On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval
We consider the random walk $S_n = \sum_{k\leqn}\xi_k \quad (S_n = 0)$ whose characteristic function of jumps $\xi_k$ satisfies the condition of almost semicontinuity. We investigate the problem of the exit of such $S_n$ from a finite interval.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3679 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509807164784640 |
|---|---|
| author | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. |
| author_facet | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. |
| author_sort | Gusak, D. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:00Z |
| description | We consider the random walk $S_n = \sum_{k\leqn}\xi_k \quad (S_n = 0)$ whose characteristic function of jumps $\xi_k$
satisfies the condition of almost semicontinuity. We investigate the problem of the exit of such $S_n$ from a finite interval. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:46:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
D.�V.�Husak (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
PRO VYXID Z INTERVALU
ODNOHO KLASU VYPADKOVYX BLUKAN|
We consider the random walk Sn = ξkk n≤∑ ( S0 = 0 ) whose characteristic function of jumps ξk
satisfies the condition of almost semicontinuity. We investigate the problem of the exit of such Sn from
a finite interval.
Rozhlqda[t\sq vypadkove blukannq S n = ξkk n≤∑ ( S0 = 0 ) , dlq qkoho xarakterystyçna
funkciq (x.-f.) strybkiv ξk zadovol\nq[ umovu majΩe napivneperervnosti. DoslidΩu[t\sq
zadaça vyxodu takyx Sn iz obmeΩenoho intervalu.
Dlq odnoridnyx procesiv ξ ( t ) ( ξ ( 0 ) = 0, t ≥ 0 ) z nezaleΩnymy pryrostamy za-
daça vyxodu z intervalu [ a , b ] , a < 0 < b , rozhlqdalas\ v [1, s.-450 – 455], de
doslidΩuvavsq spil\nyj rozpodil ekstremumiv ta znaçen\ procesu do vyxodu z
intervalu. Dlq vinerovoho procesu podibnyj rozpodil vyznaça[t\sq v terminax
rqdiv eksponent (dyv. [1, s.-463] ta §-27 v [2]).
U monohrafiqx [3 – 5] bil\ß detal\no rozhlqdalys\ napivneperervni procesy
(procesy zi strybkamy odnoho znaku), pry c\omu vstanovleno spivvidnoßennq
dlq heneratrys momentiv perßoho vyxodu z intervalu v terminax rezol\vent.
U-robotax [6, 7] pry doslidΩenni napivneperervnyx procesiv iz dvostoronnim vid-
byttqm vstanovleno spivvidnoßennq dlq wil\nosti rozpodilu napivneperervno-
ho puassonivs\koho procesu do momentu vyxodu joho z intervalu.
V danij roboti rozhlqdagt\sq vypadkovi blukannq, wo magt\ vlastyvist\,
blyz\ku do napivneperervnosti puassonivs\kyx procesiv ξ ( t ) . Poznaçymo dlq
napivneperervnoho zverxu procesu z x.-f.
Eei tαξ( ) = etψ α( ), ξ
±
( t ) = sup (inf) ( )
0≤ ≤u t
uξ , θs : P{ θs > t } = e st− , s > 0.
Todi x.-f. ξ
+
( θ s ) vyznaça[t\sq drobovo-linijnog funkci[g (vidnosno i α )
Ee
s
s i
i sαξ θ ρ
ρ α
+
=
−
+
+
( ) ( )
( )
ψ ρ( ) ;− = >( )+i s s 0 . (1)
Dlq vypadkovyx blukan\ vlastyvist\, blyz\ku do napivneperervnosti, my na-
zyva[mo vlastyvistg majΩe napivneperervnosti.
