Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval
Let $\{ I, f Z^{+} \}$ be a dynamical system induced by the continuous map $f$ of a closed bounded interval $I$ into itself. In order to describe the dynamics of neighborhoods of points unstable under $f$, we suggest a notion of $\varepsilon \omega - {\rm set} \omega_{f, \varepsilon}(x)$ of a point...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3705 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509835489968128 |
|---|---|
| author | Romanenko, Ye. Yu. Романенко, Е. Ю. Романенко, Е. Ю. |
| author_facet | Romanenko, Ye. Yu. Романенко, Е. Ю. Романенко, Е. Ю. |
| author_sort | Romanenko, Ye. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:37Z |
| description | Let $\{ I, f Z^{+} \}$ be a dynamical system induced by the continuous map $f$ of a closed bounded interval $I$ into itself.
In order to describe the dynamics of neighborhoods of points unstable under $f$, we suggest a notion of $\varepsilon \omega - {\rm set} \omega_{f, \varepsilon}(x)$ of a point $x$ as
the $\omega$-limit set of $\varepsilon$-neighborhood of $x$.
We investigate the association between the $\varepsilon \omega - {\rm set}$ and the domain of influence of a point. We also show that the domain of influence of an unstable point is always a cycle of intervals.
The results obtained can be directly applied in the theory of continuous time difference equations and similar equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
E. G. Romanenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK
PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY YNTERVALA*
Let { I, f, Z
+
} be a dynamical system induced by the continuous map f of a closed bounded interval I
into itself. In order to describe the dynamics of neighborhoods of points unstable under f, we suggest a
notion of ε ω -set ω f, ε ( x ) of a point x as the ω-limit set of ε-neighborhood of x. We investigate the
association between the ε ω-set and the domain of influence of a point. We also show that the domain of
influence of an unstable point is always a cycle of intervals. The results obtained can be directly applied
in the theory of continuous time difference equations and similar equations.
Nexaj { I, f, Z
+
} — dynamiçna systema, indukovana neperervnym vidobraΩennqm f zamknenoho
obmeΩenoho intervalu I v sebe. Dlq opysu dynamiky okoliv toçok, nestijkyx pry vidobraΩenni
f, zaproponovano ponqttq ε ω -mnoΩyny ω f, ε ( x ) toçky x qk ω-hranyçno] mnoΩyny ε-okolu
toçky x. DoslidΩeno zv’qzok miΩ ε ω -mnoΩynog j oblastg vplyvu toçky. Pokazano takoΩ,
wo oblast\ vplyvu nestijko] toçky zavΩdy [ cyklom intervaliv. OderΩani rezul\taty znaxo-
dqt\ bezposeredn[ zastosuvannq v teori] riznycevyx rivnqn\ z neperervnym çasom ta blyz\kyx do
nyx rivnqn\.
1. Opredelenyq y prostejßye svojstva. Pust\
{ I, f, Z
+
} (1)
— dynamyçeskaq systema (DS), poroΩdaemaq neprer¥vn¥m otobraΩenyem f
zamknutoho ohranyçennoho yntervala I v sebq. Asymptotyçeskoe povedenye
traektoryj x, f ( x ), … , f
n
( x ), … toçek x ∈ I (zdes\ yndeks n oboznaçaet n-g
yteracyg funkcyy: f
n
( x ) = f ( f
n
–
1
( x ) ), f
0
( x ) = x) ob¥çno xarakteryzuetsq s
pomow\g ω-predel\n¥x mnoΩestv
ω f ( x ) = { x ′ ∈ I : ∃ n1 < n2 < … → ∞ takye, çto x ′ = lim ( )i
nf xi
→∞ } . (2)
Toçka x naz¥vaetsq neustojçyvoj pry otobraΩenyy f, esly dlq x suwestvuet
çyslo d = d ( x ) > 0 takoe, çto pry kaΩdom ε > 0 najdutsq toçka x ′ ∈ Uε ( x ) =
= ( x – ε, x + ε ) ∩ I y nomer m so svojstvom | f
m
( x ) – f
m
( x ′ )| > d. Kak lehko vy-
det\, kaΩdaq toçka traektoryy neustojçyvoj toçky takΩe qvlqetsq neustojçy-
voj (poπtomu neustojçyv¥e toçky naz¥vagt toçkamy, traektoryy kotor¥x ne-
ustojçyv¥ po Lqpunovu). Esly toçka x neustojçyvaq, to dlq lgboho ε > 0
najdetsq podposledovatel\nost\ nomerov m1 < m2 < … → ∞, dlq kotoroj
inf ( )
k
mf U xk
>
( )
0
diam ε > d. (3)
MnoΩestvo neustojçyv¥x toçek naz¥vagt razdelytelem otobraΩenyq f [1].
Budem oboznaçat\ eho D ( f ). Yz (3) sleduet, çto ω-predel\noe mnoΩestvo
ω f ( x ) toçky x ∈ D ( f ) daet nedostatoçnug ynformacyg o svojstvax traekto-
ryy: skol\ uhodno mal¥e pohreßnosty v opredelenyy çyslennoho znaçenyq x
mohut pryvodyt\ k suwestvenn¥m otklonenyqm znaçenyq velyçyn¥ f
n
( x ), po-
luçennoho v rezul\tate v¥çyslenyj, ot eho ystynnoho znaçenyq. ∏to stanovyt-
sq pryncypyal\no vaΩn¥m, kohda razdelytel\ D ( f ) soderΩyt massyvnoe, v tom
yly ynom sm¥sle, podmnoΩestvo D* ( f ) (naprymer, plotnoe yly poloΩytel\-
*
Çastyçno podderΩana Mynysterstvom obrazovanyq y nauky Ukrayn¥, Hosudarstvenn¥m fon-
dom fundamental\n¥x yssledovanyj (proekt # 01.07/00081).
© E. G. ROMANENKO, 2005
1534 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1535
noj mer¥), dlq kotoroho inf ( )
* ( )x D f d x∈ > 0. Takoe qvlenye poluçylo nazvanye
çuvstvytel\noj zavysymosty ot naçal\n¥x dann¥x.
Ysxodq yz yzloΩennoho, pry yssledovanyy DS ymeet sm¥sl rassmatryvat\,
narqdu s traektoryqmy toçek, y traektoryy okrestnostej toçek:
Uε ( x ), f ( Uε ( x ) ), … , f
n
( Uε ( x ) ), … , hde Uε ( x ) = ( x – ε, x + ε ) ∩ I.
Po analohyy s ω-predel\n¥m mnoΩestvom traektoryy toçky moΩno vvesty ω-
predel\noe mnoΩestvo traektoryy ε-okrestnosty toçky. ∏to mnoΩestvo nazo-
vem ε ω-mnoΩestvom toçky y budem oboznaçat\ ω f, ε ( x ). Opredelenye
sledugwee:
ω f, ε ( x ) = { J ∈ 2
I
: ∃ n1 < n2 < … → ∞ takye, çto J = Lti
nf U xi
→∞ ( )}ε ( ) . (4)
Zdes\ 2
I
— semejstvo vsex zamknut¥x podmnoΩestv yntervala I, a Lt obozna-
çaet topolohyçeskyj predel posledovatel\nosty mnoΩestv (sm., naprymer, [2]).
Takym obrazom, mnoΩestvo ω f, ε ( x ) ne prynadleΩyt yntervalu I, a qvlqetsq
podmnoΩestvom mnoΩestva 2
I
.
Zameçanye 1. DS (1) ynducyruet DS
( ) , ˆ,2 I
H f Z+{ }, (5)
hde ( )2 I
H — (kompaktnoe) prostranstvo vsex zamknut¥x podmnoΩestv yz I, na-
delennoe metrykoj Xausdorfa, y
ˆ( )f A =
x A
f x∈∪ ( ), A ∈ ( )2 I
H ; zdes\ y dalee
çerta sverxu, kak ob¥çno, oboznaçaet operacyg zam¥kanyq. Netrudno vydet\,
çto s toçky zrenyq DS (5) vvedennoe v¥ße ε ω-mnoΩestvo toçky x ∈ I est\ ne
çto ynoe kak ω-predel\noe mnoΩestvo traektoryy „toçky” A = U xε ( ) pros-
transtva ( )2 I
H . Tohda yz obwej teoryy DS na kompaktn¥x prostranstvax ne-
posredstvenno sleduet, çto mnoΩestvo ω f, ε ( x ) zamknuto v prostranstve
( )2 I
H y ynvaryantno otnosytel\no dejstvyq DS (5). Takoj podxod, bezuslov-
no, zasluΩyvaet vnymanyq, odnako dlq celej dannoj rabot¥ udobnee ostavat\sq
v ramkax ysxodnoj DS (1).
