Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness
We consider classes of $2\pi$-periodic functions that are representable in terms of convolutions with fixed kernels $\Psi_{\overline{\beta}}$ whose Fourier coefficients tend to zero with the exponential rate. We compute exact values of the best approximations of these classes of functions in a uni...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3655 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509781020639232 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:15Z |
| description | We consider classes of $2\pi$-periodic functions that are representable in terms of convolutions with fixed kernels
$\Psi_{\overline{\beta}}$ whose Fourier coefficients tend to zero with the exponential rate.
We compute exact values of the best approximations of these classes of functions in a uniform and an integral metrics. In some cases, the results obtained enable
us to determine exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and linear widths for the classes considered in the metrics of spaces $C$ and $L$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. S. Serdgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV
ZHORTOK PERIODYÇNYX FUNKCIJ VYSOKO} HLADKOSTI
We consider classes of 2π-periodic functions that are representable in terms of convolutions with fixed
kernels Ψβ whose Fourier coefficients tend to zero with the exponential rate. We compute exact values
of the best approximations of these classes of functions in a uniform and an integral metrics. In some
cases, the results obtained enable us to determine exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and linear
widths for the classes considered in the metrics of spaces C and L.
Obçysleno toçni znaçennq najkrawyx nablyΩen\ u rivnomirnij ta intehral\nij metrykax klasiv
2π-periodyçnyx funkcij, wo zobraΩugt\sq za dopomohog zhortok iz fiksovanymy qdramy Ψβ ,
koefici[nty Fur’[ qkyx magt\ pokaznykovu ßvydkist\ spadannq do nulq. OderΩani rezul\taty
dozvolyly u rqdi sytuacij zapysaty toçni znaçennq kolmohorovs\kyx, bernßtejnivs\kyx ta
linijnyx popereçnykiv dlq takyx klasiv u metrykax prostoriv C i L.
Nexaj L = L1 — prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx na [ 0, 2 π ] funkcij ϕ z
normog
ϕ L = ϕ 1 = ϕ
π
( )t dt
0
2
∫ ,
L∞ — prostir vymirnyx i sutt[vo obmeΩenyx 2π-periodyçnyx funkcij ϕ iz
normog
ϕ ∞ = ess sup
t
tϕ ( ) ,
C — prostir neperervnyx 2π-periodyçnyx funkcij ϕ, u qkomu norma zada[t\sq
rivnistg
ϕ C = max
t
tϕ ( ) .
U danij roboti budemo vykorystovuvaty zaprovadΩeni O. I. Stepancem [1]
klasy Lβ
ψ
� , � ⊂ L , 2π-periodyçnyx funkcij f L∈ , qki dopuskagt\ zobra-
Ωennq u vyhlqdi zhortky
f ( x ) =
a
x t t dt0
2
1+ −
−
∫π
ϕ β
π
π
( ) ( )Ψ =
a
f x0
2
+ ∗( )β
ψ
βΨ ( ), ϕ ∈ � , (1)
de Ψβ ( )t — fiksovane sumovne qdro z rqdom Fur’[
ψ β π
( ) cosk kt k
k
−
=
∞
∑ 21
, (2)
a a0 — vil\nyj çlen rozkladu Fur’[ funkci] f ( ⋅ ) . Pry c\omu pokladagt\
Cβ
ψ
� =
C L∩ β
ψ
� . (3)
U vypadku, koly β βk ≡ , k = 1, 2, … , mnoΩyny
Lβ
ψ
� i
Cβ
ψ
� poznaçagt\ çe-
rez
Lβ
ψ
� i
Cβ
ψ
� vidpovidno.
© A. S. SERDGK, 2005
946 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 947
Dali skriz\ budemo vymahaty, wob spravdΩuvalas\ umova
ψ ( )k
k=
∞
∑
1
< ∞ , ψ ( k ) > 0, k ∈ N , (4)
qka zabezpeçu[ rivnomirnu zbiΩnist\ rqdu (2). U c\omu vypadku klasy
Lβ
ψ
� i
Cβ
ψ
� moΩna oxarakteryzuvaty qk klasy zhortok vyhlqdu (1), porodΩenyx tvir-
nymy qdramy
Ψβ ( )t = ψ β π
( ) cosk kt k
k
−
=
∞
∑ 21
, βk ∈ R , ψ ( k ) > 0, k ∈ N . (5)
V qkosti � u podal\ßomu budemo vykorystovuvaty mnoΩyny
U1
0 = ϕ ϕ ϕ∈ ≤ ⊥{ }L1 1 1 1: , ,
U∞
0 = ϕ ϕ ϕ∈ ≤ ⊥{ }∞ ∞L : ,1 1 .
Pry c\omu dlq zruçnosti poklademo
Cβ
ψ
,∞ = C Uβ
ψ
∞
0 , Cβ
ψ
,∞ = C Uβ
ψ
∞
0 , Lβ
ψ
,1
= L Uβ
ψ
1
0 , Lβ
ψ
,1 = L Uβ
ψ
1
0 .
Najkrawe nablyΩennq koΩno] okremo] funkci] f ( t ) za dopomohog tryhonomet-
ryçnyx polinomiv T tn−1( ) porqdku, ne vywoho za n – 1, u metrykax C i L bu-
demo poznaçaty vidpovidno çerez E fn C( ) i E fn L( ) .
U p. 1 dano] roboty rozhlqda[t\sq zadaça pro znaxodΩennq toçnyx znaçen\
velyçyn
E Cn C( )
,β
ψ
∞ = sup
f C
n CE f
∈
∞β
ψ
,
( ) = sup inf
f C
T n C
n
f T
∈
−
∞
−
−
β
ψ
,
1
1 , (6)
En LL( )
,β
ψ
1
= sup
f L
n LE f
∈
β
ψ
,
( )
1
= sup inf
f L
T n
n
f T
∈
−
−
−
β
ψ
,1
1
1 1, (7)
qki nazyvagt\ najkrawymy nablyΩennqmy na klasax Cβ
ψ
,∞ ta Lβ
ψ
,1
u metrykax
C i L vidpovidno.
U p. 2 vyvça[t\sq zadaça pro toçni znaçennq kolmohorovs\kyx popereçnykiv
d C CM ( )
,
,β
ψ
∞ ta d LM L( )
,
,β
ψ
1
— velyçyn, wo oznaçagt\sq rivnostqmy
d C CM ( )
,
,β
ψ
∞ =
inf sup inf
F C
C
F C
M M⊂ ∈ ∈
∞
−
v
v
β
ψ ξ
ξ
,
, (8)
d LM L( )
,
,β
ψ
1
= inf sup inf
F L
L
FM M⊂ ∈ ∈
−
v
v
β
ψ ξ
ξ
,1
1, (9)
u qkyx zovnißnij infimum rozhlqda[t\sq po usix moΩlyvyx linijnyx pidprosto-
rax FM prostoriv C abo L vidpovidno, rozmirnist\ qkyx ne perevywu[ M
( dim FM ≤ M, M ∈ N ) .
U p. 3 vkazano v qvnomu vyhlqdi (çerez koefici[nty Fur’[ tvirnoho qdra Ψβ )
najkrawyj linijnyj metod nablyΩennq klasiv Cβ
ψ
,∞ ( )
,
Lβ
ψ
1
u metryci prostoru
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
948 A. S. SERDGK
C ( L ) , a takoΩ u deqkyx vypadkax znajdeno toçni znaçennq linijnyx i bern-
ßtejnivs\kyx popereçnykiv vkazanyx klasiv funkcij.
1. Najkrawi nablyΩennq na klasax C
ββ
ψψ
,∞∞
i L
ββ
ψψ
,1
u rivnomirnij ta in-
tehral\nij metrykax. U rivnomirnij metryci zadaça pro oderΩannq toçnyx
znaçen\ najkrawyx nablyΩen\ na klasax Wr
∞ , r ∈ N , qki moΩna rozhlqdaty qk
klasy Cβ
ψ
,∞ , wo porodΩeni vidomymy qdramy Bernulli
B tr ( ) =
cos( / )kt r
kr
k
−
=
∞
∑ π 2
1
, r ∈ N ,
rozv’qzana u 1936 r. Û. Favarom [2, 3]. Ci doslidΩennq buly prodovΩeni
N.MI.MAxi[zerom ta M. H. Krejnom [4], B. Nadem [5], S. M. Nikol\s\kym [6],
V.MK.MDzqdykom [7 – 9], S. B. St[çkinym [10, 11] ta Sun\ Gn-ßenom [12 – 14].
Ostatoçni rezul\taty po rozv’qzanng zadaçi pro znaxodΩennq toçnyx znaçen\
velyçyn (6) i (7) u vypadku ψ ( )k k r= −
pry dovil\nyx r > 0 i β βk ≡ , β ∈ R ,
naleΩat\ V. K. Dzqdyku [9]. U vypadku ψ ( )k qk= , 0 < q < 1, tobto koly
funkcional\ni klasy Cβ
ψ
,∞ ta Lβ
ψ
,1 porodΩugt\sq qdramy Puassona P tq, ( )β vy-
hlqdu
P tq, ( )β = q ktk
k
cos −
=
∞
∑ βπ
21
, 0 < q < 1, β ∈ R,
toçni znaçennq velyçyn (6) i (7) buly obçysleni M. H. Krejnom [15], S. M. Ni-
kol\s\kym [6] (metryky C i L vidpovidno, β ∈ Z ), A. V. Bußans\kym [16],
V.MT.MÍevaldinym [17] ( )β ∈R . U vypadku, koly klasy Cβ
ψ
,∞ ta Lβ
ψ
,1 porodΩu-
gt\sq parnymy qdramy Ψ0( )t vyhlqdu
Ψ0( )t = ψ ( ) cosk kt
k=
∞
∑
1
, ψ ( )k > 0,
koefici[nty ψ ( )k qkyx tryçi monotonno prqmugt\ do nulq, tobto
lim ( )
k
k
→∞
ψ = 0, ∆ ψ ( )k
df= ψ ψ( ) ( )k k− +1 ≥ 0,
∆2 ψ ( )k = ∆ ∆( )( )ψ k ≥ 0, ∆3 ψ ( )k = ∆ ∆( )( )2ψ k ≥ 0, k ∈ N,
abo neparnymy qdramy Ψ1( )t vyhlqdu
Ψ1( )t = ψ ( ) sink kt
k=
∞
∑
1
, ψ ( )k > 0,
koefici[nty ψ ( )k qkyx zadovol\nqgt\ umovy
ψ ( )k
kk=
∞
∑
1
< ∞ , ∆ ψ ( )k ≥ 0, ∆2 ψ ( )k ≥ 0,
toçni znaçennq velyçyn E Cn C( ),β
ψ
∞ buly znajdeni B. Nadem [5], a velyçyn
E Ln L( ),β
ψ
1 — S. M. Nikol\s\kym [6]. Velyçyny (6) i (7) buly obçysleni takoΩ u
deqkyx inßyx vypadkax (dyv., zokrema, [18 – 21]).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 949
Zaznaçymo, wo vsi vidomi do c\oho çasu toçni znaçennq velyçyn (6) i (7) buly
oderΩani dlq klasiv, porodΩenyx qdramy, wo zadovol\nqgt\ umovu Nikol\s\-
koho An
∗
abo navit\ bil\ß Ωorstku, niΩ An
∗ , umovu Nadq Nn
∗
.
