Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$
We give a supplement to the theorem on the denseness of polynomials in the space $C_w^0$ established by Mergelyan in 1956 for the case where algebraic polynomials are dense in $C_w^0$. In the case indicated, we give a complete description of all functions that can be approximated by algebraic polyn...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3649 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509774218526720 |
|---|---|
| author | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. |
| author_facet | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. |
| author_sort | Bakan, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:15Z |
| description | We give a supplement to the theorem on the denseness of polynomials in the space $C_w^0$ established by Mergelyan in 1956 for the case where algebraic polynomials are dense in $C_w^0$. In the case indicated, we give a complete description of all functions that can be approximated by algebraic polynomials in seminorm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. H. Bakan (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA
O PLOTNOSTY ALHEBRAYÇESKYX MNOHOÇLENOV
V PROSTRANSTVE Cw
0
We consider the theorem on polynomial denseness in the space Cw
0 proved by S.N. Mergelyan in 1956.
For the case where algebraic polynomials are dense in the space Cw
0 , we obtain an addition to the
theorem considered and present the complete description of all functions which can be approximated by
algebraic polynomials in the seminorm.
Do vstanovleno] S. N. Merhelqnom u 1956 r. teoremy pro polinomial\nu wil\nist\ u prostori
Cw
0
oderΩano dopovnennq u vypadku, koly alhebra]çni polinomy [ wil\nymy u prostori Cw
0
. U
c\omu vypadku navedeno povnyj opys usix funkcij, qki moΩut\ buty nablyΩeni alhebra]çnymy
mnohoçlenamy u napivnormi.
1. Predvarytel\n¥e svedenyq y osnovnoj rezul\tat. 1.1. Yspol\zuem¥e
oboznaçenyq y ponqtyq. Pust\ X — lynejnoe prostranstvo nad polem ve-
westvenn¥x çysel R , na kotorom zadana funkcyq || ⋅ ||X : X → R (sm. [1,
c. 161]). Para ( X, || ⋅ ||X ) naz¥vaetsq polunormyrovann¥m yly normyrovann¥m
prostranstvom, esly funkcyq || ||⋅ X qvlqetsq sootvetstvenno polunormoj yly
normoj (sm. [1, c. 173]). V nekotor¥x sluçaqx πto prostranstvo takΩe budem
oboznaçat\ çerez X, t. e. X = ( X, || ||⋅ X).
Dlq dvux polunormyrovann¥x prostranstv X y Y budem pysat\ X ≡ Y, esly
X y Y toΩdestvenno sovpadagt. Dlq polunormyrovannoho prostranstva X =
= ( X, || ||⋅ X) faktor-prostranstvo X \ NX = X NX X NX
\ , \⋅( ), πlementamy koto-
roho qvlqgtsq mnoΩestva π ( x ) : = x + NX , x ∈ X, hde π( ) \x X NX
: = || ||⋅ X y
NX : = x X x X∈ ={ }0 , qvlqetsq normyrovann¥m (sm. [2], hl. 1, § 10, p. 2) y na-
z¥vaetsq normyrovann¥m prostranstvom, assocyyrovann¥m s polunormyrovan-
n¥m prostranstvom X (sm. [2], hl. 1, § 8, p. 5). Dlq dvux lynejno yzometryçn¥x
(sm.<[3], hl. 4, § 1, p. 1.3) normyrovann¥x prostranstv X y Y , t. e. dlq kotor¥x
suwestvuet takoe lynejnoe preobrazovanye U : X → Y , çto: a) U ( X ) = Y;
b)<|| U ( x ) ||Y = || x ||X ∀ x ∈ X, budem yspol\zovat\ oboznaçenye X � Y. Napomnym,
çto funkcyq MF ( x ) : = lim sup ( )( , )δ δ δ↓ ∈ − +0 y x x F y naz¥vaetsq verxnej funkcyej
Bπra dlq funkcyy F : R → R y funkcyq F naz¥vaetsq poluneprer¥vnoj
sverxu (pn. sv.), esly F ( x ) = MF ( x ) ∀ x ∈ R. Oboznaçym çerez B+ ( R ) mnoΩest-
vo neotrycatel\n¥x y ravnomerno ohranyçenn¥x na R funkcyj, çerez W+ ( R )
mnoΩestvo pn. sv. funkcyj yz B+ ( R ) y çerez W
*
( R ) mnoΩestvo tex w ∈
∈ W+ ( R ), kotor¥e udovletvorqgt uslovyg sup ( )x
nx w x∈R
< ∞ dlq vsex n =
= 0, 1, … . Pust\
SF : = x X F x∈ ≠{ }( ) 0
y dlq B ⊆ A ⊆ R y h : A → R symvol h �B oboznaçaet funkcyg h �B : B → R,
udovletvorqgwug uslovyg h �B ( x ) = h ( x ) ∀ x ∈ B.
© A. H. BAKAN, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 867
868 A. H. BAKAN
Zam¥kanye proyzvol\noho A ⊂ R budem oboznaçat\ çerez A , a χ A ( x ) budet
oboznaçat\ yndykatornug funkcyg mnoΩestva A, ravnug 1, esly x ∈ A, y 0
— v protyvnom sluçae. Pust\ C ( A ) qvlqetsq lynejn¥m prostranstvom vsex
dejstvytel\noznaçn¥x y neprer¥vn¥x na A funkcyj, || f ||C ( A ) : = sup ( )x A f x∈
dlq f ∈ C ( A ) y P ( R) — mnoΩestvo vsex alhebrayçeskyx mnohoçlenov s dejst-
vytel\n¥my koπffycyentamy. Dlq proyzvol\noj funkcyy w ∈ B+ ( R ) ras-
smotrym lynejnoe prostranstvo
�w A0 ( ) : = f C A w x f x
x A x
∈ ⋅ =
∈ →∞
( ) lim ( ) ( )
,
0 .
Esly mnoΩestvo A ohranyçeno, to oçevydno, �w A0 ( ) ≡ C ( A ). Dlq proyzvol\-
noho zamknutoho mnoΩestva F takoho, çto S w ⊂ F ⊂ R, vvedem polunormyro-
vannoe prostranstvo
C Fw
0 ( ) : = �w wF0 ( ), ⋅( ) ≡ f C F w x f x
x F x
w∈ ⋅ =
⋅
∈ →∞
( ) lim ( ) ( ) ,
,
0 ,
hde || f ||w : = sup ( ) ( )x Sw
w x f x∈ . Esly F = R, to budem oboznaçat\
Cw
0
: = Cw
0 ( )R .
