Multiplicity of Continuous Mappings of Domains
We prove that either the proper mapping of a domain of an n-dimensional manifold onto a domain of another n-dimensional manifold of degree k is an interior mapping or there exists a point in the image that has at least |k|+2 preimages. If the restriction of f to the interior of the domain is a zero-...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3620 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509740361056256 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:05Z |
| description | We prove that either the proper mapping of a domain of an n-dimensional manifold onto a domain of another n-dimensional manifold of degree k is an interior mapping or there exists a point in the image that has at least |k|+2 preimages. If the restriction of f to the interior of the domain is a zero-dimensional mapping, then, in the second case, the set of points of the image that have at least |k|+2 preimages contains a subset of total dimension n. In addition, we construct an example of a mapping of a two-dimensional domain that is homeomorphic at the boundary and zero-dimensional, has infinite multiplicity, and is such that its restriction to a sufficiently large part of the branch set is a homeomorphism. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 513.835
G.�B.�Zelynskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
O KRATNOSTY
NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ
We prove that either the proper mapping of a domain of n-dimensional manifold onto a domain of
another n-dimensional manifold of degree k should be the interior mapping or a point in the image
exists that possesses not less than | k | + 2 original preimages. If the restrictions f on the interior of
domain is the zero-dimensional mapping, than in the second case mentioned above, a set of points of
image possessing not less than | k | + 2 original preimages contains a subset of complete
dimensionality n.
In addition, we construct an example of the mapping of two-dimensional domain such that this
mapping is gomeomoprphic on a boundary, zero-dimensional, of infinite multiplicity, and whose
restrictions on sufficiently large part of the branch set is a gomeomorphism.
Dovedeno, wo abo vlasne vidobraΩennq oblasti n -vymirnoho mnohovydu na oblast\ inßoho n -vy-
mirnoho mnohovydu stepenq k bude vnutrißnim vidobraΩennqm, abo isnu[ toçka v obrazi, qka ma[
ne,menße niΩ | k | + 2 proobrazy. Qkwo Ω obmeΩennq f na vnutrißnist\ oblasti [ nul\vy-
mirnym vidobraΩennqm, to u druhomu vypadku mnoΩyna toçok obrazu, wo magt\ ne,menße niΩ
| k | + 2 proobrazy, mistyt\ pidmnoΩynu povno] rozmirnosti n .
Krim c\oho, pobudovano pryklad vidobraΩennq dvovymirno] oblasti, homeomorfnoho na me-
Ωi, nul\vymirnoho, wo ma[ neskinçennu kratnist\ i obmeΩennq qkoho na dosyt\ velyku çastynu
mnoΩyny rozhaluΩennq [ homeomorfizmom.
V rabote [1] ustanovleno, çto yly neprer¥vnoe otobraΩenye zamknutoj oblasty
na n -mernom mnohoobrazyy, kotoroe na hranyce oblasty ymeet neçetnug ste-
pen\ otobraΩenyq, qvlqetsq homeomorfyzmom, yly suwestvuet toçka v obraze
oblasty, proobraz kotoroj soderΩyt ne,menee trex toçek. Esly ohranyçenye f
na vnutrennost\ oblasty — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mno-
Ωestvo toçek obraza, ymegwyx ne,menee trex proobrazov, soderΩyt podmno-
Ωestvo polnoj razmernosty n .
V nastoqwej rabote pokazano, çto yly sobstvennoe otobraΩenye oblasty n -
mernoho mnohoobrazyq na oblast\ druhoho n -mernoho mnohoobrazyq stepeny k
qvlqetsq vnutrennym otobraΩenyem, yly suwestvuet toçka v obraze, ymegwaq
ne,men\ße çem | k | + 2 proobraza. Esly Ωe ohranyçenye f na vnutrennost\ ob-
lasty — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mnoΩestvo toçek ob-
raza, ymegwyx ne,menee çem | k | + 2 proobraza, soderΩyt podmnoΩestvo polnoj
razmernosty n .
