Conditions for Synchronization of One Oscillation System
Using methods of perturbation theory, we investigate the global behavior of trajectories on a toroidal attractor and in its neighborhood for a system of differential equations that arises in the study of synchronization of oscillations in the mathematical model of an optical laser.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3654 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509777350623232 |
|---|---|
| author | Recke, L. Samoilenko, A. M. Реке, Л. Самойленко, А. М. Реке, Л. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Recke, L. Samoilenko, A. M. Реке, Л. Самойленко, А. М. Реке, Л. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Recke, L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:15Z |
| description | Using methods of perturbation theory, we investigate the global behavior of trajectories on a toroidal attractor and in its neighborhood for a system of differential equations that arises in the study of synchronization of oscillations in the mathematical model of an optical laser. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
A. M. Samojlenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
L. Rekke (Un-t ym. Humbol\dta, Berlyn, Hermanyq)
USLOVYQ SYNXRONYZACYY
ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ
By using methods of perturbation theory, we investigate the global behavior of trajectories on a toroidal
attractor and in its neighborhood for a system of differential equations that appears in the study of the
synchronization of oscillations of the mathematical model of an optical laser.
Metodamy teori] zburen\ doslidΩeno hlobal\nu povedinku tra[ktorij na toro]dal\nomu atrak-
tori ta v joho okoli dlq systemy dyferencial\nyx rivnqn\, wo vynyka[ pry doslidΩenni syn-
xronizaci] kolyvan\ matematyçno] modeli optyçnoho lazera.
Budem rassmatryvat\ systemu uravnenyj
dx
dt
f x g x y= +( ) ( ) 2
,
(1)
dy
dt
h x y e a ti t= +( ) ( )γ βα
,
hde x ∈ R
n
, y ∈ C, f, g : Rn → R
n , h : Rn → C y a : R → C — dostatoçno
hladkye funkcyy, funkcyq a — 2π -peryodyçeskaq, α , β y γ — dejstvytel\-
n¥e parametr¥. Predpolahaem, çto pry γ = 0 suwestvuet πksponencyal\no or-
bytal\no ustojçyvoe kvazyperyodyçeskoe reßenye
x x t= 0 0( )β , y r t ei t= 0 0
0( )β α
(2)
typa modulyrovannoj voln¥. Tohda, oçevydno, systema (1) pry γ = 0 ymeet yn-
varyantn¥j tor razmernosty dva:
T2 0 0= ( ) ∈ × ∈{ }x r ei n( ), ( ) : ,ϕ ϕ ϕ ψψ
R C R .
Cel\ nastoqwej rabot¥ — opysat\ qvlenye praktyçesky toçnoj synxrony-
zacyy çastot¥ β vozmuwenyq v (1) y çastot¥ β0 reßenyq (2) pry α → ∞ y
β ≈ β0 . Ynaçe hovorq, m¥ pokaΩem, çto pry estestvenn¥x predpoloΩenyqx
spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Dlq vsex dostatoçno mal¥x ε > 0 suwestvugt α* > 0, γ* > 0 y δ > 0
takye, çto pry
α > α* , β γ
α β β γ
α− +
< <
,
γ
α γ< *
dlq poçty vsex reßenyj x t( ), y t( ) system¥ (1), kotor¥e v nekotor¥j moment
vremeny t0 prynadleΩat δ-okrestnosty tora T2 , suwestvuet ϕ ∈ R takoe,
çto
x t x t y t r t( ) ( )− +( ) + − +( ) <0 0β ϕ β ϕ ε , t ∈ = ∞[ )+R 0, . (3)
Zdes\ funkcyy β− , β+ : 0, *γ[ ] → R, opys¥vagwye „konus synxronyzacyy”, xa-
rakteryzugtsq svojstvamy
β−( )0 = β+( )0 = β0 , ′−β ( )0 = ′+β ( )0 = 0.
Systema (1) — πto prostejßaq model\ dlq lazera pod dejstvyem vneßneho
optyçeskoho syhnala. Zdes\ α — optyçeskaq çastota, β — çastota modulqcyy
© A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE, 2005
922 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 923
y γ — yntensyvnost\ vneßneho optyçeskoho syhnala. Reßenye (2) opys¥vaet
avtokolebatel\noe sostoqnye lazera, hde α0 — optyçeskaq çastota y β0 —
çastota modulqcyy πtoho sostoqnyq. Vektor-funkcyq x t( ) opys¥vaet plot-
nost\ πlektronov v razlyçn¥x sekcyqx lazera (m¥ ymeem v vydu tak naz¥vaem¥e
mul\tysekcyonn¥e poluprovodnykov¥e lazer¥ [1, 2]), skalqrnaq funkcyq
y t( )K— πto kompleksnaq amplytuda svetovoho polq v nekotoroj approksymacyy
typa Halerkyna [3]. V çastnosty, y t( ) opys¥vaet yntensyvnost\ yzluçenyq
lazera. Dlq avtokolebatel\noho sostoqnyq (2) πta yntensyvnost\ peryodyçna s
çastotoj β0 . Yspol\zuq πtu termynolohyg, qvlenye „approksymacyonnoj syn-
xronyzacyy” (3) oznaçaet sledugwee: esly raznost\ optyçeskyx çastot α y α0
dostatoçno velyka, a raznost\ çastot modulqcyy β y β0 dostatoçno mala, to
yntensyvnost\ sveta lazera na dostatoçno bol\ßom promeΩutke vremeny „poç-
ty” peryodyçna s çastotoj β, t.Ke. s çastotoj modulqcyy vneßneho optyçes-
koho syhnala. ∏to qvlenye nablgdalos\ πksperymental\no (sm. [4]), y vozmoΩ-
no yspol\zovanye eho v optoπlektronn¥x setqx.
Zametym, çto zadaça (1) pry α ≈ α0 y β ≈ β0 rassmotrena v [5] y prymenena
k lazern¥m modelqm v [6, 7].
Otmetym takΩe, çto zadaça (1) pry β = β0 (opys¥vagwaq povedenye stacyo-
narnoho sostoqnyq lazera pod dejstvyem stacyonarnoho vneßneho optyçeskoho
syhnala) rassmotrena, naprymer, v [8 – 10].
Ytak, rassmatryvaem systemu uravnenyj (1). V polqrn¥x koordynatax, vvo-
dym¥x vmesto y sohlasno formule zamen¥
y r ei t= −( )α θ
, (4)
systema uravnenyj (1) prynymaet vyd
dx
dt
f x g x r= +( ) ( ) 2
,
dr
dt
h x r a t a t= + −( )1 1 2( ) ( ) cos ( ) sinγ β θ β θ , (5)
d
dt
h x
r
a t a t
θ α γ β θ β θ= − − +( )2 1 2( ) ( ) sin ( ) cos ,
hde oboznaçeno
h x h x1( ) Re ( )= , h x h x2( ) Im ( )= ,
a t a t1( ) Re ( )β β= , a t a t2( ) Im ( )β β= .
Predpolahaem, çto α — bol\ßoj parametr, tak çto v systeme uravnenyj (5)
moΩno vvesty mal¥j parametr ε = 1
α .
Zamena peremenn¥x
r a t a t= + +( )ρ ε γ β θ β θ1 2( ) sin ( ) cos ,
θ θ ε γ β θ β θ= + −( )1 1 2r
a t a t( ) cos ( ) sin
preobrazuet systemu uravnenyj (5) k systeme s qvno v¥delennoj nevozmuwennoj
çast\g
dx
dt
f x g x X x t= + +( ) ( ) ( , , , , )ρ ε ρ θ β ε2
1 , (6)
d
dt
h x R x t
ρ ρ ε ρ θ β ε= +1 1( ) ( , , , , ) , (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
924 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
d
dt
h x Q x t
θ α ε ρ θ β ε1
2 1= − +( ) ( , , , , ), (8)
hde X, R, Q — funkcyy, opredelenn¥e pry
x D∈ , ρ ≥ ρ0 > 0 (9)
y vsex dostatoçno mal¥x ε > 0, ymegt hladkost\ po x, ρ, θ takug Ωe, a po ϕ =
= β t na edynycu men\ßug, çem hladkost\ prav¥x çastej system¥ (5), 2π-peryo-
dyçeskye po θ, ϕ = β t, analytyçeskye po ε pry vsex dostatoçno mal¥x ε > 0.
Systemu uravnenyj (6) – (8) rassmatryvaem v predpoloΩenyy, çto pry ε = 0
dva perv¥x ee uravnenyq ymegt peryodyçeskoe reßenye
x x t= ( )0 0β , ρ β= ( )r t0 0 , (10)
opys¥vagwee zamknutug traektoryg v oblasty (9) fazovoho prostranstva
R
n × R:
x x= 0( )ψ , ρ ψ= r0( ) , ψ ∈T1 , (11)
hde T1 — okruΩnost\, x0 , r0 — 2π-peryodyçeskye funkcyy peremennoj ψ.
Budem predpolahat\, çto traektoryq (11) πksponencyal\no ustojçyva v sylu
ee uravnenyj v varyacyqx. Poslednee predpolahaet, çto ( n – 1 ) -e sobstvennoe
znaçenye matryc¥ monodromyy uravnenyj v varyacyqx reßenyq (10) leΩyt vnu-
try kruha edynyçnoho radyusa.
S cel\g uprowenyq v¥kladok prydadym systeme uravnenyj (6) – (8) bolee
obwyj vyd, poloΩyv
z x= ( , )ρ .
V rezul\tate systema uravnenyj (6) – (8) prymet vyd
dz
dt
F z F z t= +( ) ( , , , )ε θ β ε1 1 , (12)
d
dt
f z Q z t
θ α ε θ β ε1
0 1= + +( ) ( , , , ) , (13)
peryodyçeskoe reßenye (10) system¥ (6), (7) pry ε = 0 — vyd peryodyçeskoho
reßenyq
z z t x t r t= ( ) = ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0β β β,
uravnenyq (12) pry ε = 0, traektoryq (11) — vyd traektoryy
z z= 0( )ψ , ψ ∈T1 . (14)
Poπtomu ymeem toΩdestvo
dz
d
F z0 0
0
( ) ( )ψ
ψ
ψ
β
= ( )
, ψ ∈T1 , (15)
y uravnenye v varyacyqx dlq (14):
d z
d
F z
z
z
δ
ψ β
ψ δ= ∂ ( )
∂
1
0
0( )
. (16)
Yz predpoloΩenyj o sobstvenn¥x znaçenyqx matryc¥ monodromyy uravnenyq
(16) sohlasno teoryy Floke – Lqpunova sleduet, çto moΩno ukazat\ ( n – 1 ) -
mernug postoqnnug matrycu H s otrycatel\n¥my vewestvenn¥my çastqmy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 925
sobstvenn¥x çysel y n × ( n – 1 ) -mernug 2π -peryodyçeskug
* matrycu Φ( )ψ
takye, çto
β ψ ψ ψ ψ0
0′ + = ∂ ( )
∂
Φ Φ Φ( ) ( )
( )
( )H
F z
z
, (17)
det ( ), ( )′( ) ≠z0 0ψ ψΦ , ψ ∈T1 , (18)
hde ßtryxom oboznaçena proyzvodnaq
d
dψ
.
