Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric
We find asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Fourier partial sums in a uniform metric on classes of Poisson integrals of periodic functions belonging to unit balls of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$. We generalize the results obtained to classes of $(\psi, \overline{\b...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3666 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509794795782144 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:36Z |
| description | We find asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Fourier partial sums in a uniform metric on classes of Poisson integrals of periodic functions belonging to unit balls of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$. We generalize the results obtained to classes of $(\psi, \overline{\beta})$-differentiable functions (in the Stepanets sense) that admit analytical extension to a fixed strip of the complex plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. S. Serdgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ
SUMAMY FUR’{ V RIVNOMIRNIJ METRYCI
We find asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Fourier partial sums in a uniform
metric on classes of Poisson integrals of periodic functions belonging to unit balls of spaces Lp , 1 ≤
≤ p ≤ ∞. We generalize the results obtained to classes of ( ),ψ β -differentiable functions (in the
Stepanets sense) that admit analytical extension to a fixed strip of the complex plane.
Znajdeno asymptotyçni rivnosti dlq verxnix meΩ nablyΩen\ çastynnymy sumamy Fur’[ v rivno-
mirnij metryci na klasax intehraliv Puassona periodyçnyx funkcij, wo naleΩat\ odynyçnym
kulqm prostoriv Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ . Otrymani rezul\taty uzahal\neno na klasy ( ),ψ β -dyferen-
cijovnyx (u sensi Stepancq) funkcij, qki dopuskagt\ analityçne prodovΩennq u fiksovanu
smuhu kompleksno] plowyny.
U cij roboti prodovΩugt\sq doslidΩennq aproksymatyvnyx vlastyvostej za-
provadΩenyx O. I. Stepancem [1, 2] klasiv C
ψ� 2π-periodyçnyx neperervnyx
funkcij, kotri oznaçagt\sq takym çynom.
Nexaj f ( ⋅ ) — 2π-periodyçna sumovna na [ 0, 2 π ) funkciq ( f ∈ L ) z rqdom
Fur’[
S [ f ] =
a
a kx b kx
k
k k
0
12
+ +
=
∞
∑ ( cos sin ) =
k
kA f x
=
∞
∑
0
( , ) , (1)
ψ1 ( k ) i ψ2 ( k ), k = 0, 1, … , — dovil\ni systemy dijsnyx çysel, ψ1 ( 0 ) = 1. Qk-
wo dlq dano] funkci] f ( ⋅ ) rqd
k
k kk A f x k A f x
=
∞
∑ +
0
1 2ψ ψ( ) ( , ) ( ) ˜ ( , ) , (2)
de
˜ ( , )A f xk = a kx b kxk ksin cos− , [ rqdom Fur’[ deqko] funkci] F ( ⋅ ), to cg
funkcig, zhidno z O. I. Stepancem [1], nazyvagt\ ψ -intehralom funkci] f ( ⋅ ) i
poznaçagt\ F ( x ) = J
ψ ( ; )f x . Qkwo � — deqka pidmnoΩyna funkcij z L , to
çerez Lψ� poznaçagt\ mnoΩynu ψ -intehraliv usix funkcij iz � . Qkwo C —
pidmnoΩyna neperervnyx 2π-periodyçnyx funkcij, to poklademo Cψ� =
= C L∩ ψ�.
Qkwo F ( x ) = J
ψ( ; )f x , to funkcig f ( ⋅ ) nazyvagt\ ψ -poxidnog funkci]
F ( ⋅ ) i zapysugt\ f ( x ) = F xψ ( ).
V [1] pokazano, wo qkwo para ψ = ( , )ψ ψ1 2 taka, wo
ψ ( k ) = ψ ψ1
2
2
2( ) ( )k k+ ≠ 0, k ∈ N, (3)
a rqd
k
k kx k kx
=
∞
∑ +
1
1 2ψ ψ( )cos ( )sin (4)
[ rqdom Fur’[ deqko] funkci] Ψ ( x ) iz L , to majΩe dlq vsix x elementy f z
klasiv Lψ� moΩna zobrazyty u vyhlqdi zhortky
f ( x ) =
a
f x t t dt0
2
1+ −
−
∫π π
π
ψ ( ) ( )Ψ , (5)
© A. S. SERDGK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1079
1080 A. S. SERDGK
de a0 — vil\nyj çlen rozkladu Fur’[ funkci] f ( ⋅ ), a f ψ ( )⋅ — ψ -poxidna
funkci] f. Qkwo pry c\omu f C∈ ψ� , to zobraΩennq (5) vykonu[t\sq dlq usix
x ∈ R.
U danij roboti budemo vykorystovuvaty takoΩ klasy
Lβ
ψ
� , wo oznaçagt\sq
takym çynom (dyv., napryklad, [2, 3]).
Nexaj f ∈ L, rqd (1) — ]] rqd Fur’[, a ψ = ψ ( k ) i β β= k , k ∈ N, —
dovil\ni poslidovnosti dijsnyx çysel. Qkwo rqd
k
k k k kk
a kx b kx
=
∞
∑ +
+ +
1
1
2 2ψ
β π β π
( )
cos sin (6)
[ rqdom Fur’[ deqko] sumovno] funkci] fβ
ψ ( )⋅ , to ]] nazyvagt\ ( ),ψ β -poxidnog
funkci] f ( ⋅ ) . MnoΩynu usix funkcij iz L , dlq qkyx isnugt\ ( ),ψ β -poxidni,
poznaçagt\ çerez Lβ
ψ
. Qkwo Ω f L∈ β
ψ
i, krim c\oho,
f Lβ
ψ ∈ ⊂� 0 , de L
0 =
= { : , }f f L f∈ ⊥ 1 , to pokladagt\, wo f L∈ β
ψ
� . U vypadku, koly β βk ≡ , β ∈
∈ R, ( ),ψ β -poxidna fβ
ψ
poznaça[t\sq çerez fβ
ψ
, a vidpovidni mnoΩyny Lβ
ψ
i
Lβ
ψ
� — vidpovidno çerez Lβ
ψ
i Lβ
ψ
� . Krim toho, poznaçagt\
Cβ
ψ
� = C L∩ β
ψ
� ,
Cβ
ψ
� = C L∩ β
ψ
� . (7)
Zrozumilo, wo bud\-qka ( ),ψ β -poxidna funkci] f ∈ L [ i ψ -poxidnog, qkwo
systemy çysel ψ1 ( k ) i ψ2 ( k ) pidibrano u vidpovidnosti z rivnostqmy
ψ1 ( k ) = ψ β π
( )cosk k
2
, ψ2 ( k ) = ψ β π
( )sink k
2
,
i bud\-qka ψ -poxidna [ ( ),ψ β -poxidnog, qkwo parametry ψ ( k ) i β ( k ) vyzna-
çaty formulamy
ψ ( k ) = ψ ψ1
2
2
2( ) ( )k k+ ,
(8)
cos
β πk
2
= ψ ψ1( ) ( )/k k , sin
β πk
2
= ψ ψ2( ) ( )/k k .
V obox vypadkax dlq dovil\no] mnoΩyny � ⊂ L0
Lψ� =
Lβ
ψ
� , Cψ� =
Cβ
ψ
� .
