Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side
We consider an inhomogeneous hyperbolic equation with zero initial and boundary conditions and a random centered sample-continuous Gaussian right-hand side. We establish conditions for the existence of a solution of the first boundary-value problem of mathematical physics in the form of a series uni...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3614 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509732443258880 |
|---|---|
| author | Dovhai, B. V. Довгай, Б. В. |
| author_facet | Dovhai, B. V. Довгай, Б. В. |
| author_sort | Dovhai, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:05Z |
| description | We consider an inhomogeneous hyperbolic equation with zero initial and boundary conditions and a random centered sample-continuous Gaussian right-hand side. We establish conditions for the existence of a solution of the first boundary-value problem of mathematical physics in the form of a series uniformly convergent in probability in terms of a covariance function. An estimate for the distribution of the supremum of a solution of this problem is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
B. V. Dovhaj (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
VLASTYVOSTI ROZV’QZKU
NEODNORIDNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ
Z�VYPADKOVOG PRAVOG ÇASTYNOG
We consider a nonhomogeneous hyperbolic equation with zero initial and boundary conditions and
random centered sample continuous Gaussian right-hand side. We establish conditions for existence of a
solution of the first boundary-value problem of mathematical physics in the form of series uniformly
convergent in probability in terms of covariance function. We find an estimate of distribution of the
supremum of the solution of this problem.
Rozhlqda[t\sq neodnoridne hiperboliçne rivnqnnq z nul\ovymy poçatkovymy ta krajovymy umo-
vamy i vypadkovog centrovanog vybirkovo neperervnog haussovog pravog çastynog. Vstanov-
leno umovy isnuvannq rozv’qzku perßo] krajovo] zadaçi matematyçno] fizyky u vyhlqdi rivnomir-
no zbiΩnoho za jmovirnistg rqdu v terminax kovariacijno] funkci]. Znajdeno ocinku rozpodilu
supremumu rozv’qzku ci[] zadaçi.
1. Vstup. U cij roboti rozhlqda[t\sq neodnoridne hiperboliçne rivnqnnq z
nul\ovymy poçatkovymy i krajovymy umovamy ta vypadkovog haussovog pravog
çastynog. U statti [1] vstanovleno dostatni umovy isnuvannq rozv’qzku ci[]
zadaçi u vyhlqdi rivnomirno zbiΩnoho za jmovirnistg rqdu. Ale perevirka cyx
umov moΩe vyqvytys\ dosyt\ skladnog. Tomu v danij roboti na pidstavi rezul\-
tativ [1] za dopomohog metodu, vykladenoho v [2], oderΩano dostatni umovy
isnuvannq rozv’qzku u vyhlqdi rivnomirno zbiΩnoho za jmovirnistg rqdu v termi-
nax kovariacijno] funkci] vypadkovoho polq, wo mistyt\sq u pravij çastyni
rivnqnnq. Krim toho, za cyx umov otrymano ocinku rozpodilu supremumu
rozv’qzku perßo] krajovo] zadaçi matematyçno] fizyky dlq neodnoridnoho hi-
perboliçnoho rivnqnnq z nul\ovymy poçatkovymy i krajovymy umovamy. Dlq
znaxodΩennq ci[] ocinky vykorystano metod iz [3].
2. Dostatni umovy isnuvannq rozv’qzku hiperboliçnoho rivnqnnq v ter-
minax kovariacijno] funkci]. Rozhlqnemo zadaçu
∂
∂
− ∂
∂
= −
2
2 2
2
2 2
1u
x a
u
t
x t
a
ξ( , )
, x ∈[ ]0, π , t T∈[ ]0, ,
u t = =0 0 ,
∂
∂
=
=
u
t t 0
0 , x ∈[ ]0, π , (1)
u x = =0 0 , u x = =π 0 , t T∈[ ]0, ,
de a > 0, T > 0 — deqki stali, ξ( , )x t — vypadkove haussove vybirkovo nepererv-
ne pole, E ξ( , )x t = 0.
