On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks
For a homogeneous process with independent increments, we determine the integral transforms of the joint distribution of the first-exit time from an interval and the value of a jump of a process over the boundary at exit time and the joint distribution of the supremum, infimum, and value of the proc...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3691 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509823325437952 |
|---|---|
| author | Kadankov, V. F. Kadankova, T. V. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. |
| author_facet | Kadankov, V. F. Kadankova, T. V. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. |
| author_sort | Kadankov, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | For a homogeneous process with independent increments, we determine the integral transforms of the joint distribution of the first-exit time from an interval and the value of a jump of a process over the boundary at exit time and the joint distribution of the supremum, infimum, and value of the process. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
V. F. Kadankov (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
T. V. Kadankova (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA
YZ YNTERVALA Y VELYÇYNÁ PERESKOKA HRANYCÁ
DLQ PROCESSOV S NEZAVYSYMÁMY PRYRAWENYQMY
Y SLUÇAJNÁX BLUÛDANYJ
For a homogeneous process with independent increments, we obtain integral transforms of the joint
distribution of the moment of the first exit from a fixed interval and the value of the overshoot through
the boundary at the moment of exit. We also obtain integral transforms of the joint distribution of
supremum, infimum, and the value of the process.
Dlq odnoridnoho procesu z nezaleΩnymy prorostamy otrymano intehral\ni peretvorennq sumis-
noho rozpodilu momentu perßoho vyxodu procesu z intervalu i velyçyny perestrybu procesu
çerez hranycg v moment vyxodu, sumisnoho rozpodilu supremum'a, infimum'a i znaçennq procesu.
Vvedenye. V nastoqwej stat\e pryvedeno reßenye klgçevoj dvuxhranyçnoj
zadaçy dlq odnorodn¥x processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y sluçajn¥x
bluΩdanyj.
Najdenn¥e analytyçeskye v¥raΩenyq dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj
sovmestn¥x raspredelenyj dvuxhranyçn¥x funkcyonalov processa pryveden¥ v
termynax yntehral\n¥x preobrazovanyj sovmestn¥x raspredelenyj odnohra-
nyçn¥x funkcyonalov processa, kotor¥e b¥ly poluçen¥ v 60-x hodax proß-
loho stoletyq v rabotax B.3A.3Rohozyna, E.3A.3Peçerskoho, A.3A.3Borovkova,
V.3M.3Zolotareva y druhyx.
Dlq sostavlenyq yntehral\n¥x uravnenyj yspol\zovan¥ prqm¥e veroqtnos-
tn¥e metod¥, osnovann¥e na formule polnoj veroqtnosty y svojstve strohoj
markovosty processa. Pry reßenyy v¥vedenn¥x lynejn¥x yntehral\n¥x urav-
nenyj prymenen klassyçeskyj metod posledovatel\n¥x yteracyj. Pryveden¥
prymer¥ prymenenyq poluçenn¥x rezul\tatov dlq poluneprer¥vnoho processa,
processa Vynera, celoçyslenn¥x sluçajn¥x bluΩdanyj.
1. Dvuxhranyçn¥e zadaçy dlq processov. Pust\ ξ( )t ∈ R, t ≥ 0, — odno-
rodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyqmy [1] y kumulqntoj
k p p p e
px
x
dxpx( ) ( )= − + − +
+
−∞
∞
−∫1
2
1
1
2 2
2σ α Π , Re p = 0. (1)
Budem predpolahat\, çto v¥boroçn¥e traektoryy processa neprer¥vn¥ sprava y
ξ( )0 = 0. Otmetym, çto process ξ( )t , t ≥ 0, qvlqetsq stroho markovskym [2].
V processe reßenyq dvuxhranyçn¥x zadaç dlq processa ξ( )t , t ≥ 0, nam po-
nadobqtsq yntehral\n¥e preobrazovanyq sovmestn¥x raspredelenyj nekotor¥x
odnohranyçn¥x funkcyonalov processa. Pust\
ξ ξ+
≤
=( ) sup ( )t u
u t
, ξ ξ−
≤
=( ) inf ( )t u
u t
y νs — ne zavysymaq ot processa, pokazatel\no raspredelennaq s parametrom
s > 0 sluçajnaq velyçyna: P νs t>[ ] = exp −{ }st .
Pry reßenyy hranyçn¥x zadaç dlq processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy
vaΩnoe znaçenye ymeet faktoryzacyonnoe toΩdestvo Spycera – Rohozyna
E E Eexp ( )
( )
exp ( ) exp ( )−{ } =
−
= −{ } −{ }+ −p s
s k p
p ps s sξ ν ξ ν ξ ν , Re p = 0,
hde
© V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1359
1360 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E Eexp ( ) exp ; ( )( )−{ } = − ± >[ ]
±
∞
− −∫p
t
e e t dts
st p tξ ν ξξ
0
1 1 0 , ± Re p ≥ 0.
Dlq x, y > 0 vvedem sluçajn¥e velyçyn¥:
τ ξx t t x= ≥{ }inf : ( ) , T xx x= −ξ τ( ) ,
τ ξy t t y= ≤ −{ }inf : ( ) , T yy y= − −ξ τ( )
— sootvetstvenno moment y velyçyna pervoho pereseçenyq processom verxneho
x y nyΩneho – y urovnej.
Lemma 1. Pust\ ξ( )t ∈ R , t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my
pryrawenyqmy. Tohda dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj sovmestn¥x rasprede-
lenyj { τx , T x }, { τy, Ty }, { ξ ν( )s , ξ ν± ( )s } pry s > 0 v¥polnqgtsq raven-
stva
E E Ee pT e e xs x p p x
s
x
s s− − − − −( ) +−{ }[ ] = ( ) ≥
+ +
τ ξ ν ξ ν ξ νexp ; ( )( ) ( )1
, Re p ≥ 0,
E E Ee pT e e y
s
y
p p y
s
y s s− − +( ) −−{ }[ ] = ( ) − ≥
− −τ ξ ν ξ ν ξ νexp ; ( )( ) ( )1
, Re p ≥ 0,
(2)
E E Ee x e e xp
s
p p
s
s s s− + − − +<[ ] = <[ ]− +ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( ) , Re p ≤ 0,
E E Ee x e e xp
s
p p
s
s s s− − − − −> −[ ] = > −[ ]+ −ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( ) , Re p ≥ 0.
Dokazatel\stvo. Yntehral\n¥e preobrazovanyq sovmestn¥x raspredele-
nyj πtyx hranyçn¥x funkcyonalov yzvestn¥ [3] kak dlq sluçajn¥x bluΩda-
nyj, tak y dlq odnorodn¥x processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy. Pryve-
dem kratkyj v¥vod ravenstv (2), osnovann¥j na yspol\zovanyy faktoryzacy-
onnoho toΩdestva Spycera – Rohozyna y prost¥x veroqtnostn¥x rassuΩdenyqx.
Sohlasno formule polnoj veroqtnosty y svojstvu strohoj markovosty proces-
sa, spravedlyvo ravenstvo
E E E Ee e x e e ep p
s
s p ps s
x x
s− − + − − −= <[ ] + [ ]ξ ν ξ ν τ ξ τ ξ νξ ν( ) ( ) ( ) ( ); ( ) , Re p = 0.
(3)
∏to ravenstvo otraΩaet tot fakt, çto pryrawenyq processa ξ( )t , t ≥ 0, na
yntervale 0, νs[ ] proysxodqt lybo na traektoryqx, kotor¥e ne peresekagt
uroven\ x (pervoe slahaemoe v pravoj çasty ravenstva), lybo na traektoryqx,
kotor¥e peresekagt uroven\ x s posledugwymy pryrawenyqmy processa na po-
kazatel\no raspredelennom yntervale 0, νs[ ] (vtoroe slahaemoe pravoj çasty
ravenstva). Pryvedem takΩe sledugwee poqsnenye. Sohlasno formule polnoj
veroqtnosty, spravedlyvo ravenstvo
Ee p t− ξ( ) = E e tp t x− >[ ]ξ τ( ) ; + E e tp t x− ≤[ ]ξ τ( ) ; =
= E e t xp t− + <[ ]ξ ξ( ) ; ( ) + E e e tp p t xx x
x
− − −
≤
ξ τ θ ξ τ
τ τ( ) ( )
; , Re p = 0, (4)
hde θt — operator sdvyha [2]. Poskol\ku τx
— markovskyj moment, pryrawe-
nyq processa θ ξ ττ x t x( )− ne zavysqt ot syhma-alhebr¥
�τ x , poroΩdennoj so-
b¥tyqmy { ξ( )u < v} ∩ { τx > u} pry vsevozmoΩn¥x u, v. Poπtomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1361
E E Ee e t e du ep p t x
t
p u x p t ux x
x
− − − − − −≤
= ∈[ ] [ ]∫ξ τ θ ξ τ ξ ξτ τ τ( ) ( ) ( ) ( ); ;
0
.
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye v (4), naxodym
E E E Ee e t x e du ep t p t
t
p u x p t u− − + − − −<[ ] + ∈[ ] [ ]∫ξ ξ ξ ξξ τ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ;=
0
.
UmnoΩaq obe çasty πtoho ravenstva na plotnost\ se st−
sluçajnoj velyçyn¥
νs y v¥polnqq yntehryrovanye po vsem t ≥ 0, poluçaem ravenstvo (3).
Yspol\zuq toΩdestvo Spycera – Rohozyna, perepyßem ravenstvo (3) v sledu-
gwem vyde:
E Ee e xp p x
s
s s− − − −( ) +−( ) <[ ]ξ ν ξ ν ξ ν( ) ( ) ; ( )
1
– E e x
p x
s
s− −( ) +
+
<
ξ ν ξ ν( )
; ( ) =
= E e x
p x
s
s− −( ) +
+
≥
ξ ν ξ ν( )
; ( ) – Ee p s− +ξ ν( ) E e pTs xx− −{ }[ ]τ exp , Re p = 0.
Levaq çast\ πtoho ravenstva soderΩyt ohranyçennug funkcyg, analytyçeskug
v levoj poluploskosty Re p < 0, neprer¥vnug, vklgçaq hranycu Re p = 0.
∏tym ravenstvom ona prodolΩaetsq do funkcyy, analytyçeskoj v pravoj polu-
ploskosty, ostavaqs\ pry πtom ohranyçennoj. Sledovatel\no, sohlasno teoreme
Lyuvyllq, ona toΩdestvenno ravna konstante C s( ), kotoraq v dannom sluçae
lehko v¥çyslqetsq: C s( ) = 0.
M¥ provely standartn¥e faktoryzacyonn¥e rassuΩdenyq [4], v rezul\tate
kotor¥x yz πtoho ravenstva poluçym dve formul¥ dlq yntehral\n¥x pre-
obrazovanyj raspredelenyq { τx , T x } y sovmestnoho raspredelenyq { ξ ν( )s ,
ξ ν+ ( )s }:
E e pTs xx− −{ }[ ]τ exp = E Ee e xp p x
s
s s− − − −( ) ++ +( ) ≥
ξ ν ξ ν ξ ν( ) ( )
; ( )
1
, Re p ≥ 0,
E e xp
s
s− + <[ ]ξ ν ξ ν( ); ( ) = E Ee e xp p
s
s s− − +− +
<[ ]ξ ν ξ ν ξ ν( ) ( ); ( ) , Re p ≤ 0.
Prymenqq dlq processa − ξ( )t , t ≥ 0, pervug yz πtyx formul, poluçaem
vtoroe ravenstvo lemm¥; prymenqq dlq processa − ξ( )t , t ≥ 0, vtorug yz for-
mul, poluçaem çetvertoe ravenstvo lemm¥.
1.1. V¥xod processa yz yntervala. Pervaq zadaça, kotorug m¥ rassmot-
rym, — opredelenye yntehral\noho preobrazovanyq sovmestnoho raspredelenyq
momenta pervoho v¥xoda processa yz yntervala y velyçyn¥ pereskoka processa
çerez hranycu yntervala v moment pervoho v¥xoda. Pust\ B > 0 fyksyrovano,
x ∈ (0, B), y = B – x, ξ( )0 = 0, y vvedem sluçajnug velyçynu
χ = inf : ( ) ( , )t t y x> ∉ −{ }0 ξ
— moment pervoho v¥xoda processa yz yntervala ( , )− y x . Sluçajnaq velyçyna
χ qvlqetsq markovskym momentom [2] y P χ < ∞[ ] = 1. V¥xod processa yz
yntervala moΩet proyzojty lybo çerez verxngg hranycu x, lybo çerez nyΩ-
ngg – y. Vvedem sob¥tyq:
Ax = {ξ χ( ) ≥ x} — v¥xod processa yz yntervala proyzoßel çerez verxngg
hranycu;
Ay = {ξ χ( ) ≤ – y} — v¥xod processa yz yntervala proyzoßel çerez nyΩngg
hranycu.