1.2. Osnovn¥e rezul\tat¥. V 1958 h. S. N. Merhelqn [4, s. 121] zametyl,
çto vesov¥e svojstva proyzvol\noj funkcyy w ∈ B+ ( R ) ne yzmenqtsq, esly ee
zamenyt\ verxnej funkcyej Bπra Mw ( x ). Dejstvytel\no, yz opredelenyq
funkcyy Bπra neposredstvenno sleduet
0 ≤ w ( x ) ≤ Mw ( x ) ≤ w C( )R
∀ x ∈ R, Sw ⊆ SMw
⊆ Sw = SMw
. (1)
Krome toho, dlq lgboho otkr¥toho mnoΩestva G ⊂ R ymegt mesto ravenstva
f G w⋅χ = f G Mw
⋅χ ∀ f ∈ C Sw( ). (2)
Poπtomu dlq proyzvol\noho zamknutoho mnoΩestva F, udovletvorqgweho us-
lovyg S w ⊂ F ⊂ R, lynejn¥e prostranstva �w F0 ( ) y
�Mw
F0 ( ) sovpadagt y
|| f ||w = f Mw
dlq proyzvol\noj funkcyy f ∈ �w F0 ( ). Poπtomu C Fw
0 ( ) ≡
≡ C FMw
0 ( ) . Sledovatel\no, pry rassmotrenyy prostranstv C Fw
0 ( ) moΩno ras-
smatryvat\, bez ohranyçenyq obwnosty, tol\ko pn. sv. funkcyy w.
Osob¥j ynteres k polunormyrovann¥m prostranstvam
Cw
0 = f C w x f x
x
w∈ ⋅ =
⋅
→∞
( ) lim ( ) ( ) ,R 0
voznykaet v sluçae, kohda funkcyq w , naz¥vaemaq vesovoj, prynadleΩyt
klassu W * ( R ), çto obespeçyvaet prynadleΩnost\ k Cw
0
vsex stepenn¥x
funkcyj x
n
, n ≥ 0. V 1924 h. S. N. Bernßtejn [5] sformulyroval problemu o
naxoΩdenyy uslovyj na ves w, pry kotor¥x alhebrayçeskye mnohoçlen¥ plot-
n¥ v prostranstve Cw
0
. S tex por πta problema y ee razlyçn¥e obobwenyq ys-
sledovalys\ vo mnohyx rabotax, hde b¥la v¥qvlena ee vaΩnost\ y ustanovlena
ee tesnaq svqz\ s rqdom hlubokyx voprosov obwej teoryy funkcyj (sm. [4,
6 – 9]). V nastoqwee vremq yzvestno neskol\ko reßenyj πtoj problem¥:
N.<Y.<Axyezera y S.<N. Bernßtejna [10], S. N. Merhelqna [4] y Luy de BranΩa
[11]. Pry πtom sleduet otmetyt\, çto upomqnut¥j rezul\tat Luy de BranΩa
[11] v 1996 h. b¥l uluçßen M. Sodyn¥m y P. Gdytskym [12].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA O PLOTNOSTY … 869
Nastoqwaq stat\q posvqwena yzuçenyg banaxova prostranstva Bw
0
, qvlqg-
wehosq popolnenyem normyrovannoho prostranstva Nw
0
, assocyyrovannoho s
polunormyrovann¥m prostranstvom Cw
0
, pry proyzvol\nom vese w ∈ W+ ( R ).
Prymenenye poluçennoho rezul\tata pry w ∈ W * ( R ) daet dopolnenye k teore-
me S. N. Merhelqna [4] (teorema 7), posvqwennoj reßenyg upomqnutoj proble-
m¥ S. N. Bernßtejna.
Dlq proyzvol\noj funkcyy w ∈ W+ ( R ) çerez Nw
0
oboznaçym normyrovan-
noe prostranstvo, assocyyrovannoe s polunormyrovann¥m prostranstvom
Cw
0 ( )R . V sootvetstvyy s vvedenn¥my ranee oboznaçenyqmy pomymo normyro-
vannoho prostranstva C Sw w
0 ( ) rassmotrym takΩe normyrovannoe prostranstvo
C Sw w Sw
0 ( )� : =
f f C SS w w ww
� ∈ ( ){ } ⋅( )0 , .
Tohda prostranstvo Nw
0
moΩet b¥t\ opysano sledugwymy sootnoßenyqmy:
Nw
0 � C Sw w
0 ( ) � C Sw w Sw
0 ( )� ∀ w ∈ W+ ( R ). (3)
Dlq opysanyq banaxova prostranstva Bw
0
, qvlqgwehosq popolnenyem pros-
transtva Nw
0
, nam potrebuetsq sledugwee opredelenye, kotoroe odnovremenno
soderΩyt v sebe utverΩdenye o tom, çto opredelqemoe tam prostranstvo Bw
0
qvlqetsq banaxov¥m.
Opredelenye 1. Pust\ w ∈ W+ ( R ). Banaxov¥m prostranstvom Bw
0
, as-
socyyrovann¥m s polunormyrovann¥m prostranstvom Cw
0 ( )R , budem naz¥vat\
snabΩennoe normoj
|| f ||w : = sup ( ) ( )
x Sw
w x f x
∈
lynejnoe prostranstvo funkcyj f : Sw → R , udovletvorqgwyx sledugwym
uslovyqm:
1) funkcyq f qvlqetsq neprer¥vnoj na mnoΩestve
E1 / δ ( w ) : = w( ) ,− + ∞[ )( )1 δ = x w x∈ ≥{ }R ( ) δ (4)
dlq proyzvol\noho δ > 0;
2) lim ( ) ( )
( )w x
w x f x
→0
= 0, t. e.
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x w x∈ < <{ }R 0 ( ) δ ⊆ x S w x f xw∈ <{ }( ) ( ) ε ; (5)
3) w x f x( ) ( ) → 0, kohda x ∈ Sw y | x | → ∞.
Zametym, çto v sluçae, kohda lim ( )x w x→∞ = 0, tret\e svojstvo opredele-
nyq 1 sleduet yz vtoroho y poπtomu moΩet b¥t\ opuweno v πtom opredelenyy.
V sledugwej teoreme ustanavlyvaetsq, çto vvedennoe v opredelenyy 1 ba-
naxovo prostranstvo Bw
0
dejstvytel\no qvlqetsq popolnenyem prostran-
stva<< Nw
0
.
Teorema 1. Pust\ w ∈ W+ ( R ). Lynejn¥j operator
T : Cw
0 ( )R → Bw
0
,
opredelenn¥j formuloj
T f : =
f Sw
� ∀ f ∈ Cw
0 ( )R ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
870 A. H. BAKAN
qvlqetsq yzometryçeskym operatorom plotnoho vloΩenyq polunormyrovanno-
ho prostranstva Cw
0 ( )R v banaxovo prostranstvo Bw
0
, t. e.:
1) || T f ||w = || f ||w ∀ f ∈ Cw
0 ( )R ;
2) T Cw
0 ( )R( ) qvlqetsq plotn¥m podmnoΩestvom banaxova prostranstva
Bw
0
. Krome toho, mnoΩestvo T Cw
0 ( )R( ) sostoyt yz vsex tex funkcyj f ∈ Bw
0
,
kotor¥e mohut b¥t\ prodolΩen¥ do neprer¥vnoj na Sw funkcyy.