Pry koΩnomu fiksovanomu q ∈ [ 0, 1 ) çerez D q poznaçymo mnoΩynu poslidov-
nostej ψ ( k ) , k ∈ N, dlq qkyx
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= q. (9)
Qkwo parametry ψ1 ( k ) i ψ 2 ( k ) klasiv Cψ� taki, wo poslidovnosti ψ ( k )
vydu (3) zadovol\nqgt\ umovu (9) ( q ∈ Dq ) pry deqkomu q ∈ [ 0, 1 ) (dyv.,
napryklad, [2, c. 139 – 141]), to taki klasy C
ψ�
( )Cβ
ψ
� skladagt\sq z 2π-pe-
riodyçnyx funkcij f ( x ) , qki dopuskagt\ rehulqrne prodovΩennq u smuhu
Im z ≤ ln
1
q kompleksno] plowyny.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1081
VaΩlyvym prykladom qder Ψβ vyhlqdu
Ψβ ( )t =
k
kk kt
=
∞
∑ −
1 2
ψ β π
( )cos , βk ∈ R , (10)
koefici[nty ψ ( k ) qkyx zadovol\nqgt\ umovu (9) pry 0 < q < 1, [ qdra
P t
q, ( )β =
k
k
kq kt
=
∞
∑ −
1 2
cos β π
, q ∈ ( 0, 1 ) , βk ∈ R, (11)
kotri pry βk ≡ β [ vidomymy qdramy Puassona
P tq, ( )β =
k
kq kt
=
∞
∑ −
1 2
cos β π
, q ∈ ( 0, 1 ) , β ∈ R. (12)
Klasy
Cβ
ψ� i
Cβ
ψ� , porodΩeni qdramy (11) i (12), budemo poznaçaty vidpo-
vidno çerez
Cq
β� i
Cq
β � , a ( ),ψ β - ta ( , )ψ β -poxidni funkci] f — vidpovidno
çerez f q
β ta f q
β .
Çerez Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ , qk zazvyçaj pryjnqto, poznaçatymemo prostory funk-
cij f ∈ L iz skinçennymy normamy f p , de pry p ∈ [ 1, ∞ )
f p = f Lp
= f t dtp
p
( )
/
0
2 1π
∫
,
tak wo L1 = L , a pry p = ∞
f ∞ = f M = ess sup
t
f t( ) .
Dali v qkosti � budemo vykorystovuvaty mnoΩyny Up
0 = { : ,ϕ ϕ∈ ≤Lp p 1
ϕ ⊥ 1}. Pry c\omu dlq zruçnosti poklademo
Cp
ψ = C Up
ψ 0, C
pβ
ψ
,
= C Upβ
ψ 0 , C
p
q
β,
= C U
q
pβ
0 .
Qkwo f ∈ L , to çerez S f xn( ; ) = S fn( ) poznaçymo çastynni sumy Fur’[
funkci] f porqdku n :
S f xn( ; ) =
a
a kx b kxk k
k
n
0
12
+ +
=
∑ ( cos sin ) , n ∈ N.
U roboti doslidΩugt\sq velyçyny
�n p CC( )
,β
ψ = sup
f C
n C
p
f S f
∈
−−
β
ψ
,
( )1 , 1 ≤ p ≤ ∞ , (13)
z metog oderΩannq dlq nyx asymptotyçnyx rivnostej za umovy, wo ψ ∈ Dq ,
0 ≤ q < 1 . Pry p = ∞ asymptotyçni formuly dlq velyçyn vyhlqdu (13) buly
oderΩani u roboti O. I. Stepancq i avtora [4]. Tam Ωe bulo pokazano, wo za-
lyßky ρ βn( )Ψ = Ψ Ψβ β− −Sn 1( ) qdra Ψβ vyhlqdu (10) za umovy ψ ∈ Dq , 0 <
< q < 1 , pry n → ∞ povodqt\ sebe pryblyzno tak samo, qk i zalyßky ρ βn
qP( )
qdra Pq
β vyhlqdu (11). Ce dozvolylo zvodyty zadaçi pro oderΩannq asympto-
tyçnyx rivnostej dlq velyçyn � �n sL( )β
ψ
( ( ) )
,
�n p CCβ
ψ
do analohiçnyx zadaç
dlq velyçyn � �n
q
sL( )β ( ( ) )
,
�n p
q
CCβ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1082 A. S. SERDGK
Central\nym rezul\tatom roboty [ teoremaN1, u qkij znajdeno asymptotyçni
formuly dlq velyçyn
�n p
q
CC( ),β pry dovil\nyx 1 ≤ p ≤ ∞ . Tym samym
dopovneno vidomi rezul\taty S. M. Nikol\s\koho [5] ta S. B. St[çkina [6], qki
oxoplggt\ vypadok p = ∞ . Dali, otrymani rezul\taty poßyreno na
funkcional\ni klasy C pβ
ψ
, ta C p
ψ , ψ ∈ Dq , 0 ≤ q < 1 .
Z inßymy vidomymy rezul\tatamy, pov’qzanymy z oderΩannqm asymptotyçnyx
rivnostej dlq velyçyn
� �n sL( )β
ψ
moΩna, zokrema, oznajomytysq v robotax [1 –
8] i naqvnyx u nyx komentarqx.
1. NablyΩennq sumamy Fur’[ na klasax intehraliv Puassona C p
q
ββ, . Os-
novnym rezul\tatom danoho punktu [ nastupne tverdΩennq.
Teorema31. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , β ∈ R, q ∈ ( 0, 1 ) i n ∈ N. Todi
�n p
q
CC( ),β = q t K p q O
q
n q
n
p p s p
2
1
11 1π + ′ ′ ′ +
−
/ ( )cos ( , ) ( )
( )
, (14)
de p ′ = p / ( p – 1 ) ,
s ( p ) =
1
2 1 2 2
2
, ,
, [ , ) ( , ),
, ,
p
p
p
= ∞
∈ ∞
− ∞ =
∪ (15)
K p q( , )′ =
1
2
1 21 1
2 1 2
+ ′
−
′
− +/
/( cos )p p
q t q , (16)
a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po n, p, q i β.
Dovedennq. Nexaj f C p
q∈ β, , 1 ≤ p ≤ ∞ . Na pidstavi intehral\noho zobra-
Ωennq (5), rivnosti (13) ta invariantnosti mnoΩyn Up
0
vidnosno zsuvu arhumentu
ma[mo
�n p
q
CC( ),β = sup
f C
q
q n
Cp
q
f x t P t dt
∈ −
∫ −
β
π π
π
β β
,
( ) ( ), ,
1
= sup
ϕ π
π
βπ
ϕ
∈ −
∫
U
q n
p
t P t dt
0
1
( ) ( ), , , (17)
de
P tq n, , ( )β = q ktk
k n
cos −
=
∞
∑ βπ
2
, q ∈ ( 0, 1 ) , β ∈ R, n ∈ N. (18)
Na pidstavi spivvidnoßen\ dvo]stosti (dyv., napryklad, [9, c. 27]) dlq dovil\no]
funkci] x Lp∈ ′ , 1 ≤ p ′ ≤ ∞ ,
inf
λ
λ
∈ ′−
R
x t p( ) = sup ( ) ( ) : , ( )
0
2
0
2
1 0
π π
∫ ∫≤ =
x t y t dt y y t dtp ,
1 1
1
p p
+
′
= . (19)
Tomu, zastosuvavßy rivnist\ (19) pry x ( t ) = P tq n, , ( )β , y ( t ) = ϕ ( t ) do pravo] ças-
tyny formuly (17), otryma[mo
sup
ϕ π
π
βπ
ϕ
∈ −
∫
U
q n
p
t P t dt
0
1
( ) ( ), , =
1
π
λ
λ βinf
∈ ′
−
R
P tq n p, , ( ) . (20)
NevaΩko perekonatys\, wo dlq dovil\no] funkci] P tq n, , ( )β ma[ misce zobraΩen-
nq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1083
P tq n, , ( )β = q g t nt h t ntn
q q( ) cos ( ) sin−
− −
βπ βπ
2 2
, (21)
de
g tq( ) = q ktk
k
cos
=
∞
∑
0
=
1
1 2 2
−
− +
q t
q t q
cos
cos
, (22)
h tq( ) = q ktk
k
sin
=
∞
∑
1
=
q t
q t q
sin
cos1 2 2− +
. (23)
Dali nam bude potribnym nastupne tverdΩennq, wo [ deqkog vydozminog vidomo]
lemy Fej[ra [10]. Dovedennq c\oho tverdΩennq bahato v çomu povtorg[ osnovni
etapy dovedennq lemyN1 z roboty S.NB. St[çkina [6], qka oxoplg[ vypadok
s = 1.
