Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces
We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hormander spaces $H^{s, \varphi}$, where $s \in R,\quad \varphi$ is a functional parameter slowly varying on $+\infty$. In the case of the Sobolev spaces $H^{s}$, the function $\varphi(|\xi|) \equiv 1$. We...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3635 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509757645783040 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:32Z |
| description | We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hormander spaces $H^{s, \varphi}$, where $s \in R,\quad \varphi$ is a functional parameter slowly varying on $+\infty$. In the case of the Sobolev spaces $H^{s}$, the function $\varphi(|\xi|) \equiv 1$.
We establish that the considered operators possess the properties of the Fredholm operators, and the solutions are globally and locally regular.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.944
V. A. Myxajlec (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
A. A. Muraç (Çernyhov. texnol. yn-t)
∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ
ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX PROSTRANSTV
*
We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hörmander
spaces H s
,
ϕ, where s ∈ R , ϕ is a functional parameter slowly varying on + ∞. In the case of the
Sobolev spaces H
s, the function ϕ ξ( ) ≡ 1. We establish that the considered operators possess the
properties of the Fredholm operators, and the solutions are globally and locally regular.
Vyvça[t\sq teoriq eliptyçnyx hranyçnyx zadaç v utoçnenij dvostoronnij ßkali prostoriv Xer-
mandera H
s,
ϕ
, de s ∈ R, ϕ — povil\no zminnyj na + ∞ funkcional\nyj parametr. U vypadku
prostoriv Sobol[va H
s
funkciq ϕ ξ( ) ≡ 1. Vstanovleno fredhol\movist\ rozhlqnutyx ope-
ratoriv, hlobal\nu ta lokal\nu rehulqrnist\ rozv’qzkiv.
1. Vvedenye. V nastoqwej rabote yssleduetsq operator rehulqrnoj πllypty-
çeskoj zadaçy s odnorodn¥my hranyçn¥my uslovyqmy v utoçnennoj dvustoron-
nej ßkale hyl\bertov¥x funkcyonal\n¥x prostranstv na ohranyçennoj oblas-
ty. Hladkostn¥e svojstva funkcyj prostranstv πtoj ßkal¥ opredelqgtsq
dvumq parametramy — çyslov¥m s y funkcyonal\n¥m ϕ. Parametr ϕ qvlqet-
sq medlenno menqgwejsq na + ∞ funkcyej odnoj peremennoj y utoçnqet os-
novnug s-hladkost\. V çastnom sluçae ϕ ≡ 1 poluçaetsq yzvestnaq ßkala bes-
selev¥x potencyalov. Osnovnoj rezul\tat rabot¥ — teorema o neterovosty
ukazannoho operatora v utoçnennoj ßkale pry dejstvytel\n¥x nepolucel¥x s.
V kaçestve pryloΩenyq pryvodytsq utverΩdenye o lokal\nom pov¥ßenyy
utoçnennoj hladkosty reßenyq πllyptyçeskoj hranyçnoj zadaçy. Otmetym,
çto prostranstva funkcyonal\noj hladkosty b¥ly vperv¥e vveden¥ y rassmot-
ren¥ v rabotax [1, 2]. V nastoqwee vremq πty prostranstva qvlqgtsq predmetom
razlyçn¥x yssledovanyj (sm., naprymer, [3, c. 381 – 415; 4] y pryvedennug v nyx
byblyohrafyg).
2. Utoçnennaq ßkala prostranstv. Napomnym, çto poloΩytel\naq
funkcyq ϕ, zadannaq na dejstvytel\noj poluosy [ b, + ∞ ), naz¥vaetsq pra-
vyl\no menqgwejsq na + ∞ funkcyej porqdka s ∈ R, esly ϕ yzmeryma po Bo-
relg na [ b, + ∞ ) y dlq lgboho λ > 0 spravedlyvo
ϕ λ
ϕ
( )
( )
t
t
→ λ
s
pry t → + ∞.
Pravyl\no menqgwaqsq na + ∞ funkcyq porqdka s = 0 naz¥vaetsq medlenno
menqgwejsq na + ∞. Oboznaçym çerez SV sovokupnost\ vsex medlenno menqg-
wyxsq na + ∞ funkcyj. Oçevydno, ϕ — pravyl\no menqgwaqsq na + ∞ funk-
cyq porqdka s tohda y tol\ko tohda, kohda ϕ ( t ) = λ
s
ϕ0 ( t ), t ≥ b, dlq nekoto-
roho ϕ0 ∈ SV.