Opredelym sluçajnug velyçynu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1362 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
X x x y R
A Ax y
= −( ) + − −( ) ∈ +ξ χ ξ( ) ( )I I , P A Ax
y+[ ] = 1,
— velyçynu pereskoka processa çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda yz yn-
tervala, hde IA = IA( )ω — yndykator sob¥tyq A.
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ ξ( )t ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my
pryrawenyqmy, B > 0 fyksyrovano, x ∈ (0, B), y = B – x, ξ( )0 = 0, y
χ = inf : ( ) ( , )t t y x> ∉ −{ }0 ξ , X x y
A Ayx= −( ) + − −( )ξ χ ξ χ( ) ( )I I
— sootvetstvenno moment pervoho v¥xoda processa yz yntervala ( , )− y x y
velyçyna pereskoka processa çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda. Tohda dlq
preobrazovanyj Laplasa sovmestnoho raspredelenyq sluçajn¥x velyçyn { χ, X }
pry s > 0 spravedlyv¥ ravenstva
E e X du A f x du f x d dus x s s s−
+
∞
+ +∈[ ] = + ∫χ; , ( , ) ( , ) ( , )
0
v vK ,
(5)
E e X du A f y du f y d dus
y
s s s−
−
∞
− −∈[ ] = + ∫χ ; , ( , ) ( , ) ( , )
0
v vK ,
hde
f x du e T du e T d e T dus s x s
y
s Bx
y
B
+
−
∞
− − += ∈[ ] − ∈[ ] ∈[ ]∫
+
( , ) ; ; ;E E Eτ τ τ
0
v
v v
,
f y du e T du e T d e T dus s
y
s x s
B
y
x
B
−
−
∞
− −
+= ∈[ ] − ∈[ ] ∈[ ]∫ +( , ) ; ; ;E E E
τ τ τ
0
v v
v ,
K±
s du( , )v =
n
nK du s=
∞
±∑ 1
( )( , , )v , v ≥ 0, — rqd Nejmana yz posledovatel\n¥x
yteracyj,
K du s K du s± ±=( )( , , ) ( , , )1 v v ,
K du s K dl s K l du sn n
±
+
∞
± ±= ∫( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , )1
0
v v , n ∈N,
— posledovatel\n¥e yteracyy qder K du s±( , , )v , kotor¥e opredelen¥ raven-
stvamy
K du s e T dl e T du
s
B
s l BB
l B
+
∞
−
+
− += ∈[ ] ∈[ ]∫ + +
( , , ) ; ;v E Ev
v
0
τ τ
,
K du s e T dl e T dus B s
l B
B
l B
−
∞
− + −
+= ∈[ ] ∈[ ]∫
+ +( , , ) ; ;v
v v
0
E Eτ τ
.
Dokazatel\stvo. Dlq funkcyj E [e s− χ ; X ∈ du, Ax ], E [ e s− χ ; X ∈ du, Ay ],
sohlasno formule polnoj veroqtnosty, odnorodnosty processa po prostranst-
vu y svojstvu strohoj markovosty processa, spravedlyva sledugwaq systema
uravnenyj:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1363
E e T dus xx− ∈[ ]τ ; =
= E e X du As x− ∈[ ]χ ; , +
0
∞
− − +∫ ∈[ ] ∈[ ]+
E Ee X d A e T dus
y
s BBχ τ; , ;v
v v ,
. (6)
E e T du
s
y
y− ∈[ ]τ
; =
= E e X du As
y
− ∈[ ]χ ; , +
0
∞
− −
+∫ ∈[ ] ∈[ ]+E Ee X d A e T dus x s
B
Bχ τ
; , ;v v
v .
Pervoe uravnenye dannoj system¥ otraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pervoe pe-
reseçenye verxneho urovnq x processom ξ( )t , t ≥ 0 (levaq çast\ uravnenyq),
proysxodyt na traektoryqx, kotor¥e lybo ne peresekagt nyΩnyj uroven\ – y
(pervoe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq), lybo na traektoryqx, kotor¥e pe-
resekagt nyΩnyj uroven\ – y y zatem vperv¥e peresekagt verxnyj uroven\ x
(vtoroe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq). Pryvedem takΩe sledugwee
kratkoe poqsnenye. Oçevydno, çto
E Ee T du e X du As x x
y
s xx− −∈ <[ ] = ∈[ ]τ χτ τ; , ; , ,
E Ee T du e X du A
s
y y
x s
y
y− −∈ <[ ] = ∈[ ]τ χτ τ; , ; , .
Tohda, sohlasno formule polnoj veroqtnosty, spravedlyva cepoçka ravenstv
E e T dus xx− ∈[ ]τ ; = E e T dus x x
y
x− ∈ <[ ]τ τ τ; , + E e T dus x
y
xx− ∈ <[ ]τ τ τ; , =
= E e X du As x− ∈[ ]χ ; , + E e e T du As s B X
y
B X− − ++
∈[ ]χ τ ; , . (7)
Poskol\ku χ — markovskyj moment, sluçajn¥e velyçyn¥ τB X+
, T B X+
ne
zavysqt ot syhma-alhebr¥ �χ , poroΩdennoj sob¥tyqmy { ξ( )u < v} ∩ {χ > u}
pry vsevozmoΩn¥x u, v. Poπtomu
E e e T du As s B X
y
B X− − ++
∈[ ]χ τ ; , =
=
0
∞
− − +∫ ∈[ ] ∈[ ]+
E Ee X d A e T dus
y
s BBχ τ; , ;v
v v
.
Podstavlqq pravug çast\ πtoho ravenstva v (7), poluçaem pervoe ravenstvo sys-
tem¥ (6). Spravedlyvost\ vtoroho ravenstva system¥ ustanavlyvaetsq analo-
hyçno.
Perejdem k reßenyg system¥ lynejn¥x yntehral\n¥x uravnenyj (6). Ona
analohyçna systeme lynejn¥x uravnenyj s dvumq neyzvestn¥my. Podstavlqq v
pervoe uravnenye v¥raΩenye dlq E [e s− χ ; X ∈ du, Ay ] yz vtoroho uravnenyq,
ymeem
E e X du As x− ∈[ ]χ ; , = f x dus
+ ( , ) +
+
l
s x s
B
s l Be X d A e T dl e T duB
l B
=
∞
=
∞
− −
+
− +∫ ∫ ∈[ ] ∈[ ] ∈[ ]+ +
0 0v
vv vE E Eχ τ τ; , ; ; , (8)
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1364 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
f x dus
+ ( , ) = E e T dus xx− ∈[ ]τ ; –
0
∞
− − +∫ ∈[ ] ∈[ ]+
E Ee T d e T du
s
y
s By
Bτ τ; ;v
v v .
Yzmenqq vo vtorom slahaemom pravoj çasty (8) porqdok yntehryrovanyq, po-
luçaem lynejnoe yntehral\noe uravnenye otnosytel\no funkcyy E [e s− χ ; X ∈
∈ du, Ax ]:
E e X du As x− ∈[ ]χ ; , = f x dus
+ ( , ) 3+3
0
∞
−
+∫ ∈[ ]E e X d A K du ss xχ ; , ( , , )v v . (9)
Dlq qdra πtoho uravnenyq K du s+( , , )v dlq vsex v, u ∈ R+ , s > s0 > 0 spraved-
lyva ocenka
K du s+( , , )v =
0
∞
−
+
− +∫ + +
∈[ ] ∈[ ]E Ee T dl e T du
s
B
s l BB
l Bτ τv
v; ; ≤
≤
0
∞
−
+
+∫ + ∈[ ] −{ }E Ee T dl s
s
B
l BBτ τv
v; exp ≤
≤
E Eexp ;−{ } ∈[ ]
∞
−
+∫ +s e T dlB s
B
Bτ τ
0
v
v ≤
≤ E Eexp exp−{ } −{ }s sB
Bτ τ ≤ λ < 1, s s> >0 0 ,
hde
λ = E Eexp exp−{ } −{ }s sB
B0 0τ τ < 1, s0 > 0.
∏ta cepoçka neravenstv pryvedena v [2] pry reßenyy zadaçy o sovmestnom ras-
predelenyy supremum’a, infimum’a y znaçenyy odnorodnoho processa s nezavy-
sym¥my pryrawenyqmy. Pry v¥vode πtoj cepoçky m¥ vospol\zovalys\ takΩe
neravenstvom
E exp −{ }+s Bτv ≤ E exp −{ }s Bτ , v ≥ 0, kotoroe sleduet yz sootno-
ßenyj
E exp −{ }+s Bτv =
E e Ts BB− >[ ]τ ; v +
0
v
v∫ − −∈[ ] −{ }E Ee T du ss B uBτ τ; exp ≤
≤
E e Ts BB− >[ ]τ ; v +
E e Ts BB− ≤[ ]τ ; v = E exp −{ }s Bτ .
Estestvenno, çto v¥polnqetsq y neravenstvo E exp −{ }+s Bτv ≤ E exp −{ }s Bτ ,
v ≥ 0. Y3esly
K du s+
( )( , , )1 v = K du s+( , , )v ,
K du sn
+
+( )( , , )1 v =
0
∞
+ +∫ K dl s K l du sn( )( , , ) ( , , )v , n ∈N,
— posledovatel\nost\ n -x yteracyj qdra K du s+( , , )v , to po yndukcyy usta-
navlyvaem, çto dlq vsex v, u ∈ R+ , s > s0 > 0 spravedlyva ocenka K n
+
( )
(v, du,
s) < λn , n ∈ N. Sledovatel\no, rqd
K+
s du( , )v =
n
nK du s
=
∞
+∑
1
( )( , , )v < λ λ( )1 1− −
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1365
sostoqwyj yz posledovatel\n¥x yteracyj qdra K du s+( , , )v , sxodytsq ravno-
merno po v, u ∈ R+ , s > s0 > 0. Prymenqq dlq reßenyq lynejnoho yntehral\-
noho uravnenyq (9) metod posledovatel\n¥x yteracyj [5], naxodym pervoe yz
ravenstv (5). Spravedlyvost\ vtoroho yz ravenstv (5) ustanavlyvaetsq ana-
lohyçno.
1.2. V¥xod yz yntervala poluneprer¥vnoho processa. Pust\ ξ( )t , t ≥ 0,
— poluneprer¥vn¥j snyzu odnorodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyqmy
y kumulqntoj
k p p p e
px
x
dxpx( ) ( )= − + − +
+
∞
−∫1
2
1
1
2 2
0
2σ α Π , Re p ≥ 0. (10)
M¥ ysklgçaem yz rassmotrenyq monotonn¥e neub¥vagwye process¥. Tohda
nyΩnyj uroven\ dostyhaetsq processom neprer¥vn¥m obrazom, y dlq ynteh-
ral\n¥x preobrazovanyj raspredelenyj nyΩnyx hranyçn¥x funkcyonalov τx ,
ξ ν− ( )s spravedlyv¥ formul¥
E e T dus
x
x− ∈[ ]τ ; = e u duxc s− ( ) ( )δ , E exp ( )
( )
( )
−{ } =
−
−p
c s
c s psξ ν , Re p ≤ 0,
hde c s( ) > 0 — edynstvenn¥j koren\ v pravoj poluploskosty Re p > 0 urav-
nenyq k p( ) – s = 0, s > 0, a δ( )u — obobwennaq del\ta-funkcyq. Yspol\zuq
faktoryzacyonnoe toΩdestvo Spycera – Rohozyna y pervoe yz ravenstv (2),
naxodym yntehral\noe preobrazovanye sovmestnoho raspredelenyq { τx , ξ τ( )x }
momenta pervoho pereseçenyq verxneho urovnq x processom ξ( )t y znaçenyq
processa v moment pervoho pereseçenyq:
0
1 1
∞
−∫ − −{ } = − + −
+ −
−
−
e s dx
p
p c s
k p s
k s
c s
px x xE exp ( )
( )
( )
( )
( )
τ λξ τ λ
λ
λ
λ
. (11)
Pust\ B > 0 fyksyrovano, x ∈ ( 0, B ), y = B – x, ξ( )0 = 0 y
χ = inf : ( ) ( , )t t y x> ∉ −{ }0 ξ y X x y
A Ayx= −( ) + − −( )ξ χ ξ χ( ) ( )I I
— sootvetstvenno moment pervoho v¥xoda processa yz yntervala ( – y, x ) y
velyçyna pereskoka processa çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda, hde Ax =
= {ξ χ( ) ≥ x}, Ay = {ξ χ( ) = – y }.