Krome toho, postroen prymer otobraΩenyq dvumernoj oblasty, homeomorf-
noho na hranyce, nul\mernoho, ymegweho beskoneçnug kratnost\ y ohranyçenye
kotoroho na dovol\no bol\ßug çast\ mnoΩestva vetvlenyq qvlqetsq homeo-
morfyzmom.
Opredelenye 1. Esly X y Y — lokal\no kompaktn¥e prostranstva, to
otobraΩenye f : X → Y naz¥vaetsq sobstvenn¥m, esly proobraz proyzvol\noho
kompakta, prynadleΩaweho Y, est\ kompakt v X .
© G.,B.,ZELYNSKYJ, 2005
554 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O KRATNOSTY NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ 555
Opredelenye 2. Toçka x naz¥vaetsq toçkoj vzaymnoj odnoznaçnosty, es-
ly x = f –1
( x ) .
Lemma 1. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye zamknut¥x ohra-
nyçenn¥x oblastej, takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda yly ohranyçenye
f | D — homeomorfyzm, yly suwestvuet toçka v obraze, ymegwaq ne+men\ße
dvux proobrazov; esly Ωe ohranyçenye f | D — nul\merno, to vo vtorom sluçae
mnoΩestvo toçek, ymegwyx ne+men\ße dvux proobrazov, ymeet polnug razmer-
nost\, t.+e. soderΩyt otkr¥toe v D1 podmnoΩestvo.
Dokazatel\stvo. Estestvenno predpoloΩyt\, çto ohranyçenye f | D —
nul\merno y ne,qvlqetsq homeomorfyzmom, ynaçe oçevydno v¥polneno odno yz
utverΩdenyj lemm¥. V,sylu toho, çto nul\mernoe otobraΩenye ne,ponyΩaet
razmernosty, suwestvuet toçka y ∈ int f ( D ) takaq, çto f –1
y soderΩyt ne,menee
dvux toçek. Pust\ toçky x1 y x2 prynadleΩat f –1
y .
Rassmotrym neperesekagwyesq okrestnosty πtyx toçek U ( x1 ) y U ( x2 ) ; qs-
no, çto obraz¥ f ( U ( x1 )) y f ( U ( x2 )) ymegt obwye toçky (po krajnej mere,
toçku y ) .
Esly mnoΩestvo f ( U ( x1 )) ∩ f ( U ( x2 )) soderΩyt otkr¥toe mnoΩestvo V ,
to ono y budet yskom¥m, poskol\ku kaΩdaq eho toçka ymeet kak mynymum dva
proobraza: odyn v U ( x1 ) , druhoj v U ( x2 ) . Esly Ωe vnutrennost\ pereseçenyq
f ( U ( x1 )) ∩ f ( U ( x2 )) pusta, to dlq proyzvol\noj okrestnosty V ( y ) toçky y
ohranyçenye f na mnoΩestvo W1 = f ( U ( x1 )) ∩ f –1
( V ( y )) ne,moΩet b¥t\ ot-
kr¥t¥m v toçke x1 otobraΩenyem y otobraΩat\sq na vsg okrestnost\ V ( y ) , od-
nako v sylu sobstvennosty f ohranyçenye eho na mnoΩestvo W1 zamknuto. Sle-
dovatel\no, obraz f ( W1 ) budet zamknut¥m podmnoΩestvom okrestnosty V ( y ) .
Otsgda sleduet, çto otobraΩenye f ynducyruet tryvyal\noe otobraΩenye
hrupp kohomolohyj
f H V y V H W Wn n
1 1 1
∗ ( ) → ( ): ( ), ,∂ ∂ .
