Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$
Asymptotic equalities are established for upper bounds of approximants by Fourier partial sums in a metric of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$ on classes of the Poisson integrals of periodic functions belonging to the unit ball of the space $L_1$. The results obtained are generalized to the c...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3693 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509823361089536 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | Asymptotic equalities are established for upper bounds of approximants by Fourier partial sums in a metric of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$ on classes of the Poisson integrals of periodic functions belonging to the unit ball of the space $L_1$. The results obtained are generalized to the classes of $(\psi, \overline{\beta})$-differentiable functions (in the Stepanets sense) that admit the analytical extension to a fixed strip of the complex plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. S. Serdgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ
SUMAMY FUR’{ V METRYCI PROSTORU Lp
Asymptotic equalities are established for upper bounds of approximants by Fourier partial sums in a
metric of spaces Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, on classes of the Poisson integrals of periodic functions belonging to
the unit ball of the space L 1 . The results obtained are generalized to the classes of ψ β,( )-
differentiable functions (in the Stepanets sense) that admit the analytical extension to a fixed strip of the
complex plane.
Vstanovleno asymptotyçni rivnosti dlq verxnix meΩ nablyΩen\ çastynnymy sumamy Fur’[ v
metryci prostoriv Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, na klasax intehraliv Puassona periodyçnyx funkcij, wo nale-
Ωat\ odynyçnij kuli prostoru L1 . Otrymani rezul\taty uzahal\neno na klasy ψ β,( )-dyfe-
rencijovnyx (u sensi Stepancq) funkcij, qki dopuskagt\ analityçne prodovΩennq u fiksovanu
smuhu kompleksno] plowyny.
Dana robota tisno pov’qzana z robotog avtora [1]. V nij prodovΩugt\sq doslid-
Ωennq aproksymatyvnyx vlastyvostej zaprovadΩenyx O. I. Stepancem [2 – 4]
klasiv 2π-periodyçnyx funkcij
Lβ
ψ � ta L
ψ � . U roboti [3] bulo pokazano,
wo qkwo para ψ = (
ψ1
, ψ2
) çyslovyx poslidovnostej ψ1 = ψ1
(
k
) i ψ2 = ψ2
(
k
)
(
ψ1
(
k
) ∈ R, i = 1, 2
) taka, wo
ψ
(
k
) = ψ ψ1
2
2
2( ) ( )k k+ ≠ 0, k ∈ N, (1)
a rqd
k
k k x
=
∞
∑
1
1ψ ( )cos + ψ2
(
k
) sin k
x
[ rqdom Fur’[ deqko] sumovno] 2π-periodyçno] funkci] Ψ
(
x
) (
Ψ
(
x
) ∈ L
), to
klasy Lψ � skladagt\sq z elementiv f, qki majΩe skriz\ moΩut\ buty zobra-
Ωeni u vyhlqdi zhortky
f (
x
) =
a0
2
+
1
π
ϕ
π
π
−
∫ −( ) ( )x t t dtΨ , (2)
de a0 — vil\nyj çlen rozkladu Fur’[ funkci] f (
⋅
), ϕ ∈ � ⊂ L.
U robotax [2, 4] pokazano, wo qkwo poslidovnosti ψ
(
k
) i β k dijsnyx çysel
taki, wo rqd
k
kk k x
=
∞
∑ −
1 2
ψ β π
( )cos (3)
[ rqdom Fur’[ deqko] funkci] Ψβ iz L, to klasy
Lβ
ψ � skladagt\sq iz funk-
cij f, qki majΩe skriz\ moΩna podaty u vyhlqdi
f (
x
) =
a0
2
+
1
π
ϕ
π
π
β
−
∫ −( ) ( )x t t dtΨ , (4)
de a0 — vil\nyj çlen rozkladu Fur’[ funkci] f (
⋅
), a ϕ ∈ � ⊂ L.
Zrozumilo, wo qkwo komponenty ψ1
(
k
) i ψ2
(
k
) ta ψ
(
k
) i β k klasiv L
ψ �
© A. S. SERDGK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1395
1396 A. S. SERDGK
i Lβ
ψ � pidibrano u vidpovidnosti z rivnostqmy
ψ1
(
k
) = ψ
(
k
)cos
β πk
2
, ψ2
(
k
) = ψ
(
k
)sin
β πk
2
, (5)
to taki klasy Lψ � i
Lβ
ψ � zbihagt\sq miΩ sobog. Qkwo βk ≡ β , β ∈ R, to
klasy
Lβ
ψ � poznaçagt\ çerez
Lβ
ψ � .
Pry koΩnomu fiksovanomu q ∈ [
0, 1
) çerez Dq poznaçymo mnoΩynu posli-
dovnostej ψ
(
k
), k ∈ N, dlq qkyx
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= q. (6)
VaΩlyvym prykladom qder Ψβ vydu
Ψβ ( )t =
k
kk kt
=
∞
∑ −
1 2
ψ β π
( )cos , βk ∈ R, (7)
koefici[nty ψ
(
k
) qkyx zadovol\nqgt\ umovu (6) pry 0 < q < 1, [ qdra
P t
q,
( )β =
k
k
kq kt
=
∞
∑ −
1 2
cos β π
, q ∈ (
0, 1
), βk ∈ R, (8)
kotri pry βk ≡ β [ vidomymy qdramy Puassona
P tq, ( )β =
k
kq kt
=
∞
∑ −
1 2
cos βπ
, q ∈ (
0, 1
), β ∈ R. (9)
Klasy
Lβ
ψ � i
Lβ
ψ � , porodΩeni qdramy (8) i (9), budemo poznaçaty vidpovidno
çerez Lq
β � i Lq
β�.
