Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection
We consider a generalized Poisson process with reflection at the level T > 0. Under certain conditions on the distribution of the values of positive jumps of the process, we obtain representations for the characteristic functions of functionals associated with the exit of the indicated proces...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3701 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509832899985408 |
|---|---|
| author | Bratiichuk, N. S. Lukovych, O. V. Братійчук, М. С. Лукович, О. В. |
| author_facet | Bratiichuk, N. S. Lukovych, O. V. Братійчук, М. С. Лукович, О. В. |
| author_sort | Bratiichuk, N. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:37Z |
| description | We consider a generalized Poisson process with reflection at the level T > 0. Under certain conditions on the distribution of the values of positive jumps of the process, we obtain representations for the characteristic functions of functionals associated with the exit of the indicated process to the negative semiaxis. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
M. S. Bratijçuk (Íl\on. texn. un-t, Pol\wa),
O. V. Lukovyç (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO
PROCESU PUASSONA Z VIDBYTTQM
The paper deals with a generalized Poisson process with reflection on the levels T > 0. Under some
conditions on the distribution of values of positive jumps of the process, representations are obtained for
characteristic functions of functionals associated with the exit of considered process to the negative
semiaxis.
Rozhlqda[t\sq uzahal\nenyj puassonivs\kyj proces iz vidbyttqm na rivni T > 0. Pry deqkyx
umovax na rozpodil velyçyny dodatnyx strybkiv procesu otrymano zobraΩennq dlq xarakterys-
tyçnyx funkcij funkcionaliv, pov’qzanyx iz vyxodom vkazanoho procesu na vid’[mnu pivvis\.
1. Vstup. Rozhlqnemo uzahal\nenyj odnoridnyj proces Puassona ξ( )t , t ≥ 0,
ξ( )0 = 0 iz zsuvom. Xarakterystyçnu funkcig pryrostiv takoho procesu moΩna
podaty u vyhlqdi
Me es t tk sξ( ) ( )= , Re s = 0,
de
k s as e dF xsx( ) ( )= + −( )
−∞
+∞
∫λ 1 .
U c\omu zobraΩenni λ > 0 [ intensyvnistg strybkiv procesu ξ( )t , F x( ) —
funkci[g rozpodilu velyçyny strybka, a koefici[nt a — parametrom zsuvu i u
cij statti vvaΩa[t\sq dodatnym.
Nexaj T > 0 — deqke fiksovane çyslo i ξ( )0 = x ∈ 0; T[ ]. Proces Puassona z
vidbyttqm na rivni T zada[t\sq spivvidnoßennqm
ξ ξ ξ+
≤ ≤
= + − + −( )
( ) ( ) max , inf ( )t x t x u T
u t
0
0
. (1)
Evolgciq c\oho procesu vidbuva[t\sq takym çynom. Do momentu τ = inf { t ≥ 0 :
x + ξ( )t ≥ T } cej proces zbiha[t\sq z x + ξ( )t , pislq çoho znaxodyt\sq na rivni
T aΩ do momentu, koly v poçatkovomu procesi ξ( )t vidbudet\sq strybok unyz.
Qkwo velyçyna c\oho strybka bula η, a sam strybok vidbuvsq v moment τ, to
ξ τ+( ) = T – η, i pislq momentu τ evolgciq procesu ξ+( )t [ jmovirnisnog ko-
pi[g joho povedinky do τ. Tak oznaçenyj proces iz vidbyttqm bude stroho
markovs\kym procesom.
Nas budut\ cikavyty fluktuaci] procesu ξ+( )t na intervali 0; T[ ]. Qkwo
hovoryty bil\ß konkretno, to v cij statti budemo rozhlqdaty taki funkcio-
naly:
τ ξ−
+= ≤{ }( , ) inf : ( )T x t t 0 ,
η ξ τ−
+
−= − ( )( , ) ( , )T x T x .
Procesy vyhlqdu (1) dobre vidomi v teori] obsluhovuvannq, teori] ryzyku ta
teori] zapasiv, oskil\ky vony [ xoroßog matematyçnog modellg ob’[ktiv, qki
tam rozhlqdagt\sq. Napryklad, v teori] zapasiv abo v teori] vodosxovyw vely-
çyna T ma[ cilkom pryrodnu interpretacig: to [ hranyçna mistkist\ skladu abo
dopustymyj ob’[m vody u vodosxovywi. Vvedeni vywe funkcionaly magt\ do-
© M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11 1465
1466 M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ
syt\ prozoryj sens: τ− ( , )t u — perßyj moment, koly sklad (abo vodosxovywe)
bude poroΩnim; zazvyçaj cej moment nazyvagt\ momentom rozorennq; τ+( , )t u —
velyçyna deficytu v moment rozorennq.
