Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators
We study the inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint operators.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3631 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509753377030144 |
|---|---|
| author | Konstantinov, A. Yu. Константинов, А. Ю. Константинов, А. Ю. |
| author_facet | Konstantinov, A. Yu. Константинов, А. Ю. Константинов, А. Ю. |
| author_sort | Konstantinov, A. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:32Z |
| description | We study the inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
O. G. Konstantinov (Ky]v. nac. un-t im.T. Íevçenka)
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX
SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV
*
We study an inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint
operators.
Vyvça[t\sq obernena spektral\na zadaça dlq toçkovoho spektra synhulqrno zburenyx samo-
sprqΩenyx operatoriv.
1. Vstup. Rozhlqnemo v separabel\nomu hil\bertovomu prostori H neobme-
Ωenyj samosprqΩenyj operator A = A
*
z oblastg vyznaçennq D( A ).. Budemo
hovoryty, wo operator à A≠ v H [ (çysto) synhulqrnym zburennqm A, qkwo
oblast\
D D D: ( ) ( ˜ ) : ˜= ∈ ={ }f A A Af Af∩ (1)
[ wil\nog v H. U c\omu vypadku moΩna vyznaçyty wil\no vyznaçenyj symet-
ryçnyj operator
ˆ : ˜A A A= =� �D D . Qkwo dodatkovo prypustyty, wo opera-
tor à [ samosprqΩenym, to A i à budut\ riznymy samosprqΩenymy rozßy-
rennqmy  .
Metog ci[] roboty [ doslidΩennq umov isnuvannq synhulqrnoho zburennq à ,
wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq
à k k kψ λ ψ= , k = 1, 2, … , (2)
dlq dovil\nyx napered zadanyx poslidovnosti dijsnyx çysel Λ : = {λk : k ≥ 1}
ta systemy ortonormovanyx vektoriv Ψ : = {ψk : k ≥ 1} takyx, wo
L ∩ D ( A ) = {0} , (3)
de
L : := ≥{ }span ψk k 1 . (4)
Tut M poznaça[ zamykannq mnoΩyny M, span {M} — linijna obolonka mno-
Ωyny M.
Zaznaçymo, wo doslidΩennq toçkovoho spektra samosprqΩenyx rozßyren\
symetryçnyx operatoriv zi skinçennymy indeksamy defektu vperße provodylos\
u roboti M. H. Krejna [1]. Spektral\ni vlastyvosti samosprqΩenyx rozßyren\
symetryçnyx operatoriv z lakunamy detal\no vyvçalysq v robotax [2 – 5]. Zo-
krema, v [2, 5] bulo rozhlqnuto symetryçni operatory z kil\koma lakunamy i v
terminax prostoriv hranyçnyx znaçen\ ta funkci] Vejlq bulo pobudovano sa-
mosprqΩeni rozßyrennq z zadanymy spektral\nymy vlastyvostqmy (v lakunax i
poza lakunamy vidpovidnoho symetryçnoho operatora). Vidmitymo takoΩ robotu
[6], de doslidΩuvalos\ pytannq pro kil\kist\ vlasnyx znaçen\ odnovymirnoho
operatora Ír\odinhera z toçkovymy vza[modiqmy.
U vypadku skinçennyx poslidovnostej Λ ta Ψ zadaçu pobudovy synhulqr-
noho zburennq à , wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2), povnistg rozv’q-
zano v [7 – 9].
U cij roboti (dyv. takoΩ [10]) my uzahal\ng[mo ta rozvyva[mo rezul\taty
*
Pidtrymano proektamy DFG 436 UKR 113/67, 436 UKR 113/78 ta DerΩavnym fondom funda-
mental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant 01.07/27).
© O. G. KONSTANTINOV, 2005
654 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX SAMOSPRQÛENYX … 655
[7 – 9] na vypadok neskinçennyx Λ ta Ψ. U p. 2 navedeno kryterij isnuvannq sy-
metryçnoho synhulqrnoho zburennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na
vlasni znaçennq (2). U p. 3 obhovorggt\sq umovy isnuvannq samosprqΩenyx roz-
ßyren\ operatora à .
Dali çerez B ( H, K ) poznaça[mo klas linijnyx neperervnyx operatoriv z H
v K , a çerez Ran T, Ker T ta ρ( T ) — obraz, qdro ta rezol\ventnu mnoΩynu ope-
ratora T. Interval ∆ ⊂ R nazyva[t\sq lakunog samosprqΩenoho operatora T,
qkwo ∆ ⊂ ρ( T ) .