Teoryq pravyl\no menqgwyxsq funkcyj b¥la osnovana Y. Karamatoj v 30-x
hodax proßloho stoletyq. ∏ty funkcyy blyzky po svojstvam k stepenn¥m y
dostatoçno yzuçen¥ [5 – 7]. Ony ymegt mnohoçyslenn¥e pryloΩenyq, v osnov-
nom blahodarq yx osoboj roly v teoremax tauberova typa.
Pryvedem dva prost¥x prymera [6, c. 48 – 50] medlenno menqgwyxsq
funkcyj.
Prymer 1. Pust\ dano k dejstvytel\n¥x çysel r 1 , r2 , … , rk . PoloΩym
* Çastyçno podderΩana Fondom fundamental\n¥x yssledovanyj Ukrayn¥ (hrant 01.07 / 00252).
© V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 689
690 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ
ϕ ( t ) : = (ln ) (ln ln ) (ln ln )t t tr r rk1 2 … … , t >> 1. Tohda ϕ ∈ SV.
Prymer 2. Dlq r < 1 poloΩym ϕ ( t ) : = exp(ln )r t , t > 1. Tohda ϕ ∈ SV.
Yzvestno (sm., naprymer, [6, c. 10]), çto kaΩdaq funkcyq ϕ ∈ SV dopuskaet
predstavlenye vyda
ϕ ( t ) = exp ( )
( )β α τ
τ
τt d
b
t
+
∫ , t ≥ b, (1)
dlq nekotor¥x çysla b > 0, neprer¥vnoj funkcyy α : [ b, + ∞ ) → R, stremq-
wejsq k nulg v + ∞, y yzmerymoj po Borelg ohranyçennoj funkcyy β : [ b,
+ ∞ ) → R, ymegwej koneçn¥j predel v + ∞. Obratnoe takΩe verno: lgbaq
funkcyq vyda (1) prynadleΩyt klassu SV. Otsgda, v çastnosty, sleduet, çto
poloΩytel\naq dyfferencyruemaq na [ b, + ∞ ) funkcyq ϕ, udovletvorqgwaq
uslovyg
t t
t
′ϕ
ϕ
( )
( )
→ 0 pry t → + ∞,
prynadleΩyt klassu SV.
Opyraqs\ na ponqtye medlenno menqgwejsq funkcyy, vvedem utoçnennug
dvustoronngg ßkalu prostranstv raspredelenyj, zadann¥x na n -mernom dej-
stvytel\nom prostranstve R
n
.
Oboznaçym çerez M sovokupnost\ vsex takyx poloΩytel\n¥x funkcyj ϕ,
opredelenn¥x na [ 1, + ∞ ), çto:
a) ϕ yzmeryma po Borelg na [ 1, + ∞ );
b) funkcyy ϕ y 1 / ϕ ohranyçen¥ na kaΩdom otrezke [ 1, b ), hde 1 < b <
< + ∞;
v) ϕ ∈ SV.
Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Oboznaçym çerez H
s,
ϕ
( R
n
) sovokupnost\ vsex takyx
raspredelenyj u medlennoho rosta, zadann¥x na R
n
, çto preobrazovanye
Fur\e û raspredelenyq u qvlqetsq lokal\no summyruemoj po Lebehu na R
n
funkcyej, udovletvorqgwej uslovyg
∫ ( )ξ ϕ ξ ξ ξ2 2 2s u dˆ( ) < ∞. (2)
Zdes\ y dalee yntehral beretsq po vsemu R
n
, a 〈 ξ 〉 = 1 1
2 2 1 2
+ +…+( ) /ξ ξn —
shlaΩenn¥j modul\ vektora ξ = ( ξ1 , … , ξn ) ∈R
n
. V prostranstve H
s,
ϕ
( R
n
) v
kaçestve skalqrnoho proyzvedenyq eho πlementov u, v yspol\zuem velyçynu
∫ ( )ξ ϕ ξ ξ ξ ξ2 2s u dˆ( ) ˆ( )v .
∏to skalqrnoe proyzvedenye poroΩdaet normu, ravnug korng kvadratnomu yz
levoj çasty neravenstva (2).
