Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank
We study classes of groups whose subgroups of some infinite ranks are almost normal.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3618 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509738802872320 |
|---|---|
| author | Kuchmenko, S. N. Semko, N. N. Кучменко, С. Н. Семко, М. М. |
| author_facet | Kuchmenko, S. N. Semko, N. N. Кучменко, С. Н. Семко, М. М. |
| author_sort | Kuchmenko, S. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:05Z |
| description | We study classes of groups whose subgroups of some infinite ranks are almost normal. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.544
N. N. Semko, S. N. Kuçmenko
(Nac. akad. naloh. sluΩb¥ Ukrayn¥, Yrpen\)
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY
BESKONEÇNOHO RANHA
We study classes of groups whose subgroups of some infinite ranks are almost normal.
Vyvçagt\sq klasy hrup, u qkyx pidhrupy deqkyx neskinçennyx ranhiv majΩe normal\ni.
Pust\ ν — svojstvo, kotoroe mohut ymet\ podhrupp¥. ∏to svojstvo moΩet
b¥t\ kak vnutrennym (naprymer, ν = b¥t\ normal\noj, subnormal\noj, poçty
normal\noj, perestavlqemoj, dopolnqemoj podhruppamy), tak y vneßnym, t. e. v
πtom sluçae ν oznaçaet b¥t\ podhruppoj, kotoraq prynadleΩyt nekotoromu
klassu hrupp X . Esly G — hruppa, to oboznaçym çerez Σnon-ν( )G (soot-
vetstvenno Σν( )G ) systemu vsex tex podhrupp G, kotor¥e ne ymegt svojstva
ν (sootvetstvenno ymegt svojstvo ν ). Odna yz perv¥x zadaç teoryy hrupp,
kotoraq soxranyla svoe znaçenye y do naßeho vremeny, sostoyt v yzuçenyy
vlyqnyq na stroenye hrupp¥ system Σν( )G y Σnon-ν( )G dlq naybolee vaΩn¥x
estestvenn¥x svojstv ν. Perv¥m ßahom v πtom napravlenyy b¥la stavßaq
klassyçeskoj stat\q R. Dedekynda [1], v kotoroj yzuçalys\ koneçn¥e hrupp¥,
vse podhrupp¥ kotor¥x normal\n¥, t. e. hrupp¥, u kotor¥x systema Σnorm( )G
sovpadaet s systemoj vsex podhrupp yly systema Σnon-norm( )G — pustaq. Zatem
posledovala rabota H. Myllera y X. Moreno [2], v kotoroj yzuçalys\ koneç-
n¥e hrupp¥, vse sobstvenn¥e podhrupp¥ kotor¥x abelev¥, t. e. systema Σab( )G
sostoyt yz vsex sobstvenn¥x podhrupp yly Σnon-ab( )G = { G } . VaΩnug rol\ v
πtoj cepy s¥hrala takΩe rabota O. G. Ímydta [3], v kotoroj yzuçalys\ koneç-
n¥e hrupp¥, vse sobstvenn¥e podhrupp¥ kotor¥x nyl\potentn¥, t. e. systema
Σnil( )G sostoyt yz vsex sobstvenn¥x podhrupp yly Σnon-nil( )G = { G } . Posle
πtyx rabot naçalos\ posledovatel\noe yzuçenye kak koneçn¥x, tak y beskoneç-
n¥x hrupp, u kotor¥x systema Σν( )G „dostatoçno velyka” yly Ωe systema
Σnon-ν( )G „dostatoçno mala”. ∏ta tematyka okazalas\ ves\ma ynteresnoj y
plodotvornoj, ej posvqweno bol\ßoe kolyçestvo statej y neskol\ko monohra-
fyj. V dannoj stat\e m¥ rassmotrym hrupp¥ s ohranyçenyqmy na systemu
Σnon-an( )G vsex podhrupp, kotor¥e ne qvlqgtsq poçty normal\n¥my.
Podhruppa H hrupp¥ G naz¥vaetsq poçty normal\noj v G, esly mnoΩes-
tvo clG H( ) = { }H g Gg ∈ ( klass vsex podhrupp, soprqΩenn¥x s H ) koneçno.
Esly podhruppa H normal\na v G, to clG H( ) = { H } , tak çto poçty nor-
mal\n¥e podhrupp¥ — πto estestvennoe obobwenye normal\n¥x podhrupp.
Podhruppa H tohda y tol\ko tohda poçty normal\na v hruppe G, kohda ee nor-
malyzator N HG ( ) ymeet koneçn¥j yndeks v G (otsgda y proysxodyt nazvanye
takyx podhrupp). B. Nejman [4] oxarakteryzoval hrupp¥, vse podhrupp¥ koto-
r¥x poçty normal\n¥ (t. e. mnoΩestvo Σnon-an( )G pusto), kak hrupp¥ s centrom
koneçnoho yndeksa (hrupp¥, koneçn¥e nad centrom). Y. Y. Eremyn [5] obobwyl
πtot rezul\tat, dokazav, çto hrupp¥, vse abelev¥ podhrupp¥ kotor¥x poçty
normal\n¥, ymegt centr koneçnoho yndeksa. V stat\e [6] Y. Y. Eremyn naçal
rassmatryvat\ hrupp¥, vse beskoneçn¥e podhrupp¥ kotor¥x poçty normal\n¥
(t. e. mnoΩestvo Σnon-an( )G sostoyt tol\ko yz koneçn¥x podhrupp). Lokal\no
poçty razreßym¥e hrupp¥, vse beskoneçn¥e podhrupp¥ kotor¥x poçty nor-
mal\n¥, b¥ly opysan¥ v rabote N. N. Semko, S. S. Levywenko y L. A. Kurda-
çenko [7]. Dal\nejßee yzuçenye hrupp, u kotor¥x systema Σnon-an( )G „dosta-
toçno mala”, prodolΩalos\ v rabotax druhyx avtorov. Naprymer, hrupp¥, v
kotor¥x (uporqdoçennoe po vklgçenyg) mnoΩestvo Σnon-an( )G udovletvorqet
© N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO, 2005
514 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 515
uslovyg mynymal\nosty, yzuçalys\ L. A. Kurdaçenko y V. V. P¥laev¥m [8];
hrupp¥, u kotor¥x mnoΩestvo Σnon-an( )G udovletvorqet slabomu uslovyg my-
nymal\nosty (sootvetstvenno maksymal\nosty), rassmatryvalys\ v rabote
DΩ.HKutolo y L. A. Kurdaçenko [9]; v rabote S. Francyozy, F. de Ûyovanny y
L.HA. Kurdaçenko [10] b¥ly rassmotren¥ hrupp¥, v kotor¥x systema Σnon-an( )G
sostoyt yz koneçnoporoΩdenn¥x yly necyklyçeskyx podhrupp. V dannoj rabo-
te rassmatryvagtsq hrupp¥ s bolee ßyrokoj systemoj Σnon-an( )G . Toçnee, ras-
smatryvagtsq hrupp¥, v kotor¥x mnoΩestvo Σnon-an( )G sostoyt yz hrupp toho
yly ynoho koneçnoho ranha. VaΩn¥e kombynatorn¥e xarakterystyky hrupp¥ —
raznoobrazn¥e ranhy, kotor¥e rasprostranqgt na hrupp¥ klassyçeskoe ponq-
tye razmernosty, b¥ly vveden¥ X. Prgferom, A. Y. Mal\cev¥m [11, 12], D. Ro-
bynsonom [13], R. Bπrom, H. Xajnekenom [14], D. Y. Zajcev¥m [15, 16]. V πtoj
svqzy sleduet otmetyt\, çto v rabote S. Francyozy, F. de Ûyovanny y
M.HN\gπla [17] rassmatryvalys\ hrupp¥, v kotor¥x mnoΩestvo vsex nenormal\-
n¥x podhrupp sostoyt yz razreßym¥x hrupp toho yly ynoho koneçnoho ranha.
1. Hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥ beskoneçnoho 0-ranha poçty nor-
mal\n¥. Budem hovoryt\, çto hruppa G ymeet koneçn¥j 0-ranh r G0( ) = r,
esly ona ymeet koneçn¥j subnormal\n¥j rqd, v kotorom toçno r beskoneçn¥x
cyklyçeskyx faktorov, a vse ostal\n¥e faktor¥ — peryodyçeskye.
Otmetym, çto lgboe uplotnenye takoho rqda ymeet toçno r beskoneçn¥x
cyklyçeskyx faktorov, pry πtom vse ostal\n¥e faktor¥ — peryodyçeskye.
∏to pokaz¥vaet, çto 0-ranh ne zavysyt ot v¥bora subnormal\noho rqda. ∏tot
çyslovoj ynvaryant yzvesten takΩe kak ranh, svobodn¥j ot kruçenyq, yly
prosto svobodn¥j ranh. Otmetym takΩe, çto dlq poçty polycyklyçeskoj
hrupp¥ πto ponqtye v toçnosty sovpadaet s ponqtyem çysla Xyrßa.
Pust\ hruppa G ymeet koneçn¥j 0-ranh r . Tohda G ymeet koneçn¥j sub-
normal\n¥j rqd
〈 〉1 = G0 � G1 � … � Gn = G,
v kotorom r faktorov — beskoneçn¥e cyklyçeskye, a ostavßyesq n – r fak-
torov — peryodyçeskye. Esly H — podhruppa G, to
〈 〉1 = G0 ∩ H � G1 ∩ H � … � Gn ∩ H = H
budet subnormal\n¥m rqdom v H. Poskol\ku faktor¥ πtoho rqda yzomorfn¥
podhruppam faktorov pervoho rqda, poluçaem r H0( ) ≤ r G0( ).
Esly H — normal\naq podhruppa G, to rassmotrym subnormal\n¥j rqd
〈 〉1 = G0 ∩ H � G1 ∩ H � … � Gn ∩ H = H = HG0 � HG1 � … � HGn = G.
Tohda { }G H j nj ∩ 0 ≤ ≤ budet subnormal\n¥m rqdom H , a { /HG Hj
0 ≤ ≤j n} — subnormal\n¥m rqdom faktor-hrupp¥ G H/ . Odnako poslednyj
rqd ymeet tol\ko r beskoneçn¥x cyklyçeskyx faktorov, pry πtom ostavßyesq
faktor¥ — peryodyçeskye. Takym obrazom, poluçaem ravenstvo r G0( ) =
= r H r G H0 0( ) ( )/+ . V çastnosty, esly H — peryodyçeskaq normal\naq pod-
hruppa, to r G0( ) = r G H0( )/ .
1.1. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
0-ranha poçty normal\n¥.
1. Esly H — podhruppa beskoneçnoho 0-ranha, to y lgbaq ee podhruppa
beskoneçnoho 0-ranha poçty normal\na.
2. Esly H — normal\naq podhruppa G, to lgbaq podhruppa beskoneçnoho
0-ranha faktor-hrupp¥ G / H poçty normal\na.
UtverΩdenye lemm¥ poçty oçevydno.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
516 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
Otmetym, çto esly H, L — poçty normal\n¥e podhrupp¥ v hruppe G, to
podhrupp¥ H ∩ L y 〈 H, L 〉 takΩe poçty normal\n¥. ∏to sleduet yz oçevyd-
n¥x vklgçenyj N H N LG G( ) ( )∩ ≤ N H LG ( )∩ y N H N LG G( ) ( )∩ ≤ N H LG( ),〈 〉 ,
a takΩe yz toho fakta, çto podhruppa N H N LG G( ) ( )∩ ymeet koneçn¥j yndeks
v G. ∏tymy utverΩdenyqmy budem çasto pol\zovat\sq v dal\nejßem bez specy-
al\n¥x ss¥lok.