Sledstvye 1. Pust\ ξ( )t ∈ R, t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥-
my pryrawenyqmy, poluneprer¥vn¥j snyzu, s > 0. Tohda:
1)33dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj sovmestn¥x raspredelenyj sluçajn¥x
velyçyn { χ, X } spravedlyv¥ ravenstva
E e A e
G c s
G c s
s
y
yc s x
s
B
s
− −[ ] = − ( )
− ( )
χ;
( )
( )
( ) 1
1
,
(12)
E E E Ee X du A e T du e A e T dus x s x s
y
s Bx B− − − −∈[ ] = ∈[ ] − [ ] ∈[ ]χ τ χ τ; , ; ; ; ,
hde
G sx
s x x( ) exp ( )λ τ λ ξ τ= − −{ }E , x > 0,
y yntehral\noe preobrazovanye πtoj funkcyy opredeleno ravenstvom (11);
2)33dlq yntehral\n¥x preobrazovanyj momentov v¥xoda yz yntervala spra-
vedlyv¥ rezol\ventn¥e predstavlenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1366 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E e A
R s
R s
s
y
x
B
−[ ] =χ;
( )
( )
,
(13)
E e A
R s
R s
s
R s
R s
R s du s R s dus x x
B
x
B
B
u
x
u
−[ ] = − − +∫ ∫χ;
( )
( )
( )
( )
( ) ( )1
0 0
,
hde [6]
R s
i
e
k p s
dpx
i
i
x p( )
( )
=
−
− ∞
+ ∞
∫1
2
1
π
γ
γ
, γ > c s( ), (14)
— rezol\venta poluneprer¥vnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy.
Dokazatel\stvo. PreΩde vseho otmetym, çto yntehral\n¥e preobrazova-
nyq raspredelenyj momentov v¥xoda yz yntervala dlq poluneprer¥vnoho
processa vperv¥e b¥ly poluçen¥ v rabotax D. J. Emery [7] y E.3A.3Peçerskoho
[8]. Ravenstva (13) b¥ly poluçen¥ rezol\ventn¥my metodamy v rabotax
V.3M.3Íurenkova, V.3N.3Supruna [9, 10]. Dlq processa Puassona s poloΩy-
tel\n¥my skaçkamy y otrycatel\n¥m teçenyem ravenstva (13) pryveden¥ v [11].
Ravenstva (12), v kotor¥x soderΩytsq y raspredelenye velyçyn¥ pereskoka
processa çerez verxngg hranycu v moment v¥xoda yz yntervala çerez verxngg
hranycu, b¥ly poluçen¥ v stat\qx [12, 13] posle reßenyq uravnenyj (6) dlq
sluçaq poluneprer¥vnoho processa. Ymenno πto obstoqtel\stvo (nalyçye ras-
predelenyq velyçyn¥ pereskoka) pozvolylo reßyt\ rqd dvuxhranyçn¥x zadaç
dlq poluneprer¥vnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy [12 – 14].
Poluçym formul¥ (12), ysxodq yz ravenstv teorem¥, kotor¥e dlq polune-
prer¥vnoho processa suwestvenno uprowagtsq. V πtom sluçae funkcyq
f y dus
− ( , ) y posledovatel\n¥e yteracyy K du sn
−
( )( , , )v , n ∈N, lehko v¥çyslq-
gtsq:
f y dus
− ( , ) = e G c s u duyc s
x
s− − ( )( )( ) ( ) ( )1 δ ,
K du s e G c s G c s u dun c s
B
s
B
s n
− +
−
= ( ) ( )( )( ) ( )( , , ) ( ) ( ) ( )v v
v
1
δ , n ∈N.
Rqd Nejmana, sostoqwyj yz posledovatel\n¥x yteracyj qdra K du s−( , , )v , ob-
razuet heometryçeskug prohressyg, y eho summa ravna
K−
=
∞
−
+= =
( )
− ( )∑s
n
n c s B
s
B
sdu K du s e
G c s
G c s
u du( , ) ( , , )
( )
( )
( )( ) ( )v v v v
1 1
δ .
Podstavlqq v¥raΩenyq dlq funkcyj f y dus
− ( , ), K−
s du( , )v vo vtorug formulu
teorem¥, naxodym
E e X du A e
G c s
G c s
u dus
y
yc s x
s
B
s
− −∈[ ] = − ( )
− ( )
χ δ; ,
( )
( )
( )( ) 1
1
. (15)
Posle yntehryrovanyq (15) po vsem u ∈ R+ poluçym pervoe yz ravenstv (12).
Funkcyq f x dus
+ ( , ) y posledovatel\n¥e yteracyy K du sn
+
( )( , , )v v sluçae polu-
neprer¥vnoho processa takΩe lehko v¥çyslqgtsq:
f x dus
+ ( , ) = E e T dus xx− ∈[ ]τ ; – e e T duyc s s BB− − ∈[ ]( ) ;E τ ,
K du sn
+
( )( , , )v =
e G c s e T duc s B
B
s n s BB− + − −( )( ) ∈[ ]( )( ) ( ) ;v 1
E τ , n ∈N.
Rqd Nejmana, sostoqwyj yz posledovatel\n¥x yteracyj qdra K du s+( , , )v , ob-
razuet heometryçeskug prohressyg, y eho summa ravna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1367
K E+
=
∞
+
− +
−= =
− ( )
∈[ ]∑s
n
n
c s B
B
s
s Bdu K du s e
G c s
e T du
B
( , ) ( , , )
( )
;( )
( )( )
v v
v
1 1
τ
.
Podstavlqq v¥raΩenyq dlq funkcyj f x dus
+ ( , ) , K+
s du( , )v v pervug formulu
teorem¥, naxodym vtoroe yz ravenstv (12):
E e X du As x− ∈[ ]χ ; , =
= E e T dus xx− ∈[ ]τ ; – e
G c s
G c s
e T duyc s x
s
B
s
s BB− −− ( )
− ( )
∈[ ]( ) ( )
( )
;
1
1
E τ
. (16)
Yntehryruq ravenstva (15), (16) po vsem u ∈ R+ , ymeem
E e A e
G c s
G c s
s
y
yc s x
s
B
s
− −[ ] = − ( )
− ( )
χ ;
( )
( )
( ) 1
1
,
E E Ee A s e
G c s
G c s
ss x x yc s x
s
B
s
B− −[ ] = −{ } − − ( )
− ( )
−{ }χ τ τ; exp
( )
( )
exp( ) 1
1
.
Yspol\zuq opredelenye rezol\vent¥ (14), yntehral\noe preobrazovanye sov-
mestnoho raspredelenyq { τx , T x } (11), naxodym rezol\ventn¥e predstavlenyq
dlq funkcyj G c sx
s ( )( ), E exp −{ }s xτ :
G c sx
s ( )( ) = 1 – ′( ) −k c s e R sx c s
x( ) ( )( ) ,
E exp −{ }s xτ = 1 – s
c s
R sx( )
( ) + s R s du
x
u
0
∫ ( ) ,
hde ′( )k c s( ) = d
dp
k p
p c s
( )
( )=
. Podstavlqq πty rezol\ventn¥e v¥raΩenyq v pre-
d¥duwye ravenstva, poluçaem ravenstva (13).
1.3. V¥xod yz yntervala symmetryçnoho processa Vynera. Pust\ w t( ) ∈
∈ R, t ≥ 0, — symmetryçn¥j process Vynera s kumulqntoj k p( ) = 1
2
2p . V πtom
sluçae
P T Tx
x= =[ ] =0 1, E Ee T du e u du e T dus x x s s
x
x
x− − −∈[ ] = = ∈[ ]τ τδ; ( ) ;2
y formul¥ teorem¥ prynymagt osobenno prostoj vyd.
Sledstvye 2. Pust\ w t( ) ∈ R, t ≥ 0, — symmetryçn¥j process Vynera, x ∈
∈ ( 0, B ), y = B – y, w( )0 = 0 y
χ = inf : ( ) ( , )t w t y x> ∉ −{ }0 , A w xx = ={ }( )χ , A w yy = = −{ }( )χ
— moment pervoho v¥xoda symmetryçnoho processa Vynera yz yntervala
( , )− y x y sob¥tyq, na kotor¥x πtot v¥xod proysxodyt. Tohda:
1)33dlq preobrazovanyj Laplasa sluçajnoj velyçyn¥ χ spravedlyv¥ raven-
stva
E
sh
sh
e A
y s
B s
s x−[ ] = ( )
( )
χ ;
2
2
, E
sh
sh
e A
x s
B s
s
y
−[ ] = ( )
( )
χ ;
2
2
,
(17)
E
ch
ch
e
x y
s
B s
s−[ ] =
−
χ 2
2
2
2
;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1368 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
2)33dlq raspredelenyj sluçajnoj velyçyn¥ χ spravedlyv¥ formul¥
P χ
π
π π>[ ] = −
=
∞
∑t A
k
t k
B
x
B
kx
k
; exp sin2 1
21
2
,
P χ
π
π π>[ ] = −
=
∞
∑t A
k
t k
B
y
B
ky
k
; exp sin2 1
21
2
, (18)
P χ
π
π π>[ ] = −
+
− +
− +
=
∞
∑t
k
t k
B
x y
B
k
k
k4 1
2 1 2
2 1
2
2 1
0
2( )
exp
( )
cos ( ) ;
3)33dlq v¥çyslenyq momentov sluçajnoj velyçyn¥ χ ymeet mesto formula
E χn
n
k
n
k
k
n kn
B x y
B
n
k
=
−
− −
=
−∑1
2 1 2
1
2
2
2
0
2
( )!!
( ) E , n ∈N, (19)
y, v çastnosty, pry x = y = B
2
E χn
n
nn
B=
−
1
2 1 2
2
( )!!
E , n ∈N,
hde E1 = 1, E2 = 5, … — çysla ∏jlera.
Dokazatel\stvo. V sluçae symmetryçnoho processa Vynera
K du s e e u dus B s
±
− −=( , , ) ( )v v 2 2 2 δ ,
K±
−
−
−=
−
s s
B s
B s
du e e
e
u du( , ) ( )v v 2
2 2
2 21
δ .
Podstavlqq πty v¥raΩenyq v ravenstva (5), poluçaem ravenstva (17). Formul¥
(17) pryveden¥ v monohrafyy K.3Yto, H.3Makkyna [15]. Dlq opredelenyq funk-
cyj
E Ee A es x s x
y
− −[ ] = <[ ]χ χ τ τ; ; , E Ee A es
y
s
y
x− −[ ] = <[ ]χ χ τ τ; ;
v [15] pryvedena systema uravnenyj, analohyçnaq systeme (6), zapysannoj dlq
sluçaq symmetryçnoho processa Vynera. Dalee,
P χ
π
γ
γ
<[ ] = −
−− ∞
+ ∞ −
−∫t A
i
e
s
e e
e e
dsx
i
i
st
y s y s
B s B s
; 1
2
1 2 2
2 2
, γ > 0.
Yspol\zuq pry v¥çyslenyy πtoho konturnoho yntehrala to obstoqtel\stvo, çto
pod¥ntehral\naq funkcyq ymeet prost¥e polgs¥ v toçkax sk = −
1
2
2k
B
π
,
k ∈ N ∪ 0, y v¥byraq podxodqwyj kontur yntehryrovanyq [16], poluçaem pervoe
yz ravenstv (18). Ostal\n¥e dva ravenstva yz (18) qvlqgtsq sledstvyem pervo-
ho. Otmetym, çto raspredelenyq (18) qvlqgtsq predel\n¥my dlq sootvetst-
vugwyx raspredelenyj processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y sluçajn¥x
bluΩdanyj. Krome toho, formul¥ (18) qvlqgtsq poln¥my asymptotyçesky-
my3razloΩenyqmy dlq veroqtnostej, soderΩawyxsq v yx lev¥x çastqx. Formu-
la3(19) sleduet yz razloΩenyq v rqd funkcyj ch x, sech x = ch x( )−1
.
