Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures
We analyze correlations between different approaches to the definition of the Hausdorff dimension of singular probability measures on the basis of fractal analysis of essential supports of these measures. We introduce characteristic multifractal measures of the first and higher orders. Using these m...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3637 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509758690164736 |
|---|---|
| author | Torbin, H. M. Торбін, Г. М. |
| author_facet | Torbin, H. M. Торбін, Г. М. |
| author_sort | Torbin, H. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:00:32Z |
| description | We analyze correlations between different approaches to the definition of the Hausdorff dimension of singular probability measures on the basis of fractal analysis of essential supports of these measures. We introduce characteristic multifractal measures of the first and higher orders. Using these measures, we carry out the multifractal analysis of singular probability measures and prove theorems on the structural representation of these measures. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 521.21
H. M. Torbin (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v; Nac. ped. un-t, Ky]v)
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ
SYNHULQRNO NEPERERVNYX IMOVIRNISNYX MIR
*
We analyze correlations between different approaches to the definition of Hausdorff dimension of
singular probability measures on the basis of the fractal analysis of essential supports of these measures.
We introduce characteristic multifractal measures of the first and higher orders. By using these
measures, we perform the multifractal analysis of singular probability measures and prove theorems on
the structural representation of such measures.
Proanalizovano vza[mozv’qzky riznyx pidxodiv do oznaçennq xausdorfovo] rozmirnosti
synhulqrnyx imovirnisnyx mir na osnovi fraktal\noho analizu sutt[vyx nosi]v cyx mir. Vvedeno
v rozhlqd xarakterystyçni mul\tyfraktal\ni miry perßoho ta vywyx porqdkiv, na osnovi qkyx
zdijsneno mul\tyfraktal\nyj analiz synhulqrnyx imovirnisnyx mir ta dovedeno teoremy pro
strukturne zobraΩennq takyx mir.
1. Vstup. Protqhom dovhoho periodu matematyky vyqvlqly dosyt\ slabkyj in-
teres do synhulqrno neperervnyx mir ta rozpodiliv imovirnostej, wo poqsng[t\-
sq, z odnoho boku, vidsutnistg adekvatnyx analityçnyx instrumentiv dlq zadan-
nq ta doslidΩennq takyx mir, a z inßoho — poßyrenog dumkog pro vidsutnist\
zastosuvan\ takyx mir. Zavdqky „fraktal\nomu vybuxu” ta isnuvanng hlyboko-
ho zv’qzku miΩ teori[g fraktaliv ta synhulqrnyx mir protqhom ostannix rokiv
sytuaciq sutt[vo zminylasq. Bulo dovedeno, wo synhulqrni rozpodily jmovir-
nostej [ dominugçymy dlq bahat\ox klasiv vypadkovyx velyçyn [1].
T. Zamfirescu, korystugçys\ metodom katehorij, pokazav, wo majΩe vsi (v topo-
lohiçnomu sensi) monotonni funkci] [ synhulqrnymy. MoΩlyvi zastosuvannq v
spektral\nij teori] samosprqΩenyx operatoriv [ dodatkovym stymulom intensy-
fikaci] doslidΩen\ vlastyvostej synhulqrno neperervnyx mir. Bulo pokazano
[2], wo operatory z synhulqrno neperervnym spektrom [ dominugçymy dlq ßy-
rokoho klasu zburen\ operatora Laplasa. Bil\ß toho, vykorystovugçy frak-
tal\nyj analiz vidpovidnyx spektral\nyx synhulqrnyx mir, moΩna analizuvaty
dynamiçni vlastyvosti vidpovidnyx kvantovyx system [3]. Zastosuvannq metodiv
fraktal\noho analizu synhulqrno neperervnyx mir dozvolylo rozv’qzaty deqki
problemy teori] çysel [4], teori] dynamiçnyx system ta zahal\no] teori] nepe-
rervnyx peretvoren\, wo zberihagt\ fraktal\nu rozmirnist\ [5]. Zokrema, bulo
pokazano, wo mnoΩyna Ms sutt[vo nenormal\nyx çysel vidrizka [0, 1] (tobto
çysel, dlq qkyx ]x s-adyçnyj rozklad ne ma[ asymptotyçno] çastoty vsix cyfr)
[ superfraktal\nog mnoΩynog (tobto ma[ rozmirnist\ Xausdorfa – Bezy-
kovyça, wo dorivng[=1), oskil\ky mistyt\ u sobi topolohiçni nosi] deqkyx super-
fraktal\nyx synhulqrno neperervnyx mir.
Klas synhulqrno neperervnyx mir [ dosyt\ riznomanitnym, i fraktal\nyj
analiz dozvolq[ zdijsnyty pevnu klasyfikacig takyx mir.
Perßym etapom analizu synhulqrno neperervno] jmovirnisno] miry µ [ dos-
lidΩennq topoloho-metryçnyx ta fraktal\nyx vlastyvostej ]] topolohiçnoho
nosiq Sµ (tobto minimal\no] zamkneno] mnoΩyny, na qkij zoseredΩena mira µ ) .
Nastupna klasyfikaciq synhulqrnyx mir [6, 7] ©runtu[t\sq na analizi topolo-
hiçnyx i metryçnyx vlastyvostej mnoΩyny Sµ : dovil\nu synhulqrnu jmovirnis-
nu miru µ na [ 0, 1 ] moΩna [dynym çynom podaty u vyhlqdi µ α µ α µ= +c c s s +
+= α µp p , de αc ≥ 0, αs ≥ 0, α p ≥ 0, α α αc s p+ + = 1; µc — synhulqrna jmovir-
nisna mira z topolohiçnym nosi[m nul\ovo] miry Lebeha; µs — synhulqrna jmo-
virnisna mira, dlq qko] topolohiçnyj nosij [ vidrizkom abo ob’[dnannqm vidrizkiv
ne bil\ß niΩ zçyslenno] mnoΩyny toçok; µp — synhulqrna jmovirnisna mira
* Çastkovo pidtrymano INTAS 00-257, DFG 436 UKR 113/78, DFG 436 113/80 ta DerΩavnym
fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt # 01.07/00081).
© H. M. TORBIN, 2005
706 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 707
taka, wo dlq bud\-qkyx x S∈ µ i ε > 0 mnoΩyna ( , )x x S
p
− +ε ε µ∩ [ nide ne
wil\nog mnoΩynog dodatno] miry Lebeha; topolohiçni nosi] S
cµ , S
sµ i S
pµ
magt\ ne bil\ß niΩ zçyslennyj poparnyj peretyn.
Prykladom miry C-typu moΩe buty klasyçna mira Kantora, tobto mira, qka
vidpovida[ rozpodilu vypadkovo] velyçyny η z nezaleΩnymy trijkovymy zna-
kamy:
η =
ηk
k
k 31=
∞
∑ , (1)
de ηk — nezaleΩni vypadkovi velyçyny, wo nabuvagt\ znaçen\ 0 ta 2 z imovir-
nostqmy p0 ta p2 vidpovidno, 0 < p0 ≤ p2 < 1, p0 + p2 = 1.
Prykladom synhulqrno] miry S-typu moΩe buty mira, wo vidpovida[ rozpodi-
lu vypadkovo] velyçyny ψ z nezaleΩnymy dvijkovymy znakamy:
ψ =
ψk
k
k 21=
∞
∑ , (2)
de ψk — nezaleΩni vypadkovi velyçyny, wo nabuvagt\ znaçen\ 0 ta 1 z imovir-
nostqmy p0 ta p1 , 0 < p0 < p1 < 1, p0 + p1 = 1.
Prykladom synhulqrno] miry P-typu moΩe buty mira, wo vidpovida[ rozpodi-
lu vypadkovo] velyçyny ξ :
ξ = ξk k k
k
1
2
1
101
+
=
∞
∑ , (3)
de ξk nezaleΩno nabuvagt\ znaçen\ 0 ta 1 z imovirnostqmy p0 i p1 , p0 ≠ p1 .
Dosyt\ ßyrokyj zapas synhulqrnyx mir riznyx topoloho-metryçnyx typiv
mistyt\ tak zvanyj klas P
∗ – Q
∗ -mir [8]. U roboti [9] vyvçeno fraktal\ni vlas-
tyvosti mir iz danoho klasu.