U vypadku, koly proces Puassona ne ma[ dodatnyx strybkiv (tobto F( )0 1= ),
taki procesy vΩe rozhlqdalysq. Tut my zhada[mo lyße roboty [1, 2], de moΩna
oznajomytysq z bil\ßog bibliohrafi[g. Qkwo poçatkovyj proces ma[ dodatni
strybky, to moΩlyvi perestryby çerez vidbyvagçu meΩu i, naskil\ky nam vidomo,
taki zadaçi raniße ne rozhlqdalys\. Mabut\, vaΩko oçikuvaty, wo moΩna
otrymaty qvni zobraΩennq dlq xarakterystyçnyx funkcij momentu rozorennq
bez dodatkovyx umov na proces ξ( )t . Tomu v cij statti budemo prypuskaty, wo
funkciq F x( ) dlq x > 0 ma[ wil\nist\ eksponencial\noho typu abo, bil\ß
toçno, wo vykonu[t\sq umova
dF x e a i x d x
i
m
x
j
k
j
ji
i
( ) ( )=
=
−
=
∑ ∑
1 0
α
, (2)
de 0 < α1 < α2 < … < αm , a a ij ( ) — dijsni çysla.
Odrazu zauvaΩymo, wo deqki rezul\taty spravedlyvi i bez ci[] umovy (napry-
klad, teorema 1).
Metod doslidΩennq opyra[t\sq na metod potencialu, qkyj buv uperße za-
proponovanyj V.ES.EKorolgkom v [3] i [ rozvynennqm metodu, wo vykorystovu-
vavsq v [4] dlq doslidΩennq blukan\ na vidrizku.
2. DopomiΩni tverdΩennq. V c\omu punkti my navedemo deqki dopomiΩni
rezul\taty, na dovedennqx qkyx zupynqtys\ ne budemo, oskil\ky vony vykladeni
v [4] (i navit\ u bil\ß zahal\nomu vypadku).
U vvedenyx vywe umovax funkcig k s( ) moΩna zapysaty u vyhlqdi
k s as e dF x
a i j
s
a i jsx
i
m
j
k
j
i
j
j
i
j
i
( ) ( )
( ) !
( )
( ) !
= + −( ) +
−
−
−∞ = =
+ +∫ ∑ ∑λ λ
α α
0
1 0
1 11 .
Oçevydno, wo k s( ) analityçno prodovΩu[t\sq v pivplowynu Re s ≥ 0 do mero-
morfno] funkci] z polgsamy ( ki + 1) -ho porqdku v toçkax s = α i . Rivnqnnq
k s( ) = µ , µ > 0, (3)
ma[ v pivplowyni Re s > 0 rivno n + 1 =
i
m
ik=∑ 1
+ m + 1 koreniv. Odyn iz nyx
— toj, qkyj leΩyt\ na intervali 0 1, α( ) ( isnuvannq i [dynist\ c\oho korenq v
smuzi 0 < Re s < α1 vyplyva[ z analityçnyx vlastyvostej funkci] k s( )),
poznaçymo çerez ρ µ+( ) , a inßi koreni — çerez ρ µi ( ) , i = 1, … , n. (Zanumeru[mo
]x tak, wob Reρ µ1( ) ≤ Re ρ µ2( ) ≤ … ≤ ρ µn( ).)
Funkciq ( k s( ) – µ ) ( a ( s – ρ µ+( ) ) )
–
1
dopuska[ v smuzi 0 ≤ Re s < α fakto-
ryzacig vyhlqdu
k s
a s
g s g s
( )
( )
( , ) ( , )
−
−( )
=
+
+ −
µ
ρ µ
µ µ ,
de funkciq g s+( , )µ [ rehulqrnog v pivplowyni Re s > 0, ne ma[ tam koreniv ta
g+ ∞( , )µ = 1, a funkciq g s− ( , )µ ma[ analohiçni vlastyvosti v pivplowyni
Re s < α1. Nexaj
k s a s g s+ + += −( )( , ) ( ) ( , )µ ρ µ µ .
U roboti [5] pokazano, wo isnu[ funkciq R xµ( ) taka, wo
0
1
∞
−
+
∫ =e R x dx
k s
sx
µ µ
( )
( , )
, Re ( )s > +ρ µ . (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO PROCESU PUASSONA … 1467
Qkwo vykonu[t\sq umova (2), to (dyv., napryklad, [4])
g s
s
s
i
n
i
i
m
i
ki
−
=
=
+
=
−( )
−( )
∏
∏
( , )
( )
µ
ρ µ
α
1
1
1
,
a tomu z (4) otrymu[mo
0
1
1
1
∞
− =
=
+
∫
∏
∏
=
−( )
−( ) −( )
e R x dx
s
s k s
sx i
n
i
i
m
i
ki
µ
ρ µ
α µ
( )
( )
( )
, Re ( )s > +ρ µ . (5)
Rivnqnnq (3) moΩe maty kratni koreni lyße dlq skinçennoho çysla znaçen\ µ.