Prostranstvo H
s,
ϕ
( R
n
) qvlqetsq çastn¥m yzotropn¥m sluçaem prost-
ranstv, rassmotrenn¥x L. Xermanderom [1, c. 54], a takΩe L. R. Volevyçem y
B.MP. Paneqxom [2, c. 14]. Otmetym, çto yx prostranstva sovpadagt v hyl\berto-
vom sluçae. Dlq ϕ ≡ 1 prostranstvo H
s,
ϕ
( R
n
) sovpadaet s yzvestn¥m pros-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 691
transtvom H
s
( R
n
) besselev¥x potencyalov na R
n
. Yz rezul\tatov upomqnu-
t¥x v¥ße rabot sleduet, çto prostranstvo H
s,
ϕ
( R
n
) polnoe, pryçem mnoΩest-
vo C n
0
∞( )R plotno v nem. Krome toho, prostranstva H
s,
ϕ
( R
n
) y H
–
s,
1
/
ϕ
( R
n
)
dvojstvenn¥ otnosytel\no rasßyrenyq po neprer¥vnosty skalqrnoho proyzve-
denyq v prostranstve L2 ( R
n
) (zdes\ neobxodymo ymet\ v vydu, çto ϕ ∈ M ⇔
⇔ 1 / ϕ ∈ M ). Dalee, poskol\ku [6, c. 24]
t
–
ε
ϕ ( t ) → 0 y t
ε
ϕ ( t ) → ∞ pry t → + ∞ dlq lgboho ε > 0,
spravedlyv¥ neprer¥vn¥e plotn¥e vloΩenyq
H
s
+
ε
( R
n
) ⊂→ H
s,
ϕ
( R
n
) ⊂→ H
s
–
ε
( R
n
), ε > 0. (3)
Takym obrazom, dlq prostranstva H
s,
ϕ
( R
n
) çyslovoj parametr s zadaet osnov-
nug hladkost\, a funkcyonal\n¥j parametr ϕ opredelqet podçynennug do-
polnytel\nug hladkost\, t. e. utoçnqet osnovnug (stepennug) s-hladkost\.
Pry πtom semejstvo prostranstv
H ss n, ( ): ,ϕ ϕR R∈ ∈{ }M budem naz¥vat\
utoçnennoj ßkaloj (po otnoßenyg k dvustoronnej ßkale H ss n( ):R R∈{ }
prostranstv besselev¥x potencyalov).
Kak yzvestno [6, c. 23], dlq lgboho ϕ ∈ SV suwestvuet takaq funkcyq
ϕ1 ∈ SV ∩ C∞ +∞( )( ; )0 , çto ϕ ( t ) / ϕ1 ( t ) pry t → + ∞. Sledovatel\no, pry opre-
delenyy prostranstv H
s,
ϕ
( R
n
) moΩno vmesto klassa M vzqt\ bolee uzkug so-
vokupnost\ vsex poloΩytel\n¥x funkcyj ϕ ∈ SV ∩ C∞ +∞( )( ; )0 . Pry πtom s
toçnost\g do πkvyvalentnosty norm poluçym tot Ωe zapas prostranstv, norm¥
v kotor¥x uΩe budut v¥çyslqt\sq s pomow\g beskoneçno hladkoho vesovoho
mnoΩytelq µ ( ξ ) = 〈 ξ 〉
2
s
ϕ
2
( 〈 ξ 〉 ).
Vvedem teper\ analohy prostranstva H
s,
ϕ
( R
n
) dlq zamknut¥x y otkr¥t¥x
mnoΩestv v prostranstve R
n
. Dlq zamknutoho mnoΩestva Q ⊂ R
n
oboznaçym
çerez HQ
s n, ( )ϕ
R sovokupnost\ tex raspredelenyj u ∈ H
s,
ϕ
( R
n
), nosytel\ ko-
tor¥x leΩyt v Q. Yz pervoho vloΩenyq (3) sleduet, çto HQ
s n, ( )ϕ
R —
zamknutoe podprostranstvo v H
s,
ϕ
( R
n
).
