On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces
We present conditions under which the subdifferential of a proper convex lower-semicontinuous functional in a Fréchet space is a bounded upper-semicontinuous mapping. The theorem on the boundedness of a subdifferential is also new for Banach spaces. We prove a generalized Weierstrass theorem in Fréc...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3692 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509823200657408 |
|---|---|
| author | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. |
| author_facet | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. |
| author_sort | Kasyanov, P. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | We present conditions under which the subdifferential of a proper convex lower-semicontinuous functional in a Fréchet space is a bounded upper-semicontinuous mapping. The theorem on the boundedness of a subdifferential is also new for Banach spaces. We prove a generalized Weierstrass theorem in Fréchet spaces and study a variational inequality with a set-valued mapping. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
P.�O.�Kas\qnov (Ky]v. nac. un-t im.T.�Íevçenka),
V.�S.�Mel\nyk (In-t prykl. syst. analizu NAN Ukra]ny ta M-va osvity i nauky Ukra]ny, Ky]v)
PRO VLASTYVOSTI SUBDYFERENCIAL|NYX
VIDOBRAÛEN| U PROSTORAX FREÍE
We present conditions under which a subdifferential map of proper convex lower semicontinuous
functional in the Frechet space is a bounded upper semicontinuous map. The theorem on boundedness
of subdifferential map is new also for Banach spaces. We prove the generalized Weierstrass theorem in
Frechet spaces and study a variational inequality with set-valued map.
Navedeno umovy, za qkyx subdyferencial vlasnoho opukloho napivneperervnoho znyzu funkcio-
nala u prostori Freße [ obmeΩenym ta napivneperervnym zverxu vidobraΩennqm. Teorema pro
obmeΩenist\ subdyferenciala [ novog i dlq banaxovyx prostoriv. Dovedeno uzahal\nenu teo-
remu Vej[rßtrassa u prostorax Freße ta vyvçeno variacijnu nerivnist\ z mnoΩynnoznaçnym
vidobraΩennqm.
Ostannim çasom aktyvizuvalysq doslidΩennq operatornyx i dyferencial\no-
operatornyx vklgçen\, mul\tyvariacijnyx nerivnostej ta system, wo mistqt\ qk
evolgcijni, tak i operatorni vklgçennq. Taki ob’[kty v refleksyvnyx banaxo-
vyx prostorax vyvçalysq bahat\ma avtoramy, zokrema u robotax [1 – 4]. Odnym iz
dΩerel, wo porodΩugt\ operatorni vklgçennq, [ variacijni nerivnosti z opuk-
lym vlasnym napivneperervnym znyzu funkcionalom ϕ [5]. U�banaxovyx pro-
storax subdyferencial ∂ϕ ( ⋅ ) vlasnoho opukloho napivneperervnoho znyzu
funkcionala ma[ rqd vaΩlyvyx vlastyvostej [6 – 8], qki [ klgçovymy pry
doslidΩenni variacijnyx nerivnostej. Ale u viddilenyx lokal\no opuklyx
prostorax analohiçni vlastyvosti ne�doslidΩuvalys\.
U danij roboti dovodyt\sq kryterij obmeΩenosti bahatoznaçnoho vidobra-
Ωennq ∂ϕ ( ⋅ ) , dostatni umovy joho napivneperervnosti zverxu u vidpovidnyx
topolohiqx ta rqd inßyx vlastyvostej u prostorax Freße.
Nexaj X — prostir Freße, tobto povnyj lokal\no opuklyj linijnyj topo-
lohiçnyj prostir, wo dopuska[ metryzacig, X
∗ — joho topolohiçno sprqΩenyj,
〈 ⋅ , ⋅ 〉X : X
∗ × X → R — kanoniçna dvo]stist\.
Qk vidomo, topolohiq τ na X porodΩu[t\sq zliçennym naborom napivnorm
{ }ρi i=
∞
1, wo rozdilqgt\ toçky. Sim’q napivnorm porodΩu[ metryku d , uzhodΩe-
nu z τ , za formulog
d ( x , y ) = 2
11
−
=
∞ −
+ −∑ i i
ii
x y
x y
ρ
ρ
( )
( )
. (1)
ZauvaΩymo, wo d ( x + h , y + h ) = d ( x , y ) , d ( α x , α y ) < | α | d ( x , y ) pry | α | > 1 i
d ( α x , α y ) ≥ | α | d ( x , y ) pry | α | ≤ 1.
Rozhlqnemo funkcional ϕ : X � R = R ∪ { + ∞ } pry umovi int dom ϕ ≠ ∅,
de dom ϕ = { x ∈ X | ϕ ( x ) < + ∞ }.
Teorema 1. Nexaj ϕ : X � R — vlasnyj opuklyj napivneperervnyj znyzu
funkcional, x0 ∈ int dom ϕ . Todi dlq bud\-qkoho u ∈ X velyçyna
D+ ϕ ( x0 ; u ) = lim
( ) ( )
t
x t u x
t→ +
+ −
0
0 0ϕ ϕ
(2)
[ skinçennog, pryçomu:
i) znajdet\sq vrivnovaΩenyj opuklyj pohlynagçyj okil nulq Θ takyj, wo
dlq bud\-qkoho u ∈ Θ
© P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1385
1386 P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK
ϕ ( x0 ) – ϕ ( x0 – u ) ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) ≤ ϕ ( x0 + u ) – ϕ ( x0 ) ; (3)
ii) funkcional int dom ϕ × X � ( x ; u ) � D + ϕ ( x ; u ) [ napivneperervnym
zverxu;
iii) dlq bud\-qkoho x0 ∈ int dom ϕ funkcional D + ϕ ( x ; ⋅ ) : X � R [ dodat-
no odnoridnym i napivadytyvnym;
iv) dlq bud\-qkyx x0 ∈ int dom ϕ i u0 ∈ X znajdet\sq okil O ( u0 ) takyj,
wo | D+ ϕ ( x0 ; u ) – D+ ϕ ( x0 ; u0 ) | ≤ c1 d ( u , u0 ) ∀u ∈ O ( u0 ) .
Dovedennq. Magt\ misce nastupni dopomiΩni tverdΩennq.