Teorema 1 daet vozmoΩnost\ dokazat\ takye utverΩdenyq.
Sledstvye 1. Pust\ w ∈ W+ ( R ).
1. Cw
0 ( )R qvlqetsq normyrovann¥m prostranstvom tohda y tol\ko tohda,
kohda
Sw = R.
2. Sledugwye utverΩdenyq πkvyvalentn¥:
2a) Cw
0 ( )R qvlqetsq banaxov¥m prostranstvom; 2b) Bw
0 = Cw
0 ( )R ;
2c) Sw = R y Bw
0 ⊆ C ( R ); 2d) inf ( )
,x R R
w x
∈ −[ ]
> 0 ∀ R > 0.
3. Sledugwye utverΩdenyq πkvyvalentn¥:
3a) Nw
0
qvlqetsq banaxov¥m prostranstvom; 3b)
Cw Sw
0 ( )R � = Bw
0
;
3c) Sw = Sw y Bw
0 ⊆ C ( Sw ); 3d)
inf ( )
,x S R Rw
w x
∈ −[ ]∩
> 0 ∀ R > 0,
hde inf ∅ : = + ∞.
Sledstvye 2. Pust\ w ∈ B+ ( R ) y M qvlqetsq plotn¥m podmnoΩest-
vom polunormyrovannoho prostranstva Cw
0 ( )R . Funkcyq g : Sw → R moΩet
b¥t\ pryblyΩena πlementamy mnoΩestva M po norme || ⋅ ||w , t. e.
∀ ε > 0 ∃ mε ∈ M : w x g x m x( ) ( ) ( )− ε < ε ∀ x ∈ Sw (6)
tohda y tol\ko tohda, kohda suwestvuet G ∈ BMw
0 takoe, çto
G Sw
� = g.
V teoreme 7 yz [4] S. N. Merhelqn dokazal, çto dlq lgboj funkcyy
w ∈ W * ( R ) lybo alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ( R ) plotn¥ v polunormyro-
vannom prostranstve Cw
0 ( )R , lybo ymy moΩno pryblyzyt\ po norme || ⋅ ||w
tol\ko te funkcyy f : Sw → R, kotor¥e s oblasty svoeho operedelenyq Sw mo-
hut b¥t\ prodolΩen¥ na vsg kompleksnug ploskost\ kak cel¥e funkcyy my-
nymal\noho πksponencyal\noho typa. ∏tot klass cel¥x funkcyj b¥l pol-
nost\g opysan Y. Xaçatrqnom [13]. Sledugwaq teorema qvlqetsq hlavn¥m re-
zul\tatom stat\y y daet polnoe opysanye vsex funkcyj, kotor¥e mohut b¥t\
approksymyrovan¥ alhebrayçeskymy mnohoçlenamy po norme || ⋅ ||w v sluçae,
kohda πty mnohoçlen¥ plotn¥ v polunormyrovannom prostranstve Cw
0 ( )R . Ta-
kym obrazom, πta teorema dopolnqet ukazannug teoremu S. N. Merhelqna [4]
(teorema 7).
Teorema 2. Pust\ w ∈ B+ ( R ) udovletvorqet uslovyg
sup ( )
x
nx w x
∈R
< ∞, n = 0, 1, … , (7)
Mw qvlqetsq verxnej funkcyej Bπra dlq w y alhebrayçeskye mnohoçlen¥
P ( R ) plotn¥ v polunormyrovannom prostranstve Cw
0 ( )R .
Tohda funkcyq f : Sw → R moΩet b¥t\ approksymyrovana alhebrayçeskymy
mnohoçlenamy po norme || ⋅ ||w , t. e.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA O PLOTNOSTY … 871
∃ Pn n{ } ≥1 ⊂ P ( R ) : lim sup ( ) ( ) ( )
n x S
n
w
w x P x f x
→∞ ∈
− = 0
tohda y tol\ko tohda, kohda πta funkcyq moΩet b¥t\ prodolΩena na mno-
Ωestvo SMw
kak funkcyq f : SMw
→ R , udovletvorqgwaq sledugwym
uslovyqm:
1) dlq lgboho m ≥ 1 funkcyq f qvlqetsq neprer¥vnoj na zamknutom
mnoΩestve x M x
mw∈ ≥{ }R ( )
1
;
2) lim ( ) ( )
( )M x
w
w
M x f x
→
⋅
0
= 0, t. e. dlq lgboho ε > 0 suwestvuet δ > 0 ta-
koe, çto
x M xw∈ < <{ }R 0 ( ) δ ⊆ x S M x f xM ww
∈ ⋅ <{ }( ) ( ) ε .
Esly mnoΩestvo Sw ohranyçeno, to uslovye (7) v¥polnqetsq y sohlasno teo-
reme Vejerßtrassa alhebrayçeskye mnohoçlen¥ P ( R ) plotn¥ v Cw
0 ( )R . Poπ-
tomu dlq proyzvol\noho vesa w ∈ B+ ( R ) s ohranyçenn¥m Sw uslovyq 1 y 2 teo-
rem¥ 2 dagt vesovoj analoh teorem¥ Vejerßtrassa ob approksymacyy alhebra-
yçeskymy mnohoçlenamy. Sleduet otmetyt\ pry πtom, çto dlq vesa w ( x ) =
= 1 2
1 1− ⋅ −[ ]x xχ , ( ) uslovyq 1 y 2 teorem¥ 2 πkvyvalentn¥ uslovyqm
f ∈ C ( ( – 1, 1 ) ) y lim ( )x x f x→ − ⋅1
21 = 0. ∏tot fakt yzvesten y b¥l poluçen
v rabote [14], hde v sootvetstvyy s πtymy dvumq uslovyqmy vveden¥ podprost-
ranstva yzvestn¥x prostranstv B
r
.
2. Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Snaçala dokaΩem spravedlyvost\ sootno-
ßenyj (3) y tot fakt, çto prostranstvo Bw
0
yz opredelenyq 1 qvlqetsq banaxo-
v¥m. Vsgdu nyΩe budem yspol\zovat\ sledugwye oboznaçenyq:
I : = [ – 1, 1 ], J : = ( – ∞, – 1 ) ∪ ( 1, + ∞ ),
(8)
IR : = R ⋅ I, JR : = R ⋅ J, R > 0.
2.1. Dokazatel\stvo sootnoßenyj (3). Zafyksyruem proyzvol\nug
funkcyg w ∈ W+ ( R ). Oçevydno, çto
f S ww
� = || f ||w ∀ f ∈ C Sw( ),
(9)
f S ww
� = f S ww
� = || f ||w ∀ f ∈ Cw
0 ( )R .
