On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations
New classes of the exact solutions of nonlinear diffusion equations are constructed.
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3661 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509786097844224 |
|---|---|
| author | Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_facet | Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_sort | Barannyk, A. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:36Z |
| description | New classes of the exact solutions of nonlinear diffusion equations are constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9: 519.46
A. F. Barannyk (Pomor. ped. akademiq, Slups\k, Pol\wa),
I. I. Gryk (Nac. un-t xarç. texnolohij, Ky]v)
PRO TOÇNI ROZV’QZKY NELINIJNYX RIVNQN| DYFUZI}
New extended classes of exact solutions of a nonlinear diffusion equation are constructed.
Pobudovano novi klasy toçnyx rozv’qzkiv nelinijnyx rivnqn\ dyfuzi].
1. Vstup. Rivnqnnq
u u b u u c ut xx x= + +( ) ( ) , (1)
de u = u t x( , ) , b u( ) , c u( ) — hladki funkci], a indeksy oznaçagt\ poxidni za vid-
povidnymy zminnymy, uzahal\ng[ velyku kil\kist\ vidomyx nelinijnyx evolg-
cijnyx rivnqn\, qki magt\ fundamental\ne znaçennq v modelgvanni riznomanit-
nyx procesiv teploprovidnosti, reakci]-dyfuzi], v matematyçnij biolohi], henety-
ci, ximi]. Tak, çastynnymy vypadkamy rivnqnnq (1) [ rivnqnnq Fißera [1]
u u u ut xx= + −( )1 , (2)
a takoΩ rivnqnnq Marri [2]
u u uu au but xx x= + + +λ 2
, (3)
de λ, a, b ∈ R, qki ßyroko vykorystovugt\sq v biolohi].
Hrupovu klasyfikacig rivnqn\ (1) navedeno v [3], a rezul\taty umovno] sy-
metri] rivnqnnq (1) — v [4].
U danij roboti rozhlqda[t\sq rivnqnnq vyhlqdu
u u u u u b u b ut xx
n
x
n n
= + + + +
− + −
λ ε
1
2
1
2
1 0
3
2
, (4)
de λ ≥ 0, ε = ± 1, b0 , b1 ∈ 8R, qke [ uzahal\nennqm rivnqn\ (2), (3), a takoΩ
nelinijne rivnqnnq dyfuzi]
u h u u h u u h ut xx x= + +1 2 3( ) ( ) ( ), (5)
de
h u u1 0 1( ) = +β β , h u u u2 0 1 2
2( ) = + +λ λ λ ,
h u a u a u a u a u a3 4
4
3
3
2
2
1 0( ) = + + + +
[ mnohoçlenamy z dijsnymy koefici[ntamy stepeniv 1, 2 i 4 vidpovidno. Dlq do-
vil\noho n pobudovano anzacy, qki redukugt\ rivnqnnq (4) do zvyçajnyx dyfe-
rencial\nyx rivnqn\. U vypadku n = 3 z vykorystannqm nelokal\noho peretvo-
rennq Koula – Xopfa znaxodΩennq rozv’qzkiv danoho rivnqnnq zvedeno do
intehruvannq systemy dvox linijnyx rivnqn\, odne z qkyx [ zvyçajnym dyferen-
© A. F. BARANNYK, I. I. GRYK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1011
1012 A. F. BARANNYK, I. I. GRYK
cial\nym rivnqnnqm. Pokazano, wo dlq n = 3 rivnqnnq (4) ma[ netryvial\nu Q-
umovnu symetrig, a takoΩ pobudovano novi toçni rozv’qzky danoho rivnqnnq.
Z vykorystannqm pidstanovky Koula – Xopfa pobudovano takoΩ novi toçni
rozv’qzky rivnqnnq (5). Zaznaçymo, wo cej pidxid bulo uspißno vykorystano v
[5] dlq pobudovy toçnyx rozv’qzkiv rivnqnnq Kolmohorova – Petrovs\koho –
Piskunova
u u f ut xx= + ( ) ,
de f u( ) — hladka funkciq.