1.2. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
0-ranha poçty normal\n¥, g ∈ G, H = × ∈λ λΛ H , h d e Hλ — needynyçnaq
〈 〉g -ynvaryantnaq podhruppa dlq lgboho λ ∈ Λ . PredpoloΩym, çto podmnoΩe-
stvo Σ = { ( ) }λ λ∈ ≠Λ r H0 0 beskoneçno. Tohda 〈 〉g poçty normal\na v G.
Dokazatel\stvo. PoloΩym 〈 〉 = 〈 〉x g H∩ . Tohda Supp x = ∆ — koneçnoe
podmnoΩestvo Λ y ( )× ∈ 〈 〉λ λM H g∩ = 〈 〉1 , hde podmnoΩestvo M = Λ ∆\ bes-
koneçno. V¥berem teper\ v M dva podmnoΩestva K y N, udovletvorqgwye
sledugwym uslovyqm: K N M∪ = , K N∩ = ∅ y oba podmnoΩestva Σ ∩ K ,
Σ ∩ N beskoneçn¥. Takoj v¥bor obespeçyvaet tot fakt, çto podhrupp¥
〈 〉 × ∈g HK( )λ λ y 〈 〉 × ∈g HN( )λ λ ymegt beskoneçn¥j 0-ranh, v çastnosty, obe
ony poçty normal\n¥. Poπtomu 〈 〉 〈 〉× ×∈ ∈g H g HK N( ) ( )λ λ λ λ∩ = 〈 〉g — poçty
normal\naq podhruppa.
LemmaH1.2 dokazana.
Pust\ G — hruppa. Dlq proyzvol\noho πlementa g ∈ G oboznaçym çerez
gG
klass vsex πlementov, soprqΩenn¥x s g, t. e. gG = { }x gx x G− ∈1 . Dalee,
poloΩym
F C ( G ) = { }g G gG∈ koneçen .
Oçevydno, F C ( G ) — xarakterystyçeskaq podhruppa hrupp¥ G , ee naz¥vagt
FC-centrom hrupp¥ G. FC-centr hrupp¥ G moΩno takΩe oxarakteryzovat\
sledugwym obrazom. ∏to podmnoΩestvo vsex takyx πlementov g hrupp¥ G,
çto podhruppa 〈 〉g poçty normal\na v G. Dejstvytel\no, esly g ∈ F C ( G ) , to
πlement g ymeet koneçnoe mnoΩestvo soprqΩenn¥x v G , a poπtomu y
podhruppa 〈 〉g takΩe ymeet koneçnoe mnoΩestvo soprqΩenn¥x v G, t. e.
yndeks G N gG: ( )〈 〉 koneçen. Naoborot, esly podhruppa 〈 〉g poçty normal\na
v G, to G N gG: ( )〈 〉 koneçen. Esly πlement g ymeet koneçn¥j porqdok, to
N g C gG G( ) ( ):〈 〉 〈 〉 koneçen, a potomu koneçen y yndeks G C gG: ( )〈 〉 = gG .
Esly Ωe πlement g ymeet beskoneçn¥j porqdok, to N g C gG G( ) ( ):〈 〉 〈 〉 ≤ 2, y
snova G C gG: ( )〈 〉 = gG
koneçen. ∏toj xarakterystykoj budem takΩe pol\-
zovat\sq v dal\nejßem bez specyal\n¥x ss¥lok.
Otpravlqqs\ ot FC-centra, postroym verxnyj FC-central\n¥j rqd hrupp¥:
〈 1 〉 = C0 ≤ C1 ≤ … ≤ Cα ≤ Cα + 1 ≤ … ≤ Cγ ,
po sledugwemu pravylu: C 1 = F C ( G ) , C α + 1 / Cα = F C ( G / Cα ) , α < γ , y
F C ( G / Cγ ) = 〈 〉1 . Poslednyj çlen Cγ πtoho vozrastagweho rqda naz¥vaetsq
verxnym FC-hypercentrom. Esly C γ = G , to hruppa G naz¥vaetsq FC-hy-
percentral\noj; esly γ ewe y koneçno, to G naz¥vaetsq FC-nyl\potent-
noj.
1.3. Sledstvye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçno-
ho 0-ranha poçty normal\n¥, H = × ∈λ λΛ H , h d e Hλ — needynyçnaq pod-
hruppa dlq lgboho λ ∈ Λ . PredpoloΩym, çto podmnoΩestvo Σ =
= { ( ) }λ λ∈ ≠Λ r H0 0 beskoneçno. Tohda H ≤ F C ( G ) .
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 517
1.4. Sledstvye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçno-
ho 0-ranha poçty normal\n¥. Esly G vklgçaet v sebq abelevu podhruppu A
beskoneçnoho 0-ranha, to A ≤ F C ( G ) , v çastnosty, F C ( G ) ymeet besko-
neçn¥j 0-ranh.
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, pust\ A — abeleva podhruppa, ymeg-
waq beskoneçn¥j 0-ranh. Esly A ne ymeet kruçenyq, to ona vklgçaet v sebq
svobodnug abelevu podhruppu beskoneçnoho 0-ranha. Esly peryodyçeskaq
çast\ T podhrupp¥ A needynyçna, to v faktor-hruppe A / T v¥berem svobod-
nug abelevu podhruppu C / T, ymegwug beskoneçn¥j 0-ranh. Teper\ ymeem
C = E × T, hde C / T ≅ E — svobodnaq abeleva podhruppa beskoneçnoho 0-ranha
(sm., naprymer, [18], teorema 14.4). Takym obrazom, v lgbom sluçae A vklgçaet
v sebq podhruppu × ∈λ λΛ C , hde Cλ — beskoneçnaq cyklyçeskaq podhruppa dlq
kaΩdoho λ ∈ Λ y mnoΩestvo yndeksov Λ beskoneçno. Oçevydno, podhruppa
Cλ — 〈 〉a -ynvaryantna dlq kaΩdoho πlementa a ∈ A, y, prymenqq lemmu 1.2,
poluçaem vklgçenye A ≤ F C ( G ) .
SledstvyeH1.4 dokazano.
1.5. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
0-ranha poçty normal\n¥. Esly G — FC-hruppa beskoneçnoho 0 -ranha, to
G koneçna nad centrom ( t. e. centr ymeet koneçn¥j yndeks v G ).
Dokazatel\stvo. V¥berem v centre hrupp¥ G maksymal\nug podhruppu
bez kruçenyq U. Poskol\ku faktor-hruppa G / ζ ( G ) peryodyçeskaq (sm., na-
prymer, [19], teorema 4.32), to y G / U peryodyçeskaq. Otsgda sleduet, çto
podhruppa U ymeet beskoneçn¥j 0-ranh. Pust\ L — proyzvol\naq podhruppa,
vklgçagwaq v sebq U, tohda y ona ymeet beskoneçn¥j 0-ranh. Druhymy slo-
vamy, L poçty normal\na v G. Otsgda sleduet, çto lgbaq podhruppa G / U
poçty normal\na. No v πtom sluçae G / U koneçna nad centrom sohlasno teore-
me B.HNejmana [4]. PoloΩym Z / U = ζ ( G / U ) , y pust\ z ∈ Z , g ∈ G. Tohda
[ g, z ] ∈ U . S druhoj storon¥, sohlasno druhoj teoreme B.HNejmana (sm., na-
prymer, [19], teorema 4.32) [ G, G ] — peryodyçeskaq podhruppa. Ytak, [ g, z ]
∈ U ∩ [ G, G ] = 〈 〉1 , t. e. z ∈ ζ ( G ) . Sledovatel\no, G / ζ ( G ) koneçna.
LemmaH1.5 dokazana.
1.6. PredloΩenye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ besko-
neçnoho 0 -ranha poçty normal\n¥. Esly G vklgçaet v sebq abelevu pod-
hruppu beskoneçnoho 0-ranha, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. Pust\ A — abeleva podhruppa beskoneçnoho 0-ranha
hrupp¥ G. Yz lemm¥H1.4 poluçaem vklgçenye A ≤ F C ( G ) . V çastnosty, FC-
centr ymeet beskoneçn¥j 0-ranh. PoloΩym C = ζ ( F C ( G )) , tohda yz lem-
m¥H1.5 poluçaem, çto faktor-hruppa F C ( G ) / C koneçna, a znaçyt, C ymeet
beskoneçn¥j 0-ranh. Pust\ 1 1≠ ∈c C , C c G
1 1= 〈 〉 . Poskol\ku c1 ∈ F C ( G ) ,
podhruppa C1 — koneçno poroΩdena. V¥berem v C podhruppu B1
, maksymal\-
nug otnosytel\no C B1 1 1∩ = 〈 〉. Oçevydno, çto C B/ 1 — hruppa koneçnoho
specyal\noho ranha, v çastnosty, ona ymeet koneçn¥j 0-ranh. V svog oçered\,
πto oznaçaet, çto podhruppa B1 ymeet beskoneçn¥j 0-ranh, a poπtomu ona poç-
ty normal\na. ∏to obespeçyvaet koneçnost\ mnoΩestva { }B x Gx
1 ∈ .
PoloΩym { }B x Gx
1 ∈ = { }, ,x B x x B xm m1
1
1 1
1
1
− −… y C1 = Bx
x G 1∈∩ . Tohda yz
teorem¥ Rπmaka poluçaem vloΩenye A C/ 1 ≤ A B A Bx
m
x/ /11 1× …× . V svog oçe-
red\, otsgda sleduet, çto C1 — G -ynvaryantnaq podhruppa A, dlq kotoroj
C A1 1 1∩ = 〈 〉 y A C/ 1 — hruppa koneçnoho specyal\noho ranha. V çastnosty,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
518 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
C1 1≠ 〈 〉. Pust\ 1 2 1≠ ∈c C y C c G
2 2= 〈 〉 . Snova podhruppa C2 koneçno po-
roΩdena. V¥berem v A podhruppu B2 , maksymal\nug otnosytel\no ( )C C1 2× ∩
∩ B2 = 〈 〉1 . Tohda A / B2 — hruppa koneçnoho specyal\noho ranha. Yspol\zo-
vav analohyçn¥e arhument¥, postroym beskoneçnoe semejstvo { }C nn ∈N
takyx koneçnoporoΩdenn¥x G-ynvaryantn¥x podhrupp Cn , çto 〈 〉∈C nn N =
= × ∈n nCN . V çastnosty, podhruppa Cn — 〈 〉g -ynvaryantna dlq lgboho πlemen-
ta g ∈ G. Yspol\zuq teper\ lemmu 1.2, poluçaem vklgçenye g ∈ F C ( G ) , koto-
roe dokaz¥vaet ravenstvo G = F C ( G ) . Prymenenye lemm¥H1.5 zaverßaet doka-
zatel\stvo predloΩenyqH1.6.
Pust\ G — hruppa. Oboznaçym çerez P ( G ) maksymal\nug normal\nug pe-
ryodyçeskug podhruppu G.
Pust\ G — abeleva hruppa, G ≤ Aut A. Budem hovoryt\, çto A racyo-
nal\no nepryvodyma ( toçnee, G racyonal\no nepryvodyma ), esly kaΩdaq ee
needynyçnaq G-ynvaryantnaq podhruppa B opredelqet peryodyçeskug
faktor-hruppu A / B .
1.7. Lemma. Pust\ G — razreßymaq hruppa beskoneçnoho 0-ranha, u ko-
toroj P ( G ) = 〈 〉1 . Esly G ymeet beskoneçn¥j 0-ranh, to G vklgçaet v
sebq abelevu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha.