Lema 1. Funkcional ϕ [ lokal\no obmeΩenym zverxu na int dom ϕ , tobto
dlq bud\-qkoho x0 ∈ int dom ϕ znajdut\sq dodatni konstanty r i c tak i ,
wo ϕ ( x ) ≤ c ∀x ∈ Br ( x0 ) , de Br ( x0 ) = { x ∈ X | d ( x , x0 ) < r }.
Dovedennq. Dlq dovil\noho x0 ∈ int dom ϕ znajdet\sq ε1 > 0 take, wo
B x2 01ε ( ) ⊂ dom ϕ , a otΩe, B xε1 0( ) ⊂ B x2 01ε ( ) ⊂ dom ϕ . Oskil\ky funkcional
ϕ [ napivneperervnym znyzu, to pry koΩnomu n = 1, 2, … mnoΩyna An = { x ∈
∈ B xε1 0( ) | ϕ ( x ) ≤ n } [ zamknenog v X , pryçomu
∪
+∞
=n
nA
1
= B xε1 0( ) ⊂ dom ϕ .
ZauvaΩymo, wo B x dε1 0( ),( ) — povnyj metryçnyj prostir, tomu za teoremog
Bera isnu[ n0 ∈ N take, wo int An0
≠ ∅ v B xε1 0( ) . Dovedemo, wo int An0
≠ ∅ v
X . Iz toho, wo int An0
≠ ∅ v B xε1 0( ) , vyplyva[, wo isnugt\ x1 ∈ int An0
i ε2 >
> 0 taki, wo An0
⊃ { x ∈ B xε1 0( ) | d ( x , x1 ) < ε2 } = B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) ≠ ∅. Pry
c\omu moΩlyvi dva vypadky:
1) B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) ≠ ∅ ;
2) B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) = ∅ , ∂ εB x
1 0( ) ∩ B xε2 1( ) ≠ ∅ .
U perßomu vypadku B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) [ vidkrytog mnoΩynog v topolohi] τ ,
tomu isnugt\ x2 ∈ X ta ε3 > 0 taki, wo B xε3 2( ) ⊂ B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) ⊂ An0
,
tobto dlq bud\-qkoho x ∈ B xε3 2( ) ma[mo ϕ ( x ) ≤ n0 , otΩe, x2 ∈ int An0
v X .
Teper rozhlqnemo druhyj vypadok. Dlq dovil\noho x ∈ ∂ εB x
1 0( ) ∩ B xε2 1( )
isnu[ { } ≥xn n 1 ⊂ B xε1 0( ) taka, wo xn → x pry n → + ∞ , a oskil\ky x ∈ B xε2 1( ),
to znajdet\sq N take, wo dlq bud\-qkoho n ≥ N x n ∈ B xε2 1( ), tobto x n ∈
∈ B xε1 0( ) ∩ B xε2 1( ) ≠ ∅ , i my perexodymo do poperedn\oho vypadku. Takym
çynom, int An0
≠ ∅ v X .
Dovedemo teper lokal\nu obmeΩenist\ zverxu ϕ v deqkomu okoli toçky x0 .
Nexaj y = x2 +
x x0 2
1
−
− λ
, de λ =
ε
ε
1 2 0
1 2 01
/
/
( , )
( , )
d x x
d x x+
, tomu y = x0 +
ε1
2 0
0 2d x x
x x
( , )
( )− ,
d ( y , x0 ) = d
d x x
x x
ε1
0 2
0 2 0
( , )
( ),−
<
ε1
0 2
0 2d x x
d x x
( , )
( , ) = ε1 , tobto y ∈ B xε1 0( ) ⊂
⊂ dom ϕ . Dlq koΩnoho x ∈ B xλε3 0( ) rozhlqnemo z = ( x + λx2 – x0 ) / λ = ( x –
– ( 1 – λ) y) / λ . Oskil\ky 0 < λ < 1, to d (z, x2) = d x
x x
x2
0
2+ −
λ
, = d
x x−
0 0
λ
, <
< 1
0λ
d x x( , ) <
λε
λ
3 = ε3 , tobto z ∈ B xε3 2( ), a otΩe, ϕ ( z ) ≤ n0 . Dali, funkcio-
nal ϕ — opuklyj, tomu ϕ ( x ) = ϕ ( λ z + ( 1 – λ ) y ) ≤ λ ϕ ( z ) + ( 1 – λ ) ϕ ( y ) ≤ n0 +
+ ( 1 – λ ) ϕ ( y ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO VLASTYVOSTI SUBDYFERENCIAL|NYX VIDOBRAÛEN| … 1387
Takym çynom, ϕ [ obmeΩenym zverxu v okoli B xλε3 0( ), tobto r = λ ε3 , c =
= n0 + ( 1 – λ ) ϕ ( y ) .
Lemu dovedeno.
Lema 2. Funkcional ϕ [ lokal\no lipßycevym na int dom ϕ , tobto dlq
bud\-qkoho x0 ∈ int dom ϕ isnugt\ r1 > 0 ta c1 > 0 taki, wo | ϕ ( x ) – ϕ ( y ) | ≤
≤ c1 d ( x , y ) ∀x , y ∈ B xr1 0( ) .
Dovedennq. Z lemy 1 vyplyva[ lokal\na obmeΩenist\ zverxu ϕ na
int dom ϕ , tomu dlq bud\-qkoho x0 ∈ int dom ϕ isnugt\ r > 0 i c > 0 taki, wo
ϕ ( x ) ≤ c ∀x ∈ Br ( x0 ) .