Vypadkove blukannq nazyva[t\sq majΩe napivneperervnym zverxu abo znyzu,
qkwo vykonu[t\sq vidpovidno odna z umov
E e c
c i
iαξ ξ
α
1
1 0/ >[ ] =
−
, c > 0, (2)
E e b
b i
iαξ ξ
α
1
1 0/ <[ ] =
+
, b > 0. (3)
Qkwo dlq vypadkovoho blukannq Sn vvesty poznaçennq
S Sn k n k
±
≤ ≤
= max (inf)
0
, S S
k
k
±
≤ <∞
= sup (inf)
0
,
˜ ( ) : ˜ ( )ν νs s kP ={ } = ( 1 – s ) sk, k ≥ 0,
to x.-f. S s˜ ( )ν
+
dlq majΩe napivneperervnoho zverxu blukannq vyznaça[t\sq
podibnym do (1) spivvidnoßennqm (dyv. [8, s. 203], § 4.1, formula (1.32))
© D.-V.-HUSAK, 2005
1209 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
1210 D.-V.-HUSAK
Ee
p s c i
cp s i
i S sα ν α
α
˜ ( ) ( )( )
( )
+
= −
−
+
+
, p s S s+
+= ={ }( ) ˜ ( )P ν 0 . (4)
Lehko pokazaty, wo dlq dovil\noho vypadkovoho blukannq Sn
ϕ ( s , α ) : = Ee
s
s
i S sα ν
ϕ α
˜ ( )
( )
= −
−
1
1
, ϕ ( α ) = Eeiαξ1 ,
i pry s > 0 ma[ misce osnovna faktoryzacijna totoΩnist\ (o.-f.-t.)
ϕ ( s , α ) = ϕ+ ( s , α ) ϕ– ( s , α ) , Im α = 0, ϕ± ( s , α ) = Ee
i S sα ν̃( )
±
. (5)
Zavdqky vlastyvosti napivneperervnosti puassonivs\kyx procesiv u vkazanyx
robotax oderΩano spivvidnoßennq dlq rozpodilu funkcionaliv, pov’qzanyx z
vyxodom z intervalu, v terminax rezol\venty (ponqttq qko] vperße vvedeno v
[3]). Metog dano] roboty [ vstanovlennq podibnyx spivvidnoßen\ dlq majΩe
napivneperervnyx blukan\ i znaxodΩennq spivvidnoßennq dlq rozpodilu sum Sn
do momentu perßoho ]x vyxodu z intervalu [ x – T , x ] ( 0 < x < T ) .
Dlq funkcionaliv, pov’qzanyx iz vyxodom iz intervalu, vvedemo poznaçennq
τ ( x , T ) = inf { n > 0 : Sn ∉ [ x – T , x ] } ,
A+ ( x ) = { ω : S x Tτ( , ) > x }, A– ( x ) = { ω : S x Tτ( , ) < x – T },
τ ( x , T ) =
τ ω γ ξ τ
τ ω γ ξ τ
+
+
+ +
−
−
− −
∈ = −
∈ = −
( , ), ( ); ( ) ( , ) ,
( , ), ( ); ( ) ( , ) .
( )
( )
x T A x x x T x
x T A x x x x T
T
T
Vidpovidno poznaçymo heneratrysy cyx funkcionaliv:
QT
( s , x ) = E s A xx Tτ+
+[ ]( , ), ( ) , QT ( s , x ) = E s A xx Tτ−
−[ ]( , ), ( ) ,
Q ( T , s , x ) = Ee s x T− τ( , ) = QT
( s , x ) + QT ( s , x ) ,
V±
( s , α , x , T ) = E e A xs x T i xT− +
±
+ ±[ ]τ αγ( , ) ( ), ( ) ,
V± ( s , α , x , T ) = E e A xs x T i x T− +
±
+ ±[ ]τ αξ τ( , ) ( , )( ), ( ) .
Na osnovi stoxastyçnyx spivvidnoßen\ dlq τ+( , )x T , γ T x+ ( ) vyvodymo inteh-
ral\ni rivnqnnq na vidrizku dlq ]x heneratrys. Pry rozv’qzanni rivnqn\ budemo
korystuvatysq operaciqmy proektuvannq dlq funkcij g c e G x dxc
i x( ) ( )α α= +
−∞
∞
∫ ,
G ( x ) ∈ L1 :
g e G x dxc
i x( ) ( )α α[ ] =+
∞
∫
0
, g c e G x dxc
i x( ) ( )α α[ ] = ++
∞
∫0
0
,
g e G x dxc
i x( ) ( )α α[ ] =−
− ∞
∫
0
, g c e G x dxc
i x( ) ( )α α[ ] = +−
− ∞
∫0
0
,
R ( I ) : e G x dxi x
I
α ( )∫
, I ∈ ( – ∞ , ∞ ) ,
g c e G x dxc I
i x
I
( ) ( )α α[ ] = + ∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
PRO VYXID Z INTERVALU ODNOHO KLASU VYPADKOVYX BLUKAN| 1211
Dlq majΩe napivneperervnyx zverxu Sn magt\ misce stoxastyçni
spivvidnoßennq
τ
ξ
τ ξ ξ
+
+=⋅
>
+ − − < <
( , )
, ,
( , ), ,
x T
x
x T x T x
1
1
γ
ξ ξ
γ ξ
T
T
x
x x
x T x T x
+
+=⋅
− >
− − < <
( )
, ,
( ), ,
z qkyx vyplyvagt\ intehral\ni rivnqnnq dlq QT
( s , x ) ta V
+
( s , α , x , T ) . A same,
vraxovugçy, wo F x( ) = pe cx− , x > 0, p = F( )0 , oderΩu[mo rivnqnnq
QT
( s , x ) = s F x s Q s x z dF zT
x T
x
( ) ( , ) ( )+ −
−
∫ , 0 < x < T,
(6)
V+
( s , α , x , T ) = s c
c i
e s V s x z T dF xcx
x T
x
−
+ −− +
−
∫α
α( , , , ) ( ) , 0 < x < T.