Dokazatel\stvo. Pust\
〈 1 〉 = A0 ≤ A1 ≤ … ≤ Ad ≤ Ad + 1 = G
— rqd posledovatel\n¥x kommutantov hrupp¥ G. Poskol\ku G ymeet besko-
neçn¥j 0-ranh, xotq b¥ odyn yz faktorov πtoho rqda ymeet beskoneçn¥j 0-
ranh. Dalee, tak kak A1 — normal\naq abeleva podhruppa G, yz ravenstva
P ( G ) = 〈 〉1 poluçaem, çto A1 ne ymeet kruçenyq. Esly ona ymeet beskoneç-
n¥j 0-ranh, to vse dokazano. Poπtomu predpoloΩym, çto r A0 1( ) koneçen.
Faktor A A2 1/ qvlqetsq normal\noj abelevoj podhruppoj G A/ 1. Oboznaçym
çerez T A/ 1 peryodyçeskug çast\ A A2 1/ . Yz teorem¥H5 rabot¥ [20] sleduet
koneçnost\ yndeksa T C AT: ( )1 . Podhruppa C AT ( )1 nyl\potentna y normal\na
v G. Poskol\ku P ( G ) = 〈 〉1 , C AT ( )1 ne ymeet kruçenyq y poπtomu abeleva.
Krome toho, peryodyçeskaq çast\ A C AT2 1/ ( ) koneçna. PoloΩym B1 = A1, B2 =
= C AT ( )1 , B3 = A2. Yspol\zuq analohyçn¥e arhument¥, moΩno postroyt\ rqd
normal\n¥x podhrupp
〈 1 〉 = B0 ≤ B1 ≤ … ≤ Bs ≤ Bs + 1 = S,
udovletvorqgwyx sledugwym uslovyqm: faktor¥ B Bj j+1 / lybo koneçn¥, ly-
bo qvlqgtsq abelev¥my hruppamy bez kruçenyq koneçnoho 0-ranha, 0 ≤ j ≤ s –
– 1, a poslednyj faktor B Bs s+1 / qvlqetsq abelevoj hruppoj beskoneçnoho 0-
ranha. V kaΩdom abelevom faktore bez kruçenyq B Bj j+1 / v¥berem S-ynvary-
antnug podhruppu D Aj/ naymen\ßeho vozmoΩnoho 0-ranha. Pust\ L / D —
peryodyçeskaq çast\ B Dj+1 / , tohda y L budet S-ynvaryantnoj podhruppoj.
Krome toho, L Bj/ — S-racyonal\no nepryvodyma y B Lj+1 / ne ymeet kruçenyq.
Druhymy slovamy, ne terqq obwnosty moΩno dopustyt\, çto kaΩd¥j abelev
faktor bez kruçenyq B Bj j+1 / qvlqetsq S-racyonal\no nepryvodym¥m.
Esly B Bs s/ −1 koneçen, to poçty oçevydno to obstoqtel\stvo, çto S Bs/ −1
vklgçaet v sebq abelevu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. Pred-
poloΩym teper\, çto B Bs s/ −1 — abeleva hruppa bez kruçenyq. Esly B Bs s/ −1 ≤
≤ ζ( / )S Bs−1 , to hruppa S Bs/ −1 nyl\potentna y poπtomu vklgçaet v sebq abe-
levu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha (sm., naprymer, [21],
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 519
sledstvyeH2 teorem¥H6.36). Nakonec, predpoloΩym, çto ζ( / )S Bs−1 ne vklgçaet
v sebq podhruppu B Bs s/ −1. Yz lemm¥H2 stat\y [22] snova poluçaem, çto S Bs/ −1
vklgçaet v sebq abelevu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. S
pomow\g analohyçn¥x arhumentov çerez koneçnoe çyslo ßahov poluçym, çto y
hruppa G vklgçaet v sebq abelevu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-
ranha.
LemmaH1.7 dokazana.
1.8. Lemma. Pust\ H — normal\naq podhruppa hrupp¥ G , udovletvorq-
gwaq sledugwym uslovyqm:
1) H ne ymeet kruçenyq;
2) H ≤ ζn G( ) ( ζn G( ) — hypercentr hrupp¥ G , ymegwyj natural\n¥j no-
mer n );
3) G / H — lokal\no koneçnaq hruppa.
Tohda γ n G( ) lokal\no koneçna ( γ n G( ) — çlen nyΩneho central\noho rqda
hrupp¥ G, ymegwyj natural\n¥j nomer n ).
Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty moΩno dopustyt\, çto n —
naymen\ßee çyslo so svojstvom H ≤ ζn G( ). Lemmu budem dokaz¥vat\ yndukcy-
ej po çyslu n. Pust\ snaçala n = 1, t. e. H ≤ ζ( )G . V πtom sluçae [ G, G ] —
lokal\no koneçnaq podhruppa (sm., naprymer, [19], sledstvye teorem¥H4.12).
Pust\ teper\ n > 1. PoloΩym C = H ∩ ζ( )G . Po ynduktyvnomu dopuwenyg
γ n G C−1( / ) = P / C — lokal\no koneçnaq hruppa. Snova yspol\zuq sledstvye
teorem¥ Y. Íura (sm., naprymer, [19], sledstvye teorem¥H4.12), poluçaem, çto
[ P, P ] — lokal\no koneçnaq podhruppa. Otsgda sleduet, çto podmnoΩestvo T ,
sostoqwee yz vsex πlementov koneçnoho porqdka podhrupp¥ P, budet (xarak-
terystyçeskoj) podhruppoj P. V çastnosty, T normal\na vo vsej hruppe G.
Yz vklgçenyq [ P, P ] ≤ T sleduet, çto P / T — abeleva hruppa bez kruçenyq.
Dalee, P / T vklgçaet v sebq podhruppu CT / T, dlq kotoroj ( P / T ) / ( CT / T )
peryodyçeskaq. Vklgçenye CT / T ≤ ζ ( G / T ) y tot fakt, çto v abelevoj hrup-
pe bez kruçenyq operacyq yzvleçenyq kornq odnoznaçna, pryvodqt k sootnoße-
nyg P / T ≤ ζ ( G / T ) . V svog oçered\, poslednee vklgçenye vleçet tot fakt,
çto G / T — nyl\potentnaq hruppa stupeny n. Takym obrazom, γn ( G ) ≤ T, çto
y dokaz¥vaet lemmuH1.8.
S pomow\g analohyçn¥x rassuΩdenyj dokaz¥vaetsq takΩe sledugwaq
lemma.
1.9. Lemma. Pust\ H — normal\naq razreßymaq stupeny d podhruppa
hrupp¥ G , L — takaq podhruppa C HG ( ) , çto L ≥ H y L / H lokal\no ko-
neçna. Tohda çlen rqda kommutantov podhrupp¥ L, ymegwyj nomer d ,
qvlqetsq lokal\no koneçnoj podhruppoj.
1.10. PredloΩenye. Pust\ G — hruppa beskoneçnoho 0 -ranha, u koto-
roj P ( G ) = 〈 〉1 . Esly G ymeet vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp,
proyzvol\n¥j faktor kotoroho lokal\no nyl\potenten yly lokal\no koneçen,
to G vklgçaet v sebq abelevu podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha.
Dokazatel\stvo. Pust\ L — lokal\no nyl\potentn¥j radykal hrupp¥
G. Yz ravenstva P ( G ) = 〈 〉1 sleduet, çto L — needynyçnaq podhruppa. Esly
dopustyt\, çto L ymeet beskoneçn¥j 0-ranh, to yz teorem¥ A. Y. Mal\ceva
(sm., naprymer, [21], sledstvyeH2 teorem¥H6.36) poluçaem, çto L vklgçaet v se-
bq abelevu podhruppu beskoneçnoho 0-ranha. Poπtomu budem sçytat\, çto L
ymeet koneçn¥j 0-ranh. Poskol\ku P ( G ) = 〈 〉1 , L — lokal\no nyl\potent-
naq podhruppa bez kruçenyq. Tohda yz teorem¥ A. Y. Mal\ceva (sm., naprymer,
[21], sledstvyeH2 teorem¥H6.36) sleduet, çto L — nyl\potentnaq podhruppa
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
520 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
koneçnoho specyal\noho ranha. Pust\ C = CG ( L ) . PredpoloΩym, çto pod-
hruppa L ne vklgçaet v sebq C. Tohda CL / L — needynyçnaq normal\naq pod-
hruppa G / L. Yz uslovyj sleduet, çto lybo ee lokal\no nyl\potentn¥j rady-
kal R / L needynyçen, lybo needynyçn¥m budet ee lokal\no koneçn¥j radykal
F / L. Dopustym, çto R ≠ L . Netrudno pokazat\, çto L budet lokal\no nyl\-
potentn¥m radykalom y v podhruppe R. Yz teorem¥ B. Y. Plotkyna (sm.,
naprymer, [19], lemmaH2.32) poluçaem vklgçenye CR ( L ) ≤ L , kotoroe pokaz¥-
vaet, çto R = L . Otsgda sleduet, çto F / L ≠ 〈 〉1 . Yz lemm¥H1.8 y uslovyq
P ( G ) = 〈 〉1 poluçaem, çto podhruppa F nyl\potentna. No tohda F ≤ L . Po-
luçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet vklgçenye CR ( L ) ≤ L . Druhymy slovamy,
G / L yzomorfna podhruppe Aut ( L ) . Oboznaçym çerez S / L maksymal\nug
normal\nug radykal\nug podhruppu hrupp¥ G / L. Poskol\ku stupen\ razre-
ßymosty proyzvol\noj razreßymoj podhrupp¥ Aut ( L ) ohranyçena funkcyej
ot ranha L (sm., naprymer, [23], hl.H9, § 3), S / L razreßyma. No tohda y S
razreßyma. Esly dopustyt\ teper\, çto S ymeet beskoneçn¥j 0-ranh, to yz
lemm¥H1.7 poluçaem, çto S vklgçaet v sebq abelevu podhruppu beskoneçnoho
0-ranha. Poπtomu rassmotrym teper\ sluçaj, kohda S / L ymeet koneçn¥j 0-
ranh. PoloΩym P ( G / L ) = P / L. Tohda P / L koneçna (sm., naprymer, [23],
hl.H9, § 3), a ( / ) / ( / / )S L S L P L∩ ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh [24]. Yz
koneçnosty P / L poluçaem, çto S / L qvlqetsq razreßymoj A4-hruppoj. Pred-
poloΩym, çto faktor-hruppa G / S beskoneçna. Pust\ Z / L = C S LG L/ ( / ).
Oboznaçym çerez T / S maksymal\nug normal\nug lokal\no koneçnug pod-
hruppu G / S. Esly dopustyt\, çto T / S koneçna, to netrudno poluçyt\, çto lo-
kal\no nyl\potentn¥j radykal G / S needynyçen. No πto protyvoreçyt v¥boru
podhrupp¥ S. Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet beskoneçnost\ T / S.
PoloΩym U / L = T / L ∩ Z / L. Faktor-hruppa T / U koneçna (sm., naprymer,
[23], hl.H9, § 3). Yz lemm¥ 1.9 v¥tekaet suwestvovanye v U / L xarakterystyçe-
skoj lokal\no koneçnoj podhrupp¥ V / L takoj, çto U / V razreßyma. V çast-
nosty, V / L ≤ P / L, a poπtomu V / L koneçna. No tohda podhruppa W / L =
= C V LU L/ ( / ) ymeet koneçn¥j yndeks v U / L. Oçevydno, podhruppa W / L raz-
reßyma. Poskol\ku ona normal\na v G / L, to ( S / L ) ( W / L ) — razreßymaq
normal\naq podhruppa. Yz v¥bora S / L poluçaem ravenstvo S / L =
= ( S / L ) ( W / L ), yz kotoroho, v çastnosty, sleduet koneçnost\ T / S. Takym ob-
razom, snova poluçaem protyvoreçye, kotoroe pokaz¥vaet, çto S / L ymeet bes-
koneçn¥j 0-ranh. ∏tot sluçaj uΩe b¥l rassmotren.
