On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions
We study classes of convex functions on $(1, \infty)$ that tend to zero at infinity. Relations between different elements of these classes are determined.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509729004978176 |
|---|---|
| author | Tikhonov, S. Yu. Тихонов, С. Ю. Тихонов, С. Ю. |
| author_facet | Tikhonov, S. Yu. Тихонов, С. Ю. Тихонов, С. Ю. |
| author_sort | Tikhonov, S. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:59:42Z |
| description | We study classes of convex functions on $(1, \infty)$ that tend to zero at infinity. Relations between different elements of these classes are determined. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
S. G. Tyxonov (Centr mat. yssledovanyj, Barselona, Yspanyq)
OB ∏KVYVALENTNOSTY NEKOTORÁX USLOVYJ
DLQ VÁPUKLÁX FUNKCYJ*
We study classes of convex functions on ( 1, ∞ ] which tend to zero at infinity. We establish the
relations between different elements of these classes.
Vyvçagt\sq klasy opuklyx funkcij na ( 1, ∞ ], wo prqmugt\ do nulq na neskinçennosti. Vsta-
novlggt\sq spivvidnoßennq miΩ riznymy predstavnykamy cyx klasiv.
1. Vvedenye. Budem rassmatryvat\ funkcyy yz klassa
� = ψ ψ ψ ψ ψ( ) , ( ) ( ) , [ , ), lim ( )t t
t t
t t t t
t
> − +
+ ≥ ∀ ∈ ∞ =
→ ∞
0 2
2
0 1 01
1 2
2 1 2 .
Ponqtno, çto funkcyy yz klassa � mohut stremyt\sq k nulg kak skol\ uhod-
no b¥stro, tak y skol\ uhodno medlenno. Zadaça klassyfykacyy funkcyj yz
� po skorosty ub¥vanyq pry t → ∞ xoroßo yzvestna v konstruktyvnoj teoryy
funkcyj. Naybolee qrkymy prymeramy yspol\zovanyq takoj klassyfykacyy
qvlqgtsq zadaçy maΩoryrovanyq nekotor¥x konstruktyvn¥x y strukturn¥x
xarakterystyk funkcyj (sm., naprymer, ·1‚), zadaçy opysanyq svojstv funkcyj
yz klassov Lψ
(sm. ·2‚) y druhye (sm., naprymer, ·3, 4‚).
A. Y. Stepanec (sm. rabot¥ ·2, t. 1‚, hl. 3, ·5‚) vvel sledugwug xarakterys-
tyku, na osnove kotoroj b¥la predloΩena udobnaq dlq pryloΩenyj klassyfy-
kacyq funkcyj yz �:
µ ( ψ, t ) = t
t tψ ψ−
−1 1
2
( )
.
∏tu velyçynu çasto naz¥vagt modulem poluraspada funkcyy ψ. Klassyfyka-
cyq funkcyj yz klassa � osnovana na ohranyçennosty µ ( ψ, t ) sverxu yly
snyzu:
�0 = ψ µ ψ( ) : ( , ) [ , )t t K t∈ < ≤ ∀ ∈ ∞{ }� 0 1 ,
�∞ = ψ µ ψ( ) : ( , ) [ , )t K t t∈ < ≤ < ∞ ∀ ∈ ∞{ }� 0 1 ,
�C = ψ µ ψ( ) : ( , ) [ , )t K t K t∈ < ≤ ≤ < ∞ ∀ ∈ ∞{ }� 0 11 2 .
Typyçn¥my predstavytelqmy kaΩdoho klassa qvlqgtsq sledugwye funkcyy:
ln
A
( t + 2 ) ∈ � 0 dlq A < 0; t
r
ln
A
( t + 2 ) ∈ � C dlq r > 0, A ∈ R; e Atr− ∈ �∞
dlq A, r > 0.
Narqdu s klassamy � 0 , � ∞ y � C v teoryy pryblyΩenyj vaΩnug rol\
yhragt (sm. ·2‚, hl. 3>–>8‚) sledugwye podklass¥ �0 y �∞ :
� 0
+ = ψ µ ψ( ) : ( , )t t∈ ↓{ }� 0 0 ,
′∞� = ψ η ψ( ) : ( , ) [ , )t t t K t∈ − < ∀ ∈ ∞{ }∞� 1 ,
hde η ( ψ, t ) : = ψ ψ−
1
2
( )t
.
