On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations
We establish theorems on the existence and uniqueness of a solution of the impulsive differential-algebraic equation $$\frac{d}{{dt}}[Au(t)] + Bu(t) = f(t,u(t)),$$ where the matrix A may be singular. The results are applied to the theory of electric circuits.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3612 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509731840327680 |
|---|---|
| author | Vlasenko, L. A. Perestyuk, N. A. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. |
| author_facet | Vlasenko, L. A. Perestyuk, N. A. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. |
| author_sort | Vlasenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:05Z |
| description | We establish theorems on the existence and uniqueness of a solution of the impulsive differential-algebraic equation
$$\frac{d}{{dt}}[Au(t)] + Bu(t) = f(t,u(t)),$$
where the matrix A may be singular. The results are applied to the theory of electric circuits. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
L. A. Vlasenko (Xar\kov. nac. un-t ym. V. N. Karazyna),
N. A. Perestgk (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
O RAZREÍYMOSTY
DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ
S YMPUL|SNÁM VOZDEJSTVYEM
We obtain existence and uniqueness theorems for the impulsive differential algebraic equation
d
dt
Au t Bu t[ ]( ) + ( ) = f t u t( )( ), . The matrix A is allowed to be degenerate. The results are applied to
the theory of electric networks.
OderΩano teoremy isnuvannq ta [dynosti dlq dyferencial\no-alhebra]çnoho rivnqnnq
d
dt
Au t Bu t[ ]( ) + ( ) = f t u t( )( ), z impul\snog di[g. Matrycq A moΩe buty vyrodΩenog. Re-
zul\taty zastosovano do teori] elektryçnyx lancghiv.
1. Vvedenye. V prostranstve Cn
rassmatryvaetsq polulynejnoe dyfferency-
al\noe uravnenye s ympul\sn¥m vozdejstvyem
d
dt
Au t Bu t[ ]( ) + ( ) = f ( t, u( t ) ), t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ tk , (1)
∆ u | k = tk
= u( tk + 0 ) – u( tk – 0 ) = C u( tk – 0 ), k = 1, … , m. (2)
Zdes\ A, B, C — ( n × n ) -matryc¥ s, voobwe hovorq, kompleksn¥my koπffycy-
entamy; f : [ t0
, t0 + T ] × Cn → Cn
— zadannaq funkcyq; moment¥ vremeny tk za-
numerovan¥: t0 < t1 < … < tm < tm + 1 = t0 + T. Budem predpolahat\, çto f ( t, u )
neprer¥vna po sovokupnosty peremenn¥x. Dlq uravnenyq (1) s ympul\sn¥m voz-
dejstvyem (2) zadadym naçal\noe uslovye
u( t0 ) = u0
. (3)
Uravnenye (1) s v¥roΩdennoj matrycej A budem naz¥vat\ v¥roΩdenn¥m yly
dyfferencyal\no-alhebrayçeskym po analohyy s sootvetstvugwymy lynejn¥-
my y nelynejn¥my uravnenyqmy bez ympul\snoho vozdejstvyq [1, 2] (sm. takΩe
byblyohrafyg v πtyx rabotax). Esly matryca A — edynyçnaq ( A = E ), to
uravnenye (1) budem naz¥vat\ qvn¥m, v protyvnom sluçae — neqvn¥m. Qvn¥e
dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejstvyem yssledovalys\ v [3].
Yzvestno, çto dlq lynejnoho dyfferencyal\no-alhebrayçeskoho uravnenyq
bez ympul\snoho vozdejstvyq naçal\naq zadaça razreßyma, esly v¥polnen¥
specyal\n¥e uslovyq sohlasovanyq na pravug çast\ uravnenyq y naçal\n¥j
vektor [4, s. 348 – 351]. Odnako pry nalyçyy ympul\snoho vozdejstvyq (2) πtyx
uslovyj nedostatoçno. Sledugwyj prostoj prymer pokaz¥vaet, çto neobxody-
mo potrebovat\ dopolnytel\n¥e ohranyçenyq na matrycu C. Pust\ uravnenye
(1) v prostranstve C2
ymeet vyd
′( ) − ( )u t u t1 1 = 0, u2( t ) = 0. (4)
Vektor u0 qvlqetsq naçal\n¥m dlq uravnenyq (4), esly y tol\ko esly u02 = 0
( u01 , u02 — komponent¥ vektora u0
). Kak pokaz¥vagt nesloΩn¥e v¥çyslenyq,
dlq razreßymosty zadaçy (4), (2), (3) neobxodymo takΩe potrebovat\, çtob¥
c21
u01 = 0 ( C = { } =cij i j, 1
2 ). V dannoj rabote ustanavlyvagtsq uslovyq odnoznaç-
noj razreßymosty zadaçy (1) – (3).
S uravnenyem (1) svqzan puçok matryc λ A + B. V dal\nejßem budem predpo-
lahat\, çto puçok λ A + B rehulqrn¥j, t. e. det ( λ A + B ) � 0 [4]. V πtom sluçae
© L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK, 2005
458 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O RAZREÍYMOSTY DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ … 459
moΩno vospol\zovat\sq lemmoj 3.2. yz [5], v sylu kotoroj ymeem sledugwee.
Prostranstvo Cn
raspadaetsq v prqm¥e summ¥
Cn = X1 +̇ X2 = Y1 +̇ Y2,
hde podprostranstvo X1 — oblast\ znaçenyj proektora
P1 = 1
2
1
π
( + )−∫i
A B Adλ λ
Γ
,
a podprostranstvo Y1 — oblast\ znaçenyj proektora
Q1 = 1
2
1
π
( + )−∫i
A A B dλ λ
Γ
.
