Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions on the classes \(\hat C_{\beta ,\infty }^\psi\) and \(\hat L_{\beta ,1}^\psi\) by Abel-Poisson operators.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3667 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509796242817024 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, T. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:01:36Z |
| description | We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions on the classes \(\hat C_{\beta ,\infty }^\psi\) and \(\hat L_{\beta ,1}^\psi\) by Abel-Poisson operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
G. I. Xarkevyç, T. V. Ûyhallo (Volyn. un-t, Luc\k)
NABLYÛENNQ (((( ψψψψ, ββββ ))))
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ,
ZADANYX NA DIJSNIJ OSI
OPERATORAMY ABELQ – PUASSONA
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions on classes ˆ
,Cβ
ψ
∞
and ˆ
,Lβ
ψ
1 by the Abel – Poisson operators.
Otrymano asymptotyçni rivnosti dlq verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax
ˆ
,Cβ
ψ
∞ ta
ˆ
,Lβ
ψ
1
operatoramy Abelq – Puassona.
1. Postanovka zadaçi ta deqki dopomiΩni tverdΩennq. V qkosti nablyΩag-
çyx ahrehativ dlq funkcij, zadanyx na vsij çyslovij osi (qki [, vzahali kaΩuçy,
neperiodyçnymy), vykorystovugt\sq cili funkci] eksponencial\noho typu ≤ σ .
Protqhom ostannix desqtylit\ O. I. Stepancem ta joho poslidovnykamy [1 – 8]
rozvyvalas\ teoriq nablyΩennq cilymy funkciqmy, do qko] vxodyt\ i teoriq
nablyΩennq periodyçnyx funkcij.
Klasy L̂β
ψ� , zhidno z [1, 2] abo [8] (hl. IX), oznaçagt\sq takym çynom. Ne-
xaj L̂p , p ≥ 1, — mnoΩyna funkcij ϕ ( ⋅ ) , zadanyx na vsij dijsnij osi R, wo
magt\ skinçennu normu ϕ p̂ , de pry p ∈ [ 1, ∞ )
ϕ p̂ = sup ( )
/
a R
p
a
a p
t dt
∈
+
∫
ϕ
π2 1
i ϕ ∞̂ = ess sup ϕ ( )t , C — mnoΩyna neperervnyx zadanyx na dijsnij osi funk-
cij z normog f C = max ( )
x R
f x
∈
.
Çerez � poznaçagt\ mnoΩynu opuklyx donyzu funkcij ψ ( v ) , v ≥ 1, dlq
qkyx
lim ( )v v→∞ ψ = 0. KoΩnu funkcig ψ ∈ � prodovΩymo na promiΩok [ 0,
1 ) takym çynom, wob otrymana funkciq ( qku, qk i raniße, budemo poznaçaty
çerez ψ ( ⋅ ) ) bula neperervnog pry vsix v ≥ 0, ψ ( 0 ) = 0 i ]] poxidna ψ ′ ( v ) =
= ψ ′ ( v + 0 ) mala obmeΩenu variacig na promiΩku [ 0, ∞ ) . MnoΩynu takyx
funkcij poznaçymo çerez �. PidmnoΩynu funkcij ψ ∈ �, dlq qkyx
ψ ( )t
t
dt
1
∞
∫ < ∞ , (1)
poznaçymo çerez F.
Poklademo
ˆ ( )ψ t = ˆ ( )ψβ t =
1
20π
ψ βπ
( ) cosv v vt d+
∞
∫ ,
de β — deqke fiksovane çyslo.
Qkwo ψ ∈ F, to, qk pokazano v [1], dlq bud\-qkoho β ∈ R peretvorennq
ˆ ( )ψ t [ sumovnym na vsij osi:
ˆ ( )ψ t dt
−∞
∞
∫ < ∞ .
© G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8 1097
1098 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
Dali çerez L̂β
ψ
budemo poznaçaty mnoΩynu funkcij f ( x ) ∈ L̂1, qki majΩe dlq
vsix x ∈ R moΩna podaty u vyhlqdi
f ( x ) = A x t t dt0 + +
−∞
∞
∫ ϕ ψ( ) ˆ ( ) , (2)
de A0 — deqka stala i ϕ( ) ˆ⋅ ∈L1, a intehral slid rozumity qk hranycg intehraliv
po promiΩkax, wo symetryçno rozßyrggt\sq.
Qkwo f L( ) ˆ⋅ ∈ β
ψ
i ϕ ∈ �, de � — deqka pidmnoΩyna neperervnyx funkcij
iz L̂1, to vvaΩagt\, wo
f L( ) ˆ⋅ ∈ β
ψ� . PidmnoΩyny neperervnyx funkcij iz L̂β
ψ ,
L̂β
ψ� poznaçagt\ vidpovidno çerez Ĉβ
ψ ,
Ĉβ
ψ� . U vypadku, koly � zbiha[t\sq z
mnoΩynog funkcij ϕ( )⋅ , wo zadovol\nqgt\ umovu ess sup ϕ( )⋅ ≤ 1, klas
Ĉβ
ψ� poznaçagt\ çerez
ˆ
,Cβ
ψ
∞ . Qkwo Ω f L∈ ˆ
β
ψ
i ϕ( ) ˆ⋅ 1 ≤ 1, to budemo hovo-
ryty, wo f L∈ ˆ
,β
ψ
1.
U roboti [8] (hl. IX) pokazano, wo qkwo ϕ( )⋅ — 2π -periodyçna sumovna
funkciq, to v c\omu vypadku mnoΩyny
L̂β
ψ� , ˆ
,Lβ
ψ
1, ˆ
,Cβ
ψ
∞ perexodqt\ vidpovidno
u klasy
Lβ
ψ� , Lβ
ψ
,1, Cβ
ψ
,∞ . Bud\-qku funkcig, ekvivalentnu do funkci] ϕ( )⋅ iz
(2), qk i v periodyçnomu vypadku (dyv., napryklad, [9] (hl.FI) ta [1]), nazyvagt\
( , )ψ β -poxidnog funkci] f ( )⋅ i poznaçagt\ fβ
ψ ( )⋅ .
