Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice
We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on $Z^2$. On the basis of this sequence, we obtain a method of constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3687 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509818536591360 |
|---|---|
| author | Virchenko, Yu. P. Tolmacheva, Yu. A. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. |
| author_facet | Virchenko, Yu. P. Tolmacheva, Yu. A. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. |
| author_sort | Virchenko, Yu. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on $Z^2$. On the basis of this sequence, we obtain a method of
constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We compute the first term $c_2 = 0,74683$ of the considered sequence.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.2
G.�P.�Vyrçenko, G.�A.�Tolmaçeva (Yn-t monokrystallov NAN Ukrayn¥, Xar\kov)
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY
BERNULLYEVSKOHO POLQ NA KVADRATNOJ REÍETKE
We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation
threshold of the Bernoulli random field on Z
2. On the basis of this sequence, we obtain a method of
constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We
compute the first term c2 = 0,74683 of the considered sequence.
Zaproponovano metod oderΩannq monotonno spadno] poslidovnosti verxnix ocinok porohu per-
kolqci] bernulli[vs\koho vypadkovoho polq na Z
2 ta na ]] osnovi — metod pobudovy aproksy-
macij iz harantovanog ocinkog toçnosti dlq jmovirnosti perkolqci]. Obçysleno perßyj çlen
c2 = 0,74683 ci[] poslidovnosti.
1. Vvedenye. V dyskretnoj teoryy perkolqcyy yzuçagtsq sluçajn¥e podmno-
Ωestva v hruppax Zd, d = 1, 2, 3, … , stoxastyçesky translqcyonno ynvary-
antn¥e po mod Λ ( Λ = { 〈 ni ; i = 1, … , d 〉 ; nj = 0, 1, … , Lj , Lj ∈ N , j = 1, … , d } )
[1]. Pry πtom kaΩdoe sçetnoe mnoΩestvo Zd predpolahaetsq osnawenn¥m by-
narn¥m otnoßenyem smeΩnosty, translqcyonno ynvaryantn¥m po mod Λ y ta-
kym, çto kaΩd¥j πlement x yz Zd ymeet tol\ko lyß\ koneçn¥j nabor smeΩ-
n¥x s nym πlementov y . Takye topolohyçeskye struktur¥ naz¥vagtsq peryo-
dyçeskymy hrafamy. Ony qvlqgtsq topolohyçeskymy modelqmy krystally-
çeskyx reßetok, pry yzuçenyy sluçajn¥x fyzyçeskyx narußenyj kotor¥x voz-
nykly, v svoe vremq [2], osnovn¥e ponqtyq teoryy perkolqcyy.
Na osnove otnoßenyq smeΩnosty estestvenn¥m obrazom vvodytsq ponqtye
svqznosty na peryodyçeskyx hrafax. Odnoj yz central\n¥x zadaç teoryy per-
kolqcyy, voobwe, y dyskretnoj teoryy perkolqcyy, v çastnosty, qvlqetsq
opredelenye uslovyj suwestvovanyq s nenulevoj veroqtnost\g beskoneçnoj
svqznoj komponent¥ sluçajnoho mnoΩestva, nalyçye kotoroj, sobstvenno, y
naz¥vaetsq qvlenyem perkolqcyy [1, 2]. Ymenno πta zadaça okaz¥vaetsq naybo-
lee vostrebovannoj v fyzyçeskyx pryloΩenyqx. Nesmotrq na matematyçeskug
razrabotannost\ osnov dyskretnoj teoryy perkolqcyy, prosummyrovannug v
monohrafyy [3], y ohromnoe kolyçestvo publykacyj, posvqwenn¥x razlyçnoho
roda nestrohym πvrystyçeskym podxodam k reßenyg ukazannoj zadaçy, a takΩe
svqzann¥m s neg komp\gtern¥m πksperymentam, k nastoqwemu vremeny ne:pro-
yzoßlo ser\eznoho, matematyçesky posledovatel\noho prodvyΩenyq v ee yssle-
dovanyy daΩe v tom prostejßem netryvyal\nom çastnom sluçae, kotor¥j
rassmatryvaetsq v nastoqwej rabote, kohda sluçajn¥e mnoΩestva poroΩdagtsq
bernullyevskym sluçajn¥m polem na Z2. Pry πtom pod reßenyem zadaçy m¥
ponymaem opredelenye tak naz¥vaemoho poroha perkolqcyy — krytyçeskoho
znaçenyq parametra bernullyevskoho polq — veroqtnosty „uspexa”, kotor¥j,
sleduq fyzyçeskoj termynolohyy, budem naz¥vat\ koncentracyej. Poroh
qvlqetsq hranyçnoj toçkoj oblasty suwestvovanyq perkolqcyy. S:opredele-
nyem poroha tesno svqzana zadaça v¥çyslenyq veroqtnosty perkolqcyy.
© G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1315
1316 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
Poskol\ku dlq peryodyçeskyx hrafov skol\-nybud\ obweho typa malovero-
qtno, çtob¥ poroh perkolqcyy moh b¥t\ opredelen toçno v termynax kakyx-
lybo yzvestn¥x transcendentn¥x funkcyj, zadaça eho v¥çyslenyq dolΩna po-
nymat\sq kak naxoΩdenye procedur¥ posledovatel\n¥x pryblyΩenyj, utoçnq-
gwyx eho çyslennoe znaçenye. Takym obrazom, reßenye osnovnoj zadaçy dys-
kretnoj teoryy perkolqcyy m¥ ponymaem kak razrabotku metoda posledova-
tel\n¥x pryblyΩenyj dlq opredelenyq veroqtnosty perkolqcyy y, v:çastnos-
ty, poroha perkolqcyy.
V nastoqwej rabote m¥ predlahaem, v sluçae peryodyçeskoho hrafa na Z2,
naz¥vaemoho kvadratnoj reßetkoj, sxemu postroenyq ub¥vagwej posledova-
tel\nosty verxnyx ocenok poroha perkolqcyy y v¥çyslenyq na yx osnove ap-
proksymacyj s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolq-
cyy. Sxema osnov¥vaetsq na klasternom razloΩenyy veroqtnosty perkolqcyy
y verxnyx ocenkax çysla koneçn¥x klasterov, soderΩawyx fyksyrovannug
toçku. ∏ty ocenky poluçagtsq na osnove pereçyslenyq putej proyzvol\noj
napered zadannoj dlyn¥ na tak naz¥vaemoj soprqΩennoj reßetke [3]. Lgboj
otrezok fyksyrovannoj dlyn¥ m putej moΩet sluΩyt\ otrezkom tak na-
z¥vaemoj vneßnej hranyc¥ koneçnoho klastera na kvadratnoj reßetke. Natu-
ral\noe çyslo m opredelqet porqdok approksymacyy. V rabote dana qvnaq
realyzacyq πtoj sxem¥ dlq m = 2.