Spravdi, kratni koreni moΩut\ buty lyße tam, de ′k s( ) = 0. Ale, oçevydno,
moΩna vybraty take r > 0, wo vsi nuli funkci] ′k s( ) budut\ naleΩaty mno-
Ωyni {s: s ≤ r }. Z inßoho boku, funkciq ′k s( ) moΩe maty lyße skinçennu
kil\kist\ nuliv v obmeΩenij oblasti. Poznaçymo ]x s1, s2 , … , sN . Todi rivnqn-
nq (3) moΩe maty kratni koreni lyße pry µ i = k si( ) , 1 ≤ i ≤ N. Tomu budemo
vvaΩaty, wo µ vidriznq[t\sq vid vkazanyx znaçen\.
Oskil\ky
i
m
i
k
i
n
i
i
n
i
i
s
s
b
s
i
=
+
=
=
∏
∏
∑
−( )
−( )
= +
−
1
1
1
1
1
α
ρ µ
µ
ρ µ
( )
( )
( )
, bi
j
m
i i
k
j i
n
i j
j
( )
( )
( ) ( )
µ
ρ µ α
ρ µ ρ µ
=
−( )
−( )
=
+
≠
∏
∏
1
1
,
to dlq funkci]
B x R x b e R y dy
i
n
i
x
x yi
µ µ
ρ µ
µµ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )= +
=
−∑ ∫
1 0
z (5) vyplyva[
0
1
∞
−∫ =
−
e B x dx
k s
sx
µ µ
( )
( )
, Re Re ( )s n> ρ µ . (6)
3. Osnovni rezul\taty. Poznaçymo
ϕ µτ( , , ) ( , )s T x e T x= − −M , µ > 0.
Teorema 1. Funkciq U T x( , ) = ϕ( , , )s T x – 1 [ [dynym rozv’qzkom rivnqnnq
a
dU T x
dx
u T x y U T x dF y U T x
( , )
( , ) ( , ) ( ) ( , )+ + −( ) − =
− ∞
∞
∫λ µ µ , 0 < x < T,
(7)
z hranyçnymy umovamy
U T x U T T( , ) ( , )= , x ≥ T, U T x( , ) = 0, x ≤ 0,
(8)
dU T x
dx x T
( , )
= −
=
0
0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1468 M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ
Poznaçymo
ψ ij
n
k j
n
j n j n
j nx a i C x
i
( ) ( ) ( )= −
=
−
+ +∑
0
1 ,
b T e y e z B y z dz dyij
pl
T
y j
y
z
pl ip jl
i p( ) ( ) ( )= − +∫ ∫−λ ψ δ δα α
µ
0 0
,
b T e y B T y dyp l
T
y
p l
p( ) ( ) ( )= −∫λ ψα
µ
0
,
b T e T y dB yp l
T
T y
p l
p
1
0
( ) ( ) ( )
( )= −
−
−∫λ ψα
µ ,
a T F y B y dy
T
0
0
1( ) ( ) ( )= + ∫λ µ , a T F y dB y
T
1
0
( ) ( ) ( )=
−
∫λ µ ,
a T e y F T z B y z dz dyij
T
y j
y
i( ) ( ) ( )= − −∫ ∫−λ α
µ
0 0
,
b T B T0( ) ( )= − µ , b T B T1( ) ( )= − ′µ ,
b T e y B y dyij
T
y ji( ) ( )= ∫ −
0
α
µ ,
de δij — symvol Kronekera i F x( ) = 1 – F x( ) .
Rozhlqnemo systemu linijnyx rivnqn\ vidnosno nevidomyx C0 , C00, Cij , i =
= 1, … , m, j = 0, … , ki :
C a T C b T C b T d f
p
m
l
k
pl
pl
p
0 0 00 0
1 0
0( ) ( ) ( ) ( )+ + =
= =
∑ ∑ ,
C a T C b T C b T d f
p
m
l
k
pl
pl
p
0 1 00 1
1 0
1 1( ) ( ) ( ) ( )+ + =
= =
∑ ∑ , (9)
C a T C b T C b T d fij ij
p
m
l
k
pl ij
pl
ij
p
0 00
1 0
( ) ( ) ( ) ( )+ + =
= =
∑ ∑ ,
i = 1, … , m, j = 0, … , ki ,
de
d f f y B T y dy
T
0
0
( ) ( ) ( )= −∫ µ , d f f T y d B y
T
1
0
( ) ( ) ( )= −
−
∫ µ ,
d f e y f z B y z dz dyij
T
y j
y
i( ) ( ) ( )= −
−
−∫ ∫
0 0
α
µ ,
a f x( ) — deqka kuskovo-neperervna funkciq. Pizniße bude dovedeno, wo sys-
tema (9) ma[ [dynyj rozv’qzok.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO PROCESU PUASSONA … 1469
Teorema 2. Dlq 0 < x ≤ T ma[ misce zobraΩennq
Me T x− −µτ ( , ) = 1 + C B x00 µ( ) – λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) +
+ µ µ
0
x
B y dy∫ ( ) – λ µC F T y B x y dy
x
0
0
∫ − −( ) ( ) , (10)
a koefici[nty C0 , C00, Cij [ rozv’qzkom systemy (9) z f x( ) = µ.
