Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces
We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type (φ0 , ψ0 , φ1 , ψ1 ) in the Lorentz spaces. The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for concave and convex functions φ0 (t), &am...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3703 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509835008671744 |
|---|---|
| author | Peleshenko, B. I. Пелешенко, Б. И. Пелешенко, Б. И. |
| author_facet | Peleshenko, B. I. Пелешенко, Б. И. Пелешенко, Б. И. |
| author_sort | Peleshenko, B. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:37Z |
| description | We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type (φ0 , ψ0 , φ1 , ψ1 ) in the Lorentz spaces.
The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for concave and convex functions φ0 (t), ψ0 (t), φ1 (t), ψ1 (t).
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.948.5
B. Y. Peleßenko (Dnepropetr. ahrar. un-t)
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA
(((( ϕϕϕϕ0, ψψψψ0, ϕϕϕϕ1, ψψψψ1 )))) V PROSTRANSTVAX LORENCA
We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type ( , , , )ϕ ψ ϕ ψ0 0 1 1 in the
Lorentz spaces. The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for
concave and convex functions ϕ0( )t , ψ0( )t , ϕ1( )t , ψ1( )t .
Dovedeno teoremy interpolqci] v prostorax Lorenca kvazilinijnyx operatoriv slabkoho typu
( , , , )ϕ ψ ϕ ψ0 0 1 1 , analohiv operatoriv Kal\derona, Benetta dlq vhnutyx ta opuklyx funkcij
ϕ0( )t , ψ0( )t , ϕ1( )t , ψ1( )t .
1. Vvedenye. V rabote Kal\derona [1] poluçena teorema ynterpolqcyy lynej-
n¥x operatorov uslovno slab¥x typov v prostranstvax Lorenca. VaΩnug rol\
pry dokazatel\stve πtyx teorem yhraet operator
Sf t∗( ) = f s d
s
ti
p
q
i
i
∗
=
∞
∫ ( ) min
,
/
/0 1
1
1
0
, (1)
1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞ , p0 ≠ p1, q0 ≠ q1,
maΩorantn¥j dlq operatorov uslovno slab¥x typov ( p0, q0 ) y ( p1, q1 ) , oprede-
lenn¥x na funkcyqx f ( s ) yz summ¥ prostranstv Lorenca L Rp n0 1, ( ) + L Rp n1 1, ( ).
Razvyvaq metod A. Kal\derona, D. Bojd [2], R. Íarply [3], S. H. Krejn,
E.8M.8Semenov [4], E. A. Pavlov [5] y druhye (byblyohrafyg sm. v [4]) poluçyly
teorem¥ ynterpolqcyy kvazylynejn¥x operatorov v perestanovoçno-ynvaryant-
n¥x prostranstvax vewestvenn¥x funkcyj n peremenn¥x, yspol\zovav ohrany-
çennost\ v πtyx prostranstvax operatora
A f t∗( ) = f s d
s
ti
i
i
∗
=
∞
∫ ( ) min
( )
( ),0 1
0
ϕ
ψ
, (2)
opredelennoho dlq kvazyvohnut¥x poloΩytel\n¥x funkcyj ψi t( ), ϕi t( ) , i =
= 0, 1. V rabote [6] yssledovan¥ kvazylynejn¥e operator¥ slaboho typa ( p0,
q0, p1, q1 ) pry 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞ , p0 < p1, q0 < q1, dlq kotor¥x maΩo-
rantn¥my qvlqgtsq operator¥
W f t∗( ) = t f s s ds t f s s dsq p
t
q p
t
m
m
1 1 1
0
1 1 10 0 1 1/ / / /( ) ( )∗ − ∗ −
∞
∫ ∫+ ,
m = (( ) ) (( ) )/q q p p p p q q1 0 0 1 1 0 0 1− − ,
otlyçagwyesq ot operatorov (1) tol\ko v sluçae p1 = ∞ , y dokazan¥ teorem¥
ynterpolqcyy dlq prostranstv Lorenca – Zyhmunda L L Rp q n, log ( )α , 0 < p, q ≤
∞ , – ∞ < α < ∞ . V nastoqwej stat\e dlq vohnut¥x yly v¥pukl¥x funkcyj
ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) rassmatryvagtsq kvazylynejn¥e operator¥ slaboho
typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , qvlqgwyesq analohamy operatorov, yzuçenn¥x v [1, 6], y
sovpadagwye s operatoramy, yssledovann¥my v rabotax [2 – 5], v sluçae, kohda
ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) — vohnut¥e y ϕ ( t ) ≠ ∞ . Dokazan¥ teorem¥ ynterpo-
lqcyy rassmatryvaem¥x operatorov v ydeal\n¥x kvazynormyrovann¥x prost-
ranstvax Lorenca. V kaçestve sledstvyj poluçen¥ teorem¥ ynterpolqcyy kva-
zylynejn¥x operatorov, ohranyçenn¥x yz par¥ prostranstv Lorenca Λϕ0
( )Rn ,
© B. Y. PELEÍENKO, 2005
1490 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1491
Λϕ1
( )Rn
v paru prostranstv Marcynkevyça M Rn
ψ0
( ), M Rn
ψ1
( ), hde ψi t( ) =
= t ti/ ( )ψ , i = 1, 2.
Oboznaçym çerez Φ obæedynenye mnoΩestva neprer¥vn¥x v¥pukl¥x yly
vohnut¥x vozrastagwyx na neohranyçennom promeΩutke [ 0, ∞ ) funkcyj ϕ ( t )
takyx, çto ϕ ( 0 ) = 0, ϕ ( 2t ) = O ( ϕ ( t ) ) , ϕ ( t ) → ∞ pry t → ∞ y funkcyy
sign t . Opredelym dlq poloΩytel\noj vsgdu koneçnoj funkcyy ϕ ( t ) na polu-
osy ( 0, ∞ ) funkcyg rastqΩenyq
M tϕ( ) = sup
( )
( )0< <∞s
st
s
ϕ
ϕ
, 0 < t < ∞ .
Pust\ S Rn( ) — prostranstvo yzmerym¥x po Lebehu na n-mernom evklydovom
prostranstve Rn
vewestvenn¥x funkcyj y f t∗( ) — nevozrastagwaq peresta-
novka modulq funkcyy f ∈ S Rn( ).
Dlq zadannoj na ( 0, ∞ ) poçty vsgdu poloΩytel\noj lokal\no yntehryrue-
moj funkcyy g ( t ) y 0 < p < ∞ vesovoe prostranstvo Lp g, ( , )0 ∞ opredelqetsq
kak mnoΩestvo yzmerym¥x na ( 0, ∞ ) vewestvenn¥x funkcyj s koneçnoj kvazy-
normoj ( 0 < p < 1 ) yly normoj ( 1 ≤ p < ∞ )
f p g, = f t g t dtp
p
( ) ( )
/
0
1∞
∫
.
Prostranstvo Lorenca Λϕ, ( )a
nR dlq zadannoj ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ y a8∈
∈ ( 0, ∞ ] sostoyt yz funkcyj f ( x ) ∈ S Rn( ), dlq kotor¥x koneçna kvazynorma
f
aΛϕ,
= ( )( ) ( )
/
f t d ta
a
∗∞
∫{ }ϕ
0
1
, esly ϕ ( t ) ≠ sign t, 0 < a < ∞ , y kvazynorma
sup ( ) ( )( )
t
f t t
>
∗
0
ϕ pry a = ∞ . Esly a = 1, to prostranstvo Λϕ, ( )1 Rn
budem obo-
znaçat\ Λϕ( )Rn . V sluçae, kohda ϕ ( t ) = t p1/ , 0 < p < ∞ , Λϕ( )Rn = L Rp n, ( )1
y ϕ ( t ) = sign t , poloΩym Λϕ( )Rn = L Rn
∞( ).
Analohyçno opredelqetsq prostranstvo Lorenca Λϕ, ( , )a 0 ∞ funkcyj, za-
dann¥x na poluosy ( 0, ∞ ) .
Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ) ∈ Φ takov¥, çto ϕ ( t ) ≠ ∞ y ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t voz-
rastaet na ( 0, ∞ ) . Prostranstvo Λ Λϕ ϕ0 1
( ) ( )R Rn n+ sostoyt yz funkcyj
f ( x ) ∈ S Rn( ), neub¥vagwye perestanovky modulej kotor¥x udovletvorqgt us-
lovyg
f t d t dt f t d t∗ ∗
∞
∫ ∫+( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ0
0
1
1
1
< ∞ .
Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y v¥polnqetsq uslovye sup ( )( ln )( )
0 1 0
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1. Obo-
znaçym çerez Λϕ0
1( ) ( ),R L Rn n+ ∞
prostranstvo funkcyj f ( x ) yz S Rn( ), dlq
kotor¥x koneçna summa yntehralov
f t d t dt f t t dt∗ ∗ −
∞
∫ ∫+( ) ( ) ( )ϕ0
0
1
1
1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1492 B. Y. PELEÍENKO
Opredelenye81 [4, c. 177]. Pust\ ϕ ( t ), ψ ( t ) ∈ Φ. Kvazylynejn¥j opera-
tor T naz¥vaetsq operatorom slaboho typa ( ϕ, ψ ) , esly suwestvuet ta-
koe çyslo C > 0, çto dlq lgboho t > > 0 y lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ( )Rn
v¥polnqetsq neravenstvo
( ) ( ) ( )Tf t t∗ ψ ≤ C f u d u∗
∞
∫ ( ) ( )ϕ
0
, esly ϕ ( t ) ≠ sign t,
y
( ) ( ) ( )Tf t t∗ ψ < C f L∞
, esly ϕ ( t ) = sign t .
Dalee budem predpolahat\, çto funkcyy ϕ0( )t , ϕ1( )t , ψ 0 ( t ), ψ1( )t ∈ Φ,
ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet na ( 0, ∞ ) , oblast\ znaçenyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) sovpadaet s
oblast\g znaçenyj ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) y m ( t ) — yzmerymoe poloΩytel\noe reßenye
uravnenyq
ϕ ϕ0 1( )/ ( )( ) ( )m t m t = ψ ψ0 1( ) ( )/t t . (3)
Opredelenye82. Kvazylynejn¥j operator T naz¥vaetsq operatorom sla-
boho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , esly najdetsq takoe C > 0, çto dlq vsex f ( x ) ∈
∈ Λ Λϕ ϕ0 1
( ) ( )R Rn n+ y t > 0 v¥polnqetsq neravenstvo
( ) ( )Tf t∗ ≤ C t f u d u t f u d u
m t
m t
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
ψ ϕ ψ ϕ0
1
0
0
1
1
1
− ∗ − ∗
∞
∫ ∫+
v sluçae ϕ1 ( t ) ≠ sign t, y dlq vsex Λϕ( )Rn = L Rp n, ( )1 , t > 0,
( ) ( )Tf t∗ ≤ C t f u d u t f u u du
m t
m t
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
ψ ϕ ψ0
1
0
0
1
1 1− ∗ − ∗ −
∞
∫ ∫+
,
esly ϕ1 ( t ) = sign t y sup ( )( ln )( )
0 1 0
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1.
Opredelym operator¥ usrednenyq sledugwym obrazom. Pust\ ϕ ( t ) ∈ Φ,
dlq lgboho t > 0 y lgboj neotrycatel\noj nevozrastagwej na ( 0, ∞ ) funk-
cyy g ( t ) polahaem
Aϕ g ( t ) = [ ( )] ( ) ( )ϕ ϕt g u d u
t
− ∫1
0
, ϕ ( t ) ≠ sign t ,
Bϕ g ( t ) =
[ ( )] ( ) ( ), ( ) ,
( ) , ( ) ,
ϕ ϕ ϕ
ϕ
t g u d u t t
g u u du t t
t
t
−
∞
−
∞
∫
∫
≠
=
1
1
sign
sign
Cϕ g ( t ) = [ ( )] sup ( ) ( )( )ϕ ϕt u g u
u t
−
< ≤
1
0
,
Dϕ g ( t ) = [ ( )] sup ( ) ( )( )ϕ ϕt u g u
t u
−
≤ <∞
1
.
2. Vesov¥e neravenstva Xardy. DokaΩem utverΩdenyq ob ohranyçennosty
operatorov Aϕ , Bϕ na konusax neotrycatel\n¥x nevozrastagwyx funkcyj ve-
sov¥x prostranstv Lp g, ( , )0 ∞ . Blyzkye k teme yssledovanyq provodylys\ v ra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1493
botax J. Berha, E. A. Mqsnykova, L. Persona, V. D. Stepanova, Í. Laq, V.8Y. Bu-
renkova, M. L. Hol\dmana (sm. byblyohrafyg v [7]).
Vnaçale ustanovym vspomohatel\noe neravenstvo dlq dvustoronnyx çyslo-
v¥x posledovatel\nostej.
Lemma. Pust\ a bi i, ≥ 0, i Z∈ , a ai i≥ +1 y b bi i≤ +1 ∀ ∈i Z ,
lim
i ia
→ +∞
= 0, lim
i ib
→ −∞
= 0. Esly pry q ∈ ( 0, ∞ ) r q d ( )b b ai
q
i
q
i
q
i
− −= −∞
∞∑ 1 sxo-
dytsq, to dlq lgboho r ∈ ( q, ∞ ) rqd ( )b b ai
r
i
r
i
r
i
− −= −∞
∞∑ 1 takΩe sxodytsq y
v¥polnqetsq neravenstvo
b b ai
r
i
r
i
r
i
r
−( )
−
= −∞
∞
∑ 1
1/
≤ b b ai
q
i
q
i
q
i
q
−( )
−
= −∞
∞
∑ 1
1/
.
Dokazatel\stvo. Pust\ vnaçale r = 1. Oboznaçym ∆ ak = ak – ak + 1 dlq
vsex k ∈ Z. Pust\ ∆ ∆a ak
i
k
( ) = , esly k ≥ i, y ∆ak
i( ) = 0 , esly k < i . Pry-
menqq neravenstvo Mynkovskoho s pokazatelem 1 1/q > y uçyt¥vaq, çto ai =
= ∆akk i=
∞∑ = ∆ak
i
k
( )
= −∞
∞∑ , poluçaem
k
k
i q
i
q
i
q
i
q
a b b
= −∞
∞
−
= −∞
∞
∑ ∑ ( ) −( )
∆ ( )
/
1
1
=
=
k
k
i q
i
q
i
q
i
q q q
a b b
= −∞
∞
−
= −∞
∞
∑ ∑ ( ) −( )
∆ ( )
/
/
1
1
1
≤
≤
i
k
i
k
q
i
q
i
q
q
a b b
= −∞
∞
= −∞
∞
−∑ ∑
−( )
∆ ( )
/
1
1
= a b bi
q
i
q
i
q
i
q
−( )
−
= −∞
∞
∑ 1
1/
.
Otmetym, çto sohlasno uslovyg lim
i ib
→ −∞
= 0, sledovatel\no, bk =
= b bi ii
k −( )−= −∞∑ 1 , bk
q = b bi
q
i
q
i
k −( )−= −∞∑ 1 y dlq kaΩdoho k ∈ Z spravedlyvo
ravenstvo
∆a b bk i i
i
k
−( )−
= −∞
∑ 1 = ∆a b bk
q
i
q
i
q
i
k q
( ) −( )
−
= −∞
∑ 1
1/
.
Summyruq po k y uçyt¥vaq opredelenyq çysel ∆ak
i( ) , ymeem
k
k
i
i i
i
a b b
= −∞
∞
−
= −∞
∞
∑ ∑ −[ ]∆ ( )
1 =
k
k
i q
i
q
i
q
i
q
a b b
= −∞
∞
−
= −∞
∞
∑ ∑ ( ) −( )
∆ ( )
/
1
1
.