Poπtomu yz opredelenyj prostranstv C Sw w
0 ( ) y C Sw w Sw
0 ( )� neposredstvenno
sleduet, çto lynejnoe otobraΩenye U : C Sw w
0 ( ) →
C Sw w Sw
0 ( )� , opredelennoe
formuloj U ( f ) : = f Sw
� , udovletvorqet oboym uslovyqm lynejnoj yzometryç-
nosty a) y b) p. 1.1, y, znaçyt, C Sw w
0 ( ) �
C Sw w Sw
0 ( )� .
Dlq toho çtob¥ dokazat\ yzometryçnost\ prostranstv Nw
0
y C Sw w
0 ( ) , zame-
tym, çto v sootvetstvyy s opredelenyqmy p. 1.1 πlementamy prostranstva Nw
0
qvlqgtsq mnoΩestva π ( f ) = f + N
Cw
0 , hde f ∈ Cw
0
y
N
Cw
0 = ϕ ϕ∈ = ∀ ∈{ }C x x Sw( ) ( )R 0 ≡ ϕ ϕ∈ = ∀ ∈{ }C x x Sw( ) ( )R 0 .
Poπtomu
( )f Sw
+ ϕ � =
f Sw
� dlq vsex f ∈ Cw
0
, ϕ ∈ N
Cw
0 y, znaçyt, formula
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
872 A. H. BAKAN
V ( π ( f ) ) =
f Sw
� ∀ f ∈ Cw
0
opredelqet lynejnoe otobraΩenye V prostranstva Nw
0
v prostranstvo
C Sw w
0 ( ) , kotoroe na osnovanyy (9) udovletvorqet uslovyg lynejnoj yzometryç-
nosty b) p. 1.1:
V f wπ( )( ) = || f ||w ≡ π( )f Nw
0 ∀ f ∈ Cw
0
.
Ostalos\ pokazat\ spravedlyvost\ ravenstva V Nw
0( ) = C Sw w
0 ( ) , t. e. çto dlq
proyzvol\noj funkcyy F ∈ C Sw w
0 ( ) suwestvuet takaq funkcyq f ∈ Cw
0
, çto
f Sw
� = F. ∏tot fakt neposredstvenno sleduet yz obwej teorem¥ Tytce – Ur¥-
sona (sm. [15], hl. 2, § 1, p. 8), sohlasno kotoroj neprer¥vnug na zamknutom mno-
Ωestve Sw funkcyg F moΩno neprer¥vno prodolΩyt\ na vsg prqmug do
funkcyy f ∈ C ( R ), kotoraq v sylu ravenstv w ( x ) f ( x ) = 0 ∀ x ∈ R \ Sw budet
prynadleΩat\ takΩe prostranstvu Cw
0
.
Ytak, pomymo yzometryçnosty prostranstv Nw
0
, C Sw w
0 ( ) y C Sw w Sw
0 ( )� m¥
dokazaly sledugwye ravenstva lynejn¥x prostranstv:
Cw Sw
0� = C Sw w
0 ( ) , Cw Sw
0� = C Sw w Sw
0 ( )� . (10)
2.2. Dokazatel\stvo banaxovosty prostranstva Bw
0
. Dlq proyzvol\noj
funkcyy f ∈ Bw
0
y ε = 1 moΩno najty takoe R > 0 v uslovyy 3 opredelenyq 1
y δ > 0 v (5), çto
w f C JR
⋅ ( ) ≤ 1, w f C w⋅ − ( )( )( ) ( , )1 0 δ ≤ 1.
Poskol\ku funkcyq w qvlqetsq pn. sv., dlq lgboho δ ∈ ( 0, 1 ] mnoΩestvo
E w1/δ ( ) zamknuto (sm. [16]), y poπtomu mnoΩestvo
Sw \ J wR ∪ ( ) ( , )− ( )[ ]1 0 δ = IR ∩ E w1/δ ( )
qvlqetsq kompaktom, na kotorom funkcyq f ravnomerno ohranyçena vvydu us-
lovyq 1 opredelenyq 1. Takym obrazom,
|| f ||w < ∞ ∀ f ∈ Bw
0
,
otkuda nesloΩno poluçyt\, çto prostranstvo Bw
0
qvlqetsq lynejn¥m normy-
rovann¥m.
Rassmotrym teper\ proyzvol\nug fundamental\nug posledovatel\nost\
fn n{ } ≥1 ⊂ Bw
0
, t. e.
∀ ε > 0 ∃ nε ≥ 1 : w x f x f xn m( ) ( ) ( )− < ε ∀ x ∈ Sw , n, m ≥ nε . (11)
Poskol\ku pry kaΩdom x ∈ Sw posledovatel\nost\ f xn n( ){ } ≥1 fundamental\-
na, ona ymeet predel, kotor¥j oboznaçym f ( x ). Perexodq pry proyzvol\nom, no
fyksyrovannom x ∈ Sw k predelu v (11) pry m → ∞, poluçaem
∀ ε > 0 ∃ nε ≥ 1 : w x f x f xn( ) ( ) ( )− < ε ∀ x ∈ Sw , n ≥ nε . (12)
DokaΩem, çto f ∈ Bw
0
. Dlq proyzvol\noho δ > 0 : w ( x ) ≥ δ ∀ x ∈ E w1/δ ( ) , y po-
πtomu yz (12) budem ymet\ ravnomernug sxodymost\ na mnoΩestve E w1/δ ( ) po-
sledovatel\nosty neprer¥vn¥x na πtom mnoΩestve funkcyj
fn E w�
1 / δ ( ) ∈
∈ C E w1/( )δ ( ) , n ≥ 1, k funkcyy
f E w�
1 / δ ( ). Sohlasno yzvestnoj teoreme (sm.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA O PLOTNOSTY … 873
[15], hl. 1, § 4, p. 7) πto oznaçaet neprer¥vnost\ funkcyy f na mnoΩestve
E w1/δ ( ) , t. e. f udovletvorqet pervomu uslovyg opredelenyq 1. Spravedly-
vost\ uslovyj 2 y 3 opredelenyq 1 lehko v¥vodytsq yz (12). Takym obrazom, Bw
0
qvlqetsq banaxov¥m prostranstvom.
2.3. Dokazatel\stvo. Ravenstvo 1 teorem¥ 1 neposredstvenno sleduet yz
opredelenyj operatora T y polunorm¥ || ⋅ ||w .
DokaΩem, çto T Cw
0( ) ⊆ Bw
0
, hde
T Cw
0( ) =
f f CS ww
� ∈{ }0 = :
Cw Sw
0� .
Esly f ∈ Cw
0
y g =
f Sw
� , to uslovyq 1 y 3 opredelenyq 1 dlq funkcyy g, oçe-
vydno, v¥polnqgtsq. DokaΩem, çto g udovletvorqet uslovyg 2 opredelenyq
1. Po proyzvol\nomu ε > 0 v sylu svojstva 3 opredelenyq 1 moΩno najty takoe
R ( ε ) > 0, çto
wg C S Jw R∩ ( )ε( ) < ε. Oboznaçym
C ( ε ) : = g C S Jw R∩ ( )ε( ) ≤ f C S Jw R∩ ( )ε( ) < ∞.
