Degenerate Nevanlinna-Pick problem
A general solution of the degenerate Nevanlinna-Pick problem is described in terms of fractional-linear transformations. A resolvent matrix of the problem is obtained in the form of a J-expanding matrix of full rank.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3689 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509817664176128 |
|---|---|
| author | Dyukarev, Yu. M. Дюкарев, Ю. М. Дюкарев, Ю. М. |
| author_facet | Dyukarev, Yu. M. Дюкарев, Ю. М. Дюкарев, Ю. М. |
| author_sort | Dyukarev, Yu. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | A general solution of the degenerate Nevanlinna-Pick problem is described in terms of fractional-linear transformations. A resolvent matrix of the problem is obtained in the form of a J-expanding matrix of full rank. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
G. M. Dgkarev (Xar\k. nac. un-t)
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA
The general solution of the Nevalinna – Pick degenerate problem is determined in terms of
fractional–linear transformations. A resolvent matrix of the problem is obtained in the form of J-
extendable matrix of a completed rank.
Zahal\nyj rozv’qzok vyrodΩeno] zadaçi Nevanlinny – Pika opysano u terminax drobovo-linijnyx
peretvoren\. Rezol\ventnu matrycg zadaçi oderΩano u formi J-roztqΩno] matryci povnoho
ranhu.
1. Vvedenye. V stat\e [1] predloΩen metod reßenyq matryçnoj zadaçy Nevan-
lynn¥ – Pyka, osnovann¥j na teoryy J-rastqhyvagwyx analytyçeskyx matryc-
funkcyj. ∏ta teoryq b¥la postroena v rabote [2]. V stat\qx [3, 4] ukazann¥j
metod rasprostranen y na druhye ynterpolqcyonn¥e zadaçy analyza.
Dyskretn¥e ynterpolqcyonn¥e zadaçy v stat\qx [1, 4] rassmatryvalys\, v
osnovnom, v nev¥roΩdennom sluçae. Na prymere zadaçy Íura v stat\e [5] vper-
v¥e b¥l podrobno yssledovan v¥roΩdenn¥j sluçaj v teoryy dyskretn¥x yn-
terpolqcyonn¥x zadaç. V stat\qx [6, 7] rezul\tat¥ [5] b¥ly obobwen¥ y ras-
prostranen¥ na druhye ynterpolqcyonn¥e zadaçy.
V nastoqwej stat\e reßena v¥roΩdennaq zadaça Nevanlynn¥ – Pyka. Pry
πtom yspol\zovan¥ nekotor¥e rezul\tat¥ yz stat\y [5]. No zdes\ predloΩena
suwestvennaq modyfykacyq podxoda k v¥roΩdenn¥m ynterpolqcyonn¥m zada-
çam. A ymenno, v stat\qx [5 – 7] dlq opysanyq vsex reßenyj v¥roΩdenn¥x yn-
terpolqcyonn¥x zadaç b¥l vveden y yssledovan nov¥j obæekt – rezol\ventnaq
matryca, kotoraq qvlqetsq J-rastqhyvagwej matrycej-funkcyej nepolnoho
ranha. V dannoj stat\e pokazano, kak moΩno opys¥vat\ vse reßenyq v¥roΩ-
denn¥x ynterpolqcyonn¥x zadaç s pomow\g xoroßo yzvestnoho v teoryy nev¥-
roΩdenn¥x ynterpolqcyonn¥x zadaç obæekta — rezol\ventnoj matryc¥, koto-
raq qvlqetsq J-rastqhyvagwej matrycej-funkcyej polnoho ranha. Takym ob-
razom, v teoryy v¥roΩdenn¥x ynterpolqcyonn¥x zadaç moΩno ne yspol\zovat\
J-rastqhyvagwye matryc¥-funkcyy nepolnoho ranha. ∏to y qvlqetsq osnov-
n¥m rezul\tatom dannoj stat\y.
Vo mnohyx sluçaqx rezul\tat¥ otnosytel\no v¥roΩdennoj ynterpolqcyy
stanovqtsq bolee prozraçn¥my, esly yx formulyrovat\ na qz¥ke teoryy opera-
torov. Poπtomu budem yspol\zovat\ tol\ko operatorn¥j qz¥k. Vvedem osnov-
n¥e oboznaçenyq y opredelenyq.
Pust\ dan¥ dva çysla m ∈ N y n ∈ N y symvol E oboznaçaet nekotoroe m-
mernoe kompleksnoe evklydovo prostranstvo. Symvol¥ { E }, { E } H , { E } ≥ ,
{ E } > oboznaçagt sootvetstvenno mnoΩestvo lynejn¥x operatorov v E, mno-
Ωestvo πrmytov¥x operatorov v E, mnoΩestvo πrmytov¥x neotrycatel\n¥x
operatorov v E y mnoΩestvo stroho poloΩytel\n¥x operatorov v E. Sym-
volom { E, G } oboznaçym mnoΩestvo lynejn¥x operatorov, dejstvugwyx yz
prostranstva E v prostranstvo G. ToΩdestvenn¥j y nulevoj operator¥,
dejstvugwye v nekotorom prostranstve G, oboznaçym symvolamy IG y 0 G
.