Dlq zruçnosti rozv’qzannq perßoho rivnqnnq poznaçymo
Q s xT ( , ) = 1 – QT
( s , x ) =
1
0 0
, ,
, ,
x T
x
>
<
todi rivnqnnq dlq Q s xT ( , ) ( Q s xT ( , ) ≠ 0, x > 0 ) moΩna zapysaty u terminax
zhortky
Q s xT ( , ) = 1 – s + s Q s z F x z dzT ( , ) ( )′ −
− ∞
∞
∫ .
Ce rivnqnnq moΩna prodovΩyty na pivvis\ x > 0 z vidpovidnog kompensugçog
funkci[g C s xT
>( , ), x > T :
Q s xT ( , ) = ( 1 – s ) C ( x ) + s Q s z F x z dzT ( , ) ( )′ −
− ∞
∞
∫ + C s xT
>( , ), x > 0, (7)
C ( x ) = Ix >0 , C s xT
>( , ) = C s e IT
cx
x T( ) −
> ,
C sT ( ) = sp e cQ TcT
s−[ ]∗( ) , Q Ts
∗( ) = e Q s z dzcz T
T
( , )
0
∫ .
ProdovΩennq na pivvis\ rivnqnnq (7) zminymo za raxunok pidstanovky v n\oho
funkci] Cε ( x ) = e Ix
x
−
>
ε
0 zamist\ C ( x ) , de ε > 0 — qk zavhodno male. Todi
oderΩymo rivnqnnq, podibne do (7), dlq deqko] funkci] Yε ( s , x , T ) , x > 0:
Yε ( s , x , T ) = ( 1 – s ) Cε ( x ) + s Y s x T F x z dzε( , , ) ( )′ −
− ∞
∞
∫ + C s xT
>( , ), x > 0, (8)
Yε ( s , x , T ) = 0, x < 0.
Pislq odnostoronn\oho peretvorennq Fur’[ dlq
yε ( s , α , T ) = e Y s x T dxi xα
ε( , , )
0
∞
∫
budemo maty rivnqnnq
yε ( s , α , T ) – s yε ( s , α , T ) ϕ ( α ) = ( ) ˜ ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )1 − + − [ ]>
−s C C s yTε εα α ϕ α α
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
1212 D.-V.-HUSAK
abo
( 1 – s ) yε ( s , α , T ) ϕ ( s , α )–1 = ( ) ˜ ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )1 − + − [ ]>
−s C C s yTε εα α ϕ α α .
Z ostann\oho rivnqnnq pislq zastosuvannq o.-f.-t. ta operaci] [ ]+ znaxodymo
( 1 – s ) yε ( s , α , T ) = ϕ α ϕ α α αε+ −
>
+
− +( )[ ]( , ) ( , ) ˜ ( )( ) ˜ ( , )s s C s C sT1 . (9)
Todi z (9) pislq obernennq po α oderΩymo rozv’qzok rivnqnnq (8) pry x > 0:
( 1 – s ) Yε ( s , x , T ) = B s x y dP s y B s x y T dP s y
x x
ε( , ) ( , ) ( , , ) ( , )− + −+ +∫ ∫
0 0
, (10)
Bε ( s , x ) = ( ) ( , ) ( )( ) ( )1 1
0
− = −− −
−
−∫
−
s e dP s y s e ex y
x
x sε ε εξ θE ,
B ( s , x , T ) = C s e dP s yT
c x y
x T
( ) ( , )( )− −
−
− ∞
−
∫ , x > 0,
P± ( s , y ) = P S ys˜ ( )ν
± <{ } , ± y > 0.