Naslidugçy O. I. Stepancq [7, c. 159, 160], dlq bud\-qko] funkci] ψ ∈ �
vvedemo xarakterystyky
η ( t ) : = ψ ψ−1 2( / )( )t , µ ( t ) : =
t
t tη( ) −
i mnoΩyny
�0 = ψ µ ψ∈ < ≤ ∀ ≥{ }� : ( , )0 1t K t ,
�C = ψ µ ψ∈ < < ≤ ∀ ≥{ }� : ( , )0 11 2K t K t .
Qkwo ψ ∈ � i pry c\omu na promiΩku t ≥ 1 ψ ∈ �0 abo ψ ∈ �C , to budemo
zapysuvaty, zhidno z [8, c. 112], ψ ∈ �0 abo ψ ∈ �C vidpovidno.
U danij roboti vyvçagt\sq vidxylennq na klasax
ˆ
,Lβ
ψ
1 i
ˆ
,Cβ
ψ
∞ operatoriv
Abelq – Puassona
P f xσ( , ) =
A f x t e t d dt0
0
1
2
+ + +
−∞
∞ ∞
−∫ ∫β
ψ σ
π
ψ βπ
( ) ( ) cos/v v vv , σ ∈ ( 0, ∞ ) .
Operatory P f xσ( , ) moΩna rozhlqdaty qk çastynnyj vypadok operatoriv
U f xσ( , , )Λ =
A f x t t d dt0
0
1
2
+ +
+
−∞
∞ ∞
∫ ∫β
ψ
σπ
ψ λ
σ
βπ
( ) ( ) cosv
v
v v ,
wo porodΩugt\sq λ -metodom Uσ( )Λ , oznaçenym sukupnistg Λ =
λ
σσ
v
{ }
funkcij λσ = e
−v/σ
pry vsix v ≥ 0 (dyv. spivvidnoßennq (2) iz [10]). VvaΩaty-
memo, wo funkci] ψ ( v ) taki, wo peretvorennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1099
1
20π
ψ βπσ
∞
−∫ +
( ) cos/v v vve t d
[ sumovnym na vsij dijsnij osi.
U roboti doslidΩu[t\sq asymptotyçna povedinka velyçyn
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ = sup ( ) ( , )
ˆ
,f C
Cf x P f x
∈ ∞
−
β
ψ
σ ,
(3)
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
= sup ( ) ( , )
ˆ
ˆ
,f L
f x P f x
∈
−
β
ψ
σ
1
1
pry σ → ∞ i ψ ∈ �0 .
Navedemo deqki dopomiΩni oznaçennq i tverdΩennq, neobxidni dlq podal\-
ßoho rozhlqdu.
Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig ϕ ( σ ) = ϕ ( �; σ ) taku, wo pry
σ → ∞
� ( �; Pσ ) X = ϕ ( σ ) + o ( ϕ ( σ )) ,
to, naslidugçy O. I. Stepancq [7, c. 198], budemo hovoryty, wo na klasi � dlq
operatora Abelq – Puassona rozv’qzano zadaçu Kolmohorova – Nikol\s\koho v
metryci prostoru X .
Qk zaznaçalosq vywe, klasy L̂β
ψ� buly vvedeni O. I. Stepancem v [1, 2]
(dyv. takoΩ [8], hl. IX). Nym Ωe rozhlqdalas\ zadaça pro nablyΩennq funkcij
iz klasiv
L̂β
ψ� za dopomohog tak zvanyx operatoriv Fur’[ F fγ ( , )⋅ . Tam Ωe bu-
lo otrymano zobraΩennq na klasax
L̂β
ψ� dlq vidxylennq operatoriv Uσ ( f, x, λ )
— intehral\nyx analohiv polinomial\nyx operatoriv, wo porodΩugt\sq try-
kutnymy λ-metodamy pidsumovuvannq rqdiv Fur’[. Potim za dopomohog otryma-
nyx v [1, 2] metodiv doslidΩen\ zadaça typu (3) poßyrgvalas\ na operatory Zyh-
munda, Rohozyns\koho, St[klova, Valle Pussena ta in. (dyv. [3 – 6]).
U danij roboti znajdeno rozv’qzok zadaçi Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq
operatora Abelq – Puassona na klasax
ˆ
,Lβ
ψ
1 ta
ˆ
,Cβ
ψ
∞ , β ∈ R i ψ ∈ � 0 . U pe-
riodyçnomu vypadku najbil\ß povni rezul\taty v c\omu naprqmku otrymano v
roboti [11], a pry ψ ( v ) = v– r, r > 0, — v [12 – 14].
Poklademo
τ ( v ) = τσ ( v, ψ ) =
( )
( )
( )
, ,
( )
( )
( )
, ,
1
1
0
1
1
1
− ≤ ≤
− ≥
−
−
e
e
v
v
v
v
v
ψ
ψ σ σ
ψ σ
ψ σ σ
(4)
de ψ ( v ) — funkciq, vyznaçena i neperervna pry vsix v ≥ 1.
Oznaçennq [12]. Nexaj funkciq τ ( v ) zadana na [ 0, ∞ ) , absolgtno nepe-
rervna i τ ( ∞ ) = 0. Hovorqt\, wo funkciq τ ( v ) ∈ � a , qkwo poxidnu ′τ ( )v u
tyx toçkax, de vona ne isnu[, moΩna dooznaçyty tak, wob dlq deqkoho a ≥ 0
isnuvaly intehraly
v vd
a
′∫ τ ( )
/
0
2
, v v− ′
∞
∫ a d
a
τ ( )
/2
.