Lema31. Nexaj 1 ≤ s ≤ ∞ i 2 π -periodyçni funkci] g ( t ) i h ( t ) magt\
obmeΩenu variacig na [ 0, 2 π ] , qkwo s = 1, abo naleΩat\ klasu Hel\dera
K H
1, qkwo 1 < s ≤ ∞ . Todi dlq funkci]
ϕ ( t ) = g t nt h t nt( )cos( ) ( )sin( )+ + +α α , α ∈ R, n ∈ N,
spravdΩugt\sq asymptotyçni formuly
J1 = ϕ s = ( ) cos ( )/2 11 1π − −+s
s st r O Mn , (24)
J2 = inf
c sc
∈
−
R
ϕ = ( ) cos ( )/2 11 1π − −+s
s st r O Mn , (25)
J3 = sup ( ) ( )
h
st h t
∈
+ −
R
1
2
ϕ ϕ = ( ) cos ( )/2 11 1π − −+s
s st r O Mn , (26)
u qkyx
r ( t ) = g t h t2 2( ) ( )+ , (27)
M = Ms =
V g V h s
K s r V r s
K s
s
s s
− −
− −
−
+ =
+ < < ∞
= ∞
π
π
π
π
π
π
( ) ( ) ,
,
,
( )
pry
pry
pry
1
11 1 (28)
a velyçyny O ( 1 ) rivnomirno obmeΩeni vidnosno usix rozhlqduvanyx parametriv.
Dovedennq. Pry s = 1 lemu dovedeno u roboti [6, c. 137, 138]. OtΩe, za-
lyßylos\ pokazaty ]] istynnist\ pry 1 < s ≤ ∞ . Rozhlqnemo spoçatku vypadok
1 < s < ∞ .
Dlq dovil\nyx h ∈ R i c ∈ R
1
2
ϕ ϕ( ) ( )t h t s+ − ≤ ϕ( )t c C− , 1 ≤ s ≤ ∞ ,
tomu zavΩdy J1 ≥ J2 ≥ J3 , i dlq dovedennq lemy dosyt\ pokazaty spravedly-
vist\ formuly (24) i nerivnosti
J3 ≥ ( ) cos ( )/2 11 1π − −+s
s st r O Mn . (29)
Perekona[mos\ spoçatku u spravedlyvosti formuly (24). Poklavßy
ϕk t( ) = g
k
n
nt h
k
n
nt
π α π α
+ +
+cos( ) sin( ), k = − +n n1, ,
oderΩymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1084 A. S. SERDGK
J1 =
k n
n
k n
k n
s
s
t dt
= − + −
∑ ∫
1 1
1
( ) /
/ /
( )
π
π
ϕ =
=
k n
n
k n
k n
k
s
s
k n
n
k n
k n
k
s
s
t dt O t t dt
= − + − = − + −
∑ ∫ ∑ ∫
+ −
1 1
1
1 1
1
1
( ) /
/ /
( ) /
/ /
( ) ( ) ( ) ( )
π
π
π
π
ϕ ϕ ϕ . (30)
Odnak
( ) /
/
( )
k n
k n
k
st dt
−
∫
1 π
π
ϕ =
( ) /
/
cos
k n
k n
s
s
r
k
n
nt
k
n
dt
−
∫
+ −
1 π
π
π α ξ π
=
= r
k
n n
t dts sπ π
∫1
0
cos = r
k
n
t
n
s
s
sπ
cos
1
2
, (31)
de r ( t ) oznaça[t\sq rivnistg (27), a ξ ( t ) — systemog rivnqn\
cos ξ ( t ) =
g t
r t
( )
( )
,
(32)
sin ξ ( t ) =
h t
r t
( )
( )
.
Krim c\oho,
( ) /
/
( ) ( )
k n
k n
k
st t dt
−
∫ −
1 π
π
ϕ ϕ =
=
( ) /
/
cos ( ) sin ( )
k n
k n s
nt g t g
k
n
nt h t h
k
n
dt
−
∫ +( ) −
+ +( ) −
1 π
π
α π α π
≤
≤
( ) /
/
( ) /
/
( ) ( )
k n
k n s
k n
k n s
g t g
k
n
dt h t h
k
n
dt
− −
∫ ∫−
+ −
1 1π
π
π
π
π π
≤ 2
1
1K
n
s
s
s
π +
+ . (33)
Na pidstavi formul (30), (31) i (33)
J1 =
cos
( )
( )/
/
t
r
k
n n
O
K
n
s
s
s
k n
n s
2
11
1
1
π
π π
+
= − +
∑ , (34)
i oskil\ky
r
k
n n
s
k n
n π π
= − +
∑
1
=
−
−∫ +
π
π
π
π
r t dt O
V r
n
s
s
( ) ( )
( )
1 ,
to
J1 =
cos
( )
( ) ( ) ( )/
/
( )t
r t dt O
V r
n
O
K
n
s
s
s
s
s
2
1 11
1
π π
π
π
π
−
−∫ +
+ . (35)
Pry dosyt\ velykyx n
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1085
−
−∫ +
π
π
π
π
r t dt O
V r
n
s
s
s
( ) ( )
( )
/
1
1
= r O
V r
ns rs
s
s
s+ −
−( )
( )
1 1
π
π
i tomu zhidno z (35) pry 1 < s < ∞
J1 =
cos
( )
( )
/
( )t
r
O
n
K
V r
s r
s
s s
s
s
s2
1
1 1π
π
π
+ +
−
− . (36)
Dovedemo nerivnist\ (29). Oskil\ky
ϕ π ϕt
n
t+
− ( ) = 2ϕ α απ π( ) cos( ) ( ) sin( ) ( )/ /t nt g t nt h tn n+ + + +∆ ∆ , (37)
de
∆π/ ( )n g t = g t
n
g t+
−π
( ) , ∆π/ ( )nh t = h t
n
h t+
−π
( ),
to
1
2
ϕ π ϕt
n
t
s
+
− ( ) = ϕ s +
+ O nt g t nt h tn n s
( ) cos( ) ( ) sin( ) ( )/ /1 + + +α απ π∆ ∆ = ϕ s O Kn+ −( )1 1. (38)
Z uraxuvannqm formuly (36) iz (38) vyplyvagt\ spivvidnoßennq
J3 ≥
1
2
ϕ π ϕt
n
t
s
+
− ( ) = ϕ s O Kn+ −( )1 1 =
=
cos
( )
( )
/
( )
t
r
O
n
K
V r
s r
s
s s
s
s
s2
1
1 1π
π
π
+ +
−
− . (39)
Tym samym formuly (24) – (26) dovedeno dlq dovil\nyx 1 < s < ∞ .