Yspol\zuem yzloΩennoe v¥ße y preobrazuem systemu uravnenyj (12), (13) k
nuΩnomu nam vydu, vvedq vmesto z nov¥e koordynat¥ ψ, h sohlasno formule
zamen¥
z z h= +0( ) ( )ψ µ ψΦ , (19)
hde µ — mal¥j poloΩytel\n¥j parametr, porqdok malosty kotoroho po otno-
ßenyg k ε opredelym pozΩe. Yz (12) s uçetom zamen¥ (19) y ravenstva (15)
ymeem
′ + ′( ) −
z h
d
dt0 0( ) ( )ψ µ ψ ψ βΦ + Φ( )ψ µdh
dt
Hh−
+
+ F z0( )ψ( ) + µ ψ β′Φ ( ) 0h + µ ψΦ( ) Hh =
= F z h0( ) ( )ψ µ ψ+( )Φ + ε ψ µ ψ θ β εF z h t1 0 1( ) ( ) , , ,+( )Φ . (20)
S uçetom (17) yz (20) poluçaem
′ + ′( ) −
z h
d
dt0 0( ) ( )ψ µ ψ ψ βΦ + Φ( )ψ µdh
dt
Hh−
=
= F z h0( ) ( )ψ µ ψ+( )Φ – F z0( )ψ( ) – µ ψ ψ∂ ( )
∂
F z
z
h0( )
( )Φ +
+ ε ψ µ ψ θ β εF z h t1 0 1( ) ( ) , , ,+( )Φ . (21)
Uslovye (18) daet vozmoΩnost\ v¥brat\ dostatoçno maloe µ0 > 0 tak, çto-
b¥ dlq lgb¥x µ y h yz oblasty
µ µ∈( )0 0, , h < 1 (22)
uravnenye (21) razreßalos\ otnosytel\no proyzvodn¥x
d
dt
ψ
y
dh
dt
v vyde
d
dt
ψ
= β ψ µ ψ µ ε ψ µ ψ θ β ε0 1 2 1 0 1+ + +( )[ ]L h F h F z h t( , ) ( , ) ( ) ( ) , , ,Φ , (23)
dh
dt
= Hh L h F h F z h t+ + +( )
2 2 1 0 1
1( , ) ( , ) ( ) ( ) , , ,ψ µ µ ψ µ ε
µ ψ µ ψ θ β εΦ , (24)
hde
F h2( , )ψ µ = F z h0( ) ( )ψ µ ψ+( )Φ – F z0( )ψ( ) – µ ψ ψ∂ ( )
∂
F z
z
h0( )
( )Φ ,
L h1( , )ψ µ y L h2( , )ψ µ — bloky matryc¥, obratnoj k matryce
*
Otmetym, çto sluçaj, kohda rady vewestvennosty matryc¥ Φ( )ψ ynohda pryxodytsq v¥by-
rat\ v kaçestve Φ( )ψ 4π -peryodyçeskug matrycu, ne ymeet pryncypyal\noho xaraktera dlq
provodym¥x dalee rassuΩdenyj, tem bolee çto yz-za ustojçyvosty traektoryy (14) ynteh-
ral\noe mnohoobrazye, kotoroe poroΩdaetsq πtoj traektoryej, okaz¥vaetsq 2π-peryodyçeskym
poKKψ.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
926 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
′ + ′( )z h0( ) ( ) , ( )ψ µ ψ ψΦ Φ .
Poskol\ku
1
2µ ψ µF h( , ) = µ
ψ
ψ µ ψ ψ
0
1
0
0∫ ∫ ∂
∂
∂ +( )
∂
t F z s h
z
h
( ) ( )
( )
Φ Φ ,
ds dt h F h hΦ Φ( ) ( , , ) ( )ψ µ ψ µ ψ= 3 ,
systema uravnenyj (23), (24) pry
ε
µ
ε2 1 1= ≤ (25)
prynymaet vyd system¥
d
dt
ψ
= β µ ψ µ ψ µ ψ ε ψ µ ψ θ β ε0
2
1 3 1 1 0 1+ + +( )[ ]L h F h h F z h t( , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) , , ,Φ Φ ,
(26)
dh
dt
= Hh L h F h h F z h t+ + +( )[ ]µ ψ µ ψ µ ψ ε ψ µ ψ θ β ε2 3 1 1 0 1( , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) , , ,Φ Φ .
(27)
Prysoedynym k (26), (27) uravnenye (13), v¥polnyv v nem zamenu (19):
d
dt
θ1 = α ψ µ ψ ε ψ µ ψ θ β ε+ +( ) + +( )f z h Q z h t0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) , , ,Φ Φ . (28)
Oboznaçym
f f z d0
0
2
0 0
1
2
= ( )∫π
ψ ψ
π
( ) (29)
y v¥polnym v systeme (26) – (28) zamenu uhlovoj peremennoj θ1 na ϕ sohlasno
formule zamen¥
θ ϕ ψ ψ
ψ
1 0 0 0= + ( ) −[ ]∫ f z f d( ) , (30)
hde
ψ
∫ oznaçaet kakug-nybud\ pervoobraznug funkcyy f z0 0( )ψ( ) – α0 . V re-
zul\tate zamen¥ (30) systema uravnenyj (26) – (28) preobrazuetsq v systemu
dh
dt
Hh R h t= + ( )µ ψ ϕ β µ ε, , , , , , (31)
d
dt
h t
ψ β µ ψ ϕ β µ ε= + ( )0
2Ψ , , , , , , (32)
d
dt
f f h h Q h t
ϕ α µ ψ µ ε ψ ϕ β µ ε= + + ( ) + ( )0 1 , , , , , , , , (33)
v kotoroj R, Ψ, Q, f1 — funkcyy, opredelenn¥e v oblasty (22), (25) y ymegwye
vse svojstva funkcyj, opredelqgwyx prav¥e çasty system¥ (26) – (28), v çast-
nosty, ony peryodyçeskye po ψ, ϕ, t y udovletvorqgt uslovyg
R Q Ml l l− − −+ + ≤2 2 2Ψ , (34)
hde çerez ⋅ r oboznaçena r-q dyfferencyal\naq norma, opredelqemaq kak
summa norm funkcyy y vsex ee proyzvodn¥x do porqdka r vklgçytel\no,
⋅ 0 K— ob¥çnaq norma v prostranstve neprer¥vn¥x na kompakte funkcyj, M —
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 927
postoqnnaq, ne zavysqwaq ot parametrov µ y α , l — hladkost\ funkcyj f, g,
h, a pravoj çasty system¥ (1).
Esly poloΩyt\ v (31) – (33)
′ =ψ βt (35)
y prysoedynyt\ k (31) – (33) uravnenye
d
dt
′ =ψ β , (36)
to vmesto (31) – (33) poluçym dynamyçeskug systemu (31) – (33), (36) s fazov¥m
prostranstvom R
n +1
× T3 , hde T3 — trexmern¥j tor. Poπtomu k systeme
(31)K–K(33), (36) prymenyma teoryq vozmuwenyq ynvaryantn¥x toroydal\n¥x
mnohoobrazyj dynamyçeskyx system v raznoobrazn¥x ee yzloΩenyqx [11 – 14].
V sluçae system¥ (31) – (33) nevozmuwennaq systema ymeet prostejßyj yz
vozmoΩn¥x vyd
dh
dt
Hh= ,
d
dt
ψ β= 0 ,
d
dt
′ =ψ β ,
d
dt
f
ϕ α= + 0 (37)
s toj lyß\ osobennost\g, çto α — bol\ßoj parametr.
Odnako, yz teoryy vozmuwenyq toroydal\n¥x mnohoobrazyj sleduet, çto
svojstva soxranenyq pry mal¥x vozmuwenyqx ynvaryantn¥x toroydal\n¥x mno-
hoobrazyj opredelqgtsq ne samymy nevozmuwenn¥my uravnenyqmy (v dannom
sluçae ne uravnenyqmy (37)), a uravnenyqmy v varyacyqx poroΩdagweho toroy-
dal\noho mnohoobrazyq. V rassmatryvaemoj namy systeme uravnenyj takymy
uravnenyqmy qvlqgtsq uravnenyq
d h
dt
H h
δ δ= ,
d
dt
δψ = 0 ,
d
dt
δψ′ = 0 ,
d
dt
δϕ = 0 ,
kotor¥e ne zavysqt ot velyçyn¥ parametra α.
Edynstvennoe uslovye, krome hladkosty prav¥x çastej system¥ (31) – (33),
kotoroe suwestvenno dlq soxranenyq pry vozmuwenyy ynvaryantnoho tora
h = 0, ψ ψ ϕ, ,( ) ∈T3
system¥ (37), svqzano s predpoloΩenyqmy o sobstvenn¥x çyslax matryc¥ H, v
dannom sluçae s predpoloΩenyem, çto
e eHt kt≤ −L , t > 0, (38)
hde L = const ≥ 1, k = const > 0.
Pry v¥polnenyy πtoho uslovyq sohlasno osnovnoj teoreme [14] systema
uravnenyj (31) – (36) pry dostatoçno malom µ0 ymeet v oblasty (22), (25)
ynvaryantnoe toroydal\noe mnohoobrazye vyda
h u= ′( )µ ψ ϕ ψ µ ε, , , , (39)
s opredelenn¥my svojstvamy hladkosty y ustojçyvosty. S uçetom formul¥
(35) mnohoobrazye (39) system¥ (31) – (36) qvlqetsq yntehral\n¥m mnohoob-
razyem
h u t= ( )µ ψ ϕ β µ ε, , , , (40)
system¥ uravnenyj (31) – (33).
Pervoe pryblyΩenye k mnohoobrazyg (40) sohlasno metodu yntehral\n¥x
mnohoobrazyj [11, 15] opredelqetsq po formule
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
928 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
h � µ β τ ψ α τ ϕ β τ µ ε ττ
−∞
∫ + +( ) + +( )
0
0 00e R f t dH , , , ( ), , . (41)
Yz (41) oçevydn¥m obrazom obæqsnqgtsq svojstva mnohoobrazyq (40), kotor¥e
emu prysuwy, v çastnosty, nezavysymost\ ocenok funkcyy u y ee proyzvodn¥x
po ψ, ϕ, ψ1 = βt , a takΩe parametrov µ, ε ot znaçenyq α , opredelqemaq
neravenstvom
u Ml − ≤3 1,
hde M1 ne zavysyt ot µ, α, ε.
