Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I
We consider the periodic boundary-value problem $u_{tt} − u_{xx} = g(x, t),\; u(0, t) = u(π, t) = 0,\; u(x, t + ω) = u(x, t)$. By representing a solution of this problem in the form $u(x, t) = u^0(x, t) + ũ(x, t)$, where $u^0(x, t)$ is a solution of the corresponding homogeneous problem and $ũ(x, t)...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3653 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509777031856128 |
|---|---|
| author | Mitropolskiy, Yu. A. Khoma-Mohyl's'ka, S. H. Митропольський, Ю. О. Хома-Могильська, С. Г. |
| author_facet | Mitropolskiy, Yu. A. Khoma-Mohyl's'ka, S. H. Митропольський, Ю. О. Хома-Могильська, С. Г. |
| author_sort | Mitropolskiy, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:15Z |
| description | We consider the periodic boundary-value problem $u_{tt} − u_{xx} = g(x, t),\; u(0, t) = u(π, t) = 0,\; u(x, t + ω) = u(x, t)$. By representing a solution of this problem in the form $u(x, t) = u^0(x, t) + ũ(x, t)$, where $u^0(x, t)$ is a solution of the corresponding homogeneous problem and $ũ(x, t)$ is the exact solution of the inhomogeneous equation such that $ũ(x, t + ω) u_x = ũ(x, t)$, we obtain conditions for the solvability of the inhomogeneous periodic boundary-value problem for certain values of the period ω. We show that the relation obtained for a solution includes known results established earlier. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.944
G. O. Mytropol\s\kyj (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v),
S. H. Xoma-Mohyl\s\ka (Ternopil. akad. nar. hosp-va)
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO}
PERIODYÇNO} ZADAÇI DLQ NEODNORIDNOHO
LINIJNOHO HIPERBOLIÇNOHO RIVNQNNQ
DRUHOHO PORQDKU. I
We consider the boundary-value periodic problem ut t – ux x = g ( x, t ), u ( 0, t ) = u ( π, t ) = 0, u ( x, t +
+ ω ) = u ( x, t ). By representing a solution of this problem in the form u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜( , )u x t ,
where u
0
( x, t ) is a solution of the corresponding homogeneous problem and ˜( , )u x t is the exact
solution of the nonhomogeneous equation such that ˜( , )u x t + ω = ˜( , )u x t , we obtain conditions of
solvability of the boundary-value nonhomogeneous periodic problem for certain values of a period ω.
We show that the obtained solution formula concludes the results established earlier.
Na osnovi zobraΩennq rozv’qzku krajovo] periodyçno] zadaçi ut t – ux x = g ( x, t ), u ( 0, t ) = u ( π, t ) =
= 0, u ( x, t + ω ) = u ( x, t ) u vyhlqdi u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜( , )u x t , de u
0
( x, t ) — rozv’qzok vidpovidno]
odnoridno] zadaçi, a ˜( , )u x t — toçnyj rozv’qzok neodnoridnoho rivnqnnq, takyj, wo
˜( , )u x t + ω = ˜( , )u x t , oderΩano umovy rozv’qznosti krajovo] neodnoridno] periodyçno] zadaçi
dlq konkretnyx znaçen\ periodu ω. Pokazano, wo u znajdenij formuli rozv’qzku mistqt\sq
vidomi raniße rezul\taty.
1. Vstup. Postanovka zadaçi. Pry rozv’qzanni krajovyx zadaç dlq rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy perßoçerhovymy [ pytannq pro vstanovlennq umov ]x
rozv’qznosti ta isnuvannq [dynoho rozv’qzku vkazanyx zadaç [1]. Qk pryklad
moΩna navesty vidomi umovy Íapiro – Lopatyns\koho, wo stosugt\sq rozv’qz-
nosti krajovyx zadaç dlq eliptyçnyx rivnqn\.
Naßa meta polqha[ v tomu, wob provesty povne doslidΩennq umov rozv’qz-
nosti krajovo] periodyçno] zadaçi u ( 0, t ) = u ( π, t ) = 0, u ( x, t + ω ) = u ( x, t ) dlq
linijnoho neodnoridnoho hiperboliçnoho rivnqnnq druhoho porqdku ut t – ux x =
= g ( x, t ) v zaleΩnosti vid znaçennq periodu ω. Wob daty vidpovid\ na zapytan-
nq, wo sponukalo nas zajnqtysq danog problemog, dlq poçatku navedemo dva
riznyx rezul\taty isnuvannq rozv’qzku odnoho i toho Ω nelinijnoho hiperboliç-
noho rivnqnnq ut t – ux x = ε F ( x, t, u ), oderΩani P. Rabinovyçem [2, 3] i çes\kymy
matematykamy O. Vejvodog i M.<Ítedry [4]. Zhidno z rezul\tatom P.<Rabinovy-
ça [2], [dynyj rozv’qzok (navit\ klasyçnyj) nelinijno] krajovo] periodyçno]
zadaçi
ut t – ux x = ε F ( x, t, u ), 0 < x < π, t ∈ R, (1)
u ( 0, t ) = u ( π, t ) = 0, t ∈ R, (2)
u ( 0, t + 2 π ) = u ( x, t ), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, (3)
pry dostatnij hladkosti funkci] F ( x, t, u ) za vsima zminnymy i pry dostatn\o
malomu znaçenni parametra ε zavΩdy zobraΩu[t\sq u vyhlqdi u ( x, t ) = u
0
( x, t ) +
+ ε w ( x, t ), de u
0
( x, t ) — rozv’qzok odnoridnoho rivnqnnq utt
0 – uxx
0 = 0, a w ( x, t )
— rozv’qzok neodnoridnoho rivnqnnq (1). Z inßoho boku, zhidno z rezul\tatom
O.<Vejvody i M.<Ítedry [4], rozv’qzok zadaçi (1) – (3) isnu[ lyße dlq special\-
noho klasu funkcij, a same: A3 = g g x t g x t g x t: ( , ) , ( , )= − +( ) = +{ }/π ω ω2 ,
pryçomu [dynyj rozv’qzok moΩe isnuvaty lyße todi, koly u
0
( x, t ) ≡ 0. Zauva-
Ωymo, wo robota [4] opublikovana u 1984 roci, a rezul\taty P. Rabinovyça — u
1967 i 1969 rokax. Qk ne dyvno, ale u vkazanij roboti O. Vejvody i M. Ítedry
nema[ navit\ posylannq na robotu P. Rabinovyça, a otΩe, nema[ porivnqnnq ot-
© G. O. MYTROPOL|S|KYJ, S. H. XOMA-MOHYL|S|KA, 2005
912 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO} PERIODYÇNO} ZADAÇI … 913
rymanyx rezul\tativ. Pryrodno, vynykagt\ zapytannq: u qkomu Ω vyhlqdi isnu[
[dynyj rozv’qzok krajovo] periodyçno] zadaçi (1) – (3)? A moΩlyvo, spravedly-
vymy [ obydva rezul\taty? Vidpovid\ na nyx dagt\ provedeni namy doslidΩennq.
