Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine
We give a brief survey of results on functional analysis obtained at the Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences from the day of its foundation.
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3625 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509746637832192 |
|---|---|
| author | Berezansky, Yu. M. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M. L. Березанський, Ю. М. Горбачук, В. І. Горбачук, М. Л. |
| author_facet | Berezansky, Yu. M. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M. L. Березанський, Ю. М. Горбачук, В. І. Горбачук, М. Л. |
| author_sort | Berezansky, Yu. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:32Z |
| description | We give a brief survey of results on functional analysis obtained at the Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences from the day of its foundation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
Cej nomer Ωurnalu prysvqçu[t\sq
80-riççg akademika NAN Ukra]ny
Griq Makarovyça Berezans\koho
G. M. Berezans\kyj, V. I. Horbaçuk, M. L. Horbaçuk
(In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ
V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY
We give the description of results on the functional analysis obtained in the Institute of Mathematics
National Academy of Sciences of Ukraine beginning on the day of its foundation.
Vykladeno v opysovij formi rezul\taty z funkcional\noho analizu, otrymani v Instytuti
matematyky NAN Ukra]ny poçynagçy z dnq joho zasnuvannq.
0. Vstup. Cej ohlqd torka[t\sq rezul\tativ lyße tyx matematykiv, kotri
bezposeredn\o pracgvaly abo pracggt\ v instytuti, i otrymanyx nymy (ta spiv-
avtoramy) pid ças roboty v instytuti.
Instytut matematyky NAN Ukra]ny moΩe pyßatys\ tym, wo u svij ças v
n\omu pracgvaly zasnovnyky funkcional\noho analizu S. Banax i M. H. Krejn.
Ale perßi znaçni rezul\taty u cij haluzi v Ukra]ni oderΩaly v 1935 – 1937 rr.
M. M. Boholgbov i M. M. Krylov. Vony stosuvalys\ isnuvannq invariantnyx mir
u dynamiçnyx system ta vyvçennq sukupnosti takyx mir i vidihraly vaΩlyvu rol\
u rozvytku zahal\no] teori] dynamiçnyx system i formuvanni novyx heometryç-
nyx pidxodiv do rozv’qzannq pevnyx typiv zadaç. Pryblyzno todi Ω (1934 –
1938<rr.) v instytuti pracgvav M. P. Kravçuk, bahato z rezul\tativ qkoho davaly
poßtovx do rozvytku funkcional\noho analizu. Tut, nasampered, slid zhadaty
joho roboty z alhebry, prysvqçeni zobraΩennqm simej komutugçyx matryc\,
kvadratyçnyx form i linijnyx peretvoren\, a takoΩ pobudovanu nym teorig or-
tohonal\nyx polinomiv, nazvanyx zhodom polinomamy Kravçuka.
S. Banax razom iz dekil\koma svo]my kolehamy (zokrema, G. Íauderom) ta
uçnqmy (odnym iz nyx buv S. Mazur) u 1940 – 1941 rr. buly spivrobitnykamy
L\vivs\ko] fili] Instytutu matematyky. Ukra]ns\kyj pereklad ßyroko vidomo]
monohrafi] S. Banaxa „Kurs funkcional\noho analizu” (francuz\ka nazva
„Théorie des opérations linéaries”), vykonanyj l\vivs\kym matematykom M. O. Za-
ryc\kym i vydanyj u Ky[vi v 1948 r. za iniciatyvog M. M. Boholgbova pid joho ta
S. I. Zuxovyc\koho redakci[g, stav perßym posibnykom z ci[] dyscypliny v Ra-
dqns\komu Sogzi. Rol\ c\oho perekladu u poßyrenni doslidΩen\ z funkcio-
nal\noho analizu v Ukra]ni i stanovlenni suçasno] ukra]ns\ko] matematyçno] ter-
minolohi] vaΩko pereocinyty.
M. H. Krejn pracgvav v Instytuti matematyky uprodovΩ 1940 – 1941 ta 1944
– 1951 rr. Same v cej ças vin opublikuvav svo] klasyçni roboty z heometri] nor-
movanyx prostoriv, teori] rozßyren\ operatoriv i rozkladiv za vlasnymy vekto-
© G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK, 2005
582 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 583
ramy (dokladniße pro ce jtymet\sq nyΩçe).
Pid vplyvom nazvanyx matematykiv problemy funkcional\noho analizu poça-
ly doslidΩuvaty naukovci Ky[va, Xarkova j inßyx mist Ukra]ny. Zokrema, u
Ky[vi, v Instytuti matematyky, utvorylas\ hrupa syl\nyx molodyx matematykiv
(do ]] skladu vxodyly S. H. Krejn (1940 – 1951 rr.), M. O. Krasnos[l\s\kyj
(1947 – 1952 rr.), B. I. Korenblgm (1947 – 1952 rr.), G. L. Dalec\kyj (1949 –
1951 rr.)), qka zajmalas\ qk rozvytkom zahal\nyx metodiv funkcional\noho ana-
lizu, tak i joho zastosuvannqmy do teori] dyferencial\nyx rivnqn\ i teori] fun-
kcij. Do ne] pizniße pry[dnalys\ H. S. Íylov (1951 – 1954 rr.) i O. S. Parasgk
(1952 – 1966 rr.), kotri uspißno rozroblqly teorig uzahal\nenyx funkcij ta ]]
zastosuvan\ do teori] dyferencial\nyx rivnqn\ i kvantovanyx poliv. Usi vony
vyxovaly çymalo uçniv.
Slid zaznaçyty, wo rozvytok funkcional\noho analizu (qk i deqkyx inßyx
rozdiliv matematyky) v instytuti ne obijßovsq bez ekscesiv. Todißnij pravlq-
çyj reΩym z joho total\nym kontrolem nad usima sferamy Ωyttq, vklgçagçy
navit\ mystectvo i nauku, reΩym, wo trymavsq na steΩennqx, donosax i „svidçen-
nqx” spivpracivnykiv, piddavav honinnqm, a çasto-husto j fizyçnomu znywenng
qskravyx osobystostej, spryqgçy tym samym prosuvanng po naukovyx i adminis-
tratyvnyx sxodynkax deqkyx menß zdibnyx. Odni j ti sami lgdy, pryçetni do
represij, zasudΩuvaly odnyx za nacionalizm, a inßyx za kosmopolityzm. Ûert-
vamy polityçnyx peresliduvan\ staly j deqki matematyky.
Tak, u 1938 r. bulo zvil\neno z instytutu vydatnoho matematyka akademika
AN URSR M. P. Kravçuka, qkyj potim zahynuv na zaslanni u kolyms\kyx tabo-
rax. NajtqΩçog „provynog” M. P. Kravçuka stalo joho Ωytt[ve kredo: „Moq
lgbov — Ukra]na i matematyka”.
Çerez deqkyj ças (1951 – 1952 rr.) zvil\nyly S. H. Krejna i M. O. Krasno-
s[l\s\koho (analohiçna dolq spitkala G. L. Dalec\koho i B. I. Korenblgma). Z
ci[] pryçyny S. H. Krejn i M. O. Krasnos[l\s\kyj zmußeni buly zalyßyty Uk-
ra]nu i pere]xaty do VoroneΩa, de vony zhodom stvoryly ßyroko vidomu matema-
tyçnu ßkolu. MajΩe vodnoças vΩe todi vsesvitn\ovidomyj matematyk çlen-ko-
respondent AN URSR M. H. Krejn buv usunutyj zi svo[] posady til\ky tomu, wo
pracgvav u Ky[vi, a meßkav v Odesi. Usi ci matematyky buly zvil\neni z roboty
pid pryvodom borot\by z kosmopolityzmom.
Bezumovno, vse ce ne mohlo ne zalyßyty temnyx plqm na storinkax istori]
rozvytku matematyky v instytuti. S\ohodni Ω, na Ωal\, ekonomiçni neharazdy
perexidnoho periodu, wo vynykly vnaslidok rozpadu Radqns\koho Sogzu i neade-
kvatno] diql\nosti urqdu, teΩ dagt\sq vznaky. ZuboΩilyj status uçenoho
spryçynyv vidtik za kordon bahat\ox naukovciv, v tomu çysli spivrobitnykiv in-
stytutu, sered qkyx i taki vidomi matematyky, qk A. V. Skoroxod, G. H. Kondra-
t\[v, S. V. Perev[rz[v, S. I. Trofymçuk, O. G. Dalec\kyj ta in., kotri u poßukax
krawyx umov dlq Ωyttq i naukovo] roboty vy]xaly za meΩi Ukra]ny i teper pra-
cggt\ na inßi kra]ny. Nedoskonalist\ Ωe okremyx norm naßoho zakonodavstva,
pov’qzana z nemoΩlyvistg odnoçasno obijmaty posady u vitçyznqnyx i zakordon-
nyx naukovyx abo navçal\nyx zakladax, neridko pryzvodyt\ do uskladnen\ dlq
tyx iz nyx, xto xoçe i mih by aktyvno vplyvaty na naukove Ωyttq instytutu. Zo-
krema, G. H. Kondrat\[va, qkyj plidno spivpracgvav z instytutom u haluzi zas-
tosuvan\ funkcional\noho analizu do suçasno] matematyçno] fizyky, v 2004 r.
bulo zvil\neno z iniciatyvy çastyny spivrobitnykiv, qki vbaçaly porußennq za-
konu v tomu, wo, poçynagçy z 1994 r., vin ma[ postijnu pozycig v odnomu z
universytetiv Nimeççyny.
Vtim bil\ßist\ vysokokvalifikovanyx specialistiv u haluzi funkcional\noho
analizu ta joho zastosuvan\ zalyßylys\ v Ukra]ni. Popry vsi zhadani vywe
trudnowi vony uspißno pracggt\ u vitçyznqnyx naukovo-doslidnyx i navçal\-
nyx zakladax, pro wo svidçat\ kil\kist\ ta qkist\ monohrafij i statej, opubli-
kovanyx nymy, dopovidej na miΩnarodnyx konhresax i konferenciqx, nahorod,
oderΩanyx ukra]ns\kymy studentamy na miΩnarodnyx matematyçnyx olimpiadax.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
584 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
U zv’qzku z cym ne moΩna ne skazaty pro neocinennu rol\ hrantiv, wo pryznaça-
gt\sq na pidtrymku ]xn\o] samoviddano] praci nyzkog miΩnarodnyx orhanizacij,
urqdamy ta universytetamy takyx kra]n, qk Anhliq, Izra]l\, Nimeççyna, SÍA,
Franciq, Ívejcariq, Íveciq ta in., a takoΩ nadannq (napryklad, Pol\weg)
moΩlyvosti periodyçno] spivpraci.
Viddil matematyçnoho, a faktyçno funkcional\noho analizu buv stvorenyj v
instytuti v 1960 r. pid kerivnyctvom G. M. Berezans\koho, uçnq M. H. Krejna i
S. H. Krejna. Joho aspirantamy, kotri zhodom staly doktoramy fizyko-matema-
tyçnyx nauk, buly Q. A. Rojtberh (zaxystyv doktors\ku dysertacig v 1968 r.),
V.<N. Romanenko (1969 r.), M. L. Horbaçuk (1973 r.), L. P. NyΩnyk (1974 r.),
V.<D.<Koßmanenko (1984 r.), V. V. Barkovs\kyj (1984 r.), G. H. Kondrat\[v
(1986<r.), G. B. Oroçko (1987 r.), G. S. Samojlenko (1988 r.), V. I. Horbaçuk
(1992 r.). Z nyx v instytuti zaraz pracggt\ M. L. Horbaçuk, L. P. NyΩnyk,
V.<D.<Koßmanenko, G. S. Samojlenko, V. I. Horbaçuk.
Do druhoho pokolinnq kolyßnix aspirantiv viddilu, qki zdobuly stupin\ dok-
tora fizyko-matematyçnyx nauk, naleΩat\: A. N. Koçubej (1987 r.), V. A. My-
xajlec\ i O. Reznikov (1989 r.), Do Konh Xan\ (1990 r.), L. I. Vajnerman (1991 r.),
V. V. Horodec\kyj (1995 r.), S. O. KuΩel\ (2002 r.) (uçni M. L. Horbaçuka); Fam
Loj Vu (1984 r.), N. Iskanderov (2003 r.) (uçni L. P. NyΩnyka); O. G. Dalec\kyj
(2001 r.) i V. L. Ostrovs\kyj (2004 r.) (uçni G. S. Samojlenka). Z nyx v instytu-
ti pracggt\ A. N. Koçubej, V. A. Myxajlec\, S. O. KuΩel\, V. L. Ostrovs\kyj.
Narazi v Instytuti matematyky doslidΩennq z funkcional\noho analizu pro-
vodqt\sq perevaΩno u tr\ox viddilax: funkcional\noho analizu (kerivnyk
G.<S.<Samojlenko), dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy (keriv-
nyk M. L. Horbaçuk), matematyçno] fizyky (kerivnyk O. L. Rebenko; do 2004 r.
oçolgvav G. H. Kondrat\[v). Opublikovano ponad 30 monohrafij, provedeno
dekil\ka miΩnarodnyx konferencij, z’]zdiv. Os\ uΩe desqt\ rokiv pospil\ vyda-
[t\sq Ωurnal „Methods of Functional Analysis and Topology”.