S uçetom zamen¥ (19) y formul¥ (40) yz yzloΩennoho sleduet, çto systema
uravnenyj (12), (13) ymeet yntehral\noe mnohoobrazye
z z u t= +
0 1
1( ) ( ) , , ,ψ ε ψ ψ ϕ β αΦ , (42)
θ ϕ ψ ψ
ψ
1
0
0 0 0= + ( ) −( )∫ f z f d( ) , (43)
hde çerez u1 oboznaçena funkcyq
u t u t1 1 1
1ψ ϕ β α ψ ϕ β µ ε µ α ε α, , , , , , , / , /
= ( ) = = .
Na mnohoobrazyy (42), (43) reßenyq system¥ uravnenyj (12), (13) opredelqgtsq
systemoj uravnenyj
d
dt
t
ψ β ε ψ ϕ β µ ε= + ( )0 1Ψ , , , , , (44)
d
dt
f t
ϕ α ε ψ ϕ β µ ε= + + ( )0 1Φ , , , , . (45)
Zdes\ çerez Ψ1, Φ1 oboznaçen¥ funkcyy
Ψ1 = Ψ µ ψ ϕ β µ εu t1, , , , ,( ), (46)
Q f u u Q u t1 1 1 1 1= ( ) + ( )µ ψ µ µ ψ ϕ β µ ε, , , , , , , , (47)
hde µ = 1
α
, ε = 1
α .
V¥qsnym xarakter povedenyq reßenyj system¥ (31), (32) v okrestnosty
mnohoobrazyq (39). Dlq πtoho vospol\zuemsq yzvestn¥my rezul\tatamy raswep-
lenyq system vyda (31), (32) [16 – 18], sohlasno kotor¥m uravnenyq uhlov¥x pe-
remenn¥x system¥ (31), (32) moΩno otwepyt\ v otdel\nug podsystemu. V çast-
nosty, sohlasno [17, 18] dlq dostatoçno maloho δ > 0 moΩno tak zafyksy-
rovat\ dostatoçno bol\ßoe α0 , çtob¥ dlq lgboho α > α0 ukazat\ zamenu
peremenn¥x
h h u t= + ( )1 µ ψ ϕ β µ ε, , , , ,
ψ ψ ψ ϕ β µ ε= + ( )1 1 1 1 1U h t h, , , , , , (48)
ϕ ϕ ψ ϕ β µ ε= + ( )1 1 1 1 1 1U h t h, , , , ,
s 2π-peryodyçeskymy po ψ1, ϕ1, ϕ β2 = t matrycamy U , U1, opredelenn¥my v
oblasty h1 < δ y udovletvorqgwymy uslovyg
U U Ml l− −+ ≤5 1 5 2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 929
s postoqnnoj M2 , ne zavysqwej ot µ, α , takug, kotoraq pryvodyt systemu
uravnenyj (31) – (33) k systeme
dh
dt
H A h t h1
1 1 1 1= + ( )( )µ ψ ϕ β µ ε, , , , , , (49)
d
dt
t
ψ β ε ψ ϕ β µ ε1
0 1 1 1= + ( )Ψ , , , , , (50)
d
dt
f t
ϕ α ε ψ ϕ β µ ε1
0 1 1 1= + + ( )Φ , , , , , (51)
hde Ψ1, Φ1 — funkcyy vyda (46), (47), A — matryca, poluçaemaq yz R sohlas-
no zamene peremenn¥x (48).
Yz (49) – (51) sleduet, çto pry dostatoçno bol\ßom α0 lgboe reßenye sys-
tem¥ (49) – (51), naçynagweesq pry t = t0 v oblasty
h1 < δ
L
,
hde L — postoqnnaq yz ocenky (38), udovletvorqet neravenstvu
h t e h t
k t t
1
2
1 0
0
( ) ( )
( )
≤
− −
L (52)
dlq vsex t ≥ t0 . Neravenstvo (52) s uçetom formul zamen¥ peremenn¥x (48)
obespeçyvaet prytqΩenye reßenyj system¥ uravnenyj (31) – (33), naçynagwyx-
sq pry t = t0 v maloj okrestnosty mnohoobrazyq (39), k reßenyqm, naçynag-
wymsq pry t = t0 na samom mnohoobrazyy, po πksponencyal\nomu zakonu prytq-
Ωenyq vyda (52).
Sohlasno metodu posledovatel\n¥x pryblyΩenyj postroenyq matryc U,
U1, predloΩennomu v [17, 18], perv¥e pryblyΩenyq k U y U1 opredelqgtsq
po matrycam, obespeçyvagwym razloΩenyq prav¥x çastej uravnenyj (32), (33)
vyda
Ψ Ψh u t u t A h t h1 1 1 1+( ) − ( ) = ( )µ ψ ϕ β µ ε µ ψ ϕ β µ ε ψ ϕ β µ ε, , , , , , , , , , , , , , , ,
f h u f u A h h1 1 1 2 1 1+( ) − ( ) = ( )µ ψ µ µ ψ µ ψ µ, , , , , , ,
Q h u t Q u t A h t h1 3 1 1+( ) − ( ) = ( )µ ψ ϕ β µ ε µ ψ ϕ β µ ε ψ ϕ β µ ε, , , , , , , , , , , , , , , ,
sohlasno formulam
U � − + +( ) + +( )
∞
∫µ β τ ψ α τ ϕ βτ ϕ µ ε ττ2
0
1 1 0 1 0 1A h f e dH, , , , , , (53)
U1 � − + +( ) + +( )
∞
∫µ β τ ψ α τ ϕ βτ ϕ µ ε ττ
0
2 1 0 1 0 1A h f e dH, , , , , +
+ ε β τ ψ α τ ϕ βτ ϕ µ ε ττ
0
3 1 0 1 0 1
∞
∫ + +( ) + +( )
A h f e dH, , , , , . (54)
Yz formul (53), (54) vydno, v çastnosty, poçemu velyçyna parametra α ne
yhraet suwestvennoj roly v opredelenyy svojstv hladkosty y ohranyçennosty
matryc U y U1 y vsex yx proyzvodn¥x po h1, ψ1, ϕ1, ϕ = βt.
Yssleduem teper\ systemu uravnenyj na mnohoobrazyy (39). ∏ta systema
sostoyt yz dvux uravnenyj (44), (45), y m¥ budem rassmatryvat\ ee v predpolo-
Ωenyy, çto çastot¥ β0 y β blyzky meΩdu soboj. Oboznaçym çerez ε ∆
rasstrojku meΩdu β y β0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
930 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
β β ε− =0 ∆
y v¥polnym v systeme uravnenyj (44), (45) zamenu peremenn¥x, poloΩyv
ψ β θ= +t .
V rezul\tate zamen¥ vmesto (44), (45) poluçym systemu uravnenyj
d
dt
t t
θ ε ε β θ ϕ β µ ε= − + +( )∆ Ψ1 , , , , , (55)
d
dt
f t t
ϕ α ε β θ ϕ β µ ε= + + +( )0 1Φ , , , , . (56)
PoloΩym
Ψ Ψ0 2
0
2
0
2
1
1
4
0 0( ) , , , ,θ
π
ψ θ ϕ ψ ψ ϕ
π π
= +( )∫ ∫ d d , (57)
Φ Φ0 2
0
2
0
2
1
1
4
0 0( ) , , , ,θ
π
ψ θ ϕ ψ ψ ϕ
π π
= +( )∫ ∫ d d (58)
y rassmotrym narqdu s systemoj (55), (56) usrednennug systemu uravnenyj
d
dt
ϑ ε ϑ= − +( )∆ Ψ0( ) , (59)
d
dt
f
ϕ α ε ϑ= + +0 0Φ ( ). (60)
Budem predpolahat\, çto na okruΩnosty T1 = 0 2, π[ ) uravnenye
∆ = Ψ0( )ϑ
ymeet tol\ko dva reßenyq
ϑ ϑ= 0, ϑ ϑ= 2
0
ϑ ϑ1
0
2
0<( )
takyx, çto
′( ) = − <Ψ0 1
0
0 0ϑ β , ′( ) = >Ψ0 2
0
0 0ϑ α .
PredpoloΩenyq oznaçagt, çto usrednennaq systema uravnenyj (59), (60)
ymeet na T1 dva kvazystatyçeskyx poloΩenyq ravnovesyq: „nyΩnee”
ϑ ϑ= 1
0
, ϕ α ε ϑ ϕ= + + ( )( ) +f t0 0 1
0
0Φ
y „verxnee”
ϑ ϑ= 2
0
, ϕ α ε ϑ ϕ= + + ( )( ) +f t0 0 2
0
0Φ ,
takye, çto „nyΩnee” poloΩenye πksponencyal\no ustojçyvoe, a „verxnee” —
πksponencyal\no neustojçyvoe s pokazatelqmy sootvetstvenno − εβ0 y εα0 .
Systema uravnenyj (55), (56) ymeet vyd standartnoj system¥ nelynejnoj
mexanyky [11], y k nej prymenym¥ formul¥ asymptotyçeskoho yntehryrovanyq
metoda Kr¥lova – Boholgbova – Mytropol\skoho. S uçetom formul perv¥x
pryblyΩenyj ukazannoho metoda zamena peremenn¥x
θ = θ1 + ε
β
ψ θ ψ µ ε θ µ ε ψ
β
0
1 1 1
0
1
t
d∫ +( ) − ( )[ ]Ψ Ψ, , , , ,( ) +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 931
+ ε β θ ϕ β µ ε β θ β µ ε ϕ
ϕ
2
0
1 1 1 1
1
∫ +( ) − +( )[ ]Ψ Ψt t t t d, , , , , , , ,
ϕ = ϕ1 + ε
β
ψ θ ψ µ ε θ µ ε ψ
β
0
1 1 1
0
1
t
d∫ +( ) − ( )[ ]Φ Φ, , , , ,( ) +
+ ε β θ ϕ β µ ε β θ β µ ε ϕ
ϕ
2
0
1 1 1 1
1
∫ +( ) − +( )[ ]Φ Φt t t t d, , , , , , , ,
hde
Ψ Ψ1
0
2
1
1
2
ψ θ ψ µ ε
π
ψ θ ϕ ψ µ ε ϕ
π
+( ) = +( )∫, , , , , , , d , (61)
Φ Φ1
0
2
1
1
2
ψ θ ψ µ ε
π
ψ θ ϕ ψ µ ε ϕ
π
+( ) = +( )∫, , , , , , , d , (62)
Ψ Ψ1
0
0
2
1
1
2
( ) , , , , ,θ µ ε
π
ψ θ ψ µ ε ψ
π
( ) = +( )∫ d , (63)
Φ Φ1
0
0
2
1
1
2
( ) , , , , ,θ µ ε
π
ψ θ ψ µ ε ψ
π
( ) = +( )∫ d , (64)
pryvodyt systemu uravnenyj (55), (56) k systeme
d
dt
t
θ ε ε θ µ ε ε θ ϕ β µ ε1
1
0
1
2
2 1 1= − + ( ) + ( )∆ Ψ Ψ( ) , , , , , , , (65)
d
dt
f t
ϕ α ε θ µ ε ε θ ϕ β µ ε1
0 1
0
1
2
2 1 1= + + ( ) + ( )Φ Φ( ) , , , , , , , (66)
funkcyy Ψ2 , Φ2 kotoroj ymegt svojstva funkcyj Ψ1, Φ1 s tem lyß\ yz-
menenyem, çto yx hladkost\ na edynycu men\ße hladkosty Ψ1, Φ1.