Kontur Γ oxvat¥vaet vse sobstvenn¥e çysla puçka λ A + B. Esly puçok matryc
λ A + B ne ymeet sobstvenn¥x çysel, to P1 = Q1 = 0 y X1 = Y1 = { 0 }. Esly
det A ≠ 0, to P1 = Q1 = E y X2 = Y2 = { 0 }. Dalee,
A Xj ⊂ Yj , B Xj ⊂ Yj , j = 1, 2; (5)
esly X1 ≠ { 0 }, to matryca A ne v¥roΩdaetsq na X1
; esly X2 ≠ { 0 }, to mat-
ryca B ne v¥roΩdaetsq na X2
, a takΩe
A X1 = Y1 , B X2 = Y2 . (6)
Oboznaçym
P2 = E – P1 , Q2 = E – Q1 .
Esly X2 netryvyal\no, to X2 — podprostranstvo sobstvenn¥x y prysoedynen-
n¥x vektorov puçka µ B + A v toçke µ = 0 (yly puçka λ A + B v beskoneçno
udalennoj toçke λ = ∞ ). Vektor¥ ϕ0 , ϕ1 , … , ϕk obrazugt cepoçku yz sob-
stvennoho y prysoedynenn¥x vektorov puçka µ B + A v toçke µ = 0, esly
A ϕ0 = 0, A ϕj + B ϕj – 1 = 0, j = 1, … , k [6]. V teoryy dyfferencyal\no-alhebray-
çeskyx uravnenyj takΩe yspol\zugt termyn B-Ωordanova cepoçka matryc¥ A
[1] (opredelenye dano v [7, s. 422]). Naybol\ßug dlynu r cepoçky yz sobstven-
noho y prysoedynenn¥x vektorov puçka matryc µ B + A v toçke µ = 0 nazovem
yndeksom puçka matryc λ A + B y budem oboznaçat\ tak: r = ind { A, B }. Esly
det A ≠ 0, to poloΩym ind { A, B } = 0. Esly r = 1, to prysoedynenn¥x vektorov
net y X2 — podprostranstvo sobstvenn¥x vektorov matryc¥ A, sootvetstvu-
gwyx nulevomu sobstvennomu çyslu. V πtom sluçae yz pervoho sootnoßenyq v
(6) sleduet Y1 = A Cn
.
2. Osnovn¥e rezul\tat¥. V dal\nejßem nam ponadobytsq vspomohatel\-
naq matryca
G = A P1 + B P2 . (7)
V sluçae ind { A, B } = 1 matryca G b¥la vvedena v [8], hde ustanovlen¥ y ee
svojstva. Dlq proyzvol\noho yndeksa ind { A, B } svojstva matryc¥ G ukaz¥-
vagtsq v sledugwej lemme.
Lemma 1. Spravedlyvo predstavlenye
G = Q1 A + Q2 B. (8)
Matryca G obratyma y
G Xj = Yj , j = 1, 2. (9)
Matryca
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
460 L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK
F = G
–
1
Q2 A
nyl\potentna s yndeksom nyl\potentnosty max { 1, r }, hde r = ind { A, B }.
Dokazatel\stvo. Yz svojstv (5) sleduet, çto A Pj = Qj A, B Pj = Qj B, j = 1,
2, y poπtomu matryca G (7) dopuskaet predstavlenye (8).
Pust\ G x = 0. Znaçyt, A P1 x = 0 y B P2 x = 0. Poskol\ku A ne v¥roΩdaet-
sq na X1
, a B — na X2
, to P1 x = 0 y P2 x = 0. Poπtomu x = 0 y matryca G
obratyma. Yz (6) sleduet G X1 = A X1 = Y1 y G X2 = B X2 = Y2
. Takym obrazom,
svojstva (9) ustanovlen¥.
PokaΩem, çto matryca F — nyl\potentna. Esly r = 0, to Q2 = 0. Esly r =
= 1, to Q2 A = A P2 = 0. Znaçyt, esly 0 ≤ r ≤ 1, to F = 0 qvlqetsq nyl\potent-
noj matrycej s yndeksom nyl\potentnosty 1. Pust\ r ≥ 2. Proverym, çto dlq
lgboho u ∈ Cn
v¥polneno sootnoßenye F
r
u = 0. Esly P2 u — πlement qdra
matryc¥ A, to F u = 0. PredpoloΩym, çto P2 u = ϕk ∈ X2 , 1 ≤ k ≤ r – 1, y ϕ0 ,
ϕ1 , … , ϕk ⊂ X2 — cepoçka yz sobstvennoho y prysoedynenn¥x vektorov puçka
µ B + A v toçke µ = 0. Tohda
F u = G
–
1
Q2 A u = G
–
1
A P2 u = G
–
1
A ϕk = – G
–
1
B ϕk – 1 = G
–
1
G ϕk – 1 = ϕk – 1 .
Poπtomu F
k
+
1
u = 0. Otsgda sleduet utverΩdenye lemm¥.