Budemo ßukaty rozv’qzok ci[] zadaçi u vyhlqdi zbiΩnoho za jmovirnistg v
normi C 0, π[ ]( × 0, T[ ]) rqdu
u x t
na
nx u na t u du
n
t
n( , ) sin ( ) sin ( )= −
=
∞
∑ ∫
1 0
1 ζ , (2)
de
ζ
π
ξ
π
n t x t nx dx( ) ( , ) sin= ∫2
0
.
U roboti [1] dovedeno taku teoremu.
Teorema 1. Dlq toho wob z imovirnistg 1 isnuvav dviçi neperervno dyferen-
cijovnyj rozv’qzok zadaçi (1) v oblasti 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ t ≤ T (T > 0 — deqka
© B. V. DOVHAJ, 2005
474 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
VLASTYVOSTI ROZV’QZKU NEODNORIDNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ … 475
konstanta), qkyj moΩna zobrazyty u vyhlqdi zbiΩnoho za jmovirnistg v normi
C 0, π[ ]( × 0, T[ ]) rqdu (2), dostatn\o, wob vykonuvalys\ taki umovy:
1) dlq deqkoho ε > 0 zbihagt\sq rqdy
k m
k mkm m C
,
,ln
=
∞
+∑ ( ) < ∞
1
1 ε
,
k
kC k
=
∞
+∑ ( ) < ∞
1
1 2ln ( ) /ε
,
de
C uk m
u T
T
k m, sup ( ) ( )=
≤ ≤
≤ ≤
0
0 v
vEζ ζ , C uk
u T
k=
≤ ≤
sup ( )
0
2Eζ ;
2) isnu[ take α ∈ (0, 1), wo dlq dovil\nyx t, s ∈ 0, T[ ] takyx, wo t s− <
< α, dlq koΩnoho k ≥ 1 ma[ misce nerivnist\
E ζ ζ ε
k k kt s a t s( ) ( ) ln ( )− ≤ − − +2 2 1
,
de ak > 0, k ≥ 1, — deqki stali, taki, wo
k ka=
∞∑ 1
< ∞.
Poznaçymo B x y t s( , , , ) = Eξ ξ( , ) ( , )x t y s , ( , , , )x y t s ∈ 0 2, π[ ] × 0 2, T[ ] . Pry-
pustymo, wo
B y t s B y t s( , , , ) ( , , , )0 0= =π , y ∈[ ]0, π , t T∈[ ]0, , s T∈[ ]0, ,
B x t s B x t s( , , , ) ( , , , )0 0= =π , x ∈[ ]0, π , t T∈[ ]0, , s T∈[ ]0, .
Dlq koΩno] fiksovano] pary ( , )t s ∈ 0 2, T[ ] prodovΩymo funkcig B x y t s( , , , ) ,
qk funkcig vid x, y, na vsg plowynu R
2
tak, wob vona bula periodyçnog z
periodom 2π po x ta y i wob vykonuvalysq totoΩnosti
B x y t s B x y t s B x y t s( , , , ) ( , , , ) ( , , , )− = − = − .
Vnaslidok naßoho prypuwennq take prodovΩennq [ moΩlyvym.
Poklademo ∆δ δ1 2, ( , , , )f x y t s = f x y t s( , , , )+ +δ δ1 2 – f x y t s( , , , )+ δ1 –
– f x y t s( , , , )+ δ2 + f x y t s( , , , ).
