On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups

By using representations of general position and their properties, we give the description of group $C^{*}$-algebras for semidirect products $\mathbb{Z}^d \times G_f$, where $G_f$ is a finite group, in terms of algebras of continuous matrix-functions defined on some compact set with boundary conditi...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Samoilenko, Yu. S., Yushchenko, K. Yu., Самойленко, Ю. С., Ющенко, К. Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3636
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509758445846528
author	Samoilenko, Yu. S. Yushchenko, K. Yu. Самойленко, Ю. С. Ющенко, К. Ю.
author_facet	Samoilenko, Yu. S. Yushchenko, K. Yu. Самойленко, Ю. С. Ющенко, К. Ю.
author_sort	Samoilenko, Yu. S.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T20:00:32Z
description	By using representations of general position and their properties, we give the description of group $C^{}$-algebras for semidirect products $\mathbb{Z}^d \times G_f$, where $G_f$ is a finite group, in terms of algebras of continuous matrix-functions defined on some compact set with boundary conditions. We present examples of the $C^{}$-algebras of affine Coxeter groups.
first_indexed	2026-03-24T02:46:11Z
format	Article
fulltext	UDK 517.98 G. S. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v), K. G. Gwenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka) PRO HRUPOVI C ∗∗∗∗ -ALHEBRY NAPIVPRQMOHO DOBUTKU KOMUTATYVNO} TA SKINÇENNO} HRUP By using representations of general position and their properties, we give the description of group C∗- algebras for semidirect products Z d fG×\| , where Gf is a finite group, in terms of algebras of continuous matrix-functions defined on some compact set with boundary conditions. We present examples of the C∗-algebras of affine Coxeter groups. Za dopomohog zobraΩen\ zahal\noho poloΩennq ta ]x vlastyvostej navedeno opys hrupovyx C∗- alhebr dlq napivprqmyx dobutkiv Z d fG×\| , de Gf — skinçenna hrupa, v terminax alhebr nepe- rervnyx matryc\-funkcij, vyznaçenyx na deqkomu kompakti z krajovymy umovamy. Navedeno pryklady hrupovyx C∗-alhebr afinnyx hrup Kokstera. 1. Vstup. 1. Klasyçni teoremy linijno] alhebry pro zvedennq kompleksno] ermitovo] matryci do diahonal\noho vyhlqdu z dijsnymy çyslamy na diahonali, uzahal\nennq na neobmeΩeni samosprqΩeni operatory v kompleksnomu hil\bertovomu prostori, teoremy pro rozklad za uzahal\nenymy vlasnymy vektoramy (dyv., napryklad, [1]), uvijßly do zolotoho fondu matematyky. * -ZobraΩennq — involgtyvni zobraΩennq asociatyvnyx alhebr. Opys toho çy inßoho klasu najprostißyx (nezvidnyx) * -zobraΩen\ i vidpovidni spekt- ral\ni teoremy, qki opysugt\ zobraΩennq qk sumy çy intehraly najprostißyx, takoΩ posidagt\ vaΩlyve misce v arsenali metodiv doslidΩennq matematyçnyx i pryrodnyçyx zadaç. Rqd robit, zokrema, ukra]ns\kyx matematykiv (dyv., napryk- lad, [2]) prysvqçeno vyvçenng riznomanitnyx zadaç teori] operatoriv za dopo- mohog doslidΩennq struktury vidpovidno] alhebry ta ]] involgtyvnyx zobra- Ωen\. 