Oboznaçym çerez Λ klass kusoçno-neprer¥vn¥x na [ t0
, t0 + T ] funkcyj s
razr¥vamy pervoho roda pry t = tk y takyx, çto A u ( t ) neprer¥vno dyfferen-
cyruema pry t ≠ tk
, k = 1, … , m. Reßenyem uravnenyq (1) s ympul\sn¥m vozdej-
stvyem (2) naz¥vaetsq funkcyq u ( t ) ∈ Λ, kotoraq udovletvorqet uravnenyg
(1) y uslovyqm (2). Reßenye naçal\noj zadaçy (1) – (3) est\ reßenye uravnenyq
(1), (2), kotoroe udovletvorqet naçal\nomu uslovyg (3). V sluçae qvnoho urav-
nenyq takoe opredelenye reßenyq sovpadaet s opredelenyem, dann¥m v [3]. V
dal\nejßem budem predpolahat\, çto reßenye qvlqetsq neprer¥vn¥m sleva,
t.Re. u ( tk ) = u ( tk – 0 ). Esly funkcyq f neprer¥vna, to yz opredelenyq reßenyq
sleduet, çto A u( t ) kusoçno-neprer¥vno dyfferencyruema y ee proyzvodnaq
ymeet razr¥v¥ pervoho roda v toçkax t1 , … , tm
.
Vvedem v rassmotrenye matrycu
S = – G
–
1
Q1 B.
Lemma 2. PredpoloΩym, çto puçok matryc λ A + B rehulqren y funkcyq
f ( t, u ) neprer¥vna po sovokupnosty peremenn¥x. Funkcyq u ( t ) ∈ Λ udovletvo-
rqet uravnenyg (1) tohda y tol\ko tohda, kohda ona udovletvorqet urav-
nenyqm
P1 u( t ) = e Pu t e G Q f u dS t t
k
S t
t
t
k
k
( − ) ( − ) −( + ) + ( )( )∫1
1
10 τ τ τ τ, , (10)
tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m,
d
dt
FP u t P u t G Q f t u t[ ] ( )( ) + ( ) = ( )−
2 2
1
2 , , t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ t1 , … , tm . (11)
Dokazatel\stvo. Uravnenye (1) πkvyvalentno sledugwym dvum uravne-
nyqm:
d
dt
Q Au t Q Bu t Q f t u tj j j[ ] ( )( ) + ( ) = ( ), , j = 1, 2.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O RAZREÍYMOSTY DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ … 461
DomnoΩym sleva πty uravnenyq na G
–
1
. Uçyt¥vaq, çto G
–
1
Q1 A = G
–
1
G P1 =
= P1 y G
–
1
Q2 B = G
–
1
G P2 = P2
, ymeem uravnenye
d
dt
Pu t SP u t G Q f t u t[ ] ( )( ) − ( ) = ( )−
1 1
1
1 , , t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ t1 , … , tm , (12)
y uravnenye (11). Yspol\zuq formulu varyacyy postoqnn¥x dlq uravnenyq (12)
na otrezkax [ tk
, tk + 1 ], poluçaem, çto funkcyq u ( t ) ∈ Λ udovletvorqet uravne-
nyg (12), esly y tol\ko esly ona udovletvorqet uravnenyqm (10).
Lemma dokazana.
Rassmotrym sluçaj lynejnoho uravnenyq
d
dt
Au t Bu t[ ]( ) + ( ) = g ( t ), t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ tk , k = 1, … , m. (13)
Pust\ ν = max { 1, r } y F
j
G
–
1
Q2 g( t ) ∈ C
j
( [ t0
, t0 + T ], C n
), j = 0, … , ν – 1.
Zdes\ C
0
( [ t0
, t0 + T ], Cn
) = C ( [ t0
, t0 + T ], Cn
). Oboznaçym
Φ ( t ) = (− ) ( )[ ]−
=
−
∑ 1 1
2
0
1
j
j
j
j
j
d
dt
F G Q g t
ν
, I ( tk , t ) = e G Q g dS t
t
t
k
( − ) − ( )∫ τ τ τ1
1 .
UkaΩem neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq razreßymosty zadaçy (13), (2), (3).
Teorema 1. PredpoloΩym, çto puçok matryc λA B+ rehulqren y
F
j
G
–
1
Q2 g ( t ) ∈ C
j
( [ t0
, t0 + T ], Cn
), j = 0, … , ν – 1. Zadaça (13), (2), (3) razre-
ßyma tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnen¥ sootnoßenyq
P S wk j j
j
k
2
0
,
=
∑ = Φ ( tk ), k = 0, 1, … , m, (14)
hde
w0 = u0 , wj = ( E + C ) ( I ( tj – 1 , tj ) + Φ ( tj ) ) , j = 1, … , m,
(15)
Sk, j = ( + ) ( − )
= +
−∏ E C e P
S t t
p j
k
p p 1
1
1
, 0 ≤ j < k, Sk, k = E, k = 0, 1, … , m.
Pry πtom zadaça (13), (2), (3) ymeet edynstvennoe reßenye y πto reßenye
predstavymo v vyde
u ( t ) = e P S w I t t tS t t
k j j k
j
k
k( − )
=
+ ( ) + ( )∑1
0
, , Φ , tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m. (16)
Symvol Sjj
k
=∏ 1
proyzvedenyq matryc Sj m¥ ponymaem kak
Sj
j
k
=
∏
1
= Sk Sk – 1 … S1 .
Zameçanye 1. Uslovye (14) pry k = 0 ymeet vyd
P2 u0 = Φ ( t0 ). (17)
∏to est\ uslovye sohlasovanyq na naçal\n¥j vektor u0 v (3) y pravug çast\
g ( t ) uravnenyq (13). Ono voznykaet yz-za v¥roΩdenyq matryc¥ A. Podobnoe
uslovye xoroßo yzvestno dlq v¥roΩdennoho uravnenyq bez ympul\snoho voz-
dejstvyq (sm., naprymer, [1, 4, 5]). V sluçae ympul\snoho vozdejstvyq (2) poqv-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
462 L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK
lqgtsq dopolnytel\n¥e uslovyq sohlasovanyq (14) pry k = 1, … , m na matrycu
C, naçal\n¥j vektor u0 y pravug çast\ g ( t ). Dlq qvnoho uravnenyq πtyx
uslovyj net [3]. Yx nalyçye takΩe obuslovleno v¥roΩdennost\g matryc¥ A.