Tohda dlq δε := ε / C ( ε ) > 0 na osnovanyy toho, çto wg C w IR
( )
( ),− ( )( )( )1 0 δε ε∩ <
< δε C ( ε ) = ε y w( ) ,− ( )( )1 0 δε ∩ JR( )ε ⊂ Sw ∩ JR( )ε , budem ymet\
wg C w( ) ,− ( )( )( )1 0 δε
< ε,
çto y oznaçaet spravedlyvost\ svojstva 2 opredelenyq 1 dlq funkcyy g. Ta-
kym obrazom, s uçetom ravenstva (10)
T Cw
0( ) ≡ Cw Sw
0� = C Sw w S w
0 ( )� ⊆ Bw
0
. (13)
Esly f ∈ C S w( ) y f S w
� ∈ Bw
0
, to yz svojstva 3 opredelenyq 1 y ravenstva nulg
funkcyy w na mnoΩestve S w \ Sw sleduet, çto f ∈ C Sw w
0 ( ) , t.<e. v sylu (13)
f S w
� ∈ T Cw
0( ). Takym obrazom, mnoΩestvo T Cw
0( ) dejstvytel\no sostoyt yz
tex funkcyj f ∈ Bw
0
, kotor¥e moΩno prodolΩyt\ do neprer¥vnoj na S w
funkcyy. Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ 1 ostalos\ pokazat\, çto
Cw S w
0� plotno v banaxovom prostranstve Bw
0
.
Rassmotrym proyzvol\n¥e ε > 0, f ∈ Bw
0
y dokaΩem suwestvovanye takoj
funkcyy fε ∈ Cw
0
, çto f f w− ε ≤ 2 ε. Svojstvo 2 opredelenyq 1 daet voz-
moΩnost\ najty takoe natural\noe çyslo m, çto
x w x
m
∈ < <{ }R 0
1
( ) ⊆ x S w x f xw∈ <{ }( ) ( ) ε ,
(14)
m > ε
–
1
|| f ||w , Em ≠ ∅,
hde yspol\zovano oboznaçenye (sm. (4)) Ep : = Ep ( w ) = x w x
p
∈ ≥
R ( )
1
, p ≥ 1.
Poskol\ku f qvlqetsq neprer¥vnoj na zamknutom mnoΩestve E
m2 funkcy-
ej, m¥ moΩem neprer¥vno prodolΩyt\ ee na vsg prqmug metodom dokazatel\-
stva lemm¥ 2 yz [17] (hl. I◊, § 4) do funkcyy fε ∈ C ( R ). Ymenno, rassmotrym
otkr¥toe mnoΩestvo R \ E
m2 , kotoroe sostoyt yz koneçnoho yly sçetnoho çys-
la neperesekagwyxsq yntervalov ( ak , bk ). Funkcyg fε polahaem ravnoj f na
mnoΩestve E
m2 y lynejnoj na kaΩdom ohranyçennom yntervale [ ak , bk ]. Esly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
874 A. H. BAKAN
Ωe odno yz çysel ak , bk beskoneçno, t. e. ynterval vyda ( – ∞, b ) yly ( a, + ∞ )
qvlqetsq çast\g mnoΩestva R \ E
m2 , to polahaem
fε ( b – x ) : =
x f b x
x
( ), , ,
, ,
∈( )
≥
0 1
0 1
fε ( a + x ) : =
x f a x
x
( ), , ,
, ,
∈( )
≥
0 1
0 1
(15)
sootvetstvenno. V lemme 2 yz [17] (hl. I◊, § 4) dokazano, çto na kaΩdom koneç-
nom yntervale IR , R > 0 , funkcyq fε qvlqetsq neprer¥vnoj. Poπtomu
fε ∈ C ( R ). PokaΩem, çto na samom dele fε ∈ Cw
0
. Yspol\zuq svojstvo 3 oprede-
lenyq 1, po proyzvol\nomu ρ > 0 najdem dva takyx poloΩytel\n¥x çysla rρ
+
,
rρ
−
, çto w x f x( ) ( ) < ρ dlq lgboho | x | ≥ min r rρ ρ
+ −{ }, y ny odno yz çysel rρ
+
,
– rρ
−
ne prynadleΩyt nykakomu ohranyçennomu yntervalu ( ak , b k ) y ( ak ,
ak + 1 ), esly bk = + ∞, y ( bk – 1, bk ), esly a k = – ∞. Pust\ | x | ≥ rp : =
: = max ,r rρ ρ
+ −{ } . Esly x ∈ E
m2 , to w x f x( ) ( )ε = w x f x( ) ( ) < ρ. Esly Ωe
x ∈ ( ak , b k ), to v sylu opredelenyq (15) funkcyy fε na polubeskoneçnom
yntervale lybo w x f x( ) ( )ε = 0, lybo ( ak , bk ) ⊂ − ∞ −( )−, rρ ∪ rρ
+ + ∞( ), , y,
polahaq f ( ± ∞ ) : = 0, ymeem
w x f x( ) ( )ε ≤
f x
m
ε ( )
2 ≤ max
( )
,
( )f a
m
f b
m
k k
2 2
≤
≤ max ( ) ( ) , ( ) ( )w a f a w b f bk k k k{ } < ρ.
Takym obrazom, lim ( ) ( )x w x f x→∞ ε = 0, y, znaçyt, prynadleΩnost\ fε ∈ Cw
0
dokazana.
DokaΩem teper\, çto
|| f – fε ||w ≤ 2 ε. (16)
Yz opredelenyq funkcyy fε sleduet
|| f – fε ||w = w f f C S Ew m
( ) \− ( )ε 2
≤ w f C S Ew m
\ 2( ) + w f C S Ew m
ε \ 2( ).
No dlq vsex x ∈ S Ew m
\ 2 0 < w ( x ) < 1 / m
2 < 1 / m, otkuda v sylu vloΩenyq (14)
w x f x( ) ( ) < ε, y, znaçyt,
|| f – fε ||w ≤ ε + w f C S Ew m
ε \ 2( ).
Takym obrazom, dlq spravedlyvosty neravenstva (16) dostatoçno dokazat\ nera-
venstvo
w f C S Ew m
ε \ 2( ) ≤ ε. (17)
Neravenstvo (17) oçevydno, esly E
m2 = R. Pust\ R \ E
m2 ≠ ∅. V sylu v¥bora
(14) çysla m E
m2 ⊃ Em ≠ ∅. Rassmotrym proyzvol\n¥j x ∈ R \ E
m2 . Tohda
x ∈ ( a, b ) ⊂ R \ E
m2 , hde ( a, b ) — odyn yz tex neperesekagwyxsq yntervalov, v
vyde obæedynenyq kotor¥x predstavlqetsq otkr¥toe mnoΩestvo R \ E
m2 , pry-
çem yz E
m2 ≠ ∅ sleduet, çto ( a, b ) ≠ R. PoloΩym, kak y v¥ße, f ( ± ∞ ) : = 0.