2. Odnym z pytan\, wo vda[t\sq rozv’qzaty za dopomohog teori] * -zobra- Ωen\, [ vyvçennq budovy hrupovo] C∗-alhebry. U najprostißomu vypadku, koly hrupa [ skinçennog, hrupova C∗-alhebra [ skinçennovymirnog ta izomorfnog prqmij sumi matryçnyx alhebr. Nastupnym za skladnistg vypadkom [ vyvçennq hrupovyx C∗-alhebr dlq hrup, rozmirnosti vsix nezvidnyx zobraΩen\ qkyx ne perevywugt\ pevne fiksovane çyslo. Takymy hrupamy [, napryklad, afinni hrupy Kokstera, deqki krystalohrafiçni hrupy ta, bil\ß zahal\no, napivprqmi dobutky vyhlqdu H Gf×\| , de H — komutatyvnyj normal\nyj dil\nyk, Gf — skinçenna hrupa. Danu robotu prysvqçeno opysu budovy hrupovyx C∗-alhebr dlq H Gf×\| u terminax alhebr neperervnyx matryc\-funkcij, vyznaçenyx na deqkomu kompak- ti (p. 3), za dopomohog zobraΩen\ zahal\noho poloΩennq ta ]x vlastyvostej (p. 2). Navedeno pryklad hrupovo] C∗-alhebry afinno] hrupy Kokstera B̃2 (p. 3). 3. Nahada[mo, qk hrupy Kokstera zadagt\sq tvirnymy ta vyznaçal\nymy spivvidnoßennqmy. Nexaj ma[mo mnoΩynu tvirnyx S = { , , , }s s sn1 2 … ta vidobraΩennq m: S S× → ∞N ∪ { } z vlastyvostqmy m s si i( , ) = 1, i = 1, … , n, © G. S. SAMOJLENKO, K. G. GWENKO, 2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 697 698 G. S. SAMOJLENKO, K. G. GWENKO m s si j( , ) > 1, i ≠ j . Todi hrupu W = G s s s s s en i j m s si j〈 … = 〉1 2, , , ( ) ( , ) nazyvagt\ hrupog Kokstera [3]. KoΩnij hrupi Kokstera stavyt\sq u vidpovidnist\ matrycq Kartana K = = ( ) ,kij i j n =1, elementy qko] magt\ vyhlqd k m s sij i j = − cos ( , ) π , i, j = 1, … , n . Vidomo [4], wo: a) hrupa Kokstera W [ skinçennog todi i lyße todi, koly K [ dodatno vyznaçenog; b) qkwo vsi holovni minory matryci K [ dodatnymy ta det K = 0, to W [ napivprqmym dobutkom vil\no] abelevo] hrupy ranhu n – 1 ta skinçenno] hrupy, W Gn= ×− Z 1 \| fin (taki hrupy nazyvagt\ afinnymy hrupamy Kokstera); v) v inßyx vypadkax W mistyt\ vil\nu hrupu z dvoma tvirnymy. 4. Klasyfikacig nezvidnyx zobraΩen\ napivprqmyx dobutkiv vyhlqdu G = = H Gf×\| , de H — komutatyvnyj normal\nyj dil\nyk, Gf — skinçenna pidhru- pa hrupy G, moΩna oderΩaty za dopomohog indukuvannq zobraΩen\ (dyv. [5, 6]). Nahada[mo oznaçennq indukovanoho zobraΩennq. Poznaçymo dual\nyj za Pontrqhinym prostir hrupy H çerez Ĥ . Diq hrupy Gf na H vyznaça[ dig Gf na Ĥ za pravylom χ χg gh h( ) ( )= , de h ghgg = −1. Zafiksu[mo dovil\nyj xa- rakter χ ∈Ĥ . Nexaj G G fχ χ= St ( ) poznaça[ stabilizator χ pid di[g hrupy Gf , a π χ: ( )G GL V→ — joho nezvidne zobraΩennq u prostori V . Pobudu[mo zobraΩennq π χ hrupy H G×\| χ u prostori V : π χ πχ( , ) ( ) ( )h g h g= , h H∈ , g G∈ χ . (1) Poznaçymo çerez Oχ orbitu di] G f na xarakter χ , Oχ χ χ χ= …{ }, , ,g g gk1 2 , g e1 = , k G Gf= χ \ . Rozhlqnemo zobraΩennq T hrupy H Gf×\| u prostori funkcij na orbiti Oχ iz znaçennqmy u prostori V , zadane takym çynom: ( )( ) ( ) ( )( , ) ( )T f h g gg fh g g g i l g gi i iχ χ π χ= −1 , (2) de ( ) , , , , .χ χg g g i l i f i l g g g G h H= ∈ ∈ ZobraΩennq T hrupy G, pobudovane za formulog (2), nazyvagt\ zobraΩen- nqm, indukovanym iz zobraΩennq π χ pidhrupy H G×\| χ , ta poznaçagt\ T = Ind πχ (dyv., napryklad, [5]). Vidomo, wo dovil\ne nezvidne zobraΩennq π̃ hrupy G ma[ vyhlqd π̃ = = Ind πχ dlq deqkoho xarakteru χ ∈Ĥ ta nezvidnoho zobraΩennq π hrupy G χ (teorema DΩ. Makki [6]). Nexaj χ1 ta χ 2 — deqki fiksovani xaraktery H zi stabilizatoramy G G fχ χ 1 1= St ( ) ta G G fχ χ 2 2= St ( ), π1 i π2 — deqki fiksovani nezvidni zobra- Ωennq hrup Gχ1 ta Gχ2 vidpovidno, a πχ 1 