Qkwo parametry ψ1
(
k
) i ψ2
(
k
) qdra
Ψ
(
t
) =
k
k k x
=
∞
∑
1
1ψ ( )cos + ψ2
(
k
) sin k
x (10)
taki, wo poslidovnosti ψ
(
k
) vydu (1) zadovol\nqgt\ umovu (6) (
ψ ∈ Dq
) pry
deqkomu q ∈ [
0, 1
) (dyv., napryklad, [4, c. 139 – 141]), to klasy zhortok vydu (2)
skladagt\sq iz 2π-periodyçnyx funkcij f (
x
), qki dopuskagt\ rehulqrne pro-
dovΩennq u smuhu | Im z | ≤ ln
1
q
kompleksno] plowyny.
Çerez Lp
, 1 ≤ p ≤ ∞, qk zazvyçaj pryjnqto, poznaçatymemo prostory funk-
cij f ∈ L zi skinçennymy normamy || f ||
p
, de pry p ∈ [
1, ∞
)
|| f ||
p = f Lp
=
0
2 1π
∫
/
f t dtp
p
( ) ,
tak wo L1 = L, a pry p = ∞
|| f ||
∞ = || f ||
M = esssup ( )
t
f t .
U danij roboti v qkosti � budemo vykorystovuvaty mnoΩynu U1
0 =
= ϕ ϕ ϕ∈ ≤ ⊥{ }L1 1 1 1: , . Pry c\omu dlq zruçnosti poklademo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1397
L1
ψ = L Uψ
1
0
, Lβ
ψ
,1
= L Uβ
ψ
1
0
, Lq
β,1
= L Uq
β 1
0
.
Qkwo f ∈ L, to çerez Sn
( f; x
) = Sn
( f ) poznaçymo çastynni sumy Fur’[ funk-
ci] f porqdku n:
Sn
( f; x
) =
a0
2
+
k
n
k ka k x b k x
=
∑ +( )
1
cos sin , n ∈ N.
U roboti doslidΩugt\sq velyçyny
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) = sup ( )
,
f L
n pf S f
∈
−−
β
ψ
1
1 , 1 ≤ p ≤ ∞, (11)
z metog oderΩannq dlq nyx asymptotyçnyx rivnostej pry umovi, wo ψ ∈ Dq
,
0 ≤ q < 1. Pry p = 1 asymptotyçni formuly dlq velyçyn vyhlqdu (11) u rqdi
vaΩlyvyx vypadkiv buly oderΩani u roboti O. I. Stepancq i avtora [5] (dyv. ta-
koΩ [4, 6]). Tam Ωe bulo pokazano, wo zalyßky ρ βn Ψ( ) = Ψβ – Sn− ( )1 Ψβ qdra
Ψβ vyhlqdu (7) pry ψ ∈ Dq
, 0 < q < 1, pry n → ∞ povodqt\ sebe pryblyzno
tak samo, qk i zalyßky ρ βn
qP( ) qdra Pq
β vyhlqdu (8). Ce dozvolylo zvodyty
zadaçi pro oderΩannq asymptotyçnyx rivnostej dlq velyçyn
� �n
s
Lβ
ψ( )
� �n
C
Cβ
ψ( )
do analohiçnyx zadaç dlq velyçyn � �n
q
s
Lβ( ) � �n
q
C
Cβ( )
(tut i v podal\ßomu
Cβ
ψ � = C ∩
Lβ
ψ �). U roboti avtora [1] znajdeno asympto-
tyçni formuly dlq velyçyn �n p
q
C
Cβ,( ) pry dovil\nyx 1 ≤ p ≤ ∞, a potim na os-
novi osnovnyx tverdΩen\ roboty [5] otrymanyj rezul\tat poßyreno na funkci-
onal\ni klasy C pβ
ψ
, ta Cp
ψ
, ψ ∈ Dq
, 0 ≤ q < 1.
U danij roboti (teorema 1) znajdeno asymptotyçni formuly dlq velyçyn
�n
q
p
Lβ,1( ) pry dovil\nyx q ∈ (
0, 1
), β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Tym samym dopovneno
vidomi rezul\taty S. M. Nikol\s\koho [7] ta S. B. St[çkina [8], u pracqx qkyx
bulo rozhlqnuto vypadok p = 1. Krim c\oho u danij roboti vstanovleno asymp-
totyçni rivnosti dlq velyçyn �n p
Lβ
ψ
,1( ) pry bud\-qkyx 1 ≤ p ≤ ∞ i β ∈ R za
umovy, wo ψ ∈ Dq
, 0 ≤ q < 1. OderΩani rezul\taty u rqdi vypadkiv poßyreno i
na klasy L1
ψ
.
Vyqvleno, wo v usix vypadkax, u qkyx vdalos\ oderΩaty asymptotyçni riv-
nosti dlq velyçyn �n p C
Cβ
ψ
,( ) i �n
q
Lβ
ψ
,1( ) , 1 ≤ p, q ≤ ∞, magt\ misce asympto-
tyçni rivnosti
�n p C
Cβ
ψ
,( ) ∼
�n
p
Lβ
ψ
,1( )
′
, 1 ≤ p ≤ ∞,
de parametr p ′ pov’qzanyj iz p spivvidnoßennqm
1
p
+
1
′p
= 1,
a zapys A
(
n
) ∼ B
(
n
) peredbaça[ vykonannq hranyçnoho spivvidnoßennq
lim
( )
( )n
A n
B n→∞
= 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1398 A. S. SERDGK
1. NablyΩennq sumamy Fur’[ na klasax intehraliv Puassona Lq
ββ ,1 v
metrykax prostoriv Lp . Osnovnym rezul\tatom dano] roboty [ nastupne
tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, β ∈ R, q ∈ (
0, 1
) i n ∈ N. Todi pry n → ∞
ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n
q
p
Lβ ,1( ) = q t K p q O
q
n q
n
p p p
2
1
11 1π σ+ / +
−
cos ( , ) ( )
( ) ( ) , (12)
u qkij
σ
(
p
) =
1 1
2 1
, ,
, , ,
p
p
=
∈ ∞( ]
(13)
K
(
p, q
) =
1
2
1 21 1
2 1 2
+
−
/
/− +p p
q t q( cos ) , (14)
a velyçyna O
(
1
) rivnomirno obmeΩena po n, p, q i β.