Poskol\ku sohlasno (57), (58), (61) – (64)
Ψ Ψ1
0
00 0( ) , , ( )θ θ( ) = ,
Φ Φ1
0
00 0( ) , , ( )θ θ( ) = ,
systema (65), (66) prynymaet vyd
d
dt
F t
θ ε θ εµ θ µ ε ε θ ϕ β µ ε1
0 1 3 1
2
1 1= − +( ) + ( ) + ( )∆ Ψ Ψ( ) , , , , , , , (67)
d
dt
f Q t
ϕ α ε θ εµ θ µ ε ε θ ϕ β µ ε1
0 0 1 3 1
2
1 1= + + + ( ) + ( )Φ Φ( ) , , , , , , , (68)
pry πtom funkcyy Ψ3 , Φ3 , F, Q — 2π -peryodyçeskye po peremenn¥m θ1, ϕ1,
ψ = β t y udovletvorqgt uslovyg
Ψ Φ3 4 3 4 4 4 3l l l lF Q M− − − −+ + + ≤ (69)
s postoqnnoj M3, ne zavysqwej ot µ, α, ε v oblasty
µ
α
µ= ≤1
1 2 0/ , ε
α
µ= ≤1
0
2
(70)
pry dostatoçno malom µ0 > 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
932 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
Rassmotrym systemu uravnenyj (67), (68). Oboznaçym
f0 1 0 1( ) ( )θ θ= −Ψ ∆ .
Yz razloΩenyj
f0 1( )θ = f f0
0
1
0
0
0ϑ θ ϑ ϑν ν ν+ −( ) − ( ) =
= ′( ) + ′ + −( )( ) − ′( )( )
−( )∫f f s f ds0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0ϑ ϑ θ ϑ ϑ θ ϑν ν ν ν ν , ν = 1, 2, (71)
sleduet, çto pry dostatoçno malom δ > 0
− ≤
−
≤ −2
20
0 1
1 1
0
0β θ
θ ϑ
βf ( )
,
α θ
θ ϑ
α0 0 1
1 2
0 02
2≤
−
≤f ( )
(72)
dlq vsex θ1 yz oblasty
θ ϑ δν1
0− < , ν = 1, 2,
y
f m0 1( )θ δ≤ − , θ ϑ δ ϑ δ1 1
0
2
0∈ + −[ ], , (73)
f m0 1( )θ δ≥ , θ ϑ δ ϑ δ1 1
0
2
0∈ − +[ ], , (74)
hde
m =
min ,
α β0 0
2 2
. (75)
Dejstvytel\no, neravenstva (72) neposredstvenno sledugt yz razloΩenyj (71) y
neprer¥vnosty funkcyy ′f0 1( )θ . Neravenstva (73), (74) — πto sledstvye toho,
çto funkcyq f0 1( )θ na T1 ymeet lyß\ dva nulq θ1 = ϑν
0
, ν = 1, 2, tak çto
naçynaq s nekotoroho dostatoçno maloho δ > 0 ee maksymal\noe y mynymal\noe
znaçenyq v oblastqx (73), (74) dostyhagtsq na hranyce πtyx oblastej, sledova-
tel\no, πty znaçenyq udovletvorqgt neravenstvam (72), no tohda dlq nyx v¥-
polnqgtsq neravenstva (73), (74), çto dokaz¥vaet ocenky (73), (74).
Yz neravenstv (73), (74) y ocenky (69) sledugt ocenky
f F m M m
0 1 3 32
2
( )θ µ ε δ µ δ+ + ≤ − + ≤ −Ψ
dlq
θ ϑ δ ϑ δ1 1
0
2
0∈ + −[ ], , (76)
f F m M m
0 1 3 32
2
( )θ µ ε δ µ δ+ + ≥ − ≥Ψ
dlq
θ ϑ δ ϑ δ1 1
0
2
0∈ − +[ ], , (77)
lyß\ tol\ko µ0 v¥brat\ nastol\ko mal¥m, çtob¥ v¥polnqlos\ uslovye
µ δ
0
34
≤ m
M
, (78)
y µ, ε v¥byrat\ yz oblasty (70), hde µ0 udovletvorqet neravenstvu (78).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 933
Yz neravenstv (76), (77) sleduet, çto lgboe reßenye θ1( )t , ϕ1( )t system¥
(67), (68), kotoroe v kakoj-nybud\ moment t = t0 dostyhaet znaçenyq
θ ϑ δ1 0 2
0( )t = − , (79)
pry t > t0 za koneçn¥j otrezok vremeny T > 0 dostyhaet znaçenyq
θ ϑ δ1 0 1
0( )t T+ = + .
Dejstvytel\no, sohlasno (67) yz (79) y neravenstva (75) sleduet, çto
d
dt
t
mθ µ δ1
0 2
( ) ≤ − .
Poπtomu funkcyq θ1( )t pry t > t0 umen\ßaetsq y v kakoj-to moment t = t0 + T
dolΩna dostyç\ znaçenyq θ1 0( )t T+ = ϑ1
0 + δ, tak kak v protyvnom sluçae
ymelo b¥ mesto neravenstvo
d t
dt
mθ µ δ( ) ≤ −
2
(80)
dlq vsex t > t0 . Yz (80) sledovalo b¥, çto
θ θ µ δ
( ) ( ) ( )t t
m
t t≤ − −0 02
, t > t0 , (81)
y neravenstvo (81) protyvoreçylo b¥ tomu, çto θ1( )t ne dostyhaet pry t > t0
znaçenyq ϑ1
0 + δ.
Dlq ocenky T sverxu ymeem neravenstvo
θ ϑ δ ϑ δ θ ϑ δ µ δ
1 0 1
0
2
0 1
2
0
0
0
2
( )
( )
t T
d t
dt
dt
m
T
t
t T
+ = + = − + ≤ − −
+
∫ ,
yz kotoroho sleduet, çto
T
m
≤ − −( )2 22
0
1
0
µ δ
ϑ ϑ δ .
DokaΩem teper\, çto
ϑ δ θ ϑ δ1
0
1 1
0− < < +( )t , t t T> +0 . (82)
Dejstvytel\no, tak kak v toçke t = t0 + T proyzvodnaq funkcyy θ1( )t otryca-
tel\na, to pry uvelyçenyy t ot t0 + T v¥polnqetsq neravenstvo (82) dlq vsex t
blyzkyx, no bol\ßyx, çem t0 + T. Pust\ v kakoj-to moment t = t2 > t0 + T
funkcyq θ1( )t dostyhaet hranyc¥ oblasty ( ϑ1
0 – δ, ϑ1
0 + δ ), tohda pry t0 +
+ T < t < t2 v¥polnqetsq neravenstvo (82) y odno yz ravenstv
θ ϑ δ1 2 1
0( )t = − , θ ϑ δ1 2 1
0( )t = + . (83)
Oboznaçym çerez N mnoΩestvo nulej funkcyy
d t
dt
θ1( )
pry t0 + T ≤ t ≤ t2 y
poloΩym τ = sup N . Poskol\ku
d t
dt
θ1 1 0
( ) < ,
d t
dt
θ1 2 0
( ) > ,
to τ suwestvuet y t0 + T < τ < t2 . No tohda sohlasno neravenstvu (82) dlq t yz
otrezka t T t0 2+[ ], ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
934 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
ϑ δ θ τ ϑ δ1
0
1 1
0− < < +( ) .
Pust\ v¥polnqetsq pervoe yz ravenstv (83). Yz opredelenyq τ sleduet so-
otnoßenye
d t
dt
θ1 1 0
( ) > , τ < ≤t t2,
poπtomu
ϑ δ θ θ τ θ θ τ ϑ δ
τ
1
0
1 2 1
1
1 1
0
2
− = = + > > −∫( ) ( )
( )
( )t
d t
dt
dt
t
,
çto protyvoreçyvo. Protyvoreçye dokaz¥vaet, çto pry t > t0 + T funkcyq
θ1( )t ne dostyhaet znaçenyq ϑ1
0 – δ.
Analohyçnoe protyvoreçye poluçym, predpoloΩyv, çto v¥polnqetsq vtoroe
yz ravenstv (83). Poπtomu pry t > t0 + T funkcyq θ1( )t ne dostyhaet znaçenyq
ϑ1
0 + δ.
YzloΩennoe zaverßaet dokazatel\stvo neravenstva (82) dlq lgboho reße-
nyq θ1( )t , ϕ1( )t system¥ (67), (68), udovletvorqgweho uslovyg (79).
Analohyçn¥e pryvedenn¥m v¥ße rassuΩdenyq dokaz¥vagt, çto lgboe re-
ßenye θ1( )t , ϕ1( )t system¥ (67), (68), kotoroe v kakoj-nybud\ moment t = t0
dostyhaet znaçenyq
θ ϑ δ1 0 2
0( )t = + ,
pry t > t0 za koneçn¥j otrezok vremeny T1 0> dostyhaet znaçenyq
θ π ϑ δ1 0 1 1
02( )t T+ = + −( )
y v dal\nejßem udovletvorqet uslovyg
ϑ δ θ π ϑ δ1
0
1 1
02+ ≥ − ≥ −( )t , t > t0 + T1. (84)
Dlq ocenky velyçyn¥ T1 sverxu ymeem neravenstvo
θ π ϑ δ ϑ δ θ ϑ δ µ δ
1 0 1 1
0
2
0 1
2
0
12
2
0
0 1
( )
( )
t T
d t
dt
dt
m
T
t
t T
+ = + − = + + ≥ + +
+
∫ ,
yz kotoroho sleduet, çto
T
m1 1
0
2
02 2 2≤ + − −( )µ δ
π ϑ ϑ δ .
Otmetym, çto tak kak θ1, ϕ1 v¥bran¥ na dvumernom tore T2 , to yx znaçe-
nyq otoΩdestvlqgtsq po modulg 2π, poπtomu neravenstvo (84) oznaçaet, çto
θ1( )t pry t > t0 + T1 prynymaet znaçenyq na duhe ( ϑ1
0 – δ , ϑ1
0 + δ )
okruΩnosty T1 = 0 2, π( ), sledovatel\no, reßenye θ1( )t , ψ1( )t pry t > t0 + T1
ostaetsq v δ-okruΩnosty toçky ϑ1 = ϑ1
0
.