1 ta πχ 2 2 — zobraΩennq, pobudovani za dopomohog formuly (1). ZobraΩennq Ind( )πχ 1 1 ta Ind( )πχ 2 2 [ unitarno ekvivalentnymy todi i lyße todi, koly isnu[ element g Gp f∈ takyj, wo ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 PRO HRUPOVI C ∗ -ALHEBRY NAPIVPRQMOHO DOBUTKU … 699 χ χ2 1= gp , i π π1 2 gp ∼ , de π π1 1 1g p p p g g gg( ) ( )= − ∀ ∈g Gχ2 . U podal\ßomu budemo takoΩ vykorystovuvaty dvo]stist\ Frobeniusa dlq in- dukovanyx zobraΩen\ (dyv., napryklad, [5]): nexaj T — zobraΩennq hrupy G H G= ×\| χ , π χ — zobraΩennq pidhrupy H G×\| χ , pobudovane za formulog (1). Todi c T c T H G( ( )) ( ), , \| Ind π πχ χ χ = × . (Çerez c A B( , ) poznaçeno çyslo spletinnq operatoriv A ta B, a çerez T H — obmeΩennq zobraΩennq T na pidhrupu H.) 5. Navedemo takoΩ deqki vidomosti z teori] C∗-alhebr (dyv., napryklad, [7]), wo vykorystovugt\sq v p. 3. Nexaj A — ∗ -alhebra. Para ( ˜ ˜ ), :A A Aϕ → , de ϕ — ∗ -homomorfizm, Ã — C∗-alhebra, nazyva[t\sq obhortugçog C∗-alhebrog ∗ -alhebry A , qkwo dlq dovil\noho zobraΩennq π : ( )A B H→ alhebry A isnu[ [dyne zobraΩennq ˜ : ˜ ( )π A B H→ C∗-alhebry Ã take, wo diahrama πϕ π̃ A Ã B (H ) [ komutatyvnog. Dlq C ∗ -alhebry A ⊆ →C X Mn( ( ))C , de X — kompaktnyj prostir, vyznaçymo C∗-alhebru A( , )x x1 2 za pravylom A( , )x x1 2 = ( ( ), ( )) ( ) ( )f x f x M M fn n1 2 ∈ × ∈{ }C C A . Nastupnyj rezul\tat [ bezposerednim naslidkom teoremy Fella, wo uzahal\- ng[ teoremu Stouna – Vej[rßtrassa na nekomutatyvnyj vypadok (dyv. [8]): ne- xaj A i B — dvi C∗-alhebry taki, wo A B⊆ ⊆ →C X Mn( ( ))C , de X — de- qkyj kompaktnyj prostir. Todi qkwo A B( , ) ( , )x x x x1 2 1 2= dlq vsix par ( , )x x1 2 ∈ ∈ X × X, to A = B . 2. ZobraΩennq zahal\noho poloΩennq. Vvedemo i doslidymo zobraΩennq napivprqmyx dobutkiv Z d fG×\| (zobraΩennq zahal\noho poloΩennq), qki vyko- rystovugt\sq v p.O3 dlq opysu hrupovyx C∗-alhebr. Nexaj G Gd f= ×Z \| , de Z d — vil\na abeleva hrupa skinçennoho ranhu d, a Gf — skinçenna hrupa, wo di[ toçno na Z d . Zafiksu[mo tvirni hratky Z d : y y yd1 2, , ,… . Poznaçymo çerez Ẑ d hrupu xarakteriv Z d . KoΩen xarakter χ zada[t\sq vektorom ( , , , )z z z zd1 2 … = , de z y ei i i i= =χ ϕ( ) , i = 1, … , d. Diq hrupy G f na Z d induku[ dig Gf na hrupi Ẑ T d d= : ϕ ϕ ϕ ϕg g g d g= …( ), , ,1 2 , ϕ ϕi g j d ij g jm= = ∑ 1 , de mij g vyznaçagt\ dig Gf na tvirnyx Z d , tobto y m yi g j d ij g j= =∑ 1 ∀ ∈g Gf . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 700 G. S. SAMOJLENKO, K. G. GWENKO Prypustymo, wo ϕ ϕ ϕ1 2, , ,… d — nezaleΩni za modulem 2 π zminni. Rozhlqnemo orbitu di] hrupy Gf na vektor ( , , , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 … =d . Poznaçymo çerez O( ) , , ,( )ϕ ϕ ϕ ϕ= …g g gn1 2 vporqdkovanu orbitu ϕ , g e1 = . Oçevydno, wo pry nezaleΩnyx znaçennqx ϕ ϕ ϕ1 2, , ,… d stabilizator vektora ϕ [ tryvial\nym ta dovΩyna orbity O( )ϕ zbiha[t\sq z Gf . Zafiksu[mo ϕ0 ∈T d i poznaçymo xarakter, wo vidpovida[ vektoru ϕ0 , çerez χϕ0 . Pobudu[mo zobraΩennq hrupy G , pov’qzane z χϕ0 , wo di[ u prostori kompleksnoznaçnyx funkcij, vyznaçenyx na O( )ϕ : ( )( ) ( )( , ) ( )T h g f h fg g g gk k i ϕ ϕϕ χ ϕ 0 0 = , ( , )h g G∈ . (3) Dali, zobraΩennq Tϕ0 budemo nazyvaty zobraΩennqm zahal\noho poloΩennq. ZauvaΩymo, wo qkwo StG f G e( )ϕ χϕ0 0 = = 〈 〉, to zobraΩennq Tϕ0 [ nezvidnym