Dovedenng teoremy pereduvatyme nastupna lema.
Lema 1. Nexaj K
(
t
) ∈ Lp
, 1 ≤ p ≤ ∞. Todi dlq velyçyny
�
(
K
)p = sup ( ) ( )
ϕ π
π
π
ϕ
∈ −
∫ −
U p
x t K t dt
1
0
1
(15)
vykonugt\sq spivvidnoßennq
1
2π
sup ( ) ( )
h
pK K h
∈
⋅ − ⋅ +
R
≤ �
(
K
)p ≤
1
π
K p . (16)
Dovedennq. Poznaçyvßy zhortku funkcij K
(
⋅
) i ϕ
(
⋅
) çerez (
K * ϕ
)
(
⋅
):
(
K * ϕ
)
(
⋅
) =
1
π
ϕ
π
π
−
∫ −K t x t dt( ) ( ) =
1
π
ϕ
π
π
−
∫ −K x t t dt( ) ( )
i vykorystavßy tverdΩennq 1.5.5 iz roboty [9, c. 43], zhidno z qkym
|| K * ϕ ||p ≤
1
1π
ϕK p , 1 ≤ p ≤ ∞, (17)
oderΩymo
�
(
K
)p = sup *
ϕ
ϕ
∈U
pK
1
0
≤
1
π
K p . (16′ )
OtΩe, dlq zaverßennq dovedennq lemy 1 dosyt\ vstanovyty neobxidnu ocinku
znyzu velyçyny �
(
K
)p
:
�
(
K
)p ≥
1
2π
sup ( ) ( )
h
pK K h
∈
⋅ − ⋅ +
R
, 1 ≤ p ≤ ∞. (16′′ )
Pry dovedenni ostann\o] budemo vykorystovuvaty sxemu dovedennq lemy 3.12.1
ta naslidku 3.12.1 iz roboty [2]. PokaΩemo spoçatku spravedlyvist\ nerivnosti
(16′′ ) pry umovi neperervnosti qdra K
(
⋅
), K ∈ C. Z ci[g metog dlq bud\-qko]
neskinçenno malo] dodatno] velyçyny δ i dlq dovil\noho çysla h, h ∈ (
0, 2
π –
– δ
), | h | > δ, rozhlqnemo 2 π-periodyçnu funkcig ϕh , δ , wo oznaça[t\sq na
− −
δ π δ
2
2
2
, za dopomohog rivnostej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1399
ϕh , δ (
t
) =
1
2 2 2
1
2 2 2
0
2
2
2 2 2 2 2
δ
δ δ
δ
δ δ
δ π δ δ δ δ δ
, , ,
, , ,
, , , , .\
t
t h h
t h h
∈ −
− ∈ − +
∈ − −
−
− +
∪
(18)
Zhidno z oznaçennqm ϕ δh, 1
= 1 i ϕh , δ ⊥ 1. Krim toho,
(
K * ϕh ,δ
)
(
x
) =
1
2
2
2
πδ
δ
δ
− /
/
∫ −K x t dt( ) –
1
2
2
2
πδ
δ
δ
h
h
K x t dt
−
+
/
/
∫ −( ) =
=
1
2
2
2
πδ
δ
δ
x
x
K t K t h dt
−
+
/
/
∫ − −( )( ) ( ) . (19)
Zastosovugçy do pravo] çastyny formuly (19) teoremu pro seredn[ (z uraxuvan-
nqm neperervnosti qdra K
(
⋅
)
), oderΩu[mo
(
K * ϕh , δ
)
(
x
) =
1
2π
K x K x h( ) ( )− −( ) + α
δ
(
x
), (20)
de pry δ → 0 velyçyna α
δ
(
x
) rivnomirno prqmu[ do 0. Iz (20) vyplyva[ neriv-
nist\
�
(
K
)p ≥ K h p* ,ϕ δ ≥
1
2π
K x K x h p( ) ( )− − + ε
δ
, (21)
u qkij ε
δ → 0 pry δ → 0. Perejßovßy u formuli (21) do hranyci pry δ → 0,
oderΩymo (16′′ ) za umovy, wo K ∈ C. PokaΩemo, wo nerivnist\ (16′′ ) zalyßa-
[t\sq virnog dlq bud\-qko] funkci] K ∈ Lp
, 1 ≤ p ≤ ∞. Dlq c\oho zafiksu[mo
dovil\ne ε > 0 i çerez K ε
(
t
) poznaçymo neperervnu 2 π-periodyçnu funkcig,
dlq qko]
1
π εK t K t p( ) ( )− < ε, 1 ≤ p ≤ ∞ (22)
(isnuvannq tako] funkci] K ε vyplyva[ iz vlastyvosti wil\nosti prostoru C v
L1
). Todi z uraxuvannqm (17), (22) i nerivnosti (16′′ ), zastosovano] dlq funkci]
K ε
, ma[mo
�
(
K
)p = sup ( ) ( ) ( ) ( )
ϕ π
π
ε επ
ϕ
∈ −
∫ − − +( )
U p
x t K t K t K t dt
1
0
1
≥
≥ sup ( ) ( )
ϕ π
π
επ
ϕ
∈ −
∫ −
U p
x t K t dt
1
0
1
–
1
π
ϕ
π
π
ε
−
∫ − −( )
( ) ( ) ( )x t K t K t dt
p
≥
≥ sup ( ) ( )
ϕ π
π
επ
ϕ
∈ −
∫ −
U p
x t K t dt
1
0
1
– ε ≥
≥
1
2π ε εsup ( ) ( )
h
pK t K t h
∈
− +
R
– ε =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1400 A. S. SERDGK
=
1
2π ε εsup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
pK t K t h K t K t K t h K t h
∈
− + + − + + − +
R
– ε ≥
=
1
2π ε εsup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
p pK t K t h K t K t K t h K t h
∈
− + − − + + − +{ }
R
– ε ≥
≥
1
2π
sup ( ) ( )
h
pK t K t h
∈
− +
R
– 2 ε. (23)
Z ohlqdu na dovil\nist\ velyçyny ε iz (23) vyplyva[ (16′′ ) dlq bud\-qko]
funkci] K iz Lp
.