Pust\ Ω — otkr¥toe mnoΩestvo R
n y Ω : = R
n
\ Ω. Rassmotrym faktor-
prostranstvo
H
s,
ϕ
( Ω ) =
H
H
s n
Q
s n
,
ˆ
,
( )
( )
ϕ
ϕ
R
R
. (4)
Poskol\ku H
Q
s n
ˆ
, ( )ϕ
R — zamknutoe podprostranstvo v hyl\bertovom pros-
transtve H
s,
ϕ
( R
n
), prostranstvo (4) takΩe hyl\bertovo. Skalqrnoe proyzve-
denye klassov smeΩnosty
v j Q
s nw w H+ ∈{ }: ( )ˆ
,ϕ
R , j = 1; 2,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
692 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ
yz prostranstva (4) ravno skalqrnomu proyzvedenyg v H
s,
ϕ
( R
n
) raspredelenyj
vj – Π vj , j = 1; 2, hde Π — ortoproektor v H
s,
ϕ
( R
n
) na podprostranstvo
H
Q
s n
ˆ
, ( )ϕ
R . Otmetym, çto prostranstvo (4) estestvenno traktovat\ kak prostran-
stvo suΩenyj na Ω vsex raspredelenyj yz H
s,
ϕ
( R
n
). Pry πtom norma v
H
s,
ϕ
( Ω ) suΩenyq v ravna
inf :, ( )u uH s nϕ
R
={ }v na Ω .
Vsgdu dalee predpolahaetsq, çto Ω — otkr¥taq ohranyçennaq beskoneçno
hladkaq oblast\ v R
n
s hranycej Γ, pryçem n ≥ 2. Pust\ Ω : = Ω ∪ Γ. Obo-
znaçym çerez C∞( )Ω sovokupnost\ suΩenyj na Ω vsex funkcyj yz C
∞
( R
n
).
PoloΩym C0
∞( )Ω = u C un∈ ∈{ }∞( ):R supp Ω . Budem otoΩdestvlqt\ funkcyg
yz C0
∞( )Ω s ee suΩenyem na Ω. Otmetym sledugwye svojstva prostranstv
H
s,
ϕ
( Ω ) y H
Q
s n, ( )ϕ
R .
PredloΩenye 1. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Tohda:
a) mnoΩestvo C∞( )Ω plotno v H
s,
ϕ
( Ω );
b) mnoΩestvo C0
∞( )Ω plotno v H
s,
ϕ
( Ω ) pry s < 1 / 2 y v H
Q
s n
ˆ
, ( )ϕ
R pry
lgbom s;
v) prostranstva H
s,
ϕ
( Ω ) y H
Q
s n− /, ( )1 ϕ
R vzaymno dvojstvenn¥ otnosy-
tel\no skalqrnoho proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω );
h) s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm H
Q
s n, ( )ϕ
R = H
s,
ϕ
( Ω ) pry | s | <
< 1 / 2.
Poslednee ravenstvo ponymaetsq v tom sm¥sle, çto operator suΩenyq raspre-
delenyq na Ω osuwestvlqet yzomorfyzm meΩdu zapysann¥my prostran-
stvamy.
NyΩe m¥ budem rassmatryvat\ πllyptyçeskyj operator v dvustoronnej
ßkale
H ss, : ,ϕ ϕ∈ ∈{ }R M , (5)
kotorug postroym sledugwym obrazom. Dlq s ≥ 0 poloΩym H
s,
ϕ = H
s,
ϕ
( Ω ).
Dlq s < 0 oboznaçym çerez H
s,
ϕ
hyl\bertovo prostranstvo, dvojstvennoe k
H
–
s,
1
/
ϕ
( Ω ) otnosytel\no skalqrnoho proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω ). Ot-
metym, çto v sylu predloΩenyq 1 s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm spra-
vedlyv¥ ravenstva
H
s,
ϕ = H
s,
ϕ
( Ω ), s > –
1
2
, H
s,
ϕ = H
Q
s n, ( )ϕ
R , s <
1
2
. (6)
Dvustoronngg ßkalu (5) budem takΩe naz¥vat\ utoçnennoj. Dalee v sluçae
ϕ ≡ 1 yndeks ϕ v oboznaçenyqx prostranstv (6) budem opuskat\.
3. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale. Pust\ na mnoΩestve
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 693
Ω zadan formal\n¥j lynejn¥j dyfferencyal\n¥j πllyptyçeskyj operator
A çetnoho porqdka 2 k s koπffycyentamy klassa C∞( )Ω . Rassmotrym dlq ne-
ho odnorodnug hranyçnug zadaçu
A u = f na Ω, Bj u = 0 na Γ, j = 1, … , k. (7)
Zdes\ y vsgdu dalee Bj , j = 1, … , k, — lynejn¥e dyfferencyal\n¥e hranyçn¥e
operator¥ razlyçn¥x porqdkov ord Bj ≤ 2 k – 1 s beskoneçno hladkymy na Γ ko-
πffycyentamy. Dalee predpolahaetsq, çto hranyçnaq zadaça (7) qvlqetsq re-
hulqrnoj πllyptyçeskoj na Γ. ∏to oznaçaet [8, c. 167], çto operator A pra-
vyl\no πllyptyçen na Ω , a systema { Bj , j = 1, … , k } normal\na y udovletvo-
rqet uslovyg dopolnytel\nosty po otnoßenyg k A na Γ.
Rassmotrym takΩe odnorodnug hranyçnug zadaçu
A
+
v = g na Ω, Bj
+v = 0 na Γ, j = 1, … , k, (8)
formal\no soprqΩennug k zadaçe (7) otnosytel\no formul¥ Hryna [8, c. 168]
( A u, v ) +
j
k
j jB u C
=
+∑
1
, v = ( u, A
+
v ) +
j
k
j jC u B
=
+∑
1
, v ,
spravedlyvoj dlq lgb¥x u, v ∈ C∞( )Ω . Zdes\ A
+
— formal\no soprqΩenn¥j
k A lynejn¥j dyfferencyal\n¥j πllyptyçeskyj operator porqdka 2 k s ko-
πffycyentamy klassa C∞( )Ω , { Bj }, { Cj }, Cj
+{ } — normal\n¥e system¥ ly-
nejn¥x dyfferencyal\n¥x hranyçn¥x operatorov s beskoneçno hladkymy na Γ
koπffycyentamy, pryçem porqdky πtyx operatorov udovletvorqgt uslovyg
ord Bj + ord Cj
+ = ord Cj + ord Bj
+ = 2 k – 1,
y, nakonec, ( ⋅, ⋅ ) y 〈 ⋅, ⋅ 〉 — skalqrn¥e proyzvedenyq v prostranstve L2 ( Ω ) y v
L2 ( Γ ) sootvetstvenno. Oboznaçym mj : = ord Bj , mj
+ : = Bj
+
. Yzvestno [8, c. 168],
çto zadaçy (7) y (8) qvlqgtsq odnovremenno rehulqrno πllyptyçeskymy.
S zadaçamy (7), (8) svqΩem nekotor¥e funkcyonal\n¥e prostranstva.
PoloΩym
C
∞
( hr ) : = u C B u j kj∈ ( ) = = …{ }∞ Ω Γ: ( , , )0 1na ,
C
∞
( hr )
+ : =
v v∈ ( ) = = …{ }∞ +C B j kjΩ Γ: ( , , )0 1na .
Dlq s ∈ R, ϕ ∈ M oboznaçym çerez H
s,
ϕ
( hr ) y H
s,
ϕ
( hr )
+
zam¥kanyq sootvet-
stvenno mnoΩestv C
∞
( hr ) y C
∞
( hr )
+
v H
s,
ϕ
. Prostranstva H
s,
ϕ
( hr ) y
H
s,
ϕ
( hr )
+
ymegt sledugwee konstruktyvnoe opysanye.
PredloΩenye 2. Esly s > – 1 / 2 y s ≠ mj + 1 / 2 , j = 1, … , k , to
H
s,
ϕ
( hr ) = { u ∈ H
s,
ϕ
( Ω ) : Bj u = 0 na Γ dlq vsex j = 1, … , k takyx, çto s >
> mj + 1 / 2 }, pryçem zdes\ dlq u ∈ H
s,
ϕ
( Ω ) ⊂ H
s
–
ε
( Ω ), ε > 0, raspredelenye
Bj u na Γ ponymaetsq v sm¥sle teorem¥ o sledax [8, c. 82], prymenennoj k
prostranstvu H
s
–
ε
( Ω ) besselev¥x potencyalov na Ω. Dalee, esly s < 1 / 2,
to s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm H
s,
ϕ
( hr ) = H
Q
s n, ( )ϕ
R . Nakonec, πto
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
694 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ
predloΩenye soxranqet sylu, esly v eho formulyrovke zamenyt\ (hr) na ( hr )
+
,
Bj na Bj
+ y mj na mj
+
.
