Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption
We prove a priori estimates for singular solutions of nonlinear elliptic equations with absorption. Using these estimates, we establish precise conditions for the behavior of the absorption term of the equation under which solutions with point singularities do not exist.
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3656 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509783318069248 |
|---|---|
| author | Skrypnik, I. I. Скрыпник, И. И. Скрыпник, И. И. |
| author_facet | Skrypnik, I. I. Скрыпник, И. И. Скрыпник, И. И. |
| author_sort | Skrypnik, I. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:15Z |
| description | We prove a priori estimates for singular solutions of nonlinear elliptic equations with absorption. Using these estimates, we establish precise conditions for the behavior of the absorption term of the equation under which solutions with point singularities do not exist. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
И. И. Скрыпник (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ
РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С АБСОРБЦИЕЙ
We prove a priori estimates of singular solutions for nonlinear elliptic equations with absorption. By using
these estimates, we establish precise conditions on the behavior of absorption term of the equation under
which solutions with pointwise singularities do not exist.
Доведено апрiорнi оцiнки сингулярних розв’язкiв для нелiнiйних елiптичних рiвнянь з абсорбцiєю.
З допомогою цих оцiнок отримано точнi умови на поведiнку члена рiвняння, що характеризує
абсорбцiю, при яких не iснують розв’язки з точковою особливiстю.
1. Введение. Работа посвящена изучению условий, обеспечивающих устрани-
мость изолированных особенностей решений нелинейных эллиптических уравне-
ний дивергентной формы
−
n∑
j=1
∂
∂xj
aj
(
x, u,
∂u
∂x
)
+ a0
(
x, u,
∂u
∂x
)
+ g(x, u) = 0, x ∈ Ω ⊂ RN . (1.1)
Предполагается, что функции aj(x, u, ξ), j = 0, 1, . . . , n, удовлетворяют стандарт-
ным условиям эллиптичности и роста относительно u, ξ, так что энергетическим
пространством для уравнения
−
n∑
j=1
∂
∂xj
aj
(
x, u,
∂u
∂x
)
+ a0
(
x, u,
∂u
∂x
)
= 0, x ∈ Ω ⊂ RN , (1.2)
является пространство W 1
p (Ω). Кроме того, предполагается, что функция g(x, u)
удовлетворяет неравенству
g(x, u) signu > ν |u|q − f(x) (1.3)
с положительными постоянными ν, q и положительной функцией f(x), удовлетво-
ряющей некоторому условию интегрируемости.
Устранимость особенностей уравнений (1.1), (1.2) рассматривали многие ав-
торы (см., например, монографию Л. Верона [1]). Отметим, что для решения
уравнения (1.2) условие Дж. Серрина [2, 3] устранимости особенности в точке x0
имеет вид
u(x) = O
(
|x− x0|−
N−p
p−1 +γ
)
при N > p > 1 (1.4)
с положительным γ. Точное условие устранимости особенностей таких решений
было получено в работе [4], и оно имеет вид
u(x) = o
(
|x− x0|−
N−p
p−1
)
при N > p. (1.5)
Для уравнений вида (1.1) с оператором Лапласа в главной части
−∆u+ g(u) = 0 (1.6)
c© И. И. СКРЫПНИК, 2005
972 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 973
устранимость изолированных особенностей изучалась Х. Брезисом и Л. Вероном
[5]. Ими доказана устранимость особенности каждого сингулярного решения урав-
нения (1.6) при выполнении условия (1.3) и неравенства
q >
N
N − 2
. (1.7)
О дальнейших результатах в этом направлении для уравнения (1.6) см. [1].
Для уравнений вида (1.1) с линейным дивергентным оператором в главной
части
−
n∑
ij=1
∂
∂xi
(
aij(x)
∂u
∂xj
)
+ |u|q−1u = 0 (1.8)
устранимость изолированных особенностей изучали В. А. Кондратьев и Е. М. Лан-
дис [6], доказавшие устранимость особенности в точке для произвольного решения
уравнения (1.8) при более сильном условии, чем (1.7), а именно, в предположении
q >
N
N − 2
. (1.9)
В настоящей работе впервые получено точное условие устранимости особен-
ности решения нелинейного эллиптического уравнения (1.1), которое оказывается
новым даже для уравнения (1.8). Доказано, что при выполнении условия (1.3)
каждая изолированная особенность решения уравнения (1.1) устранима, если
q >
N(p− 1)
N − p
. (1.10)
В работе развит новый метод изучения локального поведения решений нелиней-
ных уравнений в окрестности особенностей, основанный на поточечных оценках
решений. Этот метод является развитием метода И. В. Скрыпника доказательства
поточечных оценок емкостных потенциалов (см., например, [7]).