4. Dovedennq rezul\tativ. Perß niΩ dovodyty teoremu 1, rozhlqnemo, wo
vidbuva[t\sq vid toho momentu, koly proces ξ+( )t popada[ na riven\ T . Vnasli-
dok stroho] markovosti c\oho procesu dostatn\o rozhlqnuty odyn iz takyx mo-
mentiv. OtΩe, nexaj ξ η+( ) ≥ T, ξ+ ( η – 0 ) < T i α = F (0) . Kil\kist\ strybkiv
procesu ξ( )t vhoru do perßoho strybka vnyz ma[ heometryçnyj rozpodil iz
parametrom 1 – α , a oskil\ky promiΩky miΩ strybkamy ne zaleΩat\ vid vely-
çyny strybkiv i magt\ pokaznykovyj rozpodil iz parametrom λ, to qkwo my
poznaçymo çerez ζ ças perebuvannq procesu ξ+( )t na rivni T, poçynagçy vid
momentu η i do perßoho strybka vnyz, to, oçevydno,
G t t G t
n
n
n( ) ( ) ( )= <{ } = −
=
∞
−∑P ζ α α
1
11 , (11)
de G tn( ) — rozpodil Erlanha z parametramy n, λ . A qkwo my poznaçymo çerez
θ velyçynu perßoho strybka vnyz, to vypadkovi velyçyny ζ, θ [ nezaleΩnymy i
P( )
( )θ α
α
< = − −
x
F x
.
Dovedennq teoremy 1. Nexaj τ1 — perßyj strybok procesu pislq momen-
tu t = 0, a A poznaça[ podig { τ1 ≤ ( T – x ) / a }, tobto skaçok vidbuvsq do
momentu, koly prqma x + at dosqhnula rivnq T.
Standartno zastosovugçy formulu povno] jmovirnosti, otrymu[mo
Me T x− −µτ ( , ) = Me I AT x− −µτ ( , ) ( ) + Me I AT x− −µτ ( , ) ( ) =
= λ λ µ µτ
0
M
T x
a
u u T x au ye e e dF y du
−
−
− ∞
∞
− − + +∫ ∫( ) ( , ) ( ) +
+ e e dt Q dy dt Q dy
T x
a T x
− − ∞
− ∞
−∫ ∫ ∈ ∈{ } ∈ ∈{ }
λ µτ ζ ζ
0
0
M P( , ) , , =
= λ ϕλ µ
0
T x
a
ue T x au y dF y du
−
− +
− ∞
∞
∫ ∫ + +( ) ( , ) ( ) +
+ e e e dG t T T y dF y
T x
a
T x
a t
− −
− − − ∞
−
− ∞
∫ ∫ +
λ µ µα ϕ1
0
0
( ) ( , ) ( ).
Qkwo v peredostann\omu intehrali vykonaty zaminu zminno] x + au → u i sko-
rystatys\ vyhlqdom funkci] G t( ) z (11), to distanemo rivnqnnq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1470 M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ
ϕ( , )T x = λ ϕ
λ µ
a
e T u y dF y du
x
T
a
u x
∫ ∫
− + −
− ∞
∞
+
( )
( , ) ( ) +
+ λ
µ αλ
ϕ
λ µ
+
+
− + −
− ∞
∫e T T y dF ya
T x( )
( , ) ( )
0
, 0 < x ≤ T, (12)
do qkoho neobxidno dodaty hranyçni umovy
ϕ ϕ( , ) ( , )T x T T= , x ≥ T, ϕ( , )T x = 1, x ≤ 0. (13)
Rivnqnnq (12) pokazu[, wo funkciq ϕ( , )T x [ dyferencijovnog dlq 0 < x < T.
Pislq dyferencigvannq oderΩu[mo rivnqnnq
a
d T x
dx
ϕ( , )
+ λ ϕ ϕ
− ∞
∞
∫ + −( )( , ) ( , ) ( )T x y T x dF y – µϕ( , )T x = 0 (14)
dlq 0 < x < T . U toçci x = T ma[mo (z uraxuvannqm (12) pry x = T ta perßo]
hranyçno] umovy v (13))
a
d T x
dx x T
ϕ( , )
= − 0
= − +
− ∞
∞
∫λ ϕ( , ) ( )T T y dF y + ( ) ( , )µ λ ϕ+ T T =
= − +
− ∞
∫λ ϕ
0
( , ) ( )T T y dF y + ( ) ( , )µ αλ ϕ+ T T = 0. (15)
OtΩe, dlq funkci] U T x( , ) = ϕ( , )T x – 1 iz (13) – (15) ma[mo hranyçnu zada-
çuE(7), (8).