Dlq dovil\noho x ∈ Br ( x0 ) ( x ≠ x0 ) i t =
d x x
r d x x
( , )
( , )
0
0+
poklademo y =
=
x t x
t
0 1+ −( )
= x0 +
1
0
− −t
t
x x( ), de t ∈ (0 , 1) . Todi d ( y , x0 ) = d
t
t
x x
1
00
− −
( ), =
= d r
d x x
x x
( , )
( ),
0
0 0−
< r
d x x
d x x
( , )
( , )
0
0 = r, tobto ϕ ( y ) ≤ c . Zavdqky opuk-
losti ϕ ma[mo ϕ ( x0 ) = ϕ ( t y + ( 1 – t ) x ) ≤ t ϕ ( y ) + ( 1 – t ) ϕ ( x ) ≤ t c + ( 1 – t ) ϕ ( x ) ,
abo ( 1 – t ) ϕ ( x0 ) ≤ t ( c – ϕ ( x0 )) + ( 1 – t ) ϕ ( x ) . Zvidsy
ϕ ( x0 ) – ϕ ( x ) ≤ t
t
c x
1 0−
−( )ϕ( ) =
c x
r
d x x
−( )ϕ( )
( , )0
0 . (4)
Teper nexaj z
x x
x
x x= − − = + −( )1 0
0
0τ
τ τ
, de τ = ∈d x x
r
( , )
( , )0 0 1 , todi d (z, x0) =
= d
x x−
0 0
τ
, < 1
0τ
d x x( , ) = r, tobto ϕ ( z ) ≤ c , pryçomu zavdqky opuklosti ϕ
ϕ ( x ) = ϕ ( τ z + ( 1 – τ ) x0 ) ≤ τ ϕ ( z ) + ( 1 – τ ) ϕ ( x0 ) ≤ τ c + ( 1 – τ ) ϕ ( x0 ) abo
ϕ ( x ) – ϕ ( x0 ) ≤ τ ϕc x−( )( )0 =
c x
r
d x x
− ϕ( )
( , )0
0 . (5)
Iz ocinok (4), (5) znaxodymo
| ϕ ( x ) – ϕ ( x0 ) | ≤
c x
r
d x x
− ϕ( )
( , )0
0 . (6)
Dovedemo lipßycevist\ ϕ na B xε1 0( ) pry ε1 = r / 3. Zhidno z (6) dlq bud\-
qkyx x1, x2 ∈ B x3 01ε ( ) ϕ ( x1 ) ≤ c , ϕ ( x2 ) ≤ c . Qkwo x1 ∈ B xε1 0( ) , to B x2 11ε ( ) ⊂
⊂ Br ( x0 ), tobto x1 ∈ int dom ϕ , a tomu zavdqky (6)
∀x ∈ B x2 11ε ( ) : | ϕ ( x ) – ϕ ( x1 ) | ≤
c x
d x x
− ϕ
ε
( )
( , )1
1
12
. (7)
Zokrema, nerivnist\ (7) spravdΩu[t\sq pry x = x2 — dovil\nomu elementu z
B xε1 0( ) . Dali znovu zavdqky (6) c x c x x x c x− ≤ −( )+ − ≤ −( )+ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0
+
c x
r
d x x
−ϕ( )
( , )0
1 0 < 2 0c x−( )ϕ( ) . Zvidsy i z ocinky (7) ostatoçno znaxodymo
| ϕ ( x2 ) – ϕ ( x1 ) | ≤
c x
d x x
− ϕ
ε
( )
( , )0
1
2 1 ∀x1, x2 ∈ B xε1 0( ) , tobto c1 =
c x− ϕ
ε
( )0
1
,
r1 = ε1 .
Lemu dovedeno.
ProdovΩymo dovedennq teoremy. Nexaj x0 ∈ int dom ϕ i Br ( x0 ) = x0 + Br ( 0 ) .
Todi za lemamy 1,�2 funkcional ϕ [ obmeΩenym zverxu i zadovol\nq[ umovu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1388 P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK
Lipßycq na Br ( x0 ) . ZauvaΩymo, wo mnoΩyna Br ( 0 ) (na vidminu vid banaxovyx
prostoriv) ne [, vzahali kaΩuçy, absolgtno opuklog, ale znajdet\sq opukla
pohlynagça vrivnovaΩena mnoΩyna Θ iz bazy topolohi] τ taka, wo Θ ⊂
⊂ Br ( x0 ) . Todi
ϕ ( x ) ≤ c ∀x ∈ x0 + Θ, | ϕ ( x1 ) – ϕ ( x2 ) | ≤ c1 d ( x1 , x2 ) ∀x1 , x2 ∈ x0 + Θ. (8)
Dlq koΩnoho u ∈ X isnu[ t = t ( u ) > 0 take, wo t
–1
u ∈ Θ, a otΩe, dlq bud\-
qkoho h ∈ ( 0 , t
–1
) h u ∈ Θ, tomu wo t Θ ⊂ Θ / h . Dali, dlq dovil\nyx h1 , h2 ∈ R
takyx, wo 0 < h1 ≤ h2 < t
–1, zavdqky opuklosti ϕ ma[mo
ϕ ( x0 + h1 u ) – ϕ ( x0 ) = ϕ x
h
h
x h u
h
h0
1
2
0 2
1
2
1 −
+ +
( ) – ϕ ( x0 ) ≤
≤ 1 1
2
0−
h
h
xϕ( ) +
h
h
x h u1
2
0 2ϕ( )+ – ϕ ( x0 ) =
h
h
x h u x1
2
0 2 0ϕ ϕ( ) ( )+ −( ).
Takym çynom, funkciq h �
ϕ ϕ( ) ( )x hu x
h
0 0+ −
monotonno spada[ pry h → 0+.
Dlq koΩnoho u ∈ Θ velyçyna D+ ϕ ( x0 ; u ) [ skinçennog. Spravdi, α u ∈ Θ
∀α : | α | ≤ 1, tomu D + ϕ ( x0 ; u ) = inf
( ) ( )
h
x hu x
h>
+ −
0
0 0ϕ ϕ
≤ ϕ ( x0 + u ) – ϕ ( x0 ) <
< + ∞, oskil\ky x0 + u ∈ Br (x0) ⊂ dom ϕ. Z�inßoho boku, dlq bud\-qkoho h ∈ (0, 1)
x0 = 1
1 10 0+
+ +
+
−
h
x hu h
h
x u( ) ( ) , pryçomu – u ∈ Θ i, krim toho, dlq bud\-qkoho
h ∈ ( 0 , 1 ) – ∞ < ϕ ( x0 ) – ϕ ( x0 – u ) ≤
ϕ ϕ( ) ( )x hu x
h
0 0+ −
. Takym çynom, dlq bud\-
qkoho u ∈ Θ – ∞ < ϕ ( x0 ) – ϕ ( x0 – u ) ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) ≤ ϕ ( x0 + u ) – ϕ ( x0 ) < + ∞,
tobto D+ ϕ ( x0 ; u ) ∈ R i vykonu[t\sq nerivnist\ (3).