Krome toho, obraz mnoΩestva W1 soderΩyt vnutrennye toçky. V¥berem
odnu yz takyx toçek y0 y nekotorug okrestnost\ G ( y0 ) πtoj toçky, leΩawug
vnutry V ( y ) . Vnutry πtoho mnoΩestva ne moΩet b¥t\ plotnoho mnoΩestva to-
çek, ymegwyx po odnomu proobrazu. Ynaçe sohlasno teoreme,2 [2] ohranyçenye
f na f
–1
( G ( y0 )) b¥lo b¥ homeomorfyzmom. No tohda ohranyçenye otobraΩe-
nyq f na mnoΩestvo f –1
( G ( y0 )) ynducyruet yzomorfyzm hrupp kohomolohyj
f H G y G y H f G y f G yn n
3 0 0
1
0
1
0
∗ − −( ) → ( ): ( ), ( ) ( ), ( )∂ ∂ ,
çto protyvoreçyt kommutatyvnoj dyahramme hrupp kohomolohyj
H G y G y H V V G H V V Z
H f G y f G y H W W f H W
n i n i n
f f f
n j n j nG
( ), ( ) , ,
( ), ( ) , ,
\
\ ( )
0 0
1
0
1
0
1
1
3 2 1
1
∂ ∂
∂ ∂
( ) ← ( ) → ( )≈
( ) ← ( ) →
≈ ≈
≈ ≈ ≈
− − ≈ − ≈
∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗
↓ ↓ ↓
WW( ),
v kotoroj yzomorfyzm¥ i∗, i1
∗, j∗, j1
∗ poluçagtsq kak homomorfyzm¥, soot-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
556 G.,B.,ZELYNSKYJ
vetstvugwye teoremam o v¥rezanyy [3]. S odnoj storon¥, f1
∗ — tryvyal\n¥j
homomorfyzm, a s druhoj — f1
∗ = j j f i i1
1
3 1
1∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ −( ) ( ) — yzomorfyzm nenulevoj
hrupp¥. Sledovatel\no, vnutry V ( y ) suwestvuet otkr¥toe vsgdu plotnoe
mnoΩestvo toçek, ymegwyx ne men\ße dvux proobrazov.
Lemma dokazana.
Sledstvye. Esly f : D → D1 — nul\mernoe otobraΩenye nulevoj stepe-
ny, to v obraze suwestvuet otkr¥toe mnoΩestvo, kaΩdaq toçka kotoroho
ymeet ne menee dvux proobrazov.
Lemma 2. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej stepe-
ny k , takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda mnoΩestvo toçek obraza, ymeg-
wyx ne menee | k | proobrazov, soderΩyt otkr¥toe vsgdu plotnoe v obraze
mnoΩestvo.
Dokazatel\stvo. Pust\ suwestvuet otkr¥toe v obraze podmnoΩestvo V
toçek, kaΩdaq yz kotor¥x ymeet menee | k | toçek v proobraze. Tohda f — ko-
neçnokratnoe otobraΩenye, v kaΩdoj toçke kotoroho suwestvuet lokal\naq
stepen\ otobraΩenyq, y poπtomu mnoΩestvo vetvlenyq Bf (mnoΩestvo toçek, v
kotor¥x f ne,budet lokal\n¥m homeomorfyzmom) ymeet razmernost\ ne,v¥ße
n – 1 [4] y obraz f ( Bf ) nyhde ne ploten v obraze. Sledovatel\no, suwestvuet
toçka y ∈ V \ f ( Bf ) takaq, çto v kaΩdoj toçke proobraza x ∈ f –1
y otobraΩenye
f qvlqetsq lokal\n¥m homeomorfyzmom y stepen\ otobraΩenyq ne,moΩet b¥t\
ravnoj k , tak kak proobrazov toçky y men\ße | k | , y v kaΩdoj toçke x ∈ f –1
y
lokal\naq stepen\ | γ ( x ) | = 1.
Lemma dokazana.
Teorema. Pust\ f : D → D1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej stepe-
ny k , takoe, çto f ( ∂D ) ∩ f ( D ) = ∅ . Tohda yly f — vnutrennee otobraΩe-
nye, yly suwestvuet toçka, ymegwaq ne+men\ße çem | k | + 2 proobraza. Esly
Ωe f — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom sluçae mnoΩestvo toçek, yme-
gwyx ne+menee çem | k | + 2 proobraza, ymeet polnug razmernost\.