Dejstvye funkcyy f : I → I estestvenn¥m obrazom prodolΩaetsq na mno-
Ωestvo 2
I
po pravylu
f ( A ) = ′ = ∈{ }A f A A( ): A , A ⊂ 2
I
.
Yz opredelenyq topolohyçeskoho predela y neprer¥vnosty f oçevydn¥m obra-
zom v¥vodqtsq sootnoßenyq
f ( ω f, ε ( x ) ) = ω f, ε ( x ), (6)
ω f, ε ( x ) =
i
p
i
f
f xp
=
−
( )
0
1
∪ ω ε, ( ) dlq lgboho celoho p ≥ 1. (7)
Ponqtye ε ω-mnoΩestva ω f, ε ( x ) tesno svqzano s klassyçeskymy ponqtyqmy ω-
predel\noho mnoΩestva ω f ( x ) y oblasty vlyqnyq Q f ( x ) toçky x. Poslednqq
opredelqetsq tak:
Qf ( x ) =
ε
ε
> ≥ ≥
( )
0 0
∩ ∩ ∪
j n j
nf U x( ) , (8)
pry πtom Qf ( x ) = ω f ( x ) dlq ustojçyv¥x toçek y Qf ( x ) ⊇ ω f ( x ) dlq neustojçy-
v¥x; bolee toho, int Qf ( x ) ≠ ∅, esly y tol\ko esly toçka x neustojçyva.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1536 E. G. ROMANENKO
Çtob¥ ukazat\ sootnoßenyq meΩdu mnoΩestvom ω f, ε ( x ) y mnoΩestvamy
ω f ( x ) y Qf ( x ), udobno vvesty ewe odno mnoΩestvo ˜ ( ),ω εf x — ε ω-sled toçky,
opredelqemoe çerez ω f, ε ( x ) sledugwym obrazom:
˜ ( ),ω εf x =
J xf
J
∈ω ε, ( )
∪ , (9)
hde operacyq obæedynenyq ∪ osuwestvlqetsq v prostranstve I.
Yz (4) y (8) sleduet, çto
ε
εω
>0
∩ ˜ ( ),f x = Qf ( x ), x ∈ I. (10)
Dejstvytel\no, pust\ Ls oboznaçaet verxnyj topolohyçeskyj predel posledo-
vatel\nosty mnoΩestv; kak yzvestno [2],
Ls An =
j n j
nA
> ≥0
∩ ∪ y (v separabel\nom prostranstve) Ls An = ∪ ′ Lt Akn
,
hde operacyq obæedynenyq ∪ ′ rasprostranqetsq na lgb¥e sxodqwyesq podpos-
ledovatel\nosty Akn
. Otsgda srazu Ωe sledugt ravenstva
Qf ( x ) =
ε
ε
>
→∞ ( )
0
∩ Lsn
nf U x( ) y ˜ ( ),ω εf x = Lsn
nf U x→∞ ( )ε ( ) ,
kotor¥e dagt (10) y, krome toho, ustanavlyvagt, çto ε ω-sled toçky x — πto
verxnyj topolohyçeskyj predel posledovatel\nosty mnoΩestv f
n
( Uε ( x ) ), n =
= 0, 1, … .
Yz (10) zaklgçaem, çto
ε
εω
>0
∩ ˜ ( ),f x = ωf ( x ), x ∈ I \ D ( f ), (11)
y, sledovatel\no, rassmatryvat\ ε ω-mnoΩestva celesoobrazno, voobwe hovorq,
tol\ko dlq neustojçyv¥x toçek.
2. Osnovn¥e rezul\tat¥. V¥qsnym, çto predstavlqgt soboj mnoΩestva
ω f, ε ( x ), kohda x ∈ D ( f ). Dokazatel\stva sformulyrovann¥x utverΩdenyj bu-
dut pryveden¥ v sledugwem punkte.
Osobo v¥delym podmnoΩestva D p ( f ) ⊂ D ( f ), kotor¥e opredelym takym
obrazom:
D p ( f ) = { x ∈ D ( f ) : ∃ k = k ( x, p ) ≥ 0 takoe, çto f
kp
( x ) ∈ int ( )Q x
f p }. (12)
Dlq neustojçyv¥x toçek x predpoloΩenye, çto x ∈ D p ( f ) pry nekotorom p ≥
≥ 1, qvlqetsq dostatoçno obwym vvydu sledugweho utverΩdenyq.
PredloΩenye 1
*
. Dlq kaΩdoj toçky x ∈ D ( f ) y lgboho celoho p ≥ 0 su-
westvuet nomer k = k ( x, p ) ≥ 0 takoj, çto
f
kp
( x ) ∈ Q x
f p ( ) . (13)
Nam potrebuetsq takΩe ewe odno utverΩdenye o svojstvax mnoΩestva
Qf ( x ), v kotorom yspol\zuetsq ponqtye cykla yntervalov. Napomnym oprede-
lenye: obæedynenye zamknut¥x yntervalov J0 , J1 , … , Jp – 1 ⊂ I naz¥vaetsq
cyklom yntervalov otobraΩenyq f peryoda p, esly πty ynterval¥ cyklyçes-
*
PredloΩenye 1 πkvyvalentno utverΩdenyg: dlq kaΩdoj toçky x ∈ D ( f ) y lgboho celoho
p ≥ 0 suwestvuet (kratn¥j p) nomer n = n ( x, p ) ≥ 0 takoj, çto f
n
( x ) ∈ Ω ( f p ), hde Ω ( f )
— mnoΩestvo nebluΩdagwyx toçek otobraΩenyq f.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1537
ky perestavlqgtsq otobraΩenyem f, t. e. f ( J0 ) = J1 , f ( J1 ) = J2 , … , f ( Jp – 1 ) = J0 ,
y pry πtom int Ji ∩ int Jj = ∅ pry i ≠ j, i, j = 0, 1, … , p – 1.
PredloΩenye 2. Esly x ∈ D ( f ), to oblast\ vlyqnyq Qf ( x ) toçky x
predstavlqet soboj cykl yntervalov otobraΩenyq f.
PredloΩenye 2 pozvolqet postavyt\ v sootvetstvye kaΩdoj neustojçyvoj
toçke x ∈ D ( f ) nekotoroe celoe çyslo, ravnoe peryodu ee oblasty vlyqnyq
Qf ( x ). Nazovem πto çyslo psevdoperyodom toçky. Zametym, çto dlq neustoj-
çyv¥x peryodyçeskyx toçek yx psevdoperyod, voobwe hovorq, ne sovpadaet s yx
peryodom (toçnee, qvlqetsq delytelem peryoda). Nazovem x ∈ D ( f ) pravyl\-
noj neustojçyvoj toçkoj, esly x ∈ D p ( f ), hde p — psevdoperyod x.
Teper\ moΩno sformulyrovat\ osnovnoj rezul\tat.
Teorema. Pust\ x ∈ D ( f ) y p — psevdoperyod toçky x. Tohda pry lg-
bom ε > 0 ε ω-mnoΩestvo ω f, ε ( x ) toçky x sostoyt yz nev¥roΩdenn¥x yn-
tervalov J j ( ε ) = Lti
pi jf U x→∞
+ ( )2
ε ( ) , j = 0, 1, … , 2 p – 1, cyklyçesky pere-
stavlqem¥x otobraΩenyem f.
Bolee toho, esly x — pravyl\naq neustojçyvaq toçka, to najdetsq ε* > 0
takoe, çto pry ε < ε*
ω f, ε ( x ) = Q x f Q x f Q x
f f
p
fp p p2 2 2
2 1( ), ( ) , , ( )( ) … ( ){ }−
, esly Q x
f p2 ( ) ≠ Q x
f p ( ) ,
(14)
ω f, ε ( x ) = Q x f Q x f Q x
f f
p
fp p p( ), ( ) , , ( )( ) … ( ){ }−1
, esly Q x
f p2 ( ) = Q x
f p ( ) .
