On domains with regular sections
We prove the generalized convexity of domains satisfying the condition of acyclicity of their sections by a certain continuously parametrized family of two-dimensional planes.
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3696 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509826631598080 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:18Z |
| description | We prove the generalized convexity of domains satisfying the condition of acyclicity of their sections by a certain continuously parametrized family of two-dimensional planes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.5:514.17:513.83
G. B. Zelynskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY
*
We prove the generalized convexity of domains whose sections by some continuously parametrized
family of two-dimensional planes are acyclic.
Dovedeno uzahal\nenu opuklist\ oblastej, qki zadovol\nqgt\ umovu acykliçnosti ]x pereriziv
deqkog neperervno parametryzovanog sim’[g dvovymirnyx plowyn.
Yzuçenye hlobal\n¥x svojstv mnoΩestv po yzvestn¥m xarakterystykam eho se-
çenyj ymeet rqd praktyçeskyx prymenenyj v voprosax medycynskoj tomohra-
fyy y stereolohyy [1, 2]. Vo mnohyx sluçaqx, ymeq nekotor¥e svedenyq o seçe-
nyqx mnoΩestva ploskostqmy fyksyrovannoj razmernosty, nuΩno sdelat\ v¥-
vod¥ o mnoΩestve v celom.
V rabotax [3, 4] yzuçalys\ obwye svojstva κ-v¥pukl¥x mnoΩestv, t. e. pod-
mnoΩestv evklydovoho prostranstva R
n
, çerez kaΩdug toçku dopolnenyq k
kotor¥m proxodyt κ-ploskost\, ne peresekagwaq samoho mnoΩestva. V sluçae,
kohda hranyca oblasty D qvlqetsq hladkym ohranyçenn¥m mnohoobrazyem, κ =
= n – 2 y mnoΩestvo κ-ploskostej nadeleno kompleksnoj strukturoj (t. e. n
çetno, a κ-ploskosty qvlqgtsq kompleksn¥my hyperploskostqmy), yzvestno,
çto oblast\ D topolohyçesky πkvyvalentna ßaru [5].
Cel\ nastoqwej rabot¥ — yzuçyt\ sluçay, kohda kompleksnoj struktur¥
apryory net, no soxranen¥ nekotor¥e svojstva mynymal\nosty y
neprer¥vnosty.
Pust\ v prostranstve R
n
zadano semejstvo Ω dvumern¥x ploskostej, yme-
gwee takye svojstva:
a) çerez proyzvol\nug paru razlyçn¥x toçek proxodyt edynstvennaq plos-
kost\, prynadleΩawaq semejstvu Ω;
b) esly dvumernaq ploskost\ qvlqetsq predelom posledovatel\nosty plos-
kostej semejstva Ω, to ona takΩe prynadleΩyt πtomu semejstvu.
Takoe semejstvo nazovem mynymal\n¥m.
Lehko vydet\, çto esly m¥ rassmatryvaem kompleksnoe prostranstvo C
n
, to
mynymal\n¥m semejstvom, v çastnosty, budet semejstvo kompleksn¥x prqm¥x,
yly semejstvo, poluçennoe yz semejstva kompleksn¥x prqm¥x dejstvytel\n¥m
affynn¥m preobrazovanyem, ne obqzatel\no soxranqgwym kompleksnug
strukturu.
Pust\ G ′ ( n, n – 2 ) — hrassmanovo mnohoobrazye ( n – 2 )-ploskostej v R
n
, a
M — eho hladkoe podmnohoobrazye, ymegwee svojstvo:
dlq proyzvol\noj par¥ ( T, x ), hde T — hyperploskost\ v R
n
, a x ∈ T —
*
V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ # 0102 U 000917.
© G. B. ZELYNSKYJ, 2005
1420 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY 1421
toçka, suwestvuet edynstvennaq ploskost\ L ∈ G ′ ( n , n – 2 ) so svojstvom
x ∈ L ⊂ T.
Pust\ Ml — hladkoe podmnohoobrazye mnohoobrazyq G ′ ( n, 2 ), takoe, çto
dlq proyzvol\noj par¥ razlyçn¥x toçek x1 , x2 ∈ R
n
suwestvuet edynstvennaq
ploskost\ L ∈ Ml , soderΩawaq yx. Oçevydno, çto takoe podmnohoobrazye qv-
lqetsq mynymal\n¥m semejstvom.