2. Формулировка предположений и основных результатов. Далее Ω —
ограниченное открытое множество в RN . Предполагается, что функции aj(x, u, ξ),
j = 0, 1, . . . , N, g(x, u) удовлетворяют следующим условиям:
a1) aj(x, u, ξ), j = 0, 1, . . . , N, g(x, u) определены при (x, u, ξ) ∈ Ω×R1×RN
и являются измеримыми функциями x для всех (x, ξ) ∈ R1×RN и непрерывными
функциями u, ξ для почти всех x ∈ Ω;
a2) существуют числа p > 1, q > 1, ν1, ν2, ν4 > 0 такие, что для всех x, u, ξ
выполнены неравенства
N∑
j=1
aj(x, u, ξ)ξj > ν1 |ξ|p − g1(x) |u|p − f1(x),
|aj(x, u, ξ)| 6 ν2 |ξ|p−1 + g2(x) |u|p−1 + f2(x), j = 1, . . . , N,
(2.1)
|a0(x, u, ξ)| 6 ν3(x) |ξ|p−1 + g3(x) |u|p−1 + f3(x),
g(x, u) signu > ν4 |u|q − f4(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
974 И. И. СКРЫПНИК
где ν3(x), gi(x), i = 1, 2, 3, fj(x), j = 1, 2, 3, 4, — неотрицательные функции такие,
что
ν3(x) ∈ L N
1−δ
(Ω), fj(x) ∈ Lpj (Ω), gi(x) ∈ Lpi(Ω),
(2.2)
p1 = p3 = p4 =
N
p− δ
, p2 =
N
p− 1− δ
с некоторым δ ∈ (0,min[p− 1, 1]).
Рассмотрим решение u(x) уравнения (1.1) с изолированной особенностью. Мо-
жем считать, что 0 ∈ Ω и 0 — особая точка решения u(x). Будем говорить,
что u(x) — решение уравнения (1.1) в Ω \ {0}, если для произвольных функ-
ций ξ(x) ∈ C∞(Ω), равной нулю вблизи границы множества Ω \ {0}, и ψ(x) ∈
∈W 1
p (Ω)∩Lq+1(Ω) имеет место включение u(x) ξ(x) ∈W 1
p (Ω)∩Lq+1(Ω) и спра-
ведливо при ϕ(x) = ξ(x)ψ(x) равенство∫
Ω
{ N∑
j=1
aj
(
x, u,
∂u
∂x
) ∂ϕ
∂xj
+ a0
(
x, u,
∂u
∂x
)
ϕ+ g(x, u)ϕ
}
dx = 0. (2.3)
Определим R0 =
1
2
min {dist({0}, ∂Ω), 1} и для 0 < r 6 R0 обозначим
M(r) = max{|u(x)| : r 6 |x| 6 R0}. (2.4)
Известно, что условия a1),a2) обеспечивают гельдеровость решения u(x) в кольце
{r 6 |x| 6 R0} и поэтому максимум в (2.4) является конечным числом.
Будем говорить, что решение u(x) уравнения (1.1) имеет устранимую особен-
ность в точке {0}, если u(x) ∈ W 1
p (Ω) ∩ Lq+1(Ω) и тождество (2.3) справедливо
для ϕ(x) = ξ(x)ψ(x), где ξ, ψ — произвольные функции такие, что ξ ∈ C∞0 (Ω),
ψ ∈W 1
p (Ω) ∩ Lq+1(Ω).
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть 1 < p < N, выполнены условия a1), a2) и u(x) — решение
уравнения (1.1) в Ω \ {0}. Предположим, что выполнено неравенство
q >
N(p− 1)
N − p
. (2.5)
Тогда особенность u(x) в {0} устранима.
Доказательство теоремы основано на новых поточечных и интегральных оцен-
ках, характеризующих локальное поведение решения u(x) вблизи особой точки.
В п. 3 доказывается следующая теорема, дающая первоначальную поточечную
оценку решения.
Теорема 2.2. Предположим, что p > 1, q > p− 1, выполнены условия a1), a2)
и u(x) — решение уравнения (1.1) в Ω \ {0}. Тогда существует постоянная K,
зависящая лишь от постоянных ν1, ν2, ν4,N, p, δ, норм функций ν3(x), gi(x), fj(x)
в пространствах L N
1−δ
(Ω), Lpi
(Ω), Lpj
(Ω) соответственно, такая, что выполня-
ется оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 975
|u(x)| 6 K|x|−
p
q−p+1 (2.6)
при 0 < |x| 6 R0.
В п. 4 изучаются интегральные оценки градиента решения. В частности, отме-
тим оценку ∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pdx 6 K4M(ρ)ρλ+δ,
(2.7)
E(ρ, 4ρ) =
{
x : M̃(4ρ) < u(x) < M̃(ρ), |x| 6 R0
}
, M̃(ρ) = M(ρ) + ln
1
ρ
,
полученную в лемме 4.3 в предположении, что решение u(x) удовлетворяет допол-
нительному неравенству
|u(x)| 6 K ′|x|−
N−p−λ
p−1 при 0 < |x| 6 R0 (2.8)
с некоторыми λ > 0, K ′ > 0.
Используя оценку (2.7), в п. 5 доказываем улучшение поточечной оценки (2.8)
в виде
|u(x)| 6 K6 max
{
|x|−
N−p−λ
p−1 + δ
p̃ , ln2 1
|x|
}
(2.9)
с p̃ =
Np
δ
+ 1 + p. Эта оценка получена в лемме 5.2.
Заметим, что неравенство (2.6) обеспечивает справедливость оценки (2.8) с
λ =
q(N − p)−N(p− 1)
q − p+ 1
. (2.10)
Правая часть равенства (2.10) неотрицательна при выполнении условия (2.5). Это
обеспечивает возможность доказательства теоремы 2.1 следующим образом. На-
чиная с оценки (2.6) и используя неравенство (2.9), получаем последовательное
улучшение поточечных оценок и достигаем через конечное число шагов оценки
|u(x)| 6 C ln2 1
|x|
. (2.11)
Теперь можно свести уравнение (1.1) к уравнению (1.2) с новой функцией ã0(x, u, ξ),
удовлетворяющей условиям a1), a2). Оценка (2.11) обеспечивает выполнение усло-
вия (1.4), что и приводит к доказательству устранимости особенности решения
u(x). Доказательство теоремы 2.1 приведено в п. 5.