Rozhlqnemo vypadok s = ∞ . Oçevydno, wo
J1 = ϕ ∞ = r t nt t( ) cos( ( ))+ − ∞α ξ ≤ r ∞ , (40)
de ξ ( t ) — funkciq, vyznaçena systemog (32).
PokaΩemo, wo dlq toçok t̃ vyhlqdu
t̃ =
k t
n
∗ ∗+ −π ξ α( )
, (41)
de çysla t
* ( t
* ∈ [ 0, 2 π ] ) i k
* ( k
* ∈ N ) oznaçagt\sq umovamy
r ( t
*
) = r ∞ , (42)
t
* ∈
k
n
k
n
∗ ∗ +
π π
,
( )1
, (43)
vykonu[t\sq rivnist\
ϕ(˜)t = r O
K
n∞ + ( )1 . (44)
Spravdi, na pidstavi (41)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1086 A. S. SERDGK
ϕ (˜)t = r t nt t(˜) cos( ˜ (˜))+ −α ξ = r t t t(˜) cos ( ) (˜)( )ξ ξ∗ − =
= r t r t t t t t r t r t( ) ( ) cos ( ) (˜) cos ( ) (˜) ( ) (˜)( ( )) ( )( )∗ ∗ ∗ ∗ ∗− − − − − −1 ξ ξ ξ ξ =
= r t O r t t t r t r t( ) ( ) ( ) cos ( ) (˜) ( ) (˜)( ( ))∗ ∗ ∗ ∗+ − − + −( )1 1 ξ ξ . (45)
Ocinymo zalyßkovyj çlen u pravij çastyni formuly (45). Beruçy do uvahy (27)
i (32), ma[mo
r t t t( ) cos ( ) (˜)( ( ))∗ ∗− −1 ξ ξ = r t
g t g t h t h t
r t r t
( )
( ) (˜) ( ) (˜)
( ) (˜)
∗
∗ ∗
∗− +
1 =
= g t
g t
r t
g t
r t
h t
h t
r t
h t
r t
( )
( )
( )
(˜)
(˜)
( )
( )
( )
(˜)
(˜)
∗
∗
∗
∗
∗
∗−
+ −
. (46)
ZauvaΩugçy, wo
g t
r t
g t
r t
( )
( )
(˜)
(˜)
∗
∗ − =
1
r t
g t g t
g t
r t
r t r t
( )
( ) (˜)
(˜)
(˜)
(˜) ( )( )∗
∗ ∗− + −
,
h t
r t
h t
r t
( )
( )
(˜)
(˜)
∗
∗ − =
1
r t
h t h t
h t
r t
r t r t
( )
( ) (˜)
(˜)
(˜)
(˜) ( )( )∗
∗ ∗− + −
,
i pokladagçy
δn = t̃ t− ∗,
∆δn
h t( )∗ = h t h t( ) (˜)∗ − ,
(47)
∆δn
g t( )∗ = g t g t( ) (˜)∗ − ,
∆δn
r t( )∗ = r t r t( ) (˜)∗ − ,
iz (46) otrymu[mo
r t t t( ) cos ( ) (˜)( ( ))∗ ∗− −1 ξ ξ =
g t
r t
g t
g t
r t
r t
n n
( )
( )
( )
(˜)
(˜)
( )
∗
∗
∗ ∗−
∆ ∆δ δ +
+
h t
r t
h t
h t
r t
r t
n n
( )
( )
( )
(˜)
(˜)
( )
∗
∗
∗ ∗−
∆ ∆δ δ = cos ( ) ( ) sin ( ) ( )ξ ξδ δt g t t h t
n n
∗ ∗ ∗ ∗+∆ ∆ –
– cos ( ) (˜) ( )( )ξ ξ δt t r t
n
∗ ∗− ∆ . (48)
Ne zmenßugçy zahal\nosti, moΩna vvaΩaty, wo α ∈ [ 0, π ] i ξ ( t ) ∈ [ 0, 2 π ] , to-
mu na pidstavi (41), (43) i (47)
δn ≤
2π
n
. (49)
Oskil\ky g, h ∈ KH
1
, a r KH∈ 2 1, to z uraxuvannqm (49)
∆δn
h t( )∗ ≤ K nδ ≤
2πK
n
, (50)
∆δn
g t( )∗ ≤ K nδ ≤
2πK
n
, (51)
∆δn
r t( )∗ ≤ 2K nδ ≤
2 2πK
n
. (52)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1087
Spivstavlqgçy formuly (45) i (48) z ocinkamy (50) – (53), perekonu[mos\, wo
r t t t r t r t( ) cos ( ) (˜) ( ) (˜)( ( ))∗ ∗ ∗− − + −1 ξ ξ = O
K
n
( )1 . (53)
Iz (45) i (53) oderΩu[mo (44). Rivnist\ (44) razom iz ocinkog (40) pokazu[, wo
J1 = ϕ ∞ = r O
K
n∞ + ( )1 . (54)
Z inßoho boku, vnaslidok (37)
J3 ≥
1
2
ϕ π ϕt
n
t+
−
∞
( ) =
=
1
2
2ϕ α απ π( ) cos( ) ( ) sin( ) ( )/ /t nt g t nt h tn n+ + + +
∞
∆ ∆ =
= ϕ π π∞ ∞ ∞
+ +( )O g t h tn n( ) ( ) ( )/ /1 ∆ ∆ = r O
K
n∞ + ( )1 . (55)
Spivstavlqgçy (40) i (41) i vraxovugçy nerivnosti J1 ≥ J2 ≥ J3 , oderΩu[mo
J i ≥ r O
K
n∞ + ( )1 , i = 1 3, .
Lemu dovedeno.
ZauvaΩennq. Iz dovedennq lemyN1 (a same, iz formul (35), (39) i spivvidno-
ßen\ J1 ≥ J2 ≥ J3 ) vyplyva[, wo pry 1 ≤ s < ∞ vykonugt\sq rivnosti
J i = ( ) cos ( ) ( ) ( )/
/
( )
2 1 11
1
π
π
π
π
π
−
−
−∫ +
+s
s
s
s
s
t r t dt O
V r
n
O
K
n
, i = 1, 2, 3, (24′ )
u qkyx velyçyny O ( 1 ) rivnomirno obmeΩeni vidnosno usix rozhlqduvanyx para-
metriv.