Pry ε → 0 Bε ( s , x ) → 1 – s , tomu
lim ( , , )
ε ε→0
Y s x T = Y0 ( s , x , T ) = Q s xT ( , ), 0 < x < T. (11)
Takym çynom, spravedlyvog [ taka teorema.
Teorema 1. Dlq majΩe napivneperervnyx zverxu vypadkovyx blukan\ henera-
trysa QT
( s , x ) pry 0 < x < T vyznaça[t\sq spivvidnoßennqm
QT
( s , x ) = q s e e dP s ys x s y
x T
+
− −
−
−
+ +∫( ) ( , )( ) ( )ρ ρ
0
×
× e e dP s y e dP s ys T c T y
T
s y
T
− +
−
− ∞
−
−
−
−
−
+ +∫ ∫+
ρ ρ( ) ( ) ( )( , ) ( , )
0 1
. (12)
Dlq V+
( s , α , x , T ) ma[ misce spivvidnoßennq
V+
( s , α , x , T ) = c
c i
Q s xT
− α
( , ), 0 < x < T. (13)
Dovedennq. Vnaslidok pokaznykovo] vlastyvosti ′+P s y( , ) , y > 0, iz (10) pry
ε → 0 vyplyva[
( 1 – s ) Y0 ( s , x , T ) =
= ( 1 – s ) P+ ( s , x ) + p+ ( s ) B ( s , x , T ) + B s x y T P s y dy
x
( , , ) ( , )− ′+
+
∫
0
, x > 0.
Ostannq zhortka zvodyt\sq do podvijnoho intehrala, pislq obçyslennq qkoho
vyvodyt\sq spivvidnoßennq dlq Y0 ( s , x , T )
Q s xT ( , ) = Y0 ( s , x , T ) = P S x
p s
s
C s es T
s x
˜ ( )
( )( )
( )ν
ρ+ + −<{ } +
−
+
1
×
× e dP s y e dP s ycy
T
cq s T s y
T
x T
−
− ∞
−
− +
−
−
−
∫ ∫+
+ +( , ) ( , )( ) ( )ρ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
PRO VYXID Z INTERVALU ODNOHO KLASU VYPADKOVYX BLUKAN| 1213
z qkoho vyplyva[
Q s xT ( , ) = P S x
p s
s
C s es T
s x
˜ ( )
( )( )
( )ν
ρ+ + −>{ } −
−
+
1
×
× e dP s y e dP s ycy
T
cq s T s y
T
x T
−
− ∞
−
− +
−
−
−
∫ ∫+
+ +( , ) ( , )( ) ( )ρ .
Pry intehruvanni ostann\oho spivvidnoßennq po ecx , 0 < x < T, oderΩu[mo
rivnqnnq dlq vyznaçennq koefici[ntiv CT ta Q Ts
∗( ), pislq pidstanovky qkyx u
zhadane spivvidnoßennq vstanovlg[mo spravedlyvist\ (12). Bezposeredn\og
perevirkog pislq pidstanovky (13) u rivnqnnq (6) dlq V +
( s , α , x , T ) vstanov-
lg[t\sq joho spravedlyvist\. ZauvaΩymo, wo pry T → ∞ Q s xT ( , ) → P s x+( , ),
QT
( s , x ) → P+ ( s , x ) , a pry c → ∞ QT
( s , x ) → 0, oskil\ky q+ ( s ) → 0.
Qk dlq puassonivs\kyx procesiv, tak i dlq vypadkovyx blukan\, vstanovlg-
gt\sq faktoryzacijni totoΩnosti dlq x.-f. :
V ( s , α , x ) = E e x T s
i S sα ν τ ν˜ ( ) , ( , ) ˜ ( )>[ ],
V± ( s , α , x ) = E e A x
i S s x Tsα τν̃( ) ( , )
, ( )
−
±
±
.