2. Neli[vs\ki rozv’qzky rivnqnnq (4) dlq n = 3. Rozhlqnemo rivnqnnq (4)
u vypadku n = 3:
u u uu u b u bt xx x= + + + +λ ε 2
1 0 . (6)
Maksymal\nog alhebrog invariantnosti rivnqnnq (6) [ alhebra, porodΩena ope-
ratoramy
P
tt = ∂
∂
, P
xx = ∂
∂
.
Tomu vsi invariantni rozv’qzky (5) magt\ vyhlqd
u = w x tα β+( ), α, β ∈ R.
My pokaΩemo, wo rivnqnnq (6) ma[ netryvial\nu Q-umovnu symetrig [6], i znaj-
demo umovno invariantni rozv’qzky danoho rivnqnnq.
Teorema 1. Qkwo v rivnqnni (6) λ ≠ 0, to vono umovno invariantne vidnosno
operatora
X
t
u
x
u b u b
u
= ∂
∂
+ − +
∂
∂
+ + +( ) ∂
∂
λ ε
λ
ε 2
1 0 . (7)
Teorema dovodyt\sq z vykorystannqm formuly druhoho prodovΩennq ope-
ratora X [7] i kryterig umovno] invariantnosti vidnosno deqkoho operatora
X88[6, 8].
Teorema 2. 1. Qkwo 4 0εb – b1
2 > 0, to rozv’qzkom rivnqnnq (6) [ funkciq
u t k
k x b t
t k
= +( ) +
− + +
+( )
εµ µ
ε
λ λ
µ1 1 1
2 2 1
1 1
1
tg
exp
cos
, (8)
de µ1 = ε ε
2
4 0 1
2b b− .
2. Qkwo b1
2 – 4 0εb > 0, to rozv’qzkom rivnqnnq (6) [ funkciq
u t k
k x b t
t k
= +( ) +
− + +
+( )
εµ µ
ε
λ λ
µ2 2 1
2 2 1
2 1
1
th
ch
exp
, (9)
de µ2 = ε ε
2
41
2
0b b− .
3. Qkwo b1
2 – 4 0ε b = 0, to rozv’qzkom rivnqnnq (6) [ funkciq
u
t k
b
k x
b
t
t k
= −
+
− +
− + +
+
1
2
1
2
1
1
2 2
1
1ε ε
ε
λ λ
ε
exp
. (10)
U formulax (8) – (10) k1, k2 — dovil\ni stali.
Dovedennq teoremy zvodyt\sq do vidßukannq rozv’qzkiv rivnqnnq (6), invari-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
PRO TOÇNI ROZV'QZKY NELINIJNYX RIVNQN| DYFUZI} 1013
antnyx vidnosno operatora (7). Qkwo u = u t x( , ) [ odnym iz takyx rozv’qzkiv, to
u u u u b u bt x= − − +
+ + +λ ε
λ
ε 2
1 0 . (11)
Pidstavlqgçy (11) v (6), otrymu[mo
u uxx x+ =ε
λ
0. (12)
OtΩe, systema rivnqn\ (6), (11) rivnosyl\na systemi rivnqn\ (6), (12). Intehrug-
çy systemu (6), (12), otrymu[mo rozv’qzky (8) – (11) rivnqnnq (6).
Teoremu dovedeno.
Oçevydno, wo rozv’qzky (8) – (10) ne [ invariantnymy vidnosno operatoriv
translqcij Pt + γ Px , γ ∈ R, a tomu vony [ neli[vs\kymy.
3. Li[vs\ki rozv’qzky rivnqnnq (4) dlq n = 3. Pobudu[mo teper rozv’qzky
rivnqnnq (6), invariantni vidnosno operatoriv translqcij. Z ci[g metog vyko-
rysta[mo anzac Koula – Xopfa
u k
z
z
x= , (13)
de k — stala (k ≠ 0), a z = z t x( , ) — deqka funkciq. Pidstavlqgçy (13) v (6),
otrymu[mo rivnqnnq
kz kz b kz b z zxt xxx x− − −( )1 0
2
+ kz z k z kz zx t xx x− + − −( )( )3 λ ε +
+ − +( )2 2k kλ = 0.