Vlastyvosti topolohiçnoho nosiq Sµ synhulqrno neperervno] miry µ budemo
nazyvaty zovnißn\o fraktal\nymy, oskil\ky ci vlastyvosti [ adekvatnymy xa-
rakterystykamy lyße dlq „rivnomirnyx” synhulqrnyx rozpodiliv kantorivs\ko-
ho typu. Spravdi, dlq miry (2) topolohiçnyj nosij zbiha[t\sq z [ 0, 1 ] nezaleΩ-
no vid vyboru p0 ∈ ( 0, 1 ) , xoça pry vybori dvox riznyx znaçen\ ′p0 i ′′p0 vidpo-
vidni jmovirnisni miry budut\ vza[mno ortohonal\nymy. Tomu dlq vyvçennq
hlybßyx vlastyvostej synhulqrnyx mir neobxidno zdijsngvaty fraktal\nyj
analiz vsemoΩlyvyx nosi]v (ne obov’qzkovo zamknenyx) takyx mir. Napryklad,
dlq miry (2) isnu[ nezamknenyj skriz\ wil\nyj na [ 0, 1 ] nosij T [9], rozmir-
nist\ Xausdorfa – Bezykovyça qkoho dorivng[ – ( ln ln ) ln/p p p p0 0 1 1 2+ < 1, i
dovil\nyj inßyj nosij ci[] miry ma[ ne menßu xausdorfovu rozmirnist\. Analo-
hiçno dlq miry (1): pry dovil\nomu vybori 0 < p0 < p2 < 1 topolohiçnyj nosij
Sµ zbiha[t\sq z mnoΩynog Kantora, ale „minimal\nyj rozmirnisnyj nosij” [
skriz\ wil\nym v Sµ i ma[ xausdorfovu rozmirnist\ – ( ln ln ) ln/p p p p0 0 2 2 3+ <
< ln ln/2 3.
Danu robotu prysvqçeno rozvytku metodiv fraktal\noho analizu „vnutriß-
n\o fraktal\nyx” vlastyvostej synhulqrnyx imovirnisnyx mir, wo dozvolq[
klasyfikuvaty taki miry za rivnem skladnosti lokal\no] budovy samo] miry ta ]]
sutt[vyx nosi]v.
U p. 2 doslidΩugt\sq rizni pidxody do oznaçennq hlobal\no] ta lokal\no]
xausdorfovyx rozmirnostej synhulqrnyx imovirnisnyx mir, analizugt\sq vza-
[mozv’qzky miΩ cymy pidxodamy. Osoblyvu uvahu prydileno synhulqrnym miram
toçno] fraktal\no] rozmirnosti.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
708 H. M. TORBIN
U p.=3 zaproponovano novyj metod mul\tyfraktal\noho analizu synhulqrnyx
mir. Dlq koΩno] synhulqrno] miry µ special\nym çynom vvodyt\sq xarak-
terystyçna mul\tyfraktal\na mira µ *
perßoho porqdku, zvyçajnyj frak-
tal\nyj analiz qko] dozvolq[ vyvçaty tonki mul\tyfraktal\ni vlastyvosti po-
çatkovo] miry µ. Na cij osnovi dovedeno teoremy pro moΩlyvist\ odnoznaçnoho
rozkladu dovil\no] mul\tyfraktal\no] synhulqrno] miry v opuklu kombinacig
synhulqrnyx mir prostißo] pryrody.
2. Rizni pidxody do oznaçennq xausdorfovo] rozmirnosti miry. Nexaj µ
— jmovirnisna mira na R. Dali pid slovom „rozmirnist\” budemo rozumity roz-
mirnist\ Xausdorfa – Bezykovyça (dyv. [10, 11]).
Pidxid=I.
Oznaçennq01. Mira µ nazyva[t\sq mirog toçno] rozmirnosti α, qkwo:
1) isnu[ mnoΩyna S0 rozmirnosti α, qka [ nosi[m miry µ;
2) dlq bud\-qkoho S ∈ B z umov α β0( )S = i β α< vyplyva[ µ ( )S = 0 .
Oçevydno, wo dovil\na absolgtno neperervna mira ma[ rozmirnist\==1, a do-
vil\na dyskretna mira ma[ nul\ovu rozmirnist\.
Pidxid=II.
Oznaçennq02. Mira µ nazyva[t\sq synhulqrnog vidnosno xausdorfovo] mi-
ry Hα porqdku α ( α-synhulqrnog), qkwo isnu[ nosij A miry µ nul\ovo]
Hα -miry.
Oznaçennq03. Mira µ nazyva[t\sq α-neperervnog, qkwo dlq bud\-qkoho
A ∈ B z umovy H Aα ( ) = 0 vyplyva[ umova µ ( )A = 0 .
Oznaçennq04. Mira µ nazyva[t\sq mirog toçno] rozmirnosti α , qkwo dlq
dovil\noho ε ∈ ( 0, α ) mira µ [ odnoçasno ( α – ε ) -neperervnog i ( α + ε ) -syn-
hulqrnog.
Pidxid=III.
Nexaj A µ = E E E: , ( )∈ ={ }B µ 1 — mnoΩyna vsemoΩlyvyx borelivs\kyx
nosi]v miry µ.
Oznaçennq05. Xausdorfovog rozmirnistg miry µ nazyva[t\sq çyslo
dimH µ =
inf ( ){ }
E
E
∈Aµ
α0 . (4)
Lema01. Dlq dovil\no] miry µ isnu[ minimal\nyj rozmirnisnyj nosij Tµ ,
tobto takyj nosij, dlq qkoho
dimH µ = α0 ( Tµ ) .
Dovedennq. Nexaj Sµ — topolohiçnyj nosij miry µ . Qkwo dimH µ =
= α0 ( Sµ ) , to Tµ = Sµ .
Nexaj a = dimH µ < α0 ( Sµ ) = b, b – a = d. Rozhlqnemo poslidovnist\ to-
çok dk = a + d k/2 1− . Z (4) vyplyva[, wo ∀ k ∈ N ∃ Ak ∈ A µ : α0 1( ) ( ; ]A d dk k k∈ + .
MnoΩyna Tµ = Akk=
∞
1∩ bude nosi[m miry µ i α 0 ( Tµ ) = inf { ( )}k kAα0 =
= dimH µ .
ZauvaΩennq 1. Oçevydno, wo minimal\nyj rozmirnisnyj nosij Tµ miry µ
vyznaça[t\sq neodnoznaçno. Qkwo Tµ [ minimal\nym rozmirnisnym nosi[m miry
µ, to mnoΩyna Tµ ∪ A teΩ bude takog pry umovi A ∈ B i α0 ( A ) ≤ α0 ( Tµ ) .
Nexaj Nµ = { }: , ( ) dimE E B E H∈ =α µ0 — mnoΩyna vsemoΩlyvyx minimal\-
nyx rozmirnisnyx nosi]v miry µ . Cikavog i vaΩlyvog dlq zastosuvan\ [ zadaça
znaxodΩennq elementiv mnoΩyny Nµ z dodatkovymy strukturnymy vlastyvos-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 709
tqmy. Napryklad, dlq miry (2) dimH µ = – ( )/ln ln lnp p p p0 0 1 1 2+ i mnoΩyna
Nµ mistyt\ mnoΩynu M p p( , )0 1 , qka sklada[t\sq z dijsnyx çysel, dvijkovi roz-
klady qkyx mistqt\ cyfru 0 z asymptotyçnog çastotog p0 (dyv. [4, 9]).
Oznaçennq06. Lokal\nog rozmirnistg miry µ v toçci x0 nazyva[t\sq
çyslo
dimH ( µ, x0 ) = lim inf ( ( , )){ }
ε µ
α ε ε
→ ∈
− +
0 0 0 0E
E x x
A
∩ . (5)
Oznaçennq07. M ira
µ nazyva[t\sq mirog toçno] rozmirnosti α0 , qkwo
dlq dovil\no] toçky x0 ∈ Sµ vykonu[t\sq umova dimH ( µ, x0 ) = α0 = dimH µ .
Pidxid=IV.
Nexaj α ≥ 0. Rozhlqnemo vyraz
Dµ
α = lim
( , )
δ α
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
. (6)
Oçevydno, wo dlq bud\-qkoho x ∈ R isnu[
α = α0 ( µ, x0 ) take, wo
D xµ
α ( )0 =
= + ∞ dlq vsix α > α0 ( µ, x0 ) i D xµ
α ( )0 = 0 dlq vsix α < α0 ( µ, x0 ).