Oboznaçym takΩe N : =
u C Au∈ ={ }∞( ):hr na0 Ω y N
+ : = { ∈ ∞ +v C ( ) :hr
A
+ = }v 0 na Ω . Yz obwej teoryy πllyptyçeskyx hranyçn¥x zadaç [8, c. 169]
sleduet, çto prostranstva N y N
+
koneçnomern¥. ∏to pozvolqet postroyt\ v
ßkale (5) sovokupn¥e proektor¥ na podprostranstva, ortohonal\n¥e sootvet-
stvenno N y N
+
otnosytel\no form¥ ( ⋅, ⋅ ), qvlqgwejsq rasßyrenyem po
neprer¥vnosty skalqrnoho proyzvedenyq v L2 ( Ω ). A ymenno, ymeet mesto
sledugwee utverΩdenye.
PredloΩenye 3. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M . Dlq proyzvol\noho u ∈ H
s,
ϕ
( hr )
suwestvuet takoj edynstvenn¥j πlement u0 ∈ N , çto ( u – u0 , w ) = 0 dlq
lgboho w ∈ N. Pry πtom otobraΩenye P : u → u1 = u – u0 qvlqetsq proek-
torom prostranstva H
s,
ϕ na zamknutoe podprostranstvo
u H u w w Ns
1 1 0∈ = ∈{ }, : ( , )ϕ dlq lgboho
takym, çto obraz P u ne zavysyt ot s , ϕ. ∏to predloΩenye soxranqet sylu,
esly v eho formulyrovke zamenyt\ N na N
+ y P na P
+
.
Nakonec, dlq proyzvol\n¥x σ ∈ R, ϕ ∈ M poloΩym
Mσ, ϕ : =
h H h w w C∈ = ∈{ }∞ +σ ϕ, : ( , ) ( )0 dlq lgboho hr .
Oçevydno, πto zamknutoe podprostranstvo v prostranstve H
σ,
ϕ
. Krome toho, v
sylu pervoho ravenstva (6) Mσ, ϕ = {0} pry σ > – 1 / 2.
Sformulyruem teper\ osnovnoj rezul\tat rabot¥. Predvarytel\no napom-
nym sledugwee opredelenye [8, c. 109]. Lynejn¥j ohranyçenn¥j operator
T : X → Y, hde X, Y — banaxov¥ prostranstva, naz¥vaetsq neterov¥m, esly eho
qdro y koqdro koneçnomern¥, a oblast\ znaçenyj zamknuta v Y.
Teorema 1. Pust\ s ∈ R, ϕ ∈ M , pryçem
s ≠ mj +
1
2
y s ≠ mj
+ +
1
2
dlq kaΩdoho j = 1, … , k. (9)
Tohda otobraΩenye
u � { A u + h : h ∈ Ms – 2 k, ϕ },
zadannoe na funkcyqx u ∈ C
∞
( hr ), prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do lynej-
noho ohranyçennoho neterovoho operatora
A(
hr
) : H
s,
ϕ
( hr ) → H
s
–
2
k,
ϕ
/ Ms – 2 k, ϕ (10)
s qdrom N y koqdrom N
+
. SuΩenye operatora na P ( H
s,
ϕ
( hr ) ) osuwestvlq-
et yzomorfyzm
A(
hr
) : P ( H
s,
ϕ
( hr ) ) ↔ P
+
( H
s
–
2
k,
ϕ
) / Ms – 2 k, ϕ .
Takym obrazom, operator A(
hr
) rehulqrnoj πllyptyçeskoj odnorodnoj hra-
nyçnoj zadaçy ostavlqet ynvaryantn¥m funkcyonal\n¥j parametr ϕ ∈ M ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
∏LLYPTYÇESKYE OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE FUNKCYONAL|NÁX … 695
utoçnqgwyj osnovnug s -hladkost\ prostranstva. Zdes\ neobxodymo ymet\ v
vydu, çto
H
s
–
2
k,
ϕ
/ Ms – 2 k, ϕ = H
s
–
2
k,
ϕ
pry s > 2 k –
1
2
.
Otmetym takΩe, çto prostranstva H
s
–
2
k,
ϕ
/ Ms – 2 k, ϕ y H
2
k
–
s,
1
/
ϕ
( hr )
+
dvoj-
stvenn¥ otnosytel\no form¥ ( ⋅, ⋅ ) pry lgbom dejstvytel\nom s.