(15)
Zameçanye 2. Poluçenn¥e rezul\tat¥ pokaz¥vagt, çto oblast\ vlyqnyq
polnost\g xarakteryzuet asymptotyçeskoe povedenye mal¥x okrestnostej pra-
vyl\n¥x neustojçyv¥x toçek. Odnako pry πtom vozmoΩn¥ sytuacyy, kohda
komponent¥ oblasty vlyqnyq Qf ( x ), kak takov¥e, ne qvlqgtsq πlementamy
ε ω-mnoΩestva ω f, ε ( x ), a kaΩdaq komponenta raspadaetsq na paru smeΩn¥x yn-
tervalov, kotor¥e v sovokupnosty y obrazugt mnoΩestvo ω f, ε ( x ) (çeho, ponqt-
no, ne moΩet b¥t\ dlq ustojçyv¥x toçek).
Zameçanye 3. Yz pervoj çasty teorem¥ sleduet, çto ε ω-predel\noe mno-
Ωestvo neustojçyvoj toçky x qvlqetsq cyklom system¥ (5) pry lgbom ε >
> 0. Odnako pry πtom ε ω-sled toçky x, voobwe hovorq, ne qvlqetsq cyklom
yntervalov otobraΩenyq f (πlement¥ ε ω-predel\noho mnoΩestva, kak pod¥n-
terval¥ yz I, mohut peresekat\sq po vnutrennosty).
Esly Ωe x — pravyl\naq neustojçyvaq toçka, to, kak sleduet yz vtoroj ças-
ty teorem¥, pry mal¥x ε > 0 ε ω-sled toçky x sovpadaet s ee oblast\g vlyq-
nyq; sootnoßenye (10) prynymaet vyd ˜ ( ),ω εf x = Qf ( x ), naçynaq s nekotoroho
ε = ε* > 0, y, sledovatel\no, pry dostatoçno mal¥x ε > 0 ε ω-sled¥ pravyl\-
noj neustojçyvoj toçky qvlqgtsq (odnym y tem Ωe) cyklom yntervalov oto-
braΩenyq f.
Zameçanye 4. Prymenytel\no k systeme (5) pryvedennaq v¥ße teorema
oznaçaet, çto dlq lgboho A ∈ ( )2 I
H takoho, çto A svqzno v I y int A so-
derΩyt neustojçyvug toçku otobraΩenyq f, ω-predel\noe mnoΩestvo traek-
toryy A,
ˆ( )f A ,
ˆ ( )f A2 , … predstavlqet soboj cykl, „toçkamy” kotoroho qv-
lqgtsq nev¥roΩdenn¥e ynterval¥ J j ( A ) = Lti
pi jf A→∞
+2 ( ), j = 0, 1, …
… , 2 p – 1, hde p — naymen\ßyj yz psevdoperyodov neustojçyv¥x toçek,
prynadleΩawyx int A. Blyzkye vopros¥ rassmotren¥ v [3], hde pokazano, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1538 E. G. ROMANENKO
esly otobraΩenye f ymeet cykl¥ peryodov 2
i
, i = 0, 1, … , n < ∞, y ne ymeet
druhyx peryodyçeskyx orbyt, to posledovatel\nost\ A , f A
n2 ( ) , f A
n2 1+
( ) , …
sxodytsq (v metryke Xausdorfa) dlq lgboho nev¥roΩdennoho yntervala A ∈ I.
S toçky zrenyq DS (5) πto oznaçaet, çto ω-predel\noe mnoΩestvo traektoryy
A,
ˆ( )f A ,
ˆ ( )f A2 , … , kohda A svqzno v I y int A ≠ ∅, qvlqetsq cyklom DS (5),
esly otobraΩenye f ne ymeet cyklov skol\ uhodno bol\ßoho peryoda.
Po analohyy s ε ω-sledom toçky moΩno vvesty ponqtye ω-sleda ω̃ A[ ]
mnoΩestva A ∈ ( )2 I
H kak obæedynenyq v prostranstve I πlementov ω-pre-
del\noho mnoΩestva ω [ A ]. Druhymy slovamy, ω̃ A[ ] = Lsn
nf A→∞ ( ) . Tohda es-
testvenno voznykaet vopros: pry kakyx uslovyqx mnoΩestvo ω̃ A[ ] qvlqetsq
cyklom yntervalov otobraΩenyq f ?
V zaklgçenye πtoho punkta otmetym, çto pryvedennaq teorema naxodyt ne-
posredstvennoe prymenenye v teoryy raznostn¥x uravnenyj s neprer¥vn¥m vre-
menem y v teoryy kraev¥x zadaç dlq uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x (sm. [1, 4]
y pryvedennug v nyx byblyohrafyg).
3. Dokazatel\stva. V πtom punkte pryvedem detal\n¥e dokazatel\stva
sformulyrovann¥x v¥ße utverΩdenyj.
Dokazatel\stvo predloΩenyq 1. Dlq toçek x ∈ D ( f ) v¥polnqetsq soot-
noßenye (3), yz kotoroho zaklgçaem, çto dlq lgboj okrestnosty U toçky x
suwestvuet çyslo d = d ( x ) > 0 takoe, çto
lim sup ( )
n
nf U
→∞
diam > d. (16)
Poπtomu, v sylu ohranyçennosty I, najdutsq nomera k ≥ 0 y k ′ ≥ 1, dlq koto-
r¥x f
k
( U ) ∩ f Uk k+ ′( ) ≠ ∅ (t. e. toçka y = f
k
( x ) qvlqetsq nebluΩdagwej).
Otsgda neposredstvenno sleduet, çto lgbaq okrestnost\ toçky y = f
k
( x ) pere-
sekaetsq s beskoneçn¥m çyslom mnoΩestv yz posledovatel\nosty f
n
( U ), n = 0,
1, … . Y tohda, vvydu proyzvol\nosty U, zaklgçaem, çto f
k
( x ) ∈ Qf ( x ). Dlq
p = 1 predloΩenye dokazano.
Vvydu ustanovlennoho v¥ße predloΩenye 1 budet dokazano dlq lgboho p >
> 1, esly pokaΩem, çto x ∈ D ( f
p
). PredpoloΩym, çto πto ne tak, t. e.
x ∈ D ( f ), no x ∉ D ( f
p
).
Pust\ d — konstanta, fyhuryrugwaq v (16). V¥qvlenye protyvoreçyq osnov¥-
vaetsq na takyx trex svojstvax.
1. Yz ravnomernoj neprer¥vnosty f na I sleduet suwestvovanye δ > 0 ta-
koho, çto dlq lgboho otkr¥toho mnoΩestva U ⊂ I
diam f Ur ( ) <
d
2
, r = 0, 1, … , p – 1, esly diam U < δ.
2. Poskol\ku x ∉ D ( f
p
), najdetsq ε > 0 takoe, çto
diam f U xmp
ε ( )( ) < δ, m = 0, 1, … .
3. Poskol\ku x ∈ D ( f ), najdetsq celoe N takoe, çto
diam f U xN
ε ( )( ) > d.
Predstavym N v vyde N = m*
p + r*
, hde m* y r* — cel¥e poloΩytel\n¥e
çysla, 0 ≤ r* ≤ p – 1. Tohda yz pervoho y vtoroho svojstv ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1539
diam f U xN
ε ( )( ) ≤ diam f f U xr m p
* * ( )ε( )( ) <
d
2
, tak kak f U xm p
* ( )ε( ) < δ,
çto protyvoreçyt tret\emu svojstvu. Sledovatel\no, x ∈ D ( f
p
), y dokazatel\-
stvo zaverßeno.
Dlq dokazatel\stva predloΩenyq 2 potrebuetsq sledugwaq lemma.