Lema02.
α0 ( µ, x0 ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
0 0x x
.
Dovedennq. 1. Nexaj α < α0 ( µ, x0 ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
0 0x x
. Rozhlqnemo
α∗ ∈ ( α, α0 ( µ, x0 ) ) i znajdemo çyslo δ ( α∗
) take, wo dlq bud\-qkoho δ < δ ( α∗
)
vykonu[t\sq nerivnist\
α* <
ln ( , )
ln
µ δ δ
δ
x x0 0− +
⇔
µ δ δ
δα
( , )x x− +
∗ < 1.
Todi
lim
( , )
δ α
µ δ δ
δ→
− +
∗0
x x
≤ 1
i
lim
( , )
δ α
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
= lim
( , )
δ α
µ δ δ
δ→
− +
∗0
x x
1
δα α− ∗ = 0.
2. Nexaj α > α0 ( µ, x0 ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
0 0x x
. Rozhlqnemo α′ ∈ ( α ( µ,
x0 ), α ) . Vyberemo poslidovnist\ δk → 0 , k → ∞ , taku, wo
lim
ln ( , )
lnk
k k
k
x x
→∞
− +µ δ δ
δ
0 0 = α0 ( µ, x0 ) < α′ .
Todi
∃ ∈k N0 : ∀ >k k0
ln ( , )
ln
µ δ δ
δ
x xk k
k
0 0− +
< α′ ⇔
µ δ δ
δα
( , )x xk k
k
0 0− +
′ > 1.
OtΩe, lim
( , )
δ α
µ δ δ
δk
x xk k
k
→ ′
− +
0
≥ 1 i
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
710 H. M. TORBIN
lim
( , )
δ α
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
≥ lim
( , )
k
k k
k
x x
→∞
− +µ δ δ
δα =
= lim
( , )
k
k k
k
x x
→∞ ′ − ′
− +µ δ δ
δ δα α α
1 = + ∞ .
Lemu dovedeno.
Oznaçennq08. Mira α nazyva[t\sq mirog toçno] rozmirnosti α , qkwo
dlq µ -majΩe vsix x ∈ [ 0, 1 ] vykonu[t\sq umova
α0 ( µ, x0 ) = α .
Teorema01. Oznaçennq 1 i 4 [ ekvivalentnymy.
Dovedennq. 1. Nexaj mira µ zadovol\nq[ oznaçennq=1. Dovedemo, wo dlq
bud\-qkoho ε > 0 mira µ bude ( α – ε ) -neperervnog i ( α + ε ) -synhulqrnog.
Nexaj A — mnoΩyna nul\ovo] miry Xausdorfa porqdka α – ε . Oskil\ky
H Aα ε− ( ) = 0, to α0 ( A ) ≤ α – ε . Todi µ ( A ) = 0 zhidno z p.=2 oznaçennq=1. Ot-
Ωe, µ [ ( α – ε ) -neperervnog mirog. Zhidno z p.=1 oznaçennq=1 isnu[ mnoΩyna
S0 rozmirnosti α, qka [ nosi[m miry µ. Todi za vlastyvistg rozmirnosti Xaus-
dorfa – Bezykovyça dlq bud\-qkoho ε > 0 ma[mo H Aα ε+ ( ) = 0. OtΩe, mira µ
[ ( α + ε ) -synhulqrnog.
2. Nexaj mira µ zadovol\nq[ oznaçennq=4.
a) Mira µ [ ( α + ε ) -synhulqrnog ( ∀ ε > 0 ) . OtΩe, dlq bud\-qkoho ε > 0
isnu[ mnoΩyna Aε taka, wo H Aα ε ε+ ( ) = 0 i µ ε( )A = 1, zvidky α0 ( Aε ) ≤ α +
+=ε .
Rozhlqnemo poslidovnist\ εk → 0 i mnoΩynu A A
kk0 1
= =
∞
ε∩ . Oçevydno, wo
µ ( )A0 = 1 i α0 ( A0 ) = inf ( ){ }k A
k
α ε0 ≤ α.
Qkwo α0 ( A0 ) = α, to p.=1 oznaçennq=1 vykonano: S0 = A0 .
Qkwo α0 ( A0 ) < α, to S0 = A0 ∪ B0
, de B0 — dovil\na borelivs\ka pidmno-
Ωyna rozmirnosti α. Spravdi, µ ( )S0 = 1 i α 0 ( S0 ) = max { α0 ( A0 ) , α0 ( B0 ) } =
= α.
b) Mira µ [ ( α – ε ) -neperervnog dlq dovil\noho ε ∈ ( 0, α ) . Tomu dlq do-
vil\no] mnoΩyny A z umovy H Aα ε− ( ) = 0 vyplyva[ rivnist\ µ ( A ) = 0. Nexaj
S ∈ B . Qkwo α 0 ( S ) = β i β < α, to H S( )/ ( )α β+ 2 = H Sα α β− −( )/ ( )2 = 0, zvidky
µ ( S ) = 0.
Teoremu=1 dovedeno.
Nexaj µ — dovil\na jmovirnisna mira na R. Rozhlqnemo nastupni mnoΩyny:
T∞ = { }: ( )x D xµ
α = + ∞ , T+ = { }: ( )x D x0 < < + ∞µ
α , T0 = { }: ( )x D xµ
α = 0 .
Qk vidomo [12], mira µ � T∞ [ α-synhulqrnog, mira µ � ( T0 ∪ T+ ) [ α -nepe-
rervnog, a mira µ � T0 [ syl\no α-neperervnog (tobto µ � T0 ( E ) = 0 dlq do-
vil\no] borelivs\ko] mnoΩyny E, qka ma[ σ-skinçennu Hα -miru).
Teorema02. Oznaçennq= 4 i 8 [ ekvivalentnymy.
Dovedennq. 1. Nexaj mira µ ma[ toçnu rozmirnist\ α za oznaçennqm=4.
Oskil\ky µ [ ( α + ε ) -synhulqrnog ( ∀ ε > 0 ) , to Dµ
α ε+ = + ∞ dlq µ-majΩe
vsix x . Oskil\ky µ [ ( α – ε ) -neperervnog dlq dovil\noho α ∈ ( 0, α ) , to
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 711
Dµ
α ε− < ∞ dlq µ-majΩe vsix x . Todi D xµ
α ε−2 ( ) = 0 dlq µ -majΩe vsix x .
OtΩe, dlq µ-majΩe vsix x isnu[ çyslo α0 ( x ) = α take, wo D xµ
β( ) = + ∞ pry
β > α i D xµ
β( ) = 0 pry β < α. OtΩe, mira µ [ mirog toçno] rozmirnosti α za
oznaçennqm=8.
2. Nexaj
α0 ( µ, x ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
= α
dlq µ-majΩe vsix x i Nµ = { }: ( , )x xα µ α0 0= . Qkwo x ∈ Nµ i β > α0, to
D xµ
β( ) = + ∞ . OtΩe, dlq bud\-qkoho ε > 0 i dlq µ -majΩe vsix x vykonu[t\sq
umova Dµ
α ε+ = + ∞ . Todi za teoremog RodΩersa – Tejlora [12] mira µ [ ( α +
+ ε ) -synhulqrnog dlq vsix ε > 0.
Qkwo β < α0 i x ∈ Nµ , to D xµ
β( ) = 0. OtΩe, dlq bud\-qkoho ε > 0 i dlq
µ-majΩe vsix x vykonu[t\sq umova D xµ
α ε− ( ) = 0. Todi mira µ [ ( α – ε ) -nepe-
rervnog (bil\ß toho, u c\omu vypadku mira µ [ syl\no ( α – ε ) -neperervnog).
Teoremu=2 dovedeno.
OtΩe, oznaçennq=1, 4 i 8 [ rivnosyl\nymy.
Rozhlqnemo deqki pryklady mir toçno] rozmirnosti.
Pryklad01. Klasyçna symetryçna mira Kantora (tobto mira vyhlqdu (1) z
umovog p0 = p1 = 1 / 2 ) [ synhulqrnog mirog toçno] rozmirnosti ln ln/2 3, os-
kil\ky dlq vsix toçok x mnoΩyny Kantora vykonu[t\sq umova
lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
=
ln
ln
2
3
.