3. Доказательство теоремы 2.2. Будем предполагать в дальнейшем, что
lim
r→0
M(r) = ∞. (3.1)
В противном случае утверждение теоремы 2.1 непосредственно следует из теоремы
Серрина [2]. Зафиксируем число R1 из интервала (0, R0) так, чтобы
M(R1) > 1. (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
976 И. И. СКРЫПНИК
Определим при ρ > 0, σ ∈ (0, 1) функцию ϕρ,σ(x) условиями: ϕρ,σ(x) = 1 при
ρ 6 |x| 6 2ρ, ϕρ,σ(x) = 0 вне множества {(1 − σ)ρ < |x| < (2 + σ)ρ}, выполнена
оценка
∣∣∣∣∂ϕρ,σ(x)
∂x
∣∣∣∣ 6
2
σρ
, 0 6 ϕρ,σ(x) 6 1.
Под известными параметрами будем понимать постоянные ν1, ν2, ν4, N, p, δ,
R0, нормы функций ν3(x), gi(x), fj(x), i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, в соответствую-
щих пространствах. В дальнейшем постоянные, зависящие только от известных
параметров, будем обозначать через Ci, i = 1, 2, . . . .
Лемма 3.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.2. Тогда суще-
ствует постоянная K1, зависящая только от известных параметров, такая, что
при 0 < σ < 1, 0 < ρ <
R1
3
выполнена оценка
∫
Ω
(∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p + |u|q+1
)
ϕp
ρ,σ(x)dx 6 K1σ
−pρN−pMp(ρ− σρ). (3.3)
Доказательство. Подставим в интегральное тождество (2.3) пробную функ-
цию
ϕ(x) = u(x)ϕp
ρ,σ(x).
Используя предположение (2.1) и неравенство Юнга, получаем оценку∫
Ω
(∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p + |u|q+1
)
ϕp
ρ,σ(x)dx 6
6 C1
∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)p
h1(x)ϕp
ρ,σ(x)dx+ C1
∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)p
∣∣∣∂ϕρ,σ
∂x
∣∣∣pdx, (3.4)
где
h1(x) = νp
3 (x) + f1(x) + g1(x) +
[
f2(x) + g2(x)
] p
p−1 + f3(x) + g3(x) + f4(x). (3.5)
Интегралы в правой части (3.4) оцениваем, применяя неравенство Гельдера,
определения функций ϕρ,σ(x), M(r) и условие a2). В результате имеем∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)p
h1(x)ϕp
ρ,σ(x)dx 6 C2M
p(ρ− σρ)ρN−p+δ,
∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)p
∣∣∣∂ϕρ,σ(x)
∂x
∣∣∣pdx 6 C3σ
−pρN−pMp(ρ− σρ).
Теперь оценка (3.3) следует из (3.4) и двух последних неравенств, и доказательство
леммы 3.1 завершено.
Лемма 3.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.2. Тогда при
0 < σ < 1, 0 < ρ <
R1
3
справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 977
max
{
|u(x)|q+1 : ρ 6 |x| 6 2ρ
}
6 K2σ
− p
δ Nρ−N
∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)q+1
ϕp
ρ,σ(x)dx (3.6)
с постоянной K2, зависящей лишь от известных параметров.
Доказательство. Подставим в интегральное тождество (2.3) пробную функ-
цию
ϕ(x) =
(
1 + |u(x)|
)k
u(x)ϕl+p
ρ,σ (x),
где k, l — произвольные неотрицательные числа. Используя условие (2.1) и нера-
венство Юнга, получаем оценку∫
Ω
{(
1 + |u(x)|
)k
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p +
(
1 + |u(x)|
)k+q+1
}
ϕl+p
ρ,σ (x)dx 6
6 C4(l + 1)p
∫
Ω
[
1 + |u(x)|
]k+p{
h1(x)ϕl+p
ρ,σ (x) + (σρ)−pϕl
ρ,σ(x)
}
dx (3.7)
с функцией h1(x), определенной в (3.5).
Оценим интеграл в правой части (3.7) по неравенству Гельдера. Используя
условие a2), получаем ∫
Ω
[
1 + |u(x)|
]k+p
h1(x)ϕl+p
ρ,σ (x)dx 6
6 C5
{∫
Ω
{[
1 + |u(x)|
]k+p
ϕl+p
ρ,σ (x)
} N
N−p+δ
dx
}N−p+δ
N
,
(3.8)
(σρ)−p
∫
Ω
[
1 + |u(x)|
]k+p
ϕl
ρ,σ(x)dx 6
6 C5σ
−pρ−δ
{∫
Ω
{[
1 + |u(x)|
]k+p
ϕl
ρ,σ(x)
} N
N−p+δ
dx
}N−p+δ
N
.
Из неравенств (3.7), (3.8) следует оценка∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)k
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pϕl+p
ρ,σ (x)dx 6
6 C6(l + 1)pσ−pρ−δ
{ ∫
Ω
[(
1 + |u(x)|
)k+p
ϕl
ρ,σ(x)
] N
N−p+δ
dx
}N−p+δ
N
. (3.9)
Полученное неравенство дает возможность применить итерационный метод Мозе-
ра для оценки максимума функции 1 + |u(x)| на множестве {x : ρ 6 |x| 6 2ρ}.