Slid vidmityty, wo vyvçennq nelinijno] krajovo] periodyçno] zadaçi (1) – (3)
tisno pov’qzane z isnuvannqm [dynoho rozv’qzku vidpovidno] linijno] neodnorid-
no] krajovo] periodyçno] zadaçi
ut t – ux x = g ( x, t ), 0 < x < π, t ∈ R, (4)
u ( 0, t ) = u ( π, t ) = 0, t ∈ R, (5)
u ( x, t + ω ) = u ( x, t ), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, (6)
pry ω = 2 π. Namy vstanovleno, wo special\no vvedeni klasy funkcij Ai , i = 1,
2, 3, O. Vejvody i M. Ítedry [4] [ dodatkovymy umovamy dlq isnuvannq [dynoho
rozv’qzku zadaçi (4) – (6). U cyx klasax funkcij rozv’qzok vidpovidno] odnorid-
no] krajovo] periodyçno] zadaçi
utt
0 – uxx
0 = 0, 0 < x < π, t ∈ R, (7)
u
0
( 0, t ) = u
0
( π, t ) = 0, t ∈ R, (8)
u
0
( x, t + ω ) = u
0
( x, t ), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, (9)
zavΩdy tryvial\nyj ( u
0
( x, t ) ≡ 0, 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R ), u toj ças qk vidomo, wo za-
daça (7) – (9) ma[ nezçyslennu mnoΩynu rozv’qzkiv. Takym çynom, vvedeni v ro-
boti [4] klasy funkcij Ai , i = 1, 2, 3, v qkyx isnu[ [dynyj rozv’qzok qk zadaçi
(4) – (6), tak i zadaçi (1) – (3), vyklgçagt\ pytannq pro rozv’qznist\ odnoridno]
krajovo] periodyçno] zadaçi (7) – (9), a otΩe, rezul\tat P. Rabinovyça [2], na na-
ßu dumku, [ vahomißym, niΩ rezul\tat O. Vejvody i M. Ítedry [4]. Ale zazna-
çymo, wo rezul\tat P. Rabinovyça oderΩano takoΩ dlq special\noho klasu
funkcij, a same, klasu neskinçenno dyferencijovnyx tryhonometryçnyx poli-
nomiv vyhlqdu
k
n
ku t k x=∑ 1
( )sin , i na s\ohodni we ne vstanovleno, kotryj re-
zul\tat mistyt\ bil\ß ßyroku informacig pro rozv’qzky nelinijno] krajovo]
periodyçno] zadaçi (1) – (3), wo magt\ vyhlqd u ( x, t ) = u
0
( x , t ) + ε w ( x, t ), de
u
0
( x, t ) — netryvial\nyj rozv’qzok vidpovidno] odnoridno] zadaçi (7) – (9). Çy,
vzahali kaΩuçy, moΩlyve take zobraΩennq?
2. Çastynni periodyçni rozv’qzky neodnoridnoho linijnoho rivnqnnq
druhoho porqdku. Vvedemo deqki poznaçennq. Prostir funkcij dvox zminnyx x
i t, neperervnyx i obmeΩenyx na [ 0, π ] × R, budemo poznaçaty çerez Cπ . Sym-
volom Ck l
π
,
budemo poznaçaty prostir takyx funkcij u ∈ Cπ , wo D D ut
k
x
l ∈ Cπ .
Poznaçymo çerez Gπ t prostir funkcij dvox zminnyx x i t, neperervnyx i obme-
Ωenyx na [ 0, π ] × R razom iz poxidnog po t. Symvolom Q ω poznaçymo prostir
funkcij g ( x, t ), qki zadovol\nqgt\ na [ 0, π ] × R spivvidnoßennq g ( x, t + ω ) =
= g ( x, t ), tobto Qω — prostir ω-periodyçnyx funkcij po zminnij t. Sgdy bu-
demo vklgçaty i ω-periodyçni funkci] µ = µ ( t ) odni[] zminno]. U podal\ßomu
vykladi<<çerez L ( X, Y) budemo poznaçaty prostir linijnyx i obmeΩenyx vidobra-
Ωen\ X v Y.
Bezposeredn\og perevirkog perekonu[mos\ u spravedlyvosti takyx tver-
dΩen\.