Oznaçennq:1. Hovorqt\, wo sumovna 2π -periodyçna funkciq K ( t ) , qka to-
toΩno ne dorivng[ nulg, zadovol\nq[ umovu An
∗ , n ∈ N ( )K An∈ ∗
, qkwo isnu-
gt\ tryhonometryçnyj polinom Tn−
∗
1 porqdku n – 1 i dodatne çyslo λ ≤
≤ π / n take, wo dlq funkci] ϕ∗ −
∗= −( ) ( ) ( )( )t K t T tnsign 1 majΩe pry usix t vy-
konu[t\sq rivnist\ ϕ λ∗ +( )t = – ϕ∗( )t .
Oznaçennq:2. Hovorqt\, wo sumovna 2π -periodyçna funkciq K ( t ) , qka to-
toΩno ne dorivng[ nulg, zadovol\nq[ umovu Nn
∗ , n ∈ N ( )K Nn∈ ∗
, qkwo isnu-
gt\ tryhonometryçnyj polinom Tn−
∗
1 porqdku n – 1 i toçka ξ ∈ [ 0, π / n )
taki, wo riznycq K t T tn( ) ( )− −
∗
1 zming[ znak na [ 0, 2 π ) u toçkax tk =
= ξ π+ k n/ , k = 0, 1, … , 2n – 1, i til\ky v nyx.
Iz oznaçen\ 1 i 2 bezposeredn\o vyplyva[ vkladennq N An n
∗ ∗⊂ , n = 1, 2, … .
S. M. Nikol\s\kym [6, c. 228] bulo dovedeno, wo vklgçennq Ψβ ∈ ∗An
zabezpeçu[ vykonannq rivnostej
E Cn C( )
,β
ψ
∞ = sup
,
f C
f T
C
n
f
∈
⊥
∞
−
β
ψ
1
= E Ln C( )
,β
ψ
1
=
= sup
,
f L
f Tn
f
∈
⊥ −
β
ψ
1
1
1 =
1
π βEn L( )Ψ , (10)
de f Tn⊥ −1 oznaça[, wo
f t kt
kt dt( )cos
sin
0
2π
∫ = 0, k = 0, 1, … , n – 1.
Cej fakt, zokrema, dozvolyv vidomi rezul\taty po najkrawomu nablyΩenng na
klasax zhortok u metryci C perenosyty na vypadok, koly nablyΩennq
rozhlqda[t\sq u metryci L.
U danomu punkti vstanovleno deqki novi dostatni umovy, wo zabezpeçugt\ na-
leΩnist\ qder Ψβ vyhlqdu (5) do mnoΩyny Nn
∗
(a otΩe, i do An
∗
), i na cij os-
novi otrymano toçni znaçennq velyçyn najkrawyx nablyΩen\ na klasax zhortok
iz qdramy, koefici[nty ψ ( k ) qkyx prqmugt\ do nulq pryblyzno qk çleny heo-
metryçno] prohresi].
Osnovnym u roboti [ nastupne tverdΩennq.
Teorema:1. Nexaj poslidovnosti ψ ( k ) > 0 i βk ∈ R qdra Ψβ ( )t vyhlqdu
(5), qke porodΩu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, taki, wo pry zadanomu n ∈ N znajdet\-
sq çyslo ρ ∈ ( 0, 1 ) , dlq qkoho
ψ
ψ
( )
( )
k
k
+1
< ρ, k = n, n + 1, n + 2, … , (11)
i
1
2 21
+ + +
−
+
=
∞
∑ ψ
ψ
β β π( )
( )
cos
( )n j
n
jt n n j
j
>
ρ ρ
ρ ρ
2
2
1 3
2 1 2 1
n
n
( )
( )
+
− −
. (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
950 A. S. SERDGK
Todi dlq vkazanoho n ∈ N ma[ misce vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn ta vykonugt\sq riv-
nosti
E Cn C( )
,β
ψ
∞ = E Ln L( )
,β
ψ
1
=
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
2
2 1
0π
ψ ν
ν
ν θ π
β πν
ν
(( ) )
sin ( )
( )+
+
+ −
+
=
∞
∑ n
n
n
, (13)
de θn = θn ( ψ, β ) ∈ [ 0, 1 ) i θn [ korenem rivnqnnq
ψ ν ν θ π
β πν
ν
(( ) ) cos ( )
( )
2 1 2 1
2
2 1
0
+ + −
+
=
∞
∑ n n
n
= 0. (14)
Dovedennq. PokaΩemo spoçatku, wo vykonannq umov (11), (12) na koefici-
[nty ψ ( k ) qdra Ψβ vyhlqdu (5) zabezpeçu[ vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn . Dlq c\oho
rozhlqnemo sukupnist\ toçok
θ πn
n
,
θ π πn
n
+
,
θ π πn
n
+ 2
, … ,
θ π πn n
n
+ −( )2 2
, (15)
de θn ( θn ∈ [ 0, 1 )) — korin\ rivnqnnq (14) ([dynist\ toçky θn bude dovedeno
pizniße). Poznaçymo çerez T tn−
∗
1( ) tryhonometryçnyj polinom porqdku n – 1,
wo interpolg[ funkcig Ψβ ( )t v toçkax vyhlqdu (15). Takyj polinom isnu[ i [
[dynym u mnoΩyni �2 1n− tryhonometryçnyx polinomiv T tn−1( ) porqdku, ne
vywoho za n – 1. Krim toho, polinom T tn−
∗
1( ) interpolg[ funkcig Ψβ ( )t i u
toçci ( )/( )θ π πn n n+ −2 1 . Cej fakt ©runtu[t\sq na nastupnomu tverdΩenni,
wo naleΩyt\ M. H. Krejnu [15].
Lema:1. Nexaj K ( t ) — sumovna funkciq z periodom 2 π, λ — dovil\ne dijs-
ne çyslo, a T tn−1( ) — tryhonometryçnyj polinom porqdku, ne vywoho za n – 1,
wo interpolg[ K ( t ) u toçkax
λπ , λ π+
1
n
, … , λ π+ −
2 2n
n
.
Todi dlq toho, wob riznycq K t T tn( ) ( )− −1 peretvorgvalas\ u nul\ i u toçci
( / )( )λ π+ −2 1n n , neobxidno i dostatn\o, wob spravdΩuvalas\ rivnist\
( )− +
=
−
∑ 1
0
2 1
ν
ν
λπ νπ
K
n
n
= 0.
Rozhlqnemo sumu
G ( t ) = ( )− +
=
−
∑ 1
0
2 1
ν
β
ν
νπΨ t
n
n
.
Vykorystovugçy rivnosti
( ) ( / / )− +
=
−
∑ 1
0
2 1
ν νπ
ν
eik n t n
n
=
=
e e
e
ikt n i k
ik n
/
/
( )1
1
2−
+
π
π =
0 2 1 0 1 2
2 2 1 0 1 22 1
, ( ) , , , , ,
, ( ) , , , , ,( )
k j n j
ne k j n ji j t
≠ + = …
= + = …
+
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 951
de k i n — dovil\ni natural\ni çysla, oderΩu[mo
G ( t ) = 2 2 1 2 1
2
2 1
0
n n nt
nψ ν ν
β πν
ν
(( ) ) cos ( )
( )+ + −
+
=
∞
∑ ,
a otΩe, z uraxuvannqm rivnosti (14) ma[mo
G
n
nθ π
= 2 2 1 2 1
2
2 1
0
n n n
nψ ν ν θ π
β πν
ν
(( ) ) cos ( )
( )+ + −
+
=
∞
∑ = 0. (16)
Zastosovugçy lemuM1 u vypadku, koly K t t( ) ( )= Ψβ , λ θ= n n/ , otrymu[mo
Ψβ
θ π πn n
n
+ −
( )2 1
= T
n
nn
n
−
∗ + −
1
2 1θ π π( )
.
OtΩe, riznycq Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1 ma[ na periodi 2n nuliv. Podal\ßa naßa zadaça
— pokazaty, wo ]x na periodi ne bil\ße. Dlq c\oho riznycg Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1 po-
damo u zruçnomu dlq doslidΩennq vyhlqdi, analohiçno tomu, qk ce zrobleno u
[7, 13, 21].
Poklademo u t nn= − θ π / . Todi
Ψβ ( )t = Ψβ
θ π
u
n
n+
= ψ θ π β π
( ) cosk ku
k
n
n k
k
+ −
=
∞
∑ 21
=
= a ku b kuk
k
k
k
cos sin
=
∞
=
∞
∑ ∑+
1 1
, (17)
de
ak = ψ θ π β π
( ) cosk
k
n
n k−
2
, bk = – ψ θ π β π
( ) sink
k
n
n k−
2
.
Nexaj T un−1
1( ) ( ) i T un−1
2( )( ) — tryhonometryçni polinomy porqdku n – 1, wo in-
terpolggt\ funkci] a kukk n
cos=
∞∑ ta b kukk n
sin=
∞∑ vidpovidno u nulqx
funkci] sin nu. Vykorystavßy spivvidnoßennq [7, c. 137]
sin cosnt ktk
k
α α0
12
+
=
∞
∑ =
1
2 1
1
( ) sinα αn j n j
j
n
jt− +
=
−
−∑ +
+
1
2
( ) sinα αj n j n
j n
jt− +
=
∞
−∑ , (18)
sin sinnt ktk
k
γ
=
∞
∑
1
=
1
2 1
1
+ +
− +
=
−
∑γ γ γn n j n j
j
n
jt( ) cos +
+
1
2
( ) cosγ γj n j n
j n
jt+ −
=
∞
−∑ , (19)
qki magt\ misce pry dovil\nyx αk i γk , wo prqmugt\ do nulq pry k → ∞ u
koΩnij toçci t, u qkij zbihagt\sq rqdy α α0 1
2/ cos+ =
∞∑ kk
kt ta γ kk
ktsin=
∞∑ 1
,
moΩna pokazaty, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
952 A. S. SERDGK
b ju T uj
j n
nsin ( )( )
=
∞
−∑ − 1
2 =
= b ju b b juj
j n j
n
n j n jsin ( ) sin
=
∞
=
−
− +
=
∞
∑ ∑ ∑+ −
1
1
2 2
1
ν ν
ν
=
= 2
1
21
2 1
1
2 1
1
sin cos( ) ( )nu b ju b
j
n j n
=
∞
− +
=
∞
−
=
∞
∑ ∑ ∑
+
ν
ν
ν
ν
(20)
ta
a ju T uj
j n
ncos ( )( )
=
∞
−∑ − 1
1 =
= a ju a a a juj
j n
n
j
n
n j n jcos ( ) cos
=
∞
=
∞
=
−
− +
=
∞
∑ ∑ ∑ ∑− + +
2
1 1
1
2 2
1
ν
ν
ν ν
ν
=
= 2
1
2 1
1
sin sin( )nu a ju
j
n j
=
∞
− +
=
∞
∑ ∑−
ν
ν
. (21)
Dlq toho wob perekonatys\ u spravedlyvosti (20), dosyt\ poklasty u formuli
(18) αk = b n k( )2 11 νν − +=
∞∑ . Analohiçno, wob pereviryty rivnist\ (21), dosyt\ u
formuli (19) poklasty γk = – a n k( )2 11 νν − +=
∞∑ .
