤
ϕ
, n ≥ N, (1.15)
qka ilgstru[t\sq tabl. 1 – 3 (dlq vypadkiv s = 1, s = 2 ta s > 2 vidpovidno).
Poqsnymo pryncyp ]xn\o] budovy. Nexaj s [ fiksovanym, r ≥ 0, k ≥ 1. Todi
znak + na peretyni rqdka z nomerom r i stovpçyka z nomerom k oznaça[, wo
dlq cyx r i k i dovil\no] funkci] f ∈ Cϕ
r ∩ ∆( )( )0 Y ocinka (1.14) [ virnog z
konstantog c = c k r s( , , ) ta N = k + r – 1; znak ⊕ — wo ocinka (1.14) [ virnog
zLkonstantog c = c k r Y( , , ) ta N = k + r – 1 abo c = c k r s( , , ) ta N = N k r Y( , , ) i
znak – — wo ocinka (1.14) ne [ virnog navit\ z konstantamy c i N, zaleΩnymy
vid f. Qkwo Ω r ≥ 0, k = 0, to vidpovidni znaky poznaçagt\ spravedlyvist\
(1.15) dlq f ∈ B
r ∩ ∆( )( )0 Y v tomu çy inßomu sensi.
Tablycq 1
r
k
0 1 2 3 4 5 …
3 + + + + + + …
2 + ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
1 + + ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
0 + + ⊕ – – …
Tablycq 2
r
k
0 1 2 3 4 5 …
5 + + + + + + …
4 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
3 + ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
2 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
1 + ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
0 + ⊕ ⊕ – – …
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
404 I. V. SMAÛENKO
Tablycq 3
r
k
0 1 2 3 4 5 …
2s + 1 + + + + + + …
2s ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
� � � � � � � …
2 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
1 + ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ …
0 + ⊕ ⊕ – – …
Analohiçni pytannq dlq komonotonnoho nablyΩennq doslidΩuvalys\ u
stattqx D. Leviatan ta I.LO.LÍevçuka [8 – 10].
2. DopomiΩni tverdΩennq. Nahada[mo deqki vlastyvosti DT-moduliv
hladkosti (1.3) i (1.5), qki poçasty vidomi z [1], a inßi dovedeni v [9]. Tut i dali
çerez c, ci , i N∈ , poznaçymo rizni konstanty, qki zaleΩat\ lyße vid k, r, s .
Dlq f r∈Cϕ i 0 ≤ p < r ma[mo
ω ωϕ ϕ
k r p p
p r p
k r
rf t ct f t+ −
−( ) ≤ ( ),
( )
,
( ), , , t ≥ 0, (2.1)
pryçomu qkwo f r∈B i 0 ≤ p < r, to f p∈Cϕ i
ω ϕϕ
r p p
p r p r rf t ct f−
−( ) ≤,
( ) ( ), , t ≥ 0. (2.2)
Dlq koΩno] f r∈Cϕ
t f t c fk
k r
r k
k r
r− −( ) ≤ ( )ω τ ω τϕ ϕ
,
( )
,
( ), , , 0 < τ ≤ t. (2.3)
Nexaj φ ∈Φk
, tobto φ( )0 0+ = , φ( )t ne spada[, i t tk− φ( ) ne zrosta[ na (0,
∞ ) . Odnak, vzahali kaΩuçy, dlq f r∈Cϕ ωϕ
k r
rf t,
( ),( ) ne obov’qzkovo naleΩyt\
Φk
. Dlq toho wob pozbutysq ci[] nezruçnosti, naslidugçy ide] S.LB.LSt[çkina i
A.LF.LTimana (dyv. [4], hl.L1), vvodymo do rozhlqdu funkcig
˜ ( ) : sup ,,
( )φ ωϕt t u f uk
u t
k
k r
r= ( )
≥
−
, t > 0, ˜ ( ) :φ 0 0= , (2.4)
qka naleΩyt\ Φk
i zadovol\nq[ nerivnosti
c t f t tk r
r˜ ( ) , ˜ ( ),
( )φ ω φϕ≤ ( ) ≤ . (2.5)
Dlq φ ∈Φk
poznaçymo çerez B Hr
k
φ
, r ≥ 0, mnoΩynu funkcij f r∈Cϕ , qki za-
dovol\nqgt\ umovu
ω φϕ
k r
rf t t,
( ), ( )( ) ≤ , t ≥ 0.
ZauvaΩymo, wo qkwo f r∈Cϕ , to z ohlqdu na (2.5) zavΩdy f B Hr
k∈ φ̃
. TakoΩ z
(2.1) vyplyva[, wo
B H B Hr
k
p
k r p
r pφ φ⊆ + −
,
, 0 ≤ p ≤ r, (2.6)
de φ φr p
r pt ct t, ( ) : ( )= −
.
Poznaçymo çerez Φ*
k
pidmnoΩynu funkcij φ ∈Φk
, qki zadovol\nqgt\ ne-
rivnist\
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 405
0
1
∫ < ∞φ( )t
t
dt ,
i dlq koΩno] φ ∈Φ*
k
poklademo
φ φ
*
( ) :
( )
t
u
u
du
t
= ∫
0
.
Navedemo deqki fakty (dyv. [9]). A same, φ
*
∈Φk
, i qkwo φ ∈Φk
, l ≥ 1, to
φl t( ) : = tl k lφ ∈ +Φ
*
i
φ φ( ) ( )
*
t k t≤ ,
(2.7)
( ) ( ) ( )
*
φ φl lt t≤ .
Zokrema, dlq f r∈Cϕ ma[mo
(˜ ) ( ) ,
* ,
( )φ ωϕ
l
l
k r
rt ct f t≤ ( ) . (2.8)
Teper my moΩemo sformulgvaty rezul\taty, qki vidihragt\ holovnu rol\ u
dovedenni teorem 1 – 4.
TverdΩennq 1. Nexaj r = 2s abo r = s = 2 = k + 1. Qkwo φ ∈Φ*
k
i f ∈
∈ ∆( , )0 s ∩ B Hr
k
φ
, to
E f c
n nn
s
r
( , )
*
( )0 1 1≤
φ , n ≥ k + r – 1, (2.9)
de c = c r k( , ).
Vzahali, dlq r = 1 spravedlyvym [ take tverdΩennq.
TverdΩennq 2. Nexaj φ ∈Φk
i f ∈ ∆( )( )0 Y ∩ B Hk
1 φ
. Todi
E f Y
C k Y
n nn
( )( , )
( , )0 1≤
φ , n ≥ k, (2.10)
i
E f Y c
n nn
( )( , )0 1≤
φ , n ≥ N k Y( , ). (2.11)
Dlq r = 0 ma[ misce take tverdΩennq.
TverdΩennq 3. 1. Nexaj k = 1 abo k = 2, s = 1. Qkwo φ ∈Φk
i f Hk∈ φ
,
to
E f c
nn
s( , )( )0 1≤
φ , n ≥ k – 1, (2.12)
de c = c r k( , ).
2. Nexaj k = 2 abo k = 3. Todi dlq φ ∈Φk
i f Hk∈ φ
E f Y C k Y
nn
( )( , ) ( , )0 1≤
φ , n ≥ k – 1, (2.13)
i
E f Y c
nn
( )( , )0 1≤
φ , n ≥ N k Y( , ). (2.14)
Vyznaçymo ponqttq dovΩyny intervalu J = a b,[ ] ⊆ I wodo joho roztaßu-
vannq na I. Dlq c\oho poklademo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
406 I. V. SMAÛENKO
/ / :
/
J
J
a b
=
+( )( )ϕ 2
,
de J : = b – a — dovΩyna J. Vidomo [9], wo koly J1 ⊆ J, to / / / /J J1 ≤ .
