On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system
We obtain sufficient conditions for the Lyapunov stability of the trivial solution of a nonautonomous essentially nonlinear differential system in a special critical case.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509854821515264 |
|---|---|
| author | Vitrychenko, I. E. Вітриченко, І. Є. |
| author_facet | Vitrychenko, I. E. Вітриченко, І. Є. |
| author_sort | Vitrychenko, I. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:57Z |
| description | We obtain sufficient conditions for the Lyapunov stability of the trivial solution of a nonautonomous essentially nonlinear differential system in a special critical case. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.925.51
I. {. Vitryçenko (Nac. texn. un-t Ukra]ny „KPI”, Ky]v)
PRO OSOBLYVYJ KRYTYÇNYJ VYPADOK
STIJKOSTI NEAVTONOMNO} ISTOTNO
NELINIJNO} SYSTEMY
We obtain sufficient conditions of the Lyapunov stability of a trivial solution of nonautonomous
essentially nonlinear differential system in a special critical case.
OderΩano dostatni umovy stijkosti za Lqpunovym tryvial\noho rozv’qzku neavtonomno] istotno
nelinijno] dyferencial\no] systemy v odnomu osoblyvomu krytyçnomu vypadku.
1. Postanovka zadaçi. DoslidΩu[t\sq stijkist\ [1] poloΩennq rivnovahy pry
t → + ∞ dyferencial\no] systemy (d. s.) z neperervnymy pravymy çastynamy spe-
cial\noho vyhlqdu
′Yn1
= Φn t Y
1
( , ),
(1)
′Yns
= π µs s n n nt E P t Y
s s s
( ) ( )+[ ] + Y h t Yn
Q
m
n Q n
Q
s
n
n
n
s
1
1 1
1
1
1
=
−
∑ , ( ) + Φns
t Y( , ) ,
s = 2, k ,
de t ∈ ∆, ∆ ≡ [ t0 , + ∞ [, Y = col Y Yn nk1
, ,…( ), vektor-funkci] Φns
: ∆ × S ( Y, r0 ) �
� R
n
mali u deqkomu sensi, S ( Y, r0 ) ≡ Y Y rn∈ ≤{ }R : 0 , Φns
t, 0( ) ≡ 0 , s =
= 1, k , 0 : = col (0, … , 0), n1 + … + nk = n, n, k ∈ N, πs : ∆ � R+ , µ s ∈ R, µ s ≠ 0,
Ens
— odynyçni matryci, Pns
: ∆ � Rn ns s×
, Pns
= o (1), t → + ∞, hn Qs n,
1
: ∆ �
� R, s = 2, k , Qn1
= 1 1, m − , m ≥ 2 — natural\ne çyslo, Y
Q : =
s
n
s
qy s
=∏ 1
,
Y = col ( y1 , … , yn ), Q = ( q1 , … , qn ), q s ∈ { 0, 1, 2, … }, s = 1, n, Q =
= q1 + … + qn .
2. Osnovni rezul\taty. Qkwo vraxuvaty malyznu vektor-funkcij Φns
,
s = 1, k , i na deqkyj ças vyluçyty ]x iz d. s. (1), to novoutvorena d. s. matyme
sim’g rozv’qzkiv vyhlqdu
Yn1
= Cn1
, Yns
≡ 0 , s = 2, k , (2)
de Cn1
— dovil\nyj stalyj n1-vymirnyj vektor. Zrozumilo, wo sim’q rozv’qzkiv
(2) pry Cns
= 0 , s = 1, k , mistyt\ tryvial\nyj rozv’qzok Y ≡ 0 .
PokaΩemo, wo moΩna vkazaty umovy, za qkymy vsi rozv’qzky Y = Y ( t; t0 , Y0 ),
Y0 = Y ( t0 ; t0 , Y0 ) d. s. (1) z dosyt\ malym za normog poçatkovym vektorom Y0
magt\ vlastyvist\
© I. {. VITRYÇENKO, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1711
1712 I. {. VITRYÇENKO
lim ( ; , )
t
nY t T Y
→+∞ 1 0 = const, lim ( ; , )
t
nY t T Y
s→+∞
0 = 0, s = 2, k , T ∈ ∆.