Tohda, uçyt¥vaq ranee dokazannoe neravenstvo, poluçaem
i
i i ia b b
= −∞
∞
−∑ −[ ]1 =
i k i
k i ia b b
= −∞
∞
=
∞
−∑ ∑
−[ ]∆ 1 =
=
i k
k
i
i ia b b
= −∞
∞
= −∞
∞
−∑ ∑
−[ ]∆ ( )
1 =
k i
k
i
i ia b b
= −∞
∞
= −∞
∞
−∑ ∑ −[ ]∆ ( )
1 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1494 B. Y. PELEÍENKO
=
k
k
i q
i
q
i
q
i
q
a b b
= −∞
∞
−
= −∞
∞
∑ ∑ ( ) −[ ]
∆ ( )
/
1
1
≤ a b bi
q
i
q
i
q
i
q
−[ ]
−
= −∞
∞
∑ 1
1/
.
Esly r ≠ 1, to oboznaçym ã ai i
r= , b̃ bi i
r= y prymenym dokazannoe ne-
ravenstvo k posledovatel\nostqm { }ãi i Z∈ y { }b̃i i Z∈ s pokazatelem q / r < 1.
Tohda
a b bi
r
i
r
i
r
i
−( )−
= −∞
∞
∑ 1 = ˜ ˜ ˜a b bi i i
i
−( )−
= −∞
∞
∑ 1 ≤
i
i
q r
i
q r
i
q r
r q
a b b
= −∞
∞
−∑ −( )
˜ ˜ ˜/ / /
/
1 =
= a b bi
q
i
q
i
q
i
r q
−[ ]
−
= −∞
∞
∑ 1
/
.
Lemma dokazana.
Zameçanye. Poluçennoe çyslovoe neravenstvo obobwaet neravenstvo
i
n
i
r
i
r
i
r
r
b b a
=
−∑ −( )
1
1
1/
≤
i
n
i
q
i
q
i
q
q
b b a
=
−∑ −( )
1
1
1/
,
dokazannoe v [8, c. 218] pry uslovyy, çto a1 > a2 > … > an > 0, 0 = b1 <
< b2 < … < bn .
Teorema%1. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, funkcyy g1 ( t )
y g2 ( t ) — neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e na ( 0, ∞ ) y v¥polnq-
etsq uslovye [ ( )] ( )ϕ t g t dta−∞
∫ 11
< ∞ . Esly velyçyna
γ ϕ( , , , , )g g a b1 2 = sup
( ) ( ) [ ( )] ( )
( )
/
/
0
10 1
1
20
1< <∞
−∞
∫ ∫
∫
+{ }
{ }t
t a a
t
a
t b
g z dz t z g z dz
g z dz
ϕ ϕ
qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy
f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , )
2
0 ∞ s vesom g t2( ) v¥polnqetsq neravenstvo
0
1
1∞
∫ [ ]
( )( ) ( )
/
A f t g t dt
a
a
ϕ ≤ γ ϕ( , , , , ) ( ) ( )
/
g g a b f t g t dt
t
b
b
1 2
0
2
1
∫
.
Konstantu γ ϕ( , , , , )g g a b1 2 v neravenstve umen\ßyt\ nel\zq.
Dokazatel\stvo. Pust\ 0 < tk < tk + 1 < ∞ , k ∈ Z y lim
k kt→ −∞
= 0 , lim
k kt→∞
=
= ∞ . Dlq nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) rassmotrym stupen-
çatug maΩorantu
˜( )f t = f t tk t tk k k
( ) ( )[ , )χ
+= −∞
∞∑ 1
. Dlq lgboho t > 0 ymeem
0 ≤ ( )( )A f tϕ ≤ ( )˜ ( )A f tϕ ≤
k
k t tf t A t
k k
= −∞
∞
∑ +
( ) ( )[ , )ϕ χ
1
=
=
k
k t tf t A t A t
k k
= −∞
∞
∑ +
−[ ]( ) ( ) ( )( )[ , ) [ , )ϕ ϕχ χ0 01
.
Prymenqq lemmu, ocenyvaem poslednyj rqd:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1495
k
k t tf t A t A t
k k
= −∞
∞
∑ +
−[ ]( ) ( ) ( )( )[ , ) [ , )ϕ ϕχ χ0 01
≤
≤
k
a
k t
a
t
a
a
f t A t A t
k k
= −∞
∞
∑ +
−[ ]
( ) ( ) ( )( ) ( )[ , ) [ , )
/
ϕ ϕχ χ0 0
1
1
.
Tohda
A f
La g
ϕ
, 1
≤
k
a
k t L
a
t L
a
a
f t A A
k a g k a g= −∞
∞
∑ +
−
( ) [ , ) [ , )
/
, ,
ϕ ϕχ χ0 0
1
1
1 1
y sohlasno lemme pravaq çast\ poluçennoho neravenstva ne prev¥ßaet
k
b
k t L
b
t L
b
b
f t A A
k a g k a g= −∞
∞
∑ +
−
( ) [ , ) [ , )
/
, ,
ϕ ϕχ χ0 0
1
1
1 1
.
Dalee, prymenqq preobrazovanye Abelq, poluçaem
A f
La g
ϕ
, 1
≤
k
b
k t L
b
t L
b
b
f t A A
k a g k a g= −∞
∞
∑ +
−
( ) [ , ) [ , )
/
, ,
ϕ ϕχ χ0 0
1
1
1 1
≤
≤
k
b
k
b
k t L
b
b
f t f t A
k a g= −∞
∞
+∑ −[ ]
+
( ) ( ) [ , )
/
,
1 0
1
1
1
ϕ χ ≤
≤ sup ( ) ( ) ( )
[ , )
[ , )
/
,
,
0
0
0
1
0
2
1
1
2
1
< <∞ = −∞
∞
+∑ ∫−[ ]
+
t
t L
t L k
b
k
b
k
t bA
f t f t g t dta g
b g
kϕ χ
χ
=
= γ ϕ χ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )( , )
/
g g a b f t f t t g t dt
k
b
k
b
k t
b
k1 2
0
1 0 2
1
1
= −∞
∞ ∞
+∑ ∫ −[ ]
+
=
= γ ϕ χ( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )( , )
/
g g a b f t f t t g t dt
k
b
k
b
k t
b
k1 2
0
1 0 2
1
1
∞
= −∞
∞
+∫ ∑ −[ ]
+
.
Snova prymenqq preobrazovanye Abelq, ymeem
k
b
k
b
k tf t f t t g t dt
k
= −∞
∞
+∑ −[ ]
+
( ) ( ) ( ) ( )( , )1 0 21
χ =
=
k
b
k t tf t t g t dt
k k
= −∞
∞
∑ +
( ) ( ) ( )[ , )χ
1 2 ,
sledovatel\no,
A f
La g
ϕ
, 1
≤ γ ϕ( , , , , ) ˜
,
g g a b f
Lb g
1 2
2
. (4)
Teper\ postroym pry kaΩdom n ∈ N takye posledovatel\nosty { }( )ti
n
i Z∈ ,
çtob¥ funkcyy
˜ ( )f tn =
k
k
n
t t
f t t
k
n
k
n
= −∞
∞
∑
+
( )( )
[ , )( ) ( ) ( )χ
1
=
k
k
n
k
n
t
f t f t t
k
n
= −∞
∞
−∑ −[ ]( ) ( )( ) ( )
( , )( ) ( )1 0
χ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1496 B. Y. PELEÍENKO
obrazov¥valy nevozrastagwug posledovatel\nost\ y sxodylys\ vsgdu k f ( x ) .
Tohda sohlasno teoreme Levy lim ˜
,n n L
f
b g→∞ 2
= f Lb g, 2
, y yz neravenstva (4) po-
luçaem
A f
La g
ϕ
, 1
≤ γ ϕ( , , , , )
,
g g a b f Lb g1 2
2
.