Lynejnost\ funkcyy fε na otrezke ( a, b ) daet vozmoΩnost\ zapysat\
w x f x( ) ( )ε ≤
f x
m
ε ( )
2 ≤ max
( )
,
( )f a
m
f b
m2 2
. (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA O PLOTNOSTY … 875
Pust\ c oboznaçaet odnu yz toçek a, b y c qvlqetsq koneçnoj, t. e. c ∈ { a,
b } ∩ R ⊂ E
m2 . V sluçae, kohda c ∈ E E
m m2 \ , 1 / m
2 ≤ w ( c ) < 1 / m, y yz vlo-
Ωenyq (14) poluçaem | f ( c ) | / m
2 ≤ w ( c ) | f ( c ) | < ε. Esly Ωe c ∈ Em , to 1 / m
2 ≤
≤ w ( c ) / m, y v sylu neravenstva (14) dlq çysla m | f ( c ) | / m
2 ≤ w ( c ) | f ( c ) | / m ≤
≤ || f ||w / m < ε. Ytak, s uçetom neravenstv (18) w ( x ) | fε ( x ) | < ε dlq lgboho
x ∈ R \ E
m2 . Poπtomu neravenstvo (17) verno y osnovnoe utverΩdenye (16) doka-
zano. Takym obrazom,
Cw Sw
0� plotno v banaxovom prostranstve Bw
0
, çto y za-
verßaet dokazatel\stvo teorem¥ 1.
3. Dokazatel\stvo sledstvyq 1. 3.1. Vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. V
sledugwem utverΩdenyy ustanavlyvaetsq suwestvovanye πlementov banaxova
prostranstva Bw
0
s osob¥my svojstvamy v sluçae, kohda mnoΩestvo Sw ne qv-
lqetsq zamknut¥m.
Lemma 1. Pust\ w ∈ W+ ( R ) y dlq nekotoroho R > 0
inf ( )
,x R R Sw
w x
∈ −[ ]∩
= 0. (19)
Tohda suwestvugt takaq toçka x0 ∈ [ – R, R ] y funkcyq F ∈ Bw
0
, çto
F C S x xw ∩ ( , )0 0− +( )δ δ = + ∞ ∀ δ > 0. (20)
Dokazatel\stvo. Sohlasno uslovyg lemm¥ moΩno najty x0 ∈ [ – R, R ] y
takug posledovatel\nost\ xn n{ } ≥0 ⊂ Sw , çto limn nx→∞ = x0 , lim ( )n nw x→∞ =
= 0 y posledovatel\nosty 1 / λn : = w ( xn ), | xn – x0 |, n ≥ 0, qvlqgtsq ub¥vag-
wymy. Vvedem oboznaçenye (sm. (4)) E λ : = E λ ( w ) = x w x∈ ≥{ }R ( ) \1 λ .
Poskol\ku xn + 1 ∈ R \ E
nλ , n ≥ 0, moΩno najty takug posledovatel\nost\
δn n{ } ≥1 poloΩytel\n¥x çysel, çto xn + δn ⋅ ( – 1, 1 ) ⊂ R \ E
nλ −1
∀ n ≥ 1 y mno-
Ωestva x In n n+ ⋅{ } ≥δ 1 ne peresekagtsq druh s druhom. Rassmotrym funkcyg
vyda
F ( x ) : =
k
k k x
≥
−∑
1
1λ α ( ), αk ( x ) : = 1− −
−
x x x xk
k
I
k
kδ
χ
δ
, k ≥ 1.(21)
Funkcyq F ymeet svojstvo (20), tak kak pry proyzvol\nom natural\nom k
F ( xk ) = λk−1 y limk k→∞ λ = + ∞.
PokaΩem teper\, çto F ∈ Bw
0
. Poskol\ku xn + 1 + p + δn + 1 + p ⋅ ( – 1, 1 ) ⊆
⊆ R \ E
n pλ +
⊆ R \ E
nλ ∀ n, p ≥ 0, dlq kaΩdoho natural\noho n
F x E
n
( )�
λ
=
k
n
k k Ex
n=
−∑
1
1λ α
λ
( )� ∈ C E
nλ( ) . (22)
Tak kak dlq lgboho δ > 0 suwestvuet takoj nomer n, çto λn > 1 / δ, yz
E w1/δ( ) ⊂ E
nλ y svojstva (22) poluçym neprer¥vnost\ F na mnoΩestve
E w1/δ( ) . Poπtomu svojstvo 1 opredelenyq 1 dlq funkcyy F v¥polnqetsq.
Svojstvo 3 opredelenyq 1 dlq funkcyy F v¥polnqetsq takΩe vvydu ohrany-
çennosty mnoΩestva SF .
Ostalos\ dokazat\ spravedlyvost\ svojstva 3 opredelenyq 1 dlq funkcyy
F. Zametym, çto dlq proyzvol\noho natural\noho k
w ( x ) αk ( x ) ≤
1
1λ
α
k
k x
−
( ) ∀ x ∈ R,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
876 A. H. BAKAN
y poπtomu pry kaΩdom n ≥ 1 neravenstvo 0 < w ( x ) < 1 / λn vleçet
w ( x ) | F ( x ) | ≤
k
k
k
k
n
x
≥ −
−∑
1 1
11α
λ
λ
λ
( )min , ≤
1
λn
.
V¥byraq po proyzvol\nomu ε > 0 nomer n tak, çtob¥ 1/ λn < ε, moΩno dlq
v¥polnenyq vloΩenyq (5) poloΩyt\ δ = 1 / λn .
Lemma 1 dokazana.
Narqdu s polunormyrovann¥m prostranstvom Cw
0
budem rassmatryvat\
normyrovann¥e prostranstva
Cw S w
0� : =
f f CS w ww
� ∈{ } ⋅( )0 , ,
Cw Sw
0� : =
f f CS w ww
� ∈{ } ⋅( )0 , .
Lemma 2. Pust\ w ∈ W+ ( R ). Tohda dlq utverΩdenyj:
1) odno yz prostranstv Cw
0
,
Cw Sw
0� ,
Cw Sw
0� qvlqetsq banaxov¥m;
2) Bw
0
= Cw Sw
0� ;
3)
inf ( )
,x R R Sw
w x
∈ −[ ]∩
> 0 ∀ R > 0;
4) Sw = Sw
spravedlyv¥ sledugwye ymplykacyy:
1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4).