PredloΩenyeH1.10 dokazano.
1.11. Teorema. Pust\ G — hruppa beskoneçnoho 0-ranha, v kotoroj vse
podhrupp¥ beskoneçnoho 0-ranha poçty normal\n¥. Esly G ymeet voz-
rastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp, proyzvol\n¥j faktor kotoroho lokal\no
nyl\potenten yly lokal\no koneçen, to G / P ( G ) — abeleva hruppa bez kru-
çenyq.
Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty moΩno dopustyt\, çto P ( G ) =
= 〈 〉1 . Yz predloΩenyqH1.10 poluçaem, çto hruppa G vklgçaet v sebq abelevu
podhruppu bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. Yz predloΩenyqH1.6 poluçaem,
çto hruppa G koneçna nad centrom. Poskol\ku P ( G ) = 〈 〉1 , G — abeleva
hruppa bez kruçenyq (sm., naprymer, [19], teoremaH4.12).
TeoremaH1.11 dokazana.
1.12. Teorema. Pust\ G — razreßymaq hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 521
beskoneçnoho 0 -ranha poçty normal\n¥. PredpoloΩym, çto G ymeet bes-
koneçn¥j 0-ranh y lgbaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa G mynymaksna. Toh-
da G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym P = P ( G ) . Yz teorem¥H1.11 poluçaem, çto
G / P — abeleva hruppa bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. Poπtomu πta
faktor-hruppa vklgçaet v sebq svobodnug abelevu podhruppu (beskoneçnoho)
sçetnoho ranha × ∈ 〈 〉n na PN . Rassmotrym podhruppu H a a= 〈 〉1 2, . Poskol\ku
ona razreßyma, to ymeet rqd normal\n¥x podhrupp
〈 1 〉 = H0 ≤ H1 ≤ … ≤ Hk = P ∩ H ≤ H,
faktor¥ kotoroho abelev¥. Tohda H Hk/ −1 udovletvorqet uslovyg maksy-
mal\nosty dlq normal\n¥x podhrupp (uslovyg Max-n ) po teoreme F.HXolla
(sm., naprymer, [19], teoremaH5.34). Otsgda sleduet, çto ee abeleva peryodyçes-
kaq podhruppa H Hk k/ −1 qvlqetsq ohranyçennoj. S druhoj storon¥, H myny-
maksna, a mynymaksnaq ohranyçennaq hruppa koneçna. Ytak, H Hk k/ −1 koneçna,
a znaçyt, H Hk/ −1 — polycyklyçeskaq. Povtorqq πty Ωe arhument¥ koneçnoe
çyslo raz, poluçaem koneçnost\ podhrupp¥ P ∩ H . ∏to oznaçaet, çto [ H, H ]
koneçna, a poskol\ku H koneçno poroΩdena, to H H/ ( )ζ koneçna. Tohda na-
jdetsq takoe natural\noe çyslo t, çto ( )a t
2 = b2 ∈ ζ( )H , v çastnosty,
〈 〉a b1 2, = 〈 〉 × 〈 〉a b1 2 . Yspol\zovav analohyçn¥e rassuΩdenyq, pokaΩem teper\,
çto y podhruppa L = 〈 〉a b a1 2 3, , koneçna nad centrom, tak çto najdetsq takoe
natural\noe çyslo m , çto ( )a m
3 = b2 ∈ ζ( )L , v çastnosty, 〈 〉a b b1 2 3, , =
= 〈 〉 × 〈 〉 × 〈 〉a b b1 2 3 . Prymenenye analohyçn¥x rassuΩdenyj pokaz¥vaet, çto
hruppa G vklgçaet v sebq svobodnug abelevu podhruppu bez kruçenyq besko-
neçnoho 0-ranha. Ostalos\ prymenyt\ predloΩenyeH1.6.
TeoremaH1.12 dokazana.
1.13. Teorema. Pust\ G — hruppa beskoneçnoho 0 -ranha, v kotoroj vse
podhrupp¥ beskoneçnoho 0-ranha poçty normal\n¥, y predpoloΩym, çto G
ymeet vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp, proyzvol\n¥j faktor
kotoroho lokal\no nyl\potenten yly lokal\no koneçen. Esly G lokal\no
neterova, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym P = P ( G ) . Yz teorem¥H1.11 poluçaem, çto
G / P — abeleva hruppa bez kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. Pust\ L — koneç-
noporoΩdennaq podhruppa G. Poskol\ku L udovletvorqet uslovyg maksy-
mal\nosty dlq vsex podhrupp, ona poçty polycyklyçeskaq. Poπtomu L ∩ P
koneçna. Tak kak L / ( L ∩ P ) abeleva, L koneçna nad centrom. Teper\, povto-
rqq rassuΩdenyq pred¥duwej teorem¥, poluçaem, çto G vklgçaet v sebq svo-
bodnug abelevu podhruppu beskoneçnoho 0-ranha, y prymenenye predloΩe-
nyqH1.6 zaverßaet dokazatel\stvoHteorem¥H1.13.
1.14. Sledstvye. Pust\ G — lokal\no nyl\potentnaq hruppa beskoneç-
noho 0-ranha, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho 0 -ranha poçty normal\-
n¥. Tohda G koneçna nad centrom.
Sledugwaq lemma ne qvlqetsq novoj. Odnako m¥ ne smohly ot¥skat\ soot-
vetstvugwug ss¥lku, poπtomu pryvodym ee s dokazatel\stvom.
1.15. Lemma. Pust\ G — FC-hypercentral\naq hruppa. Esly G koneçno
poroΩdena, to ona poçty nyl\potentna.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym snaçala, çto G — F C -nyl\potentnaq
hruppa. Pust\
〈 1 〉 = F0 ≤ F1 ≤ … ≤ Fn = G
— verxnyj FC-central\n¥j rqd G. Dostatoçno pokazat\, çto G C F FG i i/ /( )+1
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
522 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
koneçna dlq kaΩdoho i, 0 ≤ i ≤ n – 1. Vospol\zuemsq yndukcyej po çyslu n.
Esly n = 1, to G — FC-hruppa, t. e. G koneçna nad centrom. Pust\ teper\
n > 1, y predpoloΩym, çto uΩe dokazana koneçnost\ faktor-hrupp
G C F FG i i/ /( )+1 dlq n > i ≥ 1. PoloΩym H = C F F C F FG G n n( ) ( )/ /2 1 1∩ ∩… − .
Tohda G / H koneçna y H / F1 nyl\potentna (sm., naprymer, [25], teoremaH1.S.1).
V çastnosty, G / F1 koneçno opredelena (sm., naprymer, [19], sledstvyeH1.43).
Otsgda sleduet, çto F1 = 〈 〉 …〈 〉g gG
s
G
1 dlq nekotor¥x πlementov g1, … , gs ∈
∈ F C ( G ) [19] (sledstvyeH1.43). PoloΩym U = C g C gG
G
G s
G( ) ( )〈 〉 … 〈 〉1 ∩ ∩ .
Tohda G / U koneçna y U = C FG ( )1 . Polahaem teper\ C = H ∩ U, tohda G / C
koneçna y C nyl\potentna (sm., naprymer, [25], teoremaH1.S.1).
Rassmotrym teper\ obwyj sluçaj. Pust\
〈 1 〉 = C0 ≤ C1 ≤ … ≤ Cα ≤ Cα + 1 ≤ … ≤ Cγ = G
— verxnyj FC-central\n¥j rqd G. Rassmotrym mnoΩestvo
Σ =
{ / }α αG C − poçty nyl\potentnaq hruppa .
Poskol\ku G = Cαα γ≤∪ , to Σ ≠ ∅. Pust\ β — naymen\ßyj πlement Σ. Es-
ly β = 0, to G poçty nyl\potentna. PredpoloΩym, çto β > 0. Snaçala ras-
smotrym sluçaj, kohda β — nepredel\noe porqdkovoe çyslo. Poskol\ku
C Cβ β/ −1 — FC-centr G C/ β−1, to G C/ β−1 — FC-nyl\potentna. Hruppa G ko-
neçno poroΩdena. Yspol\zuq pryvodym¥e v¥ße rassuΩdenyq, netrudno poka-
zat\, çto G C/ β−1 poçty nyl\potentna. No πto protyvoreçyt v¥boru β. ∏to
protyvoreçye pokaz¥vaet, çto β — predel\n¥j ordynal. Poskol\ku G C/ β
poçty nyl\potentna, ona koneçno opredelena. Tohda Cβ = 〈 〉 …〈 〉g gG
s
G
1 dlq
nekotor¥x πlementov g1, … , gs ∈ Cβ (sm., naprymer, [19], sledstvyeH1.43). No
tohda suwestvuet takoe porqdkovoe çyslo δ < β, çto g1, … , gs ∈ Cδ, v çast-
nosty Cβ = Cδ. Poluçyly protyvoreçye. ∏to protyvoreçye pokaz¥vaet, çto G
poçty nyl\potentna.
LemmaH1.15 dokazana.
1.16. Sledstvye. Pust\ G — FC-hypercentral\naq hruppa beskoneçnoho
0-ranha, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho 0-ranha poçty normal\n¥. Toh-
da G koneçna nad centrom.
2. Hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥ beskoneçnoho sekcyonnoho p-ran-
ha poçty normal\n¥. Budem hovoryt\, çto hruppa G ymeet koneçn¥j sekcy-
onn¥j p-ranh rp ( G ) = r ( p — prostoe çyslo), esly porqdok lgboj πlemen-
tarnoj abelevoj p-sekcyy hrupp¥ G ne prev¥ßaet çysla pr
. Hruppa G
ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j ranh, esly r p ( G ) koneçno dlq lgboho prostoho
çysla p.
Budem hovoryt\, çto hruppa G ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh r ( G ) =
= r, esly lgbaq ee koneçnoporoΩdennaq podhruppa moΩet b¥t\ poroΩdena ne
bolee çem r πlementamy. Specyal\n¥j ranh hrupp¥ naz¥vagt ewe ranhom
Mal\ceva – Prgfera.
M¥ ne budem zdes\ detal\no obsuΩdat\ svqzy meΩdu ponqtyqmy 0-ranha,
sekcyonnoho p-ranha y specyal\noho ranha. Otmetym, naprymer, çto dlq abele-
v¥x hrupp bez kruçenyq 0-ranh sovpadaet so specyal\n¥m ranhom, a dlq abele-
v¥x p-hrupp ( p — prostoe çyslo) sekcyonn¥j p-ranh sovpadaet so specyal\-
n¥m ranhom.
2.1. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 523
1. Esly H — podhruppa beskoneçnoho sekcyonnoho p -ranha, to y lgbaq ee
podhruppa beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\na.
2. Esly H — normal\naq podhruppa G, to lgbaq podhruppa beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha faktor-hrupp¥ G / H poçty normal\na.
UtverΩdenye lemm¥ poçty oçevydno.
2.2. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥, g ∈ G, H = × ∈λ λΛ H , hde H λ —
needynyçnaq 〈 〉g -ynvaryantnaq podhruppa dlq lgboho λ ∈ Λ . PredpoloΩym,
çto podmnoΩestvo
Σ ( p ) = { λ ∈ Λ | Hλ ymeet needynyçnug πlementarnug abelevu p-sekcyg }
beskoneçno. Tohda 〈 〉g poçty normal\na v G.
Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ praktyçesky doslovno povtorqet dokazatel\st-
vo lemm¥H1.2, poπtomu m¥ eho opuskaem.
2.3. Sledstvye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneç-
noho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥, H = × ∈λ λΛ H , hde H λ — needy-
nyçnaq podhruppa dlq lgboho λ ∈ Λ . PredpoloΩym, çto podmnoΩestvo
Σ ( P ) = { λ ∈ Λ | Hλ ymeet needynyçnug πlementarnug abelevu p-sekcyg }
beskoneçno. Tohda H ≤ F C ( G ) .