Nadali domovymosq çerez K, Ki poznaçaty stali, vzahali kaΩuçy, ne odni i ti
Ω u riznyx spivvidnoßennqx.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1100 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
Teorema41′′′′ [12]. Nexaj τ ( v ) ∈ � a i sin ( )
βπ τ
2
0 = 0. Todi dlq zbiΩnosti in-
tehrala
A ( τ ) =
1
2
0
π
τ βπ
−∞
∞ ∞
∫ ∫ +
( ) cosv v vt d dt (5)
neobxidno i dostatn\o, wob zbihalysq intehraly
sin
( )βπ τ
2 0
v
v
vd
∞
∫ ,
τ τ( ) ( )a a
d
a − − +∫ v v
v
v
0
.
Pry c\omu qkwo
2
2 0π
βπ τ
sin
( )v
v
vd
∞
∫ ≥
4
2
0π
τ τ( ) ( )a a
d
a − − +∫ v v
v
v,
to
A d( ) sin
( )τ
π
βπ τ−
∞
∫2
2 0
v
v
v ≤
K
a a
d H
a τ τ τ( ) ( )
( )
− − + +
∫ v v
v
v
0
, (6)
de
H ( τ ) = τ ( )0 + τ ( )a + v vd
a
′∫ τ ( )
/
0
2
+ v v− ′
∞
∫ a d
a
τ ( )
/2
. (7)
Qkwo Ω
2
2 0π
βπ τ
sin
( )v
v
vd
∞
∫ ≤
4
2
0π
τ τ( ) ( )a a
d
a − − +∫ v v
v
v,
to
A
a a
d
a
( )
( ) ( )τ
π
τ τ− − − +∫4
2
0
v v
v
v ≤ K d Hsin
( )
( )
βπ τ τ
2 0
v
v
v
∞
∫ +
. (8)
Teorema42′′′′ [7, c. 161]. Funkciq ψ ∈ � naleΩyt\ � 0 todi i lyße todi,
koly velyçyna
α ( t ) =
ψ
ψ
( )
( )
t
t t′
, ψ′ ( t ) : = ψ′ ( t + 0 )
zadovol\nq[ umovu
α ( t ) ≥ K > 0 ∀ t ≥ 1.
Teorema43′′′′ [7, c. 175]. Dlq toho wob funkciq ψ ∈ � naleΩala � 0 , neob-
xidno i dostatn\o, wob isnuvala stala K taka, wob pry vsix t ≥ 1 vykonuva-
las\ nerivnist\
ψ
ψ
( )
( )
t
ct
≤ K,
de c — dovil\na stala, wo zadovol\nq[ umovu c > 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1101
2. Ocinka verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax Ĉ ,ββ ∞∞
ψψ
]x operato-
ramy Abelq – Puassona.
Teorema41. Nexaj ψ ∈ �0 , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog. Todi pry
σ → ∞ ma[ misce rivnist\
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ = ψ ( σ ) A ( τ ) , (9)
de velyçyna A ( τ ) oznaçena za dopomohog rivnosti (5) i dlq ne] spravedlyvog [
ocinka
A ( τ ) =
2
2
1 1
1π
βπ
σ ψ σ
ψ
ψ σ
ψσ
σ
sin
( )
( )
( )
( )∫ ∫+
∞
v v
v
v
vd d + O 1
1+
σ ψ σ( )
. (10)
Dovedennq. Za dopomohog teoremyF1′ pokaΩemo spoçatku sumovnist\ pere-
tvorennq Fur’[ funkci] τ ( v ) , zadano] spivvidnoßennqm (4). Dlq c\oho znajde-
mo ocinky intehraliv
v vd ′∫ τ ( )
/
0
1 2
,
v v− ′
∞
∫ 1
1 2
dτ ( )
/
, (11)
sin
( )βπ τ
2 0
v
v
vd
∞
∫ ,
τ τ( ) ( )1 1
0
1 − − +∫ v v
v
vd . (12)
Dlq ocinky perßoho intehrala z (11) rozib’[mo promiΩok [ 0; 1 / 2 ] na dvi
çastyny: [ 0; 1 / σ ] ta [ 1 / σ; 1 / 2 ] . Oskil\ky pry v ∈ [ 0; 1 / σ ]
τ′ ( v ) =
e−v ψ
ψ σ
( )
( )
1
, τ″ ( v ) = –
e−v ψ
ψ σ
( )
( )
1
,
to funkciq τ ( v ) [ opuklog dohory pry v ∈ [ 0; 1 / σ ] . Tomu, vraxovugçy, wo
1 – e– v ≤ v, (13)
otrymu[mo
0
1/
( )
σ
τ∫ ′v vd = ( )( ) ( ) /− ′ +v v vτ τ σ
0
1 =
= –
1 1 1
11 1
σ
ψ
ψ σ
ψ
ψ σ
σ σ( )
( )
( )
( )
/ /( )e e− −+ − =
O( )
( )
1
2σ ψ σ
. (14)
Nexaj
τ1 ( v ) : =
( ) ( )
( )
1 − −−e v v
vψ σ
ψ σ
, (15)
τ2 ( v ) : =
v
vψ σ
ψ σ
( )
( )
. (16)
Todi pry v ≥ 1 / σ
τ ( v ) = τ1 ( v ) + τ2 ( v )
i
v vd ′∫ τ
σ
( )
/
/
1
1 2
≤
v vd ′∫ τ
σ
1
1
1 2
( )
/
/
+
v vd ′∫ τ
σ
2
1
1 2
( )
/
/
. (17)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1102 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
Ocinymo perßyj intehral z pravo] çastyny nerivnosti (17). Dlq c\oho dosli-
dymo spoçatku funkcig
µ( )v = 1 – e– v – v. (18)
Z toho, wo
′µ ( )v = e– v – 1, ′′µ ( )v = – e– v, µ( )0 = 0, ′µ ( )0 = 0,
vyplyva[
µ( )v ≤ 0, ′µ ( )v ≤ 0, ′′µ ( )v < 0 pry v ≥ 0. (19)
Vraxovugçy (13), (19) i nerivnist\
e– v ≤
1
2
2
− +v
v
, (20)
oderΩu[mo
µ( )v = v – 1 + e– v ≤
v2
2
, ′µ ( )v = 1 – e– v ≤ v, ′′µ ( )v = e– v ≤ 1. (21)
Oskil\ky pry v ≥ 1 / σ, zhidno z (15), (18),
d ′τ1( )v ≤ µ σ ψ σ
ψ σ
µ σ ψ σ
ψ σ
µ ψ σ
ψ σ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
v
v
v
v
v
v
v
2
2
′′ + ′ ′ + ′′
d , (22)
to z uraxuvannqm (21) ma[mo
v vd ′∫ τ
σ
1
1
1 2
( )
/
/
≤
1
2
3
2
1
1 2
ψ σ
σ ψ σ
σ( )
( )
/
/
v
v v′′∫ d +
+
2 12
1
1 2
1
1 2
ψ σ
σ ψ σ
ψ σ
ψ σ
σ σ( )
( )
( )
( )
/
/
/
/
v v v v v v′ +∫ ∫d d .
