Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form
We consider the problem of free oscillations of an ideal incompressible liquid in cavities of complex geometric form. The domain filled with liquid is divided into subdomains of simpler geometric form. The original problem is reduced to the spectral problem for a part of the domain filled with liqui...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3711 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509844648230912 |
|---|---|
| author | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. |
| author_facet | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. |
| author_sort | Barnyak, M. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:57Z |
| description | We consider the problem of free oscillations of an ideal incompressible liquid in cavities of complex geometric form. The domain filled with liquid is divided into subdomains of simpler geometric form. The original problem is reduced to the spectral problem for a part of the domain filled with liquid. To this end, we use solutions of auxiliary boundary-value problems in subdomains. We construct approximate solutions of the problem obtained using the variational method. We also consider the problem of the rational choice of a system of coordinate functions. Results of the numerical realization of the proposed method are presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 532.595
M. Q. Barnqk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI
PRO VLASNI KOLYVANNQ IDEAL|NO} RIDYNY
V POROÛNYNAX SKLADNO} HEOMETRYÇNO} FORMY
The problem of natural oscillations of an ideal incompressible liquid in a vessel of complex geometric
form is considered. The region filled with the liquid is divided into subregions of simpler geometric
forms. The initial problem is reduced to the spectral problem for a part of the region filled with the
liquid. For this purpose, solutions of auxiliary boundary-value problems in subregions are used.
Approximated solutions of the obtained problem are constructed with the help of the variational method.
Problems of rational choice of a system of coordinate functions are also considered. Results of the
numerical realization of the proposed method are presented.
Rozhlqda[t\sq zadaça pro vlasni kolyvannq ideal\no] nestyslyvo] ridyny v poroΩnynax
skladno] heometryçno] formy. Oblast\, zapovnena ridynog, rozbyva[t\sq na pidoblasti bil\ß
prosto] heometryçno] formy. Poçatkova zadaça zvodyt\sq do spektral\no] zadaçi dlq çastyny
oblasti, zapovneno] ridynog. Dlq c\oho vykorystovugt\sq rozv’qzky dopomiΩnyx krajovyx
zadaç u pidoblastqx. NablyΩeni rozv’qzky otrymano] zadaçi budugt\sq variacijnym metodom.
Rozhlqdagt\sq takoΩ pytannq racional\noho vyboru systemy koordynatnyx funkcij. Navedeno
rezul\taty çyslovo] realizaci] zaproponovanoho metodu.
0. Vstup. Vlasni kolyvannq ideal\no] nestyslyvo] ridyny, qka çastkovo zapov-
ng[ poroΩnynu neruxomoho tverdoho tila, opysugt\sq krajovog spektral\nog
zadaçeg
∆ ϕ = 0 v Ω ,
∂
∂
ϕ
n
= λ ϕ na Σ ,
∂
∂
ϕ
n
= 0 na S, ϕ dS
Σ
∫ = 0, (0.1)
de Ω — oblast\, zapovnena ridynog j obmeΩena tverdog stinkog poroΩnyny S
ta nezburenog vil\nog poverxneg ridyny Σ , ϕ ω( , , ) cos( )x y z t — potencial
ßvydkostej çastynok ridyny, ( , , )x y z — bezrozmirni dekartovi koordynaty, wo
vidneseni do xarakternoho linijnoho rozmiru L vil\no] poverxni ridyny, pryço-
mu vis\ Oz naprqmlena vertykal\no vhoru, λ ω= −2 1Lg — spektral\nyj para-
metr, ω — çastota vlasnyx kolyvan\ ridyny, g — pryskorennq syl zemnoho tq-
Ωinnq.
Zadaça (0.1) opysu[ tak zvani mali vlasni kolyvannq ridyny v tomu sensi, wo
velyçyny ßvydkosti ridyny
�
v = ∇ϕ ta vertykal\noho vidxylennq vil\no] po-
verxni ridyny h n= ∂ ∂ϕ / vvaΩa[mo nastil\ky malymy, wo kvadratamy, dobut-
kamy i bil\ß vysokymy ]x stepenqmy moΩna znextuvaty porivnqno z perßymy ]x
stepenqmy. Krim c\oho vsi krajovi umovy znosqt\sq iz zbureno] vil\no] poverxni
na nezburenu vil\nu poverxng Σ .
Osnovni pytannq, pov’qzani z doslidΩennqm isnuvannq rozv’qzkiv zadaçi (0.1),
vlastyvostqmy spektra ta vlasnyx funkcij zadaçi (0.1), ©runtovno doslidΩeni v
robotax [1 – 5]. Navedemo deqki tverdΩennq z robit [4, 5], qki budut\ vykorys-
tani v danij roboti.
Rozhlqnemo hil\bertiv prostir funkcij W2
1( )Ω , intehrovnyx z kvadratom ra-
zom iz perßymy ]x poxidnymy v oblasti Ω . Skalqrnyj dobutok u W2
1( )Ω zadano
takym çynom:
( , )
( )
u
W
v
2
1 Ω =
∇ ⋅∇ +∫ ∫ ∫u d u dS dSv vΩ
Ω Σ Σ
.
Nexaj L2( )Σ — pidprostir funkcij L2( )Σ , intehrovnyx z kvadratom, qki zado-
vol\nqgt\ umovu
udS
Σ
∫ = 0, (0.2)
© M. Q. BARNQK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1587
1588 M. Q. BARNQK
a W2
1( )Ω — pidprostir hil\bertovoho prostoru W2
1( )Ω funkcij u, hranyçni
znaçennq qkyx u LΣ Σ∈ 2( ) , tobto
W2
1( )Ω = W L2
1
2( ) ( )Ω Σ∩ . (0.3)
Skalqrnyj dobutok v W2
1( )Ω ma[ vyhlqd
( , )
( )
u
W
v
2
1 Ω =
∇ ⋅∇∫ u dv Ω
Ω
. (0.4)
Poznaçymo çerez H1( )Ω pidprostir harmoniçnyx funkcij u W∈ 2
1( )Ω , qki
zadovol\nqgt\ umovu
∂
∂
u
n
= 0 na S, (0.5)
a çerez H H1 1( ) ( )Ω Ω⊂ pidprostir harmoniçnyx funkcij, qki krim umovy (0.5)
zadovol\nqgt\ takoΩ umovu (0.2).
Nexaj u H∈ 1( )Ω i u = ϕ na Σ . Znaçennq normal\no] poxidno] ∂ ∂u n/ na
Σ poznaçymo çerez T ϕ , tobto T ϕ = ∂ ∂u n/ . Intehro-dyferencial\nyj
operator T di[ na klasi funkcij ϕ , qki moΩna takym çynom prodovΩyty na
vsg oblast\ Ω , wob oderΩana funkciq naleΩala prostoru W2
1( )Ω . Inßymy
slovamy, operator T stavyt\ u vidpovidnist\ funkci] ϕ , qka zadana na Σ i
zadovol\nq[ umovu (0.2), znaçennq zovnißn\o], po vidnoßenng do Ω , normal\no]
poxidno] na Σ vid funkci] u , qka [ rozv’qzkom nastupno] mißano] krajovo] za-
daçi dlq rivnqnnq Laplasa:
∆ u = 0 v Ω , u = ϕ na Σ ,
∂
∂
u
n
= 0 na S, ϕ dS
Σ
∫ = 0.
Zadaça (0.1) zvodyt\sq do spektral\no] zadaçi dlq operatora T
T ϕ = λ ϕ. (0.6)
U roboti [4] dovedeno nastupnu teoremu.