Teorema 2. Dlq vypadkovoho blukannq Sn = ξkk n≤∑ ( S0 = ξ0 = 0 ) joho
x.)f. V ( s , α , x ) do vyxodu z intervalu vyraΩa[t\sq çerez V± ( s , α , x ) :
V ( s , α , x ) = ϕ ( s , α ) [ 1 – V+ ( s , α , x ) – V– ( s , α , x ) ] . (14)
Krim toho, spravdΩugt\sq proekcijni totoΩnosti
V+ ( s , α , x ) = ϕ α ϕ α α+
−
+ − ∞−( )[ ]1 1( , ) ( , ) ( , , ) [ , )s s V s x x , Im α ≥ 0, (15)
V ( s , α , x ) = ϕ α ϕ α α− + − − ∞−( )[ ]( , ) ( , ) ( , , ) ( , ]s s V s x x1 , Im α = 0, (16)
a takoΩ analohiçni totoΩnosti
V– ( s , α , x ) = ϕ α ϕ α α−
−
− + − ∞ −−( )[ ]1 1( , ) ( , ) ( , , ) ( , ]s s V s x x T , Im α ≤ 0,
(17)
V ( s , α , x ) = ϕ α ϕ α α+ − + − ∞−( )[ ]( , ) ( , ) ( , , ) [ , )s s V s x x T1 , Im α = 0.
Dovedennq. U spivvidnoßenni, wo zapysu[t\sq qk riznycq
E e x T ni Snα τ, ( , ) >[ ] = E Ee e x T ni S i Sn nα α τ− ≤[ ], ( , ) , (18)
ostannij dodanok moΩna zapysaty u vyhlqdi sumy
E e x T ni Snα τ, ( , ) ≤[ ] = E Ee x T n e x T ni S i Sn nα ατ τ, ( , ) , ( , )+ −≤[ ] + ≤[ ],
skladovi qko] zvodqt\sq do vyhlqdu
E e x T ni Snα τ, ( , )± ≤[ ] = E e x T ki S S i S
k n
n k kα α τ( ) , ( , )− +
±
≤
=[ ]∑ =
= ϕ α ταn k i S
k n
e x T kk−
±
≤
=[ ]∑ ( ) , ( , )E = In
± .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
1214 D.-V.-HUSAK
Pislq tvirnoho peretvorennq, porodΩenoho heometryçnym rozpodilom iz para-
metrom 0 < s < 1, z ostann\oho spivvidnoßennq vyplyva[
( )1 − ±∑s s In
n = ϕ ( x , α ) V± ( s , α , x ) .
Takym çynom, iz (18) ßlqxom tvirnoho peretvorennq vstanovlg[mo (14). Iz (14)
znaxodymo spivvidnoßennq dlq V± = V± ( s , α , x , T ) , V ( s , α , x ) = V ( s , α , x , T ) :
V ( s , α , x ) = ϕ ( s , α ) ( 1 – V– ) – ϕ ( s , α ) V+ ,
z qkoho pislq pidstanovky o.-t.-f. oderΩu[mo
ϕ+ ( s , α ) V+ ( s , α , x ) = ϕ+ ( s , α ) ( 1 – V– ( s , α , x ) ) – ϕ α+
−1( , )s V .
Z umovy ϕ α−
−1( , )s V ∈ R (( – ∞ , x ] ) pislq proektuvannq [ ] +∞[ , )x -z ostann\oho spiv-
vidnoßennq vyplyva[ formula, analohiçna (15). Analohiçno iz spivvidnoßennq
V s x s( , , ) ( , )α ϕ α−
−1 = ϕ+ ( s , α ) ( 1 – V– ) – ϕ+ ( s , α ) V+
pislq operaci] proektuvannq [ ] − ∞( , ]x vstanovlg[mo (16), oskil\ky
ϕ α+ + −∞[ ]( , ) ( , ]s V x = 0. Analohiçno vstanovlg[t\sq spivvidnoßennq (17). Ma[
misce tverdΩennq dlq x.-f. rozpodilu vypadkovoho blukannq do momentu vyxodu
z intervalu [ x – T , x ] ta dlq wil\nosti c\oho rozpodilu.