Prointehruvavßy perßyj intehral pravo] çastyny ostann\o] nerivnosti za ças-
tynamy, otryma[mo
v vd ′∫ τ
σ
1
1
1 2
( )
/
/
≤
1
2
3
1
1 2
ψ σ
σψ σ
σ( )
( )
/
/
v
v′ +
+
7
2
12
1
1 2
1
1 2
ψ σ
σ ψ σ
ψ σ
ψ σ
σ σ( )
( )
( )
( )
/
/
/
/
v v v v v v′ +∫ ∫d d . (23)
Na pidstavi teoremyF2′
1 2
1
1 2
ψ σ
σ ψ σ
σ( )
( )
/
/
v v v′∫ d ≤
K
d
ψ σ
ψ σ
σ( )
( )
/
/
v v v
1
1 2
∫ .
Todi iz (23) z uraxuvannqm teoremyF3′ oderΩymo
v vd ′∫ τ
σ
1
1
1 2
( )
/
/
≤ K
K K
d1
2
2
3
1
1 2
+ + ∫σ ψ σ ψ σ
ψ σ
σ( ) ( )
( )
/
/
v v v . (24)
Oskil\ky funkciq v ψ ( v ) [ opuklog i v ψ ( v ) ≠ 0 pry v ≥ 1, to pry v ∈ [ 1, σ ]
moΩlyvi lyße dva vypadky: abo v ψ ( v ) ≤ ψ ( 1 ) , abo v ψ ( v ) ≤ σ ψ ( σ ) . OtΩe,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1103
1
2
1
2
σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )
/
v v vd∫ ≤
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )v v vd∫ = O 1
1+
σψ σ( )
. (25)
Vraxovugçy (25), z (24) otrymu[mo
v vd ′∫ τ
σ
1
1
1 2
( )
/
/
= O 1
1+
σψ σ( )
. (26)
Z (16) i opuklosti funkci] v ψ ( v ) vyplyva[
v vd ′∫ τ
σ
2
1
1 2
( )
/
/
=
v vd ′∫ τ
σ
2
1
1 2
( )
/
/
=
( )( ) ( ) /
/
v v v′ −τ τ σ2 2 1
1 2 = O 1
1+
σψ σ( )
. (27)
Takym çynom, iz spivvidnoßen\ (14), (17), (26) i (27) ma[mo
v vd ′∫ τ ( )
/
0
1 2
= O 1
1+
σψ σ( )
. (28)
Ocinymo druhyj intehral z (11). Oskil\ky pry v ∈ [ 1 / σ; ∞ ), zhidno z (4),
ψ σ τ( ) ( )d ′ v =
( ) ( ) ( ) ( )1 22− ′′ + ′ −{ }− − −e e e dv v vv v v vσ ψ σ σ ψ σ ψ σ , (29)
to
v v− ′
∞
∫ 1
1 2
dτ ( )
/
≤
v vd ′
∞
∫ τ ( )
/1 2
≤
1
1 2
1 2ψ σ
σ ψ σ
( )
( )( )
/
v v vv− ′′−
∞
∫ e d +
+
2 1
1 2 1 2
σ
ψ σ
ψ σ
ψ σ
ψ σ
( )
( )
( )
( )
/ /
v v v v v vv ve d e d−
∞
−
∞
′ +∫ ∫ .