Zameçanye 1. V kaçestve poboçnoho sledstvyq pryvedem formulu dlq v¥-
çyslenyq rqdov ( x, y > 0, x + y = B )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1369
k
k
nk
x y
B
k
=
∞
+∑ −
+
− +
0
2 1
1
2 1 2
2 1
( )
( )
cos ( )π =
= π2 1
2 2
0
2
2
1
2 2 2
n
n
k
n
k
k
n kx y
B k n k
+
+
=
−∑ − −
−
( )
( )!( )!
E
,
kotoraq sleduet yz formul¥ (19) y tret\eho yz ravenstv (18). V çastnosty, pry
x = y yz πtoj formul¥ poluçym yzvestn¥e yz analyza rqd¥
k
k
n
n
n n
k n=
∞
+
+
+∑ −
+
=
0
2 1
2 1
2 2
1
2 1 2
1
2
( )
( ) ( )!
π E , E0 1= , n ∈N ∪ 0 .
1.4. Supremum, infimum y znaçenye processa. Pust\ ξ( )t ∈ R , t ≥ 0, —
odnorodn¥j process s nezavysym¥my pryrawenyqmy y kumulqntoj (1). Pryme-
nym teoremu 1 dlq opredelenyq funkcyy
Q p e e y du xs p
s
y
x
u p
s s s
s( ) ; ( ), ( ) , ( )( )= >[ ] = − < ∈ <[ ]−
−
− − +∫E Pξ ν χ ν ξ ν ξ ν ξ ν .
Sovmestnoe raspredelenye { −ξ ν( )s , ξ ν( )s , ξ ν+ }( )s b¥lo poluçeno v monohra-
fyy Y.3Y.3Hyxmana, A.3V.3Skoroxoda [2] v termynax raspredelenyj ξ( )t , {τx ,
T x}, {τy , Ty}. Dlq sostavlenyq uravnenyj yspol\zovalys\ veroqtnostno-kom-
bynatorn¥e rassuΩdenyq, osnovann¥e na formule vklgçenyq y ysklgçenyq.
Dlq reßenyq yntehral\n¥x uravnenyj b¥l prymenen metod posledovatel\n¥x
yteracyj. M¥ polahaem, çto πto b¥la pervaq dvuxhranyçnaq zadaça, reßennaq
dlq odnorodnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy.
V sledugwej lemme m¥ pryvedem v¥raΩenye dlq yntehral\noho preobrazo-
vanyq sovmestnoho raspredelenyq { −ξ ν( )s , ξ ν( )s , ξ ν+ }( )s v termynax rasprede-
lenyq { χ, X } y raspredelenyq {{ξ ν( )s , ξ± }( )t , opredelennoho ravenstvom (2).
Lemma 2. Pust\ ξ( )t ∈ R , t ≥ 0, — odnorodn¥j process s nezavysym¥my
pryrawenyqmy. Tohda dlq yntehral\noho preobrazovanyq Q ps( ) sovmestnoho
raspredelenyq { −ξ ν( )s , ξ ν( )s , ξ ν+ }( )s spravedlyv¥ sledugwye ravenstva:
Q p U s p e e e X d A U s ps x yp p s
y
B( ) ( , ) ; , ( , )= − ∈[ ]
∞
− +∫
0
v vvE χ , Re p ≤ 0,
(20)
Q p U s p e e e X d A U s ps
y
xp p s x
B( ) ( , ) ; , ( , )= − ∈[ ]−
∞
− −
+∫
0
v
vvE χ , Re p ≥ 0,
hde
U s px( , ) = E e xp
s
s− + <[ ]ξ ν ξ ν( ); ( ) =
= E Ee e xp p
s
s s− − +− +
<[ ]ξ ν ξ ν ξ ν( ) ( ); ( ) , Re p ≤ 0,
U s py( , ) = E e yp
s
s− − > −[ ]ξ ν ξ ν( ); ( ) =
= E Ee e yp p
s
s s− − −+ −
> −[ ]ξ ν ξ ν ξ ν( ) ( ); ( ) , Re p ≥ 0.
V çastnosty,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1370 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
P χ ν>[ ]s =
P E Pξ ν ξ νχ+
∞
− +<[ ] − ∈[ ] < +[ ]∫( ) ; , ( )s
s
y sx e X d A B
0
v v =
=
P E Pξ ν ξ νχ−
∞
− −> −[ ] − ∈[ ] > − +[ ]∫( ) ; , ( ) ( )s
s x
sy e X d A B
0
v v . (21)
Dokazatel\stvo. Ustanovym spravedlyvost\ pervoj yz formul (20). So-
hlasno formule polnoj veroqtnosty, odnorodnosty processa po prostranstvu
y svojstvu strohoj markovosty processa, ymeet mesto uravnenye
E e xp
s
s− + <[ ]ξ ν ξ ν( ); ( ) = E e p
s
s− >[ ]ξ ν χ ν( ); +
+
0
∞
− + − +∫ ∈[ ] < +[ ]E Ee X d A e e Bs
y
y p p
s
sχ ξ ν ξ ν; , ; ( )( ) ( )v vv
, Re p ≤ 0. (22)
∏to uravnenye otraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pryrawenyq processa ξ( )t na
traektoryqx, kotor¥e ne peresekagt uroven\ x na yntervale 0, νs[ ], proysxo-
dqt lybo na traektoryqx processa, kotor¥e ne peresekagt y uroven\ – y (pervoe
slahaemoe v pravoj çasty πtoho ravenstva), lybo na traektoryqx processa,
kotor¥e peresekagt uroven\ – y s dal\nejßymy pryrawenyqmy na traektoryqx,
kotor¥e ne peresekagt uroven\ x na yntervale 0, νs[ ] (vtoroe slahaemoe v
pravoj çasty πtoho ravenstva).
Krome πtoho zameçanyq pryvedem sledugwye poqsnenyq. Qsno, çto sob¥tye
{ ξ+( )t < x} πkvyvalentno sob¥tyg { τx > t}. Tohda, sohlasno formule polnoj
veroqtnosty, spravedlyv¥ ravenstva
E e t xp t− + <[ ]ξ ξ( ); ( ) =
= E e t x tp t
y
− + < >[ ]ξ ξ τ( ); ( ) , + E e t tp t x
y
− > ≤[ ]ξ τ τ( ); , =
= E e t y t xp t− − +> − <[ ]ξ ξ ξ( ); ( ) , ( ) +
+ E e e t t Ap y X p t B X
y
( ) ( )
; , ,+ − − +≤ > −[ ]θ ξ χχ χ τ χ ,
hde θt — operator sdvyha. Poskol\ku χ — markovskyj moment, pryrawenyq
processa θ ξ χχ ( )t − y τB X+
ne zavysqt ot syhma-alhebr¥
�χ , y poπtomu
E e e t t Ap y X p t B X
y
( ) ( )
; , ,+ − − +≤ > −[ ]θ ξ χχ χ τ χ =
=
e e du X d A e t upy
t
p
y
p t u B
0 0
∫ ∫
∞
− − +∈ ∈[ ] > −[ ]v vP vχ τξ, , ;( )E .
Podstavlqq pravug çast\ πtoj formul¥ v pred¥duwee ravenstvo, naxodym
E e t xp t− + <[ ]ξ ξ( ); ( ) = E e t y t xp t− − +> − <[ ]ξ ξ ξ( ); ( ) , ( ) +
+
e e du X d A e t u Bpy
t
p
y
p t u
0 0
∫ ∫
∞
− − +∈ ∈[ ] − < +[ ]v v vP Eχ ξξ, , ; ( )( )
.
UmnoΩaq πto ravenstvo na plotnost\ se st−
sluçajnoj velyçyn¥ νs y v¥pol-
nqq yntehryrovanye po vsem t ≥ 0 , poluçaem ravenstvo (22). Yz ravenstva (22)
sleduet pervaq yz formul (20). Spravedlyvost\ vtoroj yz formul (20) usta-
navlyvaetsq analohyçno. Ravenstvo (21) sleduet yz ravenstv (20) pry p = 0.
1.5. Supremum, infimum y znaçenye poluneprer¥vnoho processa. Esly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1371
ξ( )t , t ≥ 0, — poluneprer¥vn¥j snyzu odnorodn¥j process s nezavysym¥my pry-
rawenyqmy y kumulqntoj (10), to ravenstva lemm¥ uprowagtsq. V πtom sluçae
Q p U s p e
R s
R s
U s ps x yp x
B
B( ) ( , )
( )
( )
( , )= − , (23)
hde
U s p
c s
c s p
e xx s
s
s( , )
( )
( )
; ( )( )=
−
<[ ]− ++
E ξ ν ξ ν , Re p ≤ 0.
Ravenstvo (23) poluçeno v rabote [14] yz uravnenyq (22), kotoroe b¥lo pryvede-
no v πtoj stat\e dlq sluçaq poluneprer¥vnoho snyzu processa s nezavysym¥my
pryrawenyqmy. Dalee, v ukazannoj rabote b¥lo poluçeno rezol\ventnoe pred-
stavlenye
P − < ∈ <
≤ ≤
y u u x
u
s
us s
inf ( ), ( ) ( , ), sup ( )
ν ν
ξ ξ ν α β ξ =
= s
R s
R s
R s du s R s dux
B
y u u
( )
( )
( ) ( )
max ,
max ,
α
β
α
β
∫ ∫+
{ }
{ }
−
0
0
, – y < α < β < x,
dlq sovmestnoho raspredelenyq { −ξ ν( )s , ξ ν( )s , ξ ν+ }( )s , hde R sx( ) — rezol\-
venta poluneprer¥vnoho processa.
1.6. Supremum, infimum y znaçenye symmetryçnoho processa Vynera.
Dlq symmetryçnoho processa Vynera w t( ) ∈ R , t ≥ 0, s kumulqntoj k p( ) =
= 1
2
2 2σ p v [14] b¥lo poluçeno sovmestnoe raspredelenye {ξ−( )t , ξ( )t , ξ+( )t } v
sledugwem vyde:
P − < ∈ <
≤ ≤
y w u w t w u x
u t u t
inf ( ), ( ) ( , ), sup ( )α β =
= 4 1
2
2
2 21
2
π ν
π νσ πν α β πν β α πν
ν=
∞
∑ −
− −
−
exp sin sin sint
B
x
B
x
B B
.
∏to raspredelenye qvlqetsq predel\n¥m dlq raspredelenyj odnorodn¥x pro-
cessov s nezavysym¥my pryrawenyqmy y sluçajn¥x bluΩdanyj pry sootvet-
stvugwej normyrovke prostranstva y vremeny. Takaq predel\naq teorema b¥la
dokazana v [14] dlq poluneprer¥vnoho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy.
Otmetym, çto pravaq çast\ πtoho ravenstva qvlqetsq poln¥m asymptotyçeskym
razloΩenyem dlq veroqtnosty, soderΩawejsq v levoj çasty ravenstva. Dlq
πtoho raspredelenyq yzvestna takΩe formula
P − ≤ ∈ ≤
≤ ≤
y w u w t w u x
u t u t
inf ( ), ( ) ( , ), sup ( )α β =
= 1
2
2 2 2 2 22 2
π
α
β
t
e e du
k
u k x y t
k
u x k x y t∫ ∑ ∑
= − ∞
∞
− − +( )
= − ∞
∞
− − − +( )−
( ) / ( ) /
,
poluçennaq P.3Levy v 1948 hodu [17].
2. Dvuxhranyçn¥e zadaçy dlq sluçajn¥x bluΩdanyj. VaΩn¥m pryme-
rom odnorodn¥x processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy qvlqgtsq sluçajn¥e
bluΩdanyq.
Pust\ ξ ∈ Z = { 0, ± 1, … } — celoçyslennaq sluçajnaq velyçyna, {ξ, ξi },
i ∈ N, — posledovatel\nost\ nezavysym¥x odynakovo raspredelenn¥x sluçaj-
n¥x velyçyn, ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — sluçajnoe bluΩdanye: ξ( )0 = 0, ξ( )n =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1372 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
= ξ1 + … + ξn , n ∈ N, poroΩdennoe sluçajnoj velyçynoj ξ. Oboznaçym
ξ ξ+
≤
=( ) sup ( )n m
m n
, ξ ξ–( ) inf ( )n m
m n
=
≤
, m, n ∈ N ∪ 0.