Naslidok 1. Dlq majΩe napivneperervnyx zverxu vypadkovyx blukan\ Sn z
x.)f. kroku
ϕ ( α ) = q ϕ1 ( α ) +
pc
c i− α
, p + q = 1, ϕ1 ( α ) = e dF xi xα
1
0
( )
− ∞
∫ , (19)
x.)f. V ( s , α , x , T ) vyznaça[t\sq proekcijnym spivvidnoßennqm pry
V ( s , α , x , T ) =
p s c i
s i
s
ce
c i
Q s x
i x
T
x T
+
+
−
− ∞
−
−
−
−
( )( )
( )
( , ) ( , )
[ , )
α
ρ α
ϕ α
α
α
1 . (20)
Vidpovidno wil\nist\ rozpodilu blukannq do vyxodu z intervalu vyznaça[t\sq
spivvidnoßennqm
hs ( T , x , z ) : =
∂
∂
τ ννz
S z x T ssP ˜ ( ) , ( , ) ˜( )< >{ } =
∂
∂z
H T x zs( , , ) =
= p s P s z I p s s e dP s y s Q s x ez
s y z
x T
z
T s x z
+ − < + +
−
−
−
∧
+
− −′ + −+ +∫( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( )( ) ( )( )
0
0
ρ ρρ ρ
×
× e e dP s y e dP s ys T c y T
T
s y
T
z T
− +
−
−∞
−
−
−
−
+ +∫ ∫+
ρ ρ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) pry z ∈ ( x – T, x ) , z ≠ 0. (21)
Imovirnist\ „nevyxodu” z intervalu
P ( T , s , x ) = P τ ν( , ) ˜ ( )x T s>{ } = dH T x z dzs
x T
x
( , , )
−
∫
vyznaça[t\sq spivvidnoßennqm
P ( T , s , x ) = P x T S q s e dP s zs
s x z
x T
− <{ } −−
+
− −
−
−
+∫˜ ( )
( )( )( ) ( , )ν
ρ
0
–
– Q s x e e dP s z e dP s zT s T c z T
T
s z
T
( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( )1 1
0
−( ) + −( )
− +
−
−∞
−
−
−
−
+ +∫ ∫ρ ρ . (22)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
PRO VYXID Z INTERVALU ODNOHO KLASU VYPADKOVYX BLUKAN| 1215
Heneratrysy τ ( x , T ) ta τ
–
( x , T ) vyznaçagt\sq spivvidnoßennqmy
Q ( T , s , x ) : = Ee s x T− τ( , ) = 1 – P ( T , s , x ) ,
(23)
QT ( s , x ) = Q ( T , s , x ) – QT
( s , x ) , 0 < x < T .
Dovedennq. Pislq pidstanovky (4) v (15) vstanovlg[t\sq (20). Obernuvßy
(20) po α , oderΩymo spivvidnoßennq (21). Wob dovesty (22), slid prointeh-
ruvaty (21) po intervalu [ x – T , x ] . Pislq dovedennq (22) lehko oderΩaty (23),
oskil\ky P S x T ss˜ ( ) , ( , ) ˜ ( )ν τ ν= >{ }0 = 1 – s .
Dlq vyznaçennq jmovirnostej bankrutstva QT ( s , x ) , QT
( s , x ) ta hranyçnoho
znaçennq lims → 1 ( 1 – s )–1
hs ( T , s , x , z ) = ′h T x z1( , , ) nam znadobyt\sq nastupne
tverdΩennq.
Lema. Dlq majΩe napivneperervnyx zverxu blukan\ dodatna komponenta
o.)f.)t. ϕ+ ( s , α ) =
p s c i
s i
+
+
−
−
( )( )
( )
α
ρ α
[ drobovo-linijnog funkci[g, wo vyznaça[t\-
sq dodatnym korenem ρ+ ( s ) = c p+ ( s ) rivnqnnq Lundberha 1 – s ϕ ( – i r ) = 0.
Pry m > 0
lim ( )( )
s
s s
m→ +
−− =
1
11
1ρ , P– ( s , x ) → P{ S
– < x } , s → 1, x < 0. (24)
Pry m < 0
lim ( )
s
s
→ +1
ρ = ρ+ > 0, lim ( ) ( ){ }
s s x s
→
− −> −
1
11P ξ θ = E τ–
( x ) , x < 0. (25)
Pry m = 0 m pc q F x dx= −
−
−∞∫1
1
0
( ) , σ1
2 = D ξ1 < ∞
lim
( , )
˜ ( )s
s
s
c
→
−
−
=
−1
1
01 2
1
1
ϕ α σ
ϕ α
, lim
( )
s
s
s→
+
−
=
1 11
2ρ
σ
, (26)
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )ϕ α α0 1
1
10= −p F F + q ϕ1 ( α ) .
