Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems
We describe the destabilizing (in the sense of a decrease in the reserve of mean-square asymptotic stability) effect of random parametric perturbations of the white-noise type in quasilinear continuous and discrete dynamical systems (Lur’e-Postnikov systems of automatic control with nonlinear feedba...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2005
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3722 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509856141672448 |
|---|---|
| author | Korenevsky, D. G. Коренівський, Д. Г. |
| author_facet | Korenevsky, D. G. Коренівський, Д. Г. |
| author_sort | Korenevsky, D. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:02:57Z |
| description | We describe the destabilizing (in the sense of a decrease in the reserve of mean-square asymptotic stability) effect of random parametric perturbations of the white-noise type in quasilinear continuous and discrete dynamical systems (Lur’e-Postnikov systems of automatic control with nonlinear feedback). We use stochastic Lyapunov functions in the form of linear combinations of the types “a quadratic form of phase coordinates plus the integral of a nonlinearity” (continuous systems) and “a quadratic form of phase coordinates plus the integral sum for a nonlinearity” (discrete systems) and the matrix algebraic Sylvester equations associated with stochastic Lyapunov functions of this form. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:47:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
D. H. Korenivs\kyj (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
DESTABILIZUGÇYJ EFEKT PARAMETRYÇNYX
VYPADKOVYX ZBUREN| TYPU BILOHO ÍUMU
V DEQKYX KVAZILINIJNYX NEPERERVNYX
TA DYSKRETNYX DYNAMIÇNYX SYSTEMAX
*
We establish the destabilizing action (in the sense of decrease of a reserve of the asymptotic stability in
the square mean) of parameter stochastic perturbations of white-noise type in quasilinear (automatic
Lur’e – Postnikov control with nonlinear feedback) continuous and discrete dynamical systems. In this
case, we use the stochastic Lyapunov functions as linear combinations of the types “the quadratic form
with phase coordinates plus an integral of the nonlinearity” (continuous systems) and “the quadratic form
with phase coordinates plus an integral sum for the nonlinearity” (discrete systems). We also use the
matrix algebraic Sylvester equations associated with the Lyapunov functions of this form.
Vyqvleno destabilizugçyj (u rozuminni zmenßennq zapasu asymptotyçno] stijkosti v seredn\omu
kvadratyçnomu) efekt parametryçnyx vypadkovyx zburen\ typu biloho ßumu v kvazilinijnyx
(avtomatyçnoho rehulgvannq Lur’[ – Postnikova z nelinijnym zvorotnym zv’qzkom) neperervnyx
i dyskretnyx dynamiçnyx systemax. Pry c\omu vykorystano stoxastyçni funkci] Lqpunova u vy-
hlqdi linijnyx kombinacij „kvadratyçna forma fazovyx koordynat plgs intehral vid nelinij-
nosti” (neperervni systemy) i „kvadratyçna forma fazovyx koordynat plgs intehral\na suma
dlq nelinijnosti” (dyskretni systemy) ta matryçni alhebra]çni rivnqnnq Sil\vestra, wo supro-
vodΩugt\ stoxastyçni funkci] Lqpunova takoho vyhlqdu.
Vstup. U robotax avtora [1, 2] destabilizugçyj (u rozuminni zmenßennq zapasu
asymptotyçno] stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu) efekt parametryçnyx
zburen\ stoxastyçnym procesom typu biloho ßumu vyqvleno, z dopomohog
stoxastyçnyx funkcij Lqpunova i matryçnyx alhebra]çnyx rivnqn\ Sil\vestra,
v dynamiçnyx systemax, matematyçnymy modelqmy qkyx [ vektorno-matryçni
systemy linijnyx dyferencial\nyx i riznycevyx rivnqn\. Parametryçnymy na-
zyvagt\ zburennq, wo digt\ na systemu çerez ]] parametry (koefici[nty).