Lemu dovedeno.
Zaznaçymo, wo pry p = 1 tverdΩennq lemy 1 vyplyva[ z roboty S. M. Ni-
kol\s\koho [7] (dyv. takoΩ [2, c. 149, 150]).
Dovedennq teoremy 1. Na pidstavi formuly (4), zastosovano] pry ψ
(
k
) =
= q
k
, q ∈ (
0, 1
) i βk ≡ β, β ∈ R, dlq bud\-qko] f ∈ Lq
β,1 majΩe dlq usix x ∈ R
vykonugt\sq rivnosti
f (
x
) – Sn – 1
( f; x
) =
1
π
ϕ
π
π
β
−
∫ −( ) ( ), ,x t P t dtq n , (24)
de
P tq n, , ( )β =
k n
kq kt
=
∞
∑ −
cos βπ
2
, q ∈ (
0, 1
), β ∈ R. (25)
Tomu
�n
q
p
Lβ ,1( ) = sup ( ) ( ), ,
ϕ π
π
βπ
ϕ
∈ −
∫ −
U
q n
p
x t P t dt
1
0
1
. (26)
Pokladagçy v umovax lemy 1 K
(
t
) = P tq n, , ( )β i vraxovugçy rivnist\ (26), oder-
Ωu[mo spivvidnoßennq
1
2π β βsup ( ) ( ), , , ,
h
q n q n p
P P h dt
∈
⋅ − ⋅ +
R
≤ �n
q
p
Lβ ,1( ) ≤
≤
1
π βPq n p, , ( )⋅ , 1 ≤ p ≤ ∞. (27)
Iz spivvidnoßen\ (57) – (60) roboty [1] ta lemy 1 ti[] Ω roboty vyplyvagt\
asymptotyçni pry n → ∞ rivnosti, wo vykonugt\sq pry dovil\nyx q ∈ (
0, 1
),
β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞:
1
π βP tq n p, , ( ) =
q t
Z O
q
n q
n
p
p q p pπ π σ
cos
( )
( )
( ) ( )2
1
11/ +
−
, (28)
1
π
λ
λ βinf ( ), ,∈
−
R
P tq n p
=
q t
Z O
q
n q
n
p
p q p pπ π σ
cos
( )
( )
( ) ( )2
1
11/ +
−
, (29)
1
2π β βsup ( ) ( ), , , ,
h
q n q n p
P t P t h
∈
− +
R
=
q t
Z O
q
n q
n
p
p q p pπ π σ
cos
( )
( )
( ) ( )2
1
11/ +
−
, (30)
u qkyx
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1401
σ
(
p
) =
1 1
2 1
, ,
, , ,
p
p
=
∈ ∞( ]
Zq
(
t
) = ( cos )1 2 2 1 2− + − /q t q , (31)
a velyçyna O (1) rivnomirno obmeΩena po n, p, q i β.
Spivstavlennq formul (27), (28) i (30) dozvolq[ zapysaty (12).
Teoremu dovedeno.
Iz rivnosti (12) ta formuly (14) roboty [1] oderΩu[mo spivvidnoßennq
�n p
q
C
Cβ , ′( ) ∼
�n
q
p
Lβ ,1( ) , 1 ≤ p ≤ ∞,
1
p
+
1
′p
= 1, q ∈ (
0, 1
), β ∈ R,
qke pry p = 1 vyplyva[ z roboty S. M. Nikol\s\koho [7].
Na osnovi vidomo] formuly (dyv., napryklad, [10, c. 383])
cos t q
q = 2
1 2
2 1
πΓ
Γ
( )q
q
+( )
+( )
/
/
, q ∈ [
1, ∞
),
de Γ ( ⋅ ) — hamma-funkciq, pry p ∈ [
1, ∞
) rivnist\ (12) moΩna zapysaty u
vyhlqdi
�n
q
p
Lβ ,1( ) = q
p
p
K p q O
q
n q
n
p
p
p
p
2 1 2
2 1
1
1
1 1
1 1 2
1+
+
/
/
/+( )
+( )
+
−
/
/π σ
Γ
Γ
( )
( , ) ( )
( ) ( ) . (32)
Rozhlqnemo deqki çastkovi vypadky teoremy 1. Pry p = ∞, qk bezposeredn\o
vyplyva[ z (12),
�n
qLβ ,1( )∞
= q
n q
O
q
n q
n 1
1
1
1 2( )
( )
( )−
+
−
. (33)
Formulu (33) raniße oderΩano u roboti avtora [1].
Pry p = 1
K ( p, q ) = K ( 1, q ) =
1
2 1 20
2
π
∫
− +
dt
q t qcos
= K ( q )
(dyv. [10, c. 401]), de K ( q ) — povnyj eliptyçnyj intehral perßoho rodu, i tomu
na pidstavi (12)
�n
qLβ ,1 1
( ) = q K q O
q
n q
n 8
1
12π
( ) ( )
( )
+
−
. (34)
Asymptotyçna rivnist\ (34) vidtvorg[ rezul\tat S. M. Nikol\s\koho [7,
c. 222, 223] iz zalyßkovym çlenom, utoçnenym S. B. St[çkinym [8, c. 139].
Pry p / 2 ∈ N
K ( p, q ) =
π1
2
0
2 1
2
2
2
1
2 1
2 1
2 1 1
/ / /
−
+ −( )
− −( ) −
=
−
∑ /
/
p
k
p k p
q
p k
k p k
q
q
!
( !) !
(dyv. [10, c. 382]),
cos t p
p =
2 1π p
p
−( )!!