Iz spivvidnoßennq (2) bezposeredn\o vyplyva[
D+ ϕ ( x0 ; α u ) = α D+ ϕ ( x0 ; u ) ∀α > 0 ∀u ∈ X , (9)
a oskil\ky mnoΩyna Θ [ pohlynagçog, to dlq bud\-qkoho u ∈ X isnu[ α > 0 ta-
ke, wo α u ∈ Θ . Todi iz (9) otrymu[mo D+ ϕ ( x0 ; u ) ∈ R ∀x0 ∈ int dom ϕ ∀u ∈ X .
Rozhlqnemo pry h > 0 funkcig
int dom ϕ × X � ( x ; u ) � Fh ( x ; u ) =
ϕ ϕ( ) ( )x hu x
h
+ −
. (10)
Lema 3. Dlq koΩno] pary ( x0 ; u0 ) ∈ int dom ϕ × X znajdet\sq l ≤ 1 take,
wo dlq bud\-qkoho h ∈ ( 0 , l ) funkciq Fh ( ⋅ ; ⋅ ) [ neperervnog v toçci ( x0 ; u0 ) .
Dovedennq. Nexaj u0 ∈ X — dovil\nyj element, x0 ∈ int dom ϕ , todi isnu[
t0 > 0 take, wo u0 ∈ t0 Θ (mnoΩynu Θ vyznaçeno vywe). Dali, dlq h ∈ ( 0 , l ) ,
de l = min ,1
2
1
0t
, rozhlqnemo funkcig Fh ( x ; u ) v okoli toçky ( x0 ; u0 ) . Pry
c\omu
| Fh ( x ; u ) – Fh ( x0 ; u0 ) | =
= 1
0 0 0 0 0 0 0h
x hu x x h u u x hu x xϕ ϕ ϕ ϕ+ + − + −( ) − +( )[ ] + −[ ]( ) ( ) ( ) ( ) , (11)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO VLASTYVOSTI SUBDYFERENCIAL|NYX VIDOBRAÛEN| … 1389
i qkwo x ∈ x0 + 1
4
Θ , u ∈ u0 + 1
4
Θ , to ma[mo
x0 + h u0 ∈ x0 + 1
2
Θ , h ( u – u0 ) ∈ x0 +
1
4
Θ ,
(x – x0) + h (u – u0) ∈ x0 +
1
2
Θ , x0 + h u0 + (x – x0) + h (u – u0) ∈ x0 + Θ.
OtΩe, zavdqky (8) iz spivvidnoßennq (11) znaxodymo | Fh ( x ; u ) – F x uh( );0 0 | ≤
≤
2 1
0 0
c
h
d x x h u u− −( ), ( ) → 0 pry x → x0, u → u0 .
Lemu dovedeno.
Z lemy 3 vyplyva[ napivneperervnist\ zverxu D + ϕ ( x0 ; u ) = inf ( ; )
h hF x u
>0
=
= inf ( ; )
( , )h l hF x u
∈ 0
qk potoçkova nyΩnq hranycq neperervnyx funkcij. Dodatna
odnoridnist\ D+ ϕ ( x0 ; ⋅ ) [ oçevydnog. Dovedemo napivadytyvnist\. Spravdi,
dlq bud\-qkyx v1 , v2 ∈ X ma[mo
D+ ϕ ( x0 ; v1 + v2 ) =
= inf
( ) ( )
t
x t x
t>
+ +( ) −
0
0 1 2 0ϕ ϕv v
= lim
( )
t
x t x t
x
t→
+ + +( ) −
0
0 1 0 2
02
2 2
2ϕ ϕv v
≤
≤
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
t t
x t x
t
x t x
t→ →
+ − + + −
0
0 1 0
0
0 2 0ϕ ϕ ϕ ϕv v
= D+ ϕ ( x0 ; v1 ) + D+ ϕ ( x0 ; v2 ) .
Wob zaverßyty dovedennq dano] teoremy, slid pokazaty, wo vidobraΩennq
D+ ϕ ( x0 ; ⋅ ) zadovol\nq[ iv). Iz napivadytyvnosti danoho vidobraΩennq vyplyva[
| D+ ϕ ( x0 ; u ) – D+ ϕ ( x0 ; u0 ) | ≤
≤ max { D+ ϕ ( x0 ; u – u0 ) , D+ ϕ ( x0 ; u0 – u ) } ≤ c1 d ( u , u0 ) ∀u ∈ u0 + 1
4
Θ .
Teoremu dovedeno.
Oznaçennq 1. MnoΩyna B ⊂ X∗ nazyva[t\sq obmeΩenog v σ ( X∗
; X ) -to-
polohi] (skoroçeno ∗ -obmeΩenog), qkwo sup ,
y B X
y x
∈
〈 〉 < + ∞ ∀x ∈ X . Oçevyd-
no, koΩna obmeΩena v X∗ mnoΩyna [ ∗ -obmeΩenog.
Oznaçennq 2. MnoΩynnoznaçne vidobraΩennq A : X X�
� ∗ nazyva[t\sq:
a) ∗ -obmeΩenym, qkwo dlq dovil\no] obmeΩeno] v X mnoΩyny B obraz
A ( B ) [ ∗ -obmeΩenym v X∗
;
b) ∗ -napivneperervnym zverxu, qkwo dlq dovil\no] vidkryto] v σ ( X∗
; X ) -to-
polohi] mnoΩyny B mnoΩyna AM
−1 = { x ∈ X | A ( x ) ⊂ B } [ vidkrytog v X ;
v) xemineperervnym zverxu, qkwo funkciq X � x � [A ( x ) , y ]+ = sup ,
( )d A x X
d y
∈
〈 〉
[ napivneperervnog zverxu dlq bud\-qkoho y ∈ X .
ZauvaΩymo, wo iz b) vyplyva[ v).
Oznaçennq 3. MnoΩyna ∂ϕ ( x0) = { p ∈ X∗
| ϕ ( x ) – ϕ ( x0) ≥ 〈 p , x – x0 〉X ∀x ∈ X }
nazyva[t\sq subdyferencialom funkcionala ϕ : X � R u toçci x0 .
Teorema 2. Nexaj ϕ : X � R — vlasnyj opuklyj napivneperervnyj znyzu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1390 P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK
funkcional. Todi dlq bud\-qkoho x0 ∈ int dom ϕ ( ∂ϕ ( x0) — neporoΩnq opukla
kompaktna v σ ( X∗
; X ) -topolohi] mnoΩyna) vidobraΩennq int dom ϕ � x �
� ∂ϕ ( x ) ⊂ X∗ [ ∗ -napivneperervnym zverxu ta
[∂ϕ ( x0) , u ] + = D+ ϕ ( x0 ; u ) ∀u ∈ X . (12)
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo funkciq ϕ zadovol\nq[ umovy teoremy 1.