Oçevydno, çto lgboe reßenye θ1( )t , ϕ1( )t system¥ (67), (68), kotoroe pry
t = t0 prynymaet znaçenye θ1 0( )t , prynadleΩawee odnomu yz yntervalov
ϑ δ ϑ δ1
0
2
0+ −( ), , ϑ δ ϑ δ1
0
2
0− +( ), ,
za koneçn¥j otrezok vremeny, ne prev¥ßagwyj sootvetstvenno znaçenyj T
yly T1, dostyhaet hranyc¥ oblasty ( ϑ1
0 – δ, ϑ2
0 + δ ) ∈ T1 y pry dal\nejßem
uvelyçenyy t ostaetsq v πtoj oblasty vse posledugwee vremq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 935
Yssleduem povedenye reßenyj system¥ (67), (68), naçynagwyxsq pry t = t0
v yntervale ( ϑ1
0 – δ, ϑ2
0 + δ ). V πtoj okrestnosty systema uravnenyj (67), (68)
qvlqetsq typyçnoj systemoj amplytudno-fazov¥x uravnenyj teoryy nelynej-
n¥x kolebanyj [11] y preobrazuetsq k vydu, k kotoromu prymenym¥ rezul\tat¥
πtoj teoryy. Dejstvytel\no, v¥polnym v systeme uravnenyj (67), (68) zamenu
peremenn¥x, poloΩyv
θ ϑ µ1 1
0
1 1= + h , (85)
hde µ1 = µ1 2/
. V rezul\tate, uçyt¥vaq razloΩenye (71), poluçaem vmesto (67),
(68) systemu vyda
dh
dt
h R h t1
1 1 1 1 1 1 1= − + ( )ελ εµ ϕ β µ µ ε, , , , , , (86)
d
dt
f Q h t
ϕ α ε ϑ εµ ϕ β µ µ ε1
0 0 1
0
1 1 1 1 1= + + ( ) + ( )Φ , , , , , , (87)
kotoraq qvlqetsq vozmuwennoj po otnoßenyg k systeme uravnenyj
dh
dt
h1
0 1= − εβ ,
d
dt
f
ϕ α εϕ ϑ1
0 0 1
0= + + ( ).
Prymenqq k systeme (86), (87) metod¥ teoryy vozmuwenyq ynvaryantn¥x
toroydal\n¥x mnohoobrazyj analohyçno tomu, kak πto b¥lo sdelano dlq syste-
m¥ uravnenyj (31) – (33), dokaz¥vaem suwestvovanye yntehral\noho mnohoobra-
zyq system¥ (86), (87)
h t1 1 1 1= ( )µ ϕ β µ µ εv , , , , ,
hde v — 2π-peryodyçeskaq po ϕ1, ϕ2 = β t funkcyq, ymegwaq l – 5 proyzvod-
n¥x po ϕ1, ϕ2 = β t, ohranyçennaq vmeste so svoymy proyzvodn¥my postoqnnoj,
ne zavysqwej ot µ1, µ, α, ε.
S uçetom zamen¥ (85) poluçaem, çto systema uravnenyj (67), (68) ymeet yn-
tehral\noe mnohoobrazye
θ ϑ µ ϕ β µ1 1
0
1 1= + ( )v , ,t (88)
takoe, çto
D Msv1 4≤ , s l= −0 5, , (89)
hde
v v 11 1
1 2 2ϕ β µ ϕ β µ µ µ, , , , , ,/t t( ) = ( ),
Ds
— s-q proyzvodnaq po ϕ1, ϕ2 = β t , M4 — postoqnnaq, ne zavysqwaq
otKKµ, α.
Systema (86), (87) na mnohoobrazyy (88) svodytsq k uravnenyg
d
dt
f Q t
ϕ α ε ϑ εµ µ ϕ β µ µ ε1
0 0 1
0
1 1 1 1 1 1= + + ( ) + ( )Φ v , , , , , .
Sohlasno metodu yntehral\n¥x mnohoobrazyj pervoe pryblyΩenye k mnoho-
obrazyg (88) opredelqetsq po formule
h1 � εµ α ε ϑ τ ϕ β µ µ ε εεβ τ
1
0
1 0 0 1
0
1 1
0 0
−∞
∫ + + ( )( ) + +( )( )e R f f t d, , ˆ , , ,Φ , (90)
yz kotoroj stanovqtsq ponqtn¥my vse svojstva mnohoobrazyq (88) kak predela
yteracyj vyda (90).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
936 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
DokaΩem πksponencyal\nug ustojçyvost\ mnohoobrazyq (88). Dlq πtoho
v¥polnym v systeme uravnenyj (67), (68) zamenu peremenn¥x
θ ϑ µ1 1
0
1= + +v z , v v1 1 1= ( )ϕ β µ, ,t .
V rezul\tate zamen¥ poluçaem uravnenyq vyda
dz
dt
f z f Z z t= + +( ) − +( ) + ( )[ ]ε ϑ µ ϑ µ µ ϕ β µ ε0 1
0
1 0 1
0
1 1v v , , , , , (91)
d
dt
ϕ1 = α + f0 +
+
ε ϑ µ µ ϑ µ µ ε ε ϑ µ ϕ β µ εΦ Φ0 1
0
1 3 1
0
1
0
1+ +( ) + + +( ) + + +( )[ ]v v v1z z Q z t, , , , , , , (92)
hde çerez Z oboznaçena funkcyq
Z =
Ψ3 1
0
1ϑ µ µ ε+ +( )v z, , –
Ψ3 1
0
1ϑ µ µ ε+( )v , , +
+
µ ϑ µ ϕ β µ ε ϑ µ ϕ β µ εF z t F t1
0
1 1
0
1+ +( ) − +( )( )v v1 1, , , , , , , , –
–
∂
∂
+ +( )[v
v1
1
0 1
0
1ϕ
ϑ µΦ z – Φ0 1
0
1ϑ µ+( )V +
+
µ ϑ µ µ ε ϑ µ µ εΦ Φ3 1
0
3 1
0+ +( ) − +( )( )v v1 1z, , , , +
+ ε ϑ µ ϕ β µ ε ϑ µ ϕ β µ εQ z t Q t1
0
1 1
0
1+ +( ) − +( )( )]v v1 1, , , , , , , , ,
kotoraq predstavyma v vyde
Z Z z= 1 . (93)
Zdes\ funkcyq Z1 l – 6 raz neprer¥vno dyfferencyruema po z , ϕ1, ϕ = β t
dlq vsex z, ϕ1, t y vsex µ , ε yz oblasty (70), ohranyçena vmeste so vsemy svoymy
proyzvodn¥my postoqnnoj M5 , ne zavysqwej ot µ, ε.
Yz peryodyçnosty prav¥x çastej system¥ (91), (92) po z, ϕ1, t sleduet su-
westvovanye reßenyj z t( ) , ϕ1( )t pry proyzvol\n¥x znaçenyqx z t( )0 , ϕ1 0( )t
dlq vsex t ∈R y proyzvol\nom t0 ∈ R.
Bolee toho, esly znaçenyq
z z t0 0= ( ), ( ) ( )ϕ ϕ1 0 1 0= t
v¥bran¥ yz uslovyq, çto znaçenye
θ ϑ µ ϕ α µ1 0 1
0
1 1 0 0 0( ) ( ) , ,t t z= + ( ) +v (94)
prynadleΩyt δ-okrestnosty toçky
θ ϑ1 1
0= , (95)
to sohlasno dokazannomu v¥ße funkcyq
θ ϑ µ ϕ α µ ε1 1
0
1 1( ) ( ), , , ( )t t t z t= + ( ) =v ,
opredelqgwaq vmeste s ϕ1( )t reßenye system¥ (67), (68), pry vsex t ≥ t0 osta-
etsq v δ-okrestnosty toçky (95). Otsgda sleduet ocenka dlq z t( )
z t t t( ) ( ), , ,+ ( ) ≤µ ϕ α µ ε δv1 1 , t ≥ t0 ,
yz kotoroj s uçetom neravenstva (89) sleduet, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 937
z t M( ) ≤ − <δ µ δ
4 2
, t ≥ t0 , (96)
lyß\ tol\ko µ ≤ µ0 < δ
2 4M
.
Bolee toho, esly v¥polnqgtsq ocenky
z t( )0 2
< δ
, µ δ
0
42
<
M
, (97)
to sohlasno (89), (95) ymeem
θ ϑ µ ϕ α µ δ1 0 1
0
1 1 0 0 0( ) ( ) , , ( )t t z t− ≤ ( ) + <v ,
y znaçenye θ1 0( )t prynadleΩyt δ-okrestnosty toçky (95), sledovatel\no,
uslovyq (97) harantyrugt ocenku (96) dlq funkcyy z t( ) , udovletvorqgwej
uslovyg
z t( )0 2
< δ
. (98)
Uçyt¥vaq vyd uravnenyq (91) y predstavlenye (93) funkcyy z, naxodym ocenku
dz t
dt
2( ) ≤ 2 0 1
0
1 1 0 1
0
1 1ε ϑ µ ϕ β µ ϑ µ ϕ β µf t t z t f t t+ ( ) +( ) − + ( )( )[ ]v v( ), , ( ) ( ), , +
+ 2 5
2εµM z t( ) . (99)
Dalee ymeem
f t t z t0 1
0
1 1ϑ µ ϕ β µ+ ( ) +( )v ( ), , ( ) –
f t t0 1
0
1 1ϑ µ ϕ β µ+ ( )( )v ( ), , =
= − λ1z t( ) +
0
1
0 1
0
1 1 0 1
0∫ ′ + ( ) +( ) − ′( )[ ]f t t sz t f ds z tϑ µ ϕ β µ µ ε ϑv ( ), , ( ), , ( ) , t ≥ t0 .
(100)
Yz (100) s uçetom (89) y (96) sleduet, çto dlq 0 ≤ s ≤ 1, t ≥ t0
′ + ( ) +( ) − ′( )f t t sz t f0 1
0
1 0 1
0ϑ µ ϕ β µ ϑv ( ), , ( ) ≤ K t t sz t1 1µ ϕ β µv ( ), , ( )( ) + ≤
≤ K M M1 4 4µ δ µ+ −( ) = K1δ , t ≥ t0 , (101)
hde K1 — postoqnnaq Lypßyca funkcyy ′f0 1( )θ . Yz (99)K–K(101) sleduet ocenka
dz t
dt
K M z t
2
1 1 5
22( ) ( )≤ − + +( )ε λ δ µ , t ≥ t0 . (102)
V¥berem nastol\ko mal¥e δ y µ0 , çtob¥ ymelo mesto neravenstvo
K M1 5 0
1
2
δ µ λ+ < . (103)
Pry takom v¥bore neravenstvo (102) prynymaet vyd
dz t
dt
z t
2
1
2( ) ( )≤ − ε λ , t ≥ t0 ,
sledovatel\no, pryvodyt k ocenke
z t e z t
t t
( ) ( )
( )
≤
− −ε λ1
02
0 , t ≥ t0 . (104)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
938 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
Poskol\ku µ0 < δ
2 4M
, dlq toho, çtob¥ v¥polnqlos\ neravenstvo (103),
dostatoçno v¥brat\ δ yz uslovyq
δ λ
K
M
M1
5
4
1
2 2
+
< .