Zminnu z vyznaçymo z umovy, wo vyrazy pry z i z2
u danomu rivnqnni doriv-
nggt\ nulg. Ma[mo systemu
kz kz b kz b zxt xxx x− − − =1 0 0 , (14)
− + − − =z k z kzt xx x( )3 0λ ε , (15)
2 – λ k = 0. (16)
Z rivnqn\ (15) i (16) znaxodymo
z z kzt xx x= − ε . (17)
Pidstavlqgçy v rivnqnnq (14), oderΩu[mo
ε k z b kz b zxx x
2
1 0 0+ + = . (18)
OtΩe, systema (14) – (16) [ rivnosyl\nog systemi (16) – (18), qku moΩna lehko
prointehruvaty. Typ ]] rozv’qzku zaleΩyt\ vid koreniv xarakterystyçnoho riv-
nqnnq
ε k v b kv b2 2
1 0 0+ + = , (19)
wo vidpovida[ linijnomu rivnqnng (18). Korenqmy xarakterystyçnoho rivnqnnq
(19) [
1
1k
m ,
1
2k
m , de m1 , m2 — koreni kvadratnoho rivnqnnq
ε v b v b2
1 0 0+ + = . (20)
Intehrugçy systemu (16) – (18) i vykorystovugçy pidstanovku (13), pryxodymo
do takoho rezul\tatu.
Teorema 3. 1. Qkwo koreni m1 , m2 rivnqnnq (20) [ dijsnymy i riznymy, to
rozv’qzkom rivnqnnq (6) [ funkciq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1014 A. F. BARANNYK, I. I. GRYK
u
k m t x k m t x
k t x k t x
=
+
+
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
exp ( , ) exp ( , )
exp ( , ) exp ( , )
ψ ψ
ψ ψ
, (21)
de
ψ λ λ εi i i it x m x m m t( , ) = + −
2 4
2
2
, i = 1, 2.
2. Qkwo koreni m1 = α + i β, m2 = α – i β rivnqnnq (20) [ kompleksnymy, to
rozv’qzkom rivnqnnq (6) [ funkciq vyhlqdu
u
k k t x k k t x
k t x k t x
=
+( ) + −( )
+
α β φ α β φ
φ φ
1 2 2 1
1 2
cos ( , ) sin ( , )
cos ( , ) sin ( , )
, (22)
de
φ λ β λ αβ εβ( , )t x x t= + −
2 2
2
.
3. Qkwo koreni m1 , m2 rivnqnnq (20) [ rivnymy, to rozv’qzkom rivnqnnq (6)
[ funkciq
u
b
k x
b
k k t k k
k x
b
k k t k
= −
+ − −
+
+
+ − −
+
ε
ε λ ε
λ
ε λ ε
λ
1
1
1
1 1 2 1
1
1
1 1 2
2
2
2
2
2
. (23)
U formulax (21) – (23) k1, k2 — dovil\ni stali, k1
2 + k2
2 ≠ 0.