Nahada[mo oznaçennq zvyçajnoho modulq hladkosti, obmeΩenoho na J :
ωk t f J( , ; ) := sup sup ( )
x h t
h
k f x
0≤ ≤
∆ , t ≥ 0, (2.15)
de vnutrißnij supremum beret\sq po vsix h takyx, wo x ± k h
2
∈ J. Navedemo de-
qki spivvidnoßennq, qki vklgçagt\ moduli typu Ditzian – Totik: dlq J = a b,[ ] ⊆
⊆ – ,1 1[ ]
ω ωϕ
k kf J J f J, ; , / /( ) ≤ ( ) , (2.16)
analohiçno dlq f r∈Cϕ
ω ωϕ
k
r
r k r
rf J J
w a b
f J( )
,
( ), ;
( , )
, / /( ) ≤ ( )1
, (2.17)
de w a b( , ) : = ( )( )1 1+ −a b . Qkwo L f Jk − ⋅1( , ; ) — mnohoçlen LahranΩa stepe-
nq ≤ k –1, qkyj interpolg[ f u toçkax a + i
b a
k
−
− 1
, 0 ≤ i ≤ k – 1, i f r∈Cϕ dlq
vidpovidnoho r, to
f L f J c f Jk J k− ⋅ ≤ ( )−1( , ; ) , / /ωϕ
, (2.18)
f L f J c
w a b
f Jr
k
r
J r k r
r( ) ( )
,
( ), ;
( , )
, / /− ⋅( ) ≤ ( )−1 ωϕ
, (2.19)
ω ωϕ
k kf t f t( , ) ( , )2 2≤ , t ≥ 0. (2.20)
TakoΩ nam potribna lema, dovedena v statti D. Leviatan ta I.LO.LÍevçuka [9].
Lema 1. Qkwo f B Hr
k∈ 2 φ
i φ ∈Φ*
k
, to f C Ir∈ ( ) i
ω φk r
rf t I c t+ ( ) ≤ ( )( )
*
, , , t ≥ 0. (2.21)
3. Znakozberihagçi splajny. U c\omu punkti budemo prypuskaty, wo f ∈
∈ B Hr
k
φ ∩ ∆( )( )0 Y z φ ∈Φk
i Y A fs∈ ( ). Poçnemo z çebyßovs\koho rozbyttq I,
a same, zafiksu[mo n ≥ 1 i dlq koΩnoho j = 0, … , n poklademo x j : = x j n, : =
: = cos
j
n
π
. Poznaçymo I j : = I j n, : = x xj j, −1 , j = 1, … , n. Todi lehko baçyty,
wo
2
21n
I
I
x x nj
j
j j
≤ =
+( )( ) ≤
−
/ /
/ϕ
π
. (3.1)
Sformulg[mo nyzku lem pro znakozberihagçi splajny.
Lema 2. Nexaj 1 < j < n i f x( ) ≥ 0, x Ij∈ . Todi isnu[ nevid’[mnyj mno-
hoçlen pj stepenq ≤ k + r – 1 takyj, wo
f p cn
nj I
r
j
− ≤
− φ 1
. (3.2)
Dovedennq. Oçevydno, oskil\ky f za oznaçennqm [ neperervnog, znajdet\-
sq nevid’[mnyj pj , wo zadovol\nq[ (dyv. [2]) nerivnosti
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 407
f pj− ≤ c f I Ik r j jω + ( ), ; ≤ c I f I Ij
r
k
r
j jω ( ), ;( ) ≤
≤ c
I
w x x
f Ij
j j
r
k r
r
j
( )
−( , )
, / /,
( )
1
ωϕ ≤ c
I
w x x
f
n
j
j j
r
k r
r
−( , )
,,
( )
1
1ωϕ
,
de my zastosuvaly (2.17) i (3.1). OtΩe, my zaverßu[mo dovedennq (3.2) tym, wo
dlq I j takoho, wo 1 < j < n, ma[mo
I c w x x
nj j j ≤ −( , )1
1
.
Dlq danoho Y poklademo
O x xi j j: ( , )= + −1 2 , qkwo y x xi j j∈[ )−, 1 ,
i vyznaçymo takoΩ mnoΩynu
O O
i
s
i:=
=1
∪ .
Dali, nexaj Õq : = a bq q,[ ], q ≤ s — zv’qzni komponenty zamykannq O mnoΩyny
O, proindeksovani takym çynom, wo bq +1 < aq .
Lema 3. Nexaj r ≥ s. Todi dlq koΩnoho q isnu[ mnohoçlen Pq takyj, wo
P x xq( ) ( )Π ≥ 0, x O x xq n∈ [ ]−
˜ ,∩ 1 1 , (3.3)
i
f P cn
nq O x x
r
q n
− ≤
−[ ]
−
˜ ,∩ 1 1
1φ . (3.4)
Dovedennq. Oskil\ky f B Hr
k∈ φ
, to za oznaçennqm f C x xr
n∈ [ ]−1 1, . Teper,
zastosovugçy lemu 3.3 z [11], otrymu[mo, wo isnu[ mnohoçlen P stepenq ≤ k +
+ r – 1, wo zadovol\nq[ (3.3), takyj, wo
f Pq O x xq n
−
−[ ]˜ ,∩ 1 1
≤ c O x x f O O x xq n
r
k
r
q q n
˜ , , ˜ ; ˜ ,( )∩ ∩− −[ ] [ ]( )1 1 1 1ω ≤
≤ c O Oq
r
q/ ˜ / / ˜ /φ( ) . (3.5)
Ostannq nerivnist\ otrymu[t\sq, qk i pry dovedenni lemy 2. Nareßti, ma[mo
/ ˜ /O c
nq ≤ , (3.6)
i (3.4) dovedeno.
Lemu 3 moΩna lehko sformulgvaty dlq r ≥ 1 za umovy, wo n > N Y( ), de
N Y( ) beret\sq tak, wo dlq koΩnoho n > N Y( ) bud\-qka Õq mistyt\ odnu i ly-
ße odnu toçku y Yq ∈ .
Lema 3′′′′. Nexaj r ≥ 1 i n > N Y( ). Todi dlq koΩnoho q isnu[ mnohoçlen Pq
stepenq ≤ k + r – 1 takyj, wo vykonugt\sq (3.3) i (3.4).
Poznaçymo çerez Σ k nabir kuskovyx mnohoçleniv (ne obov’qzkovo nepererv-
nyx) stepenq ≤ k z vuzlamy v x j i çerez Σk O, pidmnoΩynu S k∈Σ , wo [ mno-
hoçlenamy na koΩnomu Õq . ZauvaΩymo, wo vsi poxidni kuskovoho mnohoçlena
(splajna) isnugt\, za vynqtkom, moΩlyvo, çebyßovs\kyx vuzliv, tomu my moΩe-
mo vykorystovuvaty ]x bez sutt[vyx obmeΩen\ (ce bude vydno z podal\ßoho).
Lemy 2, 3 ta 3′ pryvodqt\ do nastupnyx dvox lem.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
408 I. V. SMAÛENKO
Lema 4. Nexaj r ≥ s. Todi isnu[ kuskovyj mnohoçlen S k r O∈ + −Σ 1, takyj,
wo
S x x Y( ) ( , )Π ≥ 0 , x x xn∈[ ]−1 1, , (3.7)
i
f S cn
nx x
r
n
− ≤
−[ ]
−
1 1
1
, φ . (3.8)
Lema 4′′′′. Nexaj r ≥ 1 i n > N Y( ). Todi isnu[ kuskovyj mnohoçlen S ∈
∈ Σk r O+ −1, takyj, wo spravdΩugt\sq (3.7) i (3.8).
Dlq poßyrennq poperednix lem na kincevi toçky intervalu my povynni dewo
obmeΩyty r. A same, ma[ misce taka lema.