V πtom sluçae δ budet obespeçyvat\ v¥polnenye neravenstva (104) y ne zavy-
set\ ot v¥bora parametra µ, sledovatel\no, neravenstvo (104) ymeet mesto dlq
lgboho skol\ uhodno maloho µ, lyß\ tol\ko z t( )0 udovletvorqet neravenstvu
(98) pry fyksyrovannom dostatoçno malom δ.
Sohlasno yzloΩennomu, kaΩdoe reßenye θ1( )t , ϕ1( )t system¥ uravnenyj
(67), (68) takoe, çto
z t t t t( ) ( ) ( ), , ,0 1 0 1
0
1 1 0 0 2
= − + ( )( ) <θ ϑ µ ϕ α µ ε δ
v , (105)
udovletvorqet uslovyg
θ ϑ µ ϕ α µ ε1 1
0
1 1( ) ( ), , ,t t t− + ( )( )v ≤
≤ e
t t− −ε λ1
02
( )
θ ϑ µ ϕ α µ ε1 0 1
0
1 1 0 0( ) ( ), , ,t t t− + ( )( )v (106)
dlq vsex t ≥ t0 .
Uçyt¥vaq to, çto pry µ → 0 mnohoobrazye (88) stqhyvaetsq v toçku (95),
lehko fyksyrovat\ dostatoçno mal¥e δ0 0> y ρ = ρ δ( )0 > 0 tak, çtob¥
oblast\
θ ϑ δ1 1
0
0− < (107)
soderΩala mnohoobrazye (88) vmeste s eho ρ-okrestnost\g y çtob¥ lgboe θ1 =
= θ1 0( )t yz oblasty (107) udovletvorqlo uslovyg (105) dlq proyzvol\noho
t0 ∈ R y vsex dostatoçno mal¥x µ < µ0 .
Pry takom v¥bore δ0 , ρ lgboe reßenye system¥ (67), (68), u kotoroho
θ1 0( )t vybyraetsq yz δ0 -okrestnosty toçky ϑ1
0
, prytqhyvaetsq k mnohoobra-
zyg (88) po zakonu (106).
V ρ-okrestnosty mnohoobrazyq (88) systema uravnenyj (67), (68), zapysannaq
v peremenn¥x z, ϕ1 v vyde system¥ (91), (92), vedet sebq analohyçno systeme
uravnenyj (31) – (33) v okrestnosty mnohoobrazyq (39), a ymenno, dopuskaet
rasweplenye system¥ s otweplenyem uravnenyq na mnohoobrazyy (88). Ynaçe
hovorq, k systeme uravnenyj (91), (92) prymenym¥ rezul\tat¥ [17, 18], sohlasno
kotor¥m dlq dostatoçno maloho ρ > 0 moΩno tak fyksyrovat\ dostatoçno
bol\ßoe α0 , çtob¥ dlq lgboho α > α0 suwestvovala zamena peremenn¥x
ϕ ϕ ϕ β µ ε1 2 2 2= + ( )u z t z, , , , ,
kotoraq preobrazuet systemu uravnenyj (91), (92) k vydu
dz
dt
Z z t z= − + ( )( )ε β µ ϕ β µ ε0 2 2, , , , , (108)
d
dt
ϕ2 = α + f0 +
+
ε ϑ µ µ ϑ µ µ ε ε ϑ µ ϕ β µ εΦ Φ0 1
0
1 3 1
0
1 1
0
1 2+( ) + +( ) + +( )[ ]v v v, , , , , ,Q t . (109)
Zdes\ u2 — l – 7 raz neprer¥vno dyfferencyruemaq 2π-peryodyçeskaq po ϕ2 ,
ϕ β= t funkcyq, ohranyçennaq vmeste so vsemy svoymy proyzvodn¥my postoqn-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 939
noj, ne zavysqwej ot µ, α, ε, Z2 — funkcyq so svojstvamy funkcyy Z1 s tem
lyß\ otlyçyem, çto ee hladkost\ otnosytel\no z, ϕ2 , ϕ β= t na edynycu men\-
ße, çem hladkost\ funkcyy Z.
Yz yzloΩennoho sleduet, çto reßenye system¥ (67), (68), kotoroe pry t = t0
naçynaetsq v dostatoçno maloj okrestnosty mnohoobrazyq (88), prytqhyvaetsq
k nekotoromu reßenyg, naçynagwemusq pry t = t0 na mnohoobrazyy (88), tak,
çto
θ θ ϕ ϕ1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )t t t t− + − ≤
≤ K e t t t t
t t− −
− + −( )
ε λ
θ θ ϕ ϕ
1
02
1 0 1 0 1 0 1 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) , t ≥ t0 ,
hde θ1( )t , ϕ1( )t — reßenye system¥ (67), (68), θ1( )t , ϕ1( )t — reßenye system¥
(67), (68) na mnohoobrazyy (88), K — nekotoraq postoqnnaq, ne zavysqwaq
otKKµ, α, ε.
Analohyçn¥m obrazom yssleduetsq systema uravnenyj (67), (68) v okrest-
nosty toçky
θ ϑ1 2
0= . (110)
Vse utverΩdenyq otnosytel\no povedenyq reßenyj system¥ (67), (68) v okrest-
nosty toçky θ1 = ϑ1
0
ostagtsq v syle y otnosytel\no yx povedenyq v okrest-
nosty toçky (110) s tem lyß\ yzmenenyem, çto predel\noe yx povedenye sleduet
rassmatryvat\ pry t → – ∞.
V sylu yzloΩennoho systema (67), (68) ymeet yntehral\noe mnohoobrazye
θ ϑ µ ϕ β µ1 2
0
2 1= + ( )v , ,t
so svojstvamy mnohoobrazyq (88). ∏to mnohoobrazye xarakteryzuetsq tem svoj-
stvom, çto dlq
z t t t t1 1 2
0
2 1( ) ( ) ( ), ,= − + ( )( )θ ϑ µ ϕ β µv (111)
spravedlyva ocenka
dz t
dt
z t1
2
2 1
2( )
( )≥ ε λ (112)
dlq vsex znaçenyj t ≥ t0 , pry kotor¥x reßenye θ1( )t , ϕ1( )t system¥ (67), (68)
prynadleΩyt δ-okrestnosty toçky (110). Yz (112) sleduet, çto dlq ukazann¥x
znaçenyj t ≥ t0
z t e z t
t t
1
2
1 0
2
0
( ) ( )
( )
≥
−ε λ
. (113)
Yz (113) sleduet, çto za koneçn¥j otrezok vremeny T , zavysqwyj lyß\ ot zna-
çenyq z t1 0( ) ≠ 0, reßenye θ1( )t , ϕ1( )t , naçal\noe znaçenye kotoroho θ1 0( )t ,
ϕ1 0( )t pry t = t0 ne prynadleΩyt mnohoobrazyg (111)
θ ϑ µ ϕ β µ1 0 2
0
2 1 0 0( ) ( ), , ,t t t≠ + ( )v ,
dostyhaet hranyc¥ δ-okrestnosty toçky (108), a zatem za koneçn¥j otrezok
vremeny δ-okrestnosty toçky ϑ1
0
y pry dal\nejßem uvelyçenyy t prytqhyva-
etsq k odnomu yz reßenyj system¥ (67), (68), naçynagwemusq na mnohoobrazyy
(88) v sootvetstvugwyj moment vremeny.
Podvodq ytoh pryvedenn¥m rassuΩdenyqm, poluçaem sledugwye rezul\-
tat¥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
940 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
Teorema 1. Pust\ systema uravnenyj (1) udovletvorqet sledugwym
uslovyqm:
1)KKfunkcyy f, g, h, a qvlqgtsq l ≥ 9 raz neprer¥vno dyfferencyruem¥my
po x ∈ R
n
, y ∈ C, t ∈ R, a — 2π-peryodyçeskaq funkcyq po β t ;
2)KKpry γ = 0 systema uravnenyj (1) ymeet odnoparametryçeskoe semejst-
vo dvoqkoperyodyçeskyx po t reßenyj
x x t= +( )0 0 0β ψ , y r t ei t= +( )0 0 0β ψ α
, (114)
hde x0 , r0 — vewestvenn¥e 2π-peryodyçeskye po ψ = β0t funkcyy, β0 , α
— çastot¥, ψ0 — proyzvol\n¥j parametr;
3)KKsootvetstvugwaq uravnenyqm v varyacyqx semejstva reßenyj (114)
system¥ (1) systema uravnenyj
d x
dt x
f x t g x t r t x g x t r t r
δ β β β δ β β δ= ∂
∂
( )( ) + ( )( ) ( )( )
+ ( )( ) ( )0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 02 ,
d r
dt
h x t
x
r t x h x t r
δ β β δ β δ= ∂ ( )( )
∂
( ) + ( )( )1 0 0
0 0 1 0 0
ymeet n mul\typlykatorov matryc¥ monodromyy, kotor¥e leΩat vnutry
kruha edynyçnoho radyusa ploskosty C.
Tohda moΩno ukazat\ takoe dostatoçno bol\ßoe znaçenye α0 , çto dlq
lgboho
α > α0 (115)
spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq:
1)K+systema uravnenyj (1) ymeet yntehral\noe mnohoobrazye
x x u t= +0( ) ( , , , )ψ ε ψ θ β ε ,
(116)
y e r t ti t u= + ( )( )+ −( )α ψ θ ε ψ θ β ε0
0
( ) ( ) , , ,v ,
reßenyq na kotorom opredelqgtsq systemoj uravnenyj
d
dt
f t
ψ β ε ψ θ β ε= +0 1( , , , ),
(117)
d
dt
f f tθ α ε ψ θ β ε= + +0 2( , , , ),
hde u0 , u, v , f1, f2 — l – 4 raz neprer¥vno dyfferencyruem¥e 2π -peryody-
çeskye funkcyy peremenn¥x ψ, θ, ϕ = β t, ohranyçenn¥e vmeste so vsemy svoymy
proyzvodn¥my postoqnnoj, ne zavysqwej ot ε = 1
α
, f0 — postoqnnaq (29);
2)KKmoΩno ukazat\ dostatoçno mal¥e δ > 0, δ1 = δ δ1( ) > 0 takye, çto
zamena peremenn¥x
x x u t h= + +0 0( ) ( , , , ) ( )ψ ε ψ θ β ε µ ψΦ ,
y e r t hi t u= + ( ) +( )+ −( )α ψ θ ψ ε ψ θ β ε µ ψ0
0 1
( ) ( ) , , , ( )v Φ ,
ψ ψ ψ θ β µ ε= + ( )1 1 1U h t h, , , , , ,
θ θ ψ θ β µ ε= + ( )1 1 1 1U h t h, , , , ,
pryvodyt systemu uravnenyj (1) dlq
h < δ (118)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 941
k systeme
d
dt
f t
ψ β ε ψ θ β ε1
0 1 1 1= + ( , , , ) ,
d
dt
f f t
θ α ε ψ θ β ε1
0 2 1 1= + + ( , , , ) ,
dh
dt
P P h h= +( )0 1 1 1 1 1( ) ( , , , , )ψ µ ψ θ µ ε ,
reßenyq kotoroj ψ1( )t , θ1( )t , h t( ) pry
h t( )0 1< δ
prynadleΩat oblasty (118) dlq t ≥ t0 y udovletvorqgt neravenstvu
h t e h t
k t t
( ) ( )
( )
≤
− −
L 2
0
0
, t ≥ t0 ,
hde Φ0 , Φ1, U , U1, P0, P1 — l – 5 raz neprer¥vno dyfferencyruem¥e po
ψ1, θ1, ϕ = β t, h, 2π-peryodyçeskye po ψ1, θ1, ϕ = β t funkcyy, ohranyçenn¥e
vmeste so vsemy svoymy proyzvodn¥my postoqnnoj, ne zavysqwej ot µ = 1
1 2α / ,
ε, L = const, k = const > 0.