Teorema A [1, 4]. Qkwo g ∈ Gπ t ∩ Qω , to funkciq
˜ ( , )u x t1 = − ∫ ∫
− +
+ −
1
2
0
x
t x
t x
d g dξ ξ τ τ
ξ
ξ
( , ) ≡ ( S1 g )( x, t ) (10)
[ klasyçnym ω-periodyçnym po t rozv’qzkom zadaçi (4), (6).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
914 G. O. MYTROPOL|S|KYJ, S. H. XOMA-MOHYL|S|KA
Teorema B [1, 4]. Qkwo g ∈ Gπ t ∩ Qω , to funkciq
˜ ( , )u x t2 = − ∫ ∫
+ −
− +
1
2
x t x
t x
d g d
π
ξ
ξ
ξ ξ τ τ( , ) ≡ ( S2 g )( x, t ) (11)
[ klasyçnym ω-periodyçnym po t rozv’qzkom zadaçi (4), (6).
Teorema C [1, 4]. Qkwo g ∈ Gπ t ∩ Qω , to funkciq
˜ ( , )u x tH =
1
2 1 2( )( , )S g S g x t+ ≡ ( S g )( x, t ),
de
( S g )( x, t ) = − ∫ ∫
− +
+ −
1
4
0
x
t x
t x
d g dξ ξ τ τ
ξ
ξ
( , ) –
1
4
x t x
t x
d g d
π
ξ
ξ
ξ ξ τ τ∫ ∫
+ −
− +
( , ) , (12)
[ klasyçnym ω-periodyçnym po t rozv’qzkom zadaçi (4), (6).
Krim c\oho, operator S ma[ taki vlastyvosti:
S ∈ L ( Cπ ∩ Qω , Cπ
1 1, ∩ Qω ) , (13)
S ∈ L ( Gπ t ∩ Qω , Cπ
2 2, ∩ Qω ). (14)
Bil\ß toho, qkwo g ∈ Gπ t ∩ A2 = g g x t g x t g x t: ( , ) ( , ) ( , )= − + = +{ }π π π2 , to
funkciq ˜( , )u x t = ( S g )( x, t ) ma[ vlastyvist\ ˜( , )u x tπ π− + = ˜( , )u x t , tobto
( S g )( π – x, t + π ) = ( S g )( x, t ). (15)
ZauvaΩennq 1. OtΩe, na pidstavi teoremy 3 i rivnosti (15) stverdΩu[mo, wo
funkciq
˜( , )u x tπ π− + = ( S g )( π – x, t + π ) ≡ ( S g )( x, t )
pry g ∈ Gπ t ∩ A2 [ takoΩ rozv’qzkom neodnoridnoho rivnqnnq ut t – ux x = g ( x, t )
u klasi 2 π-periodyçnyx funkcij.
3. Umovy rozv’qznosti. Vstanovymo umovy isnuvannq [dynoho rozv’qzku li-
nijno] neodnoridno] krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6) u prypuwenni, wo g ( x,
t + ω ) = g ( x, t ).
Metodom Fur’[ lehko dovodyt\sq, wo zahal\nym rozv’qzkom odnoridno] peri-
odyçno] zadaçi (7), (9) [ funkciq
u
0
( x, t ) = A x + B +
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
1 2cos sin cosν ν ν +
+
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
3 4cos sin sinν ν ν , (16)
de νk = 2 π k / ω, A, B, Ak
1
, Ak
2
, Ak
3
, Ak
4
, k ∈ N, — dovil\ni stali.
Prypustymo, wo vidomyj çastynnyj rozv’qzok ˜( , )u x t neodnoridnoho rivnqn-
nq (4) takyj, wo ˜( , )u x t + ω = ˜( , )u x t .
Vzahali kaΩuçy, taki rozv’qzky dijsno isnugt\ i pry g ∈ Gπ t ∩ Qω zadagt\sq
formulamy (10) – (12), tobto ˜( , )u x t = ˜ ( , )u x t1 ≡ ( S1 g )( x, t ), abo ˜( , )u x t =
= ˜ ( , )u x t2 ≡ ( S2 g )( x, t ), abo ˜( , )u x t = ˜ ( , )u x tH ≡ ( S g )( x, t ).
Teper, vykorystovugçy formulu (16), budemo ßukaty rozv’qzok krajovo] pe-
riodyçno] zadaçi (4) – (6) dlq neodnoridnoho linijnoho rivnqnnq ut t – ux x = g ( x,
t ) u vyhlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO} PERIODYÇNO} ZADAÇI … 915
u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜( , )u x t ≡
≡ A x + B +
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
1 2cos sin cosν ν ν +
+
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
3 4cos sin sinν ν ν + ˜( , )u x t , (17)
de νk = 2 π k / ω, A, B, Ak
i
, i = 1, 2, 3, 4, k ∈ N, — dovil\ni stali, ˜( , )u x t — ças-
tynnyj rozv’qzok neodnoridnoho linijnoho rivnqnnq (4), takyj, wo ˜( , )u x t + ω =
= ˜( , )u x t . Napryklad, vin moΩe vyznaçatys\ odni[g z formul (10) – (12).