Spravedlyvo faktoryzacyonnoe toΩdestvo Spycera [18]
E
E
E Ez
t
t z
z zi t tξ ν
ξ
ξ ν ξ ν( ) ( ) ( )= −
−
=
+ −1
1
, z = 1,
hde νt na protqΩenyy vtoroho punkta — ne zavysymaq ot bluΩdanyq, heome-
tryçesky raspredelennaq s parametrom t ∈ (0, 1) sluçajnaq velyçyna:
P νt n=[ ] = ( )1 − t tn , n ∈ N,
E Ez t
n
z nt
n
n
nξ ν ξ ξ
±
= − ± >[ ]
>
∑( ) ( )exp ; ( )
0
1 0 , t ∈( , )0 1 , ± ≤ ±z 1.
Dlq k, r ∈ N ∪ 0 vvedem sluçajn¥e velyçyn¥
τ ξk n n k= >{ }inf : ( ) , T kk k= −ξ τ( ) ,
τ ξr n n r= < −{ }inf : ( ) , T rr r= − −ξ τ( )
— sootvetstvenno moment y velyçyna pervoho pereskoka sluçajn¥m bluΩda-
nyem verxneho k y nyΩneho –r urovnej. Otmetym, çto moment¥ dostyΩenyq
mnoΩestv sluçajn¥m bluΩdanyem qvlqgtsq markovskymy [18], y pryvedem
sledugwug lemmu.
Lemma 3. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — celoçyslennoe sluçajnoe bluΩ-
danye. Tohda dlq proyzvodqwyx funkcyj sovmestn¥x raspredelenyj { τk , T k},
{ τr , Tr}, { ξ ν( )t , ξ ν± ( )t } pry t ∈ (0, 1) v¥polnqgtsq ravenstva
E E Et z z z k
k k
t tT k
t
τ ξ ν ξ ν ξ ν[ ] = ( ) >[ ]+ +− − +( ) ( ) ; ( )
1
, z ≤ 1,
E E Et z z z rr r t tT r
t
τ ξ ν ξ ν ξ ν[ ] = ( ) − >
− − − −( ) −− −
( ) ( )
; ( )
1
, z ≤ 1,
. (24)
E E Ez k z z kt t t
t t
ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( )+ +≤[ ] = ≤[ ]− +
, z ≥ 1,
E E Ez k z z kt t t
t t
ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( )− −≥ −[ ] = ≥ −[ ]+ −
, z ≤ 1.
Dokazatel\stvo. Sohlasno formule polnoj veroqtnosty y strohoj mar-
kovosty sluçajnoho bluΩdanyq, dlq vsex k ∈ N ∪ 0 spravedlyvo uravnenye
E E E Ez z k t z zt t
k k
t
t
ξ ν ξ ν τ ξ τ ξ νξ ν( ) ( ) ( ) ( ); ( )= ≤[ ] + [ ]+
, z = 1.
∏to uravnenye otraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pryrawenye bluΩdanyq na
yntervale 0, νt[ ] proysxodyt na traektoryqx, kotor¥e lybo ne peresekagt
verxnyj uroven\ k (pervoe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq), lybo na
traektoryqx, kotor¥e peresekagt uroven\ k s posledugwymy pryrawenyqmy
na yntervale 0, νt[ ] (vtoroe slahaemoe v pravoj çasty uravnenyq). Yspol\zovav
faktoryzacyonnoe toΩdestvo Spycera, predstavym πto uravnenye v vyde
E E Ez k t z zt
k k
tk
t
Tξ ν τ ξ νξ ν
+ +− + >[ ] − [ ]( ) ( ); ( ) =
= E E Ez k z z kt t tk
t
k
t
ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( )− + − − +≤[ ]( ) − ≤[ ]− +1
, z = 1.
Levaq çast\ πtoho ravenstva soderΩyt ohranyçennug funkcyg, analytyçeskug
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1373
vnutry edynyçnoho kruha z < 1 y neprer¥vnug, vklgçaq hranycu kruha. ∏tym
ravenstvom ona analytyçesky prodolΩaetsq vo vneßnost\ kruha, ostavaqs\ pry
πtom ohranyçennoj y neprer¥vnoj. Sledovatel\no, sohlasno teoreme Lyu-
vyllq, ona toΩdestvenno ravna konstante C t( ) vo vsej ploskosty. Polahaq
v3v¥raΩenyy, soderΩawemsq v levoj çasty πtoho ravenstva, z = 0, naxodym
C t( ) = 0.
M¥ provely standartn¥e faktoryzacyonn¥e rassuΩdenyq [4], v rezul\tate
kotor¥x yz πtoho ravenstva poluçym dve formul¥ dlq proyzvodqwej funkcyy
sovmestnoho raspredelenyq { τk , T k} y proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho
raspredelenyq {ξ ν( )t , ξ ν+ ( )t }:
E E Et z z z k
k k
t tT k
t
τ ξ ν ξ ν ξ ν[ ] = ( ) >[ ]+ +− − +( ) ( ) ; ( )
1
, z ≤ 1,
E E Ez k z z kt t t
t t
ξ ν ξ ν ξ νξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( )+ +≤[ ] = ≤[ ]− +
, z ≥ 1.
Prymenqq k sluçajnomu bluΩdanyg –ξ( )n , n ∈ N ∪ 0, pervug yz πtyx for-
mul, poluçaem vtoroe ravenstvo lemm¥. Prymenqq k sluçajnomu bluΩdanyg
– ξ( )n , n ∈ N ∪ 0, vtorug yz πtyx formul, poluçaem çetvertoe ravenstvo
lemm¥.
2.1. V¥xod yz yntervala sluçajnoho bluΩdanyq. Pust\ B ∈ N ∪ 0, k ∈
∈ 0, B , r = B – k y opredelym sluçajnug velyçynu
χ ξ= > ∉ −[ ]{ }inf : ( ) ,n n r k0
— moment pervoho v¥xoda sluçajnoho bluΩdanyq yz mnoΩestva { – r, – r + 1, …
… , k }. Vvedem sob¥tyq:
Ak = { ξ χ( ) > k} — perv¥j v¥xod yz yntervala −[ ]r k, sluçajnoho bluΩda-
nyq proyzoßel çerez verxngg hranycu k,
Ar = { ξ χ( ) < – r} — perv¥j v¥xod yz yntervala −[ ]r k, sluçajnoho bluΩda-
nyq proyzoßel çerez nyΩngg hranycu – r.
Opredelym sluçajnug velyçynu
X k r
A Ak r
= −( ) + − −( ) ∈ξ χ ξ χ( ) ( )I I N , P A Ak
r+[ ] = 1,
— velyçynu pereskoka bluΩdanyq çerez hranycu v moment pervoho v¥xoda yz
yntervala.
Teorema 2. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — celoçyslennoe sluçajnoe bluΩ-
danye. Tohda dlq proyzvodqwyx funkcyj sovmestn¥x raspredelenyj sluçajn¥x
velyçyn { χ, X } dlq m ∈ N, t ∈ (0, 1) spravedlyv¥ ravenstva
E t X m Akχ; ,=[ ] =
i
k tt T i i m
k
=
∞
+∑ =[ ]
1
E τ ; ( , )H –
–
l
r
i
l B tt T l t T i i mr
l B
=
∞
=
∞
+
+∑ ∑=[ ] =[ ]+
1 1
E Eτ τ; ; ( , )H ,
, (25)
E t X m Ar
χ; ,=[ ] =
i
r
tt T i i mr
=
∞
−∑ =[ ]
1
E τ ; ( , )H –
–
l
k
i
l B
tt T l t T i i m
k
l B
=
∞
=
∞
+ −∑ ∑=[ ] =[ ]+
1 1
E Eτ τ
; ; ( , )H ,
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1374 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
H±
t i m( , ) =
n
nH i m t
=
∞
±∑
0
( )( , , ), i, m ∈ N,
— dyskretn¥j analoh rqda Nejmana yz posledovatel\n¥x yteracyj,
H i m t im± =( )( , , )0 δ , H i m t H i l t H l m tn
l
n
±
=
∞
±
−
±= ∑( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , )
1
1
, n ∈ N, (26)
— posledovatel\n¥e yteracyy dyskretn¥x qder H i m t±( , , ), kotor¥e oprede-
len¥ ravenstvamy
H i m t t T l t T m
l
i B
l Bi B
l B
+
=
∞
+
+= =[ ] =[ ]∑ + +
( , , ) ; ;
1
E E
τ τ
, i, m ∈ N,
(27)
H i m t t T l t T m
l
i B
l B
i B
l B
−
=
∞
+
+= =[ ] =[ ]∑
+ +( , , ) ; ;
1
E Eτ τ
, i, m ∈ N,
a δim — symvol Kronekera.
Dokazatel\stvo. Dlq funkcyj E [tχ ; X = m, Ak ], E [ tχ ; X = m, Ar ],
m ∈ N, sohlasno formule polnoj veroqtnosty, odnorodnosty bluΩdanyq po
prostranstvu y svojstvu strohoj markovosty sluçajnoho bluΩdanyq, spraved-
lyva systema uravnenyj
E E E Et T m t X m A t X i A t T m
k i Bk k
i
r
i Bτ χ χ τ; ; , ; , ;=[ ] = =[ ] + =[ ] =[ ]
=
∞
+∑
+
1
,
(28)
E E E Et T m t X m A t X i A t T mr i B
r r
i
k
i B
τ χ χ τ
; ; , ; , ;=[ ] = =[ ] + =[ ] =[ ]
=
∞
+∑ +
1
.
Pervoe uravnenye dannoj system¥ otraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pervoe pe-
reseçenye verxneho urovnq k sluçajn¥m bluΩdanyem osuwestvlqetsq na tra-
ektoryqx bluΩdanyq, kotor¥e lybo ne peresekagt nyΩnyj uroven\ – r, lybo
na traektoryqx, kotor¥e peresekagt nyΩnyj uroven\ – r s posledugwym per-
v¥m pereseçenyem verxneho urovnq k. Analohyçno sostavleno y vtoroe urav-
nenye system¥.
Perejdem k reßenyg system¥ uravnenyj (28). ∏ta systema uravnenyj ana-
lohyçna systeme lynejn¥x uravnenyj s dvumq neyzvestn¥my. Podstavlqq v
pervoe uravnenye v¥raΩenye dlq proyzvodqwej funkcyy E [ tχ ; X = m, Ar ] yz
vtoroho uravnenyq, poluçaem
E t X m Akχ; ,=[ ] = E t T m
k kτ ; =[ ] –
i
r
i Bt T i t T mr
i B
=
∞
+∑ =[ ] =[ ]+
1
E Eτ τ; ; +
+
l i
k
i Bt X i A t T li B
=
∞
=
∞
+∑ ∑ =[ ] =[ ]+
1 1
E Eχ τ
; , ; E t T m
l B l Bτ + + =[ ]; , m ∈ N.
Yzmenqq v tret\em slahaemom pravoj çasty uravnenyq porqdok summyrovanyq,
ymeem
E t X m Akχ; ,=[ ] = E t T m
k kτ ; =[ ] –
i
r
i Bt T i t T mr
i B
=
∞
+∑ =[ ] =[ ]+
1
E Eτ τ; ; +
+
i
kt X i A H i m t
=
∞
+∑ =[ ]
1
E χ; , ( , , ) , m ∈ N. (29)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1375
∏to uravnenye otnosytel\no funkcyy E [ tχ ; X = m , Ak ], m ∈ N, qvlqetsq dys-
kretn¥m analohom lynejnoho yntehral\noho uravnenyq (9). Dlq dyskretnoho
qdra uravnenyq H i m t+( , , ) dlq vsex i, m ∈ N, t ∈ ( 0, t0 ) spravedlyva ocenka
H i m t+( , , ) =
l
i B
l Bt T l t T mi B
l B
=
∞
+
+∑ + +
=[ ] =[ ]
1
E E
τ τ; ; ≤
≤
l
i Bt T l ti B
l B
=
∞
+∑ + +
=[ ]
1
E E
τ τ; ≤ E Et t T l
B
i B
l
i B
τ τ
=
∞
+∑ + =[ ]
1
; ≤
≤ E Et t
B
Bτ τ ≤ λ < 1,
hde
λ τ τ= <E Et t
B
B
0 0 1, t0 0 1∈( , ).
Pry v¥vode πtoj cepoçky neravenstv m¥ vospol\zovalys\ neravenstvamy
E t
i Bτ +
3≤ E t
Bτ
, E t i Bτ +
≤ E t Bτ
, i ∈ N, kotor¥e sledugt yz ravenstva
E E E Et t T i t T l t
i B B B i lB
l
i
Bτ τ τ τ+ −
= >[ ] + =[ ]
=
∑; ;
1
, i ∈ N, t ∈( , )0 1 .