Dokazatel\stvo. Kak y v lemme 1, ne narußaq obwnosty moΩno sçytat\,
çto f — nul\mernoe otobraΩenye. Dal\nejßee dokazatel\stvo provedem po yn-
dukcyy. Pry k = 0 teorema dokazana v lemme 1, pry | k | = 1 — v [1]. Predpolo-
Ωym, çto teorema dokazana dlq | k | = m , y dokaΩem ee dlq | k | = m + 1.
Pust\ kaΩdaq toçka nekotoroho otkr¥toho mnoΩestva v obraze ymeet rovno
| k | proobrazov. Tohda analohyçno lemme 2 v kaΩdoj toçke proobraza lokal\naq
stepen\ | γ ( x ) | = 1. Bolee toho, vo vsex toçkax ona dolΩna ymet\ odyn znak,
ynaçe sohlasno „pryncypu arhumenta” dlq lokal\noj stepeny poluçym protyvo-
reçye. No tohda f f V|−( )
1 — vnutrennee otobraΩenye. Esly f f V|−( )
1 ne,qvlqetsq
vnutrennym na vsex komponentax, to razob\em proobraz V na obæedynenye dvux
mnoΩestv. Pust\ W1 — obæedynenye komponent proobraza, hde ohranyçenye f
— vnutrennee otobraΩenye. Tohda f W| 1
: W1 → V — vnutrennee otobraΩenye
kratnosty | k1 | , hde | k1 | ≤ | k | . Ono ymeet v V plotnoe otkr¥toe mnoΩestvo
toçek, dlq kaΩdoj yz kotor¥x suwestvuet rovno | k1 | proobrazov. Ohranyçe-
nye f na mnoΩestvo W2 = f
–1
( V ) \ W1 ne,qvlqetsq vnutrennym y ymeet stepen\
k2 = k – k1. Tohda sohlasno predpoloΩenyg yndukcyy suwestvuet otkr¥toe
podmnoΩestvo U ⊂ V, ymegwee dlq kaΩdoj toçky y ∈ U ne,menee | k2 | + 2
proobraza. Sledovatel\no, dlq nekotoroho otkr¥toho podmnoΩestva U 0 ⊂ U
kaΩdaq toçka ymeet | k1 | proobraz v W1 y ne,menee çem | k2 | + 2 proobraza v
W2 y vseho ne,menee çem
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
O KRATNOSTY NEPRERÁVNÁX OTOBRAÛENYJ OBLASTEJ 557
| k1 | + | k2 | + 2 ≥ | k1 + k2 | + 2 ≥ | k | + 2
proobraza.
Teorema dokazana.
Zameçanye. Prymenenye mynymal\n¥x nosytelej kocykla [5] y yspol\zo-
vannaq pry πtom texnyka pozvolqgt analohyçno pokazat\, çto teorema ostaetsq
spravedlyvoj, esly otobraΩenye f budet mnohoznaçn¥m otobraΩenyem s acyk-
lyçeskymy obrazamy.
Dal\nejßaq naßa cel\ — postroenye beskoneçnokratnoho otobraΩenyq
kvadrata na kvadrat, toΩdestvennoho na çasty mnoΩestva vetvlenyq, kotoroe
vklgçaet v sebq dekartovo proyzvedenye otrezka na kantorovo mnoΩestvo.
Pust\ Θ( x ) — kantorova lestnyca [6], zadannaq na otrezke [0, 1]. Rassmot-
rym otobraΩenye otrezka
f ( x ) =
3 2 0 1 3
3 3 1 2 1 3 2 3
3 1 2 1 3 1
x x
x x x
x x
/ , / ;
( ) , / / ;
( ) , / .
( ) /
/
≤ ≤
− − ≤ ≤
− ≤ ≤
Θ
Lehko ubedyt\sq, çto funkcyq f vozrastaet na otkr¥tom vsgdu plotnom pod-
mnoΩestve otrezka [0, 1], a v toçkax x = 1/3 y x = 2/3 prynymaet odynakov¥e
znaçenyq. Tohda sohlasno [7] suwestvuet mnoΩestvo vtoroj katehoryy toçek v
obraze, ymegwyx beskoneçnoe çyslo proobrazov.