Teorema 2. Dlq toho wob z imovirnistg 1 isnuvav dviçi neperervno dyferen-
cijovnyj rozv’qzok zadaçi (1) v oblasti 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ t ≤ T ( T > 0 — deqka
konstanta), qkyj moΩna zobrazyty u vyhlqdi zbiΩnoho za jmovirnistg v normi
C 0, π[ ]( × 0, T[ ]) rqdu (2), dostatn\o, wob vykonuvalys\ taki umovy:
1) u prodovΩeno] na vsg plowynu po x, y funkci] B x y t s( , , , ) isnugt\ ne-
perervni poxidni
∂
∂ ∂
+i j
i j
B x y t s
x y
( , , , )
, 0 ≤ i, j ≤ 2;
2) dlq B x y t s*( , , , ) =
∂
∂ ∂
4
2 2
B x y t s
x y
( , , , )
pry dostatn\o malyx δ1, δ2 vykonu-
[t\sq umova
sup ( , , , ),
*
0
0
1 2≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫
t T
s T
B x y t s dx dy
π
π
π
π
δ δ∆ ≤
′
+
C
ln lnδ δε ε
1 2
1
dlq deqkyx ′C > 0, ε > 0;
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
476 B. V. DOVHAJ
3) isnugt\ taki C′′ > 0, ε > 0 ta α ∈ (0, 1), wo dlq dovil\nyx t, s ∈ 0, T[ ]
takyx, wo t s− < α, ma[ misce nerivnist\
sup
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
ln
,
,
( )
x
y
B x y t t
x y
B x y t s
x y
B x y s s
x y
C t s
∈ −[ ]
∈ −[ ]
− +∂
∂ ∂
− ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
≤ ′′ −
π π
π π
ε
2 2 2
12 .
Dovedennq. 1. PokaΩemo, wo za umov teoremy 2 rqd
k m k mkm m C
, ,ln=
∞ +∑ ( )
1
1 ε
zbiha[t\sq dlq deqkoho ε > 0, de Ck m, = sup ( ) ( )0
0
≤ ≤
≤ ≤
t T
s T
k mt sEζ ζ .
Dlq c\oho dostatn\o pokazaty, wo Ck m, ≤ C
km k m( ) +2 1ln lnε ε , C > 0, ε > 0,
dlq vsix k, m, poçynagçy z deqkoho nomera.
Ma[mo
Eζ ζk mt s( ) ( ) = 4
2
0 0π
ξ ξ
π π
∫ ∫ sin sin ( , ) ( , )kx my x t y s dx dyE =
= 4
2
0 0π
π π
∫ ∫ sin sin ( , , , )kx my B x y t s dx dy =
= 1
2π π
π
π
π
− −
∫ ∫ sin sin ( , , , )k x my B x y t s dx dy.
Intehrugçy çastynamy
−
∫
π
π
sin ( , , , )k x B x y t s dx = 1
k
k x
B x y t s
x
dx
−
∫ ∂
∂π
π
cos
( , , , )
=
= − ∂
∂−
∫1
2
2
2k
k x
B x y t s
x
dx
π
π
sin
( , , , )
,
otrymu[mo
Ck m, = 1 1
2 2
0
0
2
2π π
π
π
π
k
k x my
B x y t s
x
dx dy
t T
s T
sup sin sin
( , , , )
≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫ ∂
∂
.
Teper
−
∫ ∂
∂π
π
sin
( , , , )
my
B x y t s
x
dy
2
2 = 1 3
2m
my
B x y t s
x y
dy
−
∫ ∂
∂ ∂π
π
cos
( , , , )
=
= − ∂
∂ ∂−
∫1
2
4
2 2m
my
B x y t s
x y
dy
π
π
sin
( , , , )
.
OtΩe,
Ck m, = 1 1
2 2 2
0
0
4
2 2k m
k x my
B x y t s
x y
dx dy
t T
s T
π π
π
π
π
sup sin sin
( , , , )
≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫ ∂
∂ ∂
.
Rozhlqnemo
− −
∫ ∫
π
π
π
π
sin sin ( , , , )*k x my B x y t s dx dy . Oskil\ky B x y t s*( , , , ) [ pe-
riodyçnog z periodom 2π po x ta y, to
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
VLASTYVOSTI ROZV’QZKU NEODNORIDNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ … 477
− −
∫ ∫
π
π
π
π
sin sin ( , , , )*k x my B x y t s dx dy =
=
− +
+
∫
π π
π π
m
m
− +
+
∫
π π
π π
k
k
sin sin ( , , , )*k x my B x y t s dx dy =
=
− −
∫ ∫ + +( )
π
π
π
π π πsin sin , , ,*k x my B x
k
y
m
t s dx dy.