Povedenye reßenyj system¥ (1) na mnohoobrazyy (116) opredelqet sledug-
wee utverΩdenye.
Teorema 2. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥ 1 y, krome toho, systema
uravnenyj (117), opredelqgwaq reßenyq (1) na mnohoobrazyy (116), udovlet-
vorqet takym uslovyqm:
1) β β ε− =0 ∆ ;
2) funkcyq
f f d d0 2
0
2
0
2
1
1
4
0( ) ( , , , )ψ
π
ψ θ ϕ θ ϕ
π π
= ∫ ∫
takaq, çto uravnenye
f0( )ψ = ∆
ymeet na T1 = 0 2, π[ ) tol\ko dva reßenyq
ψ ϑ= 1
0
, ψ ϑ= 2
0
ϑ ϑ1
0
2
0<( ) ;
3) ′( ) = − <f0 1
0
1 0ϑ λ , ′( ) = >f0 2
0
2 0ϑ λ .
Tohda moΩno ukazat\ takoe dostatoçno bol\ßoe znaçenye α0 , çto dlq
lgboho
α > α0 (119)
spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq:
1) systema uravnenyj (1) ymeet na yntehral\nom mnohoobrazyy (116) dva
yntehral\n¥x mnohoobrazyq
ψ ϑ β µ θ β µ ε= + + ( )1
0
1t tv , , , , (120)
ϕ ϑ β µ θ β µ ε= + + ( )2
0
2t tv , , , , (121)
reßenyq na kotor¥x opredelqgtsq sootvetstvenno uravnenyqmy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
942 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
d
dt
f f t tθ α ε ϑ µ θ β µ ε θ β ε= + + + ( )( )0 2 1
0
1v , , , , , , ,
(122)
d
dt
f f t tθ α ε ϑ µ θ β µ ε θ β ε= + + + ( )( )0 2 2
0
2v , , , , , , ,
hde v1 , v2 — l – 5 raz neprer¥vno dyfferencyruem¥e 2π-peryodyçeskye po θ,
ϕ = β t funkcyy, ohranyçenn¥e vmeste so svoymy proyzvodn¥my postoqnnoj, ne
zavysqwej ot µ, ε;
2) moΩno ukazat\ dostatoçno maloe δ0 > 0 takoe, çto zamena peremenn¥x
ψ ϑ β µ θ β µ ε µ= + + ( ) +1
0
1 1t t zv , , , ,
θ θ θ β µ µ ε= + ( )1 3 1 1Φ , , , , ,z t z
pryvodyt systemu uravnenyj (117) dlq vsex
z < δ0 (123)
k systeme
d
dt
f f t t
θ α ε ϑ µ θ β µ ε θ β ε1
0 2 1
0
1 1 1= + + +( )v ( , , , ), , , ,
dz
dt
Z z t z= − + ( )( )ε λ µ θ β µ µ ε1 1 1 1 1, , , , , ,
reßenyq θ1( )t , z t( ) kotoroj pry z t( )0 < δ0 prynadleΩat oblasty (123)
dlq t ≥ t0 y udovletvorqgt neravenstvu
z t e z t
t t
( ) ( )
( )
≤
− −ε λ1
02
0 , t ≥ t0 ,
hde Φ3 , Z1 — l – 7 raz neprer¥vno dyfferencyruem¥e po θ1, z , βt , 2 π -
peryodyçeskye po θ1, ϕ = βt funkcyy, ohranyçenn¥e vmeste so svoymy proyz-
vodn¥my postoqnnoj, ne zavysqwej ot µ1 = µ1 2/ , µ, ε;
3) reßenyq ψ( )t , θ( )t system¥ uravnenyj (117), kotor¥e pry t = t0 n e
prynadleΩat yntehral\nomu mnohoobrazyg (121)
ψ ϑ β µ θ β µ ε( ) ( ), , ,t t t t0 2
0
0 2 0 0≠ + + ( )v ,
prytqhyvagtsq pry t ≥ t0 k reßenyqm ψ t , θt system¥ (117) na yntehral\-
nom mnohoobrazyy (120)
ψ ϑ β µ θ β µ εt tt V t= + ( )1
0
1 , , , ,
θ θ= t — reßenyq uravnenyq (122),
tak, çto
ψ ψ θ θ δ
ε λ
( ) ( )
( )
t t et t
t T
− + − ≤
− −
L1
2
0
1
, t ≥ T,
dlq nekotoroho T = T tψ( )0( ) ≥ t0 y L1 = const.
Sleduet zametyt\, çto velyçyna oblasty pryblyΩenyq k yntehral\nomu
mnohoobrazyg (116) system¥ (1) opredelqetsq velyçynoj oblasty orbytal\noj
ustojçyvosty traektoryy (11) sootvetstvugwej system¥ uravnenyj (6) – (8) y
poπtomu moΩet b¥t\ v¥brana edynoj dlq vsex α, udovletvorqgwyx uslovyg
(115). Oçevydno takΩe obobwenye teorem¥ 2 na sluçaj, kohda uslovye 2 πtoj
teorem¥ ymeet mesto ne dlq odnoj, a dlq p par reßenyj, udovletvorqgwyx po-
parno uslovyg 3 teorem¥ 2. Bolee toho, oçevydno obobwenye teorem¥ 2 na slu-
çaj, kohda f t0( ) ≡ 0, no preobrazovannoe asymptotyçeskym metodom uravnenye
2-ho pryblyΩenyq opredelqet funkcyg f t1( ) typa f t0( ) so svojstvamy 2 y 3
teorem¥ 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 943
Uçyt¥vaq yzloΩennoe y utverΩdenyq teorem 1 y 2, pryxodym k sledugwemu
utverΩdenyg, xarakteryzugwemu povedenye reßenyj system¥ (1).
Teorema 3. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem 1 y 2.
Tohda moΩno ukazat\ takye dostatoçno bol\ßoe α0 y dostatoçno maloe
δ0 > 0, çto dlq lgboho α > α0 reßenyq x t( ), y t( ) system¥ uravnenyj (1),
kotor¥e pry t = t0 naçynagtsq v δ0 -okrestnosty yntehral\noho mnohoob-
razyq (116)
x t x u t( ) ( ) , , ,0 0 0 0 0 0− + ( )( )ψ ε ψ θ β ε +
+
y t e r ti t u( ) ( ) , , ,( ( ) )
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0− + ( )( )[ ]+ −α ψ θ ψ ε ψ θ β εv < δ0 ,
no vne yntehral\noho mnohoobrazyq (121)
ψ ϑ β µ θ β µ ε0 2
0
0 2 0 0≠ + + ( )t tv , , , ,
prytqhyvagtsq k reßenyqm xt , yt system¥ (1) na yntehral\nom mnohoobra-
zyy (116), kotor¥e opredelqgtsq reßenyqmy system¥ (117)
ψ ψ= t , θ θ= t ,
prynadleΩawymy yntehral\nomu mnohoobrazyg (120), takym obrazom, çto
x t x y t y et t
t T
( ) ( )
( )
− + − ≤
− −
L 2
2
0
1ε λ
δ , t T t≥ ≥ 0,
hde T = T( )ψ0 — nekotoraq postoqnnaq, L 2 = const.
Rassmotrym uravnenye (122), opredelqgwee reßenyq system¥ (1) na ynte-
hral\nom mnohoobrazyy (120). Sohlasno (120) πto uravnenye ymeet vyd
d
dt
f F tθ α ε θ β µε= + +0 ( , , ) , (124)
hde çerez F oboznaçena funkcyq f2 yz (122). K (124) pry l – 7 ≥ 2 prymenyma
teoryq Puankare – Dantua o strukture traektoryj dynamyçeskoj system¥ na
dvumernom tore [11, 19, 20]. Sohlasno πtoj teoryy xarakter povedenyq reßenyj
uravnenyj (124) opredelqetsq çyslom vrawenyq Puankare, kotoroe ymeet vyd
ν ε α ε ν
β
( ) = + +f0
, ν ≤ M ,
hde M ne zavysyt ot µ, ε, α, pry πtom esly ν ε( ) — yrracyonal\no, to
θ ν ε β θ ε ε β θ β µ εt t w t t= + + +( )( ) ( ) , , ,0 0v (125)
y funkcyq w qvlqetsq kvadratyçeskoj, ravnomerno ohranyçennoj pry α ≥ α0 ,
s çastotn¥m bazysom ν ε β β( ) ,( ) , a esly ν ε( ) — racyonal\no,
ν ε( ) = p
s
,
to θt ymeet vyd (125) dlq koneçnoho znaçenyq θ0 ,
θ θ0 0= ( )k , k = 1, 2, … , d, (126)
y funkcyq w dlq πtyx znaçenyj θ0 qvlqetsq peryodyçeskoj s peryodom T =
=
2 π
β
s , pry πtom lgboe reßenye uravnenyq (124), otlyçnoe ot reßenyj (125),
(126), prytqhyvaetsq k odnomu yz πtyx reßenyj (125), (126) pry t → ∞.
Rassmotrym, uçyt¥vaq yzloΩennoe, vyd reßenyj xt , yt system¥ (1).