( !!)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1402 A. S. SERDGK
(dyv. [10, c. 383]), i tomu vnaslidok (12) dlq usix parnyx p ( p = 2 l, l ∈ N )
�n
q
p
Lβ ,1( ) = q
q
p
p
p k
k p k
q
q
n
p
p
k
p k p
2
1
1 2 1
2 1 1
1
1 2
0
2 1
2
2
2
1/
/
/ /
′
=
−
−
−( ) + −( )
− −( ) −
∑ /
/π
!!
( !!)
!
( !) !
+
+ O
q
n q
( )
( )
1
1 2−
, (35)
de p ′ = p / ( p – 1 ).
Zokrema, pry p = 2
�n
qLβ ,1 2
( ) =
q
q
n
π1 2 21/ −
+ O
q
n q
n
( )
( )
1
1
1
2
+
−
, (35′ )
pry p = 4
�n
qLβ ,1 4
( ) = q
q
q
q
O
q
n q
n 3
2 1
1
1
1
1
1 4
1 2 3 4 2
2
2
1 4
2
/
/ /
/
−
+
−
+
−
π
( )
( )
, (35′′ )
pry p = 6
�n
qLβ ,1 6
( ) = q
q
q q
q q
O
q
n q
n 5
2 1
1 4
1 2
1
1
1 6
1 2 5 6 2
2 4
2 4
1 6
2
/
/ /
/
−
+ +
− +
+
−
π
( )
( )
(35′′′ )
i t. d.
2. NablyΩennq v metryci L p sumamy Fur’[ na klasax analityçnyx
funkcij. U danomu punkti vstanovlggt\sq toçni asymptotyçni rivnosti dlq
velyçyn �n p
Lβ
ψ
,1( ) na klasax Lβ
ψ
,1, porodΩenyx poslidovnostqmy ψ ( k ), wo za-
dovol\nqgt\ umovu Dq pry 0 < q < 1.
Teorema 2. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ , β ∈ R, n ∈ N, a poslidovnosti ψ ( k ) > 0, wo
porodΩugt\ klasy Lβ
ψ
,1, zadovol\nqgt\ umovu (6) (tobto ψ ∈ Dq ) pry 0 <
< q < 1. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p
Lβ
ψ
,1( ) = ψ
π
ε
σ( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )( )n t K p q O
q
n q qp p p
n2
1
1 11 1 2+ / +
−
+
−
, (36)
u qkij
εn = sup
( )
( )k n
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
, (37)
xarakterystyky σ ( p ) i K ( p, q ) oznaçeni formulamy (13) i (14) vidpovidno, a
velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po n, p, q, β i ψ ( k ).
Dovedennq. Qkwo ψ ( k ) > 0, ψ ∈ Dq , 0 < q < ∞, to zhidno z teoremog 2
roboty [5] pry 1 ≤ p ≤ ∞ dlq dovil\no] poslidovnosti β = βk dijsnyx çysel vy-
konu[t\sq rivnist\
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) =
ψ ε
β( ) ( )
( ),
n q L O
n q
n
n
q
p
n− ( ) +
−
�
1 21
1
, (38)
de velyçyna εn oznaçena rivnistg (37), a O ( 1 ) — velyçyna, rivnomirno obmeΩe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1403
na po n, p, q, ψ ( k ) i βk . Zastosovugçy rivnist\ (38) pry βk ≡ β , β ∈ R, i vy-
korystovugçy formulu (12), oderΩu[mo (36).
Teoremu dovedeno.
Qk zaznaçalosq v [1, 5], umovu ψ ∈ Dq , 0 < q < ∞, zadovol\nqgt\, zokrema,
biharmoniçni qdra Puassona
Bq , β ( t ) =
1
2
+
k
kq
k q kt
=
∞
∑ + −
−
1
2
1
1
2 2
cos
βπ
, 0 < q < 1, β ∈ R, (39)
a takoΩ qdra Nejmana
Nq, β ( t ) =
k
kq
k
kt
=
∞
∑ −
1 2
cos
βπ
, 0 < q < 1, β ∈ R. (40)
Dlq koefici[ntiv ψ ( k ) qder Bq, β ( t ) i Nq, β ( t ), qk nevaΩko pereviryty,
εk =
ψ
ψ
( )
( )
k
k
q
+ −1
≤
q
k
, k ∈ N. (41)
Iz teoremy 2 i spivvidnoßen\ (41) oderΩu[mo nastupni tverdΩennq.
Naslidok 1. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ i klasy Lβ
ψ
,1 porodΩeni qdramy Bq , β ( t ) vyh-
lqdu (39), n ∈ N. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p
Lβ
ψ
,1( ) = q
q
n t K p q O
q
n q
n
p p1
1
2
2 1
1
2
1 1 2+ −
+
−
+ /π
cos ( , ) ( )
( )
,
de K ( p, q ) oznaçeni rivnistg (14), a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po
n, p, q i β.
Naslidok 2. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞ i klasy Lβ
ψ
,1 porodΩeni qdramy Nq, β ( t ) vyh-
lqdu (40), n ∈ N. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna rivnist\
�n p
Lβ
ψ
,1( ) =
q
n
t K p q O
q
n q
n
p p
2 1
11 1 2π + / +
−
cos ( , ) ( )
( )
,
de K ( p, q ) oznaçeni rivnistg (14), a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po
n, p, q i β.
Analizugçy dovedennq teoremy 1, lehko baçyty, wo vykorystovuvani u n\omu
metody dozvolqgt\ otrymuvaty asymptotyçni ocinky velyçyn
�n
q
p
Lβ ,1( ) , 1 ≤
≤ p ≤ ∞, dlq klasiv Lq
β ,1
, porodΩuvanyx qdramy P t
q,
( )β vyhlqdu (8), u qkyx
βk = β + k π, β ∈ R, k ∈ N. Pry c\omu forma oderΩuvanyx ocinok u porivnqnni z
vypadkom βk ≡ β, β ∈ R, ne zminyt\sq. A same, ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema 1 ′′′′. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < q < 1, βk = β + k π, β ∈ R, k ∈ N i n ∈ N.