Nexaj
L∆ : =
f f dt: :∆ � R
+∞
∫ < +∞
.
Teorema 1. Nexaj d. s. (1) taka, wo:
1) µ s < 0, s = 2, k ;
2) isnu[ ν : ∆ � R+ , ν ∈ C∆
1
, taka, wo ν = o (1), ν ′ ( ν π )
–
1 = os (1), t → + ∞,
s = 2, k , ∃ M ∈ R+
M : = max sup exp ( ) ,
2
1
1
1
0 0 1
1≤ ≤ ∈
−
=
−
∫ ∫ ∑− ′[ ]
s k t t
t
s s s
t
t
Q
m
n Qd h
n
ns
∆
π µ ν νπ τ ×
× exp ( )
t
s s s dt d
0
1
τ
π ν νπ µ τ∫ ′ −[ ]
−
,
isnugt\ ϕs : ∆ � R+ , s = 1, k , taki, wo
∀ ε ∈ ] 0, 1 ] : Φn n n nt E E E
k1 1 2
, , , ,ε εν εν…( ) ≤ ε ν ϕ1 ,
ν ϕ1 ∈ L∆ , Φn n n ns k
t E E E, , , ,ε εν εν
1 2
…( ) ≤ ε ϕs ,
Is ( t, T ) : = exp expµ π τ π ν ϕ µ π τ
τ
s
T
t
s
T
t
s n s s
T
sd P dt d
s∫ ∫ ∫
+( ) −
−1 = o (1),
t → + ∞, s = 2, k .
Todi ]] tryvial\nyj rozv’qzok [ stijkym za Lqpunovym pry t → + ∞.
Dovedennq. Vykonavßy dlq d. s. (1) zaminu
Yn1
= Xn1
, Yns
≡ νXns
, s = 2, k , (3)
oderΩymo vidnosno Xns
, s = 1, k , d. s. vyhlqdu
′Xn1
= Φn n n nt X X X
k1 1 2
, , , ,ν ν…( ),
′Xns
= π µ ν νπs s s n n nE P X
s s s
− ′[ ] +{ }−( ) 1 + (4)
+ X h t Xn
Q
m
n Q n
Q
s
n
n
n
s
1
1 1
1
1
1
=
−
∑ , ( ) + ν ν ν− …( )1
1 2
Φn n n ns k
t X X X, , , , ,
s = 2, k .
PokaΩemo, wo d. s. (1) [ stijkog za Lqpunovym pry t → + ∞. Struktura vek-
tor-funkcij Φns
, s = 2, k , ne dozvolq[ zastosuvaty do d. s. (4) metod funkcij
Lqpunova, qkyj vykorystano v [2] pry doslidΩenni analohiçnoho vypadku dlq
avtonomnyx d. s. Tomu do d. s. (4) zastosu[mo pryncyp stijkosti O. Perrona [3].
Vidpovidno do n\oho porqd z d. s. (4) rozhlqnemo dopomiΩnu d. s. vyhlqdu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
PRO OSOBLYVYJ KRYTYÇNYJ VYPADOK STIJKOSTI … 1713
′Xn1
= Φ Ξ Ξ Ξn n n nt t t t
k1 1 2
, ( ), ( ), , ( )ν ν…[ ],
(5)
′Xns
= π µ ν νπs s s nX
s
− ′[ ]−( ) 1 + πs n nP t
s s
Ξ ( ) +
+ Ξ Ξn
Q
m
n Q n
Q
s
n
n
nt h t t
s
( ) ( ) ( ),
1
1 1
1
1
1
=
−
∑ +
+ ν ν ν− …[ ]1
1 2
Φ Ξ Ξ Ξn n n ns k
t t t t, ( ), ( ), , ( ) , s = 2, k ,
de Ξ ( t ) = col Ξ Ξn nt t
k1
( ), , ( )…[ ] — neperervna pry t ∈ ∆ vektor-variaciq. Qkwo
bude vstanovleno, wo dlq dosyt\ maloho ε ∈ R+ isnu[ δε ∈ ] 0, ε [ take, wo dlq
rozv’qzku X = X ( t; t0 , X0 ), X0 ≤ δε , d. s. (5) pry t ∈ ∆ vykonu[t\sq nerivnist\
X t t X( ; , )0 0 < ε za umovy Ξ( )t ≤ ε ∀ t ∈ ∆, to za pryncypom O. Perrona d. s.