Budem nalahat\ na funkcyg ψ ( t ) ∈ � nekotor¥e yz uslovyj:
*
PodderΩana hrantom Evropejskoj komyssyy (kontrakt MIF1-CT-2004-509465).
© S. G. TYXONOV, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 427
428 S. G. TYXONOV
V)
k n
k
k=
∞
∑ ψ( )
> => O nψ( )[ ],
Vβ)
k
n
k k
=
−∑
1
1β ψ( )> => O n nβ ψ( )[ ].
Uslovyq V) y Vβ) çasto naz¥vagt uslovyqmy Bary>–>Steçkyna (sm. ·1, 6‚). V
upomqnut¥x rabotax avtor¥ yspol\zovaly πty opredelenyq dlq funkcyj
ϕ ( t ) : = ψ 1
t
.
Dalee, sleduq Matusevskoj, zapyßem sledugwye opredelenyq (sm. ·3, s.>68‚).
Pust\ f ( ⋅ ) — poloΩytel\naq na [ X, ∞ ), X > 0, funkcyq. Ee verxnyj yndeks
Matusevskoj α ( f ) — πto ynfymum po tem α, dlq kotor¥x suwestvuet kon-
stanta C = C ( α ) takaq, çto dlq lgboho Λ > 1
f x
f x
( )
( )
λ
≤ C oλα{ ( )}1 1+ (x → ∞) ravnomerno po λ ∈ [ 1, Λ ] ;
ee nyΩnyj yndeks Matusevskoj β ( f ) — πto supremum po tem β, dlq kotor¥x
suwestvuet konstanta D = D ( β ) > 0 takaq, çto dlq lgboho Λ > 1
f x
f x
( )
( )
λ
≥ D oλβ{ ( )}1 1+ (x → ∞) ravnomerno po λ ∈ [ 1, Λ ] .
Cel\g nastoqwej rabot¥ qvlqetsq v¥qsnenye vzaymosvqzy meΩdu razbye-
nyem Stepanca klassa �, razbyenyqmy Bary – Steçkyna (s yspol\zovanyem
uslovyj V) y Vβ)), razbyenyqmy funkcyj rehulqrnoj varyacyy (s yspol\zova-
nyem ohranyçennosty yndeksov Matusevskoj) y nekotor¥my druhymy. TakΩe
m¥ dokaΩem svojstva funkcyj yz � 0
+
y ′∞� .
2. Teorema ob πkvyvalentnosty.
Teorema. Pust\ ψ ( t ) ∈ �. Tohda:
A) sledugwye uslovyq πkvyvalentn¥:
ψ ( t ) ∈ �0 , (1)
β ( ψ ) > – ∞, (2)
ψ ( t ) ∈
0 < < ∞β
β∪ B ; (3)
V) sledugwye uslovyq πkvyvalentn¥:
ψ ( t ) ∈ � ∞ , (4)
α ( ψ ) < 0, (5)
ψ ( t ) ∈ B; (6)
C) sledugwye uslovyq πkvyvalentn¥:
ψ ( t ) ∈ � C , (7)
– ∞ < β ( ψ ) ≤ λ ( ψ ) < 0, (8)
∃ β ∈ ( 0, + ∞ ): ψ ( t ) ∈ B ∩ Bβ; (9)
D) sledugwye uslovyq πkvyvalentn¥:
ψ ( t ) ∈ ′∞� , (10)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
OB ∏KVYVALENTNOSTY NEKOTORÁX USLOVYJ DLQ VÁPUKLÁX FUNKCYJ 429
k n
k
=
∞
∑ ψ( ) < Cψ ( n ) ∀ n ∈ N , (11)
∃ r ∈ N : 1
ψ( )n
∈
s
r
s
= 1
∪ N( ). (12)
Zdes\ y dalee posledovatel\nost\ prynadleΩyt N, esly ona lakunarna,
t.>e. suwestvuet çyslo λ > 1 takoe, çto neravenstvo
γ
γ
n
n
+1 ≥ λ > 1 v¥polneno
dlq lgb¥x natural\n¥x n. Takym obrazom, uslovye (12) svydetel\stvuet o tom,
çto posledovatel\nost\
1
ψ( )n
predstavyma v vyde koneçnoho obæedynenyq
lakunarn¥x posledovatel\nostej.
