On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series
We establish necessary and sufficient conditions for logarithms of the maximal terms of the entire Dirichlet series $F(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n e^{z\lambda_n}$ and $A(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n b_n e^{z\lambda_n}$ to be asymptotically equivalent as ${\rm Re}\;z \rightarrow +\infty$ outside s...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3623 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509743709159424 |
|---|---|
| author | Skaskiv, O. B. Trakalo, O. M. Скасків, О. Б. Тракало, О. М. |
| author_facet | Skaskiv, O. B. Trakalo, O. M. Скасків, О. Б. Тракало, О. М. |
| author_sort | Skaskiv, O. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:05Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for logarithms of the maximal terms of the entire
Dirichlet series $F(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n e^{z\lambda_n}$ and $A(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n b_n e^{z\lambda_n}$ to be
asymptotically equivalent as ${\rm Re}\;z \rightarrow +\infty$ outside some set of finite measure. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:45:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.57
O.�B.�Skaskiv, O.�M.�Trakalo (L\viv. nac. un-t)
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA
CILOHO RQDU DIRIXLE
We establish necessary and sufficient conditions for logarithms of the maximal terms of the entire
Dirichlet series F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
and B ( z ) = a b en n
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
to be asymptotically equivalent as
Re z → +∞ outside some set of finite measure.
Vstanovleno neobxidni i dostatni umovy dlq toho, wob loharyfmy maksymal\noho çlena ciloho
rqdu Dirixle F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
i maksymal\noho çlena ciloho rqdu Dirixle B ( z ) =
= a b en n
z
n
nλ
=
+∞∑ 0
buly asymptotyçno ekvivalentnymy pry Re z → +∞ zovni deqko] mnoΩyny
skinçenno] miry.
Nexaj λ = ( λn ) ⊂ R — dovil\na poslidovnist\. Çerez S ( λ ) poznaçymo klas ab-
solgtno zbiΩnyx v usij kompleksnij plowyni rqdiv Dirixle
F ( z ) = a en
z
n
nλ
=
+∞
∑
0
. (1)
Dlq σ ∈ R poznaçymo çerez µ ( σ , F ) = max { | an | e nσλ
: n ≥ 0} maksymal\nyj
çlen rqdu (1). Nexaj L — klas dodatnyx neperervnyx na [0; + ∞ ) funkcij l
takyx, wo l ( x ) ↑ + ∞ , x → + ∞ , tobto l monotonno zrosta[ do + ∞ na deqkomu
intervali [ x0 ; + ∞ ) . Çerez W poznaçymo klas funkcij w ∈ L takyx, wo
x w x dx−+∞
∫ 2
1
( ) < + ∞ .
Dlq dovil\no], wo ne1peretvorg[t\sq v nul\, kompleksno] poslidovnosti
( bn ) , a takoΩ funkci] w ∈ W vvedemo do rozhlqdu rqdy Dirixle
B ( z ) = a b en n
z
n
nλ
=
+∞
∑
0
, B
–
( z ) = a b en n
z
n
n−
=
+∞
∑ 1
0
λ , Bw ( z ) = a en
w z
n
n n( )λ λ+
=
+∞
∑
0
.
Qkwo poslidovnist\ { bn : n ≥ 0 } ⊂ C \ { 0 } zadovol\nq[ umovu
lim ln
n
n
n nb b
→+∞
−| | | |+( )1 1
λ
< + ∞ , (2)
to F ∈ S( λ) todi i til\ky todi, koly B ∈ S( λ) i B
– ∈ S( λ) , a z toho, wo Bw ∈ S( λ)
i ln( )| | | |+ −b bn n
1 ≤ w ( λn ) , n ≥ n1 , vyplyva[ { F , B , B
–
} ⊂ S( λ ) .
NyΩçe pid mirog budemo rozumity borelevu miru na promeni R+ = [ 0 ; + ∞ ) ,
tobto nevid’[mnu zliçenno-adytyvnu lokal\no skinçennu (tobto taku, wo dlq
koΩnoho skinçennoho intervalu joho mira [ skinçennog) funkcig mnoΩyny,
vyznaçenu na σ -alhebri borelevyx mnoΩyn na R+ .