Lemma 1. Pust\ x ∈ D ( f ). Tohda dlq lgboho pod¥ntervala H yz I , so-
derΩaweho toçku x vmeste s okrestnost\g, najdutsq cel¥e r ≥ 0 y q ≥ 1
takye, çto mnoΩestvo W = n
nf H≥0∪ ( ) sostoyt yz r + q komponent
svqznosty
H, f ( H ),…, f
r
–
1
( H ), Ei =
n
r i nqf H
≥
+ +
0
∪ ( ), i = 0, 1, … , q – 1. (17)
Dokazatel\stvo. Vospol\zuemsq sledugwym rezul\tatom [5, c. 69, 70]:
pust\ H — pod¥nterval yz I y W = n
nf H≥0∪ ( ) ; esly mnoΩestvo S ( H ) =
= { s ∈ Z
+
: ∃ j ≥ 1 takoe, çto f
s
( H ) y f
s
+
j
( H ) vxodqt v odnu komponentu mno-
Ωestva W } nepusto, to mnoΩestvo W sostoyt yz komponent (17), hde r ≥ 0 —
naymen\ßyj πlement yz S ( H ) y q ≥ 1 — naymen\ßee celoe çyslo, dlq kotoro-
ho f
r
( H ) y f
r
+
q
( H ) prynadleΩat odnoj y toj Ωe komponente mnoΩestva W.
Otsgda neposredstvenno sleduet lemma 1. Dejstvytel\no, kak otmeçalos\
pry dokazatel\stve utverΩdenyq 1, esly x ∈ D ( f ), to dlq lgboho pod¥nterva-
la H ⊂ I so svojstvom int H ∋ x najdutsq nomera k ≥ 0 y k ′ ≥ 1 takye, çto
f
k
( H ) ∩ f Hk k+ ′( ) ≠ ∅. Poπtomu S ( H ) ≠ ∅ y, znaçyt, utverΩdenye lemm¥ 1
spravedlyvo (pry πtom v (17) r ≤ k y q ≤ k ′ ).
Dokazatel\stvo predloΩenyq 2. Zafyksyruem proyzvol\no ε > 0 y ras-
smotrym mnoΩestva
Q f, ε ( x ) =
j n j
nf U x
≥ ≥
( )
0
∩ ∪ ε ( ) . (18)
Vvydu (8) lemma budet dokazana, esly m¥ pokaΩem, çto pry dostatoçno mal¥x
ε > 0 mnoΩestva Q f, ε ( x ) sostoqt yz odnoho y toho Ωe (koneçnoho) çysla
komponent svqznosty (v dal\nejßem prosto komponent), kotor¥e predstavlqgt
soboj ynterval¥, cyklyçesky perestavlqem¥e otobraΩenyem f.
Dalee vmesto Uε ( x ) budem pysat\ Uε . Budem takΩe yspol\zovat\ oboznaçe-
nye a ( mod b ) ( a, b — cel¥e çysla), ponymaq pod nym sledugwee: a ( mod b ) =
= b a b/{ }, hde ⋅{ } oboznaçaet drobnug çast\ çysla.
Sohlasno lemme 1 suwestvugt cel¥e r ≥ 0 y q ≥ 1 takye, çto pry kaΩdom
j ≥ r komponentamy mnoΩestva
n j
nf U≥∪ ( )ε qvlqgtsq q svqzn¥x (vozmoΩno,
nezamknut¥x) mnoΩestv
E j, i =
n
i nq jf U
≥
+ +
0
∪ ( )ε , i = 0, 1, … , q – 1, (19)
pryçem
f ( E j, i ) = E j, ( i + 1 ) ( mod q ) y E j, i ⊃ E j + 1, ( i – 1 ) ( mod q ), 0 ≥ i ≥ q – 1. (20)
1. Esly sredy yntervalov Ej i, , i = 0, 1, … , q – 1, net smeΩn¥x, to πty yn-
terval¥ qvlqgtsq komponentamy mnoΩestva
n j
nf U≥∪ ( )ε , y tohda, vvydu vto-
roho yz sootnoßenyj (20), mnoΩestvo Q f, ε ( x ) sostoyt yz q komponent
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1540 E. G. ROMANENKO
Gi =
j
j i j qE
≥
−
0
∩ ,( )(mod ) , i = 0, 1, … , q – 1. (21)
2. PredpoloΩym, çto sredy yntervalov Ej i, , i = 0, 1, … , q – 1, est\ smeΩ-
n¥e, a ymenno, najdutsq m yntervalov, obæedynenye kotor¥x daet ynterval, ne
smeΩn¥j ny s odnym yz ysxodn¥x yntervalov Ej i, . PokaΩem, çto tohda m =
= 2. Yz (20) sleduet, çto m delyt q, a mnoΩestvo yz q yntervalov Ej,0 ,
Ej,1, … , Ej q, −1 razbyvaetsq na q ′ = q / m naborov po m smeΩn¥x v sovokupnos-
ty yntervalov
Ej,0 , Ej q, ′ , … , Ej m q,( )− ′1 ,
Ej,1, Ej q, ′+1, … , Ej m q,( )− ′+1 1,
(22)
……………………………………
Ej q, ′−1, Ej q,2 1′− , … , Ej m q q,( )− ′+ ′−1 1 = Ej q, −1,
pry πtom obæedynenye yntervalov, vxodqwyx v kaΩd¥j nabor, obrazuet odnu yz
komponent F j, i mnoΩestva
n j
nf U≥∪ ( )ε , a ymenno:
F j, i =
l
m
j i lqE
=
−
+ ′
0
1
∪ , , i = 0, 1, … , q ′ – 1.
Rassmotrym, naprymer, komponentu Fj,0 = l
m
j lqE=
−
′0
1∩ , . Ponqtno, çto
f Fq
j
′( ),0 = F j, 0 . Dejstvytel\no,
f Fq
j
′( ),0 =
l
m
j l q qE
=
−
+ ′
0
1
1∪ ,( ) (mod ) =
l
m
j lq jE E
=
−
′
1
1
0∪ ∪, , = F j, 0 .
Poπtomu na yntervale F j, 0 ymeetsq nepodvyΩnaq toçka, kotorug oboznaçym z.
Esly z prynadleΩyt kakomu-to odnomu yz yntervalov Ej lq, ′ , l = 0, 1, … , m – 1,
naprymer yntervalu Ej,0 , to Ej,0 perexodyt v sebq Ωe pry otobraΩenyy f q′
y, sledovatel\no,
Ej,0 = f Eq
j
′ ( ),0 = f Eq
j
2
0
′ ( ), … ,
t. e.
Ej,0 = Ej q, ′ = Ej q,2 ′ = … = Ej m q,( )− ′1 .
Tohda m = 1 v razbyenyy (22), çto nevozmoΩno, tak kak po opredelenyg m ≥ 2.
Esly z prynadleΩyt dvum yz yntervalov Ej i, , to πty ynterval¥ dolΩn¥
perexodyt\ druh v druha pry otobraΩenyy f q′
. Tohda analohyçno pred¥duwe-
mu naxodym
Ej,0 = Ej q,2 ′ = … y Ej q, ′ = Ej q,3 ′ = … ,
t. e. m = 2 (çto, koneçno, vozmoΩno tol\ko kohda q — çetnoe). ∏tym vse voz-
moΩnosty ysçerpan¥.