Pust\ G — mnoΩestvo neotrycatel\n¥x nevozrastagwyx na poluosy ( 0, ∞ )
funkcyj. Yz neravenstva sleduet ocenka
A
G L Lb g a g
ϕ ∩ , ,2 1
→
=
sup
,
,
,
,f G L f
L
Lb g
a g
a g
A f
f∈ ≠∩
2
1
2
0
ϕ
≤
≤ sup ( )( , ]
/
,0
0
0
2
1
1< <∞
−
∫
t
t L
t b
A g z dz
a g
ϕ χ .
Obratnoe neravenstvo v¥tekaet yz prynadleΩnosty funkcyj χ( , ]( )0 t z pry
lgbom t > 0 mnoΩestvu G La g∩ , 2
.
Teorema dokazana.
Sledstvye%1. Pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥81 v sluçae ϕ ( t ) = t d l q
lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )
2
0 ∞ ymeet mesto neravenstvo s toçnoj kon-
stantoj
0
1
0
1
1
∞
−∫ ∫
t f z dz g t dt
t a a
( ) ( )
/
≤ 1 1 2
0
2
1
+[ ]
∞
∫γ ( , , , ) ( ) ( )
/
g g a b f t g t dtb
b
,
hde
γ ( , , , )g g a b1 2 = sup
( ) ( )
( )
/
/
0
10 1
1
20
1< <∞
−∞
∫ ∫
∫
+
t
t a a
t
a
t b
g z dz t z g z dz
g z dz
.
Teorema%2. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g1 ( t ), g2 ( t ) —
neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e funkcyy na ( 0, ∞ ) y v¥polnqetsq
uslovye ϕ( ) ( )t g t dta−∫ 10
1
< ∞ . Esly velyçyna
δ ϕ( , , , , )g g a b1 2 = sup
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/
/
0
10
1
20
1< <∞
−−[ ] [ ]
∫
∫t
a at a
t b
t z z g z dz
g z dz
ϕ ϕ ϕ
qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy
f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , )
2
0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo
0
1
1∞
∫ [ ]
( )( ) ( )
/
B f t g t dt
a
a
ϕ ≤ δ ϕ( , , , , ) ( ) ( )
/
g g a b f t g t dtb
b
1 2
0
2
1∞
∫
.
Konstanta δ ϕ( , , , , )g g a b1 2 v neravenstve ne moΩet b¥t\ umen\ßena.
Dokazatel\stvo. Povtorqq rassuΩdenyq, analohyçn¥e yspol\zovann¥m
pry dokazatel\stve teorem¥81, pryxodym k zadaçe opredelenyq velyçyn¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1497
B
G L Lb g a g
ϕ ∩ , ,2 1
→
=
sup
,
,
,
,f G L f
L
La g
a g
a g
B f
f∈ ≠∩
2
1
2
0
ϕ
=
= sup ( )[ , ]
/
,0
0
0
2
1
1< <∞
−
∫
t
t L
t b
B g z dz
a g
ϕ χ .
Dlq z, t ∈ ( 0, ∞ ) poluçaem ( )[ , ] ( )B ztϕ χ 0 = ϕ ϕ( ) ( )/t z − 1, esly z < t , y
( )[ , ] ( )B ztϕ χ 0 = 0 — v protyvnom sluçae. Tohda
B t La g
ϕ χ[ , ]
,
0
1
=
0
1
1
1
t a a
t
z
g z dz∫ −
ϕ
ϕ
( )
( )
( )
/
y, sledovatel\no, ymeem
B
G L Lb g a g
ϕ ∩ , ,2 1
→
= sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/ /
0 0
1
1
0
2
1
< <∞
−
−
∫ ∫−[ ] [ ]
t
t
a a
a t b
t z z g z dz g z dzϕ ϕ ϕ .
Sohlasno uslovyg teorem¥ πta velyçyna koneçna, y teorema dokazana.
Sledstvye%2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq teorem¥82 v sluçae ϕ ( t ) = t .
Tohda dlq lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )
2
0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo s
toçnoj konstantoj
0
1
1
1
∞
−
∞
∫ ∫
t f z dz g t dt
t
a a
( ) ( )
/
≤ β( , , , ) [ ( )] ( )
/
g g a b f z g z dz
t
b
b
1 2
0
2
1
∫
,
hde
δ ( , , , )g g a b1 2 = sup ( ) ( )
/ /
0 0
1
1
0
2
1
< <∞
−
−
∫ ∫−[ ]
t
t
a a
a t b
t z z g z dz g z dz .
Teorema%3. Pust\ 0 < b ≤ a ≤ 1, ϕ ( t ) = sign t, funkcyy g1 ( t ), g2 ( t ) —
neotrycatel\n¥e lokal\no yntehryruem¥e funkcyy na poluosy ( 0, ∞ ) y
ln ( )a t
z
g z dz10
1
∫ < ∞ . Esly velyçyna
η( , , , )g g a b1 2 = sup ln ( ) ( )
/ /
0 0
1
1
0
2
1
< <∞
−
∫ ∫
t
t a a t b
t
z
g z dz g z dz
qvlqetsq koneçnoj, to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy
f ( t ) yz prostranstva Lb g, ( , )
2
0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo s toçnoj kon-
stantoj
0
1
1∞
∫ [ ]
( )( ) ( )
/
B f t g t dt
a
a
ϕ ≤ η( , , , ) ( ) ( )
/
g g a b f t g t dtb
b
1 2
0
2
1∞
∫
.
Dokazatel\stvo. Povtorqq rassuΩdenyq po sxeme dokazatel\stva teore-
m¥81, pryxodym k opredelenyg velyçyn¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1498 B. Y. PELEÍENKO
B
G L Lb g a g
sign ∩ , ,2 1
→
= sup ( )[ , ]
/
,0
0
0
2
1
1< <∞
−
∫
t
t L
t b
B g z dz
a g
sign χ .
Funkcyq ( )[ , ] ( )B ztsign χ 0 = ln t / z, esly 0 < z < t , y ( )[ , ] ( )B ztsign χ 0 = 0 v
sluçae 0 < t < z . Tohda
B t La g
sign χ[ , ]
,
0
1
=
0
1
1t a a
t
z
g z dz∫
ln ( )
/
y, sledovatel\no,
B
G L Lb g a g
sign ∩ , ,2 1
→
= sup ln ( ) ( )
/ /
0 0
1
1
0
2
1
< <∞
−
∫ ∫
t
t a a t b
t
z
g z dz g z dz .
Sohlasno uslovyg poluçennaq velyçyna koneçna, y teorema dokazana.
PredloΩenye%1. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g ( t ) — poçty
vsgdu poloΩytel\naq na poluosy ( 0, ∞ ) funkcyq, yntehryruemaq na lgbom
koneçnom otrezke [ 0, t ], t > 0, y G ( t ) = g z dz( )
0
1
∫ . Esly funkcyy rastq-
Ωenyq Mϕ , MG udovletvorqgt uslovyg
θ ( ϕ, g, a ) = M z dM zG
a1 1
0
1
/ ( ) ( )−∫ ϕ < ∞ ,
to dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz prostran-
stva La g, ( , )0 ∞ ymeet mesto neravenstvo
0
1∞
∫ [ ]
( )( ) ( )
/
A f t g t dt
a
a
ϕ ≤ θ ϕ( , , ) ( ) ( )
/
g a f t g t dta
a
0
1∞
∫
.