1. Heometriq normovanyx prostoriv i operatory v takyx prostorax. U
funkcional\nomu analizi ta joho zastosuvannqx vaΩlyvu rol\ vidihragt\ bana-
xovi prostory iz zadanym konusom vektoriv. Ce ponqttq vviv M. H. Krejn; razom
z S. H. Krejnom vin doslidyv prostory z konusom i prostory, sprqΩeni do nyx
(1937 – 1943 rr.). Dlq operatora v banaxovomu prostori z konusom, zberihagçoho
konus invariantnym, M. H. Krejnu i M. A. Rutmanu (Odesa) vdalosq oderΩaty
(1938 – 1948 rr.) rqd rezul\tativ stosovno isnuvannq vlasnyx vektoriv c\oho i
sprqΩenoho z nym operatoriv, qki uzahal\nggt\ vidpovidni rezul\taty wodo
vlasnyx vektoriv matryc\ z nevid’[mnymy elementamy. Vony tisno pov’qzani z
dovo[nnymy doslidΩennqmy M. H. Krejna, V. L. Ímul\qna (Odesa) ta in., wo
torkagt\sq opuklyx mnoΩyn i slabkyx topolohij u banaxovyx prostorax. Tut,
nasampered, slid vidznaçyty vidomu teoremu Krejna – Mil\mana pro krajni toç-
ky obmeΩeno] rehulqrno opuklo] mnoΩyny u prostori, sprqΩenomu z banaxovym.
Cq teorema prymyka[ do zhadanyx vywe rezul\tativ M. M. Boholgbova i
M.<M.<Krylova, ma[ vaΩlyvi zastosuvannq i leΩyt\ v osnovi bahat\ox podal\ßyx
vidkryttiv.
2. Zahal\na teoriq ermitovyx i samosprqΩenyx operatoriv u hil\berto-
vomu prostori. Operatory c\oho typu uzahal\nggt\ ponqttq ermitovo] matryci
j vidihragt\ nadzvyçajno vaΩlyvu rol\ u matematyçnij fizyci. M. H. Krejn
opysav (1944 – 1948 rr.) usi napivobmeΩeni samosprqΩeni rozßyrennq napivob-
meΩenoho ermitovoho operatora z nyΩnimy meΩamy, ne menßymy za nyΩng
meΩu poçatkovoho operatora, a takoΩ dav konstruktyvnyj opys uzahal\nenyx
rezol\vent ermitovoho operatora z rivnymy skinçennymy defektnymy çyslamy.
Nym takoΩ rozhlqnuto vaΩlyvyj klas tak zvanyx cilyx operatoriv. Do c\oho
klasu, zokrema, vxodqt\ operatory, wo fihurugt\ u takyx klasyçnyx zadaçax,
qk stepeneva problema momentiv i problema prodovΩennq dodatno vyznaçenyx
funkcij (nevyznaçeni vypadky), problema Nevanlinny – Pika towo. Na cili
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 585
operatory vdalosq poßyryty bahato konstrukcij, vlastyvyx problemi momentiv,
i znajty, zavdqky c\omu, [dynyj operatornyj pidxid do rozv’qzannq pereliçenyx
vywe zadaç ta ]x operatornyx uzahal\nen\. Pry pobudovi teori] cilyx operatoriv
M. H. Krejn zastosuvav qk çysto operatorni metody, tak i metody teori] anali-
tyçnyx funkcij. Po[dnannq cyx metodiv pryvelo ne til\ky do vynyknennq no-
voho naprqmu v teori] operatoriv, ale j do postanovky i rozv’qzannq novyx ory-
hinal\nyx zadaç u teori] analityçnyx funkcij.
Zaznaçeni rezul\taty z teori] rozßyren\ stosuvalys\ ermitovyx operatoriv zi
wil\nog oblastg vyznaçennq. M. O. Krasnos[l\s\kyj rozhlqnuv (1947 r.)
rozßyrennq newil\no zadanyx operatoriv. Vin pokazav, wo koΩnyj takyj ope-
rator dopuska[ ermitovi rozßyrennq zi wil\nog oblastg vyznaçennq, i z’qsuvav,
koly sered takyx rozßyren\ isnugt\ maksymal\ni. Do toho Ω samoho çasu
vidnosyt\sq takoΩ vaΩlyva teorema pro invariantnist\ defektnyx çysel
dovil\noho operatora, qka naleΩyt\ M. H. Krejnu ta M. O. Krasnos[l\s\komu.
Pobudova rozkladiv za vlasnymy funkciqmy samosprqΩenyx operatoriv na
osnovi zahal\no] spektral\no] teoremy zavΩdy vyklykala trudnowi, qki tak çy
inakße dolalys\ u koΩnomu konkretnomu vypadku. Perßyj zahal\nyj pidxid do
usunennq cyx trudnowiv (tak zvanyj metod naprqmnyx funkcionaliv) buv znaj-
denyj M. H. Krejnom (1946 r.) dlq operatoriv zi skinçennokratnym spektrom.
Tak z’qvylas\ moΩlyvist\ oderΩaty [dynym çynom rozklady za vlasnymy funk-
ciqmy samosprqΩenyx zvyçajnyx dyferencial\nyx operatoriv bud\-qkoho po-
rqdku. V 1956 r. G. M. Berezans\kyj na pidstavi ide] roboty I. M. Hel\fanda i
A. H. Kostgçenka (Moskva, 1955 r.) rozrobyv zahal\nyj pidxid do teori] rozkla-
div dlq samosprqΩenyx operatoriv, wo digt\ u funkcional\nyx hil\bertovyx
prostorax, qkyj dav zmohu pobuduvaty rozklady za vlasnymy funkciqmy dyfe-
rencial\nyx operatoriv z çastynnymy poxidnymy aΩ do meΩi oblasti, vyvçyty
xarakter rostu vlasnyx funkcij, rozhlqnuty rqd inßyx operatoriv matematyç-
no] fizyky towo. Nevdovzi cej pidxid buv poßyrenyj H. I. Kacom i G. M. Bere-
zans\kym na abstraktni hil\bertovi prostory, zavdqky çomu teoriq rozkladiv za
uzahal\nenymy vlasnymy vektoramy dovil\noho samosprqΩenoho operatora na-
bula zaverßenoho vyhlqdu. Zhodom ci rezul\taty buly uzahal\neni G. M. Bere-
zans\kym na dovil\ni sim’] komutugçyx normal\nyx operatoriv. U c\omu vypad-
ku spektral\ni intehraly zapysugt\sq u vyhlqdi kontynual\nyx po prostoru
„vlasnyx znaçen\”, wo vidpovidagt\ sumisnym uzahal\nenym vlasnym vektoram
sim’]. Zokrema, takym prostorom moΩe sluΩyty prostir uzahal\nenyx funkcij,
nehatyvnyj sobol[vs\kyj prostir ta in.; spektral\nog mirog sim’] [ mira, zose-
redΩena na rozhlqduvanomu prostori. }] vyvçennq stosugt\sq j newodavni
(2003 r.) rezul\taty A. D. Pul[m\otova — uçnq G. M. Berezans\koho. Naslid-
kom zaznaçeno] teori] staly oderΩani v 1977 – 1988 rr. ßyroki uzahal\nennq
spektral\nyx zobraΩen\ dlq simej komutugçyx operatoriv, pov’qzanyx spivvid-
noßennqmy (teoremy typu Stouna, S. Nadq – Xille ta in.).
Inßyj cykl doslidΩen\, wo stosugt\sq zahal\no] teori] operatoriv, sklada[
spektral\na teoriq synhulqrno zburenyx operatoriv, koly zburennq ne [ opera-
torom u vyxidnomu prostori (napryklad, zburennq potencialom, wo [ δ-funkci-
[g). Podibna sytuaciq postijno vynyka[, zokrema, u kvantovij teori] polq, pry
c\omu, qk pravylo, zburenyj vyraz moΩna rozhlqdaty qk bilinijnyj funkcio-
nal, wo ne dopuska[ zamykannq, tobto mistyt\ synhulqrnu komponentu.
V.<D.<Koßmanenko rozvynuv (1974 – 1984 rr.) zahal\nu teorig rozsiqnnq v ter-
minax napivlinijnyx funkcionaliv. U 1979 r. vin uviv ponqttq synhulqrno] kvad-
ratyçno] formy, vyvçyv vlastyvosti takyx form u ßkali hil\bertovyx prosto-
riv, ustanovyv zv’qzok miΩ synhulqrnymy formamy i samosprqΩenymy rozßy-
rennqmy ermitovyx operatoriv. Metod kvadratyçnyx form doslidΩennq synhu-
lqrno zburenyx operatoriv buv uzahal\nenyj L. P. NyΩnykom (2002 r.) na vypa-
dok syl\nyx synhulqrnostej qk metod bilinijnyx form. Inßyj pidxid do vyv-
çennq synhulqrno zburenyx operatoriv, zaproponovanyj u 1961 r. F. A. Bere-
zinym i L. D. Fadd[[vym (Rosiq), bazu[t\sq na teori] samosprqΩenyx rozßyren\
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
586 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
symetryçnyx operatoriv. Cej pidxid nabuv podal\ßoho rozvytku ta zastosuvan\
u pracqx A. N. Koçubeq (1978 – 1984 rr.), V. D. Koßmanenka u spivavtorstvi z
M.<Vollenberhom, X. Najdxardom, J. F. Braße, S. Al\beverio (Nimeççyna),
V.<Karvovs\kym (Pol\wa) ta S. Ota (Qponiq) (1995 – 1998 rr.), V. A. Myxajlecq
(1992 – 1999 rr.), S. O. KuΩelq (2003 r.), L. P. NyΩnyka (1995 – 2003 rr.) (deqki
spil\ni z S. Al\beverio). MoΩlyvist\ rehulqryzaci] ta aproksymaci] synhulqr-
no zburenyx operatoriv i form bula doslidΩena V. D. Koßmanenkom (spil\no z
V. Karvovs\kym) ta L. P. NyΩnykom. V. D. Koßmanenko (2001 – 2003 rr.) razom
z O. G. Konstantinovym vyvçav takoΩ strukturu spektra operatoriv iz synhu-
lqrnym zburennqm vysokoho porqdku, a razom z H. M. Torbinym — fraktal\ni
vlastyvosti spektral\no] miry. V 2002 r. nym i M. {. Dudkinym rozhlqnuto
variant oberneno] zadaçi na vlasni znaçennq. Do c\oho cyklu doslidΩen\ moΩna
vidnesty j zaproponovanu v 2002 r. G. M. Berezans\kym i J. Braße (Íveciq)
teorig uzahal\nenyx samosprqΩenyx operatoriv, wo digt\ z prostoru osnovnyx
funkcij v uzahal\neni.
U 1994 r. S. O. KuΩel\ rozpoçav poßyrennq sxemy rozsiqnnq Laksa – Fil-
lipsa na evolgci], wo opysugt\sq dyferencial\no-operatornymy rivnqnnqmy
druhoho porqdku hiperboliçnoho typu. Protqhom 1994 – 2002 rr. nym znajdeno
umovy na operator u pravij çastyni rivnqnnq, neobxidni j dostatni dlq toho, wob
vidpovidna hrupa rozv’qzkiv zadaçi Koßi mala vxidnyj i vyxidnyj prostory, oder-
Ωano zobraΩennq matryci rozsiqnnq, opysano vsi nezbureni evolgci] u sxemi
Laksa – Fillipsa, rozv’qzano obernenu zadaçu rozsiqnnq, doslidΩeno zaleΩ-
nist\ matryci rozsiqnnq vid vyboru vil\no] evolgci] i v ramkax ci[] sxemy roz-
hlqnuto novi klasy nelokal\nyx zburen\ radial\noho xvyl\ovoho rivnqnnq ta
rivnqnnq Íredinhera.
Çymalo zadaç analizu j teori] dyferencial\nyx rivnqn\ takoΩ ne zavΩdy
moΩna podaty v operatornij formi, prote ]x moΩna zapysaty, i ce navit\ bil\ß
pryrodno, za dopomohog linijnoho (binarnoho) vidnoßennq — uzahal\nennq li-
nijnoho operatora. Rozvytkovi teori] takyx vidnoßen\ prydileno bahato uvahy
qk u naßij kra]ni, tak i za ]] meΩamy. M. L. Horbaçukom, A. N. Koçube[m ta
M.<O. Rybak opysano vsi maksymal\ni dysypatyvni linijni vidnoßennq v hil\ber-
tovomu prostori, çastynnym vypadkom qkyx [ samosprqΩeni binarni vidnoßennq,
oxarakteryzovani raniße F. S. Rofe-Beketovym (Xarkiv). Cej opys stav vid-
pravnym momentom pry rozrobci v robotax F. S. Rofe-Beketova i M. L. Horbaçu-
ka (1968 – 1972 rr.) metodu opysannq v terminax hranyçnyx umov maksymal\nyx
dysypatyvnyx, zokrema, samosprqΩenyx rozßyren\ pevnoho klasu symetryçnyx
operatoriv u hil\bertovomu prostori. }xni rezul\taty posluΩyly idejnym pid-
©runtqm dlq pobudovy A. N. Koçube[m (1975 – 1980 rr.) teori] rozßyren\ u ter-
minax abstraktnyx hranyçnyx umov dlq dovil\noho symetryçnoho operatora.
Vin uviv ponqttq prostoru hranyçnyx znaçen\ (p. h. z.), pozytyvnoho p. h. z., vid-
povidnyj variant xarakterystyçno] funkci], za dopomohog qkyx opysav riznoma-
nitni klasy rozßyren\ i doslidyv ]x spektral\ni vlastyvosti. Odnoçasno deqki
iz zaznaçenyx rezul\tativ oderΩav V. M. Bruk (Saratov). Zhodom (1982 –
1998<rr.) teoriq rozßyren\ u terminax p. h. z. bula zastosovana A. N. Koçube[m i
V. A. Myxajlecem do neklasyçnyx dyferencial\nyx operatoriv (toçkovi vza[mo-
di], synhulqrni potencialy towo). Cq teoriq znajßla svij podal\ßyj rozvytok
u doslidΩennqx V. O. Derkaça i M. M. Malamuda (Donec\k), O. H. StoroΩa
(L\viv), G. M. Arlins\koho (Luhans\k), S. O. KuΩelq. H. OrudΩeva, M. Bajra-
mohly i Z. Ismajlova (Baku), O. V. Martynenko ta in. G. M. Mytnykom (1992 r.)
znajdeno zv’qzok miΩ riznymy vydamy binarnyx vidnoßen\ i vidpovidnymy klasa-
my dynamiçnyx system.