Nulevoj operator, dejstvugwyj yz prostranstva G1 v prostranstvo G2
, oboz-
naçym symvolom 0G1 G2
. Pust\ operator¥ A, B ∈ { G }H . Neravenstvo A ≥ B (so-
otvetstvenno A > B ) oznaçaet, çto A – B ∈ { G } ≥ ( sootvetstvenno A – B ∈
∈ { G } > ). Symvolom C
+ budem oboznaçat\ verxngg poluploskost\ v komplek-
snoj ploskosty C.
© G. M. DGKAREV, 2005
1334 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA 1335
Opredelenye 1. Operatornaq funkcyq (o.�f.) w : C+ → { E } naz¥vaetsq
nevanlynnovskoj, esly ona holomorfna v C
+ y { w ( z ) – w*
( z ) } / 2i ≥ 0E ∀z ∈
∈ C+
.
Klass vsex takyx o.If. oboznaçym symvolom R .
V zadaçe Nevanlynn¥ – Pyka zadana posledovatel\nost\ poparno razlyçn¥x
kompleksn¥x çysel (uzlov ynterpolqcyy) z1 , z2 , … , zn ∈ C+ y posledovatel\-
nost\ operatorov (ynterpolyruem¥x znaçenyj) w1 , w2 , … , wn ∈ { E }. Trebuetsq
opysat\ mnoΩestvo o.If. w : C+ → { E } takyx, çto
w ( zj ) = wj , 1 ≤ j ≤ n, w ∈ R . (1)
MnoΩestvo vsex reßenyj ynterpolqcyonnoj zadaçy (1) oboznaçym çerez F,
mnoΩestvo uzlov ynterpolqcyy — symvolom Z, a mnoΩestvo kompleksno-
soprqΩenn¥x toçek — symvolom Z .
Rassmotrym ortohonal\nug summu
G = E E E
n
⊕ ⊕…⊕
slahaem¥x
� ��� ��� .
V G estestvenn¥m obrazom opredelena struktura evklydova prostranstva.
S pomow\g estestvenn¥x matryçn¥x oboznaçenyj vvedem operator¥
T = diag , ,{ … }− −z I z IE n E1
1 1 ∈ { G }, K = T
w w
z z
Ti j
i j i j n
−
= …
−−
−
1
1
1
*
, , ,
* ∈ { G },
(2)
v = col { IE , … , IE } ∈ { E, G }, u = col { w1 , … , wn } ∈ { E, G }.
Lehko vydet\, çto vvedenn¥e operator¥ udovletvorqgt sledugwemu Osnov-
nomu ToΩdestvu (OT)
T K – K T
* = v u* – u v*
. (3)
V rabotax [1, 4] pokazano, çto w ∈ F tohda y tol\ko tohda, kohda w udov-
letvorqet Osnovnomu Matryçnomu Neravenstvu (OMN) V. P. Potapova
K R z w z u
w z w z z z
T ( ) ( ) −
( ) − ( ) { − }
{ }
{ }
v
* /*
≥ 0G ⊕ E
, z ∈ C+ \ Z. (4)
Zdes\ y v dal\nejßem RT ( z ) = ( I – z T )
–
1
.
Opredelenye 2. Useçennaq zadaça Nevanlynn¥ – Pyka (1) naz¥vaetsq
vpolne neopredelennoj, esly K > 0G
.
S kaΩdoj vpolne neopredelennoj obobwennoj ynterpolqcyonnoj zadaçej
svqΩem ee rezol\ventnug matrycu
U ( z ) =
α β
γ δ
( ) ( )
( ) ( )
z z
z z
=
I z R z K u z R z K
zu R z K u I zu R z K
E T T
T E T
+ ( ) − ( )
( ) − ( )
− −
− −
v v v
v
* *
* *
* *
* *
1 1
1 1 . (5)
Zdes\ R z
T* ( ) = ( IE – z T
*
)
–
1
. Qsno, çto U holomorfna v C \ Z y U : C \ Z →
→ E ⊕ E.
V prostranstve E ⊕ E vvedem operator
J =
0
0
E E
E E
iI
iI
−
∈ { E ⊕ E }.
S pomow\g neposredstvenn¥x v¥çyslenyj moΩno ubedyt\sq v tom, çto J-for-
ma o.If. U ymeet vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1336 G. M. DGKAREV
J – U ( z ) J U*
( λ ) =
i z
u
R z K R u
T T
( − )
( ) ( )[ ]−λ λv
v
*
*
*
* * ,1 , z, λ ∈ C \ Z . (6)
UmnoΩym poslednee ravenstvo sprava na J y podstavym v neho z vmesto λ .
Uçyt¥vaq ravenstvo J2 = IE ⊕ E
, pryxodym k pryncypu symmetryy
U
–
1
( z ) = JU z J*( ) , z ∈ C \ { Z ∪ Z }.