Dokazatel\stvo. Pust\ a ∈ [ 1, ∞ ) . Uçyt¥vaq neravenstvo
g sz z ds
t
( )− −∫ 1 1
0
= g u du
tz
( )
0
1−
∫ =
G tz
G t
g u du
t( )
( )
( )
−
∫
1
0
≤ M z g u duG
t
( ) ( )− ∫1
0
,
s pomow\g lemm¥818 yz [4] dlq lgboj funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )0 ∞ poluçaem
ocenku
0
1
1∞
∫ [ ]
g t f zt dta a
a
/
/
( ) ( ) =
0
1 1
1∞
− −∫ [ ]
f s g sz z dsa
a
( ) ( )
/
≤
≤ M z f s g s dsG
a
a
( ) ( ) ( )
/
−
∞
[ ]
∫1
0
1
. (5)
Dalee, prymenqq neravenstvo Mynkovskoho [9, c. 572] v sluçae a > 1 yly teo-
remu Fubyny [9, c. 208] v sluçae a = 1 y ocenku (5), ymeem
0
1
0
1
1
∞
∫ ∫
g t f zt dM z dta
a a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ ≤
0
1
0
1
1
∫ ∫
∞
[ ]
g t f zt dt dM za a
a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ ≤
≤
0
1
1 1∫ −M z dM z fG
a
La g
/ ( ) ( )
,ϕ . (6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1499
Tohda yz ocenky (6) sleduet neravenstvo
0
1
0
1
∞
−∫ ∫
g t f z d z t dta
t a
a
a
/
/
( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤
≤
0
1
0
1
1
∞
∫ ∫
g t f st d
st
t
dta
a a
/
/
( ) ( )
( )
( )
ϕ
ϕ
≤
0
1
0
1
1
∞
∫ ∫
g t f st dM s dta
a a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ ≤
≤
0
1
1 1∫ −M z dM z fG
a
La g
/ ( ) ( )
,ϕ .
PredloΩenye dokazano.
PredloΩenye%2. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , ϕ ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, g ( t ) — takaq
poçty vsgdu poloΩytel\naq funkcyq na poluosy ( 0, ∞ ) , ç t o G ( t ) =
= g z dz
t
( )
0∫ < ∞ dlq lgboho t > 0 y v¥polneno uslovye
λ ( ϕ, g, a ) =
1
1 1
∞
−∫ M z dM zG
a/ ( ) ( )ϕ < ∞ .
Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro-
stranstva La g, ( , )0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo
0
1
∞
−
∞
∫ ∫
ϕ ϕa
t
a a
t f z d z g t dt( ) ( ) ( ) ( )
/
≤ λ ϕ( , , ) ( ) ( )
/
g a f t g t dta
a
[ ]
∞
∫
0
1
. (7)
Dokazatel\stvo. Dlq nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) ∈
∈ La g, ( , )0 ∞ poluçaem
0
1
∞ ∞
−∫ ∫
f z d z t g t dt
t
a
a
a
( ) ( ) ( ) ( )
/
ϕ ϕ =
0 1
1
∞ ∞
∫ ∫
f zt d
zt
z
g t dt
a a
( )
( )
( )
( )
/
ϕ
ϕ
≤
≤
0
1
1
1
∞ ∞
∫ ∫
g t f zt dM z dta
a a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ .
Prymenqq neravenstvo Mynkovskoho pry a > 1 yly teoremu Fubyny v sluçae
a = 1, ymeem
0
1
1
1
∞ ∞
∫ ∫
g t f zt dM z dta
a a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ ≤
1 0
1
1∞ ∞
∫ ∫ [ ]
g t f zt dt dM za a
a
/
/
( ) ( ) ( )ϕ .
Dalee, ocenyvaq yntehral v pravoj çasty πtoho neravenstva s pomow\g (6) y
uçyt¥vaq (7), poluçaem predloΩenye82.
PredloΩenye%3. Pust\ 1 ≤ a < ∞ , g ( t ) — takaq poçty vsgdu poloΩy-
tel\naq funkcyq na poluosy ( 0, ∞ ) , çto G ( t ) = g z dz
t
( )
0∫ < ∞ suwestvuet
dlq lgboho t > 0 y v¥polneno uslovye
µ ( g, a ) =
1
1 1 1
∞
− −∫ M z z dzG
a/ ( ) < ∞ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1500 B. Y. PELEÍENKO
Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro-
stranstva La g, ( , )0 ∞ v¥polnqetsq neravenstvo
0
1
1
∞
−
∞
∫ ∫
f z z dz g t dt
t
a a
( ) ( )
/
≤ µ ( , ) ( ) ( )
/
g a f t g t dta
a
[ ]
∞
∫
0
1
. (8)
Dokazatel\stvo. Dlq funkcyy f ( t ) ∈ G La g∩ , ( , )0 ∞ ymeem
0
1
1
∞
−
∞
∫ ∫
f z z dz g t dt
t
a a
( ) ( )
/
=
0
1
1
1
∞ ∞
∫ ∫
g t f zt
dz
z
dta
a a
/
/
( ) ( ) .
Yz teorem¥ Mynkovskoho pry a > 1 yly teorem¥ Fubyny v sluçae a = 1 sle-
duet
0
1 1
1
1
∞
−
∞
∫ ∫
g t f zt z dz dta
a a
/
/
( ) ( ) ≤
1 0
1
1
1
∞ ∞
−∫ ∫ [ ]
g t f zt dt z dza a
a
/
/
( ) ( ) .
Dalee, ocenyvaq yntehral v pravoj çasty πtoho neravenstva s pomow\g (6), po-
luçaem trebuemoe neravenstvo (8).
PredloΩenye%4. Pust\ ϕ ( t ) , g ( t ) ∈ Φ, ϕ ( t ) ≠ sign t, y funkcyy rastqΩe-
nyq Mg , Mϕ udovletvorqgt uslovyg
ν ( ϕ, g ) =
0
1
1∫ −M s dM zg( ) ( )ϕ < ∞ .
Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro-
stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 v¥polnqetsq neravenstvo
sup ( ) ( )
0< <∞
( )
t
A f t g tϕ ≤ ν ϕ( , ) sup ( ) ( )g f t g t
t0< <∞
( ) .
Dokazatel\stvo predloΩenyq84 poluçaem yz sledugwej ocenky:
sup ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
0< <∞
−[ ]
∫
t
t
g t t f z d zϕ ϕ = sup ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
0
1
< <∞
−[ ]
∫
t
g t t f st d stϕ ϕ ≤
≤ sup ( ) ( ) ( )
0 0
1
< <∞
∫
t
g t f st dM sϕ ≤
0
1
1
0
∫ −
< <∞
( )M s dM s g st f stg
st
( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ .
PredloΩenye%5. Pust\ funkcyy ϕ ( t ) , g ( t ) yz mnoΩestva Φ takye, çto
ϕ ( t ) ≠ sign t y
ξ ( ϕ, g ) =
0
1
1∫ −M s dM sg( ) ( )ϕ < ∞ .
Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro-
stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 v¥polnqetsq neravenstvo
sup ( ) ( )
0< <∞
( )
t
B f t g tϕ ≤ ξ ϕ( , ) sup ( ) ( )g f t g t
t0< <∞
( ) .
Dokazatel\stvo sleduet yz ocenky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1501
sup ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
< <∞
−
∞
[ ]
∫
t t
g t t f z d zϕ ϕ = sup ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
1< <∞
−
∞
[ ]
∫
t
g t t f st d stϕ ϕ ≤
≤
1
1
0
∞
−
< <∞
∫ ( )M s dM s g st f stg
st
( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ .
PredloΩenye%6. Pust\ funkcyq g ( t ) yz mnoΩestva Φ udovletvorqet
uslovyg
σ ( g ) =
1
1 1
∞
− −∫ M s s dsg( ) < ∞ .
Tohda dlq lgboj nevozrastagwej neotrycatel\noj funkcyy f ( t ) yz pro-
stranstva Λg, ( , )∞ ∞0 ymeet mesto neravenstvo
sup ( ) ( )
0< <∞
( )
t
B f t g tsign ≤ σ ( ) sup ( ) ( )g f t g t
t0< <∞
( ) .
Dokazatel\stvo sleduet yz ocenky
sup ( ) ( )
0
1
< <∞
∞
−∫
t t
g t f s s ds = sup ( ) ( )
0 1
1
< <∞
∞
−∫
t
g t f st s ds ≤
≤
1
1
0
∞
−
< <∞
∫ ( )M s dM s g st f stg
st
( ) ( ) sup ( ) ( )ϕ .