ZauvaΩugçy, wo
( )( )g tq
′ <
q
q( )1 2−
, ( )( )h tq
′ <
q
q( )1 2−
, (56)
i beruçy do uvahy zobraΩennq (21), moΩemo zastosuvaty do pravo] çastyny riv-
nosti (20) lemuN1, poklavßy v umovax ostann\o] g t g tq( ) ( )= , h t h tq( ) ( )= − ,
α βπ= − /2, s p= ′ . Zhidno z (25) i (56)
1
π
λ
λ βinf ( ), ,∈ ′
−
R
P tq n p
=
q
g t nt h t nt c
n
c q q
pπ
βπ βπ
inf ( )cos ( )sin
∈ ′
−
− −
−
R 2 2
=
=
q t
Z
O
n
n
p
p q p pπ π
γ
cos
( )
( )
/
′
′ ′ ′+
2
1
1 , (57)
de
γ ′p =
1
1 1
1 1
1
1 2
2
1
′
+ − < ′ < ∞
− ′ =
− ′ = ∞
−
′
′
− ′ −
−
−
p
V Z Z q q p
q q p
q q p
q
p
q p
p
π
π
( ) ( ) ,
( ) ,
( ) ,
pry
pry
pry
(58)
a funkciq Z tq( ) oznaçena rivnistg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1088 A. S. SERDGK
Z tq( ) = g t h tq q
2 2( ) ( )+ = ( )cos /1 2 2 1 2− + −q t q . (59)
Odnak
V Zq
p
−
′
π
π
( ) = ′ ′
−
′−∫p Z t Z t dtq
p
q
π
π
1( ) ( ) ≤ ′
′
′
′
p Z
Z t
Z tq p
p q
q C
( )
( )
= ′
′
′
p Z hq p
p
q C
,
i, otΩe, vraxovugçy (56) ta oçevydni spivvidnoßennq
hq C
≤
q
q1 −
,
Zq p′
≤
( ) /2
1
1π ′
−
p
q
,
ma[mo
1 1
′ −
′
′
− ′
p
V Z Zq
p
q p
p
π
π
( ) ≤ h Zq C q p′
≤ ( )
( )
/2
1
1
2π ′
−
p q
q
. (60)
Ob’[dnugçy formuly (17), (20), (57), (58) i (60), proxodymo do asymptotyçno]
rivnosti
�n p
q
CC( ),β = q
t
Z O
q
n q
n p
p q p s p
2
2
1
11 1
cos
( )
( )
( )/ ( )
′
+ ′ ′
+
−
π
, (61)
de
s ( p ) =
1
2 1
, ,
, [ , ),
p
p
= ∞
∈ ∞
a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vidnosno usix rozhlqduvanyx parametriv.
Iz (61) vyplyva[ spravedlyvist\ asymptotyçno] formuly (14) dlq dovil\nyx
p ∈ ∞[ , ] { }\1 2 . Pry p = 2, qk vyplyva[ iz spivvidnoßen\ (17), (20), (21) ta riv-
nosti Parsevalq,
�n
q
CC( ),β 2 =
1
2π
λ
λ βinf ( ), ,∈
−
R
P tq n =
1 2 2
π
λ
λ
inf
∈ =
∞
+ ∑
R
q k
k n
=
q
q
n
π( )1 2−
,
i dlq toho, wob perekonatys\ u spravedlyvosti formuly (14), dosyt\ pomityty,
wo
2
21 1 2 2π + / cos ( , )t K q =
1
1 2π( )− q
.
Teoremu dovedeno.
Oskil\ky
cos t q
q = 2
1 2
2 1
π Γ
Γ
(( ) )
( )
/
/
q
q
+
+
, q ∈ [ 1, ∞ )
(dyv., napryklad, [11, c. 383]), to pry p ∈ ( 1, ∞ ] rivnist\ (14) moΩna zapysaty u
vyhlqdi
�n p
q
CC( ),β = q
p
p
K p q O
q
n q
n
p
p
p
s p
2
2
1 2
2 1
1
1
1 1
1 1 2
1+ ′
+ ′
′′ +
′ +
′ +
−
/
/
/
( )
(( ) )
( )
( , ) ( )
( )
/
/
Γ
Γ
. (62)
Rozhlqnemo deqki çastkovi vypadky teoremyN1. Pry p = 1, qk bezposeredn\o
vyplyva[ z (14),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1089
�n
q
CC( ),β 1 = q
q
O
q
n q
n 1
1
1
1 2π ( )
( )
( )−
+
−
. (63)
Pry p = ∞
K p q( , )′ = K q( , )1 =
1
2 1 20
2
π
∫ − +
dt
q t qcos
= K ( q )
(dyv. [11, c. 401]), de K ( q ) — povnyj eliptyçnyj intehral perßoho rodu, i tomu
vnaslidok (14)
�n
q
CC( ),β ∞ = q K q O
q
n q
n 8
1
12π
( ) ( )
( )
+
−
. (64)
Asymptotyçna rivnist\ (64) vidtvorg[ rezul\tat S. M. Nikol\s\koho [5,
c. 222, 223] iz zalyßkovym çlenom, utoçnenym S. B. St[çkinym [6, c. 139].
Zaznaçymo takoΩ, wo pry p ′ / 2 ∈ N
K p q( , )′ =
π1
2 0
2 1
2
2
2
1
2 1
2 1
2 1 1
/ /
/
( )!
( !) ( )!
/
/
′
=
′ − ′
−
′ + −
′ − − −
∑
p
k
p k p
q
p k
k p k
q
q
(dyv. [11, c. 382]),
cos t p
p
′
′ =
2 1π ( )!!
( )!!
′ −
′
p
p
(dyv. [11, c. 383]), i tomu vnaslidok (14) dlq usix p takyx, wo p / ( 2 ( p – 1 )) ∈ N,
�n p
q
CC( ),β = q
q
n
p
p
−
′2
1
1
1 2
/
/π
×
×
( )!!
( )!!
( )!
( !) ( )!
( )
( )
/
/
( )
/
/
′ −
′
′ + −
′ − − −
+
−
=
′ − ′
∑p
p
p k
k p k
q
q
O
q
n qk
p k p
s p
1 2 1
2 1 1
1
10
2 1
2
2
2
1
. (65)
Zokrema, pry p = 2 (qk my baçyly i raniße)
�n
q
CC( ),β 2 =
q
q
n
π1 2 21/ −
, (65′ )
pry p = 4 / 3 ( p ′ = 4 )
�n
q
CC( ), /β 4 3 = q
q
q
q
O
q
n q
n 3
2 1
1
1
1
1
1 4
1 2 3 4 2
2
2
1 4
2
/
/ /
/
( )
( )π −
+
−
+
−
, (65′′ )
pry p = 6 / 5 ( p ′ = 6 )
�n
q
CC( ), /β 6 5 = q
q
q q
q q
O
q
n q
n 5
2 1
1 4
1 2
1
1
1 6
1 2 5 6 2
2 4
2 4
1 6
2
/
/ /
/
( )
( )π −
+ +
− +
+
−
, (65′′′ )
i t. d.
Z pryvodu rivnosti (65′ ) dyv., napryklad, [12, 13].
2. NablyΩennq sumamy Fur’[ na klasax analityçnyx funkcij.
Teorema32. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , β ∈ R, n ∈ N, a poslidovnosti ψ ( k ) > 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1090 A. S. SERDGK
wo porodΩugt\ klasy C pβ
ψ
, , zadovol\nqgt\ umovu (9) (tobto ψ ∈ Dq ) pry
0 < q < 1 . Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p CC( ),β
ψ = ψ
π
ε
( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )/ ( )n t K p q O
q
n q qp p s p
n2
1
1 11 1 2+ ′ ′ ′ +
−
+
−
, (66)
u qkij p ′ = p / ( p – 1 ) ,
εn = sup
( )
( )k n
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
, (67)
xarakterystyky s ( p ) i K p q( , )′ oznaçeni formulamy (15) i (16) vidpovidno,
a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vidnosno n, p, q, ψ ( k ) i β.
Dovedennq. Nexaj ψ ( k ) > 0, ψ ∈ Dq , 0 < q < 1 . Todi zhidno z teoremogN2
roboty [4] pry 1 ≤ p ≤ ∞ dlq dovil\no] poslidovnosti β β= k dijsnyx çysel
vykonugt\sq asymptotyçni pry n → ∞ rivnosti
�n p CC( )
,β
ψ =
ψ ε
β( ) ( )
( )
( )
,
n q C O
q
n
n p
q
C
n− +
−
� 1
1 2 , (68)
de velyçyna εn oznaçena rivnistg (67), a O ( 1 ) — velyçyny, rivnomirno obmeΩe-
ni vidnosno n, p, q, ψ ( k ) i βk . Zastosovugçy rivnist\ (68) pry β βk ≡ , β ∈ R,
i vykorystovugçy formulu (14), oderΩu[mo (66).