2.4. Sledstvye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneç-
noho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥. Esly G vklgçaet v sebq abele-
vu podhruppu A beskoneçnoho sekcyonnoho p -ranha, to A ≤ F C ( G ) , v çast-
nosty, F C ( G ) ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh.
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, pust\ A — abeleva podhruppa, ymegwaq
beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. Pust\ T — peryodyçeskaq çast\ podhrupp¥
A; oboznaçym çerez P ee sylovskug p- podhruppu. Esly P ymeet beskoneçn¥j
sekcyonn¥j p-ranh, to P vklgçaet v sebq podhruppu E = × ∈λ λΛ E , hde Eλ —
cyklyçeskaq podhruppa prostoho porqdka p dlq kaΩdoho λ ∈ Λ y mnoΩestvo
yndeksov Λ beskoneçno. Oçevydno, podhruppa Eλ — 〈 〉a -ynvaryantna dlq kaΩ-
doho πlementa a ∈ A . Prymenqq lemmuH2.2, poluçaem vklgçenye A ≤ F C ( G ) .
Dopustym teper\, çto P (a znaçyt, y T ) ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh.
Tohda rp ( G / T ) beskoneçen. V πtom sluçae, oçevydno, G / T ymeet beskoneçn¥j
0-ranh. Kak y v sledstvyyH1.4, poluçaem, çto A vklgçaet v sebq podhruppu
× ∈λ λΛ C , hde Cλ — beskoneçnaq cyklyçeskaq podhruppa dlq kaΩdoho λ ∈ Λ y
mnoΩestvo yndeksov Λ beskoneçno. Oçevydno, podhruppa C λ — 〈 〉a -ynvary-
antna dlq kaΩdoho πlementa a ∈ A . Prymenqq lemmuH2.2, snova poluçaem
vklgçenye A ≤ F C ( G ) .
SledstvyeH2.4 dokazano.
2.5. Lemma. Pust\ G — lokal\no koneçnaq hruppa, L / K — ee beskoneç-
naq πlementarnaq p-sekcyq. Tohda G vklgçaet v sebq beskoneçnug πlemen-
tarnug abelevu p-podhruppu.
Dokazatel\stvo. V¥berem v sekcyy L / K (beskoneçnug) sçetnug πlemen-
tarnug abelevu p-podhruppu B . Pust\ B / K = × ∈ 〈 〉n nb KN y B n / K =
= × ≤ 〈 〉m n mb K , n ∈ N. Poskol\ku B K1 / = p , najdetsq takaq cyklyçeskaq p-
podhruppa P1, çto B1 = P1 K . Pust\ v B uΩe v¥bran¥ koneçn¥e p-podhrupp¥
P1, … , Pn , udovletvorqgwye sledugwym uslovyqm:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
524 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
P1 ≤ … ≤ Pn y Bj = K Pj dlq lgboho j ≤ n .
V¥berem v B koneçnug podhruppu F, dlq kotoroj Bn+1 = KF, a v podhruppe
F sylovskug p-podhruppu Pn+1, vklgçagwug v sebq P n . Poskol\ku
B Kn+1 / = FK K/ ≅ F F K/( )∩ — p-hruppa, yz svojstv sylovskyx podhrupp ko-
neçn¥x hrupp poluçaem ravenstvo F = P F Kn+1 /( )∩ , kotoroe, v svog oçered\,
vleçet ravenstvo Bn+1 = FK = P F K Kn+1 /( )∩ = P Kn+1 . Ynduktyvn¥e ras-
suΩdenyq pokaz¥vagt teper\, çto moΩno postroyt\ beskoneçnug vozrastag-
wug posledovatel\nost\ koneçn¥x p-podhrupp, udovletvorqgwyx uslovyqm
P1 ≤ … ≤ Pn ≤ … y Bj = K Pj dlq lgboho n ∈ N .
PoloΩym P =
Pnn∈N
∪ , tohda P — takaq p -podhruppa, çto B = PK . Yz
sootnoßenyj B / K = PK K/ ≅ P P K/( )∩ poluçaem, çto P ymeet beskoneçn¥j
sekcyonn¥j p-ranh. Esly dopustyt\ teper\, çto P udovletvorqet uslovyg my-
nymal\nosty dlq abelev¥x podhrupp, to sohlasno teoreme S. N. Çernykova
podhruppa P — çernykovskaq (sm., naprymer, [19], teoremaH3.32). No çernykov-
skaq p-podhruppa ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. ∏to oznaçaet, çto P ne
moΩet udovletvorqt\ uslovyg mynymal\nosty dlq abelev¥x podhrupp, poπtomu
ona vklgçaet v sebq beskoneçnug πlementarnug abelevu p-podhruppu.
LemmaH2.5 dokazana.
2.6. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥. Esly G — FC-hruppa beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda G — peryodyçeskaq
hruppa. Yz lemm¥H2.5 poluçaem, çto G vklgçaet v sebq beskoneçnug
πlementarnug abelevu p-podhruppu B. Pust\ H — proyzvol\naq podhruppa G.
Esly pereseçenye H ∩ B beskoneçno, to H ∩ B — podhruppa beskoneçnoho sek-
cyonnoho p-ranha, a potomu ona poçty normal\na. Dopustym teper\, çto H ∩ B
koneçna. V¥berem v B podhruppu U so svojstvom B = U × ( H ∩ B ) . Tohda U
beskoneçna y U ∩ H = 〈 〉1 . V U v¥byraem dve takye beskoneçn¥e podhrupp¥
V y W, çto U = V × W. KaΩdaq yz sledugwyx podhrupp N VG( ) , N WG( )
ymeet koneçn¥j yndeks v G, a potomu koneçn¥j yndeks v G ymeet y podhruppa
Y = N VG( ) ∩ N WG( ). PoloΩym D = H ∩ Y , tohda yndeks H D: koneçen.
Poπtomu moΩno v¥brat\ takug koneçnug podhruppu F, normal\nug v H, çto
H = FD. Obe podhrupp¥ DV y D W ymegt beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh,
poπtomu poçty normal\n¥ v G. Yz ravenstva D = DV ∩ DW poluçaem, çto D
poçty normal\na. Poskol\ku v FC-hruppe lgbaq koneçnaq podhruppa poçty
normal\na, to y H = FD poçty normal\na. Ytak, lgbaq podhruppa G poçty
normal\na. No v πtom sluçae G koneçna nad centrom po teoreme B.HNejma-
naH[4].
Pust\ teper\ G — neperyodyçeskaq hruppa. V¥berem v centre hrupp¥ G
maksymal\nug podhruppu bez kruçenyq Z. Poskol\ku faktor-hruppa G / ζ ( G )
peryodyçeskaq (sm., naprymer, [19], teoremaH4.32), to y G / Z peryodyçeskaq.
Dopustym snaçala, çto podhruppa Z ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh.
Pust\ L — proyzvol\naq podhruppa, vklgçagwaq v sebq Z , tohda y ona ymeet
beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. Druhymy slovamy, L poçty normal\na v G.
Otsgda sleduet, çto lgbaq podhruppa G / Z poçty normal\na. No v πtom slu-
çae G / Z koneçna nad centrom po teoreme B. Nejmana [4]. Esly Ωe podhruppa
Z ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, to peryodyçeskaq faktor-hruppa G / Z
ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. Yz dokazannoho v¥ße snova poluçaem,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 525
çto G / Z koneçna nad centrom. Kak y v sledstvyyH1.5, moΩno pokazat\, çto v
πtom sluçae y vsq hruppa G ymeet centr koneçnoho yndeksa.
LemmaH2.6 dokazana.
2.7. PredloΩenye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ besko-
neçnoho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥. Esly G vklgçaet v sebq abe-
levu podhruppu beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. Pust\ A — abeleva podhruppa sekcyonnoho p-ranha
hrupp¥ G. Yz lemm¥H2.4 poluçaem vklgçenye A ≤ F C ( G ) . V çastnosty, FC-
centr ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. PoloΩym C = ζ ( F C ( G )) . Tohda
yz lemm¥H2.6 poluçaem, çto faktor-hruppa F C ( G ) / C koneçna, a znaçyt, C
ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. Pust\ 1 1≠ ∈c C , C c G
1 1= 〈 〉 .
Poskol\ku c1 ∈ F C ( G ) , podhruppa C1 koneçno poroΩdena. V¥berem v C
podhruppu B1
, maksymal\nug otnosytel\no C B1 1 1∩ = 〈 〉. Oçevydno, C B/ 1 —
hruppa koneçnoho specyal\noho ranha, v çastnosty, ona ymeet koneçn¥j sekcy-
onn¥j p-ranh. V svog oçered\, πto oznaçaet, çto podhruppa B1 ymeet besko-
neçn¥j sekcyonn¥j p-ranh. Teper\ ostalos\ poçty doslovno povtoryt\ vse os-
tal\n¥e arhument¥ yz dokazatel\stva predloΩenyqH1.6.
PredloΩenyeH2.7 dokazano.
2.8. Teorema. Pust\ G — lokal\no poçty razreßymaq hruppa, v kotoroj
vse podhrupp¥ beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥. Esly G
vklgçaet v sebq peryodyçeskug podhruppu beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha,
to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. Pust\ S — peryodyçeskaq podhruppa, ymegwaq
beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, T — maksymal\naq peryodyçeskaq podhruppa,
vklgçagwaq v sebq S. Tohda T takΩe ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh,
a potomu ona poçty normal\na v G. No tohda T normal\na v G (sm., naprymer,
[26], § 54), t. e. T soderΩyt vse πlement¥ koneçnoho porqdka. Poskol\ku G
lokal\no poçty razreßyma, to T lokal\no koneçna. Tohda yz lemm¥ 2.5
poluçaem, çto T vklgçaet v sebq beskoneçnug πlementarnug abelevu p-pod-
hruppu A, a yz predloΩenyqH2.7 — çto G ymeet centr koneçnoho yndeksa.
TeoremaH2.8 dokazana.
2.9. Teorema. Pust\ G — radykal\naq hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥
beskoneçnoho sekcyonnoho p -ranha poçty normal\n¥. Esly G ymeet besko-
neçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, no vse peryodyçeskye podhrupp¥ ymegt koneçn¥e
sekcyonn¥e p-ranhy, to G / Op′ ( G ) koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym R = O p′ ( G ) , P = P ( G ) . Ne ohranyçyvaq
obwnosty moΩno dopustyt\, çto R = 〈 〉1 . Poskol\ku kaΩdaq sylovskaq p-
podhruppa P ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, to kaΩdaq sylovskaq p-pod-
hruppa P qvlqetsq çernykovskoj, a tak kak G razreßyma, to P — çernykov-
skaq podhruppa po teoreme M. Y. Karhapolova (sm., naprymer, [27], teore-
maH3.17). Esly dopustyt\ teper\ koneçnost\ r0 ( G ) , to G / P ymeet koneçn¥j
specyal\n¥j ranh [12] (teoremaH3), a potomu G / P ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j
p-ranh. ∏to protyvoreçye dokaz¥vaet beskoneçnost\ 0 -ranha hrupp¥ G. No
tohda y G / P ymeet beskoneçn¥j 0-ranh. Yz predloΩenyqH1.10 poluçaem, çto
G / P vklgçaet v sebq abelevu podhruppu A / P bez kruçenyq, ymegwug
beskoneçn¥j 0-ranh. V çastnosty, A / P ymeet beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-
ranh. Teper\ yz predloΩenyqH2.7 poluçaem, çto G ymeet centr koneçnoho yn-
deksa.