Takym obrazom, vo vtorom sluçae mnoΩestvo
n j
nf U≥∪ ( )ε obrazovano q ′ =
= q / 2 komponentamy
F j, i = Ej i, ∪ Ej q i, ′+ =
n
i nq jf U
≥
+ ′+
0
∪ ( )ε , i = 0, 1, … , q – 1, (23)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1541
pryçem, kak sleduet yz (20),
f ( F j, i ) = Fj i q,( )(mod )+ ′1 y F j, i ⊃ Fj i q+ − ′1 1,( )(mod ), 0 ≥ i ≥ q – 1. (24)
Sledovatel\no, mnoΩestvo Q f, ε ( x ) sostoyt uΩe yz q ′ = q / 2 komponent —
yntervalov
Gi =
j
j i j qF
≥
− ′
0
∩ ,( )(mod ), i = 0, 1, … , q ′ – 1. (25)
3. Takym obrazom, yz (21), (23) y (25) zaklgçaem, çto dlq lgboho ε > 0, ne-
zavysymo ot toho, kakoj yz dvux rassmotrenn¥x v¥ße sluçaev realyzuetsq, su-
westvuet celoe p ε ≥ 1 takoe, çto mnoΩestvo Q f, ε ( x ) sostoyt yz p ε komponent
Gε, i =
j n
j np i j pf U
≥ ≥
+ + −
0 0
∩ ∪ ε
ε
( )(mod )( ), i = 0, 1, … , p – 1. (26)
Pry πtom yz (20) y (24) naxodym
f ( Gε, i ) = G i pε,( )(mod )+1 , 0 ≤ i ≤ p – 1. (27)
Bolee toho, yz vloΩennosty mnoΩestv Gε, i po ε y sootnoßenyj (27) sleduet,
çto esly ε ′ < ε, to p ′ε kratno p ε y
f ( Gε, i ) ⊃
n
N
i npG
=
−
′ +
0
1
∪ ε ε, , N =
p
p
′ε
ε
, i = 0, 1, … , p ε – 1. (28)
Ytak, dlq kaΩdoho ε > 0 suwestvuet celoe çyslo p ε ≥ 1 takoe, çto kompo-
nent¥ Gε, i mnoΩestva Q f, ε ( x ) mohut b¥t\ predstavlen¥ v vyde (26). Poskol\-
ku x ∈ D ( f ), ymeet mesto sootnoßenye (3), y tohda dyametr xotq b¥ odnoj yz
komponent Gε, i budet bol\ße d = d ( x ), kakym b¥ mal¥m ny b¥lo ε > 0. ∏to
oznaçaet, çto, naçynaq s nekotoroho ε* , çyslo komponent mnoΩestva Q f, ε ( x )
stabylyzyruetsq y stanovytsq ravn¥m nekotoromu çyslu p = p ( x ): p ′ε = p ′′ε =
= p, esly ε ′, ε ′′ ≤ ε* (v protyvnom sluçae yz (28) sledovalo b¥, çto diam Gε, i →
→ 0 pry ε → 0 dlq lgboho i, 0 ≤ i ≤ p ε – 1). Poπtomu mnoΩestvo komponent
svqznosty oblasty vlyqnyq Q f ( x ) = ε ε>0∩ Q xf , ( ) vsehda sostoyt yz koneçnoho
çysla zamknut¥x yntervalov, cyklyçesky perexodqwyx druh v druha pry oto-
braΩenyy f, çto y trebovalos\ dokazat\.
Yz opredelenyq oblasty vlyqnyq y dokazatel\stva lemm¥ 1 lehko poluçaem
takoe sledstvye.
Sledstvye. Esly oblast\ vlyqnyq Q f ( x ) toçky x — ynterval, to lybo
Q f ( x ) = Q x
f 2 ( ) , lybo Q f ( x ) qvlqetsq obæedynenyem dvux smeΩn¥x yntervalov
Q x
f 2 ( ) y f Q x
f 2 ( )( ), perexodqwyx druh v druha pry otobraΩenyy f.
Dlq dokazatel\stva teorem¥ potrebuetsq sledugwaq lemma, kotoraq fak-
tyçesky qvlqetsq uprowennoj formulyrovkoj teorem¥ dlq sluçaq p = 1.
Lemma 2. Esly oblast\ vlyqnyq Q f ( x ) toçky x ∈ D ( f ) qvlqetsq ynter-
valom, to dlq lgboj ε-okrestnosty Uε ( x ) toçky x posledovatel\nost\
mnoΩestv
Uε ( x ), f U x2
ε ( )( ), … , f U xi2
ε ( )( ), … (29)
ymeet topolohyçeskyj predel; bolee toho, esly x — pravyl\naq neustojçyvaq
toçka, t. e. x ∈ D1 ( f ), to najdetsq ε* > 0 takoe, çto
Lti
if U x→∞ ( )2
ε ( ) = Q x
f 2 ( ) pry ε < ε* . (30)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1542 E. G. ROMANENKO
Dokazatel\stvo. Poskol\ku Lt Ai = Lt Ai y Ls Ai = Ls Ai , vmesto posle-
dovatel\nosty (29) budem rassmatryvat\ posledovatel\nost\
Vε ( x ), f V x2
ε ( )( ), … , f V xi2
ε ( )( ), … , hde Vε ( x ) = U xε ( ) (31)
(πto uprowaet nekotor¥e rassmotrenyq). Posledovatel\nost\ mnoΩestv, dlq
kotoroj suwestvuet topolohyçeskyj predel, budem naz¥vat\ sxodqwejsq.
Yz opredelenyq oblasty vlyqnyq sleduet, çto
Q f ( x ) =
ε
ε
>0
∩ Q xf , ( ), hde Q f, ε ( x ) = Lsn
nf V x→∞ ( )ε ( ) . (32)
MnoΩestva Q f, ε ( x ) ynvaryantn¥ pry otobraΩenyy f y qvlqgtsq ynterva-
lamy (poslednee tak, poskol\ku Q f, ε ( x ) ⊃ Q f ( x ), a ynterval Q f ( x ), buduçy yn-
varyantn¥m, peresekaetsq so vsemy mnoΩestvamy posledovatel\nosty (31), na-
çynaq s nekotoroho nomera).
Zafyksyruem proyzvol\no ε > 0. Vvydu ynvaryantnosty ynterval Q f, ε ( x )
soderΩyt xotq b¥ odnu nepodvyΩnug toçku, naprymer, x0 . Çto kasaetsq po-
sledovatel\nosty (31), sxodymost\ kotoroj nas ynteresuet, to ymegtsq dve
vozmoΩnosty:
i) f V xn* ( )ε( ) � x0 pry nekotorom n* > 0;
ii) f V xn
ε ( )( ) � x0, n = 1, 2, … ,
pryçem v oboyx sluçaqx lgbaq okrestnost\ kaΩdoj toçky x ∈ Q f, ε ( x ), v tom
çysle y x0 , peresekaetsq s beskoneçn¥m çyslom mnoΩestv yz posledovatel\-
nosty (31).
I. Srazu Ωe otmetym, çto nepodvyΩnaq toçka, dlq kotoroj realyzuetsq voz-
moΩnost\ i), vsehda najdetsq, esly otobraΩenye f ymeet bolee odnoj nepod-
vyΩnoj toçky na yntervale Q f, ε ( x ), kotor¥j rady kratkosty budem obozna-
çat\UUQ.
Dejstvytel\no, predpoloΩym, çto πto ne tak. Tohda, vo-perv¥x, najdutsq
dve nepodvyΩn¥e toçky x1 , x2 ∈ Q, x1 < x2 , takye, çto na ( x1 , x2 ) funkcyq
f ( x ) – x znakopostoqnna, naprymer, stroho poloΩytel\na, y, vo-vtor¥x, najdet-
sq nomer k > 0 takoj, çto f V xk
ε ( )( ) ⊂ ( x1 , x2 ).
Esly sup ( )( , )′∈ ′x x x f x
1 2
= x2 , to f ( ( x1 , x2 ) ) = ( x1, x2 ) y lim ( )n
nf x→∞ ′ = x2
dlq lgboho x ′ ∈ ( x1 , x2 ). Otsgda neposredstvenno sleduet, çto f V xn
ε ( )( ) ⊂
⊂ ( x1 , x2 ) pry vsex n ≥ k, y tohda dlq toçky x1 vozmoΩnost\ i) obqzatel\no re-
alyzuetsq. Esly b¥ πto b¥lo ne tak, to dlq kaΩdoj toçky x ′ ∈ ( x1 , x2 ) naß-
las\ b¥ okrestnost\, kotoraq peresekalas\ b¥ ne bolee çem s koneçn¥m çyslom
mnoΩestv yz (31), çto protyvoreçyt uslovyg x ′ ∈ Q.
Dopustym, çto sup ( )( , )′∈ ′x x x f x
1 2
> x2 . Tohda v pravoj poluokrestnosty toç-
ky x1 ymeetsq beskoneçno mnoho proobrazov nepodvyΩnoj toçky x2 . Sohlasno
lemme 1 mnoΩestvo n
nf V x≥ ( )
0∪ ε ( ) sostoyt yz koneçnoho çysla komponent, y
poπtomu suwestvuet σ > 0 takoe, çto dyametr kaΩdoj yz πtyx komponent bol\-
ße σ. V¥berem δ < σ tak, çtob¥ toçka x ′ = x1 + δ b¥la proobrazom toçky x2 .