2. Zadaça teoryy perkolqcyy na Z 2. Rassmotrym beskoneçn¥j peryody-
çeskyj hraf s mnoΩestvom verßyn Z 2, kotor¥j, dlq prostot¥ dal\nejßyx
formulyrovok, budem sçytat\ pohruΩenn¥m v R2. Otnoßenye smeΩnosty ϕ
na hrafe opredelqetsq mnoΩestvom par { 〈 x , y 〉 ∈ Z
2 : x ϕ y }, hde x ϕ y v tex y
tol\ko tex sluçaqx, kohda y = x ± e1 , lybo y = x ± e2 , e1 = 〈 1 , 0 〉, e2 = 〈 0 , 1 〉.
Takoj hraf budem naz¥vat\ kvadratnoj reßetkoj y oboznaçat\ tem Ωe sym-
volom Z2.
Pust\ { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} — bernullyevskoe sluçajnoe pole s koncentracyej
c = Pr { ˜( )c x = 1 }.
Znak:„tyl\da”:zdes\ y dalee ukaz¥vaet na sluçajnost\ obæektov. Pole { ˜( )c x ;
x ∈ Z
2
} ynducyruet sluçajnoe mnoΩestvo s realyzacyqmy ˜ ; ˜M M ⊂{ }Z
2 , hde
M̃ = {x : ˜( )c x = 1 }. Qsno, çto raspredelenye veroqtnostej dlq vozmoΩn¥x rea-
lyzacyj M̃ polnost\g opredelqetsq naborom veroqtnostej
Pr ˜ : ˜M A M⊂{ } = c A| | , A ⊂ Z2.
Zdes\ y dalee | ⋅ | = Card { ⋅ } .
Otnoßenye smeΩnosty ϕ ynducyruet estestvennoe otnoßenye svqznosty
dlq verßyn, vxodqwyx v realyzacyg M̃ . Dve verßyn¥ x y y yz M̃ budem na-
z¥vat\ svqzann¥my, esly suwestvuet put\ 〈 xi ; i = 0, 1, 2, … , n 〉 , xi ∈ M̃ , x0 = x ,
xn = y y xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, 2, … , n – 1. Svqznost\ qvlqetsq otnoßenyem πkvyva-
lentnosty na mnoΩestve M̃ . Poπtomu kaΩdaq realyzacyq M̃ odnoznaçno raz-
lahaetsq M̃ =
∪
j
jW
∈N
˜ na semejstvo
W M̃( ) = ˜ ;W jj ∈{ }N neperesekagwyxsq
klassov πkvyvalentnosty, poroΩdaem¥x πtym otnoßenyem. ∏ty klass¥ budem
naz¥vat\ klasteramy. Esly x ∈ W̃j s nekotor¥m j ∈ N v realyzacyy M̃ , to
πtot klaster W̃j budem oboznaçat\ ˜ ( )W x [3].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1317
Vvedem veroqtnost\
Q ( c ) =
Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W x M W x∈ ( ) = ∞{ }W . (1)
Esly Q ( c ) > 0, to hovorqt, çto takoe pole { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} ymeet perkolqcyg.
Dlq funkcyy Q ( c ) opredelena xarakterystyka
c∗ = sup { c : Q ( c ) = 0 },
kotoraq naz¥vaetsq porohom perkolqcyy. Vvydu odnorodnosty bernullyevsko-
ho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2
} — ynvaryantnosty veroqtnostnoj mer¥ otnosytel\no
translqcyj na vektor¥ ( n1 e1 + n2 e2 ) , n1 , n2 ∈ Z , veroqtnost\ Q ( c ) ne:zavy-
syt ot x ∈ Z2.
3. Klasternoe razloΩenye na Z 2. Oçevydno, çto veroqtnost\ 1 – Q ( c )
moΩno v¥razyt\ v vyde rqda po veroqtnostqm poparno nesovmestym¥x sob¥tyj
— popadanyj v¥delennoj verßyn¥ 0 :v tot yly ynoj koneçn¥j klaster. ∏tot
rqd naz¥vaetsq klastern¥m razloΩenyem [4].
Vvedem ponqtye vneßnej hranyc¥ klastera. Sleduq [3], opredelym novoe
ponqtye smeΩnosty ϕ , t.:e. narqdu s hrafom Z2 budem rassmatryvat\ hraf
Z
2 s tem Ωe mnoΩestvom verßyn Z 2, no s otnoßenyem smeΩnosty ϕ . Ver-
ßyn¥ x y y nazovem ϕ -smeΩn¥my, esly x ϕ y , lybo y = x + e1 ± e2 , yly y = x –
– e1 ± e2 .
Otnoßenye ϕ poroΩdaet novoe otnoßenye svqznosty verßyn na kaΩdoj
konfyhuracyy M̃ , kotoroe takΩe qvlqetsq otnoßenyem πkvyvalentnosty y
pryvodyt k razloΩenyg M̃ na svqzn¥e po otnoßenyg k ϕ mnoΩestva verßyn.
Opredelenye 1. Oboznaçym çerez ∂ W mnoΩestvo, sostoqwee yz verßyn y ,
ϕ -smeΩn¥x s verßynamy x klastera W, no ne)prynadleΩawyx emu. Vneßnej
hranycej klastera W naz¥vaetsq podmnoΩestvo ∂W ⊂ ∂ W, dlq kaΩdoj ver-
ßyn¥ v kotoroho suwestvuet beskoneçn¥j ϕ -put\ α ( v ) po verßynam re-
ßetky Z 2, naçynagwyjsq v v , pryçem v — edynstvennaq verßyna v α ( v ) ,
prynadleΩawaq obæedynenyg W ∪ ∂ W.
Dlq lgboho ploskoho peryodyçeskoho hrafa spravedlyvo sledugwee utver-
Ωdenye [3], kotoroe m¥ formulyruem prymenytel\no k Z2.