3. NesamosprqΩeni operatory v hil\bertovomu prostori. Bahato zadaç
teori] dyferencial\nyx rivnqn\ i mexaniky pryvodqt\ do neobxidnosti doslid-
Ωennq kratno] povnoty systemy korenevyx vektoriv operatornoznaçnyx funk-
cij L ( λ ), analityçno zaleΩnyx vid spektral\noho parametra λ. Perßi osnovo-
poloΩni rezul\taty v c\omu naprqmku naleΩat\ M. V. Keldyßu (Moskva,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 587
1951<r.); vony stosuvalys\ vypadku, koly L ( λ ) — operatornoznaçnyj polinom
vid λ (tak zvanyj puçok operatoriv Keldyßa), i daly zmohu ob©runtuvaty vyko-
rystannq metodu vidokremlennq zminnyx pry rozv’qzanni zadaçi Koßi dlq dyfe-
rencial\no-operatornyx rivnqn\. Svoho podal\ßoho rozvytku ci rezul\taty
nabuly v robotax M. H. Krejna ta joho uçniv, kotri dostemenno vyvçyly pytannq
povnoty ta bazysnosti çastyny korenevyx vektoriv kvadratyçnoho puçka samo-
sprqΩenyx operatoriv, wo umoΩlyvylo zastosuvannq metodu vidokremlennq
zminnyx i pry rozv’qzuvanni zadaçi na pivosi z hranyçnog umovog v nuli dlq riv-
nqnnq druhoho porqdku z samosprqΩenymy operatornymy koefici[ntamy.
DoslidΩennq M. V. Keldyßa i M. H. Krejna prodovΩyv u 1971 – 1992 rr.
H.<V. Radzi[vs\kyj (uçen\ A. H. Kostgçenka (Moskva); v instytuti pracg[ z
1974<r.), kotryj uviv ponqttq poxidnoho lancgΩka — ob’[kta, wo vidpovida[ v
pevnomu rozuminni hranyçnym znaçennqm elementarnyx rozv’qzkiv operatorno-
dyferencial\nyx rivnqn\. Dlq ßyrokoho klasu poxidnyx lancgΩkiv nym dove-
deno teoremy pro povnotu, bazysnist\ i minimal\nist\ u ßkalax hil\bertovyx
prostoriv, zavdqky qkym stalo moΩlyvym zastosuvannq metodu vidokremlennq
zminnyx pry rozv’qzanni ßyrokoho klasu hranyçnyx zadaç qk na skinçennomu
vidrizku, tak i na pivosi dlq rivnqn\ bud\-qkoho porqdku z nesamosprqΩenymy
operatornymy koefici[ntamy. H. V. Radzi[vs\kyj doviv n-kratnu povnotu v ro-
zuminni Keldyßa z toçnistg do skinçennovymirnoho pidprostoru prostoru kore-
nevyx vektoriv puçka operatoriv Keldyßa, zburenoho analityçnog zovni kruha
operator-funkci[g; nym takoΩ znajdeno ocinky rezol\venty i asymptotyku
spektra operatoriv i analityçnyx operator-funkcij zi skladnym vxodΩennqm
spektral\noho parametra. Dlq polinomial\nyx puçkiv operatoriv vin uperße
rozhlqnuv pytannq ekvivalentnosti miΩ poxidnymy lancgΩkamy, wo vidpovi-
dagt\ zadaçi Dirixle na skinçennomu vidrizku abo na pivosi, i poxidnymy lan-
cgΩkamy, pov’qzanymy iz zadaçeg Koßi, a ce dozvolylo istotno sprostyty dos-
lidΩennq zadaçi Dirixle. Nym takoΩ znajdeno oznaky linijno] nezaleΩnosti
poxidnyx lancgΩkiv, asocijovanyx z riznymy hranyçnymy zadaçamy, i ci rezul\-
taty zastosovano do doslidΩennq [dynosti rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq sys-
tem zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\.
V instytuti vyvçalys\ i deqki inßi pytannq, wo torkagt\sq zahal\nyx nesa-
mosprqΩenyx operatoriv u hil\bertovomu prostori, a same: pobudova operacij-
noho çyslennq dlq klasiv neanalityçnyx funkcij vid nesamosprqΩenyx opera-
toriv zi spektrom, roztaßovanym na dijsnij osi, i pevnog povedinkog rezol\ven-
ty — ci klasy vyznaçagt\sq porqdkom rostu ostann\o] pry nablyΩenni do spek-
tra (G. M. Berezans\kyj, V. I. Horbaçuk, L. B. Fedorova); povnota ta bazysnist\
systemy vlasnyx i pry[dnanyx vektoriv riznomanitnyx nesamosprqΩenyx zadaç
qk dlq dyferencial\nyx rivnqn\ eliptyçnoho typu, tak i dlq dyferencial\no-
operatornyx rivnqn\ (V. A. Myxajlec\, M. L. Horbaçuk). MoΩlyvist\ analityç-
noho prodovΩennq çerez neperervnyj spektr po spektral\nomu parametru re-
zol\vent qk abstraktnyx, tak i deqkyx dyferencial\nyx operatoriv bula dos-
lidΩena L. P. NyΩnykom i L. I. DgΩenkovog.
U 2001 r. M. L. Horbaçuk znajßov kryteri] povnoty systemy korenevyx vek-
toriv zamknenoho operatora z meromorfnog rezol\ventog u banaxovomu prosto-
ri v terminax ]] povedinky na neskinçennosti, a takoΩ u terminax rozv’qznosti v
klasi cilyx vektor-funkcij eksponencial\noho typu zadaçi Koßi dlq evolgcij-
noho rivnqnnq, pobudovanoho za zadanym operatorom. H. V. Radzi[vs\kyj dosli-
dyv rizni metody pidsumovuvannq rozkladiv za korenevymy vektoramy qk abst-
raktnyx linijnyx operatoriv u banaxovomu prostori, tak i operatoriv, porodΩe-
nyx krajovymy zadaçamy dlq funkcional\no-dyferencial\nyx vyraziv, ta
ßvydkist\ ]x zbiΩnosti. U vypadku abstraktnyx operatoriv ocinky dagt\sq v
terminax K-funkcionaliv, pobudovanyx za cymy operatoramy, a dlq krajovyx
zadaç — u terminax moduliv hladkosti, pov’qzanyx z krajovymy umovamy.
V.<A.<Myxajlec\ (1980 – 1981 rr.) ustanovyv zv’qzok miΩ asymptotyçnymy roz-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
588 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
podilamy vlasnyx znaçen\ nesamosprqΩenoho operatora, zadanoho kvadratyç-
nog formog, i samosprqΩenoho operatora, porodΩenoho ]] dijsnog çastynog.
4. Alhebra]çni pytannq funkcional\noho analizu. Rozvytok c\oho nap-
rqmu v instytuti poçavsq u 1934 – 1935 rr. z robit M. P. Kravçuka, prysvqçenyx
zvedenng do kanoniçnoho vyhlqdu systemy perestavnyx matryc\. Istotni re-
zul\taty oderΩano v harmoniçnomu analizi na hrupax. Tak, u 1941 r. M.<H.<Krejn
doviv teoremu Planßerelq dlq komutatyvno] lokal\no kompaktno] hrupy, a v
1940 – 1950 rr. doslidyv dodatno vyznaçeni qdra, zadani na hrupi abo na mnoho-
vydi, de di[ hrupa, i dav ]x intehral\ni zobraΩennq çerez elementarni qdra. V
1949 r. vin vyvçyv dvo]styj ob’[kt do kompaktno] nekomutatyvno] hrupy (v komu-
tatyvnomu vypadku cej ob’[kt peretvorg[t\sq na hrupu xarakteriv).
V.<M.<Hlußkov, kotryj pracgvav v instytuti v 1956 – 1957 rr., rozhlqnuv nepe-
rervni hrupy v bil\ß alhebra]çnomu aspekti i oderΩav nyzku vaΩlyvyx rezul\-
tativ, pov’qzanyx iz p’qtog problemog Hil\berta, wodo struktury nekomutatyv-
nyx lokal\no kompaktnyx hrup.
Do cyx pytan\ prymyka[ pobudova G. M. Berezans\kym i S. H. Krejnom v 1950
– 1957 rr. zahal\no] teori] komutatyvnyx hiperkompleksnyx system z lokal\no
kompaktnym bazysom, qki uzahal\nggt\ ponqttq hrupovoho kil\cq hrupy. Na
taki systemy ]m vdalosq perenesty çymalo poloΩen\ harmoniçnoho analizu.
Pidkreslymo, wo teoriq cyx system pereduvala stvorenng teori] hiperhrup, kot-
ra po suti [ ]] uzahal\nennqm i aktyvno rozvyva[t\sq na Zaxodi poçynagçy z 70-x
rokiv mynuloho stolittq. Ostannim çasom G. M. Berezans\kyj razom z O. O. Ka-
lgΩnym i L. J. Vajnermanom povernuvsq do ci[] tematyky u zv’qzku z ponovlen-
nqm interesu do podibnyx pobudov, osoblyvo za kordonom. Dlq nekomutatyvnyx
hiperkompleksnyx system nymy oderΩano rqd faktiv harmoniçnoho analizu i
teori] zobraΩen\. Dlq deqkyx ]x klasiv pobudovano elementy teori] Li
(O.<O.<KalgΩnyj, H. B. Podkolzin); rezul\taty zastosovano do intehruvannq
nelinijnyx rivnqn\ (H. B. Podkolzin). Navedeno novi pryklady hiperkompleks-
nyx system iz kompaktnym ta dyskretnym bazysom, pov’qzani z q-polinomamy
Qkobi (L. J. Vajnerman, G. A. Çapovs\kyj, I. Vajs (Nimeççyna)). Dlq c\oho na
kompaktni kvantovi hrupy bulo pereneseno konstrukcig podvijnyx klasiv
sumiΩnosti. V 1986 r. V. V. Lgbaßenko (uçen\ G. L. Dalec\koho) rozhlqnuv
uzahal\nennq mnohovydiv, pov’qzani z involgtyvnymy rozv’qzkamy rivnqnnq Qnha
– Bakstera, ta intehruvannq na takyx mnohovydax. Vin takoΩ pobuduvav zobra-
Ωennq typu Barhmana – Foka alhebry funkcij na zahal\nij linijnij kvantovij
hrupi u prostori cilyx funkcij, zadanyx na vektornomu prostori. V instytuti
vyvçalys\ j inßi pytannq, qki magt\ vidnoßennq do ci[] teori]: pobudovano
nekomutatyvnyj harmoniçnyj analiz na alhebrax H. I. Kaca (na kil\cevyx hrupax)
(V. H. Palgtkin), vvedenyx nym u procesi rozvytku zhadanyx vywe doslidΩen\
M. H. Krejna dvo]styx ob’[ktiv qk pryrodne uzahal\nennq lokal\no kompaktnyx
hrup; rozhlqnuto analohy alhebr H. I. Kaca dlq hiperkompleksnyx system
(L.<J.<Vajnerman, O. O. KalgΩnyj).
Zaznaçeni doslidΩennq tisno pov’qzani z zahal\nog teori[g topolohiçnyx,
zokrema normovanyx, alhebr. U zv’qzku z cym ne moΩna ne vidmityty rezul\taty
H. {. Íylova, kotryj u 1953 r. rozv’qzav odnu z problem teori] normovanyx
alhebr perßorqdnoho znaçennq — doviv, wo alhebra z nezv’qznog mnoΩynog
maksymal\nyx idealiv rozklada[t\sq v prqmu sumu idealiv. U 1951 – 1952 rr. vin
nakreslyv takoΩ zahal\nu konstrukcig dlq pobudovy vaΩlyvoho klasu odno-
ridnyx alhebr funkcij na komutatyvnij hrupi z prymarnyx alhebr ta detal\no
doslidyv deqki konkretni hrupy.
Pytannq spektral\no] teori] simej neobmeΩenyx operatoriv, qki ne komutu-
gt\, a pov’qzani pevnymy nelijovymy perestavnymy spivvidnoßennqmy (napryk-
lad, antykomutugt\, utvorggt\ zobraΩennq tvirnyx *-alhebr towo), buly roz-
hlqnuti G. S. Samojlenkom (1977 – 1984 rr.). U deqkyx vypadkax jomu vdalosq
opysaty nezvidni sim’] ta oderΩaty analohy spektral\nyx zobraΩen\. Dlq si-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 589
mej, pov’qzanyx spivvidnoßennqmy, teoriq zobraΩen\ qkyx zvodyt\sq do roz-
v’qzannq dynamiçnyx system, G. M. Berezans\kyj, V. L. Ostrovs\kyj, G. S. Sa-
mojlenko v 1986 r. pobuduvaly komutatyvni modeli; vypadky modelej, wo dagt\
analohy spektral\nyx rozkladiv, rozhlqnuly E. G. Vajsleb i G. S. Samojlen-
ko. Na osnovi oderΩanyx rezul\tativ bulo vyvçeno klas operatornyx spivvidno-
ßen\, asocijovanyx iz dynamiçnymy systemamy, zokrema, vstanovleno vza[mozv’q-
zok miΩ nezvidnymy zobraΩennqmy spivvidnoßen\ ta orbitamy vidpovidnyx dyna-
miçnyx system v odnovymirnomu (E. G. Vajsleb, V. L. Ostrovs\kyj, G. S. Sa-
mojlenko) ta bahatovymirnomu (V. L. Ostrovs\kyj, L. B. Turovs\ka) vypadkax,
doslidΩeno strukturu obvidno] C*
-alhebry (S. V. Popovyç, T. G. Majstrenko) i
zv’qzok rozhlqduvanoho klasu spivvidnoßen\ iz centrovanymy operatoramy
(V.<L. Ostrovs\kyj). Rezul\taty poßyreno na vypadok zahal\nyx napivlijovyx
spivvidnoßen\ miΩ operatoramy (G. M. Bespalov, L. B. Turovs\ka, V.<S.<Íul\-
man (Volohda), G. S. Samojlenko).