Teoremu dovedeno.
Umovy teoremyN2 zadovol\nqgt\, zokrema, biharmoniçni qdra Puassona
B tq, ( )β =
1
2
1
1
2 21
2
+ + −
−
=
∞
∑
k
kq
k q ktcos
βπ
, 0 < q < 1, β ∈ R, (69)
a takoΩ qdra Nejmana
N tq, ( )β =
k
kq
k
kt
=
∞
∑ −
1 2
cos
βπ
, 0 < q < 1, β ∈ R. (70)
Dlq koefici[ntiv ψ ( k ) qder B tq, ( )β i N tq, ( )β , qk nevaΩko pereviryty,
εk =
ψ
ψ
( )
( )
k
k
q
+ −1
≤
q
k
, k ∈ N. (71)
OtΩe, iz teoremyN2 i spivvidnoßen\ (71) oderΩu[mo tverdΩennq.
Naslidok31. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ i klasy C pβ
ψ
, porodΩeni qdramy B tq, ( )β
vyhlqdu (69), n ∈ N. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p CC( ),β
ψ = q
q
n t K p q O
q
n q
n
p p1
1
2
2
1
1
2
1 1 2+ −
′ +
−
+ ′ ′π / cos ( , ) ( )
( )
,
de p ′ = p / ( p – 1 ) , K ( p ′, q ) oznaçeni rivnistg (16), a velyçyna O ( 1 ) rivno-
mirno obmeΩena vidnosno n, p, q i β.
Naslidok32. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ i klasy C pβ
ψ
, porodΩeni qdramy N tq, ( )β
vyhlqdu (70), n ∈ N. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p CC( ),β
ψ =
q
n
t K p q O
q
n q
n
p p
2
1
11 1 2π + ′ ′ ′ +
−
/ cos ( , ) ( )
( )
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1091
de p ′ = p / ( p – 1 ) , K ( p ′, q ) oznaçeni rivnistg (16), a velyçyna O ( 1 ) rivno-
mirno obmeΩena vidnosno n, p, q i β.
Z analizu dovedennq teoremyN1 vydno, wo vykorystovuvani u n\omu metody
dozvolqgt\ otrymuvaty asymptotyçni ocinky velyçyn �n p
q
CC( )
,β , 1 ≤ p ≤ ∞ ,
dlq klasiv C
p
q
β,
, porodΩuvanyx qdramy P t
q, ( )β vyhlqdu (11), u qkyx
β β πk k= + , β ∈ R, k ∈ N. Pry c\omu forma oderΩuvanyx ocinok u porivnqnni
iz vypadkamy β βk ≡ , β ∈ R, ne zminyt\sq. A same, ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema31′′′′. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , 0 < q < 1, β β πk k= + , β ∈ R, k ∈ N i
n ∈ N. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p
q
CC( )
,β = q t K p q O
q
n q
n
p p s p
2
1
11 1π + ′ ′ ′ +
−
/ ( )cos ( , ) ( )
( )
,
u qkij p ′ = p / ( p – 1 ) , xarakterystyky s ( p ) i K ( p ′, q ) oznaçeni formulamy
(15) i (16) vidpovidno, a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vidnosno n , p , q
i β.
Spivstavlennq teoremyN1′ ta rivnosti (68) dozvolq[ sformulgvaty nastup-
nyj analoh teoremyN2.
Teorema32′′′′. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , n ∈ N, a klasy C pβ
ψ
, porodΩeni qdramy
Ψβ vyhlqdu (10), u qkyx β β πk k= + , β ∈ R, k ∈ N, a ψ ( k ) > 0 zadovol\nq-
gt\ umovu (9) ( ψ ∈ Dq ) pry 0 < q < 1 . Todi pry n → ∞ ma[ misce asymp-
totyçna rivnist\
�n p CC( )
,β
ψ = ψ
π
ε
( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )/ ( )n t K p q O
q
n q qp p s p
n2
1
1 11 1 2+ ′ ′ ′ +
−
+
−
, (66′ )
u qkij p ′ = p / ( p – 1 ) , xarakterystyky εn , s ( p ) i K ( p ′, q ) oznaçeni vidpo-
vidno formulamy (67), (15) i (16), a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vid-
nosno n, p, q, β i ψ ( k ) .
TeoremuN2′ moΩna uzahal\nyty na klasy Cp
ψ
takym çynom.
Teorema33. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , n ∈ N, a klasy Cp
ψ
porodΩeni parog ψ =
= ( )( ), ( )ψ ψ1 2k k system çysel, wo zadovol\nqgt\ umovy
lim
( )
( )k
i
i
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= qi , 0 < qi < 1, i = 1, 2 (72)
( )ψi qi
∈ D .
Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
�n p CC( )ψ = ψ ψ
π1
2
2
2
1 1
2
( ) ( ) cos ( , )/n n t K p qp p+
′+ ′ ′ +
+ O
q
n q qs p
n( )
( ) ( )( )1
1 1 2−
+
−
ε
, (73)
u qkij q = max { q1, q2 } , p ′ = p / ( p – 1 ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1092 A. S. SERDGK
εn =
max , ,
, ,
, ,
,
( )
( )
( )
i n
i
n
n
q q
q q
q q
=
=
>
<
1 2 1 2
1
1 2
2
1 2
ε
ε
ε
qkwo
qkwo
qkwo
εn
i( ) = sup
( )
( )k n
i
i
i
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
, i = 1, 2, (74)
xarakterystyky s ( p ) i K ( p ′, q ) oznaçeni vidpovidno formulamy (15) i (16), a
velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vidnosno n, p, q, ψ1 i ψ2 .
Dovedennq. Nexaj f Cp∈ ψ , 1 ≤ p ≤ ∞ . Todi
f x S f xn( ) ( ; )− −1 =
1
π
ϕ
π
π
−
∫ −Ψn t x t dt( ) ( ) , ϕ ∈Up
0 , (75)
de
Ψn t( ) =
k n
k kt k kt
=
∞
∑ +( )( )cos ( )sinψ ψ1 2 = G t H tn n( ) ( )+ , n ∈ N,
G tn( ) =
k n
k kt
=
∞
∑ ψ1( )cos , H tn( ) =
k n
k kt
=
∞
∑ ψ2( )sin .
Rozhlqnemo spoçatku vypadok q1 = q2 = q. Zhidno z rivnostqmy (47) roboty
[4]
Ψn t( ) = ψ β π ε
( ) cos ( )
( )
n q q kt O
q
n
k n
k n n−
=
∞
∑ −
+
−
2
1
1 2 , (76)
de
εn = max
,
( )
i
n
i
=
{ }
1 2
ε , εn
i( ) = sup
( )
( )k n
i
i
i
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
,
i = 1, 2, ψ ( k ) = ψ ψ1
2
2
2( ) ( )k k+ ,
a βn — çysla iz promiΩku [ 0, 4 ) , wo oznaçagt\sq rivnostqmy
cos
β πn
2
=
ψ
ψ
1( )
( )
n
n
, sin
β πn
2
=
ψ
ψ
2( )
( )
n
n
.