Podstavym v (6) z vmesto z y λ y zatem umnoΩym (6) sleva y sprava na J. Yz
pryncypa symmetryy y oçevydnoho ravenstva R z
T*
* ( ) = RT ( z ) sleduet
J – U
–
1*
( z ) J U
–
1
( z ) =
i z z J
u
R z K R z u JT T( − )
( ) ( )[ ]−v
v
*
*
* ,1
. (7)
Opredelenye 3. Pust\ o.�f. p ( z ), q ( z ) meromorfn¥ v C+ y prynymagt
znaçenyq v { E }. Para col [ p ( z ) q ( z ) ] naz¥vaetsq nevanlynnovskoj, esly dlq
nee suwestvuet dyskretnoe v C+ mnoΩestvo toçek Dpq takoe, çto:
1) p*
( z ) p ( z ) + q*
( z ) q ( z ) > 0E ∀z ∈ C+ \ Dpq ;
2) [ p*
( z ), q*
( z ) ] J
p z
q z
( )
( )
≥ 0E ∀z ∈ C+ \ Dpq .
Par¥ col [ p1 ( z ) q1 ( z ) ] y col [ p2 ( z ) q2 ( z ) ] naz¥vagtsq πkvyvalentn¥my, es-
ly suwestvuet meromorfnaq y meromorfno obratymaq o.If. Q ( z ), prynymag-
waq znaçenyq v { E }, takaq, çto p1 ( z ) = p2 ( z ) Q ( z ), q1 ( z ) = q2 ( z ) Q ( z ). Mno-
Ωestvo klassov πkvyvalentnosty nevanlynnovskyx par oboznaçym çerez R ∞ .
V rabotax [1, 4] dokazano, çto OMN (4) vo vpolne neopredelennom sluçae
πkvyvalentno faktoryzovannomu OMN V. P. Potapova
[ ]( ) ( ) ( )
( − ) ( )
− −
I w z
U z JU z
i z z
I
w zE
E*
*1 1
≥ 0E
, z ∈ C+ \ Z. (8)
MnoΩestvo F vsex reßenyj zadaçy Nevanlynn¥ – Pyka moΩno opysat\ y v
termynax drobno-lynejn¥x preobrazovanyj (sm. [1, 4]), a ymenno, formula
w ( z ) = { γ ( z ) p ( z ) + δ ( z ) q ( z ) } { α ( z ) p ( z ) + β ( z ) q ( z ) }
–
1
(9)
ustanavlyvaet byektyvnoe sootvetstvye meΩdu F y R ∞ . Koπffycyent¥ α ,
β, γ, δ opredelen¥ v (5).
Symvolom S oboznaçym klass holomorfn¥x o.If. θ : C + → { E } takyx, çto
θ*
( z ) θ ( z ) ≤ IE ∀z ∈ C+ .
O.If. yz klassa S naz¥vagtsq ßurovskymy. Kak yzvestno (sm., naprymer, [8]),
meΩdu mnoΩestvom R ∞ y mnoΩestvom S suwestvuet byektyvnoe sootvetstvye.
OtobraΩenye yz R ∞ v S zadaetsq formuloj
θ ( z ) = [ p ( z ) + i q ( z ) ] [ p ( z ) – i q ( z ) ]
–
1
,
a obratnoe otobraΩenye yz S v R ∞ — formulamy
p ( z ) = [ IE + θ ( z ) ] Q ( z ), q ( z ) = i [ IE – θ ( z ) ] Q ( z ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA 1337
Zdes\ Q : C + → { E } — proyzvol\naq o.If., meromorfnaq y meromorfno obra-
tymaq v C+
.
Otsgda y yz (9) sleduet, çto formula
w ( z ) = { [ γ ( z ) + i δ ( z ) ] + [ γ ( z ) – i δ ( z ) ] θ ( z ) } { [ α ( z ) + i β ( z ) ] +
+ [ α ( z ) – i β ( z ) ] θ ( z ) }
–
1
(10)
ustanavlyvaet byektyvnoe sootvetstvye meΩdu w ∈ F y θ ∈ S. Koπffycyent¥
α, β, γ, δ opredelen¥ v (5).
2. V¥roΩdennaq zadaça Nevanlynn¥ – Pyka.
Opredelenye 4. Podprostranstvo G̃ ⊂ G naz¥vaetsq podprostran-
stvom typa K dlq par¥ operatorov K, T ∈ { E }, esly:
1) podprostranstvo G̃ ynvaryantno otnosytel\no T
*
;
2) prostranstvo G predstavymo v vyde prqmoj summ¥
G = ˜ ˙ kerG K+ . (11)
Po analohyy s [5] ubeΩdaemsq v tom, çto dlq opredelenn¥x formulamy (2)
operatorov T y K suwestvuet podprostranstvo G̃ typa K .
Pust\ G̃ — podprostranstvo typa K , a Ĝ — eho ortohonal\noe dopolne-
nye. Rassmotrym ortohonal\noe razloΩenye prostranstva G
G = ˜ ˆG G⊕ . (12)
Pust\ symvol¥ P̃ y P̂ oboznaçagt operator¥ ortohonal\noho proektyrova-
nyq na podprostranstva G̃ y Ĝ sootvetstvenno.