Ob’[dnugçy (20) i (21), ma[mo
a ku b ku T u T uk
k n
k
k n
n ncos sin ( ) ( )( )( ) ( )
=
∞
=
∞
− −∑ ∑+ − +1
1
1
2 =
= – 2
1
2
2 1 2 1
20
2 1
sin (( ) )sin ( )
( )
nu n n
n
+ + −
=
∞
+∑ ψ ν ν θ π
β π
ν
ν
+
+
j
n
n j nn j j
n
ju
=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + − +
1 0
2 1
2 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π θ π
(( ) )sin ( ) cos
( )
+
+
j
n
n j nn j j
n
ju
=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + − +
1 0
2 1
2 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π θ π
(( ) )cos ( ) sin
( )
=
= – 2
1
2
2 1 2 1
20
2 1
sin (( ) ) sin ( )
( )
nu n n
n
+ + −
=
∞
+∑ ψ ν ν θ π
β π
ν
ν
+
+
j
n
n j nn j j u
n=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + − + +
1 0
2 1
2 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π θ π
(( ) )sin ( )
( )
=
= – 2
1
2
2 1 2 1
20
2 1
sin (( ) ) sin ( )
( )
nu n n
n
+ + −
=
∞
+∑ ψ ν ν θ π
β π
ν
ν
+
+
j
n
n j
n j jt
=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + −
1 0
2 1
2 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π
(( ) )sin ( ) cos
( )
+
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 953
+
j
n
n jn j jt
=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + −
1 0
2 12 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π
(( ) )cos ( ) sin( ) =
= – 2sin ( )nu W tn , (22)
de
W tn( ) =
c
c jt d jt
n
j
n
j
n
j
0
12
( )
( ) ( )( )cos sin+ +
=
∞
∑ , (23)
cj
n( ) =
ν
νψ ν ν θ π
β π
=
∞
+ +∑ + + + −
0
2 12 1 2 1
2
(( ) )sin ( ) ( )n j n
n j , (24)
dj
n( ) =
ν
νψ ν ν θ π
β π
=
∞
+ +∑ + + + −
0
2 12 1 2 1
2
(( ) )cos ( ) ( )n j n
n j . (25)
Iz rivnostej (17) i (22) oderΩu[mo zobraΩennq
T tn−
∗
1( ) = T t
n
T t
n
k ktn
n
n
n k
k
n
− −
=
−
−
+ −
+ −
∑1
1
1
2
1
1
2
( ) ( ) ( )cos
θ π θ π ψ β π
,
a otΩe, i rivnist\
Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1 = – 2sin ( )n t
n
W tn
n−
θ π
. (26)
Iz formuly (26) vydno, wo dovedennq nerivnosti
W tn( ) ≠ 0 ∀ t ∈ [ 0, 2 π ] (27)
dozvolyt\ stverdΩuvaty, wo riznycq Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1 dorivng[ nulg til\ky v
nulqx funkci] sin( )nt n− θ π . PokaΩemo, wo pry vykonanni umov (11), (12) ne-
rivnist\ (27) dijsno ma[ misce.
Podagçy koefici[nty cj
n( )
i dj
n( )
, wo zadagt\sq formulamy (24) i (25), u
vyhlqdi
cj
n( ) = ψ θ π
β π
( ) sin ,
( )n j rn
n j
n j+ −
++
2
1 , (28)
dj
n( ) = ψ θ π
β π
( ) cos ,
( )n j rn
n j
n j+ −
++
2
2 , (29)
de
rn j,
( )1
df=
ν
νψ ν ν θ π
β π
=
∞
+ +∑ + + + −
1
2 12 1 2 1
2
(( ) )sin ( ) ( )n j n
n j , (30)
rn j,
( )2
df=
ν
νψ ν ν θ π
β π
=
∞
+ +∑ + + + −
1
2 12 1 2 1
2
(( ) )cos ( ) ( )n j n
n j , (31)
perepysu[mo rivnist\ (23) takym çynom:
W tn( ) = 1
2 2 21
ψ θ π β π ψ θ π
β π
( ) sin ( ) sinn n j jtn
n
j
n
n j−
+ + − +
=
∞
+∑ +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
954 A. S. SERDGK
+
r
r jt r jtn
j
n j n j
,
( )
,
( )
,
( )cos sin0
1
1
1 2
2
+ +( )
=
∞
∑ =
= sin
( )
( ) cos
( )
( )θ π β π ψ ψ
β β π
n
n
j
n n j
n
n
n j jt R t−
+ + +
−
+
=
∞
+∑2 2 21
, (32)
de
R tn( )
df= cos ( ) sin
( )
θ π β π ψ
β β π
n
n
j
n n jn j jt−
+ +
−
=
∞
+∑2 21
+
+
r
r jt r jtn
j
n j n j
,
( )
,
( )
,
( )cos sin0
1
1
1 2
2
+ +( )
=
∞
∑ . (33)
Na pidstavi umovy (11)
ν
ψ ν
=
∞
∑ + +
1
2 1(( ) )n j ≤ ψ ρ
ν
ν( )3
0
2n j n+
=
∞
∑ ≤ ψ ρ
ρ
( )n j
n
n+
−
2
21
, j = 0, 1, 2, … ,
(34)
zvidky, vyxodqçy iz (30), (31) ta (14), oderΩu[mo spivvidnoßennq
rn,
( )
0
1 ≤
ν
ψ ν
=
∞
∑ +
1
2 1(( ) )n ≤ ψ ρ
ρ
( )n
n
n
2
21 −
, (35)
j
n j n jr jt r jt
=
∞
∑ +( )
1
1 2
,
( )
,
( )cos sin =
=
j
n
n jn j jt
=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ + + + − +
1 1
2 12 1 2 1
2ν
νψ ν ν θ π
β π
(( ) ) sin ( ) ( ) ≤
≤
j
n j
=
∞
=
∞
∑ ∑ + +
1 1
2 1
ν
ψ ν(( ) ) ≤
ρ
ρ
ψ
2
2
11
n
n
j
n j
−
+
=
∞
∑ ( ) ≤
≤
ρ
ρ
ρ
ρ
ψ
1 1
2
2− −
n
n n( ), (36)
cos θ π β π
n
n−
2
= 1 2 1 2 1
21
2 1
ψ
ψ ν ν θ π
β π
ν
ν
( )
(( ) ) cos ( ) ( )
n
n n
n
=
∞
+∑ + + −
≤
≤ 1 2 1
1ψ
ψ ν
ν( )
(( ) )
n
n
=
∞
∑ + ≤
ρ
ρ
2
21
n
n−
. (37)
Ob’[dnugçy nerivnosti (35) – (37), otrymu[mo ocinky
R tn( ) ≤
ρ
ρ
ψ ψ ρ
ρ
ρ
ρ
2
2
1
2
21 1
1
2 1
n
n
j
n
nn j n
−
+ +
−
+
−
=
∞
∑ ( ) ( ) ≤
≤ ψ ρ
ρ
ρ
ρ
( )
( )
n
n
n
1 3
2 1 1
2
2
+
− −
. (38)
Qkwo parametry ρ i n taki, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 955
ρ2n <
1
2
(39)
oskil\ky ρ ∈ ( 0, 1 ) , to nerivnist\ (39) spravdΩu[t\sq dlq usix nomeriv n,
poçynagçy z nomera n0 =
ln
ln /
2
1
1
ρ
+ , de [ a ] — cila çastyna çysla a
, to na
pidstavi (37)
sin θ π β π
n
n−
2
≥ 1
1
4
2 2−
−
ρ
ρ
n
n( )
=
1 2
1
2
2
−
−
ρ
ρ
n
n . (40)
Umova (39) [ naslidkom umovy (12), tomu vyxodqçy z nerivnostej (12), (38) i (40),
oderΩu[mo
sin
( )
( ) cos
( )
θ π β π ψ ψ
β β π
n
n
j
n n jn
n j jt−
+ + +
−
=
∞
+∑2 2 21
>
> ψ ρ
ρ
ρ
ρ
( )
( )
n
n
n
1 3
2 1 1
2
2
+
− −
≥ R tn( ) . (41)
Spivstavlqgçy formuly (32) i (41), baçymo, wo
sign W tn( ) = sign sin θ π β π
n
n−
2
∀ t ∈ [ 0, 2 π ] . (42)
Iz (40) i (42) vyplyva[ nerivnist\ (27).
OtΩe, qk vyplyva[ iz (26) i (27), riznycq Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1 zming[ znak u toç-
kax, qki [ nulqmy funkci] sin( )nt n− θ π (i til\ky u cyx toçkax). Na pidstavi
teoremy Markova [22, c. 96] sered vsemoΩlyvyx polinomiv T tn−1( ) porqdku n – 1
polinom T tn−
∗
1( ) [ polinomom najkrawoho nablyΩennq qdra Ψβ ( )t u metryci L .
Funkciq Ψβ ( )t [ neperervnog funkci[g, tomu, zhidno z teoremog DΩeksona
[22, c. 89], pry zadanomu porqdku n – 1 polinom T tn−
∗
1( ) ]] najkrawoho nably-
Ωennq u metryci L [ [dynym. Ce oznaça[, wo inßyx toçok θn ∈ [ 0, 1 ) , qki b za-
dovol\nqly rivnqnnq (14), buty ne moΩe.
Iz vykladenoho vyplyvagt\ vklgçennq Ψβ ∈ ⊂∗ ∗N An n dlq bud\-qkoho natu-
ral\noho n, wo zadovol\nq[ umovy (11), (12). Tomu dlq vkazanoho n magt\ mis-
ce formuly (10). Dali, na pidstavi rivnosti
sign ( )( ) ( )Ψβ t T tn− −
∗
1 = ε θ π0 signsin( )nt n− , ε0 = ± 1,
oderΩu[mo
En L( )Ψβ = Ψβ ( ) ( )t T tn− −
∗
1
1
=
−
−
∗∫ −
π
π
βΨ ( ) ( )t T t dtn 1 =
=
−
−
∗∫ − −
π
π
β θ π( )( ) ( ) sin( )Ψ t T t nt dtn n1 sign =
−
∫ −
π
π
β θ πΨ ( ) sin( )t nt dtnsign .
(43)
Rozkladagçy funkci] Ψβ ( )t ta signsin( )nt n− θ π u rqdy Fur’[
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
956 A. S. SERDGK
Ψβ ( )t =
j
kk kt
=
∞
∑ −
1
2ψ β π( ) cos( )/ ,
signsin( )nt n− θ π =
4 2 1
2 10π
ν θ π
νν=
∞
∑ + −
+
sin (( )( ))nt n
i zastosovugçy uzahal\nenu rivnist\ Parsevalq, iz (43) otrymu[mo
En L( )Ψβ = 4
2 1
2 1
2 1
20
2 1
ν
νψ ν
ν
ν θ π
β π
=
∞
+∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
( )n
n
n
. (44)
Po[dnannq rivnostej (44) i (10) dozvolq[ zapysaty (13).
Teoremu dovedeno.
Navedemo dekil\ka naslidkiv iz teoremyM1.
Teorema:2 . Nexaj poslidovnist\ ψ ( k ) qdra Ψβ vyhlqdu (5) zadovol\nq[
umovu
ψ
ψ
( )
( )
k
k
+1
< ρ, ρ ∈
0
1
3
, , k = n0, n0 + 1, … , n0 ∈ N . (11′ )
Todi znajdet\sq nomer n1, n1 ≥ n0 , takyj, wo, qkog b ne bula poslidovnist\
βk ∈ R , spravdΩu[t\sq vklgçennq
Ψβ ∈ ∗Nn , n = n1, n1 + 1, … ,
i vykonugt\sq rivnosti (13).
