Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups
Let $F$ be a field, let $A$ be a vector space over $F$, and let $GL(F, A)$ be the group of all automorphisms of the space $A$. If $H$ is a subgroup of $GL(F, A)$, then we set aug $\dim_F (H) = \dim_F (A(ωFH))$, where $ωFH$ is the augmentation ideal of the group ring $FH$. The number ${\rm{aug} \dim}...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509833837412352 |
|---|---|
| author | Dixon, M. R. Evans, M. J. Kurdachenko, L. A. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. |
| author_facet | Dixon, M. R. Evans, M. J. Kurdachenko, L. A. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. |
| author_sort | Dixon, M. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:37Z |
| description | Let $F$ be a field, let $A$ be a vector space over $F$, and let $GL(F, A)$ be the group of all automorphisms of the space $A$. If $H$ is a subgroup of $GL(F, A)$, then we set aug $\dim_F (H) = \dim_F (A(ωFH))$, where $ωFH$ is the augmentation ideal of the group ring $FH$. The number ${\rm{aug} \dim}_F (H)$ is called the augmentation dimension of the subgroup $H$. In the present paper, we study locally solvable linear groups with minimality condition for subgroups of infinite augmentation dimension. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.544
M. R. Dykson (Un-t Alabam¥, Tuskaluza, SÍA),
L. A. Kurdaçenko (Dnepropetr. un-t),
M. ∏vans (Un-t Alabam¥, Tuskaluza, SÍA)
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY
DLQ NEKOTORÁX BESKONEÇNOMERNÁX PODHRUPP
Let F be a field, A be a vector space over F, and let G L ( F, A ) be the group of all automorphisms of
the space A. If H is a subgroup of G L ( F, A ), then put aug dimF ( H ) = dim ( )F A FHω( ) , where
ω F H is an augmentation ideal of a group F H. A number aug dimF ( H ) is called an augmentation
dimension of a subgroup H. In the present paper, we study locally soluble linear groups with the
minimality condition for subgroups of infinite augmentation dimension.
Nexaj F — pole, A — vektornyj prostir nad F, G L ( F, A ) — hrupa vsix avtomorfizmiv prosto-
ru A. Qkwo H — pidhrupa G L ( F, A ), to poklademo aug dimF ( H ) = dim ( )F A FHω( ) , de ω F H
— fundamental\nyj ideal hrupovoho kil\cq F H. Çyslo aug dimF ( H ) nazyva[t\sq fundamen-
tal\nog vymirnistg pidhrupy H. U danij roboti vyvçagt\sq lokal\no rozv’qzni linijni hrupy z
umovog minimal\nosti dlq pidhrup, wo magt\ neskinçennu fundamental\nu vymirnist\.
Pust\ F — pole, A — vektornoe prostranstvo nad F. Hruppa G L ( F, A ) vsex
avtomorfyzmov A y ee razlyçn¥e podhrupp¥ (lynejn¥e hrupp¥) — πto odyn yz
starejßyx obæektov yssledovanyj v teoryy hrupp. Perv¥j estestvenn¥j ßah v
πtom napravlenyy — πto rassmotrenye lynejn¥x koneçnomern¥x hrupp, t. e.
sluçaq, kohda A ymeet koneçnug razmernost\ nad F. V πtom sluçae hruppa
G L ( F, A ) — πto po suwestvu hruppa vsex nev¥roΩdenn¥x ( n × n ) -matryc nad F,
hde n = dimF A. Teoryq koneçnomern¥x lynejn¥x hrupp qvlqetsq odnoj yz
sam¥x razvyt¥x alhebrayçeskyx teoryj. Odnako v sluçae, kohda dimF A besko-
neçna, sytuacyq soverßenno ynaq. Yzuçenye lynejn¥x hrupp v πtom sluçae
trebuet suwestvenn¥x dopolnytel\n¥x ohranyçenyj. Sytuacyq zdes\ poxoΩa
na sloΩyvßugsq v svoe vremq v teoryy beskoneçn¥x hrupp. Odyn yz podxodov,
kotor¥j okazalsq ves\ma πffektyvn¥m, svqzan s prymenenyem k yzuçenyg bes-
koneçn¥x hrupp uslovyj koneçnosty. Poπtomu predstavlqetsq estestvenn¥m
yspol\zovat\ πtot podxod y dlq yzuçenyq beskoneçnomern¥x lynejn¥x hrupp.
Kak pokaz¥vaet prymer fynytarn¥x lynejn¥x hrupp, podxod, svqzann¥j s pry-
menenyem uslovyj koneçnosty k yzuçenyg lynejn¥x hrupp, okazalsq ves\ma us-
peßn¥m. Hruppa G ≤ G L ( F, A ) naz¥vaetsq fynytarnoj lynejnoj hruppoj,
esly dlq kaΩdoho πlementa g ∈ G podprostranstvo A ( g – 1 ) ymeet koneç-
nug razmernost\ (yly, çto πkvyvalentno, faktor-prostranstvo A / CA ( g )
ymeet koneçnug razmernost\). Takye hrupp¥ moΩno rassmatryvat\ kak lynej-
n¥j analoh F C-hrupp (hrupp s koneçn¥my klassamy soprqΩenn¥x πlementov).
Teoryq fynytarn¥x lynejn¥x hrupp yntensyvno razvyvaetsq sejças, y uΩe
poluçeno mnoho ynteresn¥x rezul\tatov (sm., naprymer, obzor [1]).
Naßa cel\ — yzuçenye nekotor¥x druhyx typov uslovyj koneçnosty. Voz-
vrawaqs\ k teoryy hrupp s uslovyqmy koneçnosty, moΩno napomnyt\, çto odnoj
yz ee perv¥x vaΩn¥x problem b¥la sledugwaq problema O. G. Ímydta: kakoj
budet beskoneçnaq hruppa, vse sobstvenn¥e podhrupp¥ kotoroj koneçn¥? ∏ta
problema vo mnohom opredelyla dal\nejßee razvytye teoryy hrupp s uslovyq-
my koneçnosty (sm., naprymer, [2]). Voznykly sledugwye vaΩn¥e ee obobwe-
nyq: problema S. N. Çernykova o hruppax s uslovyem mynymal\nosty dlq pod-
hrupp y problema R. Bπra o hruppax s uslovyem maksymal\nosty dlq podhrupp.
∏ty problem¥ b¥ly reßen¥ pry estestvenn¥x dopolnytel\n¥x uslovyqx, blyz-
kyx k obobwennoj razreßymosty. Odnako v obwem sluçae πty problem¥ ne re-
ßen¥. Bolee toho, A. G. Ol\ßanskyj [3] (hl. 9) postroyl seryg prymerov,
© M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS, 2005
1476 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1477
pokaz¥vagwyx, çto v obwem sluçae opysanye hrupp Ímydta qvlqetsq ves\ma
sloΩnoj zadaçej. Naßej cel\g qvlqetsq rassmotrenye analohov ukazann¥x
problem dlq beskoneçnomern¥x lynejn¥x hrupp. Toçnee hovorq, budem ras-
smatryvat\ klass¥ lynejn¥x hrupp, kotor¥e voznykagt putem naloΩenyq us-
lovyj koneçnosty na system¥ beskoneçnomern¥x podhrupp. No snaçala oprede-
lymsq s analohamy ob¥çn¥x koneçnomern¥x podhrupp. Koneçnomern¥my ly-
nejn¥my hruppamy prynqto naz¥vat\ podhrupp¥ G L ( F, A ) v sluçae, esly
dimF A koneçna. Esly Ωe dim F A beskoneçna, to zdes\ vozmoΩn¥ razlyçn¥e
varyant¥. Rassmotrym odyn yx nyx. Esly H — podhruppa G L ( F, A ), to H
dejstvuet tryvyal\no na faktor-prostranstve A / A ( ω F H ) y podprostranstve
CA ( H ), t. e. H real\no dejstvuet na podprostranstve A ( ω F H ) y na faktor-
prostranstve A / CA ( H ), hde ω F H — fundamental\n¥j ydeal hruppovoho
kol\ca F H. Esly H = 〈 g 〉, to razmernosty dimF ( A / CA ( g ) ) y dimF ( A ( g – 1 ) )
sovpadagt. Esly H koneçno poroΩdena, to moΩno utverΩdat\, çto koneçnost\
odnoj yz razmernostej dimF ( A / CA ( g ) ) y dimF ( A ( g – 1 ) ) vleçet koneçnost\
druhoj. V obwem sluçae πto ne vsehda tak.
Budem hovoryt\, çto H ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\,
esly dimF ( A ( ω F H ) ) koneçna. V πtom sluçae çyslo dimF ( A ( ω F H ) ) budem
naz¥vat\ fundamental\noj razmernost\g podhrupp¥ H y oboznaçat\
aug dimF ( H ).