TeoremaH2.9 dokazana.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
526 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
2.10. Teorema. Pust\ G — razreßymaq hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥
beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha poçty normal\n¥, y predpoloΩym, çto lg-
baq koneçnoporoΩdennaq podhruppa G mynymaksna. Esly G ymeet beskoneç-
n¥j sekcyonn¥j p-ranh, to G koneçna nad centrom.
V samom dele, esly G vklgçaet v sebq peryodyçeskug podhruppu beskoneç-
noho sekcyonnoho p-ranha, to yspol\zuetsq teoremaH2.8. Esly Ωe vse peryody-
çeskye podhrupp¥ ymegt koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, to yz teorem¥H2.9 polu-
çaem, çto G / P ( G ) — abeleva hruppa bez kruçenyq, a zatem yspol\zuem rassuΩ-
denyq, analohyçn¥e takov¥m pry dokazatel\stve teorem¥H1.12.
Analohyçnaq sytuacyq y s posledugwymy utverΩdenyqmy.
2.11. Teorema. Pust\ G — lokal\no neterova radykal\naq hruppa bes-
koneçnoho sekcyonnoho p-ranha. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye beskoneçn¥j
sekcyonn¥j p-ranh, poçty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
2.12. Sledstvye. Pust\ G — lokal\no nyl\potentnaq hruppa beskoneç-
noho sekcyonnoho p-ranha. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye beskoneçn¥j sekcy-
onn¥j p-ranh, poçty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
2.13. Sledstvye. Pust\ G — FC-hypercentral\naq hruppa beskoneçnoho
sekcyonnoho p-ranha. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye beskoneçn¥j sekcyonn¥j
p-ranh, poçty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
2.14. Teorema. Pust\ G — radykal\naq hruppa beskoneçnoho sekcyonnoho
p-ranha. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye beskoneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, poç-
ty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym P = P ( G ) . Esly G vklgçaet v sebq
peryodyçeskug podhruppu beskoneçnoho sekcyonnoho p-ranha dlq nekotoroho
prostoho çysla p, to sohlasno teoremeH2.8 G koneçna nad centrom. Predpolo-
Ωym teper\, çto vse peryodyçeskye podhrupp¥ ymegt koneçn¥j sekcyonn¥j p-
ranh. Yz teorem¥H2.9 sleduet, çto G / P — abeleva hruppa bez kruçenyq. Po-
skol\ku kaΩdaq sylovskaq p-podhruppa P ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-
ranh, kaΩdaq sylovskaq p-podhruppa P qvlqetsq çernykovskoj dlq lgboho
prostoho çysla p. Sohlasno teoreme M. Y. Karhapolova (sm., naprymer, [27],
teoremaH2.5.14) G vklgçaet v sebq takug normal\nug abelevu delymug pod-
hruppu D, çto G / D — fynytno approksymyruemaq hruppa s koneçn¥my sy-
lovskymy p-podhruppamy dlq vsex prost¥x çysel p. Poskol\ku sylovskye
podhrupp¥ D qvlqgtsq çernykovskymy, to D ≤ F C ( G ) . Pust\ L / D — lo-
kal\no nyl\potentn¥j radykal P / D. Poskol\ku eho sylovskye podhrupp¥
koneçn¥, to L / D ≤ F C ( G / D ) . Teper\ netrudno poluçyt\, çto G — FC-hy-
percentral\naq hruppa, a zatem prymenyt\ sledstvyeH2.13.
TeoremaH2.14 dokazana.
Sledugwye dva utverΩdenyq dokaz¥vagtsq nebol\ßoj modyfykacyej tex
rassuΩdenyj, kotor¥e yspol\zovalys\ dlq dokazatel\stva lemm¥H2.6 y predlo-
ΩenyqH2.7.
2.15. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ beskoneçnoho
specyal\noho ranha poçty normal\n¥. Esly G — FC-hruppa beskoneçnoho spe-
cyal\noho ranha, to G koneçna nad centrom.
2.16. PredloΩenye. Pust\ G — hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥ besko-
neçnoho specyal\noho ranha poçty normal\n¥. Esly G vklgçaet v sebq abele-
vu podhruppu beskoneçnoho specyal\noho ranha, to G koneçna nad centrom.
2.17. Teorema. Pust\ G — hruppa beskoneçnoho specyal\noho ranha, yme-
gwaq vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp, proyzvol\n¥j faktor kotoroho
lokal\no nyl\potenten yly lokal\no koneçen. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 527
beskoneçn¥j sekcyonn¥j ranh, poçty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym P = P ( G ) . Esly G vklgçaet v sebq peryo-
dyçeskug podhruppu beskoneçnoho specyal\noho ranha, to G vklgçaet v sebq
peryodyçeskug abelevu podhruppu beskoneçnoho specyal\noho ranha [28]. Yz
predloΩenyqH2.16 poluçaem, çto G koneçna nad centrom. PredpoloΩym te-
per\, çto vse peryodyçeskye podhrupp¥ G ymegt koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Tohda faktor-hruppa G / P ymeet beskoneçn¥j specyal\n¥j ranh. Esly dopus-
tyt\ teper\, çto G / P ymeet koneçn¥j 0-ranh, to G / P ymeet koneçn¥j specy-
al\n¥j ranh [24]. Takym obrazom, r0 ( G / P ) beskoneçen. Yz predloΩenyqH1.10
poluçaem, çto G / P vklgçaet v sebq abelevu podhruppu A / P beskoneçnoho 0-
ranha. No tohda A / P ymeet beskoneçn¥j specyal\n¥j ranh. Yz predloΩe-
nyqH2.16 sleduet, çto G / P — abeleva hruppa bez kruçenyq. Poskol\ku P yme-
et koneçn¥j specyal\n¥j ranh, to P poçty lokal\no razreßyma. Oboznaçym
çerez L lokal\no razreßym¥j radykal P, tohda L / P koneçna. Otsgda sle-
duet koneçnost\ G / CG ( L / P ) . Podhruppa CG ( L / P ) uΩe lokal\no razreßyma.
Pust\ F — proyzvol\naq koneçnoporoΩdennaq podhruppa CG ( L / P ) . Poskol\-
ku F ∩ P ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh, a F / ( F ∩ P ) — abeleva y koneç-
no poroΩdena, to F — razreßymaq podhruppa koneçnoho specyal\noho ranha.
No koneçnoporoΩdennaq razreßymaq hruppa koneçnoho specyal\noho ranha my-
nymaksna sohlasno teoreme D. Robynsona (sm., naprymer, [21], teoremaH10.38).
Povtorqq poçty doslovno rassuΩdenyq, yspol\zovann¥e pry dokazatel\stve
teorem¥H1.12, poluçaem, çto [ F, F ] koneçna. Tak Ωe, kak y v πtoj teoreme,
moΩno poluçyt\, çto G vklgçaet v sebq svobodnug abelevu podhruppu bez
kruçenyq beskoneçnoho 0-ranha. Teper\ yz predloΩenyqH2.16 sleduet, çto G
koneçna nad centrom.
TeoremaH2.17 dokazana.
3. Hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥ beskoneçnoho total\noho ranha
poçty normal\n¥. Sleduq D. Robynsonu [13] (utverΩdenyeH6.2), opredelym
total\n¥j ranh hrupp¥ G po formule r Gtot ( ) = r G r Gpp G0( ) ( )
( )
+ ∈∑ Π .
Abeleva hruppa A ymeet koneçn¥j total\n¥j ranh, kohda ee peryodyçeskaq
çast\ T — çernykovskaq, a faktor-hruppa A / T ymeet koneçn¥j 0-ranh. Po-
πtomu klass razreßym¥x hrupp koneçnoho total\noho ranha — πto v toçnosty
klass razreßym¥x A3-hrupp v sm¥sle A. Y. Mal\ceva, yly klass S1 v obozna-
çenyqx D. Robynsona.
3.1. Teorema. Pust\ G — lokal\no poçty razreßymaq hruppa, v kotoroj
vse podhrupp¥ beskoneçnoho total\noho ranha poçty normal\n¥. Esly G vklg-
çaet v sebq peryodyçeskug podhruppu beskoneçnoho total\noho ranha, to G
koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. Pust\ S — peryodyçeskaq podhruppa, ymegwaq besko-
neçn¥j total\n¥j ranh, T — maksymal\naq peryodyçeskaq podhruppa,
vklgçagwaq v sebq S. Tohda T takΩe ymeet beskoneçn¥j total\n¥j ranh, a
potomu ona poçty normal\na v G. No tohda T normal\na v G (sm., naprymer,
[26], § 54), t. e. T soderΩyt vse πlement¥ koneçnoho porqdka. Poskol\ku G
lokal\no poçty razreßyma, to T — lokal\no koneçna. Poskol\ku T ne qvlq-
etsq çernykovskoj, to T vklgçaet v sebq abelevu podhruppu B, ne qvlqgwug-
sq çernykovskoj (sm., naprymer, [25], teoremaH5.8). Tohda B — poçty normal\-
na, t. e. N BG ( ) ymeet koneçn¥j yndeks v G. PoloΩym H = CoreG GN B( ( )),
tohda oba yndeksa G H: y B B H: ∩ koneçn¥. Yz koneçnosty posledneho
poluçaem, çto C = B ∩ H ne qvlqetsq çernykovskoj, a potomu C poçty nor-
mal\na, bolee toho, lgbaq podhruppa, vklgçagwaq C, takΩe poçty normal\na.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
528 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
Oçevydno, C normal\na v H, tak çto H / C koneçna nad centrom [4]. Pust\
C x Gx ∈{ } = x Cx x Cxm m1
1
1
1− −…{ }, , . Dlq lgboho x ∈ G H / C
x
≅ H
x
/ C
x
≅ H / C
koneçna nad centrom, a potomu yz vloΩenyq
H CG/ ( )Core ≤ H x Cx H x Cxm m/ /1
1
1
1− −× … × ,
v¥tekagweho yz teorem¥HRπmaka, poluçaem, çto H CG/ ( )Core koneçna nad
centrom. Yz koneçnosty yndeksa G H: y kommutatyvnosty podhrupp¥ C
sleduet teper\, çto hruppa G poçty razreßyma. Esly G ymeet beskoneçn¥j
specyal\n¥j ranh, to yz predloΩenyqH2.17 poluçaem, çto G ymeet centr ko-
neçnoho yndeksa.
PredpoloΩym teper\, çto G ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. ∏to ozna-
çaet, çto vse sylovskye podhrupp¥ T qvlqgtsq çernykovskymy. V svog oçe-
red\, πto vleçet beskoneçnost\ mnoΩestva Π ( C ) Podhruppa E = 〈 −x Cx1
1
1, …
… , x Cxm m
− 〉1
normal\na v G. S druhoj storon¥, ona peryodyçeskaq nyl\potent-
naq podhruppa po teoreme Fyttynha (sm., naprymer, [19], teoremaH2.18). Ytak,
E = × ∈p E pBΠ( ) , hde Bp — sylovskaq p-podhruppa E y mnoΩestvo Π ( E ) bes-
koneçno. Pust\ x ∈ G, tohda moΩno v¥brat\ takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo
π ⊆ Π ( E ) , çto 〈 〉 × ∈x Ep p∩ π = 〈 1 〉 . Najdutsq dva beskoneçn¥x podmnoΩest-
va ρ, σ so sledugwymy svojstvamy: ρ ∪ σ = π, ρ ∩ σ = ∅ . Tohda obe pod-
hrupp¥ 〈 〉 × ∈x Ep p( )ρ y 〈 〉 × ∈x Ep p( )σ ymegt beskoneçn¥j total\n¥j ranh, a
potomu poçty normal\n¥. Sledovatel\no, y yx pereseçenye 〈 〉 × ∈x Bp p( )ρ ∩
∩ 〈 〉 × ∈x Bp p( )σ = 〈 〉x poçty normal\no. V çastnosty, x ∈ F C ( G ) , t. e. G =
= F C ( G ) .
