Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation
In the class of generalized functions of finite order, we establish the correct solvability of the Cauchy problem for a pseudodifferential equation whose symbols are homogeneous functions of order γ > 0. We prove a theorem on the localization property of a solution of this probl...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3716 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509847987945472 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:57Z |
| description | In the class of generalized functions of finite order, we establish the correct solvability of the Cauchy problem for a pseudodifferential equation whose symbols are homogeneous functions of order γ > 0. We prove a theorem on the localization property of a solution of this problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.937
V. A. Litovçenko (Çernivec. nac. un-t)
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA
DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ
On the class of generalized functions of a finite order, we establish the correct solvability of the Cauchy
problem for a pseudodifferentional equation whose symbols are homogeneous functions of order γ > 0.
We prove a theorem on the localization property of a solution of this problem.
U klasi uzahal\nenyx funkcij skinçennoho porqdku vstanovleno korektnu rozv’qznist\ zadaçi
Koßi dlq psevdodyferencial\noho rivnqnnq, symvoly qkoho [ odnoridnymy funkciqmy vymiru
γ > 0, ta dovedeno teoremu pro vlastyvist\ lokalizaci] rozv’qzku ci[] zadaçi.
Vstup. Danu robotu prysvqçeno vyvçenng pytannq pro korektnu rozv’qznist\
zadaçi Koßi dlq rivnqnnq
∂t U ( t , x ) +
j
m
jb t A U t x
j
=
∑ ( )
1
( ) ( , )γ = 0, ( t, x ) ∈ Ω ≡ ( 0, T ] × R
n
, (1)
u klasi poçatkovyx uzahal\nenyx funkcij skinçennoho porqdku ta vstanovlennq
pryncypu lokalizaci] ]] rozv’qzku (tut A
jγ — psevdodyferencial\ni operatory
(PDO) z odnoridnymy symvolamy vymiru γ j > 0, ne zaleΩnymy vid t, x (typu
operatora Rissa drobovoho dyferencigvannq), bj ( ⋅ ) — intehrovni na [ 0, T ] ne-
vid’[mni funkci], pevnym çynom uzhodΩeni z A
jγ tak, wob rivnqnnq (1) bulo pa-
raboliçnoho typu).
Slid zaznaçyty, wo perßi doslidΩennq zadaçi Koßi dlq rivnqnnq (1) u vy-
padku, koly bj ( ⋅ ) ≡ 0, j = 2, m , b 1 ( ⋅ ) ≡ const, a γ1 > 1, buly zdijsneni
S.6D.6Ejdel\manom ta Q. M. Drinem na poçatku 80-x rokiv mynuloho stolittq [1].
Zhodom vony rozhlqdaly rivnqnnq bil\ß zahal\noho vyhlqdu j oderΩaly rqd
vaΩlyvyx rezul\tativ, pov’qzanyx iz rozv’qznistg zadaçi Koßi u klasax hel\de-
rovyx funkcij, ßauderivs\kymy ocinkamy ta vlastyvistg stabilizaci] rozv’qzku
[2 – 4]. M. V. Fedorgk znajßov toçnu asymptotyçnu povedinku fundamental\-
noho rozv’qzku v okoli neskinçenno viddaleno] toçky, qka vyqvylasq ne ekspo-
nencial\nog, qk dlq dyferencial\nyx rivnqn\, a stepenevog [5]. U robotax [6,
7] vstanovleno rozv’qznist\ zadaçi Koßi dlq rivnqnnq (1) pry bj ( ⋅ ) ≡ const, j =
= 1, m , ta pryncyp lokalizaci] u klasi poçatkovyx uzahal\nenyx funkcij skin-
çennoho porqdku (zokrema, korektna rozv’qznist\ u vypadku finitnyx uzahal\ne-
nyx funkcij).
Doreçno zauvaΩyty, wo metodyka doslidΩennq vlastyvostej fundamental\-
noho rozv’qzku zadaçi Koßi, qka vykorystovuvalas\ u zaznaçenyx pracqx, svo[g
specyfikog naklada[ obmeΩennq na porqdok odnoridnosti γ = max
,j m
j
=1
γ holov-
noho symvolu rivnqnnq: γ > 1.
Zastosovugçy novyj pidxid do doslidΩennq vlastyvostej parametryksa za-
daçi Koßi dlq rivnqnnq (1) z symvolamy PDO pevno] hladkosti poza poçatkom
koordynat, zaleΩnymy vid çasu j prostorovo] zminno] (qkyj bazu[t\sq na
vykorystanni elementiv teori] uzahal\nenyx funkcij ta harmoniçnoho analizu), i
traktugçy pry c\omu PDO qk hipersynhulqrnyj intehral (dosi v (1) rozhlqda-
lysq lyße klasyçni PDO z nehladkymy symvolamy, tobto PDO, diq qkyx u
prostorax dostatn\o „xoroßyx” funkcij opysu[t\sq zavdqky operatoram
Fur’[), A. N. Koçubej uperße oderΩav toçni ocinky parametryksa u vypadku,
koly rozmirnist\ prostoru bil\ßa za odynycg i γ ≥ 1, ta doviv isnuvannq roz-
v’qzku zadaçi Koßi u klasi neperervnyx obmeΩenyx funkcij [8].
U danij roboti, rozvyvagçy ideg A. N. Koçubeq, realizovanu nym pry doslid-
© V. A. LITOVÇENKO , 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1653
1654 V. A. LITOVÇENKO
Ωenni parametryksa [8], vyvçagt\sq vlastyvosti fundamental\noho rozv’qzku
zadaçi Koßi dlq rivnqnnq (1) pry γ > 0. Vstanovlg[t\sq korektna rozv’qznist\
ci[] zadaçi u klasi uzahal\nenyx poçatkovyx funkcij — zhortuvaçiv u prostori
neskinçenno dyferencijovnyx funkcij, qki razom zi svo]my poxidnymy spadagt\
na neskinçennosti stepenevym çynom [6]. TakoΩ dovodyt\sq teorema pro vlas-
tyvist\ lokalizaci] rozv’qzku zaznaçeno] zadaçi.
1. Neobxidni vidomosti. Nexaj R
n
— n-vymirnyj evklidiv prostir, x =
= ( x1 , … , xn ), y = ( y1 , … , yn ) — joho elementy, ( x, y ) — skalqrnyj dobutok u
R
n
, γ — fiksovane dodatne çyslo, γ̂ = n + γ, Mα ( ⋅ ) = 1 + ⋅( )α
,
Φ =
df
ϕ ϕγ
α
α∈ ∀ ∈
< + ∞
∞
+
∈ =
+
=
∑ ∑C p M x D xn
x k
p
k
k
x
n
( ) : sup ( ) ( )ˆR Z
R 0
,
| α | = α1 + … + αn , α ∈ Z+
n
,
de C n∞( )R — sukupnist\ usix neskinçenno dyferencijovnyx na R
n
funkcij.
Uvedemo v Φ zliçennu systemu norm
|| ϕ ||p = sup ( ) ( )ˆ
x k
p
k
k
x
n
M x D x
∈ =
+
=
∑ ∑
R 0
γ
α
αϕ , ϕ ∈ Φ, p ∈ Z + ,
i poznaçymo çerez Φp popovnennq prostoru Φ za p-g normog. Todi Φ =
=
p p=
∞
0∩ Φ .