Otmetym, çto v πtom opredelenyy suwestvenn¥m qvlqetsq to obstoqtel\-
stvo, çto H — podhruppa konkretnoj lynejnoj hrupp¥ G L ( F, A ). MoΩno po-
stroyt\ vloΩenyq odnoj y toj Ωe hrupp¥ H v razlyçn¥e obwye lynejn¥e
hrupp¥ tak, çto v pervom sluçae H ymeet koneçnug fundamental\nug razmer-
nost\, a pry vtorom vloΩenyy uΩe net. Poπtomu m¥ ne moΩem hovoryt\ o
klasse lynejn¥x hrupp koneçnoj fundamental\noj razmernosty. Zafyksyruem
zdes\ pole F y vektornoe prostranstvo A nad nym y budem rassmatryvat\
tol\ko podhrupp¥ G L ( F, A ).
Pust\ H ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\, t. e.
dimF ( A ( ω F H ) ) koneçna, y poloΩym C = CG ( A ( ω F H ) ). Oçevydno C — nor-
mal\naq podhruppa H y H / C yzomorfna nekotoroj podhruppe G Ln ( F ), hde
n = dimF ( A ( ω F H ) ). KaΩd¥j πlement podhrupp¥ C dejstvuet toΩdestvenno v
kaΩdom faktore rqda 〈 0 〉 ≤ A ( ω F H ) ≤ A , tak çto C — abeleva podhruppa.
Bolee toho, esly char F = 0, to C ne ymeet kruçenyq, esly Ωe char F = p > 0,
to A — πlementarnaq abeleva p-podhruppa. Takym obrazom, struktura H v ob-
wem opredelqetsq strukturoj faktor-hrupp¥ H / C, kotoraq qvlqetsq koneç-
nomernoj lynejnoj hruppoj v ob¥çnom sm¥sle.
Pust\ G ≤ G L ( F, A ). Oboznaçym çerez � iad ( G ) semejstvo tex podhrupp G,
kotor¥e ymegt beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. V kaçestve pervo-
ho estestvennoho ßaha rassmotrym lynejn¥e hrupp¥, blyzkye k koneçnomer-
n¥m, t. e. lynejn¥e hrupp¥ G, v kotor¥x mnoΩestvo �iad ( G ) qvlqetsq „oçen\
malen\kym” v nekotorom sm¥sle. Dlq beskoneçn¥x hrupp termyn „b¥t\ oçen\
malen\kym” moΩet ymet\ raznoobrazn¥e traktovky. V svete upomqnutoj v¥ße
analohyy budem ponymat\ pod πtym, çto � iad ( G ) udovletvorqet nekotoromu us-
lovyg koneçnosty. Teper\ estestvenno voznykagt sledugwye vopros¥:
yzuçenye lynejn¥x hrupp, v kotor¥x kaΩdaq sobstvennaq podhruppa ymeet
koneçnug fundamental\nug razmernost\ (lynejn¥j analoh problem¥
O.OG.OÍmydta);
yzuçenye lynejn¥x hrupp, v kotor¥x semejstvo podhrupp �iad ( G ) udovlet-
vorqet uslovyg mynymal\nosty (lynejn¥j analoh problem¥ S. N. Çernykova);
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1478 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
yzuçenye lynejn¥x hrupp, v kotor¥x semejstvo podhrupp �iad ( G ) udovlet-
vorqet uslovyg maksymal\nosty (lynejn¥j analoh problem¥ R. Bπra).
V dannoj stat\e budem rassmatryvat\ lokal\no razreßym¥e lynejn¥e hrup-
p¥, v kotor¥x semejstvo podhrupp � iad ( G ) udovletvorqet uslovyg mynymal\-
nosty, — lynejn¥e hrupp¥ s uslovyem Min-iad.
1. Predvarytel\n¥e rezul\tat¥. Rassmotrym snaçala nekotor¥e πle-
mentarn¥e svojstva proyzvol\noj hrupp¥ G ≤ G L ( F, A ). Esly K ≤ H ≤ G y H
ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\, to, oçevydno, y K ymeet ko-
neçnug fundamental\nug razmernost\. Pust\ U, V ≤ G. PredpoloΩym, çto
aug dimF ( U ) y aug d imF ( V ) koneçn¥. Yz ravenstva a ( x y – 1 ) = a ( x – 1 ) ×
× (y – 1) – a ( x – 1 ) – a ( y – 1 ) sleduet vklgçenye A ( ω F 〈 U, V 〉 ) ≤ A ( ω F U ) +
+ A ( ω F V ) , kotoroe pokaz¥vaet, çto 〈 U, V 〉 takΩe ymeet koneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\. Ytak, ymeet mesto sledugwaq lemma.
1.1. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ).
1. Esly K ≤ H ≤ G y aug d imF ( H ) koneçna, to y aug d imF ( K ) takΩe
koneçna.
2. Esly podhrupp¥ U y V ymegt koneçn¥e fundamental\n¥e razmernos-
ty, to y aug dimF ( 〈 U, V 〉 ) budet koneçnoj.
1.2. Sledstvye. Pust\ G ≤ G L ( F, A ). Tohda podmnoΩestvo
F D ( G ) = { x ∈ G / 〈 x 〉 ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\ }
qvlqetsq normal\noj podhruppoj G.
V samom dele, v sylu lemm¥ 1.1 F D ( G ) — podhruppa. Pust\ x ∈ F D ( G ),
g ∈ G. Poskol\ku A ( g–
1
x g – 1 ) = A ( g–
1
x g – g–
1
1 g ) = A g–
1
( x g – g ) = A ( x g – g ) =
= A ( x – 1 ) g, to A ( xg – 1 ) ymeet koneçnug razmernost\.
Podhruppa F D ( G ) naz¥vaetsq fynytarn¥m radykalom lynejnoj hrup-
p¥OOG.
Lynejnaq hruppa G tohda y tol\ko tohda qvlqetsq fynytarnoj, kohda ona
sovpadaet so svoym fynytarn¥m radykalom.
1.3. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-iad.
1. Esly H — podhruppa G, to H udovletvorqet uslovyg Min-iad.
2. Esly H 1 > H2 > … > Hn > … — beskoneçnaq ub¥vagwaq cepoçka pod-
hrupp, to najdetsq takoj nomer d, çto Hd y kaΩdaq ee podhruppa ymegt ko-
neçn¥e fundamental\n¥e razmernosty.
3. Esly H — podhruppa beskoneçnoj fundamental\noj razmernosty, to
uporqdoçennoe po vklgçenyg mnoΩestvo � [ H, B ] vsex podhrupp, vklgçagwyx
H, udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty. V çastnosty, esly H — nor-
mal\naq podhruppa G, to G / H udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty.
∏ty utverΩdenyq poçty oçevydn¥.
1.4. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-iad.
Pust\, dalee, X, H — takye podhrupp¥ G, çto:
1) X = ×λ ∈ Λ Xλ , hde 〈 1 〉 ≠ Xλ — H -ynvaryantnaq podhruppa X dlq kaΩ-
doho λ ∈ Λ;
2) H ∩ A ≤ ×λ ∈ Γ Xλ dlq nekotoroho podmnoΩestva Γ yz Λ.
Esly Ω = Λ \ Γ beskoneçno, to H ymeet koneçnug fundamental\nug razmer-
nost\.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto Ω beskoneçno y Ω1 ⊃ Ω 2 ⊃ …
… ⊃ Ωn ⊃ … — stroho ub¥vagwaq cepoçka beskoneçn¥x podmnoΩestv Ω.
Poskol\ku H ∩ ×λ ∈ Ω Xλ = 〈 1 〉, cepoçka podhrupp
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1479
〈 H, Xλ | λ ∈ Ω1 〉 > 〈 H, Xλ | λ ∈ Ω2 〉 > … > 〈 H, Xλ | λ ∈ Ωn 〉 > …
budet stroho ub¥vagwej, y sohlasno lemme 1.3 najdetsq takoj nomer d, çto
podhruppa 〈 H, Xλ | λ ∈ Ωd 〉 ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\.
No tohda y H ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\.
1.5. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-iad.
Pust\, dalee, H, K — podhrupp¥ G, udovletvorqgwye uslovyqm:
1) K normal\na v H;
2) H / K = ×λ ∈ Λ Hλ / K, pryçem K < Hλ dlq vsex λ ∈ Λ.
Esly mnoΩestvo yndeksov Λ beskoneçno, to H ymeet koneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\.
Dokazatel\stvo. Dopustym, çto Λ beskoneçno, y pust\ Γ y Ω — takye
beskoneçn¥e neperesekagwyesq podmnoΩestva Λ, çto Γ ∪ Ω = Λ. PoloΩym
U / K = ×λ ∈ Γ Hλ / K, V / K = ×λ ∈ Ω Hλ / K y pust\ Γ1 ⊃ Γ2 ⊃ … ⊃ Γn ⊃ … — stroho
ub¥vagwaq cepoçka podmnoΩestv Γ. Tohda poluçym sledugwug beskoneçnug
ub¥vagwug cepoçku podhrupp:
〈 V, Hλ | λ ∈ Γ1 〉 > 〈 V, Hλ | λ ∈ Γ2 〉 > … > 〈 V, Hλ | λ ∈ Γn 〉 > … .