Pryklad02. Nesymetryçna mira Salema (tobto mira vyhlqdu (2)) [ synhulqr-
nog mirog toçno] rozmirnosti α0 = – ( )/ln ln lnp p p p0 0 1 1 2+ . Na vidminu vid po-
peredn\oho prykladu dlq nesymetryçno] miry Salema oblastg znaçen\ funkci]
α0 ( µ, x ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
[ ves\ odynyçnyj vidrizok, ale dlq µ-majΩe
vsix x ∈ [ 0, 1 ] vykonu[t\sq umova α0 ( µ, x ) = α0 . V qkosti nosiq minimal\no]
rozmirnosti moΩna vybraty mnoΩynu
M ( p0, p1 ) = { }: ( ) , ( )x x p x pν ν0 0 1 1= = ,
de νi ( x ) = lim
( , )
k
iN x k
k→∞
, Ni ( x, k ) — kil\kist\ cyfr i sered perßyx k cyfr
dvijkovoho rozkladu çysla x (dyv. [4, 9]).
TverdΩennq. Oznaçennq=1 i 7 ne [ ekvivalentnymy.
Dovedennq. Pobudu[mo miru µ, qka ma[ toçnu rozmirnist\ α za oznaçen-
nqm=7, ale ne [ mirog toçno] rozmirnosti α za oznaçennqm=1.
Nexaj µ1 — mira Lebeha na [ 0, 1 ] , a µ2 — mira Salema z p0 < p1 . Todi mira
µ = µ1 / 2 + µ 2 / 2 [ mirog toçno] rozmirnosti=1 za oznaçennqm=7 (spravdi, lo-
kal\na rozmirnist\ dim ( , )H xµ = 1 ∀ x ∈ [ 0, 1 ] ) , ale mira µ ne [ mirog toçno]
rozmirnosti=1 za oznaçennqm=1, oskil\ky isnu[ mnoΩyna M p p( , )0 1 rozmirnosti
– ( )/ln ln lnp p p p0 0 1 1 2+ < 1, dlq qko] vykonu[t\sq umova µ( )( , )M p p0 1 = 1 / 2 >
> 0.
TverdΩennq dovedeno.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
712 H. M. TORBIN
Oznaçennq09. Miry µ, qki magt\ toçnu rozmirnist\ α za oznaçennqm=1
(4, 8), budemo nazyvaty miramy vnutrißn\o toçno] rozmirnosti α.
Miry µ, qki magt\ toçnu rozmirnist\ α za oznaçennqm=7, nazyvatymemo mi-
ramy zovnißn\o toçno] rozmirnosti α .
ZauvaΩennq02. Wojno pobudovana mira µ [ linijnog kombinaci[g dvox mir
vnutrißn\o toçno] rozmirnosti. Oskil\ky funkciq f ( p ) = – ( ln ( )p p p+ −1 ×
× ln( )) ln/1 2− p stroho zrosta[ na ( , )/0 1 2 , f ( )/1 2 = 1 i f ( p ) → 0 pry p → 0,
to lehko pobuduvaty poslidovnist\ nesymetryçnyx mir Salema taku, wo µ( )k
[
mirog vnutrißn\o toçno] rozmirnosti αk , de { }αk — dovil\na poslidovnist\
dijsnyx çysel z ( 0, 1 ) . Todi mira µ µ= ⋅−
=
∞∑ 2
1
k
k
k( )
[ mirog zovnißn\o toçno]
rozmirnosti α α= sup { }k k , oskil\ky minimal\ni rozmirnisni nosi] N kµ( ) mir µ( )k
[ skriz\ wil\nymy monofraktal\nymy mnoΩynamy rozmirnosti αk .
U nastupnomu punkti bude pokazano, wo ne koΩnu miru zovnißn\o toçno] roz-
mirnosti moΩna rozklasty v sumu mir vnutrißn\o toçno] rozmirnosti.
Teorema03. Bud\-qka mira µ vnutrißn\o toçno] rozmirnosti α [ mirog
zovnißn\o toçno] rozmirnosti α .
Dovedennq. Z umov=1 i 2 oznaçennq=1 vyplyva[ isnuvannq nosiq S0
rozmirnosti α , qkyj pry c\omu [ minimal\nym rozmirnisnym nosi[m miry µ .
OtΩe, dimH µ = inf { ( )}E E∈ =Aµ
α α0 . Dovedemo, wo dlq bud\-qkoho x S∈ µ
vykonu[t\sq umova dimH ( µ, x ) = α . Oçevydno, wo dimH ( µ, x ) ≤ dimH µ . Pry-
pustymo, wo isnu[ x S0 ∈ µ taka, wo dimH ( µ, x0 ) = α0 < α , tobto
lim inf ( ( , )){ }
ε µ
α ε ε
→ ∈
− +
0 0 0 0E
E x x
A
∩ = α0 < α .
Todi isnu[ ε0 take, wo
∀ <ε ε0 : inf ( ( , )){ }
E
E x x
∈
− +
Aµ
α ε ε0 0 0∩ <
α α0
2
+
.
OtΩe, isnu[ nosij E0 miry µ takyj, wo
α ε ε0 0 0 0( ( , ))E x x∩ − + ≤ α α α0 0
3
4
+ −( ) < α .
Oskil\ky x S0 ∈ µ , to mnoΩyna S E x x= − +0 0 0∩ ( , )ε ε ma[ rozmirnist\ β < α
i µ ( S ) > 0, wo supereçyt\ umovi=2 oznaçennq=1.
Teoremu=3 dovedeno.
Pryklad03. Nexaj µ1 — klasyçna symetryçna mira Kantora, a µ2 — nesy-
metryçna mira Salema z p0 < p1 . Vyberemo p0 tak, wob
β = –
p p p p0 0 1 1
2
ln ln
ln
+
<
ln
ln
2
3
.
Mira µ µ µ= +1 22 2/ / ne [ mirog zovnißn\o toçno] rozmirnosti, oskil\ky
dlq vsix çysel x z mnoΩyny Kantora C 0 vykonu[t\sq umova
dim ( , ) ln ln/H xµ = 2 3, a dlq vsix çysel x C∈[ , ]\0 1 0 dim ( , )H xµ β= .
Naslidok. Qkwo dlq miry µ isnu[ mnoΩyna A taka, wo µ ( A ) = 1 i dlq
bud\-qkoho x ∈ A α0 ( µ, x ) = α, to mnoΩyna A [ minimal\nym rozmirnisnym
nosi[m miry µ i α0 ( A ) = α.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 713
ZauvaΩennq03. Dlq dovil\no] miry µ vnutrißn\o toçno] rozmirnosti α
isnu[ mnoΩyna A, vkazana u naslidku, xoça sama pobudova tako] mnoΩyny moΩe
buty netryvial\nog zadaçeg.
Pryklad04. Nexaj µ — nesymetryçna mira Kantora z 0 < p0 < p1 < 1.
Rozhlqnemo
A = M ( p0, p1 ) = { }: ( ) , ( ) , ( )x x p x x pν ν ν0 0 1 2 10= = = .
Za posylenym zakonom velykyx çysel µ ( A ) = 1. Z inßoho boku,
∀ x ∈ A : lim
ln ( , )
δ
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
= lim
ln
ln
( )( ) ( )
( ) ( )
n
x x
x x
n
n
→∞
…
…
µ α α
α α
∆
∆
1
1
3
3 = lim
ln
ln
( )
n
xk
n
n
p
k
→∞
=
−
∏ α1
3
=
= lim
ln
ln
( , ) ( , )
n
N x n N x np p
n→∞ −
0 2
0 2
3
=
ν ν0 0 2 2
3
( )ln ( )ln
ln
x p x p+
−
= –
p p p p0 0 2 2
3
ln ln
ln
+
.
OtΩe, mira µ [ mirog vnutrißn\o toçno] rozmirnosti, a mnoΩyna M ( p0, p2 ) [
minimal\nym rozmirnisnym nosi[m.
3. Mul\tyfraktal\nyj analiz synhulqrno neperervnyx imovirnisnyx
mir. U danomu punkti bude provedeno klasyfikacig jmovirnisnyx rozpodiliv za
„rivnem skladnosti lokal\no] budovy”.