Lema 5. Nexaj φ ∈Φk
. Qkwo f [ dodatnog na I 1 (vidpovidno na I n
)
,
to isnu[ dodatnyj mnohoçlen p1 (vidpovidno pn) stepenq ≤ k – 1 takyj,
wo
f p c
nj Ij
− ≤
φ 1
, j = 1, n, vidpovidno.
Dovedennq ci[] lemy povtorg[ dovedennq lemy 2. A same, isnu[ nevid’[mnyj
mnohoçlen p1 takyj, wo
f p c f I I c f I c
nj I k k− ≤ ( ) ≤ ( ) ≤
1
1 1 1
1ω ω φϕ, ; , / / ,
de my vykorystaly nerivnist\ (2.16). Dovedennq dlq In [ analohiçnym.
Oçevydnym naslidkom lemy 5 i (2.1) [ takyj vysnovok.
Vysnovok 1. Viz\memo r ≥ 0. Qkwo f [ nevid’[mnog na I1 (vidpovidno In
)
,
to isnu[ nevid’[mnyj mnohoçlen p1 (vidpovidno pn) stepenq ≤ k + r – 1 ta-
kyj, wo
f p cn
nj I
r
j
− ≤
− φ 1
, j = 1, n, vidpovidno.
Nareßti, poßyrymo lemu 3 na kincevi toçky intervalu, dlq c\oho my povynni
we obmeΩyty r.
Lema 6. Prypustymo, wo abo s = r = 2 i k = 1, abo r = 2s, i φ ∈Φ*
k
.
Qkwo 1 1∈Õ , to isnu[ mnohoçlen P1 stepenq ≤ k + r – 1 takyj, wo
P x x Y1 0( ) ( , )Π ≥ , x O∈ ˜
1,
i
f P cn
nO
r− ≤
−
1 1
1
˜ *
φ .
Dovedennq. Z prypuwen\ na r i lemy 1 vyplyva[, wo f C Ir∈ / ( )2
, i
ω φk r
rf t c t+ ( ) ≤ ( )/
( / )
*
,2
2
.
Qk i v (3.5), zastosuvavßy lemu 3.3 z [11], robymo vysnovok, wo isnu[ znakozberi-
hagçyj na Õ1 mnohoçlen, qkyj zadovol\nq[ nerivnosti
f P O− 1 1
˜ ≤ c O f O O
r
k r
r˜ , ˜ ; ˜/
/
( / )
1
2
2
2
1 1ω + ( ) ≤ c O O
r˜ ˜/
*1
2
1φ ( ) ≤ cn
n
r−
φ
*
1
,
de vraxovano, wo Õ1 = c
n2 .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 409
Zokrema, dlq n = 1 otrymu[mo takyj vysnovok.
Vysnovok 2. Za prypuwen\ lemy 6
E f ck r
s
+ − ≤1
0 1( , )
*
( ) ( )φ .
Takym çynom, lemy 4 i 4′ moΩna poßyryty na ves\ interval. Vidpovidni do-
vedennq [ oçevydnymy.
Lema 7. Nexaj abo r = s = 2 i k = 1, abo r = 2s, i φ ∈Φ*
k
. Todi isnu[
splajn S ∈ Σk r O+ −1, ∩ ∆( )( )0 Y takyj, wo
f S cn
n
r− ≤
− φ
*
1
. (3.9)
Lema 7′′′′. Nexaj r = 1 i φ ∈Φk
. Todi dlq n > N Y( ) isnu[ splajn S ∈
∈ Σk O, ∩ ∆( )( )0 Y takyj, wo
f S cn
n
r− ≤
− φ 1
. (3.10)
My moΩemo vstanovyty odnu lemu u vypadku r = 0.
Lema 8. 1. Nexaj abo k = 1, abo k = 2, s = 1. Qkwo φ ∈Φk
i f Hk∈ φ
,
to isnu[ splajn S ∈ Σk O−1, ∩ ∆( )( )0 Y takyj, wo
f S c
n
− ≤
φ 1
. (3.11)
2. Nexaj k = 2 abo k = 3. Todi dlq φ ∈Φk
i f Hk∈ φ
isnu[ splajn S ∈
∈ Σk O−1, ∩ ∆( )( )0 Y takyj, wo
f S c
n
− ≤
φ 1
, n ≥ N Y( ). (3.12)
Dovedennq [ analohiçnym dovedenng lem 3 i 4 z [2] i tomu ne navodyt\sq.
Lema 9. Nexaj g B Hk∈ 1 φ
, φ ∈Φk
, i T : = t tk1 1, ,…{ }+ — nabir z k + 1
toçky t j ∈ −( , )1 1 . Todi dlq koΩnoho x I∈
g x L g x t t C T x tk k
j
k
j( ) ( , ; , , ) ( ) ( ) ( )− … ≤ −+
=
+
∏1 1
1
1
1φ ,
de L g x t tk k( , ; , , )1 1… + — mnohoçlen LahranΩa stepenq ≤ k, qkyj interpolg[
g v toçkax t j .
Dovedennq. Poznaçymo çerez C rizni konstanty, qki zaleΩat\ lyße vid T.
Poklademo Q xk ( ) : = L g x t tk k( , ; , , )1 1… + i L xk ( ) : = L g x Ik ( , ; ). Za nerivnostqmy
H. Whitney, (2.16) i (2.20)
g Qk− ≤ g Lk− + L Qk k− =
= g Lk− + Q g Lk k( , )− ⋅ ≤ g Lk− 1 2
1 1+ −
≤ ≤ +
−k
i k i i
k
t tmax ≤
≤ C g I Ikω + ( )1 , ; ≤ C g Ikωϕ
, , / /1( ) ≤ Cφ( )1 . (3.13)
Teper nexaj J = a b,[ ] ⊂ (–1, 1) — takyj interval, wo T ⊂ (a, b) i J > 1. Po-
klademo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
410 I. V. SMAÛENKO
L L g x Jk k− −= ′( )1 1: , , , l x g
a b
L u duk
a b
x
k( ) : ( )= +
+
+
−∫2
2
1 .
Todi za nerivnistg (2.19)
′ − ≤ ′( ) ≤−g L c
w a b
g J Ck J k1 1 1
( , )
, / / ( ),ω φϕ
,
wo razom z (3.13) pryvodyt\ do nyzky nerivnostej
′ − −Q Lk k 1 ≤ c Q lk k J− ≤ c Q g l gk k J− + −( ) ≤
≤ Cφ( )1 + c L gk J− − ′1 ≤ Cφ( )1 .
OtΩe,
′ − ′Q gk J
≤ L gk J− − ′1 + L Qk k− − ′
1 ≤ Cφ( )1 .
Teper dlq danoho x J∈ nexaj t Tj ∈ [ najblyΩçog do x. Todi
g x Q xk( ) ( )− =
t
x
k
j
g u Q u du∫ ′ − ′( )( ) ( ) ≤ C x t j− φ( )1 ≤ C T x t
i
k
i( ) ( )
=
+
∏ −
1
1
1φ .
Lema 9′′′′. Qkwo r = 1 i φ ∈Φk
, to
E f Y C Y kk
( )( , ) ( , ) ( )0 1≤ φ .
Dovedennq. Spoçatku prypustymo, wo s ≥ k + 1. Oskil\ky, oçevydno,
L f x y yk k( , ; , , )1 1… + ≡ 0,
to moΩna poklasty P x( ) :L= f ( )0 . Todi z lemy 9 vyplyva[
f f L f x y y C Y kk k= − ⋅ … ≤+( ; , ; , , ) ( , ) ( )1 1 1φ .