Oçevydno, wo rozv’qzok (17) bude [dynym formal\nym rozv’qzkom krajovo]
periodyçno] zadaçi (4) – (6), qkwo pry vraxuvanni krajovyx umov u ( 0, t ) = u ( π,
t ) = 0 systema
B +
k
k k k kA t A t
=
∞
∑ +( )
1
1 3cos sinν ν + ˜( , )u t0 = 0,
A π + B +
k
k k k k kA A t
=
∞
∑ +( )
1
1 2cos sin cosν π ν π ν + (18)
+
k
k k k k kA A t
=
∞
∑ +( )
1
3 4cos sin sinν π ν π ν + ˜( , )u tπ = 0
vidnosno nevidomyx koefici[ntiv A, B, Ak
i
, i = 1, 2, 3, 4, k ∈ N, ma[ [dynyj roz-
v’qzok. Provedemo doslidΩennq systemy (18) v zaleΩnosti vid konkretno vybra-
noho periodu ω i pokaΩemo, wo rqd rezul\tativ, oderΩanyx namy raniße, mis-
tyt\sq u formuli (17).
4. Osnovna teorema. Nexaj νk = 2 π k / ω ∉ Q, k ∈ N, tobto ω ≠ 2 π p / q, p,
q ∈ N.
Prypustymo, wo ω-periodyçni funkci] ˜( , )u t0 i ˜( , )u tπ rozkladagt\sq u
taki rivnomirno zbiΩni rqdy Fur’[:
˜( , )u t0 =
a0
0
2
+
k
k k k ka t b t
=
∞
∑ +( )
1
0 0cos sinν ν , (19)
˜( , )u tπ =
a0
2
π
+
k
k k k ka t b t
=
∞
∑ +( )
1
π πν νcos sin , (20)
de ak
0
, ak
π
, bk
0
, bk
π
— vidomi koefici[nty Fur’[, qki vyznaçagt\sq za
formulamy
ak
0 =
2
0
2
2
2
ω
π
ω
ω
ω
− /
/
∫ ˜( , )cosu t
k
t dt , k = 0, 1, 2, 3, … ,
bk
0 =
2
0
2
2
2
ω
π
ω
ω
ω
− /
/
∫ ˜( , )sinu t
k
t dt , k = 1, 2, 3, … ,
ak
π =
2 2
2
2
ω
π π
ω
ω
ω
− /
/
∫ ˜( , )cosu t
k
t dt , k = 0, 1, 2, 3, … ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
916 G. O. MYTROPOL|S|KYJ, S. H. XOMA-MOHYL|S|KA
bk
π =
2 2
2
2
ω
π π
ω
ω
ω
− /
/
∫ ˜( , )cosu t
k
t dt , k = 1, 2, 3, … .
Osnovna teorema. Nexaj funkci] ˜( , )u t0 i ˜( , )u tπ rozkladagt\sq u rivno-
mirno zbiΩni rqdy Fur’[ (19) i (20). Qkwo νk = 2 π k / ω ne [ racional\nym çys-
lom, tobto νk ∉ Q, k ∈ N, to systema (18) ma[ [dynyj rozv’qzok, a otΩe,
krajova periodyçna zadaça (4) – (6) ma[ [dynyj formal\nyj rozv’qzok.
Dovedennq. Spravdi, pry vykonanni umov osnovno] teoremy, pidstavlqgçy
rqdy (19) i (20) u systemu (18), oderΩu[mo
B = –
a0
0
2
, Ak
1 = – ak
0
, Ak
3 = – bk
0
, k = 1, 2, 3, … ,
A π + B = –
a0
2
π
, Ak k
1 cos ν π + Ak k
2 sin ν π = – ak
π
, (21)
Ak k
3 cos ν π + Ak k
4 sin ν π = – bk
π
, k = 1, 2, 3, … .
Oskil\ky νk ∉ Q, to sin νk π ≠ 0. OtΩe, zhidno z rivnostqmy (21), koefici[n-
ty A, B, Ak
i
, i = 1, 2, 3, 4, k ∈ N, vyznaçagt\sq odnoznaçno, wo j potribno bulo
dovesty.
ZauvaΩennq 2. Dane tverdΩennq osnovno] teoremy davno vidome u literatu-
ri i bulo oderΩane inßymy metodamy [5]. Naßi doslidΩennq sprqmovani na
bil\ß detal\ne vyvçennq umov isnuvannq [dynoho rozv’qzku krajovo] periodyç-
no] zadaçi (4) – (6), i moΩna stverdΩuvaty, wo dlq rozhlqnutoho vypadku
2 π / ω ∉ Q my vperße otrymaly formulu dlq vidßukannq [dynoho formal\no-
ho rozv’qzku ci[] zadaçi u vyhlqdi
u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜( , )u x t ≡
≡ A x + B +
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
1 2cos sin cosν ν ν +
+
k
k k k k kA x A x t
=
∞
∑ +( )
1
3 4cos sin sinν ν ν + ( S g )( x, t ), (22)
de funkciq S g vyznaçena formulog (12), a koefici[nty Ak , B — formula-
my<(21).
5. 2 ππππ-Periodyçni rozv’qzky krajovo] 2 ππππ-periodyçno] zadaçi. Prypusty-
mo, wo ω = 2 π p / q, p = 2 s – 1, q = 2 m – 1, s, m ∈ N, ( p, q ) = 1, de zapys ( p, q ) =
= 1 oznaça[, wo çysla p i q [ vza[mno prostymy.
51. ( ωωωω = 2 ππππ ). Rozhlqnemo çastkovyj vypadok, koly p = q = 1, ω = 2 π. Todi
νk = k, k ∈ N, i systema (18) (rozv’qznosti krajovo] 2 π-periodyçno] zadaçi) naby-
ra[ vyhlqdu
B +
k
k kA kt A kt
=
∞
∑ +( )
1
1 3cos sin + ˜( , )u t0 = 0,
(23)
A π + B +
k
k kA k kt A k kt
=
∞
∑ +( )
1
1 3cos cos cos sinπ π + ˜( , )u tπ = 0.