Dali, vraxovugçy, wo pry v ≥ 0
1 – e– v ≤ 1, v e– v ≤ K, (30)
i pry v ∈ [ 1 / 2; + ∞ )
ψ ( σ v ) ≤ ψ ( σ / 2 ) ,
perekonu[mosq, wo
v v− ′
∞
∫ 1
1 2
dτ ( )
/
= O ( 1 ) . (31)
Dlq ocinky perßoho intehrala iz (12) rozib’[mo promiΩok [ 0; ∞ ) na try ças-
tyny: [ 0; 1 / σ ] , [ 1 / σ; 1 ] ta [ 1; ∞ ) . Vykorystovugçy spivvidnoßennq (4) i (13),
otrymu[mo
τσ
( )
/
v
v
vd
0
1
∫ =
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
( )
/
1
1
0
1
− −∫ e
dv v
v
≤
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
/
1
0
1
v
v
v
d∫ =
ψ
σψ σ
( )
( )
1
. (32)
Iz spivvidnoßen\ (4), (18), (21) i (25) ma[mo
τ
ψ σ
ψ σ
σ σ
( )
( )
( )
/ /
v
v
v v vd d
1
1
1
1
1∫ ∫− ≤
1
1
1
ψ σ
µ ψ σ
σ( )
( )
( )
/
v
v
v vd∫ ≤
≤
1
2 1
1
ψ σ
ψ σ
σ( )
( )
/
v v vd∫ = O 1
1+
σψ σ( )
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1104 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
Zvidsy
τ
σ
( )
/
v
v
vd
1
1
∫ =
1
1
1
1σψ σ
ψ
σψ σ
σ
( )
( )
( )
v vd O∫ + +
. (33)
Iz rivnosti (4), vraxovugçy spadannq funkci] ψ ( v ) pry v ≥ 1, otrymu[mo
τ
ψ σ
ψ
σ
( )
( )
( )v
v
v
v
v
vd d
1
1
∞ ∞
∫ ∫− =
1
1ψ σ
ψ σ
( )
( )
e
d
−∞
∫
v
v
v v ≤
e
d
−∞
∫
v
v
v
1
≤ K. (34)
Iz spivvidnoßen\ (32) – (34) vyplyva[
τ( )v
v
vd
0
∞
∫ =
1 1
1
1
1σψ σ
ψ
ψ σ
ψ
σψ σ
σ
σ( )
( )
( )
( )
( )
v v
v
v
vd d O∫ ∫+ + +
∞
. (35)
Ocinymo druhyj intehral iz (12). Qkwo funkciq τ ( v ) ∈ �1
, ψ ∈ � 0, σ >
> 1 / 2 , to vykonu[t\sq nerivnist\ (dyv. spivvidnoßennq (21) roboty [10])
τ τ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
≤
λ λ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
+
+ K d dτ τ τ τ( ) ( ) ( ) ( )
/
/
0 1 1
0
1 2
1 2
+ + ′ + − ′
∫ ∫
∞
v v v v , (36)
de, zhidno z (4), λ( )v = e– v. Oskil\ky
λ λ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
= e e
d− + − −−∫ 1 1
0
1
v v v
v
= O ( 1 ) , (37)
to z uraxuvannqm spivvidnoßen\ (28), (31) i (37) iz (36) vyplyva[
τ τ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
= O 1
1+
σψ σ( )
. (38)
Takym çynom, za teoremogF1′ peretvorennq Fur’[ funkci] τ ( v ) , zadano] u
vyhlqdi (4), sumovne na vsi çyslovij osi. Todi za lemogF1 roboty V. I. Rukasova
[5] ma[ misce rivnist\ (9). Iz nerivnostej (6) i (8) z uraxuvannqm formul (7), (28),
(31), (35) i (38) otryma[mo spivvidnoßennq (10).
TeoremuF1 dovedeno.
Naslidok41. Qkwo funkciq ψ ∈ F C∩ � �0 \ i sin
βπ
2
≠ 0, to pry σ →
→ ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ =
2
2π
βπ ψ ψ σ
σ
sin
( )
( )
v
v
vd O
∞
∫ + ( ) . (39)
Dovedennq. Qk vidomo (dyv., napryklad, [9, c. 94]), pry bud\-qkomu ε > 0 i
dostatn\o velykyx v funkciq v vε ψ( ) zrosta[, qkwo ψ ∈ F C∩ � �0 \ . Tomu
1
1σψ σ
ψ
σ
( )
( )v vd∫ ≤
σ ψ σ
σψ σ
ε
ε
σ
( )
( )
1
1 v
vd∫ = O ( 1 ) . (40)
Vykorystovugçy pravylo Lopitalq i te, wo ψ ∈ F ∩ � 0, ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1105
lim
( )
( )x
x
d
x→∞
∞
∫ ψ
ψ
v
v
v
= lim
( )
( )x
x
x x→∞ ′
ψ
ψ
. (41)
Oskil\ky ψ ∈ F C∩ � �0 \ , to lim
( )
( )x
x
x x→∞ ′
ψ
ψ
= ∞ . OtΩe, pry σ → ∞
ψ ( σ ) =
o d
ψ
σ
( )v
v
v
∞
∫
. (42)
Pidstavyvßy (40) ta (42) u (9), (10), otryma[mo (39).
Prykladom funkcij, qki zadovol\nqgt\ umovy naslidkuF1, [ ψ ( v ) =
=
1
ln ( )α v + K
, de α > 1, K > 1.
Naslidok42. Nexaj ψ ∈ �, sin
βπ
2
≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog i
lim ( )
v
v v
→∞
ψ = ∞ , (43)
lim
( )
( )
σ
σ
σψ σ
ψ
→∞ ∫1
1
v vd = ∞ . (44)
Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ =
2
2
1
1π
βπ
σ
ψ ψ σ
σ
sin ( ) ( )v vd O∫ + ( ) . (45)
Dovedennq. Qkwo funkciq ψ zadovol\nq[ umovy (43) i (44), to, vykorysto-
vugçy pravylo Lopitalq, ma[mo
1
1 + ′
→∞
lim
( )
( )x
x x
x
ψ
ψ
= lim
( )
( ) ( )x
x
x x x→∞ + ′
ψ
ψ ψ
=
lim
( )
( )x
x
d
x x→∞
∫ ψ
ψ
v v
1 = ∞ .
Zvidsy
lim
( )
( )x
x x
x→∞
′ψ
ψ
= – 1. (46)
Z rivnostej (41) ta (46) oderΩu[mo
ψ
σ
( )v
v
vd
∞
∫ = O ψ σ( )( ).
Vykorystovugçy ostanng ocinku i spivvidnoßennq (9), (10), (43) ta (44), otrymu-
[mo (45).
ZauvaΩymo, wo funkci] ψ ( v ) =
1
v
vln ( )α + K , K > 0, α > 0, zadovol\nqgt\
umovy naslidkuF2.
Naslidok43. Nexaj sin
βπ
2
≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog donyzu,
lim ( )
v
v v
→∞
ψ = K < ∞ , (47)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1106 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
lim ( )
σ
σ
ψ
→∞ ∫ v vd
1
= ∞ . (48)
Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ =
2
2
1 1
1π
βπ
σ
ψ
σ
σ
sin ( )v vd O∫ +
. (49)
Spravdi, z umovy (47) ma[mo
ψ
σ
( )v
v
vd
∞
∫ ≤
K
d
v
v2
σ
∞
∫ = O
1
σ
.
Rivnist\ (49) otryma[mo, pidstavyvßy ostannij vyraz u (10) ta vraxuvavßy spiv-
vidnoßennq (9), (47), (48).