Perejdem k postroenyg otobraΩenyq kvadrata. Razdelym kvadrat [0, 1] ×
× [0, 1] po osy Ox na try ravn¥x prqmouhol\nyka. V srednem prqmouhol\nyke
v¥berem dva neperesekagwyxsq romba A1, A2 s dyahonalqmy, parallel\n¥my
osqm koordynat. Odna para dyahonalej soedynqet toçky (1/3, 1/4) y (2/3, 1/4),
(1/2, 1/8) y (1/2, 3/8) sootvetstvenno, a druhaq — (1/3, 3/4) y (2/3, 3/4), (1/2, 5/8)
y (1/2, 7/8) sootvetstvenno. Pust\ ϕ ( x ) — lynejn¥j homeomorfyzm otrezka na
vertykal\nug dyahonal\ romba. Tohda superpozycyq ψ1 = ϕ f ϕ–1 otobraΩaet
πtu dyahonal\ na sebq neprer¥vn¥m otobraΩenyem, ymegwym massyvnoe mno-
Ωestvo beskoneçnokratn¥x toçek. Rasprostranym otobraΩenye ψ1 na ves\
romb kak estestvennoe prodolΩenye na nadstrojku ( rassmatryvaem romb kak
nadstrojku vertykal\noj dyahonaly). Analohyçnoe otobraΩenye postroym y
dlq vtoroho romba. Zametym, çto na hranycax rombov postroenn¥e otobraΩenyq
ψ1, ψ2 qvlqgtsq homeomorfyzmamy. Dalee po analohyy rassmotrym ostavßye-
sq dva prqmouhol\nyka 0 ≤ x ≤ 1/3 y 2/3 ≤ x ≤ 1 pry 0 ≤ y ≤ 1. Razdelym kaΩ-
d¥j prqmouhol\nyk na try ravn¥x kvadrata po vertykaly. V kaΩdom yz polu-
çenn¥x ßesty kvadratov zadadym analohyçn¥e, umen\ßenn¥e v try raza kopyy
otobraΩenyj ψ1 y ψ2. Povtorqq dalee process delenyq y postroenyq otobra-
Ωenyj ψ sçetnoe çyslo raz, poluçym otobraΩenye nekotoroho sçetnoho çysla
rombov v sebq. Dopolnym πtu systemu otobraΩenyj do otobraΩenyq kvadrata
toΩdestvenn¥m homeomorfyzmom v toçkax, hde ewe otobraΩenye neopredeleno.
Poluçennoe takym obrazom otobraΩenye:
1) ymeet v obraze otkr¥toe mnoΩestvo toçek beskoneçnoj kratnosty;
2) kaΩdaq toçka dekartovoho proyzvedenyq kantorova mnoΩestva K na ot-
rezok [0, 1] Q = K × [0, 1] otobraΩaetsq toΩdestvenno, otobraΩenye f
ne,homeomorfnoe tol\ko v yntervalax smeΩnosty k kantorovomu mnoΩestvu
otrezka osy Ox ;
3) kaΩdaq toçka mnoΩestva Q prynadleΩyt mnoΩestvu vetvlenyq otobra-
Ωenyq f (systema rombov po postroenyg ymeet predel\n¥my toçkamy vse toçky
mnoΩestva);
4) otobraΩenye f — homeomorfyzm na hranyce kvadrata.
V svqzy s poluçenn¥m v rabote rezul\tatom y rezul\tatamy rabot¥ [1] ynte-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
558 G.,B.,ZELYNSKYJ
resen vopros o mynymal\noj kratnosty otobraΩenyq konkretnoj oblasty, esly
yzvestna stepen\ otobraΩenyq na hranyce. V,çastnosty, kakova mynymal\naq
kratnost\ otobraΩenyq n -mernoho lysta Mebyusa v n -mern¥j ßar, esly ot-
obraΩenye na hranyce qvlqetsq homeomorfyzmom yly otobraΩenyem stepeny
odyn? Suwestvuet ly takoe otobraΩenye pry n ≥ 3, ymegwee kratnost\ ne
v¥ße trex?