Dovedemo teper, wo zadaça (7), (8) ma[ [dynyj rozv’qzok. Qkby cq zadaça ma-
la dva rozv’qzky, to ]x riznycq (poznaçymo ]] u( )⋅ ) bula b rozv’qzkom odnorid-
no] zadaçi
a
du T x
dx
( , )
+ λ
− ∞
∞
∫ + −( )u T x y u T x dF y( , ) ( , ) ( ) – µu T x( , ) = 0 (16)
dlq 0 < x < T i
U T x( , ) = u T T( , ) , x ≥ T, u T x( , ) = 0, x ≤ 0,
(17)
du T x
dx x T
( , )
= − 0
= 0.
Qkwo u T x( , ) � 0, to na vidrizku 0; T[ ] funkciq u T x( , ) dosqha[
nenul\ovyx maksymal\noho ta minimal\noho znaçen\.
Qkwo vona dosqha[, napryklad, maksymal\noho znaçennq v toçci x0 takij,
wo 0 < x0 < T, to z rivnqnnq (16) otrymu[mo
µ λu T x u T x y u T x dF y( , ) ( , ) ( , ) ( )0 0 0 0= + −( ) ≤
− ∞
∞
∫
i, otΩe, u T x( , )0 = 0. Perexodqçy do funkci] –u T x( , ) , peresvidçu[mosq, wo
funkciq u T x( , ) ne moΩe dosqhaty minimal\noho nenul\ovoho znaçennq u
vnutrißnij toçci intervalu (0, T ). OtΩe, cq funkciq dosqha[ ekstremal\nyx
znaçen\ u toçkax x = 0; T . Nexaj, napryklad, u T T( , ) ≥ 0. Todi, perexodqçy v
rivnqnni (16) do hranyci x → T – 0 i vraxovugçy tretg hranyçnu umovu v (17),
oderΩu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO PROCESU PUASSONA … 1471
µ λu T T u T T y u T T dF y( , ) ( , ) ( , ) ( )= + −( ) ≤
− ∞
∞
∫ 0 ,
zvidky odrazu ma[mo u T T( , ) = 0, a otΩe, u T x( , ) ≡ 0, 0 ≤ x ≤ T (tomu wo v in-
ßomu vypadku vona dosqhala b ekstremal\nyx znaçen\ vseredyni intervalu
0; T[ ]). Qkwo u T T( , ) < 0, to, perexodqçy do funkci] –u T x( , ) , zaverßu[mo do-
vedennq teoremy.
Dovedennq teoremy 2. Rozhlqnemo zamist\ hranyçno] zadaçi (7), (8) bil\ß
zahal\nu zadaçu
a
dU T x
dx
( , )
+ λ
− ∞
∞
∫ + −( )U T x y u T x dF y( , ) ( , ) ( ) – µU T x( , ) = f x( ) (18)
dlq 0 < x < T i
U T x( , ) = U T T( , ) , x ≥ T, U T x( , ) = 0, x ≤ 0,
(19)
dU T x
dx x T
( , )
= − 0
= 0,
de f x( ), x ≥ 0, — deqka obmeΩena kuskovo-neperervna funkciq. Perepyßemo
rivnqnnq (18) z uraxuvannqm perßyx dvox hranyçnyx umov u (19):
a
dU T x
dx
( , )
+ λ
−
−
∫ +
x
T x
U T x y dF y( , ) ( ) – ( ) ( , )µ λ+ U T x = g x( ), 0 < x < T,
(20)
de g x( ) = f x( ) – λU T T( , ) F T x( )− .
Rozhlqnemo rivnqnnq (20) dlq x > 0 i budemo ßukaty joho rozv’qzok u klasi
funkcij, wo zrostagt\ ne ßvydße niΩ exp Re ( )ρ µn x( ) pry x → ∞ . Perejdemo
v (20) do peretvorennq Laplasa z parametrom s > Re ( )ρ µn .
Poznaçymo
ˆ( , ) ( , )U T s e U T x dxsx=
∞
−∫
0
, C U T T0 = ( , ), C aU T00 0= +( , ),
C e y U T y dyij
T
y ji= ∫ −
0
α ( , ) .
Vraxovugçy vyhlqd wil\nosti
d
dy
F y( ) dlq y > 0, ma[mo
0 0
∞
−
−
∫ ∫ +e U T x y dF y dxsx
T x
( , ) ( ) =
=
i
m
n
k
n
sx
T x
y n
i
ia i e e y U T x y dy dx
= =
∞
−
−
−∑ ∑ ∫ ∫ +
1 0 0 0
( ) ( , )α =
=
i
m
n
k
n
sx
T
y x n
i
ia i e e y x U T y dy dx
= =
∞
− − −∑ ∑ ∫ ∫ −
1 0 0 0
( ) ( ) ( , )( )α –
–
i
m
n
k
n
sx
x
y x n
i
ia i e e y x U T y dy dx
= =
∞
− − −∑ ∑ ∫ ∫ −
1 0 0 0
( ) ( ) ( , )( )α =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1472 M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ
=
i
m
j
k
ij
s x
ij
i
iC e x dx
= =
∞
− −∑ ∑ ∫
1 0 0
( ) ( )α ψ + ˆ( , ) ( )U T s e dF xsx
0
∞
∫ . (21)
Oçevydno, wo
a e
dU T x
dx
dx saU T s Csx
0
00
∞
−∫ = −( , ) ˆ( , ) , (22)
0
0 0∞
−
− − ∞
∫ ∫ ∫+ =e U T x y dy dx U T s e dF xsx
x
sx( , ) ˆ( , ) ( ). (23)
Z (20) – (23) otrymu[mo
ˆ( , ) ( )U T s k s −( )µ = C00 – λ ψα
i
m
j
k
ij
s x
ij
i
iC e x dx
= =
∞
− −∑ ∑ ∫
1 0 0
( ) ( ) +
0
∞
−∫ e g x dxsx ( ) .