Teorema 1. Pust\ W ( x ) — koneçn¥j klaster, soderΩawyj nekotorug
fyksyrovannug verßynu x , | W ( x ) | < ∞ . Tohda W ( x ) ymeet nepustug koneç-
nug vneßngg hranycu ∂W ( x ) so sledugwymy svojstvamy:
1) ∂W ( x ) — ϕ -svqznoe mnoΩestvo verßyn v Z
2, kotoroe predstavlqet
soboj cykl, t.)e. ∂W ( x ) = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 , hde xi ≠ xj , i ≠ j , n = | ∂W ( x ) | ,
xi ϕ xi +1 , i = 0, 1, … , n , xn +1 = x0 y kaΩdaq verßyna xi , i = 0, 1, … , n , ymeet
tol\ko dve ϕ -smeΩn¥e verßyn¥ v ∂W ( x ) ;
2) verßyna x soderΩytsq v koneçnom vnutrennem mnoΩestve
Int ( ∂W ( x ) ) ≡ u W x u u u W x∉ ∀ = ∞( ) ≠ ∅( ){ }| |∂ α α α ∂( ) : ( ): ( ) ( ) ( )∩ .
Obratno, kaΩd¥j cykl γ na Z
2 moΩet sluΩyt\ vneßnej hranycej neko-
toroho klastera W ⊂ Int ( γ ) .
Pust\ A = { W : 0 ∈ W, | W | < ∞, W — ϕ -svqzno} —:semejstvo koneçn¥x klas-
terov W , soderΩawyx verßynu 0. Opredelym dlq lgboho klastera W ∈ A
sob¥tye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1318 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
A ( W ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W .
Takoe sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\
Pr { A ( W ) } = c cW W| | | |−( )1 ∂ . (2)
Rassmotrym veroqtnost\ 1 – Q ( c ) . Oçevydno, çto
1 – Q ( c ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M x M W x M W x∈ ∈ ( ) < ∞{ }W =
Pr ( )A W
W
{ }
∈
∑
A
.
Sohlasno teoreme 1, kaΩdomu klasteru yz semejstva A sootvetstvuet ϕ -
cykl γ takoj, çto 0 ∈ Int ( γ ) . V svqzy s πtym vvedem v rassmotrenye semejstvo
B vsex takyx ϕ -cyklov.
Dlq kaΩdoho ϕ -cykla γ ∈ B opredelym sob¥tye
B ( γ ) =
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) ={ }W ∂ γ ,
kotoroe predstavymo v vyde koneçnoho obæedynenyq poparno neperesekagwyxsq
sob¥tyj
B ( γ ) =
W W
A W
∈ =A :
( )
∂ γ
∪ . (3)
Sledovatel\no, πto sob¥tye ymeet opredelennug veroqtnost\
P ( γ ) = Pr { B ( γ ) }, (4)
kotoraq sohlasno (2), (3) ravna
P ( γ ) =
W W
A W
∈ =
∑ { }
A :
Pr ( )
∂ γ
=
W W
W Wc c
∈ =
| | | |∑ −
A :
( )
∂ γ
∂1 .
RazloΩym semejstvo A na neperesekagwyesq klass¥. K odnomu klassu ot-
nesem klaster¥ W ∈ A , kotor¥e ymegt odnu y tu Ωe vneßngg hranycu, t.:e.
mnoΩestvo verßyn, vxodqwyx v sostav ϕ -cykla γ , dlq kotoroho v¥polnqetsq
∂W = γ . Poπtomu spravedlyvo preobrazovanye
W ∈A
∪ … =
γ ∂ γ∈ ∈ =B A
∪ ∪ …
W W:
. (5)
Dalee, na osnovanyy (3) poluçaem
˜ : ˜ , ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M M W M W0 0 0∈ ∈ ( ) < ∞{ }| |W = B( )γ
γ ∈B
∪
y poπtomu, uçyt¥vaq (4) y (5), pryxodym k sledugwemu utverΩdenyg.
Teorema 2. Veroqtnost\ 1 – Q ( c ) predstavlqetsq razloΩenyem
1 – Q ( c ) = P( )γ
γ ∈
∑
B
. (6)
RazloΩenye (6) budem naz¥vat\ klastern¥m.
4. Dostatoçn¥j pryznak perkolqcyy. RazloΩenye (6), po postroenyg,
vsehda sxodytsq y summa ne prev¥ßaet 1. Odnako ymeetsq oblast\ znaçenyj
koncentracyy c , hde πta summa toçno ravna 1, y v πtom sluçae perkolqcyq v
sluçajnom pole { ˜( )c x ; x ∈ Z
2
} otsutstvuet. Esly Ωe ymeet mesto toçnoe
neravenstvo, to perkolqcyq suwestvuet. Ustanovyt\ neposredstvenno nalyçye
toçnoho neravenstva krajne sloΩno. Tem ne menee s razloΩenyem (6) tesno
svqzan druhoj rqd, kotor¥j ne obqzatel\no sxodytsq y kak raz eho sxodymost\
qvlqetsq dostatoçn¥m uslovyem nalyçyq perkolqcyy.
Dlq kaΩdoho cykla γ yz B opredelym sob¥tye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1319
ˆ ( )B γ =
˜ : ˜ ˜ ( ), ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) ∈ =( ){ }W 0 Int γ γ ∂
y eho veroqtnost\
ˆ ( )P γ = Pr ˆ ( )B γ{ }.
Spravedlyv sledugwyj dostatoçn¥j pryznak nalyçyq perkolqcyy.
Teorema 3. Esly ymeet mesto
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
< ∞ , (7)
to Q ( c ) > 0.
Dokazatel\stvo. Prymenym k beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj semej-
stva
ˆ( );B γ γ ∈{ }B lemmu Borelq – Kantelly (sm., naprymer, [5] ). Yz summyrue-
mosty rqda v (7), sohlasno ukazannoj lemme, sleduet, çto veroqtnost\ sob¥tyq,
sostoqweho v odnovremennoj realyzacyy beskoneçnoj sovokupnosty sob¥tyj yz
semejstva
ˆ( );B γ γ ∈{ }B , ravna nulg. Tohda s veroqtnost\g:1 suwestvuet neko-
tor¥j maksymal\n¥j cykl γ∗ ∈ B takoj, çto za eho predelamy najdutsq ver-
ßyna z y vmeste s nej beskoneçn¥j put\ α ( z ) bez samopereseçenyj, naçynag-
wyjsq v πtoj verßyne y takoj, çto α ( z ) ∩ M̃ = ∅. ∏to oznaçaet, çto dlq ber-
nullyevskoho polq { ˜( )c x ; x ∈ Z2
} sob¥tye ˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W yme-
et veroqtnost\ 1.
S druhoj storon¥, ymeet mesto sçetnoe razloΩenye
˜ : ˜ ˜ ˜M W M W∃ ∈ ( )( ) = ∞( ){ }| |W = ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v
v
∈ ( ) = ∞{ }| |
∈
W
Z
2
∪ . (8)
Vvydu nezavysymosty veroqtnosty Q ( c ) , opredelqemoj (1), ot verßyn¥ v ona
ne:moΩet b¥t\ ravna nulg yz-za neravenstva
1 ≤
Pr ˜ : ˜ ( ) ˜ , ˜ ( )M W M Wv v
v
∈ ( ) = ∞{ }| |
∈
∑ W
Z
2
,
kotoroe na osnovanyy (8) dolΩno ymet\ mesto.