Pust\ R — proyzvol\naq podhruppa G. Esly pereseçenye R ∪ E beskoneç-
no, to R ∩ E — podhruppa beskoneçnoho total\noho ranha, a potomu ona poçty
normal\na. Dopustym teper\, çto R ∩ E koneçna. V¥berem takoe beskoneçnoe
podmnoΩestvo Ξ ⊆ Π ( E ) , çto R Ep p∩ × ∈Ξ = 〈 1 〉 . Najdutsq dva beskoneçn¥x
podmnoΩestva ∆, ζ so sledugwymy svojstvamy: ∆ ∪ ζ = Ξ, ∆ ∩ ζ = ∅ . Toh-
da obe podhrupp¥ R Ep p( )× ∈∆ y R Ep p( )× ∈ζ ymegt beskoneçn¥j total\n¥j
ranh, a potomu poçty normal\n¥. Sledovatel\no, y yx pereseçenye
R Bp p( )× ∈∆ ∩ R Bp p( )× ∈ζ = R — poçty normal\naq podhruppa. Ytak, lgbaq
podhruppa G poçty normal\na. No v πtom sluçae G koneçna nad centrom so-
hlasno teoreme B. Nejmana [4].
TeoremaH3.1 dokazana.
3.2. Teorema. Pust\ G — hruppa beskoneçnoho total\noho ranha, ymeg-
waq vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp, proyzvol\n¥j faktor kotoroho
lokal\no nyl\potenten yly lokal\no koneçen. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye
beskoneçn¥j total\n¥j ranh, poçty normal\n¥, to G koneçna nad centrom.
Dokazatel\stvo. PoloΩym P = P ( G ) . Esly G vklgçaet v sebq
peryodyçeskug podhruppu beskoneçnoho total\noho ranha, to sohlasno
teoremeH3.1 G koneçna nad centrom. Poπtomu nado rassmotret\ sluçaj, kohda
P ymeet koneçn¥j total\n¥j ranh. V πtom sluçae P — çernykovskaq podhrup-
pa. V svog oçered\, otsgda v¥tekaet, çto r G P0( / ) beskoneçen. Lgbaq pod-
hruppa G / P, ymegwaq beskoneçn¥j 0-ranh, ymeet y beskoneçn¥j total\n¥j
ranh, a potomu poçty normal\na. Yz teorem¥H1.11 poluçaem, çto G / P — abele-
va hruppa bez kruçenyq. Takym obrazom, G — FC-hypercentral\naq hruppa, y
ostalos\ vospol\zovat\sq sledstvyemH1.16.
Teorema 3.2 dokazana.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 529
4. Hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥ beskoneçnoho mynymaksnoho ranha
poçty normal\n¥. Sleduq D. Y. Zajcevu [15], budem hovoryt\, çto hruppa G
ymeet koneçn¥j mynymaksn¥j ranh r G mmmx( ) = , esly dlq kaΩdoj koneçnoj
cepoçky podhrupp 〈 1 〉 = G 0 ≤ G 1 ≤ … ≤ G n = G takoj, çto vse yndeks¥
G Gj j+1 : beskoneçn¥, ymeet mesto sootnoßenye n ≤ m y suwestvuet ce-
poçka podhrupp so svojstvom n = m . Esly takoj nomer ne suwestvuet, to
mynymaksn¥j ranh hrupp¥ sçytaem beskoneçn¥m, a esly G koneçna, to polaha-
em r Gmmx( ) = 0 .
Otmetym, çto v stat\e [15] D. Y. Zajcev yspol\zoval druhoj termyn — poka-
zatel\ mynymal\nosty, kotor¥j okazalsq ne oçen\ udaçn¥m. Poπtomu pozdnee
D. Y. Zajcev otkazalsq ot neho y predloΩyl bolee toçn¥j termyn — mynymaks-
n¥j ranh [29] (razdel 4b, § 3). D. Robynson yspol\zuet druhoj termyn — myny-
maksnaq dlyna hrupp¥ [21] (predloΩenyeH10.3). Lokal\no poçty razreßymaq
hruppa G tohda y tol\ko tohda ymeet koneçn¥j mynymaksn¥j ranh, kohda ona
mynymaksna (t. e. G ymeet koneçn¥j subnormal\n¥j rqd, kaΩd¥j faktor ko-
toroho udovletvorqet uslovyg Max yly Min) (D. Y. Zajcev [30]; otmetym, çto
dlq lokal\no razreßym¥x hrupp πta teorema b¥la dokazana v [31]). Krome to-
ho, esly vse abelev¥ podhrupp¥ radykal\noj hrupp¥ G ymegt koneçn¥e myny-
maksn¥e ranhy, to sama G mynymaksna (R. Bπr [32], D. Y. Zajcev [33]). Otmetym
takΩe, çto esly H — normal\naq podhruppa hrupp¥ G, to r Gmmx( ) =
= r Hmmx( ) + r G Hmmx( )/ .
Pust\ G — abeleva mynymaksnaq hruppa. V¥berem v nej takug koneçnopo-
roΩdennug podhruppu bez kruçenyq H, çto G / H — peryodyçeskaq (a znaçyt,
çernykovskaq). Oboznaçym çerez D / H delymug çast\ G / H y poloΩym
Sp ( G ) = Π ( D / H ) . Esly K — druhaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa bez kru-
çenyq, opredelqgwaq peryodyçeskug faktor-hruppu G / K, to oba faktora
H H K/( )∩ y K H K/( )∩ koneçn¥. ∏to oznaçaet, çto delym¥e çasty G / H y
G / K yzomorfn¥, tak çto mnoΩestvo Sp ( G ) qvlqetsq ynvaryantom hrupp¥ G .
Pust\ p ∉ Π ( G / H ) , tohda H / H
p
— koneçnaq sylovskaq p-podhruppa G / H
p
y
G / H
p = H / H
p × R / L
p
(sm., naprymer, [18], teoremaH27.5). ∏to pokaz¥vaet, çto
G ≠ Gp.
4.1. PredloΩenye. Pust\ G ymeet vozrastagwyj rqd normal\n¥x pod-
hrupp, proyzvol\n¥j faktor kotoroho lokal\no nyl\potenten yly lokal\no ko-
neçen. Esly vse ee podhrupp¥, ymegwye beskoneçn¥j mynymaksn¥j ranh, poçty
normal\n¥, to lybo G koneçna nad centrom, lybo G — poçty razreßymaq
A3-hruppa.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym snaçala, çto G ymeet beskoneçn¥j to-
tal\n¥j ranh. Poskol\ku lgbaq mynymaksnaq podhruppa ymeet koneçn¥j to-
tal\n¥j ranh, yz teorem¥ 3.2 poluçaem, çto G koneçna nad centrom. Pust\ te-
per\ G ymeet koneçn¥j total\n¥j ranh. Lehko vydet\, çto v πtom sluçae G
ymeet koneçn¥j rqd normal\n¥x podhrupp
〈 1 〉 = H0 ≤ H1 ≤ … ≤ Hn = G,
faktor¥ kotoroho — lokal\no koneçn¥e hrupp¥ yly lokal\no nyl\potentn¥e
hrupp¥ bez kruçenyq. Esly H Hj j+1 / — lokal\no nyl\potentnaq hruppa bez
kruçenyq, to ona qvlqetsq nyl\potentnoj hruppoj koneçnoho 0-ranha (sm.,
naprymer, [21], teorema 6.36). Esly Ωe H Hj j+1 / — lokal\no koneçnaq hruppa,
to ee abelev¥ podhrupp¥ qvlqgtsq çernykovskymy, a potomu H Hj j+1 / — çer-
nykovskaq hruppa (sm., naprymer, [25], teorema 5.8). Takym obrazom, G — poçty
razreßymaq A3-hruppa.
PredloΩenye 4.1 dokazano.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
530 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
V rabote D. Kutolo y L. A. Kurdaçenko [9] rassmotren¥ hrupp¥ so slab¥my
uslovyqmy mynymal\nosty y maksymal\nosty dlq podhrupp, ne qvlqgwyxsq
poçty normal\n¥my. V πtoj Ωe rabote dokazano, çto klass¥ πtyx hrupp pry ne-
kotor¥x dopolnytel\n¥x ohranyçenyqx sovpadagt s klassom hrupp, v kotor¥x
vse podhrupp¥, ne qvlqgwyesq mynymaksn¥my, poçty normal\n¥. Takym obra-
zom, opysanye poçty razreßym¥x A3-hrupp, vse podhrupp¥ kotor¥x, ymegwye
beskoneçn¥j mynymaksn¥j ranh, poçty normal\n¥, moΩno najty v rabote [9].
Mynymaksn¥e poçty razreßym¥e hrupp¥, kak πto vydno yz yx opredelenyq,
voznykagt yz dvux vaΩn¥x klassov hrupp: çernykovskyx y poçty polycykly-
çeskyx. Poπtomu estestvenno voznykaet vopros o stroenyy hrupp, v kotor¥x vse
podhrupp¥, ne qvlqgwyesq çernykovskymy, poçty normal\n¥, y hrupp, v koto-
r¥x vse podhrupp¥, ne qvlqgwyesq poçty polycyklyçeskymy, poçty nor-
mal\n¥. V rabote L. A. Kurdaçenko y V. V. P¥laeva [8] rassmotren¥ hrupp¥ s
uslovyem mynymal\nosty dlq podhrupp, ne qvlqgwyxsq poçty normal\n¥my.
Oçevydno, çto poçty razreßym¥e hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥, ne qvlqg-
wyesq çernykovskymy, poçty normal\n¥, udovletvorqgt uslovyg mynymal\-
nosty dlq podhrupp, ne qvlqgwyxsq poçty normal\n¥my. Prymenqq osnovnoj
rezul\tat rabot¥ [8], poluçaem sledugwyj rezul\tat.
4.2. Teorema. Pust\ G — ( neçernykovskaq) lokal\no poçty razreßymaq
hruppa, v kotoroj vse podhrupp¥, ne qvlqgwyesq çernykovskymy, poçty
normal\n¥. Tohda G — hruppa odnoho yz sledugwyx typov:
1) G koneçna nad centrom;
2) G = A gl 〈 〉 , hde g = p — prostoe çyslo, A = C AG ( ) — svobodnaq
abeleva hruppa, r A0( ) = p – 1, g ynducyruet na A racyonal\no nepryvody-
m¥j avtomorfyzm;
3) G = D A g× 〈 〉( )l , hde D — delymaq çernykovskaq podhruppa, A gl 〈 〉 —
hruppa typa (2);
4) G vklgçaet v sebq takug koneçnug normal\nug podhruppu F, çto G / F
— hruppa typa (2);
5) G vklgçaet v sebq takug koneçnug normal\nug podhruppu F, çto G / F
— hruppa typa (3).
Hrupp¥, vse podhrupp¥ kotor¥x, ne qvlqgwyesq poçty polycyklyçeskymy,
poçty normal\n¥, ewe ne rassmatryvalys\. Poπtomu yx rassmotrenye stanovyt-
sq naßej sledugwej cel\g.
4.3. Lemma. Pust\ hruppa G ymeet vozrastagwyj rqd normal\n¥x pod-
hrupp, proyzvol\n¥j faktor kotoroho lokal\no nyl\potenten yly lokal\no ko-
neçen. Esly vse ee podhrupp¥, ne qvlqgwyesq poçty polycyklyçeskymy, poçty
normal\n¥, to lybo G koneçna nad centrom, lybo G — poçty razreßymaq
A3-hruppa.
Dejstvytel\no, lgbaq podhruppa, ne qvlqgwaqsq mynymaksnoj, ne budet y
poçty polycyklyçeskoj, poπtomu dostatoçno yspol\zovat\ predloΩenyeH4.1.