Po opredelenyg podprostranstvo G̃ ynvaryantno otnosytel\no operatora
T
*
. Sledovatel\no, T
* P̃ = P̃T
* P̃ . Otsgda sleduet
˜ ˜ ˜PT PTP= . (13)
Teorema 1. V sootvetstvyy s ortohonal\n¥m razloΩenyem (12) ymegt
mesto sledugwye matryçn¥e predstavlenyq operatorov:
˜ ˜ ˆ ˜
˜ ˆ ˆ
P
I
G GG
GG G
=
0
0 0
,
ˆ ˜ ˆ ˜
˜ ˆ ˆ
P
I
G GG
GG G
=
0 0
0
,
u =
˜
ˆ
u
u
, v =
˜
ˆ
v
v
, T =
˜
ˆ
ˆ ˜T
D T
GG
0
,
RT ( z ) =
˜
ˆ ˜ ˆ
ˆ ˜R z
R z DR z R z
GG
( )
( ) ( ) ( )
0
, (14)
˜ ˜
˜R z I zT
G
( ) = ( − )−1, ˆ ˆ
ˆR z I zT
G
( ) = ( − )−1
,
K =
˜
ˆ
˜ ˜
*
˜ ˆ ˜
*
ˆ
ˆ ˜
˜ ˆ ˆ
˜
˜ ˆ ˆ
K Y
Y K
I
Y K I
K I K Y
I
G GG
G
GG
GG G
G
GG G
=
−
−0 0
0 0 0
1
1
.
Dokazatel\stvo. Bloçn¥e predstavlenyq dlq operatorov P̃ , P̂ , u y v
oçevydn¥. Predstavlenye dlq operatora T sleduet yz (13). Otsgda sleduet
predstavlenye dlq RT ( z ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1338 G. M. DGKAREV
Ostalos\ dokazat\ predstavlenye dlq operatora K. Qsno, çto K̃ > 0
G̃
. Po-
πtomu moΩno rassmotret\ faktoryzacyg
K =
˜
ˆ
˜
ˆ ˜
˜
*
˜ ˆ ˜
*
ˆ
ˆ ˜
˜ ˆ
*
˜
˜ ˆ ˆ
K Y
Y K
I
Y K I
K
K Y K Y
I K Y
I
G GG
G
GG
GG
G
GG G
=
−
− −
−0 0
0 0
1 1
1
.
Otsgda y yz opredelenyq podprostranstva typa K sleduet
ˆ ˜*K Y K Y− −1 = 0
Ĝ
.
Teorema 1 dokazana.
Podstavlqq v OT (1) bloçn¥e predstavlenyq operatorov (14), poluçaem
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ
˜ ˜ ˆ ˜ ˆ ˆ ˜
* * *
* * * * * * * *
KT TK TY KD YT
Y T DK TY Y D Y K YT DY TY K Y
− − + +
− − + − −
− −1 1
=
=
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˆ
ˆ˜ ˆ ˜ ˆˆ ˆ ˆ
* * * *
* * * *
u u u u
u u u u
v v v v
v v v v
− −
− −
. (15)
Teorema 2. Pry vvedenn¥x oboznaçenyqx y sdelann¥x predpoloΩenyqx OMN
(4) πkvyvalentno neravenstvu ( ∀z ∈ C+ \ Z )
˜ ˜ ˜ ˜
* /* ˜
K R z w z u
w z w z z z G E
( ){ ( ) − }
( ) − ( ) { − }
≥
{ } ⊕
v
0 (16)
y ravenstvu
Φ ( z ) w ( z ) = Ψ ( z ). (17)
Zdes\
Φ ( z ) = − ( ) ( ) ( ) ( )−Y K R z zR z DR z R z* ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ1 v + v + v , (18)
Ψ ( z ) = − ( ) ( ) ( ) ( )−Y K R z u zR z DR z u R z u* ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ1 + + . (19)
Dokazatel\stvo. Pust\ v¥polneno OMN (4). Podstavlqq predstavlenyq
operatorov (14) v (4), poluçaem
−
−I
Y K I
K I K Y
I
G GG
G
GG
GG G
G
GG G
˜ ˆ ˜
*
ˆ
ˆ ˜
˜ ˆ ˆ
˜
˜ ˆ ˆ
˜
˜ ˜
*
0 0
0 0 01
1
˜
ˆ ˜ ˆ
˜
ˆ
˜
ˆ
/
ˆ ˜
*
R z
R z DR z R z
w z
w z w z z z
GG
( )
( ) ( ) ( )
( ) −
( ) − ( ) { − }
{ }
0 v
v
v
v ≥ 0G ⊕ E
.
UmnoΩaq πto neravenstvo sleva y sprava na operator¥
I
Y K I
I
G GG
G
EG
EG
E
˜ ˆ ˜
*
ˆ
˜
ˆ
˜
*
0 0
0
1−
−
,
I K Y
I
I
G
GG G
EG
EG
E
˜
˜ ˆ ˆ
˜
ˆ
˜
*
−
−1
0
0
0 ,
ymeem
˜ ˜ ˜ ˜
* /
ˆ ˜
˜ ˆ ˆ
*
K R z w z u
z w z z
w z w z z z
GG
GG G
0
0 0
( ) ( ) −
( ) ( ) − ( )
( ) − ( ) { − }
[ ]
{ }
v
Φ Ψ ≥ 0G ⊕ E
. (20)
Yz neravenstva (20) sledugt (16) y (17).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA 1339
Naoborot, pust\ teper\ v¥polnen¥ (16) y (17). Tohda v¥polnqetsq y nera-
venstvo (20). Obrawaq pryvedenn¥e tol\ko çto rezul\tat¥, poluçaem OMN (4).
Teorema 2 dokazana.