Lema 4. Dlq koΩnoho x0 ∈ int dom ϕ ma[ misce
∂ϕ ( x0) = { p ∈ X∗
| 〈 p , u 〉X ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) ∀u ∈ X }.
Dovedennq. Nexaj p ∈ ∂ϕ ( x0) . Todi ∀u ∈ X : 〈 p , u 〉X ≤ ϕ ( x0 + u) – ϕ ( x0) .
Zvidsy dlq bud\-qkoho h > 0 〈 p , u 〉X ≤
ϕ ϕ( ) ( )x hu x
h
0 0+ −
, zvidky za teoremog�1
〈 p , u 〉X ≤ inf
( ) ( )
h
x hu x
h>
+ −
0
0 0ϕ ϕ
= D+ ϕ ( x0 ; u ) ∀u ∈ X . Z inßoho boku, nexaj dlq
bud\-qkoho u ∈ X 〈 p , u 〉X ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) . Z teoremy 1 vyplyva[, wo dlq bud\-
qkoho u ∈ X 〈 p , u 〉X ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) ≤ ϕ ( x0 + u) – ϕ ( x0) . OtΩe, p ∈ ∂ϕ ( x0) .
Lemu dovedeno.
Bezposeredn\o z lemy 4 vyplyva[, wo [∂ϕ ( x0) , u ] + ≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) , tobto zav-
dqky lemi 4 { p ∈ X∗
| 〈 p , u 〉X ≤ [∂ϕ ( x0) , u ] + ∀u ∈ X } ⊂ { p ∈ X∗
| 〈 p , u 〉X ≤
≤ D+ ϕ ( x0 ; u ) ∀u ∈ X } = ∂ϕ ( x0) . Z inßoho boku, koΩnyj element p ∈ ∂ϕ ( x0)
zadovol\nq[ umovu 〈 p , u 〉X ≤ [∂ϕ ( x0) , u ] + ∀u ∈ X , wo dovodyt\ zvorotne vklg-
çennq i tym samym rivnist\ (12).
Dali, iz (12) ta teoremy 1 vyplyva[, wo ∂ϕ [ xemineperervnym zverxu vido-
braΩennqm na int dom ϕ . Krim toho, ∂ϕ ( x0) — opukla obmeΩena mnoΩyna,
zamknena v σ ( X∗
; X ) -topolohi]. Opuklist\ i zamknenist\ [ oçevydnymy, a ob-
meΩenist\ vyplyva[ z ocinky [∂ϕ ( x0) , u ] + = D+ ϕ ( x0 ; u ) ≤ c1 d ( u, 0 ) ∀u ∈ X .
OtΩe, zavdqky teoremi Banaxa – Alaohlu [9] ∂ϕ ( x0) — kompaktna mnoΩyna v
σ ( X∗
; X ) -topolohi]. Za cyx umov iz xemineperervnosti zverxu vidobraΩennq ∂ϕ
ta teoremy Kastenq [6] vyplyva[ ∗ -napivneperervnist\ zverxu ∂ϕ .
Teoremu dovedeno.
Naslidok 1. Nexaj ϕ∗
: X∗ � R — sprqΩenyj funkcional do ϕ . Todi
∂ϕ∗ : X X∗
�
� [ zamknenym vidobraΩennqm v X ∗ × int dom ϕ wodo σ ( X∗
; X ) -
topolohi] na X∗.
Dovedennq. Qk vyplyva[ z dovedennq teoremy 2, vidobraΩennq ∂ϕ [ xemi-
neperervnym zverxu na int dom ϕ i zavdqky propozyci] 3.5 [8] ma[ zamknenyj hra-
fik v X∗ × int dom ϕ v σ ( X∗
; X ) -topolohi] na X∗. Todi tverdΩennq naslidku
vyplyva[ iz spivvidnoßennq ξ ∈ ∂ϕ∗ ( x) ⇔ x ∈ ∂ϕ∗ ( ξ) .
Naslidok dovedeno.
Oznaçennq 4. Funkcional ϕ : X � R nazyva[t\sq napivobmeΩenym zverxu
na int dom ϕ , qkwo dlq dovil\no] obmeΩeno] v X mnoΩyny B ⊂ int dom ϕ
obraz ϕ ( B ) [ obmeΩenym zverxu v R .
Nastupna teorema [ novog i u vypadku, koly X — banaxiv prostir.
Teorema 3. Nexaj ϕ : X � R — opuklyj napivneperervnyj znyzu funkcio-
nal. Todi nastupni tverdΩennq [ ekvivalentnymy:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO VLASTYVOSTI SUBDYFERENCIAL|NYX VIDOBRAÛEN| … 1391
a) ϕ — napivobmeΩenyj zverxu funkcional na int dom ϕ ;
b) mnoΩynnoznaçne vidobraΩennq ∂ϕ [ ∗ -obmeΩenym na X .
Dovedennq. Magt\ misce nastupni tverdΩennq.
Lema 5. Dlq dovil\no] obmeΩeno] mnoΩyny B v X ta ∗ -obmeΩeno] mno-
Ωyny C v X∗ velyçyna sup sup ,
x B p C X
p x
∈ ∈
〈 〉 [ skinçennog.
Dovedennq. Nexaj ρ ( x ) = sup ,
p C X
p x
∈
〈 〉 . Iz ∗ -obmeΩenosti mnoΩyny C vy-
plyva[, wo danyj funkcional vyznaçenyj na vs\omu X . ZauvaΩymo, wo ρ ( – x ) =
= ρ ( x ) ∀x ∈ X . Krim toho, ρ [ opuklym, dodatno odnoridnym i napivnepererv-
nym znyzu qk supremum opuklyx dodatno odnoridnyx neperervnyx funkcionaliv.
Zvidsy za lemog�2 ρ [ neperervnym na X . OtΩe, ρ — neperervna napivnorma na
X . Za teoremog V.23 [10] iz obmeΩenosti B v X vyplyva[ sup sup ,
x B p C X
p x
∈ ∈
〈 〉 =
= sup ( )
x B
x
∈
ρ < + ∞ .