4. Rozv’qzky rivnqnnq (4) dlq dovil\noho n. Pobudu[mo toçni rozv’qzky
rivnqnnq (4) dlq dovil\noho n pry umovi, wo b0 = 0:
u u u u u b ut xx
n
x
n
= + + +
− +
λ ε
1
2
1
2
1 . (24)
Z ci[g metog vykorysta[mo anzac
u k
z
z
x n=
−
2
1
, (25)
de k — stala, z = z t x( , ). Pidstavlqgçy (25) v rivnqnnq (24) i pryrivnggçy do
nulq vyrazy pry z i z2
, otrymu[mo taku systemu dlq vyznaçennq zminno]88z:
2
1
2 3
1
2
1
02
2
1
2
n
z z
n
n
z
n
z z b zx xt xx x xx x−
− −
−
−
−
− =( )
( )
, (26)
z
n
n
k z
n
k zt
n
xx
n
x= +
−
−
− −−
−
3
1
1
2
2
1
1
2λ ε ( )
, (27)
− + +
−
=
−
λ k
n
n
n 1
2 1
1
0 . (28)
Z rivnqnnq (28) znaxodymo
k
n
n
n−
= +
−
1
2 1
1λ ( )
. (29)
Pidstavlqgçy (29) v (27), ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
PRO TOÇNI ROZV'QZKY NELINIJNYX RIVNQN| DYFUZI} 1015
z
n
z
n
zt xx x=
−
− +2
1
1
2
ε
λ
( )
. (30)
Prodyferencigvavßy obydvi çastyny rivnqnnq (30) za zminnog x i pidstavyvßy
v rivnqnnq (26), otryma[mo
6 2
1
1
1
2 3
1
02 2
2
1
2−
−
− +
−
− −
−
− =n
n
z z
n
n
z z
n
n
z b zx xxx x xx xx x( )
( )
( )
( )
( )
ε
λ
. (31)
OtΩe, systema (26) – (28) [ rivnosyl\nog systemi (29) – (31).
Teorema 4. Rozv’qzkom rivnqnnq (24) [ funkciq
u =
n
n
n+
−
−1
1
2
1
λ ( )
×
×
exp
( )
( )
exp
( )
( )
( ) ˜
−
+
+
+
+
− +
−( )
− −
+
+
+
+
−
+
−
2
1
4
1
1
1
1
1
2
1 2
1
1
2
1
2
2 1
1
1
2
1
2
2
1
2
ελ λ
ε
λ
ελ λ
b
n
x
b
n
b t
n
n b
b n
n
x
b
n
b
n t k
n 11
, (32)
k̃ — dovil\na stala.
Dovedennq. Povtorggçy mirkuvannq, navedeni v [5], znaxodymo zahal\nyj
rozv’qzok systemy (29) – (31):
z = − +
−
k n
n b
1
1
1
1
( )
( )λ ε
exp
( ) ( )
( )
( )− −
+
+ −
+
+ −
ε λ λb n
n
x
b n
n
b n
t1
2
1
2
2
11
1
2 1
1
1
2
+ k2 . (33)
Pidstavlqgçy (33) v (25), otrymu[mo rozv’qzok (32).
Teoremu dovedeno.
Rozhlqnemo rivnqnnq
u u u u bu
b n
t xx
n
x
n
= + + + +
− +
λ
λ
1
2
1
2
2
2
1
2
( )
. (34)
Anzac
u
b n k b n
x
b n n
t k w z= − − − − + − + +
( )
exp
( ) ( )( )
( )
1
2
1
2
1 3
4
1
2
2 2λ λ λ
, (35)
de
z k
b n
x
b n n
t k k= − − + − + +
+1
2
2 2 3
1
2
1 3
4
exp
( ) ( )( )
λ λ
, (36)
k1, k2 , k3 — dovil\ni dijsni çysla, k1 ≠ 0, reduku[ rivnqnnq (34) do zvyçajnoho
dyferencial\noho rivnqnnq
′′ + ′ =
−
w w w
n
λ
1
2 0 . (37)
Teorema 5. Qkwo n = 3, to rozv’qzkamy rivnqnnq (34) [ funkci]
u
bk
b x b t k
k b x b t k k c
= −
− + +
− + +
+ +
2
3
3
1
2
2 2
1
2
2 2 3
λ
λ λ
λ λ
λ
exp
exp
,
de k1, k2 , k3 — dovil\ni dijsni çysla, k1 ≠ 0;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1016 A. F. BARANNYK, I. I. GRYK
u
bk b x b t k cz c= − + +
+( )1
1
2
2 2 1 1
3
µ λ λ λ
µexp tg , (38)
de µ1 =
− λ
2c
, c, c1 — dovil\ni stali, c < 0;
u
bk b x b t k cz c= − − + +
+( )1
2
2
2 2 2 1
3
µ λ λ λ
µexp th , (39)
de µ2 = λ
2c
, c, c1 — dovil\ni stali, c > 0.