rozmirnosti Gf , oskil\ky zbiha[t\sq z indukovanym, v inßomu vypadku Tϕ0 [ zvidnym. Navedemo rozklad zobraΩennq zahal\noho poloΩennq na nezvidni zob- raΩennq u vypadku, koly stabilizator [ netryvial\nym. Teorema11. Nexaj χ χϕ= 0 i { , , , }πi i s= …1 — povna systema nezvidnyx zobraΩen\ hrupy G χ z rozmirnostqmy dim πi in= , a πχ i , i = 1, … , s, — ne- zvidni zobraΩennq hrupy Z d G×\| χ , vyznaçeni za formulamy π χ πχ i ih g h g( , ) ( ) ( )= , h d∈Z , g G∈ χ , i = 1, … , s. Todi zobraΩennq zahal\noho poloΩennq Tϕ0 hrupy G Gd f= ×Z \| , asocijovane z χ , ekvivalentne nastupnomu: T n n ns sϕ χ χ χπ π π 0 1 1 2 2∼ …Ind Ind Ind( ) ( ) ( )� � � . (4) Dovedennq. Oskil\ky dim dimπ πχ i i in= = ta dim :( )Ind πχ χi i fn G G= , to rozmirnist\ pravo] çastyny (4) dorivng[ i s i f fn G G G T = ∑ = = 1 2 0 : dimχ ϕ . Dali pokaΩemo, wo c T ni i( ( )),ϕ χπ 0 Ind = . Skorysta[mosq dvo]stistg Frobeniu- sa: c T c Ti G id( ( )) ( ), , \|ϕ χ ϕ χπ π χ0 0 Ind = ×Z . Dlq dovedennq teoremy dosyt\ pokazaty, wo zobraΩennq πχ i vxodyt\ do obmeΩennq zobraΩennq Tϕ0 na pidhrupu Z d G×\| χ z kratnistg, rivnog ni . Nexaj G t t tpχ = …{ , , , }1 2 , G G g G g G g Gk/ { , , , }χ χ χ χ= …1 2 , g e1 = . Vporqd- ku[mo orbitu O ( )ϕ takym çynom: ˜ ( )( ) , , , , , , , , , ,O ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= … … … …g t g t g t g t g t g t g tp p k k p1 1 1 2 1 2 1 2 1 . Nexaj M j g t g t g tj j j p= …( ), , ,ϕ ϕ ϕ1 2 , j = 1, … , k . Rozhlqnemo standartnyj ba- zys u prostori funkcij, vyznaçenyx na ˜ ( )O ϕ . Poznaçymo çerez Fj pidprostir funkcij, wo dorivnggt\ nulg poza Mj . ObmeΩennq zobraΩennq Tϕ0 na pidhrupu Gχ ma[ vyhlqd ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 PRO HRUPOVI C ∗ -ALHEBRY NAPIVPRQMOHO DOBUTKU … 701 T e t f fv g t g t tj i j i v ϕ ϕ ϕ 0 ( , ) ( ) ( )= , t Gv ∈ χ , j = 1, … , k , i = 1, … , p . (5) Z (5) vyplyva[ invariantnist\ pidprostoru Fj vidnosno di] zobraΩennq T Gϕ χ0 . Oçevydno, wo obmeΩennq zobraΩennq T Gϕ χ0 na prostir Fj [ pravym rehulqr- nym zobraΩennqm hrupy Gχ . Rozhlqnemo obmeΩennq zobraΩennq Tϕ0 na pidhrupu Z d G×\| χ : T h t f h fv g t g t g t tj i j i j i v ϕ ϕ χ ϕ 0 ( , ) ( )( ) ( )= , ( , ) \|h t Gv d∈ ×Z χ . Zvidsy diq T d Gϕ χ0 Z ×\| na pidprostori F1 ma[ vyhlqd T h t f h Gv t Ri ϕ χϕ χ π 0 ( , ) ( )( ) ( )= reg , t Gv ∈ χ , de çerez π χreg R G( ) poznaçeno prave rehulqrne zobraΩennq hrupy Gχ . OtΩe, πχ i vxodyt\ do zobraΩennq T d Gϕ χ0 Z ×\| z kratnistg, rivnog dim πi in= , wo j potribno bulo dovesty. ZauvaΩennq11. Z teoremy DΩ. Makki ta teoremyO1 vyplyva[, wo dovil\ne nezvidne zobraΩennq hrupy G abo zbiha[t\sq z deqkym zobraΩennqm zahal\noho poloΩennq, abo [ prqmym dodankom u rozkladi deqkoho zobraΩennq zahal\noho poloΩennq na nezvidni komponenty. 3. Opys obhortugço] C -alhebry. Poznaçymo çerez F ( )Gf fundamen- tal\nu oblast\ skinçenno] hrupy Gf u prostori Ẑ d , tobto taku mnoΩynu, dlq qko] vykonugt\sq nastupni umovy (dyv., napryklad, [9]) : 1) F ( ) ˆGf d⊆ Z — vidkryta mnoΩyna; 2) F F( ) ( )G g Gf f∩ = ∅ , qkwo e g Gf≠ ∈ ; 3) ˆ ( ){ }Z d f fg G g G= ∈∪ F . ZauvaΩennq12. Oskil\ky Ind Indπ πχ χ∼ g dlq dovil\nyx zobraΩennq π χ hrupy Z d G×\| χ ta g Gf∈ (dyv. p.O1.4), to dovil\ne nezvidne zobraΩennq π̃ hrupy G Gd f= ×Z \| ma[ vyhlqd π̃ πχ= Ind dlq deqkyx χ ∈F ( )Gf ta nezvidnoho zobraΩennq