Lemma 1.3 pokaz¥vaet, çto V ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\.
Analohyçno, U takΩe ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\ y yz
ravenstva H = U V sohlasno lemme 1.1 sleduet, çto H takΩe ymeet koneçnug
fundamental\nug razmernost\.
1.6. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-iad.
Pust\, dalee, g — πlement beskoneçnoho porqdka hrupp¥ G. Tohda 〈 g 〉 yme-
et koneçnug fundamental\nug razmernost\.
Dokazatel\stvo. Pust\ p, q — razlyçn¥e prost¥e çysla. PoloΩym u =
= gp
, v = gq
. Posledovatel\nost\ podhrupp
〈 u 〉 > 〈 u2
〉 > … > 〈 un
〉 > …
budet stroho beskoneçnoj, tak çto najdetsq takoj nomer k , çto 〈 uk
〉 ymeet
koneçnug fundamental\nug razmernost\. Analohyçno, najdetsq takoj nomer
t, çto 〈 vt
〉 ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\. Yz ravenstva 〈 g 〉 =
= 〈 uk
〉 〈 vt
〉 y lemm¥ 1.1 poluçym teper\, çto 〈 g 〉 takΩe ymeet koneçnug funda-
mental\nug razmernost\.
Sledugwyj rezul\tat opys¥vaet faktor-hruppu po kommutantu.
1.7. PredloΩenye. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-
iad. Esly G ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\, to Ga b =
= G / D qvlqetsq çernykovskoj hruppoj.
Dokazatel\stvo. Dopustym, hruppa Ga b ne qvlqetsq çernykovskoj. Po-
loΩym
� = { H ≤ G | H ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\
y Ha b ne qvlqetsq çernykovskoj }.
Poskol\ku G ∈ �, � — ne pusto. Dalee, tak kak mnoΩestvo � udovletvo-
rqet uslovyg Min, ono ymeet mynymal\n¥j πlement D. PredpoloΩym, çto
D = U V dlq nekotor¥x takyx sobstvenn¥x podhrupp U y V , çto U ∩ V =
= [ D, D ]. Esly obe podhrupp¥ U, V ymegt koneçn¥e fundamental\n¥e raz-
mernosty, to sohlasno lemme 1.1 y D ymeet koneçnug fundamental\nug raz-
mernost\. Poπtomu moΩno dopustyt\, çto odna yz nyx yly obe ymegt besko-
neçnug fundamental\nug razmernost\. Pust\, dlq opredelennosty, U ymeet
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1480 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Tohda v sylu v¥bora D U / [ U,
U ] budet çernykovskoj. Poπtomu y U / [ D, D ] ≅ ( U / [ U, U ] ) / ( [ D, D ] / [ U, U ] )
budet çernykovskoj. Poskol\ku U ymeet beskoneçnug fundamental\nug
razmernost\, yz lemm¥ 1.3 vydno, çto D / U takΩe budet çernykovskoj. Otsgda
poluçaem, çto Da b qvlqetsq çernykovskoj, çto protyvoreçyt v¥boru D.
Poluçennoe protyvoreçye pokaz¥vaet, çto Da b — nerazloΩyma. No neraz-
loΩymaq abeleva hruppa qvlqetsq kvazycyklyçeskoj y, v çastnosty, çernykov-
skoj. ∏to fynal\noe protyvoreçye dokaz¥vaet, çto Ga b — çernykovskaq.
2. Fynytarn¥e y nefynytarn¥e lynejn¥e hrupp¥, udovletvorqgwye
uslovyg Min-iad. V πtom punkte rassmotrym vopros o tom, kakye yz lynejn¥x
hrupp, udovletvorqgwyx uslovyg Min-iad, budut fynytarn¥my, t. e. sovpada-
gt so svoym fynytarn¥m radykalom.
2.1. Lemma. Pust\ G ≤ G L ( F, A ) y udovletvorqet uslovyg Min-iad.
Tohda lybo G — peryodyçeskaq hruppa, lybo ona budet fynytarnoj lynejnoj
hruppoj.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto G ne qvlqetsq ny peryodyçeskoj, ny
fynytarnoj. PoloΩym
� = { H ≤ G | H ne qvlqetsq ny peryodyçeskoj, ny fynytarnoj }.
Poskol\ku G ∈ �, � — ne pusto. Esly H ne fynytarna, ona ymeet takoj
πlement h, çto dimF ( A ( h – 1 ) ) beskoneçna. Otsgda sleduet, çto H ymeet
beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Sledovatel\no, semejstvo �
udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty. V svog oçered\, otsgda v¥tekaet, çto
� ymeet mynymal\n¥j πlement D. V sylu lemm¥ 1.6 kaΩd¥j πlement D ,
ymegwyj beskoneçn¥j porqdok, prynadleΩyt L = F D ( D ). Poskol\ku D
neperyodyçeskaq, to L ≠ 〈 1 〉. Esly S — takaq podhruppa D , çto L ≤ S ≤ D y
S ≠ D, to S — fynytarna, t. e. S ≤ L. Otsgda v¥tekaet, çto D / L ymeet pros-
toj porqdok q. Pust\ x — takoj πlement D, çto x ∉ L . Esly a — πlement
beskoneçnoho porqdka podhrupp¥ L, to 〈 x, a 〉 ne moΩet b¥t\ peryodyçeskoj y
fynytarnoj. Sledovatel\no, 〈 x, a 〉 = D. Otsgda v¥tekaet, çto L — koneçno
poroΩdena (sm., naprymer, [4], teorema 1.4). Poskol\ku L fynytarna, to
dimF ( A ( ω F L ) ) — koneçna.
PoloΩym C = A ( ω F L ), tohda C — F D-podmodul\ A, tak kak L normal\-
na v D. Esly R = CD ( A ( ω F L ) ), to R normal\na v D, pryçem D / R yzomorf-
na podhruppe G Lr ( F ), hde r = dimF ( A ( ω F L ) ). KaΩd¥j πlement R ∩ L yndu-
cyruet toΩdestvenn¥j avtomorfyzm v faktorax rqda 〈 0 〉 ≤ C ≤ A. ∏to oz-
naçaet, çto R ∩ L — abeleva, bolee toho, ona budet πlementarnoj abelevoj p-
podhruppoj, kohda char F = p — prostoe çyslo, y abelevoj hruppoj bez kruçe-
nyq pry char F = 0. Esly D / R beskoneçna, to ona fynytno approksymyruema
(sm., naprymer, [5], teorema 4.2). Pust\ U — normal\naq v D podhruppa,
ymegwaq koneçn¥j yndeks. V çastnosty, U ne moΩet b¥t\ peryodyçeskoj.
Esly dopustyt\, çto 〈 U, x 〉 ≠ D, to 〈 U, x 〉 fynytarna y x ∈ L, çto nevoz-
moΩno. Ytak, 〈 U, x 〉 = D dlq kaΩdoj normal\noj podhrupp¥ U koneçnoho
yndeksa, v çastnosty, D / U — cyklyçeskaq. Oboznaçym çerez E pereseçenye
vsex podhrupp, ymegwyx koneçn¥j yndeks v D, tohda D / E — abeleva. Yz fy-
nytnoj approksymyruemosty D / R poluçaem vklgçenye E ≤ R, tak çto y D / R
— abeleva. Ymeem R / ( R ∩ L ) ≅ R L / L, t. e. | R / ( R ∩ L ) | ≤ q. Sledovatel\no,
D / ( R ∩ L ) ymeet koneçn¥j kommutant y koneçno poroΩdena. Otsgda v¥tekaet,
çto D / ( R ∩ L ) — fynytno approksymyruema y, sohlasno dokazannomu v¥ße,
abeleva. V¥ße takΩe otmeçalos\, çto R ∩ L — abeleva. Ytak, D — meta-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1481
beleva y, buduçy koneçno poroΩdennoj, fynytno approksymyruema (sm., napry-
mer, [6], teorema 9.51). Snova yz dokazannoho v¥ße v¥tekaet, çto D — abeleva.
Poskol\ku D = 〈 U, x 〉 dlq lgboj podhrupp¥ U koneçnoho yndeksa, D — bes-
koneçnaq cyklyçeskaq. Odnako, kak pokaz¥vaet lemma 1.6, v πtom sluçae
dimF ( A ( ω F D ) ) koneçna, t. e. poluçaem protyvoreçye, çto y dokaz¥vaet lemmu.