Takym çynom, lemu 9′ dovedeno dlq vypadku s ≥ k + 1, i zalyßa[t\sq rozhlqnu-
ty vypadok s ≤ k. U c\omu vypadku zapysu[mo ti : = yi , i = 1, … , s, i fiksu[mo
k – s + 1 dovil\nyx dodatkovyx toçok ts +1, … , tk +1, skaΩimo, na intervali
( , )−1 ys . Nexaj
π( ) : ( )x x t
i s
k
i= −
= +
+
∏
1
1
.
Todi za lemog 9 isnu[ konstanta C1 = C Y k1( , ) taka, wo
f x L f x t t C Y k x Y xk k( ) ( , ; , , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )− … ≤+1 1 1 1Π π φ , x I∈ .
Poklademo C2 = C1 π i
P x L x f t t C x Yk k( ) ( , ; , , ) ( , ) ( )= … ++1 1 2 1Π φ .
Todi ma[mo
f P C Y− ≤ ⋅2 12 Π( , ) ( )φ
i
f x x Y( ) ( , )Π = Π( , ) ( , ; , , ) ( )x Y L x f t t f xk k1 1… −( )+ +
+ Π( , ) ( )x Y f x + C x Y2
2 1Π ( , ) ( )φ ≥ Π( , ) ( )x Y f x ≥ 0,
wo j zaverßu[ dovedennq lemy 9′.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 411
Wob zaverßyty formulgvannq dopomiΩnyx lem, my povynni modyfikuvaty
oznaçennq ak porivnqno z [2, 9]. Ii j, i pi budut\ oznaçaty te same, wo i v [2].
Dlq S k∈ −Σ 1 poklademo
a S a S
I
I
p pk k n i j
j
i j
k
i j Ii
( ) : ( ) : max, , ,
= =
− .
Nahada[mo odnu lemu z [9].
Lema 10. Dlq koΩnoho S k∈ −Σ 1 vykonugt\sq nerivnosti
a S c S n c a Sk k k( ) ( , ) ( )≤ ≤−ωϕ 1
. (3.14)
4. Dovedennq stverdnyx rezul\tativ.
Lema 11. Qkwo S ∈ Σk O−1, ∩ ∆( )( )0 Y takyj, wo
a Sk ( ) ≤ 1,
to znajdet\sq mnohoçlen Pn ∈ ∆( )( )0 Y stepenq ≤ cn, wo zadovol\nq[ neriv-
nist\
S P cn− ≤ .
Dovedennq ci[] lemy [ majΩe doslivnym povtorennqm doveden\ lem 5 – 8 z
[2], za vynqtkom toho, wo potribno zaminyty φ( )hj i φ ρ( ) na 1, wo sprowu[
deqki obçyslennq.
Po[dnugçy lemy 10 i 11 (zamist\ tverdΩennq 2 z [2]), formulg[mo nastup-
nyj vysnovok.
TverdΩennq 4. Qkwo S ∈ Σk O−1, ∩ ∆( )( )0 Y , to
E S Y c S
nc n k1
0
2
1( )( , ) ,≤
ωϕ
, (4.1)
de c1 = c k s1( , ) i c2 = c k s2( , ).
Dovedennq tverdΩennq 1. Z lemy 7 i tverdΩennq 4 vyplyva[, wo dlq n >
> c3 isnugt\ Pn i S taki, wo
f P f S S P c
n n
c S
nn n k r− ≤ − + − ≤
+
+
1 1 1φ ω
*
, .
Zavdqky (3.9) ma[mo
ωϕ
k r S
n+
, 1 ≤ c n
n
f
n
r
k r
−
+
+
φ ωϕ
*
,1 1 ≤
≤ cn
n
f
n
r
k r
r−
+
φ ωϕ
* ,
( ),1 1 ≤ cn
n n
r−
+
φ φ
*
1 1 ≤ cn
n
r−
φ
*
1
,
de v druhij nerivnosti my vykorystaly (2.1), a v ostannij — (2.7). Ce dovodyt\
tverdΩennq 1 dlq n > c3 , v toj ças qk dlq k + r ≤ n ≤ c3 vono lehko vyplyva[
zLvysnovku 2.
Dovedennq tverdΩennq 2. Lehko baçyty, wo (2.10) vyplyva[ z (2.11), pry-
çomu lema 9′ vidihra[ rol\ vysnovku 2 dlq tverdΩennq 1, otΩe, my povynni
dovesty lyße (2.11). Ale (2.11) vyplyva[ z lemy 7′ i tverdΩennq 4 takym Ωe
çynom, qk i pry dovedenni tverdΩennq 1 (pry c\omu φ
*
zaming[t\sq na φ ).
Dovedennq tverdΩennq 3 oçevydnym çynom vyplyva[ z lemy 8, tverdΩennq 4
i nerivnosti H. Whitney.
Dovedennq teoremy 2. Nexaj spoçatku r > 2s. Oskil\ky f B Hr
k∈ φ̃
, de φ̃
vyznaçeno v (2.4) i r > 2s, my otrymu[mo za dopomohog (2.6), wo f B Hs
k r s
r s∈ + −
−2
2
2φ̃
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
412 I. V. SMAÛENKO
pryçomu r – 2s ≥ 1. Dovedennq teper zaverßu[t\sq vykorystannqm tverdΩen-
nqLL1 i (2.8). Qkwo k = r = 2, s = 1, abo r = 0, k = 1, to teorema bezposeredn\o
vyplyva[ z tverdΩennq 3.
Dovedennq teoremy 4. Nexaj r ≥ 1. Z umovy teoremy f B Hr
k∈ φ̃
, r ≥ 1, de
φ̃ vyznaçeno v (2.4), ma[mo f B Hk r
r∈ + −
−1
1
1φ̃
, i tverdΩennq teoremy otrymu[t\sq
zaLdopomohog tverdΩennq 2. Qkwo r = 0, k = 2, abo k = 3, to vono vyplyva[
zLtverdΩennq 3.
Dovedennq teoremy 1. Vyberemo f r∈B tak, wob ϕr rf ( ) ≤ 1. Spoçatku
rozhlqnemo r > 2s. Vidtak (2.2) zumovlg[, wo f B Hs
r s∈ −
2
2
φ
, de φ( )t : = ctr s−2
.
Oçevydno,
φ φ
* *
=
−
∈ −1
2
2
r s
r sΦ ,
i teorema 1 vyplyva[ z tverdΩennq 1. Dali, nexaj s = 2, r = 3. U c\omu vypadku
my povtorg[mo navedene vywe dovedennq, zaminggçy s na 1 skriz\ i zastosovu-
gçy tverdΩennq 1. I nareßti, qkwo r = 1 abo r = 2, s = 1, to teorema 1 vyply-
va[ z vypadkiv teoremy 2: r = 0, k = 1 i r = 0, k = 2, s = 1 vidpovidno.
Dovedennq teoremy 3. Teorema 3 vyplyva[ z teorem 2 i 4.
5. Kontrpryklady. Dovedennq teoremy 5. Poklademo
g xr( ) : = C
x x r
x r
r
r
r
− + +
+ ≥
( ) ln( ), —
( ) ,
/
/
1 1
1 3
2
2
qkwo parne,
qkwo i neparne,
(5.1)
de Cr vybrano takym çynom, wo
ϕr
r
rg( ) = 1. (5.2)
TakoΩ poznaçymo Mr : = gr . Beruçy ρ : =
r +
1
2
, ma[mo
lim ( )( )
x rg x
→ − +
= ∞
1
ρ
, (5.3)
a dlq j > ρ
( ) ( )( )− >−1 0j
r
jg xρ
, – 1 < x < 1. (5.4)
Bez vtraty zahal\nosti moΩemo prypuskaty, wo n ≥ r – 1. Dovedennq rozib’[mo
na try vypadky: 1) s – 1 < r ≤ 2s – 2; 2) max (3, 2s – 2) < r ≤ 2s; 3)LL1 < r ≤ s.