Podstavyv funkcyg θt v uravnenye yntehral\noho mnohoobrazyq (120),
poluçym reßenye ψ = ψ t na πtom mnohoobrazyy v vyde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
944 A. M. SAMOJLENKO, L. REKKE
ψ ϑ β µ ν ε β θ ε ν ε β θ β µ ε β µ εt t t w t t t= + + + + +( )( )1
0
1 0 0v ( ) ( ) , , , , , , (127)
dlq sluçaq, kohda ν ε( ) — yrracyonal\no, yly
ϕt = ϕt
k( ) = ϑ1
0 +
+ βt +
µ ν ε β θ ε ν ε β θ β µ ε β µ εv1 0 0( ) ( ) , , , , , ,( ) ( )t w t t tk k+ + +( )( ) , k = 1, d , (128)
dlq sluçaq, kohda ν ε( ) — racyonal\no, pry πtom lgboe reßenye na mnohoob-
razyy (120), otlyçnoe ot (128), prytqhyvaetsq k odnomu yz reßenyj (128) pry
t → ∞.
S uçetom formul (125) – (128) y (116) dlq xt , yt ymeem predstavlenye:
v sluçae yrracyonal\noho ν ε( )
x x u tt t t t= + ( )0( ) , , ,ψ ε ψ θ β ε , (129)
y e r tt
i u f t w t
t t t
t t t= + ( )[ ]− − +( ) − ( )[ ]0 0 0
0
( ) , , ,
( ) , , ,
ψ θ ε ν ε ψ θ β ε ψ ε ψ θ β εv ; (130)
v sluçae racyonal\noho ν ε( )
x x x u tt t
k
t
k
t
k
t
k= = ( ) + ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,0 ψ ε ψ θ β ε ,
(131)
y y e r tt t
k i u f t i w t
t
k
t
k
t
kt
k k
t
k
t
k
= = ( ) + ( )[ ]( )− − +( )[ ]− ( )( ) , , , ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,0 0 0
0
ψ θ ε ν ε ψ θ β ε ψ ε ψ θ β εv
dlq k = 1, d , y lgboe reßenye xt , yt , otlyçnoe ot reßenyj (131), prytqhyva-
etsq k odnomu yz reßenyj (131) pry t → ∞.
Kak sleduet yz (130), (131), reßenye (130) qvlqetsq kvazyperyodyçeskym s
çastotn¥m bazysom, opredelqem¥m çastotamy ν ε β( ) , β , f0 + ε ν , v reßenyqx
(131) koordynata xt qvlqetsq peryodyçeskoj s peryodom T, a yt qvlqetsq
lybo peryodyçeskoj, kohda otnoßenye ν ε1( ) =
f0 + ε ν
β
racyonal\no, lybo
kvazyperyodyçeskoj, kohda ν ε1( ) yrracyonal\no, pry πtom v poslednem sluçae
çastotn¥j bazys yt opredelqetsq znaçenyem ν ε β β1( ) ,( ).
YzloΩennoe o reßenyqx xt , yt , opredelqem¥x yntehral\n¥m mnohoobra-
zyem (120), ostaetsq v syle y dlq reßenyj xt , yt , opredelqem¥x yntehral\n¥m
mnohoobrazyem (121).
Budem naz¥vat\, sleduq [11], reßenyq (129) – (131) y analohyçn¥e ym reße-
nyq, opredelqem¥e mnohoobrazyem (121), stacyonarn¥my reßenyqmy system¥
(1). Tohda spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Teorema 4. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem 1 y 2, znaçenye α udov-
letvorqet neravenstvu (119).
Tohda systema uravnenyj (1) ymeet na yntehral\n¥x mnohoobrazyqx (120) y
(121) stacyonarn¥e reßenyq xt , yt , kotor¥e predstavlqgt soboj lybo od-
noparametryçeskye semejstva kvazyperyodyçeskyx reßenyj vyda (129), (130),
lybo koneçnoe çyslo peryodyçeskyx yly kvazyperyodyçeskyx reßenyj vyda (131);
lgboe reßenye system¥ (1), kotoroe naçynaetsq v δ-okrestnosty ynteh-
ral\noho mnohoobrazyq (116), no ne prynadleΩyt yntehral\nomu mnohoobrazyg
(121) y ne qvlqetsq stacyonarn¥m, prytqhyvaetsq k odnomu yz stacyonarn¥x
reßenyj xt , yt , prynadleΩawyx yntehral\nomu mnohoobrazyg (120); lgboe
reßenye system¥ (1), kotoroe naçynaetsq na yntehral\nom mnohoobrazyy
(121), no ne qvlqetsq stacyonarn¥m, prytqhyvaetsq pry t → ∞ k odnomu
yz+stacyonarn¥x reßenyj xt , yt , prynadleΩawemu yntehral\nomu mnohoobra-
zyg (121).
Otmetym, nakonec, çto stacyonarn¥e reßenyq (130), (131) ymegt vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
USLOVYQ SYNXRONYZACYY ODNOJ KOLEBATEL|NOJ SYSTEMÁ 945
x x tt = +( ) +0 1
0ϑ β εO( ) ,
(132)
y e r tt
i u t f t= +( ) +( )+( )− +( ) −( )0 1
0
0 0
0 1
0ϑ β ε ν θ ϑ β εO( ) ,
sledovatel\no, s toçnost\g do O( )ε funkcyq xt qvlqetsq peryodyçeskoj s
peryodom
2 π
β
, a funkcyq yt s toçnost\g do O( )ε — dvoqkoperyodyçeskoj s
çastotamy β ε ν, f0 +( ) . Poπtomu oçevydno, çto pry
f p0
2= π
β
(133)
s cel¥m p predel\n¥e znaçenyq reßenyj (132) qvlqgtsq peryodyçeskymy s
peryodom
2 π
β
. Uslovye (133) v sylu yzloΩennoho qvlqetsq uslovyem prakty-
çeskoj synxronyzacyy reßenyj system¥ (1).
1. Bauer S., Brox O., Kreissl J., Sartorius B., Radziunas M., Sieber J., Wunsche H.-J., Henneberger F.
Nonlinear dynamics of semiconductor lasers with active optical feedback // Phys. Rev. E. – 2004. –
69. – 016206.
2. Tromborg B., Lassen H. E., Olesen H. Travelling wave analysis of semiconductor lasers // IEEE J.
Quant. El. – 1994. – 30, # 5. – P. 939 – 956.
3. Sieber J. Numerical bifurcation analysis for multisection semiconductor lasers // SIAM J. Appl.
Dynam. Syst. – 2002. – 1, # 2. – P. 248 – 270.
4. Sartorius B., Bornholdt C., Brox O., Ehrke H. J., Hoffmann D., Ludwig R., Mohrle M. All-optical
clock recovery module based on self-pulsating DFB laser // Electron. Lett. – 1998. – 34, # 17. –
P. 1664 – 1665.
5. Recke L., Peterhof D. Abstract forced symmetry breaking and forced frequency locking of
modulated waves // J. Different. Equat. – 1998. – 144, # 2. – P. 233 – 262.
6. Bandelow U., Recke L., Sandstede B. Frequency regions for forced locking of self-pulsating multi-
section DFB lasers // Opt. Communs. – 1998. – 147, # 1–3. – P. 212 – 218.
7. Peterhof D., Sandstede B. All-optical clock recovery using multisection distributed-feedfack lasers
// J. Nonlinear Sci. – 1999. – 9, # 5. – P. 575 – 613.
8. Recke L. Forced frequency locking of rotating waves // Ukr. Math. J. – 1998. – 50, # 1. – P. 94 –
101.
9. Krauskopf B., Wieczorek S. M. Accumulating regions of winding periodic orbits in optically driven
lasers // Physica D. – 2002. – 173, # 1-2. – P. 97 – 113.
10. Rekke L., Ínajder K. R., Syber DΩ. Dynamyka mnohosekcyonn¥x poluprovodnykov¥x
lazerov // Sovr. matematyka. Fundam. napravlenyq. – 2003. – 1, # 1. – S. 1 – 12.
11. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ v teoryy nelynejn¥x
kolebanyj. – M.: Nauka, 1974. – 503 s.
12. Moser J. A rapidly convergent iteration method and nonlinear differential equations // Ann. Scuola
norm. super Pisa. – 1966. – 20, # 3. – P. 499 – 535.
13. Hirsch M. W., Pugh C. C., Shub M. Invariant manifolds // Lect. Notes Math. – 1977. – 583. –
149 p.
14. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. – Kluwer
Acad. Publ., 1991. – Vol. 71. – 313 p.
15. Mytropol\skyj G. A., L¥kova O. B. Yntehral\n¥e mnohoobrazyq v nelynejnoj mexanyke. –
M.: Nauka, 1973. – 512 s.
16. Bogoliubov N. N., Mitropolsky Yu. A., Samoilenko A. M. Methods of accelerated convergence in
nonlinear mechanics. – Berlin; New York: Springer, 1976. – viii + 291 p.
17. Samojlenko A. M. Yssledovanye dynamyçeskoj system¥ v okrestnosty kvazyperyodyçeskoj
traektoryy. – Kyev, 1990. – 43 s. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 90.35).
18. Samoilenko A. M., Petryshyn R. Multi-frequency oscillations of nonlinear systems. – Kluwer Acad.
Publ., 2004. – Vol. 567. – 317 p.
19. Denjoy A. Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface du tore // J. math.
Ser. 9. – 1932. – 11. – P. 333 – 375.
20. Plyss V. A. Nelokal\n¥e problem¥ teoryy kolebanyj. – M.: Nauka, 1964. – 368 s.
Poluçeno 01.11.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3654 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:30Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/8b423811569cad3cd6277d98f7df48bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36542020-03-18T20:01:15Z Conditions for Synchronization of One Oscillation System Условия синхронизации одной колебательной системы Recke, L. Samoilenko, A. M. Реке, Л. Самойленко, А. М. Реке, Л. Самойленко, А. М. Using methods of perturbation theory, we investigate the global behavior of trajectories on a toroidal attractor and in its neighborhood for a system of differential equations that arises in the study of synchronization of oscillations in the mathematical model of an optical laser. Методами теорії збурень досліджено глобальну поведінку траєкторій на тороїдальному атракторі та в його околі для системи диференціальних рівнянь, що виникає при дослідженні синхронізації коливань математичної моделі оптичного лазера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3654 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 7 (2005); 922–945 Український математичний журнал; Том 57 № 7 (2005); 922–945 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3654/4038 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3654/4039 Copyright (c) 2005 Recke L.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Recke, L. Samoilenko, A. M. Реке, Л. Самойленко, А. М. Реке, Л. Самойленко, А. М. Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title | Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title_alt | Условия синхронизации одной колебательной системы |
| title_full | Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title_fullStr | Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title_full_unstemmed | Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title_short | Conditions for Synchronization of One Oscillation System |
| title_sort | conditions for synchronization of one oscillation system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3654 |
| work_keys_str_mv | AT reckel conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT samoilenkoam conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT rekel conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT samojlenkoam conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT rekel conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT samojlenkoam conditionsforsynchronizationofoneoscillationsystem AT reckel usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy AT samoilenkoam usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy AT rekel usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy AT samojlenkoam usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy AT rekel usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy AT samojlenkoam usloviâsinhronizaciiodnojkolebatelʹnojsistemy |