U cij roboti prodovΩu[t\sq poßuk klasiv dyferencial\nyx i riznycevyx riv-
nqn\, v qkyx podibni stoxastyçni zburennq ]x koefici[ntiv pryvodqt\ do analo-
hiçnoho efektu. Zokrema, stavyt\sq zadaça pro vplyv parametryçnyx vypadko-
vyx zburen\ typu biloho ßumu na asymptotyçnu stijkist\ u seredn\omu kvadra-
tyçnomu deqkyx kvazilinijnyx neperervnyx i dyskretnyx dynamiçnyx system, ma-
tematyçnymy modelqmy qkyx [ vidpovidno systemy kvazilinijnyx (avtomatyçnoho
rehulgvannq Lur’[ – Postnikova) stoxastyçnyx dyferencial\nyx ta riznycevyx
rivnqn\ typu Ito. Kvazilinijnog nazyvagt\ dynamiçnu systemu, v matematyçnij
modeli qko] (tobto v systemi nelinijnyx dyferencial\nyx çy riznycevyx
rivnqn\) iz nelinijnosti okremo vydileno linijnu çastynu. Dali rozhlqda[t\sq
vypadok, koly stoxastyçnym procesom typu biloho ßumu zburggt\sq koefici-
[nty linijno] çastyny. Pokazano, wo dlq takyx system efekt parametryçnyx
vypadkovyx zburen\ — til\ky destabilizugçyj. U stijkij dynamiçnij systemi
efekt proqvlq[t\sq u zmenßenni zapasu ]] asymptotyçno] stijkosti v serednomu
kvadratyçnomu (aΩ do povno] vtraty systemog vlastyvosti stijkosti) pry zbil\-
ßenni intensyvnosti parametryçnoho biloho ßumu. Pry doslidΩenni vykorys-
tano stoxastyçni funkci] Lqpunova u vyhlqdi linijnyx kombinacij „kvadratyçna
forma fazovyx koordynat plgs intehral vid nelinijnosti” (neperervni systemy)
i „kvadratyçna forma fazovyx koordynat plgs intehral\na suma dlq nelinij-
nosti” (dyskretni systemy) ta matryçni alhebra]çni rivnqnnq Sil\vestra, wo
suprovodΩugt\ funkci] Lqpunova takoho vyhlqdu. Sformul\ovana problema
nikym raniße ne rozroblqlas\ i vperße postala v danomu doslidΩenni.
*
Çastkovo pidtrymano naukovo-doslidnog robotog (#0105U001108) „Matematyçni metody do-
slidΩennq dynamiky ta stijkosti neodnoridnyx ob’[ktiv mexaniky, hidromexaniky ta hemodyna-
miky” (prohrama „Matematyçne modelgvannq fizyçnyx i mexaniçnyx procesiv u syl\no neodno-
ridnyx seredovywax”).
© D. H. KORENIVS|KYJ, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1719
1720 D. H. KORENIVS|KYJ
1. Neperervni stoxastyçni dynamiçni systemy Lur’[ – Postnikova. Po-
rqd iz determinovanog avtonomnog vektorno-matryçnog systemog avtoma-
tyçnoho rehulgvannq Lur’[ – Postnikova zi stalymy koefici[ntamy, nelinijnym
dyferencijovnym, wo leΩyt\ u hurvicevomu kuti [ 0, h ] koordynatno] plowyny
( σ, ϕ ) , zvorotnym zv’qzkom ϕ ( σ ) ta vidpovidnymy poçatkovymy umovamy
dx t
dt
( )
= Ax t g( ) ( )+ ϕ σ , 0 ≤ t0 ≤ t < ∞ , x ( t0 ) = x0 , (1)
σ = l gT , stala matrycq A n n∈ ×
R , x n∈R , stali vektory g l n, ∈R , ϕ ∈R
1,
0 ≤ ≤ϕ σ σ( )/ h , h = ∈ ∞const ( , )0 , ϕ ( 0 ) = 0, d dϕ σ/ ≥ 0, t — ças, rozhlqda-
[t\sq systema Lur’[ – Postnikova zi zburenog vypadkovym procesom B ξ ( t ) mat-
ryceg A
dx ( t ) = A B t x t dt g dt+[ ] +ξ ϕ σ( ) ( ) ( ) , (2)
de stala matrycq B n n∈ ×
R , ξ ( t ) — vypadkovyj proces typu haussovoho stacio-
narnoho skalqrnoho standartnoho biloho ßumu, tobto proces iz statystyçnymy
xarakterystykamy M{ }( )ξ t = 0, M{ }( ) ( )ξ ξt t1 = δ ( )t t− 1 , t1 ≤ t . Tut M —
symvol matematyçnoho spodivannq, δ — del\ta-funkciq Diraka. Matrycg B
nazyvagt\ matryceg intensyvnosti parametryçnyx zburen\.