Todi
�n
q
p
Lβ ,1( ) = q t K p q O
q
n q
n
p p p
2
1
11 1π σ+ / +
−
cos ( , ) ( )
( ) ( ) ,
de xarakterystyky σ ( p ) i K ( p, q ) oznaçeni formulamy (13) i (14) vidpovid-
no, a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po n, p, q i β.
Spivstavlennq teoremy 1′ ta rivnosti (38) dozvolq[ sformulgvaty nastup-
nyj analoh teoremy 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1404 A. S. SERDGK
Teorema 2 ′′′′. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ N, a klasy Lβ
ψ
,1
porodΩeni qdramy Ψβ
vydu (7), u qkyx βk = β + k π, β ∈ R, k ∈ N, a ψ ( k ) > 0 zadovol\nqgt\ umovu
(6) ( ψ ∈ Dq ) pry 0 < q < 1. Todi pry n → ∞ ma[ misce asymptotyçna
rivnist\
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) =
= ψ
π
ε
σ( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )( )n t K p q O
q
n q qp p p
n2
1
1 11 1 2+ / +
−
+
−
, (36 ′ )
de xarakterystyky εk , σ ( p ) i K ( p, q ) oznaçeni vidpovidno formulamy (37),
(13) i (14), a velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po n, p, q, β i ψ ( k ).
Teoremu 2 moΩna uzahal\nyty na klasy L1
ψ
takym çynom.
Teorema 3. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ N, a klas L1
ψ porodΩenyj parog ψ =
= ψ ψ1 2( ), ( )k k( ) system çysel, wo zadovol\nqgt\ umovy
lim
( )
( )k
i
i
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= qi , 0 < qi < 1, i = 1, 2 (42)
( ψ ∈
Dqi
). Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
�n p
L1
ψ( ) =
= ψ ψ
π
ε
σ1
2
2
2
1 1 2
2
1
1 1
( ) ( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )( )n n t K p q O
q
n q qp p p
n+ +
−
+
−
+ / , (43)
u qkij q = max { q1 , q2 },
εn =
max , ,
, ,
, ,
,
( )
( )
( )
i
n
i
n
n
q q
q q
q q
=
{ } =
>
<
1 2
1 2
1
1 2
2
1 2
ε
ε
ε
qkwo
qkwo
qkwo
εn
i( ) = lim
( )
( )k n
i
i
i
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
, i = 1, 2, (44)
xarakterystyky σ ( p ) i K ( p, q ) oznaçeni vidpovidno formulamy (13) i (14), a
velyçyna O ( 1 ) rivnomirno obmeΩena po n, p, q, ψ1 i ψ2 .
Dovedennq teoremy 3 po suti povtorg[ usi osnovni etapy dovedennq teoremy
3 iz [1]. Nexaj f ∈ L1
ψ
. Todi na pidstavi (2) majΩe dlq usix x ∈ R
f (
x
) – Sn – 1
( f ; x
) =
1
π
ϕ
π
π
−
∫ −Ψn t x t dt( ) ( ) , ϕ ∈ U1
0
, (45)
de
Ψn
(
t
) =
k n
k kt k kt
=
∞
∑ +( )ψ ψ1 2( )cos ( )sin = Gn
(
t
) + Hn
(
t
), n ∈ N,
Gn
(
t
) =
k n
k kt
=
∞
∑ ψ1( )cos , Hn
(
t
) =
k n
k kt
=
∞
∑ ψ2( )sin .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1405
Rozhlqnemo spoçatku vypadok q1 = q2 = q. Zhidno z rivnostqmy (47) robo-
tyQ[5]
Ψn
(
t
) = ψ β π ε
( ) cos ( )
( )
n q q kt O
q
n
k n
k n n−
=
∞
∑ −
+
−
2
1
1 2 , (46)
de εn = max
,
( )
i
n
i
=
{ }
1 2
ε , εn
i( ) = sup
( )
( )k n
i
i
i
k
k
q
≥
+ −ψ
ψ
1
, i = 1, 2, ψ ( k ) = ψ ψ1
2
2
2( ) ( )k k+ , a
βn — çysla iz promiΩku [
0, 4
), wo oznaçagt\sq rivnostqmy
cos
β πn
2
=
ψ
ψ
1( )
( )
n
n
, sin
β πn
2
=
ψ
ψ
2( )
( )
n
n
.
Na pidstavi (45) i (46) oderΩu[mo
�n p
L1
ψ( ) =
= sup ( ) cos ( )
( )
( )
ϕ π
π
π
ψ β π ε ϕ
∈ −
−
=
∞
∫ ∑ −
+
−
−
U
n
k n
k n n
p
n q q kt O
q
x t dt
1
0
1
2
1
1 2 =
= ψ
π
ϕ ε
ϕ π
π
β( ) sup ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t x t dt O
qU
n
q n
p
n
n
∈
−
−
∫ − +
−
1
0
1
1
1 2 =
=
ψ ε
β
ψ( ) ( )
( ),n q L O
q
n
p
n
n
− ( ) +
−
� 1 21
1
. (47)
Z uraxuvannqm rivnomirno] obmeΩenosti velyçyny O ( 1 ) v rivnosti (12) vidnosno
parametra β cg rivnist\ moΩna zapysaty u vyhlqdi
� L
n
q
pγ ,1( ) = q t K p q O
q
n q
n
p p p
2
1
11 1π σ+ / +
−
cos ( , ) ( )
( ) ( ) , (12 ′ )
de γn
, n = 1, 2, … , — dovil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel.
Poklavßy u rivnosti (12 ′ ) γn = βn
, iz (47) oderΩymo (43).
Nexaj, napryklad, q1 < q2 = q. Zhidno z formulog (51) roboty [5] u c\omu
vypadku qdro Ψn
(
t
) moΩna zapysaty u vyhlqdi
Ψn
(
t
) = ψ ψ ε α
( ) ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t n O
q q
n
q n
n n
2 1 2 22
1
1 1
− +
−
+
−
sign , (48)
de εn = εn
( )2
, αn = max
,
( )
i
n
i
=
{ }
1 2
α , αk
( )1 =
ψ
ψ
1( )
( )
k
k
, αk
( )2 = 1 –
ψ
ψ
2( )
( )
k
k
.