1. Najprostißu strukturu magt\ absolgtno neperervni ta dyskretni roz-
podily. Zvyçajno, wil\nist\ absolgtno neperervnoho rozpodilu moΩe maty do-
syt\ skladnu budovu (v [5] navedeno pryklad absolgtno neperervno] jmo-
virnisno] miry µ, dlq qko] mnoΩyny
N0 = x
x x
: lim
( , )
δ
µ δ δ
δ→
− + =
0
0 i N∞ = x
x x
: lim
( , )
δ
µ δ δ
δ→
− + = + ∞
0
[ odnoçasno skriz\ wil\nymy mnoΩynamy povno] rozmirnosti:
α α0 0 0 1( ) ( )N N= =∞ ), ale bezposeredn\o z oznaçennq=1 vyplyva[, wo dovil\na
absolgtno neperervna mira µ
na
R ma[ toçnu rozmirnist\=1. Tomu z teorem=1 ta
2 vyplyva[, wo dlq µ -majΩe vsix toçok x iz topolohiçnoho nosiq absolgtno
neperervno] miry µ ma[ misce rivnist\ α0 ( µ, x ) = 1.
U vypadku çysto dyskretno] miry α0 ( µ, x ) = 0 dlq vsix atomiv miry µ, xoça
topoloho-metryçna struktura topolohiçnoho nosiq Sµ moΩe buty bud\-qkoho z
C-, S-, P-typiv abo ]x sumißßg.
2. Qkwo mira µ [ synhulqrno neperervnog i ma[ vnutrißng toçnu roz-
mirnist\ α, to α µ α0 0 1( , ) [ , ]x = ∈ dlq µ -majΩe vsix x. Pry c\omu miru µ
budemo nazyvaty α -monofraktal\nog.
U vypadku α = 0 miru µ nazyvatymemo anomal\no fraktal\nog (]]
minimal\nyj rozmirnisnyj nosij ta topolohiçnyj nosij [ anomal\no fraktal\-
nymy mnoΩynamy), a u vypadku α = 1 synhulqrnu miru µ — super-
fraktal\nog.
2 ′. Najprostißymy sered α -monofraktal\nyx synhulqrnyx mir [ miry, dlq
qkyx umova α0 ( µ, x ) = α vykonu[t\sq dlq λ -majΩe vsix toçok topolohiçnoho
nosiq. Prykladom tako] miry moΩe buty symetryçna mira Kantora.
2 ″. Znaçno skladnißymy i cikavißymy dlq fizyçnyx zastosuvan\ [10] [ α -
monofraktal\ni synhulqrni miry, dlq qkyx mnoΩyny
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
714 H. M. TORBIN
Aλ = x
x x
: lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ
λ
→
− + =
0
magt\ fraktal\nu strukturu dlq kontynual\no] kil\kosti znaçen\ parametra
λ . Prykladom takyx mir moΩut\ buty nesymetryçni kantorivs\ki ta nesymet-
ryçni salemivs\ki miry. Osnovnog problemog u c\omu vypadku [ doslidΩennq
funkci] f ( λ ) = α0 ( Aλ ) , a osnovnym metodom doslidΩennq [ tak zvanyj „mul\-
tyfraktal\nyj formalizm” [10].
3. Dlq klasyfikaci] synhulqrnyx mir, qki ne [ α-monofraktal\nymy, vvede-
mo nastupne ponqttq.
Nexaj µ — dovil\na synhulqrna jmovirnisna mira na [ 0, 1 ] . Rozhlqnemo
funkcig dijsno] zminno] α :
gµ ( α ) = µ µ δ δ
δ
α
δ
x
x x
: lim
ln ( , )
ln→
− + <
0
.
Oçevydno, wo gµ ( α ) = 0 pry α ≤ 0, gµ ( α ) = 1 pry α > 1, gµ ( α ) [ zrostag-
çog funkci[g, qka neperervna zliva. OtΩe, gµ ( α ) — funkciq rozpodilu, qka
vyznaça[ na borelivs\kyx pidmnoΩynax odynyçnoho vidrizka jmovirnisnu mi-
ru==µ*
:
∀ E ∈ B ( R ) : µ*
( E ) = χ αµE dg ( )
0
1
∫ , (7)
de χE — xarakterystyçna funkciq mnoΩyny E.
Inßymy slovamy, dlq bud\-qkoho E ∈ B
µ*
( E ) = µ µ δ δ
δδ
x
x x
E: lim
ln ( , )
ln→
− + ∈
0
. (8)
Miru µ*
nazvemo xarakterystyçnog mul\tyfraktal\nog mirog (x. m. m.)
perßoho porqdku dlq synhulqrno] miry µ .
Oçevydno, wo mira µ*
ma[ vyrodΩenyj rozpodil z atomom odynyçno] vahy v
toçci α0 todi i til\ky todi, koly mira µ ma[ vnutrißn\o toçnu rozmirnist\ α0 .
Oznaçennq010. Synhulqrnu miru µ nazvemo mirog z dyskretnym mul\ty-
fraktal\nym rozpodilom, qkwo x. m. m. µ*
[ çysto dyskretnog mirog z bil\ß
niΩ odnym atomom.
Nastupna teorema povnistg opysu[ strukturu synhulqrnyx mir iz dyskret-
nym mul\tyfraktal\nym spektrom.
Teorema04. Dovil\nu synhulqrnu jmovirnisnu miru µ z dyskretnym mul\ty-
fraktal\nym rozpodilom [dynym çynom moΩna podaty u vyhlqdi
µ = β µk k
k
∑ , (9)
de βk > 0, βkk∑ = 1, µ k — synhulqrni αk -monofraktal\ni miry, α αi j≠
( )i j≠ .
Dovedennq. Nexaj { αk } — mnoΩyna vsix atomiv
x.
m.
m. µ*
, µ*
( αk ) = βk >
> 0. Oçevydno, wo βkk∑ = 1. Poznaçymo
Dk = { }: ( , )x x kα µ α0 = , C =
R \ Dk
k
∪
.
Za oznaçennqm miry µ*
:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 715
µ*
( αk ) = µ ( Dk ) = βk , µ ( C ) = 0.
Nexaj µk =
1
β
µ
k
kD� , tobto dlq bud\-qkoho E ∈ B µk ( E ) =
1
β
µ
k
kE D( )∩ .
Z oznaçennq=8 vyplyva[, wo µk [ mirog vnutrißn\o toçno] rozmirnosti αk .
Oskil\ky Dk ∩ Dn
= ∅ ( k ≠ n ) , to dlq bud\-qkoho E ∈ B
µ ( E ) =
µ E D Ck
k
∩ ∪∪
= µ( )E C∩ +
µ( )E Dk
k
∩∑ =
= β
β
µk
k
k
k
E D
1 ( )∩∑ = β µk k
k
E( )∑ ,
wo dovodyt\ moΩlyvist\ rozkladu (9).
Oskil\ky mira µ ma[ vnutrißn\o toçnu rozmirnist\ α todi i til\ky todi, ko-
ly vidpovidna x. m. m. µ*
ma[ [dynyj atom odynyçno] vahy v toçci α , to rozklad
(9) [ [dynym.
Teoremu=4 dovedeno.
ZauvaΩennq04. Oçevydno, wo bud\-qka synhulqrna mira, qku moΩna podaty
u vyhlqdi (9), [ synhulqrnog mirog z dyskretnym mul\tyfraktal\nym rozpo-
dilom.
Teorema05. Dlq dovil\no] çysto dyskretno] miry ν na [ 0, 1 ] isnu[ mira µ ,
dlq qko] vidpovidna xarakterystyçna mul\tyfraktal\na mira µ *
zbiha[t\sq
z ν .
Dovedennq. Rozhlqnemo klas vypadkovyx velyçyn
ψ =
ψn
n
n 21=
∞
∑ , (10)
de ψn — nezaleΩni odnakovo rozpodileni v. v., qki nabuvagt\ znaçen\ 0 i 1 z
imovirnostqmy p0 ta p1 vidpovidno ( pi > 0, p0 + p1 = 1 ) . Imovirnisna mira µψ
[ mirog vnutrißn\o toçno] rozmirnosti α = ( ln ln )( ln )p p p p0 0 1 1
12+ − − [9].