Oskil\ky rqdy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO} PERIODYÇNO} ZADAÇI … 917
k
k kA kt A kt
=
∞
∑ +( )
1
1 3cos sin
i
k
k kA k kt A k kt
=
∞
∑ +( )
1
1 3cos cos cos sinπ π
zbihagt\sq miΩ sobog pry k = 2 n i nabuvagt\ protyleΩnyx znaçen\ pry k =
= 2 n + 1, to najprostißym vypadkom rozv’qznosti systemy (23) bude vypadok,
koly isnu[ klas funkcij g ( x, t ) pravo] çastyny neodnoridnoho rivnqnnq (4), dlq
qkyx çastynnyj rozv’qzok ˜( , )u x t periodyçno] zadaçi (4) – (6) pry x = 0 i x = π
nabuva[ postijnoho znaçennq, tobto
˜( , )u t0 = const, ˜( , )u tπ = const. (24)
Todi, prypuskagçy, wo vykonugt\sq umovy (24), na pidstavi vlastyvostej rqdiv
Fur’[ iz systemy (23) ma[mo
B = – ˜( , )u t0 , Ak
1 = 0, Ak
3 = 0, k ∈ N, A π + B = – ˜( , )u tπ ,
abo
B = – ˜( , )u t0 , A =
1
0
π
π˜( , ) ˜( , )u t u t−( ), Ak
1 = 0, Ak
3 = 0, k ∈ N. (25)
OtΩe, pry vykonanni umov (24) u vypadku ω = 2 π linijna neodnoridna krajo-
va periodyçna zadaça (4) – (6) ma[ bezliç rozv’qzkiv, qki zadagt\sq formulog
u ( x, t ) =
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )
1
2 4cos sin sin +
+ ˜( , )u x t +
x
u t u t
π
π˜( , ) ˜( , )0 −( ) – ˜( , )u t0 , (26)
de Ak
2
, Ak
4
— dovil\ni stali.
Odnak isnu[ klas 2 π-periodyçnyx funkcij
A2 = g g x t g x t g x t: ( , ) ( , ) ( , )= − + = +{ }π π π2 , (27)
vyznaçenyx na [ 0, π ] × R, dlq qkyx rozv’qzok krajovo] periodyçno] zadaçi (4) –
(6) [dynyj u tomu rozuminni, wo rozv’qzok
u x t1
0( , ) =
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )
1
2 4cos sin sin (28)
vidpovidno] odnoridno] krajovo] periodyçno] zadaçi (7) – (9) pry ω = 2 π u klasi
funkcij A2 [ tryvial\nym.
SpravdΩu[t\sq take tverdΩennq.
Lema 1. Qkwo funkciq u x t1
0( , ), wo vyznaçena formulog (28), [ rozv’qz-
kom odnoridno] krajovo] periodyçno] zadaçi (7) – (9) pry ω = 2 π i u1
0 ∈ A2 , to
u x t1
0( , ) ≡ 0.
Dovedennq. Oskil\ky u1
0 ∈ A2 , to vykonu[t\sq umova
u x t1
0( , )π π− + = u x t1
0( , ). (29)
Pidstavlqgçy (28) u rivnist\ (29), znaxodymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
918 G. O. MYTROPOL|S|KYJ, S. H. XOMA-MOHYL|S|KA
k
k kA k t A k t k x
=
∞
∑ + + +( ) −
1
2 4cos ( ) sin ( ) sin ( )π π π =
=
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )
1
2 4cos sin sin
abo
2
1
2 4
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )cos sin sin = 0.
Zvidsy Ak
2 ≡ 0 i Ak
4 ≡ 0, k ∈ N, wo j potribno bulo dovesty.
Teper, pokladagçy ˜( , )u x t = ( S g )( x, t ), de funkciq ˜( , )u x t = ( S g )( x, t ) vy-
znaça[t\sq zhidno z formulog (12), oderΩu[mo nastupni vidomi tverdΩennq.
Lema 2 [1]. Qkwo g ∈ Cπ ∩ A2 , to funkci] ˜( , )u t0 = ( S g )( 0, t ) i ˜( , )u tπ =
= ( S g )( π, t ) [ totoΩno stalymy.
Takym çynom, prypuskagçy, wo g ∈ Cπ ∩ A2 , na pidstavi lem 1 i 2, vykorys-
tovugçy rivnosti (12) i (26), otrymu[mo vidomu formulu toçnoho rozv’qzku [1,
c. 60]
u ( x, t ) = ( R2 g )( x, t ) ≡
≡ ( S g )( x, t ) +
π
π
ξ ξ τ τ
π
ξ
ξ− ∫ ∫
−
+
x
d g d
t
t
4
0
( , ) +
x
d g d
t
t
4
0
π
ξ ξ τ τ
π
π ξ
π ξ
∫ ∫
− +
+ −
( , ) (30)
krajovo] 2 π-periodyçno] zadaçi (4) – (6), qku vperße navedeno v roboti [1, c. 60].
Teorema 1 [1]. Qkwo g ∈ Gπ t ∩ A2 , to funkciq u ( x, t ) = ( R2 g )( x, t ), vy-
znaçena formulog (30), [ [dynog funkci[g iz prostoru Cπ
2 2, ∩ A2 , qka zado-
vol\nq[ umovy krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π.
52. ( ωωωω = 2 ππππ, prodovΩennq ). Rozhlqnemo we odyn çastynnyj vypadok roz-
v’qznosti systemy (23) u klasi 2 π-periodyçnyx funkcij, vyznaçenyx takym çy-
nom: A2
+ = g g x t g x t g x t g x t: ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= − − = − − = −{ }π π .