Dalee yspol\zuetsq sledugwaq teorema ob operatorax slaboho typa ( ϕ0, ψ0,
ϕ1, ψ1 ) , dokazannaq v [10].
Teorema%A. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ
udovletvorqgt uslovyqm: ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet na ( 0, ∞ ) , oblasty znaçe-
nyj ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t y ψ ψ0 1( ) ( )/t t sovvpadagt y esly ϕ1 ( t ) = sign t, to v¥polnq-
etsq neravenstvo sup ( )( ln )( )
0 1 0
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1; funkcyq m ( t ) opredelqetsq
yz sootnoßenyq (3). Dlq toho çtob¥ operator T b¥l slaboho typa ( ϕ0, ψ0,
ϕ1, ψ 1 ) , neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈
∈ Λ Λϕ ϕ0 1
( ) ( )R Rn n+ , esly ϕ 1 ( t ) ≠ sign t, yly dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈
∈ Λϕ0
1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ , esly ϕ1 ( t ) = sign t, y lgboho t > 0 v¥polnqlys\ nera-
venstva
ψ ψ ψ0 0 1
( ) ( ) ( )t C D Tf t+[ ]( )∗ ≤ C m t A B f m tϕ ϕ ϕ0 0 1
( ) ( )( ) ( )+[ ]( )∗ (9)
v sluçae, kohda funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, y
ψ ψ ψ0 1 0
( ) ( ) ( )t C D Tf t+[ ]( )∗ ≤ C m t A B f m tϕ ϕ ϕ0 0 1
( ) ( )( ) ( )+[ ]( )∗ (10)
v sluçae, kohda funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t ub¥vaet.
3. Teorem¥ ynterpolqcyy. Sformulyruem y dokaΩem osnovn¥e utverΩ-
denyq rabot¥. Napomnym, çto m ( t ) — reßenye uravnenyq (3). V sluçae, kohda
funkcyq ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, a funkcyq ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet yly ub¥va-
et, m ( t ) sootvetstvenno vozrastaet yly ub¥vaet na yntervale ( 0, ∞ ) . Krome
toho, poskol\ku funkcyy yz mnoΩestva Φ poloΩytel\n¥ y neprer¥vn¥ na ( 0,
∞ ) , to y m ( t ) — poloΩytel\naq y neprer¥vnaq funkcyq. Sledovatel\no, su-
westvuet obratnaq k nej poloΩytel\naq neprer¥vnaq vozrastagwaq yly ub¥-
vagwaq funkcyq m t−1( ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1502 B. Y. PELEÍENKO
Teorema%4. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ
takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t vozrastaet, ψ ψ0 1( ) ( )/t t vozrastaet
yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t y ψ ψ0 1( ) ( )/t t sovpada-
gt. Esly dlq funkcyj ψ ( t ) , ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry nekotor¥x a , b 8∈
∈ ( 0, 1 ] , a < b, v¥polnqgtsq uslovyq
M z dM z M z dM z
a a
ϕ ψ ϕ ψ1 0
1
0
1
1
1
1( ) ( )( ) ( )− −
∞
−[ ] +∫ ∫ < ∞ ,
(11)
sup ( ) ( )/ /
0
1 1
< <∞
−( )
t
a bt tψ ϕ < ∞
y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet
takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR v¥polnqet-
sq neravenstvo
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )
∫ ≤ C f t d t
b
b
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Dokazatel\stvo. Vnaçale otmetym, çto yz uslovyj (11) sleduet koneç-
nost\ velyçyn¥
sup
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ] [ ] [ ]
/
/
0
1 1 10 0 0
1
1< <∞
− −∞
− +{ }
[ ]
∫ ∫
t
a at a a
t
a
b
t z z d z t z d z
t
ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ψ
ϕ
,
t. e. v¥polnen¥ uslovye teorem¥81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ′ψ ( )t , ′ϕ ( )t y uslovye
teorem¥82 dlq funkcyj ϕ1 ( t ), ′ψ ( )t , ′ϕ ( )t . Tohda dlq proyzvol\noj funkcyy
f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR yz teorem81 y 2 sleduet neravenstvo
A B f t t dt
a
a
ϕ ϕ ψ
0 1
0
1
+[ ]( ) ′
∗
∞
∫ ( ) ( )
/
≤ M f t t dt
b
b
∗
∞
( ) ′
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
. (12)
Yz suwestvovanyq yntehrala, soderΩawehosq v pravoj çasty neravenstva, sle-
duet suwestvovanye yntehrala v levoj çasty neravenstva. Tohda pod¥ntehral\-
noe v¥raΩenye y funkcyy ( ) ( ) ( )A f t tϕ ψ
0
∗ ′ , ( ) ( ) ( )B f t tϕ ψ
1
∗ ′ koneçn¥ poçty dlq
vsex t ∈ ( 0, ∞ ) . Uçyt¥vaq, çto ′ψ ( )t > 0 poçty dlq vsex t, poluçaem, çto
yntehral¥ f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00
1
y f z d z∗∞
∫ ( ) ( )ϕ11
suwestvugt y f ( z ) ∈ Λϕ0
( )Rn +
+ Λϕ1
( )Rn .
Pust\ T — operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) . Sohlasno teoreme8A dlq
lgboj funkcyy f ( z ) ∈ Λ Λϕ ϕ0 1
( ) ( )R Rn n+ v¥polnqetsq lybo neravenstvo (9),
lybo neravenstvo (10). Poskol\ku
( ) ( )Tf t∗ ≤ C Tf t
iψ ( ) ( )∗ y ( ) ( )Tf t∗ ≤ D Tf t
iψ ( ) ( )∗ , i = 1, 2, dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) ,
poluçaem
ψ ϕ0 0
1( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]t m t Tf t− ∗ ≤ C A B f m tϕ ϕ0 1
+[ ] ∗( )( ) (13)
dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR . Tak kak ϕ ϕ0 1( ) ( )/t t , ψ ψ0 1( ) ( )/t t — ne-
prer¥vn¥e stroho monotonn¥e funkcyy na poluosy ( 0, ∞ ) , funkcyq m ( t )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1503
takΩe neprer¥vnaq stroho monotonnaq. Sledovatel\no, suwestvuet obratnaq k
nej neprer¥vnaq stroho monotonnaq funkcyq m t−1( ). Perepyßem neravenstvo
(13) v vyde
ψ ϕ0
1
0
1 1( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t− − ∗ − ≤ C A B f tϕ ϕ0 1
+[ ] ∗( ).
Otsgda
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t
a− − ∗ −
∞
[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a
ϕ ϕ ψ
0 1
0
+( )[ ]∗
∞
∫ ( ) ( ).
Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ vospol\zuemsq neravenstvom (12).
Tohda dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR ymeem
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
[ ]
∫ ≤ C f t d t
b
b
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Teorema dokazana.
Sledstvye%3. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ
takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet, ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrasta-
et yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) y ψ 0 ( t ) / ψ1 ( t ) sov-
padagt. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz Φ pry a ∈ ( 0, 1 ] udovletvorqet uslovyg
M t dM t M t dM t
a a
ϕ ϕ ϕ ϕ1 0
1
0
1
1
1
1( ) ( )( ) ( )− −
∞
−[ ] +∫ ∫ < ∞
y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet
takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR v¥polnqet-
sq neravenstvo
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )
∫ ≤ C f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Teorema%5. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz
mnoΩestva Φ takov¥, çto v¥polneno neravenstvo sup ( )( ln )( )
0 1
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1,
funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee mnoΩestvu znaçenyj pry-
nadleΩyt ynterval ( 0, ∞ ) . Esly funkcyy ϕ ( t ), ψ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry
nekotor¥x a, b ∈ ( 0, 1 ] , a < b, udovletvorqgt uslovyqm
ln ( ) ( )( )a a
t
dM M dM
0
1
1
1
1
0∫ ∫+ −
∞
ψ ϕ ψτ τ τ < ∞ ,
(14)
sup ( ) ( )/ /
0
1 1
< <∞
−( )
t
a bt tψ ϕ < ∞
y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet
takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ∈ Λϕ, ( )b
nR v¥polnqetsq
neravenstvo
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )
∫ ≤ C f t d t
b
b
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1504 B. Y. PELEÍENKO
Dokazatel\stvo. Yz uslovyj (14) poluçaem koneçnost\ velyçyn¥
sup
ln ( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
/
/
0
0 0 0
1
1< <∞
−∞
+
[ ]
∫ ∫
t
at a a
t
a
b
t
z
d z t z d z
t
ψ ϕ ϕ ψ
ϕ
,
otkuda sleduet v¥polnenye uslovyq teorem¥81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ), ψ′ ( t )
y uslovyq teorem¥83 dlq funkcyj ϕ′ ( t ), ψ′ ( t ) . Tohda yz teorem81 y 3 sleduet
neravenstvo (12) dlq proyzvol\noj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR .
Yz suwestvovanyq yntehrala, soderΩawehosq v pravoj çasty (12), v¥tekaet
suwestvovanye yntehrala v levoj çasty y koneçnost\ poçty dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ )
funkcyj ( ) ( )A f tϕ0
∗
y ( ) ( )B f tϕ1
∗ . Sledovatel\no, f ( x ) ∈ Λϕ0
1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ .
Pust\ T — operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) . Prymenqq teoremu8A dlq
lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ0
1( ) ( ),R L Rn n+ ∞
y uçyt¥vaq neravenstva
( ) ( )Tf t∗ ≤ C Tf t
iψ ( ) ( )∗ y ( ) ( )Tf t∗ ≤ D Tf t
iψ ( ) ( )∗ , i = 1, 2,
poluçaem dlq vsex t ∈ ( 0, ∞ ) y dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR ocenku
ψ ϕ0 0
1( ) ( ( )) ( ) ( )[ ]t m t Tf t− ∗ ≤ C A B f m tϕ ϕ0 1
+[ ] ∗( )( ) . (15)
Kak otmeçalos\ pry dokazatel\stve teorem¥84, yz uslovyq teorem¥85
v¥tekaet, çto funkcyq m ( t ) neprer¥vnaq stroho monotonnaq y,
sledovatel\no, suwestvuet obratnaq k nej neprer¥vnaq stroho monotonnaq
funkcyq m t−1( ). Perepyßem (15) v vyde
ψ ϕ0
1
0
1 1( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t− − ∗ − ≤ C A B f tϕ ϕ0 1
+[ ] ∗( ).
Otsgda poluçaem
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t
a− − ∗ −
∞
( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a
ϕ ϕ ψ
0 1
0
+( )[ ]∗
∞
∫ ( ) ( ).
Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ vospol\zuemsq neravenstvom (12). Toh-
da dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )b
nR ymeem
ψ ϕ ψ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
[ ]
∫ ≤ C f t d t
b
b
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Teorema dokazana.
Sledstvye%4. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) y z
mnoΩestva Φ takov¥, çto v¥polneno neravenstvo sup ( )( ln )
0 1 0
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1,
funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee mnoΩestvu znaçenyj pry-
nadleΩyt ynterval ( 0, ∞ ) . Esly funkcyq ϕ ( t ) ∈ Φ y pry a ∈ ( 0, 1 ] udov-
letvorqet uslovyg
ln ( ) ( )( )1
0
1
1
1
0u
dM u M u dM u
a
a
+∫ ∫ −
∞
ϕ ϕ ϕ < ∞
y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet
takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR v¥polnqet-
sq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1505
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )
∫ ≤ C f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Teorema%6. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ0 ( t ), ψ1 ( t ) yz mnoΩestva Φ
takov¥, çto ϕ1 ( t ) ≠ sign t, ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) vozrastaet y ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozras-
taet yly ub¥vaet, oblasty znaçenyj funkcyj ϕ0 ( t ) / ϕ1 ( t ) y ψ 0 ( t ) / ψ1 ( t )
sovpadagt. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ takova, çto dlq nekotoro-
ho a ∈ [ 1, ∞ ) udovletvorqet uslovyg
M u d M u M u d M u
a a
ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( )
/ /
( ) ( )− −
∞
[ ] + [ ]∫ ∫1 1
0
1
1 1
1
0 1
< ∞ , (16)
y T — kvazylynejn¥j operator slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvu-
et takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR v¥pol-
nqetsq neravenstvo
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )[ ]
∫ ≤ C f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Dokazatel\stvo provodytsq po sxeme, analohyçnoj dokazatel\stvu teore-
m¥84. Vnaçale dokaz¥vaem, çto yz uslovyq (16) y absolgtnoj neprer¥vnosty
funkcyy ϕ ( t ) ( ≠ sign t ) na kaΩdom koneçnom otrezke [ 0, t ] ∈ [ 0, ∞ ) sledugt
uslovyq predloΩenyq81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ) y uslovyq predloΩenyq82
dlq funkcyj ϕ1 ( t ), ϕ ′ ( t ). Zatem, prymenqq πty predloΩenyq, poluçaem
neravenstvo
A B f t d t
a
a
ϕ ϕ ϕ
0 1
0
1
+[ ]( )
∗
∞
∫ ( ) ( )
/
≤ M f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
, (17)
yz kotoroho sleduet koneçnost\ yntehralov f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00
1
, f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ10
1
dlq
lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR . Tohda funkcyq f ( x ) ∈ Λ Λϕ ϕ0 1
( ) ( )R Rn n+ .
Dalee, yz uslovyq teorem¥ ob operatore T y teorem¥8A poluçaem neravenstvo
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t
a− − ∗ −
∞
( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a
ϕ ϕ ϕ
0 1
0
+[ ]( )∗
∞
∫ ( ) ( ).
Prymenqq dlq ocenky yntehrala v pravoj çasty poluçennoe neravenstvo (17),
zaverßaem dokazatel\stvo teorem¥.
Teorema%7. Pust\ ϕ1 ( t ) = sign t, y funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) yz
mnoΩestva Φ takov¥, çto ϕ 0 ( t ) ≠ sign t, v¥polneno neravenstvo
sup ( )( ln )
0 1 0
1
< <
−
u
M u uϕ ≤ 1, funkcyq ψ0 ( t ) / ψ1 ( t ) vozrastaet yly ub¥vaet y ee
mnoΩestvo znaçenyj est\ ( 0, ∞ ) . Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ pry
a ∈ [ 1, ∞ ) udovletvorqet uslovyg
M u d M u M u u du
a a
ϕ ϕ ϕ( ) ( )
/ /( )− −
∞
−[ ] +∫ ∫1 1
0
1
1 1
1
1
0
< ∞ (18)
y kvazylynejn¥j operator T slaboho typa ( ϕ0, ψ0, ϕ1, ψ1 ) , to suwestvuet
takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR v¥polnqet-
sq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1506 B. Y. PELEÍENKO
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
1
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
m t t Tf m t d t
a
a
− − ∗ −
∞
( )
∫ ≤ C f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
.
Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno dokazatel\stvu teorem¥85. Vna-
çale dokaz¥vaem, çto yz uslovyq (18) y absolgtnoj neprer¥vnosty funkcyy
ϕ ( t ) ( ≠ sign t ) na kaΩdom koneçnom otrezke [ 0, t ] ∈ [ 0, ∞ ) sledugt uslovyq
predloΩenyq81 dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ϕ′ ( t ) y uslovye predloΩenyq83 dlq funk-
cyy ϕ′ ( t ) . Zatem s pomow\g predloΩenyj 1,83 poluçaem neravenstvo
A B f t d t
a
a
ϕ ϕ ϕ
0 1
0
1
+[ ]( )
∗
∞
∫ ( ) ( )
/
≤ M f t d t
a
a
∗
∞
( )
∫ ( ) ( )
/
ϕ
0
1
, (19)
yz kotoroho sleduet koneçnost\ yntehralov f z d z∗∫ ( ) ( )ϕ00
1
, f z z dz∗ −∫ ( ) 1
0
1
dlq
lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )a
nR . ∏to oznaçaet, çto f ( x ) ∈ Λϕ0
1( ) ( ),R L Rn n+ ∞ .