5. Pereçyslenye koneçn¥x klasterov na Z 2. Osnovoj postroenyq maΩo-
rantn¥x ocenok poroha perkolqcyy v dannoj rabote qvlqetsq poluçenye ub¥-
vagwej posledovatel\nosty verxnyx ocenok çysla rk = Card { γ ∈ B : | γ | = k }
vsex vozmoΩn¥x ϕ -cyklov yz B dlyn¥ k , k ≥ 4.
Zametym, çto opysanye lgboho puty y, v çastnosty, cykla na Z 2 moΩno
πkvyvalentno, narqdu s ukazanyem posledovatel\nosty 〈 x0 , x1 , … , xn 〉 verßyn,
zadavat\ ukazanyem naçal\noj verßyn¥ x0 y posledovatel\nosty reber 〈 u1 , …
… , un 〉 , ui = xi – xi –1 , i = 1, 2, … , n . Pry πtom ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n , hde
vveden¥ oboznaçenyq
�1 = { ε ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 }, �–1 = { ε ′ei ; ε = ±1 , i = 1, 2 },
y ′e1 = e1 + e2 , ′e2 = e1 – e2 .
Opredelenye 2. Put\ γ na Z
2 budem naz¥vat\ pravyl\n¥m, esly kaΩd¥e
dva posledovatel\n¥x rebra u , v (v porqdke proxoΩdenyq) ymegt sledugwye
svojstva:
a) esly u ∈ �1 , to lybo v = u , lybo v ∈ �–1 , y ( u , v ) > 0;
b) esly u ∈ �–1 , to lybo v ∈ �–1 , v ≠ – u , lybo v ∈ �1 , ( u , v ) > 0.
Opredelenye 3. Dlq fyksyrovannoho m ∈ N koneçn¥j nezamknut¥j pra-
vyl\n¥j put\ γ = 〈x0, x1, … , xn 〉, n ≥ m , u kotoroho dlq lgb¥x i = 0, 1, … , n – 1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1320 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
y j = 1, … , m , i + j ≤ n , kaΩd¥j pravyl\n¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + j , y 〉 , y ∈ Z2,
ne)qvlqetsq zamknut¥m, nazovem m -prost¥m.
Pry n < m put\ γ qvlqetsq m -prost¥m po opredelenyg.
Oçevydno, çto pry m = 1, 2 mnoΩestvo m -prost¥x putej sovpadaet so mno-
Ωestvom vsex pravyl\n¥x putej.
Sformulyruem v vyde otdel\noj teorem¥ utverΩdenye, spravedlyvost\
kotoroho neposredstvenno sleduet yz teorem¥ 1. Ono predstavlqet soboj
kryteryj toho, çto zamknut¥j put\ na Z 2 prynadleΩyt B .
Teorema 4. Dlq toho çtob¥ zamknut¥j put\ γ = 〈 x0 , x1 , … , xn , x0 〉 na Z
2
moh b¥t\ vneßnej hranycej nekotoroho klastera yz A , neobxodymo y dosta-
toçno, çtob¥ on b¥l pravyl\n¥m y pry πtom kaΩd¥j put\ 〈 xi , xi +1 , … , xi + n –1 〉 ,
i = 0, 1, … , n , dolΩen b¥t\ ( n – 1) -prost¥m. ( Numeracyq verßyn ponyma-
etsq po mod ( n + 1) . )
Dokazatel\stvo. DokaΩem neobxodymost\ pravyl\nosty puty. Neobxody-
most\ vtoroho svojstva, utverΩdaemoho v teoreme, neposredstvenno sleduet yz
toho, çto γ — cykl. Dopustym protyvnoe. Pust\ x , y , z — posledovatel\n¥e
verßyn¥ cykla γ , qvlqgwehosq vneßnej hranycej klastera W , dlq kotor¥x
svojstva a), b) ne:v¥polnqgtsq. PoloΩym, dlq opredelennosty, çto x ϕ y , y =
= x + e1 y z = y – e1 + e2 . Tohda verßyn¥ y ± e2 , y + e1 ne:mohut vse odnovre-
menno naxodyt\sq vne W , tak kak v πtom sluçae y ne:prynadleΩyt ∂ W y ,
sledovatel\no, ne qvlqetsq verßynoj yz vneßnej hranyc¥ W . Bolee toho, pro-
stoj analyz pokaz¥vaet, çto ukazann¥e verßyn¥ obqzan¥ prynadleΩat\ Int ( γ ) .
No:tohda dlq verßyn¥ y ne:suwestvuet beskoneçnoho puty, naçynagwehosq v
nej y ymegweho pustoe pereseçenye s W ∪ ∂ W, t.:e. y ∉ ∂W .
Dlq dokazatel\stva obratnoho utverΩdenyq dostatoçno ubedyt\sq, çto γ
predstavlqet soboj cykl. Dopustym protyvnoe, t.:e. suwestvuet nomer i takoj,
çto xi –1 ϕ xi , xi ϕ xi +1 y suwestvuet l ( dlq opredelennosty l > i + 1 ) takoe, çto
xi ϕ xl . Tohda pry j = l – i – 1 put\ 〈 xi , … , xi + j , xi + j +1 〉 — zamknut¥j.
Teorema 4 dokazana.
Dlq postroenyq ocenok velyçyn¥ rk provedem sledugwee raspredelenye
cyklov yz semejstva B po klassam. Rassmotrym put\ α ( 0 ) = 〈 j e1 ; j = 0, 1,
2, … 〉 . Sohlasno teoreme 1 kaΩd¥j cykl γ ∈ B ymeet nepustoe pereseçenye s
α ( 0 ) . V¥berem v mnoΩestve γ ∩ α ( 0 ) verßynu, blyΩajßug k verßyne 0, y
oboznaçym ee zγ . Ymeet mesto dyzægnktyvnoe razloΩenye
B =
C l
l=
∞
1
∪ ,
hde v odyn klass Cl vxodqt cykl¥ yz B s sovpadagwej verßynoj zγ ≡ l e1 . ∏to
razloΩenye ynducyruet razloΩenye mnoΩestva { γ ∈ B : | γ | = k } na nepere-
sekagwyesq klass¥
C l
k( ) = {γ ∈ B : | γ | = k } ∩ Cl .