1. ZauvaΩymo, wo v c\omu vypadku ρ ≤ s – 1 < r. Z ohlqdu na (5.3) ta (5.4)
isnu[ x0 1 1∈ −( , ) , dlq qko]
g x n A Mr r
( )( ) ( )ρ ρ≥ +2
, – 1 < x ≤ x0 . (5.5)
Viz\memo Y : – 1 < ys < … < y1 < x0 i nexaj
L x L x g y ys s r s− −= …1 1 1( ) : ( ; ; , , )
poznaça[ mnohoçlen LahranΩa stepenq ≤ s – 1, qkyj interpolg[ funkcig gr
u toçkax Y. Poznaçymo
f g Ls
r s: ( ) ( )= − −−
−1 1
ρ
.
Todi
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 413
f x x y y x g x
g
s
s
s r
s r
s
( ) ( ) ( ) , , , ; ( ) ( )
( )
!
( )
= − …[ ] = −− −1 11
ρ ρ θΠ Π
dlq deqkoho θ ∈ −( , )1 1 , de y y x gs1, , , ;…[ ] poznaça[ podilenu riznycg g v
y1, … , ys ta x. OtΩe, zavdqky (5.4) f ∈ ∆( )( )0 Y i A fs( ) = Y{ } . TakoΩ, oskil\ky
s – 1 < r, z (5.2) vyplyva[ ϕr rf ( ) = 1.
Dali prypustymo vid suprotyvnoho, wo isnu[ mnohoçlen Pn ∈ Pn ∩ ∆( )( )0 Y
takyj, wo
f P An− < ,
i poklademo
Q P Ln
s
n s: ( )= − +−
−1 1
ρ
.
Todi
g Q f Pr n n− = − ,
zvidky
Q Q g g A Mn n r r r≤ − + < + ,
wo za dopomohog nerivnosti Markova zumovlg[
Q n A Mn r
( ) ( )ρ ρ≤ +2
. (5.6)
Z inßoho boku, oskil\ky ρ ≤ s – 1, to dlq deqkoho τ ∈ −( , )1 0x ma[mo
Q y y Q y y g gn n r r
( ) ( )( ) ! , , ; ! , , ; ( )ρ
ρ ρ
ρτ ρ ρ θ= …[ ] = …[ ] =+ +1 1 1 1 ,
de θ ∈ −( , )1 0x . ZauvaΩymo, wo v druhij nerivnosti my vykorystaly toj fakt,
wo g yr i( ) = L ys j−1( ) = 0, j = 1, … , ρ, i Pn ∈ ∆( )( )0 Y . Zavdqky (5.5) ma[mo
Q g n A Mn r
r
r
( ) ( )( ) ( )ρ ρ θ≥ ≥ +2
,
wo supereçyt\ (5.6). Ce zaverßu[ dovedennq perßoho vypadku.
2. U c\omu vypadku 2s – 1 ≤ r ≤ 2s. Todi ρ = s i, qk i u raniße rozhlqnutomu
vypadku, isnu[ x0 1 1∈ −( , ), dlq qko] vykonu[t\sq (5.5). Znovu beremo Y : – 1 <
< ys < … < y1 < x0 . Teper nexaj
L x L x g y y x xs s r s+ += …1 1 1 0 0( ) : ( ; ; , , , , )
bude mnohoçlenom LahranΩa – Ermita stepenq ≤ s + 1, qkyj interpolg[ gr u
toçkax y1, … , ys
, x0 i interpolg[ ′gr v x0 . Vyznaçymo
f g Lr s:= − +1 .
Todi
f x x x x y y x x x gs r( ) ( )( ) , , , , , ;= − …[ ]Π 0
2
1 0 0 , (5.7)
de kvadratnymy duΩkamy poznaçena uzahal\nena podilena riznycq. Vidtak
f x x x x
gr( ) ( )( )
( )
( )!
( )
= −
+
+
Π 0
2
2
1
ρ θ
ρ
dlq deqkoho θ ∈ −( , )1 1 . Z (5.4) vyvodymo, wo f ∈ ∆( )( )0 Y i A fs( ) = Y{ } , i,
oskil\ky s + 1 < r (nahada[mo, vypadok r – 1 = 2 = s vyluçeno), z (5.2) vyplyva[
ϕr rf ( ) = 1.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
414 I. V. SMAÛENKO
Teper prypustymo, wo isnu[ mnohoçlen Pn ∈ Pn takyj, wo
f P An− < ,
i poklademo
Q P Ln n s:= + +1.
Todi, qk i raniße, otryma[mo
Q n A Mn r
( ) ( )ρ ρ≤ +2
. (5.8)
Z inßoho boku, oskil\ky Ls +1 [ interpolqcijnym i Pn ∈ ∆( )( )0 Y , dlq deqkyx τ,
θ ∈ ( , )−1 0x budemo maty
Qn
( )( )ρ τ = ρ! , , , ;y y x Qs n1 0…[ ] = ρ! , , , ;y y x Ls s1 0 1…[ ]+ +
P x
x
n( )
( )
0
0Π
≥
≥ − …[ ]ρ! , , , ;y y x gs r1 0 = gr
( )( )ρ θ ≥ n A Mr
2ρ( )+ .
Ce supereçyt\ (5.8) i zaverßu[ dovedennq druhoho vypadku.
3. U c\omu vypadku nam potribno zastosuvaty dewo inßyj pidxid. Vyberemo
x0 1 0∈ −( , ) tak, wob vykonuvalas\ nerivnist\
g x n A Mr
r r
r
( ) ( )( ) ( )− −≥ + +1
0
2 1 1 , (5.9)
i poklademo
˜ ( ) : ( )
( )!
( ) ( )( )g x
r
x u g u dur
r
x
x
r
r
r= −
−
−− −∫1 1
1
0
1ρ
, – 1 ≤ x ≤ 1.
Vyznaçymo
f x
g x x x
x x
r
( ) :
˜ ( ), ,
, .
=
≥
<
0
00
Todi zavdqky (5.2) ϕr rf ( ) ≤ 1. Teper baçymo, wo
T g gr
r
r r−
−= − −1 1: ( ) ˜ρ
[ mnohoçlenom Tejlora stepenq r – 1 v toçci x0 funkci] ( )− −1 r
rgρ
i, zok-
rema,
T x g xr
r r
r
r
−
− − −≡ −1
1 1
01( ) ( )( ) ( ) ( )ρ
.
Prypustymo vid suprotyvnoho, wo isnugt\ nabir Y A fs∈ ( ), tobto Y : – 1 <
< ys < … < y1 ≤ x0 i mnohoçlen Pn ∈ Pn ∩ ∆( )( )0 Y , qkyj zadovol\nq[
f P An− < ,
i poklademo
Q P Tn n r:= + −1.
Todi dlq x0 ≤ x ≤ 1
f x P x g x P x g x Q xn r n
r
r n( ) ( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − = − −−1 ρ
,
otΩe,
Q x g x f x P x A Mn r n r( ) ( ) ( ) ( )≤ + − < + . (5.10)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 415
Z (5.2) vyplyva[, wo
˜ ( )
( )!
( )
( )
g x
r
u
u
dur
x r
r≤
−
+ <
−
−
∫1
1
1
1
1
10
ϕ
.