2.2. Lemma. Pust\ G — lokal\no koneçnaq podhruppa G L ( F, A ), udov-
letvorqgwaq uslovyg Min-iad. Tohda lybo G udovletvorqet uslovyg myny-
mal\nosty, lybo G — fynytarna.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto G ne udovletvorqet uslovyg Min y
ne qvlqetsq fynytarnoj. PoloΩym
� = { H ≤ G | H ne fynytarna y ne udovletvorqet uslovyg Min }.
Poskol\ku G ∈ �, � — ne pusto. Esly H ne fynytarna, ona ymeet takoj
πlement h, çto dimF ( A ( h – 1 ) ) — beskoneçna. Otsgda v¥tekaet, çto H ymeet
beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Sledovatel\no, semejstvo �
udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty. V svog oçered\, otsgda sleduet, çto
� ymeet mynymal\n¥j πlement D. PoloΩym L = F D ( D ). Poskol\ku D ne
udovletvorqet uslovyg Min, D vklgçaet v sebq abelevu podhruppu W =
= ×n ∈ N 〈 wn 〉 (sm., naprymer, [7], teorema 5.8). V sylu lemm¥ 1.4 aug dimF ( W )
koneçna, v çastnosty, W ≤ L. Otsgda v¥tekaet, çto L ne udovletvorqet uslo-
vyg Min. Sohlasno prynqtomu dopuwenyg L ≠ D. Esly x ∈ D \ L, to 〈 x, L 〉 ne
moΩet b¥t\ fynytarnoj. S druhoj storon¥, 〈 x, L 〉 ne udovletvorqet uslovyg
Min. ∏to oznaçaet, çto 〈 x, L 〉 = D. V svog oçered\, D / L ymeet prostoj porq-
dok q, D = 〈 x, L 〉, hde xq ∈ L. Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno dopustyt\, çto
| x | = qt
dlq nekotoroho natural\noho t. Esly dopustyt\, çto CL ( x ) ne qvlq-
etsq çernykovskoj, to sohlasno lemme 1.4 x ∈ L, çto nevozmoΩno. Ytak, CL ( x )
— çernykovskaq podhruppa. Po teoreme B. Xartly [8] L vklgçaet v sebq
normal\nug lokal\no razreßymug podhruppu T koneçnoho yndeksa. MoΩno
dopustyt\, çto T — D -ynvaryantna. Sohlasno teoreme D. Y. Zajceva [9] T
vklgçaet v sebq 〈 x 〉-ynvaryantnug abelevu podhruppu B = ×n ∈ N 〈 bn 〉. Ne ohra-
nyçyvaq obwnosty, moΩno predpoloΩyt\, çto | bn | — prostoe dlq kaΩdoho
n ∈ N. V πtom sluçae kaΩdaq podhruppa B ymeet dopolnenye. Pust\ c1 —
proyzvol\n¥j needynyçn¥j πlement B , C1 = 〈 c1 〉 〈 x
〉
, tohda C1 — koneçna.
Ymeem B = C1 × E1 . Yz koneçnosty 〈 x 〉, poluçaem, çto mnoΩestvo { Ey
1 | y ∈
∈ 〈 x 〉 } koneçno. Pust\ { Ey
1 | y ∈ 〈 x 〉 } = { E1, 1 , … , E1, k }. Tohda U1 = E1, 1 ∩ …
… ∩ E1, k — 〈 x 〉 -ynvaryantna y ymeet koneçn¥j yndeks v B. Pust\ 1 ≠ c2 ∈ U1 ,
C2 = 〈 c2 〉 〈 x
〉
, tohda C2 — koneçna, 〈 x 〉 -ynvaryantna y 〈 C1 , C2 〉 = C1 × C2 . Ys-
pol\zuq analohyçn¥e rassuΩdenyq, moΩno postroyt\ semejstvo { Cn | n ∈ N }
koneçn¥x 〈 x 〉 -ynvaryantn¥x podhrupp B so svojstvom { Cn | n ∈ N } = ×n ∈ N Cn .
Yspol\zuq lemmu 1.4, snova poluçaem vklgçenye x ∈ L, kotoroe pryvodyt k
protyvoreçyg.
2.3. Lemma. Pust\ G — peryodyçeskaq podhruppa G L ( F, A ), udovletvo-
rqgwaq uslovyg Min-iad. Tohda lybo G udovletvorqet uslovyg mynymal\-
nosty, lybo G — fynytarna.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto G ne udovletvorqet uslovyg Min
y ne qvlqetsq fynytarnoj. PoloΩym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1482 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
� = { H ≤ G | H ne fynytarna y ne udovletvorqet uslovyg Min }.
Poskol\ku G ∈ �, � — ne pusto. Esly H ne fynytarna, ona ymeet takoj
πlement h, çto dimF ( A ( h – 1 ) ) — beskoneçna. Otsgda v¥tekaet, çto H ymeet
beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Sledovatel\no, semejstvo �
udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty. V svog oçered\, otsgda v¥tekaet, çto
� ymeet mynymal\n¥j πlement D. PoloΩym L = F D ( D ). Poskol\ku D ne
udovletvorqet uslovyg Min, D ymeet beskoneçnug stroho ub¥vagwug cepoç-
ku podhrupp H1 > H2 > … > Hn > … . Sohlasno lemme 1.3 poluçaem suwestvo-
vanye takoho nomera d, çto Hd y kaΩdaq ee podhruppa ymegt koneçnug fun-
damental\nug razmernost\. V çastnosty, πto ymeet mesto dlq kaΩdoj cykly-
çeskoj podhrupp¥ Hd , y poπtomu Hd ≤ L. Tak kak H d ne udovletvorqet
uslovyg Min, πto spravedlyvo y dlq L. Esly x ∈ D \ L, to 〈 x, L 〉 ne
fynytarna. S druhoj storon¥, 〈 x, L 〉 ne udovletvorqet uslovyg Min. ∏to
oznaçaet, çto 〈 x, L 〉 = = D. V svog oçered\, kak y ranee, D / L ymeet prostoj
porqdok q, t. e. D = = 〈 x, L 〉, hde xq ∈ L. Poskol\ku L — peryodyçeskaq
fynytarnaq lynejnaq hruppa, to L — lokal\no koneçna. No v πtom sluçae y D
— lokal\no koneçna, t. e. poluçyly protyvoreçye s lemmoj 2.2.
Sledstvyem dokazann¥x v¥ße rezul\tatov qvlqetsq sledugwaq teorema.
2.4. Teorema. Pust\ G — podhruppa G L ( F, A ), udovletvorqgwaq uslo-
vyg Min-iad. Tohda lybo G udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty, lybo G
— fynytarnaq lynejnaq hruppa.
3. Lokal\no razreßym¥e lynejn¥e hrupp¥, udovletvorqgwye uslo-
vyg Min-iad. Yzvestno, çto lokal\no razreßymaq koneçnomernaq lynejnaq
hruppa razreßyma. V nastoqwem punkte m¥ rasßyrym πtot rezul\tat na lo-
kal\no razreßym¥e lynejn¥e hrupp¥, udovletvorqgwye uslovyg Min-iad. Ot-
metym, çto esly H — lokal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq ko-
neçnug fundamental\nug razmernost\, to H / CH ( A ( ω F H ) ) — razreßyma (sm. ,
naprymer, [5], sledstvye 3.8), a tak kak CH ( A ( ω F H ) ) — abeleva, to H — razre-
ßyma. Budem rassmatryvat\ lokal\no razreßym¥e podhrupp¥ G L ( F, A ), ymeg-
wye beskoneçnug fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqgwye uslovyg
Min-iad.
3.1. Lemma. Pust\ G — lokal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), yme-
gwaq beskoneçnug fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqgwaq uslo-
vyg Min-iad. Tohda lybo G — razreßyma, lybo G ymeet takoj vozrastag-
wyj rqd normal\n¥x podhrupp
〈 1 〉 = S0 ≤ S1 ≤ … ≤ Sn ≤ …
Snn∈N∪ = Sω ≤ G,
çto aug dimF ( Sn ) — koneçna y S n + 1 / Sn — abeleva dlq n ≥ 0. Bolee toho,
G / Sω — razreßymaq çernykovskaq hruppa.
Dokazatel\stvo. PokaΩem snaçala, çto G — hyperabeleva. Dlq πtoho
dostatoçno pokazat\, çto kaΩdaq needynyçnaq faktor-hruppa G vklgçaet v
sebq needynyçnug normal\nug abelevu podhruppu.