Pislq obernennq z (26) vyplyva[
lim ( ) ( , ) ˜ ( )/
s
s P s x
c
H x
→
−
− ∗− =
1
1 2 11
2
σ
, x < 0, (27)
de ˜ ( )H x∗ — funkciq vidnovlennq dlq poslidovnosti ξ̃k k
0
1
{ } ≥
nezaleΩnyx
odnakovo rozpodilenyx vypadkovyx velyçyn zi wil\nistg
∂
∂
ξ
x
x p F F x q F xP ˜ ˜ ( ) ( ) ( )1
0
1
1
1 10<{ } = + ′− , x < 0,
tobto ˜ ( )H x∗ vyraΩa[t\sq çerez zhortky rozpodiliv
F∗ ( x ) = p F F y dy q F x
x
˜ ( ) ( ) ( )1
1
1 10−
−∞
∫ + , x < 0, (28)
˜ ( )H x∗ = F x n
n
∗
∗
=
∞
∑ ( )
1
, x > 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
1216 D.-V.-HUSAK
Dovedennq. Zupynymos\ lyße na dovedenni (26), (27). Z umovy m = p c–1 +
+ q F x dx1
0
( )
−∞∫ = 0 vyplyva[ p = cq F̃ ( )1 0 . Tomu moΩna utoçnyty zapys x.-f.
ϕ ( α ) ta ϕ ( s , α ) . Spravdi,
ϕ ( α ) = q i F p i
c i
i qF
p
c i
1 1 11 1−( ) + +
−
= − −
−
α α α
α
α α
α
˜ ( ) ˜ ( ) ,
otΩe, ϕ ( s , α ) =
1
1
−
−
s
sϕ α( )
moΩna zapysaty tak:
ϕ ( s , α ) =
( )( )
( )( ) ˜ ( )( )
1
1 1
− −
− − + −
s c i
s c i si qF p
α
α α α
. (29)
Vraxovugçy o.-f.-t. ta drobovo-linijnyj vyhlqd ϕ+ ( s , α ) , z (29) oderΩu[mo
spivvidnoßennq
ϕ α ρ α
α
α
α α α α
−
+
+
−
= − −
−
−
− − + − −
( , )
( )
( )
( )( ) ˜ ( )( )( )
s
s
s
p s
s i
c i
c i
s c i si qF c i p1
1
1 1
,
z qkoho pry m = 0 vyplyva[ hranyçne spivvidnoßennq
lim
( , )
˜ ( ) ( )s
s
s
c
q cF→
−
−
=
− +( )1
1
1 11 2
1
1
ϕ α σ
α ϕ α
,
wo pislq deqkyx peretvoren\ zvodyt\sq do (26). Dlq c\oho slid vykorystaty
x.-f. ˜ ( )ϕ α1 = ˜ ( ) ˜ ( )F F1 1
1 0α −
i umovu p = cqF̃ ( )1 0 . Pislq obernennq (26) po α
vstanovlg[t\sq (27).
Na osnovi lemy dovodymo takyj naslidok.
Naslidok 2. V umovax lemy jmovirnosti bankrutstva Q T
( x ) : =
: = lims → 1 QT
( s , x ) , QT ( x ) : = lims → 1 QT ( s , x ) = 1 – QT
( x ) ta ′h T x z1( , , ) vyzna-
çagt\sq spivvidnoßennqmy
QT
( x ) =
d S y e d S y S T m
q e e d y
e d y e d
c T y
T
x T
x y
x T
c T y T
T
y
P P P
E
E E
{ } { } { } , ,
( )
( ) (
( )
( )
− + −
−∞
−
−
−
−
+
− − −
−
+ − −
−∞
−
−
< < + ≥ −
>
− ×
× +
∫∫
∫
∫
+ +
+ +
1
0
0
0
ρ ρ
ρ ρ
τ
τ τ yy m
dH y e dH y dH y m
T
x T
c T y
T
T
) , ,
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( ) , .( )
−
−
∗
−
+
∗
−∞
−
∗
−
−
∫
∫ ∫ ∫
<
+
=
0
1
0 0
1
0
0
(30)
ZaleΩno vid znaku m vyznaçagt\sq znaçennq ′h T x z1( , , ) ( z ∈ ( x – T , x ) , z ≠ 0 ) :
pry m > 0
′h T x z1( , , ) = 1 1
0
cm z
S z
m
d S y
x T
z
∂
∂
P P{ } { }− −
−
∧
< + <∫ –
– 1
m
Q x e d S y d S yT c y T
T
T
z x
( ) ( ) { } { }+ −
−∞
−
−
−
−
< + <
∫ ∫P P ; (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
PRO VYXID Z INTERVALU ODNOHO KLASU VYPADKOVYX BLUKAN| 1217
pry m < 0
′h T x z1( , , ) = − −+
−
< + +
− −
−
∧
+∫p
z
z I q e d yz
y z
x T
z
∂
∂
τ ρ τρE E( ) ( )( )
0
0
+
+ ρ τ τρ ρ ρ
+
− − − + −
−∞
−
−
−
−
+ + +∫ ∫+
Q x e e e d y e d yT x z T c y T
T
y
T
z x
( ) ( ) ( )( ) ( ) E E ; (32)
pry m = 0
′h T x z1( , , ) = 2 2
1
0
1
0
c
H I dH zz
x T
z
σ σ
˜ ˜ ( )′ +∗ < ∗
−
∧
∫ –
– 2
1σ
Q x e dH z dH zT c y T
T
T
z x
( ) ˜ ( ) ˜ ( )( )+
∗
−∞
−
∗
−
−
∫ ∫+
. (33)
Dovedennq. Spivvidnoßennq (30) vyplyvagt\ iz (12) pislq hranyçnoho
perexodu s → 1 z uraxuvannqm spivvidnoßen\ (24) – (27) zaleΩno vid znaku m .