2. Symetryçni synhulqrni zburennq i zadaça na vlasni znaçennq (2).
Vvedemo mnoΩynu
D D0 0 1: ( ) : , ( )= ∈ −( ) = ∀ ≥{ }x A A x kk kψ λ . (5)
Teorema 1. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\berto-
vomu prostori H i Λ = {λk : k ≥ 1} — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Prypustymo, wo ortonormovana systema Ψ : = { ψk : k ≥ 1} zadovol\nq[
umovu (3). Todi wil\nist\ D0 v H [ neobxidnog i dostatn\og umovog dlq
isnuvannq symetryçnoho (wil\no vyznaçenoho) synhulqrnoho zburennq à o p e -
ratora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2).
Dovedennq. Prypustymo spoçatku, wo isnu[ symetryçnyj operator à ,
qkyj rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2) i [ synhulqrnym zburennqm opera-
tora A. Nexaj mnoΩyna D vyznaça[t\sq formulog (1) i
ˆ :A A= � D . Todi
ˆ ˜ ˜* *A A A⊃ ⊃ i vnaslidok (2) D ⊂ D0 . Zokrema, mnoΩyna D0 [ wil\nog v H.
Navpaky, nexaj D0 [ wil\nog v H i
A A0 0:= � D . (6)
Todi na pidstavi (5)
A k k k0
*ψ λ ψ= , k = 1, 2, … .
Rozhlqnemo samosprqΩenyj u pidprostori L (dyv. (4)) operator
B
k
k k k: ( , )= ⋅
=
∞
∑
1
λ ψ ψ (7)
i vyznaçymo operator
A A BΛ : *
( )= +0 0
�D D . (8)
Zhidno z lemog 2.2 roboty [3]
AΛ = B � C (9)
dlq deqkoho symetryçnoho operatora C v L�
. Zokrema, AΛ — symetryçnyj
operator, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2). Bil\ß toho, AΛ zbiha[t\-
sq z A na wil\nij mnoΩyni D0 .
Teoremu dovedeno.
Rozhlqnemo hil\bertove osnawennq (dyv. [11])
H– ⊃ H ⊃ H+ ,
de H+ : = D ( A ) zi skalqrnym dobutkom ( ·, · )+ = (( A + i ) ·, ( A + i ) · ) , H– — po-
povnennq H u normi || · ||– = || ( A + i )–1
· || . Operator A standartnym çynom
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
656 O. G. KONSTANTINOV
prodovΩu[t\sq do obmeΩenoho operatora A z H do H– . Poklademo
M : ( ) := − ≥{ }span A λ ψk k k 1
(zamykannq beret\sq v H–). Todi
D0 = {x ∈ D ( A ) : x � M} .
Teper lehko baçyty (dyv. [10]), wo umova wil\nosti mnoΩyny D0 v H
rivnosyl\na tomu, wo dlq deqkoho (a todi i dlq dovil\noho) λ ∈ ρ( A )
Gλ ∩ D ( A ) = {0} , (10)
de
Gλ λ λ ψ: ( )( ) := − − ≥{ }−span A A kk k
1 1 . (11)
Umova (10), oçevydno, vykonu[t\sq u vypadku skinçennyx poslidovnostej Λ =
= {λk : 1 ≤ k ≤ n} i Ψ = {ψk : 1 ≤ k ≤ n} (dyv. (3)). Navpaky, u vypadku ne-
skinçennyx Λ i Ψ mnoΩyna D0 moΩe buty newil\nog v H. Navedemo odnu
dostatng umovu wil\nosti D0 (dyv. takoΩ [10]).
Teorema 2. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\ber-
tovomu prostori H i ortonormovana systema Ψ : = {ψk : k ≥ 1} zadovol\-
nq[ umovu (3). Prypustymo, wo isnu[ obmeΩenyj interval ∆ = ( a, b ) takyj,
wo dlq deqkoho k 0 ≥ 1 vykonugt\sq umovy λk k k: ≥{ } ⊂0 ∆ i { ψk : k ≥
≥ k0} ⊂ E( R \ ∆ )H. Todi D0 [ wil\nog v H .
Dovedennq. Poklademo λ : = ( a + b ) / 2 + i i rozhlqnemo operatory
′ = − ⋅
=
∞
∑B
k k
k k kλ λ λ ψ ψ: ( )( , )
0
,
′′ = − ⋅
=
−
∑B
k
k
k k kλ λ λ ψ ψ: ( )( , )
1
10
,
T x x A B B xλ λ λλ: ( )= − − ′ + ′′( )−1
, x ∈ L .
Zrozumilo, wo Tλ ∈ B ( L, H ) i Gλ λ= RanT (dyv. (11)). Na pidstavi (3) Ran Tλ∩
∩ D ( A ) = {0} . Takym çynom, dosyt\ dovesty, wo Ran Tλ — zamknena mnoΩyna
v H. Bezposeredn\o vydno, wo ( )A B− ′ <−λ λ
1 1, a ( )A B− ′′−λ λ
1
— skinçenno-
vymirnyj operator iz L u H . Zvidsy vyplyva[, wo Tλ — napivfredhol\movyj
operator z L v H (dyv. [12]). Zokrema, Ran Tλ — zamknenyj pidprostir u H.