Опуская промежуточные оценки, аналогичные доказательству леммы 1.2 гл. VIII
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
978 И. И. СКРЫПНИК
[7], отметим, что итогом итерационного процесса является неравенство (3.6), что
и завершает доказательство леммы 3.2.
Доказательство теоремы 2.2. Зафиксируем число R2 из интервала
(
0,
R1
2
)
так, чтобы M(R2) > M
(
R1
2
)
, и пусть ρ — произвольное число из интервала
(0, R2). Определим числовые последовательности {ρj}, {σj} равенствами
ρj =
(1
2
+ 2−j
)
ρ, σj = 2−(j+1), j = 1, 2, . . . .
Выберем точку xj так, чтобы M(ρj) = |u(xj)|, ρj 6 |xj | 6 R2, и обозначим
ρ′j = |xj |. Определим последовательность функций {ϕj(x)}, полагая ϕj(x) равной
функции ϕρ,σ(x) при ρ = ρ′j , σ = σj .
Применяя лемму 3.2, получаем оценку
[M(ρj)]q+1 = |u(xj)|q+1 6 C72
jp
δ ρ−N
∫
Ω
(
1 + |u(x)|
)q+1
ϕp
j (x) dx. (3.10)
Оценим далее интеграл в (3.10) по неравенству (3.3) и получим
[M(ρj)]q+1 6 C8ρ
−paj [M(ρ′j − σjρ
′
j)]
p 6 C8a
jρ−p[M(ρj+1)]p, (3.11)
где a = 2p
(
1
δ +1
)
.
Последовательным применением оценки (3.11) получаем неравенство
M(ρ1) 6 C
1
q+1
J∑
j=0
( p
q+1 )
j
8 a
1
q+1
J∑
j=0
(j+1)( p
q+1 )
j
×
×ρ
− p
q+1
J∑
j=0
( p
q+1 )
j [
M(ρJ+2)
]( p
q+1 )
J+1
. (3.12)
Устремляя J → ∞ и используя ограниченность последовательности {M(ρj)}, из
(3.12) имеем оценку
M(ρ) 6 C9ρ
− p
q−p+1 ,
что и завершает доказательство теоремы 2.2.
4. Интегральные оценки градиента решения. Определим при r ∈
(
0,
1
e
)
функцию ψr : RN → R1, ψr(x) = ψ̃r(|x|), где ψ̃r : R1 → R1 — функция, опреде-
ленная равенствами ψ̃r(t) ≡ 0 при t 6 r, ψ̃r(t) ≡ 1 при t > R(r),
ψ̃r(t) =
1
(1− θ) ln ln 1
r
t∫
r
dz
z ln 1
z
при r 6 t 6 R(r). (4.1)
Выше e — натуральное число, θ — выбираемое далее число из интервала (0, 1),
R(r) — число, определенное равенством
ln
1
R(r)
=
(
ln
1
r
)θ
. (4.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 979
Обозначим при ρ ∈ (0, R0) функцию uρ(x) и множество E(ρ) равенствами
uρ(x) = [u(x)− M̃(ρ)]+ = max{u(x)− M̃(ρ), 0} при x ∈ B(ρ) \ {0},
uρ(x) = 0 при x ∈ Ω \B(ρ),
(4.3)
M̃(ρ) = M(ρ) + ln
1
ρ
,
E(ρ) = {x ∈ B(ρ) \ {0} : u(x) > M̃(ρ)}.
Определим число p и функцию F1(r, ρ) :
p =
qp
q − p+ 1
, F1(r, ρ) = ρN−p, если q >
N(p− 1)
N − p
,
F1(r, ρ) =
[
ln
1
r
]2−N
p
, если q =
N(p− 1)
N − p
, N < 2p,
(4.4)
F1(r, ρ) = ln ln
1
r
, если q =
N(p− 1)
N − p
, N = 2p,
F1(r, ρ) =
[
ln
1
ρ
]2−N
p
, если q =
N(p− 1)
N − p
, N > 2p.
Лемма 4.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1 и дополни-
тельно, что решение u(x) удовлетворяет неравенству
|u(x)| 6 K ′ |x|−
N−p−λ
p−1 при 0 < |x| 6 R0 (4.5)
с K ′ > 0, λ ∈ [0, N−p). Тогда при r ∈
(
0,
1
e
)
, R(r) < ρ < R1 справедлива оценка
∫
E(ρ)
1
u
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x) dx 6 K3
{[
ln ln
1
r
]−p
F1(r, ρ) + ρλ+δ ln
1
ρ
}
(4.6)
с p, F1(r, ρ), определенными равенствами (4.4), и постоянной K3, зависящей толь-
ко от известных параметров, θ и K ′.
Доказательство. Подставим в интегральное тождество (2.3) пробную функ-
цию
ϕ(x) =
[
ln
u(x)
M̃(ρ)
]
+
ψp
r (x).
Оценивая возникающие интегралы на основе условия a2) и неравенства Юнга,
получаем оценку∫
E(ρ)
{
1
u
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p + uq ln
u
M̃(ρ)
}
ψp
r (x) dx 6 C10(I1 + I2), (4.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
980 И. И. СКРЫПНИК
где
I1 =
∫
E(ρ)
ln
u
M̃(ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p−1∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣ψp−1
r (x) dx,
I2 =
∫
E(ρ)
up−1(x)
{
f1 + g1 + (f2 + g2) ln
u
M̃(ρ)
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣ +
+ νp
3 (x)
[
ln
u
M̃(ρ)
]p
+ (f3 + g3 + f4) ln
u
M̃(ρ)
}
ψp−1
r (x) dx.