U 1988 r. dlq kvadratyçnyx *-alhebr z dvoma tvirnymy V. L. Ostrovs\kyj i
G. S. Samojlenko daly povnu klasyfikacig 16-ty typiv i 4-x serij alhebr, wo
zaleΩat\ vid dijsnoho parametra, ta ]x zobraΩennq, vzahali kaΩuçy, neobmeΩe-
nymy operatoramy. Vyvçalys\ takoΩ oblasti Hordinha dlq unitarnyx zobra-
Ωen\ neskinçennovymirnyx hrup (O. V, Kosqk, V. L. Ostrovs\kyj, G. S. Samoj-
lenko), kvaziinvariantni miry na neskinçennovymirnyx hrupax (O. V. Kosqk,
G.<S.<Samojlenko, V. L. Ostrovs\kyj).
U robotax O. V. Kosqka 1990 – 2003 rr. zaproponovano dosyt\ zahal\nyj
pidxid do pobudovy nezvidnyx unitarnyx zobraΩen\ neskinçennovymirnyx hrup.
Sformul\ovano pryncyp perevirky nezvidnosti zobraΩen\, pobudovanyx za
kvaziinvariantnog vidnosno di] vidpovidno] hrupy mirog na neskinçennovymirno-
mu odnoridnomu prostori, v terminax vlastyvostej miry. Ce dalo zmohu pobudu-
vaty analohy rehulqrnyx, kvazirehulqrnyx i bil\ß zahal\nyx zobraΩen\ neskin-
çennovymirnyx hrup ta dovesty ]x nezvidnist\ dlq riznomanitnyx hrup operato-
riv, dyfeomorfizmiv vidrizka, kola ta central\noho rozßyrennq hrupy dyfeo-
morfizmiv kola. U vypadku neskinçennovymirno] borel\ovo] hrupy nezvidnist\
vidpovidnoho kvazirehulqrnoho zobraΩennq bula dovedena spil\no z S. Al\be-
verio (Nimeççyna).
Dlq *-alhebr vvedeno ponqttq maΩoruvannq, qke dozvolq[ ocingvaty
skladnist\ zadaçi opysannq ]x *-zobraΩen\, i na joho osnovi — ponqttq *-dyko-
sti (S.<A.<Kruhlqk, G. S. Samojlenko). Vstanovleno dykist\ vaΩlyvyx klasiv i
konkretnyx *-alhebr (S. A. Kruhlqk, G. S. Samojlenko, O. G. Pyrqtyns\ka,
G. M. Bespalov, O. O. Pavlenko).
V seredyni 90-x rokiv 20-ho st. rozpoçalos\ doslidΩennq *-alhebr Vika ta ]x
zobraΩen\. Ci alhebry [ bahatovymirnymy deformaciqmy klasyçnyx kanoniçnyx
spivvidnoßen\ kvantovo] mexaniky. Uperße vony buly rozhlqnuti v robotax
P.<E. T. Jorhensena (SÍA), L. M. Ímitta (Qponiq) ta R. F. Vernera (Nimeççy-
na) v 1995 r. V instytuti taki alhebry vyvçagt\sq z 1997 r. V rezul\tati opy-
sano odnoridni kubiçni idealy Vika dlq alhebr z kosovym operatorom koefici[n-
tiv (D. P. Proskurin), pobudovano novyj klas deformacij kanoniçnyx komuta-
cijnyx spivvidnoßen\, opysano nezvidni zobraΩennq alhebr c\oho klasu obmeΩe-
nymy ta neobmeΩenymy operatoramy (V. L. Ostrovs\kyj, D. P. Proskurin,
G.<S.<Samojlenko). Odnym iz vaΩlyvyx dosqhnen\ v zahal\nij teori] alhebr Vi-
ka [ opys D. P. Proskurinym, G. S. Samojlenkom ta P. E. T. Jorhensenom qdra
fokovoho skalqrnoho dobutku dlq alhebr z kosovym operatorom koefici[ntiv,
qkyj pidtverdyv pravyl\nist\ hipotezy pro te, wo ce qdro qk *-ideal porodΩu-
[t\sq maksymal\nym kvadratyçnym idealom Vika.
Znaçnu uvahu takoΩ bulo prydileno rozhlqnutym raniße deformaciqm CCR,
takym, qk skruçeni komutacijni j antykomutacijni spivvidnoßennq V. Pußa i
S.<L.<Voronovyça (Pol\wa), a takoΩ komutacijnym spivvidnoßennqm dlq uza-
hal\nenyx kuoniv. Sered osnovnyx rezul\tativ vidznaçymo toçnist\ zobraΩennq
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
590 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
Foka qk dlq *-alhebr, tak i dlq C*
-alhebr, porodΩenyx cymy spivvidnoßennq-
my (Z. A. Kabluçko, D. P. Proskurin, G. S. Samojlenko), i nezaleΩnist\ klasu
izomorfizmu C*
-alhebr, porodΩenyx skruçenymy kanoniçnymy komutacijnymy
spivvidnoßennqmy, vid parametra deformaci] (D. P. Proskurin, G. S. Samoj-
lenko).
We odyn naprqm doslidΩen\ stosu[t\sq vyvçennq alhebr Kunca ta ]x zobra-
Ωen\. Dlq zobraΩennq takyx alhebr pobudovano komutatyvni modeli i za ]x
dopomohog — qvni formuly dlq operatoriv zobraΩennq, porodΩugçoho fak-
tor typu III (V. L. Ostrovs\kyj spil\no z U. Bratteli (Norvehiq) ta P. E. T. Jor-
hensenom); dovedeno, wo C*
-alhebra, porodΩena parog q-komutugçyx izomet-
rij, izomorfna rozßyrenng alhebry Kunca za raxunok alhebry kompaktnyx ope-
ratoriv, tobto alhebri Kunca – T\oplica (P. E. T. Jorhensen, D. P. Proskurin,
G.<S. Samojlenko, 2003 r.).
U 1997 r. bulo takoΩ rozrobleno texniku perevirky isnuvannq polinomial\-
nyx totoΩnostej v alhebri (V. I. Rabanovyç, G. S. Samojlenko). Za dopomohog
metodiv teori] zobraΩen\, dlq deqkyx mnoΩyn alhebr, porodΩenyx idempoten-
tamy i proektoramy, bulo z’qsovano (1997 – 2003 rr.), v qkyx alhebrax, wo vxo-
dqt\ u zadanu mnoΩynu, [ polinomial\ni totoΩnosti, a v qkyx ]x nema[ (N. D. Po-
pova, S. V. Popovyç, V. I. Rabanovyç, O. V. Strilec\).
U robotax V. I. Rabanovyça 1997 – 1999 rr. rozhlqnuto pytannq pro minimal\-
nu kil\kist\ tvirnyx operatoriv, wo porodΩugt\ matryçni banaxovi alhebry i
C*
-alhebry. Rezul\taty stosugt\sq odnoho abo dvox heneratoriv.
Iz 1999 r. intensyvno vyvçagt\sq *-alhebry, porodΩeni skinçennog kil\-
kistg proektoriv, linijna kombinaciq kotryx [ kratnog odynyci. Dlq alhebr ta-
koho typu opysano mnoΩyny parametriv, pry qkyx vony magt\ *-zobraΩennq,
znajdeno umovy naqvnosti polinomial\nyx totoΩnostej, doslidΩeno strukturu
*-zobraΩen\ (G. S. Samojlenko, S. A. Kruhlqk, V. L. Ostrovs\kyj, V. I. Rabano-
vyç, O. V. Strilec\, A. S. Mellit, M. O. Vlasenko, S. V. Popovyç). Ci doslid-
Ωennq tisno pov’qzani z vidomog problemog pro spektr sumy dvox ermitovyx
matryc\, perßi vahomi rezul\taty v rozv’qzanni qko] (poçatok 20-ho st.) nale-
Ωat\ H. Vejlg.
5. Spektral\na teoriq dyferencial\nyx operatoriv. U 1946 – 1950 rr.
M. H. Krejn metodom naprqmnyx funkcionaliv oderΩav zahal\ni teoremy pro
rozklad za vlasnymy funkciqmy samosprqΩenyx zvyçajnyx dyferencial\nyx
operatoriv, a v 1956 – 1965 rr. G. M. Berezans\kyj za dopomohog rozvynuto]
nym teori] rozkladiv doviv podibni teoremy u vypadku çastynnyx poxidnyx, pry-
çomu dlq eliptyçnyx operatoriv — aΩ do meΩi oblasti.
M. H. Krejn na osnovi pobudovano] nym teori] rozßyren\ operatoriv dav
(1947<r.) povnyj opys u terminax hranyçnyx umov usix samosprqΩenyx rozßyren\
minimal\noho operatora, porodΩenoho zvyçajnym dyferencial\nym vyrazom, i
vyvçyv strukturu ]x spektra. V 1950 r. vin perenis na operatory Íturma – Liu-
villq na pivosi rezul\taty Nevanlinny stosovno opysu spektral\nyx funkcij u
teori] qkobijovyx matryc\ ta problemi momentiv, zastosuvavßy pry c\omu za-
hal\ni ide] teori] cilyx operatoriv.
G. M. Berezans\kyj, poçynagçy z 1965 r., rozroblqv pryjomy dovedennq sa-
mosprqΩenosti operatoriv na osnovi vyvçennq vidpovidnyx evolgcijnyx rivnqn\.
Za dopomohog cyx pryjomiv jomu vdalosq oderΩaty nyzku kryteri]v samo-
sprqΩenosti dlq eliptyçnyx operatoriv. Zhodom vin razom zi svo]my uçnqmy
H.<F.<Usom, G. H. Kondrat\[vym i V. H. Samojlenkom rozvynuv spektral\nu teo-
rig eliptyçnyx operatoriv neskinçenno] kil\kosti zminnyx, modelggçyx hamil\-
toniany kvantovo] teori] polq, i poßyryv na nyx bahato iz zhadanyx vywe re-
zul\tativ. Do c\oho Ω naprqmu vidnosqt\sq j doslidΩennq L. P. NyΩnyka
spektral\nyx vlastyvostej neeliptyçnyx operatoriv z çastynnymy poxidnymy
(samosprqΩenist\, xarakter spektra, vyhlqd zburen\, zberihagçyx hranyçnyj
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 591
spektr zahal\nyx dyferencial\nyx operatoriv zi stalymy koefici[ntamy, to-
wo), v tomu çysli j provedenyj spil\no z {. I. Amerovog detal\nyj spektral\-
nyj analiz dvovymirnoho nestacionarnoho operatora Diraka, ta ocinky G. M. Be-
rezans\koho, H. I. Kaca, A. H. Kostgçenka i G. B. Oroçka rostu na neskinçen-
nosti vlasnyx funkcij operatora Íredinhera.
L. P. NyΩnyk zaproponuvav efektyvnyj alhorytm dlq pidraxunku kil\kosti
vid’[mnyx vlasnyx znaçen\ odnovymirnoho operatora Íredinhera z toçkovymy
vza[modiqmy, zokrema, v terminax lancghovyx drobiv, pobudovanyx za intensyv-
nostqmy ta vidstanqmy miΩ toçkovymy vza[modiqmy, znajßov neobxidni j dos-
tatni umovy, za qkyx vid’[mni vlasni znaçennq abo ne isnugt\, abo ]x kil\kist\
zbiha[t\sq z kil\kistg vza[modij. Vin takoΩ doslidyv spektral\ni vlastyvosti
operatora Íredinhera z δ′-vza[modi[g na kantorovij mnoΩyni. U vypadku
vid’[mno] intensyvnosti vza[modi] takyj operator ma[ poslidovnist\ vid’[mnyx
vlasnyx znaçen\, wo prqmu[ do neskinçennosti. V 2001 r. V. D. Koßmanenko
(spil\no z S. Al\beverio) prodovΩyv rozvytok zapoçatkovanoho X. Tribelem
(1997 r.) pidxodu do spektral\noho analizu operatora Íredinhera z fraktal\-
nym potencialom, a takoΩ pracgvav (razom z V. Karvovs\kym) nad problemog
isnuvannq ta rozpodilu vid’[mnyx vlasnyx znaçen\ synhulqrno zburenoho opera-
tora Laplasa.
Z 1968 r. v instytuti rozvyva[t\sq spektral\na teoriq hranyçnyx zadaç dlq
dyferencial\nyx rivnqn\, koefici[ntamy qkyx [ neobmeΩeni operatory v hil\-
bertovomu prostori. Naqvnist\ neobmeΩenyx operatoriv u koefici[ntax dozvo-
lq[ vvesty do rozhlqdu najriznomanitnißi klasy rivnqn\ z çastynnymy poxidny-
my i pohlqnuty z odni[] j ti[] Ω toçky zoru qk na zvyçajni dyferencial\ni ope-
ratory, tak i na operatory z çastynnymy poxidnymy.