Zapyßemo systemu (2) u vyhlqdi ekvivalentno] systemy stoxastyçnyx dyfe-
rencial\nyx rivnqn\ Ito
dx ( t ) = Adt Bdw t x t g dt+[ ] +( ) ( ) ( )ϕ σ , (3)
de dw ( t ) ≡ ξ ( t ) dt , w ( t ) — standartnyj vinerivs\kyj proces ( tak wo M{ }( )dw t =
= 0, M{ }( )dw t
2
= dt, M{ }( ) ( ),dw t dw t t t1 1≠ = 0 ) .
Systema rivnqn\ (3) [ systemog zi zminnymy koefici[ntamy.
Postavymo pytannq: qkwo determinovana systema (1) pry bud\-qkij nelinij-
nij dyferencijovnij funkci] ϕ ( σ ) , wo leΩyt\ u hurvicevomu kuti [ 0, h ] koor-
dynatno] plowyny ( σ, ϕ ) , asymptotyçno stijka (inßymy slovamy, qkwo syste-
ma (1) absolgtno stijka za nelinijnistg ϕ ( σ ) ) , to qkyj xarakter vplyvu sto-
xastyçnoho matryçnoho dodatku B dw ( t ) na asymptotyçnu stijkist\ u seredn\o-
mu kvadratyçnomu systemy (3) ?
PokaΩemo, wo vplyv stoxastyçnyx zburen\ B dw ( t ) v systemi (3) odnosto-
ronnij — til\ky na zmenßennq zapasu ]] asymptotyçno] stijkosti v seredn\omu
kvadratyçnomu pry zbil\ßenni normy matryci B (aΩ do povno] vtraty systemog
vlastyvosti asymptotyçno] stijkosti pry podal\ßomu zbil\ßenni normy matryci
B ), tobto vplyv lyße destabilizugçyj.
Dlq c\oho nam neobxidna deqka informaciq. V monohrafi] avtora [3] dlq
kvazilinijno] systemy stoxastyçnyx rivnqn\ Ito (3) z dopomohog stoxastyçno]
funkci] Lqpunova u vyhlqdi linijno] kombinaci] „kvadratyçna forma fazovyx
koordynat plgs intehral vid nelinijnosti” oderΩano koefici[ntni umovy abso-
lgtno] stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu ]] rozv’qzkiv u formi takoho
tverdΩennq.
Teorema51J[3] (teoremaJ8.1). Stan rivnovahy ( x ( t ) = 0 ) dynamiçno] systemy
(3) asymptotyçno stijkyj u seredn\omu kvadratyçnomu todi, koly vykonugt\sq
nastupni umovy:
1) matryci A i A + hgl
T
hurvicevi, l
Tg > 0;
2) isnu[ dodatno oznaçenyj rozv’qzok H ( H = H
T > 0 ) matryçnoho riv-
nqnnq Sil\vestra
ATH + HA + BTHB = – E , (4)
de E — odynyçna matrycq;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
DESTABILIZUGÇYJ EFEKT PARAMETRYÇNYX VYPADKOVYX ZBUREN| … 1721
3) vykonu[t\sq matryçna nerivnist\
− +
+
E Hg A l
g H l A l g
T
T T T
κ
κ κ
/
/
2
2
≤ 0,
v qkij dovil\ne vid’[mne çyslo κ z intervalu
–
2
1hl H lT − < κ < 0
vybyra[t\sq qknajblyΩçe do svo[] nyΩn\o] meΩi κ ↓ −
−
2
1hl H lT .
TeoremaJ1 dovodyt\sq z dopomohog stoxastyçno] funkci] Lqpunova V ( x ( t ))
vyhlqdu linijno] kombinaci] dodatno oznaçeno] kvadratyçno] formy fazovyx
koordynat i intehrala vid nelinijnosti,
V ( x ( t )) = x t H x t y dyT ( ) ( ) ( )+ ∫κ ϕ
σ
0
.
Umovy absolgtno] (za nelinijnistg) stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu v
teoremi 1 magt\ asymptotyçnyj xarakter çerez asymptotyçne pravylo vyboru
çysla κ.