Teorema 1 perenosyt yzvestn¥e rezul\tat¥ G. M. Berezanskoho, S. H. Krej-
na, Q. A. Rojtberha [9], [10] (§ 5.5) so ßkal¥ prostranstv besselev¥x potencya-
lov (sluçaj ϕ ≡ 1) na utoçnennug ßkalu prostranstv. Otmetym, çto v ne-
skol\ko ynoj odnostoronnej utoçnennoj ßkale rehulqrnaq πllyptyçeskaq za-
daça (s neodnorodn¥my hranyçn¥my uslovyqmy) yssledovalas\ H. Ílenzak [11].
Pry πtom rassmatryvalys\ lyß\ dostatoçno hladkye prostranstva
(prymenytel\no k dann¥m postroenyqm πto sluçaj s ≥ 2 k ).
4. Lokal\noe pov¥ßenye hladkosty. Oboznaçym çerez H
–
∞
obæedynenye
vsex prostranstv H
s,
ϕ
, hde s ∈ R, ϕ ∈ M . PoloΩym
M– ∞ : =
h H h w w C∈ = ∈{ }−∞ +: ( , ) ( )0 dlq lgboho hr .
Operator¥ (10), vzqt¥e vmeste dlq vsex s ∈ R, ϕ ∈ M , opredelqgt lynejnoe
otobraΩenye
A(
hr
) : H
–
∞ → H
–
∞
/ M– ∞ .
Zadadymsq sledugwym voprosom. Pust\ raspredelenye u ∈ H
–
∞
udovletvorq-
et uravnenyg
A(
hr
) u = { f + h : h ∈ M– ∞ }, (11)
pryçem f ymeet dannug hladkost\ na nekotorom otkr¥tom v Ω mnoΩestve.
Çto tohda moΩno skazat\ o hladkosty reßenyq na πtom mnoΩestve? Sformu-
lyruem otvet na πtot vopros.
Pust\ U — otkr¥toe mnoΩestvo v prostranstve R
n
, pryçem Ω 0 = Ω ∩ U ≠
≠ ∅. PoloΩym Γ0 : = Γ ∩ U (vozmoΩen sluçaj Γ0 = ∅ ). Vvedem sledugwye
prostranstva utoçnennoj hladkosty na Ω 0 . Dlq proyzvol\n¥x s ∈ R, ϕ ∈ M
oboznaçym çerez Hs
loc
, ( )ϕ Ω0 sovokupnost\ vsex takyx u ∈ H
–
∞
, çto χ u ∈ H
s,
ϕ
dlq lgboj funkcyy χ ∈ C∞( )Ω , nosytel\ kotoroj supp χ ⊂ Ω 0 . (Otmetym,
çto zdes\ proyzvedenye χ u opredeleno, poskol\ku otobraΩenye
u � χ u ( u ∈ C∞( )Ω )
prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do lynejnoho ohranyçennoho operatora v kaΩ-
dom prostranstve ßkal¥ (5).) Dalee, poloΩym
Hs
loc
, ( , , )ϕ Ω Γ0 0hr =
= u H B u j k s ms
j j∈ = = … > +{ }loc
, ( ): , , ;ϕ Ω Γ0 00 1 1
2
na dlq vsex .
Zdes\ predpolahaetsq, çto s ≠ mj + 1 / 2, j = 1, … , k.
Teorema 2. Pust\ u ∈ H
–
∞ qvlqetsq reßenyem uravnenyq (11), v kotorom
u ∈ Hs k
loc
−2
0
, ( )ϕ Ω dlq nekotoroho s ∈ R, udovletvorqgweho (9), y nekotoroho
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
696 V. A. MYXAJLEC, A. A. MURAÇ
ϕ ∈ M . Tohda u ∈ Hs
loc
, ( , )ϕ Ω0 hr .
∏to utverΩdenye — teorema o lokal\nom pov¥ßenyy utoçnennoj hladkosty
reßenyq rehulqrnoj πllyptyçeskoj zadaçy s odnorodn¥my hranyçn¥my uslo-
vyqmy. Zametym, çto v sluçae Ω ⊂ U (t. e. Ω 0 = Ω , Γ 0 = Γ ) „lokal\n¥e”
prostranstva sovpadagt s „hlobal\n¥my”:
Hs
loc
, ( )ϕ Ω0 = H
s,
ϕ y
Hs
loc
, ( , , )ϕ Ω Γ0 hr = H
s,
ϕ
( hr ).