U 1970 r. M. L. Horbaçuk opysav u terminax hranyçnyx umov usi samosprq-
Ωeni rozßyrennq minimal\noho operatora, porodΩenoho vyrazom Íturma – Liu-
villq z potencialom, znaçennqmy qkoho [ samosprqΩeni operatory. Razom z
V.<I.<Horbaçuk vin u 1968 – 1974 rr. doslidyv strukturu spektra hranyçnyx zadaç,
wo vidpovidagt\ cym rozßyrennqm, a v hiperboliçnomu vypadku oderΩav roz-
klad za vlasnymy funkciqmy, podibnyj rozkladovi H. Vejlq dlq zvyçajnoho riv-
nqnnq Íturma – Liuvillq. M. L. Horbaçukom ta joho uçnqmy A. N. Koçube[m,
V. A. Myxajlecem i L. J. Vajnermanom vyvçeno j inßi typy hranyçnyx zadaç
(dysypatyvni, sektorial\ni, rozv’qzni towo). Rezol\ventnij porivnqnnosti riz-
nyx hranyçnyx zadaç na pivosi, qka ma[ bezposeredn[ vidnoßennq do zadaç roz-
siqnnq, prysvqçeno roboty M. L. Horbaçuka i V. O. Kutovoho. ZnaxodΩennqm
kryteri]v samosprqΩenosti minimal\noho operatora zajmalys\ G. B. Oroçko,
M.<L. Horbaçuk, L. J. Vajnerman ta A. N. Koçubej.
V instytuti (80 – 90-i rr. 20-ho st.) rozv’qzano takoΩ rqd inßyx pytan\
spektral\no] teori] dyferencial\nyx operatoriv. Tak, V. I. Horbaçuk i V. A. My-
xajlecem rozhlqnuto samosprqΩeni operatory, porodΩeni zahal\nym eliptyç-
nym vyrazom parnoho porqdku v obmeΩenij oblasti ta dovil\nymy hranyçnymy
umovamy. DoslidΩeno zv’qzok miΩ cymy umovamy i spektrom operatora. Znaj-
deno kryteri] dyskretnosti spektra i doslidΩeno joho asymptotyku. V. A. My-
xajlec\ dav toçnu ocinku zalyßkovoho çlena typu H. Vejlq – R. Sili v asympto-
tyçnij formuli dlq funkci] rozpodilu vlasnyx znaçen\. U vypadku operatoriv,
porodΩenyx rivnqnnqm Laplasa i umovamy Dirixle ta Nejmana v deqkyx oblas-
tqx z nehladkog meΩeg, V. A. Myxajlecem (1978 r.) i A. F. Íestopalom
(1991<r.) dlq ci[] funkci] bulo znajdeno dvoçlennu asymptotyku (hipoteza
H.<Vejlq, 1913 r.). Sgdy Ω vidnosqt\sq i roboty V. O. Liskevyça 1987 – 1989 rr.
zi spektral\no] teori] dlq eliptyçnyx rivnqn\ z nerehulqrnymy koefici[ntamy.
A. N. Koçubej i V. A. Myxajlec\ rozvynuly spektral\nu teorig zahal\nyx od-
noridnyx hranyçnyx zadaç dlq dvoçlennyx rivnqn\ parnoho porqdku z neobme-
Ωenymy operatornymy koefici[ntamy. Porqd z dvotoçkovymy vyvçalys\ i ba-
hatotoçkovi zadaçi. V 1991 – 1992 rr. G. M. Berezans\kyj i O. G. Konstantinov
rozvynuly teorig bahatospektral\nyx zadaç dlq zahal\nyx i dyferencial\nyx
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
592 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
operatoriv i dovely vidpovidnu teoremu pro rozklad za vlasnymy funkciqmy.
Hranyçni zadaçi dlq eliptyçnoho vyrazu parnoho porqdku zi spektral\nym
parametrom, wo linijno vxodyt\ u hranyçni umovy, rozhlqdalys\ V. V. Barkov-
s\kym, L. P. NyΩnykom, L. A. Taraborkinym ta in. (samosprqΩenist\, hladkist\
rozv’qzkiv, oblast\ vyznaçennq drobovoho stepenq operatora, asocijovanoho iz
zadaçeg, towo). Ce dalo zmohu na osnovi operatornoho pidxodu doslidyty li-
nijni j nelinijni zadaçi z mißanymy evolgcijnymy hranyçnymy umovamy ta umo-
vamy sprqΩennq. V. V. Barkovs\kym takoΩ znajdeno umovy samosprqΩenosti ta-
kyx operatoriv, porußeno pytannq pro rozklad za ]xnimy vlasnymy funkciqmy,
doslidΩeno vidpovidnu zadaçu rozsiqnnq. Dlq dyferencial\nyx rivnqn\ dru-
hoho porqdku v hil\bertovomu prostori z neobmeΩenymy operatornymy koefi-
ci[ntamy podibni zadaçi rozhlqdaly V. I. Horbaçuk, M. O. Rybak i L. O. Olijnyk.
U 1988 – 1989 rr. H. V. Radzi[vs\kyj doslidyv spektral\ni vlastyvosti deqkyx
funkcional\no-operatornyx rivnqn\, a same, asymptotyku za spektral\nym pa-
rametrom vlasnyx znaçen\ hranyçnyx zadaç dlq takyx rivnqn\, ßvydkist\
zbiΩnosti rozkladiv za vlasnymy funkciqmy, a takoΩ (razom z A. M. Homilkom)
rivnozbiΩnist\ cyx rozkladiv iz klasyçnymy rqdamy Fur’[. Dlq vypadku, koly
spektral\nyj parametr vxodyt\ do hranyçnyx umov dosyt\ zahal\nym çynom,
V.<H. Palgtkin rozvynuv analityçnyj pidxid do otrymannq asymptotyçnyx for-
mul, wo xarakteryzugt\ rozpodil vlasnyx znaçen\ hranyçnyx zadaç dlq zvyçaj-
nyx dyferencial\nyx rivnqn\ na pivosi.
V. A. Myxajlecem (1992 – 1993 rr.) za dopomohog teoretyko-operatornyx za-
sobiv pobudovano spektral\nu teorig operatora Íredinhera na prqmij iz zahal\-
nymy toçkovymy vza[modiqmy na dovil\nij neskinçennij dyskretnij mnoΩyni.
Znajdeno kryteri] samosprqΩenosti takoho operatora, doslidΩeno qkisni ta
kil\kisni vlastyvosti spektra. Zokrema, spil\no z A. V. Sobol[vym (Velykobry-
taniq) dovedeno absolgtnu neperervnist\ spektra samosprqΩenoho periodyçno-
ho operatora u nevyrodΩenomu vypadku.
V 1991 – 2002 rr. A. N. Koçubej opublikuvav serig robit, prysvqçenyx psev-
dodyferencial\nym operatoram nad polem p-adyçnyx çysel i zahal\nymy lo-
kal\nymy polqmy, v qkyx doslidΩuvalys\ spektral\ni vlastyvosti operatoriv
typu Íredinhera nad lokal\nym polem ta operatoriv drobovoho dyferencig-
vannq na obmeΩenij vidkrytij mnoΩyni lokal\noho polq (zadaça spektral\no]
heometri]).
Tut my torknulysq lyße prqmo] zadaçi spektral\noho analizu, obernena za-
daça rozhlqdatymet\sq v p. 7.
6. Problema momentiv, dodatno vyznaçeni funkci] i spektral\na teoriq
riznycevyx rivnqn\. Qkobijovi polq. Klasyçna problema momentiv — odna z
tyx zadaç, rozv’qzuvannq qko] pryvelo do poqvy nyzky novyx naprqmiv u funkci-
onal\nomu analizi. Slid vidznaçyty osoblyvyj vplyv na ]x vynyknennq i rozvy-
tok publikacij M. H. Krejna, N. I. Axi[zera (Xarkiv) i M. P. Kravçuka. Porqd iz
zhadanymy v p. 2 vidmitymo nastupni doslidΩennq, pov’qzani z ci[g problemog.
V 1940 – 1951 rr. M. H. Krejn doviv teoremu pro moΩlyvist\ prodovΩennq
dodatno vyznaçeno] funkci] zi skinçennoho intervalu na vsg vis\, opysav taki
prodovΩennq i pobuduvav zahal\nu teorig intehral\nyx zobraΩen\ dodatno vy-
znaçenyx qder çerez vlasni funkci] zvyçajnyx dyferencial\nyx operatoriv;
çastynnymy naslidkamy ci[] teoremy [ vidomi teoremy S. Boxnera pro intehral\-
ne zobraΩennq dodatno vyznaçeno] funkci], S. N. Bernßtejna pro zobraΩennq
eksponencial\no opuklo] funkci] ta in. Analohiçni pytannq dlq ermitovo-inde-
finitnyx qder zi skinçennog kil\kistg vid’[mnyx kvadrativ rozhlqnula
V.<I.<Horbaçuk. G. M. Berezans\kyj u 1956 – 1965 rr. rozvynuv teorig zobra-
Ωen\ dodatno vyznaçenyx qder, zaleΩnyx vid bahat\ox zminnyx, çerez vlasni
funkci] rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy i riznycqmy (sgdy takoΩ vidnosqt\sq
rezul\taty M. M. Çausa 1963 – 1965 rr. stosovno zv’qzku ci[] teori] z klasamy
[dynosti rozv’qzku zadaçi Koßi), a v 1967 – 1972 rr. poßyryv ]] (çastkovo zi
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 593
svo]my uçnqmy S.<N. Íyfrinym ta I. M. Hali) i na vypadok neskinçenno] kil\kos-
ti zminnyx (uzahal\nyvßy, zokrema, teoremu Minlosa – Sazonova na ßar hil\ber-
tovoho prostoru). Blyz\ki rezul\taty, wo stosugt\sq zobraΩen\ pozytyvnyx
funkcionaliv u topolohiçnyx alhebrax pevnoho klasu, oderΩaly v 1986 –
1988<rr. G. M. Berezans\kyj, V. S. Qkovl[v ta H. Lassner (Nimeççyna). Z ci[g
tematykog pov’qzani j newodavni rezul\taty G. M. Berezans\koho i O. B. Çer-
nobaj wodo spektral\nyx zobraΩen\ qder T\oplica.
Vidomo, wo problemu momentiv moΩna interpretuvaty qk teorig qkobijovyx
matryc\, tobto qk spektral\nu teorig riznycevyx rivnqn\ na pivosi. U zv’qzku z
cym M. H. Krejn u 1949 r. pobuduvav podibnu teorig dlq zvyçajnyx riznycevyx
rivnqn\ vysokoho porqdku, a G. M. Berezans\kyj (1953 – 1955 rr.) — dlq riv-
nqn\ z çastynnymy riznycqmy. U podal\ßomu G. M. Berezans\kym ta joho uç-
nqmy, zokrema V. H. Tarnopol\s\kym, G. S. Samojlenkom i M. L. Horbaçukom,
bulo rozhlqnuto rizni operatorni uzahal\nennq cyx i blyz\kyx teorij: riznycevi
rivnqnnq z operatornymy koefici[ntamy, neskinçennovymirna i nekomutatyvna
problemy momentiv, teoriq operatornoznaçnyx dodatno vyznaçenyx qder.
G.<M.<Berezans\kyj, G. H. Kondrat\[v, {. V. Lytvynov i T. Kuna (Nimeççyna)
doslidyly (1999 – 2003 rr.) uzahal\nenu problemu momentiv, pov’qzanu z kore-
lqcijnymy miramy statystyçno] mexaniky.
U 1991 r. G. M. Berezans\kyj ta joho uçni {. V. Lytvynov, V. O. Livins\kyj i
D. A. MerΩe[vs\kyj rozpoçaly intensyvne vyvçennq qkobijovyx poliv — komu-
tugçyx simej samosprqΩenyx operatoriv, wo digt\ u symetryçnomu prostori
Foka i magt\ trydiahonal\nu (qkobijovu) strukturu. Prykladamy takyx poliv [
klasyçne vil\ne pole operatoriv, puassonove pole i podibni do nyx ob’[kty, wo
çasto vykorystovugt\sq v matematyçnij fizyci j teori] vypadkovyx procesiv.
Zokrema, nymy pobudovano ta vyvçeno peretvorennq Fur’[ za sumisnymy uzahal\-
nenymy vektoramy qkobijovoho polq, wo perevodyt\ fokovi vektory u funkci]
neskinçennovymirnoho arhumentu, qkym [ uzahal\nena funkciq, navedeno zasto-
suvannq do oderΩannq xaotyçnoho zobraΩennq v teori] vypadkovyx procesiv,
doslidΩeno neskinçennovymirnu problemu momentiv towo. Vidmitymo, wo v
klasyçnomu vypadku vil\noho polq peretvorennqm Fur’[ [ vidomyj izomorfizm
Vinera – Ito – Sihala.
Do zaznaçenyx vywe prylqhagt\ takoΩ doslidΩennq zbiΩnosti synhulqrnyx
intehraliv metodamy funkcional\noho analizu S. H. Krejna, B. I. Korenblgma i
B. Q. Levina (Xarkiv) iz spivpracivnykamy; ]m vdalosq oderΩaty zaverßeni re-
zul\taty.
7. Oberneni zadaçi. Pid takymy zadaçamy rozumigt\ znaxodΩennq rivnqn\
(]x koefici[ntiv) za deqkog informaci[g pro ]x rozv’qzky. Rozriznqgt\ oberne-
ni zadaçi v spektral\nij postanovci, koly poçatkovog informaci[g [ spektral\-
na funkciq, sukupnist\ spektriv rivnqnnq z riznymy hranyçnymy umovamy (ober-
nena zadaça za dvoma spektramy dlq rivnqnnq Íturma – Liuvillq) abo inßa
spektral\na informaciq, i oberneni zadaçi rozsiqnnq — koly poçatkovog in-
formaci[g [ dani rozsiqnnq, wo vyznaçagt\sq asymptotykog rozv’qzkiv na ne-
skinçennosti.