Lemu dovedeno.
Oznaçennq 5. Nexaj X — viddilenyj lokal\no opuklyj topolohiçnyj pros-
tir. Funkcional ϕ : X � R nazyva[t\sq koercytyvnym, qkwo dlq dovil\no]
neperervno] napivnormy ρ tako], wo ρ ( x ) → + ∞ , vykonu[t\sq ϕ ( x ) → + ∞ .
Lema 6. Nexaj B ⊂ X — neporoΩnq opukla zamknena mnoΩyna i abo B —
obmeΩena, abo funkcional ϕ [ koercytyvnym na B . Todi inf ( )
x B
x
∈
ϕ > – ∞ .
Dovedennq provedemo metodom vid suprotyvnoho. Dlq dovil\noho ciloho n
rozhlqnemo mnoΩynu An = { x ∈ B | ϕ ( x ) ≤ n } ≠ ∅. Iz opuklosti ta napivnepe-
rervnosti znyzu funkcionala ϕ, opuklosti ta zamknenosti mnoΩyny B vyply-
va[ opuklist\ ta zamknenist\, a otΩe, i slabka zamknenist\ mnoΩyny An . Obme-
Ωenist\ An vyplyva[ z obmeΩenosti B abo z koercytyvnosti ϕ. Spravdi, qkwo
mnoΩyna An ne [ obmeΩenog, to znajdut\sq neperervna napivnorma ρ i posli-
dovnist\ { } ≥xn n 1 ⊂ B taki, wo ρ ( xn ) → + ∞ . Pry c\omu ϕ ( xn ) → + ∞ , wo
supereçyt\ konstrukci] An . Zvidsy, vraxovugçy, wo dlq bud\-qkoho n ∈ Z ∅ ≠
≠ An ⊂ An +1 , ma[mo centrovanu systemu { } ∈An n Z
kompaktnyx mnoΩyn u slab-
kij topolohi] prostoru X . OtΩe, ∩
n
nA
∈Z
≠ ∅. Ce oznaça[, wo isnu[ x ∈ B take,
wo dlq bud\-qkoho n ∈ N ϕ ( x ) ≤ – n , tobto ϕ ( x ) = – ∞ . Ma[mo supereçnist\ z
tym, wo ϕ ( x ) ∈ R .
Lemu dovedeno.
ProdovΩymo dovedennq teoremy. Nexaj B — obmeΩena v X mnoΩyna ( B ⊂
⊂ int dom ϕ ) . Spoçatku prypustymo, wo mnoΩynnoznaçne vidobraΩennq ∂ϕ [
∗ -obmeΩenym. Todi za oznaçennqm subdyferenciala ∀x ∈ B ∀px ∈ ∂ϕ ( x ) :
ϕ ( x0 ) – ϕ ( x) ≥ 〈 px , x0 – x 〉X . Zvidsy ∀x ∈ B ∀px ∈ ∂ϕ ( x ) : ϕ ( x ) ≤ ϕ ( x0) +
+ 〈 px , x – x0 〉X ≤ | ϕ ( x0) | + sup ,
( )p B X
p x x
∈
〈 − 〉
∂ϕ
0 ≤ | ϕ ( x0 ) | + sup sup ,
( )x x B p B X
p x
∈ + ∈
〈 〉
0 ∂ϕ
.
Zalyßylos\ pokazaty, wo sup sup ,
( )x x B p B X
p x
∈ + ∈
〈 〉
0 ∂ϕ
< + ∞ . Ostann[ vyplyva[ z
lemy 5 ta toho faktu, wo x0 + B — obmeΩena v X mnoΩyna.
Z inßoho boku, nexaj funkcional ϕ [ napivobmeΩenym zverxu. Todi za
teoremog�2 ∀u ∈ X : sup ,
( )p B X
p u
∈
〈 〉
∂ϕ
= sup sup ,
( )x B p x X
p u
∈ ∈
〈 〉
∂ϕ
= sup ( ),
x B
x u
∈
+[ ]∂ϕ =
= sup ( ; )
x B
D x u
∈
+ϕ . Dali, za teoremog�1 sup ( ; ) sup ( ) ( ) sup ( )
x B x B x B u
D x u x u x x
∈
+
∈ ∈ +
≤ + −( )≤ −ϕ ϕ ϕ ϕ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1392 P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK
– inf ( )
x B
x
∈
ϕ ≤ sup ( ) inf ( )
x B u x B
x x
∈ + ∈
−
co co
ϕ ϕ = : I . Oskil\ky coB, coB + u [ obmeΩe-
nymy v X mnoΩynamy, to zvidsy na pidstavi lemy�6 ta oznaçennq napivobmeΩe-
noho zverxu funkcionala ma[mo, wo velyçyna I [ skinçennog, a otΩe, dlq
bud\-qkoho u ∈ X sup ,
( )p B X
p u
∈
〈 〉
∂ϕ
< + ∞ . Zvidsy vyplyva[, wo mnoΩyna ∂ϕ ( B ) [
∗ -obmeΩenog.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 1. Dali dlq dovil\noho mnoΩynnoznaçnoho vidobraΩennq A :
Y ⊂ X X�
� ∗ çerez so A ta coA budemo poznaçaty mnoΩynnoznaçni vidobra-
Ωennq, qki zadagt\sq takym çynom: so A ( y ) : = so ( A ( y ) ) , co A ( y ) : = co ( A ( y ) )
∀y ∈ Y.
Naslidok 2. Nexaj ϕ1 , ϕ2 : X � R — napivneperervni znyzu opukli funk-
cionaly, napivobmeΩeni zverxu na X , S = int dom ϕ1 ∩ int dom ϕ2 ≠ ∅. Todi
∂ϕ1 + ∂ϕ2 : S ⊂ X X�
� ∗ [ ∗ -obmeΩenym ∗ -napivneperervnym zverxu vidobra-
Ωennqm z kompaktnymy v σ ( X∗
; X ) -topolohi] znaçennqmy.