Dovedennq. PokaΩemo, wo pry vykonanni umovy (11′ ) isnu[ nomer n1, n1 ≥
≥ n0 , takyj, wo ma[ misce nerivnist\ (12) pry n = n1, n1 + 1, … . Dijsno, oskil\-
ky na pidstavi (11′ )
ψ
ψ
( )
( )
n j
n
+
=
i
j n i
n i=
−
∏ + +
+0
1 1ψ
ψ
( )
( )
< ρ
j, n = n0, n0 + 1, … ,
to, qkog b ne bula poslidovnist\ βk ∈ R , vykonugt\sq spivvidnoßennq
1
2 21
+ + +
−
=
∞
+∑
j
n n jn j
n
jt
ψ
ψ
β β π( )
( )
cos
( )
≥
1
2 1
− +
=
∞
∑
j
n j
n
ψ
ψ
( )
( )
>
1
2 1
−
=
∞
∑
j
jρ =
=
1 3
2 1
−
−
ρ
ρ( )
, n = n0, n0 + 1, … . (45)
Oskil\ky poslidovnist\ δn =
ρ
ρ
2
21 2
n
n−
monotonno spada[ do nulq, to znaj-
det\sq nomer n1 ≥ n0 takyj, wo
1 3
1 3
−
+
ρ
ρ
≥
ρ
ρ
2
21 2
n
n−
, n = n1, n1 + 1, … . (46)
Ob’[dnavßy formuly (45) i (46), oderΩymo (12). Todi na pidstavi teoremyM1 dlq
bud\-qkoho n ≥ n1 vykonu[t\sq vklgçennq Ψβ ∈ ∗N n i magt\ misce rivnos-
tiM(13).
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 957
Vynyka[ pryrodne zapytannq: çy matyme misce teoremaM2 pry ρ ∈( / ),1 3 1 ?
Vyqvlq[t\sq, wo takoho rodu tverdΩennq ne ma[ miscq navit\ u vypadku, koly
ψ( )k qk= , q ∈( / ),1 3 1 .
TverdΩennq:1 . Dlq dovil\noho 1 / 3 < q < 1 isnu[ nomer n 0 takyj, wo
pry koΩnomu n > n0, n ∈ N , znajdet\sq poslidovnist\ β = βk , k ∈ N , dijs-
nyx çysel, dlq qko] P t N
q n, ( )β ∉ ∗ .
Dovedennq provedemo metodom vid suprotyvnoho. Vyberemo dovil\ne 1 / 3 <
< q < 1 i prypustymo, wo dlq dovil\noho n0 ∈ N isnu[ nomer n > n0 takyj,
wo P t N
q n, ( )β ∈ ∗
dlq bud\-qko] poslidovnosti β = βk dijsnyx çysel. Tobto dlq
qdra P t
q, ( )β isnugt\ polinom T tn−
∗
1( ) porqdku n – 1 i toçka ξ ∈ [ 0, π / n ) taki,
wo riznycq P t T t
q n, ( ) ( )β − −
∗
1 zming[ znak na [ 0, 2π ) u toçkax
tk = ξ π+ k
n
, k = 0 2 1, n − , (47)
i til\ky v nyx. Zhidno z lemogM1, prointerpolgvaty qdro P t
q, ( )β v usix toçkax
tk vyhlqdu (47) moΩna lyße za umovy vykonannq rivnosti
( ) ,− +
=
−
∑ 1
0
2 1
k
k
n
q
P
k
nβ ξ π
= 0,
a otΩe, z uraxuvannqm (16), i rivnosti
q nn n( ) ( )
cos ( )2 1
0
2 1
2 1
2
ν
ν
νν ξ
β π+
=
∞
+∑ + −
= 0. (48)
Iz formul (26) i (32) pry ψ ( k ) = qk, θn = n ξ / π, ρ = q vyplyva[, wo riznycg
P t T t
q n, ( ) ( )β − −
∗
1 moΩna zapysaty u vyhlqdi
P t T t
q n, ( ) ( )β − −
∗
1 = – 2sin ( ) ( )n t W tn− ξ , (49)
de
W tn( ) = q n q jt R tn n
j
j n n j
nsin cos
( )
( )ξ β π β β π
−
+ +
−
+
=
∞
+∑2
1
2 21
, (50)
R tn( ) = q n q jtn n
j
j n n jcos sin
( )
ξ β π β β π
−
+
−
=
∞
+∑2 21
+
+
r
r jt r jt
n
j
n j n j
,
( )
,
( )
,
( )cos sin
0
1
1
1 2
2
+ +( )
=
∞
∑ , (51)
rn j,
( )1 =
ν
ν νν ξ
β π
=
∞
+ + + +∑ + −
1
2 1 2 1
2 1
2
q nn j n j( ) ( )
sin ( ) ,
rn j,
( )2 =
ν
ν νν ξ
β π
=
∞
+ + + +∑ + −
1
2 1 2 1
2 1
2
q nn j n j( ) ( )
cos ( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
958 A. S. SERDGK
a ξ π∈[ , )/0 n — korin\ rivnqnnq (48). Vnaslidok (47) i vklgçennq P t N
q n, ( )β ∈ ∗
funkciq W tn( ) ne povynna maty Ωodno] toçky zminy znaku na [ 0, 2π ) , qkog b
ne bula poslidovnist\ βk . My pryjdemo do supereçnosti, qkwo pokaΩemo, wo
isnu[ poslidovnist\ βk , dlq qko] funkciq W tn( ) zming[ znak na [ 0, 2π ) .
Nexaj n0 — najmenße natural\ne çyslo, dlq qkoho spravdΩu[t\sq neriv-
nist\
min ,
1
1
3 1
3 1
−
+
−
+
q
q
q
q
>
q
q
n
n
2
2
0
01 2−
,
i n > n0, n ∈ N . V qkosti β = βk , k ∈ N , rozhlqnemo poslidovnist\
βk =
0
2
, { },
, .
\k n
k n
∈
=
N
U c\omu vypadku z uraxuvannqm ocinok (38), (40) i (50)
W tn( ) = – q n q jt R tn
j
j
nsin cos ( )ξ 1
2 1
−
+
=
∞
∑ , (52)
de
R tn( ) ≤ q
q q
q q
n
n
n
( )
( )( )
1 3
2 1 1
2
2
+
− −
, (38′ )
sin n nξ β π−
2
≥
1 2
1
2
2
−
−
q
q
n
n . (40′ )
Funkciq W tn( ) nabuva[ v toçkax 0 i π znaçen\, protyleΩnyx za znakom i
vidminnyx vid 0. Dijsno, na pidstavi (50)
Wn( )0 = – q n
q
q
Rn
nsin
( )
( )ξ 1 3
2 1
0
−
−
+ ,
Wn( )π = – q n
q
q
Rn
nsin
( )
( )ξ π1 3
2 1
+
+
+
i z uraxuvannqm (51), (38′ ) ta (40′ )
q n
q
qn sin
( )
ξ 3 1
2 1
−
−
> q
q q
q q
n
n
n
( )
( )( )
1 3
2 1 1
2
2
+
− −
≥ Rn( )0 ,
q n
q
qn sin
( )
ξ 3 1
2 1
+
+
> q
q q
q q
n
n
n
( )
( )( )
1 3
2 1 1
2
2
+
− −
≥ Rn( )π .
Ce oznaça[, wo Wn( )0 > 0, Wn( )π > 0 i
sign Wn( )0 = – sign Wn( )π .
Vnaslidok neperervnosti i 2π-periodyçnosti funkciq W tn( ) ma[ prynajmniM2
toçky zminy znaku na [ 0, 2 π ) . OderΩana supereçnist\ dovodyt\ spravedlyvist\
tverdΩennqM1.
Iz dovedennq teoremyM2 vyplyva[, wo nomer n1, qkyj fihuru[ u ]] formulg-
vanni, bezposeredn\o vyznaça[t\sq nerivnistg (46). Qkwo çyslo ρ∗ vybrane z
umovy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 959
1 3
1 3
−
+
∗
∗
ρ
ρ
=
ρ
ρ
∗
∗−
2
21 2
, ρ∗ ∈
0
1
3
, , (53)
to dlq bud\-qkoho n ∈ N i ρ ∈ ( 0, ρ* ] vykonuvatymut\sq nerivnosti (46). Ne-
xaj poslidovnist\ ψ ( k ) > 0 pidporqdkovana umovi
ψ
ψ
( )
( )
k
k
+ 1
< ρ∗
, k ∈ N , (54)
todi pry bud\-qkomu 0 < ρ ≤ ρ∗ spravdΩuvatymut\sq ocinky (45) i (46) (a ot-
Ωe, i (12)) dlq vsix natural\nyx n. Na pidstavi teoremyM1 dlq bud\-qkoho qdra
Ψβ ( )t , porodΩenoho vkazanog poslidovnistg ψ ( k ) i dovil\nog poslidovnistg
βk dijsnyx çysel, ma[ misce vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn dlq vsix natural\nyx nomeriv
n i, qk naslidok, spravdΩugt\sq rivnosti (13). Obçyslennq pokazugt\, wo ρ∗ =
= 0,280647… . Iz vykladenoho vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
Teorema:3. Nexaj poslidovnist\ ψ ( k ) qdra Ψβ ( )t vyhlqdu (5) zadovol\-
nq[ umovu (54), u qkij ρ∗ = 0,280647… — korin\ rivnqnnq (53). Todi, qkog b
ne bula poslidovnist\ β k dijsnyx çysel, dlq vsix natural\nyx n vykonugt\sq
vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn i magt\ misce rivnosti (13).
Zaznaçymo, wo pry β βk ≡ , β ∈ R, teoremaM3 vyplyva[ iz teoremyM2 robo-
tyM[21].
Dlq povnoty vykladu navedemo dekil\ka naslidkiv iz teoremyM1 u vypadku
β βk ≡ , β ∈ R, qki raniße buly dovedeni avtorom u [21].