Tak samo spivvidnoßennq (31) – (33) vyplyvagt\ iz (21).
1. Hyxman)Y.)Y., Skoroxod)A.)V. Vvedenye v teoryg sluçajn¥x processov: V-3-t. – M.: Nauka,
1973. – T.-2. – 635-s.
2. Skoroxod)A.)V. Sluçajn¥e process¥ s nezavysym¥my pryrawenyqmy. – M.: Nauka, 1964. –
278-s.
3. Korolgk)V.S. Hranyçn¥e zadaçy dlq sloΩn¥x puassonovskyx processov. – Kyev: Nauk.
dumka, 1975. – 138-s.
4. Korolgk)V.)S., Bratyjçuk)N.)S., PyrdΩanov)B. Hranyçn¥e zadaçy dlq sluçajn¥x bluΩda-
nyj. – Aßxabad: Ál¥m, 1987. – 250-s.
5. Bratyjçuk)N.)S., Husak)D.)V. Hranyçn¥e zadaçy dlq processov s nezavysym¥my pryrawe-
nyqmy. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. – 246-s.
6. Husak)D.)V. Skladni puassonivs\ki procesy z dvostoronnim vidbyttqm // Ukr. mat. Ωurn. –
2002. – 54, #-12. – S.-1616 – 1625.
7. Husak)D.)V. Rozpodil perestrybkovyx funkcionaliv napivneperervnoho odnoridnoho procesu
z nezaleΩnymy pryrostamy // Tam Ωe. – #-3. – S.-303 – 322.
8. Husak)D.)V. Hranyçni zadaçi dlq procesiv z nezaleΩnymy pryrostamy na skinçennyx lancg-
hax Markova ta dlq napivmarkovs\kyx procesiv // Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. –
1998. – 18. – 320-s.
OderΩano 17.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3679 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:46:58Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3f/408114ddc6fb12d82bee95b11e2d493f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36792020-03-18T20:02:00Z On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval Про вихід з інтервалу одного класу випадкових блукань Gusak, D. V. Гусак, Д. В. We consider the random walk $S_n = \sum_{k\leqn}\xi_k \quad (S_n = 0)$ whose characteristic function of jumps $\xi_k$ satisfies the condition of almost semicontinuity. We investigate the problem of the exit of such $S_n$ from a finite interval. Розглядається випадкове блукання $S_n = \sum_{k\leqn}\xi_k \quad (S_n = 0)$, Для якого характеристична функція стрибків $\xi_k$ задовольняє умову майже напівнеперервності. Досліджується задача виходу таких $S_n$ із обмеженого інтервалу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3679 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 9 (2005); 1209–1217 Український математичний журнал; Том 57 № 9 (2005); 1209–1217 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3679/4084 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3679/4085 Copyright (c) 2005 Gusak D. V. |
| spellingShingle | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title | On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title_alt | Про вихід з інтервалу одного класу випадкових блукань |
| title_full | On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title_fullStr | On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title_full_unstemmed | On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title_short | On the Exit of One Class of Random Walks from an Interval |
| title_sort | on the exit of one class of random walks from an interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3679 |
| work_keys_str_mv | AT gusakdv ontheexitofoneclassofrandomwalksfromaninterval AT gusakdv ontheexitofoneclassofrandomwalksfromaninterval AT gusakdv provihídzíntervaluodnogoklasuvipadkovihblukanʹ AT gusakdv provihídzíntervaluodnogoklasuvipadkovihblukanʹ |