Pust\ H — sobstvennaq normal\naq podhruppa G. Snaçala rassmotrym
sluçaj, kohda H ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Tohda
G / H — lokal\no razreßymaq hruppa, udovletvorqgwaq uslovyg Min sohlas-
no lemme 1.3; takye hrupp¥ budut çernykovskymy, v çastnosty, ony vklgçagt
needynyçnug normal\nug abelevu podhruppu. Teper\ dopustym, çto H ymeet
koneçnug fundamental\nug razmernost\. Buduçy lokal\no razreßymoj, G / H
ymeet systemu � = { Λσ / H, Vσ / H | σ ∈ Σ } normal\n¥x podhrupp s abelev¥my
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1483
faktoramy (sm., naprymer, [6], sledstvye teorem¥ 8.23). Oboznaçym çerez Σ1
podmnoΩestvo takyx yndeksov σ, çto Λσ ymeet beskoneçnug fundamental\-
nug razmernost\, a çerez Σ2 podmnoΩestvo takyx yndeksov σ, çto Vσ ymeet
beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Poskol\ku G udovletvorqet us-
lovyg Min-iad, to { Λσ | σ ∈ Σ1 } (sootvetstvenno { Vσ | σ ∈ Σ2 }) ymeet myny-
mal\n¥j πlement Λµ (sootvetstvenno Vν
). V¥ße otmeçalos\, çto lokal\no
razreßym¥e podhrupp¥, ymegwye koneçnug fundamental\nug razmernost\,
razreßym¥, t. e. Λσ razreßyma dlq σ < µ (sootvetstvenno Vσ razreßyma dlq
σ < ν
). Otsgda v¥tekaet, çto G / H vklgçaet v sebq needynyçnug normal\nug
abelevu podhruppu, tak çto G — hyperabeleva. Pust\
〈 1 〉 = H0 ≤ H1 ≤ … ≤ Hα ≤ Hα + 1 ≤ … ≤ Hγ
— vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp s abelev¥my faktoramy y α — na-
ymen\ßee porqdkovoe çyslo, dlq kotoroho Hα ymeet beskoneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\. Kak y v¥ße, Hβ razreßyma dlq kaΩdoho β < α. Krome
toho, y G / Hα — razreßymaq çernykovskaq hruppa sohlasno lemme 1.3.
Snaçala rassmotrym sluçaj, kohda α ne qvlqetsq predel\n¥m. Oçevydno,
çto tohda Hα budet razreßymoj podhruppoj, tak çto y G — razreßyma. Pust\
teper\ α — predel\noe porqdkovoe çyslo y G ne qvlqetsq razreßymoj. Dlq
kaΩdoho nomera d suwestvuet takoe porqdkovoe çyslo β ( d ), çto Hβ ( d ) ymeet
stupen\ razreßymosty ne men\ße d. Bolee toho, moΩno dopustyt\, çto β ( j ) <
< β ( j + 1 ) dlq vsex j. PoloΩym T j = Hβ ( j ), tohda 〈 1 〉 = T0 ≤ T1 ≤ … ≤ Tj ≤
≤ Tj + 1 ≤ … — vozrastagwyj rqd normal\n¥x razreßym¥x podhrupp G. Uplot-
nqq teper\ πtot rqd, poluçaem rqd, udovletvorqgwyj uslovyqm lemm¥.
Esly G — hruppa, to çerez G� oboznaçym pereseçenye vsex ee podhrupp
koneçnoho yndeksa.
3.2. Lemma. Pust\ G — fynytarnaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq bes-
koneçnug fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqgwaq uslovyg Min-iad.
Tohda G / G� — koneçna.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym protyvnoe, t. e. G / G� — beskoneçna.
Tohda G ymeet takoj beskoneçn¥j ub¥vagwyj rqd normal\n¥x podhrupp
G ≥ H1 > … > Hn > … ,
çto G / Hn koneçna pry lgbom n. No tohda najdetsq takoj nomer k, çto G / Hk
— koneçna y pry πtom Hk ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\.
Poskol\ku G — fynytarna, najdetsq takaq podhruppa L , ymegwaq koneçnug
fundamental\nug razmernost\, çto G = Hk L. Lemma 1.1 pokaz¥vaet, çto y G
takΩe ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\, a πto protyvoreçyt
uslovyg lemm¥.
Sledugwyj rezul\tat pokaz¥vaet, çto podhruppa Sω , fyhuryrugwaq v
lemme 3.1, razreßyma.
3.3. Lemma. Pust\ G — podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq beskoneçnug
fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqgwaq uslovyg Min-iad. Esly G
ymeet takoj vozrastagwyj rqd normal\n¥x podhrupp
〈 1 〉 = S0 ≤ S1 ≤ … ≤ Sn ≤ …
Snn∈N∪ = G,
çto kaΩdaq podhruppa S n ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\ y
kaΩd¥j faktor Sn + 1 / Sn — abelev, to G — razreßyma.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1484 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
Dokazatel\stvo. Poskol\ku A ( ω F Sk ) koneçnomerna, suwestvuet koneç-
n¥j rqd F G-podmodulej
〈 0 〉 = A0 ≤ A1 ≤ … ≤ An ( k ) = A ( ω F Sk ),
kaΩd¥j faktor kotoroho qvlqetsq prost¥m F G-modulem. Dalee, Sk + 1 takΩe
ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\, tak çto moΩno rasßyryt\
ukazann¥j v¥ße rqd do rqda F G-podmodulej
〈 0 〉 = A0 ≤ A1 ≤ … ≤ An ( k ) ≤ An ( k ) + 1 ≤ … ≤ An ( k + 1 ) = A ( ω F Sk + 1 ),
kaΩd¥j faktor kotoroho qvlqetsq prost¥m F G-modulem, y takym putem po-
luçym beskoneçn¥j vozrastagwyj rqd F G-podmodulej
〈 0 〉 = A0 ≤ A1 ≤ … ≤ Am ≤ Am + 1 ≤ … ≤ Aω = A ( ω F G )
s prost¥my faktoramy.
PoloΩym N =
j≥0∩ CG ( Aj + 1 / Aj ). Faktor-hruppa G / CG ( Aj + 1 / Aj ) qvlqetsq
nepryvodymoj koneçnomernoj lynejnoj lokal\no razreßymoj hruppoj, a poto-
mu ona poçty abeleva pry lgbom j (sm., naprymer, [5], lemma 3.5). Yz vloΩenyq
G / H →
j≥∏ 0
G / CG ( Aj + 1 / Aj ) sleduet, çto G / H budet rasßyrenyem abelevoj
normal\noj podhrupp¥ s pomow\g fynytno approksymyruemoj. Krome toho,
G, buduçy obæedynenyem vozrastagwej posledovatel\nosty podhrupp, ymeg-
wyx koneçnug fundamental\nug razmernost\, fynytarna, y lemma 3.2 doka-
z¥vaet, çto G / H — poçty abeleva. Oboznaçym çerez K / H normal\nug abelevu
podhruppu G / H, dlq kotoroj G / K — koneçna. Tohda K ymeet beskoneçnug
fundamental\nug razmernost\, y K / H budet çernykovskoj v sylu predloΩe-
nyq 1.7. Esly aug dimF ( H ) — koneçna, to H / CH ( A ( ω F H ) ) — razreßyma (sm.,
naprymer, [5], sledstvye 3.8), a tak kak CH ( A ( ω F H ) ) — abeleva, to H — razre-
ßyma, a tohda razreßymoj budet y vsq hruppa G.
Takym obrazom, teper\ moΩno predpoloΩyt\, çto H ymeet beskoneçnug
fundamental\nug razmernost\. Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda char F = 0.
PoloΩym Lj = CG ( A1 / A0 ) ∩ CG ( A2 / A1 ) ∩ … ∩ CG ( Aj / Aj – 1 ), j ∈ N. Esly H ≠
≠ Lj dlq nekotoroho j, moΩno predpoloΩyt\, çto j qvlqetsq mynymal\n¥m
nomerom, dlq kotoroho H dejstvuet toΩdestvenno na faktorax A / Aj y
Aj / Aj – 1 . Otsgda sleduet, çto H ymeet needynyçnug abelevu faktor-hruppu
bez kruçenyq, çto protyvoreçyt predloΩenyg 1.7. Poπtomu H = Lj dlq vsex j,
a πto vleçet tot fakt, çto H — abeleva. Nakonec predpoloΩym, çto char F =
=Op > 0, y otmetym, çto kaΩdaq Lj / Lj + 1 qvlqetsq πlementarnoj abelevoj p-
hruppoj. Snaçala dopustym, çto najdetsq takoj nomer j, çto aug dimF ( Lj ) —
koneçna. TakΩe moΩno dopustyt\, çto πtot nomer j budet mynymal\n¥m, tak
çto Lj – 1 ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Yz toho fakta,
çto Lj – 1 / [ Lj – 1 , Lj – 1 ] — çernykovskaq, poluçaem, çto L j – 1 / Lj — koneçna. Od-
nako Lj – 1 fynytarna, a otsgda poluçaem, çto Lj – 1 ymeet koneçnug funda-
mental\nug razmernost\, t. e. poluçaem protyvoreçye. Takym obrazom, kaΩdaq
podhruppa Lj ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\. Kak y v¥ße,
moΩno pokazat\, çto kaΩdaq Lj / Lj + 1 — koneçna. Yz uslovyq Min-iad poluça-
em, çto suwestvuet takoe k, çto Lj = Lk dlq vsex j ≥ k. Oçevydno, Lk — razre-
ßyma, y yz koneçnosty H / Lk teper\ v¥tekaet, çto H — razreßyma. Kak y v¥-
ße, otsgda poluçaem, çto y vsq hruppa razreßyma.