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Vospol\zuemsq lemmoj 2 dlq uravnenyq (13).
V sluçae f ( t, u ) = g ( t ) sootnoßenyq (10) y (11) prynymagt vyd
P1 u ( t ) = e Pu t I t tS t t
k k
k( − ) ( + ) + ( )1 0 , , tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m, (18)
d
dt
FP u t P u t G Q g t[ ]( ) + ( ) = ( )−
2 2
1
2 , t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ t1 , … , tm . (19)
Poskol\ku v sylu lemm¥ 1 matryca F nyl\potentna s yndeksom nyl\potent-
nosty ν, yz (19) posledovatel\no naxodym
F P u t d
dt
F G Q g ti j
j
j
i j
j
i
ν ν− − + −
=
−
( ) = (− ) ( )[ ]∑2
1
2
0
1
1 , i = 1, … , ν.
Otsgda pry i = ν y yz (18) sleduet, çto lgbaq funkcyq u ( t ) = P1 u ( t ) +
+ P2 u ( t ) ∈ Λ, udovletvorqgwaq uravnenyg (13), predstavyma v vyde
u ( t ) = e Pu t I t t tS t t
k k
k( − ) ( + ) + ( ) + ( )1 0 , Φ , tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m. (20)
∏ta funkcyq odnoznaçno opredelqetsq znaçenyqmy u( t0 + 0 ), u( t1 + 0 ), …
… , u( tm + 0 ). Dlq razreßymosty uravnenyq (13) v klasse funkcyj Λ neobxody-
mo y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlys\ sootnoßenyq
P2 u( tk + 0 ) = Φ ( tk ), k = 0, 1, … , m. (21)
Yspol\zuq (20) v toçkax t1 , … , tm
, a takΩe ympul\sn¥e vozdejstvyq (2), po-
luçaem
u( tk + 0 ) = ( E + C ) u( tk – 0 ) =
= ( + ) ( + ) + ( ) + ( )( )( − )
− −
−E C e Pu t I t t t
S t t
k k k k
k k 1
1 1 10 , Φ , k = 1, … , m.
Otsgda posledovatel\no dlq k = 1, … , m naxodym
u( tk + 0 ) = S wk j j
j
k
,
=
∑
0
,
hde matryc¥ Sk, j y vektor¥ wj opredelqgtsq po formulam (15). Podstavlqq
πty znaçenyq v (21), poluçaem uslovyq (14), a podstavlqq yx v (20), poluçaem
reßenye naçal\noj zadaçy (13), (2), (3) v vyde (16).
Teorema dokazana.
V pryvodymom nyΩe sledstvyy yz teorem¥ 1 ustanavlyvagtsq ohranyçenyq
na matrycu C, kotor¥e obespeçyvagt v¥polnenye uslovyj (14).
Sledstvye. PredpoloΩym, çto F
j
G
–
1
Q2 g ( t ) ∈ Cj
( [ t0
, t0 + T ], C n
), j =
= 0, … , ν – 1, y
C X1 ⊂ X1
. (22)
Zadaça (13), (2), (3) razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnen¥ soot-
noßenyq (17) y sootnoßenyq
P2 C Φ ( tk ) = 0, k = 1, … , m. (23)
Reßenye zadaçy (13), (2), (3) edynstvenno y predstavymo v vyde (16).
Zameçanye 2. Uslovye (22) πkvyvalentno uslovyg
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O RAZREÍYMOSTY DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ … 463
P2 C P1 = 0. (24)
Dlq dokazatel\stva sledstvyq zametym, çto v sylu (22) (yly (24)) P2 Sk, j = 0
dlq j < k y P2 Sk, k wk = Φ ( tk ) + P2 C Φ ( tk ). Poπtomu sootnoßenyq (14) prynyma-
gt vyd (23).
PokaΩem prymenenye teorem¥ 1 y sledstvyq yz nee na sledugwem prymere.
Prymer 1. V prostranstve C3
rassmotrym uravnenye (13) vyda
′( ) + ( )u t u t1 1 = g1 ( t ), ′ ( ) + ( )u t u t3 2 = g2 ( t ), u3 ( t ) = g3 ( t ),
t0 ≤ t ≤ t0 + T, t ≠ tk , k = 1, … , m.
Zdes\ u ( t ) = ( u1 ( t ), u2 ( t ), u3 ( t ) )
tr
, g ( t ) = ( g1 ( t ), g2 ( t ), g3 ( t ) )
tr
. V dannom sluçae
ind { A, B } = 2, P1 = Q1 = diag { 1, 0, 0 }, P2 = Q2 = diag { 0, 1, 1 }, G = E , F =
= { } =fij i j, 1
3
, f23 = 1, ostal\n¥e πlement¥ matryc¥ F ravn¥ nulg, S = diag { – 1,
0, 0 }, Φ ( t ) = ( 0, g2 ( t ) – ′ ( )g t3 , g3 ( t ) )
tr
, I ( tk , t ) = e g dt
t
t tr
k
τ τ τ− ( )
∫ 1 0 0, , , e S t =
= diag { e– t, 0, 0 }, C = { } =cij i j, 1
3
, u0 = ( u01 , u02 , u03 ) tr. Uslovye sohlasovanyq (17)
na pravug çast\ uravnenyq y naçal\n¥j vektor ymeet vyd
u02 = g t g t2 0 3 0( ) − ′ ( ) , u03 = g3 ( t0 ).