Y esly
H i m t im+ =( )( , , )0 δ , H i m t H i l t H l m tn
l
n
+
=
∞
+
−
+= ∑( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , )
1
1
, n ∈ N,
— posledovatel\nost\ n-x yteracyj qdra H i m t+( , , ), to po yndukcyy ustanav-
lyvaem, çto dlq vsex i, m ∈ N, t ∈ (0, t0 ) spravedlyva ocenka H i m tn
+
( )( , , ) < λn
,
n ∈ N. Sledovatel\no, rqd, sostoqwyj yz posledovatel\n¥x yteracyj
H+
=
∞
+
−= < −∑t
n
ni m K i m t( , ) ( , , ) ( )( )
0
11 λ ,
sxodytsq ravnomerno po i, m ∈ N, t ∈ (0, t0 ). Prymenqq dlq reßenyq uravnenyq
(29) metod posledovatel\n¥x yteracyj [5], poluçaem pervoe yz ravenstv (25).
Spravedlyvost\ vtoroho ravenstva ustanavlyvaetsq analohyçno.
2.2. V¥xod yz yntervala bluΩdanyq s heometryçesky raspredelennoj
otrycatel\noj komponentoj. Pust\ η ∈ N ∪ 0 — neotrycatel\naq celo-
çyslennaq sluçajnaq velyçyna, P [ η = 0 ] P [ η > 1 ] > 0, a γ ∈ N — poloΩy-
tel\naq celoçyslennaq sluçajnaq velyçyna, heometryçesky raspredelennaq s
parametrom λ : P [ γ = k ] = (1 – λ) λk −1, k ∈ N, 0 ≤ λ < 1. Vvedem sluçajnug ve-
lyçynu
ξ η γ= − ∈Z , E Eθ
θ
λ
λ θ
θξ η= −
−
1 1
1 /
, θ = 1.
Opredelym sluçajnoe bluΩdanye ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, poroΩdennoe sluçaj-
noj velyçynoj ξ: ξ( )0 = 0, ξ( )n = ξ1 + … + ξn , n ∈ N, hde {ξ, ξi }, i ∈ N, —
posledovatel\nost\ nezavysym¥x odynakovo raspredelenn¥x sluçajn¥x ve-
lyçyn.
∏to bluΩdanye budem naz¥vat\ sluçajn¥m bluΩdanyem s heometryçesky
raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj. V çastnosty, esly poloΩyt\ pa-
rametr λ = 0, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1376 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
P γ =[ ] =1 1, ξ = η – 1, E Eθ
θ
θξ η= 1 , θ = 1,
y ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — poluneprer¥vnoe snyzu bluΩdanye.
Dlq proyzvodqwyx funkcyj sovmestn¥x raspredelenyj odnohranyçn¥x
funkcyonalov { τk , T k}, { τr , Tr} sluçajnoho bluΩdanyq ξ( )n , n ∈ N ∪ 0, s
heometryçesky raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj pry t ∈ (0, 1)
spravedlyv¥ ravenstva [19]
E E Pt T m c t c t t mr r
r
m rτ τλ λ γ; ( ) ( )=[ ] = −( ) = [ ] =[ ]−1
, m ∈ N, r ∈ N ∪ 0,
(30)
k
k t z
c t z
t z z
t z z
c t z
k k
=
∞
∑ [ ] =
−
− −
− + −
− + −
−
0
1
1
1
1
1θ
θ
θ
λ θ λ θ
λ λτ ξ τ
η
η
E
E
E( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,
hde c t( ) ∈ (λ, 1) — edynstvenn¥j koren\ vnutry edynyçnoho kruha θ < 1
uravnenyq
θ λ λ θη− − − =t ( )1 0E , t ∈ (0, 1).
Sledstvye 3. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — sluçajnoe bluΩdanye s heo-
metryçesky raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj, B ∈ N ∪ 0, k ∈ 0, B ,
r = B – k y
χ ξ= > ∉ −[ ]{ }inf : ( ) ,n n r k0 , X k r
A Ak r
= −( ) + − −( ) ∈ξ χ ξ χ( ) ( )I I N
— sootvetstvenno moment pervoho v¥xoda bluΩdanyq yz yntervala y velyçyna
pereskoka çerez hranycu v moment v¥xoda. Tohda pry t ∈ (0, 1):
1)33dlq proyzvodqwyx funkcyj sovmestn¥x raspredelenyj sluçajn¥x velyçyn
{ χ , X } dlq vsex m ∈ N, t ∈ (0, 1) spravedlyv¥ ravenstva
E Et X m A c t c t t c t K tr
m r k kχ τ ξ τλ λ; , ( ) ( ) ( ) ( )( )=[ ] = −( ) − [ ]( )− −1 11 ,
(31)
E E E Et X m A t T m t A t T mk k
r
Bk Bχ τ χ τ γγ
; , ; ; ;=[ ] = =[ ] − [ ] =[ ]+ +
,
hde
K t t t c tB
B BT( ) ( )= − [ ]+ +
1 E Eτ τγ γ
;
2)33dlq proyzvodqwyx funkcyj sluçajnoj velyçyn¥ χ spravedlyv¥ rezol\-
ventn¥e predstavlenyq [19]
E t X m A
R t
R t
r
m B k
B
χ λ
λ
; ,
( )
ˆ ( , )
=[ ] = + , E t A
R t
R t
r
B
k
B
χ λ
λ λ
;
( )
ˆ ( , )
[ ] =
−
+1
1
,
(32)
E t A
R t
R t
t S t t S tk k
B
B
B k
χ
λ
λ
λ
λ λ λ;
( )
ˆ ( , )
( )( ) ˆ ( , ) ( )( ) ( )[ ] = −
−
+ − −
+ − −
+
1
1
1 1 1 1
1
,
hde
R t
t
dk k( )
( )
=
− + −=
+∫
θ α
ηθ λ θ λ θ
θ1 1
11 E
, α < c t( ) , k ∈ N ∪ 0, (33)
— rezol\ventnaq posledovatel\nost\ sluçajnoho bluΩdanyq s heometryçesky
raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1377
S t R tk
i
k
i( ) ( )=
=
∑
0
,
ˆ ( , ) ( )R t R tB
i B
i
iλ λ=
= +
∞
∑
1
,
ˆ ( , ) ( )S t S tB
i B
i
iλ λ=
= +
∞
∑
1
.
Dokazatel\stvo. Dlq sluçajnoho bluΩdanyq s heometryçesky rasprede-
lennoj otrycatel\noj komponentoj ravenstva teorem¥ 2 uprowagtsq. Yspol\-
zuq ravenstvo (30) y opredelenyq (27) qder H i m t±( , , ) y yx posledovatel\n¥x
yteracyj (26) H i m tn
±
( )( , , ) , dlq vsex i, m ∈ N naxodym
H i m t t c t t t c tn T n T
n
mi B i B
B
B B
−
− −= [ ]( ) [ ]( ) −
+ + + +( )( , , ) ( ) ( ) ( )E E Eτ τ τγ γ
λ λ
1
11 ,
H i m t c t t t c t t T mn i n T
n
BB
B B B
+
− += ( ) [ ]( ) =[ ]+ + +( )( , , ) ( ) ( ) ;E E Eτ τ τ γγ γ γ1
,
n ∈ N.
Tohda
H−
− −= + [ ] −
+ +t
im
T mi m t c t t K t
i B i B
B( , ) ( ) ( ) ( )δ λ λτ τE E 1 1 1
,
H+
+ −= + =[ ]+t
im
i Bi m c t t t T m K tB
B
( , ) ( ) ; ( )δ τ τ γγ
E E 1
,
i, m ∈ N,
hde
K t t t c tB
B BT( ) ( )= − [ ]+ +
1 E Eτ τγ γ
.
Podstavlqq najdenn¥e v¥raΩenyq dlq funkcyj H+
t i m( , ) v ravenstva (25),
poluçaem formul¥ (31).
Dalee, yspol\zuq opredelenye rezol\ventnoj posledovatel\nosty (33)
y333ravenstvo (30), naxodym rezol\ventn¥e predstavlenyq dlq funkcyj
E t c t
k kτ ξ τ( ) ( )[ ], E t
kτ
:
E t c t c t R t r c t t
k k k
k
τ ξ τ( ) ( ) ( ) ( ),( )[ ] = − ( )+1 1
,
E t
t
c t
R t t S t
k
k k
τ λ λ= − − −
−
+ − −1 1
1
1
1 1( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ,
hde
S t R tk
i
k
i( ) ( )=
=
∑
0
, r c t t t c t( ), ( ) ( )( ) = − − [ ]−1 1 1λ η ηE .
Podstavlqq najdenn¥e rezol\ventn¥e predstavlenyq v formul¥ (31), poluçaem
rezol\ventn¥e predstavlenyq (32).
2.3. V¥xod yz yntervala poluneprer¥vnoho bluΩdanyq. Pust\ ξ( )n ∈ Z,
n ∈ N ∪ 0, — poluneprer¥vnoe snyzu bluΩdanye s proyzvodqwej funkcyej
ßaha bluΩdanyq
E Eθ
θ
θξ η( )1 1= , n ∈ N ∪ 0, P Pη η=[ ] >[ ] >0 1 0.
V πtom sluçae dlq nyΩnyx odnohranyçn¥x funkcyonalov sluçajnoho bluΩda-
nyq v¥polnqgtsq ravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1378 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
E t T m c tr
r
r
m
τ δ; ( )=[ ] = +1
1, Eθ
θ
ξ ν−
= −
−
( ) ( )
( ) /
t c t
c t
1
1
, θ ≥ 1,
hde c t( ) > 0 — edynstvenn¥j koren\ vnutry edynyçnoho kruha θ < 1
uravnenyq θ – t Eθη = 0, t ∈ (0, 1). Yz faktoryzacyonnoho toΩdestva Spycera
y pervoho yz ravenstv (24) naxodym, çto proyzvodqwaq funkcyq sovmestnoho
raspredelenyq { τk , ξ τ( )k } ymeet vyd
k
k t z
c t z
t z z
t z z
c t z
k k
=
∞
∑ [ ] =
−
− −
−
−
−
0
1
1
1θ
θ
θ
θ θ
τ ξ τ
η
η
E
E
E( ) ( )
( ) ( )
, θ , z ≤ 1. (34)
Sledstvye 4. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — poluneprer¥vnoe snyzu slu-
çajnoe bluΩdanye, t ∈ (0, 1). Tohda:
1)33dlq proyzvodqwyx funkcyj sovmestn¥x raspredelenyj sluçajn¥x velyçyn
{ χ, X } dlq vsex m ∈ N spravedlyv¥ ravenstva
E t X m A c t
G c t
G c t
r
r k
t
B
t m
χ δ; , ( )
( )
( )
=[ ] = − ( )
− ( )
+
+
1
1
1
1
1
,
(35)
E E E Et X m A t T m t A t T mk k
r
Bk Bχ τ χ τ; , ; ; ;=[ ] = =[ ] − [ ] =[ ]+ +1 1
,
hde funkcyq G zk
t ( ) = E t z
k kτ ξ τ( )[ ] opredelena ravenstvom (34);
2)33dlq proyzvodqwyx funkcyj sluçajnoj velyçyn¥ χ spravedlyv¥ rezol\-
ventn¥e predstavlenyq
E t A
R t
R tr
k
B
χ;
( )
( )
[ ] =
+1
,
(36)
E t A
R t
R t
t
R t
R t
S t t R tk k
B
k
B
B
i
k
i
χ;
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )[ ] = − − − + −
+ +
+
=
∑1 1 1
1 1
1
0
,
hde
R t
t
dk k( ) =
−=
+∫
θ α
ηθ θ θ
θ1 1
1 E
, α < c t( ) , k ∈ N ∪ 0, (37)
— rezol\ventnaq posledovatel\nost\ poluneprer¥vnoho sluçajnoho bluΩda-
nyq3[20].
Dokazatel\stvo. Pryvedem dokazatel\stvo sledstvyq, ysxodq yz ravenstv
teorem¥ 2. Yspol\zuq opredelenye (27) qdra H i m t−( , , ) y eho n-j yteracyy
(26), naxodym
H i m t c t G c t G c tn i
i B
t
B
t n
m−
−
+ +
−
= ( ) ( )( )( )( , , ) ( ) ( ) ( )1
1
1
1δ , n ∈ N,
H−
− +
+
= +
( )
− ( )
t
im
i i B
t
B
t mi m c t
G c t
G c t
( , ) ( )
( )
( )
δ δ1
1
11
, i, m ∈ N.