Nexaj { αk } — mnoΩyna vsix atomiv miry ν i ν ( αk ) = βk
> 0. Dlq dovil\-
noho α ∈ [ 0, 1 ] isnu[ [dyne çyslo p0 = p0 ( α ) ∈ [ 0, 1 / 2 ] take, wo ( lnp p0 0 +
+= ( ln( )))( ln )1 1 20 0
1− − − −p p = α . Dlq koΩnoho atoma αk znajdemo vidpovidne
p k
0
( ) = p k0( )α i pobudu[mo miru µk , qka [ jmovirnisnog mirog vypadkovo] vely-
çyny
ψ( )k =
ψn
k
n
n
( )
21=
∞
∑ ,
de ψn
k( )
— nezaleΩni odnakovo rozpodileni vypadkovi velyçyny, qki nabuvagt\
znaçen\ 0 i 1 z imovirnostqmy p k
0
( )
i p k
1
( ) = 1 0− p k( ) . Oçevydno, wo mira µk
=
= µψ( )k ma[ vnutrißn\o toçnu rozmirnist\ αk i mira µ = β µk kk∑ [ ßukanog.
Teoremu=5 dovedeno.
ZauvaΩennq05. Qkwo α ∈ ( 0, 1 ) , to miry µk u zaproponovanomu dovedenni
[ synhulqrnymy. Qkwo αk = 0, to µk [ çysto dyskretnog z odnym atomom;
qkwo αk = 1, to µk zbiha[t\sq z mirog Lebeha. Dlq dvox ostannix vypadkiv
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
716 H. M. TORBIN
moΩna pobuduvaty „synhulqrni zaminnyky” u klasi jmovirnisnyx mir z nezaleΩ-
nymy riznorozpodilenymy dvijkovymy cyframy.
Pry αk = 0
ψ( )k =
ψn
k
n
n
( )
21=
∞
∑ , p n
k
0
( ) =
1
1+ n
.
U c\omu vypadku µk [ synhulqrnog anomal\no fraktal\nog mirog.
Pry αk = 1
ψ( )k =
ψn
k
n
n
( )
21=
∞
∑ , p n
k
0
( ) =
1
2
1
7
−
+n
.
U c\omu vypadku µk [ synhulqrnog superfraktal\nog mirog.
Naslidok. Dlq dovil\no] çysto dyskretno] miry ν na [ 0, 1 ] isnu[ çysto
synhulqrna mira µ, dlq qko] vidpovidna x. m. m. µ∗
zbiha[t\sq z ν.
Oznaçennq011. Synhulqrnu miru µ nazvemo mirog z neperervnym mul\ty-
fraktal\nym rozpodilom, qkwo vidpovidna xarakterystyçna mul\tyfraktal\-
na mira µ∗
[ neperervnog.
Klas synhulqrnyx mir z neperervnym mul\tyfraktal\nym rozpodilom nepo-
roΩnij, wo demonstru[ nastupnyj pryklad.
Pryklad05. Rozhlqnemo nastupnu konstrukcig pobudovy systemy podribng-
gçyx rozbyttiv odynyçnoho vidrizka.
Na perßomu kroci [ 0, 1 ] zobrazymo u vyhlqdi ob’[dnannq tr\ox vidrizkiv per-
ßoho ranhu:
∆Γ
0 = 0
1
4
,
, ∆Γ
1 =
1
4
3
4
,
, ∆Γ
2 =
3
4
1,
.
Na k-mu kroci koΩen z vidrizkiv ∆Γ
α α1 1… −k
( k – 1 ) -ho ranhu rozbyva[mo zliva
napravo na 3 vidrizky k-ho ranhu tak, wob
∆
∆
Γ
Γ
α α
α α
1 1
1 1
0…
…
−
−
k
k
=
∆
∆
Γ
Γ
α α
α α
1 1
1 1
2…
…
−
−
k
k
=
1
2
1
2 21
1
1
∑ − + −
=
− +αi
i k
i
k ( )
.
Oçevydno, wo systema vkladenyx vidrizkiv
∆Γ
α1
⊃ ∆Γ
α α1 2
⊃ … ⊃ ∆Γ
α α1… k
⊃ …
vyznaça[ [dynu toçku i, navpaky, dlq koΩno] toçky x z [ 0, 1 ] isnu[ poslidov-
nist\ { }( ) ( )∆Γ
α α1 x xk… taka, wo
x =
∆Γ
α α1
1
( ) ( )x x
k
k…
=
∞
∩ = : ∆Γ
α α1( ) ( )x xk… … . (11)
ZobraΩennq (11) budemo nazyvaty Γ-zobraΩennqm toçky x, qke [ [dynym
dlq vsix toçok, wo ne [ kincevymy toçkamy ranhovyx vidrizkiv.
Rozhlqnemo mnoΩynu
M = x x xx x nk
: , ( ) { , }( ) ( )= ∈{ }… …∆Γ
α α α
1
0 2 .
MoΩna pokazaty [13], wo M — nide ne wil\na nul\-mnoΩyna i lokal\na rozmir-
nist\ Xausdorfa – Bezykovyça mnoΩyny M v toçci x = ∆Γ
α α1( ) ( )x xk… … ∈ M do-
rivng[
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 717
α0 ( M, x ) =
lim ( ( , ))
ε
α ε ε
→
− +
0 0 M x x∩ =
αi
i
i
x( )
2 1
1
+
=
∞
∑ .
Rozhlqnemo poslidovnist\ imovirnisnyx prostoriv ( ), ,Ωk k kF ′µ :
Ωk = { 0, 1, 2 } , Fk = 2Ωk , ′µk ( )0 = ′µk ( )2 =
1
2
, ′µk ( )1 = 0,
ta ]x neskinçennyj dobutok
( ), ,Ω F ′µ =
( ), ,Ωk k k
k
F ′
=
∞
∏ µ
1
.
Rozhlqnemo vymirne vidobraΩennq f : Ω → [ 0, 1 ] , zadane takym çynom:
∀ ω = ( ω1, ω2, … , ωk, … ) ∈ Ω : f ( ω ) = ∆Γ
ω ω1… …k
,
ta indukovanu obraz-miru µ = ′ −µ ( )f 1
na borelivs\kyx pidmnoΩynax [ 0, 1 ]
∀ E ∈ B : µ ( E ) = ′ −µ ( )( )f E1 .
PokaΩemo, wo mira µ [ synhulqrnog mirog z neperervnym mul\tyfrak-
tal\nym rozpodilom. Synhulqrnist\ µ vyplyva[ z toho, wo topolohiçnyj nosij
miry µ [ nide ne wil\nog nul\-mnoΩynog (vin zbiha[t\sq z oznaçenog vywe
mnoΩynog M ) .
Dlq dovil\noho x = ∆Γ
α α1( ) ( )x xk… … ∈ M = Sµ ma[mo
α0 ( µ, x ) = lim
ln ( , )
lnδ
µ δ δ
δ→
− +
0
x x
= lim
ln
ln
( )( ) ( )
( ) ( )
k
x x
x x
k
k
→∞
…
…
µ α α
α α
∆
∆
Γ
Γ
1
1
=
= lim
ln
ln
( )k
k
x
i
k
j
jj
i
i
→∞
−
+
=
∑ += +
−
∏
2
1
2
2
1
2
1
11 1
1α
= lim
( )
k
j
jj
i
i
i
k
k
x
→∞
+= +
=
∑ +
∑ 1
2
1
211 1
1 α
.
Nexaj
z =
α j
j
j
x( )
2 1
1
+
=
∞
∑ =
β j
j
j
x( )
21=
∞
∑ ,
de β αj jx x( ) ( ) { , }/= ∈2 0 1 . Todi
∀ x ∈ M : α0 ( µ, x ) = z, oskil\ky z
xj
j
j
i
i
α ( )
2
1
21
1
1
1
+
=
+
−
∑ +
→ 1, i → ∞ .
OtΩe, dlq bud\-qkoho z0 ∈ [ 0, 1 ] isnu[ x0 ∈ Sµ take, wo α 0 ( µ, x0 ) = z0, pry-
çomu qkwo z0 = βk
k
k
z( )/01
2=
∞∑ , βk z( ) { , }0 0 1∈ , to x0 = ∆Γ
α α1 0 0( ) ( )x xk… … ,
de
αk ( x0 ) = 2 βk ( z0 ) .