Uslovye sohlasovanyq (14) pry k = 1 zapys¥vaetsq kak
c e u c e g d c g t g t c g tp
t t
p
t
p p
t
t
1 01 1 1 2 2 1 3 1 3 3 1
0 1 1
0
1
− −+ ( ) + ( ) − ′ ( ) + ( )( )∫ τ τ τ = 0, p = 2, 3,
a pry k > 1 — kak
( + ) − −c e c uk t t
p
k
11
1
1 011 0 + c e cp
t t k j
j
k
j k
1 11
1
1
1
1
− − −
=
−
( + )∑ ×
× ( + ) ( ) + ( ) − ′ ( ) + ( )
− ( )
−
∫c e g d c g t g t c g t
t
j j j
t
t
j
j
j
11 1 12 2 3 13 31
1
τ τ τ +
+ c e g d c g t g t c g tp
t
p k k p k
t
t
k
k
k
1 1 2 2 3 3 3
1
τ τ τ− ( ) + ( ) − ′ ( ) + ( )( )
−
∫ = 0,
k = 2, … , m, p = 2, 3.
V çastnom sluçae (22), t. e. kohda
c21 = c31 = 0,
uslovyq sohlasovanyq (23) prynymagt vyd
c g t g t c g tp k k p k2 2 3 3 3( )( ) − ′ ( ) + ( ) = 0, k = 1, … , m, p = 2, 3.
Rassmotrym teper\ nelynejnoe uravnenye (1).
Teorema 2. Pust\ puçok matryc λ A + B rehulqren. PredpoloΩym, çto
funkcyq f ( t, u ) : [ t0
, t0 + T ] × C n → C n
neprer¥vna po t, udovletvorqet
uslovyg Lypßyca po u s konstantoj, ne zavysqwej ot t, p r o e k c y q
Q2 f ( t, u ) = h ( t ) ne zavysyt ot u, F
j
G
–
1
h ( t ) ∈ C
j
( [ t0
, t0 + T ], Cn
), j = 0, … , ν –
– 1, y v¥polneno uslovye (22). Zadaça (1), (2), (3) razreßyma, y prytom odno-
znaçno, tohda y tol\ko tohda, kohda funkcyq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
464 L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK
Ψ ( t ) = (− ) ( )[ ]−
=
−
∑ 1 1
0
1
j
j
j
j
j
d
dt
F G h t
ν
udovletvorqet sledugwym sootnoßenyqm:
P2 u0 = Ψ ( t0 ), (25)
P2 C Ψ ( tk ) = 0, k = 1, … , m. (26)
Zametym, çto esly funkcyq f ( t, u ) neprer¥vna po t y udovletvorqet uslo-
vyg Lypßyca po u, to πta funkcyq neprer¥vna po sovokupnosty peremenn¥x.
Dokazatel\stvo. Prymenym lemmu 2. Uravnenye (11) ymeet vyd
d
dt
FP u t P u t G h t[ ]( ) + ( ) = ( )−
2 2
1
.
Kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 1, poluçaem
P2 u ( t ) = Ψ ( t ).
Uravnenyq (10) prynymagt vyd
P1 u( t ) = e Pu t e G Q f Pu dS t t
k
S t
t
t
k
k
( − ) ( − ) −( + ) + ( ) + ( )( )∫1
1
1 10 τ τ τ τ τ, Ψ , (27)
tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m.
Na otrezke [ tk
, tk + 1 ] suwestvuet edynstvennoe reßenye P1 u( t ) yntehral\noho
uravnenyq (27), udovletvorqgwee zadannomu naçal\nomu uslovyg P1 u( tk + 0 ).
Poπtomu dlq zadann¥x u( tk + 0 ) suwestvuet edynstvennaq funkcyq u ( t ) ∈ Λ,
udovletvorqgwaq uravnenyg (1). Uravnenye (1) πkvyvalentno yntehral\n¥m
uravnenyqm
u ( t ) = e Pu t e G Q f u d tS t t
k
S t
t
t
k
k
( − ) ( − ) −( + ) + ( ) + ( )( )∫1
1
10 τ τ τ τ, Ψ , (28)
tk < t ≤ tk + 1
, k = 0, 1, … , m.
Ohranyçenyq
P2 u ( tk + 0 ) = Ψ ( tk ), k = 0, 1, … , m, (29)
qvlqgtsq neobxodym¥my y dostatoçn¥my dlq razreßymosty uravnenyq (1) v
klasse funkcyj Λ. Otsgda pry k = 0 sleduet, çto naçal\n¥j vektor u0 v (3)
dolΩen udovletvorqt\ (25). S uçetom ympul\sn¥x vozdejstvyj (2) pry naxoΩ-
denyy u( tk + 1 – 0 ) yz (28) pry k = 0, 1, … , m – 1, a takΩe s uçetom ohranyçenyq
(22) sootnoßenyq (29) pry k = 1, … , m prynymagt vyd (26).
Teorema dokazana.
V teoreme 2 m¥ predpolahaly, çto komponenta Q2 f ( t, u ) ne zavysyt ot u.
Dlq qvnoho uravnenyq πto trebovanye v¥polneno, tak kak Q2 = 0. V pryvody-
moj nyΩe teoreme 3 m¥ otkaz¥vaemsq ot πtoho ohranyçenyq, odnako dopolny-
tel\no trebuem, çtob¥ ind { A, B } ≤ 1. Vvedem mnoΩestva vektorov
Uk = { u ∈ Cn : Q2 B u = Q2 f ( tk , u ) }, k = 1, … , m.
Otmetym, çto esly det A ≠ 0 (znaçyt, P2 = Q2 = 0 ), to mnoΩestva Uk sovpada-
gt so vsem prostranstvom Cn
.