Poskol\ku pry πtom obqzatel\no l < k , to
{γ ∈ B : | γ | = k } =
C l
k
l
k
( )
=
−
1
1
∪ , rk =
C l
k
l
k
( )
=
−
∑
1
1
. (9)
Dlq kaΩd¥x n ∈ N y m = 1, 2, … , n oboznaçym çerez Q ( m , n ) mnoΩestvo
m -prost¥x putej dlyn¥ n , kotor¥e naçynagtsq v verßyne 0. Ymeet mesto
oçevydnoe vklgçenye Q ( m , n ) ⊃ Q ( m + 1, n ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1321
Pust\ teper\ Q l ( m , n ) = Q ( m , n ) + l e1 , m = 1, … , n – 1, l = 0, 1, 2, … . Tohda
| Q l ( m , n ) | = | Q ( m , n ) | . Rassmotrym mnoΩestvo Q l ( n – 1 , n ) . Sohlasno
teoreme 4, v¥rezanyem u kaΩdoho cykla γ ∈ C l
n( )+1 rebra xn ϕ x0 y l y x 0 ϕ x1
m¥ poluçym yz neho dva razlyçn¥x puty yz Q l ( n – 1 , n ) , pryçem razlyçn¥m γ
yz C l
n( )+1 budut sootvetstvovat\ neperesekagwyesq par¥ putej yz Q l ( n – 1 , n )
(vvydu dohovorennosty v¥bora verßyn¥ x0 = zγ , blyΩajßej k 0). Po πtoj
pryçyne | |C l
k( ) < | Q ( k – 2 , k – 1 ) | / 2. Tohda na osnovanyy (9) naxodym ocenku
rk < 1
2
2 1
1
1
Q l
l
k
k k( , )− −
=
−
∑ =
= 1
2
1 2 1( ) ( , )k k k− − −Q ≤ 1
2
1 1( ) ( , )k m k− −Q (10)
pry lgbom m ≤ k – 2.
Naßej dal\nejßej zadaçej qvlqetsq poluçenye formul¥ dlq velyçyn¥
| Q ( m , n ) | = sn
m( ) , na osnove kotoroj budut v¥çyslqt\sq verxnye ocenky dlq
poroha perkolqcyy.
V sootvetstvyy s yzloΩenn¥m v¥ße, kaΩd¥j put\ yz Q ( m , n ) opys¥vaetsq
posledovatel\nost\g 〈 u1 , … , un 〉 , ui ∈ �1 ∪ �–1 , i = 1, … , n . Rassmotrym ko-
neçnomernoe prostranstvo �m funkcyj s : Q ( m , m ) � R , t.:e. opredelenn¥x
na putqx β = 〈 u1 , … , um 〉 ∈ Q ( m , m ) . Vvedem v πtom prostranstve lynejn¥j
operator Tm , opredelqem¥j qdrom Tm ( α , β ) , α = 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m , m ) , β =
= 〈 v1 , … , vn 〉 ∈ Q ( m , m ) , sledugweho vyda:
Tm ( α , β ) =
1 1 1
1 1
0
1
1
, , , , ,
, , , ( , );
u i m
u m m
i i
m m
= = … −
〈 … 〉 ∈ + +
+v
v v Q
— v protyvnom sluçae.
Po opredelenyg
( Tm s ) ( α ) =
β
α β β
∈
∑
Q ( , )
( , ) ( )
m m
mT s .
Pust\ dlq kaΩdoho n ∈ N , n ≥ m , funkcyq sn : Q ( m , m ) � R opredelena
dlq kaΩdoho β = 〈 v1 , … , vm 〉 ∈ Q ( m , m ) formuloj
sn ( β ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( m + 1, n ) : 〈 un – m +1 , … , un 〉 = β } | , (11)
t.:e. sn ( β ) — çyslo putej yz Q ( m + 1, n ) , ymegwyx v kaçestve koneçnoho ot-
rezka dlyn¥ m put\, kotor¥j perenosom naçal\noj verßyn¥ v: 0 :prevrawaetsq
v put\ β .
Oçevydno, çto
sn
m( ) =
α
α
∈
∑
Q ( , )
( )
m m
ns ≡ ( sn , e )m , (12)
hde e ( α ) ≡ 1, α ∈ Q ( m , m ) y ( ⋅ , ⋅ )m — skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve
�m .
Zametym dalee, çto
sn ( α ) = ( Tm sn –1 ) ( α ) ,
y tak kak yz (11) sleduet sm ( α ) = e ( α ) , v soçetanyy s (12) poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1322 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
sn
m( ) = ( ),T e em
n m
m
− . (13)
Summyruem poluçenn¥j rezul\tat v vyde sledugweho utverΩdenyq.
Teorema 5. Dlq çysla rk spravedlyva ocenka
rk < 1
2
1 1( ) ,( )k m
k m
m− − −T e e (14)
pry lgbom m ≤ k – 2, pryçem pravaq çast\ neravenstva ub¥vaet pry uvely-
çenyy m .
Ocenka (14) sleduet yz (10) y (13) pry n = k – 1.
6. Ocenka poroha perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom ocenky, zadava-
em¥e (14), dagt monotonno ub¥vagwug posledovatel\nost\ ocenok poroha per-
kolqcyy.
Teorema 6. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq
na kvadratnoj reßetke ymegt mesto neravenstva
c∗ < cm ≡ 1 – ρm
−1,
hde ρm — maksymal\noe ( po modulg) sobstvennoe çyslo operatora Tm , pry-
çem posledovatel\nost\ { cm ; m = 1, 2, … } — monotonno ub¥vagwaq.
Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme 3, neobxodymo dokazat\ sxodymost\
rqda (7) pry c > cm . Poskol\ku ˆ( )B γ ⊂
˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } , to
ˆ( )P γ ≤ ( )1 − | |c γ . (15)
Na osnovanyy πtoho neravenstva spravedlyva sledugwaq ocenka sverxu dlq
summ¥:
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
≤ ( )1 − | |
∈
∑ c γ
γ B
= ( )1
4
−
=
∞
∑ c rk
k
k
. (16)
Zafyksyrovav çyslo m , dostatoçno dokazat\, çto sxodytsq ostatok πtoho rqda,
naçynagwyjsq s k = m + 1. V:πtom sluçae, vospol\zovavßys\ neravenstvom (14),
poluçym
( )1
1
−
= +
∞
∑ c rk
k
k m
< 1
2
1 1 1
1
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − − −
= +
∞
∑ T e e . (17)
Vvydu toho, çto matryca Tm ( α , β ) ymeet neotrycatel\n¥e πlement¥, ona ymeet
sobstvennoe çyslo ρm ≥ 0, sootvetstvugwyj sobstvenn¥j vektor em kotoroho
ymeet neotrycatel\n¥e komponent¥, takoe, çto vse ostal\n¥e sobstvenn¥e çys-
la πtoj matryc¥ po modulg ne prev¥ßagt ρm (sm. [6], hl.:XIII, § 3, teorema 3).