U formulax (38), (39) z = z t x( , ) — funkciq, vyznaçena formulog (36).
Teorema dovodyt\sq z vykorystannqm redukovanoho rivnqnnq (37) dlq n = 3,
a takoΩ vidpovidnoho anzacu (35), (36).
5. Toçni rozv’qzky rivnqnnq (5). Dlq pobudovy rozv’qzkiv rivnqnnq (5)
vykorysta[mo pidstanovku Koula – Xopfa (13). Z’qsu[mo, dlq qkyx znaçen\ pa-
rametriv β0 , β1, λ0 , λ1, λ2 rivnqnnq (5) ma[ rozv’qzky vyhlqdu (13). Z ci[g
metog pidstavymo (13) v (5) i v otrymanomu rivnqnni pryrivnq[mo do nulq vyrazy
pry z, z2
i z3
. V rezul\tati otryma[mo systemu
k z kz kz a kz a zxt xxx xx x= + + +β λ0 0 1 0 , (40)
z kz k z a k zt xxx xx x= − + − + −β β λ λ1 0 1 0 23( ) ( ) , (41)
2 3 00 1 3
2
1 2
2β λ β λ− +( ) + − +( ) =k a k z k k zx xx , (42)
a k k4
2
2 12 0− + =λ β . (43)
Pidstavymo (41) v (40):
− + − − − − =β β λ1
2
0 1 2
2
1 02 0k z k k z a k z a kz a zxxxx xxx xx x( ) . (44)
OtΩe, znaxodΩennq rozv’qzkiv rivnqnnq (5) zvelosq do intehruvannq systemy li-
nijnyx rivnqn\ (41) – (44). Proanalizu[mo detal\no vypadok −3 1β + λ2 k = 0. Z
rivnqnnq (42) vyplyva[ 2 0β – λ1k + a k3
2 = 0. Vraxovugçy (43), otrymu[mo
k
a
= λ2
43
, λ β
λ
λ
1
4 0
2
2 3
4
6
3
= +a a
a
, β λ
1
2
2
49
=
a
. (45)
Pidstavlqgçy (45) v (44), znaxodymo
a k z a k z a k z a kz a zxxxx xxx xx x4
4
3
3
2
2
1 0 0+ + + + = . (46)
OtΩe, intehruvannq systemy (41) – (44) u vypadku −3 1β + λ2 k = 0 zvodyt\sq do
intehruvannq systemy (41), (46) pry umovi, wo vykonugt\sq spivvidnoßennq (45).
Rivnqnnq (5) pry c\omu ma[ vyhlqd
ut = β λ
0
2
2
49
+
a
u uxx + λ β
λ
λ λ0
4 0
2
2 3
4
2
26
3
+ +
+
a a
a
u u ux +
+ a u4
4 + a u3
3 + a u2
2 + a u1 + a0, (47)
de znaçennq parametriv β0 , λ0 , λ2 , a0, a1, a2 , a3 , a4 [ dovil\nymy, λ2 ≠ 0,
a4 ≠ 0.