Zrozumilo, wo D ( R
n
) ⊂ S ( R
n
) ⊂ Φ, pryçomu ci vkladennq [ neperervnymy i
wil\nymy (tut D ( R
n
) — prostir finitnyx neskinçenno dyferencijovnyx
funkcij na R
n
, a S ( R
n
) — vidomyj prostir L. Ívarca [9]). Vyqvlq[t\sq [6],
wo Φ — povnyj, doskonalyj, zliçenno-normovanyj prostir z neperervnymy ope-
raciqmy zsuvu ta dyferencigvannq, pryçomu operaciq zsuvu u prostori Φ [ ne-
skinçenno dyferencijovnog, a poslidovnist\ funkcij { ϕν , ν ≥ 1 } ⊂ Φ zbiha-
[t\sq do ϕ z Φ pry ν → + ∞ u prostori Φ lyße todi, koly vona: 1) obmeΩena
v Φ; 2) pravyl\no zbiha[t\sq v Φ, tobto dlq koΩnoho α ∈ Z+
n
poslidovnist\
Dx
α
νϕ ϕ ν( ),− ≥{ }1 zbiha[t\sq do nulq rivnomirno na dovil\nomu kompakti
K ⊂ R
n
.
Symvolom Φ ′ poznaçymo prostir usix linijnyx neperervnyx funkcionaliv na
Φ zi slabkog zbiΩnistg. Pry c\omu Φ ′ = lim p p→+∞( )pr Φ ′ = lim p p→+∞ ′ind Φ .
OtΩe, qkwo f ∈ Φ ′, to f ∈ ′Φ p pry deqkomu p ∈ Z + , tobto koΩna uzahal\nena
funkciq f z Φ ′ ma[ skinçennyj porqdok. Prostir Φ ′ [ povnym.
Çerez W poznaçymo sukupnist\ usix uzahal\nenyx funkcij z Φ ′, qki magt\
nastupnu vlastyvist\. Dlq bud\-qko] funkci] f ∈ W isnugt\ p ∈ Z + , a takoΩ
zvyçajni funkci] fq ( ⋅ ), de q ∈ Z+
n
i | q | ≤ p, taki, wo
∀ k ∈ Z+
n ∃ cq ( k ) > 0 : | fq ( x ) | ≤ c k xq
k( ) 1 +( )−
majΩe skriz\ na R
n
, pryçomu
〈 f, ϕ 〉 =
q p
q
q
n
f x D x d x
≤
∑ ∫
R
( ) ( )ϕ , ϕ ∈ Φ
(tut z oznaça[ kompleksnu sprqΩenist\ do z ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1655
Zi struktury finitno] uzahal\neno] funkci] f (dyv. [9, c. 145]) oderΩu[mo,
wo f ∈ W. Odnak u klasi W mistqt\sq ne lyße finitni funkcionaly, oskil\ky
koΩen element z S ( R
n
) [ rehulqrnym funkcionalom z W (tobto pravyl\nym [
take vkladennq: S ( R
n
) ⊂ W ).
Bezposeredn\o, vyxodqçy z vlastyvostej elementiv klasu W, pryxodymo do
nastupnoho tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj f ∈ W. Todi: 1) f — zhortuvaç u prostori Φ; 2) F [ f ] ( ⋅ )
— neperervna funkciq na R
n taka, wo na neskinçennosti zrosta[ ne ßvydße
mnohoçlena fiksovanoho stepenq; 3) ∀ ϕ ∈ Φ : F [ f * ϕ ] ( ξ ) = F f[ ]( )ξ =
= F [ ϕ ] ( ξ ), ξ ∈ R
n
, de F — prqme peretvorennq Fur’[.
Dali, nexaj � — sukupnist\ usix elementiv f z Φ ′ takyx, wo F [ f ] — mul\-
typlikator u prostori F [ Φ ]. Todi na pidstavi teoremy 1 z [10] koΩen element f
z � [ zhortuvaçem u prostori Φ, pryçomu
F [ f * ϕ ] ( ξ ) = F f[ ]( )ξ F [ ϕ ] ( ξ ), ϕ ∈ Φ, ξ ∈ R
n
.
Krim c\oho dlq koΩnyx f z � ta ϕ z Φ, a takoΩ dlq vsix x ∈ R
n
spravdΩu-
[t\sq rivnist\
( f * ϕ ) ( x ) = f x, ( )ϕ − ⋅
(oskil\ky vona vykonu[t\sq dlq vsix f z Φ ′ [6]).
Zaznaçymo, wo zhidno z tverdΩennqmy 1, 3 teoremy 1 peretvorennq Fur’[
funkci] f z W [ mul\typlikatorom u prostori Φ. OtΩe, W ⊂ �.
Oznaçennq. Funkciq aα , α > 0, naleΩyt\ do klasu Λ , qkwo aα : R
n →
→ [ 0, + ∞ ) [ odnoridnog porqdku α, qka: 1) neskinçenno dyferencijovna na
R
n
\ { 0 }; 2) ∀ k ∈ Z+
n
∃ ck > 0 : 6 D a xx
k
α ( ) ≤ c xk
kα −
, x ∈ R
n
\ { 0 };66
3)6 ∃ δ1 > 0 ∃ δ2 ≥ 0 ∀ x ∈ R
n
: 6aα ( x ) ≥ δ1 || x || α + δ2 .
Za funkci[g aα z klasu Λ u prostori Φ pobudu[mo operator Aα :
( Aα ϕ ) ( ⋅ ) = F a F− [ ][ ] ⋅1
α ξ ϕ ξ( ) ( ) ( ) ( ∀ ϕ ∈ Φ ),
de F
–
1
— obernene peretvorennq Fur’[. Cej operator [ linijnym i nepererv-
nym u Φ, oskil\ky takymy [ operatory Fur’[ [6]. U vypadku, koly aα ( ⋅ ) =
= || ⋅ ||
α
, operator Aα zbiha[t\sq z vidomym operatorom Rissa drobovoho dyfe-
rencigvannq [11] (z pryvodu prodovΩennq Aα na ßyrßi klasy funkcij ta vyra-
Ωennq joho çerez hipersynhulqrnyj intehral dyv. [6, 8]).
Dali, nexaj m — fiksovane natural\ne çyslo, γ j j
m{ } =1
⊂ ( 0, + ∞ ), a
jγ ∈ Λ,
j = 1, m; T ∈ ( 0, + ∞ ]; bj ( ⋅ ), j = 1, m , — intehrovni na [ 0, T ] nevid’[mni funkci];
λ — mnoΩyna znaçen\ j z { 1, … , m }, dlq qkyx bj ( t ) � 0, t ∈ [ 0, T ]; γ0 =
df
=
df
γ j0
= min j j∈ { }λ γ , γ =
df
γ j1
= max j j∈ { }λ γ . VvaΩatymemo takoΩ, wo:
1) ∀ j ∈ { j0 ; j1 } ∃ pj > 0 ∃ c1 > 0 ∃ c2 > 0 ∀ t ∈ [ 0, T ] : 6c t
pj
1
1−
≤ bj ( t ) ≤
≤ c t
pj
2
1−
(nadali p = pj1
, p0 = pj0
);
2) ∀ j ∈ λ \ { j0 ; j1 } ∃ pj > 0,
p jγ
γ
≤ pj ≤
p j0
0
γ
γ
, ∃ c > 0 ∀ t ∈ [ 0, T ] : 6bj ( t ) ≤
≤ ct
pj −1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1656 V. A. LITOVÇENKO
Magt\ misce dopomiΩni tverdΩennq.
Lema 1. Nexaj hk ( ⋅ ) — funkciq z rozkladu e–
t =
l
k
lt
l=
−∑ −
0
1 ( )
!
+ t
k
hk ( t ),
t ∈ R, k ∈ N. Todi hk ( ⋅ ) — neskinçenno dyferencijovna na R, pryçomu
∀ δ > 0 ∀ r ∈ Z + ∃ c > 0 ∀ t ∈ [ – δ, δ ] : 6 D h tt
r
k ( ) < c. (2)
Dovedennq. Z rozkladu funkci] e–
t
u rqd Maklorena oderΩu[mo
hk ( t ) = ( )
( )
( )!
− −
+=
∞
∑1
0
k
l
lt
k l
.
Stepenevyj rqd
l
lt
k l=
∞
∑ −
+0
( )
( )!
zbiha[t\sq absolgtno z radiusom zbiΩnosti R = ∞, tomu hk ( ⋅ ) — neskinçenno
dyferencijovna funkciq na R:
D h tt
r
k ( ) = ( )
( )!( )
!( )!
− + −
+ +
+
=
∞
∑1
0
k r
j
jj r t
j k r j
, t ∈ R, r ∈ N. (3)
Umova (2) oderΩu[t\sq bezposeredn\o z (3).
Lemu dovedeno.
Lema 2. Nexaj
P ( t, x ) =
j
m t
jb d a x
j
=
∑ ∫
1 0
( ) ( )τ τ γ ,
G ( t, x ) = F P t t x− −{ }[ ]1 exp ( , ) ( , )ξ , ( t, x ) ∈ Ω.
Todi dlq vsix ν ∈ Z+
n
, ( t , x ) ∈ Ω
D G t xx
ν ( , ) ≤ c t t x
n
1
0 0βγ β γ ν
+( ) − + +( )
, (4)
D D G t xt x
ν ( , ) ≤ c t t x
n
2
10 0βγ β γ ν− − + +( )
+( ) , (5)
de c1 , c2 — dodatni stali, ne zaleΩni vid t i x, a
β =
p
t
p
t
γ
γ
, ,
, .
0 1
10
0
< <
≥
Dovedennq. Spoçatku rozhlqnemo vypadok, koly t ∈ ( 0, 1 ). V intehrali
D G t xx
ν ( , ) =
i
P t i x dn
n
ν
ν
π
ξ ξ ξ ξ
( )
exp ( , ) ( , )
2
R
∫ − +{ } , ξ
ν =df
j
n
j
j
=
∏
1
ξν
,
vykona[mo zaminu ξ j = t p
j
− / γ ζ , j = 1, n. Poklavßy z = t xp− / γ
, oderΩymo
D G t xx
ν ( , ) =
i
t t zn
p n
ν
ν γ
νπ( )
( , )
2
− +( ) / Ψ ,
de
Ψν( , )t z =df
R
n
P t i z d∫ − +{ }ζ ζ ζ ζν exp ( , ) ( , )1 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1657
P t1( , )ζ =df
j
m t
j
p
b d t aj
j
=
−∑ ∫
/
1 0
( ) ( )τ τ ζγ γ
γ .
Nexaj η0 ( ⋅ ) — neskinçenno dyferencijovna na R
n
finitna funkciq, taka,
wo
η0 ( ζ ) =
1
1
2
0 1
, ,
, .
ζ
ζ
≤
≥
.
Poznaçymo η1 ( ⋅ ) = 1 – η0 ( ⋅ ),
Ψν
k t z( , ) =
R
n
k P t i z d∫ − +{ }η ζ ζ ζ ζ ζν( ) exp ( , ) ( , )1 , k = 0 1, .
Todi Ψν = Ψν
0 + Ψν
1
.
Skorystavßys\ pry t ≥ 0 rozkladom e–
t
z lemy 1, oderΩymo
Ψν
0( , )t z =
R
n
e di z∫ η ζ ζ ζν ζ
0( ) ( , ) +
l
k
l l i z
n
P t e d
=
−
∑ ∫− ( )
1
1
0 11( ) ( ) ( , ) ( , )
R
η ζ ζ ζ ζν ζ +
+
R
n
P t h P t e dk
k
i z∫ ( ) ( )η ζ ζ ζ ζ ζν ζ
0 1 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) =df
Ψν
0 0, +
l
k
l l
=
−
∑ −
1
1
01( ) ,Ψν + Ψν
0,k
.
Zrozumilo, wo Ψν
0 0, ( )⋅ ∈ S ( R
n
), tomu
Ψν
0 0, ( )z ≤ c z r−
, r ∈ N, z ≥ 1,
de c — dodatna stala, ne zaleΩna vid z .
Zafiksu[mo dovil\nym çynom l z 1 1, , ( )… −{ }k i rozhlqnemo Ψν
0,l
. Oskil\-
ky P t l
1( , )ζ( ) =
j jR t∑ ( , )ζ — suma zi skinçennog kil\kistg dodankiv vydu
R tj ( , )ζ = ˆ ( ) ( )b t aj j ζ , de aj ( ⋅ ) — odnoridna funkciq porqdku ne bil\ßoho niΩ l γ
i ne menßoho za l γ0 , ti[] Ω hladkosti, wo i a
jγ ( )⋅ , a
ˆ ( )bj ⋅ — rivnomirno obme-
Ωena na [ 0, 1 ) funkciq, to
Ψν
0, ( , )l t z =
j
j
i z
n
R t e d∑ ∫
R
η ζ ζ ζ ζν ζ
0( ) ( , ) ( , ) =df
j
j
l jb t z∑ ˆ ( ) ( ), ,Ψν
0
.
Pry dovedenni lemy 1 z [8] bulo vstanovleno, wo
Ψν
0, , ( )l j z ≤ c z n l− − −ν γ 0
, l γ 0 > 0, z ≥ 1
(dyv. nerivnist\ (18) u [8]). OtΩe, dlq vsix z ≥ 1 j t ∈ [ 0, 1 ) vykonu[t\sq
ocinka
Ψν
0, ( , )l t z ≤ c z n l
1
0− − −ν γ
,
de c1 — dodatna stala, ne zaleΩna vid t i z .
Takym çynom,
l
k
l l t z
=
−
∑ −
1
1
01( ) ( , ),Ψν ≤ c z n
2
0− − −ν γ
, t ∈ [ 0, 1 ), z ≥ 1.
Ocinymo Ψν
0, ( , )k t z , t ∈ [ 0, 1 ), z ≥ 1. Nexaj z = ( z1, … , zn ). Vyberemo no-
mer j takyj, wo | zj | ≥ | zk |, k = 1, n. Todi || z || ≤ n | zj |. Zintehru[mo r raziv
çastynamy Ψν
0,k
po zminnij ζ j :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1658 V. A. LITOVÇENKO
Ψν
0, ( , )k t z =
( )
( )
( ) ( , ) ( , )( , )− ∂ ( ) ( ){ }∫1
0 1 1
r
j
r
i z
r
j
r
k
kiz
e P t h P t d
n
R
ζ ν
∂ζ
η ζ ζ ζ ζ ζ =
=
( )
( )
( ) ( , ) ( , )( , )− ∂ ( ) ( ){ }
∫1
0 1 1
r
j
r
i z
r
j
r
k
kiz
e P t h P t d
n
R
ζ νη ζ
∂ζ
ζ ζ ζ ζ +
+
l
r
r
l i z
l
j
l
r l
j
r l
k
kC e P t h P t d
n=
−
−∑ ∫ ∂ ∂ ( ) ( ){ }
1
0
1 1
R
( , ) ( )
( , ) ( , )ζ νη ζ
∂ζ ∂ζ
ζ ζ ζ ζ =df
=df
( )
( )
( , ) ( , ), , , ,− +
=
∑1 0 0
1
0
r
j
r
k
l
r
r
l k l
iz
t z C t zΨ Ψν ν .
Peredusim ocinymo vyraz
∂ ( ) ( ){ }
r
j
r
k
kP t h P t
∂ζ
ζ ζ ζν
1 1( , ) ( , ) =
l
r
r
l
l
j
l
k
r l
k
j
r lC P t
h P t
=
−
−∑ ∂ ( ){ }∂ ( )
0
1
1
∂ζ
ζ ζ ζ
∂ζ
ν ( , )
( , )
.
Rozhlqnemo spoçatku
∂ ( ){ }
r
j
r
kP t
∂ζ
ζ ζν
1( , ) ≤
l
r
r
l
l
j
l
r l
j
r l
kC P t
=
−
−∑ ∂ ∂ ( )( )
0
1
( )
( , )
ζ
∂ζ ∂ζ
ζ
ν
.
Zhidno z formulog Faa de Bruno dyferencigvannq skladeno] funkci] [12]
oderΩymo
∂ ( )( )
r
j
r
kP t
∂ζ
ζ1( , ) ≤
q
r q k
q
j
i L
j
L
h
r
i g h
d P t
d P t
P t P t
L
∑ …
( )( )
( )
∂
∂
… ∂
∂
!
! ! !
( , )
( , )
( , )
!
( , )
!
1
1
1 1
1
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
(tut znak sumy poßyrg[t\sq na vsi ciloçyslovi nevid’[mni rozv’qzky rivnqnnq
r = i + 2 g + … + L h, çyslo q = i + g + … + h ). Zvidsy, skorystavßys\ tym, wo
∂
∂
L
j
L
P t
L
1( , )
!
ζ
ζ
≤ c P tLζ ζ−
1( , ) , ζ ∈ R
n \ { 0 }, (6)
distanemo
∂ ( )( )r k
j
r
P t1( , )ζ
∂ζ
≤
q
r
k q r qc r P t P t∑ ( ) ( )− −( ) ( , ) ( , )1 1ζ ζ ζ ≤
≤ c P t k r
1( , )ζ ζ( ) −
, ζ ∈ R
n \ { 0 },
de c — dodatna stala, ne zaleΩna vid t i ζ .
Oskil\ky
∂l
j
l
ζ
∂ζ
ν
≤ c
l
l
lζ ν
ν
ν − ≥
<
, ,
,0
, (7)
to
∂ ( ){ }
r
j
r
kP t
∂ζ
ζ ζν
1( , ) ≤ c P t k r
1( , )ζ ζ ν( ) −
, ζ ∈ R
n \ { 0 }.
Skorystavßys\ we raz formulog Faa de Bruno, a takoΩ lemog 1 i ocinkog (6),
oderΩymo
∂ ( )
r
j
r kh P t
∂ζ
ζ1( , ) ≤
q
r q
k
q
j
i L
j
L
h
c r
d h P t
d P t
P t P t
L
∑ ( )
( )
∂
∂
… ∂
∂
( )
( , )
( , )
( , )
!
( , )
!
1
1
1 1
1
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1659
≤ c r P tr
q
r
q( ) ( , )ζ ζ− ∑ ( )1 ≤ c rζ γ 0 −
,
de || ζ || ≤ 1, t ∈ [ 0, 1 ), a stala c ne zaleΩyt\ vid t i ζ .
Takym çynom, dlq vsix || ζ || ≤ 1, t ∈ [ 0, 1 )
∂ ( ) ( ){ }
r
j
r
k
kP t h P t
∂ζ
ζ ζ ζν
1 1( , ) ( , ) ≤ c k rζ ν γ+ + −0 1( )
,
pryçomu c ≠ c ( t ).
Zvidsy oderΩu[mo
Ψν
0, , ( , )k l t z ≤ c dk l r
1 2 1
10
/ ≤ ≤
+ + + −∫
ζ
ν γζ ζ( ) ≤ c2 , l = 1, r , r ∈ N;
Ψν
0 0, , ( , )k t z ≤ c dk r
ζ
ν γζ ζ
≤
+ + −∫
1
10 ( )
dlq vsix || z || ≥ 1 i t ∈ [ 0, 1 ).
Dlq zabezpeçennq zbiΩnosti ostann\oho intehrala poklademo r = n + | ν | +
+ [ k γ0 ], a za k vyberemo najmenße z natural\nyx çysel l, dlq qkyx vykonu[t\-
sq nerivnist\ [ l γ0 ] ≥ γ0 . Todi
Ψν
0, ( , )k t z ≤ c z n− − −ν γ 0
, || z || ≥ 1, t ∈ [ 0, 1 ),
de c — dodatna stala, ne zaleΩna vid t i z.
Perejdemo do ocingvannq Ψν
1
pry || z || ≥ 1. Qk i u vypadku Ψν
0,k
, zintehru-
[mo r raziv çastynamy Ψν
1
po zminnij ζj :
Ψν
1( , )t z ≤
≤
1
1 2 1 1 2 1
1 1
z
e d c e d
j
r
r
j
r
P t
l
r r l
j
r l
P t
/ /≤
−
= ≤ ≤
−
−
−∫ ∑ ∫∂ ( ) + ∂ ( )
ζ
ν ζ
ζ
ν ζ
∂ζ
ζ ζ
∂ζ
ζ ζ( , ) ( , )
. (8)
Oskil\ky zhidno z formulog Faa de Bruno ta nerivnistg (6)
∂ −
r
j
r
P te
∂ζ
ζ1( , )
≤
q
r q P t
q
j
i L
j
L
h
c r
d e
d P t
P t P t
L
∑
−
( )
∂
∂
… ∂
∂
( )
( , )
( , )
!
( , )
!
( , )1
1
1 1
1
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
≤
≤ c e y er P t
q
r
y
q yζ ζ− − −/ ∑ { }1 2( , ) sup ≤ c er
1 ζ δ ζ γ− −
, ζ ∈ R
n
,
de c1
, δ — dodatni stali, ne zaleΩni vid t i ζ , z ohlqdu na (7), z nerivnosti (8)
pry || z || ≥ 1 i t ∈ [ 0, 1 ) otrymu[mo ocinku
Ψν
1( )z ≤ c z r
2
−
, r ∈ N, c2 ≠ c2 ( t, z ).
Takym çynom, isnu[ konstanta c, ne zaleΩna vid t i z , taka, wo
Ψν( , )t z ≤ c z n− − −ν γ 0
, || z || ≥ 1, t ∈ [ 0, 1 ).
Zaznaçymo, wo pry || z || ≤ 1 i t ∈ ( 0, T ]
Ψν( , )t z ≤
R
n
j
j
n
j e d∫ ∏
=
−
1
ζ ζν δ ζ γ
.
OtΩe,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1660 V. A. LITOVÇENKO
∀ ν ∈ Z+
n ∃ c > 0 ∀ t ∈ ( 0, 1 ) ∀ x ∈ R
n
: D G t xx
ν ( , ) ≤
≤ ct zp n n− +( ) − − −/ +( )ν γ ν γ1 0 ≡ ct t xp p nγ γ γ ν γ
0 0/ / +( ) − − −
.
Vypadok
D D G t xt x
ν ( , ) =
1
2( )
( , ) exp ( , ) ( , )
π
ξ ξ ξ ξ ξν
n t
n
D P t P t i x d
R
∫ ( ) − +{ }
rozhlqda[t\sq analohiçno. Pislq vykonannq zaminy ξj = t
–
p
/
γ
ζj , j = 1, n, j
pidstanovky z = t
–
p
/
γ
x oderΩymo
D D G t xt x
ν ( , ) =
=
t
b t t a P t i z d
p n
n
j
m
j
p j
n
j
− +( )
=
−/ /∑ ∫ − +{ }
ν γ γ γ ν
γπ
ζ ζ ζ ζ ζ
( )
( ) ( )exp ( , ) ( , )
2 1
1
R
≤
≤ ct a P t i z dp n
j
m
n
j
− + +( )( )
=
/ ∑ ∫ − +{ }1
1
1
ν γ ν
γζ ζ ζ ζ ζ
R
( )exp ( , ) ( , ) =
df
=
df
ct p n
j
m
j
− + +( )( )
=
/ ∑1
1
ν γ Ψ̂ ,
de c — dodatna stala, ne zaleΩna vid t i z .
Zaznaçymo, wo dlq koΩnoho fiksovanoho j z { 1, … , m } intehral Ψ̂j [ in-
tehralom vydu Ψν , oskil\ky ζ ζν
γa
j
( ) — odnoridna funkciq. Odnak cq funk-
ciq ma[ obmeΩenu hladkist\, tomu intehral
ˆ ,Ψj
0 0
(analoh Ψν
0 0, ), vzahali kaΩu-
çy, ne naleΩyt\ prostoru S ( R
n
), prote joho moΩna vvaΩaty intehralom vydu
Ψν
0, ,l j
. Takym çynom, dovedennq nerivnosti (5) u vypadku, koly t ∈ ( 0, 1 ), zvo-
dyt\sq do povtorennq mirkuvan\, provedenyx pry vstanovlenni nerivnosti (4).
Na zaverßennq zauvaΩymo, wo pry t ≥ 1 ocinky (4), (5) oderΩugt\sq analo-
hiçno zavdqky zamini ξj = t p
j
− /0 0γ ζ , j = 1, n, ta pidstanovci z = t xp− /0 0γ
.
Lemu dovedeno.
Naslidok 1. Pry koΩnomu fiksovanomu t ∈ ( 0, T ] funkciq G ( t, ⋅ ) na-
leΩyt\ Φ.
Lema 3. Funkciq G ( t, ⋅ ), qk abstraktna funkciq parametra t ∈ ( 0, T ] zi
znaçennqm u prostori Φ, [ dyferencijovnog po t.
Dovedennq. Neobxidno dovesty, wo hranyçne spivvidnoßennq
Ψ∆t ( t, x ) =
df
G t t x G t x
t
( , ) ( , )+ −∆
∆
∆t→
→
0
Dt G ( t, x )
vykonu[t\sq u tomu rozuminni, wo:
1) ∀ k ∈ Z+
n
: D t xx
k
tΨ∆ ( , )
∆t→
→
0
D D G t xx
k
t ( , ) rivnomirno po x na koΩ-
nomu kompakti K z R
n
;
2) ∀ ν ∈ Z+ ∀ t ∈ ( 0, T ] ∃ cν > 0 ∀ | ∆ t | < 1
2
t ∀ x ∈ R
n
:
Ψ∆t t x( , )
ν
≤ cν .
Funkciq G [ dyferencijovnog po t u zvyçajnomu rozuminni, tomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1661
Ψ∆t ( t, x ) = Dt G ( t + θ1 ∆ t, x ) , 0 < θ1 < 1.
OtΩe,
D t x D G t xx
k
t tΨ∆ ( , ) ( , )−( ) ≤
R
n
k P t t P tP t e e d∫ − + −−ξ ξ ξθ ξ ξ( , ) ( , ) ( , )1∆ =
= c t P t P t t e d
n
k P t t
1 1 2
2θ ξ ξ θ ξ ξθ ξ∆ ∆ ∆
R
∫ + − +( , ) ( , ) ( , ) ≤
≤ c t P t c t t a
n
j
j
k
j
m
j
p
2
1
2∆ ∆
R
∫ ∑
=
+
ξ ξ θ ξγ( , ) ( ) ( ) ×
× exp ( ) ( )−
+
∫
0
2
0 0
t t
jb d a d
θ
γτ τ ξ ξ
∆
≤
≤ c b t t P t a e d
n
j
p
k
j
m
t a
2
1
0
0( ) ( , ) ( )
( )∆
R
∫ ∑
=
−
ξ ξ ξ ξγ
δ ξγ ≤ c b t t3 1( ) ∆ ,
| ∆ t | < 1
2
t , t ∈ ( 0, T ], x ∈ R
n
, θj ∈ ( 0, 1 ), j = 1 2, ,
de c3 i b1( t ) — dodatni velyçyny, ne zaleΩni vid ∆ t i x. Takym çynom, umova 1
vykonu[t\sq.
Umova 2 takoΩ vykonu[t\sq, oskil\ky zhidno z lemog 2 oderΩu[mo
D t xx
k
tΨ∆ ( , )( ) = D D G t t xx
k
t ( , )+ θ1∆ ≤
≤ c t t t t x
n k
( ) ( )+ + +( )− − + +( )
θ θβγ β γ
1
1
1
0 0∆ ∆ ≤
≤ c t t x
n k
2
10 0βγ β γ− − + +( )
+( ) , t ∈ ( 0, T ], x ∈ R
n
, c2 ≠ c2( ∆ t, x )
(tut vraxovano te, wo 1 21−( )/θ t ≤ t + θ1 ∆ t ≤ 1 21+( )/θ t dlq vsix | ∆ t | < t / 2,
θ1 ∈ ( 0, 1 ) ), wo j potribno bulo dovesty.
Naslidok 2. Dlq koΩnoho f z � funkciq ( f * G ) ( t, ⋅ ), t ∈ ( 0, T ], [ dy-
ferencijovnog po t u zvyçajnomu rozuminni.
Lema 4. Funkciq G ( t, ⋅ ) pry t → + 0 prqmu[ do del\ta-funkci] Diraka u
prostori Φ ′.
Dovedennq. Nasampered navedemo dopomiΩne spivvidnoßennq
R
n
G t x d x∫ ( , ) = 1, t ∈ ( 0, T ], (9)
qke oderΩu[t\sq z oznaçennq funkci] G ta formuly obernennq peretvorennq
Fur’[.
Dlq dovil\no] osnovno] funkci] ϕ z Φ ma[mo
G t( , ), ,⋅ −ϕ δ ϕ ≤
R
n
G t x x d x∫ −( , ) ( ) ( )ϕ ϕ 0 =
df
� ( t ), t ∈ ( 0, T ].
Za neperervnistg funkci] ϕ dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ t0 take, wo t p
0
2/( )γ < ε
i ϕ ϕ( ) ( )x − 0 < ε, qk til\ky x < t p
0
2/( )γ
. Todi
� ( t ) < ε
γx t p
G t x d x
< ( )
∫
0
2/
( , ) +
x t p
G t x x d x
≥ ( )
∫ −
0
2
0
/
( , ) ( ) ( )
γ
ϕ ϕ =
df
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1662 V. A. LITOVÇENKO
=
df
ε �1 ( t ) + �2 ( t ), t ∈ ( 0, T ].
Zhidno z (4) pry t ∈ ( 0, 1 ) oderΩymo
�1 ( t ) ≤ c
t
t x
dx
n
p
p n
R
∫
+( ) +
γ γ
γ γ
0
0
/
/
= c
t x
d t x
n
p n
p
R
∫
+( ) ( )− +
−1
1 0/
/
γ γ
γ =
= c
d
0
11 0
+∞
+∫ +( )
ρ
ρ γ = c1
, c1 ≠ c1 ( t ).
Z obmeΩenosti funkci] ϕ v R
n
, z ohlqdu na (4) pry t ∈ ( 0, 1 ), otrymu[mo
�2 ( t ) ≤ ct x dxp
x t
n
p
γ γ γ
γ
0
0
2
0/ ( )
/≥
− +
( )
∫ =
= ct dp
t p
γ γ γ
γ γ
ρ ρ0
0
0
0
1/ ( )
/
+∞
− +∫ = c t tp p
2 0
20 0γ γ γ γ/ /− ( )
,
de c2 — dodatna stala, ne zaleΩna vid t. Zvidsy dlq vsix t ≤ t0 i t ∈ ( 0, 1 )
ma[mo �2 ( t ) ≤ c t p
2 0
20γ γ/ ( ) < c2
0εγ
.
OtΩe,
∀ ε > 0 ∃ t0 < ε γ2 / p ∀ t ≤ t0 : � ( t ) ≤ c1ε + c2
0εγ
,
wo j potribno bulo dovesty.
2. Zadaça Koßi. Rozhlqnemo rivnqnnq (1), u qkomu bj ( ⋅ ) — funkci], opysa-
ni u poperedn\omu punkti, a A
jγ — operatory typu Aα , pobudovani za sym-
volamy a
jγ ∈ Λ, j = 1, m .
Fundamental\nym rozv’qzkom rivnqnnq (1) [ funkciq G ( t, ⋅ ), qka pry koΩ-
nomu t ∈ ( 0, T ] naleΩyt\ do prostoru Φ (dyv. naslidok 1).
Qk vydno z lemy 4, hranyçnymy znaçennqmy rozv’qzku rivnqnnq (1) pry t →
→ + 0 moΩut\ buty elementy z prostoru Φ ′, pryçomu poçatkovu umovu dlq (1)
U t t( , )⋅ =0 = f (10)
slid rozumity qk U ( t, ⋅ ) →
→+
′
t 0
Φ
f (tobto qk slabku zbiΩnist\ u prostori Φ ′ ).
OtΩe, pid rozv’qzkom zadaçi Koßi (1), (10) rozumitymemo hladku funkcig U ,
qka zadovol\nq[ rivnqnnq (1) u zvyçajnomu rozuminni, a poçatkovu umovu (10) u
tomu rozuminni, wo U ( t, ⋅ ) →
→+
′
t 0
Φ
f.
Nastupne tverdΩennq xarakteryzu[ korektnu rozv’qznist\ zadaçi Koßi (1),
(10).
Teorema 2. Zadaça Koßi (1), (10) [ korektno rozv’qznog v klasi poçatkovyx
uzahal\nenyx funkcij �. }] rozv’qzok dyferencijovnyj po t, neskinçenno dy-
ferencijovnyj po x i zobraΩu[t\sq formulog
U ( t, x ) = ( f * G ) ( t, x ), ( t, x ) ∈ Ω,
pry c\omu U ( t, ⋅ ) ∈ Φ dlq koΩnoho t ∈ ( 0, T ].
Dovedennq. Qk zaznaçalos\, u prostori Φ operaciq zsuvu ne lyße nepe-
rervna, ale i neskinçenno dyferencijovna, tomu G ( t, x – ⋅ ), qk abstraktna
funkciq parametra x u prostori Φ, neskinçenno dyferencijovna po x. Dyfe-
rencijovnist\ po t ci[] funkci] stverdΩu[t\sq u naslidku 2. OtΩe, U ( t, x ) =
= f G t x, ( , )− ⋅ , ( t, x ) ∈ Ω, [ zvyçajnog funkci[g, dyferencijovnog po t i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1663
neskinçenno dyferencijovnog po x. Krim toho, oskil\ky f — zhortuvaç u pros-
tori Φ, to ( f * G ) ( t, ⋅ ) ∈ Φ pry koΩnomu t z ( 0, T ].
Dovedemo teper, wo funkciq U [ rozv’qzkom rivnqnnq (1). Dlq f z � (dyv.
p. 1)
F [ f * G ] ( t, ξ ) = F [ f ] (ξ )F [ G ] (t, ξ ) = F [ f ] (ξ ) e
–
P
( t,
ξ
)
, ( t, ξ ) ∈ Ω.
OtΩe, dlq vsix t ∈ ( 0, T ] i x ∈ R
n
j
m
jb t A U t x
j
=
∑ ( )
1
( ) ( , )γ = F b t a e F f t x
j
m
j
P t
j
−
=
−∑
[ ]
1
1
( ) ( ) ( ) ( , )( , )
γ
ξξ ξ =
= – F
t
e F f t xP t− −∂
∂
[ ]
1 ( , ) ( ) ( , )ξ ξ = – F F
t
G t F f t x− ∂
∂
[ ]
1 ( , ) ( ) ( , )ξ ξ =
= – F F f
t
G t x− ∂
∂
1
* ( , ) = – f
t
G t x* ( , )
∂
∂
= –
∂
∂
U t x
t
( , )
,
tobto U zadovol\nq[ rivnqnnq (1) u zvyçajnomu rozuminni.
Zhidno z lemog 4 ta neperervnistg operaci] zhortky u prostori Φ ′ [ 6 ]
funkciq U zadovol\nq[ poçatkovu umovu (10).
Dlq vstanovlennq [dynosti rozv’qzku zadaçi Koßi (1), (10) rozhlqnemo dopo-
miΩnu (sprqΩenu) zadaçu Koßi
∂
∂
V t x
t
( , )
–
j
m
jb t A V t x
j
=
∑ ( )
1
( ) ( , )*
γ = 0, V ∈ Φ, ( t, x ) ∈ Ω ′ =df [ 0, t0 ) × R
n
, (11)
V t t t( , )⋅ = 0
= ϕ, ϕ ∈ �, (12)
de umova (12) vykonu[t\sq u slabkomu rozuminni; t0 — dovil\nym çynom fikso-
vane çyslo z ( 0, T ], a A
jγ
* : 6Φ → Φ ′ — sprqΩenyj operator do A
jγ . Zaznaçy-
mo, wo [7]
∀ ϕ ∈ Φ : A
jγ ϕ* ( )( ) ⋅ = F a F
jγ ξ ϕ ξ( ) ( ) ( )− [ ][ ] ⋅1
.
Poznaçymo çerez G t t*( , )− ⋅0 fundamental\nyj rozv’qzok zadaçi Koßi (11),
(12). Qk i u vypadku zadaçi (1), (10), nevaΩko perekonatysq, wo:
1) G t t*( , )− ⋅0 pry koΩnomu fiksovanomu t ∈ [ 0, t0 ) naleΩyt\ do prostoru
Φ qk abstraktna funkciq parametra t, dyferencijovna po t, i
G t t x*( , )− 0 = F b d a t t x
j
m
t
t
j j
exp ( ) ( ) ( , )
=
∑ ∫
−
1
0
0
τ τ ξγ , ( t, x ) ∈ Ω ′ ;
2) zadaça Koßi (11), (12) [ rozv’qznog v klasi uzahal\nenyx poçatkovyx
funkcij �, ]] rozv’qzok [ dyferencijovnym po t, neskinçenno dyferencijov-
nym po x i zobraΩu[t\sq formulog
V ( t, x ) = ( * )( , )*ϕ G t t x− 0 , ( t, x ) ∈ Ω ′,
pryçomu V ( t, ⋅ ) ∈ Φ dlq koΩnoho t ∈ [ 0, t0 ).
Poznaçymo çerez Qt
t
0
operator, qkyj di[ z prostoru � u prostir Φ tak:
Qt
t
0
ϕ = ( * )( , )*ϕ G t t− ⋅0 = V ( t, ⋅ ) ∈ Φ ( ∀ ϕ ∈ � ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1664 V. A. LITOVÇENKO
Operator Qt
t
0
[ linijnym i neperervnym (oskil\ky takog [ operaciq zhortky),
vyznaçenym dlq dovil\nyx t i t0 takyx, wo 0 ≤ t < t0 ≤ T, pryçomu dlq vsix
ϕ ∈ �
∂ ϕ
∂
Q
t
t
t
0 –
j
m
j t
tb t A Q
j
=
∑
1
0
( ) *
γ ϕ = 0, lim
t t
t
tQ
→ 0
0
ϕ = ϕ (13)
(tut t → t0 u slabkomu rozuminni hranyci).
Rozhlqnemo teper rozv’qzok U ( t, ⋅ ) = ( * )( , )f G t ⋅ zadaçi Koßi (1), (10) (nada-
li traktuvatymemo joho qk funkcional z Φ ′ ⊃ Φ ). Dlq [dynosti rozv’qzku za-
daçi Koßi (1), (10) u prostori Φ dosyt\ dovesty, wo [dynym rozv’qzkom rivnqn-
nq (1) pry nul\ovij poçatkovij umovi moΩe buty lyße funkcional U ≡ 0. Za-
fiksu[mo dovil\nym çynom t0 ∈ ( 0, T ] i zastosu[mo funkcional U do elementa
Qt
t
0
ϕ , de ϕ — dovil\nyj element z �. Dyferenciggçy po t i vykorystovugçy
rivnqnnq z (13), otrymu[mo
∂
∂
⋅
t
U t Qt
t( , ),
0
ϕ =
∂
∂
U
t
Qt
t,
0
ϕ + U
Q
t
t
t
,
∂
∂
0
ϕ
=
= − ( )
=
∑
j
m
j t
tb t A U Q
j
1
0
( ) ,γ ϕ + U b t A Q
j
m
j t
t
j
, ( ) *
=
∑ ( )
1
0γ ϕ =
= − ( )
=
∑
j
m
j t
tb t A U Q
j
1
0
( ) ,γ ϕ +
j
m
j t
tb t A U Q
j
=
∑ ( )
1
0
( ) ,γ ϕ = 0,
ϕ ∈ �, t ∈ ( 0, t0 )
(z pryvodu dyferencigvannq abstraktno] funkci] dyv. [9]). Zvidsy vyplyva[, wo
U t Qt
t( , ),⋅
0
ϕ [ stalog velyçynog. Dali, zhidno z poçatkovog umovog
U t t( , )⋅ =0 = 0 znaxodymo, wo cq velyçyna dorivng[ nulg pry vsix t ∈ [ 0, t0 ).
Zokrema, pry t → t0 (u slabkomu rozuminni hranyci) U t( , ),0 ⋅ ϕ = 0, ϕ ∈ �.
Oskil\ky ϕ — dovil\nyj element z �, a prostir S ( R
n
) ⊂ � , pryçomu
S n( )R = Φ, to U t( , ),0 ⋅ ϕ = 0 dlq vsix ϕ z Φ. OtΩe, U ( t0 , ⋅ ) — nul\ovyj
funkcional. Z ohlqdu na te, wo t0 bulo vybrano dovil\nym çynom miΩ 0 i T,
U ( t, ⋅ ) ≡ 0 dlq vsix t ∈ [ 0, T ].
Teoremu dovedeno.
3. Pryncyp lokalizaci]. Zaznaçymo, wo rozv’qzok zadaçi Koßi (1), (10) pry
t → + 0 prqmu[ do uzahal\neno] funkci] f u slabkomu sensi. Odnak moΩe tra-
pytysq, wo f zbiha[t\sq na deqkij çastyni R
n
z hladkog funkci[g. Vynyka[
pytannq: çy bude u c\omu vypadku vidbuvatysq lokal\ne pidsylennq zbiΩnosti
vkazanoho rozv’qzku pry t → + 0?
Vidpovid\ na ce pytannq da[ nastupna teorema.
Teorema 3 (pryncyp lokalizaci]). Nexaj f ∈ �, U — rozv’qzok zadaçi
Koßi (1), (10), pobudovanyj za funkcionalom f. Todi qkwo uzahal\nena funkciq
f zbiha[t\sq v deqkij oblasti Q ⊂ R
n z neperervnog funkci[g g , to U ( t,
x ) →
→+t 0
g ( x ) rivnomirno po x na koΩnomu kompakti K ⊂ Q.
Dovedennq. Spoçatku rozhlqnemo vypadok, koly g ( ⋅ ) ≡ 0 na Q. Nexaj
K ⊂ K1 ⊂ Q, de K1 — deqka kompaktna mnoΩyna v R
n
. Rozhlqnemo funkcig
η0 ∈ D ( R
n
) ⊂ Φ z nosi[m v Q taku, wo η 0 = 1 na K1 . Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1665
η η0 01( ) ( , ), ( ) ( , )⋅ − ⋅ − ⋅( ) − ⋅{ }G t x G t x ⊂ Φ pry koΩnomu t ∈ ( 0, T ] i x ∈ R
n
, to
U ( t, x ) = f G t x, ( ) ( , )η0 ⋅ − ⋅ + f G t x, ( ) ( , )η1 ⋅ − ⋅ ,
de η1 ( ⋅ ) = 1 – η0 ( ⋅ ). ZvaΩagçy na te, wo uzahal\nena funkciq f dorivng[ nulg
v oblasti Q, a sup ( ) ( , )p η0 ⋅ − ⋅( )G t x ⊂ Q, z ostann\o] rivnosti oderΩu[mo
U ( t, x ) = t f t G t xp pγ γ γ γ η0 0
1
/ /− ⋅ − ⋅, ( ) ( , ) .
Dali, koΩna uzahal\nena funkciq f z Φ ′ ma[ skinçennyj porqdok, tomu
| U ( t, x ) | ≤ t fp
q t x q
γ γ ω0 /
, ,
de ωt x, ( )⋅ =df t G t xp− / ⋅ − ⋅γ γ η0
1( ) ( , ), f q — norma funkcionala f u ′Φq . Po-
kaΩemo, wo sukupnist\ funkcij ωt x, ( )⋅ obmeΩena za q-g normog prostoru
Φq rivnomirno po t ∈ ( 0, 1 ) i x ∈ K. Oskil\ky ω ξt x, ( ) = 0 dlq ξ ∈ K1 , to ocin-
ku ωt x q, ≤ cq dosyt\ vstanovyty dlq ξ ∈ R
n
\ K1 .
Zaznaçymo, wo
∆t x, ( )ξ =df
k
q
k
k
M D G t x
=
+
=
∑ ∑ −( )
0
1ˆ ( ) ( ) ( , )γ
α
ξ
αξ η ξ ξ ≤
≤ M G t xˆ ( ) ( , )γ ξ ξ− + M G t xˆ ( ) ( ) ( , )γ ξ η ξ ξ0 − +
k
q
kM
=
+∑
1
ˆ ( )γ ξ ×
×
α
ξ
α
ξ
α
α
ξ ξ
αξ η ξ ξ η ξ ξ
= =
−∑ ∑− + − + −
k l
l lD G t x D G t x D D G t x( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )0
1
0 .
Zvidsy, vraxuvavßy lemu 2, a takoΩ te, wo η 0 ∈ Φq ( tomu wo η 0 ∈ Φ =
=
j j=
∞
0∩ Φ ), distanemo
∆t x, ( )ξ ≤ ct
M
t x t x
p
p p
γ γ γ
γ γ γ γ
ξ
ξ ξ
0
1/
/ /+ −( )
+
+ −( )
ˆ
ˆ ˆ
( )
+
+
k
q
k
k
p
M
t x=
+
=
+∑ ∑ / + −( )
1
1
ˆ ˆ( )γ
α γ γ αξ
ξ
+
+
M
t x
M
t xp
l
l
p l
−
+
=
− +( )
+ −/ /+ −( )
+
+ −( )
∑ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( ) ( )γ
γ γ α
α
γ
γ γ α
ξ
ξ
ξ
ξ1
, t ∈ ( 0, 1 ).
Oskil\ky || x – ξ || ≥ a0 > 0, de a0 — vidstan\ miΩ meΩamy kompaktiv K i K1 ,
to
∃ L > 0 ∀ x ∈ K ∀ ξ ∈ R
n
\ K1 :
M
x
1( )ξ
ξ−
≤ L.
OtΩe, dlq vsix x ∈ K, ξ ∈ R
n
\ K1 i t ∈ ( 0, 1 )
∆t x, ( )ξ ≤ ct L a L L a Lp
k
q
k
k k
l
lγ γ γ γ
α
γ γ γ
α
γ α0
0
1
0
1
/ + + + +
−
= =
+ + −
=
+ −∑ ∑ ∑ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =
= c t p
2
0γ γ/
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1666 V. A. LITOVÇENKO
de c2 — dodatna stala, ne zaleΩna vid t, x i ξ . Zvidsy pryxodymo do vysnovku,
wo ωt x q, ≤ c2 , a | U ( t, x ) | ≤ c t fp
q2
0γ γ/
. Takym çynom, U ( t, x ) →
→+t 0
0 riv-
nomirno po x ∈ K.
Na pidstavi vstanovlenoho faktu zahal\nyj vypadok zvodyt\sq do dovedennq
toho, wo
�t ( x ) =df
R
n
G t x g d∫ −( , ) ( ) ( )ξ η ξ ξ ξ0 →
→+t 0
( )( )η0g x (14)
rivnomirno po x ∈ K ⊂ Q (tomu wo
U ( t, x ) = η0( ), ( , )f g G t x− − ⋅ + η1 f G t x, ( , )− ⋅ + η0g G t x, ( , )− ⋅ ,
a η0g — rehulqrnyj funkcional).
Oskil\ky
R
n
G t x dx∫ ( , ) = 1,
R
n
G t x dx∫ ( , ) ≤ c0
, t ∈ ( 0, 1 ), (15)
de c0 ≠ c0 ( t ) (ostannq nerivnist\ lehko oderΩu[t\sq zavdqky lemi 2), to
| �t ( x ) – ( )( )η0g x | ≤
R
n
G t g x g x d∫ − −( , ) ( )( ) ( )( )ξ η ξ η ξ0 0 .
Zafiksu[mo dovil\ne ε > 0. Todi, zhidno z (15), isnu[ R = R ( ε ) > 0 take, wo
x R
G t d
≥
∫ ( , )ξ ξ < ε
dlq t ∈ ( 0, 1 ). Krim c\oho, η0g — neperervna finitna na R
n
funkciq, tomu
sup ( )( ) ( )( )
x K
n
g x g x
∈
∈
− −
ξ
η ξ η
R
0 0 = M < + ∞.
OtΩe,
ξ
ξ η ξ η ξ
≥
∫ − −
R
G t g x g x d( , ) ( )( ) ( )( )0 0 < ε M, t ∈ ( 0, 1 ), x ∈ K.
Dali, dlq vkazanoho ε > 0 isnu[ δ > 0 take, wo ( )( ) ( )( )η ξ η0 0g x g x− − < ε, qk
til\ky || x – ξ – x || = || ξ || < δ. Todi
ξ δ
ξ η ξ η ξ
<
∫ − −G t g x g x d( , ) ( )( ) ( )( )0 0 < ε c0 , t ∈ ( 0, 1 ), x ∈ K.
Vykorystovugçy ocinky dlq funkci] G ta ]] poxidnyx (dyv. lemu 2), ma[mo
δ ξ
ξ η ξ η ξ
≤ ≤
∫ − −
R
G t g x g x d( , ) ( )( ) ( )( )0 0 ≤
≤ Mct dp
R
nγ γ
δ ξ
γξ ξ0 0/
≤ ≤
− −∫ = c p
1
0ε γ γ/
, t ∈ ( 0, 1 ), x ∈ K.
Takym çynom,
∀ ε > 0 ∃ t0 < ε ∀ t < t0 , t ∈ ( 0, 1 ) :
sup ( ) ( )( )
x K
t x g x
∈
−� η0 < ε M + ε c0 + c p
1
0ε γ γ/
,
tobto dovedeno vykonannq (14).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
ZADAÇA KOÍI Z OPERATOROM RISSA DROBOVOHO DYFERENCIGVANNQ 1667
Zvidsy vΩe, zvaΩagçy na te, wo η0g = g na K, pryxodymo do tverdΩennq
dano] teoremy.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 3. Nexaj f ∈ �, U — rozv’qzok zadaçi Koßi (1), (10), pobudova-
nyj po f. Qkwo uzahal\nena funkciq f zbiha[t\sq v deqkij oblasti Q ⊂ R
n z
l raziv neperervno dyferencijovnog funkci[g g , to Dx
sU ( t, x ) →
→+t 0
Dx
sg ( x )
rivnomirno po x na koΩnomu kompakti K ⊂ Q, de 0 ≤ | s | ≤ l.
1. ∏jdel\man S. D., Dryn\ Q. M. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq stabylyzacyy reßenyj
zadaçy Koßy dlq parabolyçeskyx psevdodyfferencyal\n¥x uravnenyj // PryblyΩenn¥e
metod¥ matematyçeskoho analyza. – Kyev, 1974. – S. 60 – 69.
2. Drin\ Q. M. Vyvçennq odnoho klasu paraboliçnyx psevdodyferencial\nyx operatoriv u
prostorax hel\derovyx funkcij // Dopov. AN URSR. Ser. A. – 1974. – # 1. – S. 19 – 21.
3. Dryn\ Q. M. Fundamental\noe reßenye zadaçy Koßy dlq odnoho klassa parabolyçeskyx
psevdodyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1977. – # 3. –
S.61986–6202.
4. ∏jdel\man S. D., Dryn\ Q. M. Postroenye y yssledovanye klassyçeskyx fundamental\n¥x
reßenyj zadaçy Koßy ravnomerno parabolyçeskyx psevdodyfferencyal\n¥x uravnenyj //
Mat. yssled. – 1981. – V¥p. 63. – S. 18 – 33.
5. Fedorgk M. V. Asymptotyka funkcyy Hryna psevdodyfferencyal\noho parabolyçeskoho
uravnenyq // Dyfferenc. uravnenyq. – 1978. – 14, # 7. – S. 1296 – 1301.
6. Horodec\kyj V. V., Litovçenko V. A. Zadaça Koßi dlq paraboliçnyx psevdodyferencial\nyx
rivnqn\ u prostorax uzahal\nenyx funkcij typu S ′ // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1992. – # 10.
– S. 6 – 9.
7. Litovçenko V. A. Zadaça Koßi dlq paraboliçnyx psevdodyferencial\nyx rivnqn\ z poçat-
kovymy umovamy v prostorax uzahal\nenyx funkcij typu rozpodiliv: Dys.6… kand. fiz.-mat.
nauk. — Çernivci, 1995. – 118 s.
8. Koçubej A. N. Parabolyçeskye psevdodyfferencyal\n¥e uravnenyq, hypersynhulqrn¥e
yntehral¥ y markovskye process¥ // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1988. – 52, # 5. – S.6909 –
934.
9. Hel\fand Y. M., Íylov H. E. Prostranstva osnovn¥x y obobwenn¥x funkcyj. – M.: Fyz-
mathyz, 1958. – 307 s.
10. Borok V. M. Reßenye zadaçy Koßy dlq nekotor¥x typov system lynejn¥x uravnenyj v
çastn¥x proyzvodn¥x // Dokl. AN SSSR. – 1954. – 97, # 6. – S. 949 – 952.
11. Samko S. H., Kylbas A. A., Maryçev O. Y. Yntehral¥ y proyzvodn¥e drobnoho porqdka y ne-
kotor¥e yx pryloΩenyq. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1987. – 688 s.
12. Hursa ∏. Kurs matematyçeskoho analyza. – L.: Hostexyzdat, 1933. – T. 1, ç. 1. – 368 s.
OderΩano 18.05.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3716 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:37Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/8ca6041d346c7ef8b53e7e2c953b1401.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37162020-03-18T20:02:57Z Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation Задача Коші з оператором Рісса дробового диференціювання Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. In the class of generalized functions of finite order, we establish the correct solvability of the Cauchy problem for a pseudodifferential equation whose symbols are homogeneous functions of order &gamma; > 0. We prove a theorem on the localization property of a solution of this problem. У класі узагальнених функцій скінченного порядку встановлено коректну розв'язність задачі Коші для псевдодиференціального рівняння, символи якого є однорідними функціями виміру &gamma; > 0, та доведено теорему про властивість локалізації розв'язку цієї задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3716 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 12 (2005); 1653–1667 Український математичний журнал; Том 57 № 12 (2005); 1653–1667 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3716/4157 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3716/4158 Copyright (c) 2005 Litovchenko V. A. |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Літовченко, В. А. Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title | Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title_alt | Задача Коші з оператором Рісса дробового диференціювання |
| title_full | Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title_fullStr | Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title_full_unstemmed | Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title_short | Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation |
| title_sort | cauchy problem with riesz operator of fractional differentiation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3716 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova cauchyproblemwithrieszoperatoroffractionaldifferentiation AT lítovčenkova cauchyproblemwithrieszoperatoroffractionaldifferentiation AT litovchenkova zadačakošízoperatoromríssadrobovogodiferencíûvannâ AT lítovčenkova zadačakošízoperatoromríssadrobovogodiferencíûvannâ |