Krim toho,
− −
∫ ∫
π
π
π
π
sin sin ( , , , )*k x my B x y t s dx dy =
= − +( )
− −
∫ ∫
π
π
π
π πsin sin , , ,*k x my B x
k
y t s dx dy =
= − +( )
− −
∫ ∫
π
π
π
π πsin sin , , ,*k x my B x y
m
t s dx dy.
Tomu
sup sin sin ( , , , )*
0
0
≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫
t T
s T
k x my B x y t s dx dy
π
π
π
π
=
= 1
4 0
0
sup , , ,*
≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫ + +( )[
t T
s T
B x
k
y
m
t s
π
π
π
π π π –
– B x
k
y t s B x y
m
t s B x y t s k x my dx dy* * *, , , , , , ( , , , ) sin sin+
− +
+
π π ≤
≤ 1
4 0
0
sup ( , , , )
,
*
≤ ≤
≤ ≤
− −
∫ ∫
t T
s T
k m
B x y t s dx dy
π
π
π
π
π π∆ ≤
′
+
C
k m
4
1
1
ln lnπ πε ε ≤
≤
′ +
+
C
k m4
1 2
1
π ε
ε εln ln
, k, m ≥ 16.
OtΩe, Ck m, ≤
′
− +
C
km k m4
1
1 2 2 1π ε ε ε( ) ln ln
, k, m ≥ 16.
2. PokaΩemo, wo rqd
k kC k=
∞ +∑ ( )
1
1 2ln ( )/ε
, de Ck = sup ( )0
2
≤ ≤t T k tEζ , zbi-
ha[t\sq.
Oskil\ky B x y t s*( , , , ) [ neperervnog, to vona obmeΩena na −[ ]π π, 2 ×
× 0 2, T[ ] , tobto
∃ >C 0 ∀ ∈ −[ ] × [ ]( , , , ) , ,x y t s Tπ π 2 20 : B x y t s C*( , , , ) ≤ .
Tomu, intehrugçy çastynamy, otrymu[mo
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
478 B. V. DOVHAJ
Ck = 1
2
0π π
π
π
π
sup sin sin ( , , , )
≤ ≤ − −
∫ ∫
t T
k x ky B x y t t dx dy =
= 1 1 4
2 4
0
4π π
π
π
π
k
k x ky B x y t t dx dy C
kt T
sup sin sin ( , , , )*
≤ ≤ − −
∫ ∫ ≤ .
OtΩe, rqd
k kC k=
∞ +∑ ( )
1
1 2ln ( )/ε
zbiha[t\sq.
3. Nareßti rozhlqnemo E ζ ζk kt s( ) ( )− 2
:
E ζ ζk kt s( ) ( )− 2 = E 2 2
0 0
2
π
ξ
π
ξ
π π
∫ ∫−( , ) sin ( , ) sinx t kx dx y s ky dy =
= 4 22
0 0π
π π
∫ ∫ − +( )sin sin ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )kx ky B x y t t B x y t s B x y s s dx dy =
= 1 22π π
π
π
π
− −
∫ ∫ − +( )sin sin ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )kx ky B x y t t B x y t s B x y s s dx dy =
= 1 22π π
π
π
π
k
kx ky
B x y t t
x
B x y t s
x
B x y s s
x
dx dy
− −
∫ ∫ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
cos sin
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
=
= 1 22 2
2 2 2
π π
π
π
π
k
kx ky
B x y t t
x y
B x y t s
x y
B x y s s
x y
dx dy
− −
∫ ∫ ∂
∂ ∂
− ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
cos cos
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
≤
≤ 4
2
1′′
− − +C
k
t sln ( )ε
,
de my skorystalys\ intehruvannqm çastynamy ta umovog 3.