Dovedennq. VidobraΩennq G = ∂ϕ1 + ∂ϕ2 [ xemineperervnym zverxu qk
verxnq suma takyx vidobraΩen\, do toho Ω ∂ϕi = co∂ϕi , i = 1 2, . Dovedemo, wo
co G = G . Oçevydno, co G = G , otΩe, co G ⊃ ∂ϕ1 + ∂ϕ2 = G , tomu dovedemo
obernene vkladennq. Nexaj u ∈ co G ( y ) , todi znajdet\sq napravlenist\ uα ∈
∈ G ( y ) taka, wo uα → u v X∗, pryçomu uα = ′uα + ′′uα , de ′uα ∈ ∂ϕ1 ( y ) , ′′uα ∈
∈ ∂ϕ2 ( y ) . A�oskil\ky ∂ϕ 1 ( y ) , ∂ϕ 2 ( y ) — kompaktni mnoΩyny v σ ( X∗
; X ) -
topolohi], to zvidsy vyplyva[, wo u = u′ + u″, u′ ∈ ∂ϕ1 ( y ) , u″ ∈ ∂ϕ2 ( y ) , tobto
co G ( y ) ⊂ G ( y ) , wo i dovodyt\ co G ( y ) = G ( y ) .
Takym çynom, my popada[mo v umovy teoremy Kastenq, iz qko] vyplyva[ ∗ -na-
pivneperervnist\ zverxu vidobraΩennq ∂ϕ1 + ∂ϕ2 . ∗ -ObmeΩenist\ vidobraΩennq
∂ϕ1 + ∂ϕ2 vyplyva[� z �analohiçno] vlastyvosti dlq ∂ϕ1 i ∂ϕ2 .
Dlq dovil\no] obmeΩeno] v X mnoΩyny B ⊂ S obrazy ∂ϕ1 ( B ) i ∂ϕ2 ( B ) [
∗ -obmeΩenymy v X∗. Todi
sup ,
( ) ( )g B B X
g x
∈ +
〈 〉
∂ϕ ∂ϕ1 2
= sup sup ,
( ) ( )g B g B X
g g x
1 1 2 2
1 2
∈ ∈
〈 + 〉
∂ϕ ∂ϕ
≤
≤ sup ,
( )g B X
g x
1 1
1
∈
〈 〉
∂ϕ
+ sup ,
( )g B X
g x
2 2
2
∈
〈 〉
∂ϕ
< + ∞ ∀x ∈ X ,
tobto ∂ϕ1 + ∂ϕ2 — ∗ -obmeΩena mnoΩyna v X∗.
Naslidok dovedeno.
Nexaj funkcional ϕ ma[ vyhlqd
ϕ ( y ) = ϕ1 ( y ) + ϕ2 ( y ) – 〈 f , y 〉X , (13)
de f ∈ X∗, ϕ1 : X � R zadovol\nq[ umovy teoremy 1, funkcional ϕ2 : X � R [
opuklym ta int dom ϕ1 ⊂ dom ϕ2 .
Teorema 4. Nexaj vykonugt\sq pereraxovani umovy. Todi nastupni vlasty-
vosti [ ekvivalentnymy:
1) x0 ∈ int dom ϕ1 , ϕ ( x0 ) = inf )
x X
x
∈
(ϕ ;
2) dlq x0 ∈ int dom ϕ1
[∂ϕ1 ( x0) , x – x0 ] + + ϕ2 ( x) – ϕ2 ( x0) ≥ 〈 f , x – x0 〉X ∀x ∈ X . (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO VLASTYVOSTI SUBDYFERENCIAL|NYX VIDOBRAÛEN| … 1393
Dovedennq. Rozhlqnemo implikacig 1) ⇒ 2). Nexaj toçka x0 ∈ int dom ϕ1
zadovol\nq[ vlastyvist\ 1. Todi dlq bud\-qkyx x ∈ X i t ∈ [ 0 , 1 ] ma[mo
ϕ ( x0) = ϕ1 ( x0) + ϕ2 ( x0) – 〈 f , x0 〉X ≤
≤ ϕ1 ( x0 + t ( x – x0)) + ϕ2 ( x0 + t ( x – x0)) – 〈 f , x0 + t ( x – x0) 〉X ≤
≤ ϕ1 ( x0 + t ( x – x0)) + t ϕ2 ( x) + ( 1 – t ) ϕ2 ( x0) – t 〈 f , x – x0 〉X .
Zvidsy
ϕ ϕ1 0 0 1 0( ( )) ( )x t x x x
t
+ − −
+ ϕ2 ( x) – ϕ2 ( x0) ≥ 〈 f , x – x0 〉X abo pislq hra-
nyçnoho perexodu pry t → +0 D+ ϕ1 ( x0 ; x – x0 ) + ϕ2 ( x) – ϕ2 ( x0) ≥ 〈 f , x – x0 〉X .
Todi zavdqky spivvidnoßenng (12) pryxodymo do nerivnosti (14).
Teper, navpaky, nexaj vykonu[t\sq nerivnist\ (14). Vykorystovugçy ocinku
(3), ma[mo
∀x ∈ X : ϕ1 ( x) – ϕ1 ( x0) + ϕ2 ( x) – ϕ2 ( x0) ≥
≥ [∂ϕ1 ( x0) , x – x0 ] + + ϕ2 ( x) – ϕ2 ( x0) ≥ 〈 f , x – x0 〉X ,
tobto ϕ ( x) ≥ ϕ ( x0) , wo ekvivalentno vlastyvosti 1.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 2. Nerivnist\ (14) nazyva[t\sq variacijnog nerivnistg z mno-
Ωynnoznaçnymy vidobraΩennqmy. V banaxovyx prostorax taki ob’[kty dosyt\
aktyvno vyvçagt\sq.
Teorema 5. Nexaj prostir X — refleksyvnyj, ϕ1 : X → R , a funkcional
ϕ ma[ vyhlqd (13), pryçomu ϕ �[ koercytyvnym. Todi variacijna nerivnist\
(14) ma[ xoça b odyn rozv’qzok x0 ∈ X .
Dovedennq. Ma[ misce nastupne tverdΩennq, qke [ uzahal\nennqm teorem
Vej[rßtrassa na prostory Freße.
Lema 7. Nexaj X — refleksyvnyj prostir Freße, ϕ : X → R — vlasnyj
slabko napivneperervnyj znyzu funkcional, B ⊂ X — zamknena opukla mnoΩyna
i, krim toho, vykonu[t\sq odna iz dvox umov:
a) mnoΩyna B [ obmeΩenog v X ;
b) funkcional ϕ — koercytyvnyj.