π hrupy Gχ . Doslidymo budovu hrupovo] C -alhebry dlq hrup vyhlqdu G Gd f= ×Z \| , de diq Gf na Z d [ toçnog. Oçevydno, zobraΩennq zahal\noho poloΩennq vyznaçagt\ neperervni funkci] na F ( )Gf zi znaçennqmy v M G f ( )C : f T h gh g, ( ) : ( , )ϕ ϕ= , ϕ ∈ F ( )Gf . Nastupne tverdΩennq bezposeredn\o vyplyva[ z oznaçennq obhortugço] C - alhebry ta zauvaΩennqO1. TverdΩennq11. Nexaj B F= ∈ ⊂ →∗C f h g G C G Mh g f Gf ( ) ( ), ( ), ( , ) ( ) ( )ϕ C . Todi hrupova C -alhebra C G∗( ) izomorfna alhebri B . Z tverdΩennqO1 vyplyva[ moΩlyvist\ opysu hrupovyx C -alhebr hrup ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 702 G. S. SAMOJLENKO, K. G. GWENKO Z d fG×\| qk alhebr matryc\-funkcij, wo zadovol\nqgt\ pevni krajovi umovy. Rozhlqnemo opys hrupovo] C -alhebry afinno] hrupy Kokstera B̃2 : ˜ , , ( ) ( ) ( )B s s s s s s s s s s s s e2 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 2 1 2 2 2 3 2= = = = = = =〈 〉 = = Z Z 2 1 2 1 2 4 1 2 2 2 2 2× = = = = ×〈 〉\| \|, ( )s s s s s s e B . Zafiksu[mo tvirni hratky Z 2 1 1 2 3 2: y s s s s= , y s s s s2 3 2 1 2= , (dyv. [10]). Todi tvirni hrupy B̃2 , qk elementy napivprqmoho dobutku Z 2 2×\| B , magt\ vyhlqd s e s1 1: ( , )= , s e s2 2: ( , )= , s y s s s3 2 2 1 2= ( , ). Diq hrupy B2 na Z 2, s y y s y yn n n n 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2( ) − −= ta s y y s y yn n n n 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1( ) − − −= , n n1 2, ∈ N , vyznaça[ dig hrupy B2 na hrupi xarakteriv ˆ .Z 2 A same, nexaj χ ϕ( )y ei i i= , todi hrupa B2 di[ na vektorax ( , )ϕ ϕ1 2 takym çynom: ( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2 1s = − , ( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 2 1 2s = − − . Orbita di] hrupy B2 na fiksovanyj xarakter u vypadku tryvial\noho stabiliza- tora ma[ vyhlqd O( , )ϕ ϕ1 2 = = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2− − − − − − − −( ). Dlq opysu hranyçnyx umov, wo zadovol\nqgt\ funkci] z C B∗( )˜ 2 , doslidymo rozklad zobraΩen\ zahal\noho poloΩennq B̃2 , wo vidpovida[ toçkam oblasti F ( )B2 . Oçevydno, F ( ) ( , )B2 1 2 1 20= < < <{ }ϕ ϕ ϕ ϕ π . Rozhlqnemo sim variantiv roz- taßuvannq toçky ϕ ϕ ϕ= ( , )1 2 na F ( )B2 i navedemo opys stabilizatoriv ta rozmirnostej predstavnykiv klasiv ekvivalentnosti ]x nezvidnyx zobraΩen\ u koΩnomu z moΩlyvyx vypadkiv. Pry c\omu Gi , i = 1, … , 7 , poznaçagt\ stabilizatory vidpovidnyx toçok F ( )B2 , a { }πij poznaça[ povnu systemu ne- zvidnyx zobraΩen\ Gj : 1) qkwo 0 1 2< < <ϕ ϕ π , to 〈 〉 =e G1, dim π11 1= ; 2) qkwo 0 1 2= < <ϕ ϕ π , to 〈 〉 =s G1 2 , dim dimπ π12 22 1= = ; 3) qkwo 0 1 2< < =ϕ ϕ π , to 〈 〉 =s s s G2 1 2 3, dim dimπ π13 23 1= = ; 4) qkwo 0 1 2< = <ϕ ϕ π , to 〈 〉 =s s s G1 2 1 4 , dim dimπ π14 24 1= = ; 5) qkwo ϕ1 0= , ϕ π2 = , to 〈 〉 =s s s s G1 2 1 2 5, , dim dim dimπ π π15 25 35= = = = =dim π45 1; 6) qkwo ϕ ϕ1 2 0= = , to B G2 6= , dim dim dimπ π π16 26 36= = = dim π46 = = 1, dim π56 2= ; 7) qkwo ϕ ϕ π1 2= = , to B G2 7= , dim dim dimπ π π17 27 37= = = dim π47 = = 1, dim π57 2= . Rozhlqnemo standartnyj bazys u prostori funkcij, vyznaçenyx na vporqdko- vanij orbiti O( , )ϕ ϕ1 2 . ZobraΩennq zahal\noho poloΩennq hrupy B̃2 , asocijova- noho z ϕ ϕ ϕ= ∈( , ) ( )1 2 2F B , v c\omu bazysi ma[ vyhlqd ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 