Navedemo takoΩ pryklad newil\nosti mnoΩyny D0 .
Pryklad. Nexaj K — neskinçennovymirnyj hil\bertiv prostir i H = K �
� K . Budemo ototoΩngvaty elementy H z paramy 〈x, y〉 , x ∈ K , y ∈ K .
Prypustymo, wo S , T — neobmeΩeni samosprqΩeni operatory v K taki, wo
Ker S = {0} i D ( S ) ∩ D ( T ) = {0} . Rozhlqnemo operator
A(〈x, y〉) : = 〈0, Sy〉 , D ( A ) = K � D ( S )
i pidprostir
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
TOÇKOVYJ SPEKTR SYNHULQRNO ZBURENYX SAMOSPRQÛENYX … 657
L : = {〈Ty, y〉 : y ∈ D ( T )} .
Zrozumilo, wo A — samosprqΩenyj operator v H i L — neskinçennovymirnyj
pidprostir v H, wo zadovol\nq[ umovu (3). Nexaj {ψk : k ≥ 1} — dovil\nyj
ortonormovanyj bazys v L i λk : = 0 dlq vsix k ≥ 1. Todi
D0 = {(〈x, y〉) ∈ D ( A ) : A(〈x, y〉) � L} =
= {(〈x, y〉) ∈ D ( A ) : Sy � D ( T )} = K � {0} .
3. SamosprqΩeni synhulqrni zburennq. U c\omu punkti my navedemo do-
statni umovy, wo zabezpeçugt\ isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zbu-
rennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2) (dyv. takoΩ
[10]).
Teorema 3. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 2 i, bil\ß toho, pidprostir
L.⊂ E( R \ ∆ )H. Todi isnu[ samosprqΩene synhulqrne zburennq à operatora A,
wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2).
Dovedennq. Z ohlqdu na umovu na L dosyt\ dovesty teoremu u vypadku, ko-
ly ∆ [ lakunog operatora A. Nexaj operator A0 vyznaçeno formulog (6).
Rozhlqnemo v pidprostori L′ : = span ψk k k: ≥{ }0 samosprqΩenyj operator
′ = ⋅
≥
∑B k k
k k
k: ( , )λ ψ ψ
0
i symetryçnyj v H operator
′ = + ′A A BΛ : *
( )0 0
�D D . Na pidstavi lemy 2.2 [3] (por.
z (9))
′ = ′ ′A B CΛ : �
dlq deqkoho symetryçnoho operatora C′ v L ′�. ZauvaΩymo, wo ∆ — lakuna
A0 , i zhidno z lemog 2.1 roboty [3] ∆ [ lakunog operatora C′. Zokrema, ′AΛ
ma[ odnakovi indeksy defektu. Z inßoho boku, AΛ (dyv. (8)) [ skinçennovymir-
nym zburennqm operatora ′AΛ i, zokrema, AΛ takoΩ ma[ odnakovi indeksy de-
fektu. Takym çynom, dovil\ne samosprqΩene rozßyrennq AΛ rozv’qzu[ zadaçu
na vlasni znaçennq (2).
ZauvaΩennq 1. Teoremy 2, 3 zalyßagt\sq spravedlyvymy i dlq poroΩn\o]
mnoΩyny ∆. U c\omu vypadku L — skinçennovymirnyj pidprostir, wo zado-
vol\nq[ umovu (3), i Λ — dovil\na skinçenna mnoΩyna. Qvnu konstrukcig vid-
povidnoho samosprqΩenoho rozßyrennq navedeno v [7].
Inßa moΩlyvist\ zabezpeçyty isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zbu-
rennq à operatora A, wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni znaçennq (2), polqha[ v
bil\ß special\nyx prypuwennqx na systemu vektoriv {ψk : k ≥ 1} . Poznaçymo
çerez Hϕ minimal\nyj invariantnyj vidnosno A pidprostir, wo mistyt\ ϕ ∈ H.
Teorema 4. Nexaj A — neobmeΩenyj samosprqΩenyj operator u hil\berto-
vomu prostori H i Λ = {λk : k ≥ 1} — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Prypustymo, wo systema Ψ = ≥{ }ψk k: 1 taka, wo dlq vsix k ≥ 1 ψ k ∉
∉ D( A ) i pidprostory
H ψ k
[ poparno ortohonal\nymy. Todi isnu[ samosprq-
Ωene synhulqrne zburennq à operatora A , wo rozv’qzu[ zadaçu na vlasni
znaçennq (2).