Prykladom funkcij, dlq qkyx ma[ misce naslidokF3, [ ψ ( v ) =
1
v
v( )K e+ − ,
ψ ( v ) =
1
v
vln ( )α + K , de stali K > 1 i – 1 ≤ α ≤ 0 pidibrano tak, wob funkciq
v ψ ( v ) bula opuklog donyzu pry v ≥ 1.
V umovax teoremyF1, qkwo
ψ( )v vd
1
∞
∫ < ∞ , rivnist\ (9) ne [ asymptotyçnog.
Teorema42. Qkwo ψ ∈ �C , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog donyzu i
ψ( )v vd
1
∞
∫ < ∞ , to pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ =
1 1 1
0
1
2
1σ σ
ψ
σ
ψ
β
ψ
σ
σ
sup ( ) ( ) ( )
ˆ
( )
,f C
C
f x O t t dt t dt
∈
∞
∞
+ +
∫ ∫ , (50)
de f0
1( )
— ( , )ψ β -poxidna funkci] f, pry ψ ( v ) = 1 / v , β = 0.
Dovedennq. Podamo funkcig τ ( v ) , zadanu spivvidnoßennqm (4), u vyhlqdi
τ ( v ) = ϕ ( v ) + µ ( v ) , de
ϕ ( v ) =
v v
v
v
v
ψ
ψ σ σ
ψ σ
ψ σ σ
( )
( )
, ,
( )
( )
, ,
1
0
1
1
≤ <
≥
(51)
µ ( v ) =
( )
( )
( )
( )
, ,
( )
( )
, .
1
1
0
1
1
1
− − ≤ <
− − ≥
−
−
e
e
v
v
v v
v
v
v
ψ
ψ σ σ
ψ σ
ψ σ σ
Qk i pry dovedenni teoremyF1, moΩna perekonatysq v sumovnosti funkcij
ˆ ( )ϕ t =
1
20π
ϕ βπ
( ) cosv v vt d+
∞
∫ ,
ˆ ( )µ t =
1
20π
µ βπ
( ) cosv v vt d+
∞
∫ .
Krim toho, qk pokazano v [10] (dyv. spivvidnoßennq (12)), dlq funkci] τ ( v ) , za-
dano] spivvidnoßennqm (4), spravdΩu[t\sq rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1107
f x P f x( ) ( ; )− σ =
ψ σ
σ π
τ βπ
β
ψ( ) ( ) cos
−∞
+ ∞ ∞
∫ ∫+
+
f x
t
t d dt
1
20
v v v =
= : ψ σ
σ
τβ
ψ( ) ˆ( )
−∞
+ ∞
∫ +
f x
t
t dt .
Tomu
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ = sup ( ) ˆ( )
ˆ
,f C C
f x
t
t dt
∈ −∞
+ ∞
∞
∫ +
β
ψ
ψ σ
σ
τβ
ψ =
= sup ( ) ˆ ( ) ˆ ( )
ˆ
,f C C
f x
t
t t dt
∈ −∞
+ ∞
∞
∫ +
+( )
β
ψ
ψ σ
σ
ϕ µβ
ψ ≤
≤ sup ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )
ˆ
,f C C
f x
t
t dt t dt
∈ −∞
+ ∞
−∞
+ ∞
∞
∫ ∫+
+
β
ψ
ψ σ
σ
ϕ ψ σ µβ
ψ .
Zvidsy, vraxovugçy (5), ma[mo
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ = sup ( ) ˆ ( ) ( ) ( )
ˆ
,f C C
f x
t
t dt O A
∈ −∞
+ ∞
∞
∫ +
+ ( )
β
ψ
ψ σ
σ
ϕ ψ σ µβ
ψ . (52)
Zhidno z spivvidnoßennqm (3) roboty [15], funkciq, qku moΩna podaty u vy-
hlqdi zhortky
1
20π
ψ βπ
β
ψ
−∞
+ ∞ ∞
∫ ∫+ +
f x t t d dt( ) ( ) cosv v v v ,
bude ( , )ψ β -poxidnog funkci] f, de ψ ( v ) = 1 / v , β = 0. Todi
−∞
+ ∞
∫ +
f x
t
t dtβ
ψ
σ
ϕ̂( ) =
1
0
1
σψ σ( )
( )( )f x . (53)
Pidstavlqgçy (53) v (52), otrymu[mo
�( )ˆ ;,C P Cβ
ψ
σ∞ =
1
0
1
σ
ψ σ µ
β
ψ
sup ( ) ( ) ( )
ˆ
( )
,f C
C
f x O A
∈ ∞
+ ( ) (54)
pry σ → ∞ .
Dlq toho wob ocinyty velyçynu A ( µ ) , zhidno z sformul\ovanog vywe teo-
remogF1′, dosyt\ znajty ocinku intehraliv
0
1 2/
( )∫ ′v vdµ ,
1 2
1
/
( )
∞
∫ − ′v vdµ , (55)
sin
( )βπ µ
2 0
v
v
vd
∞
∫ ,
µ µ( ) ( )1 1
0
1 − − +∫ v v
v
vd . (56)
Dlq ocinky perßoho intehrala z (55) rozib’[mo promiΩok [ 0; 1 / 2 ] na dvi
çastyny: [ 0; 1 / σ ] ta [ 1 / σ; 1 / 2 ] . Oskil\ky, zhidno z (51), ′′µ ( )v = –
e−v ψ
ψ σ
( )
( )
1
pry v ∈ [ 0; 1 / σ ] , to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1108 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
0
1/
( )
σ
µ∫ ′v vd =
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
/
1
0
1
v vve d−∫ ≤
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
/
1
0
1
v vve d−∫ = O
1
2σ ψ σ( )
.
Vraxovugçy (24) i te, wo τ1 ( v ) ≡ µ ( v ) , oderΩu[mo
1
1 2
/
/
( )
σ
µ∫ ′v vd =
O d
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )∫
v v v .