Вначале оценим интеграл I2, используя неравенство Гельдера, условие a2) и
оценку (4.5):
I2 6
∫
E(ρ)
[h2(x)]
N
p−δψp−1
r (x) dx
p−δ
N
×
×
∫
E(ρ)
[lnp u|u|p−1]
N
N−p+δψp−1
r (x) dx
N−p+δ
N
+
+
∫
E(ρ)
[f2(x) + g2(x)]
N
p−1−δψp−1
r (x) dx
p−1−δ
N
×
×
∫
E(ρ)
[
lnu|u|p−1
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣] N
N−p+1+δ
ψp−1
r (x) dx
N−p+1+δ
N
6
6 C11
ρ∫
r
([
ln
1
|x|
]p
|x|−(N−p−λ)
) N
N−p+δ
|x|N−1d|x|
N−p+δ
N
+
+C11
[
ln ln
1
r
]−1
ρ∫
r
|x|−(N−p−λ+1) N
N−p+1+δ +N−1d|x|
N−p+1+δ
N
6
6 C12ρ
λ+δ
[
ln
1
ρ
]p
. (4.8)
В этой и дальнейших оценках данного пункта постоянные Cj , j = 1, . . . , зависят
только от известных параметров, θ и K ′. Здесь
h2(x) = f1(x) + g1(x) + νp
3 (x) + f3(x) + g3(x) + f4(x). (4.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 981
Используя неравенство Юнга, получаем следующую оценку интеграла I1 :
C10I1 6
1
2
∫
E(ρ)
{
1
u
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p + uq ln
u
M̃(ρ)
}
ψp
r (x) dx+ C13I3, (4.10)
где
I3 =
∫
E(ρ)
[
ln
u
M̃(ρ)
](1− p−1
pq )p ∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣pdx.
Последний интеграл оцениваем, применяя неравенство (4.5) и формулу (4.1):
I3 6 C14
[
ln ln
1
r
]−p
ρ∫
r
|x|−p+N−1
[
ln
1
|x|
]− p
pq (p−1)
d|x| 6
6 C15
[
ln ln
1
r
]−p
F1(r, ρ). (4.11)
Теперь оценка (4.6) следует из неравенств (4.7), (4.8), (4.10), (4.11), и доказатель-
ство леммы 4.1 завершено.
Определим при z ∈ R1 функцию
Φ(z) =
[
[M̃(ρ)− M̃(4ρ)]1−κ − [z − M̃(4ρ)]1−κ
]
+
, (4.12)
где κ = min
[
2, 1 +
δ + λ
2(N − p− λ)
]
.
Обозначим при 0 < r < R0 F2(r) =
1
λ
[R(r)]λ, если λ > 0, и F2(r) =
=
[
ln
1
R(r)
]1−p
, если λ = 0, где λ — число из неравенства (4.5).
Лемма 4.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1 и неравен-
ство (4.5). Тогда при 0 < R(r) < ρ <
R1
4
справедлива оценка∫
E(ρ)
[u(x)− M̃(4ρ)]−κ
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx 6 K4[M̃(ρ)− M̃(4ρ)]1−κ×
×
{
F2(r) +
{ ∫
E(ρ)
1
u(x)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx
} p−1
p
{F2(r)}
1
p + ρλ+δ
}
(4.13)
с постоянной K4, зависящей лишь от известных параметров, θ и K ′.
Доказательство. Подставим в тождество (2.3) пробную функцию
ϕ(x) = Φρ(u(x))ψp
r (x) при r ∈
(
0,
1
e
)
, R(r) < ρ < R1.
Оценивая слагаемые в равенстве, полученном в результате этой подстановки, по-
лучаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
982 И. И. СКРЫПНИК∫
E(ρ)
{
[u(x)− M̃(4ρ)]−κ
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p + Φρ(u(x))uq(x)
}
ψp
r (x)dx 6
6 C16[M̃(ρ)− M̃(4ρ)]1−κ
6∑
j=4
Ij , (4.14)
где
I4 =
∫
E(ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p−1
ψp−1
r (x)
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣dx,
I5 =
∫
E(ρ)
up−1(x)
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣pdx, I6 =
∫
E(ρ)
h1(x)up−1(x)ψp
r (x)dx
и функция h1(x) определена в равенстве (3.5).
Оценим далее интегралы I4, I5, I6. Используя неравенство (4.6) и следующую
из (4.1) оценку для
∣∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣∣ , имеем
I5 6 C17 F2(r). (4.15)
Из (4.15) и неравенства Гельдера получаем
I4 6 C18
∫
E(ρ)
1
u(x)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx
p−1
p
{F2(r)}
1
p . (4.16)
Оценка интеграла I6 следует аналогично оценке (4.8):
I6 6 C19 ρ
λ+δ. (4.17)
Используя оценки для I4, I5, I6, получаем неравенство (4.13) непосредственно
из (4.14), что завершает доказательство леммы 4.2.
Определим функцию u(ρ)(x) и множество E(ρ, 4ρ):
u(ρ)(x) = min{[u(x)− M̃(4ρ)]+, M̃(ρ)− M̃(4ρ)},
(4.18)
E(ρ, 4ρ) = {x ∈ B(R0) : M̃(4ρ) < u(x) < M̃(ρ)}.
Лемма 4.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1 и неравен-
ство (4.5). Тогда при 0 < ρ <
R1
4
справедлива оценка∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pdx 6 K5M̃(ρ)ρλ+δ (4.19)
с постоянной K5, зависящей только от известных параметров и K ′.