Pobudu[mo toçni rozv’qzky rivnqnnq (47). Typ rozv’qzku rivnqnnq (47) za-
leΩyt\ vid koreniv xarakterystyçnoho rivnqnnq
a k r a k r a k r a kr a4
4 4
3
3 3
2
2 2
1 0 0+ + + + = , (48)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
PRO TOÇNI ROZV'QZKY NELINIJNYX RIVNQN| DYFUZI} 1017
wo vidpovida[ rivnqnng (46). Korenqmy rivnqnnq (48) [
1
k
mi , de mi , i = 1, 2, 3,
4, — koreni rivnqnnq
a r a r a r a r a4
4
3
3
2
2
1 0 0+ + + + = . (49)
Teorema 6. Qkwo koreni m1 , m2 , m3 , m4 rivnqnnq (49) [ dijsnymy i rizny-
my, to rozv’qzkom rivnqnnq (47) [ funkciq
u
m k t x
k t x
i
i i i
i
i i
= =
=
∑
∑
1
4
1
4
exp ( , )
exp ( , )
φ
φ
,
de ki — dovil\ni stali, wo odnoçasno ne dorivnggt\ nulg, i = 1, 2, 3, 4,
φ
λ
β
λ
λ
λi i i i it x
a
m x a m
a
a m
a
a m t( , ) = + − + −
+ −
3 9 34
2
4
3 4
2
0
2
2 3
2 4 0
2
2 . (50)
Teorema 7. Qkwo koreni m1 , m2 , m3 , m4 rivnqnnq (49) [ dijsnymy, m1 =
= m2 , m1 ≠ m3 , m1 ≠ m4 , m3 ≠ m4 , to rozv’qzkom rivnqnnq (47) [ funkciq
u
a
m x t x m k t x
x t x k t x
i
i i i
i
i i
=
+ +
+
+ +
=
=
∑
∑
λ µ µ µ φ φ
µ µ φ φ
2
4
1 1 0 1 1
3
4
0 1 1
3
4
3
( ) exp ( , ) exp ( , )
( ) exp ( , ) exp ( , )
,
de ki — dovil\ni stali, wo odnoçasno ne dorivnggt\ nulg,
µ0 = k Ct2 + k1, µ1 2= k ,
C m
a a
a
m
a
a
= − +
−( )
+ −λ
β λ
λ
λ λ
2 1
2 4
2
0 2
2
3
4 2
1 0
2 2
4
2 9
3 3
, (51)
a funkci] φi t x( , ) vyznaçagt\sq formulog (50).
Teorema 8. Qkwo koreni m1 = α1 + i γ1, m2 = α1 – i γ1, m3 = α2 + i γ 2 ,
m4 8= α2 – i γ 2 rivnqnnq (49) [ kompleksnymy i riznymy, to rozv’qzkom rivnqn-
nq8(47) [ funkciq
u
l t x
k t x
i j
i
j
i
j
i j
i
j
i
j
= =
=
∑
∑
,
( ) ( )
,
( ) ( )
( , )
( , )
1
2
1
2
ψ
ψ
,
de ki
j( )
, i, j = 1, 2, — dovil\ni stali, wo odnoçasno ne dorivnggt\ nulg,
l k k1
1
1 1
1
1 1
2( ) ( ) ( )= +α γ , l k k2
1
1 1
2
1 1
1( ) ( ) ( )= −α γ , (52)
l k k1
2
2 2
1
2 2
2( ) ( ) ( )= +α γ , l k k2
2
2 2
2
2 2
1( ) ( ) ( )= −α γ , (53)
a funkci] ψ i
j( )
, i, j = 1, 2, vyznaçagt\sq formulamy
ψ1
( )( , )j t x = exp
3
34
2
4
2 2 2 2a
x a A B tj
j j j j j j
α
λ
α α γ α γ α+ − −( ) + −( ) +[ ]
×
× cos
3
3 24
2
4
2 3a
x a A B tj
j j j j j j
α
λ
α γ γ α γ γ+ − −( ) + +[ ]
, j = 1, 2, (54)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1018 A. F. BARANNYK, I. I. GRYK
ψ2
( )( , )j t x = exp
3
34
2
4
2 2 2 2a
x a A B tj
j j j j j j
α
λ
α α γ α γ α+ − −( ) + −( ) +[ ]
×
× sin
3
3 24
2
4
2 3a
x a A B tj
j j j j j j
α
λ
α γ γ α γ γ+ − −( ) + +[ ]
, j = 1, 2, (55)
A
a
a= −9 4
2
0
2
2 3
β
λ
, B
a
a= −3 0 4
2
3
λ
λ
.