Dobre vidomymy vΩe staly rezul\taty stosovno obernenyx zadaç u spekt-
ral\nij postanovci dlq rivnqnnq Íturma – Liuvillq i bil\ß zahal\noho rivnqn-
nq struny, qki znajßly zastosuvannq u fizyci. Rizni varianty takyx zadaç buly
rozv’qzani riznymy metodamy v robotax V. A. Marçenka (Xarkiv), M. H. Krejna,
I.<M. Hel\fanda i B. M. Levitana (Moskva) (1951 – 1960 rr.). Pry c\omu v pid-
xodi M. H. Krejna vykorystovuvavsq aparat, rozvynutyj nym pry rozv’qzuvanni
problemy momentiv, zadaçi prodovΩennq dodatno vyznaçenyx funkcij ta in.
Uzahal\nennqm obernenyx zadaç dlq zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ vyso-
koho porqdku prysvqçeno doslidΩennq Z. L. Lejbenzona 1966 r.
Perßym oberneni zadaçi dlq rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy j çastynnymy
riznycqmy rozhlqnuv G. M. Berezans\kyj (1953 – 1958 rr.). U vypadku çastyn-
nyx riznyc\ vin dav povnyj rozv’qzok zadaçi v spektral\nij postanovci, a zhodom
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
594 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
joho uçni poçaly doslidΩuvaty takoΩ oberneni zadaçi rozsiqnnq. Dlq rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy (dlq stacionarnoho dvo- ta tryvymirnoho rivnqnnq Íre-
dinhera) nym bulo vkazano rqd postanovok oberneno] zadaçi. Pokazano, wo po-
tencial odnoznaçno vidnovlg[t\sq zadannqm spektral\no] funkci] na qk zav-
hodno malij çastyni meΩi. Analohiçnyj rezul\tat ma[ misce i v us\omu prostori;
v c\omu vypadku dovedeno takoΩ ekvivalentnist\ deqkyx postanovok obernenyx
zadaç, vklgçagçy oberneni zadaçi rozsiqnnq.
U 1960 r. L. P. NyΩnyk prystupyv do rozv’qzuvannq prqmyx ta obernenyx
zadaç nestacionarnoho rozsiqnnq. Vin retel\no doslidyv taki oberneni zadaçi
dlq zburenoho rivnqnnq struny na pivosi (1971 r.) i nestacionarno] systemy riv-
nqn\ Diraka (1970 – 1973 rr.) i doviv, wo koefici[nty rivnqn\ odnoznaçno vidnov-
lggt\sq za operatorom rozsiqnnq; pry c\omu bulo vkazano efektyvnu proce-
duru takoho vidnovlennq i dano povnyj opys operatoriv rozsiqnnq. Zhodom nym i
joho uçnqmy Fam Loj Vu, V. H. Tarasovym, N. Í. Iskenderovym ta in. cg tema-
tyku bulo rozvynuto v takyx naprqmkax: znaçno rozßyreno klas vyvçenyx baha-
tovymirnyx obernenyx zadaç rozsiqnnq (xvyl\ove rivnqnnq na vsij osi i v tryvy-
mirnomu prostori, systema dvoßvydkisnyx xvyl\ovyx rivnqn\, rivnqnnq pereno-
su, skinçenna i kontynual\na systemy hiperboliçnyx rivnqn\, hiperboliçna sys-
tema tr\ox rivnqn\ perßoho porqdku na pivosi, rivnqnnq z çastynnymy riznycq-
my), pry c\omu dovedeno [dynist\ rozv’qzku i rozrobleno efektyvnyj alhorytm
dlq joho znaxodΩennq; dlq nyzky zadaç vvedeno ta opysano dani rozsiqnnq. Use
ce dozvolylo u vypadku systemy Diraka dvox rivnqn\ z vyrodΩenymy danymy
rozsiqnnq oderΩaty toçni rozv’qzky ta dovesty ]x wil\nist\ u mnoΩyni vsix roz-
v’qzkiv.
Prqmu j obernenu zadaçi rozsiqnnq dlq rivnqn\ z çastynnymy riznycqmy dos-
lidyla M. S. Eskina (1966 r.). Taki zadaçi vynykagt\ u teori] vypromingvannq
xvyl\ na krystaliçnij ©ratci. O. O. Androwuk oderΩav dekil\ka teorem [dy-
nosti v obernenyx spektral\nyx zadaçax dlq rivnqnnq Íturma – Liuvillq z ope-
ratornym potencialom (1968 – 1970 rr.).
U 80-x rokax 20-ho st. rezul\taty, wo stosugt\sq bahatovymirnyx obernenyx
zadaç rozsiqnnq, buly zastosovani L. P. NyΩnykom i M. D. Poçynajko do inte-
hruvannq nelinijnyx rivnqn\. U terminax hrup Li vol\terrovyx operatoriv dano
orbitnu interpretacig hamil\tonovosti rivnqnnq Devi – Stgartsona. Znajdeno
toçni periodyçni rozv’qzky v elementarnyx funkciqx. Metodom obernenyx za-
daç provedeno qkisne doslidΩennq zadaçi Koßi dlq nelinijnyx rivnqn\; navede-
no neskinçenni seri] intehraliv ruxu; rozhlqnuto i prointehrovano metodom ober-
neno] zadaçi prostorovo-dvovymirne rivnqnnq Korteveha – de Friza — rivnqnnq
NyΩnyka – Novikova – Veselova. I. L. NyΩnyk dano oznaçennq koordynat soli-
toniv dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza i vstanovleno zakon prytqhannq soli-
toniv. Dlq nelinijnoho xvyl\ovoho rivnqnnq neg zaproponovano stijku na vely-
komu çasovomu promiΩku riznycevu sxemu z vysokym porqdkom toçnosti.
L. P. NyΩnyk, R. V. Romanenko ta in. rozhlqnuly pytannq umovno] stijkosti i
rehulqryzaci] oberneno] zadaçi rozsiqnnq dlq dvovymirno] hiperboliçno] systemy
Diraka.
V 1985 r. G. M. Berezans\kyj zastosuvav klasyçnu obernenu zadaçu spekt-
ral\noho analizu dlq qkobijovyx matryc\ do intehruvannq nelinijnyx rivnqn\.
Nym bula prointehrovana zadaça Koßi dlq napivneskinçennoho lancgΩka Tody
zavdqky tomu, wo vona nabuva[ duΩe prosto] formy, qkwo za zminnu vzqty
spektral\nu miru qkobijovo] matryci, pobudovano] za ßukanym rozv’qzkom. Cej
rezul\tat G. M. Berezans\kyj, M. I. Hextman i M. E. Ímojß poßyryly na
ßyroki klasy podibnyx rivnqn\, zokrema, bulo vyvçeno neabel\ovi lancgΩky
typu Tody, neizospektral\ni zadaçi towo. Do c\oho Ω kola pytan\ prymykagt\ i
rezul\taty M. V. Ûernakova, qkyj prointehruvav neskinçennyj lancgΩok Tody
v klasi rozv’qzkiv, spadnyx na neskinçennosti za dyskretnog zminnog.
Dlq dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ perßoho porqdku v hil\bertovomu
prostori obernenu zadaçu typu rozsiqnnq rozhlqnuly M. L. Horbaçuk i V.<I.<Hor-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 595
baçuk. Obernenu zadaçu typu keruvannq rozv’qzav O. A. Butyrin. S.<O.<KuΩel\
uzahal\nyv abstraktnu sxemu rozsiqnnq Laksa – Fillipsa na vypadok operatoriv,
wo digt\ u prostorax z indefinitnog metrykog typu Pontrqhina.
8. Uzahal\neni funkci] ta ]x zastosuvannq do zadaç dlq rivnqn\ z ças-
tynnymy poxidnymy. Vidomo, qku vyznaçnu rol\ u matematyci ostannix desq-
tyriç vidihrala teoriq uzahal\nenyx funkcij — rozdil funkcional\noho anali-
zu, wo vynyk zavdqky robotam S. L. Sobol[va (Novosybirs\k) i L. Ívarca (Fran-
ciq). Uçenymy instytutu takoΩ zrobleno pomitnyj vnesok u rozvytok c\oho na-
prqmu. Zhada[mo xoça b ßyroko vidomyj cykl robit 1950 – 1960 rr. Q. B. Lopa-
tyns\koho (pracgvav v instytuti v 1946 – 1963 rr.), prysvqçenyx fundamental\-
nym rozv’qzkam ta zahal\nij teori] hranyçnyx zadaç dlq system eliptyçnyx dy-
ferencial\nyx rivnqn\, qkymy bulo zapoçatkovano podal\ßi doslidΩennq u cij
haluzi, zokrema, zastosuvannq uzahal\nenyx funkcij (vyvçena nym struktura
fundamental\no] matryci lqhla v osnovu dovedennq toho faktu, wo dovil\nyj
uzahal\nenyj rozv’qzok eliptyçnoho rivnqnnq [ zvyçajnym i joho hladkist\ vy-
znaça[t\sq hladkistg koefici[ntiv).
U 50-x rokax mynuloho stolittq H. {. Íylov i I. M. Hel\fand (Moskva) vve-
ly novi prostory osnovnyx ta uzahal\nenyx funkcij i za ]x dopomohog pobudu-
valy klasy [dynosti i korektnosti zadaçi Koßi dlq system dyferencial\nyx
rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy zi stalymy koefici[ntamy. Ci klasy istotno
utoçnyv M. M. Çaus (1964 – 1984 rr.). Vin takoΩ zaproponuvav novi pidxody do
znaxodΩennq zhadanyx klasiv dlq pevno] katehori] system zi zminnymy koefi-
ci[ntamy, doslidyv pytannq asymptotyçno] [dynosti rozv’qzkiv i zastosuvannq do
intehral\nyx zobraΩen\ dodatno vyznaçenyx qder towo. {dynist\ i asympto-
tyçna [dynist\ rozv’qzkiv zadaçi Koßi dlq inßyx vydiv rivnqn\ doslidΩuvalys\
V. H. Palgtkinym.
Na poçatku 80-x rokiv M. L. Horbaçuk ta V. I. Horbaçuk oxarakteryzuvaly
deqki klasy uzahal\nenyx periodyçnyx funkcij u terminax rostu ]xnix koefi-
ci[ntiv Fur’[ i dovely, wo pryncyp lokalizaci] spravdΩu[t\sq dlq metodu Abe-
lq – Puassona pidsumovuvannq tryhonometryçnyx rqdiv u klasi hiperfunkcij.
Nevdovzi I. H. Izv[kov rozhlqnuv inßi metody pidsumovuvannq i znajßov dlq nyx
prostory uzahal\nenyx funkcij, v qkyx cej pryncyp ma[ misce. Pro uzahal\neni
funkci] neskinçenno] kil\kosti zminnyx dyv. p. 9.
U teori] hranyçnyx zadaç dlq dyferencial\nyx rivnqn\ ßyroko zastosovu-
gt\sq prostory z pozytyvnog ta nehatyvnog normamy. Konstrukciq takyx
prostoriv u konkretnij sytuaci] (sobol[vs\ki prostory) naleΩyt\ Û. Lere i
P.<Laksu (Franciq, SÍA, 1952 – 1957 rr.), xoça perßym, xto mav bezposeredng
pryçetnist\ do c\oho pytannq, buv M. H. Krejn, kotryj we v 1947 r. rozhlqnuv
cilkom neperervni operatory u prostorax z dvoma normamy. V abstraktnomu
vyhlqdi prostory z pozytyvnog i nehatyvnog normamy buly vvedeni j doslid-
Ωeni G. M. Berezans\kym i H. I. Kacom u 1958 – 1963 rr. Odnym iz naslidkiv c\o-
ho doslidΩennq [ dovedenyj G. M. Berezans\kym prostyj i pryrodnyj variant
teoremy L. Ívarca pro qdro. Zastosuvannq takyx prostoriv dalo zmohu takoΩ
vstanovyty nyzku cikavyx faktiv stosovno rozv’qznosti riznyx hranyçnyx zadaç
dlq dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy. Tak, G. M. Berezan-
s\kyj v 1959 – 1963 rr. doviv slabku rozv’qznist\ i [dynist\ syl\noho rozv’qzku
zadaçi Trikomi ta bil\ß zahal\nyx hranyçnyx zadaç dlq rivnqn\ druhoho porqd-
ku mißanoho typu, a dlq dovil\nyx rivnqn\ zi stalymy koefici[ntamy doslidyv
zadaçu Dirixle, a same, pokazav, wo dlq koΩnoho takoho rivnqnnq isnugt\ ob-
lasti, v qkyx cq zadaça ma[ slabkyj rozv’qzok, a syl\nyj rozv’qzok [ [dynym; cq
rozv’qznist\ [ stijkog wodo malyx zburen\ meΩi. Zhodom N. H. Sorokina dovela
zbih syl\noho j slabkoho rozv’qzkiv zadaçi Trikomi dlq rivnqnnq Çaplyhina ta ]]
fredhol\movist\, a V. P. Didenko rozrobyv deqki pryjomy dovedennq enerhe-
tyçnyx nerivnostej u nehatyvnyx normax dlq podibnyx zadaç. Metod uzahal\-
neno] sumy operatoriv u ßkali hil\bertovyx prostoriv buv zastosovanyj
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
596 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
G.<M.<Berezans\kym i V. D. Koßmanenkom do pobudovy synhulqrno zburenyx
operatoriv.