Доказательство. Подставим в тождество (2.3) пробную функцию
ϕ(x) = u(ρ)(x)ψp
r (x) при r ∈
(
0,
1
e
)
, R(r) < ρ < R1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 983
Из полученного равенства на основании условия a2) и неравенства Юнга следует
оценка ∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx+
∫
E(4ρ)
uq(x)u(ρ)(x)ψp
r (x)dx 6 C20
10∑
j=7
Ij , (4.20)
где
I7 = M̃(ρ)
∫
E(4ρ)
up−1(x)h2(x)ψp
r (x)dx,
I8 =
∫
E(4ρ)
u(ρ)(x)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p−1∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣ψp−1
r (x)dx,
I9 =
∫
E(4ρ)
u(ρ)(x)up−1(x)[f2(x) + g2(x)]
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣ψp−1
r (x)dx,
I10 =
∫
E(4ρ)
u(ρ)(x)ν3(x)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣p−1
ψp
r (x)dx
и функция h2(x) определена равенством (4.9).
Оцениваем далее интегралы Ij . Используя неравенство Гельдера, условие a2)
и неравенство (4.5), имеем
I7 6 M̃(ρ)
{ ∫
E(4ρ)
[h2(x)]
N
p−δ dx
} p−δ
N
×
×
{ ∫
E(4ρ)
[up−1ψp−1
r (x)]
N
N−p+δ dx
}N−p+δ
N
6
6 C21M̃(ρ)
{ 4ρ∫
r
|x|−(N−p−λ) N
N−p+δ +N−1d|x|
}N−p+δ
N
6 C22M̃(ρ)ρλ+δ. (4.21)
Применяя неравенство Юнга и Гельдера, получаем оценку
C20I8 6
1
2
∫
E(4ρ)
u(ρ)(x)uq(x)ψp
r (x)dx+ C23I11I12, (4.22)
где
I11 =
{ ∫
E(4ρ)
1
u
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx
} q(p−1)
qp−p+1
,
I12 =
{ ∫
E(4ρ)
[u(ρ)(x)](1−
p−1
pq )p
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣pdx} q−p+1
qp−p+1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
984 И. И. СКРЫПНИК
В следующем неравенстве использованы оценки для u(ρ)(x) и
∣∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣∣ , получаемые
из представлений (4.12) и (4.1):
I12 6 C24[M̃(ρ)− M̃(4ρ)]
[
ln ln
1
r
]− qp
qp−p+1
×
×
R(r)∫
r
|x|N−1d|x|[
ln 1
|x|
]p
|x|p
q−p+1
qp−p+1
6 C25M̃(ρ)F3(r), (4.23)
где
F3(r) = [R(r)](N−p) q−p+1
qp−p+1 , если q >
N(p− 1)
N − p
,
F3(r) =
[
ln
1
R(r)
]−(N−1) q−p+1
qp−p+1
, если q =
N(p− 1)
N − p
,
и R(r) определено равенством (4.2).
Оценку для I9 получаем, применяя неравенства Гельдера, (4.5), условие a2) и
оценку для
∣∣∣∣∂ψr(x)
∂x
∣∣∣∣ , следующую из (4.1):
I9 6 [M̃(ρ)− M̃(4ρ)]
{ ∫
E(4ρ)
[f2(x) + g2(x)]
N
p−1−δ dx
} p−1−δ
N
×
×
{ ∫
E(4ρ)
[
up−1(x)
∣∣∣∂ψr
∂x
∣∣∣ψp−1
r (x)
] N
N−p+1+δ
dx
}N−p+1+δ
N
6
6 C26
[
ln ln
1
r
]−1
M̃(ρ)
{ R(r)∫
r
[
|x|−(N−p−λ+1) 1
ln 1
|x|
] N
N−p+1+δ
|x|N−1d|x|
}N−p+1+δ
N
6
6 C27M̃(ρ)[R(r)]λ+δ. (4.24)
Используя неравенства Юнга, Гельдера, (4.5) и выбор κ, имеем
I10 6
1
2C20
∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx+ C28M̃(ρ)ρλ+δ+
+ C28[M̃(ρ)− M̃(4ρ)]
∫
E(ρ,4ρ)
[u(x)− M̃(4ρ)]−κ
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx
p−1
p
ρ
λ+δ
2p .
(4.25)
Теперь из неравенств (4.20) – (4.25), (4.6) и (4.13) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 985
∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pψp
r (x)dx 6 C29M̃(ρ)
{
ρ
λ+δ
2 + F2(r)+
+F3(r)
[(
ln ln
1
r
)−p
F1(r, ρ) + ρλ+δ ln
1
ρ
] q(p−1)
qp−p+1
+
+[F2(r)]
1
p
[(
ln ln
1
r
)−p
F1(r, ρ) + ρλ+δ ln
1
r
] p−1
p
}
. (4.26)
Выберем теперь число θ ∈ (0, 1), введенное в равенстве (4.2), из следующих
условий:
−θ(N − 1) (q − p+ 1) +
(
2− N
p
)
q(p− 1) < 0, θ >
[
1− N
2p
]
+
,
если q =
N(p− 1)
N − p
,
(4.27)
θ = 1− N
2p
, если q >
N(p− 1)
N − p
, N < 2p,
θ =
1
2
, если q >
N(p− 1)
N − p
, N > 2p.