PRO HRUPOVI C ∗ -ALHEBRY NAPIVPRQMOHO DOBUTKU … 703 S1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 =                             , S2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 =                             , S e e e e e e e e i i i i i i i i 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 =                       − − − − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ       , de S T e s1 1= ϕ ( , ) , S T e s2 2= ϕ ( , ), S T y s s s3 2 2 1 2= ϕ ( , ) — obrazy tvirnyx hrupy B̃2 . Todi v zaleΩnosti vid poloΩennq toçky z F ( )B2 ma[mo nastupnyj rozklad zobraΩen\ zahal\noho poloΩennq na nezvidni (dyv. poperednij spysok): 1) 0 1 2< < <ϕ ϕ π , Tϕ χπ= Ind( )11 ; 2) 0 1 2= < <ϕ ϕ π , Tϕ χ χπ π= Ind Ind( ) ( )12 22� ; 3) 0 1 2< < =ϕ ϕ π , Tϕ χ χπ π= Ind Ind( ) ( )13 23� ; 4) 0 1 2< = <ϕ ϕ π , Tϕ χ χπ π= Ind Ind( ) ( )14 24� ; 5) ϕ1 0= , ϕ π2 = , Tϕ χ χ χ χπ π π π= Ind Ind Ind Ind( ) ( ) ( ) ( )15 25 35 45� � � ; 6) ϕ ϕ1 2 0= = , Tϕ χ χ χ χ χπ π π π π= Ind Ind Ind Ind Ind( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 26 36 46 562� � � � ; 7) ϕ ϕ π1 2= = , Tϕ χ χ χ χ χπ π π π π= Ind Ind Ind Ind Ind( ) ( ) ( ) ( ) ( )17 27 37 47 572� � � � . ZauvaΩennq13. Z kryterig ekvivalentnosti indukovanyx zobraΩen\ (dyv. p. 1.4) ma[mo Ind Ind( ) ( )˜π πχ χ ij kv/∼ ∀i j k v, , , , ( , ) ( , )i j k v≠ . Qkwo StG f ( )χ = = StG jf G( ˜ )χ = ta χ χ≠ ˜ , to Ind Ind( ) ( )˜π πχ χ ij kv/∼ ∀i . Teper perejdemo do opysu hrupovo] alhebry C B∗( )˜ 2 . NyΩçe çerez V B M( , ) : ( ) ( )ϕ ϕ1 2 2 8∂ →F C poznaçeno unitarnu matrycg-funk- cig taku, wo V T h g V n h g i s ij ij( ) ( , ) ( ) ( , )ϕ ϕ πϕ χ∗ = = � 1 Ind . Teorema12. Hrupova C -alhebra hrupy B̃2 izomorfna alhebri ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 704 G. S. SAMOJLENKO, K. G. GWENKO B F= ∈ →{ f C B M( )( ) ( ) :2 8 C V f V C M M( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )( )0 2 0 4 42 20 0ϕ ϕϕ π∗ ∈ → C C� ∀ ∈ϕ π2 0( , ); V f V C M M( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( )( )ϕ π ϕ πϕ π π 1 11 4 40∗ ∈ → C C� ∀ ∈ϕ π1 0( , ); V f V C M M( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )( )ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ π π 1 1 1 11 1 4 40 0∗ ∈ × → C C� ∀ ∈ϕ π1 0( , ); V f V M M M M( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 2 2 20π ππ ∗ ∈ C C C C� � � , V f V M M M M M( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 20 0 ∗ ×∈ C C C C C� � � � � 1 , V f V M M M M M( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )π π π ππ π ∗ ×∈ }1 1 1 1 2 2 2C C C C C� � � � � 1 . Dovedennq. Nexaj f T h gh g, ( ) ( , )ϕ ϕ= ta A = ∈∗C f h g Gh g( ), ( ), ( , )ϕ . Todi za tverdΩennqmO1 ma[mo C G∗( ) � A . Dlq vstanovlennq izomorfizmu B A� skorysta[mosq naslidkom z teoremy Fella (dyv. p. 1.5). Oskil\ky rozklad Tϕ na nezvidni zobraΩennq ma[ vyhlqd, vkazanyj u punktax 1 – 7, to A B⊆ . PokaΩemo, wo A B( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2= dlq vsix par ( , ) ( ) ( )ϕ ϕ1 2 2 2∈ ×F FB B . Oskil\ky alhebry A( , )ϕ ϕ1 2 ta B( , )ϕ ϕ1 2 skinçennovymirni, to dlq dovedennq ]x rivnosti dosyt\ dovesty rivnist\ ]x komutantiv: ′ = ′A B( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2 ∀ ∈ ×( , ) ( ) ( )ϕ ϕ1 2 2 2F FB B . Oçevydno, wo pry fiksovanyx ϕ1, ϕ2 ∈ F ( )B2 ma[mo A( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ˜ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 2 1 2 0 0 =     ∈         T h g T h g h g B . Nexaj ϕ ϕ1 2 2, ( )∈F B , todi zobraΩennq zahal\noho poloΩennq [ nezvidnym i T Tϕ ϕ1 2 /∼ , qkwo ϕ ϕ1 2≠ . OtΩe, ′ =     ∈         = ′A B( , ) , , ( , )ϕ ϕ λ β λ β ϕ ϕ1 2 1 2 0 0 I I C , qkwo ϕ ϕ1 2≠ , ta ′ =     ∈         = ′A B( , ) , , , , ( , )ϕ ϕ λ µ ν β λ β µ ν ϕ ϕ1 2 1 2 I I I I C , qkwo ϕ ϕ1 2= . Zvidsy ′ = ′A B( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2 ∀ ∈ ×( , ) ( ) ( )ϕ ϕ1 2 2 2F FB B . Oskil\ky pry ϕ1 ≠ ϕ2 zobraΩennq Tϕ1 ta Tϕ2 [ dyz’gnktnymy (dyv. zauvaΩennqO3), to analohiçno vstanovlg[t\sq rivnist\ komutantiv u vsij oblasti F F( ) ( )B B2 2× . OtΩe, A B( , ) ( , )ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2= ta C G∗( ) � B . Teoremu dovedeno. Dlq dovil\noho napivprqmoho dobutku Z d fG G× =\| opys hrupovo] C -al- hebry povnistg analohiçnyj navedenomu vywe dlq G B= ˜ 2. Nexaj F ( )Gf — fundamental\na oblast\ di] hrupy Gf na T d . Zafiksu[mo vektor ϕ ∈F ( )Gf . Nexaj πi, i = 1, … , s, — povna systema nezvidnyx zobra- Ωen\ stabilizatora G G fχ ϕϕ χ= St ta πχϕ i , i = 1, … , s, — zobraΩennq, ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 PRO HRUPOVI C ∗ -ALHEBRY NAPIVPRQMOHO DOBUTKU … 705 pobudovani z πi za formulog (1). Poklademo ni i( ) dimϕ πχϕ= . Poznaçymo çe- rez V G Mf G f ( ) : ( )ϕ ∂ →F unitarnu matrycg-funkcig, wo rozklada[ zobra- Ωennq zahal\noho poloΩennq Tϕ na nezvidni komponenty, tobto dlq dovil\nyx ( , )h g G∈ V T h g V n h g i s i i( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )ϕ ϕ ϕ πϕ χϕ∗ = = � 1 Ind . Teorema13. Hrupova C * -alhebra hrupy G Gd f= ×Z \| izomorfna C -al- hebri C G f C G M V f Vf Gf ∗ ∗= ∈ →    ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( )( )F C ϕ ϕ ϕ ∈ ∈ M Mn n n nInd Ind( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) π ϕ ϕ π ϕ ϕχϕ χϕ 1 1 1 2 2 2 C C� � � �1 1× × … … � �M s s sn nInd( ) ( ) ( )( ) π ϕ ϕχϕ C 1 × ∀ ∈∂  ϕ F ( )G . ZauvaΩennq14. U koΩnomu konkretnomu vypadku funkci] V( )ϕ moΩna za- pysaty v qvnomu vyhlqdi. Avtory wyro vdqçni D. P. Proskurinu za korysni porady ta zauvaΩennq. 1. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov. – Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 798 s. 2. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented -algebras. I. Representations by bounded operators. – London: Gordon and Breach Publ. Group, 1999. – 225 p. 3. Humphreys J. E. Reflection groups and Coxeter groups. – Cambridge: Cambridge Press, 1990. – 486 p. 4. Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie IV – VI. – Paris: Hemmann, 1968. – 335 p. 5. Kyryllov A. A. ∏lement¥ teoryy predstavlenyj. – M.: Nauka, 1972. – 336 s. 6. Mackey G. W. Induced representations of locally compact groups // Ann. Math. – 1952. – 55, # 1. – P. 101 – 139. 7. Dixmier J. Les C *-algebras et leur representations. – Paris: Gauthier, 1969. – 400 p. 8. Fell J. M. G. The structure of algebras of operator fields // Acta Math. – 1961. – 106, # 3-4. 9. Grove L. C., Benson C. T. Finite reflection groups // Grad. Texts in Math. – 1977. – 57. – P. 173 – 185. 10. Jushenko E. On decomposition of affine Coxeter groups in semi-direct products // J. Algebra and Discrete Math. – 2004. – # 3. – P. 59 – 69. 11. Xelemskyj A. Q. Banaxov¥ y polynormyrovann¥e alhebr¥: obwaq teoryq predstavlenyj homolohyy. – M.: Nauka, 1989. – 464 s. OderΩano 17.01.2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