4.4. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj poçty normal\n¥ vse pod-
hrupp¥, ne qvlqgwyesq poçty polycyklyçeskymy. Esly H — takaq ee normal\-
naq podhruppa, çto lgbaq podhruppa, vklgçagwaq H , ne qvlqetsq poçty po-
lycyklyçeskoj, to G / H koneçna nad centrom.
Dejstvytel\no, lgbaq podhruppa, vklgçagwaq v sebq H, poçty normal\na,
t. e. lgbaq podhruppa G / H poçty normal\na. No v πtom sluçae G / H koneçna
nad centrom po teoreme B. Nejmana [4].
4.5. Lemma. Pust\ G — hruppa, v kotoroj poçty normal\n¥ vse
podhrupp¥, ne qvlqgwyesq poçty polycyklyçeskymy. Tohda lgbaq podhruppa G,
ne ymegwaq koneçnoj system¥ poroΩdagwyx, poçty normal\na v G.
Hrupp¥, v kotor¥x lgbaq podhruppa, ne ymegwaq koneçnoj system¥ poroΩ-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
HRUPPÁ S POÇTY NORMAL|NÁMY PODHRUPPAMY … 531
dagwyx, poçty normal\na (anty-FC-hrupp¥), yzuçalys\ v rabote S. Francyozy,
F. de Ûyovanny y L. A. Kurdaçenko [10]. Sledugwye dve lemm¥ oçevydn¥.
4.6. Lemma. Pust\ G — lokal\no koneçnaq hruppa, v kotoroj poçty nor-
mal\n¥ vse podhrupp¥, ne ymegwye koneçnoj system¥ poroΩdagwyx. Tohda lg-
baq podhruppa G , ne qvlqgwaqsq poçty polycyklyçeskoj, poçty normal\na
vHHG.
4.7. Lemma. Pust\ G — lokal\no nyl\potentnaq hruppa, v kotoroj poç-
ty normal\n¥ vse podhrupp¥, ne ymegwye koneçnoj system¥ poroΩdagwyx.
Tohda lgbaq podhruppa G , ne qvlqgwaqsq polycyklyçeskoj, poçty normal\na
v G.
Takym obrazom, opysanye lokal\no koneçn¥x y lokal\no nyl\potentn¥x
hrupp, v kotor¥x poçty normal\n¥ vse podhrupp¥, ne qvlqgwyesq poçty poly-
cyklyçeskymy, moΩno najty v rabote [10].
4.8. Lemma. Pust\ G — poçty razreßymaq A3-hruppa, v kotoroj poçty
normal\n¥ vse podhrupp¥, ne ymegwye koneçnoj system¥ poroΩdagwyx. Esly
podhruppa P ( G ) beskoneçna, to lgbaq podhruppa G , ne qvlqgwaqsq poçty
polycyklyçeskoj, poçty normal\na v G.
Dejstvytel\no, podhruppa P ( G ) — beskoneçnaq çernykovskaq, tak çto ee
delymaq çast\ D needynyçna. Oçevydno, D ≤ F C ( G ) . Poskol\ku D ne ymeet
koneçnoj system¥ poroΩdagwyx, to G / D koneçna nad centrom. Druhymy slo-
vamy, G — FC-nyl\potentna. No tohda lgbaq ee koneçnoporoΩdennaq pod-
hruppa poçty nyl\potentna (sm. lemmu 1.15), v çastnosty, ona poçty polycyk-
lyçeskaq.
Takym obrazom, ostalos\ rassmotret\ sluçaj, kohda P ( G ) koneçna. Ys-
pol\zuq lemmuH4.4 y teoremuH3.17 rabot¥ [10], poluçaem sledugwee utverΩ-
denye.
4.9. Teorema. Pust\ G — poçty razreßymaq A3-hruppa s koneçnoj pod-
hruppoj P ( G ) . V hruppe G vse podhrupp¥, ne qvlqgwyesq polycyklyçeskymy,
tohda y tol\ko tohda poçty normal\n¥ v G , kohda G udovletvorqet sledu-
gwym uslovyqm:
1) G vklgçaet v sebq takug normal\nug abelevu podhruppu bez kruçenyq A
koneçnoho 0-ranha, çto G / A koneçna nad centrom y koneçno poroΩdena;
2) A vklgçaet v sebq takug koneçnoporoΩdennug podhruppu B , çto A / B
— kvazycyklyçeskaq p-hruppa dlq nekotoroho prostoho çysla p ;
3) esly L — podhruppa A, ne ymegwaq koneçnoj system¥ poroΩdagwyx
πlementov, to r L0( ) = r A0( ).
1. Dedekind R. Über Gruppen, deren sammtliche Teiler Normalteiler sind // Math. Ann. – 1897. – 48.
– S. 548 – 561.
2. Miller G. A., Moreno H. C. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1903. – 4. – P. 389 – 404.
3. Ímydt O. G. Hrupp¥, vse podhrupp¥ kotor¥x specyal\n¥e // Mat. sb. – 1924. – 31, #H3. –
S.H366 – 372.
4. Neumann B. H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955. – #H1. –
S. 76 – 96.
5. Eremyn Y. Y. Hrupp¥ s koneçn¥my klassamy soprqΩenn¥x abelev¥x podhrupp // Mat. sb. –
1959. – 47, #H1. – S.H45 – 54.
6. Eremyn Y. Y. Hrupp¥ s koneçn¥my klassamy soprqΩenn¥x beskoneçn¥x podhrupp // Uç.
zap. Perm. un-ta. – 1960. – 17, #H2. – S.H13 – 14.
7. Semko N. N., Levywenko S. S., Kurdaçenko L. A. O hruppax s beskoneçn¥my poçty
normal\n¥my podhruppamy // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1983. – #H10. – S.H57 – 63.
8. Kurdaçenko L. A., P¥laev V. V. Hrupp¥, bohat¥e poçty normal\n¥my podhruppamy // Ukr.
mat. Ωurn. – 1988. – 40, #H3. – S.H326 – 330.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
532 N. N. SEMKO, S. N. KUÇMENKO
9. Cutolo G., Kurdachenko L. A. Weak chain conditions for non-almost normal subgroups // Groups
93 (Galway/St. Andrews, Galway, 1993). – London Math. Soc., Lect. Notes Ser. – 1995. – 211. –
P. 120 – 130.
10. Franciosi S., de Giovanno F., Kurdachenko L. A. On groups with many almost normal subgroups
// Ann. Mat. Pura Appl. – 1995. – 169, # 4. – P. 35 – 65.
11. Mal\cev A. Y. O hruppax koneçnoho ranha // Mat. sb. – 1948. – 22, #H2. – S.H351 – 352.
12. Mal\cev A. Y. O nekotor¥x klassax beskoneçn¥x razreßym¥x hrupp // Tam Ωe. – 1951. – 28,
#H3. – S.H567 – 588.
13. Robinson D. J. S. Infinite soluble and nilpotent groups. – London: Queen Mary College Math.
Notes, 1968. – 210 p.
14. Baer R., Heineken H. Radical groups of finite abelian subgroup rank // Ill. J. Math. – 1972. – 16,
# 4. – P. 533 – 580.
15. Zajcev D. Y. Ob yndekse mynymal\nosty hrupp¥ // Yssledovanye hrupp s zadann¥my
svojstvamy podhrupp. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1974. – S.H72 – 130.
16. Zajcev D. Y. Proyzvedenye abelev¥x hrupp // Alhebra y lohyka. – 1980. – 19, #H2. –
S.H94 – 106.
17. Franciosi S., de Giovanno F., Newell M. L. Groups with polycyclic nonnormal subgroups //
Algebra Colloq. – 2000. – 7, # 1. – P. 33 – 42.
18. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥: V 2 t. – M.: Myr, 1974. – T.1. – 336 s.
19. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups, Pt.1. – Berlin: Springer,
1972. – 210 p.
20. Çaryn V. S. O hruppax avtomorfyzmov nyl\potentn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 1954. – 6,
#H3. – S.H295 – 304.
21. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups, Pt.2. – Berlin: Springer,
1972. – 254 p.
22. Robinson D. J. S. A new treatment of soluble groups with finiteness conditions on their abelian
subgroups // Bull. London Math. Soc. – 1976. – 8. – P. 113 – 129.
23. Plotkyn B. Y. Hrupp¥ avtomorfyzmov alhebrayçeskyx system. – M.: Nauka, 1966. – 604 s.
24. Franciosi S., de Giovanno F., Kurdachenko L. A. The Schur property and groups with uniform
conjugace classes // J. Algebra. – 1995. – 174. – P. 823 – 847.
25. Kegel O. H.,Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co.,
1973. – 210 p.
26. Kuroß A. H. Teoryq hrupp. – M.: Nauka, 1967. – 648 s.
27. Dixon M. R. Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups. – Singapore:
World Sci., 1994. – 253 p.
28. Íunkov V. P. O lokal\no koneçn¥x hruppax koneçnoho ranha // Alhebra y lohyka. – 1971. –
10, #H2. – S.H199 – 225.
29. Kazaryn L. S., Kurdaçenko L. A. Uslovyq koneçnosty y faktoryzacyy v beskoneçn¥x hrup-
pax // Uspexy mat. nauk. – 1992. – 47, #H3. – S.H81 – 126.
30. Zajcev D. Y. K teoryy mynymaksn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 1971. – 23 , #H5. –
S.H652 – 660.
31. Zajcev D. Y. Hrupp¥, udovletvorqgwye slabomu uslovyg mynymal\nosty // Tam Ωe. –
1968. – 20, #H4. – S.H472 – 482.
32. Baer R. Polyminimaxgruppen // Math. Ann. – 1968. – 175, # 1. – P. 1 – 43.
33. Zajcev D. Y. O hruppax, udovletvorqgwyx slabomu uslovyg mynymal\nosty // Mat. sb. –
1969. – 78, #H3. – S.H323 – 331.
Poluçeno 14.10.2003,
posle dorabotky — 06.05.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3618 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:53Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7b/5de7f8ca305eee65afd9848e42b54e7b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36182020-03-18T20:00:05Z Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank Группы с почти нормальными подгруппами бесконечного ранга Kuchmenko, S. N. Semko, N. N. Кучменко, С. Н. Семко, М. М. We study classes of groups whose subgroups of some infinite ranks are almost normal. Вивчаються класи груп, у яких підгрупи деяких нескінченних рангів майже нормальні. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3618 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 4 (2005); 514–532 Український математичний журнал; Том 57 № 4 (2005); 514–532 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3618/3967 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3618/3968 Copyright (c) 2005 Kuchmenko S. N.; Semko N. N. |
| spellingShingle | Kuchmenko, S. N. Semko, N. N. Кучменко, С. Н. Семко, М. М. Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title | Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title_alt | Группы с почти нормальными подгруппами бесконечного ранга |
| title_full | Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title_fullStr | Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title_full_unstemmed | Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title_short | Groups with Almost Normal Subgroups of Infinite Rank |
| title_sort | groups with almost normal subgroups of infinite rank |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3618 |
| work_keys_str_mv | AT kuchmenkosn groupswithalmostnormalsubgroupsofinfiniterank AT semkonn groupswithalmostnormalsubgroupsofinfiniterank AT kučmenkosn groupswithalmostnormalsubgroupsofinfiniterank AT semkomm groupswithalmostnormalsubgroupsofinfiniterank AT kuchmenkosn gruppyspočtinormalʹnymipodgruppamibeskonečnogoranga AT semkonn gruppyspočtinormalʹnymipodgruppamibeskonečnogoranga AT kučmenkosn gruppyspočtinormalʹnymipodgruppamibeskonečnogoranga AT semkomm gruppyspočtinormalʹnymipodgruppamibeskonečnogoranga |