Teorema 3. Pust\ puçok λ A + B rehulqren y ind { A, B } ≤ 1. Predpolo-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O RAZREÍYMOSTY DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ … 465
Ωym, çto funkcyq f ( t, u ) : [ t0
, t0 + T ] × Cn → Cn
neprer¥vna po t y ee proek-
cyy Q1 f ( t, u ), Q2 f ( t, u ) udovletvorqgt uslovyg Lypßyca
|| Qi [ f ( t, u ) – f ( t, v ) ] || ≤ Mi || u – v ||, i = 1, 2,
s konstantoj M2 takoj, çto
M2 || G
–
1
|| < 1. (30)
Pust\ takΩe v¥polnen¥ uslovye sohlasovanyq na naçal\n¥j vektor u0 v (3) y
pravug çast\ uravnenyq (1)
Q2 B u0 = Q2 f ( t0 , u0 ) (31)
y vklgçenyq
( E + C ) Uk ⊂ Uk , k = 1, … , m. (32)
Tohda suwestvuet edynstvennoe reßenye naçal\noj zadaçy (1) – (3).
Zameçanye 3. Dopolnytel\noe ohranyçenye (30) na konstantu Lypßyca
M2 voznykaet yz-za v¥roΩdennosty matryc¥ A y suwestvenno yspol\zuetsq
pry dokazatel\stve teorem¥ suwestvovanyq dlq uravnenyq bez ympul\snoho
vozdejstvyq (sm. teoremu 1 yz [9]). Esly ind { A, B } = 0, t. e. uravnenye (1) —
nev¥roΩdennoe, to uslovyq (30), (31), (22), (32) v¥polnqgtsq. Netrudno pry-
vesty prymer¥, kohda ne v¥polneno uslovye (30) y zadaça (1) – (3) lybo ne ymeet
reßenyq, lybo neodnoznaçno razreßyma.
Dokazatel\stvo teorem¥ 3. Yspol\zuq kanonyçeskug formu rehulqrno-
ho puçka matryc λ A + B [4, s. 332 – 335] v sluçae, kohda ind { A, B } ≤ 1, polu-
çaem uslovye (N) yz [9]: || ( λ A + B ) –
1
|| ≤ C2
, | λ | ≥ C1
. Dlq zadannoho u( tk + 0 )
takoho, çto
B u ( tk + 0 ) – f ( tk , ( tk + 0 ) ) ∈ A Cn = Y1
, (33)
v sylu teorem¥ 1 yz [9] suwestvuet edynstvennoe reßenye u ( t ) uravnenyq (1) na
[ tk
, tk + 1 ], k = 0, 1, … , m. Dlq πtoho reßenyq yz vtoroho sootnoßenyq v (6) yz [9]
ymeem P2 u ( t ) = G
–
1 Q2 f ( t, u( t ) ), v çastnosty, u( tk + 1 – 0 ) ∈ Uk + 1
. Zametym, çto
teorema 1 yz [9] ostaetsq spravedlyvoj, esly naçal\n¥j moment vremeny est\
proyzvol\noe vewestvennoe çyslo; v uslovyqx y v utverΩdenyy teorem¥ sle-
duet naçal\n¥j moment vremeny t = 0 zamenyt\ πtym çyslom. Poskol\ku (31)
est\ (33) pry k = 0, suwestvuet edynstvennoe reßenye zadaçy (1), (3) na [ t0
, t1 ].
V sylu uslovyq (2) v toçke t1 dolΩno v¥polnqt\sq sootnoßenye u( t1 + 0 ) =
= ( E + C ) u( t1 – 0 ). Yz (33) pry k = 1 sleduet, çto u( t1 + 0 ) ∈ U1
. Poπtomu (33)
v¥polnqetsq pry k = 1. Sledovatel\no, suwestvuet edynstvennoe reßenye
uravnenyq (1) na otrezke [ t1
, t2 ] s naçal\n¥m vektorom u( t1 + 0 ) = ( E + C ) u( t1 –
– 0 ). Çtob¥ zaverßyt\ dokazatel\stvo teorem¥, posledovatel\no dlq k = 2, …
… , m ustanavlyvaem suwestvovanye reßenyq uravnenyq (1) na yntervalax [ tk
,
tk + 1 ] s naçal\n¥m uslovyem u( tk + 0 ) = ( E + C ) u( tk – 0 ).
Prymer 2. V prostranstve C2
rassmotrym uravnenye
′( ) + ( )u t u t1 1 = f1 ( t, u1 , u2 ), u2( t ) = f2 ( t, u2 ). (34)
Zdes\ u = ( u1 , u2 ) tr, A = diag { 1, 0 }, B = E, ind { A, B } = 1, P1 = Q1 = diag { 1, 0 },
P2 = Q2 = diag { 0, 1 }, G = G
–
1 = E , f ( t, u ) = ( f1 ( t, u1 , u2 ), f2 ( u2 ) )
tr
. Pust\
f1 ( t, u1 , u2 ) neprer¥vna po t y po u1 , u2 udovletvorqet uslovyg Lypßyca,
f2 ( t, u2 ) neprer¥vna po t y po u2 udovletvorqet uslovyg Lypßyca s konstan-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
466 L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK
toj, men\ßej edynyc¥. Oboznaçym çerez ak reßenye uravnenyq ak = f2 ( tk , ak ),
k = 0, 1, … , m. MnoΩestva Uk sostoqt yz vektorov vyda ( z, ak ) tr, hde z probe-
haet C. Uslovyq (32) budut v¥polnen¥, esly vtoraq stroka matryc¥ C nule-
vaq. V sylu teorem¥ 3 dlq lgboho vektora u0 = ( z, a0 ) tr, z ∈ C, suwestvuet
edynstvennoe reßenye zadaçy (34), (2), (3).