Todi funkcional ϕ [ obmeΩenym znyzu na B i dosqha[ svo[] toçno] nyΩn\o]
hranyci d , pryçomu mnoΩyna K = { x ∈ X | ϕ ( x ) = d } — slabko kompaktna v X .
Dovedennq. Za lemog 6 funkcional ϕ [ obmeΩenym znyzu, tomu znajdet\-
sq napravlenist\ { xα }α ⊂ B taka, wo lim ( )
α αϕ x = d = inf )
x B
x
∈
(ϕ < + ∞ .
MnoΩyna { xα }α [ obmeΩenog v X abo zavdqky obmeΩenosti B , abo zavdq-
ky koercytyvnosti ϕ . OtΩe, zhidno z teoremog Banaxa – Alaohlu znajdet\sq
pidnapravlenist\ (qku budemo poznaçaty takoΩ { xα }α ) taka, wo xα → x0 v
σ ( X ; X∗
) -topolohi] prostoru X , pryçomu x0 ∈ B , oskil\ky mnoΩyna B [ zamk-
nenog v σ ( X ; X∗
) -topolohi]. Zvidsy vnaslidok napivneperervnosti znyzu funk-
cionala ϕ v σ ( X ; X∗
) -topolohi] prostoru X ma[mo ϕ ( x0) ≤ lim inf ( )
α
αϕ x =
= lim ( )
α αϕ x = d , tobto x0 ∈ K .
Nareßti, nexaj { xα }α ⊂ K — dovil\na napravlenist\. Za konstrukci[g
mnoΩyna K [ obmeΩenog, a tomu moΩemo vvaΩaty, wo xα → x0 v σ ( X ; X∗
) -
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1394 P.�O.�KAS|QNOV, V.�S.�MEL|NYK
topolohi] prostoru X . OtΩe, ϕ ( x0) ≤ lim inf ( )
α
αϕ x = d , zvidky x0 ∈ K .
Lemu dovedeno.
U danomu vypadku dom ϕ1 = X , i my popada[mo v umovy lemy 7, z qko] vyply-
va[, wo zadaça ϕ ( x ) → inf, x ∈ X , ma[ rozv’qzok x0 ∈ X . Dlq zaverßennq dove-
dennq zalyßylos\ zastosuvaty teoremu 4.
Teoremu dovedeno.
1. Mel\nyk4V.4S. Mul\tyvaryacyonn¥e neravenstva y operatorn¥e vklgçenyq v banaxov¥x
prostranstvax s otobraΩenyqmy klassa ( S )+ // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52 , #�11. –
S.�1513 – 1523.
2. Zhurovskyj4M.4Z., Mel\nyk4V.4S. Neravenstvo Ky�Fanq y operatorn¥e vklgçenyq v banaxo-
v¥x prostranstvax // Kybernetyka y system. analyz. – 2002. – #�2.– S.�70 – 85.
3. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mapping of monotone type in Banach spases // J. Func. Anal. –
1972. – 11, # 2. – P. 251 – 294.
4. Kas\qnov4P.4O. Metod Hal\orkina dlq odnoho klasu dyferencial\no-operatornyx vklg-
çen\ // Dopov. NAN Ukra]ny. – 2005. – #�9. – S.�20 – 24.
5. Zhurovskyj4M.4Z., Mel\nyk4V.4S. Metod ßtrafa dlq varyacyonn¥x neravenstv s mnohoznaç-
n¥my operatoramy // Kybernetyka y system. analyz. – 2000. – #�4. – S.�57 – 69; #�5. –
S.�41 – 67; 2001. – #�2. – S.�70 – 83.
6. Oben4Û.-P., ∏kland4Y. Prykladnoj nelynejn¥j analyz. – M.: Myr, 1988. – 512�s.
7. Pßenyçn¥j4B.4N. V¥pukl¥j analyz y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1980. – 317�s.
8. Çykryj4A.4A. Konflyktno upravlqem¥e process¥. – Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 381�s.
9. Rudyn4U. Funkcyonal\n¥j analyz. – Çerepovec: Merkuryj-PRESS, 2000. – 442�s.
10. Ryd4M., Sajmon4B. Metod¥ sovremennoj matematyçeskoj fyzyky: V 2�t. – M.: Myr, 1977. –
T.�1. – 359�s.
OderΩano 22.11.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3692 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/c2d9daf31414ca3cd59d859222189883.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36922020-03-18T20:02:18Z On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces Про властивості субдиференціальних відображень у просторах Фреше Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. We present conditions under which the subdifferential of a proper convex lower-semicontinuous functional in a Fréchet space is a bounded upper-semicontinuous mapping. The theorem on the boundedness of a subdifferential is also new for Banach spaces. We prove a generalized Weierstrass theorem in Fréchet spaces and study a variational inequality with a set-valued mapping. Наведено умови, за яких субдиференціал власного опуклого напівнеперервного знизу функціонала у просторі Фреше є обмеженим та напівнеперервним зверху відображенням. Теорема про обмеженість субдиференціала є новою і для банахових просторів. Доведено узагальнену теорему Вейєрштрасса у просторах Фреше та вивчено варіаційну нерівність з множиннозначним відображенням. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3692 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1385–1394 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1385–1394 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3692/4110 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3692/4111 Copyright (c) 2005 Kasyanov P. O.; Mel'nik V. S. |
| spellingShingle | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title | On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title_alt | Про властивості субдиференціальних відображень у просторах Фреше |
| title_full | On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title_fullStr | On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title_full_unstemmed | On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title_short | On properties of subdifferential mappings in Fréchet spaces |
| title_sort | on properties of subdifferential mappings in fréchet spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3692 |
| work_keys_str_mv | AT kasyanovpo onpropertiesofsubdifferentialmappingsinfrechetspaces AT mel039nikvs onpropertiesofsubdifferentialmappingsinfrechetspaces AT kasʹânovpo onpropertiesofsubdifferentialmappingsinfrechetspaces AT melʹnikvs onpropertiesofsubdifferentialmappingsinfrechetspaces AT kasyanovpo provlastivostísubdiferencíalʹnihvídobraženʹuprostorahfreše AT mel039nikvs provlastivostísubdiferencíalʹnihvídobraženʹuprostorahfreše AT kasʹânovpo provlastivostísubdiferencíalʹnihvídobraženʹuprostorahfreše AT melʹnikvs provlastivostísubdiferencíalʹnihvídobraženʹuprostorahfreše |