Dokazatel\stvo teorem¥. A). DokaΩem, çto (1) ⇒ (2). Pust\ ψ ( t ) ∈ �0.
t.>e. µ ( ψ, t ) ≤ K . Tohda
ψ
ψ
t
K
t
1 1+
( )
≥ 1
2
.
Otsgda, yspol\zuq monotonnost\ ψ, lehko poluçyt\
ψ λ
ψ
( )
( )
t
t
≥ 1
2λξ dlq λ ∈ [ 1, ∞ ), ξ = log /1 1 2+ K > 0.
Takym obrazom, sohlasno opredelenyg β ( ψ ) ≥ – ξ > – ∞, t. e. yz (1) sleduet (2).
PokaΩem, çto (2) ⇒ (3) ⇒ (1). Pust\ v¥polneno (2). Tohda m¥ vospol\-
zuemsq predloΩenyem 2.2.1 yz ·3, s. 72‚, sohlasno kotoromu esly β ( ψ ) > – ∞, to
dlq lgboho β < β ( ψ ) suwestvugt konstant¥ C y X takye, çto
ψ
ψ
( )
( )
y
x
C ≥
y
x
β
, y ≥ x ≥ X.
S druhoj storon¥, v sylu monotonnosty ψ ymeem
ψ λ
ψ
( )
( )
t
t
≤ λ0
, y sohlasno opre-
delenyg verxneho yndeksa Matusevskoj α ( ψ ) ≤ 0. Otsgda vydno, çto dlq lg-
boho β < β ( ψ ) (≤ α ( ψ ) ≤ 0) funkcyq
ψ
β
( )x
x
qvlqetsq poçty vozrastagwej v
sm¥sle Bernßtejna (sm. ·1‚), t. e.
ψ
β
( )y
y
C ≥
ψ
β
( )x
x
, y ≥ x. (13)
Zametym, çto uslovye ψ ∈ Bγ πkvyvalentno sledugwemu uslovyg: suwestvuet
ε > 0 takoe, çto funkcyq t tγ εψ− ( ) poçty vozrastaet (sm. ·1‚). Tohda (13)
vleçet ψ ∈ B | |+β ε dlq ε > 0. Takym obrazom, ψ ∈
0 < < ∞β β∪ B . Otsgda
sleduet suwestvovanye s ≥ 1 y γ > 0, dlq kotor¥x
ψ
ψ
( )
( )
t
st
≤ Csγ = : C1 > 0
dlq vsex t ≥ 1. Nakonec, yspol\zuq teoremu 16.1 yz ·2, t. 1, s. 175‚, poluçaem
ψ ( t ) ∈ �0. Punkt A) dokazan.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
430 S. G. TYXONOV
V). PokaΩem, çto (4) ⇒ (5). V sylu ub¥vanyq ψ (4) vleçet
ψ
ψ
t
K
t
1 1+( )( )
( )
≤
1
2
.
NesloΩno pokazat\, çto yz posledneho neravenstva sleduet
ψ λ
ψ
( )
( )
t
t
≤
2
λξ dlq λ ∈ [ 1, ∞ ), ξ = log /1 1 2+ K > 0.
Tohda α ( ψ ) ≤ – ξ < 0, t. e. (5) spravedlyvo.
Teper\ dokaΩem, çto (5) ⇒ (6) ⇒ (4). Pust\ α ( ψ ) < 0. Tohda (sm. predlo-
Ωenye 2.2.1 yz ·3, s. 72‚), tak kak α ( ψ ) < + ∞, dlq lgboho α > α ( ψ ) suwestvu-
gt konstant¥ C y X takye, çto
ψ
ψ
( )
( )
y
x
≤ C
y
x
α
, y ≥ x ≥ X.
Sledovatel\no, suwestvuet β > 0 takoe, çto funkcyq ψ β( )x x qvlqetsq poçty
ub¥vagwej, t. e.
ψ β( )y y ≤ C ψ β( )x x , y ≥ x. (14)
Poslednee uslovye πkvyvalentno ψ ∈ B (sm. ·1‚). S druhoj storon¥, yz (14)
sleduet suwestvovanye s > 1, dlq kotoroho v¥polnqetsq neravenstvo
ψ
ψ
( )
( )
st
t
≤
1
2
.