Vvedem operator¥ A, B : E → Ĝ :
A = (− + ) + (− + )− −Y K u u i Y K* *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1v v , B = – (− + ) + (− + )− −Y K u u i Y K* *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1v v .
(21)
Lemma 1. Operator¥ A y B udovletvorqgt ravenstvu
A A* = B B*
. (22)
Dokazatel\stvo. Ymeem
A A* – B B* =
= (− + ) + (− + )[ ] (− + ) − (− + )[ ]− − − −Y K u u i Y K Y K u u i Y K* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v v v –
– −(− + ) + (− + )[ ] −(− + ) − (− + )[ ]− − − −Y K u u i Y K Y K u u i Y K* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v v v =
= (− + )(− + ) − (− + )(− + )− − − −Y K u u Y K u u i Y K u u Y K* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v +
+ i Y K Y K u u Y K Y K(− + )(− + ) + (− + )(− + )− − − −* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v v v v v –
– (− + )(− + ) − (− + )(− + )− − − −Y K u u Y K u u i Y K u u Y K* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v +
+ i Y K Y K u u Y K Y K(− + )(− + ) − (− + )(− + )− − − −* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v v v v v =
= 2 1 1 1 1i Y K Y K u u Y K u u Y K(− + )(− + ) − (− + )(− + )[ ]− − − −* * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆv v v v =
= 2
1 1 1i Y K u u K Y Y K u u[ − ( − ) + ( − )− − −* * * * * *˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˆv v v v +
+ ( − ) − ( − )]−ˆ˜ ˆ ˜ ˜ ˆˆ ˆ ˆ* * * *u u K Y u uv v v v1 =
= 2 1 1 1i Y K KT TK K Y Y K TY KD YT[ − ( − ) + (− + + )− − −* * * * *˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ +
+ ( − − ) − ( + − − )]− − −Y T DK TY K Y Y D Y K YT DY TY K Y* * * * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜1 1 1 =
= 2 1 1 1 1i Y T K Y Y K TY Y K TY Y D Y K YT[ − + − + +− − − −* * * * * * * *˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ +
+ Y T K Y DY TY K Y Y D Y K YT DY TY K Y
G
* * * * * * * *
ˆ
˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜− − − −− − − − + + )] =1 1 1 1 0 .
V πtoj cepoçke pqtoe ravenstvo sleduet yz (15).
Lemma 1 dokazana.
Lemma 2. Pust\ operator¥ A, B : E → Ĝ zadan¥ formulamy (21).
Tohda dlq soprqΩenn¥x operatorov A*, B* : Ĝ → E v¥polnqetsq ra-
venstvo
dim im A* = dim im B*
. (23)
Zdes\ im A*
y i m B*
— obraz¥ prostranstva Ĝ v prostranstve E pry
otobraΩenyqx A*
y B*
sootvetstvenno.
Dokazatel\stvo. Yz formul¥ (22) sleduet
dim im A = dim im B.
Dalee ymeem
dim im A + dim ker A = dim E,
dim im B + dim ker B = dim E.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1340 G. M. DGKAREV
Yz trex poslednyx ravenstv ymeem dim ker A = dim ker B. Otsgda sleduet (23).
Lemma 2 dokazana.
Lemma 3. Suwestvuet unytarn¥j operator U : E → E takoj, çto
U A* = B*
. (24)
Dokazatel\stvo. Snaçala opredelym operator U na podprostranstve
im A* ⊂ E s pomow\g formul¥ (24). Yz lemm 1 y 2 sleduet, çto operator U :
im A* → im B*
y qvlqetsq unytarn¥m. Pust\ podprostranstva im A*⊥ ⊂ E y
im B*⊥ ⊂ E qvlqgtsq ortohonal\n¥my dopolnenyqmy k podprostranstvam
im A*
y im B*
sootvetstvenno. Na πtyx podprostranstvax operator U oprede-
lqetsq kak proyzvol\n¥j unytarn¥j operator, otobraΩagwyj im A*⊥
na
im A*⊥
. Po lynejnosty prodolΩym operator U na vse prostranstvo E. Polu-
çym unytarn¥j operator, kotor¥j udovletvorqet uslovyg (24).
Lemma 3 dokazana.
Dlq opysanyq mnoΩestva F nuΩno opysat\ vse reßenyq OMN (4). Sohlas-
no teoreme 2 dostatoçno opysat\ vse reßenyq OMN (16), kotor¥e udovletvorq-
gt ravenstvu (17). Poskol\ku operator K̃ stroho poloΩytel\n¥j, reßenye
SMN (16) osuwestvlqetsq po sxeme reßenyq vpolne neopredelenn¥x zadaç. S
πtoj cel\g vvedem rezol\ventnug matrycu
˜ ˜ ˜
˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
* * * *
* * * *
U z
I z R z K u z R z K
zu R z K u I zu R z K
E
E
( ) =
= + ( ) − ( )
( ) − ( )
− −
− −
α β
γ δ
v v v
v
1 1
1 1
. (25)
Sledugwaq teorema daet opysanye mnoΩestva F, t. e. mnoΩestva vsex re-
ßenyj OMN (4).