Takym çynom, dlq –1 ≤ x < x0
Q x P x g x g x A Mn n r r r( ) ( ) ( ) ˜ ( )≤ + + < + + 1,
wo razom z (5.10) pryvodyt\ do nerivnosti
Q A Mn r< + + 1,
i, otΩe,
Q n A Mn
r r
r
( ) ( )( )− −< + +1 2 1 1 . (5.11)
Z inßoho boku, dlq deqkyx τ, θ ∈ ( , )−1 0x
Qn
r( )( )−1 τ = ( )! , , ;r y y Qr n− …[ ]1 1 = ( )! , , ;r y y Tr r− …[ ]−1 1 1 =
= Tr
r
−
−
1
1( )( )θ = g xr
r( )( )−1
0 ≥ n A Mr
r
2 1 1( )( )− + + ,
wo supereçyt\ (5.11). V navedenyx mirkuvannqx my vykorystaly toj fakt, wo
r ≤ s i P Yn ∈∆( )( )0
. Ce zaverßu[ dovedennq tret\oho vypadku i teoremy 5 v
cilomu.
Dovedennq teoremy 6. Budemo vykorystovuvaty nastupni nerivnosti dlq
funkcij z Cϕ
r
:
ω ωϕ ϕ
k r
r
r
rf t c k r f t,
( )
,
( ), ( , ) ,( ) ≤ ( )4 1 , k ≥ 1, (5.12)
ω ωϕ ϕ
k r
r
r
rf t c k r f t,
( )
,
( ), ( , ) ,( ) ≤ ( )5 2 , k ≥ 2. (5.13)
ZauvaΩymo, wo ma[ misce f fr r∈ ⇒ ∈+
B C
1
ϕ , pryçomu
ω ϕϕ
1 6
1 1
,
( ) ( ), ( )r
r r rf t c r t f( ) ≤ ( )+ +
, r ≥ 0, (5.14)
ω ϕϕ
2 1
1
7
2 1 1
,
( ) ( ), ( )r
r r rf t c r t f−
− + +( ) ≤ ( ) , r ≥ 1. (5.15)
Spoçatku rozhlqnemo vypadok s ≥ 2. Teorema 5 stverdΩu[, wo dlq 2 ≤ r ≤ 2s,
za vynqtkom vypadku s = 2, r = 3, isnu[ funkciq g = gs r n B, , , ∈ B
r ∩ ∆( )( )0 Y
taka, wo ϕr rg( ) = 1 i
E g e g Bn
s
n
s( , ) ( , )( ) ( )0 0≥ > . (5.16)
Nexaj zadano A > 0. Qkwo 1 ≤ r < 2s, za vynqtkom vypadkiv z s = 2, r = 2, to
beremo B : = c k r c r A4 6( , ) ( ) , f = fs r k n A, , , , : = gs r n B, , ,+1 , de g — funkciq z teoremy
5. Nadali budemo zapysuvaty prosto f, parametry s, r , k budut\ zrozumili z
kontekstu. ZL(5.12) i (5.14) otrymu[mo
ω ω ϕϕ ϕ
k r
r
r
r r rf c f c c f c c,
( )
,
( ) ( ), ,1 14 1 4 6
1 1
4 6( ) ≤ ( ) ≤ =+ +
. (5.17)
Ob’[dnugçy (5.16) i (5.17), ma[mo
e f e g B B
c c
f A fn
s
n
s
s r n B k r
r
k r
r( , ) ( , )
, , , ,
( )
,
( )( ) ( ) , ,0 0
1
4 6
1 1= > ≥ ( ) = ( )+ ω ωϕ ϕ
.
Teper nexaj k ≥ 2 i abo r = 0, abo r = 2, s = 2. Todi beremo B =
= c k r c r A5 7 1( , ) ( )+ , f = gs r n B, , ,+ 2 . Z (5.13) i (5.15) oderΩu[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
416 I. V. SMAÛENKO
ω ω ϕϕ ϕ
k r
r
r
r r rf c f c c f c c,
( )
,
( ) ( ), ,1 15 2 5 7
2 2
5 7( ) ≤ ( ) ≤ =+ +
.
Analohiçno poperedn\omu
e f e g B B
c c
f A fn
s
n
s
s r n B k r
r
k r
r( , ) ( , )
, , , ,
( )
,
( )( ) ( ) , ,0 0
2
5 7
1 1= > ≥ ( ) = ( )+ ω ωϕ ϕ
.
Zalyßagt\sq nastupni vypadky: r = s = 2, k = 1 i r = 2s. Z ohlqdu na (5.12) v
ostann\omu vypadku dostatn\o pobuduvaty funkcig lyße dlq k = 1. OtΩe, my
rozhlqdatymemo lyße k = 1. Vykonu[t\sq nerivnist\
ω ϕϕ
1 1 2,
( ) ( ),r
r r rf f( ) ≤ . (5.18)
Dlq vypadku r = s = 2 my rozhlqda[mo funkcig g x( ) := − + +1
4
1 1( ) ln( )x x . Ne-
xaj M : = g . Vybyra[mo x0 ∈ ( , , )− −1 0 8 z umovy
− + > + +
ln( )x n A M0
21 8 1
4
. (5.19)
Poznaçymo çerez T x2( ) mnohoçlen Tejlora stepenq 2 funkci] g v toçci x0 i
poklademo
f x
g x T x x x
x x
( ) :
( ) ( ), ,
, .
=
− ≥
<
2 0
00
Oçevydno, f ∈Cϕ
2
, ′′ ≡ ′′T x g x2 0( ) ( ). OtΩe, qkwo my poklademo
˜( )f x = f x( ) +
+ T x2( ) , to za dopomohog (5.18) otryma[mo
ω ω ϕ ϕϕ ϕ
1 2 1 2
2 21 1 2 2 1, ,( , ) ( ˜ , ) ˜′′ = ′′ ≤ ′′ ≤ ′′ =f f f g .
Z inßoho boku,
g x T x x u g u du
x
x
( ) ( ) ( ) ( )− = − ′′′ ≥∫2
21
2
0
0
, − ≤ ≤1 1x . (5.20)
Prypustymo vid suprotyvnoho, wo isnugt\ nabir Y A f∈ 2( ) , tobto y1
, y2 : – 1 <
< y2 < y1 ≤ x0 , i mnohoçlen Pn ∈ ∆( )( )0 Y , qkyj zadovol\nq[
f P An− ≤ , (5.21)
i rozhlqnemo mnohoçlen
F P T xn n= + 2( ).
Zaznaçymo, wo z uraxuvannqm (5.21) dlq x x∈[ ]0 1,
g x F x f x P x An n( ) ( ) ( ) ( )− = − ≤ ,
a dlq x x∈ −[ )1 0,
F xn( ) ≤ P x g x T x g xn( ) ( ) ( ) ( )+ − +2 ≤
≤ A u g u du M
x
+ + ′′′ +
−
∫1
2
1
1
2
0
( ) ( ) ≤ A M+ + 1
4
.
Z ostannix dvox nerivnostej ma[mo
F xn( ) ≤ A M+ + 1
4
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 417
a z nerivnosti Markova —
′ ≤ + +
F n A Mn
2 1
4
. (5.22)
Z inßoho boku, dlq deqkoho θ ∈ −( , )1 0x
y y Fn1 2, ;[ ] = ′T2( )θ = ′ + − ′′g x x g x( ) ( ) ( )0 0 0θ ≥ ′g x( )0 ≥ − +1
8
10ln( )x ,
(5.23)
wo razom z (5.19) dlq deqkoho τ ∈ −( , )1 0x zumovlg[
′ ≥ − + > + +
F x n A Mn( ) ln( )τ 1
8
1 1
40
2
.
Ostannq nerivnist\ supereçyt\ (5.22). OtΩe, f Pn− > A. Vidtak
e f A A fn
( , )
,( ) ( , )0 2
1 2 1> ≥ ′′ωϕ
.
Rozhlqd vypadku r = s = 2 zaverßeno.