Sledstvyem dokazann¥x v¥ße rezul\tatov qvlqetsq sledugwaq teorema.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1485
3.4. Teorema. Pust\ G — lokal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ),
udovletvorqgwaq uslovyg Min-iad. Tohda G — razreßyma.
4. Lokal\no razreßym¥e lynejn¥e hrupp¥, udovletvorqgwye uslo-
vyg Min-iad. Osnovnoj cel\g πtoho punkta qvlqetsq opysanye razreßym¥x
lynejn¥x hrupp, udovletvorqgwyx uslovyg Min-iad.
4.1. Lemma. Pust\ G — delymaq çernykovskaq q -podhruppa G L ( F, A ),
hde q — prostoe çyslo. Esly G — fynytarna, to q ≠ char F.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym protyvnoe. Dlq lgboho 1 ≠ g ∈ G ras-
smotrym otobraΩenye θg : A → A, opredelennoe po pravylu θg ( a ) = a ( g – 1 ).
Poskol\ku G — abeleva, to θg — F G-πndomorfyzm A. Tohda Im θg = A ( g – 1 )
y Ker θg = CA ( g ) — F G-podmoduly A. Yz koneçnomernosty A1 = A ( g – 1 ) po-
luçaem suwestvovanye koneçnoho rqda G-ynvaryantn¥x podprostranstv
〈 0 〉 = B0 ≤ B1 ≤ … ≤ Bn = A1 ,
kaΩd¥j faktor kotoroho budet prost¥m F G-modulem. Esly x ∈ G, to
CA ( x ) ∩ B1 — F G-podmodul\ B1 (tak kak G — abeleva). Yz toho fakta, çto x
— q-πlement, a B 1 — πlementarnaq abeleva q-podhruppa, poluçaem nyl\po-
tentnost\ estestvennoho poluprqmoho proyzvedenyq B1 � 〈 x 〉 (sm., naprymer,
[6], lemma 6. 34). Tohda CA ( x ) ∩ B1 ≠ 〈 0 〉 y, uçyt¥vaq prostotu F G-podmodulq
B1 , poluçaem vklgçenye B1 ≤ CA ( x ). Pust\ C1 = ζF G ( A ) = { a ∈ A | a y = a dlq
kaΩdoho y ∈ G } — F G-centr A. Srazu otmetym, çto C1 ≠ 〈 0 〉, ybo B1 ≤ C1 .
MoΩno postroyt\ verxnyj F G-central\n¥j rqd 〈 0 〉 = C0 ≤ C1 ≤ … ≤ Cα ≤
≤ Cα + 1 ≤ … ≤ Cγ = A modulq A. Zdes\ Cα + 1 / Cα = ζF G ( A / Cα ), α < γ, y Cβ =
=
Cγγ β<∪ dlq predel\n¥x porqdkov¥x β. Estestvennoe poluprqmoe proyzve-
denye A � G qvlqetsq hypercentral\noj q-hruppoj. Yz lemm¥ 3 rabot¥ [11]
v¥tekaet ravenstvo A = ζF G ( A ). No tohda G = 〈 1 〉, y πto protyvoreçye doka-
z¥vaet lemmu.
4.2. PredloΩenye. Pust\ G — podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq besko-
neçnug fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqgwaq uslovyg Min-iad.
PredpoloΩym takΩe, çto G — poçty lokal\no razreßyma y ne qvlqetsq çer-
nykovskoj. Tohda:
1) esly char F = p > 0, to G vklgçaet v sebq takug normal\nug nyl\po-
tentnug ohranyçennug p-podhruppu H , çto G / H — çernykovskaq y ee dely-
maq çast\ qvlqetsq p ′-hruppoj;
2) esly char F = 0, t o G vklgçaet v sebq takug normal\nug nyl\po-
tentnug podhruppu bez kruçenyq H, çto G / H — çernykovskaq.
Krome toho, esly G — ne çernykovskaq, to H ymeet koneçnug funda-
mental\nug razmernost\.
Dokazatel\stvo. MoΩno sçytat\, çto G ne udovletvorqet uslovyg Min.
Teorema 2.4 pokaz¥vaet, çto G — fynytarnaq lynejnaq hruppa. Oboznaçym çe-
rez S normal\nug lokal\no razreßymug podhruppu, ymegwug koneçn¥j yn-
deks v G. Sohlasno lemme 1.1 aug dimF ( S ) — beskoneçna. Teorema 3.4 dokaz¥-
vaet, çto S — razreßyma. Pust\ S = D0 ≥ D1 ≥ … ≥ Dn = 〈 1 〉 — rqd kommu-
tantov S. Najdetsq takoj nomer m, çto aug d imF ( Dm ) — beskoneçna, no
aug dimF ( Dm + 1 ) — koneçna. Yz predloΩenyq 1.7 poluçaem, çto D j / Dj + 1 —
çernykovskaq pry 0 ≤ j ≤ m. PoloΩym U = Dm + 1 y otmetym, çto G / U — çer-
nykovskaq hruppa. Pust\ C = A ( ω F U ). Otmetym, çto C — F G-podmodul\ A.
Yz v¥bora U poluçaem, çto C ymeet koneçnug razmernost\, poπtomu suwest-
vuet takoj koneçn¥j rqd F G-podmodulej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1486 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
〈 0 〉 = C0 ≤ C1 ≤ … ≤ Ct = C ≤ Ct + 1 = A,
çto C1 / C0 , C2 / C1 , … , Ct / Ct – 1 — prost¥e F G-moduly. Poskol\ku G poçty
razreßyma, to prymenenye teorem Klyfforda y Mal\ceva (sm., naprymer, [5],
teorema 1.15 y lemma 3.5) pokaz¥vaet, çto G / CG ( Cj + 1 / Cj ), 0 ≤ j ≤ t – 1, — poç-
ty abelev¥. PoloΩym Q = CG ( C1 ) ∩ CG ( C2 / C1 ) ∩ … ∩ CG ( Ct / Ct – 1 ) y otme-
tym, çto y G / Q — poçty abeleva. Pust\ V — normal\naq podhruppa koneçnoho
yndeksa, dlq kotoroj V / Q — abeleva. V sylu teorem¥ 2.4 G — fynytarna, a
poπtomu aug dimF ( V ) — beskoneçna. PredloΩenye 1.7 pokaz¥vaet, çto V / Q, a
potomu y G / Q — çernykovskye.
PredpoloΩym snaçala, çto char F = p > 0. Poskol\ku G fynytarna y U
dejstvuet toΩdestvenno v faktore A / C , to G / CG ( A / C ) vklad¥vaetsq v
F D ( G L ( F, A / C ) ). Vklgçenye U ≤ CG ( A / C ) pokaz¥vaet, çto G / CG ( A / C ) —
çernykovskaq, y yz lemm¥ 4.1 poluçaem, çto delymaq çast\ G / CG ( A / C ) budet
p ′-hruppoj. K tomu Ωe y Op ( G / CG ( Cj + 1 / Cj ) ) = 〈 1 〉, 0 ≤ j ≤ t – 1 [11] (teorema
3.1.3). Otsgda poluçaem, çto y delymaq çast\ G / Q budet p ′-hruppoj. Polo-
Ωym H = Q ∩ CG ( A / C ). Poskol\ku H dejstvuet toΩdestvenno na kaΩdom
faktore Cj + 1 / Cj , 0 ≤ j ≤ t, to H — nyl\potentna. Krome toho, H ne ymeet
kruçenyq, esly char F = 0, y H — ohranyçennaq p-podhruppa, esly char F =
= p > 0.
Esly char F = p > 0, to H — beskoneçnaq nyl\potentnaq p-podhruppa, a v
πtom sluçae H / [ H, H ] — beskoneçna (sm., naprymer, [4], lemma 2.22). Sohlasno
teoreme Prgfera (sm., naprymer, [12], teorema 17.2) H / [ H, H ] — prqmoe proyz-
vedenye beskoneçnoho mnoΩestva cyklyçeskyx p-podhrupp. V sylu lemm¥ 1.5
H ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\. Pust\ teper\ char F = 0. V
πtom sluçae H — nyl\potentnaq podhruppa bez kruçenyq, poπtomu H ymeet
central\n¥j rqd s faktoramy bez kruçenyq (sm., naprymer, [4], teorema 2. 25).
V çastnosty, H / [ H, H ] — ne peryodyçeskaq. Esly dopustyt\, çto aug dimF ( H )
beskoneçna, to predloΩenye 1.7 pokaz¥vaet, çto H / [ H, H ] — çernykovskaq.