Teorema 3. Formula
w ( z ) = { [ γ̃ ( z ) + i δ̃ ( z ) ] + [ γ̃ ( z ) – i δ̃ ( z ) ] θ ( z ) } { [ α̃( z ) + i β̃ ( z ) ] +
+ [ α̃( z ) – i β̃ ( z ) ] θ ( z ) }
–
1
(26)
ustanavlyvaet byektyvnoe sootvetstvye meΩdu reßenyqmy OMN (4) w ∈ F y
ßurovskymy o.�f. θ ∈ S, kotor¥e udovletvorqgt uslovyg
A θ ( z ) = B ∀z ∈ C+
. (27)
Dokazatel\stvo. Pust\ snaçala o.If. w ( z ) ∈ F, t. e. qvlqetsq reßenyem
OMN (4). PokaΩem, çto o.If. w ( z ) predstavyma v vyde drobno-lynejnoho pre-
obrazovanyq (26) nad ßurovskoj o.If. θ ( z ), udovletvorqgwej uslovyg (27).
Sohlasno teoreme 2 o.If. w ( z ) udovletvorqet OMN (16). Yz (15) v¥tekaet
toΩdestvo
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜* * *KT TK u u− = −v v .
Yz πtoho toΩdestva, OMN (16) y strohoj poloΩytel\nosty operatora K̃ sle-
duet (sm. vvedenye), çto o.If. w ( z ) predstavyma v vyde (26) s nekotoroj ßurov-
skoj o.If. θ ( z ) ∈ S. PokaΩem, çto πta ßurovskaq o.If. θ ( z ) udovletvorqet us-
lovyg (27). Sohlasno teoreme 2 o.If. w ( z ) udovletvorqet ravenstvu (17), koto-
roe moΩno zapysat\ v vyde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA 1341
Φ ( z ) { [ γ̃ ( z ) + i δ̃ ( z ) ] + [ γ̃ ( z ) – i δ̃ ( z ) ] θ ( z ) } =
= Ψ ( z ) { [ α̃( z ) + i β̃ ( z ) ] + [ α̃( z ) – i β̃ ( z ) ] θ ( z ) },
yly, çto to Ωe samoe,
{ Φ ( z ) [ γ̃ ( z ) – i δ̃ ( z ) ] – Ψ ( z ) [ α̃( z ) – i β̃ ( z ) ] } θ ( z ) =
= – Φ ( z ) [ γ̃ ( z ) + i δ̃ ( z ) ] + Ψ ( z ) [ α̃( z ) + i β̃ ( z ) ]. (28)
Preobrazuem pravug çast\ ravenstva (28):
Ψ Φ( ) ( ) + ( ) − ( ) ( ) + ( )[ ] [ ]z z i z z z i z˜ ˜ ˜ ˜α β γ δ =
= Ψ Φ Ψ Φ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( ){ }z z z z i z z z z˜ ˜ ˜ ˜α γ β δ =
= { − ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( )[ ][ ]− −Y K R z u zR z DR z u R z u I z R z K uE
* * *˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜1 1v –
– [ ][ ]− ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) }− −Y K R z zR z DR z R z zu R z K u* * *˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜1 1v v v +
+ i Y K R z u zR z DR z u R z u z R z K{ − ( ) + ( ) ( ) + ( ) − ( )[ ][ ]− −* * *˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜1 1v v –
– [ ][ ]− ( ) + ( ) ( ) + ( ) − ( ) }− −Y K R z zR z DR z R z I zu R z KE
* * *˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜1 1v v v v =
= {− ( ) + ( ) ( ) + ( )( − ) ( )− − −Y K R z zR z DR z zY K R z u u R z K* * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜1 1 1v v +
+ z R z DR z u u R z K zR z u u R z K u R z u2 1 1ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ* * * * * *( ) ( )( − ) ( ) + ( )( − ) ( ) } + ( )− −v v v v –
– i Y K R z zR z DR z zY K R z u u R z K{− ( ) + ( ) ( ) + ( )( − ) ( )− − −* * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜1 1 1v v +
+ z R z DR z u u R z K zR z u u R z K iR z2 1 1ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ* * * * * *( ) ( )( − ) ( ) + ( )( − ) ( ) } − ( )− −v v v v v v . (29)
Zametym, çto oba v¥raΩenyq v fyhurn¥x skobkax v (29) sovpadagt. Preobrazu-
em odno yz πtyx v¥raΩenyj:
− ( ) + ( ) ( ) + ( )( − ) ( )− − −Y K R z zR z DR z zY K R z u u R z K* * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜1 1 1v v +
+ z R z DR z u u R z K zR z u u R z K2 1 1ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ˜ ˆ ˜ ˜ ˜* * * * * *( ) ( )( − ) ( ) + ( )( − ) ( )− −v v v v = − ( )−Y K R z* ˜ ˜1 +
+ zR z DR z zY K R z KT R z K zY K R z TKR z Kˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜* * * * *( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( )− − − −1 1 1 1 +
+ z R z DR z KT R z K z R z DR z TKR z K2 1 2 1ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜* * *( ) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( )− − +