Tohda, yspol\zuq ub¥vanye ψ, sohlasno opredelenyg µ ( ψ, t ) poluçaem
1
1s −
≤
≤ µ ( ψ, t ) , t. e. ψ ∈ �∞ . Punkt V) dokazan.
Punkt S) sleduet yz pred¥duwyx punktov y neravenstva β ( ψ ) ≤ α ( ψ ) .
D). Yz lemm¥ 1 rabot¥ ·7‚ (sm. takΩe ·8‚) y predloΩenyq 8.1 ·2, t. 2, s. 47‚
ymeem (10) ⇒ (11) ⇒ (12) ⇒ ∃ ν ∈ N : ψ ( n + ν ) ≤
1
2
ψ( )n ∀ n ∈ N. Tohda v sylu
monotonnosty ψ suwestvuet T > 1 takoe, çto µ ( ψ, t ) – t < K dlq lgb¥x t ∈
∈ [ T, ∞ ) . Otsgda sohlasno opredelenyg funkcyy µ ( ψ, t ) ymeem ψ ∈ ′∞� .
Teorema dokazana.
3. Sledstvyq y zameçanyq.
Sledstvye 1. Pust\ ψ ( t ) ∈ � . Tohda uslovye ψ ( t ) ∈ �0 vleçet dlq
β > – β ( ψ ) uslovye
k
n
q qk k
=
−∑
1
1β ψ ( ) = O n nq qβ ψ ( )[ ] ∀ q > 0. (15)
Sledstvye 2. Pust\ ψ ( t ) ∈ � . Tohda uslovye ψ ( t ) ∈ �∞ πkvyvalentno
uslovyg
k n
n p k
k=
∑ ψ ( )
= O npψ ( )[ ] ∀ q > 0. (16)
Sledstvye 3. Pust\ ψ ( t ) ∈ � . Tohda uslovye ψ ( t ) ∈ �C vleçet dlq
β > – β ( ψ ) uslovyq (15), (16).
Dokazatel\stva sledstvyj 1>–>3 oçevydn¥ yz dokazatel\stva teorem¥ y yz
sledugweho fakta (sm. ·8‚): uslovye ψ ∈ Bβ πkvyvalentno uslovyg (15), a
uslovye ψ ∈ B — uslovyg (16).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
OB ∏KVYVALENTNOSTY NEKOTORÁX USLOVYJ DLQ VÁPUKLÁX FUNKCYJ 431
Zameçanye 1. Funkcyq, udovletvorqgwaq uslovyg – ∞ < β ( ψ ) , naz¥vaet-
sq funkcyej s ohranyçenn¥m ub¥vanyem, a funkcyq, udovletvorqgwaq uslo-
vyg α ( ψ ) < 0, — funkcyej s poloΩytel\n¥m ub¥vanyem ·3, s. 71‚. Nakonec,
klass funkcyj, udovletvorqgwyx uslovyg – ∞ < β ( ψ ) ≤ α ( ψ ) < ∞, sovpadaet
·3, s. 71‚ s klassom O-rehulqrno menqgwyxsq funkcyj. Nekotor¥e svojstva
upomqnut¥x klassov funkcyj predstavlen¥ v ·3‚.
Zameçanye 2. V monohrafyy ·2, s. 161‚ (teorema 12.1) pokazano, çto uslovye
ψ ∈ �C πkvyvalentno uslovyg
0 < K1 ≤ α ( t ) ≤ K2 < ∞ ∀ t ≥ 1, hde α ( t ) =
ψ
ψ
( )
( )
t
t t′
, ψ′( )t : = ψ′ +( )t 0 .
(17)
Poskol\ku spravedlyvo predstavlenye
ψ ( x ) = C
t
dt
t
x
exp
( )1
1∫ −
α
, C > 0, (18)
teorema o predstavlenyy O-rehulqrno menqgwyxsq funkcyj (sm. ·3, s.>71>–>74‚)
vleçet neravenstvo − 1
1K
≤ β ( ψ ) ≤ α ( ψ ) ≤ − 1
2K
, hde K1 y K2 vzqt¥ yz (17).