Nastupnu, anonsovanu v [1], teoremu zastosovano do doslidΩennq zrostannq
cilyx rqdiv Dirixle na kryvyx.
Teorema A [1]. Nexaj λ = ( λn ) — zrostagça do + ∞ pry n → + ∞ posli-
dovnist\ dodatnyx çysel i vykonugt\sq umovy (2) ta
lim
ln
lnn
n
n
→+∞ λ
= a < + ∞ . (3)
© O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4 571
572 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Dlq toho wob dlq koΩno] funkci] F ∈ S ( λ) pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny
E ⊂ [ 0 ; + ∞) skinçenno] lebehovo] miry spravdΩuvalys\ asymptotyçni rivnosti
ln µ ( σ , F ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ln µ ( σ , B ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ln µ ( σ , B
–
) , (4)
neobxidno i dostatn\o, wob isnuvala funkciq w ∈ W, dlq qko]
ln( )| | | |+ −b bn n
1 ≤ w ( λn ) , n ≥ n1 . (5)
U vypadku, koly spivvidnoßennq (4) vykonugt\sq pry σ → + ∞ zovni deqko]
mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry, budemo hovoryty, wo maksymal\nyj çlen
rqdu Dirixle (1) [ stijkym (stijkym za Hajsynym).
Nexaj ψ ∈ L . Budemo hovoryty, wo maksymal\nyj çlen rqdu (1) [ ψ -stij-
kym, qkwo spivvidnoßennq
ψ ( ln µ ( σ , F ) ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ψ ( ln µ ( σ , B ) ) = ( 1 + o ( 1 ) ) ψ ( ln µ ( σ , B
–
) ) (6)
vykonugt\sq pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry.
U cij statti znajdeno neobxidni i dostatni umovy stijkosti maksymal\noho
çlena rqdu Dirixle F ∈ S ( λ) . Zaznaçymo, wo qkwo znajdenu tut umovu interpre-
tuvaty u vyhlqdi okremyx dostatnix umov na pokaznyky i funkcig w (u c\omu
zv’qzku dyv. naslidok11), to zamist\ umovy na pokaznyky (3) stijkist\ za Hajsy-
nym zabezpeçu[ umova
1
1 n nn λ=
+∞
∑ < + ∞ , (7)
qka [ znaçno slabßog za umovu (3).
Krim c\oho, vkazano dostatni umovy ψ -stijkosti. Na dumku avtoriv otrymani
tut tverdΩennq [ cikavymy qk z ohlqdu na znajdeni v [1] zastosuvannq takyx
tverdΩen\, tak i sami po sobi.
ZauvaΩymo, wo, ne zmenßugçy zahal\nosti, dali moΩna vvaΩaty, wo an ≥ 0,
bn > 0, n ≥ 0. Dovedemo spoçatku nastupne tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj Bw ∈ S( λ ) , w ∈ L i vykonu[t\sq umova (5). Qkwo
ln ( )ν t
t
dt2
0
+∞
∫ < + ∞ , (8)
de ν ( t ) = e dn xw xt ( ) ( )
0∫ , n ( x ) = 1λn x≤∑ , to maksymal\nyj çlen µ ( σ , F ) [
stijkym.
Naslidok 1. Nexaj dlq λ = ( λn ) vykonu[t\sq umova (7), a dlq ( bn ) — umo-
va (5). Qkwo F ∈ S ( λ ) i w ∈ W, to maksymal\nyj çlen µ ( σ , F ) [ stijkym.
Dovedennq naslidku. Vidomo (dyv., napryklad, [2]), wo umova (7) [ rivno-
syl\nog do umovy t n t dt−+∞
∫ 2
0
ln ( ) < + ∞ . Vraxovugçy, wo ν ( t ) ≤ e n tw t( ) ( ) i w ∈
∈ W, bezposeredn\o perekonu[mos\, wo vykonu[t\sq umova (8).
Z umovy w ∈ W vyplyva[, wo w ( λn ) = o ( λn ) , n → + ∞ , tomu z umovy F ∈ S ( λ )
ma[mo, wo Bw ∈ S ( λ ) . Zastosuvannq teoremy 1 zaverßu[ dovedennq naslidku.