+ zR z Y T R z K zR z DKR z K zR z TY R z Kˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜* * * * * *( ) ( ) − ( ) ( ) − ( ) ( )− − −1 1 1 =
= zR z DR z K I zT zKT zTK I zT K R z K
G G
ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
˜
* *
˜
*( ) ( ) ( − ) + − − ( − ) ( )[ ] −1 +
+ Y K R z K I zT zKT zTK R z K
G
*
˜
* * *˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜− −( ) − ( − ) − + ( )[ ]1 1 +
+ zR z Y T R z K zR z TY R z Kˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜* * * * *( ) ( ) − ( ) ( )− −1 1 =
= − ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( )− − −Y R z K zR z Y T R z K zR z TY R z K* * * * * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ ˜ ˜1 1 1 =
= ˆ ˆ ˜ ˆ ˜ ˜
ˆ
* * * * *R z I zT Y zY T zTY R z K
G
( ) −( − ) + − ( )[ ] −1 =
= – ˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˜*
˜
* * *R z Y I zT R z K R z Y K
G
( ) ( − ) ( ) = − ( )− −1 1
. (30)
Yz (29) y (30) sleduet
Ψ Φ( ) ( ) + ( ) − ( ) ( ) + ( )[ ] [ ]z z i z z z i z˜ ˜ ˜ ˜α β γ δ =
= ( ) ( )− ( ) + ( ) − − ( ) + ( )− −ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ* *R z Y K u R z u i R z Y K R z1 1v v . (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1342 G. M. DGKAREV
Analohyçn¥m obrazom preobrazov¥vaetsq koπffycyent pry θ ( z ) v levoj
çasty (28). V rezul\tate poluçym
Φ Ψ( ) ( ) − ( ) − ( ) ( ) − ( )[ ] [ ]z z i z z z i z˜ ˜ ˜ ˜γ δ α β =
= − − ( ) + ( ) − − ( ) + ( )( ) ( )− −ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ ˆ ˜ ˜ ˆ ˆ* *R z Y K u R z u i R z Y K R z1 1v v . (32)
Podstavym (31) y (32) v (28). Posle sokrawenyq na neosobennug meromorfnug
o.If. R̂ z( ) budem ymet\
−(− + ) − (− + ){ } ( ) = (− + ) − (− + ){ }− − − −Y K u u i Y K z Y K u u i Y K* * * *˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ ˜ ˜ ˆ1 1 1 1v v v vθ .
Otsgda sleduet (27).
PokaΩem teper\, çto drobno-lynejnoe preobrazovanye (26), prymenennoe k
ßurovskoj o.If. θ ( z ), udovletvorqgwej uslovyg (27), pryvodyt k o.If.
w ( z ) ∈ F.
PreΩde vseho otmetym, çto mnoΩestvo ßurovskyx o.If., udovletvorqgwyx
uslovyg (27), ne pusto. Dostatoçno rassmotret\ o.If. θ ( z ) ≡ U*
, hde U — uny-
tarn¥j operator yz lemm¥ 3.
Pust\ teper\ o.If. w ( z ) predstavlena v vyde (26) s ßurovskoj o.If. θ ( z ),
udovletvorqgwej uslovyg (27). Otsgda sleduet (sm. vvedenye), çto w z( )
udovletvorqet OMN (16). Obrawaq pred¥duwye rassuΩdenyq, poluçaem, çto yz
(27) sleduet (17). Sohlasno teoreme 2 w ( z ) ∈ F.
Teorema 3 dokazana.
Opredelennaq formuloj (25) rezol\ventnaq matryca Ũ qvlqetsq o.If.
polnoho ranha (sm. [4]). Takym obrazom, formula (26) zadaet opysanye mnoΩes-
tva reßenyj v¥roΩdennoj zadaçy Nevanlynn¥ – Pyka s pomow\g rezol\vent-
noj matryc¥ polnoho ranha. Ranee v analohyçn¥x sytuacyqx pryxodylos\ vvo-
dyt\ y yssledovat\ rezol\ventn¥e matryc¥ nepolnoho ranha (sm. [5 – 7]).
Yz teorem¥ 3 sleduet, çto F ≠ ∅, tak kak ne pusto mnoΩestvo ßurovskyx
o.If. θ ( z ), kotor¥e udovletvorqgt uslovyg (27). Pryvedem bolee prozraçnoe
opysanye mnoΩestva ßurovskyx o.If. θ ( z ), kotor¥e udovletvorqgt uslo-
vygI(27).
Pust\ Ê = im B*
y Ẽ = E � Ê . Tohda
E = Ê ⊕ Ẽ . (33)
Teorema 4. Pust\ U — unytarn¥j operator, udovletvorqgwyj uslo-
vygI(24).
Dlq toho çtob¥ ßurovskaq o.�f. θ ( z ) udovletvorqla uslovyg (27), neob-
xodymo y dostatoçno, çtob¥ ona dopuskala predstavlenye vyda (bloçnoe pred-
stavlenye ponymaem v sootvetstvyy s (33))
θ ( z ) = U
I
z
E EE
EE
* ˆ ˜ ˆ
ˆ ˜
˜
0
0 θ( )
∀z ∈ C+ . (34)
Zdes\ θ̃ : C+ → Ẽ — ßurovskaq o.�f.
Dokazatel\stvo. Pust\ snaçala θ ( z ) udovletvorqet uslovyg (27) y U —
unytarn¥j operator, postroenn¥j v lemme 3. Po formule (24) y yz (27) ymeem
U A* = B*, θ*
( z ) A* = B* ∀z ∈ C+ .