Dlq dyferencial\nyx rivnqn\ eliptyçnoho typu v banaxovomu prostori
M.<L.<Horbaçukom i O. I. Kaßpirovs\kym bulo dovedeno (1983 r.) hladkist\ vse-
redyni intervalu bud\-qkoho uzahal\nenoho rozv’qzku. U vypadku, koly koefi-
ci[ntamy dyferencial\no-operatornoho rivnqnnq [ normal\ni operatory v hil\-
bertovomu prostori, znajdeno umovy na roztaßuvannq sumisnoho spektra koefi-
ci[ntiv, za qkyx usi slabki rozv’qzky rivnqnnq [ analityçnymy abo neskinçenno
dyferencijovnymy vektor-funkciqmy klasu Ûevre (M. L. Horbaçuk, M.<V.<Mar-
kin, O. Q. Íklqr (1996 – 1998 rr.)). Dlq abstraktnyx paraboliçnyx rivnqn\ u
banaxovomu prostori M. L. Horbaçuk i V. I. Horbaçuk pokazaly (2000<r.), wo
bud\-qkyj slabkyj rozv’qzok [ analityçnym vseredyni intervalu.
Za dopomohog teori] prostoriv z pozytyvnog ta nehatyvnog normamy
V.<D.<Koßmanenku vdalosq opysaty rizni klasy synhulqrnyx operatoriv i
bilinijnyx form u hil\bertovomu prostori.
V 1963 – 1966 rr. G. M. Berezans\kyj, S. H. Krejn i Q. A. Rojtberh (Çernihiv)
doslidyly rozv’qzky hranyçnyx zadaç dlq eliptyçnyx rivnqn\ z pravymy çasty-
namy v rivnqnni ta hranyçnyx umovax, qki [ uzahal\nenymy funkciqmy („teoremy
pro izomorfizmy”). Ci rezul\taty znajßly ßyroki zastosuvannq i, zokrema, vy-
korystani dlq dovedennq teorem pro hladkist\ aΩ do hranyci uzahal\nenyx roz-
v’qzkiv eliptyçnyx zadaç, pry doslidΩenni ]x funkcij Hrina ta spektral\nyx
funkcij. U podal\ßomu Q. A. Rojtberh i joho uçni-çernihivçany uzahal\nyly ]x
na pevnyj klas eliptyçnyx system rivnqn\. Vin razom iz Z. H. Íeftelem (Çerni-
hiv) zastosuvav ci j blyz\ki do nyx rezul\taty do rozv’qzuvannq zadaç typu
transmisi] z rozryvnymy koefici[ntamy. Istotni dopovnennq zrobyly V. A. My-
xajlec\ ta joho uçen\ O. O. Muraç, poßyryvßy zaznaçeni rezul\taty na vidminni
vid sobol[vs\kyx ßkaly funkcional\nyx prostoriv. Sgdy Ω vidnosqt\sq newo-
davni rezul\taty O. N. Komarenka.
Poçynagçy z 1984 r., V. I. Horbaçuk i M. L. Horbaçuk z uçnqmy rozvyvagt\
teorig prostoriv hladkyx i uzahal\nenyx funkcij (vektoriv), qka budu[t\sq za
dosyt\ zahal\nym operatorom u banaxovomu prostori zamist\ operatora
dyferencigvannq u vypadku prostoru kvadratyçno intehrovnyx funkcij. Sered
osnovnyx ]] dosqhnen\ [ abstraktnyj variant teoremy Peli – Vinera (M. L. Hor-
baçuk, V. I. Horbaçuk, A. V. Knqzgk, 1974 – 1985 rr.) ta oznaky wil\nosti (1990 –
2000 rr.) prostoriv hladkyx vektoriv u poçatkovomu banaxovomu prostori (uza-
hal\nennq teoremy Stouna – Vej[rßtrassa) (M. L. Horbaçuk, V. I. Horbaçuk,
G.<H. Mokrousov). Nazvana teoriq dozvolyla pohlqnuty z [dyno], operatorno],
toçky zoru na, zdavalosq b, zovsim rizni za postanovkog i metodamy rozv’qzu-
vannq zadaçi. U 1993 – 1995 rr. M. L. Horbaçuk ta V. I. Horbaçuk zaproponuvaly
zahal\nyj pidxid do oderΩannq prqmyx i obernenyx teorem teori] nablyΩennq
hladkyx vektoriv banaxovoho prostoru (hladkist\ vyznaça[t\sq zadanym zamkne-
nym operatorom) cilymy vektoramy eksponencial\noho typu rozhlqduvanoho
operatora. Pry c\omu bulo zadiqno dosyt\ ßyrokyj klas takyx operatoriv.
Bulo vstanovleno vza[mno odnoznaçnu vidpovidnist\ miΩ stepenem hladkosti
vektora vidnosno vybranoho zamknenoho operatora i porqdkom prqmuvannq do
nulq poxybky joho nablyΩennq vektoramy eksponencial\noho typu. Íyrokyj
vybir vyxidnoho prostoru i operatora, vidnosno qkoho rozhlqda[t\sq hladkist\
joho vektoriv, dav zmohu ne til\ky oxopyty bahatoçysel\ni vidomi rezul\taty
teori] aproksymaci] funkcij alhebra]çnymy i tryhonometryçnymy polinomamy,
cilymy eksponencial\noho typu ta inßymy elementarnymy funkciqmy, ale j
znaçno dopovnyty j uzahal\nyty ]x. Na ]x osnovi bulo znajdeno toçni apriorni
asymptotyçni ocinky poxybky nablyΩennq rozv’qzku operatornoho rivnqnnq v
hil\bertovomu prostori metodamy Ritca ta najmenßyx kvadrativ (1996 –
1997<rr.). Jduçy tym samym operatornym ßlqxom, H. V. Radzi[vs\kyj poßyryv
(1998 r.) zaznaçeni prqmi j oberneni teoremy na inßi klasy operatoriv u bana-
xovomu prostori. Prqmi j oberneni teoremy u vypadku heneratora analityçno]
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 597
pivhrupy v hil\bertovomu prostori, pov’qzani z povedinkog pivhrupy v okoli
nulq, naleΩat\ Q. I. Hrußci (1998 – 2001 rr.). Pro inßi zastosuvannq dyv. p. 10.
Prostory hladkyx vektoriv simej neobmeΩenyx operatoriv u hil\bertovomu
prostori vyvçalysq v robotax G. S. Samojlenka ta O. V. Stril\cq.
Intehral\nym rivnqnnqm u klasi uzahal\nenyx funkcij prysvqçeno dekil\ka
robit O. S. Parasgka (1957 r.).
9. Analiz funkcij neskinçenno] kil\kosti zminnyx. Interes do c\oho roz-
dilu matematyky znaçno zris protqhom ostannix dvox desqtyriç i stymulg[t\sq
takymy sumiΩnymy haluzqmy, qk suçasna matematyçna fizyka (kvantova teoriq
polq, statystyçna fizyka), teoriq vypadkovyx procesiv, teoriq zobraΩen\ ne-
skinçennovymirnyx hrup. DoslidΩennq z neskinçennovymirnoho analizu v Insty-
tuti matematyky poçalysq z robit 1967 – 1973 rr. G. M. Berezans\koho ta joho
uçniv S. N. Íyfrina, I. M. Hali, H. F. Usa, S. V. Tywenka, pov’qzanyx, z odnoho
boku, zi spektral\nog teori[g neskinçennyx simej komutugçyx samosprqΩenyx
operatoriv, a z inßoho — z pobudovog neskinçennyx tenzornyx dobutkiv hil\ber-
tovyx prostoriv ta operatoriv u nyx z metog ]x zastosuvannq do ci[] spektral\-
no] teori]. V 1973 r. G. M. Berezans\kyj i G. S. Samojlenko rozrobyly kon-
strukcig neskinçennoho tenzornoho dobutku qdernyx prostoriv i, bazugçys\ na
nij, uperße vyznaçyly qderni prostory osnovnyx ta uzahal\nenyx funkcij ne-
skinçennovymirnoho arhumentu. Cq diql\nist\ bula prodovΩena G. M. Berezan-
s\kym, G. H. Kondrat\[vym ta G. S. Samojlenkom. Bulo vvedeno j vyvçeno
vaΩlyvi klasy osnovnyx i uzahal\nenyx funkcij neskinçenno] kil\kosti zmin-
nyx, znajdeno ]x zastosuvannq ta in.
Z inßoho boku, pryblyzno v toj samyj ças (1975 r.) T. Xida (Qponiq) zapro-
ponuvav dewo vidminnyj pidxid do pobudovy teori] uzahal\nenyx funkcij ne-
skinçenno] kil\kosti zminnyx: spoçatku buduvalos\ osnawennq prostoru Foka, a
potim za dopomohog izomorfizmu Vinera – Ito – Sihala ce osnawennq peretvo-
rgvalos\ na osnawennq prostoru funkcij neskinçenno] kil\kosti zminnyx (tak
zvanyj analiz biloho ßumu). Ob’[dnannq cyx dvox pidxodiv zdijsngvalos\, poçy-
nagçy z 70-x rokiv 20-ho st., G. M. Berezans\kym, G. H. Kondrat\[vym,
G.<L.<Dalec\kym, H. F. Usom, M. O. Kaçanovs\kym, V. A. Teskom ta za kordonom.
V rezul\tati bulo pobudovano ßyroki j zruçni dlq zastosuvan\ uzahal\nennq
teori] biloho ßumu: napryklad, zamist\ ortohonal\no] systemy bazysnyx funk-
cij fihuruvala biortohonal\na systema, zamist\ zvyçajnoho zsuvu vykorysto-
vuvavsq uzahal\nenyj abo v teori] zsuvu ne bulo zovsim ta in. Zokrema, G. M. Be-
rezans\kyj ta {. V. Lytvynov rozrobyly spektral\nyj pidxid do pobudovy tako-
ho analizu, koly rol\ izomorfizmu Vinera – Ito – Sihala vykonu[ peretvorennq
Fur’[, porodΩene qkobijovym polem.
Do c\oho Ω naprqmu prylqha[ analiz na prostori konfihuracij, wo rozvyvav-
sq uprodovΩ 1998 – 2003 rr. G. H. Kondrat\[vym ta joho uçnqmy (v tomu çysli z
instytutu — D. L. Finkel\ßtejnom), G. M. Berezans\kym, {. V. Lytvynovym ta
za kordonom.
U 80-x rokax mynuloho stolittq ßkola G. M. Berezans\koho rozpoçala sys-
tematyçne doslidΩennq spektral\nyx vlastyvostej dyferencial\nyx operato-
riv u prostorax funkcij neskinçenno] kil\kosti zminnyx. Riznomanitni model\ni
klasy neskinçennovymirnyx dyferencial\nyx operatoriv staly ob’[ktamy dos-
lidΩen\ G. M. Berezans\koho, G. H. Kondrat\[va, V. H. Samojlenka, G. S. Sa-
mojlenka, H. F. Usa ta in. Zokrema, bulo pobudovano teorig dyferencial\nyx
operatoriv, wo dopuskagt\ vidokremlennq zminnyx, rozvynuto metod evolgcij-
nyx rivnqn\ pry dovedenni samosprqΩenosti neskinçennovymirnyx eliptyçnyx
operatoriv, z vyçerpnog povnotog opysano operatory vtorynnoho kvantuvannq v
ßredinherovomu zobraΩenni. U zv’qzku z cym ne moΩna ne zhadaty roboty
G.<L.<Dalec\koho (1967 – 1989 rr.) z teori] neskinçennovymirnyx dyferencial\-
nyx operatoriv. Provedeni v nyx doslidΩennq eliptyçnyx dyferencial\nyx
operatoriv u prostorax hladkyx funkcij, zadanyx na hil\bertovomu prostori, a
takoΩ mir i dyferencial\nyx rivnqn\ u banaxovomu prostori znajßly svo[ pro-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
598 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
dovΩennq v podal\ßyx joho pracqx (v 1993 – 1997 rr. — znovu spivrobitnyk
instytutu) ta pracqx joho uçniv. Z 1985 r. G. H. Kondrat\[v i T. V. Cykalenko
vyvçagt\ vaΩlyvyj klas neskinçennovymirnyx dyferencial\nyx operatoriv,
porodΩenyx formamy Dirixle mir na linijnyx prostorax, a v 90-x rokax
G.<H.<Kondrat\[v razom z O. V. Antongkom rozpoçaly rozrobku teori] operato-
riv na neskinçennyx dobutkax mnohovydiv.
Z seredyny 80-x rokiv 20-ho st. u viddili funkcional\noho analizu G. H. Kon-
drat\[vym ta joho uçnqmy rozvyvagt\sq deqki rozdily neskinçennovymirnoho
analizu v naprqmkax, pov’qzanyx iz zastosuvannqmy do statystyçno] mexaniky. V
osnovi leΩyt\ doslidΩennq modelej statystyçno] fizyky za dopomohog vidpo-
vidnyx funkcional\nyx intehraliv. Na c\omu ßlqxu oderΩano taki rezul\taty:
matematyçno stroho vvedeno klas kvantovyx ©ratçastyx system i doslidΩeno
fazovi perexody v nyx, rozvynuto efektyvnu texniku pobudovy hibbsovyx tempe-
raturnyx staniv, rozrobleno metod stoxastyçnoho kvantuvannq takyx system.
Nearximediv variant neskinçennovymirnoho analizu buv rozvynutyj A. N. Ko-
çube[m (1999 – 2002 rr.). Vin takoΩ [ iniciatorom i rozrobnykom teori] stoxas-
tyçnyx dyferencial\nyx rivnqn\ nad polem p-adyçnyx çysel.