Teorema+0.1. Spektr samosprqΩenoho operatora T , qkyj di[ v hil\berto-
vomu prostori L2( )Σ , dyskretnyj, tobto:
a) isnu[ neskinçenna poslidovnist\ vlasnyx znaçen\ ( 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ … )
skinçenno] kratnosti, qki magt\ [dynu toçku zhuwennq na neskinçennosti;
b) hranyçni znaçennq vlasnyx funkcij ϕn Σ na Σ utvorggt\ povnu orto-
normovanu systemu funkcij v L2( )Σ .
Krim toho, funkci] ϕn x y z( , , ) utvorggt\ takoΩ povnu j ortohonal\nu
systemu funkcij v H1( )Ω .
Toçni rozv’qzky zadaçi (0.1) vda[t\sq pobuduvaty til\ky dlq poroΩnyn pro-
sto] heometryçno] formy, a same dlq cylindryçnyx poroΩnyn iz popereçnym pe-
rerizom u vyhlqdi kruha, prqmokutnyka abo kil\cq. Dlq poroΩnyn bil\ß
skladno] heometryçno] formy zastosovugt\ rizni nablyΩeni metody, zokrema
variacijnyj metod. Spektral\na zadaça (0.1) ekvivalentna variacijnij zadaçi na
minimum funkcionala
F ( ϕ ) =
( , )
( , )
( )
( )
T L
L
ϕ ϕ
ϕ ϕ
2
2
Σ
Σ
=
( )∇∫
∫
ϕ
ϕ
2
2
d
dS
Ω
Ω
Σ
(0.7)
na klasi funkcij ϕ ∈ H1( )Ω .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1589
Najmenße vlasne znaçennq zadaçi (0.1) λ ϕ1 = min ( )F , qkwo ϕ ∈ H1( )Ω .
Funkciq ϕ1 , dlq qko] cej minimum dosqha[t\sq, [ vidpovidnog vlasnog funk-
ci[g zadaçi. Nastupni vlasni znaçennq λn vyznaçagt\sq qk minimum funkciona-
la F ( ϕ ) na funkciqx ϕ ∈ H1( )Ω , qki zadovol\nqgt\ umovy ortohonal\nosti
ϕϕidS
Σ
∫ = 0, i = 1, 2, … , n – 1. (0.8)
Vyqvlq[t\sq, wo funkcional F ( ϕ ) moΩna minimizuvaty na bil\ß ßyrokomu
klasi funkcij, niΩ H1( )Ω , a same na vs\omu prostori funkcij W2
1( )Ω . Cq vla-
styvist\ ©runtu[t\sq na rozkladi hil\bertovoho prostoru W2
1( )Ω iz skalqrnym
dobutkom (0.4) v prqmu sumu dvox vza[mno ortohonal\nyx pidprostoriv [6]:
W2
1( )Ω =
0
2
1
1W H( ) ( )Ω Ω� , (0.9)
de
0
2
1W ( )Ω — pidprostir funkcij u W0 2
1∈ ( )Ω , hranyçni znaçennq qkyx na Σ do-
rivnggt\ nulg. OtΩe, dovil\nu funkcig u W∈ 2
1( )Ω moΩna podaty u vyhlqdi
u u= +0 ϕ , de u0 ∈
0
2
1W ( )Ω , ϕ ∈ H1( )Ω , i funkcional F ( u ) nabyra[ vyhlqdu
F ( u0 + ϕ ) =
( ) ( )∇ + ∇∫ ∫
∫
ϕ
ϕ
2
0
2
2
d u d
dS
Ω Ω
Ω Ω
Σ
≥ F ( ϕ ) ,
pryçomu rivnist\ moΩlyva lyße u vypadku u0 0≡ .
OtΩe, obmeΩennq na funkci] porivnqnnq, wo zumovleni umovog (0.5), moΩna
znqty. Cq obstavyna duΩe sutt[va same pry realizaci] variacijnoho metodu po-
budovy rozv’qzkiv zadaçi dlq oblastej skladno] heometryçno] formy. Na klasi
funkcij ϕ, qki zadovol\nqgt\ rivnqnnq Laplasa,
F ( ϕ ) =
ϕ ϕ
ϕ
∂
∂+∫
∫
n
dS
dS
SΣ
Σ
2 . (0.10)
Dlq minimizaci] funkcionala F ( ϕ ) vykorystovu[t\sq metod Ritca [7], zhidno z
qkym nablyΩenyj rozv’qzok zadaçi aproksymu[mo skinçennog sumog
ϕN = a wk k
k
N
=
∑
1
,
de { }wk k=
∞
1 — deqka systema koordynatnyx funkcij, wo [ povnog v pidprostori
harmoniçnyx funkcij H ( Ω ) ⊂ W2
1( )Ω . Uspix zastosuvannq variacijnoho metodu
v osnovnomu zaleΩyt\ vid vyboru systemy koordynatnyx funkcij. Odnak, qkwo
oblast\ Ω ma[ dostatn\o skladnu heometryçnu formu, vybraty taku systemu
funkcij skladno.
1. Zvedennq zadaçi pro vlasni kolyvannq ridyny v posudyni do posli-
dovnosti krajovyx zadaç u pidoblastqx. Nexaj oblast\ Ω rozdileno deqkog
odnozv’qznog dostatn\o hladkog poverxneg G, wo ne peretyna[ poverxng Σ,
na dvi zirkovi pidoblasti Ω0 i Ω1 . Todi poverxnq S takoΩ rozdilyt\sq na dvi
çastyny S0 i S1 ; oblast\ Ω0 bude obmeΩena poverxnqmy Σ, S0 i G, a oblast\
Ω1 — poverxnqmy G ta S1 .
Poznaçymo funkcig ϕ v oblasti Ω1 çerez u ta zadamo na poverxni rozdilu
oblastej Ω0 i Ω1 umovy sprqΩennq ϕ = u i ∂ ∂ϕ / n = – ∂ ∂u n/ 1, de
�
n1 = –
�
n
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1590 M. Q. BARNQK
— ort zovnißn\o], po vidnoßenng do Ω1 , normali do G. Todi zadaçu (0.1) moΩ-
na perepysaty u vyhlqdi
∆ ϕ = 0 v Ω 0 ,
∂
∂
ϕ
n
= λ ϕ na Σ ,
∂
∂
ϕ
n
= 0 na S0 , ϕ dS
Σ
∫ = 0,
(1.1)
∂
∂
ϕ
n
= –
∂
∂
u
n1
, ϕ = u na G, ∆ u = 0 v Ω1 ,
∂
∂
u
n
= 0 na S1 .
Vydilymo iz zadaçi (1.1) okremo zadaçu
∆ u = 0 v Ω1 ,
∂
∂
u
n
= 0 na S1 , u = ϕ na G. (1.2)
Rozv’qzugçy cg zadaçu, a potim obçyslggçy poxidnu po normali
�
n1 vid funkci]
u, my tym samym vyznaça[mo na G intehro-dyferencial\nyj operator T1 , qkyj
analohiçnyj operatoru T, ale vyznaça[t\sq na osnovi zadaçi (1.2) i di[ v klasi
funkcij iz L G2( ), qki moΩna takym çynom prodovΩyty v oblast\ Ω1 , wob
oderΩana funkciq naleΩala prostoru W2
1
1( )Ω . Krim c\oho operator T1 , na
vidminu vid operatora T, di[ na klasi funkcij, na qki ne naklada[t\sq dodatkova
umova ortohonal\nosti do konstanty na L G2( ). Pry c\omu zauvaΩymo, wo T1 c =
= 0, oskil\ky rozv’qzok zadaçi (1.2) dlq ϕ = c takoΩ dorivng[ cij Ωe konstan-
ti c, a tomu funkcig ϕ v zadaçi (1.2), pry vyznaçenni rezul\tatu di] operatora
T1 , moΩna zadavaty z toçnistg do dovil\no] konstanty, tobto F1 ( ϕ + c ) =
= F1 ( ϕ ) . Cg obstavynu bude vykorystano nyΩçe pry pobudovi rozv’qzkiv zadaçi.