Z ci[] rivnosti ta (6) ma[mo
U T x( , ) = C B x00 µ( ) –
– λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) +
0
x
g x y B y dy∫ −( ) ( )µ ,
abo z uraxuvannqm vyhlqdu funkci] g x( )
U T x( , ) = C B x00 µ( ) – λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) +
+
0
x
f y B x y dy∫ −( ) ( )µ – λ µC F T y B x y dy
x
0
0
∫ − −( ) ( ) . (24)
Z (24) pry x = T otrymu[mo perße rivnqnnq dlq nevidomyx koefici[ntiv C0 ,
C00, Cij , i = 1, … , m, j = 0, … , ki :
C F y B y dy
T
0
0
1 +
∫λ µ( ) ( ) – C B T00 µ( ) + λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
T
y
ij
i
iC e y B T y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) =
=
0
T
f y B T y dy∫ −( ) ( )µ . (25)
Pidstavlqgçy teper vyraz dlq funkci] U T x( , ) u formulu, qka vyznaça[ koe-
fici[nty Cij , ma[mo
Cij =
0
T
y je y U T y dyi∫ −α ( , ) =
= C e y B y dy
T
y ji
00
0
∫ −α
µ( ) – λ ψα α
µ
p
m
l
k
pl
T
y j
y
z
pl
p
i pC e y e z B y z dz dy
= =
−∑ ∑ ∫ ∫ −
1 0 0 0
( ) ( ) +
+
0 0
T
y j
y
e y f z B y z dz dyi∫ ∫− −α
µ( ) ( ) – λ α
µC e y F T z B y z dz dy
T
y j
y
i
0
0 0
∫ ∫− − −( ) ( ) . (26)
Ostannq hranyçna umova v (8) da[ ostann[ rivnqnnq dlq nevidomyx koefici[ntiv:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO PROCESU PUASSONA … 1473
λ µC F y dB y
T
0
0−
∫ ( ) ( ) – C B T00
′µ( ) +
+ λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
T
T y
ij
i
iC e T y dB y
= =
−∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) ( ) =
−
∫ −
0
T
f T y dB y( ) ( )µ . (27)
Rivnqnnq (25) – (27) dagt\ systemu (9), i qkwo v (18) poklasty f x( ) = µ, otry-
ma[mo zobraΩennq (10).
PokaΩemo teper, wo systema (9) ma[ [dynyj rozv’qzok. Dlq c\oho dosyt\ po-
kazaty, wo vyznaçnyk systemy (9) [ vidminnym vid nulq, abo, wo ekvivalentno,
odnoridna systema rivnqn\, qka vidpovida[ (9), ma[ lyße nul\ovyj rozv’qzok.
OtΩe, nexaj Ĉ0 , Ĉ00, Ĉij , i = 1, … , m, j = 0, … , ki , [ rozv’qzkom odnoridno]
systemy rivnqn\, qka vidpovida[ systemi (9). Todi funkciq
U T x( , ) = ˆ ( )C B x00 µ –
– λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
ˆ ( ) ( ) – λ µ
ˆ ( ) ( )C F T y B x y dy
x
0
0
∫ − −
bude rozv’qzkom hranyçno] zadaçi (16), (17) i, otΩe,
ˆ ( )C B x00 µ – λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
ˆ ( ) ( ) –
– λ µ
ˆ ( ) ( )C F T y B x y dy
x
0
0
∫ − − ≡ 0, 0 < x ≤ T.
Pokladagçy v cij totoΩnosti x → + 0 ta vraxovugçy, wo Bµ( )+ 0 = a−1 > 0 (ce
vyplyva[ z 6 ta tauberovo] teoremy), otrymu[mo Ĉ00 = 0. OtΩe, ma[mo
0 1 0
0 0
x
i
m
j
k
ij
y
ij
i
iC e y C F T y B x y dy∫ ∑ ∑
= =
+ −
− ≡ˆ ( ) ˆ ( ) ( )α
µψ , 0 < x ≤ T. (28)
Oskil\ky Bµ( )+ 0 > 0, to isnu[ ε > 0 take, wo B xµ( ) > 0 dlq 0 ≤ x ≤ ε, i tomu z
(28) dista[mo
i
m
j
k
ij
x
ij
i
iC e x C F T x
= =
∑ ∑ + − ≡
1 0
0 0ˆ ( ) ˆ ( )α ψ , 0 ≤ x ≤ ε.