Dlq matryc¥ Tm spravedlyvo sledugwee razloΩenye Danforda, ymegwee
mesto dlq lgboj kvadratnoj matryc¥ (sm., naprymer, [8]): Tm = S + N , hde S
— nekotoraq matryca prostoj struktur¥ [6], t.:e. ymegwaq v prostranstve
Q ( m , n ) poln¥j nabor sobstvenn¥x vektorov, a matryca N — nyl\potentnaq,
t.:e. dlq nee suwestvuet çyslo l ∈ N , l ≤ dim Q ( m , n ) , takoe, çto N
l = 0. Pry
πtom spektr matryc¥ S sovpadaet so spektrom matryc¥ Tm . Dopustym teper\,
çto ρm = 0. Tohda, tak kak ρm — maksymal\noe po modulg sobstvennoe çyslo, v
πtom sluçae vse sobstvenn¥e çysla matryc¥ Tm ravn¥ nulg. Sledovatel\no,
S = 0 y poπtomu Tm = N . Tohda yz formul¥ (14) sleduet pry k – 1 – m ≥
≥ dim Q ( m , n ) nevozmoΩnoe neravenstvo rk < 0. Takym obrazom, predpoloΩenye
ρm = 0 pryvodyt k protyvoreçyg y, sledovatel\no, ρm > 0.
V sylu opredelenyq vektora e ( e , em ) m ≠ 0. Po πtoj pryçyne dlq sxody-
mosty rqda v pravoj çasty (17) neobxodymo, çtob¥ ( 1 – c ) ρm < 1, t.:e. c > 1 – ρm
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1323
Otsgda sleduet, çto c∗ < cm . Pry πtom summa rqda ravna
( ) ( )( ) ( ) ,1 1 1 1 11 2− − − −[ ] − −[ ]( )+ −c m m c cm
m m m
T T e e .
S:druhoj storon¥, uslovye ( 1 – c ) ρm < 1 qvlqetsq dostatoçn¥m dlq sxody-
mosty rqda v (17), tak kak ρm ravno maksymumu modulq sobstvenn¥x çysel mat-
ryc¥ Tm [7]. Takym obrazom, neravenstvo c < cm πkvyvalentno sxodymosty
ukazannoho rqda.
Poskol\ku, po postroenyg, ( ),T e em
k m
m
− −1 > ( ),T e em
k m
m+
−
+1 1, sxodymost\ rqda
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − −
= +
∞
∑ 1 1
2
T e e vleçet sxodymost\ rqda
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k m
− − +
− −
+
= +
∞
∑ 1 1 1
1
1
2
T e e ,
a v sylu dokazannoj πkvyvalentnosty πtoj sxodymosty sootvetstvenno v¥pol-
nenyg neravenstv ρm ( 1 – c ) < 1 y ρm +1 ( 1 – c ) < 1 poluçaem, çto pervoe yz nyx
vleçet za soboj vtoroe. ∏to vozmoΩno tol\ko lyß\ v sluçae, esly ρ m +1 < ρm ,
t.:e. cm +1 < cm .
7. Veroqtnost\ perkolqcyy. PokaΩem, kakym obrazom poluçagtsq pry-
blyΩenyq s harantyrovannoj ocenkoj toçnosty dlq veroqtnosty perkolqcyy.
Teorema 7. Pry kaΩdom m = 1, 2, … dlq c < cm veroqtnost\ perkolqcyy
Q ( c ) bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke opredelqetsq
formuloj
Q ( c ) = 1 –
γ γ
γ
∈ ≤| |
∑
B :
( )
l
P + Sl ,
hde
Sl <
1
2
1 1( ) max ( )
( , )
− ( )
+
∈
−c l
m m m
l m
α
α
Q
T e ×
× 1 1 1 1 11 1− −[ ] − + − −[ ]( )( )− −( ) ( ) ( ) ,c l cm m m
T T e e (18)
pry l ≥ m .
Dokazatel\stvo. Na osnovanyy (6) neobxodymo dokazat\ ukazannug v
utverΩdenyy verxngg ocenku dlq summ¥ Sl =
γ γ
γ
∈ >| |
∑
B :
( )
l
P . Yz opredelenyq:1
y vklgçenyq B ( γ ) ⊂ ˜ : ˜M M ∩ γ = ∅{ } sleduet neravenstvo
P ( γ ) ≤ ( )1 − | |c γ .
Poπtomu, yspol\zuq klasternoe razloΩenye (6), poluçaem sledugwug verxngg
ocenku:
Sl <
γ
γ
γ∈ >
| |
| |
∑ −
B :
( )
l
c1 = ( )1
1
−
= +
∞
∑ c rk
k
k l
.
Pry l ≥ m , ocenyvaq velyçynu rk , sohlasno (14) ymeem
Sl < 1
2
1 1 1
1
( )( ) ,( )k c k
m
k m
m
k l
− − − −
= +
∞
∑ T e e . (19)
Poskol\ku
( ),T e em
n j
m
+ ≤
( ), max ( )
( , )
T e e T em
n
m m m m
j
α
α
∈
( )Q
,
yz (19) naxodym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1324 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
Sl <
1
2
1 11
0
( ) max ( ) ( )( ) ,
( , )
( )− ( )
+ −+
∈
−
=
∞
∑c k l cl
m m m
l m k
m
k
m
kα
α
Q
T e T e e .
Summyruq poslednyj rqd pry c > cm , poluçaem (18).
8. Sluçaj m = 2. V πtom punkte, yspol\zuq ydeg poluçenyq maΩorantn¥x
ocenok, yzloΩennug v pp.:5 – 7, realyzuem ee v sluçae m = 2. V πtom sluçae
moΩno, yspol\zuq symmetryg kvadratnoj reßetky, reducyrovat\ operator T2
k nekotoromu operatoru T, dejstvugwemu v R5, çto suwestvenno oblehçaet
analyz.
Rassmotrym paru posledovatel\n¥x reber 〈 u , v 〉 cykla γ ; u , v ∈ �–1 ∪ �1 .
Takye par¥ moΩno raspredelyt\ po sledugwym pqty klassam. Vo-perv¥x,
klass K 0 , k kotoromu otnesem par¥, dlq kotor¥x v¥polnqetsq u , v ∈ �–1 ,
u ⊥ v , y, vo-vtor¥x, 4 klassa K a , a = 〈 i , j 〉 , i , j ∈ { ±1 } , dlq kotor¥x sootvet-
stvenno v¥polnqetsq u ∈ �i , v ∈ �j , ( u , v ) > 0. Oboznaçym I = { 0 } ∪ { 〈 i , j 〉 ;
i , j ∈ { ±1 } }.