Teper zadaçu (1.1) perepyßemo u vyhlqdi
∆ ϕ = 0 v Ω 0 ,
∂
∂
ϕ
n
= λ ϕ na Σ ,
∂
∂
ϕ
n
= 0 na S0 , ϕ dS
Σ
∫ = 0,
(1.3)
∂
∂
ϕ
n
+ T1 ϕ = 0 na G.
Takym çynom, spektral\na krajova zadaça (0.1) v oblasti Ω zvodyt\sq do
spektral\no] krajovo] zadaçi v pidoblasti Ω0 . U krajovij umovi ci[] zadaçi mis-
tyt\sq operator T1 , wo vyznaça[t\sq ßlqxom pobudovy rozv’qzkiv zadaçi (1.2) v
pidoblasti Ω1 .
2. Variacijnyj metod pobudovy rozv’qzkiv zadaçi. Poznaçymo klas roz-
v’qzkiv rivnqnnq Laplasa iz W2
1
0( )Ω , hranyçni znaçennq qkyx na G naleΩat\
oblasti vyznaçennq operatora T1 i, krim toho, zadovol\nqgt\ umovu (0.2) ta
krajovi umovy
∂
∂
ϕ
n
= 0 na S0 ,
∂
∂
ϕ
n
+ T1 ϕ = 0 na G, (2.1)
çerez H T1 0, ( )Ω .
Vyznaçymo na H T1 0, ( )Ω funkcional
FT ( ϕ ) =
∂
∂∫
∫
ϕ ϕ
ϕ
n
dS
dS
Σ
Σ
2 . (2.2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1591
Cej funkcional moΩna peretvoryty do vyhlqdu
FT ( ϕ ) =
∂
∂
+ ∂
∂
+
+∫ ∫
∫
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
n
dS
n
T dS
dS
S GΣ
Σ
0
1
2 =
=
∂
∂
+
+ +∫ ∫
∫
ϕ ϕ ϕϕ
ϕ
n
dS T dS
dS
S G GΣ
Σ
0
1
2 =
( )∇ +∫ ∫
∫
ϕ ϕϕ
ϕ
2
1
2
0
d T dS
dS
G
Ω
Ω
Σ
. (2.3)
Oblast\ vyznaçennq funkcionala FT ( ϕ ), qkyj zadano u vyhlqdi (2.3), moΩna
rozßyryty do takyx funkcij ϕ iz W2
1
0( )Ω , hranyçni znaçennq qkyx na G
naleΩat\ oblasti vyznaçennq operatora T1 . Poznaçymo cej pidprostir funkcij
çerez W T2
1
0, ( )Ω .
Dovedemo nastupnu teoremu.
Teorema+2.1. Najmenße vlasne znaçennq zadaçi (1.3) dorivng[ minimal\nomu
znaçenng funkcionala FT ( ϕ ) na klasi funkcij ϕ ∈W T2
1
0, ( )Ω . Funkciq ϕ1 , qka
nada[ minimum funkcionalu F T ( ϕ ) , [ vidpovidnog c\omu vlasnomu znaçenng
vlasnog funkci[g zadaçi (1.3). Nastupne n -te vlasne znaçennq zadaçi (1.3)
dorivng[ minimal\nomu znaçenng funkcionala FT ( ϕ ) na klasi funkcij ϕ ∈
∈ W 1
0( )Ω , qki zadovol\nqgt\ dodatkovi umovy ortohonal\nosti
ϕ ϕi dS
Σ
∫ = 0, i = 1, … , n – 1.
Funkciq ϕn , qka nada[ cej minimum funkcionalu F T ( ϕ ) , [ vidpovidnog n-g
vlasnog funkci[g zadaçi (1.3).
Dovedennq. Nexaj v oblasti Ω zadano deqku funkcig ϕ ∈W2
1( )Ω , tobto
funkcig, qka naleΩyt\ oblasti vyznaçennq funkcionala F ( ϕ ) . Na cij
funkci], qk na takij, wo vyznaçena v oblasti Ω0 vklgçno z G, moΩna
vyznaçyty takoΩ i funkcional FT ( ϕ ) takym çynom.
Funkcig ϕ v oblasti Ω1 , zhidno z [6], moΩna podaty u vyhlqdi sumy dvox
funkcij ϕ = ϕ0 + ϕ1 , de ϕ0 ∈
0
2
1
1W ( )Ω , ϕ1 ∈ H1 ( Ω1 ) . Tut
0
2
1
1W ( )Ω — pidpros-
stir funkcij u0 ∈ W2
1
1( )Ω , hranyçni znaçennq qkyx na G dorivnggt\ nulg,
H1 ( Ω1 ) — pidprostir harmoniçnyx funkcij, qki zadovol\nqgt\ umovu ∂ ∂ϕ / n =
= 0 na S1 .
Todi
FT ( ϕ ) =
( ) ( )∇ + ∇∫ ∫
∫
ϕ ϕ
ϕ
2
1
2
2
0 1
d d
dS
Ω Ω
Ω Ω
Σ
,
a funkcional
F ( ϕ ) =
( ) ( ) ( )∇ + ∇ + ∇∫ ∫ ∫
∫
ϕ ϕ ϕ
ϕ
2
1
2
0
2
2
0 1 1
d d d
dS
Ω Ω Ω
Ω Ω Ω
Σ
.
OtΩe, F ( ϕ ) ≥ FT ( ϕ ) dlq dovil\no] funkci] ϕ . Znaçennq obox funkcionaliv
na harmoniçnyx v oblasti Ω1 funkciqx ϕ , wo zadovol\nqgt\ umovu ∂ ∂ϕ / n =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1592 M. Q. BARNQK
= 0 na S1 , zbihagt\sq. A oskil\ky minimum funkcionala F ( ϕ ) dosqha[t\sq
takoΩ na funkci] ϕ , wo zadovol\nq[ umovu ∂ ∂ϕ / n = 0 na S1 , to minimumy
obox funkcionaliv zbihagt\sq ta dosqhagt\sq na odnij i tij samij funkci], wo i
dovodyt\ tverdΩennq teoremy.
Funkcional FT ( ϕ ) moΩna podaty takoΩ u vyhlqdi
FT ( ϕ ) = K ( ϕ, u ) =
( ) ( )∇ + ∇∫ ∫
∫
ϕ
ϕ
2 2
2
0 1
d u d
dS
Ω Ω
Ω Ω
Σ
, (2.4)
de u vyznaça[t\sq qk rozv’qzok krajovo] zadaçi (1.2), abo, inßymy slovamy, u ∈
∈ H1 ( Ω1 ) ta u = ϕ na G. Rozhlqnemo funkcional K ( ϕ, u ) na bil\ß ßyroko-
mu klasi funkcij, a same, na funkciqx u ∈ W2
1
1( )Ω , qki zadovol\nqgt\ umovu
u = ϕ na G. Dovil\nu funkcig u ∈ W2
1
1( )Ω moΩna podaty u vyhlqdi sumy u =
= u1 + u0 , de u1 ∈ H1 ( Ω1 ) , u0 ∈
0
2
1
1W ( )Ω . Vraxovugçy ortohonal\nist\ funk-
cij u1 ta u0 v W2
1
1( )Ω , ma[mo
( )∇∫ u d2
1
Ω
Ω
=
Ω Ω
Ω Ω
1 1
1
2
0
2∫ ∫∇ + ∇( ) ( )u d u d .