id	umjimathkievua-article-3636
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:46:11Z
publishDate	2005
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/be/41f9ceb91157b53a425e565e0957a5be.pdf
spelling	umjimathkievua-article-36362020-03-18T20:00:32Z On the Group $C^{}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups Про групові $C^{}$-алгебри напівпрямого добутку комутативної та скінченної груп Samoilenko, Yu. S. Yushchenko, K. Yu. Самойленко, Ю. С. Ющенко, К. Ю. By using representations of general position and their properties, we give the description of group $C^{}$-algebras for semidirect products $\mathbb{Z}^d \times G_f$, where $G_f$ is a finite group, in terms of algebras of continuous matrix-functions defined on some compact set with boundary conditions. We present examples of the $C^{}$-algebras of affine Coxeter groups. За допомогою зображень загального положення та їх властивостей наведено опис групових $C^$-алгебр для напівпрямих добутків $\mathbb{Z}^d \times G_f$, де $G_f$ — скінченна група, в термінах алгебр неперервних матриць-функцій, визначених на деякому компакті з крайовими умовами. Наведено приклади групових $C^{}$-алгебр афінних груп Кокстера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3636 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 5 (2005); 697–705 Український математичний журнал; Том 57 № 5 (2005); 697–705 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3636/4002 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3636/4003 Copyright (c) 2005 Samoilenko Yu. S.; Yushchenko K. Yu.
spellingShingle	Samoilenko, Yu. S. Yushchenko, K. Yu. Самойленко, Ю. С. Ющенко, К. Ю. On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title	On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title_alt	Про групові $C^{*}$-алгебри напівпрямого добутку комутативної та скінченної груп
title_full	On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title_fullStr	On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title_full_unstemmed	On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title_short	On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups
title_sort	on the group $c^{*}$-algebras of a semidirect product of commutative and finite groups
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3636
work_keys_str_mv	AT samoilenkoyus onthegroupcalgebrasofasemidirectproductofcommutativeandfinitegroups AT yushchenkokyu onthegroupcalgebrasofasemidirectproductofcommutativeandfinitegroups AT samojlenkoûs onthegroupcalgebrasofasemidirectproductofcommutativeandfinitegroups AT ûŝenkokû onthegroupcalgebrasofasemidirectproductofcommutativeandfinitegroups AT samoilenkoyus progrupovícalgebrinapívprâmogodobutkukomutativnoítaskínčennoígrup AT yushchenkokyu progrupovícalgebrinapívprâmogodobutkukomutativnoítaskínčennoígrup AT samojlenkoûs progrupovícalgebrinapívprâmogodobutkukomutativnoítaskínčennoígrup AT ûŝenkokû progrupovícalgebrinapívprâmogodobutkukomutativnoítaskínčennoígrup

On the Group $C^{*}$-Algebras of a Semidirect Product of Commutative and Finite Groups

Репозитарії

Схожі ресурси