Teorema:4. Nexaj poslidovnist\ koefici[ntiv ψ ( k ) qdra Ψβ( )t vyhlqdu
Ψβ( )t =
k
k kt
=
∞
∑ −
1 2
ψ βπ
( ) cos , ψ ( k ) > 0, β ∈ R, (55)
wo porodΩu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1, zadovol\nq[ umovu (11) pry ρ ∈ ( 0, 1 ) i
opukla, poçynagçy z nomera n ∈ N , tobto taka, wo
∆2 ψ ( )k = ψ ψ ψ( ) ( ) ( )k k k− + + +2 1 2 ≥ 0, k = n, n + 1, … . (56)
Todi vykonannq umovy
∆2 ψ
ψ
( )
( )
n
n
>
( )
( )
1 3
1 1 2
2
2
+
− −
ρ ρ
ρ ρ
n
n
(57)
harantu[ vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn i spravedlyvist\ rivnostej
E Cn C( ),β
ψ
∞ = E Ln L( ),β
ψ
1 =
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
0π
ψ ν
ν
ν θ π βπ
ν=
∞
∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
n
nn , (58)
de θn = θn ( ψ, β ) ∈ ( 0, 1 ) i θn [ korenem rivnqnnq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
960 A. S. SERDGK
ν
ψ ν ν θ π βπ
=
∞
∑ + + −
0
2 1 2 1
2
(( ) ) cos ( )n n = 0. (59)
Wob oderΩaty tverdΩennq teoremyM4 iz teoremyM1, dosyt\ pokazaty, wo umo-
vy (56) i (57) zabezpeçugt\ vykonannq nerivnosti (12), qka pry β βk ≡ , β ∈ R,
ma[ vyhlqd
1
2 1ψ
ψ ψ
( )
( )
( ) cos
n
n
n j jt
j
+ +
=
∞
∑ >
ρ ρ
ρ ρ
2
2
1 3
2 1 2 1
n
n
( )
( )
+
− −
. (12′ )
Peretvorymo sumu
Φn t( ) =
ψ ψ( )
( ) cos
n
n j jt
j2 1
+ +
=
∞
∑
za dopomohog dvorazovo zastosovanoho peretvorennq Abelq. V rezul\tati oder-
Ωymo
Φn t( ) =
ν
νν ψ ν
=
∞
∑ + +
0
21( ) ( ) ( )∆ n F t , (60)
de
F tν( ) =
2
1
1 2
2 2
2
ν
ν
+
+
sin( )
sin
/
/
t
t
, ν = 0, 1, 2, … ,
— qdra Fej[ra porqdku ν. Iz spivvidnoßennq (60) ta opuklosti poslidovnosti
ψ ( ν ) , ν = n, n + 1, … , ma[mo
Φn t( ) ≥ ∆2
0ψ ( ) ( )n F t =
1
2
2∆ ψ ( )n ∀ t ∈ R . (61)
Spivstavyvßy nerivnosti (57) i (61), oderΩymo (12′ ). Zhidno z teoremogM1 dlq
qdra Ψβ ma[ misce vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn pry bud\-qkomu znaçenni β ∈ R , i pry
c\omu spravdΩugt\sq rivnosti (58).
Teoremu dovedeno.
Qk pokazano u [21, c. 188 – 190], iz teoremyM4 vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
Teorema:5. Nexaj poslidovnist\ koefici[ntiv ψ ( k ) qdra Ψβ( )t vyhlqdu (55),
qke porodΩu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1, zadovol\nq[ umovu
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= q, q ∈ [ 0, 1 ) . (62)
Todi znajdet\sq zaleΩnyj vid ψ ( k ) nomer n0 takyj, wo dlq bud\-qkoho natu-
ral\noho çysla n, bil\ßoho za n0 , ma[ misce vklgçennq Ψβ ∈ ∗Nn i vykonu-
gt\sq rivnosti (58).
Prykladamy funkcij ψ ( k ) , wo zadovol\nqgt\ umovu (62), [, zokrema,
funkci] ψ γ
1( )k k qkr
= , γ ∈ − ∞ + ∞( , ), q ∈ ( 0, 1 ) , r ≥ 1, ψ α
2( ) !( / )k k kk= , α ∈
∈ ( 0, ∞ ) ta inßi.
2. Ocinky kolmohorovs\kyx popereçnykiv klasiv C
ββ
ψψ
,∞∞
i L
ββ
ψψ
,1
v rivno-
mirnij ta intehral\nij metrykax. Nexaj � — central\no-symetryçna mno-
Ωyna banaxovoho prostoru X ( � ⊂ X ) . M-vymirnym popereçnykom za Kolmoho-
rovym mnoΩyny � u prostori X nazyvagt\ velyçynu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 961
d XM ( , )� =
inf sup inf
L X x y LM M⊂ ∈ ∈�
x y X− , (63)
de zovnißnq toçna nyΩnq meΩa rozhlqda[t\sq po vsix moΩlyvyx linijnyx
pidprostorax LM rozmirnosti M ( M ∈ N ) . Velyçyny d XM ( , )� vyhlqdu (63)
buly zaprovadΩeni A. M. Kolmohorovym u 1936 r. [23]. Vin Ωe, spyragçys\ na
heometryçni vlastyvosti hil\bertovyx prostoriv, obçyslyv toçni znaçennq
popereçnykiv klasiv Wr
2 , r = 1, 2, … , u prostori L2 .
Zadaça pro obçyslennq popereçnykiv d XM ( , )� , qk pravylo, rozpada[t\sq
na dvi çastyny. Spoçatku fiksu[t\sq deqkyj pidprostir L XM
∗ ⊂ rozmirnosti
M ∈ N ) (çastiße za vse ce pidprostir tryhonometryçnyx polinomiv çy splajniv)
i obçyslg[t\sq velyçyna
E LM X( ),∗ � = sup inf
x y L
X
M
x y
∈ ∈ ∗
−
�
.
Oçevydno, wo
E LM X( ),∗ � ≥ d XM ( , )� .
Potim dlq popereçnyka d XM ( , )� otrymugt\ ocinku znyzu.
Qk vyplyva[ z p.M1 roboty, na klasax W p
r
β, , p = 1, ∞ , r > 0, a takoΩ Cβ
ψ
,∞ i
Lβ
ψ
,1 pry ψ ∈ �, β ∈ Z i deqkyx neznaçnyx dodatkovyx obmeΩennqx na xarak-
ter spadannq do nulq poslidovnosti ψ ( k ) perßa çastyna zadaçi po vidßukanng
toçnyx znaçen\ popereçnykiv faktyçno bula rozv’qzana u robotax Û. Favara,
N. I. Axi[zera ta M. H. Krejna, B. Nadq, S. M. Nikol\s\koho, V. K. Dzqdyka,
S. B. St[çkina, Sun\ Gn-ßena ta in. Wodo druho] çastyny zadaçi (pro ocinku
kolmohorovs\kyx popereçnykiv znyzu), to ]] rozv’qzannq stalo moΩlyvym zavdq-
ky sutt[vomu zaluçenng idej iz sumiΩnyx rozdiliv matematyky. V. M. Tyxomy-
rov [24], vperße zastosuvavßy topolohiçni metody do zadaç pro popereçnyky
(ma[t\sq na uvazi teorema Borsuka pro antypody [25]), doviv vidomu teoremu pro
popereçnyky kuli i obçyslyv toçni ocinky znyzu popereçnykiv d W Cn
r
2 1− ∞( ), ,
r ∈ N , a potim (1969 r.) pokazav [26], wo
d W Cn
r
2 1− ∞( ), = d W Cn
r
2 ( ),∞ .
Toçni ocinky znyzu dlq neparnyx popereçnykiv d W Ln
r
2 1 1− ( ), , r ∈ N , otrymaly
nezaleΩno G. M. Subbotin [27, 28] ta G. I. Makovoz [29], a dlq parnyx pope-
reçnykiv d W Ln
r
2 1( ), — V. I. Ruban (dyv. komentari do hl.M10 roboty [30]).
Klasy Wp
r , r ∈ N , p ≥ 1, [ klasamy zhortok iz qdramy Bernulli Br ( t ) , qki
[ tak zvanymy CVD-qdramy [31, 32]. Nahada[mo, wo periodyçnu sumovnu funk-
cig K ( ⋅ ) nazyvagt\ CVD-qdrom (qdrom, wo ne zbil\ßu[ oscylqci]) i zapysugt\
K ∈ CVD , qkwo dlq dovil\no] neperervno] 2π-periodyçno] funkci] f vykonu-
[t\sq nerivnist\ ν ( K ∗ f ) ≤ ν ( f ) , de ν ( g ) — çyslo zmin znaka 2π-periodyçno]
funkci] g na periodi [ 0, 2π ) .
U 1979 r. A. Pinkus [31] (dyv. takoΩ [32]), vvaΩagçy CVD-qdro K ( ⋅ ) nepe-
rervnog funkci[g, a systemu funkcij { }( )K yi i
n⋅ − =
+
0
2 1
pry dovil\nyx 0 ≤ y0 <
< y1 < … < y2n + 1 < 2π linijno nezaleΩnog, doviv, wo K Nn∈ ∗, i obçyslyv
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
962 A. S. SERDGK
kolmohorovs\ki popereçnyky d K U Ln p q2 1
0
− ∗( ), i d K U Ln p q2
0( ),∗ pry p = ∞ ,
1 ≤ q ≤ ∞ , a takoΩ pry 1 ≤ p ≤ ∞ , q = 1, de
K Up∗ 0 = f L f x c K x c Up∈ = + ∗ ∈ ∈{ }: ( ) ( )( ), ,ϕ ϕR
0 ,
Up
0 = ϕ ϕ ϕ ϕ
π
π
∈ =
≤ ⊥
−
∫L t dtp p
p
p
: ( ) ,
/1
1 1
(dlq klasiv Wp
r , r ∈ N, vkazani rezul\taty nezaleΩno i riznymy metodamy oder-
Ωaly takoΩ A. O. Lyhun [33] i G. I. Makovoz [34].)
Umova CVD [ dosyt\ Ωorstkog, v mirkuvannqx vona faktyçno zaming[ teo-
remu Rollq i bahato vidomyx qder ]] ne zadovol\nqgt\ ( napryklad, qdra
B tr, ( )β = k ktr
k
−
=
∞
−∑ cos( )/βπ 2
1
, r > 0, β ∈ R, (64)
pry pevnyx spivvidnoßennqx miΩ parametramy r i β , qdro Puassona P ( t ) =
= ( / ) cos1 7
1
k
k
kt=
∞∑ , qdro K ( t ) = 1 5
1 /( )! cosk
k
k kt=
∞∑ ta in. ne [ CVD-qdramy
(dyv., zokrema, [35, c. 1318, 1319; 19, c. 1264]) ).
Ostannim çasom ocinky znyzu popereçnykiv u deqkyx vaΩlyvyx vypadkax vda-
valos\ otrymaty na bazi rozroblenoho O. K. Kußpelem aparatu SK-splajniv
dlq klasiv zhortok, porodΩenyx qdramy, wo zadovol\nqgt\ tak zvanu umovu
Cy n,2 (dyv. [35, 36]). Zokrema, u robotax [35, 36] dovedeno, wo pry β ∈ Z umovu
Cy n,2 , n ∈ N , zadovol\nqgt\ funkci] Ψβ( )t vyhlqdu (55) z koefici[ntamy
ψ ( k ) = ϕ ρ( )k k , 1 < ρ ≤ 1 / 7 , de ϕ ( k ) — dovil\ni dodatni nezrostagçi funkci]
natural\noho arhumentu. Zhodom V. T. Íevaldin [37, 38] doviv, wo umovu Cy n,2
zadovol\nqgt\ qdra Puassona P tq, ( )β pry 1 < q < q ( β ) , de q ( β ) = 0, 2, qkwo
β ∈ Z , i q ( β ) = 0,196881, qkwo β ∉ Z , a takoΩ qdra B tr, ( )β vyhlqdu (64) pry
r ≥ 1, n ≤ c ( β ) ( r + 1 ) , de c ( β ) = 0,249971, qkwo β ∈ Z , i c ( β ) = 0,247812,
qkwo β ∉ Z . U roboti O. I. Stepancq i avtora [39] dovedeno, wo umovy Cy n,2 ,
n ∈ N , zadovol\nqgt\ usi qdra Ψβ( )t vyhlqdu (55) z koefici[ntamy ψ ( k ) , wo
pidporqdkovani nerivnostqm
ψ
ψ
( )
( )
k
k
+ 1
≤ ρ β( ), k = 1, 2, … ,
de ρ ( β ) = 0,2, qkwo β ∈ Z , i ρ ( β ) = 0,196881, qkwo β ∉ Z .