Tomu
∀ z0 ∈ [ 0, 1 ] : µ*( z0 ) = µ { }: ( , )x x zα µ0 0= = µ ( x0 ) = 0.
OtΩe, µ*
— neperervna x. m. m.
Teorema06. Dovil\nu synhulqrnu miru µ [dynym çynom moΩna zobrazyty u
vyhlqdi
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
718 H. M. TORBIN
µ = γ µ γ µd d c c+ , (12)
de γ d ≥ 0, γ c ≥ 0, γ γd c+ = 1, µd i µc — synhulqrni miry z dyskretnym ta
neperervnym mul\tyfraktal\nym rozpodilom vidpovidno.
Dovedennq. Nexaj µ∗
— x. m. m. perßoho porqdku dlq miry µ. Za klasyç-
nog teoremog analizu mira µ∗
[dynym çynom zobraΩu[t\sq u vyhlqdi
µ* = γ µ γ µd d c c
∗ ∗+ , (13)
de µd
∗
i µc
∗
— çysto dyskretna ta çysto neperervna jmovirnisni miry, γ d ≥ 0,
γ c ≥ 0, γ γd c+ = 1. Qkwo γ d = 1 abo γ c = 1, to tverdΩennq teoremy [ oçe-
vydnym.
Rozhlqnemo vypadok, koly γ d > 0 i γ c > 0. Nexaj { }αk — mnoΩyna vsix
atomiv miry µd
∗ . Todi µ α∗∑k k( ) = γd
.
Nexaj
Dk = { }: ( , )x x kα µ α0 = , D = Dk
k
∪ , µ ( D ) = µ ( )Dk
k
∪ = γd
i
C = R \ D , ∀ α ∈ C : µ α µ α{ }: ( , )x x0 = = 0.
Miry µ d i µ c oznaçymo takym çynom:
∀ E ∈ B : µ d ( E ) = 1
γ
µ
d
E D( )∩ , µ c ( E ) = 1
γ
µ
c
E C( )∩ .
Za pobudovog miry µd i µc [ synhulqrnymy miramy z dyskretnym i neperervnym
rozpodilom vidpovidno i
µ ( E ) = µ ( ( ))E D C∩ ∪ = µ µ( ) ( )E D E C∩ ∩+ = γ µ γ µd d c cE E( ) ( )+ ,
wo dovodyt\ moΩlyvist\ rozkladu (12).
{dynist\ danoho rozkladu vyplyva[ z [dynosti rozkladu (13) miry µ∗
na dys-
kretnu i neperervnu komponenty.
Naslidok. Dovil\nu synhulqrnu jmovirnisnu miru µ [dynym çynom moΩna
podaty u vyhlqdi
µ = β µ β µc c
k
k k+ ∑ ,
de βc ≥ 0, βk ≥ 0, β βc kk
+ =∑ 1, µk — synhulqrni αk-monofraktal\ni miry,
µc — synhulqrna mira z neperervnym mul\tyfraktal\nym rozpodilom.
Oznaçennq012. Synhulqrnu miru µ nazvemo mirog z absolgtno nepererv-
nym (synhulqrno neperervnym) mul\tyfraktal\nym rozpodilom, qkwo vidpo-
vidna xarakterystyçna mul\tyfraktal\na mira µ∗
[ absolgtno neperervnog
(synhulqrno neperervnog).
Wojno oznaçeni klasy synhulqrnyx mir [ neporoΩnimy. Synhulqrna mira µ ,
qka pobudovana u prykladi=5, ma[ absolgtno neperervnyj mul\tyfraktal\nyj
rozpodil. Spravdi, qkwo ∆β β1
2
… n
— dvijkovyj vidrizok n-ho ranhu, tobto
∆β β1
2
… n
=
β βi
i
i
n
n
i
i
i
n
2
1
2 21 1= =
∑ ∑+
; ,
to z pobudovy miry µ vyplyva[
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
MUL|TYFRAKTAL|NYJ ANALIZ SYNHULQRNO NEPERERVNYX … 719
x x
n
: ( , )α µ β β0
2
1
∈{ }…∆ = ∆Γ
( ) ( )2 21β β… n
.
OtΩe,
∀ n ∈ N : µ β β
∗
…( )∆
1
2
n
= µ β β( )( ) ( )∆Γ
2 21 … n
=
1
2n .
Tobto xarakterystyçna mira perßoho porqdku µ∗
zbiha[t\sq z mirog Lebeha na
[ 0, 1 ] .
Pryklad06. Pobudu[mo pryklad miry ν z synhulqrno neperervnym mul\ty-
fraktal\nym rozpodilom. Dlq c\oho vykorysta[mo alhorytm pobudovy miry z
poperedn\oho prykladu, ale oznaçymo inakße dyskretni miry ′ ′ν νk k: ( )0 =
= p0 1 2< / , p0 0> , ′νk ( )2 = p2 = 1 0− p , ′νk ( )1 = 0.
Pry c\omu mnoΩyna
M = x x xx x kk
: , ( ) { , }( ) ( )= ∈{ }… …∆α α α
1
2 0 2
zalyßa[t\sq topolohiçnym nosi[m dlq miry ν . Za pidsylenym zakonom velykyx
çysel dlq µ -majΩe vsix x
lim
( , )
n
N x n
n→∞
0 = p0
, lim
( , )
n
N x n
n→∞
2 = p2
,
de N x ni( , ) — kil\kist\ cyfr i sered perßyx n cyfr u Γ-zobraΩenni çysla
x . Tomu dlq ν-majΩe vsix x
α ν0( , )x = lim
ln ( , )
lnδ
ν δ δ
δ→
− +
0
x x
= lim
ln
ln
( )( ) ( )
( ) ( )
n
x x
x x
k
k
→∞
…
…
ν α α
α α
∆
∆
Γ
Γ
1
1
=
= lim
ln
ln
( , ) ( , )
( )k
N x k N x k
x
i
k
p p
j
jj
i
i
→∞
− +
=
⋅
∑ += +
−
∏
0 2
2
1
2
1
0 2
11 1
1
2
α
= lim
( , )
ln
( , )
ln
( ) lnk
j
jj
i
i
i
k
N x k
k
p
N x k
k
p
k x
→∞
+= +
=
+
∑
+
∑
0
0
2
2
11 1
1
1 1
2
1
2
1
2α
= z p∗ ,
de
p
∗ =
p p p p0 0 2 2
2
ln ln
ln
+
−
, z =
α j
j
j
x( )
2 1
1
+
=
∞
∑ =
β j
j
j
z( )
21=
∞
∑
, βj ( z ) =
1
2
α j x( )
.
U danomu vypadku mira ν∗
[ synhulqrno rozpodilenog na vidrizku [ 0, p
∗
] .
Spravdi, za wojno dovedenym dlq ν-majΩe vsix x = ∆Γ
α α1( ) ( )x xk… …
α ν0( , )x = p z∗ = p
x xj
∗
…
…
∆ 1
2
1
2
2
1α α( ) ( )
.
Nexaj dlq bud\-qkoho y p0 0∈ ∗[ , ]
z0 =
y
p
0
∗ =
β j
j
j
z( )0
1 2=
∞
∑ , x0 = ∆Γ
( ( )) ( ( ))2 21 0 0β βz zk… … .
Todi
ν∗( )y0 = ν α νx x y: ( , )0 0={ } = ν( )x0 = 0.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
720 H. M. TORBIN
OtΩe, ν∗
— neperervna mira. Nexaj ∆β β1
2
…
∗
n
p,
— obraz vidrizka n-ho ranhu
dvijkovoho rozbyttq [ 0, 1 ] pry stysku ′ = ∗x p x , tobto
∆ β β1
2
…
∗
n
p, = p pj
j
j
n
n
j
j
j
n
∗
=
∗
=
∑ ∑+
β β
2
1
2 21 1
, .
Z pobudovy miry ν :
ν β β
∗
…
∗( )∆
1
2
n
p, = ν α ν β βx x
n
p: ( , ) ,
0
2
1
∈{ }…
∗
∆ = ν β β∆Γ
( ) ( )2 21 …( )
n
= p
jj
n
21 β=∏ ,
i tomu mira ν*
ma[ nesymetryçnyj synhulqrnyj salemivs\kyj rozpodil na [ 0,
p
* ] , tobto mira ν*
[ jmovirnisnog mirog vypadkovo] velyçyny ξ = p
* ×
× ξ j
j
j /21=
∞∑ , de ξj — nezaleΩni odnakovo rozpodileni vypadkovi velyçyny, qki
nabuvagt\ znaçen\ 0 i 1 z imovirnostqmy p0 i p1 ( 0 < p0 < p1 < 1, p0 + p1 =
= 1 ) .