V teoremax 1 – 3 m¥ ohranyçylys\ sluçaem neprer¥vn¥x funkcyj g ( t ) y
f ( t, u ). Analohyçno rassmatryvaetsq sluçaj kusoçno-neprer¥vn¥x po t funk-
cyj, kotor¥e ymegt razr¥v¥ pervoho roda v toçkax t1 , … , tm
.
M¥ yssledovaly uravnenyq (1) y (13) v kompleksnom prostranstve. RassuΩ-
daq, kak v razdele 6 rabot¥ [10], moΩno rassmotret\ πty uravnenyq v vewestven-
nom prostranstve.
3. Prymer yz fyzyky. Rassmotrym πlektryçeskyj dvuxpolgsnyk, yzob-
raΩenn¥j na rysunke. Na vxod podaetsq tok I0 (sçytaetsq zadann¥m). Na
vnutrennyx vetvqx raspoloΩen¥ ynduktyvnosty L1 , L2 y emkost\ C, na koto-
r¥x toky y naprqΩenyq oboznaçagtsq çerez I1 , I2 , I3 y U1 , U2 , U3 sootvet-
stvenno. Toky y naprqΩenyq udovletvorqgt zakonam Kyrxhofa
U1 – U2 – U3 = 0, I3 – I2 = 0, I1 + I2 – I0 = 0, (35)
a takΩe uravnenyqm
Uj = d
dt
L I Ij j j j( ) + ( )ϕ , j = 1, 2,
I3 = d
dt
CU U( ) + ( )3 3 3ϕ , L1 , L2 , C > 0. (36)
Nelynejn¥e funkcyy ϕk ( Ik ), k = 1, 2, sootvetstvugt omyçeskym poterqm na-
prqΩenyj v ynduktyvnostqx, ϕ3 ( U3 ) — uteçke toka v emkosty. Vnutrennee
sostoqnye πlektryçeskoj cepy oxarakteryzuem vektorom u = ( u1 , u2 , u3 ) tr = ( I1 ,
I2 , I3 ) tr, sostoqwym yz „πnerhetyçeskyx” komponent πlektryçeskoj cepy. S po-
mow\g (35), (36) poluçaem systemu trex dyfferencyal\no-alhebrayçeskyx
uravnenyj otnosytel\no πtyx komponent
d
dt
L I L I U I I( − ) − = ( ) − ( )1 1 2 2 3 2 2 1 1ϕ ϕ ,
(37)
d
dt
CU I U( ) − = − ( )3 2 3 3ϕ , I1 + I2 = I0 ( t ).
Uravnenyq (37) v vektornoj forme ymegt vyd (1), hde
A =
L L
C
1 2 0
0 0
0 0 0
−
, B =
0 0 1
0 1 0
1 1 0
−
−
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O RAZREÍYMOSTY DYFFERENCYAL|NO-ALHEBRAYÇESKYX URAVNENYJ … 467
f ( t, u ) =
ϕ ϕ
ϕ
2 2 1 1
3 3
0
( ) − ( )
− ( )
( )
u u
u
I t
.
Predpolahaetsq, çto v moment¥ vremeny t1 < … < tm vnutrennye toky y naprq-
Ωenyq podverhagtsq ympul\sn¥m vozdejstvyqm, fyzyçeskymy pryçynamy koto-
r¥x mohut qvlqt\sq skaçky parametrov ynduktyvnostej y emkosty. Vxodnoj
tok I0 ( t ) vsgdu neprer¥ven yz-za dostatoçnoj mownosty vxodnoho ystoçnyka.
V sylu tret\eho uravnenyq v (37) skaçky tokov ne mohut b¥t\ proyzvol\n¥my,
ony dolΩn¥ udovletvorqt\ uravnenyqm
∆ I1 | t = tk
+ ∆ I2 | t = tk
= 0, k = 1, … , m.
Uçyt¥vaq opredelenye vektora u y ympul\sn¥e vozdejstvyq (2), ymeem
( 1, 1, 0 ) C u( tk – 0 ) = 0, k = 1, … , m.
Dlq v¥polnenyq πtoho sootnoßenyq ot matryc¥ C = { } =cij i j, 1
3
estestvenno po-
trebovat\, çtob¥ ( 1, 1, 0 ) C = 0 yly
c2j = – c1j
, j = 1, 2, 3. (38)
Puçok matryc λ A + B rehulqren. S pomow\g neposredstvenn¥x v¥çysle-
nyj poluçaem
( λ A + B ) –
1 = 1
1
1 1
1
1
2
1 2
2
2
2
1
1 2 1
λ
λ λ
λ λ
λ λ
C L L
C L C
C L C
L L L
( + ) +
+
− −
− ( + )
,
P1 =
L
L L
L
L L
L
L L
L
L L
1
1 2
2
1 2
1
1 2
2
1 2
0
0
0 0 1
+
−
+
−
+ +
, Q1 =
1 0 0
0 1
0 0 0
1
1 2
L
L L+
,
G =
L L
L
L L
L
L L
C
1 2
1
1 2
1
1 2
0
1 1 0
−
−
+
−
+
,
G
–
1 =
1 0
1 0
0 1
1 2
2
1 2
1 2
1
1 2
1
1 2
L L
L
L L
L L
L
L L
C
L
C L L
+ +
−
+ +
( + )
.