Dovedennq teoremy 1. Dosyt\ dovesty, wo ln µ (σ, F ) = (1 + o (1)) ln µ (σ, Bw )
pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] miry. Nexaj a ( t ) , b ( t ) — taki
neperervni nevid’[mni funkci], wo a ( λn ) = an , b ( λn ) = ew n( )λ i
µ ( σ , F ) = sup { a ( t ) e
t
σ
: t ≥ 0 } , µ ( σ , Bw ) = sup { a ( t ) b ( t ) e
t
σ
: t ≥ 0 } .
Za umovog (5) dlq vsix dosyt\ velykyx σ
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA CILOHO RQDU DIRIXLE 573
µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , B ) ≤ µ ( σ , Bw ) µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , B
–
) ≤ µ ( σ , Bw ) ,
de B zw
−( ) = a en
w z
n
n n− +
=
+∞∑ ( )λ λ
0
. Tomu, oskil\ky, z odnoho boku,
µ σ( )−, Bw ≤ µ ( σ , F ) ≤ F ( σ ) ≤ a e en
w
n
n nσλ λ( )
=
+∞
∑
0
= a t e d tt( ) ( )σ ν
0
+∞
∫ =df
B1(σ), (9)
a z inßoho —
µ ( σ , F ) ≤ µ ( σ , Bw ) ≤ Bw ( σ ) ≤ a t e d tt( ) ( )σ ν
0
+∞
∫ = B
( σ ) , (10)
dlq zaverßennq dovedennq dosyt\ dviçi skorystatys\ nastupnym tverdΩennqm
z1[3].
Lema. Nexaj I ( σ ) — funkciq, wo zobraΩu[t\sq dlq vsix σ ≥ 0 intehra-
lom vyhlqdu
I ( σ ) = f t e d tt( ) ( )σ v
0
+∞
∫ , (11)
de v — mira na R+ , a f ( t ) ≥ 0, t ≥ 0, — v -vymirna funkciq. Qkwo vykonu[t\-
sq umova
ln ( )v0
2
0
t
t
dt
+∞
∫ < + ∞ , v0( t ) = v ( ( 0, t ] ), (12)
to
ln I ( σ ) ≤ (1 + o ( 1) ) ln µ∗ ( σ, I ) (13)
pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry, de µ ∗ ( σ, I ) =
= sup { f ( t ) e
σ
t
: t ∈ supp v } , a supp v = { x ∈ R+ : (∀ε > 0) [ v ( ( x – ε ; x + ε ) ) > 0] }
— nosij miry v .
Zastosovugçy lemu do intehraliv v (9) i (10), poslidovno pry σ → + ∞ zovni
deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry otrymu[mo
ln µ ( σ , F ) ≤ ln B1(σ) ≤ (1 + o ( 1) ) ln µ∗ ( σ, B1) = (1 + o ( 1) ) ln µ ( σ , F )
ta
ln µ (σ , F ) ≤ ln µ (σ, Bw ) ≤ ln Bw (σ) ≤ (1 + o (1)) ln µ∗ (σ, B1) =
= (1 + o ( 1)) ln µ (σ, F ) ,
tobto, z ohlqdu na te, wo dlq miry d v ( t ) = d ν ( t ) vykonu[t\sq umova (8), a otΩe i
umova (12), teoremu 1 dovedeno.
Vykorystovugçy inßu teoremu (dovedenu v [3] dlq funkcij vyhlqdu (11)),
podibno do toho, qk my otrymaly teoremu 1, dovodymo nastupne tverdΩennq.
Teorema 2. Nexaj w ∈ L , a ψ ∈ L taka, wo funkciq ψ′( x ) / ψ ( x ) — ne zro-
stagça, ψ ( x ) = o ( x ψ′( x ) ) ( x → + ∞ ) . Qkwo isnugt\ { ω1, ω2 } ⊂ W taki, wo
lim
( )
( )
ln ( ) ; ( )
t
t
t
t t t t
→+∞
+ − −′ − +( ]( )
( )
ψ ω
ψ ω
ν ω ω1
1
2
1
2
1 = 0,
de ν ( a ; b ] = ν ( b ) – ν ( a ) , ν ( t ) = e dn xw xt ( ) ( )
0∫ , ω2
1− — obernena funkciq do ω2,
to u vypadku, koly B w ∈ S ( λ ) i vykonu[t\sq umova (5), maksymal\nyj çlen
µ ( σ , F ) [ ψ -stijkym.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
574 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Toj fakt, wo umova (8) [ neobxidnog dlq stijkosti maksymal\noho çlena
koΩnoho ciloho rqdu Dirixle (1), otryma[mo z nastupno] teoremy.