Poπtomu
U | im A* = θ*
( z ) | im A* ∀z ∈ C+ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
VÁROÛDENNAQ ZADAÇA NEVANLYNNÁ – PYKA 1343
Otsgda y yz lemm¥ 3 sleduet, çto podprostranstvo im B* = Ê ynvaryantno
otnosytel\no operatora θ*
( z ) U*
y
θ* *
ˆ ˆ( ) =z U IE E
.
Takym obrazom,
θ*
( z ) U* =
I z
z
E
EE
ˆ
*
ˆ ˜
*˜
θ
θ
12
0
( )
( )
∀z ∈ C+ .
Operator θ*
( z ) U*
qvlqetsq sΩymagwym dlq lgboho z ∈ C+ . Poπtomu
θ12
* ( )z = 0 ˜ ˆEE
, a o.If. θ̃( )z qvlqetsq ßurovskoj. Otsgda sleduet predstavle-
nyeI(34).
Naoborot, pust\ ßurovskaq o.If. θ ( z ) dopuskaet predstavlenye (34) s uny-
tarn¥m operatorom U, udovletvorqgwym uslovyg (24). PokaΩem, çto ona
udovletvorqet uslovyg (27). Dejstvytel\no, uslovye (34) moΩno perepysat\ v
vyde
θ*
( z ) U* =
I
z
E EE
EE
ˆ ˜ ˆ
ˆ ˜
*˜
0
0 θ ( )
∀z ∈ C+ .
Otsgda sleduet, çto podprostranstvo Ê ynvaryantno otnosytel\no operatora
θ*
( z ) U*
y θ* *
ˆ( )z U E = I
Ê
. Teper\ ymeem
θ*
( z ) A* = θ*
( z ) U*
U A* = θ*
( z ) U*
B* = { }( )θ* *
ˆ
*z U BE = I
Ê
B* = B*
.
Teorema 4 dokazana.
1. Kovalyßyna Y. V., Potapov V. P. Yndefynytnaq metryka v probleme Nevanlynn¥ – Pyka //
Dokl. AN ArmSSR. – 1974. – 59, v¥p. 1. – S. 17 – 22.
2. Potapov V. P. Mul\typlykatyvnaq struktura J-rastqhyvagwyx matryc-funkcyj // Tr.
Mosk. mat. o-va. – 1995. – 4. – S. 125 – 236.
3. Kovalyßyna Y. V., Potapov V. P. Yntehral\noe predstavlenye πrmytovo poloΩytel\n¥x
funkcyj. – Xar\kov, 1981. – 140 s. – Dep. VYNYTY, # 298-81.
4. Kovalyßyna Y. V. Analytyçeskaq teoryq odnoho klassa ynterpolqcyonn¥x zadaç // Yzv.
AN SSSR. Ser. mat. – 1983. – 47, # 3. – S. 455 – 497.
5. Dubovoj V. K. Yndefynytnaq metryka v ynterpolqcyonnoj probleme Íura dlq analyty-
çeskyx funkcyj // Teoryq funkcyj, funkcyon. analyz y yx pryl. – 1984. – 42. – S. 46 – 57.
6. Bolotnikov V. On degenerate Hamburger moment problem and extensions of nonnegative Hankel
blok matrices // Integr. Equat. Oper. Theory. – 1996. – 25, # 3. – P. 253 – 276.
7. Bolotnikov V., Dym H. On degenerate interpolation, entropy and extremal problems for Schur
functions // Ibid. – 1998. – 28, # 2. – P. 275 – 292.
8. Dgkarev G. M. Pryncyp maksymuma dlq stylt\esovskyx par analytyçeskyx matryc-funk-
cyj // Visn. Xark. nac. un-tu. Matematyka, prykl. matematyka i mexanika. – 2002. – # 542. –
S. 35 – 41.
Poluçeno 02.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3689 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:08Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/990e227b2dd408288cbf070b4ed8fa6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36892020-03-18T20:02:18Z Degenerate Nevanlinna-Pick problem Вырожденная задача Неванлинны - Пика Dyukarev, Yu. M. Дюкарев, Ю. М. Дюкарев, Ю. М. A general solution of the degenerate Nevanlinna-Pick problem is described in terms of fractional-linear transformations. A resolvent matrix of the problem is obtained in the form of a J-expanding matrix of full rank. Загальний розв'язок виродженої задачі Неванлінни - Піка описано у термшах дробово-лілійних перетворень. Резольвентну матрицю задачі одержано у формі J-розтяжної матриці повного рангу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3689 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1334–1343 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1334–1343 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3689/4104 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3689/4105 Copyright (c) 2005 Dyukarev Yu. M. |
| spellingShingle | Dyukarev, Yu. M. Дюкарев, Ю. М. Дюкарев, Ю. М. Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title | Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title_alt | Вырожденная задача Неванлинны - Пика |
| title_full | Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title_fullStr | Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title_full_unstemmed | Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title_short | Degenerate Nevanlinna-Pick problem |
| title_sort | degenerate nevanlinna-pick problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3689 |
| work_keys_str_mv | AT dyukarevyum degeneratenevanlinnapickproblem AT dûkarevûm degeneratenevanlinnapickproblem AT dûkarevûm degeneratenevanlinnapickproblem AT dyukarevyum vyroždennaâzadačanevanlinnypika AT dûkarevûm vyroždennaâzadačanevanlinnypika AT dûkarevûm vyroždennaâzadačanevanlinnypika |