Dlq vypadku r = 2s my povynni modyfikuvaty funkcig g z teoremy 5 dlq
toho, wob f bula ne lyße z B
r
, ale naspravdi z Cϕ
r
. Viz\memo B : = 4 A i po-
klademo
g x g x x x L xs r n B
s
s( ) : ( ) : ( ) ln( ) ( ), , ,= = − + + − +1 1 1 ,
de L xs +1( ) — mnohoçlen stepenq s + 1, qkyj vybyra[t\sq tak, wo g ∈ B
r ∩
∩ ∆( )( )0 Ys i zadovol\nq[ umovu teoremy 5 z konstantog B. ZauvaΩymo, wo z
(5.7) i (5.4) vyplyva[
L x y y x xs s
s
+ − = − + … − + ⋅ + ⋅[ ] ≠1 0
2
1 0 01 1 1 1 1 1 0( ) ( )( ) , , , , , ; ( ) ln( )Π .
My baçymo, wo
g x a xr
r
s( )( ) ( )= + −1 , (5.24)
de ar — konstanta, qka zaleΩyt\ lyße vid r, i
g( )− ≠1 0 . (5.25)
Teper nexaj dlq koΩnoho 0 < ε < 1 T xε( ) — mnohoçlen Tejlora stepenq r v
toçci –1 + ε i
g x
g x x
T xε
ε
ε
( ) :
( ), ,
( )
=
≥ − +
1
— .u protyvnomu razi
Oçevydno, g r
ε ϕ∈C i ϕ ε
r rg( ) ≤ ϕr rg( ) = 1. OtΩe, z (5.18) ma[mo
ω ε1 2,
( ),r
rg t( ) ≤ . (5.26)
Oskil\ky
g x T x
r
x t g t dt
x
r r( ) ( )
!
( ) ( )( )− = −
− +
+∫ε
ε
1
1
1
,
z (5.24) vyplyva[, wo dlq x ∈ − − +[ ]1 1, ε
g x T x
a
r
t t dt c cr r s r s( ) ( )
!
( ) ( )− ≤ + + < <
−
− +
− − −∫ε
ε
ε ε
1
1
11 1 .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
418 I. V. SMAÛENKO
Takym çynom, z ohlqdu na (5.25) moΩna vybraty ε0 > 0 tak, wo
g g B− <ε0 2
i gε0 [ kopozytyvnog z g. My robymo vysnovok, wo
e g e g g g B B A A gn
s
n
s
r
r( , ) ( , )
,
( )( ) ( ) ,0 0
10 0 02
2 1ε ε
ϕ
εω≥ − − > − = ≥ ( ).
Zalyßa[t\sq vypadok s = 1. Dostatn\o rozhlqnuty pidvypadok r = 2, s = k =1.
Mirkuvannq dlq n\oho analohiçni mirkuvannqm dlq vypadku r = s = 2, k = 1.
ALsame, g, x0 , T2
, Pn
, Fn poznaçagt\ te same. Vid suprotyvnoho prypuska[mo,
wo isnugt\ Y ∈Y1: y1 ≤ x0 i Pn ∈ ∆( )( )0 Y takyj, wo f Pn− ≤ A. Dovedennq
provodyt\sq tak samo, lyße zamist\ (5.23) u vypadku y1 ≠ x0 zapysu[mo
y x Fn1 0, ;[ ] = ′ +T x
P x
x
n
2 0
0
0
( )
( )
( )π
≥
≥ ′ + − ′′g x x g x( ) ( ) ( )0 0 0θ ≥ ′g x( )0 ≥ − +1
8
10ln( )x ,
a u vypadku y1 = x0
x x Fn0 0, ;[ ] = ′ + ′g x P xn( ) ( )0 0 ≥ ′g x( )0 ≥ − +1
8
10ln( )x .
Dovedennq zaverßeno.
MoΩna postavyty pytannq pro xarakter zaleΩnosti konstant u teoremax 3 i
4 vid Y. Qk vyplyva[ z lem 3′, 4′, 7′, 9, 9′ i zauvaΩen\ do nyx, u teoremi 4 dlq
vypadku r > 0 vykonu[t\sq N k r Y( , , ) = N ( k, r, min { yi − yi +1, i = 0, s} ) , a dlq
r = 0 — N k Y( , ) = N ( k, min { yi − yi +1, i = 1 1, s − } ) (ce vstanovlg[t\sq, qk i v
[2]). Qk naslidok, nerivnosti teoremy 3 otrymugt\sq dlq r > 3 z N r Y( , ) = N ( r,
min { yi − yi +1, i = 0, s} ), a dlq r ≤ 3 z N r Y( , ) = N ( r, min { yi − yi +1, i =
= 1 1, s − } ). Z dovedennq teorem 5 i 6 lehko pobaçyty, wo zaleΩnist\ konstant v
teoremax 3 i 4 vid dovΩyny krajnix intervaliv (tam, de vona ma[ misce) [ sut-
t[vog.
6. Oberneni teoremy. U c\omu punkti budemo vykorystovuvaty poznaçennq
E fn( ) : = inf { f Pn− : Pn ∈ Pn
} dlq velyçyny najkrawoho nablyΩennq alheb-
ra]çnymy mnohoçlenamy bez obmeΩen\. Pytannq, na qke my namaha[mosq vidpo-
visty v c\omu punkti, polqha[ v nastupnomu. Nexaj α > 0 i
E f
n
n( ) ≤ 1
α ∀ n > α – 1,
de 1 0 1/ := . Çy [ virnymy nastupni tverdΩennq:
E f
c s
n
n
s( , )( )
( , )0 < α
α ∀ n > α – 1, (6.1)
abo
E f Y
c Y
n
c s
n
n
( )( , )
( , ) ( , )0 <
α α
α α ∀ >n α n N Y>( )( , )α ? (6.2)
K.LA.LKopotun [6] doviv spravedlyvist\ (6.2) dlq 0 < α < 3 ta postavyv pytannq
pro joho spravedlyvist\ dlq inßyx α . My da[mo stverdnu vidpovid\ na ce
pytannq, bil\ß toho, v deqkyx vypadkax vstanovlg[t\sq spravedlyvist\ ne til\-
ky (6.2), ale j (6.1). A same, [ spravedlyvog taka teorema.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
VAHOVI MODULI HLADKOSTI I ZNAKOZBERIHAGÇE NABLYÛENNQ 419
Teorema 7. Prypustymo, wo f s∈∆( , )0
i abo s = 1, α ≠ 2, abo s = 2,
α ∈ (0, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4,+ ∞ ) , abo s > 2, α ∈ (0, 1) ∪ (2s,+ ∞ ) . Todi qkwo
E f
n
n( ) ≤ 1
α ∀ n > α – 1, (6.3)
to
E f
C s
n
n
s( , )( )
( , )0 ≤ α
α ∀ n > α – 1, (6.4)
de C s( , )α — konstanta, wo zaleΩyt\ lyße vid s i α.