Na pidstavi (75) i (76) oderΩu[mo
�n p CC( )ψ = sup ( ) cos
ϕ π
π
π
ψ β π
∈ −
−
=
∞
∫ ∑ −
U
n
k n
k n
p
n q q kt
0
1
2
+
+ O
q
x t dtn
C
( )
( )
( )1
1 2
ε ϕ
−
− =
= ψ
π
ϕ ε
ϕ π
π
β( ) sup ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t x t dt O
qU
n
q n
C
n
p
n
∈
−
−
∫ − +
−
0
1
1
1 2 =
= ψ ε
β( ) ( )
( )
( ),n q C O
q
n
p
q
C
n
n
− +
−
� 1
1 2 . (77)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1093
Vraxuvavßy rivnomirnist\ velyçyny O ( 1 ) v rivnosti (14) vidnosno parametra β ,
cg rivnist\ moΩna zapysaty u vyhlqdi
�( ),C
n p
q
Cα = q t K p q O
q
n q
n
p p s p
2
1
11 1π + ′ ′ ′ +
−
/ ( )cos ( , ) ( )
( )
, (14′ )
de αn , n = 1, 2, … , — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Skorystavßys\ rivnistg (14′ ) pry αn = βn , iz (77) oderΩymo (73).
Nexaj teper, napryklad, q1 < q2 = q. Qk pokazano u roboti [4] (formula
(51)), u c\omu vypadku qdro Ψn t( ) moΩna podaty u vyhlqdi
Ψn t( ) = ψ ψ ε α
( ) ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t n O
q q
n
q n
n n
2 1 2 22
1
1 1
− +
−
+
−
sign , (78)
de
εn = εn
( )2 i αn = max
,
( )
i
n
i
=
{ }
1 2
α ,
αn
( )1 =
ψ
ψ
1( )
( )
n
n
, αn
( )2 = 1 2− ψ
ψ
( )
( )
n
n
.
Ob’[dnugçy spivvidnoßennq (75) i (78) i vraxovugçy, wo q2 = q, oderΩu[mo
�n p CC( )ψ = sup ( ) ( ) ( ), ,
ϕ π
π
π
ψ ψ
∈ −
−∫
U
n
q n
p
n q P t n
0
1
1 2sign +
+ O
q q
x t dtn n
C
( )
( )
( )1
1 12
ε α ϕ
−
+
−
− =
= ψ
π
ϕ ε α
ϕ π
π
( ) sup ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t x t dt O
q qU
n
q n
C
n n
p∈
−
−
∫ − +
−
+
−
0
1
1
1 11 2 =
=
ψ ε α
( ) ( )
( )
( ),n q C O
q q
n
n p
q
C
n n− +
−
+
−
� 1 21
1 1
. (79)
U roboti [4] (spivvidnoßennq (50)) bulo pokazano, wo u rozhlqduvanomu
vypadku
αn
i( ) = O
q
q
n
( )1 1
2
+
ε , 0 < ε < 1 –
q
q
1
2
, i = 1, 2. (80)
Beruçy do uvahy rivnist\ (14) pry β = 1 i vraxovugçy, wo vnaslidok (80) αn =
= o ( 1 / n ) , iz (79) znaxodymo
�n p CC( )ψ = ψ
π
( ) cos ( , )/n t K p qp p
′+ ′ ′
2
1 1 +
+ O
q
n q q qs p
n n( )
( ) ( )( )1
1 1 12−
+
−
+
−
ε α
=
= ψ
π
ε
( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )/ ( )n t K p q O
q
n q qp p s p
n2
1
1 11 1 2+ ′ ′ ′ +
−
+
−
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1094 A. S. SERDGK
Tym samym spivvidnoßennq (73) dovedeno u vypadku q1 < q2 . Zrozumilo, wo
tymy Ω mirkuvannqmy (73) dovodyt\sq i pry q1 > q2 .
Teoremu dovedeno.
3. NablyΩennq sumamy Fur’[ na klasax cilyx funkcij. U danomu punk-
ti bude znajdeno asymptotyçni rivnosti velyçyn �n p CC( )
,β
ψ
u vypadku, koly
funkcional\ni klasy C
pβ
ψ
,
, 1 ≤ p ≤ ∞ , porodΩugt\sq poslidovnostqmy
ψ ( k ) > 0, wo zadovol\nqgt\ umovu
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= 0. (81)
U c\omu vypadku elementy mnoΩyn C
pβ
ψ
,
[ zvuΩennqmy na dijsnu vis\ funkcij,
rehulqrnyx v usij kompleksnij plowyni, tobto cilyx funkcij (dyv., napryklad,
[2, c. 139 – 141]).
Ma[ misce nastupne tverdΩennq.
Teorema34. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , β β= k , k ∈ N, — dovil\na poslidovnist\
dijsnyx çysel, a poslidovnist\ ψ ( k ) > 0, k ∈ N, zadovol\nq[ umovu (81). Todi
pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
�n p CC( )
,β
ψ = ψ
π
ψ( )
cos
( ) ( )n
t
O kp
k n
′
= +
∞
+ ∑1
1
, (82)
u qkij p ′ = p / ( p – 1 ) , a O ( 1 ) — velyçyna, rivnomirno obmeΩena vidnosno usix
rozhlqduvanyx parametriv.
Dovedennq. Na osnovi intehral\noho zobraΩennq (5) dlq dovil\no] funkci]
f ∈ C
pβ
ψ
,
ma[mo
ρn f x( ; ) = f x S f xn( ) ( ; )− −1 =
ψ
π
β π ρ
π
π
β
ψ( )
( )cos ( ; )
n
f x t nt dt f xn
n
−
+∫ − −
+
2 1 . (83)
Na pidstavi nerivnosti Hel\dera ta oçevydnyx spivvidnoßen\ oderΩu[mo
ρn Cf x+1( ; ) ≤
1
1π β
ψ
βf
p n p
Ψ , + ′
≤
21
1
1
/
/ ( )
′
= +
∞
∑
p
p
k n
k
π
ψ , 1 ≤ p ≤ ∞ , (84)
de
Ψβ, ( )
n
t+1 =
k n
kk kt
= +
∞
∑ −
1 2
ψ β π
( )cos .
Iz (83), (84), a takoΩ spivvidnoßen\ dvo]stosti (19) vyplyvagt\ rivnosti
�n p CC( )
,β
ψ =
ψ
π
β π ψ
β
ψ π
π
β
ψ( )
sup ( )cos ( ) ( )
,
n
f x t nt dt O k
f C
n
k n
p
∈ − = +
∞
∫ ∑− −
+
2
1
1
=
=
ψ
π
ϕ β π ψ
ϕ π
π
( )
sup ( )cos ( ) ( )
n
t nt dt O k
U
n
k np∈ − = +
∞
∫ ∑−
+
0 2
1
1
=
=
ψ
π
β π λ ψ
λ
( )
inf cos ( ) ( )
n
nt O kn
p k n∈ ′ = +
∞
−
− + ∑
R 2
1
1
. (85)
Zhidno z teoremog pro xarakteryzacig ekstremal\noho elementa v Lp (dyv.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1095
[9, c. 27, 28]) ta teoremog Çebyßova pro al\ternans (dyv., napryklad, [3, c. 234;
9, c. 52]) toçna nyΩnq meΩa u pravij çastyni formuly (85) dosqha[t\sq pry
λ = 0 i, otΩe,
inf cos
λ
β π λ
∈ ′
−
−
R
nt n
p2
= cos nt n
p
−
′
β π
2
= cos t p′ , 1 ≤ p ′ ≤ ∞ . (86)
Ob’[dnavßy rivnosti (85) i (86), oderΩymo (82). Na zaverßennq dosyt\ zauvaΩy-
ty, wo umova (81) harantu[ vykonannq spivvidnoßennq [2, c. 300, 301]
ψ ( n ) = o k
k n
( ) ( )1
1= +
∞
∑ ψ .