Zaznaçymo, wo v koΩnomu iz pereliçenyx vywe vypadkiv dlq klasiv funkcij
Cβ
ψ
,∞ ta Lβ
ψ
,1, porodΩenyx vidpovidnymy qdramy, buly oderΩani ocinky znyzu
popereçnykiv d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ ta d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
, qki vyqvylys\ rivnymy z najkra-
wymy nablyΩennqmy E Cn C( ),β
ψ
∞ i E Ln L( ),β
ψ
1 na vidpovidnyx klasax funkcij.
Tym samym vdalos\ oderΩaty toçni znaçennq popereçnykiv za Kolmohorovym
klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1 u metrykax prostoriv C i L.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 963
U roboti [20] dovedeno, wo umovy Cy n,2 , n ∈ N , zadovol\nqgt\ takoΩ qdra
Ψβ ( )t vyhlqdu (5), koefici[nty ψ ( k ) qkyx pidporqdkovani nerivnostqm
ψ
ψ
( )
( )
k
k
+ 1
≤ ρ∗∗ , k = 1, 2, … , (65)
de ρ∗∗ — absolgtna stala, ρ∗∗ = 0,1912822… , i, qk naslidok, oderΩano na-
stupne tverdΩennq.
Teorema:A. Nexaj poslidovnist\ ψ ( k ) qdra Ψβ ( )t vyhlqdu (5) zadovol\-
nq[ umovu (65). Todi, qkog b ne bula poslidovnist\ βk dijsnyx çysel, dlq vsix
n ∈ N vykonugt\sq nerivnosti
d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ ≥ Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
, (66)
d L Cn2 1 1− ( )
,
,β
ψ
≥ Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
. (67)
Slid zaznaçyty, wo do ostann\oho çasu pytannq pro toçnist\ oderΩanyx u
teoremiMA ocinok znyzu popereçnykiv zalyßalos\ vidkrytym.
Lehko pomityty, wo pry vykonanni umovy (65) spravdΩugt\sq vsi umovy teo-
remyM3. OtΩe, spivstavlqgçy ocinky (66) i (67) iz rivnostqmy (13) ta oçevydnymy
nerivnostqmy
E Cn C( )
,β
ψ
∞ ≥ d C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
,
E Ln L( )
,β
ψ
1
≥ d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
,
d C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
≥ d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ ,
oderΩu[mo nastupne tverdΩennq.
Teorema:6. Nexaj poslidovnist\ ψ ( k ) qdra Ψβ ( )t vyhlqdu (5), wo porod-
Ωu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, zadovol\nq[ umovu (65). Todi, qkog b ne bula poslidov-
nist\ βk dijsnyx çysel, dlq vsix natural\nyx n vykonugt\sq rivnosti
d C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
= d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ = d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
= E Cn C− ∞1( )
,β
ψ
=
= E Ln L−1 1
( )
,β
ψ
=
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
20
2 1
π
ψ ν
ν
ν θ π
β π
ν
ν
=
∞
+∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
( )n
n
n
, (68)
de θn = θn ( ψ, β ) ∈ [ 0, 1 ) i θn [ korenem rivnqnnq (14).
Bezposeredn\o iz teoremyM6 vyplyva[ take tverdΩennq.
Naslidok:1. Nexaj poslidovnist\ koefici[ntiv ψ ( k ) qdra Ψβ ( )t vyhlqdu
(5), qke porodΩu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, zadovol\nq[ umovu
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= q, (69)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
964 A. S. SERDGK
q ∈ ∗∗[ , )0 ρ , ρ ∗∗ = 0,1912822… . Todi znajdet\sq nomer n 0 takyj, wo dlq
bud\-qkoho natural\noho çysla n, bil\ßoho za n0 , qkog b ne bula poslidov-
nist\ βk dijsnyx çysel, vykonugt\sq rivnosti (68).
Analohiçnyj fakt dlq klasiv C0,∞
ψ
i L01,
ψ
, porodΩenyx qdramy Puassona
P tq, ( )0 = q ktk
k
cos
=
∞
∑
1
, q ∈ ( 0, 1 ) ,
buv pomiçenyj u roboti Nhuen Txy Tx’[u Xoa [40, c. 211], a dlq klasiv Cβ
ψ
,∞ i
Lβ
ψ
,1
, porodΩenyx qdramy
Ψβ ( )t = φα β, , ( )
r
t =
k
k kk e kt
r
=
∞
−∑ −
1 2
ϕ β πα( ) cos , α > 0, r > 1,
de ϕ ( k ) — dovil\ni nezrostagçi poslidovnosti dijsnyx çysel, βk — dovil\ni
poslidovnosti dijsnyx çysel, — u roboti avtora [41, c. 298]. Pry q = 0 i
β βk ≡ , β ∈ R, naslidokM1 vyplyva[ iz teoremyM4 roboty [21].
3. Pro najkrawyj linijnyj metod ta ocinky linijnyx popereçnykiv
klasiv C
ββ
ψψ
,∞∞
i L
ββ
ψψ
,1
v rivnomirnij ta intehral\nij metrykax. U c\omu
punkti bude vkazano linijnyj metod, qkyj zabezpeçu[ na klasax funkcij Cβ
ψ
,∞ i
Lβ
ψ
,1
najkrawe nablyΩennq v metrykax prostoriv C i L vidpovidno.
Naslidugçy B. Nadq [5] (dyv. takoΩ [6, 8]), zadamo systemy çysel
µ0, µ1, … , µn – 1,
(70)
ν1, ν2, … , νn – 1
i pobudu[mo dlq koΩno] funkci] iz Cβ
ψ
,∞ (çy vidpovidno Lβ
ψ
,1
) tryhonometryç-
nyj polinom U xn−1( ) porqdku n – 1
U xn−1( ) = U f xn−1( ; ; , )µ ν =
=
1
2 0 0
1
1
µ µ νa a kt b kt a kt b kt
k
n
k k k k k k+ + + −( )
=
−
∑ ( cos sin ) ( sin cos ) , (71)
wo oznaça[t\sq systemamy çysel (70), de ak i bk — koefici[nty Fur’[ funkci]
ϕ = f
β
ψ . Polinomy U f xn−1( ; ; , )µ ν linijno zaleΩat\ vid ϕ i nazyvagt\sq linij-
nymy metodamy nablyΩennq funkcij f vyhlqdu (1), wo vyznaçagt\sq systema-
my çysel (70).
U qkosti miry nablyΩennq funkcij f klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
za dopomohog po-
linomiv U f xn−1( ; ; , )µ ν rozhlqdagt\ verxni meΩi
�n CC( )
,
; ,β
ψ µ ν∞ = sup ( ) ( ; ; , )
,
f C
n Cf U f
∈
−
∞
⋅ − ⋅
β
ψ
µ ν1 , (72)
�n LL( )
,
; ,β
ψ µ ν
1
= sup ( ) ( ; ; , )
,
f L
nf U f
∈
−⋅ − ⋅
β
ψ
µ ν
1
1 1. (72′ )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 965
Metod nablyΩennq vyhlqdu (71) nazyvagt\ najkrawym dlq klasu Cβ
ψ
,∞ (çy
vidpovidno Lβ
ψ
,1
) u metryci prostoru C ( L ) , qkwo vin vyznaça[t\sq takymy sys-
temamy çysel (70), dlq qkyx toçna verxnq meΩa (72) (vidpovidno (72′ )) bude
najmenßog sered usix moΩlyvyx.
Qk vyplyva[ iz roboty S. M. Nikol\s\koho [6, c. 235, 236] (teoremy 6 – 8 ),
ma[ misce nastupne tverdΩennq.
Teorema:V. Nexaj neperervne qdro Ψβ ( )t vyhlqdu (5), wo porodΩu[ klasy
Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, zadovol\nq[ umovu Nn
∗
( )Ψβ ∈ ∗Nn . Todi linijnyj metod U xn−1( )
vyhlqdu (71) [ najkrawym dlq klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
pry µ µk k= ∗ , ν νk k= ∗ , k =
= 0, 1, 2, … , n – 1, de µk
∗
i νk
∗
— koefici[nty Fur’[ tryhonometryçnoho po-
linoma
T tn−
∗
1( ) =
1
2 0
1
1
µ µ ν∗
=
−
∗ ∗+ +∑
k
n
k kkt kt( )cos sin , (73)
qkyj sered usix moΩlyvyx polinomiv porqdku ≤ n – 1 [ polinomom najkrawoho
nablyΩennq funkci] Ψβ u metryci L i, otΩe, [ polinomom, wo interpolg[
funkcig Ψβ ( )t v toçkax
tk = ξ π+ k
n
, k = 0, 1, 2, … , 2 n – 1. (74)
Pry c\omu
�n CC( )
,
; ,β
ψ µ ν∞
∗ ∗ =
1
π βEn L( )Ψ =
1
0
2
1π
π
β∫ − −
∗Ψ ( ) ( )t T t dtn , (75)
�n LL( )
,
; ,β
ψ µ ν
1
∗ ∗ =
1
π βEn L( )Ψ =
1
0
2
1π
π
β∫ − −
∗Ψ ( ) ( )t T t dtn . (75′ )
Vkazanyj najkrawyj linijnyj metod dlq klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
[ [dynym.