Возможность выбора θ, удовлетворяющего неравенствам (4.27), следует из того,
что при q =
N(p− 1)
N − p
, p < N
(
2− N
p
)
q(p− 1) < q(p− 1) =
=
N(p− 1)2
N − p
<
(N − 1)p(p− 1)
N − p
= (N − 1)(q − p+ 1).
Зафиксируем в дальнейшем число θ, зависящее только от N, p и удовлетворяющее
условию (4.27).
Условие (4.27) дает возможность перейти к пределу в (4.26) при r → 0. В ре-
зультате получаем оценку ∫
E(ρ,4ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pdx 6 C29M̃(ρ)ρ
λ+δ
2 ,
что и завершает доказательство леммы 4.3.
5. Доказательство теоремы 2.1. Вначале получим вспомогательные поточеч-
ные оценки.
Лемма 5.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.1. Тогда при
0 < σ < 1, 0 < ρ <
R1
3
справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
986 И. И. СКРЫПНИК
max
{
[u(x)− M̃(2ρ)]p̃ : ρ 6 |x| 6 2ρ
}
6
6 K6σ
−Np
δ ρ−N
∫
E(2ρ)
[u(x)]p̃−p[u2ρ(x)]pϕp
ρ,σ(x) dx (5.1)
с p̃ =
Np
δ
+1+p и постоянной K6, зависящей только от известных параметров.
Доказательство. Подставим в интегральное тождество (2.3) пробную функ-
цию
ϕ(x) = [u(x)]k[u2ρ(x)]lϕm
ρ,σ(x),
где k, l, m — произвольные числа, удовлетворяющие условиям k > 0, l > 1, m > p.
Аналогично доказательству неравенства (3.9) получим оценку∫
E(2ρ)
uk(x)ul−1
2ρ (x)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pϕm
ρ,σ(x) dx 6
6 C30m
pσ−pρ−δ
{ ∫
Ω
[
uk+p(x)ul−1
2ρ (x)ϕm−p
ρ,σ (x)
] N
N−p+δ dx
}N−p+δ
N
. (5.2)
Применяя теорему вложения, из (5.2) получаем следующую оценку:∫
E(2ρ)
[
u(x)
]k N
N−p
[
u2ρ(x)
](l+p−1) N
N−p
[
ϕρ,σ(x)
]m N
N−p dx 6
6 C31
(
k + l +m
) 2Np
N−p
[
σ−p ρ−δ
] N
N−p×
×
{ ∫
E(2ρ)
[
uk+p(x)ul−1
2ρ (x)ϕm−p
ρ,σ (x)
] N
N−p+δ
dx
}N−p+δ
N−p
. (5.3)
Итерируя неравенства (5.3) при соответствующем выборе k, l, m, получаем оцен-
ку (5.1), что и завершает доказательство леммы 5.1.
Лемма 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и оценка (4.5). Тогда суще-
ствует постоянная K7, зависящая лишь от известных параметров, R1, M̃
(
R1
4
)
и K ′, такая, что выполняется оценка
|u(x)| 6 K7 max
{
|x|−
N−p−λ
p−1 + δ
p̃ , ln2 1
|x|
}
при 0 < |x| < R1 (5.4)
с постоянной p̃, определенной в лемме 5.1.
Доказательство. Из неравенства (5.1) с σ =
1
2
и (4.5) следует оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
УСТРАНИМОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ... 987
[
M̃(ρ)− M̃(2ρ)
]p̃
6 C32
{
ρ−N− (p̃−p)(N−p−λ)
p−1 ×
×
∫
E(2ρ)
max
{[
M̃
(ρ
2
)
− M̃(2ρ)
]p
,
[
u(x)− M̃(2ρ)
]p}
dx+
[
ln
1
ρ
]p̃
}
. (5.5)
Далее оценим последний интеграл по неравенству Пуанкаре:
[
M̃(ρ)− M̃(2ρ)
]p̃
6 C33
{
ρ−N+p− (p̃−p)(N−p−λ)
p−1
∫
E( ρ
2 ,2ρ)
∣∣∣∂u
∂x
∣∣∣pdx+
[
ln
1
ρ
]p̃
}
. (5.6)
Используя неравенства (4.19) и (4.5), оцениваем интеграл в правой части неравен-
ства (5.6):
[
M̃(ρ)− M̃(2ρ)
]p̃
6 C34
{
ρ−
N−p−λ
p−1 p̃+δ +
[
ln
1
ρ
]p̃ }
. (5.7)
Таким образом, получены оценки
M̃(ρ)− M̃(2ρ) 6 C35
(
1
ρ
)N−p−λ
p−1 − δ
p̃
, если
N − p− λ
p− 1
− δ
p̃
> 0, (5.8)
M̃(ρ)− M̃(2ρ) 6 C35 ln
1
ρ
, если
N − p− λ
p− 1
− δ
p̃
6 0. (5.9)
Рассмотрим последовательность
ρi = 2i−1ρ, i = 1, . . . , I, (5.10)
где I определяется условием
R1
4
< 2Iρ 6
R1
2
. Суммируя неравенства (5.8) с
ρ = ρi, получаем оценку
M̃(ρ) 6 M̃
(
R1
4
)
+ C35
(
1
ρ
)N−p−λ
p−1 − δ
p̃
I∑
i=1
(
1
2i−1
)N−p−λ
p−1 − δ
p̃
6
6 M̃
(
R1
4
)
+ C36
(
1
ρ
)N−p−λ
p−1 − δ
p̃
, (5.11)
если
N − p− λ
p− 1
− δ
p̃
> 0.