Dalee yz uslovyq teorem¥, naklad¥vaemoho na operator T, y teorem¥8A polu-
çaem neravenstvo
ψ ϕ ϕ0
1
0
1 1
0
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t t Tf m t d t
a− − ∗ −
∞
( )[ ]∫ ≤ C A B f t d ta a
ϕ ϕ ϕ
0 1
0
+[ ]( )∗
∞
∫ ( ) ( ).
Prymenqq dlq ocenky yntehrala v pravoj çasty neravenstvo (19), dokaz¥va-
em teoremu.
Teorema%8. Pust\ funkcyy ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) y operator T udov-
letvorqgt uslovyqm teorem¥86. Esly funkcyq ϕ ( t ) ∈ Φ y udovletvorqet
uslovyg
M u dM u M u dM uϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( )( ) ( )− −
∞
∫ ∫+1
0
1
1
1
0 1
< ∞ , (20)
to suwestvuet takaq postoqnnaq C > 0 , çto dlq vsex funkcyj f ( x ) ∈
∈ Λϕ, ( )∞ Rn
v¥polnqetsq neravenstvo
sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )
0
0
1
0
1 1
< <∞
− − ∗ −( )
t
m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤ C t f t
t
sup ( ) ( )
0< <∞
∗( )ϕ .
Dokazatel\stvo povtorqet dokazatel\stvo teorem¥86. Yz uslovyq (20) y
predloΩenyj84, 5 dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )∞ Rn
poluçaem neravenstvo
sup ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 1< <∞
∗ ∗+( )( )
t
A f t B f t tϕ ϕ ϕ ≤ C f t t
t
sup ( ) ( )
0< <∞
∗( )ϕ .
Dalee yz teorem¥8A sleduet
sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )
0
0
1
0
1 1
< <∞
− − ∗ −( )
t
m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤ C A B f t t
t
sup ( ) ( )
0 0 1< <∞
∗+[ ]( )ϕ ϕ ϕ .
Yz dokazann¥x neravenstv poluçaem utverΩdenye teorem¥.
Teorema%9. Pust\ dlq funkcyj ϕ0 ( t ), ψ0 ( t ), ϕ1 ( t ), ψ1 ( t ) y operatora T
v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥87. Esly funkcyq ϕ ( t ) yz mnoΩestva Φ udo-
vletvorqet uslovyg
M s dM s M s s dsϕ ϕ ϕ( ) ( )( )− − −
∞
∫ ∫+1
0
1
1 1
1
0
< ∞ , (21)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
YNTERPOLQCYQ OPERATOROV SLABOHO TYPA … 1507
to suwestvuet takaq postoqnnaq C > 0 , çto dlq vsex funkcyj f x( ) ∈
∈ Λϕ, ( )∞ Rn
v¥polnqetsq neravenstvo
sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )
0
1
0
1 1
< <∞
− − ∗ −( )
t
m t t t Tf m tϕ ϕ ϕ ≤ C t f t
t
sup ( ) ( )
0< <∞
∗( )ϕ .
Dokazatel\stvo povtorqet dokazatel\stvo teorem¥87. Yz uslovyq (21) y
predloΩenyj84, 6 sleduet neravenstvo
sup ( ) ( ) ( )
0 0 1< <∞
∗ ∗+( )( )
t
A f t B f t tϕ ϕ ϕ ≤ C f t t
t
sup ( ) ( )
0< <∞
∗( )ϕ
dlq lgboj funkcyy f ( x ) ∈ Λϕ, ( )∞ Rn . Dalee, yz teorem¥8A ymeem
sup ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )
0
0
1
0
1 1
< <∞
− − ∗ −( )
t
m t t t Tf m tψ ϕ ϕ ≤
≤ C A B f t t
t
sup ( ) ( )
0 0 1< <∞
∗+[ ]( )ϕ ϕ ϕ .
Yz dokazann¥x neravenstv poluçaem utverΩdenye teorem¥89.
1. Calderon A. P. Spaces between L1 and L∞ and theorem of Marcinkiewich // Stud. math. – 1966.
– 26. – P. 273 – 299.
2. Boyd D. W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation // Can. Math. J. –
1969. – 21. – P. 1245 – 1254.
3. Sharpley R. C. Spaces Λα( )X and interpolation // J. Funct. Anal. – 1972. – # 11. – P. 479 – 513.
4. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.: Na-
uka, 1978.8– 4008s.
5. Pavlov E. A. K operatoru Kal\derona // Ukr. mat. Ωurn. – 1981. – 33, # 1. – S. 52 – 58.
6. Benett C., Rudnick K. On Lorentz – Zygmund spaces. – Warszawa: ′Panstw. wydawn. nauk.,
1980. – 73 p.
7. Burenkov V. Y., Hol\dman M. L. V¥çyslenye norm¥ poloΩytel\noho operatora na konuse
monotonn¥x funkcyj // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1995. – 210. – S. 65 – 89.
8. Stejn E., Vejs H. Vvedenye v harmonyçeskyj analyz na evklydov¥x prostranstvax. – M.:
Myr, 1974.8– 3338s.
9. Danford N., Ívarc DΩ. T. Lynejn¥e operator¥. Obwaq teoryq. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt.,
1962.8– 8958s.
10. Peleßenko B. Y. Ob operatorax slaboho typa // Praci Ukr. mat. konhresu-2001. Funkcion.
analiz. – Ky]v, 2002. – S. 234 – 244.
Poluçeno 03.02.2004,
posle dorabotky — 08.02.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3703 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:24Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/72/d27bc9ecb696572dd9f889f891c73272.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37032020-03-18T20:02:37Z Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces Интерполяция операторов слабого типа $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ в пространствах Лоренца Peleshenko, B. I. Пелешенко, Б. И. Пелешенко, Б. И. We prove theorems of interpolation of quasilinear operators of weak type (&phi;0 , &psi;0 , &phi;1 , &psi;1 ) in the Lorentz spaces. The operators considered are the analogs of the Calderon and Benett operators for concave and convex functions &phi;0 (t), &psi;0 (t), &phi;1 (t), &psi;1 (t). Доведено теореми інтерполяції в просторах Лоренца квазілінійних операторів слабкого типу (&phi;0 , &psi;0 , &phi;1 , &psi;1 ), аналогів операторів Кальдерона, Венетта для вгнутих та опуклих функцій &phi;0 (t), &psi;0 (t), &phi;1 (t), &psi;1 (t). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3703 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 11 (2005); 1490–1507 Український математичний журнал; Том 57 № 11 (2005); 1490–1507 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3703/4131 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3703/4132 Copyright (c) 2005 Peleshenko B. I. |
| spellingShingle | Peleshenko, B. I. Пелешенко, Б. И. Пелешенко, Б. И. Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title | Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title_alt | Интерполяция операторов слабого типа $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ в пространствах Лоренца |
| title_full | Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title_fullStr | Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title_full_unstemmed | Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title_short | Interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in Lorentz spaces |
| title_sort | interpolation of operators of weak type $(ϕ_0, ψ_0, ϕ_1, ψ_1)$ in lorentz spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3703 |
| work_keys_str_mv | AT peleshenkobi interpolationofoperatorsofweaktypeph0ps0ph1ps1inlorentzspaces AT pelešenkobi interpolationofoperatorsofweaktypeph0ps0ph1ps1inlorentzspaces AT pelešenkobi interpolationofoperatorsofweaktypeph0ps0ph1ps1inlorentzspaces AT peleshenkobi interpolâciâoperatorovslabogotipaph0ps0ph1ps1vprostranstvahlorenca AT pelešenkobi interpolâciâoperatorovslabogotipaph0ps0ph1ps1vprostranstvahlorenca AT pelešenkobi interpolâciâoperatorovslabogotipaph0ps0ph1ps1vprostranstvahlorenca |