Zaznaçymo, wo koefici[nty µk
∗
i νk
∗
tryhonometryçnoho polinoma Tn−
∗
1 vy-
hlqdu (73), qkyj fihuru[ v teoremiMB, moΩna vyrazyty v qvnomu vyhlqdi çerez
parametry tvirnoho qdra Ψβ vyhlqdu (5) (a same, çerez poslidovnosti ψ ( k ) i
βk ). Dijsno, qkwo Ψβ ∈ ∗Nn , to z ohlqdu na lemuM1 prointerpolgvaty Ψβ po
systemi toçok tk vyhlqdu (74) moΩna todi i til\ky todi, koly ξ = θn
π / n, de
θn ∈ [ 0, 1 ) i θn [ korenem rivnqnnq (14). Krim toho, qk vyplyva[ z dovedennq
teoremyM1 (formuly (20) – (26)), tryhonometryçnyj polinom Tn−
∗
1 vyhlqdu (73),
wo interpolg[ qdro Ψβ po systemi toçok (74) pry ξ = θnπ / n, zobraΩu[t\sq u
vyhlqdi
T tn−
∗
1( ) = T t T t
n
k ktn
n
n
n
k
n
k
− −
=
−
−
+ −
+ −
∑1
1
1
2
1
1
2 2
( ) ( ) ( ) cos
θ π θ π ψ β π
, (76)
de
T t
nn
n
− −
1
1( ) θ π
= a a a jt
j
nn
j
n
n j n j
n
2
1 1
1
2 2
1
ν
ν
ν ν
ν
θ π
=
∞
=
−
− +
=
∞
∑ ∑ ∑+ +
−
( ) cos , (77)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
966 A. S. SERDGK
T t
nn
n
− −
1
2( ) θ π
=
j
n
n j n j
nb b jt
j
n=
−
− +
=
∞
∑ ∑ − +
−
1
1
2 2
1
( ) sinν ν
ν
θ π
, (78)
ak = ψ θ π β π
( ) cosk
k
n
n k−
2
, k ∈ N, (79)
bk = − −
ψ θ π β π
( ) sink
k
n
n k
2
, k ∈ N. (80)
Ob’[dnugçy formuly (76) – (80), oderΩu[mo
T tn−
∗
1( ) =
ν
νψ ν νθ π
β π
=
∞
∑ −
1
2
2 2
2
( ) cosn n
n
+
+
j
n
n n jn j n j
n=
−
=
∞
−∑ ∑
− − −
1
1
1
22 2
2ν
νψ ν ν θ π β π
( )cos ( ) +
+ ψ ν ν θ π β π θ πν
( ) cos ( ) cos2 2
2
2
n j n j
n
jt
j
n
n n j n+ + −
−
+
+
+
j
n
n n jn j n j
n=
−
=
∞
−∑ ∑
− − −
1
1
1
22 2
2ν
νψ ν ν θ π β π
( )sin ( ) –
– ψ ν ν θ π β π θ πν
( ) sin ( ) sin2 2
2
2
n j n j
n
jt
j
n
n n j n+ + −
−
+
+
+
j
n
jj jt
=
−
∑ −
1
1
2
ψ
β π
( ) cos =
ν
νψ ν νθ π
β π
=
∞
∑ −
1
2
2 2
2
( ) cosn n
n
+
+
j
n
j n n n j
j
j
n
n j n j
n=
−
=
∞
−∑ ∑+
− − −
1
1
1
2
2
2 2
2
ψ
β π θ π ψ ν ν θ π β π
ν
ν
( ) cos cos ( )cos ( ) +
+ ψ ν ν θ π β πν
( ) cos ( )2 2
2
2
n j n j
n
n n j+ + −
+
–
– sin ( )sin ( )
j
n
n j n j
n
n n n jθ π ψ ν ν θ π β π
ν
ν
=
∞
−∑
− − −
1
2
2 2
2
–
– ψ ν ν θ π β πν
( ) sin ( ) cos2 2
2
2
n j n j
n
jtn n j+ + −
+
+
+
j
n
j n n n j
j
j
n
n j n j
n=
−
=
∞
−∑ ∑+
− − −
1
1
1
2
2
2 2
2
ψ
β π θ π ψ ν ν θ π β π
ν
ν
( ) sin sin ( )cos ( ) +
+ ψ ν ν θ π β πν
( ) cos ( )2 2
2 2
2
n j n j n n j+ + −
+
+
+ cos ( )sin ( )
j
n
n j n j
n
n n n jθ π ψ ν ν θ π β π
ν
ν
=
∞
−∑
− − −
1
2
2 2
2
–
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 967
– ψ ν ν θ π β πν
( ) sin ( ) sin2 2
2
2
n j n j
n
jtn n j+ + −
+
=
=
ν
νψ ν νθ π
β π
=
∞
∑ −
1
2
2 2
2
( ) cosn n
n
+
+
j
n
j
n
n j
j n j
=
−
=
∞
−∑ ∑+
− −
1
1
1
2
2
2 2
2
ψ
β π
ψ ν νθ π
β π
ν
ν
( ) cos ( )cos +
+ ψ ν νθ π
β πν
( ) cos cos2 2
2
2
n j jtn
n j+ −
+
+
+
j
n
j
n
n j
j n j
=
−
=
∞
−∑ ∑+
− −
1
1
1
2
2
2 2
2
ψ
β π
ψ ν νθ π
β π
ν
ν
( ) sin ( )sin –
– ψ ν νθ π
β πν
( ) sin sin2 2
2
2
n j tn
n j+ −
+
. (81)
Spivstavlqgçy rivnosti (73) i (81), baçymo, wo koefici[nty µk
∗
i νk
∗
polinoma
Tn−
∗
1 vyraΩagt\sq za dopomohog rivnostej
µ0
∗ = 2 2 2
21
2
ν
νψ ν νθ π
β π
=
∞
∑ −
( ) cosn n
n
, (82)
µk
∗ = ψ β π ψ ν νθ π
β π
ν
ν
( ) cos ( )cosk n kk
n
n k
2
2 2
21
2+
− −
=
∞
−∑ +
+ ψ ν νθ π
β πν
( ) cos2 2
2
2
n k n
n k+ −
+
, k = 1 1, n − , (83)
νk
∗ = ψ β π ψ ν νθ π
β π
ν
ν
( ) sin ( )sink n kk
n
n k
2
2 2
21
2+
− −
=
∞
−∑ –
– ψ ν νθ π
β πν
( ) sin2 2
2
2
n k n
n k+ −
+
, k = 1 1, n − , (84)
θn ∈ [ 0, 1 ) — korin\ rivnqnnq (14). OtΩe, teoremuMB moΩna pereformulgvaty u
nastupnomu vyhlqdi.
Teorema:B ′′′′ . Nexaj neperervne qdro Ψβ ( )t vyhlqdu (5), wo porodΩu[ klasy
Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, zadovol\nq[ umovu Nn
∗
( )Ψβ ∈ ∗Nn . Todi linijnyj metod U xn−1( )
vyhlqdu (71) [ najkrawym dlq klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
u metrykax prostoriv C i
L vidpovidno, qkwo µ µk k= ∗ , ν νk k= ∗ , k = 0, 1, 2, … , n – 1, de µk
∗ i νk
∗ ozna-
çagt\sq formulamy (82) – (84). Pry c\omu magt\ misce rivnosti (75) i (75′ ), a
vkazanyj najkrawyj linijnyj metod dlq klasiv Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
[ [dynym.
Iz teorem 1 – 3 i teoremyMB ′ vyplyva[ takyj naslidok.
Naslidok:2. Nexaj vykonugt\sq vsi umovy odni[] z teorem 1 – 3. Todi vyko-
nugt\sq rivnosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
968 A. S. SERDGK
E Cn C( )
,β
ψ
∞ =
�n CC( )
,
; ,β
ψ µ ν∞
∗ ∗ = E Ln L( )
,β
ψ
1
=
�n LL( )
,
; ,β
ψ µ ν
1
∗ ∗ =
=
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
20
2 1
π
ψ ν
ν
ν θ π
β π
ν
ν
=
∞
+∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
( )n
n
n
, (85)
de systemy çysel µ∗ = { }µk k
n∗
=
−
0
1
i ν∗ = { }νk k
n∗
=
−
1
1
oznaçagt\sq za dopomohog
formul (82) – (84), a θn = θn ( ψ, β ) — [dynyj na [ 0, 1 ) korin\ rivnqnnq (14).
U vypadku β βk ≡ , β ∈ R , koefici[nty µk
∗
i νk
∗
tryhonometryçnoho poli-
noma Tn−
∗
1 nabyragt\ vyhlqdu
µ0
∗ = 2 2 2
21ν
ψ ν νθ π βπ
=
∞
∑ −
( ) cosn n , (82′ )
µk
∗ = ψ βπ ψ ν ψ ν νθ π βπ
ν
( ) cos ( ) ( ) cos( )k n k n k n2
2 2 2
21
+ − + + −
=
∞
∑ , k = 1 1, n − ,
(83′ )
νk
∗ = ψ βπ ψ ν ψ ν νθ π βπ
ν
( ) sin ( ) ( ) sin( )k n k n k n2
2 2 2
21
+ − − + −
=
∞
∑ , k = 1 1, n − ,
(84′ )
de θn = θn ( ψ, β ) ∈ [ 0, 1 ) — korin\ rivnqnnq (59).
Iz teorem 4 i 5 ta teoremyMB′ , zastosovano] v sytuaci], koly β βk ≡ , β ∈ R ,
oderΩu[mo takyj naslidok.
Naslidok:3. Nexaj vykonugt\sq vsi umovy odni[] z teorem 4, 5. Todi
E Cn C( ),β
ψ
∞ =
�n CC( ), ; ,β
ψ µ ν∞
∗ ∗ = E Ln L( ),β
ψ
1 =
�n LL( ), ; ,β
ψ µ ν1
∗ ∗ =
=
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
20π
ψ ν
ν
ν θ π βπ
ν=
∞
∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
n
n , (85′ )
de systemy çysel µ µ∗ ∗
=
−= { }k k
n
0
1
i ν ν∗ ∗
=
−= { }k k
n
1
1
oznaçagt\sq za dopomohog
formul (82′ ) – (84′ ), a θn = θn ( ψ, β ) — [dynyj na [ 0, 1 ) korin\ rivnqnnq (59).
U 1960 r. V. M. Tyxomyrov [24] vviv do rozhlqdu velyçyny bM ( �, X ) — po-
pereçnyky za Bernßtejnom — ta λM ( �, X ) — linijni popereçnyky.
Nexaj � — central\no-symetryçna mnoΩyna banaxovoho prostoru X ( � ⊂
⊂ X ) z odynyçnog kuleg B. M-vymirnym popereçnykom za Bernßtejnom mno-
Ωyny � u prostori X nazyvagt\ velyçynu
bM ( �, X ) =
sup sup
L X
M M
M
L B L
+ ⊂ >
+ +⊃{ }
1 0
1 1
ε
ε� ∩ ∩ ,
de zovnißnij supremum rozhlqda[t\sq po usix moΩlyvyx linijnyx pidprostorax
LM+1 rozmirnosti M + 1 ( M ∈ N ) .
M-vymirnym linijnym popereçnykom mnoΩyny � u prostori X nazyvagt\
velyçynu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 969
λM ( �, X ) =
inf inf sup
( , )L X X L x
X
M M
x x
⊂ ∈ ∈
−
Λ
Λ
L �
,
de L ( X, LM ) — klas neperervnyx linijnyx vidobraΩen\, wo digt\ iz X v L M , a
zovnißnij infimum rozhlqda[t\sq po usix moΩlyvyx linijnyx pidprostorax LM
rozmirnosti M ( M ∈ N ) .
Povtorggçy mirkuvannq, vykorystani pry dovedenni teoremy iz roboty
O.MK.MKußpelq [36], moΩna pokazaty, wo pry vykonanni umov teoremyMA vykonu-
gt\sq nerivnosti
d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ ≥ b C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
≥ Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
, (66′ )
d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
≥ b L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
≥ Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
. (67′ )
NevaΩko pomityty, wo pry vykonanni umovy (65) spravdΩugt\sq vsi umovy teo-
remyM3 i naslidkuM2. Tomu, spivstavlqgçy ocinky (66′ ) i (67′ ) z rivnostqmy (85) i
oçevydnymy spivvidnoßennqmy
d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ ≤ λ β
ψ
2n C C( )
,
,∞ ≤ λ β
ψ
2 1n C C− ∞( )
,
, ≤
�n CC( )
,
; ,β
ψ µ ν∞
∗ ∗ ,
d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
≤ λ β
ψ
2 1 1n L L− ( )
,
, ≤
�n LL( )
,
; ,β
ψ µ ν
1
∗ ∗ ,
pryxodymo do nastupnoho tverdΩennq.