NevaΩko zrozumity, wo funkci] e xi x
ij
α ψ ( ), i = 1, … , m, j = 0, … , ki , F ( T – x )
[ linijno nezaleΩnymy (dyv. formulu (2)) i tomu Ĉij = Ĉ0 = 0.
Teoremu 2 dovedeno.
Analohiçno moΩna otrymaty takyj rezul\tat:
Me T x T x− −− −µτ θη( , ) ( , ) =
= e xθ + C B x00 µ( ) – λ ψα
µ
i
m
j
k
ij
x
y
ij
i
iC e y B x y dy
= =
∑ ∑ ∫ −
1 0 0
( ) ( ) +
+ µ θ θ
µ−( ) −∫k e B x y dy
x
y( ) ( )
0
– λ µC F T y B x y dy
x
0
0
∫ − −( ) ( ) ,
a koefici[nty C0 , C00, Cij [ rozv’qzkom systemy (9) z f x( ) = e kxθ µ θ−( )( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1474 M. S. BRATIJÇUK, O. V. LUKOVYÇ
5. Vypadok eksponencial\nyx rozpodiliv. U c\omu punkti rozhlqnemo vy-
padok, koly proces ξ( )t ma[ vyhlqd
ξ( )t = a t
i
N t
i
i
N t
i( )
( ) ( )
+ −
= =
∑ ∑
1 1
1 2
ξ η ,
de N t1( ), N t2( ) — nezaleΩni puassonivs\ki procesy z intensyvnostqmy λ1, λ2
vidpovidno, a ξi , ηi — nezaleΩni vypadkovi velyçyny, nezaleΩni vid N t1( ),
N t2( ) i taki, wo P ξi x>{ } = e x−α , P ηi x>{ } = e x−β , α > 0, β > 0, x ≥ 0. UEc\o-
mu vypadku
k s e as
s
s
s
s
s t( ) ln ( )= = +
−
+
+
M ξ λ
α
λ
β
1 2
.
OtΩe, v terminax poznaçen\, qki vykorystovuvalys\ vywe, ma[mo
F x e J x e J xx x( ) =
+
≤{ } + −
+
>{ }−λ
λ λ
λ
λ λ
β α2
1 2
1
1 2
0 1 0 ,
λ = λ1 + λ2 , m = 1, k1 = 0, α1 = α,
a0
1
1 2
1( ) =
+
αλ
λ λ
.
U danomu vypadku rivnqnnq k s( ) = µ, µ > 0, ma[ v pivplowyni Re s > 0 rivno
dva koreni: ρ µ+( ) ∈ ( 0 ; α ) ta ρ µ1( ) > α. Todi
k s( ) – µ =
=
− + − + − +( ) + + + + −( ) −
− +
as s a s a
s s
3 2
1 2 1 2( ) ( ) ( )
( )( )
α β λ λ µ β α λ µ α λ µ αβµ
α β
. (29)
Zrozumilo, wo ρ µ+( ), ρ µ1( ) [ korenqmy mnohoçlena, qkyj mistyt\sq v çysel\-
nyku v pravij çastyni rivnosti (29). Qkwo my poznaçymo çerez ρ µ2( ) tretij ko-
rin\ c\oho mnohoçlena (nevaΩko zrozumity, wo vin leΩyt\ v intervali −( )β; 0 ),
to moΩemo zapysaty
1 1
1
2
2k s
A
s
A
s
A
s( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )−
=
−
+
−
+
−
+
+µ
µ
ρ µ
µ
ρ µ
µ
ρ µ
, (30)
de
A+( )µ =
=
α ρ µ β ρ µ
ρ µ ρ µ α β λ λ µ β α λ µ α λ µ
−( ) +( )
− + − + − +( ) + + + + −
+ +
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22
1 2 1 2a a a
,
a wob otrymaty zobraΩennq dlq koefici[ntiv A1( )µ , A2( )µ , potribno v cij
formuli zamist\ ρ µ+( ) zapysaty vidpovidno ρ µ1( ) ta ρ µ2( ).
Iz formul (6), (30) otrymu[mo
B x A e A e A ex x x
µ
ρ µ ρ µ ρ µµ µ µ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= + ++
+
1 2
1 2
.