Umova 1 teoremy 1 oznaça[ asymptotyçnu stijkist\ za Lqpunovym zamknuto]
determinovano] kvazilinijno] systemy (1) na linijnij hranyçnij xarakterystyci
kuta [ 0, h ] , umova 2 — asymptotyçnu stijkist\ za Lqpunovym u seredn\omu
kvadratyçnomu vidpovidno] linijno] ( ϕ ≡ 0 ) stoxastyçno] systemy. Pry vidsut-
nosti vypadkovyx zburen\ ( B = 0 ) z teoremy 1 vyplyva[ kryterij absolgtno]
(za nelinijnistg) stijkosti dlq determinovano] systemy avtomatyçnoho rehulg-
vannq (1).
Iz teoremy 1 vydno, wo vona ma[ xoça i konkretnyj, koefici[ntnyj, ale çysto
teoretyçnyj zmist: qk v teoremi, tak i v knyzi [3] vidsutnij analiz matematyçnyx
spivvidnoßen\ z toçky zoru xarakteru vplyvu stoxastyçnyx zburen\. Prote, qk
avtor zdohadavsq dewo pizniße pislq opublikuvannq svo[] knyhy [3], z teoremy 1
(zokrema, z umov 2 i 3 teoremy) vyplyva[ sutt[vyj fizyçnyj vysnovok: v asymp-
totyçno stijkij determinovanij systemi (1) parametryçni stoxastyçni zburennq
typu biloho ßumu magt\ vyklgçno odnostoronnij vplyv — til\ky na zmenßen-
nq zapasu asymptotyçno] stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu dynamiçno] sys-
temy (3).
OtΩe, rozhlqnemo bil\ß detal\no umovy teoremy 1. Zvernemo uvahu na te,
wo matrycq stoxastyçnoho zburennq B vxodyt\ lyße v umovu 2 teoremy 1 —
vymohu isnuvannq dodatno oznaçenoho rozv’qzku H > 0 matryçnoho rivnqnnq
Sil\vestra. Perß za vse, qkwo determinovana systema dyferencial\nyx rivnqn\
(1) (vona vidpovida[ vypadku B = 0 v (3)) asymptotyçno stijka (neobxidnog umo-
vog [ hurvicevist\ matryci A ), to v livij çastyni matryçno] rivnosti (4) pry H >
> 0 matrycq ATH + HA vid’[mno oznaçena, a matrycq BTHB zavΩdy nevid’[mno
oznaçena, bil\ß toho, za nevyrodΩeno] matryci B matrycq BTHB zavΩdy
dodatno oznaçena. Takym çynom, u vypadku hurvicevo] matryci A moΩlyvyj
klas matryc\ B z takog normog, wo ATH + HA + BTHB ≥ 0. Zvidsy vyplyva[,
wo ne isnu[ matryci H > 0 — rozv’qzku matryçnoho rivnqnnq Sil\vestra (4);
inßymy slovamy, stoxastyçni zburennq B dw ( t ) matryci A dt v systemi (3) ma-
gt\ odnostoronnij vplyv — til\ky na zmenßennq zapasu asymptotyçno] stijko-
sti v seredn\omu kvadratyçnomu, aΩ do povno] vtraty systemog vlastyvosti
stijkosti pry podal\ßomu zbil\ßenni normy matryci B.
Z inßoho boku, qkwo determinovana systema dyferencial\nyx rivnqn\ (1) ne
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1722 D. H. KORENIVS|KYJ
[ asymptotyçno stijkog, tobto qkwo matrycq A ne hurviceva, pryçomu dijsni
çastyny vsix ]] vlasnyx znaçen\ λ j A( ) dodatni, Re ( )λ j A > 0 , j = 1, 2, … , n, to
z (4) vyplyva[, wo pry bud\-qkij matryci H > 0 matryçna rivnist\ ATH + HA +
+ BTHB = – E nemoΩlyva. Ce oznaça[, wo taku nestijku determinovanu dyfe-
rencial\nu systemu (1) nemoΩlyvo zrobyty stijkog v seredn\omu kvadratyçno-
mu pry zburenni ]] koefici[ntiv (tobto zburenni matryci Adt ) stoxastyçnym
matryçnym dodatkom B dw ( t ) .