Pust\, sohlasno (11), pry kaΩdom N
sn ( 〈 u , v 〉 ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : un –1 = n , un = v } | .
V sootvetstvyy s ukazann¥m v¥ße razbyenyem par posledovatel\n¥x reber na
klass¥ vvedem pqtymern¥e vektor¥
sn ( a ) =
〈 〉 ∈
∑ 〈 〉
u
n
a
u
,
( ),
v
v
K
s , a ∈ I ,
hde
sn ( a ) = | { 〈 u1 , … , un 〉 ∈ Q ( 3, n ) : 〈 un –1 , un 〉 ∈ K a } | . (20)
Pust\ γ ∈ Q ( 3, n ) , n > 4 y 〈 u , v , w 〉 — posledovatel\n¥e rebra γ . Yz heo-
metryçeskyx soobraΩenyj v 3-prost¥x putqx γ s dlynoj, bol\ßej 4, vozmoΩn¥
tol\ko sledugwye posledovatel\nosty, u kotor¥x par¥ 〈 u , v 〉 , 〈 v, w 〉 ∈ Q ( 2, 2) ,
a posledovatel\nost\ 〈 u , v , w 〉 udovletvorqet teoreme 4.
I. Esly u , v ∈ �1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �1 , w = v ;
2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2.
II. Esly u ∈ �–1 , v ∈ �1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �1 , w = v ;
2) w ∈ �–1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2.
III. Esly u ∈ �1 , v ∈ �–1 , ( u , v ) > 0, to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2;
3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta).
IV. Esly u , v ∈ �–1 , u = v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ,( )v ′ ′e ei i , i = 1, 2;
3) w ∈ �–1 , w ⊥ v (dva varyanta).
V. Esly u , v ∈ �–1 , u ⊥ v , to realyzuetsq odna yz vozmoΩnostej:
1) w ∈ �–1 , w = v ;
2) w ∈ �1 , w = sgn ( v , ei ) ei , i = 1, 2;
3) w ∈ �1 , w ⊥ v , w = u (odyn varyant).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
MAÛORANTNÁE OCENKY POROHA PERKOLQCYY BERNULLYEVSKOHO POLQ … 1325
V poslednem sluçae realyzuetsq tol\ko odyn varyant prodolΩenyq cykla
w = u , tak kak pry prodolΩenyy w = – u put\ perestaet b¥t\ 3-prost¥m.
Dopolnenyem odnoho rebra on prevrawaetsq v cykl 〈 u , v , – u , – v 〉 .
Zametym, çto uslovyq v pp.:I – V opys¥vagt operator T2 v � 2 . Na yx
osnovanyy moΩno postroyt\ reducyrovann¥j operator T na prostranstve R5,
sostoqwem yz vektorov s = 〈 s ( a ) ; a ∈ I 〉 . ∏tot operator stroytsq yz tex
soobraΩenyj, çtob¥ dlq kaΩdoho n ∈ N v¥polnqlos\
sn +1 ( a ) = ( T sn ) ( a ) , a ∈ I . (21)
Yz pp.:I1 y II1, sootvetstvenno porqdku slahaem¥x v pravoj çasty, sleduet
ravenstvo
sn +1 ( 〈 1 , 1 〉 ) = sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) . (22)
Analohyçn¥m obrazom poluçagtsq sledugwye ravenstva, kotor¥e v¥tekagt
sootvetstvenno yz pp. I2 y II2, III1, IV1 y V1, III2, IV2 y V2, III3, IV3 y V3 :
sn +1 ( 〈 1 , –1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , 1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , 1 〉 ) ,
sn +1 ( 〈 –1 , –1 〉 ) = sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) ,
(23)
sn +1 ( 〈 –1 , 1 〉 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + 2sn ( 0 ) ,
sn +1 ( 0 ) = 2sn ( 〈 1 , –1 〉 ) + 2sn ( 〈 –1 , –1 〉 ) + sn ( 0 ) .
Vvedem matrycu Ta , b operatora T, hde a , b — komponent¥ uporqdoçennoho
mnoΩestva 〈 0 , 〈 1 , 1 〉, 〈 1 , –1 〉, 〈 –1 , 1 〉, 〈 –1 , –1 〉 〉,
T =
1 0 2 0 2
0 1 0 1 0
0 2 0 2 0
2 0 2 0 2
1 0 1 0 1
. (24)
∏ta matryca opredelqet yskom¥j operator T, tak kak pryvedenn¥e v¥ße ra-
venstva predstavlqgtsq v vyde (21). Tohda, yspol\zuq operator T, ymeem
sn = T
n
–2
s2 . (25)
Pry πtom na osnovanyy (20) vektor s2 = 4 〈 2 , 1 , 2 , 2 , 1 〉.
Najdem sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ Ta , b . Matryca Ta , b ymeet neotry-
catel\n¥e πlement¥. Poπtomu ona ymeet sobstvennoe znaçenye ρ takoe, çto
moduly vsex druhyx sobstvenn¥x çysel ne:prev¥ßagt ρ (sm. teoremu:3, a
takΩe [6], hl.:XIII, §:3). Xarakterystyçeskoe uravnenye matryc¥ Ta , b ymeet vyd
T ( λ ) ≡ det [ T – λ ] = λ2
( λ3 – 3λ2 – 3λ – 3 ) = 0.
PoloΩytel\n¥j koren\ ρ xarakterystyçeskoho uravnenyq, suwestvovanye
kotoroho harantyruetsq ukazann¥m utverΩdenyem, qvlqetsq edynstvenn¥m
vewestvenn¥m kornem kubyçeskoho uravnenyq, poluçaemoho pryravnyvanyem
nulg v¥raΩenyq v skobkax. ∏tot koren\ raven
ρ = 2 2 2 2 23 3 3+ + −( ) + 1 ≈ 3, 951.
Ostal\n¥e korny polynoma T ( λ ) ne:prev¥ßagt po modulg ρ .