OtΩe,
0
1 2/
( )∫ ′v vdµ = O d
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )∫
v v v . (57)
Oskil\ky dτ′ ( v ) ≡ dµ′ ( v ) , to, zhidno z (31), ma[mo
1 2
1
/
( )
∞
∫ − ′v vdµ = O ( 1 ) . (58)
Dlq toho wob ocinyty perßyj intehral z (56), rozib’[mo promiΩok [ 0, ∞ ) na
try çastyny: 0
1
;
σ
,
1
1
σ
;
ta [ 1, ∞ ) . Vraxovugçy rivnist\ (51) i perßu neriv-
nist\ z (20), oderΩu[mo
µσ
( )
/
v
v
vd
0
1
∫ =
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
/
( )1
1
0
1
∫ − + +−e
dv v
v
v
≤
ψ
ψ σ
σ
( )
( )
/
1
2 0
1
∫ v vd = O
1
2σ ψ σ( )
,
µ
σ
( )
/
v
v
vd
1
1
∫ ≤ v
v
v
ψ σ
ψ σσ
( )
( )/ 21
1
d∫ =
O d
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )v v v∫
,
µ( )v
v
vd
1
∞
∫ =
1 1
1
1ψ σ
ψ σ
( )
( )v
v
v
ve
d
−∞ − +
∫ ≤
1
1ψ σ
ψ σ
( )
( )v vd
∞
∫ .
Zvidsy
µ( )v
v
vd
0
∞
∫ = O d d
1 1
2
1σ ψ σ
ψ
σψ σ
ψ
σ
σ( )
( )
( )
( )v v v v v∫ ∫+
∞
. (59)
Dlq toho wob ocinyty druhyj intehral z (56), vidmitymo, wo pry λ( )v =
= e
− +v v ma[ misce rivnist\ (dyv. spivvidnoßennq (21) roboty [10])
µ µ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
= λ λ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
+
+
O d dµ µ µ µ( ) ( ) ( ) ( )
/
/
0 1 1
0
1 2
1 2
+ + ′ + − ′
∫ ∫
∞
v v v v .
Oskil\ky
λ λ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
= O ( 1 ) ,
to, vraxovugçy spivvidnoßennq (57) i (58), otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1109
µ µ( ) ( )1 1
0
1
− − +∫ v v
v
v
d
=
O d
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )v v v∫
. (60)
Pidstavlqgçy (59), (60) v (6), (8) z uraxuvannqm spivvidnoßen\ (7), (57), (58) i to-
ho, wo
1
2
1σ ψ σ
ψ
σ
( )
( )v v vd∫ ≥
1
2
1σ ψ σ
σψ σ
σ
( )
( ) dv∫ ≥ K,
v v vψ
σ
( )d
1
∫ ≥ K,
znaxodymo
A ( µ ) =
O d d1
1 1 1
2 2
1
+ + +
∫ ∫
∞
σ ψ σ σ ψ σ
ψ
σψ σ
ψ
σ
σ( ) ( )
( )
( )
( )v v v v v =
=
O d d
1 1
2
1σ ψ σ
ψ
σψ σ
ψ
σ
σ( )
( )
( )
( )v v v v v∫ ∫+
∞
.
Zvidsy, vraxovugçy (54), otrymu[mo (50).
TeoremuF2 dovedeno.
Prykladom funkcij, dlq qkyx ma[ misce teoremaF2, [:
ψ ( v ) =
1
v
vln ( )α + K , K > 1, α < – 1;
ψ ( v ) =
1
v
vr Kln ( )α + , de stali r > 1, K > 1 i α pidibrano tak, wo funkciq
v ψ ( v ) [ opuklog donyzu pry v ≥ 1;
ψ ( v ) =
1
v
vr arctg , ψ ( v ) =
1
v
v
r K e( )+ − , K > 0, r > 1, α — dovil\ne.
3. Ocinka verxnix meΩ nablyΩen\ funkcij na klasax L̂ββ
ψψ
,1 ]x operato-
ramy Abelq – Puassona v intehral\nij metryci. Nexaj f ∈ L̂β
ψ , funkciq
τσ( )v zadana spivvidnoßennqm (4), taka, wo ]] peretvorennq Fur’[ ˆ ( )τ t = ˆ ( )τσ t [
sumovnym na R. Todi majΩe v koΩnij toçci, zhidno z rivnistg (43) [10],
f x P f x( ) ( , )− σ = ψ σ
σ π
τ βπ
β
ψ
σ( ) ( ) cos
−∞
∞ ∞
∫ ∫+
+
f x
t
t d dt
1
20
v v v .
Oskil\ky funkciq τ ( v ) , zadana spivvidnoßennqm (4), [ neperervnog i ]] pe-
retvorennq Fur’[, qk pokazano pry dovedenni teoremyF1, sumovne, to, zhidno z
lemog roboty [10, c. 1278], pry σ → ∞ ma[ misce rivnist\
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
= ψ σ τ ψ σ τ
σπ
( ) ( ) ( ) ˆ ( )
/
A O t dt
t
+
≥
∫
2
.
Porivnggçy ce spivvidnoßennq z rivnistg (9), pryxodymo do vysnovku, wo ma[
misce taka teorema.
Teorema43. Nexaj ψ ∈ F ∩ � 0 , funkciq g ( v ) = v ψ ( v ) [ opuklog dohory
abo donyzu. Todi pry σ → ∞ ma[ misce rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
1110 G. I. XARKEVYÇ, T. V. ÛYHALLO
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
= ψ σ τ
σ
( ) ( )A O+
1
,
de A ( τ ) vyznaça[t\sq rivnistg (5) i dlq ci[] velyçyny spravedlyvog [ ocin-
kaF(10).
Iz teoremyF3 na pidstavi mirkuvan\, navedenyx pry dovedenni naslidkivF1 – 3,
vyplyvagt\ nastupni tverdΩennq.