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye dlq funkcyy H−
t i m( , ) vo vtoroe yz ravenstv
(25), poluçaem pervoe yz ravenstv (35). Yspol\zuq opredelenye (27) qdra
H i m tn
+
( )( , , ) y eho n-j yteracyy (26), naxodym
H i m t c t G c t t T mn i B
B
t n BB
+
+ +
+
− += ( )( ) =[ ]+( )( , , ) ( ) ( ) ;1
1
1 11
E τ
, n ∈ N,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1379
H+
+ +
+
+= +
− ( )
=[ ]+t
im
i B
B
t
Bi m c t
G c t
t T m
B
( , ) ( )
( )
;δ τ1
1
11
1
1
E , i, m ∈ N.
Podstavlqq najdennoe v¥raΩenye dlq funkcyy H+
t i m( , ) v pervoe yz ravenstv
(25), poluçaem vtoroe yz ravenstv (35). Summyruq ravenstva (35) po vsem m ∈ N,
naxodym
E t A c t
G c t
G c t
r
r k
t
B
t
χ; ( )
( )
( )
[ ] = − ( )
− ( )
+
+
1
1
1
1
,
(38)
E E E Et A t t A tk
r
k Bχ τ χ τ; ;[ ] = − [ ] +1
.
Yz opredelenyq rezol\ventnoj posledovatel\nosty (37) y ravenstva (34) sle-
dugt rezol\ventn¥e predstavlenyq dlq funkcyj G c tk
t ( )( ) , E t
kτ
:
G c t c t R t r t c tk
t k
k( ) ( ) ( ) , ( )( ) = − ( )+1 1 , E t
t
c t
R t t S t
k
k k
τ = − −
−
+ −1
1
1
1
( )
( ) ( ) ( ),
hde r t c t, ( )( ) = 1 – t c tE η η( ) −[ ]1
. Podstavlqq πty v¥raΩenyq v ravenstva (38),
poluçaem formul¥ (36).
2.4. V¥xod yz yntervala bluΩdanyq Bernully. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪
∪ 0, — bluΩdanye Bernully s proyzvodqwej funkcyej ßaha bluΩdanyq
Eθξ = pθ + qθ−1, p, q > 0, p + q = 1. V πtom sluçae P [ Tr = T k = 1] = 1 y
E t T m d t
k k k
m
τ δ; ( )=[ ] = +1
1, E t T m c tr
r
r
m
τ δ; ( )=[ ] = +1
1,
hde
c t pqt tp( ) ( )= − −( ) −1 1 4 22 1
, d t pqt tq( ) ( )= − −( ) −1 1 4 22 1
.
Tohda
H−
−
+
+= + ( )
− ( )
t
im
i
B
B mi m d t
c t d t
c t d t
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
δ δ1
2
2 11
,
H+
−
+
+= + ( )
− ( )
t
im
i
B
B mi m c t
c t d t
c t d t
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
δ δ1
2
2 11
.
Podstavlqq πty formul¥ v ravenstva teorem¥ 2, naxodym
E t A c t
c t d t
c t d tr
r
k
B
χ; ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ] = − ( )
− ( )
+
+
+
1
1
2
1
1
, E t A d t
c t d t
c t d t
k k
r
B
χ; ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ] = − ( )
− ( )
+
+
+
1
1
2
1
1
.
(39)
Polahaq v πtyx ravenstvax t = 1, poluçaem veroqtnosty v¥xoda bluΩdanyq
Bernully yz yntervala −[ ]r k, çerez verxngg y nyΩngg hranyc¥:
P A
q p
q p
k k
r
B
+
+
+= [ ] = − ( )
− ( )
1
1
2
1
1
P
/
/
, P A
p q
p qr r
k
B+
+
+= [ ] = − ( )
− ( )1
1
2
1
1
P
/
/
.
V 1657 h. Hgjhens v¥çyslyl P Pk
r/ v çastnom sluçae k = r = 12, p q/ = 5 9/ . V
1680 h. Bernully naßel P Pk
r/ v obwem sluçae; eho dokazatel\stvo pryvodyt
de Muavr [21] (ss¥lka vzqta yz monohrafyy [20]). ∏to b¥la pervaq dvuxhranyç-
naq zadaça, reßennaq dlq sluçajn¥x bluΩdanyj. Spravedlyvo sledugwee
sledstvye.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1380 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
Sledstvye 5. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — symmetryçnoe bluΩdanye
Bernully. Tohda raspredelenyq sluçajnoj velyçyn¥ χ ymegt vyd (n ∈ N ∪ 0)
P ctgχ νπ νπ νπ
ν
>[ ] =
+ +
+
+
+
=
+
∑n A
B B
k
B B
k
B n
; cos sin
( )
1
2 2
1
2 2 21
1
,
P ctgχ νπ νπ νπ
ν
>[ ] =
+ +
+
+
+
=
+
∑n A
B B
r
B Br
B n
; cos sin
( )
1
2 2
1
2 2 21
1
,
P χ >[ ]n =
= 2
2
1
2 1
2 2 2
2 1
2 1
2 20
2
B B
k r
B B
B n
+
− +
+
−
+
+
+
+
=
[ ]
∑
ν
ν ν π ν π ν π
/
( ) cos cos
( )
( )
( )
ctg ;
v çastnosty, pry k = r = N
P ctgχ ν π ν π
ν
ν>[ ] =
+
− +
+
+
+
=
∑n
N N N
N n
1
1
1
2 1
2 2
2 1
2 2 20
( ) cos . (40)
Dokazatel\stvo. Dlq symmetryçnoho bluΩdanyq Bernully c t( ) = d t( ) =
= (1 – 1 2− t ) / t, t < 1, y yz ravenstva (39) sleduet
P χ
π
ρ
=[ ] = −
−=
+
+ − +
+ − +∫n A
i t
c t c t
c t c t
dtk
t
n
r r
B B;
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
1
1
1 1
2 2 , ρ < 1, n ∈ N.
Yspol\zuq to obstoqtel\stvo, çto pod¥ntehral\naq funkcyq
f t
t
c t c t
c t c tn
r r
B B( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )= −
−+
+ − +
+ − +
1
1
1 1
2 2
pry t > 1 ymeet prost¥e polgs¥ v toçkax
t
Bν
νπ=
+
−
cos
2
1
, ν ∈ … +{ }1 1, , B , ν ≠ +B
2
1 pry B ≡ 0 (mod 2),
y v¥byraq podxodqwyj kontur yntehryrovanyq, naxodym
P χ =[ ]n Ak; = −
=
+
∑
ν
ν
1
1B
f tRes ( ) =
= 1
2 2
1
2 21
1 1
B B
k
B B
B n
+ +
+
+
+
=
+ −
∑
ν
νπ νπ νπ
cos sin sin , n ∈ N.
Yz πtoj formul¥ sleduet pervoe ravenstvo sledstvyq. Dva druhyx ravenstva
qvlqgtsq sledstvyem pervoho. Formula (40) b¥la poluçena v [18] matryçn¥my
metodamy.
2.5. Supremum, infimum y znaçenye bluΩdanyq. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪
∪ 0, — celoçyslennoe sluçajnoe bluΩdanye y
ξ ξ+
≤
=( ) sup ( )n m
m n
, ξ ξ−
≤
=( ) inf ( )n m
m n
, m ∈ N ∪ 0.
V πtom punkte dlq vsex r, k ∈ N ∪ 0 opredelym funkcyg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1381
Q r k r m kt
t
m r
k
m
t t t
t
θ
ξ νθ χ ν θ ξ ν ξ ν ξ ν( , ) ; ( ), ( ) , ( )( )− = >[ ] = − ≤ = ≤[ ]
= −
− +∑E P .
Lemma 4. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — sluçajnoe bluΩdanye. Tohda dlq
proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq { ξ ν− ( )t , ξ ν( )t , ξ ν+ ( )t }
spravedlyvo predstavlenye
Q r k U t t X i A U tt k r
i
r
i i B
θ
χθ θ θ θ( , ) ( , ) ; , ( , )− = − =[ ]−
=
∞
− +∑
1
E , B r k= + , (41)
hde
U t k kk
t t
t t t( , ) ; ( ) ; ( )( ) ( ) ( )θ θ ξ ν θ θ ξ νξ ν ξ ν ξ ν= ≤[ ] = ≤[ ]+ +− +
E E E , θ ≥ 1.
Dokazatel\stvo. Sohlasno formule polnoj veroqtnosty, odnorodnosty
bluΩdanyq po prostranstvu y svojstvu strohoj markovosty sluçajnoho bluΩ-
danyq, ymeet mesto uravnenye
E θ ξ νξ ν( ); ( )t
t k+ ≤[ ] = E θ χ νξ ν( );t
t>[ ] +
+
i
r
i r
tt X i A i Bt
=
∞
− + +∑ =[ ] ≤ +[ ]
1
E Eχ ξ νθ θ ξ ν; , ; ( )( ) ( ) , θ ≥ 1. (42)
∏to uravnenye otraΩaet to obstoqtel\stvo, çto pryrawenyq sluçajnoho bluΩ-
danyq na traektoryqx, kotor¥e ne peresekagt uroven\ k na yntervale 0, νt[ ],
proysxodqt lybo na traektoryqx bluΩdanyq, kotor¥e ne peresekagt y uroven\
– r (pervoe slahaemoe v pravoj çasty πtoho ravenstva), lybo na traektoryqx
bluΩdanyq, kotor¥e peresekagt uroven\ – r s dal\nejßymy pryrawenyqmy na
traektoryqx, kotor¥e ne peresekagt uroven\ k na yntervale 0, νt[ ] (vtoroe
slahaemoe v pravoj çasty πtoho ravenstva). Yz ravenstva (42) sleduet formu-
la3(41).
2.6. Supremum, infimum y znaçenye bluΩdanyq s heometryçesky rasprede-
lennoj otrycatel\noj komponentoj. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — sluçaj-
noe bluΩdanye s heometryçesky raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj y
proyzvodqwej funkcyej ßaha bluΩdanyq
E Eθ
θ
λ
λ θ
θξ η( )
/
1 1 1
1
= −
−
, η ∈ N ∪ 0,
P Pη η=[ ] >[ ] >0 1 0, λ ∈[ )0 1, , θ = 1.
V πtom sluçae
Eθ
λ
λ θ
θ
ξ ν−
= −
−
−
−
( ) ( ) /
( )/
t c t
c t
1
1
1
1
, θ ≥ 1,
(43)
E
E
θ λ θ
λ θ λ θ
ξ ν
η
+
= − −
−
−
− + −
( ) ( )
( )
( )
( )
t t
c t
c t
t
1
1
1 1
, θ ≤ 1,
hde c t( ) ∈ ( λ, 1 ) — edynstvenn¥j koren\ vnutry edynyçnoho kruha θ < 1
uravnenyq θ – λ – t ( )1 − λ θηE = 0, t ∈ ( 0, 1 ). Oboznaçym
q r m k r n n m n kn( , , ) ( ), ( ) , ( )− = − ≤ = ≤[ ]− +P ξ ξ ξ , m r k∈ − …{ }, , .
Sledstvye 6. Pust\ ξ( )n ∈ Z , n ∈ N ∪ 0, — sluçajnoe bluΩdanye s
heometryçesky raspredelennoj otrycatel\noj komponentoj. Tohda dlq proyz-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1382 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
vodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq { ξ− ( )n , ξ( )n , ξ+ ( )n } v¥polnq-
etsq ravenstvo
n
n
n
B k
B
m r m mt q r m k
R t
R t
R t R t R t
=
∞
+
+ −∑ − = + −
0
1
1( , , )
( )
ˆ ( , )
( ) ( ) ( )λ
λ
λ , t ∈ ( 0, 1 ), (44)
hde B = k + r, R tk ( ), k ∈ N ∪ 0, — rezol\ventnaq posledovatel\nost\ sluçaj-
noho bluΩdanyq (33), R tm( ) = 0 pry m < 0, a
ˆ ( , )R tB λ =
i B
i
iR t= +
∞∑ 1
λ ( ).