Takym çynom, vykonugt\sq vsi umovy teoremy 1, z qko] i vyplyva[ tverdΩen-
nq teoremy 2.
3. Ocinka supremumu rozv’qzku. V knyzi [3 ] dovedeno nastupne tverd-
Ωennq.
Teorema 3. Nexaj T — deqka neporoΩnq parametryçna mnoΩyna, ( X t( ) ,
t T∈ ) — centrovanyj haussovyj proces, σX t s( , ) = E X t X s( ) ( )
/
−( )2 1 2
i vyko-
nugt\sq taki umovy:
A1 ) ε0
2= < ∞
∈
sup ( )
t T
X tE ;
A2 ) prostir T X, σ( ) [ separabel\nym ta proces X [ separabel\nym na
T X, σ( ).
Prypustymo, wo dlq deqkoho α > 0
0
0ε
α ε ε∫ < ∞N d( ) ,
de N( )ε = N T
Xσ ε( , ) — kil\kist\ elementiv v najmenßomu ε-pokrytti mno-
Ωyny T vidnosno seredn\okvadratyçnoho vidxylennq σX t s( , ) .
Todi dlq vsix θ ∈( , )0 1 ta vsix s > 0
P sup ( )
t T
X t s
∈
≥
≤ 2
1
2
12 2
0
2
0 0
1
0
exp
( )
( )− −
∫
/
s
N d
θ
ε θε
ε ε
θε
α
α
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
VLASTYVOSTI ROZV’QZKU NEODNORIDNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ … 479
Nam bude potribna nastupna lema.
Lema. Nexaj σ( )h , h ≥ 0, — nevid’[mna monotonno zrostagça funkciq.
Prypustymo, wo dlq bud\-qkoho h ≥ 0
sup ( , ) ( , ) ( )
/
x y h
t s h
u x t u y s h
− ≤
− ≤
−( ) ≤E 2 1 2
σ .
Todi
N( )ε ≤ π
σ ε σ ε2
1
2
11 1( ) ( )( ) ( )− −+
+
T
,
de σ−1( )h — funkciq, obernena do σ( )h , h ≥ 0.
Dovedennq. Nexaj N( )ε , Nρ ε( ) — çyslo elementiv u minimal\nomu po-
krytti mnoΩyny 0, π[ ] × 0, T[ ] kulqmy radiusa ε vidpovidno v psevdometryci
σu ta v metryci ρ ( , ), ( , )x t y s( ) = max ,x y t s− −{ }, H( )ε = ln ( )N ε , Hρ ε( ) =
= ln ( )Nρ ε .
Vyberemo dovil\ne ε > 0, δ = σ ε−1( ) . Todi
N T
ρ δ π
δ δ
( ) ≤ +( ) +( )2
1
2
1 ,
tobto isnu[ δ-sitka Q u mnoΩyni 0, π[ ] × 0, T[ ] vidnosno metryky ρ , kil\kist\
elementiv qko] ne perevywu[
π
δ δ2
1
2
1+( ) +( )T = π
σ ε σ ε2
1
2
11 1− −+
+
( ) ( )
T
.
Teper
∀ ∈[ ] × [ ]( , ) , ,x y T0 0π ∃ ∈( , )y s Q : x y− ≤ δ, t s− ≤ δ .
Ale za umovamy lemy
σ σ δ σ σ ε εu x t y s( , ), ( , ) ( ) ( )( ) ≤ = ( ) =−1
.
OtΩe, Q — ε-sitka u mnoΩyni 0, π[ ] × 0, T[ ] vidnosno psevdometryky σu ,
pryçomu
N T( )
( ) ( )
ε π
σ ε σ ε
≤ +
+
− −2
1
2
11 1 .
Naslidok. Nexaj vykonugt\sq umovy lemy i ε < σ πmin , T{ }
2
. Todi
N
T
( )
( )
ε π
σ ε
≤
( )−1 2 .