1. Zelynskyj+G.+B. O nekotor¥x problemax Kosynskoho // Ukr. mat. Ωurn. – 1975. – 27, #,4. –
S.,510 – 516.
2. Troxymçuk+G.+G., Bondar\+A.+V. O lokal\noj stepeny nul\mernoho otobraΩenyq // Metry-
çeskye vopros¥ teoryy funkcyj y otobraΩenyj. – 1969. – V¥p.,1. – S.,221 – 241.
3. Spen\er+∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. – M.: Myr, 1971. – 680,s.
4. Church P. T., Hemmingsen E. Light open mappings on manifolds // Duke Math. J. – 1961. – 27,
# 4. – P. 351 – 372.
5. Zelynskyj+G.+B. Prymenenye teoryy puçkov k yssledovanyg neprer¥vn¥x otobraΩenyj //
Desqtaq matematyçeskaq ßkola (Kacyvely / Nal\çyk, 1972). – Kyev: Yn-t matematyky AN
USSR, 1974. – S.,260 – 269.
6. Natanson+Y.+P. Teoryq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Nauka, 1974. – 480,s.
7. Troxymçuk+G.+G. Neprer¥vn¥e otobraΩenyq oblastej evklydova prostranstva // Ukr. mat.
Ωurn. – 1964. – 16, #,2. – S.,196 – 211.
Poluçeno 22.06.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3620 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:54Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/77a9eb8945bee2ef2ac3355d3f48b822.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36202020-03-18T20:00:05Z Multiplicity of Continuous Mappings of Domains О кратности непрерывных отображений областей Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. We prove that either the proper mapping of a domain of an n-dimensional manifold onto a domain of another n-dimensional manifold of degree k is an interior mapping or there exists a point in the image that has at least |k|+2 preimages. If the restriction of f to the interior of the domain is a zero-dimensional mapping, then, in the second case, the set of points of the image that have at least |k|+2 preimages contains a subset of total dimension n. In addition, we construct an example of a mapping of a two-dimensional domain that is homeomorphic at the boundary and zero-dimensional, has infinite multiplicity, and is such that its restriction to a sufficiently large part of the branch set is a homeomorphism. Доведено, що або власне відображення області $n$-вимірного многовиду на область іншого $n$-вимірного многовиду степеня $k$ буде внутрішнім відображенням, або існує точка в образі, яка має не менше ніж $| k | + 2$ прообрази. Якщо ж обмеження $f$ на внутрішність області є нульвимірним відображенням, то у другому випадку множина точок образу, що мають не менше ніж $| k | + 2$ прообрази, містить підмножину повної розмірності $n$. Крім цього, побудовано приклад відображення двовимірної області, гомеоморфного на межі, нульвимірного, що має нескінченну кратність і обмеження якого на досить велику частину множини розгалуження є гомеоморфізмом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3620 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 4 (2005); 554–558 Український математичний журнал; Том 57 № 4 (2005); 554–558 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3620/3971 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3620/3972 Copyright (c) 2005 Zelinskii Yu. B. |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title | Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title_alt | О кратности непрерывных отображений областей |
| title_full | Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title_fullStr | Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title_full_unstemmed | Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title_short | Multiplicity of Continuous Mappings of Domains |
| title_sort | multiplicity of continuous mappings of domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3620 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub multiplicityofcontinuousmappingsofdomains AT zelinskijûb multiplicityofcontinuousmappingsofdomains AT zelinskijûb multiplicityofcontinuousmappingsofdomains AT zelinskiiyub okratnostinepreryvnyhotobraženijoblastej AT zelinskijûb okratnostinepreryvnyhotobraženijoblastej AT zelinskijûb okratnostinepreryvnyhotobraženijoblastej |