OtΩe, dlq funkcionala K ( ϕ, u ) spravdΩu[t\sq ocinka
K ( ϕ, u ) =
( ) ( ) ( )∇ + ∇ + ∇∫ ∫ ∫
∫
ϕ
ϕ
2
0
2
1
2
2
0 1 1
d u d u d
dS
Ω Ω Ω
Ω Ω Ω
Σ
≥
≥
( ) ( )∇ + ∇∫ ∫
∫
ϕ
ϕ
2
1
2
2
0 1
d u d
dS
Ω Ω
Ω Ω
Σ
= K ( ϕ, u1 ) = FT ( ϕ ) . (2.5)
Na osnovi teoremy 0.1 ta navedeno] vywe ocinky funkcionala K u( , )ϕ spraved-
lyvog [ nastupna teorema.
Teorema+2.2. Minimum funkcionala K ( ϕ, u ) , qkyj vyznaçeno na klasi funk-
cij ϕ i u, wo zadovol\nqgt\ umovy u = ϕ n a G ta intehrovni z kvadra-
tom razom iz perßymy çastynnymy poxidnymy vidpovidno po oblastqx Ω0 i Ω1 ,
dosqha[t\sq na funkciqx ϕ ∈ H ( Ω0 ) i u ∈ H1 ( Ω1 ) .
ZauvaΩymo, wo tverdΩennq ci[] teoremy moΩna oderΩaty i bezposeredn\o qk
naslidok iz teoremy 0.1, minimizugçy funkcional F ( ϕ ) na funkciqx ϕ , zada-
nyx takym çynom:
ϕ =
ϕ v
na
v
Ω
Ω
0
1
,
,
,
u G
u
(2.6)
de u = ϕ na G, funkci] ϕ i u intehrovni z kvadratom razom iz perßymy ças-
tynnymy poxidnymy po oblastqx Ω0 i Ω1 vidpovidno. Dovil\na funkciq, qka
zada[t\sq formulog (2.6), naleΩyt\ prostoru W2
1( )Ω , a otΩe, j oblasti vyzna-
çennq funkcionala F ( ϕ ) . Na c\omu klasi funkcij ma[ misce totoΩnist\ F ( ϕ ) ≡
≡ K ( ϕ, u ) .
3. Minimizaciq funkcionala za dopomohog metodu Ritca. Dlq minimizaci]
funkcionala FT ( ϕ ) vykorysta[mo metod Ritca [7], aproksymugçy ßukanyj roz-
v’qzok zadaçi skinçennog sumog
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1593
ϕN = a wi i
i
N
=
∑
1
,
de { }wi i=
∞
1 — deqka povna bazysna systema v pidprostori harmoniçnyx funkcij
H( )Ω0 , wo zadovol\nqgt\ umovu (0.2).
Iz neobxidno] umovy minimumu funkcionala FT ( ϕ ) oderΩymo spektral\nu
zadaçu dlq symetryçnyx matryc\ A i B :
( A – λ B ) X = 0. (3.1)
Koefici[nty matryc\ A i B vyznaçagt\sq takym çynom:
αk j, =
Ω
Ω
0
1∫ ∫∇ ∇ +w w d T w w dSk j
G
k j =
Σ+
∫ ∫∂
∂
+ ∂
∂
+
S
k
j
G
k
k j
w
n
w dS
w
n
T w w dS
0
1 ,
βk j, =
Σ
∫ w w dSk j .
Pry obçyslenni skladovyx T w w dSk jG 1∫ u koefici[ntax αk j, potribno vyznaça-
ty znaçennq operatora T wk1 . Dlq c\oho slid buduvaty rozv’qzky zadaçi
∆ u = 0 v Ω1 ,
∂
∂
u
n
= 0 na S1 , u = wk na G. (3.2)
Qkwo dlq oblasti Ω1 rozv’qzok spektral\no] zadaçi
∆ v = 0 v Ω1 ,
∂
∂
v
n
= 0 na S1 ,
∂
∂
v
n
= σ v na G (3.3)
[ vidomym, to vda[t\sq vyrazyty rozv’qzky zadaçi (3.2) çerez rozv’qzky zadaçi
(3.3). Zhidno z teoremogK0.1, vlasni funkci] zadaçi (3.3) utvorggt\ v L G2( )
povnu j ortohonal\nu systemu funkcij. ZauvaΩymo, wo v zadaçi (3.3), na
vidminu vid zadaçi (0.1), nema[ umovy ortohonal\nosti do konstanty. Tomu zadaça
(3.3) ma[ nul\ove vlasne znaçennq i jomu vidpovida[ vlasna funkciq, wo
dorivng[ konstanti. OtΩe, i povnotu vlasnyx funkcij zadaçi (3.3) ma[mo v
L G2( ), a ne v L G2( ), qk dlq zadaçi (0.1). Tomu rozv’qzok zadaçi (3.2) moΩna
podaty u vyhlqdi
uk = ck l l
l
, v
=
∞
∑
1
, de ck l, =
G
k l lw dS∫ −
v v
2 , vl
2 =
G
l dS∫ v2 . (3.4)
OtΩe, T wk1 =
ck l l ll , σ v=
∞∑ 1
. Vraxovugçy ortohonal\nist\ funkcij vl , ma[mo
G
k jT w w dS∫ 1 = c ck l l j l l
l
, ,σ v
2
1=
∞
∑ = σl
l G
k l
G
j l lw dS w dS
=
∞
−∑ ∫ ∫
1
2
v v v . (3.5)
Dlq oblastej bil\ß skladno] heometryçno] formy, koly ne vda[t\sq pobu-
duvaty toçni rozv’qzky zadaçi (3.3), potribno buduvaty nablyΩeni rozv’qzky
zadaçi (3.2). Tut varto zauvaΩyty, wo operator T1 [ neobmeΩenym, a tomu na-
vit\ dlq dostatn\o hladkyx funkcij wk moΩemo oderΩuvaty neobmeΩeni zna-
çennq normal\no] poxidno] vid funkci] uk na G .
Perejdemo do pobudovy nablyΩenyx rozv’qzkiv zadaçi (3.2). Neskladno znaj-
ty harmoniçnu v oblasti Ω1 funkcig wk
∗
, znaçennq qko] na G zbihagt\sq iz
znaçennqmy funkci] wk na G . Zokrema, ce moΩe buty ta sama funkciq wk , abo
]] dzerkal\ne vidobraΩennq dlq vypadku, koly oblast\ G [ ploskog. Nexaj v
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1594 M. Q. BARNQK
oblasti Ω1 vyznaçeno deqku systemu funkcij { }fk k=
∞
1, povnu v
0
2
1
1W ( )Ω , de
0
2
1
1W ( )Ω — pidprostir funkcij u W∈ 2
1
1( )Ω , qki dorivnggt\ nulg na G . V qkos-
ti oblasti G zruçno vybraty plosku oblast\ i sumistyty ]] z odni[g z koordy-
natnyx plowyn dekartovo] systemy koordynat. Todi dostatn\o v qkosti systemy
funkcij { }fk k=
∞
1 vybraty systemu neparnyx po vidpovidnij zminnij rozv’qzkiv
rivnqnnq Laplasa.