Poπtomu teorema 2 soderΩyt takΩe utverΩdenye o hlobal\nom pov¥ßenyy
hladkosty, t. e. vo vsej zamknutoj oblasty Ω . Nakonec, otmetym ewe sluçaj
U ⊂ Ω (t. e. Γ 0 ≠ ∅ ), kotor¥j pryvodyt k utverΩdenyg o pov¥ßenyy hladkos-
ty vnutry oblasty Ω.
Teorema 2 perenosyt yzvestn¥j rezul\tat G. M. Berezanskoho, S. H. Krejna,
Q. A. Rojtberha [9], [10] (§ 7.3) o lokal\nom pov¥ßenyy hladkosty reßenyj so
ßkal¥ prostranstv besselev¥x potencyalov (sluçaj ϕ ≡ 1) na utoçnennug dvu-
storonngg ßkalu prostranstv.
1. Xermander L. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.:
Myr, 1965. – 380 s.
2. Volevyç L. R., Paneqx B. P. Nekotor¥e prostranstva obobwenn¥x funkcyj y teorem¥ vlo-
Ωenyq // Uspexy mat. nauk. – 1965. – 20, # 1. – S. 35 – 74.
3. Trybel\ X. Teoryy funkcyonal\n¥x prostranstv. – M.: Myr, 1986. – 447 s.
4. Edmunds D. E., Triebel H. Function spaces, entropy numbers, differential operators // Cambridge
Tracts in Math. – 1999. – # 120. – 252 p.
5. Haan L. de. On regular variation and its applications to the weak convergence of sample extremes
// Math. Cent. Tracts. – 1970. – # 32. – 124 p.
6. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 142 s.
7. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1989. – 512 p.
8. Funkcyonal\n¥j analyz / Pod obw. red. S. H. Krejna. – M.: Nauka, 1972. – 544 s.
9. Berezanskyj G. M., Krejn S. H., Rojtberh Q. A. Teorema o homeomorfyzmax y lokal\noe
pov¥ßenye hladkosty vplot\ do hranyc¥ reßenyj πllyptyçeskyx uravnenyj // Dokl. AN
SSSR. – 1963. – 148, # 4. – S. 745 – 748.
10. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 1996. – 427 p.
11. Ílenzak H. ∏llyptyçeskye zadaçy v utoçnennoj ßkale prostranstv // Vestn. Mosk. un-ta.
– 1974. – # 4. – S. 48 – 58.
Poluçeno 03.02.2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3635 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:11Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4e/798d6c4a2921aac6182cf790f783ac4e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36352020-03-18T20:00:32Z Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. We study the theory of elliptic boundary-value problems in the refined two-sided scale of the Hormander spaces $H^{s, \varphi}$, where $s \in R,\quad \varphi$ is a functional parameter slowly varying on $+\infty$. In the case of the Sobolev spaces $H^{s}$, the function $\varphi(|\xi|) \equiv 1$. We establish that the considered operators possess the properties of the Fredholm operators, and the solutions are globally and locally regular. Вивчається теорія еліптичних граничних задач в уточненій двосторонній шкалі просторів Хер-мандера $H^{s, \varphi}$, де $s \in R,\quad \varphi$ — повільно змінний на $+\infty$ функціональний параметр. У випадку просторів Соболєва $H^{s}$ функція $\varphi(|\xi|) \equiv 1$. Встановлено фредгольмовість розглянутих операторів, глобальну та локальну регулярність розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3635 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 5 (2005); 689–696 Український математичний журнал; Том 57 № 5 (2005); 689–696 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3635/4000 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3635/4001 Copyright (c) 2005 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title | Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title_alt | Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств |
| title_full | Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title_fullStr | Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title_full_unstemmed | Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title_short | Elliptic Operators in a Refined Scale of Functional Spaces |
| title_sort | elliptic operators in a refined scale of functional spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3635 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT murachaa ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT mihajlecva ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT muračaa ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT mihajlecva ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT muračaa ellipticoperatorsinarefinedscaleoffunctionalspaces AT mikhailetsva élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv AT murachaa élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv AT mihajlecva élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv AT muračaa élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv AT mihajlecva élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv AT muračaa élliptičeskieoperatoryvutočnennojškalefunkcionalʹnyhprostranstv |