Poznaçymo
ε ε ε1
1
3 1
1
21=
( )
=
∞
+∑T C
a nk n kn k, ln ln
,
A T C
a
k ka T
nk n kn k
2
2
2
1
3 1
2 1= + +
( )=
∞
+∑
,
/
ln lnε ε , C C=
′
−4 1 2π ε ,
de ε > 0 — konstanta z umovy 3 teoremy 2, ′C — konstanta z umovy 2 teoremy 2.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
480 B. V. DOVHAJ
Teorema 4. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 2. Todi pry s > 2 3 1ε
P sup ( , ) exp
,
,
x
t T
u x t s A T e s s
∈[ ]
∈[ ]
≥
≤ −
0
0
4 5
8
1
12
2
1
22
2π
π
ε ε
. (3)
Dovedennq. PokaΩemo, wo vykonugt\sq umovy teoremy 3. Ma[mo
ε0
2 = sup ( , )
0
0
2
≤ ≤
≤ ≤
t T
x
u x t
π
E = sup sin ( ) sin ( )
0
0
1 0
2
1
≤ ≤
≤ ≤
=
∞
∑ ∫ −
t T
x
n
t
nna
nx u na t u du
π
ζE =
=
sup
sin sin
sin ( ) sin ( ) ( ) ( )
,0
0
1
2
0 0≤ ≤
≤ ≤
=
∞
∑ ∫ ∫ − −
t T
x
n k
t t
n k
nx kx
nka
na t u ka t u dud
π
ζ ζv v vE ≤
≤ T
a nk
t s
n k t T
s T
n k
2
2
1 0
0
1
,
sup ( ) ( )
=
∞
≤ ≤
≤ ≤
∑ Eζ ζ = T
a
C
nkn k
n k
2
2
1,
,
=
∞
∑ ≤
≤ T C
a nk n kn k
2
2
1
3 1
1
, ln ln=
∞
+∑ ( ) ε ε = ε1
2 < ∞.
OtΩe, umova A1 vykonu[t\sq.
Vyberemo dovil\ne h > 0. Todi dlq bud\-qkyx ( , )x t , ( , )y s ∈ I 0, π[ ] × 0, T[ ]
takyx, wo max ,x y t s− −{ } ≤ h,
E u x t u y s( , ) ( , )− 2 =
= E
n
t
n
s
nna
nx u na t u du ny u na s u du
=
∞
∑ ∫ ∫− − −
1 0 0
2
1 sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )ζ ζ =
= E
n k
t
n
s
n
nk a
nx u na t u du ny u na s u du
,
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )
=
∞
∑ ∫ ∫− − −
1
2
0 0
1 ζ ζ ×
× sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )kx ka t d ky ka s d
t
k
s
k
0 0
∫ ∫− − −
ζ ζv v v v v v =
=
n k
n k n knk a
nx k x R t t ky R t s
,
, ,sin sin ( , ) sin ( , )
=
∞
∑ −( )[
1
2
1 +
+ sin sin ( , ) sin ( , ), ,ny ky R s s kx R s tn k n k−( )],
de
R t sn k, ( , ) =
0 0
t s
n kna t u ka s u d du∫ ∫ − −sin ( ) sin ( ) ( ) ( )v v vEζ ζ .
Skorystavßys\ nerivnistg ab cd− ≤ a c b− + b d c− , otryma[mo
E u x t u y s( , ) ( , )− 2 ≤
n k
n knk a
k x ky R t t
,
,sin sin ( , )
=
∞
∑ −(
1
2
1 +
+ R t t R t sn k n k, ,( , ) ( , )− + sin sin ( , ),k x ky R s sn k− + R s s R s tn k n k, ,( , ) ( , )− ).
Dali, oskil\ky max ,x y t s− −{ } ≤ h, to
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
VLASTYVOSTI ROZV’QZKU NEODNORIDNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ … 481
sin sink x ky− ≤ 2
2
sin ( )k x y− ≤ k x y− ≤ k h,
R t t R t sn k n k, ,( , ) ( , )− ≤ 2
2
2T
ka
t s T t s Cn ksin ( ) ,− + −
≤ T ka T hCn k
2 +( ) , ,
R t t T Cn k n k, ,( , ) ≤ 2
.