Poskol\ku razloΩenye
∪
a I
a∈
K = Q ( 3, n ) dyzægnktyvno, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1326 G.:P.:VYRÇENKO, G.:A.:TOLMAÇEVA
sn
( )3 = | Q ( 3, n ) | ≡ sn = s an
a I
( )
∈
∑
yly pry vvedenyy vektora e = 〈 1 , 1 , 1 , 1 , 1 〉 s n = ( e , sn ) , hde ( ⋅ , ⋅ ) — ska-
lqrnoe proyzvedenye v R5. Esly, krome toho, vospol\zovat\sq (25) y uçest\
qvn¥j vyd vektora s 2 , to pokomponentno ymeet mesto neravenstvo sn ( a ) <
< 8 ( T
n
–2
e ) ( a ) y poπtomu sn < 8 ( e , T
n
–2
e ) . Na osnovanyy πtoho neravenstva,
yspol\zuq (10), naxodym ocenku dlq rk :
rk < 1
2
1 1( )k sk− − < 4 ( k – 1) ( e , T
k
–3
e ) .
Poluçennaq ocenka y (16) dagt vozmoΩnost\ poluçyt\ maΩorantn¥j rqd dlq
summ¥ (7):
ˆ( )P γ
γ ∈
∑
B
≤ ( )1
4
−
=
∞
∑ c rk
k
k
< 4 1 1 3
4
( )( ) ,( )k c k k
k
− − −
=
∞
∑ e T e .
∏tot rqd summyruetsq pry c > 1 – ρ–1 > 0, 74683, y m¥ ubeΩdaemsq v spravedly-
vosty sledugweho utverΩdenyq.
Teorema 8. Dlq bernullyevskoho sluçajnoho polq na kvadratnoj reßetke
Z
2 v¥polnqetsq c∗ ≤ c2 = 0, 74683.
∏ta ocenka luçße poluçennoj v [7].
Zaklgçenye. Postroennaq v rabote posledovatel\nost\ { cm ; m = 2, 3, … }
maΩorantn¥x ocenok poroha perkolqcyy c∗ qvlqetsq monotonno ub¥vagwej.
Poπtomu ona ymeet predel c∞ ≥ c∗. Ee postroenye osnovano na suwestvennom
yspol\zovanyy dvux neravenstv — (10), (15). Est\ osnovanyq polahat\, tem
ne:menee, çto πty neravenstva asymptotyçesky toçn¥ pry n → ∞ , t.:e., napry-
mer, dlq velyçyn¥ rn ymeet mesto asymptotyçeskoe sootnoßenye ln rn �
� ln | Q ( n – 2 , n – 1 ) | pry n → ∞ . Esly πta hypoteza spravedlyva, to v¥polnq-
etsq toçnoe ravenstvo c∞ = c∗ y predloΩenn¥j namy metod postroenyq maΩo-
rantn¥x ocenok predstavlqet soboj pryblyΩenn¥j metod v¥çyslenyq poroha
perkolqcyy. Odnako dlq ocenky toçnosty poluçaem¥x takym obrazom prybly-
Ωenyj neobxodymo postroyt\ osnovannug na analohyçnoj ydee proceduru polu-
çenyq nyΩnyx ocenok dlq c∗.
1. Vyrçenko)G.)P. Perkolqcyq // Matematyçeskaq fyzyka: Bol\ßaq ros. πncykl. – 1998. –
S.:346 – 347.
2. Hammersley J. M. Percolation processes. Lower bounds for the critical probability // Ann. Math.
Statist. – 1957. – 28. – P. 790 – 795.
3. Kesten H. Percolation theory for mathematicians. – Boston: Birkhäuser, 1982. – 420 p. (Rus. per.:
Kesten)X. Teoryq prosaçyvanyq dlq matematykov. – M.: Myr, 1986. – 390:s.)
4. Men\ßykov)M.)V., Molçanov)S.)A., Sydorenko)A.)F. Teoryq perkolqcyy y nekotor¥e prylo-
Ωenyq // Ytohy nauky y texnyky. Ser. Teoryq veroqtnostej, mat. statystyka y teor.
kybernetyka. – M.: VYNYTY, 1986. – 24. – S.:53 – 110.
5. Lamperti J. Probability. – New York; Amsterdam, 1966. – 190 p. (Rus. per.: Lamperty)DΩ.
Veroqtnost\. – M.: Nauka, 1973. – 184:s.)
6. Hantmaxer)F.)R. Teoryq matryc. – 3-e yzd. – M.: Nauka, 1967. – 576:s. (Anhl. per.:
Gantmakher F. R. Applications of the theory of matrices. – New York: Wiley, 1959.)
7. Virchenko Yu. P., Tolmacheva Yu. A. Revision of the upper estimate of percolation threshold in
square lattice // Mat. Fizika, Analiz, Geometria. – 2003. – 10, # 1. – S. 29 – 39.
8. Xorn)R., DΩonson)Ç. Matryçn¥j analyz. – M.: Myr, 1989. – 426 s.
Poluçeno 22.01.2003,
posle dorabotky — 17.01.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3687 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:09Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b3/852668288329620793bc14a5facc9eb3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36872020-03-18T20:02:18Z Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке Virchenko, Yu. P. Tolmacheva, Yu. A. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. We suggest a method for obtaining a monotonically decreasing sequence of upper bounds of percolation threshold of the Bernoulli random field on $Z^2$. On the basis of this sequence, we obtain a method of constructing approximations with the guaranteed exactness estimate for a percolation probability. We compute the first term $c_2 = 0,74683$ of the considered sequence. Запропоновано метод одержання монотонно спадної послідовності верхніх оцінок порогу перколяції бернуллієвського випадкового поля на $Z^2$ та на її основі — метод побудови апроксимацій із гарантованою оцінкою точності для ймовірності перколяції. Обчислено перший член $c_2 = 0,74683$ цієї послідовності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3687 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1315–1326 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1315–1326 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3687/4100 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3687/4101 Copyright (c) 2005 Virchenko Yu. P.; Tolmacheva Yu. A. |
| spellingShingle | Virchenko, Yu. P. Tolmacheva, Yu. A. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. Вирченко, Ю. П. Толмачева, Ю. А. Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title | Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title_alt | Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиевского поля на квадратной решетке |
| title_full | Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title_fullStr | Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title_full_unstemmed | Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title_short | Majorant estimates for the percolation threshold of a Bernoulli field on a square lattice |
| title_sort | majorant estimates for the percolation threshold of a bernoulli field on a square lattice |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3687 |
| work_keys_str_mv | AT virchenkoyup majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT tolmachevayua majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT virčenkoûp majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT tolmačevaûa majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT virčenkoûp majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT tolmačevaûa majorantestimatesforthepercolationthresholdofabernoullifieldonasquarelattice AT virchenkoyup mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT tolmachevayua mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT virčenkoûp mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT tolmačevaûa mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT virčenkoûp mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke AT tolmačevaûa mažorantnyeocenkiporogaperkolâciibernullievskogopolânakvadratnojrešetke |