Qk vyplyva[ z roboty [6], dovil\nu harmoniçnu v Ω1 funkcig w Wk ∈ 2
1
1( )Ω
moΩna odnoznaçno podaty u vyhlqdi sumy dvox funkcij w w wk k k= +, ,1 0, de
wk,1 i wk,0 — harmoniçni v Ω1 funkci] z prostoru W2
1
1( )Ω , qki zadovol\nqgt\
umovy ∂ ∂ =w nk, /1 0 na Si , wk,0 0= na G 1 , pryçomu ∇ ⋅ ∇∫ w w dk k, ,1 0
1
Ω
Ω
= 0,
zvidky ma[mo
G
k jT w w dS∫ 1 =
Ω
Ω
1
1 1∫ ∇ ⋅ ∇w w dk j, , =
Ω
Ω
1
∫ ∇ ⋅ ∇w w dk j –
–
Ω
Ω
1
0 0∫ ∇ ⋅ ∇w w dk j, , =
G S
k
j
S
k
j
w
n
w dS
w
n
w dS
+
∫ ∫∂
∂
−
∂
∂
1 1
0
0
,
, . (3.6)
Dlq obçyslennq ostann\oho intehrala sproektu[mo funkci] wk i wj v
0
2
1
1W ( )Ω .
Dlq c\oho vykorysta[mo systemu funkcij { }fk k=
∞
1. Aproksymugçy funkci]
wk,0 skinçennymy sumamy
wk,0 = c fl k l
l
N
,
=
∑
1
1
,
de matrycq koefici[ntiv cl k, vyznaça[t\sq qk rozv’qzok systemy linijnyx al-
hebra]çnyx rivnqn\ z N pravymy stovpcqmy takoho vyhlqdu
γ i l l k
l
N
c, ,
=
∑
1
1
= βi k, , i = 1, 2, … , N1
, k = 1, 2, … , N, (3.7)
v qkij
γ i l, =
S
i
lf
f
n
dS
1
∫ ∂
∂
, βi k, =
S
i
kf
w
n
dS
1
∫ ∂
∂
,
oderΩu[mo znaçennq kvadratyçnoho funkcionala T w w dSk kG 1∫ iz nadlyßkom.
Takym çynom, poperedn\o pry minimizaci] funkcionala K ( ϕ, u ) potribno spro-
ektuvaty funkci] wk
∗
v Ω1 na pidprostir
0
2
1
1W ( )Ω , a potim vidnqty cg proek-
cig vid funkcij wk
∗, tobto w w wk k k, ,1 0= −∗ . V rezul\tati oderΩymo funkci],
qki nablyΩeno zadovol\nqgt\ umovu ∂ ∂ =w nk, /1 0 na S1 . ZauvaΩymo, wo
funkci] wk,1 cg umovu zadovol\nqgt\ v seredn\o-kvadratyçnomu sensi, a tomu v
toçkax kontura S1 vona moΩe vykonuvatysq z nevelykog toçnistg. Bil\ß
toçno, cg umovu bude zadovol\nqty sumarnyj rozv’qzok zadaçi, oskil\ky v pro-
cesi minimizaci] funkcionala FT ( ϕ ) vyznaçagt\sq funkci], qki bil\ß toçno za-
dovol\nqgt\ umovy zadaçi. ZauvaΩymo, wo vykorystannq formuly (3.5), pry
zbereΩenni skinçenno] kil\kosti çleniv rqdu, pryvodyt\ do vyznaçennq znaçennq
kvadratyçnoho funkcionala T w w dSk kG 1∫ z nedostaçeg. Riznycq miΩ znaçennq-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1595
my c\oho funkcionala, obçyslenoho za formulamy (3.5) i (3.6), da[ moΩlyvist\
ocinyty toçnist\ obox formul, a vykorystannq formuly Koßi – Bunqkovs\koho
dozvolq[ ocinyty toçnist\ obçyslennq bilinijnoho funkcionala T w w dSk jG 1∫ .
4. Çyslovi rezul\taty. Za dopomohog vykladeno] vywe metodyky buduva-
lysq rozv’qzky zadaçi (0.1) dlq poroΩnyn konkretno] heometryçno] formy.
Spoçatku rozhlqnemo vypadky poroΩnyn, qki magt\ formu tila obertannq
vidnosno vertykal\no] osi. Todi zadaça (0.1) dopuska[ vidokremlennq kruhovo]
koordynaty η v cylindryçnij ( z, r, η ) çy v sferyçnij ( R, θ, η ) systemax ko-
ordynat. Çastynni rozv’qzky zadaçi (0.1) ta (1.3) magt\ vyhlqd
ϕ ( z, r, η ) = ϕm
( z, r ) cos m η, ϕ ( z, r, η ) = ϕm
( z, r ) sin m η , m = 0, 1, … . (4.1)
4.1. Kruhovyj cylindr iz sferyçnym dnywem. Rozhlqnemo oblast\ Ω ,
qka sklada[t\sq z kruhovoho cylindra vysoty h1 odynyçnoho radiusa ta sfe-
ryçnoho dnywa vysoty h2 , radius qkoho pidibrano takym çynom, wob sferyçna
poroΩnyna neperervno perexodyla v cylindryçnu. Nexaj liniq peretynu cy-
lindryçno] ta sferyçno] poverxon\ leΩyt\ u plowyni z = 0. Todi oblasti Ω0
y Ω1 zadagt\sq nerivnostqmy
Ω0 : 0 < r < 1, 0 < z < h1 ; Ω1 : z < 0, r z z2
0
2+ −( ) < R0
2,
de R0 = ( )/ /h h2 21 2+ , z 0 = ( )/ /1 22 2h h− . V qkosti systemy koordynatnyx
funkcij { }wk
m
k=
∞
1 vyberemo taki funkci]:
w k
m
2 1− = J r
z
h
mm k
m k
m
k
m( )
cosh( )
cosh( )
cosξ ξ
ξ
η
1
,
w k
m
2 = J r
h z
h
mm k
m k
m
k
m( )
sinh( ( ))
sinh( )
cosξ ξ
ξ
η1
1
−
, m = 0, 1, … ,
de J rm( ) — funkciq Besselq m-ho porqdku, ξk
m
— koreni poxidno] vid funkci]
Besselq ′Jm k
m( )ξ = 0. Ci funkci] zadovol\nqgt\ umovu ∂ ∂w rk
m / = 0 pry r = 1
i ortohonal\ni miΩ sobog v metryci prostoru W2
1
0( )Ω . Pry z = 0 funkci]
w k
m
2 1− i w k
m
2 nabuvagt\ znaçen\
w rk
m
2 1 0− ( , , )η =
J r
h
mm k
m
k
m
( )
cosh( )
cos
ξ
ξ
η
1
, w rk
m
2 0( , , )η = J r mm k
m( ) cosξ η ,
qki vidriznqgt\sq miΩ sobog stalym mnoΩnykom. OtΩe, i rozv’qzky krajovyx
zadaç (3.2) dlq funkcij w k
m
2 1− i w k
m
2 vidriznqtymut\sq miΩ sobog na cej Ωe
stalyj mnoΩnyk cosh( )ξk
mh1 . Znaçennq harmoniçno] funkci]
gk
m = J r
z h
h
mm k
m k
m
k
m( )
cosh( ( ))
cosh( )
cosξ ξ
ξ
η+ 2
2
ta funkci] w z rk
m
2 ( , , )η pry z = 0 zbihagt\sq. V qkosti f z rk
m( , , )η vybyra[mo
taki funkci] f z rk
m( , , )η = P R mm k
m m k
+ −
+ −
2 1
2 1(cos ) cosθ η, de R = r z2 2+ ,
tan ϑ = z / r, Pm k
m
+ −2 1( )µ — pry[dnani mnohoçleny LeΩandra.
Dlq ilgstraci] xarakteru ßvydkosti zbiΩnosti poslidovnosti nablyΩenyx
znaçen\ vlasnyx çysel, v zaleΩnosti vid çysla N vraxovanyx koordynatnyx
funkcij w z rk
m( , , )η ta vid çysla N 1 vraxovanyx koordynatnyx funkcij
f z rk
m( , , )η , v tabl. 1 navedeno çyslovi dani, oderΩani pry riznyx znaçennqx N i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1596 M. Q. BARNQK
N1 dlq najbil\ß nespryqtlyvoho vypadku h1 = 0, 1, h2 = 5, 0.
TablycqK1
N N1 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
10 10 2,64044024 5,66110525 8,71389097 11,80063708 14,91397831
10 11 2,63745638 5,66097858 8,71388477 11,80063603 14,91397807
10 12 2,63516666 5,66084757 8,71387884 11,80063498 14,91397783
11 10 2,64043470 5,66106607 8,71379971 11,80050104 14,91382187
11 11 2,63745085 5,66093941 8,71379351 11,80049999 14,91382163
11 12 2,63516114 5,66080842 8,71378759 11,80049895 14,91382139
12 10 2,64043058 5,66103831 8,71373696 11,80040883 14,91371549
12 11 2,63744674 5,66091166 8,71373077 11,80040778 14,91371525
12 12 2,63515704 5,66078068 8,71372485 11,80040674 14,91371501
U tabl.K2 navedeno rezul\taty rozraxunkiv nablyΩen\ dlq perßyx p’qty
vlasnyx znaçen\ zadaçi (1.3) pry riznyx znaçennqx h1 (vysoty zapovnennq ridy-
nog cylindryçno] çastyny oblasti) ta pry riznyx znaçennnqx h2 (vysoty sfe-
ryçno] çastyny oblasti, qka povnistg zapovnena ridynog). Pry c\omu vraxovano
çyslo koordynatnyx funkcij N = N1 = 15.
TablycqK2
h1 h2 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
0,1 0,5 1,16507392 5,07866631 8,42664127 11,65089689 14,83489044
0,3 0,5 1,48498780 5,30086385 8,53250435 11,70546681 14,86351015
0,5 0,5 1,66169406 5,32776731 8,53618955 11,70599989 14,86358843
1,0 0,5 1,81149651 5,33142479 8,53631634 11,70600490 14,86358863
0,1 1,0 2,07546073 5,43010606 8,58739326 11,73363917 14,87884717
0,3 1,0 1,95136241 5,34263452 8,53791520 11,70625037 14,86362732
0,5 1,0 1,89320122 5,33273839 8,53636819 11,70600716 14,86358873
1,0 1,0 1,84933980 5,33144893 8,53631638 11,70600490 14,86358863
0,1 2,0 2,07546073 5,43010606 8,58739326 11,73363917 14,87884717
0,3 2,0 1,95136241 5,34263452 8,53791520 11,70625037 14,86362732
0,5 2,0 1,89320122 5,33273839 8,53636819 11,70600716 14,86358873
1,0 2,0 1,84933980 5,33144893 8,53631638 11,70600490 14,86358863
0,1 5,0 2,63034594 5,66009021 8,71353787 11,80017122 14,91345283
0,3 5,0 2,18531947 5,36869242 8,54176327 11,70682489 14,86371318
0,5 5,0 1,99848790 5,33576805 8,53649358 11,70601246 14,86358896
1,0 5,0 1,86527445 5,33146343 8,53631640 11,70600490 14,86358863
4.2. Pidprostir iz kruhovym otvorom. Rozhlqnemo vypadok neskinçenno]
oblasti Ω u vyhlqdi pivprostoru, nakrytoho tverdog kryßkog z kruhovym ot-
vorom. Zadaça (0.1) dlq tako] oblasti xarakterna tym, wo dovil\na odnozv’qzna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1597
oblast\, zapovnena ridynog, vil\na poverxnq qko] ma[ formu toho samoho kruha,
povnistg vpysu[t\sq v danyj pivprostir, tak wo vil\ni poverxni ]x zbihagt\sq, a
tomu vlasni znaçennq zadaçi (0.1) dlq pivprostoru [ verxn\og meΩeg dlq vlas-
nyx znaçen\ zadaçi (0.1) dlq dovil\no] odnozv’qzno] oblasti z kruhovog vil\nog
poverxneg [4].
U c\omu vypadku zadaça takoΩ dopuska[ vidokremlennq kruhovo] koordyna-
ty. Rozdilymo pivprostir z < 0 odynyçnog sferog R = 1 na dvi pidoblasti
Ω0 : R < 1 i Ω1 : R > 1. V oblasti Ω1 moΩna lehko vyznaçyty rozv’qzky spekt-
ral\no] zadaçi (3.3), qka dlq dano] oblasti Ω1 ma[ vyhlqd
∆ v = 0 pry R > 1, z < 0; v < C / R pry R → ∞ ,
(4.2)
–
∂
∂
v
R
= σ v pry R = 1, z < 0;
∂
∂
v
z
= 0 pry R > 1, z = 0.
Rozv’qzky ci[] zadaçi znaxodymo ßlqxom vidokremlennq zminnyx, i vony ma-
gt\ vyhlqd
vk
m z r( , , )η = P R mm k
m m k
+ −
− − +
2 2
2 1(cos ) cosθ η , σk
m = m + 2k – 1 ,
(4.3)
k = 1, 2, … ,
de R = r z2 2+ , tan ϑ = z / r, Pm k
m
+2 ( )µ — pry[dnani mnohoçleny LeΩandra.
V qkosti systemy koordynatnyx funkcij { }wk
m
k=
∞
1 vyberemo taki funkci]:
w z rk
m( , , )η = P R mm k
m m k
+ −
+ −
1
1(cos ) cosθ η, k = 1, 2, … . (4.4)
Pry neparnyx znaçennqx indeksu k, tobto pry k = 2j – 1, znaçennq funkci]
w z rj
m
2 1− ( , , )η pry R = 1 zbihagt\sq iz znaçennqmy funkci] v j
m z r( , , )η pry R =
= 1; otΩe, v c\omu vypadku rozv’qzok zadaçi (3.3) oderΩu[mo vidrazu v analityç-
nomu vyhlqdi
u z rj
m
2 1− ( , , )η = v j
m z r( , , )η . (4.5)
Pry parnyx znaçennqx indeksu k, tobto pry k = 2j, znaçennq funkci]
w z rj
m
2 ( , , )η pry R = 1 rozklademo v uzahal\nenyj rqd Fur’[ za hranyçnymy
znaçennqmy funkcij v j
m z r( , , )η pry R = 1; tobto potribno rozvynuty funk-
cig Pm k
m
+ −2 1( )µ v uzahal\nenyj rqd Fur’[ za funkciqmy Pm j
m
+2 ( )µ :
Pm k
m
+ −2 1( )µ = d Pkj m j
m
j
+
=
∞
∑ 2
0
( )µ , (4.6)
de koefici[nty Fur’[ dkj vyznaçagt\sq takym çynom:
dkj =
P P d
P d
m k
m
m j
m
m j
m
+ − +−
+−
∫
∫
2 1 21
0
2
2
1
0
( ) ( )
( ( ))
µ µ µ
µ µ
.
Intehral u znamennyku, tobto kvadrat normy funkci] Pm j
m
+2 ( )µ , [ tablyçnym:
Pm j
m
+2
2
( )µ = ( ( ))P dm j
m
+
−
∫ 2
2
1
0
µ µ =
( )!
( )!( )
2 2
2 4 2 1
j m
j j m
+
+ +
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1598 M. Q. BARNQK
Intehral u çysel\nyku obçyslymo takym çynom. Funkci] Pm k
m
+ −2 1( )µ i Pm j
m
+2 ( )µ
[ rozv’qzkamy rivnqnnq LeΩandra
d
d
dP
d
m
P
m
m
µ
µ µ
µ
ν ν
µ
ν
ν( )
( )
( )1 1
1
2
2
2−
+ + −
−
= 0
pry ν = m + 2k – 1 i ν = m + 2k . PomnoΩymo ce rivnqnnq pry ν = m + 2k – 1
na Pm j
m
+2 ( )µ , a pry ν = m + 2k na Pm k
m
+ −2 1( )µ i vidnimemo druhe vid perßoho.
OderΩanu rivnist\ prointehru[mo v meΩax vid – 1 do 0. V rezul\tati oderΩymo
2 2 2 1 0 02 1 2
1
0
2 1
2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k j m k j P P d
dP
d
Pm k
m
m j
m m k
m
m j
m+ + − − ++ − +
−
+ −
+∫ µ µ µ
µ
= 0.
Oskil\ky
Pm j
m
+2 0( ) =
2 1 2
1 1
m
j m
j m
j
Γ
Γ
( )
( ) ( )
/+ +
− ++π
,
dP
d
m k
m
+ −2 1
0
µ
( ) =
2 1 2
1
1
1
m
k m
k m
k
+
+ +
+ +
−
Γ
Γ
( )
( ) ( )
/
π
,
to ma[mo
P P dm k
m
m j
m
+ − +
−
∫ 2 1 2
1
0
( ) ( )µ µ µ =
2 1 1 2 1 2
2 2 1 1
2m k j j m k m
k j m k j j k
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
/ /− + + + +
+ + − − +
+ Γ Γ
Γ Γπ
.
Dlq vyvçennq zbiΩnosti oderΩanyx rqdiv potribno spoçatku pronormuvaty
funkci] Pm j
m
+2 ( )µ , rozdilyvßy ]x na Pm j
m
+2 ( )µ . Wob oderΩaty koefici[nty
Fur’[ bkj rozvynennq funkci] Pm k
m
+ −2 1( )µ v uzahal\neni rqdy Fur’[ za normo-
vanymy funkciqmy, slid pomnoΩyty koefici[nty dkj na Pm j
m
+2 ( )µ :
bkj =
2 1 1 2 1 2 2 1 4 2 1
2 2 1 1 2 2 1
2m k j j m k m j j m
k j m k j j k j m
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
/ /− + + + + + + +
+ + − − + + +
+ Γ Γ Γ
Γ Γ Γπ
. (4.7)
Vraxovugçy, wo zhidno z formulamy podvo[nnq
Γ( )2 1j + = 2 2 1 2 12 1 2j j j( ) ( ) ( )/ /π − + +Γ Γ ,
Γ( )2 2 1j m+ + = 2 2 1 2 12 2 1 2j m j m j m+ − + + + +( ) ( ) ( )/ /π Γ Γ ,
ma[mo
bkj =
2 1 1 2
2 2 1
2 1 4 1 2 1 2
1 1
1m k j k m
k j m k j k
j m j m j
j j m
+ +− + +
+ + − −
+ + + + +
+ + +
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/ / / / /Γ
Γ
Γ Γ
Γ Γπ
.
(4.8)
Vyznaçymo hranycg, do qko] prqmu[ pidkorenevyj vyraz pry j → ∞ :
Q = lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/ /
j
j c j j m
j j m→∞
+ + + +
+ + +
Γ Γ
Γ Γ
1 2 1 2
1 1
= lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/ /
x
x c x x m
x x m→∞
+ + + +
+ + +
Γ Γ
Γ Γ
1 2 1 2
1 1
=
= lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/ / / /
/ /
x y
x c x x m
x x m
y c y y m
y y m→ ∞ → ∞
+ + + +
+ + +
+ + + +
+ + +
Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2
.
Poklademo y = x – 1 / 2, todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
POBUDOVA ROZV’QZKIV ZADAÇI PRO VLASNI KOLYVANNQ … 1599
Q = lim
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
/ / /
/ /
/
x
x c x c x x m x x m
x x m x x m→∞
+ + − + + + +
+ + + + + +
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2Γ Γ Γ Γ
Γ Γ Γ Γ
=
= lim
( )( )
( )
/
/
x
x c x c
x x m→∞
+ + −
+
1 2
1 2
= 1.
Ce oznaça[, wo koefici[nty Fur’[ prqmugt\ do nulq, qk 1 2/ j pry j → ∞ .
Koefici[nty rqdu Fur’[ dlq normal\no] poxidno] prqmugt\ do nulq, qk 1/ j .
OtΩe, çleny rqdiv (3.5) prqmugt\ do nulq, qk 1 3/ j pry j → ∞ . V tabl.K3 na-
vedeno nablyΩeni znaçennq perßyx p’qty vlasnyx znaçen\ zadaçi (3.2) dlq riz-
nyx znaçen\ m. Znaçennq N1 vybrano skriz\ rivnym 50. Porivnqnnq velyçyn
vlasnyx znaçen\ dlq m = 0 i m = 2 pokazu[ ]x majΩe cilkovytyj zbih. Cej ci-
kavyj fakt moΩna poqsnyty deqkog podibnistg form kolyvannq ridyny pry
m = 0 i m = 2.
TablycqK3
N m λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
26 0 4,1213229 7,3421094 10,5170563 13,6771942 16,8358876
22 1 2,7547983 5,8923261 9,0332322 12,1744288 15,3684084
22 2 4,1213765 7,3422856 10,5174401 13,6772768 16,9653752
22 3 5,4001086 8,7184547 11,9408563 15,1315761 18,5998851
22 4 6,6303358 10,0455576 13,3198849 16,5373578 20,1609717
22 5 7,8290755 11,3372899 14,6622180 17,9076891 21,7928280
Dlq ocinky toçnosti oderΩanyx çyslovyx rezul\tativ v tabl.K4 navedeno po-
slidovnist\ nablyΩenyx velyçyn perßyx p’qty vlasnyx znaçen\, otrymanu dlq
m = 1 pry riznyx znaçennqx çysla N vraxovanyx koordynatnyx funkcij
w z rk
m( , ) ta riznyx znaçennqx çysla N1 vraxovanyx vlasnyx funkcij zadaçi
(3.3), qki v danomu vypadku zbihagt\sq z funkciqmy
1
2 2R
w
z
R
r
R
k
m ,
.
TablycqK4
N N1 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
24 50 4,1212263 7,3417839 10,5163673 13,6755174 16,9646325
25 50 4,1211793 7,3416384 10,5160733 13,6755127 16,8733649
26 50 4,1211766 7,3416224 10,5160151 13,6753301 16,8298262
24 60 4,1213229 7,3421052 10,5170516 13,6766667 16,9682459
25 60 4,1212734 7,3419540 10,5167497 13,6764602 16,8696450
26 60 4,1212676 7,3419253 10,5166599 13,6764502 16,8262213
24 70 4,1213808 7,3422976 10,5174616 13,6773797 16,9703598
25 70 4,1213302 7,3421443 10,5171586 13,6770666 16,8679142
26 70 4,1213229 7,3421094 10,5170563 13,6771942 16,8358876
Qk vydno z tablyci, pry zbil\ßenni N i fiksovanomu N1 znaçennq λi zmen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1600 M. Q. BARNQK
ßugt\sq i, navpaky, pry zbil\ßenni N1 i fiksovanomu N znaçennq λi zrosta-
gt\, xoça ce zrostannq ma[ bil\ß povil\nyj xarakter. Porivnggçy znaçennq
λ1 = 2,7547983, λ2 = 5,8923261, λ3 = 9,0332322 iz tabl.K3 zi znaçennqmy λ1 =
= 2,7622, λ2 = 5,9325, λ3 = 9,1636, vzqtymy iz roboty [8], de nablyΩenyj roz-
v’qzok zadaçi (4.2) pobudovano ßlqxom zvedennq zadaçi v pivprostori za dopomo-
hog peretvorennq inversi] do zadaçi v kul\ovij oblasti, baçymo, wo oderΩani tut
dani [ znaçno menßymy, a otΩe, i bil\ß toçnymy, oskil\ky my ßuka[mo minimum
funkcionala.