Netrudno vydet\, çto ind { A, B } = 1. Ymeem
Q2 f ( t, u ) = h ( t ) =
I t
L L
L
L L
0
1 2
1
1 2
0
( )
+
−
+
,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
468 L. A. VLASENKO, N. A. PERESTGK
Ψ ( t ) = G
–
1 h ( t ) =
I t
L L
L
L0
1 2
2
1
0
( )
+
.
Budem predpolahat\, çto funkcyy ϕj ( z ), j = 1, 2, 3, udovletvorqgt uslovyg
Lypßyca. Zadadym naçal\noe sostoqnye cepy I1 ( t0 ), I2 ( t0 ), U3 ( t0 ) tak, çtob¥
udovletvorqlos\ sootnoßenye
I1 ( t0 ) + I2 ( t0 ) = I0 ( t0 ).
∏to sootnoßenye daet uslovye sohlasovanyq (25). Yz (38) sleduet P2 C = 0.
Poπtomu uslovyq (26) v¥polnen¥. V sylu teorem¥ 2 m¥ odnoznaçno naxodym
toky I1 ( t ), I2 ( t ) y naprqΩenye U3 ( t ), pryçem I1 ( t ), I2 ( t ) kusoçno-nepre-
r¥vn¥, ( L1 I1 – L2 I2 ), U3 ( t ) kusoçno-neprer¥vno dyfferencyruem¥. Tok I3 ( t )
naxodym yz tret\eho uravnenyq v (36). Esly dopolnytel\no potrebovat\, çtob¥
I0 ( t ) ∈ C
1
[ t0
, t0 + T ], to I1 ( t ), I2 ( t ) budut kusoçno-neprer¥vno dyfferency-
ruem¥my. NaprqΩenyq U1 ( t ), U2 ( t ) naxodym yz pervoho y vtoroho uravnenyj
vR(36).
1. Samojlenko A. M., Íkil\ M. I., Qkovec\ V. P. Linijni systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z
vyrodΩennqm. – Ky]v: Vywa ßk., 2000. – 296 s.
2. März R. Progress in handling differential algebraic equations // Ann. Numer. Math. – 1994. – 1. –
P. 279 – 292.
3. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore etc.: World Sci.,
1995. – 462 p.
4. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1966. – 576 s.
5. Rutkas A. H. Zadaça Koßy dlq uravnenyq Ax t Bx t f t′( ) + ( ) = ( ) // Dyfferenc. uravnenyq.
– 1975. – 11, # 11. – S. 1996 – 2010.
6. Keld¥ß M. V. O sobstvenn¥x znaçenyqx y sobstvenn¥x funkcyqx nekotor¥x klassov nesa-
mosoprqΩenn¥x uravnenyj // Dokl. AN SSSR. – 1951. – 77, # 1. – S. 11 – 14.
7. Vajnberh M. M., Trenohyn V. A. Teoryq vetvlenyq reßenyj nelynejn¥x uravnenyj. – M.:
Nauka, 1969. – 528 s.
8. Vlasenko L. Implicit linear time-dependent differential-difference equations and applications //
Math. Meth. in Appl. Sci. – 2000. – 23, # 10. – P. 937 – 948.
9. Vlasenko L. A., Rutkas A. H. Ob odnoznaçnoj razreßymosty odnoho v¥roΩdennoho funk-
cyonal\no-dyfferencyal\noho uravnenyq // Dopov. NAN Ukra]ny. – 2003. – # 3. – S. 11 –
16.
10. Rutkas A. G., Vlasenko L. A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit
semilinear functional differential equations // Nonlinear Anal. TMA. – 2003. – 55, # 1-2. – P. 125 –
139.
Poluçeno 29.01.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3612 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:46Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b6/d999e7c1453f9953547c35a1629a69b6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36122020-03-18T20:00:05Z On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations Оценки скорости сходимости в обыкновенных дифференциальных уравнениях, находящихся под воздействием случайных процессов с быстрым временем Vlasenko, L. A. Perestyuk, N. A. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. We establish theorems on the existence and uniqueness of a solution of the impulsive differential-algebraic equation $$\frac{d}{{dt}}[Au(t)] + Bu(t) = f(t,u(t)),$$ where the matrix A may be singular. The results are applied to the theory of electric circuits. Одержано теореми існування та єдиності для диференціально-алгебраїчного рівняння $\cfrac{d}{dt}[Au(t)] + Bu(t) = f(t, u(t))$ з імпульсною дією. Матриця $A$ може бути виродженою. Результати застосовано до теорії електричних ланцюгів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3612 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 4 (2005); 458–468 Український математичний журнал; Том 57 № 4 (2005); 458–468 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3612/3955 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3612/3956 Copyright (c) 2005 Vlasenko L. A.; Perestyuk N. A. |
| spellingShingle | Vlasenko, L. A. Perestyuk, N. A. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. Власенко, Л. А. Перестюк, Н. А. On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title | On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title_alt | Оценки скорости сходимости в обыкновенных дифференциальных уравнениях, находящихся под воздействием случайных процессов с быстрым временем |
| title_full | On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title_fullStr | On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title_full_unstemmed | On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title_short | On the Solvability of Impulsive Differential-Algebraic Equations |
| title_sort | on the solvability of impulsive differential-algebraic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3612 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkola onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT perestyukna onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT vlasenkola onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT perestûkna onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT vlasenkola onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT perestûkna onthesolvabilityofimpulsivedifferentialalgebraicequations AT vlasenkola ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem AT perestyukna ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem AT vlasenkola ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem AT perestûkna ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem AT vlasenkola ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem AT perestûkna ocenkiskorostishodimostivobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniâhnahodâŝihsâpodvozdejstviemslučajnyhprocessovsbystrymvremenem |