Ob’[dnugçy spivvidnoßennq (45) i (48) i vraxovugçy, wo q2 = q, oderΩu[mo
�n p
L1
ψ( ) =
= sup ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ), ,
ϕ π
π
π
ψ ψ ε α ϕ
∈ −
−∫ +
−
+
−
−
U
n
q n
n n
p
n q P t n O
q q
x t dt
1
0
1
1
1 11 2 2sign =
= ψ
π
ϕ ε α
ϕ π
π
( ) sup ( ) ( ) ( )
( ), ,n q P t x t dt O
q qU
n
q n
p
n n
∈
−
−
∫ − +
−
+
−
1
0
1
1
1 11 2 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1406 A. S. SERDGK
=
ψ ε α
( ) ( )
( ),n q L O
q q
n
n
q
p
n n− ( ) +
−
+
−
� 1 1 21
1 1
. (49)
U rozhlqduvanomu vypadku, qk pokazano u roboti [5] (spivvidnoßennq (50)),
αk
i( ) = O
q
q
k
( )1 1
2
+
ε , 0 < ε < 1 –
q
q
1
2
, i = 1, 2. (50)
Beruçy do uvahy rivnist\ (12) pry β = 1 i vraxovugçy, wo na pidstavi (50) αn =
= o n1/( ) , iz (49) znaxodymo
�n p
L1
ψ( ) =
= ψ
π
ε α
σ( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )( )n t K p q O
q
n q q qp p p
n n2
1
1 1 11 1 2+ / +
−
+
−
+
−
=
= ψ
π
ε
σ( ) cos ( , ) ( )
( ) ( )( )n t K p q O
q
n q qp p p
n2
1
1 11 1 2+ / +
−
+
−
.
Tym samym spivvidnoßennq (43) dovedeno u vypadku q1 < q2
. Zrozumilo, wo ty-
my Ω mirkuvannqmy (43) dovodyt\sq i dlq q1 > q2
.
Teoremu dovedeno.
Zaznaçymo, wo pry p = 1 teoremy 2 i 3 bulo dovedeno u roboti [5] , a pry p =
= ∞ — u roboti avtora [1]. Spivstavlqgçy teoremy 2 i 3 z teoremamy 2 i 3 robo-
ty [1], lehko pomityty, wo pry vykonanni vsix umov bud\-qko] iz vkazanyx teorem
velyçyny �n pC ′ ∞( )ψ
ta �n p
L1
ψ( ) pry 1 ≤ p ≤ ∞, 1 / p + 1 / p ′ = 1, asymptotyçno
zbihagt\sq miΩ sobog.
3. NablyΩennq v metryci Lp sumamy Fur’[ na klasax cilyx funkcij.
U danomu punkti znajdeno asymptotyçni rivnosti velyçyn �n
p
Lβ
ψ
,1( ) u vypadku,
koly funkcional\ni klasy Lβ
ψ
,1
porodΩugt\sq dodatnymy poslidovnostqmy
ψ
(
k
), wo zadovol\nqgt\ umovu
lim
( )
( )k
k
k→∞
+ψ
ψ
1
= 0. (51)
U c\omu vypadku elementy mnoΩyn Lβ
ψ
,1
ekvivalentni vidnosno miry Lebeha do
funkcij, wo [ zvuΩennqmy na dijsnu vis\ funkcij, rehulqrnyx v usij komp-
leksnij plowyni, tobto cilyx funkcij (dyv., napryklad, [4, c. 139 – 141]).
Teorema 4. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, β = βk , k ∈ N, — dovil\na poslidovnist\ dij-
snyx çysel, a poslidovnist\ ψ
(
k
) > 0, k ∈ N, zadovol\nq[ umovu (51). Todi pry
n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyçna rivnist\
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) = ψ
π
( )
cos
n
t p + O k
k n
( ) ( )1
1= +
∞
∑ ψ , (52)
u qkij O ( 1 ) — velyçyna, wo rivnomirno obmeΩena vidnosno usix rozhlqduvanyx
parametriv.
Dovedennq. Na pidstavi (4) dlq dovil\no] funkci] f ∈ Lβ
ψ
,1
majΩe skriz\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
NABLYÛENNQ KLASIV ANALITYÇNYX FUNKCIJ SUMAMY FUR’{ … 1407
ρn
( f ; x
) = f (
x
) – Sn – 1
( f ; x
) =
=
ψ
π
ϕ β π
π
π
( )
( )cos
n
x t nt dtn
−
∫ − −
2
+ ρn + 1
( f ; x
)
. (53)
Vnaslidok nerivnosti (17)
|| ρn + 1
( f ; x
) ||p ≤
1
1 1π
ϕ βΨ
,n p+ ≤
21
1 1
1
/
/−
= +
∞
∑
p
p
k n
k
π
ψ( ) , 1 ≤ p ≤ ∞, (54)
de
Ψβ,
( )
n
t+1
=
k n
kk kt
= +
∞
∑ −
1 2
ψ β π
( )cos .
Iz (53) i (54) oderΩu[mo rivnosti
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) =
ψ
π
ϕ β π
ϕ π
π
( )
sup ( )cos
n
x t nt dt
U
n
p∈ −
∫ − −
1
0 2
+
+ O k
k n
( ) ( )1
1= +
∞
∑ ψ . (55)
Zastosovugçy do perßoho dodanka u rivnosti (55) lemu 1 i pokladagçy v ]] umo-
vax K ( t ) = cos nt n−
β π
2
, oderΩu[mo
ψ
π
ϕ β π
ϕ π
π
( )
sup ( )cos
n
x t nt dt
U
n
p∈ −
∫ − −
1
0 2
=
ψ
π
( )
cos
n
t p . (56)
Ob’[dnavßy rivnosti (55) i (56), oderΩymo (52). Na zaverßennq zaznaçymo, wo,
qk pokazano v [4, c. 300, 301], umova (51) harantu[ vykonannq spivvidnoßennq
ψ
(
n
) = o k
k n
( ) ( )1
1= +
∞
∑ ψ .