Kak m¥ znaem, ynterval [ x1 , x ′ ] peresekaetsq s beskoneçn¥m çyslom mnoΩestv
yz (31). Esly f V xj
ε ( )( ) — odno yz πtyx mnoΩestv, to [ x1 , x ′ ] peresekaetsq y so
vsej komponentoj, kotoroj prynadleΩyt f V xj
ε ( )( ) . Poskol\ku dyametr πtoj
komponent¥ bol\ße σ, komponenta „nakr¥vaet” xotq b¥ odyn proobraz
nepodvyΩnoj toçky x2 , a ymenno, toçku x ′, y tohda x ′ s neobxodymost\g
prynadleΩyt po krajnej mere odnomu yz mnoΩestv (31). Otsgda neposred-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1543
stvenno sleduet, çto dlq toçky x2 realyzuetsq svojstvo i), çto nevozmoΩno so-
hlasno naßemu predpoloΩenyg.
Takym obrazom, utverΩdenye, sformulyrovannoe v naçale p. I, dokazano.
II. PredpoloΩym, çto nepodvyΩnaq toçka, dlq kotoroj realyzuetsq voz-
moΩnost\ i), suwestvuet. Napomnym, çto
Q = Lsn
nf V x→∞ ( )ε ( ) . (33)
1. Esly mnoΩestvo f V xn* ( )ε( ) „nakr¥vaet” vmeste s toçkoj x0 ves\ ynter-
val Q, to vvydu ynvaryantnosty Q ymeem Q ⊂ f V xn
ε ( )( ) pry n ≥ n* . Otsgda
y yz sootnoßenyq (33) zaklgçaem, çto
Lin
nf V x→∞ ( )ε ( ) ⊃ Q = Lsn
nf V x→∞ ( )ε ( ) .
Sledovatel\no, predel Ltn
nf V x→∞ ( )ε ( ) suwestvuet y, bolee toho, predstavlq-
et soboj ynterval Q.
2. Rassmotrym sluçaj, kohda f V xn* ( )ε( ) ⊂ int Q. Sxodymost\ posledova-
tel\nosty yntervalov f V xn
ε ( )( ), n = 1, 2, … , opredelqetsq dynamykoj yx kon-
cev¥x toçek. Poπtomu udobno yspol\zovat\ takye oboznaçenyq:
[ yn , zn ] = f V xn
ε ( )( ), yn
* = min
*n i n
iy
≤ ≤
, zn
* = max
*n i n
iz
≤ ≤
.
Oboznaçym çerez q1 y q2 sootvetstvenno lev¥j y prav¥j konc¥ yntervala Q.
Yz (33) zaklgçaem, çto
lim inf *
n
ny
→∞
= q1 , lim sup *
n
nz
→∞
= q2 , (34)
y tohda
[ yn + 1 , zn + 1 ] � y zn n
* *,[ ], n ≥ n* . (35)
V¥delym dva al\ternatyvn¥x sluçaq:
A) suwestvuet m ≥ n* takoe, çto
[ ym + 1 , zm + 1 ] � [ ym , zm ]; (36)
V) kakovo b¥ ny b¥lo m, sootnoßenye (36) ne v¥polnqetsq.
V sluçae A) posledovatel\nost\ (31), naçynaq s n = m, sostoyt yz vloΩen-
n¥x yntervalov [ ym , z m ] � [ ym + 1 , zm + 1 ] � [ ym + 2 , zm + 2 ] � … y poπtomu qvlqet-
sq sxodqwejsq.
Perejdem k sluçag V). Pust\, dlq opredelennosty, zn* +1 > zn*
(druhoj
podsluçaj zn* +1 < zn*
yssleduetsq analohyçno s yspol\zovanyem (35)). Esly
dlq kaΩdoho k ≥ n* v¥polnqetsq neravenstvo zk + 1 ≥ zk , to tohda, sohlasno us-
lovyg V), dlq kaΩdoho k ≥ n* v¥polnqetsq y neravenstvo yk + 1 ≥ yk , çto pro-
tyvoreçyt pervomu yz sootnoßenyj (34). Takym obrazom, posledovatel\nost\ zn
ne moΩet b¥t\ monotonnoj, t. e. suwestvuet k > n* takoe, çto
zn*
< zn* +1 ≤ … ≤ zk – 1 ≤ zk > zk + 1 .
PokaΩem, çto tohda
zk + 1 ≥ zk – 1 . (37)
Yz V) sledugt neravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1544 E. G. ROMANENKO
yn*
≤ yn* +1 ≤ … ≤ yk – 1 ≤ yk .
Krome toho, v sylu i)
x0 ∈ [ yn , zn ] pry n ≥ n* .
Ytak, ymeem
yk – 2 ≤ yk – 1 ≤ yk < x0 < zk – 2 ≤ zk – 1 ≤ zk .
Poskol\ku f ( [ yk – 2 , zk – 2 ] ) = [ yk – 1 , zk – 1 ] � [ yk , zk – 2 ], na yntervale [ yk – 1 , zk – 2 ]
net proobrazov toçky zk . S druhoj storon¥, f ( [ yk – 1 , zk – 1 ] ) = [ yk , zk ]. Yz πtyx
dvux faktov zaklgçaem, çto na yntervale [ zk – 2 , zk – 1 ] ymeetsq proobraz toçky
zk , kotor¥j oboznaçym ak . Tohda vvydu sootnoßenyj f ( x0 ) = x0 , f ( ak ) = zk ,
x0 < zk – 1 ≤ zk y neprer¥vnosty f zaklgçaem, çto na yntervale [ x0 , ak ] est\
proobraz toçky zk – 1 , kotor¥j oboznaçym ak – 1 . No [ yk , zk ] � [ x0 , ak – 1 ], poπ-
tomu [ yk + 1 , zk + 1 ] = f ( [ yk , zk ] ) � [ x0 , zk – 1 ]. Sledovatel\no, neravenstvo (37)
v¥polnqetsq.
V sylu (35)
yk + 1 < yk – 1. (38)
Yz (37) y (38) v¥tekaet, çto
[ yk + 1 , zk + 1 ] ⊃ [ yk – 1 , zk – 1 ]. (39)
Prymenqq k (39) otobraΩenyq f y f 2 , naxodym, çto nezavysymo ot çetnosty k
v¥polnqgtsq vklgçenyq
[ y2 i + 2 , z2 i + 2 ] ⊃ [ y2 i , z2 i ] y [ y2 i + 3 , z2 i + 3 ] ⊃ [ y2 i + 1 , z2 i + 1 ], i >
k
2
. (40)
Otkuda zaklgçaem, çto posledovatel\nost\ (31) raspadaetsq na dve podposle-
dovatel\nosty [ y2 i , z2 i ] y [ y2 i + 1 , z2 i + 1 ], kaΩdaq yz kotor¥x, naçynaq s neko-
toroho i, sostoyt yz vloΩenn¥x yntervalov y, znaçyt, qvlqetsq sxodqwejsq.
3. Ostavßyjsq sluçaj, kohda f V xn* ( )ε( ) „nakr¥vaet” tol\ko odyn yz kon-
cov yntervala Q, analyzyruetsq analohyçno.
III. Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda dlq lgboj nepodvyΩnoj toçky realy-
zuetsq vozmoΩnost\ ii).