2. Dyskretni stoxastyçni dynamiçni systemy Lur’[ – Postnikova. Porqd
z determinovanog avtonomnog dyskretnog vektorno-matryçnog systemog avto-
matyçnoho rehulgvannq Lur’[ – Postnikova zi stalymy koefici[ntamy i nelinij-
nym dyferencijovnym, wo leΩyt\ u hurvicevomu kuti [ 0, h ] koordynatno] plo-
wyny ( σ, ϕ ) , zvorotnym zv’qzkom ϕ ( σ ) ta vidpovidnymy poçatkovymy umovamy
x ( k + 1 ) = Ax k g( ) ( )+ ϕ σ , k = 0, 1, 2, … , x ( 0 ) = x0
, (5)
σ = l x kT ( ) , stala matrycq A n n∈ ×
R , x n∈R , stali vektory g l n, ∈R , ϕ ∈
∈ R
1, 0 ≤ ≤ϕ σ σ( )/ h , h = ∈ ∞const ( , )0 , ϕ ( 0 ) = 0, d dϕ σ/ ≥ 0, rozhlqda-
[t\sq systema Lur’[ – Postnikova zi zburenymy dyskretnym bilym ßumom ξ ( k )
koefici[ntamy linijno] çastyny (tobto zi zburenog matryçnym dodatkom B ξ ( k )
matryceg A )
x ( k + 1 ) = A B k x k g+[ ] +ξ ϕ σ( ) ( ) ( ), k = 0, 1, 2, … , (6)
de stala matrycq B n n∈ ×
R , a stoxastyçnyj proces typu skalqrnoho standart-
noho dyskretnoho biloho ßumu ξ ( k ) , ξ ( k ) = w ( k + 1 ) – w ( k ) , k = 0, 1, 2, … ,
ma[, zhidno z oznaçennqm, statystyçni xarakterystyky M{ }( )ξ k = 0, M{ }( )ξ k
2
=
= 1, M{ }( ) ( ),ξ ξk j k j≠ = 0.
Systema rivnqn\ (6) [ systemog zi zminnymy koefici[ntamy.
Postavymo pytannq: qkwo determinovana dynamiçna systema (5) pry bud\-
qkij nelinijnij dyferencijovnij funkci] ϕ ( σ ) , wo leΩyt\ u hurvicevomu kuti
[ 0, h ] koordynatno] plowyny ( σ, ϕ ) , asymptotyçno stijka ( inßymy slovamy,
qkwo systema (5) absolgtno stijka za nelinijnistg ϕ ( σ ) ) , to qkyj xarakter
vplyvu stoxastyçnoho matryçnoho dodatku B ξ ( k ) na asymptotyçnu stijkist\ u
seredn\omu kvadratyçnomu systemy (6) ?
PokaΩemo, wo vplyv stoxastyçnyx zburen\ B ξ ( k ) v systemi (6) odnostoron-
nij — til\ky na zmenßennq zapasu ]] asymptotyçno] stijkosti v seredn\omu
kvadratyçnomu pry zbil\ßenni normy matryci B (aΩ do povno] vtraty systemog
vlastyvosti asymptotyçno] stijkosti pry podal\ßomu zbil\ßenni normy matryci
B ), tobto vplyv lyße destabilizugçyj.
Dlq c\oho nam neobxidna deqka informaciq, qk ce bulo i u vypadku nepererv-
nyx system. U monohrafi] avtora [3] dlq systemy kvazilinijnyx stoxastyçnyx
riznycevyx rivnqn\ typu Ito (6) z dopomohog stoxastyçno] funkci] Lqpunova u
vyhlqdi linijno] kombinaci] „kvadratyçna forma fazovyx koordynat plgs in-
tehral\na suma dlq nelinijnosti” oderΩano koefici[ntni umovy absolgtno] (za
nelinijnistg) stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu ]] rozv’qzkiv u formi tako-
ho tverdΩennq.