Bezposeredn\og perevirkog perekonu[mos\ u spravedlyvosti takyx
tverdΩen\.
Lema 3. Qkwo g ∈ A2
+
, to g ∈ A2 .
Lema 4. Qkwo g ∈ Cπ ∩ A2
+
, to S g ∈ Cπ
1 1, ∩ A2
+
.
Teorema 2. Qkwo g ∈ Gπ t ∩ A2
+
, to funkciq u ( x, t ) = ( R2 g )( x, t ), vyzna-
çena formulog
u ( x, t ) = R g2
+( )( x, t ) ≡ ( S g )( x, t ) +
π
π
ξ ξ τ τ
π
ξ
ξ− ∫ ∫
−
+
2
4
0
x
d g d
t
t
( , ) , (31)
[ [dynog funkci[g iz prostoru Cπ
2 2, ∩ A2
+
, qka zadovol\nq[ umovy krajovo] pe-
riodyçno] zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π, pryçomu
R g x t
C2
+( )( , )
π
≤
π
π
2
2
g C ,
R g x t
t C2
+( ) ( , )
π
≤
π
π2
g C , (32)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO} PERIODYÇNO} ZADAÇI … 919
R g x t
x C2
+( ) ( , )
π
≤ π
π
g C ,
de ϕ
π
( , )x t C = sup ( , )
( , ) ,x t
x t
∈[ ] ×0 π
ϕ
R
.
ZauvaΩennq 3. Vraxovugçy te, wo operator R2
+
perevodyt\ parnu po t
funkcig g ( x, t ) v parnu funkcig R g2
+
, namy dovedeno, wo rozv’qzok u ( x, t ) =
= R g x t2
+( )( , ) krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π u klasi funkcij
A2
+
ma[ vyhlqd
u ( x, t ) =
s
sa x s t
=
∞
−∑ −
1
2 1 2 1( )cos( ) .
53. ( ωωωω = 2 ππππ, prodovΩennq ). ZauvaΩymo, wo doslidΩennq umov rozv’qz-
nosti krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π u poperednix punktax
provodylosq na osnovi vykorystannq çastynnoho rozv’qzku ˜( , )u x t = ( S g ) ( x, t ),
tobto na osnovi formuly (12).
Odnak u vypadku ω = 2 π, qk i dlq podal\ßyx doslidΩen\, dlq rozv’qznosti
zçyslenno] systemy linijnyx alhebra]çnyx rivnqn\ (23) moΩna vykorystaty i
çastynnyj rozv’qzok ˜ ( , )u x t1 = ( S1 g ) ( x, t ), zapysanyj u vyhlqdi formuly (10)
˜( , )u x t = ˜ ( , )u x t1 . Zvidsy oderΩu[mo
˜ ( , )u t1 0 ≡ 0, t ∈ R,
(33)
˜ ( , )u t1 π = –
1
2
0
π
π ξ
π ξ
ξ ξ τ τ∫ ∫
− +
+ −
d g d
t
t
( , ) , t ∈ R.
Todi na osnovi perßyx rivnqn\ system (23) i (33) znaxodymo
B = 0, Ak
1 = 0, Ak
3 = 0, k ∈ N, (34)
i druhe rivnqnnq systemy (23) pry oderΩanyx B = Ak
1 = Ak
3 = 0 nabyra[ vyhlqdu
A π + ˜ ( , )u t1 π = 0. (35)
Takym çynom, z (35) ma[mo A = – ˜ ( , )u t1 π π/ , wo supereçyt\ vyznaçenosti çys-
la A ( A v c\omu vypadku [ funkci[g t, t ∈ R ). Zrozumilo, wo v takomu razi po-
vynni isnuvaty dodatkovi umovy rozv’qznosti krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6)
pry ω = 2 π. Na naßu dumku, ce pov’qzano z strukturog samoho rozv’qzku zadaçi
(4) – (6) pry ω = 2 π, qkyj pry c\omu ma[ vyhlqd
u ( x, t ) =
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )
1
2 4cos sin sin + ˜ ( , )u x t1 –
x
u t
π
π˜ ( , )1 , (36)
de Ak
2
, Ak
4
, k ∈ N, — dovil\ni stali. ZauvaΩymo, wo funkciq
u x t1
0( , ) = –
x
u t
π
π˜ ( , )1 ≡
x
d g d
t
t
2
0
π
ξ ξ τ τ
π
π ξ
π ξ
∫ ∫
− +
+ −
( , ) , (37)
qka vxodyt\ do rozv’qzku (36), ne zavΩdy bude rozv’qzkom odnoridno] krajovo]
periodyçno] zadaçi utt
0 – uxx
0 = 0, u
0
( 0, t ) = u
0
( π, t ) = 0, u
0
( x, t + 2 π ) = u
0
( x, t ),
oskil\ky bezposeredn\og perevirkog perekonu[mosq, wo u x txx1
0 ( , ) ≡ 0, x ∈ [ 0,
π ], t ∈ R, a u tt1
0 ≠ 0 (ne dlq koΩno] funkci] g ( x, t ) druha poxidna u tt1
0
moΩe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
920 G. O. MYTROPOL|S|KYJ, S. H. XOMA-MOHYL|S|KA
dorivngvaty nulg). PokaΩemo, wo dana problema rozv’qznosti krajovo] perio-
dyçno] zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π tisno pov’qzana z vyborom nevidomyx koefici-
[ntiv Ak
2
i Ak
4
.
Ma[ misce take tverdΩennq.