Teorema 3. Nexaj v — mira na R+ , dlq qko]
d t
t
ln ( )v0
0
+∞
∫ = + ∞ , ln v0( t ) = O ( t ) , t → + ∞ ,
de v0( t ) = v ((0, t ] ) . Isnu[ dodatna funkciq I, vyznaçena dlq vsix σ ∈ R+ inte-
hralom (11), taka, wo dlq deqkyx d > 0, σ0 > 0 i dlq vsix σ ≥ σ0
ln I ( σ ) ≥ ( 1 + d ) ln µ∗ ( σ, I ) .
Dovedennq. Skorysta[mos\ modyfikaci[g konstrukci], qka vykorystovuva-
las\ v [2] dlq dovedennq podibnoho tverdΩennq v klasi S ( λ ) . Pry c\omu okremi
mirkuvannq povtorg[mo majΩe doslivno. Nexaj
V t x xdx B d
t
0 01
11 2( ) ( ) , ( ) ,= = −/∫ −v
ψ ( y ) = − + +( )− ( )/∫By t V A t t dt
y
2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) , 0 < A < 1,
f ( y ) =
exp ( ) , ,
, .
{ } ≥
< ≤
ψ y y
y
1
1 0 1
Vraxovugçy, wo
ln ( )v0
2
0
t
t
dt
T
∫ = − ln ( )v0 T
T
+
d t
t
T ln ( )v0
0
∫ ,
V0 ( t ) ≥
v0( )x
x
dx
t e
t
/
∫ ≥
v0
x
e
,
ma[mo
t V A t t dt−
+∞
( )/+ +( )∫ 2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) = + ∞ .
Tomu intehral
I ( σ ) =
f y e d yy( ) ( )σ v
0
+∞
∫
dlq vsix σ ∈ R+ vyznaça[ znaçennq I ( σ ) < + ∞ . Spravdi, za umovog, ne1zmenßu-
gçy zahal\nosti, moΩemo vvaΩaty, wo ln v0( t ) ≤ –1/6ψ ( t ) ( t ≥ 2 ) , a pry fikso-
vanomu σ ∈ R
σ ≤ 1
2
1 12
0
1
t V A t t dt
y
− ( )/+ +( )∫ ln ( ) ln( ) , y ≥ y0,
tomu z rozhlqdu intehrala
e d yy1 2
2
/ ( ) ( )ψ v
+∞
∫ =
e d yy1 2
0
2
/ ( ) ( )ψ v
+∞
∫ =
v v0
1 2
2
0
1 2
2
1
2
( ) ( ) ( )/ /( ) ( )y e y e d yy yψ ψ ψ
+∞ +∞
− ∫ ≤
≤ – v0( 2 ) + 1
2
1
2
3e d yy/ ( ) ( )( )ψ ψ−
+∞
∫ = – v0( 2 ) + 3
2
1 3e / < + ∞
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
PRO STIJKIST| MAKSYMAL|NOHO ÇLENA CILOHO RQDU DIRIXLE 575
otrymu[mo potribnyj vysnovok; pry c\omu my skorystalys\ tym, wo ln v0( t ) =
= o (| ψ ( t ) | ) , t → + ∞ , i ψ ( t ) monotonno ne zrosta[ do – ∞ pry t → + ∞ .
Rozhlqnemo teper dlq koΩnoho fiksovanoho σ ∈ R+ funkcig
ψ0 ( y , σ ) = ψ ( y ) + σ y .