Teoremu dovedeno.
Pry p = ∞ spravedlyvist\ asymptotyçno] rivnosti (52) vyplyva[ z teoremy 4
roboty avtora [1], a pry p = 1 — iz teoremy 7 roboty O. I. Stepancq [3].
Spivstavlennq rivnosti (52) z rivnistg (82) roboty [1] dozvolq[ stverdΩuva-
ty, wo pry vykonanni umovy (51) ma[ misce spivvidnoßennq
�n p C
Cβ
ψ
, ′( ) =
�n
p
Lβ
ψ
,1( ) ,
1
p
+
1
′p
= 1,
qke spravdΩu[t\sq pry bud\-qkyx 1 ≤ p ≤ ∞, βk ∈ R.
Typovymy predstavnykamy poslidovnostej ψ
(
k
), wo zadovol\nqgt\ umovu
(51), [ poslidovnosti
ψ
(
k
) = e kr−α
, α > 0, r > 1. (57)
Poznaçagçy funkcional\ni klasy Lβ
ψ
,1
, porodΩeni poslidovnostqmy ψ
(
k
)
vydu (57), çerez L r
β
α
,
,
1
i vraxovugçy ocinku iz [2, c. 130]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1408 A. S. SERDGK
k n
ke
= +
∞
−∑
1
2α < e
rn
en
r
rnr r−
−
−+
−α α
α
1
1
1
1
, r > 1, α > 0, n ∈ N,
iz teoremy 4 otrymu[mo take tverdΩennq.
Naslidok 3. Nexaj 1 ≤ p ≤ ∞, α > 0, r > 1 i β = βk , k = 1, 2, … , — do-
vil\na poslidovnist\ dijsnyx çysel. Todi pry n → ∞ vykonu[t\sq asymptotyç-
na rivnist\
�n
r
p
Lβ
α
,
,
1( ) = e
t
O
rn
en p
r
rnr r−
−
−+ +
−α α
π α
cos
( )1 1
1
1
1
,
u qkij velyçyna O(1) rivnomirno obmeΩena vidnosno vsix rozhlqduvanyx para-
metriv.
Pry p = 1 asymptotyçnu formulu dlq velyçyn
�n
r
p
Lβ
α
,
,
1( ) oderΩav
O.QI.QStepanec\ [2, c. 155]. ZauvaΩymo takoΩ, wo naslidok 3 pry βk ≡ β dopov-
ng[ (na vypadok r > 1) teoremu 1, qka oxoplg[ vypadok r = 1.
1. Serdgk A. S. NablyΩennq klasiv analityçnyx funkcij sumamy Fur’[ v rivnomirnij metry-
ci // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 8. – S. 1079 – 1096.
2. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 286 s.
3. Stepanec A. Y. Skorost\ sxodymosty rqdov Fur\e na klassax ψ -yntehralov // Ukr. mat.
Ωurn. – 1997. – 49, # 8. – S. 1069 – 1113.
4. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2 ç. // Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny.
– 2002. – 40. – Ç. 1. – 427 s.
5. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. PryblyΩenye summamy Fur\e y nayluçßye pryblyΩenyq na
klassax analytyçeskyx funkcyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 3. – S. 375 – 395.
6. Stepanec A. Y., Serdgk A. S. PryblyΩenye summamy Fur\e y nayluçßye pryblyΩenyq na
klassax analytyçeskyx funkcyj // PryblyΩenye analytyçeskyx peryodyçeskyx funkcyj. –
Kyev, 2000. – S. 60 – 92. – (Preprynt / NAN Ukrayn¥. Yn-t matematyky; 2000.1).
7. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem //
Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1946. – 10, # 3. – S. 207 – 256.
8. Steçkyn S. B. Ocenka ostatka rqda Fur\e dlq dyfferencyruem¥x funkcyj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1980. – 145. – S. 126 – 151.
9. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 423 s.
10. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Fyzmathyz, 1963. – 1100 s.
OderΩano 10.09.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3693 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:13Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/a765628ff09840d040566deb0f586813.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36932020-03-18T20:02:18Z Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в метриці простору $L_p$ Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. Asymptotic equalities are established for upper bounds of approximants by Fourier partial sums in a metric of spaces $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$ on classes of the Poisson integrals of periodic functions belonging to the unit ball of the space $L_1$. The results obtained are generalized to the classes of $(\psi, \overline{\beta})$-differentiable functions (in the Stepanets sense) that admit the analytical extension to a fixed strip of the complex plane. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частинними сумами Фур'є в метриці просторів $L_p,\quad 1 \leq p \leq \infty$, на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, що належать одиничній кулі простору $L_1$. Отримані результати узагальнено на класи $(\psi, \overline{\beta})$-диференційовних (у сенсі Степанця) функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3693 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1395–1408 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1395–1408 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3693/4112 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3693/4113 Copyright (c) 2005 Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title | Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title_alt | Наближення класів аналітичних функцій сумами Фур'є в метриці простору $L_p$ |
| title_full | Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title_fullStr | Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title_full_unstemmed | Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title_short | Approximation of classes of analytic functions by Fourier sums in the metric of the space $L_p$ |
| title_sort | approximation of classes of analytic functions by fourier sums in the metric of the space $l_p$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3693 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationofclassesofanalyticfunctionsbyfouriersumsinthemetricofthespacelp AT serdûkas approximationofclassesofanalyticfunctionsbyfouriersumsinthemetricofthespacelp AT serdyukas nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjsumamifur039êvmetricíprostorulp AT serdûkas nabližennâklasívanalítičnihfunkcíjsumamifur039êvmetricíprostorulp |