Tohda v sylu p. I dannoho dokazatel\stva na yntervale Q = Q f, ε ( x ) suwest-
vuet tol\ko odna nepodvyΩnaq toçka, kotorug opqt\ oboznaçym x0 . Poskol\ku
f ( Q ) = Q, to, vo-perv¥x, x0 — vnutrennqq toçka yntervala Q y, vo-vtor¥x, f
ymeet na Q cykl peryoda 2 (sm., naprymer, [1]). Sledovatel\no, na Q ymeetsq
ne menee trex nepodvyΩn¥x toçek otobraΩenyq f 2, y yz toho Ωe p. I zaklgça-
em, çto u otobraΩenyq f 2 najdetsq nepodvyΩnaq toçka, dlq kotoroj realyzu-
etsq vozmoΩnost\ i). Tohda sohlasno p. II dokazatel\stva, esly prymenyt\ eho k
otobraΩenyg f 2, suwestvuet predel
Lti
if V x→∞ ( )4
ε ( ) . (41)
PokaΩem, çto suwestvovanye predela (41) vleçet suwestvovanye predela
Lti
if V x→∞ ( )2
ε ( ) . (42)
Yz (41) sleduet, çto mnoΩestva
Ej = Lti
i jf V x→∞
+ ( )4
ε ( ) , j = 0, 1, 2, 3, (43)
opredelen¥ korrektno (pryçem kaΩdoe yz nyx lybo qvlqetsq yntervalom, lybo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1545
sostoyt yz odnoj toçky) y cyklyçesky perexodqt druh v druha pod dejstvyem f,
a ymenno,
f ( Ej ) = Ej + 1 ( mod 4 ), j = 0, 1, 2, 3. (44)
Krome toho, poskol\ku ynterval Q — verxnyj topolohyçeskyj predel posle-
dovatel\nosty (31), mnoΩestva E0 , E1 , E2 , E3 qvlqgtsq yntervalamy y
E0 ∪ E1 ∪ E2 ∪ E3 = Q. (45)
Pry πtom vsehda v¥polnqetsq kakoe-to odno yz svojstv:
1) E0 = E1 = E2 = E3 ;
2) E0 = E2 ≠ E1 = E3 ;
3) mnoΩestva E0 , E1 , E2 , E3 poparno ne soderΩatsq odno v druhom.
Otsutstvye druhyx varyantov budet dokazano, esly pokaΩem, çto nev¥polnenye
svojstva 3 vleçet v¥polnenye svojstva 1 yly 2. Vvedem oboznaçenye 〈 k 〉 =
= k ( mod 4 ) y predpoloΩym, çto
Em ⊃ En , 0 ≤ m, n ≤ 3, m ≠ n. (46)
Esly pry πtom çysla m y n oba çetn¥e yly oba neçetn¥e, to n = 〈 m + 2 〉 y
Em ⊃ E 〈 m + 2 〉 . Prymenqq k πtomu vklgçenyg otobraΩenye f 2, pryxodym k pro-
tyvopoloΩnomu vklgçenyg E 〈 m + 2 〉 ⊃ Em . Sledovatel\no, Em = E 〈 m + 2 〉 , a zna-
çyt, y E 〈 m + 1 〉 = E 〈 m + 3 〉. Takym obrazom, E0 = E2 y E1= E3 nezavysymo ot znaçe-
nyq m. ∏to vleçet v¥polnenye svojstva 1 yly 2. Esly Ωe odno yz çysel m y
n çetnoe, a druhoe neçetnoe, to lybo n = 〈 m + 1 〉, lybo n = 〈 m + 3 〉. V pervom
sluçae yz sootnoßenyq Em ⊃ E 〈 m + 1 〉 naxodym Em ⊃ E 〈 m + 1 〉 ⊃ E 〈 m + 2 〉 ⊃ E 〈 m + 3 〉 ⊃
⊃ Em, y tohda E0 = E1 = E2 = E3 , t. e. ymeet mesto svojstvo 1. Vtoroj sluçaj
analohyçn¥m obrazom pryvodyt k πtomu Ωe rezul\tatu.
Vozvratymsq k dokazatel\stvu suwestvovanyq predela (42). Ynterval Q,
kak m¥ znaem, soderΩyt nepodvyΩnug toçku x0 otobraΩenyq f. Vvydu (45) hy-
potetyçesky vozmoΩn¥ lyß\ dve sytuacyy.
1. Toçka x0 prynadleΩyt vnutrennosty kakoho-to yntervala Ej , 0 ≤ j ≤ 3.
Odnako πto, kak netrudno vydet\, protyvoreçyt (43): v sylu ii) okrestnosty to-
çek x ′ ∈ Ej , otlyçn¥x ot x0 , ne mohut peresekat\sq so vsemy, naçynaq s neko-
toroho i, mnoΩestvamy posledovatel\nosty f V xi j4 + ( )ε ( ) , i = 0, 1, … .
2. Toçka x0 — hranyçnaq toçka neskol\kyx yz yntervalov E0 , E1 , E2 , E3
(ymenno neskol\kyx, tak kak ynaçe x0 b¥la b¥ hranyçnoj toçkoj yntervala Q ,
çto ysklgçeno). ∏to, v çastnosty, oznaçaet, çto mnoΩestva E0 , E1 , E2 , E3 ne
mohut obladat\ svojstvom 1. Dalee, kak yz svojstva 2, tak y yz svojstva 3 sle-
duet, çto x0 qvlqetsq hranyçnoj toçkoj tol\ko dvux (smeΩn¥x) yntervalov,
naprymer, Em y En . Poskol\ku f ( x0 ) = x0 , xotq b¥ odyn yz yntervalov Em , En
perexodyt v druhoj pry otobraΩenyy f; pust\, dlq opredelennosty, En = f ( Em ),
t.Ue. En = E 〈 m + 1 〉 . Zdes\ opqt\ hypotetyçesky vozmoΩn¥ dva sluçaq:
a) f ( E 〈 m + 1 〉 ) = Em ;
b) f ( E 〈 m + 1 〉 ) = E 〈 m + 2 〉 ≠ Em .
V sluçae a) ymeem Em = E 〈 m + 2 〉 y E 〈 m + 1 〉 = E 〈 m + 3 〉. Otsgda sleduet, çto E0 = E2
y E1 = E3 , kakovo b¥ ny b¥lo 0 ≤ m ≤ 3 (otkuda v svog oçered\ v¥tekaet svoj-
stvo 2, poskol\ku svojstvo 1, kak otmeçeno v¥ße, ne v¥polnqetsq). Vvydu (43)
pervoe yz πtyx ravenstv oznaçaet, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
1546 E. G. ROMANENKO
Lti
if V x→∞ ( )2 2( ) ( )ε = Lti
if V x→∞
+ ( )2 2 1( ) ( )ε ,
y, sledovatel\no, predel (42) suwestvuet.
Rassmotrym sluçaj b). Poskol\ku f ( x0 ) = x0 , est\ dve vozmoΩnosty:
ynterval E 〈 m + 2 〉 lybo soderΩyt, lybo soderΩytsq sam v odnom yz ynterva-
lov Em , E 〈 m + 1 〉, no πto „zapreweno” svojstvom 3;
spravedlyvo ravenstvo E 〈 m + 2 〉 = E 〈 m + 1 〉 ; odnako tohda E0 = E1 = E2 = E3 = Q,
t. e. ymeet mesto svojstvo 1, çto, kak m¥ znaem, „zapreweno” uslovyem
x0 ∈ int Q.
Takym obrazom, realyzuem¥m qvlqetsq tol\ko sluçaj a). Sledovatel\no,
predel (42) suwestvuet, a tohda on s neobxodymost\g sovpadaet s predelom (41).
IV. Ytak, dlq lgboho ε > 0 suwestvuet topolohyçeskyj predel
Lti
if V x→∞ ( )2
ε ( ) , kotor¥j oboznaçym Q x
f 2 ,
( )ε . Yz (32) naxodym
ε
ε
>0
2∩ Q x
f ,
( ) = Q x
f 2 ( ) , (47)
otkuda, v çastnosty, sleduet, çto pry lgbom ε > 0 Q x
f 2 ,
( )ε ⊇ Q x
f 2 ( ) y, zna-
çyt, f V xi2
ε ( )( ) ∩ Q x
f 2 ( ) ≠ ∅, naçynaq s nekotoroho i > 0. PredpoloΩym, çto
x — pravyl\naq neustojçyvaq toçka, t. e.
f xk ( ) ∈ int Qf (x) dlq nekotoroho k ≥ 0, (48)
y dokaΩem (30).
1′. Srazu Ωe zametym sledugwee. Esly Q x
f 2 ,
*
( )ε = Q x
f 2 ( ) dlq kakoho-ny-
bud\ ε* > 0, to yz (47) y vloΩennosty mnoΩestv Q x
f 2 ,
( )ε po ε ymeem
Q x
f 2 ( ) � Q x
f 2 ,
( )ε � Q x
f 2 ,
*
( )ε = Q x
f 2 ( ) pry ε < ε* .
Sledovatel\no, Q x
f 2 ,
( )ε = Q x
f 2 ( ) , kohda ε < ε* , t. e. sootnoßenye (30)
spravedlyvo.