Dokazatel\stvo. 1) ⇒ 2). Sohlasno teoreme 1 Cw Sw
0� ⊂ Bw
0
. Predpolo-
Ωym, çto suwestvuet funkcyq F ∈ B Cw w Sw
0 0\ � . Tohda sohlasno teoreme 1 su-
westvuet takaq posledovatel\nost\ fn n{ } ≥1 ⊂ Cw
0
, çto limn n wF f→∞ − = 0.
Posledovatel\nosty fn n{ } ≥1,
fn S nw
�{ } ≥1
y fn S nw
�{ } ≥1
budut fundamental\-
n¥ v prostranstvax Cw
0
, Cw Sw
0� y
Cw Sw
0� sootvetstvenno y ne budut ymet\ v so-
otvetstvugwem prostranstve predela. Poπtomu kaΩdoe yz upomqnut¥x pros-
transtv ne budet poln¥m y, znaçyt, ne budet banaxov¥m. Poluçennoe protyvo-
reçye dokaz¥vaet ravenstvo Bw
0
=
Cw Sw
0� .
2) ⇒ 3) ⇒ 4). PredpoloΩym, çto x0 ∈ S Sw w\ ≠ ∅. Tohda suwestvuet takaq
posledovatel\nost\ xn n{ } ≥0 ⊂ Sw , çto limn nx→∞ = x0 y lim ( )n nw x→∞ = 0.
∏to oznaçaet, çto (3) neverno, t. e. v¥polnqetsq (19). Poπtomu v sylu lemm¥ 1
B Cw w Sw
0 0\ � ≠ ∅. Poluçenn¥e protyvoreçyq dokaz¥vagt trebuem¥e ymplykacyy
y zaverßagt dokazatel\stvo lemm¥ 2.
3.2. Dokazatel\stvo sledstvyq 1. Spravedlyvost\ pervoho utverΩdenyq
sledstvyq 1 sleduet yz opredelenyq || ⋅ ||w .
3.2.1. Ymplykacyq 2b) ⇒ 2a) oçevydna.
2a) ⇒ 2b). Poskol\ku Cw
0
qvlqetsq, v çastnosty, normyrovann¥m prostran-
stvom, sohlasno pervomu utverΩdenyg lemm¥ 2 Sw = R, otkuda s uçetom vto-
roho y çetvertoho utverΩdenyj lemm¥ 2 sleduet spravedlyvost\ uslovyq<2b).
2c) ⇒ 2b). Yz Sw = R y teorem¥ 1 sleduet Cw
0
⊂ Bw
0
. Uslovye Bw
0
⊂ C ( R )
y tret\e uslovye opredelenyq 1 vmeste s Sw = R pokaz¥vagt, çto Bw
0
⊂ Cw
0
.
Poπtomu Bw
0
= Cw
0
, çto y trebovalos\ dokazat\.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
DOPOLNENYE K TEOREME S. N. MERHELQNA O PLOTNOSTY … 877
2b) ⇒ 2c). Uslovye 2b) oznaçaet, çto Sw = R y Bw
0
= Cw
0
⊂ C ( R ). Poπtomu
uslovye 2c) verno.
2b) ⇒ 2d). Yz 2b) sleduet 2a) y Sw = R, otkuda v sylu tret\eho utverΩdenyq
lemm¥ 2 poluçaem spravedlyvost\ uslovyq 2d).
2d) ⇒ 2c). Esly pry lgbom R > 0 : 1 / λ ( R ) : = inf ( )x IR
w x∈ > 0, to Sw = R y
IR ⊆ E wRλ( )( ) ∀ R > 0. Poπtomu v sylu pervoho uslovyq opredelenyq 1 dlq lg-
boj f ∈ Bw
0
: f ∈ C ( IR ) ∀ R > 0, y, sledovatel\no, Bw
0
⊂ C ( R ), çto y trebova-
los\ dokazat\.
3.2.2. V sylu (3) y (10) Nw
0 � C Sw w
0 ( ) =
Cw Sw
0� . Poπtomu banaxovost\ pros-
transtva Nw
0
πkvyvalentna banaxovosty normyrovannoho prostranstva
Cw Sw
0� .
Takym obrazom, ymplykacyq 3b) ⇒ 3a) oçevydna.
3a) ⇒ 3b). Esly 3a) verno, to prostranstvo
Cw Sw
0� qvlqetsq banaxov¥m y v
sylu vtoroho utverΩdenyq lemm¥ 2 utverΩdenye 3b) verno.
3b) ⇒ 3c), 3b) ⇒ 3d). Yz uslovyq 3b) vvydu utverΩdenyj 3, 4 lemm¥ 2 y
zamknutosty mnoΩestva Sw s uçetom (10) sleduet Bw
0 = Cw Sw
0� = C Sw w
0 ( ) ⊆
⊆ C ( Sw ). Poπtomu uslovyq 3c) y 3d) vern¥.
3c) ⇒ 3b). Esly f ∈ Bw
0
, to sohlasno uslovyg 3s) f ∈ C ( Sw ) . Tohda v sylu
zamknutosty mnoΩestva Sw y uslovyq 3 opredelenyq 1 f ∈ C Sw w
0 ( ) =
( )10
Cw Sw
0� .
Poπtomu Bw
0 ⊂
Cw Sw
0� , otkuda s uçetom (13) sleduet spravedlyvost\ uslo-
vyq<3b).
3d) ⇒ 3c). Pust\ (sm. (8)) 1 / λ ( R ) : = inf ( )x I SR w
w x∈ ∩ > 0 ∀ R ≥ R0 > 0, hde
Sw ∩ IR0 ≠ ∅. Tohda dlq takyx znaçenyj R budem ymet\ IR ∩ Sw ⊆ E wRλ( )( ), y
v sylu zamknutosty mnoΩestva E wRλ( )( ) IR ∩ S w ⊆ E wRλ( )( ) ⊆ Sw . Poπtomu
Sw = S w y v sylu svojstva 1 opredelenyq 1 dlq lgboj funkcyy f ∈ Bw
0
:
f ∈ C ( IR ∩ Sw ) ∀ R > R0 . Takym obrazom, Bw
0 ⊆ C ( Sw ) y uslovye 3c) verno.
Sledstvye 1 dokazano.