Takym çynom,
E u x t u y s( , ) ( , )− 2 ≤
n k
n k n knk a
khT C T ka T hC
,
, ,
=
∞
∑ + +( )( )
1
2
2 22 =
= 2 1 12
2
1
T
a nk
k ka
T
C h
n k
n k
,
,
=
∞
∑ + +( ) ≤ A h2 ,
de my skorystalysq tym, wo
Cn k, = sup ( ) ( )
0
0
≤ ≤
≤ ≤
t T
s T
n kt sEζ ζ ≤ C
nk n k( ) +2 1ln lnε ε .
OtΩe,
sup ( , ) ( , )
x y h
t s h
u x t u y s Ah
− ≤
− ≤
−( ) ≤E 2
1
2
1
2
,
tobto
sup ( , ), ( , )
x y h
t s h
u x t y s Ah
− ≤
− ≤
( ) ≤σ
1
2
.
ZauvaΩymo, wo oskil\ky u x t( , ) — klasyçnyj rozv’qzok zadaçi (1), to vypad-
kove pole u x t( , ) [ vybirkovo neperervnym, zvidky vyplyva[, wo u x t( , ) [ sepa-
rabel\nym na 0, π[ ]( × 0, ,T[ ] )ρ , de ρ ( , ), ( , )x t y s( ) = max ,x y t s− −{ }.
Tomu vnaslidok toho, wo prostir 0, π[ ]( × 0, ,T[ ] )ρ [ separabel\nym i pole
u x t( , ) — separabel\ne na 0, π[ ]( × 0, ,T[ ] )ρ , prostir 0, π[ ]( × 0, ,T u[ ] )σ [ se-
parabel\nym i u x t( , ) — separabel\ne na 0, π[ ]( × 0, ,T u[ ] )σ . Umova A2 teore-
myI3 vykonu[t\sq.
Nexaj 0 < α < 1
4
. Za lemog dlq σ( )h = A h
0 0
2
2
2
2
0 0
2
1
2
1
ε
α
ε α α
ε ε π
ε ε
ε∫ ∫≤ +
+
< ∞N d
A T A
d( ) .
Takym çynom, vsi umovy teoremy 3 vykonugt\sq i
P sup ( , )
,
,
x
t T
u x t s
∈[ ]
∈[ ]
≥
0
0
π
≤ 2
1
2
12 2
0
2
0 0
1
0
exp
( )
( )
/
− −
∫s
N d
θ
ε θε
ε ε
θε
α
α
.
Teper za naslidkom
1
0 0
1
0
θε
ε ε
θε
α
α
∫
N d( )
/
≤
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
482 B. V. DOVHAJ
≤ 1
0 0
4
4
1
0
θε
π
ε
εα
θε α
α
α
( )
/
T A d∫
= 1
0
4
0
4
1
0
θε
π ε εα
θε
α
α
( )
/
A T d∫ −
=
= A T4
0
1
1
1 4
0
1 4
1 1
1 4
π
θε α
θ ε
α
α
α
α
α
α
−
− −/
/( )
= A T4
1
4
0
41
1 4
π
α
θ εα( ) /−
− −
,
θε π
0 2
< { }
A
Tmin ,
.
Vyberemo θ = 1 – 1 2 0
2 2− ε /u . Todi
2
1
2
2 2
0
2exp
( )− −
s θ
ε
= 2
2
2
0
2e sexp −
ε
.
ZauvaΩymo, wo
θ = 1 – 1 2 0
2 2− ε /u =
2
1 1 2
0
2 2
0
2 2
ε
ε
/
/
s
s+ −
≥
ε0
2
2s
.