Budem hovoryt\, çto podmnohoobrazyq M y Ml sohlasovan¥, esly dlq pro-
yzvol\noj ploskosty L ∈ M y par¥ razlyçn¥x toçek x1 , x2 ∈ L 2-ploskost\ l
yz Ml , soderΩawaq πtu paru, leΩyt v L ( l ⊂ L ), a dlq proyzvol\noj ploskos-
ty l yz Ml y toçky x ∈ l suwestvuet ploskost\ L ∈ M takaq, çto l ∩ L = { x }.
Opredelenye 1. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E ⊂ R
n M -v¥puklo, es-
ly dlq proyzvol\noj toçky x ∈ R
n
\ E suwestvuet ploskost\ L ∈ M takaq,
çto x ∈ L y l ∩ E = ∅.
Opredelenye 2. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E ⊂ R
n lokal\no M-v¥-
puklo, esly dlq proyzvol\noj toçky x ∈ R
n
\ E suwestvugt ploskost\ L ∈ M
y okrestnost\ U ( x ) takye, çto x ∈ L y L ∩ E ∩ U ( x ) = ∅.
DokaΩem sledugwug teoremu.
Teorema. Pust\ D — lokal\no M-v¥puklaq ohranyçennaq oblast\ s hlad-
koj klassa C
l hranycej.
Esly suwestvuet sohlasovannoe s M mnohoobrazye Ml , to:
1) D — M-v¥puklaq oblast\;
2) vse seçenyq oblasty D dvumern¥my ploskostqmy, prynadleΩawymy Ml ,
svqzn¥e y odnosvqzn¥e;
3) oblast\ D — acyklyçna.
Dokazatel\stvo razob\em na neskol\ko vspomohatel\n¥x utverΩdenyj.
DokaΩem snaçala, çto kaΩdaq dvumernaq ploskost\ l, zadavaemaq mnohoob-
razyem Ml y peresekagwaq oblast\ D, peresekaet ∂ D tak, çto ny v odnoj
toçke x ∈ l D∩ \ l ∩ D ona ne qvlqetsq kasatel\noj k mnohoobrazyg ∂ D. Esly
Ωe πto ne tak, to v sootvetstvyy s sohlasovannost\g mnohoobrazyj M y Ml su-
westvuet ploskost\ L ⊃ l. Teper\ v sylu lokal\noj M-v¥puklosty D vsq ok-
restnost\ U ( x ) ∩ L ⊃ U ( x ) ∩ l toçky x ne prynadleΩyt l ∩ D , a sledovatel\-
no, y zam¥kanyg l D∩ .
DokaΩem svqznost\ pereseçenyj l ∩ D. Pust\ l ∩ D — nesvqznoe mnoΩest-
vo, soderΩawee komponent¥ D1 y D2 . V¥berem paru toçek a ∈ D1 y b ∈ D2.
V sylu svqznosty D suwestvuet prostaq duha γ ( t ) : [ 0, 1 ] → D takaq, çto
γ ( 0 ) = a y γ ( 1 ) = b. Pust\ lt — dvumernaq ploskost\ yz Ml , soedynqgwaq
paru toçek a y γ ( t ) pry t ∈ ( 0, 1 ] (pry t = 0 l0 — predel\naq ploskost\, po-
luçennaq pry t → 0).
MnoΩestvo znaçenyj t, dlq kotor¥x γ ( 0 ) y γ ( 1 ) prynadleΩat odnoj kom-
ponente Vt ⊂ lt ∩ D, zamknuto y otkr¥to, a poskol\ku dlq dostatoçno mal¥x t
γ ( 0 ) y γ ( t ) prynadleΩat, oçevydno, odnoj komponente, to πto spravedlyvo y
pry t = 1. Poluçennoe protyvoreçyt v¥boru toçek a y b y, sledovatel\no, l ∩
∩ D — svqznoe mnoΩestvo, t. e. oblast\ v dvumernoj ploskosty l.