10. Dyferencial\ni rivnqnnq z operatornymy koefici[ntamy. Poçatok
systematyçnomu doslidΩenng dyferencial\nyx rivnqn\ z obmeΩenymy opera-
tornymy koefici[ntamy u banaxovomu prostori buv pokladenyj M. H. Krejnom u
1947 – 1948 rr. Osnovna uvaha pry c\omu koncentruvalas\ na pytannqx stijkos-
ti. V 1950 – 1951 rr. na taki rivnqnnq bulo pereneseno (G. L. Dalec\kyj)
asymptotyçni metody intehruvannq, vytoky qkyx poxodqt\ vid robit M. M. Boho-
lgbova ta M. M. Krylova. U podal\ßomu G. L. Dalec\kyj rozvynuv ]x i dlq
rivnqn\ z neobmeΩenymy operatoramy. V 1949 r. M. M. Boholgbov razom z
B.<I.<Xacetom zviv matematyçne opysannq rivnovaΩnoho stanu neskinçennyx sys-
tem klasyçno] statystyçno] mexaniky do problemy rozv’qznosti operatornoho
rivnqnnq u banaxovomu prostori (prostori funkcij rozpodilu), rozv’qzano] nymy
ta D.<Q.<Petrynog u 1969 r. dlq vypadku malyx wil\nostej. Evolgciq nerivno-
vaΩno] systemy opysu[t\sq dyferencial\nym rivnqnnqm u banaxovomu prostori
z neobmeΩenym operatorom (lancgΩok Boholgbova). D. Q. Petryna razom z uç-
nqmy detal\no vyvçyv zadaçu Koßi dlq c\oho rivnqnnq v riznyx funkcional\nyx
prostorax. Sgdy Ω naleΩat\ oderΩani v 1962 – 1964 rr. L. M. Prokopenkom
rezul\taty, pov’qzani iz zastosuvannqmy abstraktno] zadaçi Koßi do vyvçennq
paraboliçnyx rivnqn\ zi zrostagçymy koefici[ntamy.
V 70 – 80-x rr. mynuloho stolittq M. L. Horbaçuk i V. I. Horbaçuk dlq dvo-
çlennyx dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ perßoho i druhoho porqdku v
hil\bertovomu prostori paraboliçnoho ta eliptyçnoho typu vidpovidno opysaly
vsi hladki vseredyni intervalu rozv’qzky i znajßly linijnyj topolohiçnyj pros-
tir, vzahali kaΩuçy, ßyrßyj za poçatkovyj, v qkomu koΩnyj takyj rozv’qzok
ma[ hranyçne znaçennq. Vyqvylos\, wo cej prostir [ maksymal\nym dlq ko-
rektno] postanovky zadaçi Koßi u vypadku rivnqnnq perßoho porqdku i zadaçi
Dirixle dlq rivnqn\ druhoho porqdku. Bulo pobudovano teorig hranyçnyx zna-
çen\ rozv’qzkiv rozhlqnutyx rivnqn\, zokrema, z’qsovano zv’qzok miΩ povedinkog
rozv’qzku v okoli hranyci i stepenem „uzahal\nenosti” joho hranyçnoho znaçen-
nq. Vona mistyt\ u sobi qk çastynnyj vypadok teorig hranyçnyx znaçen\ harmo-
niçnyx (analityçnyx) funkcij, vklgçagçy klasyçni teoremy Fatu, Rissa, Kete,
Til\mana, Vladimirova, Komacu ta in. U podal\ßomu ci rezul\taty buly poßy-
reni P. J. Dudnikovym, O. I. Kaßpirovs\kym, B. I. Kngxom, V. V. Levçukom,
M.<I.<Pivtorakom, I. P. Fißmanom na inßi vydy dyferencial\no-operatornyx riv-
nqn\ u hil\bertovomu prostori i A. V. Knqzgkom — na rivnqnnq u banaxovomu
prostori.
Dlq rivnqn\ perßoho ta druhoho porqdku v banaxovomu prostori oderΩano
oznaky ]x eksponencial\no] j asymptotyçno] stijkosti (M. L. Horbaçuk,
V.<M.<Horbaçuk, I. V. Fedak, O. Q. Íklqr), a u vypadku asymptotyçno], ale ne
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
FUNKCIONAL|NYJ ANALIZ V INSTYTUTI MATEMATYKY NAN UKRA}NY 599
eksponencial\no] stijkosti vstanovleno vza[mozv’qzok miΩ ßvydkistg spadannq
rozv’qzku na neskinçennosti i stepenem hladkosti joho poçatkovoho znaçennq
(M. L. Horbaçuk, Q. F. Vynnyßyn, I. T. Macyßyn). Dlq rivnqn\ druhoho porqd-
ku eliptyçnoho typu v banaxovomu prostori A. V. Knqzgk znajßov umovy roz-
v’qznosti zadaçi Dirixle na pivosi ta asymptotyçno] [dynosti ]] rozv’qzkiv. Dlq
rozv’qzkiv dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ hiperboliçnoho typu M. L. Hor-
baçukom, I. V. Fedakom, M. V. Markinym, O. A. Butyrinym znajdeno kryteri] is-
nuvannq uzahal\nenyx za Çezaro j Abelem hranyc\ i vypysano qvni formuly dlq
nyx. U vypadku abstraktnoho oberneno paraboliçnoho rivnqnnq na pivosi opysa-
no usi joho rozv’qzky i dano oznaky asymptotyçno] [dynosti rozv’qzkiv zadaçi
Koßi (M. L. Horbaçuk, M. I. Pivtorak ta in.).
Pytannqm polinomial\noho nablyΩennq rozv’qzkiv zadaçi Koßi z dostatn\o
hladkymy poçatkovymy danymy dlq rivnqn\ z operatornymy koefici[ntamy u
hil\bertovomu prostori prysvqçeno nyzku robit M. L. Horbaçuka i V. V. Horo-
dec\koho (1984 – 1990 rr.).
U 1977 – 1983 rr. A. N. Koçubej pobuduvav teorig uzahal\nenyx rozv’qzkiv
dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ dovil\noho porqdku. Bulo dovedeno isnu-
vannq fundamental\nyx rozv’qzkiv u klasax uzahal\nenyx funkcij, ul\traroz-
podiliv ta hiperfunkcij i znajdeno umovy isnuvannq majΩe periodyçnyx roz-
v’qzkiv.
U kinci 80-x rr. 20-ho st. A. P. Kyryçuk uviv ponqttq operatornoznaçno]
funkci] typu Mittah-Lefflera — uzahal\nennq eksponenty ta kosynus-opera-
tor-funkci], qke znajßlo svo[ zastosuvannq pry doslidΩenni abstraktno] za-
daçi Koßi dlq dyferencial\nyx rivnqn\ vysokoho porqdku v banaxovomu pros-
tori ta abstraktnyx stoxastyçnyx intehro-dyferencial\nyx rivnqn\.
Dlq dyferencial\nyx rivnqn\ u banaxovomu prostori qk nad arximedovym,
tak i nearximedovym polem vstanovleno neobxidni j dostatni umovy rozv’qznosti
zadaçi Koßi v riznyx klasax analityçnyx vektor-funkcij skinçennoho porqdku i
skinçennoho typu, wo dozvolylo vyznaçyty meΩi zastosuvannq stepenevyx rqdiv
do znaxodΩennq qk toçnyx, tak i nablyΩenyx rozv’qzkiv rozhlqduvanyx rivnqn\.
Dlq nablyΩenyx rozv’qzkiv oderΩano apriorni ocinky poxybky nablyΩennq
(M.<L. Horbaçuk i V. I. Horbaçuk, 2000 – 2003 rr.).
11. Zastosuvannq uzahal\nenyx funkcij u zadaçax kvantovo] teori] po-
lq. Vyqvylos\, wo vidoma teoriq perenormuvan\, wo vidihra[ nadzvyçajno vaΩ-
lyvu rol\ u teori] polq i teori] elementarnyx çastynok, vymaha[ dlq svoho ob-
©runtuvannq zaluçennq metodiv funkcional\noho analizu, zokrema teori] uza-
hal\nenyx funkcij. Spoçatku vynykla zadaça rehulqryzaci] matryc\ rozsiqnnq
u kvantovij elektrodynamici v bud\-qkomu porqdku teori] zburen\. M. M. Bo-
holgbov uperße pomityv (1953 r.), wo problema zvodyt\sq do pravyl\noho vy-
znaçennq dobutku syl\no uzahal\nenyx funkcij — tak zvanyx kauzal\nyx pro-
pahatoriv, i zaproponuvav vykorystaty z ci[g metog teoremu Xana – Banaxa pro
prodovΩennq funkcionaliv. Takym çynom, vin pryjßov do vidkryttq novo]
formy vidnimal\no] procedury, nazvano] zhodom R-operaci[g Boholgbova.
V 1955 – 1960 rr. u spil\nyx robotax M. M. Boholgbova j O. S. Parasgka bu-
lo vyvçeno kombinatorni j analityçni vlastyvosti ci[] operaci] i dovedeno fun-
damental\nu teoremu pro moΩlyvist\ rehulqryzaci] matryci rozsiqnnq v bud\-
qkomu porqdku teori] zburen\. Ci rezul\taty nabuly osoblyvoho znaçennq u 80-
x rokax u zv’qzku z ]x zastosuvannqmy pry pobudovi [dyno] teori] elektromahnit-
nyx ta slabkyx vza[modij, a takoΩ pry renormalizaci] kalibruval\nyx ta super-
symetryçnyx teorij.
Do c\oho rozdilu prymykagt\ i deqki inßi doslidΩennq, vykonani v insty-
tuti, zokrema: vyvçennq sumovnosti rqdiv ta analityçnyx vlastyvostej amplitud
rozsiqnnq teori] zburen\ i dovedennq isnuvannq netryvial\no] matryci rozsiqnnq
(D. Q. Petryna); doslidΩennq na samosprqΩenist\ pol\ovyx operatoriv ta in-
tehral\ne zobraΩennq funkcij Vajtmana, wo vyznaçagt\ aksiomatyçnu teorig
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
600 G. M. BEREZANS|KYJ, V. I. HORBAÇUK, M. L. HORBAÇUK
polq (G. M. Berezans\kyj, V. P. Haçok, M. L. Horbaçuk, G. S. Samojlenko,
L.<M. Korsuns\kyj); pobudova teori] rozsiqnnq Xaaha – Rgelq v terminax bili-
nijnyx funkcionaliv, teori] rozsiqnnq na movi funkcij Ívinhera (V. D. Koßma-
nenko). V 1970 – 1971 rr. G. M. Berezans\kyj i V. D. Koßmanenko pokazaly, wo
bud\-qke aksiomatyçne kvantovane pole moΩna zadaty v terminax qkobijovyx
matryc\. Roboty, pov’qzani iz zastosuvannqmy teori] uzahal\nenyx funkcij ne-
skinçenno] kil\kosti zminnyx, zhaduvalys\ u p. 9.
U 1998 r. A. N. Koçubej pobuduvav zobraΩennq kanoniçnyx komutacijnyx
spivvidnoßen\ operatoramy nad lokal\nym polem xarakterystyky p (dlq polq
p-adyçnyx çysel ce bulo zrobleno v 1996 r.). Ce zobraΩennq vyqvylos\ korys-
nym dlq systematyçno] rozrobky nym (1999 r.) osnov analizu nad takymy polq-
my. V robotax 2000 – 2003 rr. vin takoΩ zaklav osnovy vidpovidno] teori] zvy-
çajnyx dyferencial\nyx rivnqn\, u tomu çysli rivnqn\ z rehulqrnog osoblyvog
toçkog.
12. Nelinijnyj funkcional\nyj analiz. U 1950 – 1952 rr. M. O. Krasno-
s[l\s\kyj otrymav znaçni rezul\taty stosovno operatornyx rivnqn\ z nelinij-
nymy operatoramy. Vin rozrobyv novi topolohiçni metody, za dopomohog qkyx
doslidyv novi klasy nelinijnyx intehral\nyx rivnqn\. Ci doslidΩennq buly
ßyroko rozhornuti nym pislq pere]zdu do VoroneΩa.
Otrymano 09.02.2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3625 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:00Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/1087f49fc4e6d0eccdecda15070e5c35.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36252020-03-18T20:00:32Z Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine Функціональний аналіз в Інституті математики HAH України Berezansky, Yu. M. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M. L. Березанський, Ю. М. Горбачук, В. І. Горбачук, М. Л. We give a brief survey of results on functional analysis obtained at the Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences from the day of its foundation. Викладено в описовій формі результати з функціонального аналізу, отримані в Інституті математики HAH України починаючи з дня його заснування. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3625 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 5 (2005); 582–600 Український математичний журнал; Том 57 № 5 (2005); 582–600 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3625/3980 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3625/3981 Copyright (c) 2005 Berezansky Yu. M.; Gorbachuk V. I.; Gorbachuk M. L. |
| spellingShingle | Berezansky, Yu. M. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M. L. Березанський, Ю. М. Горбачук, В. І. Горбачук, М. Л. Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title | Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title_alt | Функціональний аналіз в Інституті математики HAH України |
| title_full | Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title_fullStr | Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title_full_unstemmed | Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title_short | Functional Analysis in the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine |
| title_sort | functional analysis in the institute of mathematics of the national academy of sciences of ukraine |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3625 |
| work_keys_str_mv | AT berezanskyyum functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT gorbachukvi functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT gorbachukml functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT berezansʹkijûm functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT gorbačukví functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT gorbačukml functionalanalysisintheinstituteofmathematicsofthenationalacademyofsciencesofukraine AT berezanskyyum funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni AT gorbachukvi funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni AT gorbachukml funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni AT berezansʹkijûm funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni AT gorbačukví funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni AT gorbačukml funkcíonalʹnijanalízvínstitutímatematikihahukraíni |