Teper teorema 2 da[ nastupne zobraΩennq dlq xarakterystyçno] funkci] mo-
mentu rozorennq:
M e T x− −µτ ( , ) = 1 + C B x00 µ( ) – λ α α
µ1 10
0
C e B x y dy
x
y∫ −( ) –
– λ λ µ1 2 0
0
+( ) − −∫C F T y B x y dy
x
( ) ( ) + µ µ
0
x
B y dy∫ ( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
ZADAÇA PRO ROZORENNQ DLQ UZAHAL|NENOHO PROCESU PUASSONA … 1475
a koefici[nty C0 , C00, C10 [ rozv’qzkom systemy rivnqn\
C a T C b T C b T d0 0 00 0 10
10
0( ) ( ) ( )+ + = ,
C a T C b T C b T d0 1 00 1 10 1
10
1( ) ( ) ( )+ + = ,
C a T C b T C b T d0 10 00 10 10 10
10
10( ) ( ) ( )+ + = ,
de
d B y dy
T
0
0
= ∫µ µ( ) , d B T1 = µ µ( ), d e B z dz dy
T
y
y
10
0 0
= ∫ ∫−µ α
µ( ) ,
b T e B z dz dy
T y
z
10
10
1
0 0
1( ) ( )= +∫ ∫ −λ α α
µ ,
b T e B T y dy
T
y10
1
0
( ) ( )= −∫λ α α
µ , b T e dB y
T
T y
1
10
1
0
( ) ( )( )=
−
−∫λ α α
µ ,
a T F y B y dy
T
0 1 2
0
1( ) ( ) ( )= + +( ) ∫λ λ µ , a T F y dB y
T
1 1 2
0
( ) ( ) ( )= +( )
−
∫λ λ µ ,
a T e F T z B y z dz dy
T
y
y
10 1 2
0 0
( ) ( ) ( )= +( ) − −∫ ∫−λ λ α
µ ,
b T B T0( ) ( )= − µ , b T B T1( ) ( )= − ′µ , b T e B y dy
T
y
10
0
( ) ( )= ∫ −α
µ .
1. Korolgk V. S. Hranyçn¥e zadaçy dlq sloΩn¥x puassonovskyx processov. – Kyev: Nauk.
dumka, 1975. – 138 s.
2. Borovkov A. A. Veroqtnostn¥e process¥ v teoryy massovoho obsluΩyvanyq. – M.: Nauka,
1972. – 367 s.
3. Korolgk V. S. Hranyçn¥e zadaçy dlq sloΩnoho puassonovskoho processa // Teoryq veroqt-
nostej y ee prymenenyq. – 1974. – 19, # 1. – S. 3 – 14.
4. Bratyjçuk N. S., Husak D. V. Hranyçn¥e zadaçy dlq processov s nezavysym¥my pryraweny-
qmy. – Kyev: Nauk. dumka,1990. – 263 s.
5. Bratyjçuk N. S. O rezol\vente obr¥vagwehosq processa s nezavysym¥my pryrawenyqmy //
Ukr. mat. Ωurn. – 1978. – 30, # 1. – S. 96 – 100.
OderΩano 01.03.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3701 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:22Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/56/7af9f00dbce426651b66b6b7e74e7856.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37012020-03-18T20:02:37Z Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection Задача про розорення для узагальненого процесу Пуассона з відбиттям Bratiichuk, N. S. Lukovych, O. V. Братійчук, М. С. Лукович, О. В. We consider a generalized Poisson process with reflection at the level T > 0. Under certain conditions on the distribution of the values of positive jumps of the process, we obtain representations for the characteristic functions of functionals associated with the exit of the indicated process to the negative semiaxis. Розглядається узагальнений пуассонївський процес із відбиттям на рівні T > 0. При деяких умовах на розподіл величини додатних стрибків процесу отримано зображення для характеристичних функцій функціоналів, пов'язаних із виходом вказаного процесу на від'ємну піввісь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3701 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 11 (2005); 1465–1475 Український математичний журнал; Том 57 № 11 (2005); 1465–1475 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3701/4127 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3701/4128 Copyright (c) 2005 Bratiichuk N. S.; Lukovych O. V. |
| spellingShingle | Bratiichuk, N. S. Lukovych, O. V. Братійчук, М. С. Лукович, О. В. Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title | Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title_alt | Задача про розорення для узагальненого процесу Пуассона з відбиттям |
| title_full | Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title_fullStr | Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title_full_unstemmed | Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title_short | Ruin problem for a generalized Poisson process with reflection |
| title_sort | ruin problem for a generalized poisson process with reflection |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3701 |
| work_keys_str_mv | AT bratiichukns ruinproblemforageneralizedpoissonprocesswithreflection AT lukovychov ruinproblemforageneralizedpoissonprocesswithreflection AT bratíjčukms ruinproblemforageneralizedpoissonprocesswithreflection AT lukovičov ruinproblemforageneralizedpoissonprocesswithreflection AT bratiichukns zadačaprorozorennâdlâuzagalʹnenogoprocesupuassonazvídbittâm AT lukovychov zadačaprorozorennâdlâuzagalʹnenogoprocesupuassonazvídbittâm AT bratíjčukms zadačaprorozorennâdlâuzagalʹnenogoprocesupuassonazvídbittâm AT lukovičov zadačaprorozorennâdlâuzagalʹnenogoprocesupuassonazvídbittâm |