Qk i v [2], perekonu[mos\, wo ψ0 ( y , σ ) dlq koΩnoho fiksovanoho σ ∈ R+ [ vhnu-
tog funkci[g vid y ≥ 1. Spravdi,
V0 ( A ( y + 1) =
v0
1
1
( )
( )
t
t
dt
A y+
∫ ≤ v0 (A ( y + 1)) ln (A ( y + 1)) < v0 (A ( y + 1)) ln ( y + 1) ,
tomu
∂ ψ
∂
2
0
2y
=
− + + − +[ ]
+ + +
( ) ( )
( )
B
A y y V A y
y y y V A y
v0 0
0
1 1 1
1 1 1
( ) ln( ) ( )
( ) ln( ) ( )
< 0.
Funkciq ψ0 ( y , σ) pry koΩnomu σ ∈ R+ ma[ [dynu toçku maksymumu y = y (σ) ≥
≥ 1, qku vyznaça[mo, qk i v [2], z rivnqnnq
∂ψ
∂y
= − + +( )− ( )/∫B t V A t t dt
y
2
0
1
1 1ln ( ) ln( ) –
– B
y
V A y yln ( ) ln( )0 1 1( )/+ +( ) + x = 0,
a takoΩ ψ ( y , σ ) ≥ ψ ( 1 , σ ) = σ ≥ 0 ( 1 ≤ y ≤ y , σ ≥ 0 ) . Zvidsy
max { ψ ( y ) + y x : y ≥ 1 } = ψ( )y y x+ = B V A y yln ( ) ln( )0 1 1( )/+ +( ) ≤
≤ B A yln ( )v0 1+( ) ≤ B yln ( )v0 ,
a oskil\ky
ln µ∗ ( σ, I ) = sup { ln f ( y ) + σ y : y ∈ supp v } ≤ max { ψ ( y ) + y x : y ≥ 1 },
to dlq σ ≥ 0 poslidovno ma[mo
I ( σ ) ≥
f y e d yy
y
( ) ( )σ v
1
∫ ≥
d y
y
v( )
1
∫ = v0( )y – v0( 1 )
ta pry σ → + ∞
ln F ( σ ) ≥ ln ln
( )( )
( )
v
v
v
0
0
0
1
1
y
y
+ −
≥ 1
B
ln µ∗ ( σ, I ) + o ( 1 ) =
= ( 1 + 2d ) ln µ∗ ( σ, I ) + o ( 1 ) ≥ ( 1 + d ) ln µ∗ ( σ, I ) .
Teoremu 3 dovedeno.
Z teoremy 3 otrymu[mo nastupne tverdΩennq, qke vkazu[ na neobxidnist\
umovy (8) dlq stijkosti maksymal\noho çlena rqdu (1) u vypadku, koly dlq
poslidovnosti pokaznykiv vykonu[t\sq umova (7).
Teorema 4. Nexaj dlq deqko] poslidovnosti λ = ( λn ) , dlq qko] vykonu[t\sq
umova (7), i dlq deqko] funkci] w ∈ W umova (8) ne vykonu[t\sq. Todi isnugt\
funkciq F ∈ S ( λ ) taka, wo Bw ∈ S( λ ) , mnoΩyna E ⊂ [0; + ∞ ) skinçenno] le-
behovo] miry i stala h > 0 taki, wo ln µ ( σ , Bw ) > ( 1 + h ) ln µ ( σ , F ) dlq vsix
σ ∈ [0; + ∞ ) \ E , tobto maksymal\nyj çlen rqdu (1) ne [ stijkym (za Hajsynym).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
576 O.1B.1SKASKIV, O.1M.1TRAKALO
Dovedennq. Z toho, wo umova (8) ne1vykonu[t\sq, za teoremog 3 vyplyva[,
wo isnu[ dodatna funkciq f , dlq qko]
ln F1 ( σ ) > ( 1 + 2h ) ln µ∗ ( σ , F1 ) , σ ≥ σ0 ,
de
F1 ( σ ) =
f x e d xx( ) ( )σ v
0
+∞
∫ = f x e e dn xw x x( ) ( )( ) σ
0
+∞
∫ = B ( σ ) ,
µ∗ ( σ , F1 ) = sup { f ( x ) eσ
x
: x ≥ 0 }. Qkwo teper vybraty an = f ( λn ) i do druhoho
intehrala zastosuvaty lemu (oskil\ky dlq d n ( x ) vykonu[t\sq umova (12)), to
poslidovno pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry
otryma[mo
( 1 + 2h ) ln µ ( σ , F ) ≤ ( 1 + 2h ) ln µ∗ ( σ , F1 ) ≤ ln F1 ( σ ) ≤
≤ (1 + o (1)) ln sup { f ( x )e ew x x( ) σ : x ∈ supp d n ( x ) } =
= (1 + o (1)) ln sup { an e ew n n( )λ σλ
: n ≥ 0 } = (1 + o (1)) ln µ ( σ , B ) .