(1) bude stijkog za Lqpunovym pry t → + ∞.
ZauvaΩymo, wo za poçatkovo] umovy Y ( t0 ) = 0 d. s. (1) ma[ lyße tryvial\nyj
rozv’qzok. Tomu dlq bud\-qkyx r ∈ ] 0, r0 [ i T ∈ ∆ isnu[ δ ( r, T ) ∈ R+ take, wo
rozv’qzok Y = Y ( t; t0 , Y0 ), Y ( t0 ; t0 , Y0 ) = Y0, z umovog Y0 ≤ δ ( r, T ) [ vyznaçe-
nym na [ t0 , T ] i zadovol\nq[ ocinku Y t t Y( ; , )0 0 < r pry t ∈ [ t0 , T ]. Zvidsy vy-
plyva[, wo rozv’qzky d. s. (5) dosyt\ ocingvaty dlq t z deqkoho promiΩku
[ T, + ∞ [.
Nexaj ε ∈ 0 1 1, min , M−{ }] [ , Ξ( )t ≤ ε ∀ t ∈ ∆, X0 ≤ δε ; t = T
*
vyznaçy-
mo tak, wob dlq bud\-qkoho t ∈ [ T
*, + ∞ [ vykonuvalas\ nerivnist\ ν ′ ( ν πs )
–
1 <
< µ s , s = 1, k . Ocinymo spoçatku subvektor Xns
, s = 2, k , d. s. (5). Zintehru-
vavßy koΩne dyferencial\ne rivnqnnq vidnosno komponent subvektora Xns
,
s = 2, k , qk linijne neodnoridne dyferencial\ne rivnqnnq, ocinymo normu c\oho
subvektora:
X t T Xns
( ; , )*
0 ≤ exp ( )
*T
t
s s s d X∫ − ′[ ]
−π µ ν νπ τ1
0 +
+ ε π µ ν νπ τ2 1
1
1
1
1
exp ( )
* *
,
T
t
s s s
T
t
Q
m
n Qd h
n
ns∫ ∫ ∑− ′[ ]
−
=
−
×
× exp ( )
*T
s s s dt d
τ
π ν νπ µ τ∫ ′ −[ ]
−1 + ε π µ ν νπ τexp ( )
*T
t
s s s d∫ − ′[ ]
−1 ×
×
T
t
s n s
T
s s sP dt d
s
* *
exp ( )∫ ∫+( ) ′ −[ ]
− −π ν ϕ π ν νπ µ τ
τ
1 1 ≤
≤ δε + ε
2
M + ε J0 ( T
*
),
de J0 ( T ) : = max sup ( , )
,2≤ ≤ ∈ +∞[ [s k t T
sJ t T ,
Js ( t, T ) : = exp ( )
T
t
s s s d∫ − ′[ ]
−π µ ν νπ τ1 ×
×
T
t
s n s
T
s s sP dt d
s∫ ∫+( ) ′ −[ ]
− −π ν ϕ π ν νπ µ τ
τ
1 1exp ( ) , s = 2, k .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1714 I. {. VITRYÇENKO
Zrozumilo, wo oskil\ky Js ( t, T ) ≈ Is ( t, T ) = o ( 1 ), t → + ∞, s = 2, k , to i
J0 ( T ) = o ( 1 ), T → + ∞. Todi dlq vykonannq pryncypu stijkosti O. Perrona ne-
obxidno, wob
δε + ε
2
M + ε J0 ( T
*
) < ε,
abo
δε < ε ε1 0− −[ ]M J T( )*
.
Dali za çyslom ε vyznaçymo moment çasu t = Tε
*
, Tε
* ∈ [ T
*, + ∞ [, tak, wob
dlq bud\-qkoho t ∈ [ Tε
* , + ∞ [ vykonuvalas\ nerivnist\ J T0 ε
*( ) < 1 – ε M. Zrozu-
milo, wo takyj moment çasu isnu[, oskil\ky za umovamy teoremy J0 ( T ) = o (1),
T → + ∞. Todi çyslo δε vyznaça[t\sq z nerivnosti
δε < ε ε ε1 0− − ( )[ ]M J T*
.
Za tym Ωe pryncypom stijkosti O. Perrona ocinymo subvektor Xn1
z perßo-
ho vektornoho rivnqnnq d. s. (5):
X t T Xn1 0( ; , ) ≤ X0 +
T
t
n n n nt t t t d
k∫ …[ ]Φ Ξ Ξ Ξ
1 1 2
, ( ), ( ), , ( )ν ν τ ≤
≤ δε + ε νϕ
T
dt
+∞
∫ 1 < ε.
Zvidsy dlq çysel ε, δε vyplyva[ zaleΩnist\ u vyhlqdi nerivnosti
δε < ε νϕ1 1−
+∞
∫
T
dt .
Oskil\ky ν ϕ1 ∈ L∆ , to isnu[ T
** ∈ ∆ take, wo
T
dt
**
+∞
∫ νϕ1 < 1.
Nexaj T0 = max ,* **T Tε{ } . Todi ostatoçno çyslo δε vyznaça[t\sq z nerivnosti
δε < min ( ) ,ε ε ε νϕ1 10 0 1
0
− −[ ] −
+∞
∫M J T dt
T
.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 1. Qkwo d. s. (1) taka, wo:
1) isnu[ ν : ∆ � R+ , ν ∈ C∆
1
, taka, wo ν = o ( 1 ), ′ −ν νπ( )s
1 = o ( 1 ), t → + ∞,
s = 2, k ;
2) isnu[ ϕ : ∆ � R+ , s = 1, k , taka, wo dlq ε ∈ ] 0, 1 [
Φn n n nt E E E
k1 1 2
, , , ,ε εν εν…( ) ≤ ε ν ϕ1 , ν ϕ1 ∈ L∆ ,
Φn n n ns k
t E E E, , , ,ε εν εν
1 2
…( ) ≤ ε ϕs , s = 2, k ,
i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
PRO OSOBLYVYJ KRYTYÇNYJ VYPADOK STIJKOSTI … 1715
πs , ν
–
1
ϕs , hn Qs n,
1
∈ L∆ , µs ≠ 0, s = 2, k , Qn1
= 1 1, m − ,
abo
+∞
∫ πs dt = + ∞, µs ∈ R– , hn Qs n,
1
∈ L∆ çy hn Q ss n,
1
1π− ≤ M0 , t ∈ ∆, M0 ∈ R+ ,
πs nP
s
, ν
–
1
ϕs ∈ L∆ çy ϕ νπs s( )−1 = o ( 1 ), t → + ∞, s = 2, k , Qn1
= 1 1, m − ,
to ]] tryvial\nyj rozv’qzok [ stijkym za Lqpunovym pry t → + ∞.
Dovedennq. Dosyt\ pokazaty, wo za umovamy naslidku v teoremi 1 isnu[
M0 ∈ R+ i Is ( t, T ) = o ( 1 ), t → + ∞, s = 2, k . Nexaj πs ∈ L∆ , µs ≠ 0, s = 2, k .
Todi isnu[ M
* ∈ R+ taka, wo dlq bud\-qkyx t, τ ∈ ∆ vykonugt\sq nerivnosti
exp ( )
t
t
s s s d
0
1∫ − ′[ ]
−π µ ν νπ τ ≤ M
*
,
exp ( )
t
s s s dt
0
1
τ
π µ ν νπ∫ − ′[ ]
− ≤ M
*
.
OtΩe, çyslo M z teoremy 1 zadovol\nq[ nerivnist\
0 < M ≤ ( )**
,M h dt
t s
k
Q
m
n Q
n
ns
2
2 1
1
0 1
1
+∞
= =
−
∫ ∑ ∑
,
qka svidçyt\ pro te, wo M isnu[.
Dali, isnu[ M
**
( T ) ∈ R+ take, wo
exp
T
s dt
+∞
∫ π ≤ M
**
( T ), exp −
+∞
∫
T
s dtπ ≤ M
**
( T ),
(6)
Is ( t, T ) ≤ M T P d
T
t
s n ss
**( )[ ] +( )∫ −2 1π ν ϕ τ , s = 2, k .
Oskil\ky πs nP
s
+ ν
–
1
ϕs ∈ L∆ , s = 2, k , to dlq dosyt\ maloho ε ∈ R+ isnu[
Tε ∈ ∆ take, wo bud\-qkoho t ∈ [ Tε , + ∞ [ spravdΩu[t\sq nerivnist\
T
t
s n sP d
s
ε
π ν ϕ τ∫ +( )−1 < ε, s = 2, k .
Todi za nerivnistg (6) vyplyva[, wo Is ( t, T ) = o ( 1 ), t → + ∞, s = 2, k .
Nexaj
+∞
∫ πs dt = + ∞, µs ∈ R– , s = 2, k , i T0 — takyj moment çasu, wo dlq
bud\-qkoho t ∈ [ T0 , + ∞ [ vykonu[t\sq nerivnist\
0, 5 µs < ′ −ν νπ( )s
1
, s = 2, k .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1716 I. {. VITRYÇENKO
Ocinymo velyçynu I t ts
*( , )0 :
I t ts
*( , )0 : = exp ( ) ,
t
t
s s s
t
t
Q
m
n Qd h
n
ns
0 0
1
1
1
1
1∫ ∫ ∑− ′[ ]
−
=
−
π µ ν νπ τ ×
× exp ( )
t
s s s dt d
0
1
τ
π ν νπ µ τ∫ ′ −[ ]
− ≤
≤ I t Ts
*( , )0 0 + M ds
T
t
s s s
T
t
s s s
* exp ( ) ( )
0 0
1 1∫ ∫− ′[ ]
′ −[ ]− −π µ ν νπ τ π ν νπ µ ×
× exp ( )
T
s s s dt d
0
1
τ
π ν νπ µ τ∫ ′ −[ ]
− =
= I t Ts
*( , )0 0 + M ds
T
t
s s s
* exp ( )1
0
1− − ′[ ]
∫ −π µ ν νπ τ ≤ I t Ts
*( , )0 0 + Ms
*
,
qkwo dlq t ∈ [ T0 , + ∞ [ vykonu[t\sq nerivnist\
Q
m n Q
s s s
n
n
h
s
1
1
1
1
1
=
−
−∑ − ′[ ]
,
( )π µ ν νπ
≤ Ms
*
, Ms
* ∈ R+ , s = 2, k .
Isnuvannq stalyx Ms
*
, s = 2, k , harantu[t\sq umovog hn Q ss n,
1
1π− ≤ M 0 , s =
= 2, k , Qn1
= 1 1, m − , t ∈ ∆, M0 ∈ R+ , naslidku. Cym dovedeno isnuvannq
stalo] M z teoremy 1.
Do velyçyn Is ( t, T ), s = 2, k , zastosu[mo pravylo Lopitalq. Todi
Is ( t, T ) ≈ Pns
+
ν ϕ
π
−1
s
s
≈
ν ϕ
π
−1
s
s
= o ( 1 ), t → + ∞, s = 2, k .
Za inßym metodom za zadanym çyslom ε ∈ R+ isnu[ Tε ∈ [ T0 , + ∞ [ take, dlq wo
bud\-qkoho t ∈ [ Tε , + ∞ [ vykonu[t\sq nerivnist\ Is ( t, Tε ) < ε, s = 2, k . Dlq c\o-
ho ocinymo velyçynu Is ( t, Tε ) < ε, s = 2, k , analohiçno do [4, c. 11]:
Is ( t, Tε ) ≤
T
t
s n sP d
s
ε
π ν ϕ τ∫ +( )−1 < ε, s = 2, k .
Naslidok dovedeno.
ZauvaΩennq. Za umovamy teoremy 1 lim ( ; , )t Y t T Y→+∞ 0 = 0 , s = 2, k . Dali,
pry Y0 = X0 ma[mo
Y t T Yn1 0( ; , ) = X t T X( ; , )0 =
= Y0 +
T
t
n n n nX T Y X T Y X T Y d
k∫ …[ ]Φ
1 1 20 0 0τ τ ν τ ν τ τ, ( ; , ), ( ; , ), , ( ; , ) . (7)
Oskil\ky ν ϕ1 ∈ L∆ , to intehral v (7) isnu[ i zbiha[t\sq pry t → + ∞. OtΩe,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
PRO OSOBLYVYJ KRYTYÇNYJ VYPADOK STIJKOSTI … 1717
lim ( ; , )
t
nY t T Y
→+∞ 1 0 = Cn1
=
= Y0 +
T
n n n nX T Y X T Y X T Y d
k
+∞
∫ …[ ]Φ
1 1 20 0 0τ τ ν τ ν τ τ, ( ; , ), ( ; , ), , ( ; , ) .
3. Zvedennq d. s. zahal\noho vyhlqdu do d. s. (1). Rozhlqnemo na promiΩ-
ku ∆ω : = [ t0 , ω [, ω ≤ + ∞, d. s. vyhlqdu
dZ
dt
= π ( t ) P ( t ) Z +
Q
m
Q
QF t Z
=
∑
2
( ) + Rm ( t, Z ), (8)
de π : ∆ω � R+ , FQ : ∆ω � R
n
, || ||Q = 2, m , i P : ∆ω → R
n
×
n
— n0 raziv nepe-
rervno dyferencijovni vidpovidno skalqrna, vektorna ta matryçna funkci];
Rm ( t, Z ) — n-vymirna vyznaçena i neperervna v oblasti ∆ω × S ( Z, r0 ) vektor-
funkciq, qka prypuska[ ocinku || R ( t, Z ) || ≤ L ( t ) || Z || m
+
α
, L : ∆ω → [ 0, + ∞ [
neperervna, α ∈ R+ , a matrycq P ma[ hranycg P ( ω ) = lim ( )
t
P t↑ω z kratnym
nul\ovym vlasnym çyslom.
Dlq avtonomnyx d. s. analohiçnyj krytyçnyj vypadok doslidyv
O.OM.OLqpunov [1].
Za dopomohog uzahal\nenyx „zrizugçyx” [5], linijnyx i nelinijnyx „zamoro-
Ωenyx” [6] peretvoren\ za pevnyx umov moΩna pobuduvaty neosoblyvu neavto-
nomnu nelinijnu zaminu
Z = G ( t, Y ) : =
Q
m
Q
Qg t Y
=
∑
1
( ) , (9)
qka zvodyt\ d. s. (8) do d. s. special\noho blok-diahonal\noho vyhlqdu
′Yn1
= π1 1 1
P Yn n +
Q
m
n Q n
Q
n
n
nh Y
1
1
1
2
2
1 1
=
∑ , + Φn1
,
(10)
′Yns
= π µs s n n nE P Y
s s s
+( ) + Y h Yn
Q
m
n Q n
Q
s
n
n
n
s
1
1 1
1
1
1
=
−
∑ , + Φns
, s = 2, k ,
de Yns
, s = 1, k , — subvektory vektora Y; Pns
, Pns
= o ( 1 ), t ↑ ω , s = 1, k , —
matryci; π
s
, s = 1, k , — dodatni funkci] ; stali µ
s
, s = 2, k , dijsni i vidminni
vid nulq; funkci] hn Qn1 1
, , Qn1
= 2 2, m , hn Qs n,
1
, s = 2, k , Qn1
= 1 1, m − , vy-
znaçagt\sq u procesi zvedennq d. s. (8) do d. s. (10); Ens
, s = 1, k , — odynyçni
matryci; vektor-funkci] Φns
, s = 1, k , mali u deqkomu rozuminni.
V robotax [7 – 9] stijkist\ toçky spokog d. s. (8), (10) doslidΩuvalas\ za do-
pomohog po[dnannq metodu vyvçennq asymptotyçno] povedinky pravyl\nyx [10 –
12] rozv’qzkiv neavtonomnoho nelinijnoho dyferencial\noho rivnqnnq n1-ho po-
rqdku vidnosno odni[] z komponent subvektora Yn1
, do qkoho moΩna zvesty d. s.
vyhlqdu
′Yn1
= π1 1 1
P Yn n +
Q
m
n Q n
Q
n
n
nh Y
1
1
1
2
2
1 1
=
∑ , , (11)
metodu funkcij Lqpunova ta lemy 3 [13] pro obmeΩenist\ rozv’qzkiv v kil\ce-
podibnij oblasti, wo oxoplg[ poloΩennq rivnovahy.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1718 I. {. VITRYÇENKO
Osoblyvyj krytyçnyj vypadok stijkosti vynyka[ todi, koly u d. s. (11) Pn1
≡
≡ || 0 ||, hn Qn1 1
, ≡ 0, Qn1
= 2 2, m , tobto koly v doslidΩenni stijkosti nemoΩ-
lyvo vykorystaty pravyl\ni rozv’qzky dyferencial\noho rivnqnnq n1-ho po-
rqdku. U c\omu vypadku d. s. (10) nabyra[ special\noho vyhlqdu d. s. (1), dlq
qko] rezul\taty stijkosti oderΩano u vypadku, koly ω = + ∞.
Zaminy (9), (3) dozvolqgt\ sformulgvaty rezul\taty stijkosti dlq d. s. (8).
Teorema 2. Nexaj d. s. (8) taka, wo zaminy (9), (3) zvodqt\ ]] do d. s. (4),
qka zadovol\nq[ umovy teoremy 1. Todi ]] tryvial\nyj rozv’qzok pry t → + ∞:
stijkyj za Lqpunovym, qkwo G t Z Z Zn n nk
, , , ,
1 2
ν ν…( ) ≤ A ∀ t ∈ ∆, A ∈ R+ ,
Z ∈ S ( Z, r0 );
asymptotyçno stijkyj za Lqpunovym, qkwo G t Z Z Zn n nk
, , , ,
1 2
ν ν…( ) =
= o ( 1 ), t → + ∞, Z ∈ S ( Z, r0 ).
Dovedennq [ oçevydnym.
Naslidok 2. Nexaj d. s. (8) taka, wo zaminy (9), (3) zvodqt\ ]] do d. s. (4),
qka zadovol\nq[ umovy naslidku 1. Todi ]] tryvial\nyj rozv’qzok pry t → + ∞:
stijkyj za Lqpunovym, qkwo G t Z Z Zn n nk
, , , ,
1 2
ν ν…( ) ≤ A ∀ t ∈ ∆, A ∈ R+ ,
Z ∈ S ( Z, r0 );
asymptotyçno stijkyj za Lqpunovym, qkwo G t Z Z Zn n nk
, , , ,
1 2
ν ν…( ) =
= o ( 1 ), t → + ∞, Z ∈ S ( Z, r0 ).
Dovedennq [ oçevydnym.
1. Lqpunov A. M. Obwaq zadaça ob ustojçyvosty dvyΩenyq y druhye robot¥ po teoryy ustoj-
çyvosty y teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Yzd-vo AN SSSR,
1956. – 473 s.
2. Malkyn Y. H. Teoryq ustojçyvosty dvyΩenyq. – M.: Nauka, 1966. – 532 s.
3. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei differential Gleichungen // Math. Z. – 1930. – 32. – S. 703 – 738.
4. Rappoport Y. M. O nekotor¥x asymptotyçeskyx metodax v teoryy dyfferencyal\n¥x
uravnenyj. – Kyev: Yzd-vo AN USSR, 1954. – 526 s.
5. Vytryçenko Y. E., Nykonenko V. V. O svedenyy k poçty blok-treuhol\nomu (dyahonal\nomu)
vydu lynejnoj neavtonomnoj system¥ v sluçae kratnoho nulevoho sobstvennoho znaçenyq
predel\noj matryc¥ koπffycyentov // Proc. A. Razmadze Math. Inst. – 1994. – 110. –
P. 59 – 67.
6. Kostyn A. V., Vytryçenko Y. E. Obobwenye teorem¥ Lqpunova ob ustojçyvosty v sluçae
odnoho nulevoho xarakterystyçeskoho pokazatelq dlq neavtonomn¥x system // Dokl. AN
SSSR. – 1982. – 264, # 4. – S. 819 – 822.
7. Vytryçenko Y. E. K ustojçyvosty v krytyçeskom sluçae odnoho nulevoho y par¥ çysto
mnym¥x kornej neavtonomnoj suwestvenno nelynejnoj system¥ // Dokl. NAN Ukrayn¥. –
1994. – # 9. – S. 7 – 11.
8. Vytryçenko Y. E. K ustojçyvosty neavtonomnoj suwestvenno nelynejnoj system¥ v odnom
krytyçeskom sluçae // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1997. – # 8. – S. 25 – 28.
9. Vitryçenko I. {. Krytyçnyj vypadok hlobal\no] stijkosti navtonomno] istotno nelininijno]
systemy // Nelinijni kolyvannq. – 2000. – 3, # 4. – S. 449 – 457.
10. Kostyn A. V. Asymptotyka pravyl\n¥x reßenyj ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj: Dys.…d-ra fyz.-mat. nauk. – Odessa, 1987. – 282 s.
11. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskoe predstavlenye reßenyj neavtonomn¥x ob¥knovenn¥x
dyfferencyal\n¥x uravnenyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Odessa, 1998. – 295 s.
12. Kyhuradze Y. T., Çanturyq T. A. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj neavtonomn¥x ob¥k-
novenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1990. – 432 s.
13. Vitryçenko I. {. Pro odnu oznaku asymptotyçno] stijkosti v odnomu krytyçnomu vypadku
//ONauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2002. – Vyp. 134. – S. 10 – 16.
OderΩano 27.05.2004,
pislq doopracgvannq — 25.01.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3721 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:43Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ad/90c24e9f2a627983adb3b0b5bf47eaad.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37212020-03-18T20:02:57Z On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system Про особливий критичний випадок стійкості неавтономної істотно нелінійної системи Vitrychenko, I. E. Вітриченко, І. Є. We obtain sufficient conditions for the Lyapunov stability of the trivial solution of a nonautonomous essentially nonlinear differential system in a special critical case. Одержано достатні умови стійкості за Ляпуновим тривіального розв'язку неавтономної істотно нелінійної диференціальної системи в одному особливому критичному випадку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3721 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 12 (2005); 1711–1718 Український математичний журнал; Том 57 № 12 (2005); 1711–1718 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3721/4167 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3721/4168 Copyright (c) 2005 Vitrychenko I. E. |
| spellingShingle | Vitrychenko, I. E. Вітриченко, І. Є. On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title | On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title_alt | Про особливий критичний випадок стійкості неавтономної істотно нелінійної системи |
| title_full | On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title_fullStr | On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title_full_unstemmed | On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title_short | On a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| title_sort | on a special critical case of stability of a nonautonomous essentially nonlinear system |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3721 |
| work_keys_str_mv | AT vitrychenkoie onaspecialcriticalcaseofstabilityofanonautonomousessentiallynonlinearsystem AT vítričenkoíê onaspecialcriticalcaseofstabilityofanonautonomousessentiallynonlinearsystem AT vitrychenkoie proosoblivijkritičnijvipadokstíjkostíneavtonomnoíístotnonelíníjnoísistemi AT vítričenkoíê proosoblivijkritičnijvipadokstíjkostíneavtonomnoíístotnonelíníjnoísistemi |