Teorema:7. Nexaj poslidovnist\ ψ ( k ) qdra Ψβ ( )t vyhlqdu (5), wo porod-
Ωu[ klasy Cβ
ψ
,∞ i Lβ
ψ
,1
, zadovol\nq[ umovu (65). Todi, qkog b ne bula posli-
dovnist\ βk dijsnyx çysel, dlq vsix natural\nyx n vykonugt\sq rivnosti
d C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
= d C Cn2 ( )
,
,β
ψ
∞ = b C Cn2 1− ∞( )
,
,β
ψ
= λ β
ψ
2n C C( )
,
,∞ =
= λ β
ψ
2 1n C C− ∞( )
,
, = d L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
= b L Ln2 1 1− ( )
,
,β
ψ
= λ β
ψ
2 1 1n L L− ( )
,
, =
= E Cn C( ),β
ψ
∞ =
�n CC( )
,
; ,β
ψ µ ν∞
∗ ∗ = E Ln L( )
,β
ψ
1
=
�n LL( )
,
; ,β
ψ µ ν
1
∗ ∗ =
=
1
π βEn L( )Ψ = Ψβ ∗ ⋅sign sin ( )n
C
=
=
4 2 1
2 1
2 1
20
2 1
π
ψ ν
ν
ν θ π
β π
ν
ν
=
∞
+∑ +
+
+ −
(( ) )
sin ( )
( )n
n
n
,
de systemy çysel µ µ∗ ∗
=
−= { }k k
n
0
1
i ν ν∗ ∗
=
−= { }k k
n
1
1
oznaçagt\sq formulamy
(82) – (84), a θn = θn ( ψ, β ) — [dynyj na [ 0, 1 ) korin\ rivnqnnq (14).
1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 286 s.
2. Favard J. Sur l’approximation des fonctions périodiques par des polynomes trigonométriques // C.
r. Acad. sci. – 1936. – 203. – P. 1122 – 1124.
3. Favard J. Sur les meilleurs procédes d’approximations de certains classes de fonctions par des
polynomes trigonométriques // Bull. sci. math. – 1937. – 61. – P. 209 – 224, 243 – 256.
4. Axyezer N. Y., Krejn M. H. O nayluçßem pryblyΩenyy tryhonometryçeskymy summamy
dyfferencyruem¥x peryodyçeskyx funkcyj // Dokl. AN SSSR. – 1937. – 15, # 3. –
S.M107 – 112.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
970 A. S. SERDGK
5. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I.
Periodischer Fall, Berichte der math.-phys. Kl. Acad. der Wiss. zu Leipzig. – 1938. – 90 . –
P. 103 – 134.
6. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem //
Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1946. – 10. – S. 207 – 256.
7. Dzqd¥k V. K. O nayluçßem pryblyΩenyy na klasse peryodyçeskyx funkcyj, ymegwyx
ohranyçennug s-g proyzvodnug (0 < s < 1) // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1953. – 17. –
S.M135 – 162.
8. Dzqd¥k V. K. O nayluçßem pryblyΩenyy na klassax peryodyçeskyx funkcyj, opredelqe-
m¥x qdramy, qvlqgwymysq yntehralamy ot absolgtno monotonn¥x funkcyj // Tam Ωe. –
1959. – 23. – S. 933 – 950.
9. Dzqd¥k V. K. O nayluçßem pryblyΩenyy na klassax peryodyçeskyx funkcyj, opredelqe-
m¥x yntehralamy ot lynejnoj kombynacyy absolgtno monotonn¥x qder // Mat. zametky. –
1974. – 16, # 5. – S. 691 – 701.
10. Steçkyn S. B. O nayluçßem pryblyΩenyy nekotor¥x klassov peryodyçeskyx funkcyj
tryhonometryçeskymy polynomamy // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1956. – 20. – S. 643 – 648.
11. Steçkyn S. B. O nayluçßem pryblyΩenyy soprqΩenn¥x funkcyj tryhonometryçeskymy
polynomamy // Tam Ωe. – S. 197 – 206.
12. Sun\ Gn-ßen. O nayluçßem pryblyΩenyy dyfferencyruem¥x funkcyj tryhonometry-
çeskymy polynomamy // Uspexy mat. nauk. – 1958. – 13, # 2. – S. 238 – 241.
13. Sun\ Gn-ßen. O nayluçßem pryblyΩenyy peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj
tryhonometryçeskymy polynomamy // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1959. – 23. – S. 67 – 92.
14. Sun\ Gn-ßen. O nayluçßem pryblyΩenyy peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj
tryhonometryçeskymy polynomamy (vtoroe soobwenye) // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1961. –
25. – S. 143 – 152.
15. Krejn M. H. K teoryy nayluçßeho pryblyΩenyq peryodyçeskyx funkcyj // Dokl.
ANMSSSR. – 1938. – 18, # 4-5. – S. 245 – 249.
16. Bußanskyj A. V. O nayluçßem v srednem harmonyçeskom pryblyΩenyy nekotor¥x funk-
cyj // Yssledovanyq po teoryy pryblyΩenyq funkcyj y yx pryloΩenyq. – Kyev: Yn-t ma-
tematyky AN USSR, 1978. – S. 29 – 37.
17. Íevaldyn V. T. Popereçnyky klassov svertok s qdrom Puassona // Mat. zametky. – 1992. –
51, # 6. – S. 126 – 136.
18. Nhuen Txy Tx\eu Xoa. Operator D D D n( ) ( )2 2 2 21+ … + y tryhonometryçeskaq ynterpolq-
cyq // Anal. math. – 1989. – 15. – P. 291 – 306.
19. Serdgk A. S. O nayluçßem pryblyΩenyy klassov svertok peryodyçeskyx funkcyj tryho-
nometryçeskymy polynomamy // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 9. – S. 1261 – 1265.
20. Serdgk A. S. Popereçnyky ta najkrawi nablyΩennq klasiv zhortok periodyçnyx funkcij
// Tam Ωe. – 1999. – 51, # 5. – S. 674 – 687.
21. Serdgk A. S. Pro najkrawe nablyΩennq na klasax zhortok periodyçnyx funkcij // Teoriq
nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 35.
– S. 172 – 194.
22. Axyezer N. Y. Lekcyy po teoryy approksymacyy. – M.; L.: Hostexteoretyzdat, 1947. – 323 s.
23. Kolmogorov A. N. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse //
Ann. Math. – 1936. – 37, # 2. – P. 107 – 110.
24. Tyxomyrov V. M. Popereçnyky mnoΩestv v funkcyonal\n¥x prostranstvax y teoryq
pryblyΩenyq // Uspexy mat. nauk. – 1960. – 15, # 3. – S. 81 – 120.
25. Borsuk K. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fund. math. – 1933. – 20. –
S. 177 – 190.
26. Tyxomyrov V. M. Nayluçßye metod¥ pryblyΩenyq y ynterpolyrovanyq v prostranstvax
C [ , ]−1 1 // Mat. sb. – 1969. – 80, # 2. – S. 290 – 304.
27. Subbotyn G. N. Popereçnyky klassa W Lr
v L( , )0 2π y pryblyΩenye splajn-funkcy-
qmy // Tam Ωe. – 1970. – 7, # 1. – S. 43 – 52.
28. Subbotyn G. N. PryblyΩenye „splajn”-funkcyqmy y ocenky popereçnykov // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1971. – 109. – S. 35 – 60.
29. Makovoz G. Y. Popereçnyky nekotor¥x funkcyonal\n¥x klassov v prostranstve L // Yzv.
AN BSSR. Ser. fyz.-mat. – 1969. – # 4. – S. 19 – 28.
30. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1976. – 320 s.
31. Pinkus A. On n-widths of periodic functions // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 209 – 235.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
NAJKRAWI NABLYÛENNQ I POPEREÇNYKY KLASIV ZHORTOK … 971
32. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin etc.: Springer, 1985. – 291 p.
33. Lyhun A. A. O popereçnykax nekotor¥x klassov dyfferencyruem¥x peryodyçeskyx funk-
cyj // Mat. zametky. – 1980. – 27, # 1. – S. 61 – 75.
34. Makovoz G. Y. Popereçnyky sobolevskyx klassov y splajn¥, naymenee uklonqgwyesq ot
nulq // Tam Ωe. – 1979. – 26, # 5. – S. 805 – 812.
35. Kußpel\ A. K. Toçn¥e ocenky popereçnykov klassov svertok // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. –
1988. – 52, # 6. – S. 1305 – 1322.
36. Kußpel\ A. K. Ocenky popereçnykov klassov svertok v prostranstvax C y L // Ukr. mat.
Ωurn. – 1989. – 41, # 8. – S. 1070 – 1076.
37. Íevaldyn V. T. Popereçnyky klassov svertok s qdrom Puassona // Mat. zametky. – 1992. –
51, # 6. – S. 126 – 136.
38. Íevaldyn V. T. Ocenky snyzu popereçnykov klassov peryodyçeskyx funkcyj s ohranyçen-
noj drobnoj proyzvodnoj // Tam Ωe. – 1993. – 52, # 2. – S. 145 – 151.
39. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. Ocenky snyzu popereçnykov klassov svertok peryodyçeskyx
funkcyj v metrykax C y L // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 8. – S. 1112 – 1121.
40. Nhuen Txy Tx\eu Xoa. ∏kstremal\n¥e zadaçy na nekotor¥x klassax hladkyx peryodyçeskyx
funkcyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – M., 1994.
41. Serdgk A. S. Ocinky popereçnykiv ta najkrawyx nablyΩen\ klasiv zhortok periodyçnyx
funkcij // Rqdy Fur’[: teoriq i zastosuvannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 1998. –
20. – S. 286 – 299.
OderΩano 19.07.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3655 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:33Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2c/3df1a23f1621f1f81e1faeb984ac232c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36552020-03-18T20:01:15Z Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness Найкращі наближення і поперечники класів згорток періодичних функцій високої гладкості Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. We consider classes of $2\pi$-periodic functions that are representable in terms of convolutions with fixed kernels $\Psi_{\overline{\beta}}$ whose Fourier coefficients tend to zero with the exponential rate. We compute exact values of the best approximations of these classes of functions in a uniform and an integral metrics. In some cases, the results obtained enable us to determine exact values of the Kolmogorov, Bernstein, and linear widths for the classes considered in the metrics of spaces $C$ and $L$. Обчислено точні значення найкращих наближень у рівномірній та інтегральній метриках класів $2\pi$-періодичних функцій, що зображуються за допомогою згорток із фіксованими ядрами $\Psi_{\overline{\beta}}$, коефіцієнти Фур'є яких мають показникову швидкість спадання до нуля. Одержані результати дозволили у ряді ситуацій записати точні значення колмогоровських, бернштейнівських та лінійних поперечників для таких класів у метриках просторів $C$ i $L$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3655 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 7 (2005); 946–971 Український математичний журнал; Том 57 № 7 (2005); 946–971 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3655/4040 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3655/4041 Copyright (c) 2005 Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title | Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title_alt | Найкращі наближення і поперечники класів згорток періодичних функцій високої гладкості |
| title_full | Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title_fullStr | Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title_full_unstemmed | Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title_short | Best Approximations and Widths of Classes of Convolutions of Periodic Functions of High Smoothness |
| title_sort | best approximations and widths of classes of convolutions of periodic functions of high smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3655 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas bestapproximationsandwidthsofclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT serdûkas bestapproximationsandwidthsofclassesofconvolutionsofperiodicfunctionsofhighsmoothness AT serdyukas najkraŝínabližennâípoperečnikiklasívzgortokperíodičnihfunkcíjvisokoígladkostí AT serdûkas najkraŝínabližennâípoperečnikiklasívzgortokperíodičnihfunkcíjvisokoígladkostí |