Teorema 9. Qkwo koreni m1 , m2 rivnqnnq (49) [ dijsnymy i riznymy, a ko-
reni m3 = α2 + i γ 2 , m4 8= α2 – i γ 2 — kompleksnymy, to rozv’qzkom rivnqnnq
(47) [ funkciq
u
k m t x l t x
k t x k t x
i
i i i
i
i i
i
i i
i
i i
=
+
+
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
1
2
1
2
2 2
1
2
1
2
2 2
exp ( , ) ( , )
exp ( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )
φ ψ
φ ψ
,
de ki , ki
( )2
∈ 8R, i = 1, 2, funkci] φ1( , )t x i φ2( , )t x obçyslggt\sq za for-
mulog (50), funkci] ψ1
2( )( , )t x i ψ2
2( )( , )t x — za formulamy (54), (55), a ko-
efici[nty li
( )2 , i = 1, 2, — za formulamy (53).
Teorema 10. Qkwo koreni m1 i m2 rivnqnnq (49) [ dijsnymy i rivnymy, a
koreni m3 = α2 + i γ 2 , m4 8= α2 – i γ 2 — kompleksnymy, to rozv’qzkom rivnqn-
nq (47) [ funkciq
u
a
m x t x l t x
x t x k t x
i
i i
i
i i
=
+ +
+
+ +
=
=
∑
∑
λ µ µ µ φ ψ
µ µ φ ψ
2
4
1 1 0 1 1
1
2
2 2
0 1 1
1
2
2 2
3
( ) exp ( , ) ( , )
( ) exp ( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )
,
de ki
( )2
∈ 8R, i = 1, 2, funkciq φ1( , )t x vyznaça[t\sq za formulog (50), funk-
ci] ψ i t x( )( , )2 , i = 1, 2, obçyslggt\sq za formulamy (54), (55), µ0 i µ1 — za
formulog (51), a koefici[nty li
( )2
— za formulamy (53).
Teorema 11. Qkwo koreni m1 , m2 , m3 , m4 rivnqnnq (49) [ dijsnymy, m1 =
= m2 = m3 , m1 ≠ m4 , to rozv’qzkom rivnqnnq (47) [ funkciq
u
a
x m x t x m k t x
x t x k t x
i
i
i
i
i
i
=
+( ) +
+
+
=
=
∑
∑
λ µ µ µ φ φ
µ φ φ
2
4
1 2 1
0
2
1 4 4 4
0
2
1 4 4
3
2 exp ( , ) exp ( , )
exp ( , ) exp ( , )
,
de k1, k2 , k3, k4 ∈ 8R, funkci] φ1( , )t x i φ4( , )t x vyznaçagt\sq za formulog
(50), a C — formulog (51),
µ λ β λ
0 3
2 2
2 3
2
2
4
4
2
0 2
2
3
4
2 1
2
3
2 9
9
= + + − +
−( )
+
k C t k Ct k
a
a a
a
t k ,
µ1 3 22= +k Ct k , µ2 3= k .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
PRO TOÇNI ROZV'QZKY NELINIJNYX RIVNQN| DYFUZI} 1019
Teorema 12. Qkwo koreni m1 , m2 , m3 , m4 rivnqnnq (49) [ kompleksnymy,
m1 = m3 , m2 = m4, m1 = α1 + i γ1, m2 8= α1 – i γ1, to rivnqnnq (47) ma[
rozv’qzok vyhlqdu (13), de k =
λ2
43a
,
z k l S T l S T
i
i i= + −( ) + −( )
=
∑
1
2
1 1
1 1
1
2
1
2 2
1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ ψ ψ ψ ψ ,
pryçomu ki
( )1
, li ∈ R, i = 1, 2,
S t x
a a
a
a
a
t x( , ) = − −( ) +
−( )
+ −
+λ α γ
β λ
λ
α λ λ
2 1
2
1
2 4
2
0 2
2
3
4 2
1 0
2 2
4
2 9
3 3
,
T t
a a
a
t( ) = − +
−( )
2
2 9
32 1 1
4
2
0 2
2
3
4 2
1λ α γ
β λ
λ
γ ,
a funkci] ψ i t x( )( , )1
, i = 1, 2, obçyslggt\sq za formulamy (54), (55).