Teoremu dovedeno.
Pry p = ∞ teoremuN4 iz zalyßkovym çlenom, zapysanym v inßij (bil\ß
toçnij) formi, doviv S. O. Telqkovs\kyj [14]. Pry p = 2 tverdΩennq teore-
myN4 takoΩ slid vvaΩaty vidomym [2, c. 294 – 298].
Typovymy predstavnykamy poslidovnostej ψ ( k ) , wo zadovol\nqgt\ umovu
(81), [ poslidovnosti
ψ ( k ) = e kr−α , α > 0, r > 1. (87)
Poznaçagçy, naslidugçy O. I. Stepancq [3], funkcional\ni klasy C
pβ
ψ
,
, porod-
Ωeni poslidovnostqmy ψ ( k ) vyhlqdu (87), çerez C
p
r
β
α
,
,
i vraxovugçy ocinku iz [3,
c. 130]
k n
ke
r
= +
∞
−∑
1
α < e
rn
en
r
r nr r−
−
−+
−α α
α
1
1
1
1
, r > 1, α > 0, n ∈ N,
iz teoremyN4 otrymu[mo take tverdΩennq.
Naslidok33. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , α > 0, r > 1 i β β= k , k = 1, 2, … , —
dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel. Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asympto-
tyçna rivnist\
�n p
r
CC( )
,
,
β
α = e
t
O
rn
en p
r
r nr r− ′
−
−+ +
−α α
π α
cos
( )1 1
1
1
1
,
u qkij p ′ = p p/( )−1 , a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena vidnosno vsix roz-
hlqduvanyx parametriv.
Zaznaçymo, wo pry p = ∞ asymptotyçnu formulu dlq velyçyn �n p
r
CC( )
,
,
β
α
oderΩav O. I. Stepanec\ [15] (dyv. takoΩ [2, c. 292 – 301; 3, c. 130, 131]) i utoç-
nyv S. O. Telqkovs\kyj [14, c. 515] za raxunok krawo] ocinky zalyßkovoho çle-
na. ZauvaΩymo takoΩ, wo naslidokN3 pry β βk ≡ dopovng[ (na vypadok r > 1 )
teoremuN1, u qkij oxopleno vypadok r = 1.
Wodo zadaçi pro znaxodΩennq asymptotyçnyx rivnostej dlq velyçyn
�n p
r
CC( )
,
,
β
α
pry 0 < r < 1, p ≥ 1, varto zauvaΩyty, wo vona rozv’qzana u vy-
padku p = ∞ O. I. Stepancem [3, c. 122]):
�n
r
CC( )
,
,
β
α
∞ =
4
12
1
π
α αe n O en r nr r− − −+ln ( ) , 0 < r < 1, α > 0, β ∈ R,
de O ( 1 ) — velyçyna, wo rivnomirno obmeΩena vidnosno n i β. Pry 1 < p < ∞
vidomi lyße porqdkovi ocinky [16, c. 135]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1096 A. S. SERDGK
K e nn r pr
1
1− −α ( )/ ≤
�n p
r
CC( ),
,
ψ
α ≤ K e nn r pr
2
1− −α ( )/ , 0 < r < 1, α > 0, β ∈ R,
u qkyx K1 i K2 — dodatni stali, wo ne zaleΩat\ vid n.
1. Stepanec A. Y. Skorost\ sxodymosty rqdov Fur\e na klassax ψ -yntehralov // Ukr. mat.
Ωurn. – 1997. – 49, # 8. – S. 1069 – 1113.
2. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2 ç. // Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]-
ny. – 2002. – 40, ç. 1 – 427 s.
3. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 286 s.
4. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. PryblyΩenye summamy Fur\e y nayluçßye pryblyΩenyq na
klassax analytyçeskyx funkcyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 3. – S. 375 – 395.
5. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem //
Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1946. – 10, # 3. – S. 207 – 256.
6. Steçkyn S. B. Ocenka ostatka rqda Fur\e dlq dyfferencyruem¥x funkcyj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1980. – 145. – S. 126 – 151.
7. Efymov A. V. PryblyΩenye neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj summamy Fur\e // Yzv.
AN SSSR. Ser. mat. – 1960. – 24, # 2. – S. 243 – 296.
8. Telqkovskyj S. A. O normax tryhonometryçeskyx polynomov y pryblyΩenyy dyfferency-
ruem¥x funkcyj lynejn¥my srednymy yx rqdov Fur\e. 1 // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1961.
– 62. – S. 61 – 97.
9. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 423 s.
10. Fejer L. Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen // J. reine und angew. Math. –
1910. – 138. – S. 22 – 53.
11. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Fyzmathyz, 1963. – 1100 s.
12. Osypenko K. G., Stesyn M. Y. O popereçnykax klassa Xardy H2 v n-mernom ßare // Uspe-
xy mat. nauk. – 1990. – 45, # 5. – S. 193 – 194.
13. Savçuk V. V. Najkrawi linijni metody nablyΩennq funkcij klasu Xardi Hp // Ukr. mat.
Ωurn. – 2003. – 55, # 7. – S. 919 – 925.
14. Telqkovskyj S. A. O pryblyΩenyy summamy Fur\e funkcyj v¥sokoj hladkosty // Tam Ωe.
– 1989. – 41, # 4. – S. 510 – 518.
15. Stepanec A. Y. Uklonenye summ Fur\e na klassax beskoneçno dyfferencyruem¥x funk-
cyj // Tam Ωe. – 1984. – 36, # 6. – S. 750 – 758.
16. Romangk V. S. Dopolnenyq k ocenkam pryblyΩenyq summamy Fur\e klassov beskoneçno
dyfferencyruem¥x funkcyj // Ekstremal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq:
Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2003. – 46. – S. 131 – 135.
OderΩano 14.07.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3666 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:46Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a2/da1ab5240626f05c9cb091a51adcefa2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36662020-03-18T20:01:36Z Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в рівномірній метриці Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. We find asymptotic equalities for upper bounds of approximations by Fourier partial sums in a uniform metric on classes of Poisson integrals of periodic functions belonging to unit balls of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$. We generalize the results obtained to classes of $(\psi, \overline{\beta})$-differentiable functions (in the Stepanets sense) that admit analytical extension to a fixed strip of the complex plane. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частинними сумами Фур'є в рівномірній метриці на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, що належать одиничним кулям просторів $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$. Отримані результати узагальнено на класи $(\psi, \overline{\beta})$-диференційовних (у сенсі Степанця) функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3666 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 8 (2005); 1079 – 1096 Український математичний журнал; Том 57 № 8 (2005); 1079 – 1096 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3666/4061 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3666/4062 Copyright (c) 2005 Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title | Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title_alt | Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в рівномірній метриці |
| title_full | Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title_fullStr | Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title_full_unstemmed | Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title_short | Approximation of Classes of Analytic Functions by Fourier Sums in Uniform Metric |
| title_sort | approximation of classes of analytic functions by fourier sums in uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3666 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationofclassesofanalyticfunctionsbyfouriersumsinuniformmetric AT serdûkas approximationofclassesofanalyticfunctionsbyfouriersumsinuniformmetric AT serdyukas nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjsumamifur039êvrívnomírníjmetricí AT serdûkas nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjsumamifur039êvrívnomírníjmetricí |