Если же
N − p− λ
p− 1
− δ
p̃
6 0, то, суммируя неравенства (5.9) с ρ = ρi, получаем
M̃(ρ) 6 M̃
(
R1
4
)
+ C35
I∑
i=1
ln
1
ρi
6 M̃
(
R1
4
)
+ C37 ln2 R1
2ρ
. (5.12)
Оценка (5.4) следует из доказанных неравенств (5.11), (5.12), и, тем самым, дока-
зательство леммы 5.2 завершено.
Доказательство теоремы 2.1. Доказанная в теореме 2.2 оценка решения по-
казывает, что выполнено неравенство (4.5) с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
988 И. И. СКРЫПНИК
λ0 = 0, если q =
N(p− 1)
N − p
,
(5.13)
λ0 = N − p− p(p− 1)
q − p+ 1
> 0, если q >
N(p− 1)
N − p
,
и постоянной K ′, зависящей лишь от известных параметров.
Лемма 5.2 гарантирует последовательное улучшение неравенства (4.5) с уве-
личением на каждом шаге λ на
δ(p− 1)
p̃
до тех пор, пока N − p − λ остается
положительным. Таким образом, отправляясь от неравенства (4.5) со значением
λ0, определенным равенствами (5.13), получим, в силу леммы 5.2, после конечного
числа шагов следующую оценку:
|u(x)| 6 C38 ln2 1
|x|
при 0 < |x| < R1 (5.14)
с постоянной C38, зависящей лишь от известных параметров.
Теперь уравнение (1.1) запишем в виде
−
n∑
i=1
∂
∂xi
ai
(
x, u,
∂u
∂x
)
+ ã0
(
x, u,
∂u
∂x
)
= 0, (5.15)
где ã0(x, u, ξ) = a0(x, u, ξ) + g̃(x),
g̃(x) = g(x, u(x)). (5.16)
В правой части равенства (5.16) u(x) — рассматриваемое сингулярное решение
уравнения (2.1), для которого установлена оценка (5.14).
Рассмотрим u(x) как локальное решение уравнения (5.15) в B(R1) \ {0}. По-
скольку определенная равенством (5.16) функция g̃(x) принадлежит Lp3(B(R1)),
коэффициенты уравнения (5.15) удовлетворяют условиям a1), a2). Известно [2],
что особенность решения u(x) уравнения (5.15) устранима, если при N > p > 1
выполнено условие (1.4). Так как неравенство (5.14) обеспечивает выполнение
условия (1.4), доказана устранимость особенности u(x) в нуле, и, тем самым,
доказательство теоремы 2.1 завершено.
1. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear equations // Pitman Res. Notes in
Math. Ser. – 1995. – 353.
2. Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilinear equations // Acta Math. – 1964. – 111. –
P. 247 – 302.
3. Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations // Ibid. – 1965. – 113. – P. 219 –
240.
4. Nicolosi F., Skrypnik I. V., Skrypnik I. I. Precise point-wise growth conditions for removable isolated
singularities // Communs Part. Different. Equat. – 2003. – 28, № 3 – 4. – P. 677 – 696.
5. Brezis H., Veron L. Removable singularities of some nonlinear equations // Arch. Ration. Mech. and
Anal. – 1980. – 75. – P. 1 – 6.
6. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений нелинейных уравнений
второго порядка // Мат. сб. – 1988. – 135. – С. 346 – 360.
7. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. – М.:
Наука, 1991. – 374 с.
Получено 17.11.2004
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2005, т. 57, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3656 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:35Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/2e4580c9579dff8c8f3812a55d5b3acc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36562020-03-18T20:01:15Z Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption Устранимость изолированной особенности решений нелинейных эллиптических уравнений с абсорбцией Skrypnik, I. I. Скрыпник, И. И. Скрыпник, И. И. We prove a priori estimates for singular solutions of nonlinear elliptic equations with absorption. Using these estimates, we establish precise conditions for the behavior of the absorption term of the equation under which solutions with point singularities do not exist. Доведено апріорні оцінки сингулярних розв'язків для нєлінійних еліптичних рівнянь з абсорбцією. З допомогою цих оцінок отримано точні умови на поведінку члена рівняння, що характеризує абсорбцію, при яких не існують розв'язки з точковою особливістю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3656 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 7 (2005); 972–988 Український математичний журнал; Том 57 № 7 (2005); 972–988 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3656/4042 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3656/4043 Copyright (c) 2005 Skrypnik I. I. |
| spellingShingle | Skrypnik, I. I. Скрыпник, И. И. Скрыпник, И. И. Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title | Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title_alt | Устранимость изолированной особенности решений нелинейных эллиптических уравнений с абсорбцией |
| title_full | Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title_fullStr | Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title_full_unstemmed | Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title_short | Removability of an Isolated Singularity of Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Absorption |
| title_sort | removability of an isolated singularity of solutions of nonlinear elliptic equations with absorption |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3656 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikii removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsofnonlinearellipticequationswithabsorption AT skrypnikii removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsofnonlinearellipticequationswithabsorption AT skrypnikii removabilityofanisolatedsingularityofsolutionsofnonlinearellipticequationswithabsorption AT skrypnikii ustranimostʹizolirovannojosobennostirešenijnelinejnyhélliptičeskihuravnenijsabsorbciej AT skrypnikii ustranimostʹizolirovannojosobennostirešenijnelinejnyhélliptičeskihuravnenijsabsorbciej AT skrypnikii ustranimostʹizolirovannojosobennostirešenijnelinejnyhélliptičeskihuravnenijsabsorbciej |