Lema 5. Dlq koΩno] funkci] µ ( t ) ∈ C
1
( R ) ∩ Q2 π , qka rozklada[t\sq u riv-
nomirno zbiΩnyj rqd Fur’[
µ ( t ) =
a0
2
+
k
k ka kt b kt
=
∞
∑ +
1
cos sin , (38)
spravedlyvym [ zobraΩennq
1
2
t x
t x
d
−
+
∫ µ α α( ) –
x
d
t
t
2π
µ α α
π
π
−
+
∫ ( ) ≡
k
k kA kt A kt kx
=
∞
∑ +( )
1
2 4cos sin sin , (39)
de Ak
2 = ak / k, Ak
4 = bk / k, k ∈ N.
OtΩe, na pidstavi lemy 5 rozv’qzok (36) krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6)
pry ω = 2 π moΩna zobrazyty u vyhlqdi
u ( x, t ) =
1
2
t x
t x
d
−
+
∫ µ α α( ) –
1
2
0
x
t x
t x
d g d∫ ∫
− +
+ −
ξ ξ τ τ
ξ
ξ
( , ) +
+
x
d g d d
t
t
t
t
2
0
π
ξ ξ τ τ µ α α
π
π ξ
π ξ
π
π
∫ ∫ ∫
− +
+ −
−
+
−
( , ) ( ) . (40)
Ce da[ moΩlyvist\ sformulgvaty rezul\tat, analohiçnyj rezul\tatu P.<Ra-
binovyça [6].
Teorema 3. Nexaj g ∈ Gπ t ∩ Q 2 π . Todi dlq koΩno] funkci] µ ( t ) ∈ C
1 ∩
∩ Q2 π , qka zadovol\nq[ rivnqnnq
t
t
d
−
+
∫
π
π
µ α α( ) =
0
π
π ξ
π ξ
ξ ξ τ τ∫ ∫
− +
+ −
d g d
t
t
( , ) , (41)
funkciq
u ( x, t ) =
1
2
t x
t x
d
−
+
∫ µ α α( ) –
1
2
0
x
t x
t x
d g d∫ ∫
− +
+ −
ξ ξ τ τ
ξ
ξ
( , ) ≡ u
0
( x, t ) + ˜ ( , )u x t1 (42)
[ [dynym klasyçnym rozv’qzkom krajovo] 2 π-periodyçno] zadaçi (4) – (6).
ZauvaΩennq 4. OtΩe, na naßu dumku, sformul\ovana teorema 3 pidtverd-
Ωu[ rezul\tat roboty [2] (rezul\tat P. Rabinovyça) pro moΩlyvist\ isnuvannq
klasyçnyx 2 π-periodyçnyx rozv’qzkiv krajovo] periodyçno] zadaçi (4) – (6) pry
ω = 2 π u vyhlqdi u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜ ( , )u x t1 , de u
0
( x, t ) — rozv’qzok odnoridno-
ho rivnqnnq utt
0 – uxx
0 = 0, a ˜ ( , )u x t1 — rozv’qzok linijnoho neodnoridnoho riv-
nqnnq ut t – ux x = g ( x, t ).
Bil\ß toho, (41) [ rivnqnnqm dlq vidßukannq nevidomo] funkci] µ ( t ), os-
kil\ky vono oznaça[ rivnist\ dvox funkcij odni[] zminno] t. Z inßoho boku, riv-
nist\ (41) [ umovog vydilennq klasu funkcij g ( x, t ), dlq qkyx spravedlyvog [
teorema 3. Tak, vraxovugçy, wo dlq koΩno] nespadno] funkci] µ ( t ) ∈ C ( R ) ∩
∩ Q2 π vykonu[t\sq umova
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
UMOVY ISNUVANNQ ROZV’QZKIV KRAJOVO} PERIODYÇNO} ZADAÇI … 921
t
t
d
−
+
∫
π
π
µ α α( ) = 0, t ∈ R,
ma[ misce nastupne tverdΩennq.
Teorema 4. Nexaj g ∈ Gπ t ∩ Q2 π i funkciq g ( x, t ) zadovol\nq[ rivnqnnq
0
π
π ξ
π ξ
ξ ξ τ τ∫ ∫
− +
+ −
d g d
t
t
( , ) = 0, t ∈ R. (43)
Todi dlq koΩno] neparno] funkci] µ ( t ) ∈ C
1 ∩ Q2 π funkciq u ( x, t ), qka vy-
znaçena formulog (42), [ [dynym klasyçnym rozv’qzkom krajovo] periodyçno]
zadaçi (4) – (6) pry ω = 2 π.
Vysnovky. 1. Dlq vypadku 2 π / ω ∉ Q, my oderΩaly formulu dlq vidßu-
kannq [dynoho formal\noho rozv’qzku krajovo] ω-periodyçno] zadaçi (4) – (6)
— formulu (22).
2. Na osnovi umovy rozv’qznosti (18) krajovo] ω-periodyçno] zadaçi (4) – (6)
oderΩano rqd vidomyx rezul\tativ.
3. U vypadku ω = 2 π na pidstavi umovy rozv’qznosti (18) pidtverdΩeno
rezul\tat P. Rabinovyça, qkyj sformul\ovano u vyhlqdi teoremy 3. Ce
rezul\tat pro moΩlyvist\ isnuvannq 2 π-periodyçnyx rozv’qzkiv krajovo]
periodyçno] zadaçi (4) – (6) u vyhlqdi u ( x, t ) = u
0
( x, t ) + ˜ ( , )u x t1 , de u
0
( x, t ) —
rozv’qzok odnoridnoho rivnqnnq utt
0 – uxx
0 = 0, a ˜ ( , )u x t1 — rozv’qzok linijnoho
neodnoridnoho rivnqnnq ut t – ux x = g ( x, t ).