Teoremu 4 dovedeno.
Z lemy i teoremy 3 bezposeredn\o otrymu[mo takoΩ nastupne tverdΩennq.
Teorema 5. Dlq toho wob dlq koΩno] funkci] vyhlqdu (11) spivvidnoßennq
(13) vykonuvalos\ pry σ → + ∞ zovni deqko] mnoΩyny skinçenno] lebehovo] miry,
neobxidno i dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova (12).
Na zaverßennq vyslovymo prypuwennq, wo u teoremi 4 umova (7) [ zajvog, a
takoΩ, wo u teoremax 1, 2 i naslidku 1 umovu Bw ∈ S( λ ) moΩna zaminyty umo-
vog (∀σ ∈ R+ ) : | | +a en
w n n( )λ σλ → 0 ( n → + ∞ ) .
1. Hajsyn2A.2M. Ocenka rqda Dyryxle s lakunamy Fejera // Dokl. RAN. – 2000. – 370, #16. –
S.1735 – 737.
2. Skaskyv2O.2B. O povedenyy maksymal\noho çlena rqda Dyryxle, zadagweho celug funk-
cyg // Mat. zametky. – 1985. – 37, #11. – S.141 – 47.
3. Skaskyv2O.2B. O nekotor¥x sootnoßenyqx meΩdu maksymumom modulq y maksymal\n¥m
çlenom celoho rqda Dyryxle // Tam Ωe. – 1999. – 56, #12. – S.1282 – 292.
OderΩano 11.07.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3623 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:45:57Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/b6a2fc75e4c2e17d6c7843b5c3101713.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36232020-03-18T20:00:05Z On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле Skaskiv, O. B. Trakalo, O. M. Скасків, О. Б. Тракало, О. М. We establish necessary and sufficient conditions for logarithms of the maximal terms of the entire Dirichlet series $F(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n e^{z\lambda_n}$ and $A(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n b_n e^{z\lambda_n}$ to be asymptotically equivalent as ${\rm Re}\;z \rightarrow +\infty$ outside some set of finite measure. Встановлено необхідні і достатні умови для того, щоб логарифми максимального члена цілого ряду Діріхле $F(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n e^{z\lambda_n}$ і максимального члена цілого ряду Діріхле $A(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n b_n e^{z\lambda_n}$ були асимптотично еквівалентними при ${\rm Re}\;z \rightarrow +\infty$ зовні деякої множини скінченної міри. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3623 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 4 (2005); 571–576 Український математичний журнал; Том 57 № 4 (2005); 571–576 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3623/3977 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3623/3978 Copyright (c) 2005 Skaskiv O. B.; Trakalo O. M. |
| spellingShingle | Skaskiv, O. B. Trakalo, O. M. Скасків, О. Б. Тракало, О. М. On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title | On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title_alt | Про стійкість максимального члена цілого ряду Діріхле |
| title_full | On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title_fullStr | On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title_full_unstemmed | On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title_short | On the Stability of the Maximum Term of the Entire Dirichlet Series |
| title_sort | on the stability of the maximum term of the entire dirichlet series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3623 |
| work_keys_str_mv | AT skaskivob onthestabilityofthemaximumtermoftheentiredirichletseries AT trakaloom onthestabilityofthemaximumtermoftheentiredirichletseries AT skaskívob onthestabilityofthemaximumtermoftheentiredirichletseries AT trakaloom onthestabilityofthemaximumtermoftheentiredirichletseries AT skaskivob prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle AT trakaloom prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle AT skaskívob prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle AT trakaloom prostíjkístʹmaksimalʹnogočlenacílogorâdudíríhle |