M-v¥puklost\ oblasty D dokaz¥vaetsq analohyçno pred¥duwemu. Esly
oblast\ D tol\ko lokal\no M-v¥pukla, to dlq nekotoroj toçky x ∈ ∂ D su-
westvugt ploskost\ L, prynadleΩawaq mnohoobrazyg M, y okrestnost\ U
takye, çto U ∩ L ∩ D = ∅, no L ∩ D ≠ ∅. Tohda, kak y pry dokazatel\stve
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1422 G. B. ZELYNSKYJ
svqznosty, v¥berem paru toçek a = x y b, prynadleΩawug L ∩ D , y soedynym
yx putem, leΩawym v D, za ysklgçenyem toçky a. Povtorqq pred¥duwye ras-
suΩdenyq, prydem k protyvoreçyg.
DokaΩem svqznost\ hranyc¥ ∂ D. Esly hranyca ne svqzna, to v sylu ohrany-
çennosty oblasty D ee dopolnenye R
n
\ D soderΩyt ohranyçennug kompo-
nentu V. Pust\ toçka x ∈ V, tohda proyzvol\naq ( n – 2 )-ploskost\, proxodq-
waq çerez x, peresekaet oblast\ D, çto protyvoreçyt M-v¥puklosty D.
DokaΩem odnosvqznost\ l ∩ D . PredpoloΩym, çto πto pereseçenye neodno-
svqzno, sledovatel\no, hranyca ∂ ( l ∩ D ) ne svqzna. Dlq toçek x1 , x2 , prynad-
leΩawyx razn¥m komponentam ∂ ( l ∩ D ), suwestvuet zamknutaq Ωordanova
kryvaq Γ ⊂ l ∩ D , kotoraq razdelqet v l toçky x1 , x2 . V sylu svqznosty y
hladkosty hranyc¥ ∂ D moΩno soedynyt\ toçky x1 , x2 neprer¥vn¥m putem
γ : [ 0, 1 ] → ∂ D, γ ( 0 ) = x1 , γ ( 1 ) = x2 . KaΩdoj toçke γ ( t ) v sylu M-v¥puklosty
D sootvetstvuet ( n – 2 )-ploskost\ L ( t ), zadavaemaq mnohoobrazyem M, takaq,
çto γ ( t ) ∈ L ( t ) y L ( t ) ∩ D = ∅. Poπtomu l ⊄ L ( t ) dlq vsex t ∈ [ 0, 1 ].
Ploskosty l y L ( t ) dopolnytel\n¥x razmernostej (sootvetstvenno 2 y n – 2 )
v sylu sohlasovannosty ymegt odnu obwug toçku τ ( t ) (koneçnug, esly ony ne
parallel\n¥, y beskoneçnug — v sluçae parallel\nosty).
V sylu hladkosty hranyc¥ ∂ D semejstvo L ( t ) neprer¥vno zavysyt ot t, y
poπtomu poluçaem neprer¥vn¥j put\ γ1 = x x t t= ≤ ≤{ }τ( ), 0 1 , soedynqgwyj
toçky x1 = τ ( 0 ) y x2 = τ ( 1 ) v dvumernoj sfere S
2 = l ∪ ( ∞ ), poluçennoj yz
dvumernoj ploskosty odnotoçeçnoj kompaktyfykacyej. Poskol\ku zamknutaq
Ωordanova kryvaq Γ razdelqet toçky x1 , x2 , to Γ ∩ γ1 ≠ ∅. Sledovatel\no,
dlq nekotoroho t = t
0
L ( t
0
) ∩ Γ ⊂ L ( t
0
) ∩ D ≠ ∅, çto pryvodyt k proty-
voreçyg.
Dokazatel\stvo tret\eho utverΩdenyq teorem¥ bazyruetsq na sledugwyx
lemmax.
Lemma 1. Pust\ K ⊂ R
n — kompakt y a ∈ K — takaq toçka, çto seçenye
K proyzvol\noj ploskost\g yz mynymal\noho semejstva M l , proxodqwej çe-
rez toçku a, acyklyçno. Tohda K — acyklyçn¥j kompakt.
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 4.2 [4]. Otlyçye sosto-
yt v tom, çto mnohoobrazye ploskostej semejstva Ml , proxodqwyx çerez fyk-
syrovannug toçku a, uΩe ne budet v obwem sluçae proektyvn¥m prostranstvom
C P
n
–
1
, no na xod dal\nejßyx rassuΩdenyj πto ne vlyqet.