Naslidok44. Qkwo funkciq ψ ∈ F C∩ � �0 \ i sin
βπ
2
≠ 0, to pry σ →
→ ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
=
2
2π
βπ ψ ψ σ
σ
sin
( )
( )( )v
v
vd O
∞
∫ + .
Naslidok45. Nexaj ψ ∈ � , sin
βπ
2
≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog dohory
abo donyzu,
lim ( )
v
v v
→∞
ψ = ∞ ,
lim
( )
( )
σ
σ
σψ σ
ψ
→∞ ∫1
1
v vd = ∞ .
Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
=
1
2
1
1π
βπ
σ
ψ ψ σ
σ
sin ( ) ( )( )v vd O∫ + .
Naslidok46. Nexaj sin
βπ
2
≠ 0, funkciq v ψ ( v ) [ opuklog donyzu,
lim ( )
v
v v
→∞
ψ = K < ∞ ,
lim ( )
σ
σ
ψ
→∞ ∫ v vd
1
= ∞ .
Todi pry σ → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�( )ˆ ;, ˆL Pβ
ψ
σ1 1
=
1
2
1 1
1π
βπ
σ
ψ
σ
σ
sin ( )v vd O∫ +
.
1. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye
cel¥my funkcyqmy. I // Ukr. mat. Ωurn. – 1990. – 42, # 1. – S. 102 – 112.
2. Stepanec A. Y. Klass¥ funkcyj, zadann¥x na dejstvytel\noj osy, y yx pryblyΩenye
cel¥my funkcyqmy. II // Tam Ωe. – # 2. – S. 210 – 222.
3. Dzymystaryßvyly M. H. PryblyΩenye klassov neprer¥vn¥x funkcyj operatoramy Zyh-
munda. – Kyev, 1989.F– S. 3 – 42. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 89.25).
4. Dzymystaryßvyly M. H. O povedenyy verxnyx hranej uklonenyj operatorov Steklova. –
Kyev, 1990.F– S. 3 – 29. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 90.25).
5. Rukasov V. Y. PryblyΩenye operatoramy Valle Pussena funkcyj, zadann¥x na dejstvy-
tel\noj osy // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 5. – S. 682 – 691.
6. Repeta L. A. PryblyΩenye funkcyj klassov
ˆ
,Cβ ψ
∞
operatoramy vyda U F
σ
ϕ,
// Rqd¥
Fur\e: teoryq y pryloΩenyq: Sb. nauç. tr. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1992. –
S.F147 – 154.
7. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. – Ç. 1. – 427 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
NABLYÛENNQ ( ψ, β )
-DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ, ZADANYX … 1111
8. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. – Ç.2. – 468 s.
9. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 268 s.
10. Xarkevyç G. I., Ûyhallo T. V. NablyΩennq funkcij, zadanyx na dijsnij osi, operatoramy,
wo porodΩugt\sq λ -metodamy pidsumovuvannq ]x intehraliv Fur’[ // Ukr. mat. Ωurn. –
2004. – 56, # 9. – S. 1267 – 1280.
11. Ûyhallo T. V., Xarkevyç G. I. NablyΩennq ( ψ, β )
-dyferencijovnyx funkcij intehralamy
Abelq – Puassona // Ekstremal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq. – Ky]v: In-t ma-
tematyky NAN Ukra]ny, 2003. – 314 s.
12. Bausov L. Y. Lynejn¥e metod¥ summyrovanyq rqdov Fur\e s zadann¥my prqmouhol\n¥my
matrycamy. I // Yzv. vuzov. – 1965. – 46, # 3. – S. 15 – 31.
13. Tyman A. F. Toçnaq ocenka ostatka pry pryblyΩenyy peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x
funkcyj yntehralamy Puassona // Dokl. AN SSSR. – 1950. – 74. – S. 17 – 20.
14. Ûyhallo K. M., Xarkevyç G. I. Povna asymptotyka vidxylennq vid klasu dyferencijovnyx
funkcij mnoΩyny ]x harmonijnyx intehraliv Puassona // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 1. –
S. 43 – 52.
15. Stepanec A. Y. PryblyΩenye cel¥my funkcyqmy v ravnomernoj metryke. – Kyev, 1988.F–
S. 3 – 41. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 88.27).
OderΩano 13.07.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3667 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:48Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/95/f136ff6e219311d2dfc4991aa09b9795.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36672020-03-18T20:01:36Z Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators Наближення $(\psi, \beta)$-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions on the classes \(\hat C_{\beta ,\infty }^\psi\) and \(\hat L_{\beta ,1}^\psi\) by Abel-Poisson operators. Отримано асимптотичні рівності для верхніх меж наближень функцій на класах $\widehat{C}^{\psi}_{\beta, \infty}$ та $\widehat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ операторами Абеля - Пуассона. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3667 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 8 (2005); 1097 – 1111 Український математичний журнал; Том 57 № 8 (2005); 1097 – 1111 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3667/4063 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3667/4064 Copyright (c) 2005 Zhyhallo T. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title | Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title_alt | Наближення $(\psi, \beta)$-диференційовних функцій, заданих на дійсній осі операторами Абеля - Пуассона |
| title_full | Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title_fullStr | Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title_full_unstemmed | Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title_short | Approximation of $(\psi, \beta)$-Differentiable Functions Defined on the Real Axis by Abel-Poisson Operators |
| title_sort | approximation of $(\psi, \beta)$-differentiable functions defined on the real axis by abel-poisson operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3667 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallotv approximationofpsibetadifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyabelpoissonoperators AT kharkevychyui approximationofpsibetadifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyabelpoissonoperators AT žigallotv approximationofpsibetadifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyabelpoissonoperators AT harkevičûí approximationofpsibetadifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyabelpoissonoperators AT zhyhallotv nabližennâpsibetadiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona AT kharkevychyui nabližennâpsibetadiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona AT žigallotv nabližennâpsibetadiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona AT harkevičûí nabližennâpsibetadiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramiabelâpuassona |