On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space
We investigate the problem of the boundedness of the following recurrence sequence in a Banach space B: \(x_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {A_k x_{n - k} + y_n } ,{ }n \geqslant 1,{ }x_n = {\alpha}_n ,{ }n \leqslant 0,\) where |y n} and |α n } are sequences bounded in B, and A k, k ≥ 1, are line...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2003
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4009 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860510139177500672 |
|---|---|
| author | Gomilko, A. M. Gorodnii, M. F. Lagoda, O. A. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. |
| author_facet | Gomilko, A. M. Gorodnii, M. F. Lagoda, O. A. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. |
| author_sort | Gomilko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T20:18:09Z |
| description | We investigate the problem of the boundedness of the following recurrence sequence in a Banach space B: \(x_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {A_k x_{n - k} + y_n } ,{ }n \geqslant 1,{ }x_n = {\alpha}_n ,{ }n \leqslant 0,\) where |y n} and |α n } are sequences bounded in B, and A k, k ≥ 1, are linear bounded operators. We prove that if, for any ε > 0, the condition \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {k^{1 + {\varepsilon}} \left\| {A_k } \right\| < \infty } \) is satisfied, then the sequence |x n} is bounded for arbitrary bounded sequences |y n} and |α n } if and only if the operator \(I - \sum {_{k = 1}^\infty {\text{ }}z^k A_k } \) has the continuous inverse for every z ∈ C, | z | ≤ 1. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:52:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
0001
0002
0003
0004
0005
0006
0007
0008
0009
|
| id | umjimathkievua-article-4009 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:52:15Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/64/d6bc5fc82d0d501d63bed12aec7a0e64.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-40092020-03-18T20:18:09Z On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space Об ограниченности рекуррентной последовательности в банаховом пространстве Gomilko, A. M. Gorodnii, M. F. Lagoda, O. A. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. We investigate the problem of the boundedness of the following recurrence sequence in a Banach space B: \(x_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {A_k x_{n - k} + y_n } ,{ }n \geqslant 1,{ }x_n = {\alpha}_n ,{ }n \leqslant 0,\) where |y n} and |α n } are sequences bounded in B, and A k, k ≥ 1, are linear bounded operators. We prove that if, for any ε > 0, the condition \(\sum\limits_{k = 1}^\infty {k^{1 + {\varepsilon}} \left\| {A_k } \right\| < \infty } \) is satisfied, then the sequence |x n} is bounded for arbitrary bounded sequences |y n} and |α n } if and only if the operator \(I - \sum {_{k = 1}^\infty {\text{ }}z^k A_k } \) has the continuous inverse for every z ∈ C, | z | ≤ 1. Досліджується питання про обмеженість рекурентної послідовності $$x_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {A_k x_{n - k} + y_n } ,{ }n \geqslant 1,{ }x_n = {\alpha}_n ,{ }n \leqslant 0,$$ в банаховому просторі $B$, де $|y_n\}, |α_n\}$—обмежені в $B$ послідовності, $A_k, k ≥ 1$, — лінійні обмежені оператори. Доведено, що коли для деякого $ε > 0$ виконується умова $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {k^{1 + {\varepsilon}} \left\| {A_k } \right\| < \infty }$$ то послідовність { * „ } обмежена для довільних обмежених послідовностей $|y_n\}, |α_n\}$ тоді і тільки тоді, коли для кожного $I - \sum {_{k = 1}^\infty {\text{ }}z^k A_k }$, оператор $z ∈ C, | z | ≤ 1$ має неперервний обернений оператор. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2003-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4009 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 55 No. 10 (2003); 1410-1418 Український математичний журнал; Том 55 № 10 (2003); 1410-1418 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4009/4730 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4009/4731 Copyright (c) 2003 Gomilko A. M.; Gorodnii M. F.; Lagoda O. A. |
| spellingShingle | Gomilko, A. M. Gorodnii, M. F. Lagoda, O. A. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. Гомилко, А. М. Городний, М. Ф. Лагода, О. А. On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title | On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title_alt | Об ограниченности рекуррентной последовательности в банаховом пространстве |
| title_full | On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title_fullStr | On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title_full_unstemmed | On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title_short | On the Boundedness of a Recurrence Sequence in a Banach Space |
| title_sort | on the boundedness of a recurrence sequence in a banach space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/4009 |
| work_keys_str_mv | AT gomilkoam ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gorodniimf ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT lagodaoa ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gomilkoam ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gorodnijmf ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT lagodaoa ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gomilkoam ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gorodnijmf ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT lagodaoa ontheboundednessofarecurrencesequenceinabanachspace AT gomilkoam obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT gorodniimf obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT lagodaoa obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT gomilkoam obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT gorodnijmf obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT lagodaoa obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT gomilkoam obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT gorodnijmf obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve AT lagodaoa obograničennostirekurrentnojposledovatelʹnostivbanahovomprostranstve |