Dokazatel\stvo. Yz ravenstva
E E Eθ ξ ν θ θ ξ νξ ν ξ ν ξ ν( ) ( ) ( ); ( ) ; ( )t t t
t tk k+ +≤[ ] = ≤[ ]− +
, θ ≥ 1,
y ravenstv (43) sleduet formula
k
k
tz k
t
z c t
c t z
t z z
t
=
∞
+∑ ≤[ ] = −
−
−
−
−
− + −0
1
1 1
E
E
θ ξ ν λ θ
θ
θ
λ θ λ θ
ξ ν
η
( ); ( )
( )
( )
( ) ( )
,
θ ≥ 1, z < 1.
Yspol\zuq opredelenye rezol\ventnoj posledovatel\nosty (33), naxodym
E θ ξ νξ ν( ); ( )t
t k+ ≤[ ] =
= ( )( ) ( ) ( )
/
( )/
( )1 1
1
10
1− − + − −
−=
+∑t R t t
c t
R t
i
k
i
i
k
kλ θ θ λ θ
θ
θ , θ ≥ 1.
Podstavlqq v¥raΩenye E [θξ ν( )t ; ξ ν+ ( )t ≤ k ] y v¥raΩenye (32) dlq E [ tχ ; X = i,
Ar ] v ravenstvo (41) y provodq neobxodym¥e v¥çyslenyq, dlq vsex r , k ∈ N ∪ 0
naxodym
Q r kt
θ( , )− = ( )( ) ( )1
0
− −
=
∑t R t
i
k
i
iλ θ θ + ( ) ( )1 1− +t R tk
kθ +
+ ( )
( )
ˆ ( , )
( )1
1
0
−
+
=
∑t
R t
R t
R t
B
r
k
B i
B
i
i
λ
θ λ
θ .
Sravnyvaq koπffycyent¥ pry θm
, m ∈ { – r, … , k }, v levoj y pravoj çastqx
πtoho ravenstva, poluçaem ravenstvo (44).
2.7. Supremum, infimum y znaçenye poluneprer¥vnoho bluΩdanyq. Pust\
ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — poluneprer¥vnoe snyzu sluçajnoe bluΩdanye s proyz-
vodqwej funkcyej ßaha bluΩdanyq
E Eθ
θ
θξ η( )1 1= , η ∈ N ∪ 0, P Pη η=[ ] >[ ] >0 1 0, θ ∈( ]0 1, .
Sledstvye 7. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — poluneprer¥vnoe snyzu slu-
çajnoe bluΩdanye, r, k ∈ N ∪ 0 y
q r m k r n n m n kn( , , ) ( ), ( ) , ( )− = − ≤ = ≤[ ]− +P ξ ξ ξ , m ∈ { – r, … , k }.
Tohda dlq proyzvodqwej funkcyy sovmestnoho raspredelenyq { ξ− ( )n , ξ( )n ,
ξ+ ( )n } v¥polnqetsq ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
O RASPREDELENYY MOMENTA PERVOHO VÁXODA YZ YNTERVALA … 1383
n
n
n
k
B
m r mt q r m k
R t
R t
R t R t
=
∞
+
+ −∑ − = −
0 1
1( , , )
( )
( )
( ) ( ), t ∈( , )0 1 , B = k + r,
hde R tk ( ) , k ∈ N ∪ 0, — rezol\ventnaq posledovatel\nost\ poluneprer¥vnoho
sluçajnoho bluΩdanyq (37), R tm( ) = 0 pry m < 0.
Dlq dokazatel\stva sledstvyq neobxodymo v ravenstve (44) poloΩyt\ λ →
→ 0.
2.8. Supremum, infimum y znaçenye bluΩdanyq Bernully. Pust\ ξ( )n ∈ Z,
n ∈ N ∪ 0 — symmetryçnoe bluΩdanye Bernully. V πtom sluçae rezol\ventnaq
posledovatel\nost\ bluΩdanyq ymeet vyd
R t
t
d
t c t
c tk k k
k( )
/ ( ) ( )
( )=
+ −
=
−
−
=
+ +
+∫
θ α θ θ θ
θ1 1
2 1
1
1
1
1 2 2 1
1
,
α < c t( ) , k ∈ N ∪ 0,
hde c t( ) =
1 1 2− − t
t
, t ≤ 1. Spravedlyvo sledugwee sledstvye.
Sledstvye 8. Pust\ ξ( )n ∈ Z, n ∈ N ∪ 0, — symmetryçnoe bluΩdanye
Bernully, k, r ∈ N ∪ 0 y
q r m k r n n m n kn( , , ) ( ), ( ) , ( )− = − ≤ = ≤[ ]− +P ξ ξ ξ , m ∈ { – r, … , k }.
Tohda dlq sovmestnoho raspredelenyq { ξ− ( )n , ξ( )n , ξ+ ( )n } v¥polnqetsq ra-
venstvo
q r m k
B B
k
B
k m
Bn
B n
( , , ) cos sin sin− =
+ +
+
+
+ −
+
=
+
∑2
2 2
1
2
1
21
1
ν
νπ νπ νπ .
Dokazatel\stvo. Yz ravenstva sledstvyq 7 v¥tekaet, çto dlq m ∈
∈ { – r, … , k }
n
n
nt q r m k
=
∞
∑ −
0
( , , ) =df
f tm( ) =
= 1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2 2
1
2 1
2
−
( ) −
( ) −
−
+ − + + − +
+ +
+ − −
+ − −
t
c t c t
c t c t c t
c t
k
m m k
m m
B B
r
m m
r
m m
/ ( ) ( )
/ ( ) ( ) ( )
( ) .
Tohda
q r m k
t
f t dtn
t
n m( , , ) ( )− =
=
+∫
α
1
1 , α < 1.
Yspol\zuq to obstoqtel\stvo, çto pod¥ntehral\naq funkcyq pry t > 1 ymeet
prost¥e polgs¥ v toçkax
t
Bν
νπ=
+
−
cos
2
1
, ν ∈ … +{ }1 1, , B , ν ≠ +B
2
1 pry B ≡ 0 (mod 2),
y v¥byraq poxodqwyj kontur yntehryrovanyq, dlq vsex m ∈ { – r, … , k } na-
xodym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1384 V. F. KADANKOV, T. V. KADANKOVA
q r m kn( , , )− = −
=
+
+∑
ν
ν
1
1
1
1
B
n m
t
f tRes ( ) =
= 2
2 2
1
2
1
21
1
B B
k
B
k m
B
B n
+ +
+
+
+ −
+
=
+
∑
ν
νπ νπ νπcos sin sin .
1. Skoroxod A. V. Sluçajn¥e process¥ s nezavysym¥my pryrawenyqmy. – M.: Nauka, 1964. –
280 s.
2. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Teoryq sluçajn¥x processov: V 2 t. – M.: Nauka, 1973. – 639 s.
3. Peçerskyj E. A., Rohozyn B. A. O sovmestn¥x raspredelenyqx sluçajn¥x velyçyn, svqzan-
n¥x s fluktuacyqmy processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy // Teoryq veroqtnostej y ee
prymenenyq. – 1964. – 14, # 3. – S. 431 – 444.
4. Borovkov A. A. Veroqtnostn¥e process¥ v teoryy massovoho obsluΩyvanyq. – M.: Nauka,
1972. – 368 s.
5. Petrovskyj Y. H. Lekcyy po teoryy yntehral\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1965. – 127 s.
6. Borovskyx G. V. Poln¥e asymptotyçeskye razloΩenyq dlq rezol\vent¥ poluneprer¥v-
noho processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy s pohlowenyem y raspredelenyq veroqtnosty
razorenyq // Asymptotyçeskye metod¥ v teoryy veroqtnostej. – Kyev, 1979. – S. 10 – 21.
7. Emery D. J. Exit problem for a spectrally positive process // Adv. Appl. Probab. – 1973. –
P. 498 – 520.
8. Peçerskyj E. A. Nekotor¥e toΩdestva, svqzann¥e s v¥xodom sluçajnoho bluΩdanyq yz
otrezka y yz poluyntervala // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1974. – 19, # 1. –
S.3104 – 119.
9. Suprun V. N., Íurenkov V. M. O rezol\vente processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy, ob-
r¥vagwehosq v moment v¥xoda na otrycatel\nug poluos\ // Yssledovanyq po teoryy slu-
çajn¥x processov. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1975. – S. 170 – 174.
10. Suprun V. N. Zadaça o razorenyy y rezol\venta obr¥vagwehosq processa s nezavysym¥my
pryrawenyqmy // Ukr. mat. Ωurn. – 1976. – 28, # 1. – S. 53 – 61.
11. Korolgk V. S. Hranyçn¥e zadaçy dlq sloΩn¥x puassonovskyx processov. – Kyev: Nauk.
dumka, 1975. – 240 s.
12. Kadankov V. F., Kadankova T. V. On the disribution of duration of stay in an interval of the semi-
continuous process with independet increments // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2004. – 12,
# 4. – P. 365 – 388.
13. Kadankova T. V. On the disribution of the number of the intersections of a fixed interval by the
semi-continuous process with independent increments // Theory Stochast. Processes. – 2003. – # 1-
2. – P. 73 – 81.
14. Kadankova T. V. Pro sumisnyj rozpodil supremum’a, infimum’a ta znaçennq napivnepererv-
noho procesu z nezaleΩnymy pryrostamy // Teoriq jmovirnostej i mat. statystyka. – 2004. –
Vyp. 70. – S. 56 – 65.
15. Yto K., Makkyn H. Dyffuzyonn¥e process¥ y yx traektoryy. – M.: Myr, 1968. – 394 s.
16. Deç H. Rukovodstvo k praktyçeskomu prymenenyg preobrazovanyq Laplasa. – M.: Fyzmat-
hyz, 1960. – 208 s.
17. Levy P. Processus stochastiques et mouvement borwnien. – Paris, 1948.
18. Spycer F. Pryncyp¥ sluçajnoho bluΩdanyq. – M.: Myr, 1969. – 472 s.
19. Kadankova T. V. Dvohranyçni zadaçi dlq vypadkovoho blukannq z heometryçno rozpodile-
nymy vid’[mnymy strybkamy // Teoriq jmovirnostej i mat. statystyka. – 2003. – Vyp. 68. –
S.360 – 71.
20. Takaç L. Kombynatorn¥e metod¥ v teoryy sluçajn¥x processov. – M.: Myr, 1967. – 263 s.
21. De Moivre A. De mensura sortis seu, de probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus
// Phil. Trans. London. – 1711. – 27. – P. 213 – 254.
Poluçeno 01.09.2004,
posle dorabotky — 06.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3691 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/80/541c3d316f37d539813e453a19f4b880.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36912020-03-18T20:02:18Z On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks O распределении момента первого выхода из интервала и величины перескока границы для процессов с независимыми приращениями и случайных блужданий Kadankov, V. F. Kadankova, T. V. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. For a homogeneous process with independent increments, we determine the integral transforms of the joint distribution of the first-exit time from an interval and the value of a jump of a process over the boundary at exit time and the joint distribution of the supremum, infimum, and value of the process. Для однорідного процесу з незалежними проростами отримано інтегральні перетворення сумісного розподілу моменту першого виходу процесу з інтервалу і величини перестрибу процесу через границю в момент виходу, сумісного розподілу supremum, infimum і значення процесу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3691 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1359–1384 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1359–1384 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3691/4108 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3691/4109 Copyright (c) 2005 Kadankov V. F.; Kadankova T. V. |
| spellingShingle | Kadankov, V. F. Kadankova, T. V. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. Каданков, В. Ф. Каданкова, Т. В. On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title | On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title_alt | O распределении момента первого выхода из интервала и величины перескока границы для процессов с независимыми приращениями и случайных блужданий |
| title_full | On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title_fullStr | On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title_full_unstemmed | On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title_short | On the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| title_sort | on the distribution of the time of the first exit from an interval and the value of a jump over the boundary for processes with independent increments and random walks |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3691 |
| work_keys_str_mv | AT kadankovvf onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovatv onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovvf onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovatv onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovvf onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovatv onthedistributionofthetimeofthefirstexitfromanintervalandthevalueofajumpovertheboundaryforprocesseswithindependentincrementsandrandomwalks AT kadankovvf oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij AT kadankovatv oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij AT kadankovvf oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij AT kadankovatv oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij AT kadankovvf oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij AT kadankovatv oraspredeleniimomentapervogovyhodaizintervalaiveličinypereskokagranicydlâprocessovsnezavisimymipriraŝeniâmiislučajnyhbluždanij |