Tomu
P sup ( , )
,
,
x
t T
u x t s
∈[ ]
∈[ ]
≥
0
0
π
≤ 2 1
1 4 2
4
1
8
0
12
2
0
2A T e s sπ
α ε εα( )
exp/−
−
≤
≤ 2 1
1 4 2
4
1
8
1
12
2
1
2A T e s sπ
α ε εα( )
exp/−
−
, s > 2 3 1ε .
Minimizugçy ostanng nerivnist\ po 0 < α < 1
4
, otrymu[mo nerivnist\ (3). Zaly-
ßylos\ zauvaΩyty, wo pry s > 2 1ε
θε θε ε ε π
0 1
1
2
2 11 1
2
2
≤ = − −
< { }
s
A
Tmin ,
.
4. Vysnovky. V roboti otrymano umovy na kovariacijnu funkcig vypadko-
voho polq, wo mistyt\sq u pravij çastyni neodnoridnoho hiperboliçnoho rivnqn-
nq, qki zabezpeçugt\ isnuvannq rozv’qzku perßo] zadaçi matematyçno] fizyky
dlq c\oho rivnqnnq u vyhlqdi rivnomirno zbiΩnoho za jmovirnistg rqdu. TakoΩ
vstanovleno ocinku xvosta rozpodilu supremumu rozv’qzku ci[] zadaçi.
1. Dovhaj B. V. Ob©runtuvannq metodu Fur’[ dlq neodnoridnoho hiperboliçnoho rivnqnnq
zIvypadkovog pravog çastynog // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 5. – S. 616 – 624.
2. Buld¥hyn V. V., Kozaçenko G. V. K voprosu prymenymosty metoda Fur\e dlq reßenyq zadaç
so sluçajn¥my kraev¥my uslovyqmy // Sluçajn¥e process¥ v zadaçax matematyçeskoj fy-
zyky: Sb. nauçn. tr. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1979. – S. 4 – 35.
3. Budldygin V. V., Kozachenko Yu. V. Metric characterization of random variables and random
processes. – Kiev: TBiMC, 2000. – 257 p.
OderΩano 28.01.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3614 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:47Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/3c06c43847d0220dbd4b779b8af902ac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36142020-03-18T20:00:05Z Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side Властивості розв'язку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною Dovhai, B. V. Довгай, Б. В. We consider an inhomogeneous hyperbolic equation with zero initial and boundary conditions and a random centered sample-continuous Gaussian right-hand side. We establish conditions for the existence of a solution of the first boundary-value problem of mathematical physics in the form of a series uniformly convergent in probability in terms of a covariance function. An estimate for the distribution of the supremum of a solution of this problem is obtained. Розглядається неоднорідне гіперболічне рівняння з нульовими початковими та крайовими умовами і випадковою центрованою вибірково неперервною гауссовою правою частиною. Встановлено умови існування розв'язку першої крайової задачі математичної фізики у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду в термінах коваріаційної функції. Знайдено оцінку розподілу супремуму розв'язку цієї задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3614 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 4 (2005); 474–482 Український математичний журнал; Том 57 № 4 (2005); 474–482 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3614/3959 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3614/3960 Copyright (c) 2005 Dovhai B. V. |
| spellingShingle | Dovhai, B. V. Довгай, Б. В. Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title | Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title_alt | Властивості розв'язку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною |
| title_full | Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title_fullStr | Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title_full_unstemmed | Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title_short | Properties of a Solution of an Inhomogeneous Hyperbolic Equation with Random Right-Hand Side |
| title_sort | properties of a solution of an inhomogeneous hyperbolic equation with random right-hand side |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3614 |
| work_keys_str_mv | AT dovhaibv propertiesofasolutionofaninhomogeneoushyperbolicequationwithrandomrighthandside AT dovgajbv propertiesofasolutionofaninhomogeneoushyperbolicequationwithrandomrighthandside AT dovhaibv vlastivostírozv039âzkuneodnorídnogogíperbolíčnogorívnânnâzvipadkovoûpravoûčastinoû AT dovgajbv vlastivostírozv039âzkuneodnorídnogogíperbolíčnogorívnânnâzvipadkovoûpravoûčastinoû |