2 ′. Rassmotrym dve vozmoΩn¥e sytuacyy v zavysymosty ot toho, sovpadagt
yly ne sovpadagt mnoΩestva Q x
f 2 ( ) y Qf (x).
a′. Pust\ Q x
f 2 ( ) = Qf (x). Tohda vvydu (48) f xk ( ) ∈ int Q x
f 2 ( ) y v sylu ne-
prer¥vnosty f najdetsq ε* > 0, dlq kotoroho f V xj
ε
*
( )( ) ⊂ Q x
f 2 ( ) pry j ≥ k.
Poπtomu f V xi2
ε
*
( )( ) ⊂ Q x
f 2 ( ) pry i > 1 + k / 2 y tohda Q x
f 2 ,
*
( )ε � Q x
f 2 ( ) . S
druhoj storon¥, yz (47) ymeem Q x
f 2 ,
*
( )ε � Q x
f 2 ( ) . Sledovatel\no, Q x
f 2 ,
*
( )ε =
= Q x
f 2 ( ) y v sylu p. 1′ pryxodym k sootnoßenyg (30).
b′. Esly Q x
f 2 ( ) ≠ Qf ( x ), to sohlasno sledstvyg yz lemm¥ 1 oblast\ vlyq-
nyq Qf ( x ) qvlqetsq obæedynenyem dvux (perexodqwyx druh v druha) smeΩn¥x
yntervalov Q0 = Q x
f 2 ( ) y Q1 = f Q x
f 2 ( )( ), obwaq hranyçnaq toçka kotor¥x
nepodvyΩna pry otobraΩenyy f. Oboznaçym πtu nepodvyΩnug toçku çerez z .
Pust\ v (48), dlq opredelennosty, k neçetnoe. Tohda vvydu predloΩenyq 1
ymeem f xk ( ) ∈ Q1 (dejstvytel\no, esly f xk ( ) ∈ Q0 , to f xk+1( ) ∈ Q1 , y, sle-
dovatel\no, f xj2 ( ) ∈ Q1 pry j ≥ ( k + 1 ) / 2; s druhoj storon¥, yz predloΩenyq
1 v¥tekaet, çto vse çetn¥e yteracyy f xj2 ( ) toçky x prynadleΩat ynter-
valuUUQ0 ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
DYNAMYKA OKRESTNOSTEJ TOÇEK PRY NEPRERÁVNOM OTOBRAÛENYY … 1547
Esly suwestvuet ε* > 0 takoe, çto f V xk
ε
*
( )( ) ⊂ Q1 (takoe ε* , koneçno, za-
vedomo najdetsq, esly f xk ( ) ∈ int Q1 ), to f V xk+ ( )1
ε
*
( ) � Q0 y, sledovatel\no,
f V xi2
ε
*
( )( ) � Q0 pry vsex i ≥ ( k + 1 ) / 2. Dalee dokazatel\stvo sootnoßenyq
(30) provodytsq tak Ωe, kak v sluçae a ′.
PredpoloΩym, çto f V xk
ε ( )( ) � Q1 ny pry kakom ε > 0. Tohda f xk ( ) = z y
dlq lgboho dostatoçno maloho ε > 0 moΩno ukazat\ σ > 0 takoe, çto
Vσ ( z ) ⊂ f V xk
ε ( )( ) ⊂ Qf ( x ).
Otsgda (rassuΩdaq, kak v p. a ′) naxodym Q x
f 2 ( ) = Q0 ∪ Q1 = Qf ( x ), çto nevoz-
moΩno v sluçae b ′. Sledovatel\no, naße predpoloΩenye nerealyzuemo, çto za-
verßaet dokazatel\stvo.
Dokazatel\stvo teorem¥. Oblast\ vlyqnyq Qf ( x ) toçky x ∈ D ( f ) qvlq-
etsq (sohlasno lemme 1) cyklom yntervalov otobraΩenyq f. Pust\ p — peryod
πtoho cykla yntervalov. Tohda oblast\ vlyqnyq Q x
f p ( ) toçky x pry otobra-
Ωenyy f p
predstavlqet soboj ynterval. Yz lemm¥ 2, esly ee prymenyt\ k
otobraΩenyg f p
, sleduet, çto topolohyçeskyj predel Lti
pif U x→∞ ( )2
ε ( ) su-
westvuet y qvlqetsq nev¥roΩdenn¥m yntervalom, kotor¥j oboznaçym J0 ( ε ).
Yz toj Ωe lemm¥ zaklgçaem, çto J0 ( ε ) = Q x
f p2 ( ) pry vsex dostatoçno mal¥x
ε > 0, esly tol\ko x ∈ Dp ( f ). Otsgda y yz opredelenyq ε ω-mnoΩestva srazu
Ωe sledugt oba utverΩdenyq teorem¥.
1. Íarkovskyj A. N., Majstrenko G. L., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y yx prylo-
Ωenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1986. – 280 s.
2. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1966. – T. 1. – 594 s.
3. Fedorenko V. V. Topolohyçeskyj predel traektoryj yntervala prostejßyx odnomern¥x
dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S. 425 – 430.
4. Íarkovskyj A. N., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y dynamyçeskye system¥, po-
roΩdaem¥e nekotor¥my klassamy kraev¥x zadaç // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 2004. – 244. –
S.U281 – 296.
5. Block L. S., Coppel W. A. Dynamics in one dimension // Lect. Notes Math. – 1992. – 1513. –
247 p.
Poluçeno 17.12.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3705 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:25Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/12716d7e7624fb44a13e33235f871948.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37052020-03-18T20:02:37Z Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval Динамика окрестностей точек при непрерывном отображении интервала Romanenko, Ye. Yu. Романенко, Е. Ю. Романенко, Е. Ю. Let $\{ I, f Z^{+} \}$ be a dynamical system induced by the continuous map $f$ of a closed bounded interval $I$ into itself. In order to describe the dynamics of neighborhoods of points unstable under $f$, we suggest a notion of $\varepsilon \omega - {\rm set} \omega_{f, \varepsilon}(x)$ of a point $x$ as the $\omega$-limit set of $\varepsilon$-neighborhood of $x$. We investigate the association between the $\varepsilon \omega - {\rm set}$ and the domain of influence of a point. We also show that the domain of influence of an unstable point is always a cycle of intervals. The results obtained can be directly applied in the theory of continuous time difference equations and similar equations. Нехай $\{ I, f Z^{+} \}$ — динамічна система, індукована неперервним відображенням $f$ замкненого обмеженого інтервалу $I$ в себе. Для опису динаміки околів точок, нестійких при відображенні $f$, запропоновано поняття $\varepsilon \omega$-множини $\omega_{f, \varepsilon}(x)$ точки $x$ як $\omega$-граничної множини $\varepsilon$-околу точки $x$. Досліджено зв'язок між $\varepsilon \omega$-множиною й областю впливу точки. Показано також, що область впливу нестійкої точки завжди є циклом інтервалів. Одержані результати знаходять безпосереднє застосування в теорії різницевих рівнянь з неперервним часом та близьких до них рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3705 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 11 (2005); 1534–1547 Український математичний журнал; Том 57 № 11 (2005); 1534–1547 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3705/4135 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3705/4136 Copyright (c) 2005 Romanenko Ye. Yu. |
| spellingShingle | Romanenko, Ye. Yu. Романенко, Е. Ю. Романенко, Е. Ю. Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title | Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title_alt | Динамика окрестностей точек при непрерывном отображении интервала |
| title_full | Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title_fullStr | Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title_full_unstemmed | Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title_short | Dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| title_sort | dynamics of neighborhoods of points under a continuous mapping of an interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3705 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkoyeyu dynamicsofneighborhoodsofpointsunderacontinuousmappingofaninterval AT romanenkoeû dynamicsofneighborhoodsofpointsunderacontinuousmappingofaninterval AT romanenkoeû dynamicsofneighborhoodsofpointsunderacontinuousmappingofaninterval AT romanenkoyeyu dinamikaokrestnostejtočekprinepreryvnomotobraženiiintervala AT romanenkoeû dinamikaokrestnostejtočekprinepreryvnomotobraženiiintervala AT romanenkoeû dinamikaokrestnostejtočekprinepreryvnomotobraženiiintervala |