Zameçanye 3. Funkcyg S ( t ) naz¥vagt slabo koleblgwejsq (sm. ·3, s. 6; 4,
s. 10‚), esly ona yzmeryma na [ D, + ∞ ) , D > 0, poloΩytel\na y dlq lgboho λ >
> 0 udovletvorqet sootnoßenyg
lim
( )
( )t
S t
S t→ ∞
λ
= 1. (19)
Zametym, çto sohlasno teoreme Landau (sm. ·3, s. 54‚), esly S ( t ) ∈ � y (19)
spravedlyvo xotq b¥ dlq odnoho poloΩytel\noho λ ≠ 1, to S — slabo koleb-
lgwaqsq.
Yz teorem¥ o predstavlenyy slabo koleblgwyxsq funkcyj (sm. ·3, s. 12; 4,
s. 10>–>14‚) y teorem¥ 12.1 yz ·2, s. 161‚ dlq ψ ∈ � ymeem
ψ — slabo koleblgwaqsq ⇒ ψ ∈ ′�0 .
Zameçanye 4. Nekotor¥e uslovyq, ne upomqnut¥e v¥ße y πkvyvalentn¥e
uslovyqm ψ ( t ) ∈ B, ψ ( t ) ∈ Bβ y ψ ∈ ′∞� , moΩno najty v ·1, 7>–>9‚.
1. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1956. – 5. – S. 483>–>522.
2. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. – T. 1, 2.
3. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge Univ. Press, 1987.
4. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985.
5. Stepanec A. Y. Neskol\ko utverΩdenyj dlq v¥pukl¥x funkcyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1999.
– 51, # 5. – S. 764>–>780.
6. Ul\qnov P. L. O modulqx neprer¥vnosty y koπffycyentax Fur\e // Vestn. Mosk. un-ta.
Ser.>mat. – 1995. – # 1. – S. 37>–>52.
7. Steçkyn S. B. Ob absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e (tret\e soobwenye) // Yzv.
AN>SSSR. Ser. mat. – 1956. – 20. – S. 385>–>412.
8. Tyxonov S. G. Obobwenn¥e klass¥ Lypßyca y koπffycyent¥ Fur\e // Mat. zametky. –
2004. – 75, # 6. – S. 947>–>951.
9. Pokrovskyj A. V. Lokal\n¥e approksymacyy reßenyqmy hypoπllyptyçeskyx uravnenyj y
ustranym¥e osobennosty // Dokl. RAN. – 1999. – 367, # 1. – S. 15>–>17.
Poluçeno 09.11.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3610 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:43Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/89/d77d950926e28cfa2201772d701fab89.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36102020-03-18T19:59:42Z On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions Об эквивалентности некоторых условий для выпуклых функций Tikhonov, S. Yu. Тихонов, С. Ю. Тихонов, С. Ю. We study classes of convex functions on $(1, \infty)$ that tend to zero at infinity. Relations between different elements of these classes are determined. Вивчаються класи опуклих функцій на $(1, \infty)$, що прямують до нуля на нескінченності. Встановлюються співвідношення між різними представниками цих класів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3610 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 3 (2005); 427–431 Український математичний журнал; Том 57 № 3 (2005); 427–431 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3610/3951 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3610/3952 Copyright (c) 2005 Tikhonov S. Yu. |
| spellingShingle | Tikhonov, S. Yu. Тихонов, С. Ю. Тихонов, С. Ю. On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title | On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title_alt | Об эквивалентности некоторых условий для выпуклых функций |
| title_full | On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title_fullStr | On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title_full_unstemmed | On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title_short | On the Equivalence of Some Conditions for Convex Functions |
| title_sort | on the equivalence of some conditions for convex functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3610 |
| work_keys_str_mv | AT tikhonovsyu ontheequivalenceofsomeconditionsforconvexfunctions AT tihonovsû ontheequivalenceofsomeconditionsforconvexfunctions AT tihonovsû ontheequivalenceofsomeconditionsforconvexfunctions AT tikhonovsyu obékvivalentnostinekotoryhuslovijdlâvypuklyhfunkcij AT tihonovsû obékvivalentnostinekotoryhuslovijdlâvypuklyhfunkcij AT tihonovsû obékvivalentnostinekotoryhuslovijdlâvypuklyhfunkcij |