∏to protyvoreçye pokaz¥vaet, çto aug dimF ( H ) — koneçna, çto y zaverßaet do-
kazatel\stvo.
Teper\ moΩno poluçyt\ sledugwee opysanye razreßym¥x lynejn¥x hrupp,
udovletvorqgwyx uslovyg Min-iad.
4.3. Teorema. Pust\ F — pole xarakterystyky p > 0 y G — poçty lo-
kal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq beskoneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\. Esly G udovletvorqet uslovyg Min-iad y ne qvlq-
etsq çernykovskoj, to G ymeet rqd normal\n¥x podhrupp P ≤ D ≤ G, koto-
r¥e udovletvorqgt sledugwym uslovyqm:
i) P — nyl\potentnaq ohranyçennaq p-podhruppa;
ii) D = P � Q dlq nekotoroj needynyçnoj delymoj çernykovskoj p ′-pod-
hrupp¥ Q, a G / D — koneçna;
iii) P ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\ y udovletvorqet
uslovyg Min-Q (uslovyg mynymal\nosty dlq Q -ynvaryantn¥x podhrupp), a
Q ymeet beskoneçnug fundamental\nug razmernost\.
V çastnosty, G — rasßyrenye nyl\potentnoj podhrupp¥ s pomow\g poç-
ty abelevoj, udovletvorqgwee uslovyg mynymal\nosty dlq normal\n¥x pod-
hrupp.
Dokazatel\stvo. PredloΩenye 4.2 pokaz¥vaet, çto G vklgçaet v sebq
takug normal\nug nyl\potentnug ohranyçennug p-podhruppu P, çto G / P —
çernykovskaq y ee delymaq çast\ D / P qvlqetsq p ′-hruppoj. Krome toho, tak
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1487
kak G ne çernykovskaq, to aug dimF ( P ) — koneçna. Suwestvuet podhruppa Q
so svojstvom D = P � Q [7], hde Q ≅ D / P — delymaq çernykovskaq p ′-pod-
hruppa, a G / D — koneçna. Esly dopustyt\, çto Q = 〈 1 〉, to yz toho fakta, çto
G fynytarna (teorema 2.4), a G / D koneçna, poluçaem koneçnost\
aug dimF ( G ), çto nevozmoΩno. Ytak, Q ≠ 〈 1 〉. Analohyçno dokaz¥vaetsq, çto
aug dimF ( Q ) — beskoneçna. Poskol\ku P Q udovletvorqet uslovyg Min-iad, P
dolΩna udovletvorqt\ uslovyg Min-Q, a πto dokaz¥vaet, çto D udovletvorq-
et uslovyg Min-n. Yz koneçnosty G / D v¥tekaet, çto G takΩe udovletvo-
rqet uslovyg Min-n.
Prymenqq teoremu 4.3, moΩno poluçyt\ opysanye poçty lokal\no razreßy-
m¥x hrupp beskoneçnoj fundamental\noj razmernosty, vse sobstvenn¥e pod-
hrupp¥ kotor¥x ymegt koneçnug fundamental\nug razmernost\ dlq sluçaq
polq prostoj xarakterystyky.
4.4. Teorema. Pust\ F — pole xarakterystyky p > 0 y G — poçty lo-
kal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq beskoneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\. Esly lgbaq sobstvennaq podhruppa G ymeet koneçnug
fundamental\nug razmernost\, to G — kvazycyklyçeskaq q-hruppa dlq ne-
kotoroho prostoho q ≠ p.
Dokazatel\stvo. Rassmatryvaq needynyçnug podhruppu Q, fyhuryrug-
wug v teoreme 2.3, poluçaem, çto G — çernykovskaq. Esly delymaq çast\ G
qvlqetsq sobstvennoj podhruppoj, to ona ymeet koneçnug fundamental\nug
razmernost\, a tohda y G ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\, çto
nevozmoΩno. Ytak, G — delyma. Poskol\ku G, oçevydno, prqmo nerazloΩy-
ma, to ona kvazycyklyçeskaq. Prymenenye lemm¥ 4.1 zaverßaet dokazatel\stvo.
PokaΩem, çto hrupp¥, poluçenn¥e v teoreme 4.3, dejstvytel\no mohut b¥t\
realyzovan¥ kak lynejn¥e hrupp¥, udovletvorqgwye uslovyg Min-iad. Pust\
F0 = F p , hde p — prostoe çyslo, yly F0 = Q . Oboznaçym çerez K alhebray-
çeskoe zam¥kanye F0
. Mul\typlykatyvnaq hruppa U ( K ) — delyma, poπtomu
ona vklgçaet v sebq kvazycyklyçeskug q-podhruppu Q = 〈 xn | xq
1 = 1, xn
q
+1 = xn
,
n ∈ ∈ N 〉, hde q — prostoe çyslo, q ≠ p.
Pust\ F = F0 [ Q ]. Poskol\ku kaΩd¥j πlement Q alhebrayçen nad F0 , F —
podpole K. PoloΩym A = ⊕n ∈ N An
, hde An ≅ F dlq kaΩdoho n ∈ N. Lgboj
avtomorfyzm A opredelqet (v standartnom bazyse) nekotorug beskoneçnug
matrycu α = || ujm || j, m ∈ N . Opredelym matryc¥ κn = || ujm
n( )
|| j, m ∈ N po sledug-
wemu pravylu:
u11
1( ) = x1 , ujj
( )1 = 1 dlq vsex j > 1, ujm
( )1 = 0 dlq vsex ostal\n¥x j, m;
u11
2( ) = x2 , u22
2( ) = x1 , ujj
( )2 = 1 dlq vsex j > 2, ujm
( )2 = 0 dlq vsex ostal\n¥x j, m;
……………………………………………………………………
u n
11
( ) = xn, u n
22
( ) = xn – 1 , … , un n
n
,
( ) = x1, ujj
n( ) = 1 dlq vsex j > n,
ujm
n( ) = 0 dlq vsex ostal\n¥x j, m.
Oçevydno, κ1
q = ε ( ε — edynyçnaq matryca), κn
q
+1 = κn
, n ∈ N. Druhymy slo-
vamy, K = 〈 κn | n ∈ N 〉 — kvazycyklyçeskaq q-podhruppa. TakΩe ponqtno, çto
A ( κ1 – ε ) = A1 , A ( κ2 – ε ) = A1 + A2 , … , A ( κn – ε ) = A1 + A2 + … + An , n ∈ N.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1488 M. R. DYKSON, L. A. KURDAÇENKO, M. ∏VANS
KaΩdaq sobstvennaq podhruppa K sovpadaet s nekotoroj 〈 κn 〉, poπtomu lgbaq
sobstvennaq podhruppa K ymeet koneçnug fundamental\nug razmernost\.
Odnako A ( ω F K ) = A y, sledovatel\no, aug dimF ( K ) — beskoneçna.
Teper\ rassmotrym mnoΩestvo Σ vsex matryc α = | | ujm || j, m ∈ N , ymegwyx
sledugwee svojstvo:
ujm = 0, esly ( j, m ) ∉ { ( 1, 2 ), ( j, j ) | j ∈ N }.
Esly β = || vj m || j, m ∈ N — druhaq matryca yz Σ, to
α β = || wjm || j, m ∈ N , hde wjj = ujj vj j , j ∈ N, w12 = u11
v12 + u12
v22
.
Otsgda sleduet, çto α β ∈ Σ. Krome toho, esly α–
1 = || yjm || j, m ∈ N , to
yjj = ujj
−1, j ∈ N, y12 = u u11
1
22
1
12
− −v ,
v çastnosty, α–
1 ∈ Σ. Ytak, Σ — podhruppa. Rassmotrym teper\ mnoΩestvo Φ
vsex matryc α = || ujm || j, m ∈ N , ymegwyx sledugwee svojstvo:
ujj = 1 dlq vsex j ∈ N, ujm = 0, esly ( j, m ) ∉ { ( 1, 2 ) }.
Esly β = || vjm || j, m ∈ N — druhaq matryca yz Φ, to
α β = || wjm || j, m ∈ N , hde wjj = 1 dlq vsex j ∈ N, w12 = v12 + u12
.
Otsgda poluçaem, çto α β ∈ Φ. Lehko vydet\, çto Φ yzomorfna addytyvnoj
hruppe polq F. Pust\ α = || ujm || j, m ∈ N ∈ Σ, β = || vjm || j, m ∈ N ∈ Φ, tohda
α–
1 β α = || wjm || j, m ∈ N , hde wjj = 1 dlq vsex j ∈ N, w12 = u u11
1
22 12
− v .
∏to pokaz¥vaet, çto Φ — normal\naq podhruppa Σ . PoloΩym Γ = Φ � K .
Vsledstvye postroenyq F Φ — mynymal\naq normal\naq podhruppa Γ. Dalee,
oçevydno, çto A ( ω F Φ ) = A1 + A2 , tak çto Φ ymeet koneçnug fundamental\-
nug razmernost\.
Zametym, çto vtoroj prymer moΩno nemnoho usloΩnyt\ takym obrazom, çto
eho unypotentnaq normal\naq podhruppa Φ budet nyl\potentnoj lgboj nape-
red zadannoj stupeny nyl\potentnosty.
Perejdem k sluçag nulevoj xarakterystyky.
4.5. Teorema. Pust\ F — pole xarakterystyky 0 y G — poçty lokal\-
no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq beskoneçnug fundamental\nug
razmernost\. Esly G udovletvorqet uslovyg Min-iad, to G — çernykov-
skaq hruppa.
Dokazatel\stvo. Vvydu predloΩenyq 4.2 G vklgçaet v sebq takug nor-
mal\nug podhruppu P, çto aug dimF ( P ) — koneçna, P — nyl\potentna y ne
ymeet kruçenyq, a G / P — çernykovskaq. Otsgda vydno, çto esly G peryody-
çeskaq, to ona çernykovskaq. PredpoloΩym, çto G ne qvlqetsq peryodyçes-
koj. PoloΩym
� = { H ≤ G | H — neperyodyçeskaq y aug dimF ( H ) — beskoneçna }.
Poskol\ku G ∈ �, � — ne pusto. Tak kak semejstvo � udovletvorqet uslo-
vyg mynymal\nosty, S ymeet mynymal\n¥j πlement D. V sylu v¥bora D —
neperyodyçeskaq podhruppa, v çastnosty, D ne udovletvorqet uslovyg Min.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
LYNEJNÁE HRUPPÁ S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY … 1489
Pust\ S — maksymal\naq normal\naq razreßymaq podhruppa. Teorema 2.4 po-
kaz¥vaet, çto D — fynytarna. Poπtomu aug dimF ( S ) — beskoneçna. Oçevyd-
no, S ne moΩet b¥t\ peryodyçeskoj. Otsgda poluçaem, çto D = S, t. e. D —
razreßyma. V sylu predloΩenyq 4.2 D vklgçaet v sebq takug normal\nug
podhruppu U, çto aug dimF ( U ) — koneçna, U — nyl\potentna y ne ymeet kru-
çenyq, a D / U — çernykovskaq. Lehko vydet\, çto D / U — delyma. Esly D / U
ne kvazycyklyçeskaq, to D / U = D1 / U × D2 / U, hde D1 / U, D 2 / U — needynyç-
n¥e delym¥e podhrupp¥. Tak kak obe podhrupp¥ D1
, D2 neperyodyçeskye, to
yz v¥bora D v¥tekaet, çto obe ony ymegt koneçnug fundamental\nug razmer-
nost\. Ravenstvo D = D1
D2 y lemma 1.1 pryvodqt k tomu, çto aug dimF ( D ) —
koneçna. ∏to protyvoreçye pokaz¥vaet, çto D / U — kvazycyklyçeskaq q-hrup-
pa dlq nekotoroho prostoho q. Pust\ V — sobstvennaq podhruppa D. Esly V
— peryodyçeskaq, to ona çernykovskaq y, v çastnosty, poçty abeleva. Dopus-
tym teper\, çto V ne peryodyçeskaq. Tohda aug dimF ( V ) — koneçna. Esly
predpoloΩyt\, çto D = U V, to lemma 1.1 snova pokaz¥vaet, çto aug dimF ( D )
— koneçna. Sledovatel\no, V / ( V ∩ U ) ≅ U V / U — cyklyçeskaq q-hruppa. V
çastnosty, V — poçty nyl\potentna. Ytak, lgbaq sobstvennaq podhruppa D
poçty nyl\potentna. Tohda yz teorem¥ 2.5 [13] v¥tekaet, çto D — peryodyçes-
kaq. Poluçennoe protyvoreçye y dokaz¥vaet tot fakt, çto G — peryodyçes-
kaq, a znaçyt, çernykovskaq hruppa.
4.6. Sledstvye. Pust\ F — pole xarakterystyky 0 y G — poçty lo-
kal\no razreßymaq podhruppa G L ( F, A ), ymegwaq beskoneçnug fundamen-
tal\nug razmernost\. Esly lgbaq sobstvennaq podhruppa G ymeet koneçnug
fundamental\nug razmernost\, to G — kvazycyklyçeskaq q-hruppa dlq ne-
kotoroho prostoho q.
1. Phillips R. E. Finitary linear groups: a survey // Finite and Locally Finite Groups. Nato ASI.
Ser. C471. – Dordrecht: Kluwer, 1995. – P. 111 – 146.
2. Çernykov S. N. O probleme Ímydta // Ukr. mat. Ωurn. – 1971. – 23, # 5. – S. 598 – 603.
3. Ol\ßanskyj A. G. Heometryq opredelqgwyx sootnoßenyj v hruppax. – M.: Nauka, 1989.
4. Robinson D. J. S. Finiteness conditions in generalized soluble groups. – Berlin: Springer, 1972. –
Pt 1.
5. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups. – Berlin: Springer, 1972.
6. Robinson D. J. S. Finiteness conditions in generalized soluble groups. – Berlin: Springer, 1972. –
Pt 2.
7. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland, 1973.
8. Hartley B. Fixed points of automorphisms of certain locally finite groups and Chevalley groups //
J. London Math. Soc. – 1988. – 37. – P. 421 – 436.
9. Zajcev D. Y. O lokal\no razreßym¥x hruppax koneçnoho ranha // Dokl. AN SSSR. – 1978. –
240, # 2. – S. 257 – 259.
10. Kurdaçenko L. A. Lokal\no nyl\potentn¥e hrupp¥ so slab¥m uslovyem mynymal\nosty
dlq normal\n¥x podhrupp // Syb. mat. Ωurn. – 1984. – 25, # 4. – S. 589 – 594.
11. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper&Row Publ., 1968.
12. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥. – M. Myr, 1974. – T. 1.
13. Bruno B., Phillips R. E. A note on groups with nilpotent-by-finite proper subgroups // Arch. Math.
– 1995. – 65. – P. 369 – 374.
Poluçeno 19.04.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3702 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:23Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/7c94cfe41c2b6550488d3e85b2f9aaba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37022020-03-18T20:02:37Z Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups Линейные группы с условием минимальности для некоторых бесконечномерных подгрупп Dixon, M. R. Evans, M. J. Kurdachenko, L. A. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Let $F$ be a field, let $A$ be a vector space over $F$, and let $GL(F, A)$ be the group of all automorphisms of the space $A$. If $H$ is a subgroup of $GL(F, A)$, then we set aug $\dim_F (H) = \dim_F (A(ωFH))$, where $ωFH$ is the augmentation ideal of the group ring $FH$. The number ${\rm{aug} \dim}_F (H)$ is called the augmentation dimension of the subgroup $H$. In the present paper, we study locally solvable linear groups with minimality condition for subgroups of infinite augmentation dimension. Нехай $F$ — поле, $A$ — векторний npocTip над $F, \quad GL (F, A)$ — трупа Bcix aвтoмoрфiзмiв простору $A$. Якщо $H$ — півдгрупа $GL(F, A)$, то покладемо ${\rm{aug} \dim}_F ( H) = {\rm dim}_F(A(\omega FH))$, де $\omega FH$ — фундаментальний вдеал труповото кільця $FH$. Число ${\rm{aug} \dim}_F ( H)$ називаеться фундаментальною вимiрнicтю пвдтрупи $H$. У даній роботі вивчаються локально розв'язні лінійні групи з умовою мінімальності для півдгруп, що мають нескінченну фундаментальну вимiрнicть. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3702 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 11 (2005); 1476–1489 Український математичний журнал; Том 57 № 11 (2005); 1476–1489 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3702/4129 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3702/4130 Copyright (c) 2005 Dixon M. R.; Evans M. J.; Kurdachenko L. A. |
| spellingShingle | Dixon, M. R. Evans, M. J. Kurdachenko, L. A. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Диксон, М. Р. Эванс, М. Курдаченко, Л. А. Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title | Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title_alt | Линейные группы с условием минимальности для некоторых бесконечномерных подгрупп |
| title_full | Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title_fullStr | Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title_full_unstemmed | Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title_short | Linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| title_sort | linear groups with minimality condition for some infinite-dimensional subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3702 |
| work_keys_str_mv | AT dixonmr lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT evansmj lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT kurdachenkola lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT diksonmr lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT évansm lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT kurdačenkola lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT diksonmr lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT évansm lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT kurdačenkola lineargroupswithminimalityconditionforsomeinfinitedimensionalsubgroups AT dixonmr linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT evansmj linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT kurdachenkola linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT diksonmr linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT évansm linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT kurdačenkola linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT diksonmr linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT évansm linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp AT kurdačenkola linejnyegruppysusloviemminimalʹnostidlânekotoryhbeskonečnomernyhpodgrupp |