4. Dokazatel\stvo sledstvyq 2 y teorem¥ 2. 4.1. Dokazatel\stvo
sledstvyq 2. Kak uΩe otmeçalos\ v p. 1.2, dlq proyzvol\noho vesa w ∈
∈ B+ ( R ) ravenstvo (2) vleçet, v çastnosty,
|| f ||w = f Mw
∀ f ∈ Cw
0( )R . (23)
Esly dlq nekotoroj funkcyy g : Sw → R spravedlyvo sootnoßenye (6), to
dlq ε = 1 / p , p ≥ 1, na osnovanyy (6) m¥ poluçym posledovatel\nost\
m p p1 1/{ } ≥
⊂ Cw
0( )R , sxodqwugsq k g po polunorme || ⋅ ||w. Kak b¥lo dokaza-
no v p. 1.2, Cw
0( )R ≡ CMw
0 ( )R y v sylu (23) posledovatel\nost\ m p p1 1/{ } ≥
⊂
⊂ CMw
0 ( )R budet fundamental\noj v prostranstve CMw
0 ( )R . Tohda sohlasno
(9) y teoreme 1 posledovatel\nost\
m p S
pMw
1
1
/{ }
≥
� qvlqetsq fundamental\-
noj v banaxovom prostranstve BMw
0
y budet ymet\ tam predel G ∈ BMw
0
. Pry
πtom, oçevydno,
G S w
� = g. Neobxodymost\ utverΩdenyq sledstvyq 1 dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
878 A. H. BAKAN
PredpoloΩym teper\, çto dlq nekotoroj funkcyy g : Sw → R suwestvuet
takaq funkcyq G ∈ BMw
0
, çto
G S w
� = g. V sylu teorem¥ 1 y uΩe upomqnutoho
sovpadenyq prostranstv Cw
0( )R y CMw
0 ( )R mnoΩestvo
M�S Mw
budet plotn¥m
v banaxovom prostranstve BMw
0
. Naxodq po zadannomu ε > 0 takoj πlement
mε ∈ M , çto
G m S
wMw
− ε� < ε, m¥ v sylu (9) y neravenstv (1) poluçym spra-
vedlyvost\ sootnoßenyj (6).
Sledstvye 2 dokazano.
4.2. Dokazatel\stvo teorem¥ 2. UtverΩdenye teorem¥ 2 sovpadaet s
utverΩdenyem sledstvyq 2 v sluçae, kohda M qvlqetsq mnoΩestvom vsex al-
hebrayçeskyx mnohoçlenov P ( R ). Pry πtom uslovyq 1 y 2 teorem¥ 2 sovpadagt
sootvetstvenno s uslovyqmy 1 y 2 opredelenyq 1 banaxova prostranstva BMw
0
.
Uslovye 3 opredelenyq 1 v formulyrovke teorem¥ 2 opuweno, tak kak vvydu (7)
ono sleduet yz uslovyq 2.
Teorema 2 dokazana.
1. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: V¥wa ßk.,
1990. – 600 s.
2. Edwards R. E. Functional analysis. – Holt: Rinehart & Winston, 1965. – 1071 p.
3. Kantorovyç L. V., Akylov H. P. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Nauka, 1984. – 750 s.
4. Merhelqn S. N. Vesov¥e pryblyΩenyq mnohoçlenamy // Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11. –
S.<107 – 152.
5. Bernstein S. Le probleme de l’approximation des fonctions continues sur tout l’axe reel at l’une de
ses applications // Bull. Math. France. – 1924. – 52. – P. 399 – 410.
6. Koosis P. The logarithmic integral. I. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. – 350 p.
7. Berg Ch. Moment problems and polynomial approximation // Ann. Fac. Sci. Toulouse, Stiltjes
special issue. – 1996. – P. 9 – 32.
8. Borichev A., Sodin M. The Hamburger moment problem and weighted polynomial approximation
on discrete subsets of the real line // J. Anal Math. – 1998. – 71. – P. 219 – 264.
9. Bakan A. G. Polynomial density in L R dp ( , )1 µ and representation of all measures which generate
a determinate Hamburger moment problem // Approximation, Optimization and Mathematical
Economics / Ed. M. Lassonde. (Pointe-a-Pirte, 1999). – Heidelberg: Physica-Verlag, 2001. –
P. 37 – 46.
10. Axyezer N. Y. O vzveßennom pryblyΩenyy neprer¥vn¥x funkcyj na vsej çyslovoj osy //
Uspexy mat. nauk. – 1956. – 11, # 4. – S. 107 – 152.
11. Branges L. The Bernstein problem // Proc. Amer. Math. Soc. – 1959. – 10. – P. 825 – 832.
12. Sodin M., Yuditskii P. Another approach to de Branges’ theorem on weighted polynomial
approximation // Proc. Ashkelon Workshop Complex Function Theory, Israel Math. Conf. Proc.
(May 1996). – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997. – 11. – P. 221 – 227.
13. Xaçatrqn Y. Vesovaq approksymacyq cel¥x funkcyj nulevoj stepeny polynomamy // Zap.
Xar\k. mat. o-va. Ser. 4. – 1963. – 29. – S. 129 – 142.
14. Leviatan D., Shevchuk I. Some positive results and counterexamples in comonotone
approximation. II // J. Approxim. Theory. – 1999. – 100, # 1. – P. 113 – 143.
15. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 751 s.
16. Xejman U., Kennedy P. Subharmonyçeskye funkcyy. – M.: Myr, 1980. – 304 s.
17. Natanson Y. P. Teoryq funkcyj vewestvennoj peremennoj. – M.: Nauka, 1974. – 480 s.
Poluçeno 18.01.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3649 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:26Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4f/a15afb0f3ccd26e3ec7e87d257a6b64f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36492020-03-18T20:01:15Z Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ Дополнение к теореме С. Н. Мергеляна o плотности алгебраических многочленов в пространстве $C_w^0$ Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. We give a supplement to the theorem on the denseness of polynomials in the space $C_w^0$ established by Mergelyan in 1956 for the case where algebraic polynomials are dense in $C_w^0$. In the case indicated, we give a complete description of all functions that can be approximated by algebraic polynomials in seminorm. До встановленої С. H. Мергеляном у 1956 р. теореми про поліноміальну щільність у просторі $C_w^0$ одержано доповнення у випадку, коли алгебраїчні поліноми є щільними у просторі $C_w^0$. У цьому випадку наведено повний опис усіх функцій, які можуть бути наближені алгебраїчними многочленами у напівнормі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3649 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 7 (2005); 867–878 Український математичний журнал; Том 57 № 7 (2005); 867–878 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3649/4028 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3649/4029 Copyright (c) 2005 Bakan A. G. |
| spellingShingle | Bakan, A. G. Бакан, А. Г. Бакан, А. Г. Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title | Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_alt | Дополнение к теореме С. Н. Мергеляна o плотности алгебраических многочленов в пространстве $C_w^0$ |
| title_full | Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_fullStr | Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_full_unstemmed | Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_short | Supplement to the Mergelyan Theorem on the Denseness of Algebraic Polynomials in the Space $C_w^0$ |
| title_sort | supplement to the mergelyan theorem on the denseness of algebraic polynomials in the space $c_w^0$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3649 |
| work_keys_str_mv | AT bakanag supplementtothemergelyantheoremonthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag supplementtothemergelyantheoremonthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag supplementtothemergelyantheoremonthedensenessofalgebraicpolynomialsinthespacecw0 AT bakanag dopolneniekteoremesnmergelânaoplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 AT bakanag dopolneniekteoremesnmergelânaoplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 AT bakanag dopolneniekteoremesnmergelânaoplotnostialgebraičeskihmnogočlenovvprostranstvecw0 |