Dovedennq. Qkwo 0 < α < 1, to za dopomohog oberneno] teoremy typu
V.LK.LDzqdyka ma[mo ωϕ( , )f t ≤ c s t( , )α α
, otΩe, za teoremog 2 otrymu[mo ba-
Ωanu ocinku. Qkwo s = 1, 1 < α < 2, to z (6.3) otrymu[mo
E f
n nn( ) ˆ≤
1 1φ , n ≥ 1,
de
ˆ ( )φ t = tα −1
. Dali ma[mo f ∈Cϕ
1
i ω1 1, ( , )′f t ≤ c t( ) ˆ ( )α φ . I znovu vykorysto-
vu[mo teoremu 2. Qkwo s = 1, 2, 2 < α < 3, to z (6.3) otrymu[mo
E f
n nn( ) ˆ≤
1 1
2 φ , n ≥ 2,
de
ˆ ( )φ t = tα −1
. Dali ma[mo f ∈Cϕ
2
i ω1 2, ( , )′′f t ≤ c t( ) ˆ ( )α φ . Teper my vyvodymo
potribne z tverdΩennq 1 zamist\ teoremy 2, oskil\ky
ˆ
*
φ ∈Φk
. Dali, nexaj
α > 2s. Todi viz\memo m = [α] + 1 i podibno do navedenoho vywe oderΩymo
E f
n nn s( ) ˆ≤
1 1
2 φ , n ≥ m – 1,
de
ˆ ( )φ t = t sα −2
. Vidtak f s∈Cϕ
2
i ωm s s
sf t−2 2
2
,
( )( , ) ≤ c s t( , ) ˆ ( )α φ . Znovu moΩe-
mo vykorystaty tverdΩennq 1. Zreßtog, qkwo α = s = 1, to na pidstavi vidomo]
oberneno] teoremy ωϕ
2 ( , )f t ≤ ct. Potribna ocinka vyvodyt\sq pry c\omu z teo-
remy 2.
Teorema 8. Nexaj f Y∈∆( )( )0
, de Y s∈Y i α > 0. Todi qkwo (6.3) vyko-
nu[t\sq, to
E f Y
c Y
n
c s
n
n
( )( , )
( , ) ( , )0 <
α α
α α ∀ > −n α 1 n N Y>( )( , )α . (6.5)
Dovedennq. Vypadok 0 < α < 1 doslidΩuvavsq v teoremi 7. Qkwo α > 1,
to viz\memo m : = [α] + 1. ZauvaΩymo, wo
E f n
nn( ) ˆ≤
−1 1φ , n ≥ m – 1,
de
ˆ ( )φ t = tα −1
. Vidtak f ∈Cϕ
1
i ωm f t− ′
1 1, ( , ) ≤ c t( ) ˆ ( )α φ , φ̂ ∈ −Φm 1
. Teper
moΩna zastosuvaty tverdΩennq 2. Qkwo α = 1, to ωϕ
2 ( , )f t ≤ ct, i (6.5) vy-
plyva[ z tverdΩennq 3.
Dlq povnoty moΩna zaznaçyty, wo vysnovky teoremy 7 ne moΩna poßyryty
na bud\-qki inßi pary α , s. Spravdi, nexaj s > 1. Qkwo α = 2, to vybyra[mo
r = 2, dlq α = 2s vybyra[mo r = 2s, i dlq vsix inßyx α, qki ne vxodqt\ do umo-
vy teoremy 7, vybyra[mo r : = [α] + 1. Dlq dovil\no] funkci] f r∈B z prqmo]
teoremy dlq nablyΩennq bez obmeΩen\ (dyv. [1]) ma[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
420 I. V. SMAÛENKO
E f
c
m
fm r
r r( ) ( )≤ 1 ϕ ∀ ≥ −m r 1,
de c1 = c r1( ) . Dlq danyx B, n poklada[mo A : = Bc1 i beremo g = gs r n A, , , , qka
pobudovana v teoremi 5. Poklademo f : = c g gr r
1
1
ϕ ( )( )−
, todi
E f
m m
m r( ) ≤ ≤1 1
α ∀ ≥ −m α 1
i e fn
s( , )( )0 ≥ A
c1
= B. I, nareßti, u vypadku α = 2, s = 1 moΩna zastosuvaty
konstrukci] prykladu dlq r = 2, k = s = 1 z teoremy 6. Lehko perekonatysq, wo
dlq funkci] vykonugt\sq (6.3) i (6.5) z α = 2, ale ne vykonu[t\sq (6.4). Detali
moΩna lehko vidnovyty, dotrymugçys\ takoΩ [11] (pryklad 0.2).
Avtor vyslovlg[ podqku prof. I.LO.LÍevçuku za postanovku bil\ßosti py-
tan\, wo [ predmetom rozhlqdu v cij roboti, ta uvahu do ne].
1. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smoothness. – New York: Springer, 1987.
2. Smazhenko I. V. On the degree of copositive approximation // J. Concr. and Appl. Math. – 2004.
3. Zhou S. P. A counterexample in copositive approximation // Isr. J. Math. – 1992. – 78. –
P. 75 – 83.
4. Íevçuk Y. A. PryblyΩenye mnohoçlenamy y sled¥ neprer¥vn¥x na otrezke funkcyj. –
Kyev: Nauk. dumka, 1992.
5. Leviatan D. Monotone and comonotone approximation revisited // J. Approxim. Theory. – 1988. –
53. – P. 1 – 16.
6. Kopotun K. A. On copositive approximation by algebraic polynomials // Analysis Math. – 1995. –
21. – P. 269 – 283.
7. Hu Y. K., Kopotun K. A., Yu X. M. Constrained approximation in Sobolev spaces // Can. J. Math. –
1997. – 49. – P. 74 – 99.
8. Leviatan D., Shevchuk I. A. Some positive results and counterexamples in comonotone
approximation // J. Approxim. Theory. – 1997. – 89. – P. 279 – 288.
9. Leviatan D., Shevchuk I. A. Some positive results and counterexamples in comonotone
approximation, II // Ibid. – 1999. – 100. – P. 113 – 143.
10. Leviatan D., Shevchuk I. A. More on comonotone polynomial approximation // Constr. Approxim.
– 2000. – 16. – P. 475 – 486.
11. Hylevyç Q., Íevçuk Y. A. Komonotonnoe pryblyΩenye // Fundam. y prykl. matematyka. –
1996. – 2. – S. 319 – 363.
OderΩano 29.12.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3608 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:42Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dd/f3ed8bb7e53694b47083711f15df47dd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36082020-03-18T19:59:42Z Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation Вагові модулі гладкості і знакозберігаюче наближення Smazhenko, I. V. Смаженко, І. В. We consider a continuous function that changes its sign on an interval finitely many times and pose the problem of the approximation of this function by a polynomial that inherits its sign. For this approximation, we obtain (in the case where this is possible) Jackson-type estimates containing modified weighted moduli of smoothness of the Ditzian-Totik type. In some cases, constants in these estimates depend substantially on the location of points where the function changes its sign. We give examples of functions for which these constants are unimprovable. We also prove theorems that are analogous, in a certain sense, to inverse theorems of approximation without restrictions. Розглядається неперервна функція, яка скінченне число разів на відрізку змінює знак, i ставиться задача про її наближення многочленом, який успадковує знак функції. Для такого наближення отримано, коли це можливо, оцінки типу Джексона, які включають модифіковані вагові модулі гладкості типу Діціана - Тотіка. В деяких випадках константи в цих оцінках суттєво залежать від розташування точок зміни знаку функції. Наведено приклади функцій, для яких ці константи принципово не можуть бути покращені. Крім того, доводяться теореми, аналогічні в деякому сенсі оберненим теоремам наближення без обмежень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3608 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 400–420 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 400–420 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3608/3947 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3608/3948 Copyright (c) 2005 Smazhenko I. V. |
| spellingShingle | Smazhenko, I. V. Смаженко, І. В. Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title | Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title_alt | Вагові модулі гладкості і знакозберігаюче наближення |
| title_full | Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title_fullStr | Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title_full_unstemmed | Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title_short | Weighted Moduli of Smoothness and Sign-Preserving Approximation |
| title_sort | weighted moduli of smoothness and sign-preserving approximation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3608 |
| work_keys_str_mv | AT smazhenkoiv weightedmoduliofsmoothnessandsignpreservingapproximation AT smaženkoív weightedmoduliofsmoothnessandsignpreservingapproximation AT smazhenkoiv vagovímodulígladkostííznakozberígaûčenabližennâ AT smaženkoív vagovímodulígladkostííznakozberígaûčenabližennâ |