Lemma 2. Pust\ D ⊂ R
n — otkr¥taq oblast\, a ∈ D — takaq toçka,
çto seçenye D proyzvol\noj ploskost\g mynymal\noho semejstva Ml , pro-
xodqwej çerez toçku a, svqzno y odnosvqzno. Tohda oblast\ D — acyklyçna.
Pust\ a ∈ D — fyksyrovannaq toçka. MnoΩestvo dvumern¥x ploskostej
yz semejstva M1, proxodqwyx çerez πtu toçku, obrazuet nekotoroe podmno-
Ωestvo M0 ⊂ M1 .
Esly vospol\zovat\sq ynversyej I : Rn
�
→ Rn
�
R R
n n
�
∪= ∞
,
I ( x ) =
x a
x a
x a
x a
x
−
−
≠ ∞
∞ =
= ∞
2
0
, , ,
, ,
, ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
OB OBLASTQX S REHULQRNÁMY SEÇENYQMY 1423
to analohyçno teoremam 4.2 y 4.3 [4 ] poluçym acyklyçnost\ oblasty D1 =
= I ( D ).
Teper\ tret\e utverΩdenye teorem¥ oçevydn¥m obrazom sleduet yz vtoroho
utverΩdenyq teorem¥ y lemm¥ 2, hde v kaçestve toçky a moΩno vzqt\ proyz-
vol\nug toçku oblasty D.
V zaverßenye zametym, çto pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ oblast\ D mo-
Ωet ne b¥t\ v¥pukloj [6].
1. Znamenskyj S. V. Tomohrafyq v prostranstvax analytyçeskyx funkcyonalov // Dokl. AN
SSSR. – 1990. – 312, # 5. – S. 1037 – 1040.
2. Ambarcumqn R. V., Mekke J., Ítojqn D. Vvedenye v stoxastyçeskug heometryg. – M.: Nau-
ka, 1989. – 400 s.
3. Zelynskyj G. B. O stroenyy k-v¥pukl¥x kompaktov // Nekotor¥e vopros¥ analyza y dyf-
ferencyal\noj topolohyy. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1988. – S. 29 – 38.
4. Zelynskyj G. B. Mnohoznaçn¥e otobraΩenyq v analyze. – Kyev: Nauk. dumka, 1993. – 264 s.
5. Gzakov A. P., Kryvokolesko V. P. Nekotor¥e svojstva lynejno v¥pukl¥x oblastej s hlad-
kymy hranycamy v C
n
// Syb. mat. Ωurn. – 1971. – 12, # 2. – S. 452 – 458.
6. Andersson M., Passare M., Sigurdsson R. Complex convexity and analytic functionals. I. –
Reykjavik: Sci. Inst. Univ. Iceland, 1995. – 71 p.
Poluçeno 02.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3696 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:16Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/bc4e201530ca8d7cce8f16472cf205f8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-36962020-03-18T20:02:18Z On domains with regular sections Об областях с регулярными сечениями Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. We prove the generalized convexity of domains satisfying the condition of acyclicity of their sections by a certain continuously parametrized family of two-dimensional planes. Доведено узагальнену опуклість областей, які задовольняють умову ациклічності їх перерізів деякою неперервно параметризованою сім'єю двовимірних площин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3696 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 10 (2005); 1420–1423 Український математичний журнал; Том 57 № 10 (2005); 1420–1423 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3696/4117 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3696/4118 Copyright (c) 2005 Zelinskii Yu. B. |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. On domains with regular sections |
| title | On domains with regular sections |
| title_alt | Об областях с регулярными сечениями |
| title_full | On domains with regular sections |
| title_fullStr | On domains with regular sections |
| title_full_unstemmed | On domains with regular sections |
| title_short | On domains with regular sections |
| title_sort | on domains with regular sections |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3696 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub ondomainswithregularsections AT zelinskijûb ondomainswithregularsections AT zelinskijûb ondomainswithregularsections AT zelinskiiyub oboblastâhsregulârnymisečeniâmi AT zelinskijûb oboblastâhsregulârnymisečeniâmi AT zelinskijûb oboblastâhsregulârnymisečeniâmi |