Teorema 13. Qkwo koreni m1 , m2 , m3 , m4 rivnqnnq (49) [ dijsnymy i
rivnymy, to rivnqnnq (47) ma[ rozv’qzok
u
a
i x
x
mi
i
i
i
i
i
= +=
−
=
∑
∑
λ
µ
µ
2
4
0
3
1
0
3 13
,
de k1, k2 , k3, k4 ∈8R, C vyznaça[t\sq za formulog (51),
µ0 4
3 3
3
2 2
4
2
2 3 4 13= + + + + − +k C t k C t k CDt k Ct k Dt k Et k ,
µ1 4
2 2
3 4 23 2 3= + + +k C t k Ct k Dt k ,
µ2 4 33= +k Ct k , µ3 3= k ,
D
a
m
a a
a
= − +
−( )2
3
2 9
9
2
2
4
1
4
2
0 2
2
3
4
2
λ β λ
, E
a
= − 2 2
4
λ
.
1. Fisher R. A. The wave of advance of advantageons genes // Ann. Engenics. – 1937. – 7. – P. 353 –
369.
2. Marrey J. D. Mathematical biology. – Berlin: Springer, 1989. – 750 p.
3. S[rov M. I., Çerniha R. M. Symetri] Li ta toçni rozv'qzky nelinijnyx rivnqn\ teploprovid-
nosti z konvektyvnym çlenom // Ukr. mat. Ωurn. – 1997. – 49, # 9. – S. 1262 – 1270.
4. Cherniha R., Serov M. Lie and non-Lie symmetries of nonlinear diffusion equations with convectid
term // Proc. Second Int. Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (July 7 – 13, 1997,
Kyiv). – Kyiv: Inst. Math. NAS Ukraine, 1997. – Vol. 2. – P. 444 – 449.
5. Nikitin A. G., Barannyk T. A. Solitary wave and other solutions for nonlinear heat equations /
math-ph/0304004.
6. Fuwyç V. Y., Ítelen\ V. M., Serov N. Y. Symmetryjn¥j analyz y toçn¥e reßenyq nely-
nejn¥x uravnenyj matematyçeskoj fyzyky. – Kyev: Nauk. dumka, 1989. – 336 s.
7. Ovsqnnykov L. V. Hruppovoj analyz dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1978. –
400 s.
8. Levi D., Winternitz P. Nonclassical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation //
J. Phys. A: Math. and Gen. – 1989. – 22. – P. 2915 – 2924.
OderΩano 29.03.2004,
pislq doopracgvannq — 31.03.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3661 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:38Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/29/c74fbc0a148f7aa32dc4ea1f99a8cf29.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36612020-03-18T20:01:36Z On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations Про точні розв'язки нелінійних рівнянь дифузії Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. New classes of the exact solutions of nonlinear diffusion equations are constructed. Побудовано нові класи точних розв'язків нелінійних рівнянь дифузії. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3661 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 8 (2005); 1011 – 1019 Український математичний журнал; Том 57 № 8 (2005); 1011 – 1019 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3661/4051 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3661/4052 Copyright (c) 2005 Barannyk A. F.; Yuryk I. I. |
| spellingShingle | Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title | On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title_alt | Про точні розв'язки нелінійних рівнянь дифузії |
| title_full | On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title_fullStr | On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title_full_unstemmed | On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title_short | On Exact Solutions of Nonlinear Diffusion Equations |
| title_sort | on exact solutions of nonlinear diffusion equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3661 |
| work_keys_str_mv | AT barannykaf onexactsolutionsofnonlineardiffusionequations AT yurykii onexactsolutionsofnonlineardiffusionequations AT barannikaf onexactsolutionsofnonlineardiffusionequations AT ûrikíí onexactsolutionsofnonlineardiffusionequations AT barannykaf protočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹdifuzíí AT yurykii protočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹdifuzíí AT barannikaf protočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹdifuzíí AT ûrikíí protočnírozv039âzkinelíníjnihrívnânʹdifuzíí |