1. Mytropol\skyj G. A., Xoma H. P., Hromqk M. Y. Asymptotyçeskye metod¥ yssledovanyq
uravnenyj hyperbolyçeskoho typa. – Kyev: Nauk. dumka, 1991. – 232 s.
2. Rabinowitz P. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Communs Pure and
Appl. Math. – 1967. – 20, # 1. – P. 145 – 205.
3. Rabinowitz P. Periodic solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations // Ibid. –
1969. – 20, # 1. – P. 15 – 39.
4. Vejvoda O., Ítedr¥ M. Suwestvovanye klassyçeskyx peryodyçeskyx reßenyj volnovoho
uravnenyq: Svqz\ teoretyko-çyslovoho xaraktera peryoda y heometryçeskyx svojstv reße-
nyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 1984. – 20, # 10. – S. 1733 – 1739.
5. Ptaßnyk B. Y. Nekorrektn¥e hranyçn¥e zadaçy dlq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
çastn¥my proyzvodn¥my. – Kyev: Nauk. dumka, 1984. – 264 s.
6. Xoma H. P., Xoma N. H., Xoma-Mohyl\s\ka S. H. Pro rozv’qzky periodyçno] zadaçi dlq hiper-
boliçnoho rivnqnnq druhoho porqdku // III Vseukr. nauk. konf. „Nelinijni problemy analizu”
(9 – 12 veresnq 2003 r., Ivano-Frankivs\k): Tezy dop. – S. 108.
OderΩano 16.02.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3653 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:29Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/a4d6bfba91f9e957839e32993921affc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36532020-03-18T20:01:15Z Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I Умови існування розв'язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I Mitropolskiy, Yu. A. Khoma-Mohyl's'ka, S. H. Митропольський, Ю. О. Хома-Могильська, С. Г. We consider the periodic boundary-value problem $u_{tt} − u_{xx} = g(x, t),\; u(0, t) = u(π, t) = 0,\; u(x, t + ω) = u(x, t)$. By representing a solution of this problem in the form $u(x, t) = u^0(x, t) + ũ(x, t)$, where $u^0(x, t)$ is a solution of the corresponding homogeneous problem and $ũ(x, t)$ is the exact solution of the inhomogeneous equation such that $ũ(x, t + ω) u_x = ũ(x, t)$, we obtain conditions for the solvability of the inhomogeneous periodic boundary-value problem for certain values of the period ω. We show that the relation obtained for a solution includes known results established earlier. На основі зображення розв'язку крайової періодичної задачі $u_{tt} − u_{xx} = g(x, t),\; u(0, t) = u(π, t) = 0,\; u(x, t + ω) = u(x, t)$ у вигляді $u(x, t) = u^0(x, t) + ũ(x, t)$, де $u^0(x, t)$ — розв'язок відповідної однорідної задачі, а $ũ(x, t)$ — точний розв'язок неоднорідного рівняння, такий, що $ũ(x, t + ω) u_x = ũ(x, t)$, одержано умови розв'язності крайової неоднорідної періодичної задачі для конкретних значень періоду 0). Показано, що у знайденій формулі розв'язку містяться відомі раніше результати. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3653 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 7 (2005); 912–921 Український математичний журнал; Том 57 № 7 (2005); 912–921 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3653/4036 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3653/4037 Copyright (c) 2005 Mitropolskiy Yu. A.; Khoma-Mohyl's'ka S. H. |
| spellingShingle | Mitropolskiy, Yu. A. Khoma-Mohyl's'ka, S. H. Митропольський, Ю. О. Хома-Могильська, С. Г. Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title | Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title_alt | Умови існування розв'язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I |
| title_full | Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title_fullStr | Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title_full_unstemmed | Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title_short | Conditions for the Existence of Solutions of a Periodic Boundary-Value Problem for an Inhomogeneous Linear Hyperbolic Equation of the Second Order. I |
| title_sort | conditions for the existence of solutions of a periodic boundary-value problem for an inhomogeneous linear hyperbolic equation of the second order. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3653 |
| work_keys_str_mv | AT mitropolskiyyua conditionsfortheexistenceofsolutionsofaperiodicboundaryvalueproblemforaninhomogeneouslinearhyperbolicequationofthesecondorderi AT khomamohyl039s039kash conditionsfortheexistenceofsolutionsofaperiodicboundaryvalueproblemforaninhomogeneouslinearhyperbolicequationofthesecondorderi AT mitropolʹsʹkijûo conditionsfortheexistenceofsolutionsofaperiodicboundaryvalueproblemforaninhomogeneouslinearhyperbolicequationofthesecondorderi AT homamogilʹsʹkasg conditionsfortheexistenceofsolutionsofaperiodicboundaryvalueproblemforaninhomogeneouslinearhyperbolicequationofthesecondorderi AT mitropolskiyyua umoviísnuvannârozv039âzkívkrajovoíperíodičnoízadačídlâneodnorídnogolíníjnogogíperbolíčnogorívnânnâdrugogoporâdkui AT khomamohyl039s039kash umoviísnuvannârozv039âzkívkrajovoíperíodičnoízadačídlâneodnorídnogolíníjnogogíperbolíčnogorívnânnâdrugogoporâdkui AT mitropolʹsʹkijûo umoviísnuvannârozv039âzkívkrajovoíperíodičnoízadačídlâneodnorídnogolíníjnogogíperbolíčnogorívnânnâdrugogoporâdkui AT homamogilʹsʹkasg umoviísnuvannârozv039âzkívkrajovoíperíodičnoízadačídlâneodnorídnogolíníjnogogíperbolíčnogorívnânnâdrugogoporâdkui |