Dovedennq. Poklademo
H Hk k
:= ψ , k ∈ N , i
H H H0 1:= ( )=
∞� �k k .
Nexaj A Ak k:= � H — zvuΩennq A na Hk , k ≥ 0. Todi dlq koΩnoho k ≥ 1
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
658 O. G. KONSTANTINOV
isnu[ samosprqΩene synhulqrne zburennq ranhu odyn Ãk operatora Ak take,
wo Ãk k k kψ λ ψ= (dyv., napryklad, [7, 9]). Zalyßa[t\sq rozhlqnuty
˜ : ˜A A
k
k=
=
∞
0
� ,
de
˜ :A A0 0= .
ZauvaΩennq 2. Teorema 4 dopovng[ vidpovidnyj rezul\tat [9], de bulo do-
vedeno isnuvannq samosprqΩenoho synhulqrnoho zburennq z dovil\nym toçkovym
spektrom.
1. Krejn M. H. Teoryq samosoprqΩenn¥x rasßyrenyj poluohranyçenn¥x πrmytov¥x operato-
rov y ee pryloΩenyq. I // Mat. sb. – 1947. – 20(62), # 3. – S. 431 – 495.
2. Derkach V. A., Malamud M. M. General resolvents and the boundary-value problem for Hermitian
operators with gaps // J. Funct. Anal. – 1991. – 95. – P. 1 – 95.
3. Albeverio S., Brasche J. F., Neidhardt H. On inverse spectral theory of self-adjoint extensions:
mixed types of spectra // Ibid. – 1998. – 154. – P. 130 – 173.
4. Brasche J. F., Malamud M. M., Neidhardt H. Weyl function and spectral properties of self-adjoint
extensions // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2002. – 43. – P. 264 – 289.
5. Albeverio S., Brasche J. F., Malamud M. M., Neidhardt H. Inverse spectral theory for symmetric
operators with several gaps: scalar-type Weyl functions. – Bonn, 2004. – 50 p. – Preprint # 166.
6. Albeverio S., Nizhnik L. On the number of negative eigenvalues of one-dimensional Schrödinger
operators with point interaction // Lett. Math. Phys. – 2003. – 65. – P. 27 – 35.
7. Dudkin M. {., Koßmanenko V. D. Pro toçkovyj spektr samosprqΩenyx operatoriv, wo
vynyka[ pry synhulqrnyx zburennqx skinçennoho ranhu // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 9.
– S. 1269 – 1276.
8. Koshmanenko V. A variant of inverse negative eigenvalues problem in singular perturbation theory
// Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, # 1. – C. 49 – 69.
9. Albeverio S., Dudkin M., Konstantinov A., Koshmanenko V. On the point spectrum of H −2
singular perturbations. – Bonn, 2003. – 10 p. – Preprint # 122.
10. Albeverio S., Konstantinov A., Koshmanenko V. On inverse spectral theory for singularly perturbed
operators: point spectrum. – Bonn, 2004. – 12 p. – Preprint # 182.
11. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 800 s.
12. Kato T. Teoryq vozmuwenyj lynejn¥x operatorov. – M.: Myr, 1972. – 740 s.
OderΩano 10.01.2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3631 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:07Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/5562334229c765188b968d21f4bcc565.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36312020-03-18T20:00:32Z Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів Konstantinov, A. Yu. Константинов, А. Ю. Константинов, А. Ю. We study the inverse spectral problem for the point spectrum of singularly perturbed self-adjoint operators. Вивчається обернена спектральна задача для точкового спектра сингулярно збурених само-спряжених операторів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3631 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 5 (2005); 654–658 Український математичний журнал; Том 57 № 5 (2005); 654–658 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3631/3992 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3631/3993 Copyright (c) 2005 Konstantinov A. Yu. |
| spellingShingle | Konstantinov, A. Yu. Константинов, А. Ю. Константинов, А. Ю. Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title | Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title_alt | Точковий спектр сингулярно збурених самоспряжених операторів |
| title_full | Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title_fullStr | Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title_full_unstemmed | Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title_short | Point Spectrum of Singularly Perturbed Self-Adjoint Operators |
| title_sort | point spectrum of singularly perturbed self-adjoint operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3631 |
| work_keys_str_mv | AT konstantinovayu pointspectrumofsingularlyperturbedselfadjointoperators AT konstantinovaû pointspectrumofsingularlyperturbedselfadjointoperators AT konstantinovaû pointspectrumofsingularlyperturbedselfadjointoperators AT konstantinovayu točkovijspektrsingulârnozburenihsamosprâženihoperatorív AT konstantinovaû točkovijspektrsingulârnozburenihsamosprâženihoperatorív AT konstantinovaû točkovijspektrsingulârnozburenihsamosprâženihoperatorív |