Teorema07. Dovil\nu synhulqrnu jmovirnisnu miru µc z neperervnym mul\-
tyfraktal\nym rozpodilom [dynym çynom moΩna podaty u vyhlqdi
µc = ksc
µsc
+ ka
c
µa
c
,
de ksc
≥ 0, kac
≥ 0, ksc
+ ka
c
= 1, µs c i µac — synhulqrno neperervni jmovir-
nisni miry z synhulqrno neperervnym ta absolgtno neperervnym mul\tyfrak-
tal\nym rozpodilom vidpovidno.
Dovedennq. Nexaj µc
∗
— x. m. m. dlq µ c . Za klasyçnog teoremog analizu
miru µc
∗
[dynym çynom moΩna rozklasty u vyhlqdi µc
∗ = k ksc sc ac acµ µ∗ ∗+ , de
ksc
≥ 0, ka
c
≥ 0, µsc
∗
— çysto synhulqrna, µac
∗
— çysto absolgtno neperervna
jmovirnisni miry. Qkwo ksc
= 1 abo ka
c
= 1, to tverdΩennq teoremy [ oçevyd-
nym.
Rozhlqnemo vypadok ksc
> 0 i ka
c
> 0. Nexaj T
*
— minimal\nyj rozmirnis-
nyj nosij miry µsc
∗ . Todi µc T∗ ∗( ) = ksc
, λ ( )T∗ = 0. Nexaj T = { : ( , )x xα µ0 ∈
∈ ∗T }, U = R \ T. Za oznaçennqm miry µc
∗
µ∗ ∗( )T = µ ( T ) = ksc , µ∗ ∗( \ )R T =
= µ ( U ) = ka
c
. Rozhlqnemo miry
µsc = 1
k
T
sc
cµ � , µac = 1
k
U
ac
cµ � .
Oçevydno, wo µsc i µac — synhulqrni miry z synhulqrnym ta absolgtno nepe-
rervnym mul\tyfraktal\nym rozpodilom vidpovidno i
µc = ksc
µsc
+ ka
c
µa
c
.
{dynist\ danoho rozkladu vyplyva[ z [dynosti rozkladu miry µc
∗
na synhu-
lqrnu ta absolgtno neperervnu komponenty.
Teoremu=7 dovedeno.
Naslidok. Dovil\nu synhulqrnu jmovirnisnu miru µ [dynym çynom moΩna
podaty u vyhlqdi
µ = αac
µac
+ αsc
µsc
+ α µk k
k
∑ ,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5
de αac
≥ 0, αsc
≥ 0, αk
≥ 0, αac
+ αs c
+ αkk∑ = 1, µk — synhulqrni αk
-mo-
nofraktal\ni miry, µac ( µs c ) — synhulqrna jmovirnisna mira z absolgtno ne-
perervnym (synhulqrnym) mul\tyfraktal\nym rozpodilom.
Nasamkinec\ zrobymo dva zauvaΩennq.
ZauvaΩennq 6. Dlq we hlybßo] xarakteryzaci] synhulqrnyx mir moΩna
vvesty do rozhlqdu xarakterystyçni mul\tyfraktal\ni miry vywyx porqdkiv:
µ∗∗( )E = µ µ δ δ
δδ
∗
→
∗ − + ∈
x
x x
E: lim
ln ( , )
ln0
— x. m. m. druhoho porqdku i dali — za indukci[g.
Dlq miry ν z prykladu=6 ν*
ma[ synhulqrnyj salemivs\kyj rozpodil, ν**
—
dyskretnyj rozpodil z atomom odynyçno] vahy v toçci==p
*
.
ZauvaΩennq 7. Teoremy u pp.=2 i 3 formulgvalys\ dlq odnovymirnyx imo-
virnisnyx mir, ale ]x moΩna pereformulgvaty dlq dovil\nyx skinçennyx bore-
livs\kyx mir.
1. Prac\ovytyj M. V. Fraktal\nyj pidxid u doslidΩennqx synhulqrnyx rozpodiliv. – Ky]v:
Nac. ped. un-t, 1998. – 296 s.
2. Del Rio R., Jitomirskaya S., Makarov N., Simon B. Singular continuous spectrum is generic // Bull.
Amer. Math. Soc. (N. S.). – 1994. – 31, # 2. – P. 208 – 212.
3. Last Y. Quantum dynamics and decomposition of singular continuous spectra // J. Funct. Anal. –
1996. – 142. – P. 406 – 445.
4. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Topological and fractal properties of real numbers which
are not normal. – Bonn, 2004. – 14 p. – Preprint # 191.
5. Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability distributions and transformations
preserving the Hausdorff – Besicovitch dimension // Ergod. Theory and Dynam. Syst. – 2004. – 24,
# 1. – P. 1 – 16.
6. Pracevyt¥j N. V. Klassyfykacyq synhulqrn¥x raspredelenyj v zavysymosty ot svojstv
spektra // Sluçajn¥e πvolgcyy: teoretyçeskye y prykladn¥e zadaçy. – Kyev: Yn-t matema-
tyky NAN Ukrayn¥, 1992. – S.=77 – 83.
7. Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of singular continuous spectrum // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 2003. – 9, # 2. – P. 101 – 119.
8. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Q̃ -representation of real numbers and
fractal probability distributions. – Bonn, 2004. – 22 p. – Preprint # 12.
9. Torbin H. M. Fraktal\ni vlastyvosti rozpodiliv vypadkovyx velyçyn z nezaleΩnymy Q∗-
znakamy // Nauk. zap. NPU im. M. P. Drahomanova. Fiz.-mat. nauky. – 2002. – # 3 . –
S.=363 – 375.
10. Falconer K. J. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. – Chichester: Wiley,
2003.
11. Turbyn A. F., Pracevyt¥j N. V. Fraktal\n¥e mnoΩestva, funkcyy, raspredelenyq. – Kyev:
Nauk. dumka, 1992. – 208=s.
OderΩano 24.12.2004
|
| id | umjimathkievua-article-3637 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:12Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/96fd29da47c7fbfb2927c862acaa9fd5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36372020-03-18T20:00:32Z Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures Мультифрактальний аналіз сингулярно неперервних імовірнісних мір Torbin, H. M. Торбін, Г. М. We analyze correlations between different approaches to the definition of the Hausdorff dimension of singular probability measures on the basis of fractal analysis of essential supports of these measures. We introduce characteristic multifractal measures of the first and higher orders. Using these measures, we carry out the multifractal analysis of singular probability measures and prove theorems on the structural representation of these measures. Проаналізовано взаємозв'язки різних підходів до означення хаусдорфової розмірності сингулярних імовірнісних мір на основі фрактального аналізу суттєвих носіїв цих мір. Введено в розгляд характеристичні мультифрактальні міри першого та вищих порядків, на основі яких здійснено мультифрактальний аналіз сингулярних імовірнісних мір та доведено теореми про структурне зображення таких мір. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3637 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 5 (2005); 706–720 Український математичний журнал; Том 57 № 5 (2005); 706–720 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3637/4004 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3637/4005 Copyright (c) 2005 Torbin H. M. |
| spellingShingle | Torbin, H. M. Торбін, Г. М. Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title | Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title_alt | Мультифрактальний аналіз сингулярно неперервних імовірнісних мір |
| title_full | Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title_fullStr | Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title_full_unstemmed | Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title_short | Multifractal Analysis of Singularly Continuous Probability Measures |
| title_sort | multifractal analysis of singularly continuous probability measures |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3637 |
| work_keys_str_mv | AT torbinhm multifractalanalysisofsingularlycontinuousprobabilitymeasures AT torbíngm multifractalanalysisofsingularlycontinuousprobabilitymeasures AT torbinhm mulʹtifraktalʹnijanalízsingulârnoneperervnihímovírnísnihmír AT torbíngm mulʹtifraktalʹnijanalízsingulârnoneperervnihímovírnísnihmír |