Teorema52J[3] (teoremaJ8.2). Stan rivnovahy ( x ( k ) = 0 ) dynamiçno] syste-
my (6) asymptotyçno stijkyj u seredn\omu kvadratyçnomu todi, koly vykonu-
gt\sq nastupni umovy:
1) matryci A i A + hgl
T
zbiΩni (tobto moduli vsix ]x vlasnyx znaçen\
menßi za odynycg), l
Tg > 0;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
DESTABILIZUGÇYJ EFEKT PARAMETRYÇNYX VYPADKOVYX ZBUREN| … 1723
2) isnu[ dodatno oznaçenyj rozv’qzok H ( H = H
T > 0 ) matryçnoho riv-
nqnnq Sil\vestra
H – ATHA – BTHB = E ; (7)
3) vykonu[t\sq matryçna nerivnist\
− +
+
E Hg A l
g H l A l g
T
T T T
κ
κ κ
/
/
2
2
≤ 0,
v qkij dovil\ne vid’[mne çyslo κ z intervalu
–
2
1hl H lT − < κ < 0
vybyra[t\sq qknajblyΩçe do svo[] nyΩn\o] meΩi κ ↓ −
−
2
1hl H lT .
TeoremaJ2 dovodyt\sq z dopomohog stoxastyçno] funkci] Lqpunova V ( x ( k ))
vyhlqdu linijno] kombinaci] dodatno oznaçeno] kvadratyçno] formy fazovyx ko-
ordynat i intehral\no] sumy dlq nelinijnosti,
V x k( ( )) = x k Hx kT ( ) ( ) +
+ κ ϕ σ ϕ σ σ σ
i
k
x i x i x i x i
=
∑ + −[ ] + −[ ]
1
1
2
1 1( ( ( ))) ( ( ( ))) ( ( )) ( ( )) .
Umovy absolgtno] (za nelinijnistg) stijkosti v seredn\omu kvadratyçnomu v
teoremi 2 magt\ asymptotyçnyj vyhlqd çerez asymptotyçne pravylo vyboru
çysla κ.
Umova 1 teoremy 2 oznaça[ asymptotyçnu stijkist\ za Lqpunovym zamknuto]
determinovano] dyskretno] kvazilinijno] systemy (5) na linijnij hranyçnij xa-
rakterystyci kuta [ 0, h ] , umova 2 — asymptotyçnu stijkist\ za Lqpunovym u
seredn\omu kvadratyçnomu vidpovidno] linijno] ( ϕ ≡ 0 ) stoxastyçno] systemy.
Pry vidsutnosti vypadkovyx zburen\ ( B = 0 ) z teoremy 2 vyplyva[ kryterij ab-
solgtno] (za nelinijnistg) stijkosti dlq determinovano] systemy avtomatyçnoho
rehulgvannq (5).
OtΩe, rozhlqnemo bil\ß detal\no umovy teoremy 2. Zvernemo uvahu na te,
wo matrycq stoxastyçnoho zburennq B vxodyt\ lyße v umovu 2 teoremy 2 —
umovu isnuvannq dodatno oznaçenoho rozv’qzku H > 0 matryçnoho rivnqnnq
Sil\vestra. Perß za vse, qkwo determinovana systema riznycevyx rivnqn\ (5)
(vona vidpovida[ vypadku B = 0 v (6)) asymptotyçno stijka (neobxidnog umovog
c\oho [ zbiΩnist\ matryci A ), to v livij çastyni matryçno] rivnosti (7) pry H >
> 0 matrycq H – ATHA dodatno oznaçena. OtΩe, u vypadku zbiΩno] matryci A
moΩlyvyj klas matryc\ B z takog normog, wo H – ATHA – BTHB ≤ 0 . Zvidsy
vyplyva[, wo ne isnu[ matryci H > 0 — rozv’qzku matryçnoho rivnqnnq Sil\ve-
stra (7); inßymy slovamy, stoxastyçni zburennq B ξ ( k ) matryci A v systemi (6)
magt\ odnostoronng dig — lyße na zmenßennq zapasu asymptotyçno] stijkosti
v seredn\omu kvadratyçnomu, aΩ do povno] vtraty systemog vlastyvosti stij-
kosti pry podal\ßomu zbil\ßenni normy matryci B.
Z inßoho boku, qkwo determinovana systema riznycevyx rivnqn\ (5) ne [ asym-
ptotyçno stijkog, tobto qkwo matrycq A ne zbiΩna, pryçomu moduli vsix ]]
vlasnyx znaçen\ bil\ßi za odynycg, λ j A( ) > 1, j = 1, 2, … , n, to z (7) vyply-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
1724 D. H. KORENIVS|KYJ
va[, wo pry bud\-qkij matryci H > 0 matryçna rivnist\ H – ATHA – BTHB = E
nemoΩlyva; ce oznaça[, wo taku nestijku determinovanu dyskretnu systemu (5)
nemoΩlyvo zrobyty asymptotyçno stijkog v seredn\omu kvadratyçnomu pry
zburenni ]] koefici[ntiv (tobto zburenni matryci A ) stoxastyçnym matryçnym
dodatkom B ξ ( k ) .
1. Korenevskyj D. H. ∏ffekt parametryçeskyx sluçajn¥x vozmuwenyj typa beloho ßuma v
lynejn¥x dyskretn¥x dynamyçeskyx systemax tol\ko destabylyzyrugwyj // Dokl. RAN. –
2001. – 378, # 3. – S.J310 – 313.
2. Korenivs\kyj D. H. Pro nemoΩlyvist\ stabilizaci] rozv’qzkiv systemy linijnyx determinova-
nyx riznycevyx rivnqn\ zburennqmy ]] koefici[ntiv stoxastyçnymy procesamy typu „biloho
ßumu” // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 2. – S.J285 – 288.
3. Korenevskyj D. H. Ustojçyvost\ dynamyçeskyx system pry sluçajn¥x vozmuwenyqx para-
metrov. Alhebrayçeskye kryteryy. – Kyev: Nauk. dumka, 1989. – 208Js.
OderΩano 28.02.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3722 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:47:45Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/aa/43b4e9262f581f637d15a4ce2fa346aa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-37222020-03-18T20:02:57Z Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems Дестабілізуючий ефект параметричних випадкових збурень типу білого шуму в деяких квазілінійних неперервних та дискретних динамічних системах Korenevsky, D. G. Коренівський, Д. Г. We describe the destabilizing (in the sense of a decrease in the reserve of mean-square asymptotic stability) effect of random parametric perturbations of the white-noise type in quasilinear continuous and discrete dynamical systems (Lur’e-Postnikov systems of automatic control with nonlinear feedback). We use stochastic Lyapunov functions in the form of linear combinations of the types “a quadratic form of phase coordinates plus the integral of a nonlinearity” (continuous systems) and “a quadratic form of phase coordinates plus the integral sum for a nonlinearity” (discrete systems) and the matrix algebraic Sylvester equations associated with stochastic Lyapunov functions of this form. Виявлено дестабілізуючий (у розумінні зменшення запасу асимптотичної стійкості в середньому квадратичному) ефект параметричних випадкових збурень типу білого шуму в квазілінійних (автоматичного регулювання Лур'є - Постнікова з нелінійним зворотним зв'язком) неперервних і дискретних динамічних системах. При цьому використано стохастичні функції Ляпунова у вигляді лінійних комбінацій „квадратична форма фазових координат плюс інтеграл від неліній-ності" (неперервні системи) і „квадратична форма фазових координат плюс інтегральна сума для нелінійності" (дискретні системи) та матричні алгебраїчні рівняння Сільвестра, що супроводжують стохастичні функції Ляпунова такого вигляду. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2005-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3722 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 57 No. 12 (2005); 1719–1724 Український математичний журнал; Том 57 № 12 (2005); 1719–1724 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3722/4169 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3722/4170 Copyright (c) 2005 Korenevsky D. G. |
| spellingShingle | Korenevsky, D. G. Коренівський, Д. Г. Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title | Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title_alt | Дестабілізуючий ефект параметричних випадкових збурень типу білого шуму в деяких квазілінійних неперервних та дискретних динамічних системах |
| title_full | Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title_fullStr | Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title_full_unstemmed | Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title_short | Destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| title_sort | destabilizing effect of random parametric perturbations of the white-noise type in some quasilinear continuous and discrete dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3722 |
| work_keys_str_mv | AT korenevskydg destabilizingeffectofrandomparametricperturbationsofthewhitenoisetypeinsomequasilinearcontinuousanddiscretedynamicalsystems AT korenívsʹkijdg destabilizingeffectofrandomparametricperturbationsofthewhitenoisetypeinsomequasilinearcontinuousanddiscretedynamicalsystems AT korenevskydg destabílízuûčijefektparametričnihvipadkovihzburenʹtipubílogošumuvdeâkihkvazílíníjnihneperervnihtadiskretnihdinamíčnihsistemah AT korenívsʹkijdg destabílízuûčijefektparametričnihvipadkovihzburenʹtipubílogošumuvdeâkihkvazílíníjnihneperervnihtadiskretnihdinamíčnihsistemah |