5. Vysnovky. Zaproponovanu vywe metodyku pobudovy nablyΩenyx rozv’qz-
kiv zadaçi moΩna inakße traktuvaty qk vykorystannq porqd z osnovnog syste-
mog koordynatnyx funkcij { }wk
m
k=
∞
1, qki vyznaçeni skriz\ v oblasti Ω, takoΩ
deqkyx system harmoniçnyx funkcij { }fk
m
k=
∞
1 (dlq oblasti Ω1 ), rivnyx nulg
na G — meΩi rozdilu oblastej Ω0 y Ω1 . ProdovΩugçy ci funkci] nulem v
oblast\ Ω \ Ω1 , baçymo, wo vony naleΩat\ oblasti vyznaçennq funkcionala
F ( ϕ ) . Zavdqky tomu, wo fk
m = 0 na G ta prodovΩugt\sq nulem na reßtu
oblasti Ω , vklgçagçy i meΩu Σ , vnesok funkcij fk
m
vda[t\sq ostatoçno
vraxuvaty vΩe na etapi pobudovy systemy koordynatnyx funkcij, tobto do
rozv’qzuvannq spektral\no] zadaçi (1.3). Takyj pidxid moΩna rozhlqdaty takoΩ
qk uzahal\nennq metodu ortohonal\nyx proekcij, zastosovanoho avtorom v
roboti [9] dlq pobudovy rozv’qzkiv zadaçi (0.1).
Opysanym vywe sposobom vda[t\sq pobuduvaty nablyΩeni rozv’qzky zadaçi
takoΩ dlq nesymetryçnyx oblastej Ω . Zokrema, pobudovano alhorytm znaxod-
Ωennq vlasnyx znaçen\ zadaçi dlq naxylenoho kruhovoho cylindra, qkyj uza-
hal\ng[ metodyku roboty [10]. Rozbyttq oblasti Ω na pidoblasti da[ moΩ-
lyvist\ bil\ß toçno zadovol\nyty krajovi umovy zadaçi na koΩnij dilqnci meΩi
oblasti Ω . Alhorytm rozv’qzuvannq zadaçi pidda[t\sq pry c\omu bil\ß çitkomu
analizu. Vykorystannq rozv’qzkiv spektral\no] zadaçi (3.3) dlq pobudovy roz-
v’qzkiv dopomiΩno] krajovo] zadaçi (3.2) da[ moΩlyvist\ zvesty pobudovu roz-
v’qzkiv zadaçi (0.1) v neskinçennyx oblastqx Ω do pobudovy rozv’qzkiv zadaçi
(1.3) v obmeΩenyx oblastqx, qk ce, napryklad, bulo zrobleno vywe u vypadku
pivprostoru.
1. Krejn S. H., Moyseev N. N. O kolebanyqx tverdoho tela, soderΩaweho Ωydkost\ so
svobodnoj poverxnost\g // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1957. – 21, # 2. – S. 169 – 174.
2. Moyseev N. N., Petrov A. A. Çyslenn¥e metod¥ rasçeta sobstvenn¥x çastot kolebanyj
ohranyçennoho obæema Ωydkosty. – M.: Yzd-vo VC AN SSSR, 1966. – 270Ks.
3. Varyacyonn¥e metod¥ v zadaçax o kolebanyqx Ωydkosty y tela s Ωydkost\g / Pod red.
N.KN. Moyseeva. – M.: Yzd-vo VC AN SSSR, 1962. – 248Ks.
4. Fewenko S. F., Lukovskyj Y. A., Rabynovyç B. Y., Dokuçaev L. V. Metod¥ opredelenyq
prysoedynenn¥x mass Ωydkosty v podvyΩn¥x polostqx. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 250 s.
5. Kopaçevskyj N. D., Krejn S. H., Nho Zuj Kan. Operatorn¥e metod¥ v lynejnoj hydrodyna-
myke. – M.: Nauka, 1989. – 416Ks.
6. Kopaçevskyj N. D. O zadaçe Koßy dlq mal¥x kolebanyj vqzkoj Ωydkosty v slabom pole
massov¥x syl // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1967. – 7, # 1. – S. 128 – 146.
7. Myxlyn S. T. Varyacyonn¥e metod¥ v matematyçeskoj fyzyke. – M.: Nauka, 1970. – 512Ks.
8. Lukovskyj Y. A., Barnqk M. Q., Komarenko A. N. PryblyΩenn¥e metod¥ reßenyq zadaç
dynamyky ohranyçennoho obæema Ωydkosty. – Kyev: Nauk. dumka, 1984. – 232 s.
9. Barnqk M. Q. Prymenenye metoda ortohonal\n¥x proekcyj k yssledovanyg mal¥x koleba-
nyj Ωydkosty v sosude // Mat. fyzyka y nelynejn. mexanyka. – 1988. – V¥p.10 (44). –
S.K37 – 43.
10. Lukovs\kyj I. O., Barnqk M. Q. NablyΩenyj metod pobudovy rozv’qzkiv zadaçi pro vlasni
kolyvannq ideal\no] ridyny v poxylomu kruhovomu cylindri // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1997.
– # 5. – S. 28 – 32.
OderΩano 26.04.2004,
pislq doopracgvannq — 20.07.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3711 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:34Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9f/eed16958aedd8f48e9b9342e6204709f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37112020-03-18T20:02:57Z Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form Побудова розв'язків задачі про власні коливання ідеальної рідини в порожнинах складної геометричної форми Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. We consider the problem of free oscillations of an ideal incompressible liquid in cavities of complex geometric form. The domain filled with liquid is divided into subdomains of simpler geometric form. The original problem is reduced to the spectral problem for a part of the domain filled with liquid. To this end, we use solutions of auxiliary boundary-value problems in subdomains. We construct approximate solutions of the problem obtained using the variational method. We also consider the problem of the rational choice of a system of coordinate functions. Results of the numerical realization of the proposed method are presented. Розглядається задача про власні коливання ідеальної нестисливої рідини в порожнинах складної геометричної форми. Область, заповнена рідиною, розбивається на підобласті більш простої геометричної форми. Початкова задача зводиться до спектральної задачі для частини області, заповненої рідиною. Для цього використовуються розв'язки допоміжних крайових задач у підобластях. Наближені розв'язки отриманої задачі будуються варіаційним методом. Розглядаються також питання раціонального вибору системи координатних функцій. Наведено результати числової реалізації запропонованого методу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3711 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 12 (2005); 1587–1600 Український математичний журнал; Том 57 № 12 (2005); 1587–1600 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3711/4147 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3711/4148 Copyright (c) 2005 Barnyak M. Ya. |
| spellingShingle | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title | Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title_alt | Побудова розв'язків задачі про власні коливання ідеальної рідини в порожнинах складної геометричної форми |
| title_full | Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title_fullStr | Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title_full_unstemmed | Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title_short | Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| title_sort | construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3711 |
| work_keys_str_mv | AT barnyakmya constructionofsolutionsfortheproblemoffreeoscillationsofanidealliquidincavitiesofcomplexgeometricform AT barnâkmâ constructionofsolutionsfortheproblemoffreeoscillationsofanidealliquidincavitiesofcomplexgeometricform AT barnyakmya pobudovarozv039âzkívzadačíprovlasníkolivannâídealʹnoírídinivporožninahskladnoígeometričnoíformi AT barnâkmâ pobudovarozv039âzkívzadačíprovlasníkolivannâídealʹnoírídinivporožninahskladnoígeometričnoíformi |